ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Selahattin KILINÇ YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER Selahattin KILINÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 04/08/2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç. Dr. Zerrin GÜL ESMERİLGİL DANIŞMAN ÜYE... Doç.Dr. Perihan DİNÇ ARTUT ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER Selahattin KILINÇ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Yıl: 2011, Sayfa:53 Jüri :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç.Dr. Zerrin Gül ESMERİLGİL Doç.Dr. Perihan Dinç ARTUT Biz bu çalışmada yakın-halkalar teorisinde bazı yakın-halka sınıfları için, asal ve maksimal idealleri inceledik. Reguler, güçlü reguler (stronglyreguler) ve zayıf reguler (s-weaklyreguler) yakın-halkaların her asal idealinin maksimal ideal olduğu gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler:Yakın-hakalar, Reguler yakın-halkalar, Asal ideal, Maksimal ideal I

4 ABSTRACT MSc THESIS PRIME AND MAXIMAL IDEALS IN NEAR RING Selahattin KILINÇ ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Year: 2011, Pace:53 Jur :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Assoc. Prof. Dr. Zerrin Gül ESMERLİGİL :Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT In this study, we have investigated the prime and maximal ideals of some specia lclasses of near-rings. Especially we have shown that every prime ideals of regular, strongly reguler and s-weakly reguler are maximal. Key Words: Near-rings, Regulernear-rings, Prime ideal, Maximal ideal II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın her aşamasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, değerli zamanlarını ayırarak çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygı değer danışmanım Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK e ; Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümü hocalarına ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma sonsuz teşekkür ve şükranlarımı sunarım. Ayrıca tezim süresince gerek maddi gerekse manevi desteklerini esirgemeyen annem, babam ve sevgili eşime sonsuz şükranlarımı sunarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ...I ABSTRACT.. II TEŞEKKÜR.III İÇİNDEKİLER IV 1.GİRİŞ.1 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Temel Tanım ve Teoremler N-Gruplar Alt Yapılar Homomorfizm ve idealler Reguler ve Strongly(güçlü)Regulers-weakly(zayıf) reguler Yakın-halkalar MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER Maksimal İdealler Asal İdealler ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ Regulerlik Sıfır Simetrik Ünital Durum Strictly maksimal ideal...47 KAYNAKLAR. 51 ÖZGEÇMİŞ...53 IV

7 KISALTMALAR VE SEMBOLLER :Yakın-halka : yakın-halkasının sıfır simetrik kısmı : yakın-halkasının sabit kısmı Γ : -grup (Γ) : Γ dan Γ ya tüm fonksiyonların yakın-halkası (Γ) : Γ da sıfırı koruyan tüm fonksiyonların yakın-halkası (Γ) : Γ da tüm sabit fonksiyonların yakın-halkası : yakın-halkaların sınıfı 0 : sıfır simetrik yakın-halkaların sınıfı c : sabit yakın-halkaların sınıfı 1 : birimli yakın-halkaların sınıfı N : - grupların sınıfı : yakın-halkasının dağılmalı kısmı : Halka 0 : Γ nun sıfır elemanı (0: Γ) : Γ nun sıfırlayanı : yakın-halkalarının direkt çarpımı : ideallerinin direkt toplamı < > : kümesi tarafından üretilenideal < > : kümesi tarafından üretilen -altgrup : Bölüm yakın-halkası V

8 1.GİRİŞ 1. GİRİŞ Yakın-halkalar halkaların genellemesidir. Kabaca ifade edecek olursak bir (,+,.) halkasında + işlemine göre değişmeli olmak zorunda olmayan ve sadece bir taraftan sağdan veya soldan dağılma kuralı varsa (,+,.)halkası bir yakınhalkadır. (Γ,+)bir grup olsun. (Γ) da ΓdanΓya olan tüm dönüşümlerin kümesi olsun. Toplama, bileşenlerin toplamı ve çapım da fonksiyon bileşkesi olduğundan (( (Γ),+,.)bir yakın-halkadır. Halka teorisinde çok iyi bilinen bir sonuç, her bir halkanın bazıγabelyen gruplarının tüm endomorfizmlerinin kümesi içerisine gömülebileceğidir. Benzer şekildeher bir yakın-halkanın da herhangi Γ grubunun (Γ) içerisine gömülebileceği gösterilmiştir. Bu sonuçtan halka teorisi grup dönüşümlerinin liner teorisi olarak görebiliriz. Diğer yandan yakın-halkalar liner olmayan bir teoridir. İlginç olarak bir çokliner sonuç uygun değişikliklerden sonra genel duruma taşınabilmektedir. Örneğin halka teorisindeki primitif halkalar, N. Jacabson un meşhur yoğunluk teoremi ile ifade edilebilir. Yakın-halkalar için benzer sonuçlar primitif yakınhalkalar göz önüne alınarak elde edilmiştir. Tarihsel olarak, yakın-halka çalışmalarının ilki 1905 yılında Dickson tarafından aksiyomatik olarak verilmiştir. Dickson tarafından bir tek taraflı dağılma kuralına sahip cisimlerin varlığı gösterilmiştir. Bunlara da yakın cisim adını vermiştir. Halkalar teorisinde bilinen bazı sonuçları yakın halkalara uyarlamak mümkündür. Halkalar teorisindeki temel teoremleri yakın-halkalar içinde ifade edebiliriz. Hatta halkalar teorisinde elde edilen bazı sonuçları da yakın-halkalara taşımamız mümkündür. Halkalar teorisinde her asal idealin maksimal olmadığı fakat bazı özel halkalar da doğru olduğu bilinen bir gerçektir. Yakın-halkalarda da benzer bir durum vardır. (Birkenmeier, 1999) sıfır simetrik yakın-halkalarda = ise her maksimal idealin asal olduğunu yakın-halkalar için de göstermiştir. Acaba ne zaman 1

9 1.GİRİŞ bir asal ideal maksimal olur sorusunun cevabı yakın-halka çalışanlarını meşgul etmiştir. Bu bağlamda çeşitli çalışmalar yapılmıştır. (Booth vegroenewald, 1998) çalışmalarında 1-asal ve 2-asal idealleri incelemiş ve bu alanda bazı sonuçlar vermişlerdir. ( Mason, G.,1980) de bir stronglyreguler yakın-halkalarda asal ve maksimal ideallerle ilgilenmiştir. (Daśıć,, 1987) de strictlymaksimal ideallerle ve (Murty, 1984) de asal ve tamamen asal idealler üzerinde çalışmıştır. Yakın-halkaların asal idealleri üzerine ilk çalışmalar, (Van der Walt, 1964), (Laxton, 1964), ( Ramakotaiah, 1979), ( Beidleman, 1967) ve (Rao, 1979) tarafından yapılmıştır. Biz bu çalışmamızda temel olarak yakın-halkalarda asal ve maksimal ideallerle ilgileneceğiz. Reguler,güçlü(strongly)regulerve zayıf(s-weakly) regulerhalkalar da asal ideallerin maksimal olduklarını gösteriyoruz. Bu çalışmamız toplam dört bölümden meydana gelmiş olup her bölünün içeriği aşağıda özetlenmiştir: Çalışmamızın ikinci bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, yakın-halkalarda asal ve maksimal ideal kavramı ele alınmıştır. Yakın-halkaların ideallerinin bazı özellikleri gösterilmiş ve aynı zamanda yakın-halkalardaki asal ideal, tamamen (completely) asal ideal, yarı tam (semi completely) asal ideal, yarı asal ideal ve strictly maksimal asal ideal kavramları ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Dördüncü bölümde maksimallik kavramı üzerinde durulmuş olup, üçüncü bölümde yer verilen asal idealler yardımı ile reguler,güçlü(strongly)regulerve zayıf(s-weakly) reguleryakın-halkalardaki asal ideallerin maksimalliği incelenmiştir. 2

