Doç. Dr. Ali AKBULUT

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN SINIRLILIĞI Niha TÜYSÜZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR 2015

2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN SINIRLILIĞI Niha TÜYSÜZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI DANIŞMAN Doç. Dr. Ali AKBULUT KIRŞEHİR 2015

3 Fen Bilimleri Ensiüsü Müdürlüğü ne Bu çalışma jürimiz arafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Başkan Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ Üye Prof. Dr. Vagıf Sabir GULİYEV Üye Doç. Dr. Ali AKBULUT Onay Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğreim üyelerine ai olduğunu onaylarım..../.../2015 Doç. Dr. Mahmu YILMAZ Ensiü Müdürü

4 TEZ BİLDİRİMİ Yüksek Lisans ezi olarak sunduğum Genelleşirilmiş Morrey Uzaylarında Harmonik Analizin İnegral Operaörlerinin Sınırlılığı başlıklı çalışmamın, akademik kurallara ve eik değerlere uygun olarak yazıldığını, yararlandığım eserlerin kaynaklarda eksiksiz olarak göserildiğini ve çalışmamın içinde kullanıldıkları her yerde bunlara aıf yapıldığını bildiririm. Niha TÜYSÜZ i

5 ÖZET Genelleşirilmiş Morrey Uzaylarında Harmonik Analizin İnegral Operaörlerinin Sınırlılığı Yüksek Lisans Tezi Niha TÜYSÜZ Ahi Evran Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü May 2015 Bu yüksek lisans ezinde, Genelleşirilmiş Morrey uzayları ve harmonik analizin inegral operaörlerinin bu uzaydaki sınırlılığı hakkında bilgi verilecekir. Bu ez çalışması üç bölümden oluşmakadır. Birinci bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölümde, bundan sonraki bölümlerde incelenecek olan konuları yakından ilgilendiren Lebesgue uzayları, Morrey uzayları, Genelleşirilmiş Morrey uzaylarının anım ve özellikleri ve operaörler hakkında bazı emel kavram, noasyon ve eoremlere yer verilmişir. Ayrıca L p (R n ) Lebesgue uzayında maksimal operaörünün, singüler inegral operaörünün, Riesz poansiyelinin sınırlılığı ile ilgili eoremler ispasız olarak verilmişir. Üçüncü bölümde ise, Guliyev [11] arafından elde edilen lokal Guliyev eşisizlikleri kullanılarak ispa edilen M p,ϕ (R n ) genelleşirilmiş Morrey uzayında Hardy- Lilewood maksimal operaörün sınırlılığı, Spanne ve Adams ipli I α Riesz poansiyelinin M p,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ (R n ) uzayına sınırlılığı incelenmişir. Guliyev [11] arafından I α sınırlılığı için ispalanan iki farklı eoreme yer verilmişir. Son olarak, Calderon-Zygmund inegral operaörü için M p,ϕ (R n ) uzayında sınırlılık koşullarına yer verilmişir. Anahar Kelimeler: L p uzayları, Morrey uzayları, Genelleşmiş Morrey uzayı, maksimal operaör, singüler inegral operaör, Riesz poansiyeli. Sayfa Adedi: 37 Danışman: Doç. Dr. Ali AKBULUT ii

6 ABSTRACT Boundedness of he Inegral Operaors of he Harmonic Analysis in Generalized Morrey Spaces Maser Thesis Niha TÜYSÜZ Ahi Evran Universiy Insiue of Science May 2015 In his maser hesis, informaion abou he generalized Morrey spaces and he boundedness of inegral operaors of harmonic analysis in hese spaces will be given. This hesis consiss of hree chapers. The firs chaper is devoed o he inroducion. In he second chaper, some basic conceps, noaions and heorems abou he operaors, definiions and properies of he Lebesgue spaces, Morrey space, Generalized Morrey space ha is closely relaed o he opics ha will be explored in he nex secion are included. Also he heorems abou he boundedness of he maximal operaor, singular inegral operaor, Riesz poenials in he L p (R n ) Lebesgue spaces are given wihou proof. In he hird chaper, he boundedness of Hardy-Lilewood maximal operaor in he M p,ϕ (R n ) spaces is shown wih he help of he Gulyev s lokal inequaliies which was given by Guliyev [11]. The boundedness of I α Riesz poenial from he space M p,ϕ (R n ) o M q,ϕ (R n ) is shown as Spanne and Adams ype boundedness wih wo differen ways. For his aim wo differen heorems which were given by Guliyev [11] are used. Finally, he boundedness condiions are given for T Calderon-Zygmund singular inegral operaor in he M p,ϕ (R n ) spaces. Keywords: L p spaces, Morrey spaces, Generalized Morrey spaces, maximal operaor, singular inegral operaor, Riesz poenial. Number of Pages: 37 Supervisor: Doç. Dr. Ali AKBULUT iii

7 TEŞEKKÜR Yüksek lisans ez çalışmam boyunca hem mesleğine hem de hayaa yaklaşımıyla bizlere örnek olan, bilgisini ve deneyimlerini her zaman cömerce paylaşan her ürlü deseğini ve emeğini esirgemeyip çalışmamı bilimsel emeller ışığında şekillendiren saygıdeğer danışman hocam Doç. Dr. Ali AKBULUT a ve her ihiyaç duyduğumda bana yardımcı olan, değerli ve derin bilgileriyle ışık uan, kişilik ve karekeriyle bizlere örnek olan saygıdeğer hocam Prof. Dr. Vagif S.GULIYEV e; bu zorlu süreçe her zaman yanımda olan ve sonsuz deseklerini benden hiçbir zaman esirgemeyen sevgili eşime ve çocuklarıma eşekkürlerimi sunarım. Niha TÜYSÜZ iv

8 İÇİNDEKİLER DİZİNİ TEZ BİLDİRİMİ ÖZET i ii ABSTRACT iii TEŞEKKÜR iv SİMGELER VE KISALTMALAR vi 1 GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR, UZAYLAR VE OPERATÖRLER Temel Tanım, Teorem ve Kavramlar Lebesgue Uzayı Morrey Uzayı M p,ϕ Genelleşirilmiş Morrey Uzayı Hardy-Lilewood Maksimal Operaör Singüler İnegral Operaör Riesz Poansiyeli HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN GENELLEŞ- TİRİLMİŞ MORREY UZAYINDA SINIRLILIKLARI Maksimal Operaörün Genelleşirilmiş Morrey Uzayında Sınırlılığı Riesz Poansiyelinin Genelleşirilmiş Morrey Uzayında Sınırlılığı Singüler İnegral Operaörlerinin Genelleşirilmiş Morrey Uzayında Sınırlılığı KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler R n B(x, r) Açıklamalar n-boyulu Öklid uzayı x merkezli r yarıçaplı yuvar L loc 1 (E n ) E n de lokal inegrallenebilen fonksiyonların sınıfı L p (R n ) W L p (R n ) L p,λ (R n ) M p,ϕ (R n ) M M α T I α Lebesgue uzayı Zayıf Lebesgue uzayı Morrey uzayı Genelleşirilmiş Morrey uzayı Hardy-Lilewood maksimal operaörü Kesirli maksimal operaörü Singüler inegral operaörü Kesirli inegral operaörü (Riesz poansiyeli) vi

