I ) MATEMATİK TEMELLER
|
|
- Nilüfer Aydoğdu
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 0 I ) MATEMATİK TEMELLER A) TANIMLAR VE İŞLEMLER B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER D) DIRAC DELTA FONKSİYONU E) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ F) "MOMENTUM" UZAYI DEĞİŞKENLERİ G) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ
2 A) TANIMLAR ve İŞLEMLER. Vektörler ve Skalarlar Vektörlerin ne lup ne lmadıkları eğitimin değişik kademelerinde çekingen bir biçimde ve azar azar öğretilen bir knudur. [ B ve öne sahip nesne ] vea [ Sıralı elemanlı küme ] vea [ Knum: r ( x z) gibi davranan ifade ] larak sunulan vektör kavramının gerçek tanımı ileride uza-zaman simetrileri knusunda apılacaktır. Şimdilik bir vektörün kartezen bileşenleri kullanılarak = x z A A A A biçiminde ifade edildiği ile etineceğiz.. İşlemler Eşitlik için A B A B A B A B lması gerekir; tplama ve x x z z çıkartma ise C A B C A B C A B C A B ile verilir. Çarpma ise üç başlık altında incelenecektir. x x x z z z i) Bir saı (skalar) ile çarpılma : B k A B k A B k A B k A x x z z ii) Snucu skalar lduğu için Skalar çarpım larak adlandırılan çarpım : s A B Ax Bx AB Az Bz Bu işlemle ilintili bir kavram da A A A A larak tanımlanan vektörün bu vea Nrm udur. Aˆ A da Birim vektör larak adlandırılır. Bu adın gerekçesi A AˆAˆ sağlaarak birim Nrm a sahip luşudur. iii) Snucu vektör lduğu için Vektörel çarpım larak adlandırılan çarpım : C A B C A B A B C A B A B C A B A B x z z z x x z z x x Bu işlemin B A A B özelliği ve dlaısıla AA 0 luşu dikkat çekmektedir. Genellikten arılmadan A vektörü x-önünde B vektörü ise x-
3 düzleminde lacak şekilde kartezen krdinat sistemi eniden önlendirilerek ve B B cs B sin 0 A A 0 0 seçimi apılınca AB AB cs lduğu görülür. A B 0 için AB 0 luşu cs vea A ve B nin birbirine dik lduğunun göstergesidir. Anı aklaşımla A B vektörünün bu AB sin önü ise hem A hem de B e dik lmaktadır. Tplama ve skalar ile çarpılma kuralları uarınca herhangi bir x z x z 00 A vektörünün A A A A A A A larak azılması snucu kartezen birim vektörleri bulunur : xˆ 00 ˆ 00 zˆ 00.. Gemetri Yukarıda incelenen özellikler bazı gemetrik kavramların karakterleri hakkında ipuçları verir. Mesela düzlem plar krdinatlarda x tan x d dx x d dx diferansieli d x x x ifadenin r dr pada nın ise r dr rˆ dr ve d = = r r r lduğu görülür. Bu da larak tanımlanan açı nın larak azılınca pa daki d ile verildiğine işaret etmektedir dlaısıla rˆ dr d d d d r r sağlanır. r nin bir vektör lduğuna Diğer gemetrik kavramları da snsuz küçük vektörlerle inşa etmek mümkündür : Uzunluk : d ; Yüze : ds d d Hacım : dv d d d rˆ ds ds ds ve sn larak da Katı Açı : d 4 r r larak r tanımlanırlar.