10 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde, tez boyunca kullanacağımız, temel kavramları vereceğiz. Bu kavramların derli toplu bir şekilde verildiği, yakın-halkalarda temel bir kaynak olan ilk baskısı 1977 de ikinci baskısı 1983 de yayımlanan (Pillz, 1983) de bulmak mümkündür. Bu eser yakın-halka çalışan her matematikçi için temel eser kabul edilmektedir. Çalışmamızda verdiğimiz temel kavramların büyük çoğunluğu için bu eserden faydalanacağız Temel Tanım ve Teoremler Halkaların genelleştirilmiş bir hali olan yakın-halkaların, halkalardan farklı olarak, bir halkada birinci işlem değişmeli iken yakın-halkada birinci işlem değişmeli olmak zorunda değildir. Ayrıca halkada ikinci işlemin birinci işlem üzerine dağılma özelliği mevcut iken yakın-halkalarda ikinci işlemin birinci işlem üzerine tek yönlü dağılma özelliğine sahip olması yeterlidir. Tanım Bir kümesi "+" ve "." şeklinde gösterilen iki ikili işlem ile aşağıdaki şartları sağlıyorsa (,+,.) üçlüsüne bir yakın-halka denir. 1. (,+) değişmeli olması gerekmeyen bir grup 2. (,.) bir yarı grup 3.,, için ( + ) = + 3. özellikte sağdan dağılma özelliği kullanıldığından bu şartları sağlayan (,+,.) üçlüsüne sağ yakın-halka denir. Eğer 3. özellik,, için ( + ) = + alınırsa, bu şartları sağlayan (,+,.) üçlüsüne sol yakın-halka denir. Yani dağılma özelliğinin yönüne göre yakın-halkanın sağ ya da sol olması belirlenir. Bu çalışma boyunca aksi belirtilmedikçe tüm halkalar sağ yakın-halka olarak alınacaktır. Bazı yakın halka örneklerini aşağıdaki gibi verebiliriz. 3

11 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Örnekler Γ, sıfırı içeren abelyen olması gerekmeyen bir toplamsal grup olsun, toplama ve birleşme işlemi altında Γ den Γ ya ( Γ ) ={ Γ Γ } dönüşümlerinin kümesi bir yakın-halkadır. Gerçekten de ( ( Γ),+) bir gruptur.,, ( Γ ), Γ için ( + )( ) = ( ) + ( ) ( Γ ) kapalılık özelliği sağlanır.,, ( Γ ), Γ için ; ( + ) + ( ) = ( + )( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( + )( ) = ( +( + ))( ) birleşme özelliği sağlanır., ( Γ ), Γ için ; ( ) + ( )= ( ) olacak şekilde ( ) =0( )=0 fonksiyonu sıfır (0) fonksiyonu olduğundan birim elemen özelliği sağlanır.,, ( Γ ), Γ için ; ( + )( ) = ( ) + ( ) =0 = olacak şekilde ( + )( ) = ( ) + ( ) =0 = fonksiyonu mevcut olduğundan ters eleman özelliği sağlanır. grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ),+) gruptur. 4

12 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER şimdi bileşke işlemi altında ( ( Γ) nın yarı grup olduğunu gösterelim;,, ( Γ ), Γ için ; ( )( )= ( ) ( Γ ) olduğundan kapalılık özelliği sağlanır.,, ( Γ ), Γ için ; ( ) = ( ) olduğundan birleşme özelliği sağlanır. ( Γ ) birleşme işlemi altında bir yarı gruptur.,, ( Γ ), Γ için ( + ) = ( ) + ( ) eşitliği sağlandığından bileşke işleminin toplama üzerinde dağılma özelliği sağlanır. bütün bunlardan ( ( Γ),+,.) bir yakın-halka olur. 2. ( Γ ) = { Γ Γ için (0) =0 } olarak tanımlanan dönüşüm bir yakın-halkadır. Şimdi ( ( Γ ),+) nın grup olduğunu gösterelim;, ( Γ ) için; ( + )(0) = (0) + (0) =0+0=0 olup + ( Γ ),, ( Γ ) için; ( + ) + (0) = ( + )(0) + (0) = (0) + (0) + (0) = (0) + (0) + (0) = (0) + ( + )(0) = ( +( + ))(0) olup ( + ) + = +( + ) dır. ( Γ ) için; + = ve + = olacak şekilde ( Γ ) varlığını gösterelim. + = 5

13 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER olacak şekilde 0( ) =0 ise 0(0) =0, =0 ( Γ ) olur. + = ise =0 ( Γ ) ( Γ ) için; + = =0 ve + = =0 = olup,grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ ),+) bir gruptur. Şimdi bileşke işlemi altında ( Γ ) nın yarı grup olduğunu gösterelim;,, ( Γ ) için; ( )(0) = ( (0)) = (0) =0 ( Γ ) olup kapalılık özelliği sağlanır.,, ( Γ ) için; ( )(0) = (( )(0)) = (0) = (0) = (0) = 0 (( ) )(0) =( )( (0)) = ( )(0) = (0) = (0) = 0 ( ) = ( ) olup birleşme özelliği sağlanır. ( ( Γ ), ) bir yarı gruptur. Şimdi ikinci işlemin birinci işlem üzerine sağdan dağılmayı sağladığını gösterelim.,, ( Γ ) için; (( + ) )(0) =( + )( (0)) = (0) + (0) = 0 6

14 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER olup (( + ) )= + dır. Dolayısıyla ( Γ ) bir yakın-halkadır. 3. ( Γ ) = { Γ Γ : } olarak tanımlan dönüşüm bir yakın-halkadır. ( ( Γ ),+) nın grup olduğunu gösterelim;, ( Γ ), Γ için; ( + )( ) = ( ) + ( ) = + olup + sabittir.,, ( Γ ), Γ için; ( + ) + ( ) = ( + )( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( + )( ) = ( +( + ))( ) ( + ) + = +( + ) olup birleşme özelliği sağlanır., ( Γ ), Γ için; + = + = olacak şekilde =0 ( Γ ) olduğundan birim eleman özelliği sağlanır., ( Γ ), Γ için; + = =0 ve + = =0 = olup, grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ ),+) bir gruptur. Şimdi bileşke işlemi altında ( ( Γ ) nın yarı grup olduğunu gösterelim;,, ( Γ ) için; ( )( ) = ( ( )) = ( ) = olup ( Γ ) dır.,, ( Γ ), Γ için; 7

15 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ( )( ) = (( )( )) = ( ) = ( ) = ( ) = (( ) )( ) =( )( ( )) = ( )( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) olup birleşme özelliği sağlanır. ( ( Γ ), ) bir yarı gruptur.,, ( Γ ), dolayısıyla Γ için; = (( + ) )( )=( + )( ( )) ( Γ ) bir yakın-halkadır. = ( ) + ( ) = + Tez boyunca karşılaşacağımız bazı yakın-halka örneklerini aşağıdaki gibi ifade edelim. 4. ( Γ ) = { Γ Γ, δ Γ } ve ( ) = 0 ğ =0 ğ 0 dönüşümü bir yakın-halkadır. 5. ={ /Z Z h } + bilinen matris toplamı ve matris çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanırsa (,+,.) bir yakın-halka olur. işlemi ; h = Z tamsayılar kümesi olmak üzere ( Z,+ ) bir gruptur. Z üzerinde çarpma 8

16 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER. Z ç. = olacak şekilde tanımlanırsa (Z,+, ) üçlüsü bir yakın halkadır. 7. Z = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ( Z,+) bir değişmeli gruptur. = şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile ( Z,+, ) üçlüsü bir yakın-halkadır. 8. Her grup için bir yakın-halk elde edilebilir. Gerçekten (,+) grubu üzerine ikinci işlem olarak,, için ; =0 olarak tanımlanırsa, (,+,.) üçlüsü bir yakın-halka olur. 9. Her halka aynı zamanda bir yakın-halkadır. Her küme (+,.) işlemi ile yakın halka olmayabilir. Bunu aşağıdaki örnekten görebiliriz. 10. ( )={ R R f differensiyellenebilir } integral bileşke işlemi, toplama ve çarpma işlemleri sırasıyla fonksiyon toplamı ve integral olarak alınırsa ( ( ),+,.) yakın-halka olmaz. Gerçekten ( ) = ve ( )= olarak seçilirse integralin bileşke işlemi altında yakın-halka olmayacağı görülebilir. Şimdi yakın-halkaların temel özelliklerinden bahsedelim. Önerme yakın-halkası için aşağıdaki özellikler sağlanır. a), 0. =0 b), ( ). ( ) =. dir. İspat: a) halkanın ilk iki aksiyomundan 0. = (0 +0). = ve dolayısıyla 0. =0 olur. b) (. ) elemanı elemanının toplamaya göre tersi olduğundan. (. ) =0 dır. O halde 9