10 1 GİRİŞ Klasik Morrey uzayları 1938 yılında C.B. Morrey [22] arafından ikinci dereceden elipik kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davranışları araşırılırken ve varyasyonlar analizi eorisindeki problemlerle ilgilenilirken oraya çıkarılmışır. Morrey uzayları Lebesgue uzaylarının bir uzanısı olarak değerlendirileceğinden klasik operaörlerin sınırlılıklarının Morrey uzaylarında araşırılması oldukça doğal ve önemlidir. D.R. Adams [1] arafından Riesz poansiyelin sınırlılığı çalışılmışır. Harmonik analizde bu operaörlerin ağırlıklı eşisizliklerini çalışmak önemli bir yere sahip olup, L p (ω) ağırlıklı Lebesgue uzaylarında sınırlılıklar R. Coifman ve C. Fefferman [5], B. Muckenhoup [23], B. Muckenhoup ve R. Wheeden [24] arafından elde edilmişir yılında E. Nakai [26] arafından harmonik analizde önemli bir yere sahip olan maksimal inegral operaörünün, Riesz poansiyelinin ve singüler inegral operaörünün M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzaylarınaki sınırlılığı araşırılmışır. Aynı yıllarda V.S. Guliyev [13] arafından Yüksek Lisans Tezinde, harmonik analizin inegral operaörlerinin genişleilmiş lokal Morrey uzayındaki sınırlılığı E. Nakai nin şarlarından daha geniş şarlar ile araşırılmışır yılında V.S Guliyev, maemaik lieraüründe önem verilen M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzayının normalleşirilmiş normunu anımlayarak, M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzayında harmonik analizin inegral operaörlerinin sınırlılığını Mizuhara ve Nakai ye göre daha geniş şarlar alında araşırmışır. Ayrıca V.S. Guliyev [14], [15], [16] arafından M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzaylarında maksimal, poansiyel ve singüler inegral operaörlerin sınırlılıkları oraya koyduğu lokal Guliyev eşisizlikleri ile elde edilmişir. Tezde Guliyev [11] arafından elde edilen lokal Guliyev eşisizlikleri kullanılarak ispa edilen M p,ϕ (R n ) genelleşirilmiş Morrey uzayında Hardy-Lilewood maksimal operaörün sınırlılığı, Spanne ve Adams ipli I α Riesz poansiyelinin M p,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ (R n ) uzayına sınırlılığı incelenmişir. Guliyev [11] arafından I α sınırlılığı için ispalanan iki farklı eoreme yer verilmişir. 1

11 2 TEMEL KAVRAMLAR, UZAYLAR VE OPERATÖRLER 2.1 Temel Tanım, Teorem ve Kavramlar Bu bölümde ölçü, ölçülebilir uzay gibi fonksiyonel ve reel analizdeki emel anım, eorem ve kavramlar ifade edilmişir. Ayrıca Riemann inegralinden daha geniş ve kullanılışlı olan Lebesgue inegrali hakkında bilgi verilmişir. Tanım X bir küme olsun. X in al kümelerinin bir A sınıfı için aşağıdaki özellikler sağlanırsa bu A sınıfı X üzerinde bir σ-cebir olarak adlandırılır. (i) X A (ii) E A, c E = X E A (iii) n = 1, 2,... için E n A n=1 E n A Bu durumda (X, A) ikilisine bir ölçülebilir uzay, A deki her bir kümeye de ölçülebilir küme adı verilir. Tanım (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. Bir µ : A [0, ] fonksiyonu (i) µ( ) = 0, (ii) Her A A için µ(a) 0, (iii) A nin her ayrık (A n ) dizisi için µ ( n=1 A n) = n=1 µ (A n) özelliklerin sağlıyorsa bu fonksiyona A üzerinde bir ölçü fonksiyonu veya ölçü adı verilir. Eğer her A A için µ (A) < ise µ ölçüsüne sonlu ölçü denir. X kümesi herbiri sonlu ölçüye sahip sayılabilir adeeki kümelerin birleşimi olarak yazılabiliyorsa µ ölçüsü σ-sonlu olarak adlandırılır. Eğer µ(x) = 1 ise bu ölçüye olasılık ölçüsü denir. Ayrıca (X, A, µ) ölçü uzayı olarak adlandırılır. Tanım (X, A) bir ölçülebilir uzay ve f : X R {, + } bir fonksiyon olsun. Eğer R için {x X : f(x) > } A oluyorsa f fonksiyonu ölçülebilirdir denir. Ölçülebilir fonksiyonların ailesi M (X, A) ile göserilir. 2

12 Tanım (X, A, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer bir önerme, ölçüsü sıfır olan bir kümenin ümleyeni üzerinde veya kendisi A ya ai olmadığında, sıfır ölçülü bir küme arafından kapsanan bir kümenin ümleyeni üzerinde doğru ise, o önerme hemen hemen her yerde doğrudur denir. Tanım X ve Y normlu uzaylar, D(T ) X olmak üzere, T : D(T ) Y lineer operaör olsun. Eğer x D(T ) için, T x A x olacak şekilde bir A reel sayısı varsa, T operaörüne sınırlıdır denir. Tanım Bir T operaörünün normu ile anımlanır. T = T x sup x D(T ),x 0 x Tanım R n üzerinde dx = dx 1 dx n ile Lebesgue ölçüsünü gösersin. R n uzayı üzerinde f fonksiyonunun (Lebesgue) inegrali ile göserilir. f(x)dx = R n f(x 1,..., x n )dx 1 dx n B = B(x, r) = {y R n : x y < r}, merkezi x, yarıçap uzunluğu r olan açık yuvarı ve c B(x, r) onun ümleyenini gösersin. B(x, r), B(x, r) açık yuvarının Lebesgue ölçüsü ve ν n = B(0, 1) olmak üzere biçimindedir. yüzey alanı B(x, r) = ν n r n = 2πn/2 r n nγ(n/2) = 1 n Sn 1 r n Burada R n de n 1 için yarıçapı 1 olan S n 1 := {x R n : x = 1} küresinin S n 1 := 2π n/2 /Γ(n/2), 3

13 ve Γ(z) gamma fonksiyonu ve bir z kompleks sayısı için Rez > 0 olmak üzere ile anımlanır. Γ(z) = 0 z 1 e d Bu ezde, B = B(x 0, r) ile x 0 merkezli ve kenar uzunluğu r olan küp ifade edilmişir. Verilen bir B küpü ve λ > 0 için λb ile B nin merkezine sahip ve kenar uzunluğu B nin kenar uzunluğunun λ kaı olan küpü göserilmişir. Ayrıca A B göserimini A CB, C > 0 eşisizliğinin yerine kullanılmışır. Eğer A B ve B A ise A B yazılır ve A, B ye eşdeğerdir denir. Burada C farklı sabileri gösermekedir. 1 p olmak üzere, R n nin her bir kompak al kümesinde p. kuvvei inegrallenebilen üm ölçülebilir fonksiyonların uzayı L loc p (R n ) ile göserilir. Bu uzay p = 1 için L loc 1 (R n ) L loc (R n ) şeklinde göserilen lokal inegrallenebilir fonksiyonların sınıfını göserir. 2.2 Lebesgue Uzayı Tanım (L p Lebesgue uzayı Uzayı) 0 < p ve f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere L p (R n ) := { f ölçülebilir : f Lp(R n ) < } ile verilir, burada 0 < p < için ve p = durumunda ise biçiminde verilir. ( f Lp(R n ) = f p dx R n ) 1 p f L (R n ) = ess sup f(x) x R n Tanım (Zayıf L p Uzayı) W L p (R n ) zayıf L p uzayı 1 p < olmak üzere f W Lp(R n ) = sup {y R n : f(y) > } 1/p < >0 quasi-normuna sahip f ölçülebilir fonksiyonlarının uzayıdır. Kolayca göserilebilir ki 1 p < için L p (R n ) W L p (R n ) dir. 4

14 Örnek (1) f(x) = x α L p (R n ) (2) f(x) = x α χ B(0,1) (x) L p (R n ) α > n p (3) f(x) = x α χc B(0,1)(x) L p (R n ) α < n p (4) f(x) = x n p Lp (R n ), f(x) = x n p W Lp (R n ) Teorem [30] Eğer 1 p ise L p bir Banach uzayıdır. Tanım [27](Hölder Eşisizliği) p > 1 ve 1/p + 1/q = 1 olmak üzere f L p (X), g L q (X) olsun. Bu durumda fg L1 (X) f Lp(X) g Lq(X) eşisizliğine Hölder eşisizliği denir. Tanım [27](Minkowski Eşisizliği) Eğer p 1 için f, g L p (X) ise bu durumda f + g Lp(X) f Lp(X) + g Lp(X) eşisizliğine Minkowski eşisizliği denir. Teorem [10] L loc (R n ) uzayı 1 p için büün L p (R n ) uzaylarının birleşimlerini içerir. Daha genel olarak 0 < p < q < için L q (R n ) L loc q (R n ) L loc p (R n ) elde edilir Teorem (Lebesgue Diferensiyelleme Teoremi) Eğer f L loc (R n ) ise bu durumda hemen her x R n için sağlanır. lim r 0 1 f(y)dy = f(x) B(x, r) B(x,r) 5