4 4. Alanlar Eğer bir skalar belli bir uza parçasının her nktasında tanımlı ise Skalar alan larak adlandırılır. Anı durum W r lur ve bir W r lan bir vektör için geçerli ise bu sefer bir Vektör alanı söz knusudur. Bir dadaki sıcaklık dağılımı alana İstanbul bğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v x z örnektir. T x z bir skalar ise bir vektör alana B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO ). Matematik eğitiminin ilk aşamalarında klalık sağlaması açısından bağımsız değişken saısının az tutulması hatta ile sınırlanması dğaldır. Ancak içinde aşadığımız Uza- Zaman prblemlere gerçekçi bir aklaşım için + = 4 bağımsız değişkeni zrunlu kılmaktadır. Zaman değişkeni biraz ertelense bile gerçekçi bir gemetrinin r x z ile luşturulması gerekir. Herhangi bir r x z fnksinunun diferansieli d dx d dz larak azılınca ilk akla gelen bu ifadei biri x z dr dx d dz vektörü lmak üzere iki vektörün skalar çarpımı larak rumlamak x z lacaktır. Diferansiel d dx d dz larak azıldığında rtaa çıkan x z vektör görünümlü ifade semblü ile gösterilir. Biraz sutlama apılarak Nabla diferansiel peratörü x z tanımlanır. larak
5 4 Her bileşenli ifadee vektör denemez ancak x z geçerli lduğunun ispatı bölüm snunda prblem larak verilecektir. için bu akıştırmanın. A ve A Elde böle bir vektör diferansiel peratör lunca herhangi bir A r A r A r A r vektör alanı ile luşturulacak x z A A Az x z x A tanımlanması dğaldır. vea xˆ ˆ zˆ A işlemlerinin de x z A A A x z. ve A Sn larak A ve A işlemlerinin bileşimi lan tanımlanır. Dönmeler altında değişmeen x z Laplace peratörü larak adlandırılır ve geniş ugulama alanı vardır. Bu peratörün sadece skalarlara değil A Z larak vektörlere de etki edebileceği görülmektedir. 4. Vektör DO Çiftleri işlemlerinin iki tanesinin üstüste ugulanmasından sadece beş geçerli ve anlamlı ifade elde edilir : A A A.
6 5 A 0 0 lduğu klaca gösterilir. Geri kalan üçü ise aralarında A A A özdeşliğini sağlarlar. C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO. Jacbian Kartezen krdinat sistemlerinin en önemli özelliği birim vektörlerin önlerinin knumdan bağımsız lmasıdır; dlaısıla herhangi bir nktadaki ˆx ile bambaşka bir nktadaki ŷ birim vektörleri xˆ ˆ 0 xˆ ˆ zˆ benzeri eşitlikleri sağlarlar. Ancak dğanın simetrileri açısından kartezen krdinatlar her zaman elverişli değildir. Mesela kartezen krdinatlarda küre denklemi değişken cinsinden r R x z R iken küresel krdinatlarda tek larak azılır. Kartezen dışı q q q krdinat sistemleri luştururken eni krdinatların en azından erel larak dik lma şartı aranacaktır. Bölece verilen bir nktada qˆ ˆ q 0 qˆ qˆ ˆ q ve benzeri ifadeler geçerliliğini kruacaktır. Kartezen krdinatlar: x z r r r dan erel dik krdinatlar q q q e geçerken başlangıç nktası q q r ; i j tanımları ve j j i bunların ters üz edilmesi snucu erişilen r r q ; i j ifadeleri lacaktır. i i j Bu aşamada krdinat sistemi değişikliğinin alanları ve hacımları kaçınılmaz bir biçimde amulttuğu hesaba katılmalıdır. x- düzleminde P: 4 Q : 4 nktalarının kartezen krdinatlarda akla getirdiği alan x x 4 4 dğrularının belirlediği birimlik alandır. Öte andan anı nktalar plar krdinatlarda P : r 5 5 Q : r 5 7 larak ifade edildikleri için r 5 eğrisi ve 5 7 dğruları arasında hiç bir alan kalmadığı görülür. Ancak iki krdinat sisteminde de PQ uzaklığının lması dğru çözüm lunu göstermektedir: krdinat sistemleri değişse bile iki nkta arasındaki uzaklık anı kalır. Dlaısıla çıkış nktası çk akın iki nkta arasındaki uzaklığın vea uzaklık karesinin değişmezliği lacaktır.