17 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ( ) +. = ( + ). =0. =0 olup ( ) elemanı. elemanının toplamaya göre tersi olup ( ) =. 0larak elde edilir. Not : Bir N yakın-halkası için her zaman, olarak alındığında.0=0 ve ( ) = eşitlikleri sağlanmayabilir. Örneğin, örnekler in 1. Örneğinde verilen ; ( Γ ) ={ Γ Γ } yakın-halkasında, ( Γ ) için, 0=0 olması nin orjinden geçmesiyle ve ( ) = olması ise nin tek fonksiyon olması ile mümkündür. Tanım bir yakın-halka olsun. a) 0={ :.0=0} nin sıfır-simetrik parçası olarak adlandırılır. b) c={ :.0= } = { :. = } nin sabit parçası olarak adlandırılır. ve birer yakın-halkadır. Örnek ( ( Γ )) = ( Γ ) ve ( ( Γ )) = ( Γ ) dır. Gerçekten ( ( Γ )) ={ ( Γ ): 0=0} ={ ( Γ ) (0)=0} = ( Γ ) ve ( ( Γ )) ={ ( Γ ) 0= } ={ ( Γ ) sabit } = ( Γ ) dır. 10

18 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER = ise yakın-halkasına 0-simetrik ve = ise yakın-halkasına sabit yakın halka denir. Örnek den görüleceği gibi, ( Γ ) bir 0-simetrik, ( Γ ) bir sabit yakın halkadır. Teorem Bir yakın halkası için = + dır. İspat : için; [ ( 0)]0 = + ( )0 0= 0+ ( )0 0= 0+( 0)=0 dolayısıyla ( 0) dır. Aynı zamanda, 0 olduğu görülebilir. O halde = [ ( 0)] +( 0) olduğundan ispat tamamlanır. Tanım (,+) bir grup, (,+) ve (,+) da iki alt grubu olsun. Eğer ={0}, = ve (,+) alt grubu (,+)da normal ise, (,+) grubuna (,+) alt grubunun (,+) alt grubuyla bir yarı-direkt çarpımı denir. Sonuç Bir (,+,.) yakın halkasıiçin, (,+) grubu, (,+) nın (,+) ile bir yarı direkt çarpımıdır. İspat : olsun. Bu durumda, = 0 olacak şekilde vardır ve 0=0 dır. O halde, 0= 0=( 0)0= (00) = 0 = Yani ={0} dır. Teorem dan = + dir. Son olarak (,+) nın(,+)da normal olduğunu gösterelim. Eğer ve ise bu durumda, ( + )0 =( 0)+( 0)+( )0.(1) 11

19 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER burada, 0=0 olduğundan (1) ifadesi, ( + )0 =( 0)+( 0)+( )0 =( 0)+( 0)=0 halini alır. Bu ise (,+) nın (,+) da normal olduğunu gösterir. Tanım (,+,.) bir yakın-halka olsun. a) Eğer ve, için ( + ) = + ise dağılmalı eleman denir. yakın-halkasının tüm dağılmalı elemanlarının kümesi :{ : dağılmalı eleman} ile gösterilir. b) Eğer (,+) değişmeli ise ye bir abelyen yakın-halka, (,.) değişmeli ise ye bir komutatif yakın-halka, (,.) birimli ise ye birimli bir yakın halka denir. Eğer = ise ye bir dağılmalı yakın-halka denir. c) Eğer ( {0},.)bir grup ise, ye bir yakın cisim denir N-Gruplar Halkalardaki modül kavramının yakın-halkalara taşınması ile elde edilmiş olan -grup yani üzerinde yakın-modül kavramı aşağıdaki gibi tanımlanır. Tanım ( Γ,+ ) sıfırı içeren bir toplamsal grup ve bir yakın-halka olsun. : Γ Γ (, ), ve Γ için ( + ) = + ve (. ) = (. ) şartları sağlanıyorsa (Γ, ) ikilisine bir -grup yani üzerinde bir yakın-modül denir. Kısaca ile gösterilir. Eğer birimi 1 olan birimli bir yakın-halka ise Γ için; 12

20 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 1 = Şartını sağlayan Γ grubuna, bir üniter grup denir. N ile de - grupların sınıfını göstereceğiz. Örnek a) bir yakın-halka olsun; : (, ) dönüşümü (,+) yı bir -grup yapar ve ile gösterilir. b) Γ bir grup olsun. Bu durumda, : (Γ) Γ Γ (, ) ( ) dönüşümü altında, Γ bir (Γ) -gruptur. Gerçekten,, (Γ) ve Γ için, ( + ) = ( + )( ) = ( ) + ( ) = + ve ( ) = ( ) = ( ) = ( ) olduğu görülür. grup kavramıyla ilgili bazı temel özellikler aşağıdaki gibidir. Önerme bir yakın halka ve Γ bir grup olsun. Bu durumda, a) Γ için, 0 =0 b) Γ ve için, ( ) = c) için, 0 =0 d) Γ ve için, = 0 İspat : a) Γ için, 0 = (0+0) =0 +0 ve bu yüzden 0 =0 olduğu görülür. b) Γ ve için, ( ) = (0 ) =0 =0 = dır. 13

21 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER c) 0 = (00 ) = ( 0)0 =00 =0 dır. d) Γ ve için, = ( 0) = (00 ) = 0 elde edilir. Daha sonra kullanacağımız yakın-halka sınıflarını aşağıdaki gibi sıralayabiliriz. ile yakın-halkaların sınıfını, 0 ile sıfır simetrik yakın-halkaların sınıfını, c ile sabit yakın-halkaların sınıfını, 1 ile birimli yakın-halkaların sınıfını göstereceğiz Alt Yapılar Tanım bir yakın-halka ve (,+) (,+) nın bir alt grubu olsun. Bu durum da, ile birlikte. ise ye yakın-halkasının alt yakın-halkası denir. Örnek ve, yakın-halkasının alt yakın halkalarıdır. Gerçekten,, için, ( )0 = 0 0=0 0=0 Yani, (,+)(,+) nın bir alt grubudur., için, ( )0 = ( 0)= 0=0 olup buradan, dır. Bu da ın yakın-halkasının alt yakın halkası olduğunu gösterir. Benzer şekilde, için, ( )0 = 0 0= yani olur. Bu da (,+) nın (,+) nın bir alt grubu olduğunu gösterir., için, ( )0 = ( 0)= ( )= olup bundan dolayı, dır. Bu ise in yakın-halkasının bir alt yakınhalkası olduğunu gösterir. 14

22 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Γ nın Δ Δ şartını sağlayan bir Δ alt grubuna, Γ nın bir -altgrubu denir Homomorfizm ve idealler Tanım ,, ç h( + ) = h( ) + h( ), ç h( ) = h( ) h( ) koşulları sağlanıyorsa h: dönüşümüne bir yakın-halka homomorfizmi denir. Bu tanımlarla beraber, monomorfizm, epimorfizm ve otomorfizm kavramları halkalar teorisinde olduğu gibidir. Eğer yakın-halkasından yakın-halkasına bir monomorfizim, yani birebir homomorfizm, varsa yakın-halkası ye gömülebilirdir denir. Aynı tanımlar -gruplar için de geçerlidir. Örnek bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Bu durumda Γ için, h : Γ dönüşümü bir -homomorfizmdir. Tanım bir yakın halka ve, nin bir normal alt grubu olsun. Bu durumda eğer; a). b), ve için. ( + ) Şartları sağlanıyor ise ya yakın-halkasının ideali denir ve ile gösterilir. Eğer sadece a) koşulu sağlanıyor ise ya yakın-halkasının sağ ideali denir, b) koşulu sağlanıyor ise ya yakın-halkasının sol ideali denir ve sırası ile ve ile gösterilir. 15