15 Tanım Bir f fonksiyonunun deseği suppf = {x R n : f(x) 0} ile anımlanır. Yani f nin deseği onun sıfırdan farklı olduğu nokaların kümesinin kapanışıdır. Eğer suppf sınırlı bir küme ise f kompak deseğe sahipir denir. Tanım (Kuvveli ve Zayıf Tipli Sınırlılık) 1 p, q, (X, µ) ve (Y, ν) iki ölçü uzayı ve T, L p (X, µ) den anım ve görünü kümeleri sırasıyla Y ve C olan ölçülebilir fonksiyonların uzayına bir operaör olsun. Eğer q < olmak üzere ( ) q C f p ν ({y Y : T f(y) > λ}) λ ise T zayıf (p, q) ipinden ve eğer q = iken L p (X, µ) den L (Y, ν) ye sınırlı bir operaör ise zayıf (p, ) ipindedir denir. Eğer T, L p (X, µ) den L q (Y, ν) ya sınırlı ise kuvveli (p, q) iplidir denir. Yani, her f L p (X, µ) için T f q C f p olacak şekilde bir C > 0 sabii vardır. Buradan q = olması durumunda zayıf ve kuvveli ip çakışmakadır. eğer Eğer T, kuvveli (p, q) ipli ise aynı zamanda zayıf (p, q) iplidir. Gerçeken, E λ = {y Y : T f(y) > λ} olarak alırsak, bu durumda ν(e λ ) = dν E λ olur. E λ T f(x) λ q dν T f p q λ q ( C f p λ ) q Eğer (X, µ) = (Y, ν) ve T özdeşlik operaörü olursa zayıf (p, p) klasik Chebyshev eşisizliği olur. Tanım (Lineer ve Quasilineer Operaör) T, reel değerli ölçülebilir fonksiyonların bir (X, µ) ölçü uzayı üzerinde anımlanmış ve bir (Y, ν) ölçü uzayı üzerinde büün kompleks değerli hemen her yerde sonlu ölçülebilir fonksiyonların kümesinde değerler alan bir operaör olsun. Bu durumda her f, g ve her λ C için T (f + g) = T (f) + T (g) ve T (λf) = λt (f) 6

16 ise T ye lineer operaör, T (f + g) T (f) + T (g) ve T (λf) λ T (f) ise T ye allineer operaör, bir K > 0 sabii için T (f + g) K ( T (f) + T (g) ) ve T (λf) λ T (f) ise T ye quasilineer operaör denir. Allineerlik, quasilinerliğin özel bir durumudur. Tanım [23](A p Muckenhoup Sınıfı) Eğer 1 < p < olmak üzere herhangi bir B = B(x, r) yuvarı için [ω] Ap = sup[ω] Ap(B) B = sup B ( ) ( p w(x)dx w(x) dx) 1 p < (2.1) B B B B ise ω ağırlık fonksiyonu A p Muckenhoup sınıfındandır denir. Burada supremum büün B yuvarları üzerinden alınmakadır ve 1/p+1/p biçimindedir. Burada Hölder eşisizliğini kullanarak büün B yuvarları için [w] 1/p A p(b) = B 1 w 1/p L 1 (B) w 1/p Lp (B) 1. (2.2) olur. p = 1 iken, hemen hemen her x için Mω(x) Cω(x) (2.3) olacak şekilde C > 1 varsa ω A 1 dir ve (2.3) eşisizliğini sağlayan C nin infimumu [ω] A1 elde edilir. ile göserilir. p ve p üsleri ile Hölder eşisizliği kullanılırsa 1 = 1 dx = 1 ω(x) 1/p ω(x) 1/p dx [ω] 1/p A B B p B (2.1) eşisizliğinde p iken limie geçilirse ( ) 1 1 ω(x)dx C exp log w(x)dx B B B elde edilir ve eşisizlik sağlandığında w A denir. Ayrıca, p = iken B A := 1 p< ile anımlanır. A için verilen bu iki anım eşdeğerdir; [8]. 7 A p B

17 A p sınıfı 1972 yılında Muckenhoup [23] arafından ağırlıklı L loc p (R n, ωdx) uzayı üzerinde anımlı Hardy-Lilewood maximal operaörünün sınırlılıkla ilgili çalışmalarında anımlanmışır. ω A p, 1 < p < Muckenhoup ağırlıklarının en önemli örneklerinden biri n < α < n(p 1) iken ω(x) = x α fonksiyonudur. Eğer n < α 0 olarak alınırsa w A 1 elde edilir. 0 < δ < 1 ise bu durumda ω(x) = x n(1 δ) A 1 ve ω(x) = x n(p 1)(1 δ) A p elde edilir. Muckenhoup, [23] deki çalışmasında ε > 0 için A p A p ε olduğunu gösermişir. Lemma [8] Eğer ω A p ise bu durumda w A p ε sağlanır ve [ω] Ap ε C[ω] Ap olacak şekilde bir C sabii vardır ve burada ε [ω] 1 p 1 A p şeklindedir. Tanım (Ağırlıklı L p Uzayı) 1 p, ω bir ağırlık fonksiyonu olsun. Bu durumda, L p (ω) L p (R n, w) ağırlıklı Lebesgue uzayı ( f Lp,ω f Lp,ω(R n ) = f(x) p ω(x)dx R n ) 1 p < normuna sahip büün büün ölçülebilir f fonksiyonların uzayı olarak anımlanır. p = durumunda ise L (ω) L (R n, ω) de norm f L,ω f L,ω(R n ) = ess sup f(x) ω(x) x R n ile anımlanır. 8

18 2.3 Morrey Uzayı Klasik Morrey uzayları 1938 yılında C.B. [22] Morrey arafından ikinci dereceden elipik kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davranışlarını araşırırken ve varyasyonlar analizi eorisindeki problemlerle ilgilenirken oraya çıkarılmışır. Morrey uzaylarının önemli uygulamaları Navier-Sokes ve Schrödinger denklemlerinde, süreksiz kasayılı elipik problemlerde ve poansiyel eoride oraya çıkmışır. Tanım p <, 0 λ n, f L loc p (R n ) olmak üzere M p,λ M p,λ (R n ) Morrey uzayı şeklinde anımlanır. Burada f Mp,λ şeklinde verilir. f Mp,λ f Mp,λ (R n ) = M p,λ := { f : f Mp,λ < } normu ( ) 1 1 sup f(y) p p dy x R n,r>0 r λ B(x,r) λ = 0 için M p,0 L p (R n ) dir. Eğer λ < 0 veya λ > n ise bu durumda M p,λ = θ olur. Burada θ, R n üzerinde 0 a denk olan büün fonksiyonların kümesini gösermekedir. W M p,λ W M p,λ (R n ) ile büün f W L loc p Morrey uzayını gösereceğiz. Burada, fonksiyonlarının uzayı olan zayıf şeklindedir. f W Mp,λ f W Mp,λ (R n ) = sup r λ p f W Mp,λ (B(x,r)) < x R n,r>0 Lemma [20] 1 p < olsun. Bu durumda M p,λ L (R n ) ve olup, burada v λ = B(0, 1) dır. İspa. f L (R n ) olsun. Bu durumda f Mp,λ = v 1/p λ f L (R n ) ) 1/p ( λ f(y) p dy v 1/p λ f L (R n ) B(x,) 9

19 olur. Buradan f M p,λ ve f Mp,λ v 1/p λ f L (R n ) şeklindedir. f M p,λ olmak üzere Lebesgue yakınsaklık eoreminden (bkz. [32]) lim B(x, B(x,) ) 1 f(y) p dy = f(x) p olur. Bu durumda ( ) 1/p f(x) = lim B(x, B(x,) ) 1 f(y) p dy vn 1/p şeklindedir. Buradan f L (R n ) dır ve olur. f L (R n ) vn 1/p f Mp,n f Mp,n Lemma [11] 1 p <, 0 λ < n olsun. Bu durumda α = n λ p için f M1,n α vn 1/p f Mp,λ dır ve buradan M p,λ M 1,n p olur. Burada 1/p + 1/p = 1 dır. İspa. eşisizliğinden f M p,λ, 1 p <, 0 λ < n ve αp = n λ olmak üzere Hölder B(x,) elde edilir. Ayrıca α n ( f(y) dy B(x,) elde edilir. Buradan f M 1,n α ve şeklindedir f(y) p dy B(x,) ) 1/p ( ( = vn 1/p n/p f(y) p dy B(x,) ( f(y) dy vn 1/p α n/p = v 1/p n ( λ vn 1/p f Mp,λ B(x,) f M1,n α vn 1/p f Mp,λ 10 dy B(x,) ) 1/p f(y) p dy B(x,) ) 1/p ) 1/p f(y) p dy ) 1/p

