DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre

Transkript

1 1 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cnemre

2 2 BİRİNCİ BÖLÜM HEDEF PROGRAMLAMA 1.1 Grş Karar problemler amaç sayısına göre tek amaçlı ve çok amaçlı olmak üzere k gruba ayrılmaktadır. Tek amaçlı problemler, tek br amaç fonksyonunun optmzasyonuyla karakterze edleblrler. Gerçek hayat problemlernde optmze edlmek stenen amaç fonksyonu sayısı genellkle 1 den büyüktür. Bu gb durumlarda, genellkle en öneml görünen amaç öncelkle dkkate alınır dğerler amaçlar probleme ya kısıt olarak eklenr ya da başka br optmzasyon problem olarak değerlendrlr. Br başka yaklaşım se, çok sayıdak amacın tek br amaca dönüştürülmesdr. Bu yaklaşım, brbryle çelşen amaçların zorlamayla tek br amaca dönüştürülmes yönüyle eleştrlmektedr. Brbryle çelşen amaçların aynı ölçekte değerlendrlmes, dolayısıyla tek br amaç fonksyonu olarak ele alınması oldukça zordur. Ayrıca, gerçek hayat problemlernde bu her zaman gerçekleştrlemeyeblr. Problemde çelşen amaçlar aynı ölçekte değerlendrlmş olsalar da, çelşen bu amaçları optmum kılan tek br çözümün bulunması olanaksız olableceğ gb bulunan çözüm uygun olmayablr (Cnemre, 2003:325). Böyle durumlarda her amacın önem derecesn temel alan uzlaşık çözümler bulunablr (Baray-Esnaf, 2000: 343) 1. Burada, çok amaçlı durumları çeren problemler çn hedef programlama teknğ tanıtılacaktır. Hedef programlamada ana düşünce, orjnal çok amaçlı olan problem tek amaçlı probleme dönüştürmektr. 1.2 Hedef programlamanın tanımı ve gelşm Çok amaçlı karar problemnn hedef programlama olarak fade edleblmes çn amaçlar arasında önemlerne göre br öncelk sırası oluşturulmalıdır. Problemn hedef 1 Baray, Ş. Alp ve Şakr Esnaf. Yöneylem Araştırması (Taha, A. Hamdy. Operaton Research An İntroducton 6. Basımdan Çevr). Brnc Baskı. İstanbul: Lteratür Yayınları, 2000

3 3 programlamaya dönüştürüleblmesnde, her br amaç çn erşlmek stenen brer hedef değer belrlenmes gerekr. Burada, amaç ve hedefn brbrlernden farklı kavramlar olduğu göz ardı edlmemeldr. Amaç, br eylemn karar verc tarafından hang doğrultuda gerçekleştrlmek stendğn, hedef se bu eylemn ncelğn fade eder. Örneğn br şrketn kârını arttırmak stemes amaç, kârın söz gelm 1500 den az olmaması hedeftr. Hedef programlamada amaç hedeflerden stenmeyen yöndek sapmaların (p = Poztf Sapma, n = Negatf Sapma) en küçük olmasıdır. Bu yüzden hedef programlama orantısız ve genellkle brbrler le çelşen hedeflern bulunduğu problemlerde başarı le uygulanablmektedr (Rnguest, 1992:19). Hedef programlama lk kez Charnes and Cooper tarafından 1961 yılında ortaya atılmış, 1965 yılında Ijr tarafından genelleştrlmş ters alma teknğ le çözüm elde edleblen daha kullanışlı br hale getrlmş (Wu, 1981:358), 1968 yılında da Contn hedef programlamayı belrszlk durumlarına, Jaaskelanen se toplu üretm planlamasına uyarlamıştır. Daha sonraları hedef programlama akademk, fnans, şletme yönetm, medya gb br çok değşk dalda uygulama alanı bulmuştur. Bunların çoğu Sang Lee nn Goal Programmng for Decson Analyss sml ktabı ve Lee ve Jaaskelanen n gelştrdğ blgsayar programları sayesnde gerçekleştrlmştr (Wu, 1981:358). Gerçek hayata uyarlanablrlğ bakımından çok etkn olan hedef programlama günümüzde de; üretm planlaması, ş gücü planlaması, akademk kaynak tahss, fnansal planlama, bütçeleme, naklye, performans tahmnlemes gb br çok alanda kullanılmaktadır. 1.3 Hedef programlamanın yapısı Hedef programlama; 1. Karar değşkenler 2. Sstem kısıtları 3. Hedef kısıtları 4. Amaç fonksyonları 5. Brleşk amaç (Başarı) fonksyonu olmak üzere beş bleşenden oluşur.

4 4 Karar değşkenler: Modelde karar verc tarafından değer belrlenmek stenen blnmeyenlere karar değşken adı verlr. Karar değşkenler x ler le fade edlmştr. Sstem kısıtları: Doğrusal programlamadak kısıtlara karşılık gelrler. Bunlar mutlak olan ve değşmelerne zn verlmeyen kısıtlardır. Doğrusal programlamadak gb formüle edlrler ve öncelkle bunların gerçekleştrlmesne çalışılır. Hedef kısıtları: Ulaşılmak stenen hedef değerlern gösteren fonksyonlardır. Bunlar sstem kısıtları kadar katı ve değşmez değldr. Sstem kısıtları sağlandıktan sonra hedef kısıtlarının sağlanması sürec başlar. Hedeflenen başarı le gerçekleşen başarı arasındak farka sapma denr. Hedef tam anlamıyla sağlanmışsa sapma sıfırdır. Hedefe ulaşılamamışsa negatf sapma, hedefn üzernde br başarı sağlanmışsa poztf sapma meydana gelr. Poztf sapmalar p, negatf sapmalar n le gösterlr. Amaç fonksyonları: Herhang br amaç çn belrlenen hedeften olablecek sapmaları en küçükleyen fonksyona amaç fonksyonu adı verlr. Bu çalışmada amaç fonksyonları G le gösterlecektr. Bu bağlamda stenmeyen sapmaların br fonksyonu olan G( n, p ), nc amaç fonksyonunu göstermektedr. Brleşk amaç (Başarı) fonksyonu: Brleşk amaç fonksyonu, dğer br adıyla başarı fonksyonu, tüm amaç fonksyonlarının belrl br öncelk sevyes ve/veya ağırlığa göre toplam şeklnde yazılmasıyla oluşturulur. Başarı fonksyonun oluşturulmasındak temel lke, çok amaçlı model tek amaçlı br modele ndrgemektr. Böylelkle, asıl amaç hedeflerden olablecek stenmeyen sapmalar toplamını en küçüklemek olacaktır. Başarı fonksyonu s le gösterlecektr. 1.4 Hedef programlamanın varsayımları Hedef programlamanın varsayımları aşağıda açıklanmıştır. Hedeflern öncelklendrlmes: Hedeflern öncelklernn belrlenmesnde kullanılan üç farklı algortma vardır. Bunlar; Ordnal Sıralama, Kardnal Sıralama ve Ordnal ve Kardnal Sıralama dır. Üçü de çok sayıda amaç fonksyonun tek br amaç fonksyonuna ndrgenmesn sağlar.