23 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Eğer Γ nın bir Δ normal alt grubu Γ, ve için, ( ) Şartını sağlıyorsa, ya Γ nın bir ideali denir ve Γ ile gösterilir. Not : a) Bir yakın-halkasının sol idealleri ile nin idealleri çakışıktır. b) bir yakın-halka ve ise, bölüm yakın-halkası, halkalar teorisinde ki bölüm halkası tanımında olduğu gibi = { + } Şeklinde tanımlanır. Benzer olarak bir -grup ve Δ Γ için Γ Δ bölüm -grubu tanımı verilebilir. c) {0} ve, yakın-halkasının idealleridir. Bunlara nin aşikar idealleri denir. Benzer şekilde {0 } ve Γ, yakın-halkasının Γ -grubunun aşikar idealleridir. d) ve iki yakın-halka ve h (, ) ise ç h = { h( )=0 } kümesine h homomorfizminin çekirdeği denir. Tanım Eğer yakın-halkasının, bir alt yakın-halkası için, ve şartları sağlanıyorsa ye yakın-halkasının bir invaryant alt yakınhalkası denir. Burada nin yönüne göre sağ yada sol invaryant alt yakın-halka adını alır. Önerme yakın-halka olsun. Bu durumda, a) dir, fakat olmak zorunda değildir. b) c, nin invaryant alt yakın-halkasıdır, fakat ne sol ne de sağ ideali olmak zorunda değildir.ispat : a) ₀ bir sol idealdir bunu gösterelim;, ve 0 olsun. ( + ₀ )0 = 0+ ₀0 0 =0 16

24 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER olup bu yüzden ( + ₀ ) ₀ dır. [( ( + ₀ ) ]0 = ( 0+ ₀0) 0 =0 olduğundan. ( + ₀ ) ₀ dır. Şimdi ₀ ın ideal olması gerekmediğini gösterelim; R reel sayılar kümesi, = (R) olsun. R ile de birim dönüşüm gösterilirse, R ₀ = (R) dır. 1 (R) dönüşümü, 1: R R (R) 1 olarak tanımlansın. Bu durumda, 1 =1 (R) olduğundan (R), (R) nin bir ideali değildir. b) nin invaryant alt yakın-halka olduğunu gösterelim. ve ( )0 = ( )0= 0= buda ve olduğunu gösterir. nin ne sağ nede sol ideal olmadığını gösterelim; (,+) nın genelde normal alt grubu değildir. Abelyen olmayan Γ grubunu alalım, Γ için + + olacak şekilde seçilsin. Şimdi dönüşümü, : Γ Γ (Γ) ile tanımlansın. (Γ) birim dönüşüm ise bu durumda, + (0) = olur fakat 17

25 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER + ( ) = + olduğundan bu nedenle Γ abelyen ise + (Γ) (Γ) normaldir. Önerme bir yakın-halka Γ bir -grup olsun. Bu durumda; a) b) = nin her sol ideali nin bir alt grubudur. c) = her Γ N İspat : a), için; = 0+ ) 0 olduğundan dir. b) :a dan açık. :{0} {0} N nin alt grubu 0={0} = c) Bunun ispatı da b) şıkkında olduğu gibidir. Tanım bir yakın-halka, Γ bir -grup, ve Γ nun herhangi iki alt kümesi olsun. Bu durumda, ( : ) = { } İle verilir. Γ için, kısalık açısından, ({ }: ) = ( : ) alınacaktır. (0 : Δ) = {0 } kümesine Δ Γ nin sıfırlayanı denir. Herhangi bir karışıklık içermeyen durumlarda, bu küme (0: Δ) ile gösterilecektir. Yakın-halkaların idealleri, ideallerin toplamları ve direkt toplamları ile ilgili bazı özellikler aşağıda verilmiştir. Teorem bir yakın-halka ve ( ) yakın-halkasının ideallerinin bir ailesi olsun. Bu durumda aşağıdaki kümeler birbirine denktir. 18

26 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER a) ların elemanlarını tüm sonlu toplamlarının kümesi b) Farklı ların tüm sonlu toplamlarının kümesi c) (,+ ) normal alt gruplarının toplamı d) (,+) grubunun tarafından üretilen alt grubu e) (,+) grubunun tarafından üretilen normal alt grubu f) nin tarafından üretilen ideali. Bu teoremin ispatı grup ve halka teorisindeki ispatın aynısıdır. Tanım Teorem da a) dan f) ye kadar olan kümelere ( ) ideallerinin toplamı denir. ile gösterilir. ( k={1,2,3, }, ) Teorem nun d), f) şartlarından aşağıdaki şonuç görülebilir. Sonuç bir yakın olsun. Bu durumda; a) yakın-halkasının ideallerinin toplamı yine nin idealidir. b) İdeallerin toplamı asosyatiflik ve değişme özelliklerini korur. Tanım bir yakın-halka ve ( ) yakın-halkasının idealleri olsun. Eğer 19

27 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER nın her bir elemanı, farklı yazılabiliyorsa elemanlarının bir sonlu toplamı olarak tek türlü olarak toplamına ideallerin bir iç direk toplamı denir. Belirli olması açısından bu toplam ile gösterilecektir. Önerme bir yakın olsun Bu durumda; nin ideallerinin her ( ) ailesi için aşağıdaki şartlar birbirine denktir. a) ların toplamı direktir. b) (, +) normal alt grupların toplamı direktir. c) için, ( ) ={0}, Önerme bir yakın, ( ) nin ideallerinin toplamı direkt olacak şekilde, bir ailesi olsun. Bu durumda,,,, ve ise; a) + = + b) ( + ) = c) = 0 d) = 0 ise. =0 dır. İspat : a) ve olduğundan bunlar aynı zamanda nin birer normal alt grubudur. Dolayısıyla ve için, + ve olduğundan, 20

28 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER dir. Benzer şekilde, ve olduğundan, dir. = {0} olduğundan, + + =0 ve buradan, + = + elde edilir. b) olduğundan, ve için, ( ) dir. olduğundan, Burada ve dir. Dolayısıyla, ( ) ( + ) dır. için = {0} olduğundan, ( + ) =0 ve buradan, ( + ) = elde edilir. c) ve için olduğundan, ve 0 dolayısıyla, 0 dir. olduğundan,0 ve için, 21

29 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (0+ ) 0 yani, 0 dir. Yine için = {0} olduğundan, = 0 elde edilir. Bu son ispattan d) şıkkının ispatı hemen görülebilir. Çünkü = ise 0=0 dır. Önerme bir yakın-halka ve olsun. Eğer için, = + şartı sağlanıyorsa idealine yakın-halkasının bir direkt toplananı denir. ye yakın-halkasında nın tamamlayıcısı denir. Teorem bir yakın-halka ve olsun. Eğer bir direk toplanan ise nın her bir ideali aynı zamanda yakın-halkasının bir idealidir. Not: Genelde bir yakın-halkasında iki -alt grubun toplamı yine bir -alt grup değildir. Fakat (Fain, 1968) aşağıdaki sonucu vermiştir. Önerme bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Eğer Δ, nun bir alt grubu ve, nun bir ideali ise bu durumda Δ +, nun bir alt grubudur. Yani Γ -grubunun bir -alt grubu ve bir idealin toplamı Γ nun bir -alt grubudur. İspat :,, için; ( + ) = ( + ) + + = + bir yakın-halkasında, her zaman = + olduğu daha önce teorem ile verilmişti. Aşağıdaki önerme aynı durumun yakın-halkaların sağ idealleri için de geçerli olduğunu göstermektedir. Önerme bir yakın-halka ve olsun. Bu durumda ; dir. = ( + ) = + = + 22