7 6 x x x dx dq dq dq q q q ile d ve dz için azılacak benzeri ifadeler matris gösteriminde x x x dx dq q q q d = dq q q q z z z dz dq q q q biçiminde özetlenebilir. Kısmi türevlerden luşan matris Jacbian larak adlandırılır ve J ile gösterilir. dx dq dx d dz d dq dq dq J J dq İki nkta arasındaki uzaklığın karesi larak azılırsa krdinat sisteminin erel dik lma şartının diagnal bir matris lmasına eşdeğer lduğu anlaşılır. dz dq J J çarpımının pzitif ve. Metrik Fnksinları ve Birim Vektörler Pzitif ve diagnal bir matris lan Metrik matrisi G G h lmak ise ij i ij üzere dx dx d dz d dz G J J larak tanımlanır ve ifadesi de h dq h dq h dq h dq h dq h dq biçimini alır. Bölece dx d dz nin erini alacak uzunluklar d i hi dqi lmaktadır. Bu nktada erel dik krdinat sistemlerinde hacım elemanının d d d h h h dq dq dq alan vektör elemanlarının da h h dq dq h h dq dq h h dq dq ile verileceği görülmektedir. dx dq j j j dr d = dq = j dq j dq + j dq dz dq j j j J ve
8 7 x x x q q q d d d h q h q h q z z z q q q eşitliklerinin karşılaştırılmasından qˆ i x q i h i q i z qi lduğu anlaşılır. Dlaısıla en kestirme l : snucun birim vektör lacağı bilindiğine göre Jacbian matrisinin sütunlarını nrmalize ederek qˆi birim vektörlerini bulmak nrmalizasn için gerekli bölmei aparken kullanılan ifadei de h i larak belirlemektir.. Alternatif Tanım Kartezen krdinatlarda tanımlanan diferansiel peratör işlemlerini erel dik q q q krdinatlarda da ifade edebilmek için x x q x q x q benzeri kısmi türev zincir kuralları kullanmak uzun ve zahmetli bir ldur. Bunun erine d dr dq dq dq q q q ile verildiğine ve dr h dq h dq h dq lduğuna göre h q h q h q larak klaca azılır.
9 8 4. A ve A Alternatif Tanımları Ancak A ve A ifadeleri için kestirme bir gemetrik aklaşım benimsenerek ds kapalı bir üze üzerindeki alan elemanı V de bu kapalı üzein içinde kalan hacım lmak üzere A ds A Lim ve V V 0 d kapalı bir eğri bunca l elemanı S de bu kapalı eğrinin içinde kalan alan lmak üzere Ad A Sˆ Lim kullanılır. Uzun ancak basit işlemler snucu S S0 h h A h h A h h A A h hh q q q ve A h qˆ h qˆ h qˆ h h h q q q h A h A h A bulunur. Karmaşık hesaplarda emniet açısından başlangıç nktasının A = ˆq hh q ˆq hh q ˆq hh q ha ha ha lması tavsie edilir.
10 9 5. Alternatif Tanım Laplace peratörü ise hh hh hh hh h q h q q h q q h q lmaktadır; ancak bu peratörün gereğinde vektörlere de etkili lacağı unutulmamalıdır. 6. İki Temel Terem A ds A Lim eşitliği V V 0 V 0 kşulundan dlaı erel bir ifadedir. Öte andan kmşu iki hacmın rtak duvarlarından birinde pzitif lan AdS negatif lacağı için net katkı sıfır lur. Bu işlem rtak duvarı lmaan sınıra kadar ötekisinde sürdürülerek erelden glbale bir genelleme sağlanır ve A dv A ds elde edilir. Anı mantıkla A ds A d lmaktadır. S V S 7. Elektrdinamik İçin Ntasn Uarısı Küresel krdinatlarda bir merkez nktasından uzaklığı ifade eden r değişkenini silindir krdinatlarda z-ekseninden uzaklığı ifade etmek için de kullanmak karışıklığa l açar. Genelde ile gösterilen bu değişken elektrdinamikte ük ğunluğu semblü larak da işlev aptığı için silindir krdinatlarda erine s kullanmak gerekir. D) DIRAC DELTA FONKSİYONU x Dirac Delta Fnksinu : x 0 x 0 x 0 ; ; dx x
11 0 x x sağlaan bir ifadedir. f x x a f a x a ve x ax özellikleri klaca gösterilir. f x x a f a x a a luşu dx f x x a f a delta fnksinunun eleme özelliğine l açar. f x ifadesini 0 f x sağlaan bir x nktası etrafında değerlendirmek kullanılıp için Talr açılımı f x f x f x x x... x x f x f x f x x x... f x denkleminin tüm çözümleri göz önüne alınınca da mesela a 0 için x elde edilir. f x 0 x f f x x a x a a a a bulunur. x N n n xn x 0 x < 0 dx x U x eşitliği Dirac Delta ve Birim Basamak fnksinları x 0 arasındaki ilişkii belirler. Delta fnksinunun türev temsili dğal larak du x x lmaktadır. Delta fnksinunun integral temsili için ise snucu dx sıçrama apan bir belirli integral seçilip türev alınır : sin kx dk SGN x = U x k snucunun türevi dk cs kx x verir. Bu snuca i dk kx vea daha genel x dk exp ikx x x dk exp ik x x sin 0 eklenerek integral temsili bulunur.
