NÜMERİK METOTLARLA SKALER DALGA MODELLEMESİ

Transkript

1 T.C. PAMUKKALE ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ ÜMERİK METOTLARLA SKALER DALGA MODELLEMESİ Tmr KOPARA Yüksek Lsans Tez DEİZLİ-5

2 ÜMERİK METOTLARLA SKALER DALGA MODELLEMESİ Pamkkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez Matematk Anablm Dalı Tmr KOPARA Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mrat SARI Temmz, 5 DEİZLİ

3 YÜKSEK LİSAS TEZİ OAY FORMU Tmr KOPARA tarafından Yrd. Doç. Dr. Mrat SARI yönetmnde hazırlanan ümerk Metotlarla Skaler Dalga Modellemes başlıklı tez tarafımızdan oknmş, kapsamı ve ntelğ açısından br Yüksek Lsans tez olarak kabl edlmştr. Prof. Dr. İdrs DAĞ Jür Başkanı Yrd. Doç. Dr. Uğr YÜCEL Jür Üyes Yrd. Doç. Dr. Mrat Sarı Jür Üyes (Danışman) Pamkkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yönetm Krl nn / /. tarh ve sayılı kararıyla onaylanmıştır. Prof. Dr. Mehmet Al SARIGÖL Müdür

4 B tezn tasarımı, hazırlanması, yürütülmes, araştırmalarının yapılması ve blglarının analzlernde blmsel etğe ve akademk krallara özenle rayet edldğn; b çalışmanın doğrdan brncl ürünü olmayan blgların, verlern ve materyallern blmsel etğe ygn olarak kaynak gösterldğn ve alıntı yapılan çalışmalara atfedldğn beyan ederm. Öğrenc Adı Soyadı: Tmr KOPARA İmza:

5 TEŞEKKÜR Yüksek lsans tezmn danışmanlığını üstlenerek, tez çalışmalarımın yürütülmes ve başarıyla tamamlanması esnasında lgsn ve yardımını esrgemeyen, yol gösteren değerl danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Mrat SARI ya, Karadenz Teknk Ünverstes Jeofzk Bölümü Öğretm üyes, Yrd. Doç. Dr. Ysf BAYRAK hocama, çalışmalarım boynca bana vermş oldkları destekten dolayı saygı ve şükranlarımı snarım. Ayrıca manev desteğn hçbr zaman esrgemeyen sevgl eşm Arş. Gör. Ezg TAYLA KOPARA a, en çten teşekkürlerm snarım. Tmr KOPARA

6 v ÖZ ümerk yöntemler kllanılarak dalga modellemes konsnda yıllardan ber süregelen çalışmalar, blgsayarların gelşmesyle çok daha ler sevyelere taşınmıştır. B çalışmada, br yapay kaynaktan yayılan dalgaların değşk ortamlarda nasıl davrandığı matematksel olarak ncelenmştr. Bnn çn önce br, k ve üç boytl skaler dalga denklemler çalışıldı. Daha sonra sonl farklar metodna dayalı olarak çeştl yapılar çn, söz kons dalga denklemlernn kararlı çözümler elde edld. Farklı kaynak fonksyonları karşılaştırılarak, problemlermzde kllanılacak ygn kaynak fonksyon belrlenmştr. Başlangıçta ortamı çok karmaşık yapmamak çn, ortamın elastk, homojen ve zotrop oldğ varsayılmış, daha sonra k ve üç boytl tabakalı ortamlarda dalga yayılımı ncelenmştr. Yapılan modellemelerde Drchlet ve soğran sınır şartları ayrı ayrı yglanarak, anlık enerj yayılımlarını gösteren fotoğraflar ve yapay ssmogram grafkler elde edlmştr. B çalışma le, ayrıca, değşk ortamlarda yapay olarak üretlen dalgaların yayılma, yansıma ve kırılma olaylarının herhang br zamanda zlenebldğ görülmüştür. Bnn yanı sıra ayrımlılık ve grd dspersyonnn sonçlara etks çeştl yglamalarla ortaya konmştr. FORTRA dlnde yazılmış program kodları le elde edlen nümerk çözümler, GRAPHER, MATLAB ve MATHCAD programlarının kllanılmasıyla, farklı drmlar çn yapay ssmogramlar olarak ortaya konmştr. Sonl farklar yöntem le elde edlen sonçlar, daha önceden sonl farklar ve sınır elemanları yöntem le elde edlmş sonçlarla karşılaştırılmıştır. Bnn soncnda aynı geometrye sahp yapılar çn farklı yöntemlerle elde edlen ssmogramların brbryle kanttatf/kaltatf br ym çnde oldğ görülmüştür. Anahtar kelmeler: Skaler Dalga Denklem, Matematksel Modelleme, Sonl Farklar Metod, Anlık Enerj Yayılımı, Yapay Ssmogram Prof. Dr. İdrs DAĞ Yrd. Doç. Dr. Mrat SARI Yrd. Doç. Dr. Uğr YÜCEL

7 v ABSTRACT The stdes have been cared ot on the nmercal wave modelng wth the se of compters blt on advanced technology ncreased very mch. In ths stdy, t s analyzed mathematcally that how the waves orgnated from a synthetc sorce behave throgh dfferent envronments. To acheve ths; frst one-, twoand three- dmentonal wave eqatons were stded. Then stable soltons of the correspondng eqatons were obtaned. Dfferent sorce fnctons are chosen to se for or problems. For the sake of smplcty; the medm s frstly assmed to be elastc, homogeneos and sotropc. Then the wave propagaton s analyzed n two- and threelayered meda. To obtan or reslts, Drchlet and transparent bondary condtons are consdered here. In terms of the reslts; snap-shots and synthetc sesmograms were presented. Wth ths work; reflecton, dfracton and propagaton of the waves prodced synthetcaly n varos envronments are seen to be follewed at any tme. In the meantme, the effects of dstngshablty and grd dsperson on the reslts are dscssed n dfferent aplcatons. mercal soltons obtaned from the program codes wth FORTRA are presented as synthetc sesmograms obtaned from dfferent methods for the strctre havng the same geometry are qaltatvely/qanttavely consstent wth each other. Key Words: Scalar Wave Eqatons, Mathematcal Modelng, Fnte Dfference Technqes, Snap-Shot Energy Propagaton, Synthetc Sesmogram Prof. Dr. İdrs DAĞ Asst. Prof. Dr. Mrat SARI Asst. Prof. Dr. Uğr YÜCEL

8 v İÇİDEKİLER Sayfa İçndekler.v Şekller Dzn v Smgeler ve Kısaltmalar Dzn......x 1.GİRİŞ Dalga Yayılımında Bazı Temel Kavramlar Hareket Dalga Hareket Elastste Elastste Teors Gerlme(Stress) Deformasyon (Stran) Hooke Kann Tabakalı Ortamlarda Dalga Yayılımı Ssmoloj ve Ssmogram Boyna Dalgalar (P Dalgaları) Enne Dalgalar (S Dalgaları) Dalga Denklemlernn Çıkarılması Br Boytl Skaler Dalga Denklem İk ve Üç Boytl Skaler Dalga Denklem Sonçlar DALGA DEKLEMLERİİ SAYISAL ÇÖZÜMÜ....1 Sonl Farklar Metod Sonl Farklar Metodnda Kllanılan Yaklaşımların Çıkarılması İler Yön, Ger Yön ve Merkez Fark Türevlernn Karşılaştırılması.. 5. Br Boytl Dalga Denklemnn SFM le Çözümü İk Boytl Dalga Denklemnn SFM le Çözümü Üç Boytl Dalga Denklemnn SFM le Çözümü Sonçlar..3

9 v 3. KAYAK FOKSİYOLARI VE AYRIMLILIK Kaynak Fonksyonları Gabor, Rcker, Gassan ve Berlage Kaynak Fonksyonları çn Sonçlar Ayrımlılık Ayrımlılığın Modellenmes Sonçlar DALGA DEKLEMLERİİ SAYISAL ÇÖZÜM ŞARTLARI Sınır Şartları Br Boytl Dalga Denklemnn Çözümünde Kllanılan Sınır Şartları İk Boytl Dalga Denklemnn Çözümünde Kllanılan Sınır Şartları Üç Boytl Dalga Denklemnn Çözümünde Kllanılan Sınır Şartları Kararlılık Şartı Br Boytl Drm İçn Kararlılık Şartı İk Boytl Drm İçn Kararlılık Şartı Üç Boytl Drm İçn Kararlılık Şartı Grd dspersyon Sonçlar UYGULAMALAR Sınır Koşllarının Etks İk Tabakalı Ortamda Kırılan ve Yansıyan Dalgalar Grd Dspersyon Etks İk Boytl Uyglamalar Üç Boytl Uyglamalar Sonçlar SOUÇ VE ÖERİLER...84 KAYAKLAR...86 ÖZGEÇMİŞ...87