30 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER İspat : Teorem da için, = olacak şekilde ve vardır. olduğundan, = 0=( )0= 0 dolayısıyla ve idealinin elemanlarıdır. Bu ise = + olduğu gösterilmiş olur Reguler ve güçlü(strongly) reguler zayıf(s-weakly) reguler yakın-halkalar Tanım N için sayılar kümesini gösterir) k =0 ise ye nilpotent eleman denir. (N ile doğal Örnekler a) 2, Z [ ] de nilpotent elemandır. b) =0 ise nilpotenttir. Tanım eleman denir. N için k = eşitliğini sağlayan var ise ye idempotent Tanım C( )={ : için. = } ise (,. ) nın (center) merkezleğeni denir. Tanım bir yakın-halka olsu.,, olmak üzere =0 için =0 özelliği sağlanıyor ise ye (insertion-of-foctors-property ) özelliğine sahiptir denir. Önerme (Bell, 1970), (Heatherly, 1973), (Marin, 1971), ( Ramakotaiahrao, 1979 ), yakın-halkası nilpotent elemana sahip olmadan bir yakınhalkasıdır. İspat: için =0 ise = 0 =0 dır. Buradan ( ) =0 olup bu yüzden =0 dır. Şimdi; = ( ) = ( ) = 0 =0 23

31 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bundan dolayı, özelliğine sahiptir. Önerme (Bell 1970) bir yakın-halka, nilpotent elemanlara sahip değilse ; a) Her dağılma özelliğini sağlayan idempotent merkezleyendir. b) ise tüm idempotentler ( ) dedir. İspat : İlk olarak her idempotenti için için = olduğunu gösterelim. Şimdi; ( ) =0 önerme dan, ( ) =0 ve özelliğinden, ( ) =0 olup buradan; ( )( ) = ( )0 =0 dır. Bundan dolayı, ( ) = ( ) + ( )( ) =0 olup o halde =0 dır. a) Eğer, ise ( ) = + ( ) = =0 olup ( ) =0 buradan da ; = = dir. b) eğer 1 birim elemanına sahip ise ve yeniden bazı idempotentlerini düşünecek olursak. (1 ) =0 olduğundan dolayı 24

32 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (1 ) =0 olup, aynı zamanda ( ) = ve (1 ) =0 olduğundan dolayı ; ( ) = ( ) ( ) = ( )(1 ) =0 olup bundan dolayı; için; = = olur. Tanım bir yakın-halka ve için = = olacak şekilde bir varsa varsa ye sol reguler yakın-halka denir. Örnekler Aşağıdakiler reguler yakın-halkalardır. a) (Γ) ve (Γ) b) Sabit yakın-halkalar c) Yakın cisimlerin direk toplamı ve direk çarpımı d) (,+, ) herhangi bir grubu için (,+) ve = Bütün bunlardan aşağıdaki sonuçları yazabiliriz. a) Tanım deki ve birer idempotenttirler. ğ 0 0 ğ =0 b) Örnekler dan çıkartılabilir ki reguler yakın-halkaların abelyen olması gerekmemektedir. c) Reguler yakın-halkaların direk toplam ve direk çarpımlarının homomorfik görüntüleri de regulerdir. d) Örnekler nin a) şıkkından reguler yakın-halkaların alt yakın-halkaları genellikle reguler değildir. Teorem (Beidleman,1969), (Ligh, 1970), olsun. regulerdir = : = 25

33 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER İspat: : = olacak şekilde bir alalım. Yukarıdaki sonuçların a) şıkkından = ( )olur. : alalım. Daha sonra bazı idempotentleri için = dir. ve bazı ile = dir. Bundan hareketle, = ve bazı ler için = elde edilir. Buradan da = = = = yi elde ederiz ki bu da istenendir. Tanım için = 2 olacak şekilde bir varsa sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka denir. Burada sol reguler yakın-halka hem reguler hem de sol ğüçlü(strongly) reguler yakın-halkadır. (sağ güçlü(strongly) reguler yakın-halkada benzer şekilde tanımlanır) Teorem ve birimli reguler bir yakın-halka olsun aşağıdakiler bir birine denktir: a) = 0 ın sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur. b) nin bütün idempotent elemanları (central) merkezleyendir.. c) yakın cisimlerin alt direkt çarpımıdır. d) Birimli bir reguler yakın-halkanın idempotentleri merkezleyen olup her altgrup bir sol idealdir. Örnek (Γ ) ve reguler yakın-halka değildirler. µ 0 (Γ ) reguler yakın-halkadırlar fakat güçlü(strongly) Sonuçlar ( Beidleman, 1967 ), (Ligh, 1970), (Heatherly,1973), (Chao, 1975),( Marin, 1971 ) a) de sadece 1 ve 0 idempotentler ise birimli (1 0) reguler-yakın halkası bir yakın-cisimdir. Artan zincir kuralını (descending chain condition) kısaca DDC ile göstereceğiz. yakın-halkası için ideal kümeleri DDC koşulunu sağlıyorsa ye idealler için DDC koşulunu sağlar denir yada kısaca ye DDCI ya sahiptir denir. b) Bir reguler yakın-halka, DCCI ile tüm idempotentleri (central) merkezleyen ise bu yakın-halka yakın cisimlerin sonlu direk toplamlarına eşittir. 26

34 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER c) Birimli bir reguler yakın-halkanın tüm idempotentleri (central) merkezleyen ise bu yakın-halkada her -altgrup bir sol idealdir. d) Birimli bir reguler yakın-halka eğer tamlık bölgesi ise bir yakın cisimdir. Sonuç a) nilpotent elemanlara sahip değil ise indirgenebilirdir. b) Eğer nin tüm idempotent elemanları (central) merkezleyen ise ye unital denir. c), özelliğine sahip ise, için. =0 ise. =0 dır. Tanım bir yakın halka ve, alalım. İse ve ye sağ eşit çarpanlar denir. = Tanım bir yakın halka olsun. Eğer / 3 ve her = + ( ) eşitliği de bir tek çözümü varsa ye bir planar yakın-halka denir. Notasyon Eğer, = { 0 } ise ile \ yı göstereceğiz. Önerme (Anshel-Clay, 1968 ) Her planar yakın-halka sıfır simetriktir. İspat : alalım. olsun. O halde hem 0 hemde 0, = 0 +0 denkleminin çözümü olup 0=0 dır. Bu da istenendir. Önerme (Anshel-Clay, 1968 ) planar yakın-halka olsun. a) sağ sıfır bölen 0 b),, = İspat : a) Biz sadece =0 ( 0) olduğunu göstermeliyiz buradan 0 elde ederiz. Gerçekten 0 ise hem 0 hem de = 0+0 denkleminin çözümü olup bu bir çelişkidir. 27

35 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER b) Eğer ise = 0+ Bir tek çözüme sahiptir. Dolayısıyla bu da istenen olup ispat tamamlanır. Tanım için = olacak şekilde < 2 > var ise ye zayıf ( -weakly) reguler yakın-halka denir. 28

36 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER 3.MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER 3.1.Maksimal İdealler Tanım bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. nin(γ nın) aşikar olmayan ideali yoksa, ye (Γ ya) basitttir denir. Eğer Γ nın 0 ve Γ dışında -alt grubu yoksa Γ ya -basittir denir. {0} ideali bir yakın-halkasının tüm ideallerinin kümesinde daima minimal olduğundan aşağıdaki tanımlar halka teorisinde olduğu gibidir. Tanım bir yakın-halka olsun. nin tüm sıfırdan farklı ideallerinin kümesinde minimal olan ideale nin minimal ideali denir. Benzer olarak, minimal sağ ve sol ideal tanımları verilebilir. Bu tanımların dualleri maksimal ideal tanımlarıdır Asal İdealler Yakın-halkalar için ideal kavramı, birbirinden bağımsız olarak (Van der Walt,1964) ve (Ramakotaiah,1979) tarafından ilk olarak ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. bir yakın-halka ve, olsun.bu durumda;. = { ve } dır. doğal sayısı için tanımı benzer şekilde tanımlanabilir. bir yakın-halka ve, olsun. Bu taktirde, çarpımı bir ideal olmayabilir. Hatta bu çarpım (,+) grubunun bir alt yarı grubu dahi olmak zorunda değildir. Önerme (maxson, 1967) ve birer yakın-halka olsun. Bu durumda, a),, için ( ) = ( ) b) h: bir dönüşüm ve, için h( ) = h( )h( ) ve, için h ( ) h -1 ( ) h -1 ( ) c),, için ( + )( + ) = + 29