20 Tanım p <, 0 < κ < 1 ve ω bir ağırlık fonksiyonu olsun. Bu durumda M p,κ (ω) M p,κ (R n, ω) ağırlıklı Morrey uzayı f Mp,κ(ω) = sup ω (B(x, r)) κ p f Lp,ω(B(x,r)) < x R n,r>0 ile büün lokal inegrallenebilir fonksiyonların uzayı olarak anımlanır. Ayrıca W M p,κ (ω) W M p,κ (R n, ω) ile f W Mp,κ(ω) = sup ω (B(x, r)) κ p f W Lp,ω(B(x,r)) < x R n,r>0 olmak üzere büün lokal inegrallenebilir fonksiyonların zayıf ağırlıklı Morrey uzayı göserilir. 2.4 M p,ϕ Genelleşirilmiş Morrey Uzayı Morrey uzaylarının genişlemesi olan M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzayı 1991 yılında Mizuhara [21] arafından anımlanmış ve singüler inegral operaörünün bu uzaylardaki sınırlılığı araşırılmışır yılında Nakai [26] arafından harmonik analizde önemli bir yere sahip olan maksimal inegral operaörünün, Riesz poansiyelinin ve singüler inegral operaörünün M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzaylarındaki sınırlılığı araşırılmışır. M p,ϕ geneleşirilmiş Morrey uzayının normalleşirilmiş normlu hali ilk olarak 2009 yılında Guliyev [13] arafından anımlanmış ve harmonik analizin inegral operaörlerinin sınırlılığı Mizuhara ve Nakai ye göre daha geniş şarlar alında araşırılmışır. Ayrıca Guliyev [14], [15] arafından M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzaylarında maksimal, poansiyel ve singüler inegral operaörlerin sınırlılıkları oraya koyduğu yeni meo ile elde edilmişir. M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzayı Mizuhara [21] arafından aşağıdaki şekilde anımlanmışır. Tanım [21] ϕ(x, r), R n (0, ) üzerinde poziif ölçülebilir bir fonksiyon olsun. M p,ϕ M p,ϕ (R n ), 1 p < ile f Mp,ϕ f Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) 1 f Lp(B(x,r)) < x R n, r>0 normuna sahip büün f L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı genelleşirilmiş Morrey uzayı olarak anımlanır. 11

21 Ayrıca W M p,ϕ W M p,ϕ (R n ) ile f W Mp,ϕ f W Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) 1 f W Lp(B(x,r)) < x R n, r>0 normuna sahip büün f W L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı zayıf genelleşirilmiş Morrey uzayı olarak anımlanır. Burada W L p (B(x, r)) uzayı ile f W Lp(B(x,r)) fχ B(x,r) W Lp(R n ) < şeklindeki büün ölçülebilir f fonksiyonlarını içeren zayıf L p uzayı ifade edilir. Ayrıca doğal opoloji ile verilen L loc p (R n ) ve W L loc (R n ) uzayları her B R n yuvarı için fχ B L p (R n ) ve fχ B W L p (R n ) şeklindeki büün f fonksiyonların uzayı olarak anımlanır. p Bu anıma göre ϕ(x, r) = r λ p için L p,λ = M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ p, W L p,λ = W M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ p olduğu görülür. M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzayının normalleşmiş normlu hali Guliyev [13] arafından aşağıdaki şekilde anımlanmışır. Tanım [13] ϕ(x, r), R n (0, ) üzerinde poziif ölçülebilir bir fonksiyon olsun. M p,ϕ M p,ϕ (R n ), 1 p < ile f Mp,ϕ f Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) 1 B(x, r) 1 p x R n, r>0 f Lp(B(x,r)) < normalleşmiş normuna sahip büün f L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı genelleşirilmiş Morrey uzayı olarak anımlanır. Ayrıca W M p,ϕ W M p,ϕ (R n ) ile f W Mp,ϕ f W Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) 1 B(x, r) 1 p x R n, r>0 f W Lp(B(x,r)) < normalleşmiş normuna sahip büün f W L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı zayıf genelleşirilmiş Morrey uzayı olarak anımlanır. Bu anıma göre ϕ(x, r) = r λ p için L p,λ = M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ n p, W L p,λ = W M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ n p olduğu görülür. 12

22 2.5 Hardy-Lilewood Maksimal Operaör Hardy-Lilewood maksimal fonksiyonu ilk olarak Hardy ve Lilewood arafından bir boyulu durumda, kompleks analizin uygulamalarına yönelik olarak anımlanmışır. Maksimal fonksiyon analizde pek çok operaörün sınırlılığında çok önemli bir role sahipir. Hardy-Lilewood maksimal fonksiyonunun farklı anımları [9, 17, 34] arafından aşağıdaki gibi verilebilir. Tanım f L loc (R n ) olsun. Bu durumda Mf Hardy-Lilewood maksimal fonksiyonu Mf(x) = sup B(0, r) 1 f(x y) dy r>0 B(0,r) ile anımlanır. Bu fonksiyon + a eşi olabilir. Hardy-Lilewood maksimal fonksiyonu yuvar yerine küp alınarak aşağıdaki gibi anımlanabilir. Tanım f L loc (R n ) olsun. Eğer B r, [ r, r] n kübü ise M f merkezli Hardy- Lilewood maksimal fonksiyonu M f(x) = sup r>0 1 f(x y) dy (2r) n B r ile anımlanır. n = 1 iken M ve M çakışır. Eğer n > 1 ise bu durumda c n M f(x) Mf(x) C n M f(x) olacak şekilde sadece n ye bağlı c n ve C n sabileri vardır. Bu eşisizliken dolayı M ve M operaörleri uygun koşullara göre değişirilebilir. Tanım f L loc (R n ) olsun. M f merkezli olmayan Hardy-Lilewood maksimal fonksiyonu M f(x) = sup B(x 0,r) x 1 f(y) dy B(x 0, r) B(x 0,r) ile anımlanır. Burada supremum x i içeren ve kenarları eksenlere paralel olan büün B R n yuvarları üzerinden alınmakadır. M ve M nokasal olarak eşdeğerdir. M maksimal operaörü allineer ve homojendir. Yani, M(f + g) Mf + Mg ve M(λf) = λ(mf), λ 0 13

23 sağlanır. Aşağıdaki eorem M Hardy-Lilewood maksimal operaörünün hemen hemen her yerde sonlu, zayıf (1, 1) ve 1 < p için (p, p) ipinden bir operaör olduğunu ifade emekedir. Teorem [19] (1) f L p (R n ) ve 1 p olsun. Bu durumda hemen her x R n için Mf(x) < dır. (2) p = 1 ise, bu durumda her λ > 0 ve f L 1 (R n ) için {x R n : Mf(x) > λ} C λ f L 1 (R n ) olacak şekilde bir C = C(n) > 0 sabii vardır. (3) 1 < p ise, her f L p (R n ) için Mf Lp(R n ) C f Lp(R n ) olacak şekilde bir C = C(n, p) > 0 sabii vardır. Teorem [6] (i) 1 p < için ω ({x R n : Mf(x) > λ}) C λ p R n f p ω(x)dx zayıf (p, p) eşisizliğinin sağlanması için gerek ve yeer şar ω A p olmasıdır. (ii) 1 < p < iken M, operaörünün L p (ω) da sınırlı olması için gerek ve yeer şar ω A p olmasıdır. Teorem [4] 1 p <, 0 λ < n olsun. Bu durumda p > 1 için Mf Mp,λ C f Mp,λ ve p = 1 için Mf W M1,λ C f M1,λ sağlanır. Burada C, f den bağımsızdır. 14