10 v ŞEKİLLER DİZİİ Sayfa Şekl 1.1: Düz ve ters problem çözümünün şematk olarak gösterm 1 Şekl 1.: Jeofzkte düz problem çözümü... Şekl 1.3: Jeolojk model Şekl 1.4: Brm alana düşen kvvetn fzksel gösterm... 8 Şekl 1.5: Gerlme tensörü bleşenler..9 Şekl 1.6: Gerlme ve deformasyon arasındak lşk...11 Şekl 1.7: Kırılan ve yansıyan dalga yolları...13 Şekl 1.8: Br Ssmogram Şekl 1.9: P dalgası (Boyna Dalga)...15 Şekl 1.1: S Dalgası (Enne Dalga) Şekl 1.11: SV bleşen. 16 Şekl 1.1: SH bleşen...16 Şekl 1.13: Br scm üzernde dalga hareket...17 Şekl 1.14: x 3 yönündek boyna normal gerlmeler.. 19 Şekl.1: Sonl fark yöntemnde kllanılan grd ağı... 6 Şekl.: İk boytl skaler dalga denklemnn çözümünde kllanılan grd ağı..8 Şekl.3: İk boytl skaler dalga denklemnn çözümünde kllanılan sınırlar...8 Şekl.4: Üç boytl skaler dalga denklemnn çözümünde kllanılan grd ağı..3 Şekl.5: Üç boytl skaler dalga denklemnn çözümünde kllanılan sınırlar...3 Şekl 3.1: Merkez frekansı 1, 5, 8 Hz olan Gabor kaynak fonksyonnn zaman ve frekans ortamında görünümü...34 Şekl 3.: Merkez frekansı 1, 5, 8 Hz olan Rcker kaynak fonksyonnn zaman ve frekans ortamında görünümü...35 Şekl 3.3: Merkez frekansı 1, 5, 8 Hz olan Gassan kaynak fonksyonnn zaman ve frekans ortamında görünümü Şekl 3.4: Merkez frekansı 1, 5, 8 Hz olan Berlage kaynak fonksyonnn zaman ve frekans ortamında görünümü Şekl 3.5: Merkez frekansı 3 Hz ve τ = 1,,3, 4 değerler çn elde edlmş olan Gabor kaynak fonksyonnn zaman ve frekans ortamındak görünümü...38

11 x Şekl 3.6: Merkez frekansı 3 Hz olan Gabor, Rcker, Gassan ve Berlage kaynak fonksyonlarının zaman ve frekans ortamında karşılaştırılması...38 Şekl 3.7: Üç tabakalı yapının görünümü Şekl 3.8: Şekl 3.7 de verlen model çn, 1 f p = 3Hz ve ara tabaka kalınlığı 4 değernden küçük oldğnda elde edlen anlık enerj yayılımları 4 Şekl 3.9: Şekl 3.7 de verlen model çn, 1 f p = 3Hz ve ara tabaka kalınlığı 4 değernden büyük oldğnda elde edlen anlık enerj yayılımları...41 Şekl 4.1: İk boytl modelde Drchlet ve transparent sınır koşllarının geometrs...46 c t Şekl 4.: Br boytl skaler dalga modellemesnde λ = değernn sstemn h kararlılığındak etks...49 Şekl 5.1: İk boytl homojen yeraltı model...53 Şekl 5.: Şekl 5.1 de verlen k boytl homojen modelde Drchlet sınır şartları kllanılarak elde edlen anlık enerj yayılımları Şekl 5.3: Şekl 5.1 de verlen k boytl homojen modelde soğran sınır koşlları kllanılarak elde edlen anlık enerj yayılımları...57 Şekl 5.4: Şekl 5.1 de verlen model çn Drchlet sınır koşlları kllanılarak SFM le elde edlen ssmogram...58 Şekl 5.5: Şekl 5.1 de verlen model çn soğran sınır koşlları kllanılarak elde SFM le edlen ssmogram..58 Şekl 5.6: İk boytl k tabakalı yeraltı model Şekl 5.7: Şekl 5.6 da verlen k tabakalı yapı çn çeştl zamanlarda elde edlen anlık enerj yayılımları...6 Şekl 5.8: Merkez frekansı 15, 4, 5, 75 Hz alınarak, aynı zaman adımında elde edlen anlık enerj yayılımları...61 Şekl 5.9: Merkez frekansı 15, 4, 5, 75 Hz alınarak, (,4) noktasında elde edlen ssmogramlar.. 6 Şekl 5.1: Merkez frekansı 15, 4, 5, 75 Hz alınarak, elde edlen ssmogramların görünümü..63 Şekl 5.11: İk boytl homojen modelde kaynağın ve alıcıların yer. 64 Şekl 5.1: Şekl 5.11 de verlen k boytl homojen model çn SFM le ve soğran sınır şartı kllanılarak elde edlen ssmogram...65

12 x Şekl 5.13: Şekl 5.11 de verlen model çn Reynolds ın SFM le soğran sınır şartı kllanarak elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.14: Şekl 5.11 de verlen model çn Sarı nın SIEM le elde ettğ yapay ssmogram. 66 Şekl 5.15: Şekl 5.11 de verlen model çn SFM le Drchlet sınır şartı kllanılarak elde edlen yapay ssmogram 66 Şekl 5.16: Şekl 5.11 de verlen model çn Reynolds ın SFM le Drchlet sınır şartı kllanılarak elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.17: Şekl 5.11 de verlen model çn Demr n SFM le kt kaynak ve Drchlet sınır şartı kllanarak elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.18: Şekl 5.11 de verlen model çn Sarı nın SIEM le Drchlet sınır şartını kllanarak elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.19: İk boytl k tabakalı modelde kaynağın ve alıcıların yer...69 Şekl 5.: Şekl 5.18 de verlen model çn SFM le soğran sınır şartı kllanılarak elde edlen yapay ssmogram Şekl 5.1: Şekl 5.18 de verlen k boytl k tabakalı model çn Reynolds ın SFM le soğran sınır şartı kllanarak elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.: Şekl 5.18 de verlen model çn Sarı nın SIEM le elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.3: Şekl 5.18 de verlen model çn SFM le Drchlet sınır şartı kllanılarak elde edlen yapay ssmogram Şekl 5.4: Şekl 5.17 de verlen model çn Reynolds ın SFM le Drchlet sınır şartı kllanarak elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.5: İk boytl üç tabakalı modelde kaynağın ve alıcıların yer Şekl 5.6: Şekl 5.5 de verlen model çn SFM le Drchlet sınır şartı kllanılarak elde edlen yapay ssmogram Şekl 5.7: Şekl 5.5 de verlen model çn Sarı nın SIEM le elde ettğ yapay ssmogram Şekl 5.8: Üç boytl homojen modelde kaynağın ve alıcıların yer.75 Şekl 5.9: Şekl 5.8 de verlen model çn SFM le soğran sınır şartı kllanılarak elde edlen yapay ssmogram Şekl 5.3: Şekl 5.8 de verlen model çn SFM le Drchlet sınır şartı kllanılarak, elde edlen yapay ssmogram

13 x Şekl 5.31: Şekl 5.8 de verlen model çn Sarı nın SIEM le elde ettğ yapay ssmogramlar Şekl 5.3: Üç boytl ve k tabakalı modelde kaynağın ve alıcıların yer Şekl 5.33: Üç boytl k tabakalı modeln farklı düzlemlerden görünümü...78 Şekl 5.34: Üç boytl k tabakalı model çn xz düzlemnde elde edlen anlık enerj yayılımları Şekl 5.35: Üç boytl k tabakalı model çn yz düzlemnde elde edlen anlık enerj yayılımları...8 Şekl 5.36: Üç boytl k tabakalı model çn xy düzlemnde elde edlen anlık enerj yayılımları...81 Şekl 5.37: Şekl 5.3 de verlen model çn SFM le soğran sınır şartı kllanılarak, elde edlen yapay ssmogram Şekl 5.38: Şekl 5.3 de verlen model çn SFM le Drchlet sınır şartı kllanılarak, elde edlen yapay ssmogram Şekl 5.39: Şekl 5.31 de verlen model çn Sarı nın SIEM le elde ettğ yapay ssmogram