12 E) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ Dirac delta fnksinunun eleme özelliği f x dx x x f x ve integral temsili x x dk exp ik x x kullanılarak f x dk ikx dx ikx f x exp exp elde edilir. Bu nktada f k dx exp ikx f x : Furier dönüşümü f x dk exp ikx f k : Ters Furier dönüşümü tanımları apılır. Önemli bir uarı : Zaman-Frekans eşlenik değişken çiftinin Furier dönüşüm frmüllerinde Minkwski metriğinden kanaklanan bir işaret farkı vardır ve Furier dönüşümü : f dt exp i t f t ile verilir. Ters Furier dönüşümü : f t d exp i t f Daha sut bir aklaşım : çıkarak ve dx x x dk k k x k f x x f f k k f tanımlarından la Tamamlık bağıntıları ve ikx exp ikx exp k x özdeşliklerini kullanarak f k k F dx k x x f dx ikx f x exp (Furier)
13 f x x f dk x k k f dk ikx f k exp dönüşümlerini elde etmektir. (Ters Furier) F) "MOMENTUM" UZAYI DEĞİŞKENLERİ Kuantum fiziğinin anısıra elektrdinamik hesaplarda da knum uzaı kadar "mmentum" uzaına gerek vardır. İki uza arasında geçişleri sağlaan dönüşümler katlı integraller larak karşımıza çıkar. Bu üzden bunlarda er alan exp i k r k r teriminin vea kısaca ifadesinin değişik krdinat sistemlerinde azılışı çk önemlidir. Kartezen krdinatlarda r x z k k k k k r k x k k z klaca x z x z azılır. Ancak erel dik sistemlerde mmentum krdinatlarını dikkatle tanımlamak gerekir. Silindir krdinatlarda r s cs s sin z k luşuna paralel larak k biçiminde tanımlanır ve cs cs sin z k r s k z elde edilir. Küresel krdinatlarda ise r r sin cs r sin sin r cs luşuna paralel larak k k sin cs k sin sin k cs biçiminde z k r r k sin sin cs cs cs tanımlanır ve elde edilir. İncelenen prblemlerin simetrileri bu karmaşık ifadeleri integral aşamasında basitleştirecek lsa da la en genel biçimlerle başlamak simetrileri kullanarak ifadeleri kademe kademe basitleştirmek en sağlıklı ldur. Diğer bir önemli bilgi ise exp i k r ifadesinin küresel krdinatlarda küresel harmnikler ve hatta Legendre plinmları kullanarak açılımını veren Raleigh * bağıntısıdır : exp i k r 4 i j kr Y rˆ Y k ˆ m m 0 0 m i j kr P rˆ kˆ.