24 Ayrıca 1 p, 0 < λ < n ve f M p,λ için R n de Mf maksimal fonksiyonu hemen her yerde sonludur. Teorem [18] 1 < p <, 0 < κ < 1 ve ω A p olsun. Bu durumda M Hardy- Lilewood maksimal operaörü M p,κ (ω) üzerinde sınırlıdır. Eğer p = 1, 0 < κ < 1 ve ω A 1 ise bu durumda her λ > 0 ve herhangi bir B küpü için ω ({x B : Mf(x) > λ}) C λ f L 1,κ (ω)ω(b) κ eşisizliği sağlanır. 2.6 Singüler İnegral Operaör Bu kısımda, singüler inegral operaör ve sınırlılıkları hakkında, birçok maemaikçi arafından elde edilen sonuçlara yer verilmişir.[6, 7, 9, 18] Tanım Singüler inegraller y = y/ y olmak üzere T f(x) = lim ɛ 0 y >ɛ Ω(y ) f(x y)dy y n biçimindeki operaörlerdir. Burada Ω, R n deki S n 1 birim küresi üzerinde anımlanmış olup sıfır oralamalı, inegrallenebilir bir fonksiyondur. Tanım C c (R n ) den L loc 1 (R n ) anımlı T operaörü aşağıdaki şarları sağlarsa Calderón-Zygmund operaörü olarak adlandırılır. (a) T, L 2 (R n ) de sınırlı lineer operaördür. (b) Her f L c (R n ), için T f(x) = K(x, y)f(y)dy R n x {suppf} c, şeklinde bir K çekirdeği vardır. (c) K çekirdeği x, y R n ve x y olduğunda C > 0 ve bazı δ > 0 için K(x, y) K(x + h, y) K(x, y) K(x, y + h) K(x, y) 15 C x y n, C h δ, (2.4) x y n+δ C h δ x y n+δ

25 Calderón-Zygmund eşisiziklerini sağlar. Burada h < x y /2 dır; [31]. Calderón-Zygmund operaörü L p (R n ), 1 < p < üzerinde sınırlıdır ve zayıf (1, 1) iplidir. Teorem ([6],[9]) Eğer 1 < p < ve ω A p ise T Calderón-Zygmund operaörü L p (ω) üzerinde sınırlıdır. Eğer p = 1 ve ω A 1 ise her λ > 0 için ω ({x R n : T f(x) > λ}) C λ f L 1 (ω) ifadesi sağlanır. Teorem [7] 1 p <, 0 < λ < n olsun. Bu durumda 1 < p < için T Calderón-Zygmund operaörü M p,λ üzerinde sınırlıdır. Ayrıca p = 1 için M 1,λ uzayından W M 1,λ uzayına sınırlıdır. Teorem [18] 1 < p <, 0 < κ < 1 ve ω A p olsun. Bu durumda T Calderón-Zygmund operaörü M p,κ (ω) üzerinde sınırlıdır. Eğer p = 1, 0κ < 1 ve w A 1 ise bu durumda her λ > 0 ve herhangi bir B küpü için ω ({x B : T f(x) > λ}) C λ f L 1,κ (ω)ω(b) κ eşisizliği sağlanır. 2.7 Riesz Poansiyeli Riesz poansiyeli, Macar maemaikçi Marcel Riesz arafından oraya koyulmuş ve maemaik dünyasında önemli bir konu haline gelmişir. Riesz poansiyelleri yardımıyla elipik ve hipoelipik kısmi diferensiyel denklemlerin çözümleri için ön eşisizlikler elde edilebilmekedir. Tanım (Riesz Poansiyeli) 0 < α < n için I α Riesz poansiyeli şeklinde anımlanır. I α f(x) = R n f(y) dy x y n α 16

26 Aşağıdaki ispasız olarak verilen eorem I α Riesz poansiyelinin 0 < α < n için (L p, L q ) sınırlılığını ifade emekedir. Teorem [9] 1 p < q <, 0 < α < n ve f L p (R n ) olsun. Bu durumda p > 1 için I α f Lq(R n ) C f Lp(R n ) ve p = 1 için I α f Lq, (R n ) C f L1 (R n ) olacak şekilde C = C(n, α, p) < sabii vardır ve burada 1 1 = α biçimindedir. p q n Aşağıdaki ispasız olarak verilen eoremler I α Riesz poansiyelinin 0 < α < n ve ω A p,q için (L p (ω p ), L q (ω q )) sınırlılığını ifade emekedir. Teorem [25] 0 < α < n, 1 p < n/α, 1/p 1/q = α/n ve ω A p,q olsun. Bu durumda I α Riesz poansiyeli p > 1 için I α f Lq(ω q ) C f Lp(ω p ) ve p = 1, q = n/(n α), ω A 1,q ve λ > 0 için ω q ({x R n : I α f(x) > λ}) C λ q f q L 1(ω) olacak şekilde λ ve f fonksiyonundan bağımsız bir C sabii vardır. Teorem ([1], [29]) 0 < α < n, 1 p < n/α ve 1/q < 1/p α/n olsun. Bu durumda 0 < λ < n için I α Riesz poansiyeli L p,λ (R n ) uzayından L q,λ (R n ) uzayına sınırlıdır. Teorem [18] 0 < α < n, 1 < p < n/α, 1/q < 1/p α/n, 0 < κ < p/q ve ω A p,q olsun. Bu durumda I α Riesz poansiyeli p > 1 için L p,κ (ω p, ω q ) uzayından L q,κq/p (ω p, ω q ) uzayına sınırlıdır. Eğer p = 1 ise herhangi bir B küpü için ω q ({x B : I α f(x) > λ}) C λ q f q L 1,κ (ω,ω q ) ωq (B) κq olacak şekilde λ ve f fonksiyonundan bağımsız bir C sabii vardır. 17

27 Aşağıdaki eorem 1994 yılında Nakai [26] arafından ispalanmışır. Teorem [26] 1 p < ve α = n(1/p 1/q) olsun. r 2r iken c 1 sayısı, r, x R n den, C sayısı da x ve r den bağımsız olmak üzere ϕ(x, r) c 1 ϕ(x, r) ϕ(x, ) cϕ(x, r) ve r α ϕ(x, ) p d Cϕ(x, r)p şarlarını sağlasın. Bu durumda I α operaörü p > 1 için M p,ϕ genelleşirilmiş Morrey uzayında ve M 1,ϕ uzayından W M 1,ϕ uzayına sınırlıdır. 18

28 3 HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN GE- NELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYINDA SINIRLILIKLARI Bu bölümde operaörlerin sınırlılıkları ile ilgili özellik ve sonuçlara yer verilmiş ve r 2r olmak üzere, ϕ(x, r) fonksiyonu C 1; ve r ye bağlı olmayan bir sabi ve x R n olmak üzere C 1 ϕ(x, r) ϕ(x, ) Cϕ(x, r) (3.1) koşulunun sağlandığı ve yine C > 0; r ve x R n ye bağlı olmayan bir sabi olmak üzere maksimal operaörler için ve poansiyel operaörü için koşullarının sağlandığı kabul edilmişir. r r ϕ(x, ) p d Cϕ(x, r)p (3.2) αp ϕ(x, ) p d Crαp ϕ(x, r) p (3.3) 3.1 Maksimal Operaörün Genelleşirilmiş Morrey Uzayında Sınırlılığı Bu bölümde, M maksimal operaörünün genelleşirilmiş Morrey uzaylarında sınırlılığı Guliyev [11] arafından verilmiş olan lokal Guliyev eşisizliği yardımıyla göserilmişir. Burada kullanılan ϕ(x; r), ϕ 1 (x; r) ve ϕ 2 (x; r) fonksiyonları R n (0, ) da negaif olmayan, ölçülebilir fonksiyonlardır. Teorem [11](Maksimal Operaör için Lokal Guliyev Eşisizliği) 1 p < ve f L loc p (R n ) olsun. p > 1 için Mf Lp(B(x,)) C n p r n p 1 f Lp(B(x,r))dr (3.4) ve p = 1 için Mf W L1 (B(x,)) C n r n 1 f L1 (B(x,r))dr, (3.5) sağlanır. Burada C, f e bağlı olmayan bir sabiir, x R n ve > 0 dır. 19