14 x SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİİ Smge Açıklama A o a b c c p c s t x E ε F f p f Genlk İvme Yerçekm kvvet Dalga yayılım hızı P dalga hızı S dalga hızı Zaman adımı Uzaklık adımı Yong Modülü Deformasyon Kvvet Kaynak frekansı f fonksyonnn brnc türev f f fonksyonnn brnc türev f f fonksyonnn brnc türev f ( x,t) Br boytl dalga denklemnde kaynak fonksyon f ( x,z,t) İk boytl dalga denklemnde kaynak fonksyon ( x, y,z,t) f Üç boytl dalga denklemnde kaynak fonksyon h K m Adım znlğ Blk modülü Kütle µ Kayma modülü Dalga boy O ( h) h.nnc mertebeden hata ρ R Yoğnlk Yansıma katsayısı

15 x τ σ λ λ L U 1,x, x3 Sönüm sabt Gerlme Dferansyel operatör (Hız x zaman adımı) /zaklık adımı Lame sabt Yer değştrme fonksyon x Kartezyen koordnatlar w p ϕ t α SIEM SFM Açısal pk frekansı Faz açısı Zaman Soğrma katsayısı Sınır elemanları metod Sonl farklar metod

16 1 1. GİRİŞ Matematğn oldğ her yerde modelleme kendlğnden gelr. Çünkü matematğn kralları kendne özgüdür ve çoğnlkla eldek probleme tam olarak ymaz. B drmda matematğ değştrmek zor ve gereksz oldğndan, problem matematğe ydrmak gerekr. B yapılan şleme modelleme denr. Deprem odağından yayılan elastk dalgalar yern çyapısı hakkında en güvenlr blgler sağladığından, jeofzk alanında yapılan modelleme çalışmalarının önem büyüktür. Jeofzğn temel problemlernden brs gözlemsel verlerden yararlanarak ortamı veya kaynağı modellemektr. Verlen br modeln jeofzk tepksn ya da beklenen belrtsn hesaplamak, km zaman karmaşık br takım hesaplamalar gerektrse de, zor değldr. Bnn çn sırasıyla şnlar yapılır (Canıtez 1997); a) Matematksel model olştrlr, b) Model parametreler belrlenr, c) Sayısal hesaplamalar yapılır B tür problem çözümüne Düz problem (Forward Problem) çözümü denr. Verlen br matematk model ve parametre kümes çn tek br düz çözüm vardır. Ancak, bnn ters her zaman doğr değldr. Yan, aynı jeofzk belrty vereblecek brden fazla (hatta sonsz tane) model blnablr. Gözlemsel verden yola çıkarak, model belrlemey amaçlayan problem çözümüne de Ters problem (Inverse problem) çözümü adı verlr. Şekl 1.1 Düz ve ters problem çözümünün şematk olarak gösterm

17 Ssmolojde tasarlanan br yer modelnden yapay ssmogram hesaplanması br başka deyşle düz problem çözümü ssmk kestlern modellenmesne yardımcı olmaktadır. Düz problem çözümünde; yoğnlk ve hız dağılımları bell olan yer kest le br nokta kaynak çn k boytl ssmogram hesaplanarak, arazden elde edlen mhtemel sonçlarla karşılaştırılması hedeflenr. Kararlı sonçlar elde etmek çn; yeterl ygnlk sağlanana kadar grş model değştrlerek şlem tekrarlanır. B aşamada gerçek araz versyle yapay ver karşılaştırılırken dalga yayılımının y br şeklde modellenmes gerekr. Şekl 1. Jeofzkte düz problem çözümü aşamaları Jeolojk br taslaktan kalkarak jeofzk belrtye laşma bçmndek düz problem çözümünün ayrıntıları Şekl 1. de görüldüğü gb açıklanablr. Şeklden de görüldüğü gb lk aşama jeolojk yapının modellenmesdr. Jeolojk br yapıyı modellemek çn genel olarak k grp parametrenn belrlenmes gerekr; a) Geometrk parametreler, b) Fzksel parametreler. Jeofzğn lk yıllarında blgsayar kllanım olanaklarının blnmaması nedenyle karmaşık jeolojk yapıları modelleme ve bnların jeofzk belrtlern hesaplama olanağı blnamıyor, yalnızca küre, slndr, yarı sonsz br düzlem vb. bast

18 3 geometrlerle yetnlyord. Bgünün olanaklarıyla karmaşık yapıları modelleyerek bnların jeofzk belrtlern hesaplamak olanaklıdır. Jeolojk yapıların modellenmes k ya da üç boytta yapılablr. Yapılan şlem seçlen br koordnat sstemne göre yapının geometrk sınırlarına lşkn koordnatları saptamaktır. Çoğ zaman hesaplama zamanından kazanmak çn geometr olabldğnce az nokta le tanımlanmaya yan model dealleştrlmeye çalışılır. B drmda çoğ zaman csm belrleyen sınırların noktalar arasında doğrsal oldğ varsayımı yapılmaktadır. Csmn geometrs bastleştkçe, bn tanımlayacak parametre sayısı da o ölçüde azalır. Jeofzk belrty csmn geometrs ve ortamın fzksel özellklernn yanı sıra ortamın homojenlğ de etkler. Çoğ zaman problemn çözümünü kolaylaştırmak çn fzksel modellemeye geçmeden br takım varsayımların yapılması gerekeblr. Örneğn ortam yatay katmanlardan olşmştr, katmanlar kend aralarında homojendr, ortam zotroptr. Km zaman problem br dferansyel denklemn çözümü le sonçlanablr. B drmda özel çözümlern blnablmes çn başlangıç ve sınır koşllarının belrlenmes gerekeblr. Bnlar da fzksel problemn krlmasından önce saptanması gereken koşllardır. Örneğn serbest yüzeyde gerlmeler sıfırdır, ara yüzeyde yer değştrmeler sürekldr. Fzksel modeln bçm ve modelleme teknğ, çözülecek probleme ve yglanacak jeofzk yönteme bağlı olarak değşr. Fzksel model krmaktak amaç, jeofzk problem çözüleblen br probleme dönüştürmektr. Problem böylece br jeoloj problem olmaktan çıkarak br matematksel fzk problemne dönüşmüş olmaktadır. Fzksel modeln ortaya koydğ ve çözülmes gereken bağıntı kşksz problemn özellğne göre değşr. B bast br analtk bağıntı olableceğ gb, br dferansyel denklem vb. olablr. B bağıntı, krlan jeolojk modelden beklenen jeofzk belrtnn fadesdr. Parametrelern belrl değerler çn hesaplanan büyüklükler modeln tepksn verecektr. Model tepksnn gözlemsel verlere ygn olması gerekr. B aşamada düz problem çözümü tamamlanmıştır.

19 4 Uyglamalı jeofzkte yapay ssmogram üretm ve bnların gerçek ssmogramlarla karşılaştırılması oldkça yararlı blgler sağlamaktadır. Ssmk modellemeye artan lg, çeştl doğrlkta ve yglama kolaylıkları sağlayan yöntemlern gelşmesne neden olmştr. 197 l yıllarda blgsayar mkânlarının artması le dalga denklemler sayısal yöntemlerle çözülerek yapay ssmogram üretm konsnda çalışmalar başlamıştır. Yapay ssmogramlar, yer çndek mkro veya global boyttak değşmlern dalga bçmlern nasıl etkledğn öğrenmek çn üretlrler. Yer ç çoğ kez homojen tabakalardan olştğ varsayılsa da aslında heterojen br yapıya sahptr. Yapay ssmogramlardan karmaşık yer ç yapısını elde etmede yararlanılır. Dalga denklemlernn sonl farklar çözümü le yapılan modellemelerde kaynağı stenlen br dernlğe ve zaklığa yerleştrme mkânı vardır. Şekl 1.3 de kaynaktan çıkıp alıcılar le kaydedlen dalga, aldığı yol boynca kat ettğ ortamın fzksel özelklern yansıtmaktadır. B bakımdan, yapay ssmogramlardan faydalanılarak yer çndek karmaşık yapılar araştırılablr (Bayrak 1993). Şekl 1.3 Jeolojk model Yapay ssmogram üretm yöntemlern beş ayrı başlık altında toplamak mümkündür (Canıtez 1997). Bnlar; 1- İntegral dönüşümler - Mod toplama 3- Işın teors 4- Ayrık koordnat yöntemler a. Sonl elemanlar b. Sonl farklar c. Spektral yöntemler 5- Melez (Hbrt) yöntemler.