14 G) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ -Butta benzer aklaşımlarla elde edilen f k d r exp ik r f r : Furier dönüşümü f r d k exp ik r f k : Ters Furier dönüşümü frmülleri geçerli lacaktır. Önemli bir nkta: kartezen lmaan krdinat sistemlerinde mmentumun da uza krdinatlarından arı ve kendine has ön değişkenleri lması gereğidir. Yukarıda değinildiği gibi silindir krdinatlarda cs sin ve k k r s s z cs sin z küresel krdinatlarda ise r r sin cs r sin sin r cs k k sin cs k sin sin k cs kullanmak gerekir. -Butta Furier dönüşümlerinin önemli bir özel hali küresel simetrie sahip fnksinların dönüşümleridir. f r f r durumunda f k d r exp ik r f r ldukları için integralinde d r k r r f k de skalar lmak zrundadır ve f k f k skalar lur. Snuç k 'nın önünden bağımsız lduğu için genellikten arılmadan k 0 0 k alınır ve f k exp d dw r dr ikrw f r 0 r dr sin kr f r k elde edilir. 0
15 4 Bu özel durum Hankel dönüşümü larak adlandırılır ve f k r dr sin kr f r k : Hankel 0 f r k dk sin kr f k r : Ters Hankel 0 dönüşüm frmülleri kullanılır. Bazı önemli ve ararlı Hankel dönüşümleri tabl larak aşağıda verilmektedir: f r f k r r 4 r exp r exp r r r ik r k k k k
16 5 PROBLEMLER P. ) Knum bileşenleri dönme işlemi altında RR= R SO() dx dx sağlaan bir dönme matrisi ardımıla d = R d larak dönüşür. dz dz Vektörlerin "Dönmeler altında knum gibi davranan ifade" tanımından la çıkarak knum x x bileşenlerine göre türevlerin de = R biçiminde z z dönüştüklerini dlaısıla 'Nabla Operatörü'nün de bir vektör lduğunu ispat edin. P. ) A 0 lduğunu dlaısıla B 0 durumunda B A azılabileceğini gösterin. P. ) 0 lduğunu dlaısıla E 0 durumunda E V azılabileceğini gösterin. P.4 ) W W W özdeşliğini ispatlaın. P.5 ) Bir vektör alanı W r r x z nktasında W F G H değerini alır. W vektörünün silindir krdinat bileşenlerini hesaplaın.
17 6 P.6 ) Bir vektör alanı W r r x z nktasında W F G H değerini alır. W vektörünün küresel krdinat bileşenlerini hesaplaın. P.7 ) x s cs s sin z z larak tanımlanan silindir krdinatlar için hs h hz metrik fnksinlarını sˆ ˆ zˆ s z birim vektörlerini W W ifadelerini elde edin. P.8 ) x r sin cs r sin sin z r cs larak tanımlanan fnksinlarını ˆ ˆ ˆ r küresel krdinatlar için hr h h r birim vektörlerini metrik W W ifadelerini elde edin. ifadesini w cs kullanarak eniden azın. P.9 ) x z z larak tanımlanan z parablik krdinatlar için metrik fnksinlarını ˆ ˆ zˆ h h hz silindir birim vektörlerini W W ifadelerini elde edin. P.0 ) x cs sin z larak tanımlanan parablik krdinatlar için h h h metrik fnksinlarını ˆ ˆ ˆ birim vektörlerini W W edin. ifadelerini elde
18 7 P. ) x x z z krdinat sisteminde h h hz vektörlerini metrik fnksinlarını ˆ ˆ zˆ W W Laplace denklemini Z z expik z z ifadelerini elde edin; birim 0 özel durumu için 'Değişkenlerine Arıştırın'. P. ) z x i kmpleks değişkeni kullanarak azılan basitleştirin. 0 * z z DD 'ini P. ) A B ifadesinin açılımını apın. P.4 ) Dr ctn ˆ r için D ifadesini hesaplaın. kx cs k sin P.5 ) x r cs r sin Düzlem Plar krdinatlarda SO() simetrisine sahip f r f r Furier dönüşümü ( -Butta Hankel dönüşümü ) frmülünü elde edin. İpucu : J d cs n sin n 0 fnksinunun P.6 ) f k g k h k çarpımının Ters Furier dönüşümünü Dirac gösterimi kullanarak apın ve f g h x dx dx f x x x g x hx Çifte Katlama ifadesini elde edin.