37 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER Tanım bir yakın-halka ve olsun. Eğer, için olması, veya olmasını gerektiriyorsa ye yakın-halkasının bir asal ideali denir. Notasyon: bir yakın-halka ve S için <S> ile S kümesi tarafından üretilen ideali göstereceğiz. Kısalık açısından, bir için ( { }) yerine < > gösterimi kullanılacaktır. Tanım nin herhangi bir alt kümesi için A( ) ile { :. =0 } kümesini göstereceğiz. Tanım için ya da ise nin idealine tamamen (completely) asal ideal denir. Tanım ideal denir. 2 için ise nin idealine yarı tam (semi completely) asal Tanım nin herhangi bir ideali için 2 dan ise nin idealine yarı asal ideal denir. Önerme (Wander Walt, 1964) yakın-halkasının bir ideali için aşağıdakiler birbirine denktir; a) bir asal idealdir b), için olması veya olmasını gerektirir. c), için ve ise < >< > dir. d), için ve ise P dir. e), için ve ise dir. İspat : a b : N asal ve, için (IJ) olsun. < > ve asal olduğundan tanım den veya dir. Dolayısıyla b a durumu da elde edilmiş olur. a e durumu da tanım den kolaylıkla elde edilebilir. a c : N asal ve < >< > olsun. Bu durumda asal olduğundan < > veya < > dir. Bundan dolayı veya dir. 30

38 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER c d : Kabul edelim ki c) sağlansın ve ve olacak şekilde, bulunsun \ ve \ alalım bu durumda < >< > olup dolayısıyla elde edilir. d e : Kabul edelim ki d) sağlansın ve, için ve olsun. \ ve \ alalım buradan < >+ ve < >+ olduğundan (< >+ )( < >+ ) dır. Bu yüzden ;, ve, için ( + )( + ) olup dahası ( + ) + + ( + ) dir. Fakat ( + ) ve ( + ) buradan da dır. Önerme bir yakın-halka ve ( ) kapsama altında tam sıralı olan nin asal ideallerinin bir ailesi olsun. Bu durumda. 31

39 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER İdeali nin bir asal idealdir. Burada bir indis kümesidir. İspat : sıralı olduğundan,, için bir ideal, ve nin birer ideali olsunsunlar. olduğundan için ise dır. için olur. Eğer < için ise dır dolayısıyla olacaktır ki bu bir çelişkidir. Bu yüzden için ve olur. Önerme bir yakın-halka, bir direkt toplanan ve bir asal ideal ise da asal idealdir. İspat :, olsun. (, ) için.. ve. bu yüzden, ya da dolayısıyla yada dır. 32

40 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER Önerme bir yakın halka,, ve eğer : = kanonik epimorfizm ise asaldır ( ) asaldır. İspat : Kabul edelim ki, asal ve (, ) için, ( ) olsun. J 1 : ( ), J 2 : ( ) önerme den.. = ( ). ( ) (. ) ( ) = + = dır. Buradan bir asal ideal olduğundan; ya da olup buradan da ; ya da = ( ) = ( ) ( ) dır. Bu da ( ) nin asal ideal olduğunu ispatlar. : Şimdi kabul edelim ki ( ) asal ve olsun. Bu durum da ( ). ( ) = (. ) ( ) olup ( ) bir asal ideal olduğundan, ( ) ( ) ya da ( ) ( ) dır. Dolayısıyla + = ( ) ( ) = + = ya da dır. Bu da bize nin bir asal ideal olduğunu gösterir. Tanım bir yakın-halka olsun. Eğer nin sıfır ideali asal ise ye bir asal yakın-halka denir. Örnek a)her tamlık bölgesi yakın-halkası bir asal yakın-halkadır. 33

41 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER. {0 } ve {0}, {0} olup bu bize bazı, için. =0 olmasını garanti eder. b), nin bir asal idealıysa {0} bir asal halkadır. Örnek bir yakın-halka olsun. Eğer = ise (,+) nın her normal alt grubu bir asal idealdir. O halde her sabit yakın-halka bir asal yakın-halkadır. Önerme bir yakın-halka olsun. Eğer bir basit yakın-halka ise, ye bir asal yakın-halka ya da bir sıfır yakın-halka denir. İspat : Eğer bir basit yakın-halka ise, sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. O halde asal ideallik tanımından, {0} = {0}, {0}{0} = {0}, {0} ={0} veya ={0} durumları olabilir. Buradan ya {0} bir asal ideal ya da ={0} olduğu görülür. Önerme nın ideali için bir asal halkaysa ya asal ideal denir. İspat : önerme da = alınırsa sonuçelde edilir. Tanım ç ise (,+) nın alt grubuna alt grup denir. Tanım için den =,, nin altgrubu olacak şekilde bir, alt grubu var ise nin sağ ideali minimal strict genişleme özelliğine sahiptir denir. Tanım nin bir öz alt sağ ideali altgrup olarak maksimal ise bu öz alt sağ ideale strictly maksimal idaeal denir. Tanım , için ( ), ( ) : 1. 1 ise ye bir denir Örnek a) ve aşikar lerdirler. b) için {, 2, 3, } bir dir Sonuç nin ideali için, \ bir ise, nin bir asal idealidir. 34

42 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER Önerme ( Van der Walt, 1964), (Ramakotaiah, 1979 ), de bir ve nin ideali ile = ise yı içeren ideali için = dır. İspat : I = { : = }. I. Zorn lemmasından I, gibi bir maksimal elemanını içerir. bir idealdir. gerçekten bir asal idealdir: Eğer ise bazı ve için ve olup bu yüzden ; : ( ) =, ( ) 35

43 3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER 36

44 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ 4. ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ Bu bölümde asal ideallerin maksimal ideal olmak zorunda olmadığı ancak reguler, güçlü(strongly) reguler ve zayıf(a-weakly) reguler halkalardaki asal ideallerin maksimal ideal oldukları gösterilmiştir Regulerlik Lemma a) Eğer sol yada sağ güçlü(strongly) regular yakın-halka ise indirgenebilirdir. b) Sıfır simetrik yakın-halkalarda. =0. =0 ve sağlanır. İspat : a) sağ güçlü(strongly) yakın-halka için ; = ². =0. olup ²=0 =0 dır. O halde sağ güçlü(strongly) yakın-halka için indirgenebilirdir. Sol güçlü(strongly) yakın-halka için ; Eğer ²=0 ve = ²=.0 ise 0= ²=(.0) = (0 )=.0= olup. Bu sol güçlü(strongly) yakın-halka için de gösterir. nin indirgenebilir olduğunu 37

45 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ b) Lemma in a) şıkkından kolayca görülür. Lemma ile bir sol reguler yakın-halka sağ reguler yakın-halkadır. İspat : sol reguler yakın-halka tanımından ; = ²= ( ) =0 özelliğini göz önüne alırsak ( ) =0 ya da = ² buradan = = ² bu yüzden = = ² ² olup burada = ² olarak seçilirse = ² olur ki bu da = ² ² = = olmasını gerektirir ki bu da istenendir. Hatırlatmalar Eğer sol ve sağ strongly reguler yakın-halka ise 0, = ²= ² ise halka teoriden farklı olarak nin dan farklı seçilmesine gerek yoktur. Buna rağmen nin sağ ve sol reguler olmasında nin ya eşit seçilmesin de iki durum söz konusudur; sıfır simetrik ve unital ya da sıfır bölene sahip değildir. Gerçekten eğer sıfır bölene sahip değil ve sol strongly reguler ise = ² den ( ) = ³ ² ²= ³ ³=0 38