20 5 Genş kllanım alanı ve kolay olşları, karmaşık problemlern çözümünde sonl farklar ve sonl elemanlar yöntemlernn etkn olarak kllanılmasını sağlaya gelmştr. Son zamanlarda blgsayar teknolojsnn gelşmesyle brlkte sayısal hesaplamalardak zamandan tasarrf, sonl fark yaklaşımına olan lgy arttırmıştır. B çalışmada lk olarak dalga yayılımı le lgl temel kavramlara yer verlmş olp, br, k ve üç boytl skaler dalga denklemler çıkarılmıştır. Daha sonra sonl farklar metod le sayısal çözümler elde edlp, b sayısal yaklaşımlardan yararlanılarak çeştl boyt ve özellklere sahp ortamların dnamk tepks modellenmştr. Başlangıçta ortamı çok karmaşık yapmamak çn, ortamın elastk, homojen ve zotrop oldğ varsayılmıştır. Daha sonra k ve üç boytta tabakalı ortamlarda dalga yayılımı ncelenmştr. Blgsayarların belleklernn sınırlı olmasından dolayı, sonl farklar çözümü, sınırları kllanıcı tarafından belrlenen sonl sayıdak grd noktasından olşacaktır. B takdrde model sınırlarında meydana gelecek sınır yansımaları problem olacaktır. B etk modellenen bölgede yayılan gerçek ssmk snyaller örteceğnden, b arz edlen br drm değldr. B sınır etklernden krtlmak çn modeln boytları büyültülüp kenar yansımaları gecktrlr. Dğer br çözüm de model sınırlarında sınır şartları tanımlamaktır. Yapılan modellemelerde Drchlet ve soğran sınır şartları olmak üzere k farklı sınır şartı kllanılmış, bnlara dayalı olarak anlık enerj yayılımları ve yapay ssmogramlar elde edlmştr. Ayrıca farklı kaynak fonksyonları ve bnların sonçlar üzerndek etkler tartışılmıştır. Bazı Sonl Fark Metod (SFM) sonçları, Sınır Elemanları Metod (SIEM) sonçları le karşılaştırılmıştır. Brada snlan sonçların üretlmesnde kllanılan FORTRA programlarının çoğ, KTÜ Jeofzk Bölümü öğretm üyeler, Yrd. Doç. Dr Hakan KARSLI ve Yrd. Doç. Dr. Ysf BAYRAK tan alınan programların problemmze ygn hale getrlmş modfyelerdr. B programlardan elde edlen verler MATLAB, GRAPHER ve MATHCAD gb grafk programlarında şlenmş, çeştl ssmogramlar le anlık enerj yayılımını gösteren snapshotlar üretlmştr. ümerk çözümlerden elde edlen b grafkler yardımıyla, yapay olarak üretlen dalgaların homojen ve tabakalı ortamlarda yayılımı, yansıması ve kırılması ncelenmştr. SFM le elde edlen sonçlardan bazıları Reynolds ın 1978 SFM le elde ettğ ssmogramlarla, bazıları SIEM sonçları le karşılaştırılmış ve sonçlardak ym ortaya konmştr.

21 Dalga Yayılımında Bazı Temel Kavramlar Hareket Br csmn; sabt kabl edlen br referans sstemnde dran br noktaya göre yer değştrmesne hareket denr. Br ekn tarlasından geçen rüzgâr, tarlanın br cndan dğer cna yayılan br dalga olştrr. Brada, küçük salınım yapan ayrı btklern hareket le dalganın hareketn ayırt etmek gerekr. Ortamı olştran parçacıklar yalnız küçük ttreşmler yaparken, bütün hareket lerleyen br dalgadır Dalga Hareket Br s yüzeyne bakıp s dalgası olarak adlandırılan olay, s yüzeynn yen br düzene geçme haldr. B drmda dalga, br csm veya ortamdak sarsıntı hareket olarak fade edleblr. Genel olarak lerleyen ve dran dalgalar olarak k sınıfa ayrılır. S yüzeynde yayılan br dalga lerleyen dalgaya br örnektr. Br dran dalga belrl sınırları olan br zay bölgesnde blnr. Örneğn br gtar tel ttreştrldğnde teln sabtlenmş k c arasında dran dalgalar meydana gelr. Dran br dalgada enerj sınırlanan bölgede kalır. Ses dalgaları, s dalgaları, plerdek ve csmlerdek dalgalar mekank dalga örneklerdr. Mekank dalgalar br ortam çnde var olablrler ve ewton yasalarıyla çıkarılırlar Elastste Katı br csmn büyüklüğü ve şekl, b csme yglanan dış kvvet etks le değşeblr. Csm çersnde, b dış kvvetlere karşı koyan ç kvvetler meydana gelr. Dış kvvet ortadan kaldırıldığı zaman csm lk halne dönmeye çalışır. Dış kvvetlern etks le şekl ve büyüklüğü değşeblen, dış kvvetler ortadan kalktıktan sonra esk halne dönmeye çalışan csmlere elastk csmler denr. Elastste, hacm veya şekl değşklğne drenme özellğ ve dış kvvet ortadan kaldırıldığı zaman csmn esk halne dönmes olarak tanımlanablr. Kvvet ortadan kaldırıldığı zaman csm esk halne dönmezse şekl değşm esnek değldr. Şekl değşm kısmen ortadan kalkıyorsa yarı esnek şekl değşmnden, hç ortadan kalkmıyorsa plastk şekl değşmnden söz edlr.

22 Elastste Teors Csm ve yüzey dalgaları olarak sınıflandırılan elastk dalgaların özellkler tam olarak elastste teors le açıklanablr. Elastste teorsnden yararlanılarak b dalgaların olşmn sağlayan tüm şartlar matematksel olarak gösterleblr. Bnnla brlkte problem bastleştrecek bazı ön kabller yapılır. B kabller le bast elastste teors yer çersndek şartları ncelemek çn yeterl olr (Alptekn 1985). Söz kons kabller; 1. Brbrne btşk tanecklern brbrne göre hareketler son derece küçüktür (nfntesmally small).. Materyal tam elastktr. Yan gerlme, deformasyonn lneer br fonksyondr ve genellkle Hooke kannnn genel şekl yglanablr. 3. Kllanılan yapı zotroptr. Yan, elastk parametrelern yapı çersndek değerler tüm yönlerde aynıdır. 4. Gravte, sürtünme gb dış kvvetler hmal edleblr. Özel drmlarda b kabllerden br veya brkaçı kaldırılablr. B gb drmların ncelenmes matematksel güçlükler gösterr. Materyaln elastk özellkler yöne göre değşyorsa b gb materyallere anzotroptr denr. Örneğn odn gb materyallerde boyna doğrltdak özellkler, dğer doğrltdaklerden farklıdır ve b malzemeler anzotroptr. Uyglamada kllanılan materyallern nadren homojen ve zotrop oldğna dkkat edlmeldr. Çünkü materyaln krstalk veya moleküler yapısı sürekl değldr ve gelşgüzel br şeklde yönlenmş olablr. Bnnla beraber zotrop ve homojenlk kabller genellkle deneylerle yşm halnde olan sonçlara götürür. Ykarıda belrtlen sınırlamalara rağmen lneer elastste teors yer çnde elastk dalga yayılmasını ncelemekte çok yararlı olmştr (Alptekn 1985).

23 Gerlme (Stress) Gerlme brm alana yglanan kvvet olarak tanımlanır. Br başka fadeyle, csme br dış kvvet yglandığında kvvetn yglanan alana oranı gerlmey verr. Gerlmenn matematksel tanımı: δf σ = lm (1.1) δs δs Brada δf brm kvvet, δs brm yüzeydr. Fzksel anlamda gerlme, br kvvetn meydana getreceğ deformasyona karşı csmn çnde meydana gelen brm yüzeye düşen ç kvvettr. Şekl 1.4 Brm alana düşen kvvetn fzksel gösterm Gerlmey matematksel olarak ncelemek çn Kartezyen koordnat sstemndek bleşenlerne ayırmak yararlı olr. Bnn çn gerlmey koordnat eksenlerne dk olan üç düzlemdek bleşenlerne ayırmak gerekr. Şekl 1.5 te elemanter küp üzerne etk eden gerlme tensörü bleşenler görülmektedr. Böylece eksenlerle rasgele br açı yapan herhang br yüzey üzernde gerlme dokz bleşen le tanımlanır. Eğer kvvet alana dk se, b gerlmeye normal gerlme (dk gerlme) veya basınç denr. Kvvet, alanın br parçasına teğet oldğnda gerlme makaslama gerlmes veya kayma gerlmes (shearng stress) adını alır. Gerlme çn kllanılan lk nds gerlmenn doğrltsn, knc nds se gerlmenn etkledğ yüzey gösterr. Gerlme tensörü σ 11 σ 1 σ 13 σ = σ 1 σ σ 3 (1.) σ 31 σ 3 σ 33 le verleblr.

24 9 Şekl 1.5 Gerlme tensörü bleşenler Gerlme bleşenlernn heps brbrnden bağımsız değldr. Ykarıda göz önüne alınan brm küp denge konmnda oldğndan küpe etkyen kvvetlern denge halnde olması gerekr. Küp, merkeznden geçen ve on x 3 eksenne paralel br eksen etrafında döndürmeye çalışan gerlmelerle ele alınırsa, yan bn yapablecek gerlmeler σ 1 ve σ 1 dr. Küp dengede oldğndan b k gerlmenn x 3 eksenne göre momentlernn toplamı sıfır olmalıdır. Moment=Gerlme gerlmenn etkledğ alan moment kol Bna göre: a a σ 1.a. σ 1.a. = ( a küpün br kenarının znlğdr.) olr. B denklemden σ σ 1 1 = σ 1 = σ 1 elde edlr. Benzer şeklde x 1 ve x eksenlerne göre momentlern toplamları sıfır yapılarak, σ 3 = σ 3 ve 13 σ 31 σ = blnr. B nedenle daha önce tanımlanan 9 gerlme bleşennden altısı brbrnden bağımsızdır. Böylece gerlme

25 1 σ 11 σ 1 σ 13 σ = σ 1 σ σ 3 (1.3) σ 13 σ 3 σ 33 şeklnde yazılablr Deformasyon (Stran) Elastk br csm gerlme altında blndğnda, hacm ve şekl değşklğne ğrar. B değşme deformasyon, brlma ya da yamlma denr. Deformasyon tensörü ε11 ε1 ε13 ε = ε1 ε ε3 (1.4) ε 31 ε3 ε33 şeklndedr. Brm küptek x 1, x, x 3 yönlerndek yer değştrmeler, sırasıyla, φ 1, φ, φ 3 le fade edlrse deformasyonların yer değştrmeler cnsnden fades aşağıdak gbdr (Domngez 1993, Sokolnkoff 1956). ε,j 1 = ( φ,j + φ j, ) (1.5) Böylece, dyagonal ve dyagonal olmayan termler sırasıyla; ε ε ε ε ε 11 = φ 1,1, = φ,, 33 = ε 1 = ( φ ) 1, φ,1, 1 =ε1 + 1 = ( φ ) 1,3 φ3,1, 13 =ε31 + =ε 1 = ( φ,3 φ3, ) φ 3,3

26 Hooke kann Gerlme le deformasyon arasındak lşkler, Hooke kann le açıklanır. Bna göre yeter kadar küçük deformasyonlar çn gerlme le deformasyon doğr orantılıdır ve orantı sabt deformasyona ğrayan maddenn cnsne ve yapısına bağlıdır. B orantı sabtne esneklk sabt de denr. Esneklk sabt = j Eε j Gerlme Deformasyon σ =, j = 1,, 3 (1.6) Brada σ j, ε j, E sırasıyla gerlme, deformasyon ve orantı sabtn gösterr. B noktada Hooke kannlarının neden küçük deformasyonlar çn geçerl oldğ sors akla geleblr. Yeter kadar büyük br gerlme yglayarak br csmn esneklk sınırını aşmak mümkündür. Gerlme, esneklk sınırını aştığında, csm gderek aşırı derecede bozlr. Artık gerlme ortadan kalktıktan sonra ble csm başlangıçtak şeklne ger dönemez. Esneklk sınırının ötesnde, gerlme deformasyon arasındak lşk lneer çzgden zaklaşır. Gerlme daha çok arttırılırsa csm ennde sonnda kopar. Gerlme le deformasyon arasındak lşk Şekl 1.6 da oldğ gbdr. Şekl 1.6 Gerlme ve deformasyon arasındak lşk İzotrop olmayan ortamda gerlme ve deformasyon arasındak lneer bağıntı 1 parametreye, zotrop ortamda 5 parametreye ve homojen, zotrop ortamda sadece parametreye bağlıdır (Lavergne 1989). Böylece herhang k sabt br homojen zotrop materyaln tanımlanmasında kllanılablr. Homojen zotrop ortam çn Hooke kann;

27 1 σ = +, (, j = 1,, 3, k = 1,, 3 ) (1.7) j λlδ jε kk µε j şeklnde yazılır. Brada δ j Kronecker delta, ε kk se brm küptek hacm değşklğ olp; ε = ε + ε + ε = φ + φ + φ kk bağıntısı le tanımlanır. 1,1, 3,3 λ L ve µ, Lamé sabtler olarak blnr. B sabtler, ş fadeyle blnen elastk sabtlerle lşklendrleblr. E E µ =, λl = υ, K = λl + µ (1.8) 3 ( 1 + υ) ( 1 + υ)( 1- υ ) Bradak E, çekme veya basma çn gerlme, deformasyon oranı olan Yong modülüdür. υ, enne kısalma le boyna zamanın oranı olan Posson oranıdır. K, hdrostatk basınç altında gerlme, deformasyon oranını fade eden Blk modülüdür (Sarı ) Tabakalı Ortamlarda Dalga yayılımı Teork ve yglamalı jeofzk araştırmalar le ssmk dalgaların yer çndek hareketler ncelenerek karmaşık yeraltı yapısının tespt amaçlanır. Yerküre tabakalı br yapı oldğndan b noktada tabakalı ortamlarda dalga yayılımının rdelenmes gerekr. Akstk empedansları farklı olan k veya daha fazla ortamlar çn ortamları ayıran her br ara yüzde gelen ssmk dalganın br kısmı ger dönerken, br kısmı da dğer ortama letlr. Ger dönen dalgaya yansıyan dalga, dğer ortama letlen dalgaya da kırılan dalga denr. Dalganın sınıra dk gelmes halnde br kısmı yansırken br kısmı da dğer ortama letlr. B drmda yen dalga türler olşmaz. Eğer dalga sınıra eğk gelyorsa yansıma ve kırılmanın yanı sıra faz farkı da olşr. Yansıma ve kırılma açıları dalganın gelş açısına ve sınırın k tarafındak ortamların akstk empedanslarına (yoğnlk ve hız) bağlıdır. Ara yüzde yansıyan ve kırılan dalganın enerjs, gelen dalganın enerjsnden daha azdır. Şekl 1.7 de dalga hızları c 1 ve c ve yoğnlkları sırasıyla ρ 1 ve ρ olan ortamlar çn kırılan ve yansıyan dalgalar gösterlmştr. Brada keskl çzg halnde verlenler ortam sınırından yansıyan dalgayı, düz çzg halnde verlenler se ortam sınırından kırılarak dğer ortama letlen dalgayı gösterr (Kara 199).

28 13 Şekl 1.7 Kırılan ve yansıyan dalga yolları Gelen dalga enerjsnn ara yüzeylerde farklı fazlara bölünmes, ortamın homojenlk dereces ve akstk empedanslarındak farklardan ler gelmektedr. Gerçek yerkürede, yansıyan ssmk enerjdek ara yüz etks, yansıma katsayısı R le verlmektedr. R, ara yüzeyn her k tarafındak ortamın akstk empedansının br fonksyondr. Ara yüz yansıyan ve kırılan dalgaların açıları, dalganın gelş açısına ve ortamların dalga hızına bağlıdır. B açılar le hızlar arasında lşk Snell yasasıyla verlmektedr. Sn = c Snr 1 c Brada dalganın gelş açısı, r dalganın kırılma açısıdır. c 1 ve c sırasıyla, 1. ve. ortamın hızlarıdır. 1. Ssmoloj ve Ssmogram Ssmoloj; depremn nasıl olştğn, deprem dalgalarının yeryvarı çnde ne şeklde yayıldıklarını, ölçü aletler ve ölçme yöntemlern, kayıtların değerlendrlmesn ve deprem le lgl dğer konları nceleyen blm dalıdır. Yapay sarsıntı ölçümü lk kez Mallet (1845) tarafından yapılmış olp, ssmk dalgaların yansıma ve kırılmalarını se Knott (1899) yılında Knott açıklamıştır. Daha sonra ssmk dalga teors Weher (197) tarafından ortaya atılmış ve 1. Dünya Savaşı nda Almanlar topraklarındak asker brlklern yerlern saptamak çn ssmk dalga yayınımından yararlanmışlardır. Ssmk yansıma üzerne lk kez Fessender (1913) çalışmış ve Korcher (19) bast br kayıt alet yapmayı başarmıştır. Mntrop (194) tzn yüksek hızlı olmasından yararlanarak, br tz kütlesnn yern ssmk yöntemle saptamıştır. Daha önce kayıt aletlernde çzgsel olarak kaydedlen ssmk dalgalar

29 ten tbaren manyetk teyplern kllanılmaya başlamasıyla djtal olarak kaydedleblmştr. B konda ayrıntılı değerlendrme çn Us (1993) e başvrlablr. Deprem dalgalarının kayıt edlmesnde kllanılan chazlara ssmograf adı verlr. Ssmograf, prensp olarak br tür sarkaçtır. Günümüz teknolojsne bağlı olarak ssmograflar da djtal kayıt yapablecek şeklde üretleblmektedr. Ssmografların kaydettğ, zamana karşı ssmk dalgaların değşmn gösteren kayıtlara da ssmogram adı verlr (Şekl 1.8). Şekl 1.8 Br ssmogram Deprem sırasında açığa çıkan enerj, ses veya s dalgalarına benzeyen ve ssmk dalga adı verlen dalgalar le yayılır. B dalgalardan csm dalgaları, P dalgaları (Prmary) ve S dalgaları (Secondary) olarak kye ayrılır. Özel amaçlar dışında ssmk prospeksyonda sadece P dalgaları kaydedlmekte ve b kayıtlarda elde edleblecek S dalgaları gürültü olarak tanımlanmaktadır (Doyle 1995). Ssmk metot doğal ya da yapay olarak yaratılan ttreşmlern (deprem dalgası) kayalar çersnden geçerken ğradıkları değşmlern ncelenmes esasına dayanır. Deprem dalgaları esas tbaryle kye ayrılır: 1- Csm Dalgaları a) P dalgaları b) S dalgaları -Yüzey Dalgaları a) Raylegh dalgaları b) Love dalgaları Skaler dalga yalnızca boyna ttreşm yapmakta ve bndan dolayı da sadece P dalgalarından olşmaktadır. Özel amaçlar dışında ssmk ncelemelerde sadece P dalgaları kaydedlmekte ve b kayıtlarda elde edleblecek S dalgaları gürültü olarak tanımlanmaktadır. B yüzden ssmk nceleme amaçlı yapılan çalışmalar, çoğnlkla skaler dalga denklem kllanılarak yapılmaktadır. B nedenden dolayı b çalışmada, yalnızca P dalgaları dkkate alınmıştır.

30 Boyna dalgalar (P-Dalgaları) (Longtdnal Waves) P dalgaları, en hızlı yayılan b yüzden de deprem kayıt aletlerne lk gelen dalgalardır. B dalgalar, basınç dalgaları veya lk dalgalar olarak blnrler. Hızı kabğn yapısına göre 1.5 le 8 km/sn arasında değşr. P dalgaları, yayıldıkları ortamdak parçacıkları boyna ttreştrrler yan sıkışma ve gevşeme olayını gerçekleştrrler. Dalga yayınımı esnasında hacm değşm ve şekl değşm olr. Ancak şekl değşm esnasında açılar değşmez. Boyna dalgalarda sıkışma ve genleşmey temsl eden ttreşm doğrlts, dalga yayınım doğrltsyla aynı doğrltdadır (Lay and Wallace 1995). Şekl 1.9 P dalgası λ ve µ Lamé parametres, ρ yoğnlk olmak üzere, P dalga hızı, V p = λ + µ ρ şeklnde tanımlanır. 1.. Enne dalgalar (S Dalgaları) (Shear Waves) Kayıt stasyonna P dalgalarından sonra gelrler. Yan hızları daha düşüktür. Hızı, P dalgası hızının %6'ı le %7' arasında değşr. B tp dalgalar yayıldıkları ortamdak parçacıkları enne ttreştrrler. Yan partkül hareket lerleme yönüne dktr. Yayınım sırasında parçacıklarda şekl bozklkları yan açılarda değşm gözlenr. Şekl 1.8 de S dalgasının yayınım şekl görülmektedr.

31 16 Şekl 1.1 S Dalgası S dalgası yatay ve düşey bleşene sahptr. S dalgalarının yayınımında enne olan parçacık salınımı yatay düzlem üzernde se SH dalgası, düşey düzlem üzernde se SV dalgası adını alır. SV dalgası düşey bleşen kayıtçılarda, SH dalgası yatay bleşen kayıtçılarda kaydedlrler (Lay and Wallace 1995). Şekl 1.11 SV bleşen Şekl 1.1 SH bleşen λ S dalgasının hızı V = le verlr. s ρ

32 Dalga Denklemlernn Çıkarılması Br Boytl Skaler Dalga Denklem ewton n knc yasası, lneer esnek ger getrc kvvet olan br ortamda dalgaların var olableceğn öngörür. x znlğnda küçük br scm alınsın. Denge drmnda, scm x eksen boynca gergn drmda drmaktadır. Şekl 1.13 Br scm üzerndek dalga hareket B scmn 1 ve çlarına F 1 ve F kvvetler yglandığında olşan dalgadan dolayı denge drm bozlr. Dalganın etksnn küçük, b sebeple de scmdek F gerlmnn düzgün yayıldığı varsayılsın. Yan, F 1 = F = F. Ayrıca, b gerlm, scm elemanının ağırlığının yok sayılmasına yetecek kadar büyük oldğ da kabl edlsn. B yaklaşımlarla eleman üzerndek net kvvetn y bleşen, F y = F = F snθ1 + F snθ = F(snθ sn 1) y1 + Fy θ olr. Scm düz olsaydı θ 1 = θ olacağına ve dolayısıyla elaman üzerndek net kvvetn sıfır olacağı açıktır. Eğrlmş olan scmde θ1 θ olacağından, eleman üzernde sıfır olmayan net br kvvet vardır. Şmd θ 1 ve θ açılarının, snθ tanθ yazılablecek kadar küçük oldğ varsayılsın. Scmn br noktadak eğm, o noktadak scm le x eksen arasındak açının tanjantına eşt oldğndan, b yaklaşım kllanışlıdır. tanθ = x olacağından, net kvvet

33 18 = 1 y x x F F şeklnde yazılablr. ( ) ( ) [ ] 1 x x ncelğ, eğmn 1 ve çları arasındak değşklğne eşttr. Eğer scm elemanı küçükse, ( ) x x x x x x x x x x x 1 = = = olr. B, elemanın boy sıfıra yaklaştığında tam eştlk halne gelr. Böylece, b küçük eleman üzerndek net kvvetn y bleşen şöyle olr, x x F F y = (1.9) Düzgün br scm çn scmn brm znlğ başına düşen kütle, ya da lneer kütle yoğnlğ, x m = ρ dr. m ve x, sırasıyla scmn kütles ve znlğdr. ρ y kllanarak elemanın m kütles, x cnsnden x m = ρ yazılablr. Elemana ewton n knc yasasının y bleşen, yan y y ma F = yglanarak y t x F = ρ (1.1) elde edlr. Brada y t a = oldğ kllanılmıştır. (1.9) ve (1.1) denklemlern eştlenrse t x x x F = ρ ya da t F x = ρ sonc blnr. c F = 1 ρ alınırsa t c 1 x = (1.11) olr. B denklem br boytl skaler dalga denklemdr.

34 İk ve Üç Boytl Skaler Dalga Denklem Homojen, zotrop br ortamda yayılan dalgayı tanımlayan denklem ewton n knc hareket kannndan faydalanılarak blnr. B krama göre verlen br yönde yoğnlkla vmenn çarpımı b yönde brm hacm etkleyen kvvete eşttr. Böyle br ortamda dalga denklemn elde etmek çn yoğnlğ ρ olan boytları x olan br kty göz önüne alalım. Gerlme tesr (σ ), brm alana 1, x, x3 yglanan kvvet olarak ölçülür. ( Pa = /m ) Brada ktnn her br yüzeyne düşen gerlmeler Şekl 1.4 te gösterldğ gbdr. Ktnn herhang br yüzey çn normal alınırsa, yüzeye dk olan eksenn poztf yönü normaln yönü le aynı olmak koşlyla, kvvet x nn artan yönlernde hareket edyorsa gerlme bleşenler poztf kabl edlr. σ 11, σ, σ 33 normal gerlmeler, σ j, j,,j = 1,, 3 kesme ya da kayma gerlmeler olarak tanımlanır. Brnc nds ktnn yüzeyn, knc nds gerlme yönünü gösterr. Skaler dalga denklemn türetmek çn yalnızca boyna normal gerlmeler göz önüne alınır. Önce x 3 yönündek normal gerlmeler dkkate alalım. B yöndek şekl değştrme yer değştrme fades ε 33 = φ 3,3 d. (1.1) Şekl 1.14 x 3 yönünde boyna normal gerlmeler

35 x 3 yönündek net kvvet hesaba katılarak, ewton n knc hareket yasası ş şeklde yglanablr; [( σ 33 ) ( σ 33 ) ] x x1 + mb3 = ma3 (1.13) 1 Brada m, Şekl 1.14 dek ktnn kütles, b 3, x 3 yönündek csm kvvet (gravtasyon kvvet) ve a 3, x 3 yönündek vmedr. (1.13) eştlğ x1 x x3 le bölünüp x 3 çn lmt alındığında hareketn gerlme eştlğ ş şekle gelr: σ + ρb = ρ (1.14) 33,3 3 a3 Brada ρ, kütlesel yoğnlk ve m = ρ x1 x x3 ü göstermektedr. B özel drm Hooke yasasına yglandığında gerlme tesrnn normal bleşenler; ( + ε + ) + µε σ11 = λ ε 11 ε = (1.15) ( + ε + ) + µε σ = λ ε 11 ε 33 = (1.16) σ ( λ + µ ) ε + ( ε + ε ) = (1.17) λ (1.15) ve (1.16) eştlklernden ε 11 ε ε 11 ( λ + µ ) 33 λ = = (1.18) (1.1), (1.17) ve (1.18) eştlklernden σ 33 ş şeklde elde edlr; σ = φ (1.19) 33 E 3,3 (1.19) eştlğ (1.14) de yerne konrsa ve a3 = & Φ 3 oldğ vmenn küçük değerlernde ş eştlğ elde etmek kolaydır; c φ 3,33 + b = & φ (1.) Brada c =E /ρ dr. 3 3 Aynı şlemler x 1 ve x yönler çn de yapılablr. Böylece x yönü çn; ( + ε + ) + µε σ11 = λ ε 11 ε = (1.1) σ ( λ + µ ) ε + ( ε + ε ) = (1.) λ ( + ε + ) + µε σ 33 = λ ε 11 ε = (1.3) x 1 yönü çn; σ ( λ + µ ) ε + ( ε + ε ) = (1.4) λ 33 ( + ε + ) + µε σ = λ ε 11 ε 33 = (1.5)

36 1 ( + ε + ) + µ ε σ 33 = λ ε 11 ε = (1.6) Sadece normal gerlmeler göz önüne alındığında, hareket eştlğ; c φ, + b = & φ (1.7) şeklnde elde edlr. B eştlk üç boytl vektörel dalga denklemdr. B eştlk Helmholtz açılımı kllanılarak alternatf ve daha kompakt br halde fade edleblr (Sarı ). B açılımda, br elemanın yer değştrmes, Lamé potansyeller olarak blnen br vektör potansyel büklümü Ψ ( x,t) ve br skaler potansyel gradyanının φ ( x,t) toplamı olarak snlablr. φ = + e ψ (1.8), jk k, j Aynı şeklde düşünülerek, csm kvvet vektörü b, br skaler ve br vektör değerl fonksyon çn ƒ - F yazılablr ve benzer yolla: = + (1.9) b f ejk Fk, j (1.8) ve (1.9) eştlklernn sonçlarının dverjansı ;. φ = φ =,. b = b, = f (1.3), j,, (1.1) ve (1.) eştlklernn knc bölümlernn dverjanssız oldkları görüleblr. Böylece (1.7) eştlğnn dverjansını kllanarak ş gösterleblr (Sar ) ; c, + f = & + g (1.31) Brada g harmonk br fonksyondr ve genelde g = alınır.φ, x,t ve f sırasıyla potansyel, drm vektörü, zaman ve csm kvvetdr. (1.31) denklemnde = çn boytl dalga denklem, + x x 1 1 = c t (1.31) denklemnde = 3 çn 3 boytl dalga denklem aşağıdak gb elde edlr. (1.3) x 1 + x + x 3 1 = c t (1.33) 1.4 Sonçlar B bölümde dalga yayılımı le lgl temel kavramlar kısaca açıklanarak lneer, homojen zotrop br ortamda skaler dalga denklemler çıkarılmıştır. B denklemler SFM le yapılacak sayısal çözümlere temel olştrmaktadır.

37 . DALGA DEKLEMLERİİ SAYISAL ÇÖZÜMÜ.1 Sonl Farklar Metod Sonl farklar yglamalarının temel Danel ve Jacop Bernoll, Leonard Eler, Jacobo Strlng gb ünlü blm adamları le k yüz yıldan daha gerlere gder. Türev ve ntegral alma, ç ve dış değer blma, sayısal verye polnom ydrma gb yglama alanlarında sıkça karşılaşılan problemler sonl farklar yaklaşımı le çözümleneblrler (Canıtez 1997). Ayrıca kısm türevl dferansyel denklemlern çözümünde kolaylıkla kllanılabldğ çn dalga denklemler b yaklaşımla hesaplanablmektedr. Son yıllarda gelşen blgsayar teknolojs ve bna bağlı olarak ortaya çıkan hızlı ve yüksek kapastel blgsayarlar, sayısal hesaplamaları daha cazp br hale sokarken, özellkle sonl farklar yaklaşımları le lgl çalışmaların artışına da sebep olmştr. Sonl fark yöntemler k grp altında toplanablr. Açık (explct) yaklaşım (Kelly vd 1976, McMechan 198) ve dolaylı (mplct) yaklaşım (Emerman vd 198, Mft 198) yöntemlerdr. Sayısal olarak dalga denklem yglamaları göz önüne alındığında, açık yaklaşımda; br lerk zamanda br zaysal noktadak değer hesaplamak çn, br öncek zamana at brkaç noktadak değerler kllanılır ve şlem ardışık olarak her nokta çn de ayrı ayrı hesaplanır. Oysa dolaylı yaklaşımda; br öncek zamana at blnen tüm zaysal noktalardak değerlerden, br sonrak zamana at bütün noktalar aynı anda matrs tersleme yöntem le blnr (Emerman vd 198, Mft 198). Çözümlemede yaklaşık 5 1 kadar zaman adımı le çalışılmaktadır. B se, br b kadar matrsn çözümünü gerektrmektedr. B şlem fazla zaman ve bellek kapsadığından b çalışmada daha kolay yglanablen açık yaklaşım yöntem terch edlmştr. Sonl fark yöntem le yapay ssmogram elde edlrken Homojen formülasyon ve heterojen formülasyon olmak üzere k ayrı hesaplama türü vardır (Emerman vd 198, Mft 198). Homojen formülasyonda elastk parametreler her tabaka çnde sabt kabl edlr. B drmda, farklı elastk özellklere sahp tabakalar arasındak sınır şartları ele alınmalıdır. Heterojen formülasyonda, sonl fark grd ağının her br grd noktasında b elastk özellkler belrtlmeldr ve sınır şartları dolaylı olarak yerne getrlmeldr.

38 3 Böyle br formülasyon karmaşık yeraltı geometrlernn modellemesnde oldkça yararlı olmasına karşılık parametre sayısı arttığından çok şlem gerektrmektedr. B nedenle, b çalışmada yglanması daha kolay olan ve daha az parametre çeren homojen formülasyon kllanılmıştır. Sonl farklar yaklaşımı: İler yön sonl farklar, Ger yön sonl farklar, Merkez farklar olarak üç şeklde yglanmaktadır..1.1 Sonl Farklar Metodnda Kllanılan Yaklaşımların Çıkarılması f Br f ( x) fonksyonnn [,b] ( x) = lm h f ( x + h) f ( x) h a tanım aralığında br x noktasındak türev, (.1) lmt fadesyle tanımlanır. Eğer f (x) n analtk fades blnyorsa, f türev çn de analtk br fade çoğ zaman blnablr. Ama bazen b analtk türev alma şlem çok karmaşık olablr. Bazen de fonksyon, deneysel ölçümlerde oldğ gb, sadece bell noktalarda verlmş olablr. B drmlarda, sayısal türev alma yolna gdlr. Sayısal türev problem şöyle ortaya konr: f ( x) fonksyon, eşt h aralıklarıyla sıralanmış x noktalarında verlmş olsn: x + = x h ve f = f ( ) ( = ± 1, ±,...) (.) x Bradak küçük h değerne, adım znlğ denr. Her x noktasındak ( ) f türev çn sayısal hesaplamaya ygn yaklaşık br fade blmak amaçlanır. Bnn çn, fonksyonn x cvarında Taylor açılımından yararlanılır (Karaoğl 1994). f ( x 3 h h + h) = f ( x ) + ( ) + ( ) + hf x f x f ( x ) +...! 3! B fade, aranan f ( x ) çn çözülürse, ( x + h) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f f ( x ) = h + h +... h! 3! Sağ taraftak köşel parantez çndek termler h değeryle orantılı br katkı verrler. O halde, h mertebesnde br hatayla, sayısal türev fades şöyle olr: x

39 f ( x ) f ( x ) f ( x ) + 1 = + h ( ) O h (İler yön sonl fark 1. türev) (.3) Benzer şeklde ger yön fades de kolayca hesaplanablr. Bnn çn, f ( x h) ın Taylor açılımından, f h! 3 h 3! ( x h) = f ( x ) hf ( x ) + f ( x ) f ( x )... + olr. Yne, 1.türev term alınır ve O( h ) mertebesnden katkıları br araya toplanırsa, f ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 = + h ( ) O h 4 (Ger yön sonl fark 1. türev) (.4) blnr. Hem ler yön sonl fark hem de ger yön sonl fark türevlernde hata payı h le orantılıdır. İler ve ger Taylor açılımlarının farkı alınırsa, f h 3! 3 + ( x + h) f ( x h) = hf ( x ) + f ( x )... Görüldüğü gb türev fades, h le orantılı.türev termler brbrn götürmüştür. Bradan, aranan ( x + h) f ( x h) f ( x ) f f ( x ) = h +... h 6 şeklnde olr. O halde, ( x + h) f ( x h) f = + h mertebesnde br hatayla, merkez fark türev fades, ( h ) f ( x ) O (Merkez farklı 1. türev) (.5) h B fadede h adım znlğ küçüldükçe, ( h ) O hata payı çok daha hızlı küçülür. B nedenle, merkez fark türev fades ler yönlü türevden daha y sonç verr Şmd de, knc türev çn fadeler blalım. Ykarıda, k Taylor açılımının farkı alınmıştı. B kez de, k Taylor açılımı fadelernn toplamı alınsın. f h 4! 4 + v ( x + h) + f ( x h) = f ( x ) + h f ( x ) f ( x )... Brnc türev yok oldğndan, knc türev fadesn yalnız bırakılırsa, ( x + h) f ( x ) + f ( x h) f = + ( h ) f ( x ) O (Merkez fark. türev) (.6) h İknc türev çn, ler ve ger yön fadeler ( a ± h) ve ( h) açılımlarından elde edlr. Benzer şeklde şlem yapılırsa, ( x ) f ( x ± h) + f ( x ± h) a ± noktalarındak Taylor f ( x ) = + O( h) (İler-ger yön.türev) (.7) h f

40 5.1. İler Yön, Ger Yön ve Merkez Fark Türevlernn Karşılaştırılması Analtk türev blnen bast br fonksyon çn ler, ger ve smetrk türev fadeler ele alınıp, sayısal hesaplamalar sırasında olşan hatalar karşılaştırılsın (Karaoğl 4). Örneğn Snüs fonksyon seçlrse, f ( x) = Snx f ( x) = Cosx olr. Snüs fonksyonnn x = 1,, 3 noktalarındak 1. türevn h =, 1 adım znlğ alarak hesaplayan FORTRA programının çıktısı şöyle olr. x İler Fark Ger Fark Merkez Fark Tam Brada her br fark fadesnn hang haneden sonra hatalı oldğ, altı çzlerek gösterlmştr. Görüldüğü gb, ler ve ger fark le yapılan hesapta en fazla 3 5 hane doğr olrken, smetrk fark fades 6 7 hane doğrlkla sonç vermektedr. B çalışmada hata payı avantajı nedenyle, knc dereceden kısm türevler yerne merkez fark formüller kllanılmıştır.. Br Boytl Dalga Denklemnn SFM le Çözümü 1 c t = x, x < a <, t > (.8) denklem daha önceden elde edlmş olan, br boytl dalga denklemdr. (,t) =, ( a,t) =, t > t ( x, ) = f ( x), ( t, ) = g( x), x a Eğer f ve g fonksyonları (,a) knc mertebeden sürekl türevlere sahp ve ( a) f ( ) f = = se, verlen dalga denklemnn br tek çözümü vardır. (.8) denklemndek knc mertebeden kısm türevlern yerne, yaklaşık değerler olan merkez fark denklemlern yazarak br boytl dalga denklem yerne kllanılacak olan sonl fark denklemne laşılablr.

41 6 Şekl.1 Sonl fark yöntemnde kllanılan grd ağı Sonl br scmn, x aralıklarla m tane parçaya ve zamanı t aralıklarla n parçaya bölündüğü düşünülürse, sayısal hesaplamaların yapılacağı br grd tanımlanmış olr (Smth 1985). B grd Şekl.1 de görülmektedr. Sonl fark yaklaşımı (.8) denklemne yglandığında, x t + 1,j,j + ( x),j+ 1,j + ( t) 1,j,j 1 yazılır. Böylece (.8) denklem yerne, c ( t) ( x), ( + 1, j, j + 1, j ) =,j+ 1,j +,j 1 c. t fark denklem yazılır. Eğer λ = olarak tanımlanırsa her = 1,, 3,..., m-1 x ve j = 1,, 3,...,n-1 çn (.9) denklem ( ),j + λ ( + 1, j + 1, j ),j 1,j+ 1 1 (.9) = λ (.1) şekln alır. Br boytl dalga denklemnn nümerk çözümü (.1) açık sonl fark denklem yardımı le blnr.

42 7.3 İk Boytl Dalga Denklemnn SFM le Çözümü İk boytl skaler dalga denklem 1 c t = + x z (.11) şeklndedr. Brada t zaman x ve z yatay ve düşey yöndek mesafe, yer değştrme ve c se dalganın ortamdak hızıdır. İknc mertebe kısm türevlern sonl farklar le gösterlmes aşağıdak gbdr. x z t Brada + 1,j,k,j,k + ( x),j+ 1,k,j,k + ( z),j,k + 1,j,k + ( t) 1,j,k,j 1,k,j,k 1 t zaman örnekleme aralığını, x, (.1) (.13) (.14) z sırası le x ve z yönündek örnekleme aralıklarıdır. Yapılacak şlemlern daha kolay ve hızlı olması çn alınmalıdır. Ayrıca, j, k sırası le x (açılım yönü), parametrelerne karşılık gelen ndslerdr. x = z olarak z (dernlk) ve t (zaman) İk boytl skaler dalga denklemndek kısm türevler yerne (.1), (.13), (.14) dek sonl fark denklemler yazılırsa, 1 c = +, j,k + 1, j,k +, j,k 1 + 1, j,k, j,k + 1, j,k, j+ 1,k, j,k + elde edlr. ( t) ( x) ( z) c. t λ = alınarak b denklem yenden düzenlenrse, x ( ) + λ ( + + ),j,k + 1 1,j,k,j,k 1 + 1, j,k 1, j,k, j+ 1,k +, j 1,k, j 1,k (.15) = λ (.16) İk boytl dalga denklemnn sonl fark fades elde edlmş olr.

43 8 Şekl. İk boytl dalga denklemnn çözümünde kllanılan grd ağı (.11) denklem aşağıda k boytl ortam çn fzksel açıklaması verlen a x a, z b sınırları arasında çözülecektr. Şekl.3 İk boytl dalga denklemnn çözümünde kllanılan sınırlar Çözüme başlarken bazı başlangıç şartlarının blnmes gerekr. Bnlar, ( x,z, ) = ( x,z, ) t = olarak alınmıştır. (.17) le verlen b başlangıç şartları sonl farklar cnsnden, (.17) =, 1 I + 1, 1 j J + 1 (.18), j,, j, 1 = şeklnde fade edleblr.

44 9.4 Üç Boytl Dalga Denklemnn SFM le Çözümü Üç boytl skaler dalga denklem 1 = + + c t x y z şeklndedr. B denklemdek türev eştlkler sonl farklar cnsnden x y z t şeklnde yazılır., + 1,j,k,l,j,k,l + ( x),j+ 1,k,l,j,k,l + ( y),j,k + 1,l,j,k,l + ( z),j,k,l+ 1,j,k,l + ( t) 1,j,k,l,j 1,k,l,j,k 1,l,j,k,l 1 (.19) (.) (.1) (.) (.3) B eştlkler (.19) denklemnde yerne konlp alınarak düzenlenr se, ( 3 ),j,k,l,j,k,l 1 ( ),j,k,l+ 1 = 1 λ + 1, j,k,l 1, j,k,l, j+ 1,k,l, j 1,k,l, j,k + 1,l + x = y = z ve λ = c t / x + λ (.4) denklem elde edlr., j,k 1,l Brada, j, k, l sırası le x, y, z, t ye karşılık gelen ndslerdr. B denklemn çözümünde kllanılan grd ağı Şekl.4 te ve çözüm sınırları Şekl.5 te verlmştr. B sınırlar a x a, z b, c y c arasındadır.