29 İspa. 1 < p < olsun. f yi f = f 1 + f 2, f 1 (y) = f(y)χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f(y)χ (y), > 0, (3.6) B(x,2) şeklinde göserelim ve olsun. Mf Lp(B(x,)) Mf 1 Lp(B(x,)) + Mf 2 Lp(B(x,)). 1 < p < için M operaörünün L p (R n ) deki sınırlılığından Mf 1 Lp(B(x,)) Mf 1 Lp(R n ) C f 1 Lp(R n ) = C f Lp(B(x,2)), (3.7) elde edilir. Burada C, f den bağımsız bir sabiir. (3.7) den Mf 1 Lp(B(x,)) C n p C n p 2 r n p 1 f Lp(B(x,r))dr r n p 1 f Lp(B(x,r))dr (3.8) ve f Lp(B(x,2)) nin ye göre azalmayan olmasından kolayca elde ederiz, öyleki (3.7) in sağ arafındaki f Lp(B(x,2)) den (3.8) eşisizliği görülür. x y n f(y) dy C s n p 1 f Lp(B(x,s))ds, 0 < <. (3.9) B(x,) Bu sonuca, β > n seçerek aşağıdaki gibi devam edelim p x y n f(y) dy B(x,) β x y n+β f(y) dy s β 1 ds B(x,) x y = β s β 1 ds x y n+β f(y) dy z B(x, ) için C {y R n : x y s} s β 1 f Lp(B(x,s)) x y n+β Lp (B(x,s))ds. Mf 2 (z) = sup B(z, r) 1 f 2 (y) dy r>0 B(z,r) C sup y z n f(y) dy r 2 ( B(x,2)) B(z,r) C sup x y n f(y) dy r 2 ( B(x,2)) B(z,r) C x y n f(y) dy. B(x,2) 20

30 elde ederiz. (3.9) yoluyla, C, x ve r den bağımsız olmak üzere Mf 2 (z) C C 2 s n p 1 f Lp(B(x,s))ds s n p 1 f Lp(B(x,s))ds, elde ederiz. Bu ise, Mf 2 (z) fonksiyonunun z ye bağlı olmayan, x ve sabileriyle ifadesidir. Sonra Mf 2 Lp(B(x,)) C s n p 1 f Lp(B(x,s))ds 1 Lp(B(x,)). (3.10) 1 Lp(B(x,)) = C n p den, (3.8) ve (3.10) den (3.4) elde edilir. p = 1 ve B = B(x, r) yuvarı için açıkır. Mf W L1 (B(x,)) Mf 1 W L1 (B(x,)) + Mf 2 W L1 (B(x,)). M operaörünün L 1 (R n ) uzayından W L 1 (R n ) uzayına sınırlılığından Mf 1 W L1 (B(x,)) C f L1 (B(x,2)), burada C, x ve ye bağlı olmayan sabiir. Dikka edilecek olursa (3.10) eşisizliği p = 1 olması durumunda doğrudur. Böylece (3.10) den, (3.5) elde edilir. Teorem [11]( Guliyev Teoremi) 1 p < olsun. ϕ 1 (x, r) ve ϕ 2 (x, r) fonksiyonları ϕ 1 (x, r) dr r Cϕ 2(x, ) (3.11) koşulunu sağlasın, burada C, x ve ye bağlı olmayan bir sabiir. Bu durumda, p > 1 için M maksimal operaörü M p,ϕ1 (R n ) uzayından M p,ϕ2 (R n ) uzayına ve p = 1 için, M 1,ϕ1 (R n ) uzayından W M 1,ϕ2 (R n ) uzayına sınırlıdır. Aşağıda verilen eorem Nakai [26] arafından ispalanmışır. Teorem [26] 1 p < ve ϕ(x, r), (3.1) ve (3.2) koşullarını sağlasın. Bu durumda p > 1 için M ve T operaörleri M p,ϕ (R n ) uzayında sınırlı ve p = 1 için M 1,ϕ (R n ) uzayından W M 1,ϕ (R n ) uzayına sınırlıdır. 21

31 İspa. 1 < p < ve f M p,ϕ1 (R n ) olsun. Teorem den elde edilir. Böylece Mf Mp,ϕ2 = sup ϕ 1 2 (x, ) n p Mf Lp(B(x,)) x R n, >0 C sup ϕ 1 2 (x, ) x R n, >0 1 Mf Mp,ϕ2 C f Mp,ϕ1 sup x R n, >0 ϕ 2 (x, ) C f Mp,ϕ1 r n p 1 f Lp(B(x,r))dr. ϕ 1 (x, r) dr r olup 1 < p < için (3.11) den ispa amamlanır. p = 1 ve f M 1,ϕ1 (R n ) olsun. Teorem den elde edilir. Böylece Mf W M1,ϕ2 = sup ϕ 1 2 (x, ) n Mf W L1 (B(x,)) x R n, >0 C sup ϕ 1 2 (x, ) x R n, >0 1 Mf W M1,ϕ2 C f M1,ϕ1 (R n ) sup x R n, >0 ϕ 2 (x, ) C f M1,ϕ1 r n 1 f L1 (B(x,r))dr. ϕ 1 (x, r) dr r p = 1 için (3.11) den ispa amamlanır. 3.2 Riesz Poansiyelinin Genelleşirilmiş Morrey Uzayında Sınırlılığı Riesz poansiyeli harmonik analizin önemli konuları arasındadır. Özellikle kısmi ürevli denklemler eorisi ve maemaiksel fizike birçok uygulamaları vardır. I α Riesz poansiyelinin M p,w (R n ) uzayından M q,w (R n ) uzayına sınırlılığı iki farklı yönden Spanne ve Adams ipi sınırlılık olarak göserilmişir. Bunun için Guliyev [11] arafından verilmiş olan iki farklı eorem kullanılmışır. 22

32 Teorem [11](Lokal Guliyev Eşisizliği) ve f L loc p (R n ) olsun. p > 1 için ve p = 1 için 1 p <, 0 < α < n p, 1 q = 1 p α n I α f Lq(B(x,)) C n q I α f W Lq(B(x,)) C n q r n q 1 f Lp(B(x,r))dr (3.12) r n q 1 f L1 (B(x,r))dr, (3.13) sağlanır. Burada C, f e bağlı olmayan bir sabi, x R n ve > 0 dır. İspa. Teorem ün ispaında, f fonksiyonunu (3.6) deki gibi alırsak I α f(x) = I α f 1 (x) + I α f 2 (x). olur. 1 < p <, 0 < α < n p, 1 q = 1 p α n olsun. I α operaörünün L p (R n ) uzayından L q (R n ) uzayına sınırlılığından elde edilir. Buradan I α f 1 Lq(B(x,)) I α f 1 Lq(R n ) C f 1 Lp(R n ) = C f Lp(B(x,2)). olur, burada C, f den bağımsız sabiir. I α f 1 Lq(B(x,)) C f Lp(B(x,2)), olduğu göz önüne alınırsa elde edilir. buradan f Lp(B(x,2)) C n q I α f 1 Lq(B(x,)) C n q 2 2 r n q 1 f Lp(B(x,r))dr, r n q 1 f Lp(B(x,r))dr. (3.14) x z, z y 2 olduğunda, 1 z y x y 3 z y olur, ve 2 2 I α f 2 Lq(B(x,)) C B(x,2) z y α n f(y)dy L q(b(x,)) x y α n f(y) dy χ B(x,) Lq(R n ). B(x,2) 23

33 olur. β > n q seçersek x y α n f(y) dy B(x,2) elde edilir. = β = β C C ( x y α n+β f(y) B(x,2) ( s β {y R n :2 x y s} s β 1 ds x y ) dy ) x y α n+β f(y) dy ds s β 1 f Lp(B(x,s)) x y α n+β Lp (B(x,s))ds s α n p 1 f Lp(B(x,s))ds. Buradan (3.14) ile (3.12) sağlar. I α f 2 Lq(B(x,)) C n q 2 s n q 1 f Lp(B(x,s))ds (3.15) p = 1 ve B = B(x, r) yuvarı için I α f W L1 (B(x,)) I α f 1 W L1 (B(x,)) + I α f 2 W L1 (B(x,)). olur. I α operaörünün L 1 (R n ) uzayından W L q (R n ) uzayına sınırlılığından I α f 1 W L1 (B(x,)) C f Lq(B(x,2)), elde ederiz, burada C, x ve ye bağlı olmayan bir sabiir. Dikka edilecek olursa (3.15) eşisizliği p = 1 için doğrudur. Dolayısıyla (3.15) den (3.13) elde edilir. Teorem [11] (Guliyev Teoremi) 1 < p <, 0 < α < n/p, 1 q = 1 p α n ve ϕ 1 (x, r) ve ϕ 2 (x, r) fonksiyonları r α ϕ 1 (x, ) d Cϕ 2(x, r) (3.16) koşulunu sağlasın, burada C, x ve r ye bağlı olmayan bir sabiir. Bu durumda, p > 1 için M α ve I α operaörleri M p,ϕ1 (R n ) uzayından M q,ϕ2 (R n ) uzayına ve p = 1 için, M 1,ϕ1 (R n ) uzayından W M q,ϕ2 (R n ) uzayına sınırlıdır. 24