46 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ olup buda ² 0 ve = ² olmasını gerektirir. Önerme Eğer sıfır simetrik ise sol regulerlik sol güçlü(strongly) regulerlik ile çakışıktır. Buradan sağ regulerlikte elde edilir. Buradan başka eğer unital ise bu üç şart birbirine eşittir. İspat : Eğer sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka ise her için = ² olacak şekilde bir vardır. Buradan hareketle ( ) = ² ²= ² ²=0 olup lemma den ( ) =0 ( )² = ( ) ( ) =0 olup indirgenebilirdir buradan da sol regulerdir, Lemma den de sağ regulerdir. Dahası eğer unital ve = ² = ise ve idempotentirler ( önerme ) dan bunlar central olup bu yüzden = ² dir. Sonuç yakın-halkası ile unital ise aşağıdakiler birbirine denktir. a) Reguler b) Sağ reguler c) Sol reguler d) Sol güçlü(strongly) reguler İspat : a b : = den (1 ) =0 dır. özelliğinden = ² olur o halde = = ²( ) önermeye dayanarak eğer, ile unital ise 1.0=0 dan 1 0=0 dır. Her için 0=0 olup bu yüzden sıfır simetriktir. (Pilz.1983) ın tanımını (Pilz.1983) de aşağıdaki gibi vermiştir; 39

47 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ ( ) >1 n(x) = ise, özelliğine sahiptir.( n= ( ) alınırsa n = ) Bu yakın halka açık olarak hem sağ hem sol güçlü(strongly) reguler yakın-halkadır. Tanım Eğer sonlu sıfır simetrik sol (yada sağ) güçlü(strongly) reguler yakın halka ise özelliğine sahiptir. Eğer ve, ın elemanı ise ye özelliğine sahiptir denir. (Pilz,1983) Eğer sıfırdan başka nilpotent elemana sahip olmayan sonlu bir yakın halka ise, özelliğine sahiptir. (Pilz, 1983) önermesinden dolayı sağ (yada sol ) (güçlü(strongly)) regulerdir. Eğer peryodik yakın halkalardan sonuç çıkaracak olursak halkanın sıfır simetrik olmasına gerek yoktur., ile = ise ye peryodik yakın-halka denir. Önerme Bir peryodik sol (sağ) strongly reguler yakın-halka özelliğine sahiptir. İspat : Her için = ² olacak şekilde bir vardır. Her > için = olsun. Şimdi peryodik olduğundan bazı minimal elemanları için = dir. Bazı ler için ( gerçekten > +1 dir aksi taktirde = çelişkisi elde edilir ki buda nin minimal olması ile çelişir.) Şimdi > 1 ise 2 +1>0 olup o halde = = den = = = benzer şekilde < 1 den 0<2 1 olup bu yüzden = = = = 40

48 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ olmasını gerektirir. Örnek Eğer bir planar yakın halka ise sıfır simetrik ve her için =0 olup bazı ler için de =0 dır. ( önerme ve önerme ) Buradan eğer herhangi bir sağ sıfır bölene sahip ise ne reguler de sol güçlü(strongly) reguler dir. Öte yandan bir integral ise ( b) den 0 ve için ile =, özellikle = ² olarak seçilirse sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka olur ve önerme bu yakın halkadan da elde edilebilir Sıfır simetrik üniter durum Eğer tüm nilpotent elemanlar merkezleyen (central) ise ye C.N özelliğine sahiptir denir. Eğer tüm idempotent elemanlar merkezleyen (central) ise ye C.I özelliğine sahiptir denir. Eğer, CI özelliği ile reguler ise sağ ve sol regulerdir. Bundan sonraki aşamada yi sıfır simetrik yakın-halka olarak alacağız. Lemma 4.2.1, CN özelliğine sahip olsun ; a). =0 ise, ve her için merkezleğen (central) dır. b) Eğer bir idempotent ve. =0 ise her için =0 dır. İspat : a) Eğer. =0 ise =0 dır Bu yüzden merkezleyen olup benzer şekilde her için da merkezleyendir. b) Eğer. =0 ise a) dan de merkezleyen. ile hesaplanırsa = =0 olur. b) şıkkının bir genel sonucu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. Önerme Eğer bütün idempotentleri için ve her için CN özelliğine sahip ise 41

49 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ a) merkezleğendir. b) Her dağılma özelliğine sahip idempotent merkezleyendir. c) ² =( )² d) Eğer unital ise = dir. İspat : a) ( ) =0 Lemma (b) den her için ( ) =0 dır. ( ) = ( ) ( ) =0 Olduğundan merkezleyendir. b) Eğer e dağılma özelliğine sahip ise ( ) = ( eğer dağılma özelliğine sahip ise ( ) = dir) ve a) yı kullanırsak ( ) merkezleğendir. Şimdi ile hesaplama yapılırsa ifadenin sıfıra eşit olduğu görülür ki buradan da = dir. c) Lemma (b) ile ( ) =0 dan ( ) =0 dır. [( ) ] =0 olup bu da ( ) nin merkezleğen olduğunu gösterir. Şimdi ile hesaplama yapılırsa ifadenin sıfıra eşit olduğu görülür ki buradan da 42

50 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ ² =( )² dir. d) ünital olduğundan ²= olup buradan (1 ) =0 dır. Lemma dan (1 ) =0 ise her için (1 ) mekezleğendir. Bu ifade ile hesaplanırsa sıfıra eşit olduğu görülür. Sonuç Eğer indirgenebilir ve uniter ise CI özelline sahiptir. İspat : Önerme nin a) şıkkının ispatından nin nilpotent olduğunu görebiliriz. Bu yüzden indirgenebilir olup buradan da = dir. Ayrıca önerme nin d) şıkkından da = olduğu görülebilir. Teorem ve Lemma te üniter ve her -modül uniter olarak kabul edilecektir. Teorem Bir sol güçlü(strongly) reguler yakın halka sol ve sağ regulerdir. Her birimli, sol -alt grubu bir idempotent tarafından doğrulmuştur ve her sol -alt grup iki taraflı idealdir. Dahası (,+) abelyen ve yakın cisimlerin alt direk toplamına izomorftur. İspat : Birinci durum sonuç ten elde edilir. Teorem den Her birimli sol -alt grubunun bir idempotent tarafından doğrulduğunu görebiliriz. -alt grubunun iki yönlü ideal olduğunu göstermeye çalışalım Teorem in d) şıkkından her -alt grubun bir sol ideal olduğunu biliyoruz. Sağ ideal olduğunu göstermek için de nin S gibi bir -alt grubunu göz önüne alalım o halde S, nin bir sol idealidir. S ve ise bazı idempotentleri için = olup buradan da = dir. Şimdi merkezleğen olduğundan = = = (,+) abelyendir çünkü nin elemanları idempotentir. nin yakın cisimlerin alt direkt toplamına eşit oluğunu Teorem c )den görebiliriz. 43

51 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ Lemma Eğer sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka ise her asal ideal maksimal idealdir. İspat : bir asal ideal ve bir maksimal ideali için olsun. Şimdi \ alalım. Buradan 0= = (1 ) Olup bazı elemanları için tamamen asal ideal olduğundan 1 olup buradan da olduğundan 1 olur ki bu bir çelişkidir. Buda = olmasını gerektirir ki bir maksimal idealdir. güçlü(strongly) reguler yakın halkanın bir genellemesi Lemma Herhangi 0 için indirgenebilir bir yakın-halka ise a) A(a) bir yarı tamamen asal idealdir. b) /A(a) indirgenebilir ve, nın mod A(a) idealine göre kalan sınıfı sıfır bölen değildir. c) Herhangi,,, için. =0 dan < >.< > < >= 0 dır. İspat : a), ye sahip ve A(a) bir ideal olsun. Varsayalım ki ² A(a) olsun. O halde 0= = ( ) = olup bu yüzden ( ) =0 dır. Bu ise asal idealdir. =0 ve buradan da A(a) bir yarı tamamen b) A(a) bir yarı tamamen asal ideal olduğundan /A(a) indirgenebilirdir. = 0 olacak şekilde bir olduğunu varsayalım o halde =0 ve buradan A(a) dır. Bu durumda ( )² = =0 olduğundan =0 ve buradan da =0 dır. 44