19 8 P.7 ) a) k V B vektör çarpım ifadesinde bir Vx V V z vektörüne etki edecek k işleminin 0 kz k k 0 k x z k k 0 x matrisi ile temsil edilebileceğini gösterin b) V B V k k B çözümünün mümkün lmadığını gösterin c) k V c skalar çarpım ifadesinde ise k işleminin matris temsilinin k k k x z lduğunu gösterin d) sn larak iki işlemi bir arada ele alıp k V B denkleminin bir bileşenini feda edip nun erine k V c denklemini erleştirerek elde edilen mesela kz 0 için 0 kz k Vx Bx kz 0 k x V B kx k k z Vz c matris denkleminden V vektörünü elde edin. İpucu : e.g. V kxk k kz kzk x x x B V = kz kx kxk k k z B kz kx k kz V z k c kz kzkx k z Bu 'Teklik' şartını taşımıan çözüm bir anlamda V ve V verilince vektörünün elde edilebileceği knusunda (Helmhltz teremi) umut vermektedir. V
I ) MATEMATİK TEMELLER
I ) MATEMATİK TEMELLER A) TANIMLAR VE İŞLEMLER B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER D) MOMENTUM UZAYI DEĞİŞKENLERİ A) TANIMLAR ve İŞLEMLER.
DetaylıKATI CİSİM DİNAMİĞİ
58 KATI CİSİM DİNAMİĞİ A) KATI CİSİMER B) DÖNMEER C) MATRİSER YOUYA VEKTÖR İŞEMERİ D) EUER AÇIARI VE EUER TEOREMİ E) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMEER F) HIZ VE İVME G) KATI CİSİM HAREKET DENKEMERİ - - - - - - - -
DetaylıII ) O ÇIKARTIMI A) TARİHSEL GELİŞİM B) İNTEGRAL BİÇİMLER C) DİFERANSİYEL BİÇİMLER D) MAXWELL KATKISI E) POTANSİYELLER, AYARLAR, ELEKTROMAGNETOSTATİK
6 II ) J O ÇIKRTIMI ) TRİHSEL GELİŞİM B) İNTEGRL BİÇİMLER C) DİFERNSİYEL BİÇİMLER D) MXWELL KTKISI E) POTNSİYELLER, YRLR, ELEKTROMGNETOSTTİK F) ELEKTRODİNMİK G) RELTİVİSTİK YZILIM H) ÖZET TBLO I) UZY-ZMN
DetaylıCebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006
MC Karmaşık saılar www.matematikclub.cm, 006 Cebir Ntları Gökhan DEMĐR, gdemir@ah.cm.tr TEST I. i 897 + i 975 + i 997 i 995 tplamının snucu i B) i C) i D) i E) 5i 8. Z = i nin kutupsal biçimi (cs0 + isin0)
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR
EN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 6. KİTAP DİERANSİYEL DENKLEMLER DD İÇİNDEKİLER. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER. KERNEL SEÇİMİ. METOT V. DURUMU A) B) Örnek DD ) Sabit Katsayılı DD V. DURUMU A) B) Euler DD )
DetaylıMaddesel Nokta Statiği 2.1. HAFTA. Đçindekiler S T A T İ K :
--11-- Maddesel Nkta Statiği 2.1. HATA --22-- Đçindekiler Mekaniğe Giriş Đki kuvvetin bileşkesi Vektörler Vectörel işlemler Bir nktada kesişen kuvvetlerin bileşkesi Örnek Prblem 2.1 Örnek Prblem 2.2 Bir
DetaylıÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR f(x) = log(x - 6) x A)28 8)30. f(x)= j x A)O 8)8 C) 12 0)36 E)45 A)4 8)8 C) 12 0)16 E) 20 A)5
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR - 1 x-2 x>3-1. f(x)= { 2x+5
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
Detaylı1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.