34 İspa. 1 < p < ve f M p,ϕ (R n ) olsun. Teorem den 1 I α f Mq,ϕ2 C sup x R n, >0 ϕ 2 (x, ) C f Mp,ϕ1 sup x R n, >0 1 ϕ 2 (x, ) r n q 1 f Lp(B(x,r))dr elde edilir. 1 < p < için (3.16) den ispa amamlanır. p = 1 ve f M 1,ϕ1 (R n ) olsun. Teorem den r α ϕ 1 (x, r) dr r, elde edilir. Böylece I α f W Mq,ϕ2 = sup ϕ 1 2 (x, ) n q Iα f W Lq(B(x,)) x R n, >0 C sup ϕ 1 2 (x, ) x R n, >0 1 I α f W Mq,ϕ2 C f M1,ϕ1 (R n ) sup x R n, >0 ϕ 2 (x, ) C f M1,ϕ1 r n q 1 f L1 (B(x,r))dr. r α ϕ 1 (x, r) dr r olup, p = 1 için (3.16) den ispa amamlanır. ϕ 1 (x, r) = ϕ 2 (x, r) = ϕ(x, r) olması durumunda aşağıdaki sonuç elde edilir. Sonuç p <, 0 < α < n/p, 1 = 1 α ve ϕ(x, ), (3.1) ve (3.3) q p n koşullarını sağlasın. Bu durumda, p > 1 için M α ve I α operaörleri M p,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ (R n ) uzayına ve p = 1 için, M 1,ϕ (R n ) uzayından W M q,ϕ (R n ) uzayına sınırlıdır. 25

35 Teorem [11] 1 p <, 0 < α < n f p Lloc p (R n ) olsun. I α f(x) C α Mf(x) + C olur. Burada C, f, x ve den bağımsız bir sabidir. r α n p 1 f Lp(B(x,r))dr, (3.17) İspa. Teorem ün ispaında, f fonksiyonunu (3.6) şeklinde alırsak I α f(x) = I α f 1 (x) + I α f 2 (x). olur. I α f 1 (x) için, Hedberg yöneminden (bkz. [33], p. 354) I α f 1 (x) C 1 α Mf(x). elde ederiz. I α f 2 (x) için I α f 2 (x) x y α n f(y) dy B(x,2) C f(y) dy r α n 1 dr B(x,2) x y ( ) C f(y) dy r α n 1 dr (3.17) ispalanır. C 2 2< x y <r r α n p 1 f Lp(B(x,r))dr, Teorem [11] 1 p <, 0 < α < n/p, ϕ(x, ) (3.11) koşulunu ve α ϕ(x, ) + r α ϕ(x, r) dr r Cϕ(x, )p/q (3.18) koşulunu sağlasın, burada q p ve C, x R n ve > 0 a bağlı olmayan bir sabiir. Ayrıca kabul edelimki, hemen her x R n, ϕ(x, r) için ϕ(x, ) : [0, ) [a, ) koşulunu sağlayacak biçimde herhangi bir a = a(x) > 0 ören fonksiyonu vardır. Bu durumda, M α ve I α operaörleri, p > 1 için M p,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ p/q(r n ) uzayına ve p = 1 için, M 1,ϕ (R n ) uzayından W M q,ϕ 1/q(R n ) uzayına sınırlıdır. İspa. 1 p < ve f M p,ϕ (R n ) olsun. Teorem den I α f(x) Cr α Mf(x) + C f Mp,ϕ r α (x, ) d. elde ederiz. (3.18) den r α ϕ(x, r) Cϕ(x, r) p q olur. Ayrıca (3.18) kullanılarak I α f(x) Cϕ(x, r) p q 1 Mf(x) + Cϕ(x, r) p q f Mp,ϕ. 26

36 elde ederiz. ϕ(x, r) ören olduğundan, ϕ(x, r) = Mf(x) f 1 M p,ϕ(r n ) olacak şekilde r > 0 seçebiliriz, farzedelimki f 0 a özdeş olmasın. Böylece, her x R n için, I α f(x) C(Mf(x)) p q f 1 p q M p,ϕ. sağlanır. Teorem deki (3.11) koşulu nedeniyle M maksimal operaörünün M p,ϕ (R n ) deki sınırlılığından eorem ispalanır. I α f M p = sup ϕ(x, ) p q n q Iα f Lq(B(x,)) q,ϕ q x R n, >0 C f 1 p q M p,ϕ C f Mp,ϕ, sup x R n, >0 ϕ(x, ) p q n q Mf p q L p(b(x,)) eğer 1 < p < q < ise, I α f W M 1 = sup ϕ(x, ) 1 q n q Iα f W Lq(B(x,)) q,ϕ q x R n, >0 C f 1 1 q M 1,ϕ C f M1,ϕ, sup x R n, >0 ϕ(x, ) 1 q n q Mf 1 q W L 1 (B(x,)) eğer p = 1 < q < ise, I α f W M q,w 1 q = sup x R n,>0w(x, ) 1q nq Iα f W Lq(B(x,)) C f 1 1 q M p,w C f Mp,w sup x R n,>0 w(x, ) 1 q n q Mf 1 q W L 1(B(x,)) elde edilir. 27

37 3.3 Singüler İnegral Operaörlerinin Genelleşirilmiş Morrey Uzayında Sınırlılığı Bu bölümde, singüler inegral operaörünün L p (R n ) uzayında sınırlı olmasından yararlanarak M p,ϕ uzayında sınırlılığı hakkındaki eorem ve sonuçlara yer verilmişir. Teorem [11] (Singüler İnegral Operaörleri için Lokal Guliyev Eşisizliği) ve p = 1 için 1 p < ve f L loc p T f Lp(B(x,)) C n p (R n ) olsun. p > 1 için r n p 1 f Lp(B(x,r))dr (3.19) T f W L1 (B(x,)) C n r n 1 f L1 (B(x,r))dr, (3.20) elde edilir. Burada C, f ye bağlı olmayan bir sabi, x R n ve > 0 dır. İspa. 1 < p < olsun. f fonksiyonu (3.6) deki gibi ifade edildiğinde T f Lp(B(x,)) T f 1 Lp(B(x,)) + T f 2 Lp(B(x,)) elde edilir. T operaörünün L p (R n ) deki sınırlılığından, 1 < p < için elde edilir, böylece eşisizliği göz önüne alınırsa olup T f 1 Lp(B(x,)) T f 1 Lp(R n ) C f 1 Lp(R n ) T f 1 Lp(B(x,)) C f Lp(B(x,2)) f Lp(B(x,)) C n p T f 1 Lp(B(x,)) C n p 2 elde edilir. T f 2 Lp(B(x,)) hesaplamak için, T f 2 (z) C 2 28 r n p 1 f Lp(B(x,r))dr, r n p 1 f Lp(B(x,r))dr. (3.21) l B(x,2) f(y) dy y z n

38 eşisizliği göz önüne alınır, burada z B(x, ) ve x z, z y 2 eşisizliklerinden 1 z y x y 3 z y dersek, ve buradan 2 2 T f 2 Lp(B(x,)) C x y n f(y) dy χ B(x,) Lp(R n ). (3.22) B(x,2) elde edilir. Böylece (3.9) eşisizliğinden, T f 2 Lp(B(x,)) C n p 2 r n p 1 f Lp(B(x,r))dr. (3.23) olur. (3.21) ve (3.23) den (3.19) yi elde ederiz. p = 1 ve B(x, r) yuvarı için T f W L1 (B(x,)) T f 1 W L1 (B(x,)) + T f 2 W L1 (B(x,)). olur. T operaörünün L 1 (R n ) uzayından W L 1 (R n ) uzayına sınırlılığından T f 1 W L1 (B(x,)) C f L1 (B(x,2)), elde edilir, burada C, x ve den bağımsız sabiir. (3.23) eşisizliği p = 1 durumu için doğrudur. Böylece (3.10) den, (3.20) eşisizliği elde edilir. Teorem [11] 1 p < olsun. ϕ 1 (x, ) ve ϕ 2 (x, r) fonksiyonları (3.16) koşulunu sağlasın. p > 1 için T singüler inegral operaorü M p,ϕ1 (R n ) uzayından M p,ϕ2 (R n ) uzayına ve p = 1 için T singüler inegral operaorü M 1,ϕ1 (R n ) uzayından W M 1,ϕ2 (R n ) uzayına sınırlıdır. İspa. 1 < p < ve f M p,ϕ1 (R n ) olsun. Teorem den elde ederiz. Böylece T f Mp,ϕ2 = sup ϕ 1 2 (x, ) n p T f Lp(B(x,)) x R n, >0 C sup ϕ 1 2 (x, ) x R n, >0 1 T f Mp,ϕ2 C f Mp,ϕ1 sup x R n, >0 ϕ 2 (x, ) C f Mp,ϕ1 r n p 1 f Lp(B(x,r))dr. ϕ 1 (x, r) dr r 1 < p < için (3.16) dan ispa amamlanır. 29

39 p = 1 ve f M 1,ϕ1 (R n ) olsun. Teorem den elde ederiz. Böylece T f W M1,ϕ2 = sup ϕ 1 2 (x, ) n T f W L1 (B(x,)) x R n, >0 C sup ϕ 1 2 (x, ) x R n, >0 1 T f W M1,ϕ2 C f M1,ϕ1 (R n ) sup x R n, >0 ϕ 2 (x, ) C f M1,ϕ1 r n 1 f L1 (B(x,r))dr. ϕ 1 (x, r) dr r p = 1 için (3.16) dan ispa amamlanır. ϕ 1 (x, r) = ϕ 2 (x, r) = ϕ(x, r) olması durumunda aşağıdaki sonuçlar Nakai [26] arafından elde edilmişir. Sonuç p < ve ϕ(x, ), (3.1) ve (3.2) koşullarını sağlasın. Bu durumda, p > 1 için T operaörü M p,ϕ (R n ) uzayında sınırlıdır ve p = 1 için, M 1,ϕ (R n ) uzayından W M 1,w (R n ) uzayına sınırlıdır. Sonuç M p,ϕ (R n ) uzayında ϕ(x, r) = r λ n p seçilmesi durumunda M p,λ (R n ) Morrey uzayı elde edildiği için 1 p < ve 0 < λ < n durumunda T operaörü M p,λ (R n ) uzayında ve p = 1 durumunda da M 1,λ (R n ) uzayından W M 1,λ (R n ) uzayına sınırlıdır. 30

40 KAYNAKLAR [1] Adams, D.R. A noe on Riesz poenials, Duke Mah., , [2] Akbulu, A.; Guliyev, V.S.; Musafayev, R. On Boundedness of he maximal operaor and singular inegral operaor in generalized Morrey spaces, Mahemaica Bohemica, 2012, 137 1, [3] Calderón, A.P.; Zygmund, A. Singular inegral operaors and differenial equaions, American Journal of Mahemaics, 1957, 79, 4, [4] Chiarenza, F.; Frasca, M. Morrey spaces and Hardy-Lilewood maximal funcion, Rend. Mah. Appl. 1987, 7, 7, [5] Coifman, R.; Fefferman C. Weighed norm inequaliies for maximal funcions and singular inegrals, Sudia Mah. 1974, 51, [6] Duoandikoexea, J. Fourier Analysis, Amer. Mah. Soc., Providence, Rhode. Island, 2000, 29. [7] Fazio, G.Di.; Ragusa, M.A.; Inerior esimaes in Morrey spaces for srong soluions o nondivergence form equaions wih disconinuous coefficiens, J. Func. Anal., 1993, 112, [8] Garcia-Cuerva, J.; Rubio de Francia, J.L. Weighed Norm Inequaliies and Relaed Topics, Norh-Holland Mah. 116, Amserdam, [9] Grafakos, L. Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Educaion, Inc. Upper Saddle River, New Jersey, [10] Grafakos, L. Classical Fourier Analysis, Axler, S.; Ribe, K.A., Springer, NY USA, [11] Guliyev, V.S. Boundedness of he maximal, poenial and singular operaors in he generalized Morrey spaces, J. Inequal. Appl., (2009)2009, Ar. ID , 20. [12] Guliyev, V.S.; Generalized weighed Morrey spaces and higher order commuaors of sublinear operaors, Eurasian Mah. J., 2012, 3, 3,

41 [13] Guliyev, V.S. Inegral operaors on funcion spaces on he homogeneous groups and on domains in R n, Docoral degree disserion, Ma. Ins. Seklov, Moscow, 1994, 329. [14] Guliyev, V.S.; Aliyev, S.S.; Karaman, T. Boundedness of a class of sublinear operaors and heir commuaors on generalized Morrey spaces, Absrac and Applied Analysis, 2011, Aricle ID , 18. [15] Guliyev, V.S.; Aliyev, S.S.; Karaman, T.; Shukurov, P.S. Boundedness of sublinear operaors and commuaors on generalized Morrey spaces, Inegral. Equ. Oper. Theory, 2011, 71, 3, [16] Guliyev, V.S.; Shukurov, P.S. On he boundedness of he fracional maximal operaor, Riesz poenial and heir commuaors in generalized Morrey spaces, Advances in harmonic analysis and operaor heory, 2013, , Oper. Theory Adv. Appl., 229, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel. [17] Hardy, G. H.; Lilewood, L. E. A maximal heorem wih funcio heoreic applicaions, Aca Mah., 1930, 54, [18] Komori, Y.; Shirai, S. Weighed Morrey spaces and a singular inegral operaor, Mah. Nachr. 2009, 282, 2, [19] Kranz, S.G.; Parks, H. R. Geomeric inegraion heory. 1s ed. Birkhäuser Boson, [20] Long, R.L.; The spaces generaed by blocks, Sci. Sinica, Ser.A, 27, 1984, [21] Mizuhara, T. Boundedness of some classical operaors on generalized Morrey spaces, Harmonik analysis (Sendai, 1990), ICM-90 Saellie Conference Proceedings, 1991, [22] Morrey, C.B. On he soluion of quasi-linear ellipic parial differenial equaion, Trans. Amer. Mah. Soc., 1938, 43, [23] Muckenhoup, B. Weighed norm inequaliies for he Hardy maximal funcion, Trans. Amer. Soc., 1972, 165,

42 [24] Muckenhoup, B.; Wheeden, R. Weighed bounded mean oscilaion and he Hilber ransform, Sudia Mah., 1976, 54, [25] Muckenhoup, B.; Wheeden, R. Weighed norm inequaliies for fracional inegrals, Trans. Amer. Mah. Soc., 1974, 192, [26] Nakai, E. Hardy-Lilewood maximal operaor, singular inegral operaors and he Riesz poenials on generalized Morrey spaces, Mah. Nachr. 1994, 166, [27] Neri U, Singular Inegrals, Springer Verlag, New York, [28] Palagachev, D.K.; Sofova, L.G. Singular İnegral Operaors, Morrey Spaces and Fine Regulariy of Soluions o PDE s, Poenial Analysis, 2004, 20, [29] Peere, J. On he heorey of L p,λ spaces, J. Func. Anal., 1969, 4, [30] Pick, L.; Kufner, A.; John, O.; Fucik, S. Funcion Spaces, Waler de Gruyer GmbH, Berlin/Boson, Volume 1, Second ediion, 2013, [31] Shen, Z., L p esimaes for Schrödinger operaors wih cerain poenials, Ann. Ins. Fourier (Grenoble), 1995, 45, 2, [32] Sein, E.M. Singular Inegrals and Differeniabiliy Properies of Funcions, Princeon Univ. Press, Princeon, 1970, 304. [33] Sein, E.M. Harmonic Analysis: Real-Variable Mehods, Orhogonaliy and Oscillaory Inegrals, Princeon Univ. Press, Princeon, NJ, [34] Sein, E.M. Topics in Harmonic Analysis Relaed o he Lilewood-Paley Theory. Princeon, New Jersey: Princeon Universiy Press,

43 ÖZGEÇMİŞ Adı ve Soyadı : Niha Tüysüz Doğum Yeri : Aksaray/Oraköy Doğum Tarihi : 1976 Yabancı Dili : İngilizce İleişim Bilgileri Adres : Kırşehir Yusuf Demir Bilim ve Sana Merkezi Kırşehir nihaemine@homail.com Eğiim Durumu Lisans : Erciyes Üniversiesi Fen-Edebiya Fakülesi Maemaik Bölümü 34