5 5 1. Ordnal sıralama: Karar verc, hedefler arasında önem bakımından br öncelk sırası oluşturmalıdır. Hedefler arasındak en yüksek dereceden öncelk P 1, sonrak P 2,, le gösterlmeldr. Sözgelm kâr, pazar payından öneml olablr, yan kâr hedef pazar payı hedefnden önce gelr (Cnemre, 2003:326). Bu varsayım oldukça sınırlayıcı görünmekle brlkte uygulamada pek çok durum bu varsayımı sağlar hale getrleblr. Model daha sonra, yüksek öncelkl hedefn optmum değernn küçük öncelkl hedef tarafından kötüleştrlmesne zn vermeyecek şeklde, her sefernde br hedef değern optmum kılar (Baray-Esnaf, 2000: 348). Ordnal sıralamada problemn h sayıda hedef, karar vercnn amaçlarının önemne göre br sıraya sokulur. β ler ( = 1,2,..,h),. hedef tanımlayan Mn G= 1 β 1 (1. Dereceden veya en yüksek öncelk sevyes, P) 1.. Mn G = β.. Mn G n = β h (h. Dereceden veya en düşük öncelk sevyes, P h ) n veya p sapma değşkenlernn br bleşendr. Burada önemle vurgulanması gereken,. hedef çn tanımlanmış eştszlğn (kısıtın) yönü bçmndeyse, G amaç fonksyonun p (. poztf sapma) değşkenn, eştszlğn yönü bçmndeyse, n değşkenn en küçükleyeceğdr. Brnc durumda Mn da Mn G = G = p, knc durumda n geçerldr. Dolayısıyla brnc durumda (1.1) brleştrlmş amaç fonksyonunda G yerne p, knc durumda da n gelmeldr. Tüm amaç fonksyonlarını (h adet) çeren brleştrlmş amaç fonksyonu aşağıdak gb tanımlanablr: Mn s = P1G 1+ P2G PnG h (1.1) Algortma, 1. dereceden öncelkl G 1 hedefnden çözüme başlayarak, en düşük öncelkl hedefyle çözümü sonlandırır. Süreç, düşük öncelkl hedefler çn bulunan optmum değerlern, yüksek öncelkl hedefler kötüleştrmesne zn vermeyecek şeklde şler. Yan tüm ler çn s( G j ),. hedeften daha düşük br öncelkl ( < j) j. hedefn optmum değer olmak üzere; s( G j ) nn optmzasyonu, s( G ) nn değern kötüleştremez. G n Aslında öncelk sıralaması düşünces doğrusal programlama gb geleneksel tek amaçlı modellere de uyarlanablr. Br doğrusal programlama, sstem kısıtları olarak blnen doğrusal

6 6 kısıtlar ve sınırlamalar altında, tek br doğrusal amaç fonksyonun en ylenmes olarak yazılır. Burada sstem kısıtları, kullanılan kaynakların sınırlarını fade ederler. Bu bağlamda, br doğrusal programlama, brnc öncelk olarak kısıtların sağlanmasını, knc öncelk olarak da amaç fonksyonunun en ylenmesn amaç ednen br hedef programlama olarak değerlendrleblr. 2. Kardnal sıralama (Ağırlıklandırma): Bu yöntemde hedeflerden olacak stenmeyen her sapmaya belrl br ağırlık verlmeldr. Bu ağırlıklar her sapmanın görece önemn gösterr. Modelde tek br amaç fonksyonu, problemn hedeflern temsl eden fonksyonların ağırlıklandırılmış toplamı halne getrlr. Bu yaklaşım özellkle sapmaların boyutları brbrlernden farklı olduğunda önem kazanır. Bu yaklaşımın bell başlı k zorluğu vardır. Brncs hedeflern ağırlıklandırılmasının zor olması, kncs ağırlıkların hem hedeflern görece önemlern hem de sapmalar arasındak boyut lşksn açıklamasıdır. nc amaç fonksyonu, br modeln amaç fonksyonları aşağıdak gbdr: G, w ler nc amaç fonksyonun ağırlık çarpanı olmak üzere; n hedefl Mn G, = 1, 2,., h Ağırlıklandırma yöntemnde kullanılan brleştrlmş amaç fonksyonu en genel halyle Mn s = w1g1+ w2g wngh (1.2) bçmnde tanımlanır. Burada da,. hedef çn tanımlanmış kısıtın yönü bçmndeyse, G amaç fonksyonun p (. poztf sapma) değşkenn, eştszlğn yönü bçmndeyse, n değşkenn en küçükleyeceğdr. Brnc durumda Mn G = p, knc durumda Mn Dolayısıyla brnc durumda (1.2) brleştrlmş amaç fonksyonunda durumda da n gelmeldr. G = n geçerldr. G yerne p, knc 3. Ordnal ve kardnal sıralama: Ordnal ve kardnal sıralama, belrl br hedef çn tanımlanan sapmaların her ksnn brden stenmemeler durumunda kullanılablr. Böyle br durumda aynı öncelk sevyesnde bulunan sapmalardan hangsnn daha öneml olduğunu belrlenmeldr. Örneğn ve G hedefne at olan n p sapmalarının her ks de stenmyor se, hangsnn daha öneml olduğu belrlenmeldr. Eğer ks de aynı öneme sahp se, G fonksyonu brleştrlmş amaç fonksyonunda

7 7 PG = P ( n + p) bçmnde fade edleblr. İk sapmanın önemler farklı se, bu farklılık fade edlmeldr. Örneğn negatf sapma, poztf sapmadan daha öneml se, n sapması. öncelk sevyesnde, p sapmasında (+1). öncelk sevyesnde fade edleblrse ( G = Pn + P + 1 p ) de bu durum br karışıklığa yol açablr. Çünkü, ordnal sıralamada bahsedldğ gb P başka br hedefn, P + 1 başka br hedefn öncelk sevyesn fade etmektedr. Böyle br karışıklıktan kurtulablmek çn, aynı öncelk sevyesnde bulunan nvep sapmaları önemlerne göre ağırlıklandırılablr. Mesela,. hedefe at poztf sapma negatf sapmadan k kat öneml se, hedef fonksyonu brleşk amaç fonksyonunda PG = P n + 2Pp bçmnde fade edleblr. Negatf olmama varsayımı: Hedef programlamanın knc varsayımı, tıpkı doğrusal programlamada olduğu gb, tüm karar değşkenlernn sıfır veya poztf olması varsayımıdır. Hedef programlamanın çözümünde kullanılan Smpleks çözüm yöntem negatf olmayan değşkenler gerektrdğ çn bu varsayım zorunludur. Negatf olmama koşulu br varsayım olmasına rağmen başlangıçta bu varsayımı sağlamayan durumlar kolayca bu varsayımı sağlar hale getrleblr (Cnemre, 2003: 328). 1.5 Hedef programlamanın formülasyonu Br karar modelnn oluşturulmasında lk olarak karar değşkenler belrlenmel ve sırasıyla karar vercnn stekler, kısıtlı kaynaklar ve karar değşkenler üzerndek kısıtlamalar göz önünde bulundurulmalıdır. Kısıtlı kaynaklar ve karar değşkenler üzerndek kısıtlamalar negatf olmama koşulu le brlkte problemn uygun çözüm bölgesn oluşturur. Karar vercnn tamamen karşılanmasını stedğ amaçları brnc öncelk sevyesne ayrılır. Hç br sapmaya zn verlmeyen türden amaçlar se modele uygun çözüm bölgesn belrleyen brer sınırlayıcı olarak da alınablr. Tamamen karşılanması zorunlu olmayan dğer tüm amaçlar önem sırasına göre sıralanır. Amaçların belrlenmesnde dkkat edlmes gereken br konu amaç sayısının olabldğnce azaltılmasıdır. Bunun yolu amaçların tek tek ncelenerek brs karşılandığında, kendlğnden karşılanmış olan dğer amaçların elmne edlmesdr. Amaçların mümkün olan en az sayıya ndrgenmesnden sonra sıra, gerde kalan amaçları matematksel

8 8 olarak fade etmeye gelr. Karar vercnn amaçları çn bazı tpk örnekler; en büyük kar, en küçük malyet, en az fazla mesa, personelden en yüksek düzeyde faydalanma, en küçük rsk vb olarak sıralanablr. Br sonrak adım se, belrlenen amaçlar çn ulaşıldığı takdrde karar vercy tatmn edecek hedef değerlernn belrlenmesdr. Örneğn, modelde herhang br. amaç çn lgl karar değşkenlernn kullanılmasıyla oluşturulmuş hedef fonksyonu f(x) olsun. Bu fonksyon le fade edlen br amaç çn belrlenen hedef değer ε olsun. d> 0 olmak üzere; problemn çözümünde f(x) n değer e+ d se, poztf sapma değşkennn değer δ ( p =δ ) ve negatf sapma değşkennn değer sıfır olur. f(x) n değer ε δ se, poztf sapma değşkennn değer sıfır ve negatf sapma değşkennn değer δ dır ( n =δ ). Çözümde f(x)= ε olması se negatf ve poztf sapmaların ksnn de sıfır değer aldığı anlamına gelr( n = 0, p = 0). Hedef değer belrlenmş olduğundan sıra, bu değerden olablecek sapmaları gösteren hedef kısıtlarını yazmaya gelr. Bu kısıtlardan sonra da, stenmeyen sapmaları en küçükleyecek olan amaç fonksyonları ( G ) belrlenmeldr. Karar modelnn oluşturulmasının son adımı da, öncelklerne göre sıralanmış tüm amaç fonksyonlarının fonksyonunun oluşturulmasıdır. Oluşturulan bu fonksyona başarı fonksyonu adını vermştk. Buraya kadar bahsedlen adımlar aşağıda ayrıntılandırılmıştır. Hedeflern ve hedef fonksyonlarının belrlenmes: Bu kısımda karar verc, her br amacı çn stedğ hedefler belrler. Bundan sonra her br hedef çn lgl karar değşkenlernn kullanılmasıyla br hedef fonksyonu oluşturulur. Hedefler, herhang br hedef fonksyonunun değernn belrl br değern altında kalmaması, üstüne çıkmaması veya belrlenen değere eşt olması şeklnde olablr. Örneğn br fabrkada belrl br zaman dlmnde üretlen, farklı kaltede A, B ve C ürünlernn toplamının en az 1000 adet olması. Sstem kısıtlarını fade eden hedef fonksyonlarında bu hedef değerler kendlğnden ortaya çıkar. Ancak dğer amaçlar çn karar vercnn makul hedefler belrlemes beklenr. Sözgelm. amaç çn belrlenen hedef b olmak üzere, her hedef fonksyonu aşağıdak durumlardan brne uyacak şeklde fade edlr.

9 9 f(x) b (1.3) f(x) = b (1.4) f(x) b (1.5) Sapma değşkenlernn belrlenmes: Daha önce fade edldğ gb hedeflenen değerlerden sapmaları gösteren değşkenlere sapma değşkenler kısaca sapma denr. f(x) hedef fonksyonunun, b değern aşma mktarını gösterecek olan negatf sapma değşken n, b değernn altında kalma mktarını gösterecek olan poztf sapma değşken de p le gösterlecektr. Bu sapma değşkenler aşağıdak gb tanımlanablr. ìf( x) - b ; f( x) > b p = ï í ïî ï 0 ; f( x) b (1.6) ìb- f( x) ; f( x) < b n = ï í ï ïî 0 ; f( x) ³ b (1.7) İstenmeyen sapma değşkenler yukarıda (1,3), (1,4) ve (1,5) le açıklanan durumlara bağlı olarak aşağıdak gb belrlenr. (1,3) şeklnde se n (1,4) şeklnde se n ve p (1,5) şeklnde se p Hedef kısıtlarının belrlenmes: Sapma değşkenlernn at oldukları hedef fonksyonlarının sol tarafına eklenmes le elde edlen hedef kısıtları, herhang br. amaç çn aşağıdak gbdr. f (x) +n p = b ( = 1,2,..,) (1.8)

10 10 Mutlak amaçların belrlenmes: Herhang br amaç çn belrlenen hedef değernn tutturulablmes, o hedef çn belrlenen n ve p stenmeyen sapma değşkenlernn değerlernn sıfır olmasına bağlı se, bu br mutlak amaçtır. Karar vercnn bu tür amaçları olduğunda, k bu çok sık rastlanan br durumdur, öncelkle bunların karşılanmasına çalışır. Bunun çn bu tür hedefler, en yüksek dereceden önem düzeyn gösteren P 1 le ağırlıklandırılmalıdır. Mutlak amaçların P 1 le ağırlıklandırılması, bu amaçların daha düşük önem düzeyndek amaçlardan daha önce karşılanmasını sağlar. Amaçların öncelk sevyelerne ayrılması: Mutlak amaçların brnc öncelk sevyesne ( P 1 ) ayrılmasından sonra gerye kalan mutlak olmayan amaçlar çn de karar vercnn terch sırasına göre önem sevyeler belrlenr. Aralarında önem bakımından br doğru orantı mevcut olan amaçlar aynı önem sevyesne ayrılablr. Farklı ölçülerle açıklanan amaçlar ancak ortak br ölçek le fade edlebldklernde aynı öncelk sevyesnde br araya getrleblrler. Ağırlık faktörlernn belrlenmes: Aynı önem sevyesndek k amaç veya aynı hedefe at olan sapmalar (n,p) arasında terch bakımından farklılık olması sorun yaratablr. Söz konusu sorunun üstesnden geleblmek çn aynı önem sevyesndek amaçlara ve/veya stenmeyen sapmalara brer ağırlık çarpanı atanır. Ağırlık çarpanlarının büyüklükler, amaçların kend aralarındak ve/veya stenmeyen sapmaların kend aralarındak bağıntıya ve karar vercnn terchne göre belrlenr. Amaç fonksyonlarının oluşturulması: Bu adımda (1.8) le fade edlen tpk br hedef kısıtının oluşturulmasında kullanılan hedef çn, aşağıdak üç durumdan br söz konusudur. Böylelkle bu üç durumdan brne uyan x çözüm değer belrlenr. 1. b ye eşt ya da daha büyük 2. b ye eşt ya da daha küçük 3. b ye eşt Bu üç olası durumda yapılacak şlem Tablo 1.1 de gösterlmştr. Tablo 1.1 den de anlaşılacağı gb başarı fonksyonunun bleşenler olan fonksyonlar stenmeyen sapmaların fonksyonlarıdır.

11 11 Tablo 1.1: Amaç Fonksyonu Oluşturma Tablosu 2 Amaç Yapılacak İşlem 1. f (x), b ye eşt ya da daha büyük enk n 2. f (x), b ye eşt ya da daha küçük enk p 3. f (x), b ye eşt enk n + p Başarı fonksyonunun oluşturulması: Son olarak da s le gösterlecek olan başarı fonksyonu aşağıdak formda fade edleblr. { 1[ 1(, )], 2[ 2(, )],..., h[ h(, )]} enks= PG np P G np P G np (1.9) Yukarıda fade edlen başarı fonksyonunda h, amaçlar arasındak farklı önem düzeylernn sayısı, Gj ( n, p ) (j = 1,2,.h)), j. öncelkl olarak en küçüklenmes beklenen stenmeyen sapma değşkenlernn br fonksyonu (Amaç fonksyonu) ve P h de Gh ( n, p ) fonksyonunun öncelğn göstermektedr. Açıktır k toplam amaç fonksyonu sayısı m se h m olacaktır. Eğer s nn bleşenler olan Gh ( n, p ) fonksyonları, başarı fonksyonunda önem sırasını koruyacak şeklde yerleştrlmşler se, P1, P2,..., P h lern kullanılmaması br sorun yaratmayacaktır. Bu durumda başarı fonksyonu brnc bleşen brnc öncelkte, knc bleşen knc öncelkte,..., olmak üzere aşağıdak gb daha yalın br bçmde fade edleblr. Bu çalışmada da bu gösterm terch edlmştr. { (, ), (, ),..., (, )} enk s = G n p G n p G n p (1.10) 1 2 h (1.10) s = G ( n, p) olmak üzere aşağıdak gb fade edlr. h h 2 Ignzo, J. P., (1979); Goal Programmng and Extensons, Second Edton, Lexngton Books, Massachusest.

12 12 ( ) enk s = s1, s2,..., sh (1.11) Verlen br hedef programlama model çn en y çözüm noktası olan br x noktası * * le, bu noktaya karşılık amaç fonksyonunun aldığı değer s le gösterlr. Açıktır k s, dğer tüm uygun çözüm noktalarına karşılık elde edlen başarı fonksyonlarından daha fazla terch edlen veya aynı olandır. Farklı x değerlerne göre elde edlen başarı fonksyonları arasında terch yapma şlem aşağıdak gb tanımlanablr. * x Farklı k x 1 ve x 2 uygun çözüm noktasına karşılık elde edlen k başarı fonksyonunun k değer sırasıyla s (1) ve s (2) olsun. Bu sonuçlardan s (1) n s (2) ye göre terch edlr olablmes çn s(1) s(2) vektörünün sıfır olmayan lk bleşennn negatf olması gerekr Genel hedef programlama model Buraya kadar bahsedlen adımların zlenmes le çok amaçlı karar verme problem stenen formda modellenmş olur. Hedef programlama olarak tanımlanan bu modeln genel görünümü aşağıdak gbdr. { (, ), (, ),..., (, )} enk s = G n p G n p G n p (1.12) 1 2 h f ( x) + n p = b ( = 1,2,..., m) (1.13) x, n, p ³ 0 ( = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n) (1.14) j 3 Bu durum, lexcographc mnmum olarak adlandırılır. Örneğn s (1) = ( 0, 2,50), (2) ( 0,3,2) edlr. s = ye terch

13 13 Burada (1.12) başarı fonksyonunu, (1.13) kısıtları ve (1.14) negatf olmama koşulunu fade etmektedr. 1.7 Doğrusal hedef programlama model Genel hedef programlama modeln oluşturan fonksyonların doğrusal olması ve doğrusal programlamanın koşullarının sağlanması durumunda doğrusal hedef programlama söz konusu olur. Bu bağlamda, sözü edlen koşulları sağlayan br genel hedef programlama model doğrusal hedef programlama olarak aşağıdak gb modellenr. { (, ), (, ),..., (, )} enk s = g n p g n p g n p n j= å cx j j + n - p = b ( = 1,2,..., m) (1.15) x, n, p ³ 0 ( = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n) j H Söz konusu hedef programlama olduğunda doğrusal programlama çn verlen tanımlar aşağıdak gb değştrlmeldr. Tanım 1.1 (Temel Çözüm): Karar değşken sayısı n ve amaç sayısı m olmak üzere ( n+ 2 m) m değşkennn değer sıfır olan çözüme temel çözüm denr. Değer sıfır olan (n + m) değşkene temel olmayan değşkenler, ger kalan m değşkene de temel değşkenler denr. Tanım 1.2 (Uygun Çözüm): Mutlak amaçların tümünü karşılayan br çözüme uygun çözüm denr. Tanım 1.3 (En İy Çözüm): Eğer br x noktası çn elde edlen başarı fonksyonu s, dğer tüm uygun çözümler çn elde edlenlere terch edlyor veya aynı kalıyor se x en y çözüm olarak adlandırılır.

14 14 İKİNCİ BÖLÜM DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME GİRİŞ Pek çok şletme problem gb, bütçeleme problemler de uygun optmzasyon teknkleryle çözülmeldr. Bu amaçla kullanılablecek pek çok optmzasyon teknğ vardır. Bunlardan en blnen ve yaygın bçmde kullanılanı doğrusal programlamadır. Bu çalışmada br çeşt doğrusal programlama olan doğrusal hedef programlama kullanılmış ve özel br dershanenn sermaye bütçelemes gerçekleştrlmştr. Bu amaçla dershanenn kendne has özellkler göz önüne alınmış ve dkkate alınan özellklere uygun br model gelştrlmştr. Model oluşturmada dershanenn dönem verler kullanılmış, oluşturulan modelle dönem bütçelenmştr. 2.1 Dershane hakkında blgler Uygulamaya konu olan dershane Lse 1, 2 ve 3 çn ders takvyes, ÖSS ve LGS çn hazırlık dersler vermektedr dönemnde açılmış kurs tpler, öğrenc sayıları, öğrenclerden alınan kurs bedeller le çn alınablecek maksmum öğrenc sayısı Tablo 2.1 de özetlenmştr. Dershane gelecek dönemde tam kapaste le çalışacağını öngörmektedr. Tablo Dönem çn öğrenc sayısı ve kurs ücret Kurs Tp Öğrenc Sayısı Yıllık Ücret (YTL) Ücret Ağırlık Faktörü Alınablecek Maksmum Öğrenc LGS ÖSS ve Takvye

15 15 Dershanede, çeştl branşlardan toplam 15 öğretmen görev yapmaktadır. Branşlara göre öğretmen sayıları, bunların ders saat ücretler le yıl bazında grmeler zorunlu ders saat toplamı (GGD) le grleblecek maksmum ders saat toplamı (DÜS) Tablo 2.2 de gösterlmştr. Tablo 2.2 Ders blgler Branşlar Öğretme n Sayısı Ders Saat Ücret (YTL) Öngörülen ders ücret (YTL) GGD (Haftalık) GGD (Yıl /saat) DÜS (Yıl /saat) Matematk Fzk Kmya Byoloj Türkçe Coğrafya Tarh Felsefe İnglzce Blgsayar P.P Öğretmenlern dışındak personeln sayısı hakkında gerekl blgler Tablo 2.3 de verlmştr. Tablo 2.3 Sabt maaş karşılığı çalışanlara at aylık ve yıllık tutarlar (YTL). Yönetm ve Personel (Kş) Aylık Yıllık Hedef Müdür Müdür Yrd Sekreter Güvenlk Gör Temzlk Gör Yıllık Toplam Yönetm, en az gderle en yüksek kârı amaçlamakla brlkte öğrenc memnunyetnden ve kaltel eğtm poltkasından ödün vermek stememektedr. Bunun çn, gerekl temel harcamalardan ve öğrencler başarıya götürecek yeterllkte branş derslernden tasarrufa

16 16 gdlmes düşünülmemektedr. Her branş çn toplam ders saat; yasal sınırlamalar, dershane olanakları, geçmş deneymler, yıl çnde yapılan anketler ve deneme sınavlarının sonuçları dkkate alınarak belrlenmektedr. Aşırı ders saat dershanenn gderlern arttırdığı gb sınıf, zaman ve öğretmen yeterszlğne yol açtığından stenmemektedr. Yapılan anket sonuçları ve deneme sınavlarındak genel başarı göz önünde bulundurularak her branş çn 10 üzernden br performans puanı (PP) * hesaplanmıştır. Bu puanlar öğrenc steğ le ders saatler arasında denge kurmak çn kullanılmıştır. Ayrıca, öğrenc sayısının hedeflenenden az olmaması çn kayıt dönem öncesnde reklam ve tanıtımlara ağırlık verlmeldr. Her yıl olduğu gb vergler düzenl br şeklde ödenmeldr. Öğrenclere dönem başında ve yıl çnde verlen kaynak ktaplar, testler, uygulanan deneme sınavları, tadlat, gerekl araç-gereç ve chazlar çn belrl br kaynak ayrılmalıdır. Tüm bu gderler saptandıktan sonra, stenen kar hedefnn yakalanması çn öğrenclerden uygun br ücret alınması gerektğ açıktır öğretm yılı tbaryle öğrenc sayıları, ders saatler, yapılan çeştl harcamalar ve öğretm yılı hedefler aşağıda özetlenmştr: Öğrenc sayısı ve ücret: Halhazırda ÖSS ve takvye kursu öğrenclernden yıllık 3000 YTL, LGS kursu öğrenclernden de 2000 YTL ücret alınmaktadır yılında da kurs ücretler arasındak 2/3 oranın sabt kalması stenmektedr. Bu koşul sstem kısıtı olarak, K(23) no lu denklemde sağlanmış ve Tablo 2.1 de ücret ağırlık faktörü olarak gösterlmştr. Çalışanlara verlen ücretler, ders yükü ve ders ücret hakkında blgler: Gelecek yıl ders saat ücretlerne %15, Müdür ve yardımcısının maaşlarına %20, dğer çalışanların maaşlarına da %15 zam yapılması öngörülmektedr. Öğretmenlern yıllık toplam ücret, yıllık ders yüklerne göre hesaplanacaktır. Ders yükler yıldan yıla değşebldğnden öğretmenlere ödenecek tutarın hesaplanması çn öncelkle gelecek yıl her branş çn öngörülen yıllık ders yükünün belrlenmes gerekmektedr. Ders yüklernn belrlenmes modelmzde 1. * Bu puanlar Tablo 2.2 nn son sütununda gösterlmştr.

17 17 dereceden amaç olarak ele alınmıştır dönemnde, her branş çn öğrenclere verlmes gereken en az ve verleblecek en fazla ders yükü le saat ücretler Tablo 2.2 de öngörülen ders ücret başlıklı sütunda verlmştr. Vergler ve Muhasebe Ücretler: Yılda br kez olmak üzere harç vergs verlmektedr. Tüm öğretmenlern sgorta prmler tutarı, ortalama maaşları toplamının %15 ne eşttr dönemne at bu değer, her branş çn grlmes gereken saat le o branşa karşılık gelen br saatlk ücretn çarpımları toplamına eşttr. Bu değern gelecek yılk tutarı, her branş çn kaç saat ders yapılacağına bağlıdır. Gelecek öğretm yılında da sgorta prmlernn toplam maaş tutarlarının %15 ne karşılık geleceğ öngörülmektedr dönemnn sgorta prm bu dönemn ders yükler belrlendkten sonra hesaplanacaktır. Her ay düzenl br şeklde muhasebe ücret verlmektedr. Bu ücret yıllık olarak hesaplanmıştır. Bu öğretm yılına at verler ve gelecek yılk öngörüler Tablo 2.4 de gösterlmştr. Tablo 2.4 Vergler ve muhasebe ücret (YTL) Harcama Kalemler Yıllık Tutar Harç Vergs Sgorta Prm Muhasebe Ücret Zorunlu Gderler: Gelecek yıl çn %10 artacağı öngörülen zorunlu gderlern, çnde bulunduğumuz dönemdek değerler le dönem değerler aşağıdak tabloda gösterlmştr.

18 18 Tablo 2.5 Zorunlu gderler (YTL) Yıllık Tutar Yıllık Tutar Elektrk Su Telefon Temzlk Malzemeler Yakıt Toplam Ktap, test, deneme sınavı, kırtasye, chaz ve malzeme gderler (yayın ve chaz): Bu tür gderlern gelecek yıl %5 artacağı öngörülerek hesaplanan değerler aşağıda gösterlmştr. Tablo 2.6 Yayın ve chaz gderler (YTL) Yıllık Tutar ( ) Yıllık Tutar ( ) Ktap Yaprak Test Sınav Ktapçığı Kırtasye Chaz ve malzeme Toplam Reklam ve Tadlat gderler: Bu yıl reklam ve tanıtım çn 7500 YTL harcanmış olup bu değern gelecek yıl en az YTL olması planlanmaktadır. Ayrıca bu yıl çn 5000 YTL tutarında olan tadlat harcamalarının gelecek dönemde en az 7500 YTL olması öngörülmektedr.

19 19 Tablo 2.7 Reklam ve tadlat gderler (YTL) Yıllık Tutar Yıllık en az Reklam Tadlat Toplam Sabt maaş karşılığı çalışanların, zorunlu gderlern, yayın ve chaz gderlernn gelecek yılk tutarının toplam 125,934 YTL olması öngörülmektedr. 2.2 Modeln kurulması ve modeln çözülmes Problemn çözüm aşamaları aşağıdak gbdr: Karar değşkenlernn tanımlanması x = nolu dersn saat (saat/yıl) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Burada 1 (Matematk), 2 (Fzk), 3 (Kmya), 4 (Byoloj), 5 (Türkçe), 6 (Coğrafya), 7 (Tarh), 8 (İnglzce), 9 (Felsefe), 10 (Blgsayar) derslernn numaralarını fade etmektedr. Ayrıca, x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 = Verg Gderler (YTL/yıl) = Reklam ve tadlat gderler(ytl/yıl) = Tüm öğrenclernden alınması gereken ortalama ücret (YTL/yıl) = LGS kursu öğrenclernden alınması gereken ücret (YTL/yıl) = ÖSS ve Takvye kursu öğrenclernden alınması gereken ücret (YTL/yıl) Sstem kısıtlarının belrlenmes Sstem kısıtları beş bölümden oluşmaktadır. K() kısıt denklem numarası olmak üzere, brnc bölümdek kısıtlar (K1-K10) dershanenn öğrenclere karşı olan yükümlülüklern fade etmektedr. Tablo 1 den görüldüğü gb her branş çn yıllık belrl br ders yükünün altına

20 20 nlmemeldr. İknc bölümdek kısıtlar se (K11-K20) her hang br branş çn yapılablecek ders yükünün üst sınırını fade etmektedr. Üçüncü bölümdek kısıt (K21) se, LGS kursu öğrenclernden alınan ücretn ÖSS ve takvye kursu öğrenclernden alınan ücretn 2/3 ü x 2 = ) olmasını fade etmektedr. Dördüncü bölümdek kısıt (K22) se, ortalama ücretn, LGS x 3 ( kursu öğrenclernden alınan ücret le ÖSS ve takvye kursu öğrenclernden alınan ücretn x14 + x15 ortalamasına ( = x13 ) eşt olduğudur. Bu k kısıt yardımıyla lgl kursların ücretler 2 belrlenmektedr. Son kısıt da (K23) reklam ve tadlat gderlernn YTL den az olmaması gerektğn fade etmektedr. 1. Bölüm kısıtları (Öğrenclere karşı yükümlülükler): x x x3 640 x x x x x8 640 x9 640 K(1) K(2) K(3) K(4) K(5) K(6) K(7) K(8) K(9) x K(10) 2. Bölüm kısıtları (Ders saatlernn üst sınırları): x x x3 800 x x x x x8 800 x9 800 K(11) K(12) K(13) K(14) K(15) K(16) K(17) K(18) K(19) x K(20) 3. Bölüm: LGS kursu ücretyle, ÖSS ve takvye kursu ücret arasında 2/3 oranı olmalıdır. 3 x 14-2 x 15 = 0 K(21)

21 21 4. Bölüm: x 14 + x15-2 x 13 = 0 K(22) 5. Bölüm: Reklam ve tadlat gder YTL den az olmamalıdır. x K(23) Amaçların belrlenmes ve hedeflern saptanması Bu bölümde dershanenn genel lkelerne bağlı kalınarak ve sorumlulukları göz önünde bulundurularak, belrlenen amaçlar doğrultusunda gelecek dönem hedefler saptanacaktır. Hedefler belrlendkten sonra, sırasıyla bu hedeflerden olablecek sapmalar tanımlanıp (negatf = n, poztf = p ), lgl amaç çn amaç fonksyonu (g( n, p )) oluşturulacaktır. 1. Amaç: Dershane yönetm çn en hassas konu öğrenclere her branş çn verlecek yıllık ders yüklernn belrlenmesdr. 2. Hedef: Ders yükünün arttığında öğrenc memnunyetnn yanı sıra eğtm-öğretm malyet de artmaktadır. Malyetn artması stenmedğnden amaç fonksyonu malyet azaltıp memnunyet arttıracak şeklde kurulmalıdır. Gelecek yılda %15 zamlanması planlanan ders saat ücret ortalaması, performans puanları ortalamasına bölünerek branşlara göre öğrenc memnunyet 1.51 YTL le sayısallaştırılmıştır. Bu değer amaç fonksyonunda ağırlık faktörü olarak kullanımıştır. Gelecek yıl çn ders saat hedef, bu yıl her branş çn ayrı ayrı verlen yıllık ders saatnn altına düşülmemesdr. Bu hedefler (K1-K10) le tanımlandıklarından; n = 0, = 1,..10 olacaktır. Hedefler: Hedefler aynı zamanda sstem kısıtı olduklarından, br kez daha tanımlanmamışlardır. Sapma değşkenler ve hedef kısıtlayıcıları denklemler: Hedef kısıt denklemler le stenmeyen sapmalar dersler göre aşağıdak gbdr.

22 22 x 1 = Toplam Matematk ders saat (saat / yıl) p 1= x ; x 1 > ; x x1 - p 1= 2400 K(24) x 2 = Toplam Fzk ders saat (saat / yıl) p 2 = x ; x 2 > ; x x 2 - p 2 = 1280 K(25) x 3 = Toplam Kmya ders saat (saat / yıl) p 3 = x3-640 ; x 3 > ; x x3 - p 3 = 640 K(26) x 4 = Toplam Byoloj ders saat (saat / yıl) p 4 = x ; x 4 > ; x x 4 - p 4 = 640 K(27)

23 23 x 5 =Toplam Türkçe ders saat (saat / yıl) p 5 = x ; x 5 > ; x x5 - p 5 = 2400 K(28) x 6 =Toplam Coğrafya ders saat (saat / yıl) p 6 = x6-640 ; x 6 > ; x6 640 x6 - p 6 = 640 K(29) x 7 = Toplam Tarh ders saat (saat / yıl) p 7 = x7-640; x 7 > ; x7 640 x7 - p 7 = 640 K(30) x 8 = Toplam Felsefe ders saat (saat / yıl) p 8 = x8-640 ; x 8 > ; x8 640

24 24 x8 - p 8 = 640 K(31) x 9 = Toplam İnglzce ders saat (saat / yıl) x9-640; x 9 > 640 p 9 = 0 ; x9 640 x9 - p 9 = 640 K(32) x 10 = Toplam Blgsayar ders saat (saat / yıl) x ; x 10 > 640 p 10 = 0 ; x x10 - p 10 = 640 K(33) Amaç fonksyonu: g1 (n,p ) =[ p ( p 2 + p 3 + p 4 + p 5 ) ( p 6 + p 7 + p 8 ) p p 10 ] [ 8 p p p p p p p p p p 10 ] ya da G1 ( n, p ) = 5.17 p p p p p p p p p p 10 G(1) 2. Amaç: Harç vergs yılda br kez olmak üzere, sgorta prmler, muhasebe ücretler her ay düzenl br şeklde ödenmeldr.

25 25 Hedef: öğretm yılında ödenecek sgorta prmlernn, öğretmenlere ödenen yıllık toplam ders saat ücretlernn %15 ne karşılık gelmes öngörülmektedr. Muhasebe ücret ve harç vergsnn de enflasyonla beraber %15 artacağı öngörülmüştür (bkz Tablo 2.4). Dolayısıyla hedef, yılık verg ve muhasebe tutarından olablecek sapmaları en küçüklemektr. Hedef denklem, sgorta prmlernn %15 le harç vergsnn ve muhasebe ücretnn gelecek yıl olması öngörülen tutarlarının toplamının x 16 ya (Verg Gderler) eşt olması şeklnde fade edleblr. 0.15(17.25 x x x x x x x x x x 10 ) + ( ) = x 11 H(1) ya da [ 2.58 x ( x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 9 ) +1.55( x 6 + x 7 + x 8 ) x ] - x 11 = 0 Sapma değşkenler ve hedef kısıt denklemler: [ 2.58 x ( x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 9 )+1.55( x 6 + x 7 + x 8 )+2.07 x ] - x 11 + n 11 - p 11 = 0 Amaç fonksyonu: G2 ( n, p ) = n 11+ p 11 K(34) G(2) 3. Amaç: Öğrenc potansyelnn korunması çn reklam ve tadlat gderler öneml rol oynamaktadır. Bunun çn dönem başında etkl br reklam ve tadlat çalışmalarına grlmeldr. Ancak bu gderler aşırı malyete yol açmamalıdır. Hedef: Gelecek yıl reklam ve tadlat gdernn, öğrenclerden alınacak toplam kurs ücretnn %2 olması stenmektedr. Gelecek yıl toplam 300 kş öngörüldüğünden hedef denklem aşağıdak gb olmalıdır. 0.02(300 x 13 ) - x 12 = 0 H(2) ya da 6 x 13 - x 12 = 0

26 26 Sapma değşkenler ve hedef kısıtlayıcıların denklemler: 6 x 13 - x 12 + n 12 - p 12 = 0 K(35) Amaç fonksyonu: G(n,p) 3 = n 12 + p 12 G(3) 4. Amaç: Gelecek yıl zarar edlmemeldr. Bu da dershane öğrenclerden uygun br ücret alınmasını gerektrmektedr. Hedef: Gelecek yıl %100 kar hedeflenmektedr. Bu da toplam gdern, öğrenclerden elde edlecek gelrn yarısı olmasıyla mümkündür. Sabt maaş karşılığı çalışanların, zorunlu gderlern, yayın ve chaz gderlernn gelecek yılk tutarının toplam 125,934 YTL olacağı göz önünde bulundurulmakla brlkte verg gderler ( x 11 ), reklam ve tadlat gderler ( x 12 ) ve toplam ders saat ücretler, toplam gderler oluşturmaktadır. 300 x 13-2[ 125,934 + x 12 + x x x x x x x x x x x 1 ] = 0 (H3) Sapma değşkenler ve hedef kısıtlayıcıların denklemler: Bu denklem, alınan ücretn %50 nn tüm gderlere eşt olması gerektğn fade eden ve kar hedefne ulaşılablmes çn öğrenclerden alınması gereken ücretn belrleneceğ denge fonksyonudur. 300 x 13-2[ 125,934 + x 12 + x x x x x x x x x x x 1 ] + n 13 - p 13 = 0 K(36)

27 27 Amaç fonksyonu: Amaç fonksyonu stenmeyen sapmaların en küçüklenmes şeklnde kurulmalıdır. G 4(n,p ) = n 13 + p 13 G(4) Başarı fonksyonun oluşturulması Tüm amaç fonksyonları öncelk sevyelerne göre oluşturulduktan sonra, bu amaç fonksyonlarının öncelklerne göre en küçüklenmesn sağlayacak aşağıdak başarı fonksyonu oluşturulmalıdır: s = { G1( n, p), g2( n, p), g3( n, p), g4( n, p ) } Buraya kadar elde edlen sstem kısıtlayıcıları, hedef kısıtlayıcıları ve başarı fonksyonuna negatf olamama koşulunun da eklenmesyle problem hedef programa olarak aşağıdak gb elde edlr. Enk s = { G1( n, p), g2( n, p), g3( n, p), g4( n, p ) } K(j) (j = 1, 2,..,36) x, n, p 0 Burada dkkat edlmes gereken husus, modeln kısıtlarıyla beraber tek amaç fonksyonuna sahp doğrusal programlamaya dönüşmüş olmasıdır. Bunun çn problem doğrusal programlamanın blnen yöntemleryle kolaylıkla çözüleblr. Modelmzn WnQSB programıyla elde edlen çıktıları aşağıdak gbdr ve problemn karar değşkenlernn aldığı değerler Tablo 2.8 de özetlenmştr.

28 Uygulamanın karma raporu Amaç fonksyonlarının aldığı değerler WnQSB çıktısı olarak aşağıdak gbdr. Bu değerlern başarı fonksyonunda yerne yazılmasıyla başarı fonksyonu elde edlr. G1 Goal Value (Mn.) = ,40 G2 Goal Value (Mn.) = 0 G3 Goal Value (Mn.) = 0 G4 Goal Value (Mn.) = 0 Enk s = (-1.406, 0, 0, 0) Tablo 2.8 Çözüm değerler DEĞİŞKENLER ÇÖZÜM P N X , X , X3 800, X4 640, X , X6 800, X7 800, X8 800, X9 640, X10 640, X , X , X , X , X , SONUÇ Çıktılar; Kmya, Coğrafya ve Felsefe derslernn dönemnde 160 şar saat arttırılmasını, dğer derslerde br değşklk yapılmaması gerektğn ortaya koymaktadır. Ders

29 29 yükler çn belrlenen değerlern dkkate alınmasıyla gelecek dönemde ,80 YTL verg verleceğ hesaplanmıştır. Dershane yönetmnn hedef %100 kar se LGS kursu öğrenclernden 3000 YTL, ÖSS ve Takvye öğrenclernden de 4500 YTL ücret talep etmeldr.

30 30 KAYNAKÇA Akblgç, Oğuz. Çok Amaçlı Karar Verme Teknkler. Yüksek Lsans Tez. İstanbul: MSGSÜ, 2005 Baray, Ş. Alp ve Şakr Esnaf. Yöneylem Araştırması (Taha, A. Hamdy. Operaton Research An İntroducton 6. Basımdan Çevr). Brnc Baskı. İstanbul: Lteratür Yayınları, 2000 Cnemre, Nalan. Yöneylem Araştırması. İknc Baskı. İstanbul: Beta yayınları, 2004 Ignzo, J. P., Goal Programmng and Extensons. Second Edton, Massachusest, Lexngton Books,1979 Jeffrey, L. Rnguest, Multobjectve Optmztaton: Behavoral and Computatonal Consderatons. Boston: Kluwer Academc Publshhers, 1992 Yalçın, Ebru. Çok Amaçlı Karar Verme Yöntemler ve Br Uygulama. Yüksek Lsans Tez. İstanbul: İstanbul Ün., 1996 Wu, Nesa and Rchard Coppns. Lnear Programmng and Extensons. New York: McGraw-Hll Inc., 1981 Taha, A. Hamdy. Operaton Research An İntroducton. Sxth Edton. New York. Prentce-Hall, Inc. 1997