-A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR)
BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) 4.1 Kafesler: Basit Kafes: İnce çubukların uçlarından birleştirilerek luşturulan apıdır. Bileştirme genelde 1. Barak levhalarına pimler ve kanak vasıtası
DetaylıRELATİVİTE VE ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞMELER
14 RELATİVİTE VE ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞMELER A) GİRİŞ B) KİNEMATİK C) DİNAMİK D) ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞME E) ZORLIKLAR - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
DetaylıÇoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Süreklilikleri Üzerine
C.Ü. en-edebiat akültesi en Bilimleri Dergisi (23)Cilt 24 Saı Çğul-Değerli nksinların Almst D-Süreklilikleri Üzerine Metin AKDAĞ ve Savaş TEMİZİŞLER Cumhuriet Üniversitesi en Edebiat akültesi Matematik
DetaylıDers: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.
Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla
DetaylıŞekil 1: Direnç-bobin seri devresi. gerilim düşümü ile akımdan 90 o ileri fazlı olan bobin uçlarındaki U L gerilim düşümüdür.
1 TEME DEVEEİN KAMAŞIK SAYIAA ÇÖÜMÜ 1. Direnç Bbin Seri Devresi: (- Seri Devresi Direnç ve bbinin seri bağlı lduğu Şekil 1 deki devreyi alalım. Burada devre gerilimi birbirine dik lan iki bileşene ayrılabilir.
DetaylıUYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER
UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıDİNAMİK İNŞ2009 Ders Notları
DİNAMİK İNŞ2009 Ders Ntları Dç.Dr. İbrahim Serkan MISIR Dkuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders ntları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2018-2019 GÜZ Dynamics, Furteenth Editin
DetaylıFİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ
FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ (del) operatörü, Bir f skaler alanına etkirse: f GRADİYENT Bir A vektör alanı ile skaler çarpılırsa:
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 2. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR
41 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR w 4 İÇİNDEKİLER I. KOMPLEKS SAYILAR A) Kmpleks Aritmetik B) Kmpleks Değişken II. KOMPLEKS FONKSİYONLAR A) Genel B) Kuvvet
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıMATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
ENEME MTEMTÝK GEOMETRÝ ENEMELERÝ 1. ( ) 1, 3 9 : 9 4 6 0,5 1 4. K dğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 14 tür. işleminin snucu kaçtır? 1 ) 3 ) 1 ) ) 1 E) 3 3 una göre, aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
DetaylıELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylı2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans
FİZİKSEL MATEMATİK II 1 Ders Adi: FİZİKSEL MATEMATİK II 2 Ders Kodu: FZK2004 3 Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 2 6 Dersin Verildiği Yarıyıl 4 7 Dersin AKTS Kredisi: 8.00
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. f(x) sıfırdan farklı dğrusal fnksiyn lmak üzere, f(x 6) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x ) işleminin snucu kaçtır?. Rakamları çarpımı ile rakamları tplamının tplamları kendisine
DetaylıYGS 2014 MATEMATIK SORULARI
YGS 0 MTMTIK SORULRI. 6.(8 6 ) işleminin snucu kaçtır? 8 6 6 6 6 6.(8 6 ) 8 6 6 7. a b a, ve sayıları küçükten büyüğe dğru a sıralanmış ardışık tamsayılardır. una göre, a + b tplamı kaçtır? a a a b a b
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı9. 22 özdeş bilyeyi iki farklı kutuya kaç değişik şekilde dağıtabiliriz? (Kutulardan biri boş olabilir.) toplamının sonucu kaçtır?
. + + + + + 5 0 0 40 tplamının snucu 9. özdeş bilei iki farklı kutua kaç değişik şekilde dağıtabiliriz? (Kutulardan biri bş labilir.) A) 5. + = 5 - = 5 B) C) D) E) lduğuna göre, değeri A) B) C) D) 4 E)
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıA A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,
Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylı7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı
) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4
DetaylıSBS MATEMATİK DENEME SINAVI
SS MTEMTİK DENEME SINVI 8. SINIF SS MTEMTİK DENEME SINVI. 4.. Güneş ile yut gezegeni arasındaki uzaklık 80000000 km dir. una göre bu uzaklığın bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ),8.0 9 km
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSığa ve Dielektrik. Bölüm 25
Bölüm 25 Sığa ve Dielektrik Sığa nın Tanımı Sığa nın Hesaplanması Kndansatörlerin Bağlanması Yüklü Kndansatörlerde Deplanan Enerji Dielektrikli Kndansatörler Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/
DetaylıÇözüm Kitapçığı Deneme-6
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ -5 MART Çözüm Kitapçığı Deneme-6 Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıBölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri
ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
Detaylı[OA ve [OB ışınlarının birleşiminden oluşan açı; AOB açısı veya BOA açısı şeklinde ifade edilir.
TRİGONOMETRİ Trignmetri, astrnmi çalışmaları sırasında dğan ve gelişen bir matematik dalıdır. Trignmetri ile ilgili en eski bilgiler, milattan önce 7 5 ıllarında aşaan Hipparchus a aittir. Hipparchus,
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
DetaylıFİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ
FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ GRADİYENT: f(,y,z) her noktada sürekli ve türevlenebilir bir skaler alan olsun. Herhangi bir
DetaylıDEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI
DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.
DetaylıDÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ
3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDERS 2. Fonksiyonlar
DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıFONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların
DetaylıAkışkan Kinematiği 1
Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıMECHANICS OF MATERIALS
00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. T E CHAPTER 7 Gerilme MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Dönüşümleri Fatih Alibeoğlu 00 The McGraw-Hill
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri
DetaylıBAĞINTI - FONKSİYON Test -1
BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)
DetaylıELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
DetaylıA) x 1235 = B) 2112 x 4512 = C) 77 x 88 =
. Aşağıdaki tplama işlemlerinin snuçlarının hesaplayınız. 9 8 5 7 5 6 0 0 5 5 6 8 7 6 0 5 8 7 9 6 7 + 7 5 6 5 5 0 0. Aşağıdaki çarpma işlemlerinin snuçlarını hesaplayınız. (Ayrı bir kâğıda çözüp snucu
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Detaylı1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
DetaylıVIII ) E-M DALGA OLUŞUMU
94 VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU A. HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ B. F k : YAPI ÇARPANI 4-VEKTÖRÜ C. RADYASYON ALANLARI D. ELEKTRİK DİPOL RADYASYONU E. MAGNETİK DİPOL RADYASYONU 95 A) HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ
DetaylıİÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07
UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...
Detaylı1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Detaylı1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere
KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)
Detaylı13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
DetaylıBu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)
Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek
DetaylıMomentum iletimi. Kuvvetin bileşenleri (Momentum akısının bileşenleri) x y z x p + t xx t xy t xz y t yx p + t yy t yz z t zx t zy p + t zz
1. Moleküler momentum iletimi Hız gradanı ve basınç nedenile Kesme gerilmesi (t ij ) ve basınç (p) Momentum iletimi Kuvvetin etki ettiği alana dik ön (momentum iletim önü) Kuvvetin bileşenleri (Momentum
DetaylıELEKTROMANYETIK ALAN TEORISI
ELEKTROMANYETIK ALAN TEORISI kaynaklar: 1) Electromagnetic Field Theory Fundamentals Guru&Hiziroglu 2) A Student s Guide to Maxwell s Equations Daniel Fleisch 3) Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri
DetaylıÜçüncü Kitapta Neler Var?
Üçüncü Kitapta Neler Var?. Kümeler 7 0. Kartezyen çarpım - Bağıntı 4. Fnksiynlar 4 74 4. İşlem 7 84. Mdüler Aritmetik 8 00 6. Plinmlar 0 0 7. İkinci Dereceden Denklemler 6 8. Eşitsizlikler 7 6 9. Parabl
Detaylıalalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay
1 DİK (KARTEZYEN) KOORDİNAT SİSTEMİ: Bir O noktasında dik olarak kesişen ata ve düşe doğrultudaki iki saı eksenini ele alalım. O noktasına, u eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif saılar,
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
DetaylıAB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖdev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N
Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü
Detaylı