52 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ c) Bazı ise,,, için ise. =0 olduğunu varsayalım. indirgenebilir, nin bir S alt kümesi için A(s) bir ideal A( ) ise < > A( ) olup bu yüzden < >. =0 olup buradan da < >= 0 dır. A( < >) ise < > A( < >) olup bu yüzden < > < >= 0 olup buradan da < >< >= 0 dır. Bu şekilde devam edilirse < >.< > < >= 0 elde edilir. Teorem indirgenebilir bir yakın halka olsun. Eğer boştan farklı bir m- system ve nin bir alt kümesi ise 0 olup, nin tamamen asal ideali için = ф dir. İspat : bir maksimal m-system ve 0 olsun Zorn Lemması kullanılarak elde edilebilir ve açık olarak dır. Önerme den = ф olacak şekilde asal ideali vardır. Buradan \ olup Önerme den \ bir m-systemdir. nun maksimalliğinden olup buradan \ = dir. Kolaylıkla doğrulanabilir ki, nin bir minimal idealidir. Şimdi nin tamamen asal ideal olduğunu göstermeye çalışalım., tarafından doğrulan nin bir çarpımsal alt yarı grubu olsun. Buradan biz 0 sonucunu çıkarabiliriz. Eğer,,, değil ise. =0 dır. Lemma dan < >.< > < >= 0 dir. Bu ise olması bizim varsayımımız ile çelişir. ={ : =ф olacak şekilde nin bir ideali } olsun. boştan farklı olmak üzere Zorn lemmasından nın kapsadığı bir maksimal elemana diyelim. nun asal olduğunu varsayalım. ve idealleri için ve ise ve olur. Buradan da ve < >< > olup bu da < > =ф olmasını gerektirir ki bu da < > ve dır. Önerme den asaldır. \ dır. minimal asal ideal olduğundan = \ = olup Buradan da bir yarı-grup ve tamamen asal idealdir. 45

53 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ Sonuç indirgenebilir bir yakın halka olsun. Eğer boştan farklı nin bir çarpımsal alt yarı-grubu ve 0 ise =ф olacak şekilde nin bir tamamen asal ideali vardır. İspat : Her çarpımsal grup bir m-system olduğundan sonuç açıktır. Şimdi asal ideal olup ta maksimal ideal olan başka bir ideal çeşidine gösterelim. Teorem Birimli bir yakın halkası için aşağıdakiler birbirine denktir. a) bir s-weakly reguler b) indirgenebilir ve her özalt asal ideal maksimaldır c) indirgenebilir ve her özalt tamamen asal ideal maksimaldır. İspat : a b : için =0 olduğunu varsayalım bazı < > =0 için = dır. Bu yüzden =0 dır. Bu da her için =0 ise =0 olduğunu gösterir ki indirgenebilirdir. Şimdi bir öz alt ideal olsun ve nin maksimal ideali tarafından içerildiğini varsayalım. Eğer \ ise bazı < > için = olacaktır. O halde bazı için = olup buradan ( ) =0 dır. Lemma den < >< >= 0 dir. P bir asal ideal ve olduğundan dır. Buradan da < > olduğundan olup bu yüzden dir. Bu ise = olmasını gerektirir ki bu bir çelişkidir. b c : açık c a : 0 olsun. Lemma den = ( ) indirgenebilir ve bir sıfır bölen değildir. nün her öz alt tamamen asal ideali de maksimal idealdir. 46

54 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ Şimdi ;, < a 2 > gibi tüm elemanlar tarafından doğrulmuş çarpımsal yarı grup olsun. 0 olduğunu varsayalım. Eğer sonuç dan = olacak şekilde tamamen asal ideal değilse: varsayalım ki < > ise olup buradan dir. buradan herhangi bir < > için olur ki bu bir çelişkidir. Varsayalım ki < > olsun buradan maksimal + < > =. Buradan da bazı ve < > için 1 = + dır. Bu yüzden 1 = ve buradan = bir çelişkidir. Buradan 0 Şimdi 0 = ( ) ( ) den < > dır. Buradan da indirgenebilir ve sıfır bölen olmayıp (1 ) ( 1 ) ( 1 ) =0 dır. Kendiliğinden görülür ki bazı < > için 1 = dır. O halde bazı < > için (1 ) A(a) olup buradan da = dır. Sonuç Birimli bir A halkası için aşağıdakiler birbirine denktir. a) A bir s-weakly reguler b) A indirgenebilir ve her özalt asal ideal maksimaldır c) A indirgenebilir ve her özalt tamamen asal ideal maksimaldır Strictly maksimal ideal Lemma bir yakın halka olsun. nin tamamen asal sağ her ideali minimal strict extencion özelliğine sahiptir ve nin bir strictly maksimal idealidir. İspat : Tamamen sağ asal ideali minimal strict extencion özelliğine sahiptir. Buradan nin -alt grubu için dur. Her \ için dir. Buradan + ve buradan da = + olur. Uygun ve için = + yi elde edebiliriz. O halde için = ( + ) + 47

55 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ ve bu yüzden ( ) = ( + ) den P bir sağ ideal olup fakat, den dolayı ve = olmasını gerektirir ki bu da bize nin strictly maksimal olduğunu gösterir. Örnekler. Örnek 1.: M = {0,1,2,3} aşağıdaki ikili işlemle tanımlı bir yakın halka olsun {0}, {0,2} ve M birer ideal olup bunları hepsi idempotentir. Fakat M reguler değildir çünkü her m M için 3m3=0 dır. 48

56 ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ M yakın halkası-reguler yakın halka olmadığında bu halkanın asal idealler maksimal ideal değildirler. Örnek 2 : V = {0,1,2,3} aşağıdaki ikili işlemle tanımlı bir yakın halka olsun V reguler olup sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur.q 1 ={ 0, 1 }, Q 2 ={ 0,2 } birer asal idealdirler. V reguler yakın-halka olduğundan bu asal idealler aynı zaman da maksimal asal idealdirler. 49

57 KAYNAKLAR ANSHEL, M., CLAY,J.R., Planarityin Agebraic Systems. Bull. Amer. Math. Soc, 74: ATAGÜN, A.O., Yakın-halkalarda Özel Asal İdeallerin Karekterizasyonu ve İnşası Üzerine. Erciyes Ünv. Fen Bilimleri Ens., Kayseri, Doktora Tezi. BEIDLEMAN, J.C, Strictly Prime Distributively Generated Near-rings. Math 2 (100): , A Note on Reguler Near-rings. J. Indian Math.Soc, 33: BELL, H.E., Near-rings in Which Each Element is a Power of İtself. Bull. Austral. Math. Soc., 2: BİRKENMEİER,G.F.,GROENEWALD,N.J., Near-Rings in which each prime factor is simple, Mathematica Pannonica,10/2, BOOTH, G.L.,GR0ENEWALD, N.J., On strongly Prime Near-rings. Indian J. Math. 40 no.2 : CHAO, D.Z., Near-rings Without Non-zero Nilpotent Elements. Math. Japan, 21: DAŜIĆ, V., On a Decomposition of Near-rings in a Subdirect Sum of Nearfields. Publication De L ınstıtut Mathématıque. 41(55): DHEENA, P., A Generalization of Strongly Reguler Near-rings. Indian J. Pure. Appl. Math. 20(1): DHEENA, P., SIVAKUMAR, D., On Strongly 0-Prime İdeals in Near-rings. Bull. Maaysian Math. Sc. Soc. 27: DİCKSON, L.E., Definations of a Group and a Field by İndependent Postulates. Trans. Amer. Math. Soc. 6: FAİN, C.G., Some Structure Theorems for Near-rings. University of Oklahoma. Doctoral Dissertation. HEATHERLY, H.E., Near-rings Without Nilpotent elements. Publ. Math. Debrecen, 20: