ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ B-KONVOLÜSYONLAR İÇİN O'NEIL TİPİ EŞİTSİZLİK VE BAZI UYGULAMALARI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ B-KONVOLÜSYONLAR İÇİN O'NEIL TİPİ EŞİTSİLİK VE BAI UYGULAMALARI Abdulhami KÜÇÜKASLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 29 Her hakkı saklıdır

2 ÖET Yüksek Lisans Tezi B KONVOLÜSYONLAR IÇ IN O NEIL T IP I EŞ ITS IL IK VE BAI UYGULAMALARI Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dal Dan şman: Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I Bu ez al bölümden oluşmakad r. Birinci bölüm giriş k sm na ayr lm ş r. Ikinci bölümde, emel an m, eorem ve lemmalar verilmişir. Üçüncü bölümde, da¼g l m fonksiyonu ve bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an larak emel özellikleri verilmişir. Dördüncü bölümde, L ;; Lorenz uzaylar n n cebirsel ve oolojik özellikleri incelenmişir. Beşinci bölümde, B konvolüsyonlar için O Neil ii eşisizlik isalanm ş r. Al nc bölümde ise, bu eşisizli¼gin baz uygulamalar olarak Lebesgue uzaylar nda ve Lorenz uzaylar nda kaba çekirdekli I ;; genelleşirilmiş B Riesz oansiyelinin ve kaba çekirdekli M ;; genelleşirilmiş kesirli B maksimal oeraörünün varl ¼g ve s n rl l ¼g için gerek ve yeer koşullar elde edilmişir. Aral k 29, 86 sayfa Anahar Kelimeler: Lalace-Bessel diferansiyel oeraörü, genelleşirilmiş öeleme oeraörü, B konvolüsyon, B konvolüsyonlar için O Neil ii eşisizlik, kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli, kaba çekirdekli genelleşirilmiş kesirli B maksimal oeraör, Lebesgue uzaylar, Lorenz uzaylar. i

3 ABSTRACT Maser Thesis O NEIL INEQUALITY FOR B CONVOLUTIONS AND SOME APPLICATIONS Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankara Universiy Graduae School of Naural And Alied Sciences Dearmen of Mahemaics Suervisor: Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I This hesis consiss of six chaers. The rs chaer is devoed o he inroducion. In he second chaer, basic de niions, heorems and lemmas are given. In he hird chaer, he disribuion funcion and rearrangemen of a funcion are inroduced and heir fundamenal roeries are given. In he fourh chaer, some algebraic and oological roeries of he L ;; Lorenz saces are given. In he fh chaer, O Neil ye ineualiy for he B convoluions is roved. In he sixh chaer, as some alicaions of his ineualiy, necessary and su cien condiions for he exisence and boundedness of he generalized B Riesz oenial I ;; and he generalized fracional B maximal oeraor M ;; wih rough kernel in he Lebesgue saces and Lorenz saces are obained. December 29, 86 ages Key Words: Lalace-Bessel di erenial oeraor, generalized shif oeraor, B convoluion, O Neil ye ineualiy for he B convoluions, generalized B Riesz oenial wih rough kernel, generalized fracional B maximal oeraor wih rough kernel, Lebesgue saces, Lorenz saces. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şmam n her aşamas nda beni bilgi, kir ve önerileriyle yönlendiri bana her konuda yard mlar n esirgemeyerek desek olan hocam, Say n Doç. Dr. Ayhan ŞER- BETÇ I ye (Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi Maemaik Bölümü), engin görüşleriyle bana ufuk veren Say n Prof. Dr. Vagif GUL IYEV e (Baku Sae Universiy, Azerbaijan), çal şmalar m süresince desek ve anlay ş yla her an yan mda olan sevgili eşime en içen sayg ve eşekkürlerimi sunar m. Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankara, Kas m 29. iii

5 IÇ INDEK ILER ÖET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D I IN I v. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR DA ¼GILIM FONKS IYONU VE YEN IDEN DÜENLEME 3 3. Da¼g l m Fonksiyonu Yeniden Düzenleme Yeniden Düzenleme ve L ; Normu ** Oeraörü L ;; LORENT UAYLARI VE TEMEL ÖELL IKLER I L ;; Lorenz Uzaylar L ;; Lorenz Uzaylar n n Toolojik Özellikleri B KONVOLÜSYONLAR IÇ IN O NEIL T IP I EŞ ITS IL IK UYGULAMALAR L ; Uzaylar nda Kaba Çekirdekli Genelleşirilmiş B Riesz Poansiyelinin ve Kaba Çekirdekli Genelleşirilmiş B Maksimal Oeraörünün S n rl l ¼g Için Gerek ve Yeer Koşullar L ;; Uzaylar nda Kaba Çekirdekli Genelleşirilmiş B Riesz Poansiyelinin ve Kaba Çekirdekli Genelleşirilmiş B Maksimal Oeraörünün S n rl l ¼g Için Gerek ve Yeer Koşullar KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D I IN I R n B (x; r) B jej I n boyulu Öklid uzay x merkezli r yar çal yuvar fx : x = (x ; x 2 ; :::; x n ) ; x n > g Lalace oeraörü Lalace-Bessel oeraörü E kümesinin -ölçüsü Riesz oansiyeli I ; B Riesz Poansiyeli I ;; Genelleşirilmiş B Riesz Poansiyeli M f Maksimal fonksiyon M ;; Genelleşirilmiş kesirli B maksimal oeraör T y f Genelleşirilmiş öeleme oeraörü f f f ; f L ; L ;; M + (X; ) A,! B f nin da¼g l m fonksiyonu f nin azalan yeniden düzenlemesi f nin -da¼g l m fonksiyonu f nin -azalan yeniden düzenlemesi Üs yar uzayda an mlanm ş Lebesgue uzay Üs yar uzayda an mlanm ş Lorenz uzay Negaif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar n kümesi A; B ye gömülüdür v

7 .G IR IŞ > ve x n > olmak üzere B = Xn 2 x 2 k= k x 2 n x n x n Lalace-Bessel diferansiyel oeraörü ile ilgili olan oansiyel i inegral oeraörler aras nda kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli ile kaba çekirdekli genelleşirilmiş kesirli B Maksimal oeraörü harmonik analizin önemli konular aras ndad r. Özellikle fonksiyonlar eorisinde, k smi diferansiyel denklemlerde, singüler inegraller eorisinde ve maemaiksel zike birçok uygulamalar ya lm ş r. Lalace-Bessel diferensiyel oeraörü araf ndan üreilen inegral oeraörler Muckenhou ve Sein (985), Kiriyanov (967), Trimeche (997), Lyakhov (997), Semak (985), Gadjiev ve Aliyev (988), Şerbeçi ve Ekincio¼glu (24), Guliyev (23) gibi birçok maemaikçi araf ndan çal ş lmakad r. Levian (95) (; ) aral ¼g n n öelemesini an mlay bu öelemenin (; ) a- ral ¼g ndaki nokalar yine ayn aral ¼g n nokalar na dönüşürdü¼günü, ayr ca elde edilen bu öelemenin B = d2 dx + d 2 x dx Bessel singüler diferensiyel oeraörü ile yak ndan ilgili oldu¼gunu gösermişir. Daha sonra Kiriyanov (967) Levian n an mlad ¼g genelleşirilmiş öelemeyi ; n boyulu Öklid uzay na "ilk (n ) de¼gişkene göre adi ve n: de¼gişkene göre (; ) aral ¼g ndaki genelleşirilmiş öeleme alarak " genişlemiş ve B Lalace-Bessel oeraörü ile yak ndan ilgili olan T y f (x) = + 2 () 2 f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d genelleşirilmiş öelemeyi an mlam ş r.

8 f ; : [; )! [; ] f ; () = x 2 : jf (x)j > şeklinde an mlanan f ; fonksiyonuna f fonksiyonunun da¼g l m fonksiyonu denir. da¼g l m fonksiyonu yard m yla, f fonksiyonu f nin azalan yeniden düzenlemesi olmak üzere f () = inf fs : f ; (s) g, şeklinde an mlan r. Bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi kavram klasik analizde önemli yere sahiir ve birçok eşisizlike anahar rol oynamakad r. Öncelikle Hardy-Lilewood araf ndan an lm ş ve ard ndan reel ve harmonik analizde, singüler inegrallerin araş r lmas nda, fonksiyon uzaylar nda ve inerolasyonlarda birçok maemaikçi araf ndan kullan lm ş r. f : (; )! [; ] fonksiyonu ise f fonksiyonu yard m yla biçiminde an mlan r. f () = f (s) ds Her ne kadar yukar da f fonksiyonu = da an mlanmam ş olsa da s f ra sa¼gdan yaklaş rken an ml d r. azalan yeniden düzenleme fonksiyonu f ve g ölçülebilir iki fonksiyon olmak üzere R n de f ile g nin f g konvolüsyonu (f g) (x) = f (x y)g (y) dy R n biçiminde an mlan r. f ve g, = fx = (x ; :::; x n ) 2 R n ; x n > g üzerinde ölçülebilir iki fonksiyon olmak üzere T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü yard m yla B konvolüsyon (genelleşi- 2

9 rilmiş konvolüsyon) ad verilen konvolüsyon oeraörü (f g) (x) = f (y)t y g (x) y ndy şeklinde an mlanm ş r. R. O Neil (963) R de konvolüsyonun yeniden düzenlemesi için (f g) () c f () iindeki eşisizli¼gi isalad. g (u) du + f (u) g (u) dua ; < < O Neil bu eşisizli¼gi kullanarak Lorenz uzaylar nda kesirli inegrallerin s n rl l ¼g n göserdi ve konvolüsyon oeraörlerin baz özelliklerini verdi. Gadjiev ve Aliyev (988) harmonik analizin emel araçlar ndan birisi olan I f Riesz oansiyelindeki adi öeleme yerine T y genelleşirilmiş öeleme oeraörünü alarak I ; f(x) = T y jxj n f(y) y ndy; < < n + B Riesz oansiyelini an mlam ş r. Guliyev (998) M f Hardy-Lilewood Maksimal fonksiyonunu genelleşirerek T y üreilen M f (x) = su r> genelleşirilmiş öeleme oeraörü araf ndan je (; r)j E(;r) T y jf (x)j y ndy B maksimal fonksiyonunu an mlam ş ve bu fonksiyonun L ; s n rl l ¼g n isalam ş r. Guliev ve Safarov (22) kaba çekirdekli genelleşirilmiş kesirli B oe-raörü M ;; f (x) = su r> r B(;r) j(y)j T y jf (x)j y ndy maksimal ve kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli (veya genelleşirilmiş B kesir- 3

10 li inegral oeraörü) I ;; f (x) = (y) jyj T y f (x) yndy an mlam ş; Guliyev, Serbeci ve Safarov (27) bu oeraörlerin L ; ve L ;; s n rl l ¼g n isa emişlerdir. L ; Lebesgue uzay ; > sabi bir aramere olmak üzere 8 >< kfk L;() = kfk ; = >: R jf (x)j x ndx! ; < ess su jf (x)j ; = x2 sonlu olacak biçimde fonksiyonlar n kümesi olarak an mlan r. L ;; Lorenz uzay ; 8 R >< kfk L;;() = kfk ;; = >: f () d ; < < ; < < su f () ; < ; = > sonlu olacak biçimde üm f :! C ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir. L ;; uzaylar na L ; uzaylar bir genelleşirmesi olarak bak labilir çünkü < için = al nd ¼g nda L ;; = L ; elde edilir. Tezin amac, Guliyev, Serbeci ve Safarov (27) araf ndan isa edilen, T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü araf ndan üreilen B konvolüs-yonlar n azalan yeniden düzenlemesi için O Neil ii eşisizli¼gi isalamak ve bu eşisizli¼gin baz uyguamalar olarak kaba çekirdekli I ;; genelleşirilmiş B Riesz oansiyelinin ve kaba çekirdekli M ;; genelleşirilmiş B maksimal oeraörünün L ; () Lebesgue uzaylar nda ve L ;; () Lorenz uzaylar nda varl ¼g ve s n rl l ¼g için gerek ve yeer koşullar elde 4

11 emekir. Bu ez al bölümden oluşmakad r. Ikinci bölümde daha sonraki bölümlerde gerekli olan emel an m, eorem ve lemmalara yer verilmişir. Üçüncü bölümde bir fonksiyonun da¼g l m fonksiyonu ve azalan yeniden düzenlemesi an lm ş ve bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesinin L ; normu ile ilişkisi incelenerek bir fonksiyonun L ; R+ n normu ile azalan yeniden düzenlemesinin L (; ) normunun birbirine eşi oldu¼gu isalanm ş r. Dördüncü bölümde L ;; Lorenz uzaylar an larak baz cebirsel ve oolojik özelliklerine de¼ginilmişir. Beşinci bölümde B konvolüsyonlar için O Neil ii eşisizlik isalanm ş r. Al nc bölümde O Neil ii eşisizli¼gin baz uygulamalar olarak kaba çekirdekli I ;; genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli ile kaba çekirdekli M ;; genelleşirilmiş B maksimal oeraörü an larak bunlar n L ; () Lebesgue uzaylar nda ve L ;; () Lorenz uzaylar nda varl ¼g ve s n rl l ¼g için gerek ve yeer koşullar elde edilmişir. 5

12 2. TEMEL KAVRAMLAR 2. Genel Bilgiler Tan m 2.. (Normlu Uzay) X bir K cismi üzerinde bir vekör uzay olsun. E¼ger bir k:k : X! R x! kxk dönüşümü 8x; y 2 X ve 8a 2 K için (N) kxk ve kxk =, x = (N2) kaxk = jaj kxk (N3) kx + yk kxk + kyk özelliklerini sa¼gl yorsa bu dönüşüme X üzerinde norm ad verilir. (X; k:k) bir normlu vekör uzay denir. (X; k:k) normlu uzay k saca X ile göserilir. ikilisine Tan m 2..2 (N3) eşisizli¼ginde kx + yk C (kxk + kyk), C > olmas durumunda bu dönüşüme uasi-norm ad verilir. Tan m 2..3 (Oeraör) Fonksiyonlar cümlesini fonksiyonlar cümlesine dönüşüren dönüşüme oeraör denir. Tan m 2..4 Bir T lineer oeraörü aşa¼g daki özellikleri gerçekleyen oeraördür: (i) T nin D (T ) an m bölgesi bir vekör uzay olu R (T ) de¼ger bölgesi, ayn cisim üzerinde bir vekör uzay d r. (ii) Her x; y 2 D (T ) ve skaleri için, T (x + y) = T x + T y T (x) = T x 6

13 gerçeklenir. Tan m 2..5 X ve Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lineer oeraör olsun. E¼ger her x 2 D (T ) için, kt xk A kxk olacak şekilde bir A reel say s varsa, T oeraörüne s n rl d r denir. Bir T oeraörünün normu kt k = kt xk su kxk x2d(t ) x6= ile an mlan r. Tan m 2..6 X ve Y normlu uzaylar, D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y bir oeraör ve x 2 D (T ) olsun. E¼ger verilen her " > say s na karş l k, kx x k < koşulunu gerçekleyen her x 2 D (T ) için, kt x T x k < " olacak şekilde bir > say s varsa T ye x da süreklidir denir. Tan m 2..7 X ve Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lineer oeraör olsun. Bu durumda T nin sürekli olmas için gerekli ve yeerli koşul T nin s n rl olmas d r (Kreyszig 989). Tan m 2..8 (Cebir) X bir küme olsun. E¼ger X in al kümelerinin bir s n f için aşa¼g daki özellikler sa¼glan yorsa bu durumda s n f na X üzerinde bir cebirdir denir: (i) X 2 (ii) Her E 2 için E c = XnE 2 (iii) k = ; 2; :::; n için E k 2 ise n [ k= E k 2 E¼ger (iii) şar yerine Her n 2 N için E n 2 ) [ n= E n 2 şar konulursa cebirine bir cebir ad verilir. 7

14 Tan m 2..9 (R n Öklid Uzay ) x = (x ; :::; x n ) ve y = (y ; :::; y n ) ; R n de vekörler P olmak üzere R n ; n boyulu Öklidyen uzay (x; y) = n x j y j iç çar m ile dona lm ş R n ; n boyulu reel uzay d r. Burada x vekörünün mulak de¼geri jxj = n P ile an mlan r. j= x 2 j j=! 2 Tan m 2.. Bir K s n f n kasayan -cebirlerinin en küçü¼güne K n n do¼gurdu¼gu -cebiri denir. R n deki büün aç k (a; b) aral klar n n do¼gurdu¼gu -cebirine Borel cebiri denir ve B(R n ) ile göserilir. B(R) nin her bir eleman na Borel kümesi denir. Tan m 2.. (Ölçülebilir küme) X bir küme ve ; X üzerinde bir cebiri olsun. Bu durumda (X; ) ikilisine bir ölçülebilir uzay, daki her bir kümeye de -ölçülebilir küme veya k saca ölçülebilir küme ad verilir. Tan m 2..2 (Ölçü) (X; A) bir ölçülebilir uzay olsun. A üzerinde an ml genişleilmiş reel de¼gerli bir fonksiyonu (i) (;) = (ii) Her A 2 A için (A) : S P (iii) Her ayr k (A n ) dizisi için A n = (A n ) n= n= özelliklerini sa¼gl yorsa bu fonksiyona ölçü denir. E¼ger her A 2 A için (A) < ise ye sonlu ölçü ad verilir. Tan m 2..3 (D ş ölçü) X bir küme ve P (X) de X in kuvve kümesi olsun. P (X) üzerinde an ml, genişleilmiş reel de¼gerli bir fonksiyonu (i) (;) = (ii) Her A 2 P (X) için (A) (iii) A B X için (A) (B) S P (iv) Her bir n 2 N için A n 2 P (X) ise A n (A n ) n= n= 8

15 şarlar n sa¼glarsa fonksiyonuna X üzerinde bir d ş ölçüdür denir. Tan m 2..4 (I k ), R nin s n rl ve aç k al aral klar n n bir dizisi, A = n(i k ) : A [ o I k olsun. P (R) üzerinde ( ) X m (A) = inf l (I k ) : (I k ) 2 A k= biçiminde an mlanan m bir d ş ölçüdür. Bu d ş ölçüye Lebesgue d ş ölçüsü denir. Lebesgue d ş ölçüsü R nin her bir al aral ¼g na onun uzunlu¼gunu karş l k geirir. n boyulu R n uzay nda Lebesgue d ş ölçüsünü an mlamak için I = fx : a i x i b i ; i = ; :::; ng n boyulu kaal aral klar n göz önüne alal m. Bu aral klar n hacimleri v (I) = ny (b i a i ) i= biçimindedir. Key bir E R n kümesinin Lebesgue d ş ölçüsü ( ) X [ m (E) = inf v (I k ) : E I k ; I k bir aral k ile an mlan r. 8A R n için e¼ger k= k= m (A) = m (A \ E) + m (A \ (R n E)) ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir. Tan m 2..5 M (R; m ), m d ş ölçüsüne göre ölçülebilen R nin al kümelerinin s n f olsun. m Lebesgue d ş ölçüsünün M (R; m ) s n f na da B (R) s n f na olan 9

16 k s lanmas na Lebesgue ölçüsü denir, m ile göserilir. Tan m 2..6 (Ölçülebilir fonksiyon) (X; ) bir ölçülebilir uzay ve f : X! R bir fonksiyon olsun. E¼ger 8 2 R için f (]; +[) = fx 2 X : f (x) > g 2 oluyorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir. X üzerindeki ölçülebilir fonksiyonlar n ailesi M (X; ) ile göserilir. Tan m 2..7 (X; ) bir ölçülebilir uzay olmak üzere X deki negaif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar n kümesi M + (X; ) ile göserilir. Tan m 2..8 (X; ; ) bir ölçü uzay olsun. E¼ger bir önerme ölçüsü s f r olan bir küme d ş nda do¼gru ise, o önerme hemen her yerde do¼grudur denir. Tan m 2..9 (Desek) Bir f fonksiyonunun dese¼gi f (x) 6= şar n sa¼glayan x nokalar n n kaan ş d r ve su f = fx : f(x) 6= g ile göserilir. Tan m 2..2 (Düzgün Fonksiyon) Bir bölge üzerinde her merebeden sürekli ürevlere sahi olan bir f fonksiyonuna düzgün fonksiyon denir. Tan m 2..2 (L Uzay ) (X; ; ) bir ölçü uzay olsun. < < olmak üzere 8 < L = f 2 M (X; ) : : X 9 = jfj d < ; kümesine -inci kuvveen inegrallenebilen fonksiyonlar s n f denir. L uzay nda bir

17 f fonksiyonunun normu ile an mlan r. 8 R >< kfk = X >: jfj d ; < ess su jf (x)j ; = x2x Tan m f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her komak K kümesi ü- zerinde jfj d < ise f fonksiyonuna lokal inegrallenebilirdir denir. K Tan m (Hölder eşisizli¼gi) > ve + = olmak üzere f 2 L, g 2 L olsun. Bu durumda fg 2 L ve kfgk kfk kgk sa¼glan r. Bu eşisizli¼ge Hölder eşisizli¼gi denir (Sadosky 979). Tan m (Minkowski eşisizli¼gi) için e¼ger f, g 2 L ise (f + g) 2 L ve kf + gk kfk + kgk dir. Bu eşisizli¼ge Minkowski eşisizli¼gi denir (Sadosky 979). Tan m (Konvolüsyon) f ile g ölçülebilir fonksiyonlar olsun. f ile g nin konvolüsyonu R n de (f g)(x) = f(y)g(x y)dy R n şeklinde an ml d r (Neri 97). Teorem 2.. (Young) E¼ger f, g 2 L ise bu durumda h = f g hemen her yerde

18 vard r ve L e aiir. Ayr ca khk kfk kgk sa¼glan r (Neri 97). Teorem (Young) olsun. E¼ger f 2 L ve g 2 L ise bu durumda h = f g hemen her yerde vard r ve L uzay na aiir. Ayr ca khk kfk kgk eşisizli¼gi gerçeklenir (Neri 97). Teorem (Young) f 2 L ve g 2 L olsun, burada + ve r = + dir. E¼ger h = f g ise bu durumda h 2 L r ve khk r kfk kgk sa¼glan r (Neri 97). R n üzerinde dx = dx :::dx n ile Lebesgue ölçüsünü göserece¼giz. R n uzay üzerinde f fonksiyonunun (Lebesgue) inegrali f (x) dx = f (x ; :::; x n ) dx :::dx n ile göserilir. Çok kal inegrali kuusal koordinalarda ifade emek ço¼gu kez kullan şl olmakad r. r = jxj olsun ve S n = fx : jxj = g ile birim küreyi göserelim. R f (jxj) dx inegralinin hesab için; R n r < ; ; :::; n 2 ; n 2 olmak üzere x = r cos x 2 = r sin cos 2 2

19 x 3 = r sin sin 2 cos 3 ::: x n = r sin sin 2 ::: sin n dönüşümü ya l r. Bu dönüşümün Jakobiyeni ny J (r; ; :::; n ) = r n (sin j ) n j olarak hesalan r. f (jxj) dx = R n = j= 2 r n ::: f (r) J (r; ) drd :::d n f (r) dr ::: 2 n j= =! n f (r) r n dr Y (sin j ) n j d :::d n elde edilir, burada! n ; birim kürenin yüzey alan d r. Genel olarak R n f (jxj) dx = = f (r sin ; :::; r sin ::: sin n ) r n drd :::d n S n f (r; ) r n drd biçiminde yaz l r. dx hacim eleman dx = r n drd biçiminde yaz l r. Burada d; S n üzerinde dx araf ndan belirlenen yüzey ölçüsüdür. Teorem 2..4 E R n, jej < olsun. E¼ger r < s ise bu durumda L s (E) L r (E) sa¼glan r (Neri 97). Tan m Bir s fonksiyonunun görünü kümesi sonlu elemandan meydana geliyorsa s ye bir basi fonksiyondur denir. 3

20 Teorem 2..5 E¼ger < ise L deki basi fonksiyonlar n kümesi L de yo¼gundur (Adams and Fournier 23). Tan m ; olmak üzere T : L (R n )! L (R n ) bir oeraör olsun. E¼ger 8f 2 L (R n ) için kt fk A kfk olacak biçimde f den ba¼g ms z bir A > sabii varsa T oeraörüne (; ) iindendir denir. bir ölçü olmak üzere e¼ger 8 > için A kfk fx : jt f (x)j > g ; < olacak biçimde ve f den ba¼g ms z bir A sabii varsa T dönüşümüne zay f (; ) iindendir denir (Sadosky 979). Teorem 2..6 (Riesz-Thorin) ; ; ; olmak üzere T; ( ; ) ve ( ; ) ili bir oeraör olsun. Bu durumda = +, = + ( < < ) olmak üzere T; (; ) ili bir oeraördür (Sadosky 979). Teorem 2..7 (Marcinkiewicz) T alolamsal oeraör ve < ; ve 6= olsun. Ayr ca T oeraörü zay f ( ; ) ve zay f ( ; ) ili oeraör olsun ve ile = +, = + ( < < ) biçiminde an mlans n. Bu durumda T oeraörü (; ) ili oeraördür (Sadosky 4

21 979). Lemma 2.. (Hardy Eşisizli¼gi) ; ve! ölçülebilir, (; ) üzerinde oziif ve azalan iki fonksiyon olsun. Aşa¼g daki eşisizli¼gi sa¼glayacak şekilde ' fonksiyonundan ba¼g ms z bir C sabii vard r öyle ki ' (s) dsa! () da C ' () () da (2..), K = su r> r! () da r () d A < (2..2) dir, burada + = dir. Ayr ca (2::) i sa¼glayan en iyi C sabii ise K C k (; ) K (2..3) biçimindedir. (2::3) deki k (; ) sabii, k (; ) = ( ) ; k (; ) = ( ) veya k (; ) = + gibi farkl biçimlerde verilebilir (Mazya 985). + Lemma 2..2 (Hardy Eşisizli¼gi) ; ve! ölçülebilir, (; ) üzerinde oziif ve azalan iki fonksiyon olsun. Bu durumda aşa¼g daki eşisizlik sa¼glanacak şekilde ' fonksiyonundan ba¼g ms z bir C sabii vard r öyle ki ' (s) dsa! () da C ' () () da (2..4), K = su r> r! () da r () d A < dir. (2::4) ü sa¼glayan en iyi C sabii K C k (; ) K eşisizli¼gini sa¼glar (Mazya 985). 5

22 Teorem 2..8 (F. Riesz) (X; ; ) ölçü uzay ve f n ; f X üzerinde h.h.y. de sonlu fonksiyonlar olsun. O halde aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) f n! f ve fn! g ) f = g h:h:y: ve ersine; f n! f; f = g h:h:y: ) fn! g d r. (ii) f n! f ) fnk! f h:h:y: olu burada n k : k olmak üzere f nk bir aldizidir. (iii) E¼ger (X) < ve kümesi am ve her ölçülebilir f n dizisi için f n! f ise, o halde f n! f d r. Teorem 2..9 (Lebesgue Yak nsakl k Teoremi) (X; ; ) bir ölçü uzay, g : X! [; ] inegrallenebilen bir fonksiyon ve f; f ; f 2... X üzerinde ölçülebilir reel de¼gerli fonksiyonlar olsun. E¼ger h:h:x için (i) lim f n (x) = f (x) n! ve (ii) 8n 2 N için jf n (x)j g (x) 6

23 ise bu durumda f ve f n inegrallenebilirdir ve lim n! X f n d = X fd d r. Teorem 2.. (Monoon Yak nsakl k Teoremi) (X; ; ) bir ölçü uzay ve (f n ) de M + (X; ) daki fonksiyonlar n monoon aran bir dizisi olsun. (f n ) dizisi f fonksiyonuna yak nsak ise fd = lim f n d dir. X X Tan m (Pseudo-merik) : X X! [; ) bir fonksiyon olsun. fonksiyonu (i) (x; y) =, x = y (ii) (x; y) = (y; x) (iii) C > öyle ki (x; z) C ( (x; y) + (y; z)) özelliklerini sa¼gl yorsa ya seudo-merik denir. Tan m f 2 L olsun. ^f (x) = (2) n f (y) e i(x;y) dy ile verilen ^f fonksiyonu f fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak adland r l r. 7

24 Burada (x; y) = x y + ::: + x n y n dir. Fourier dönüşümü ^f (x) = (2) n 2 f (y) e i(x;y) dy veya ^f (x) = f (y) e 2i(x;y) dy olarak da al nabilir. E¼ger n = ve f 2 L (R) ise bu durumda olur. ^f (x) = 2 + f (y) e ixy dy Lemma 2..3 E¼ger f (x) = f (x ) f 2 (x 2 ) :::f n (x n ) ise ^f (x) = ^f (x ) ^f 2 (x 2 ) ::: ^f n (x n ) sa¼glan r (Neri 97). Lemma 2..4 h; (; ) üzerinde azalan bir fonksiyon olsun. E¼ger < ve ise, o halde h () da h () d eşisizli¼gi gerçeklenir. Burada sabii kesindir (Krisiansson 22). 2.2 Genelleşirilmiş Öeleme Oeraörü ve Özellikleri Tan m 2.2. f : R! R bir fonksiyon ve y 2 R olsun. T y f (x) = f (x + y) 8

25 şeklinde an mlanan oeraöre R de adi öeleme oeraörü denir. Adi öeleme oeraörü 8> < >: u(x;y) = u(x;y) x y u (x; ) = f (x) u y (x; ) = şeklindeki başlang ç de¼ger robleminin çözümüdür (Aliyev and Gadjiyev 988). Tan m X bir oolojik uzay, f : X! C sürekli bir fonksiyon olsun. y 2 X olmak üzere F (x; y) = T y f (x) oeraörü aşa¼g daki şarlar sa¼gl yorsa genelleşirilmiş öeleme oeraörü ad n al r. (i) 8f; g 2 C (X) ; a; b 2 C için T y [af (x) + bg (x)] = at y f (x) + bt y g (x) eşili¼gi sa¼glan r. (ii) 8f 2 C (X) için bir y 2 X vard r 3 T y f (x) = f (x) sa¼glan r. (iii) 8f 2 C (X) ve x; y; z 2 X için T z T y f (x) = T y T z f (x) eşili¼gi sa¼glan r. (iv) 8x; y 2 X için F (x; y) = T y f (x) süreklidir. Tan m (Bessel diferensiyel oeraörü) > ve x > olmak üzere; B = d2 dx + d 2 x dx şeklinde ifade edilen B oeraörüne Bessel diferensiyel oeraörü denir. 9

26 Tan m (Lalace-Bessel oeraörü) > olmak üzere B = Xn 2 x 2 k= k + x 2 n x x n + 2 şeklinde an mlanan oeraöre Lalace-Bessel diferensiyel oeraörü denir. Levian (95) (; ) aral ¼g nda Bessel diferensiyel oeraörü ile yak ndan ilgili olan T y f (x) = + 2 () 2 genelleşirilmiş öelemesini an mlam ş r. f x2 + y 2 2xy cos sin d B; Bessel diferensiyel oeraörü olmak üzere 8 >< >: B x u = B y u u (x; ) = f (x) u y (x; ) = diferansiyel denkleminin çözümü (; ) aral ¼g nda T y genelleşirilmiş öelemesidir. Şimdi T y oeraörünün genelleşirilmiş öeleme özelliklerini sa¼glad ¼g n göserelim. (i) Lineerlik özelli¼gi 2

27 T y oeraörünün an m ndan T y (af (x) + bg (x)) = T y ((af + bg) (x)) + 2 = () = () () 2 = at y f (x) + bt y g (x) (af + bg) x2 + y 2 2xy cos sin af x2 + y 2 2xy cos sin bg x2 + y 2 2xy cos sin d d d elde edilir. (ii) Pozii ik özelli¼gi f, oziif bir fonksiyon olsun. T y f (x) = + 2 () 2 f x2 + y 2 2xy cos sin d oldu¼gunu biliyoruz. f oziif fonksiyon oldu¼gundan f x2 + y 2 2xy cos sa¼glan r ve için sin oldu¼gundan yukar daki eşili¼gin sa¼g araf oziifir. Buradan T y f (x) oldu¼gu görülür. (iii) T y oeraörünün an m ndan T y () = 2

28 oldu¼gu kolayca görülür. (iv) f s n rl bir fonksiyon oldu¼gunda T y oeraörü s n rl d r. jt y f (x)j = elde edilir. Buradan eşisizli¼gi sa¼glan r. su x + 2 () () () 2 su jf (x)j x f x2 + y 2 2xy cos sin d f x2 + y 2 2xy cos sin d f x2 + y 2 2xy cos sin d + 2 () 2 sin d jt y f (x)j T y jf (x)j su jf (x)j x (v) T y oeraörü süreklidir. T y oeraörü lineer ve s n rl oldu¼gundan süreklidir. (vi) T y oeraörünün de¼gişme özelli¼gi T y T z f (x) = T z T y f (x) biçimindedir. Şimdi Kiriyanov (967) araf ndan = fx = (x ; x 2 ; :::; x n ) 2 R n ; x n > g üzerinde an mlanan genelleşirilmiş öelemeyi verelim. x = (x ; x n ) ; y = (y ; y n ) ; x; y 2 R n ; x = (x ; x 2 ; :::; x n ) ; y = (y ; y 2 ; :::; y n ) 22

29 olsun. Bu durumda 8 >< >: ( B ) x u (x; y) = ( B ) y u (x; y) u (x; ) = f (x) u y (x; ) = başlang ç de¼ger robleminin çözümü u (x; y) = T y f (x) = + 2 () 2 f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d fonksiyonudur. Bu öelemenin üzerinde genelleşirilmiş öeleme oldu¼gu yukar daki gibi göserilebilir. Tan m (L ; Lebesgue uzay ) L; Lebesgue uzay, > sabi bir aramere olmak üzere 8 >< kfk ; = >: R jf (x)j x ndx! ; < ess su jf (x)j ; = x2 sonlu olacak biçimde fonksiyonlar n kümesi olarak an mlan r. T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü için aşa¼g daki lemmalar sa¼glan r. Lemma 2.2. ; f 2 L ; olsun. Bu durumda 8y 2 R n + için kt y f (x)k L; kfk L; (2.2.) eşisizli¼gi sa¼glan r. Isa. Eşisizli¼gi önce = durumu için isalayal m. T y f (x) = c f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d 23

30 oldu¼gunu biliyoruz. Burada c sabii c = sin da = + 2 () eşili¼gi ile verilir. kt y f (x)k L;() = jt y f (x)j x ndx = = c = c c c sin f = kfk L;() x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d d x ndx x nddx x ndxd f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 x ndx elde edilir. Şimdi de = için kt y f (:)k L() kfk L () oldu¼gunu göserelim. T y f (:) oeraörünün L normu şeklindedir. kt y f (:)k L() = ess su jt y f (x)j x2 24

31 jt y f (x)j = c c c f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d kfk L() sin d = kfk L() c sin d = kfk L() = için kt y f (:)k L; kfk L; ve = için kt y f (:)k L kfk L sa¼gland ¼g ndan, Riesz-Thorin inerolasyon eoreminden için kt y f (:)k L; kfk L; elde edilir. Lemma A = (A ; A n ) ; A = A :::A n R n herhangi ölçülebilir kümeler, A n (; ) ve y 2 olsun. Bu durumda aşa¼g daki eşilik gerçeklenir. T y g (x) x ndx = c g z ; zn 2 + z 2 d (z; z ) A (y;)+a Burada A = A ( m; m) [; m); m = su A n ve d (z; z ) = z dzdz (Guliyev e al. 27). dir 25

32 Isa. Genelleşirilmiş öeleme oeraörünün an m ndan; T y f (x) = c f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin d oldu¼gunu biliyoruz. Her iki araf n inegralini al rsak; T y f (x) x ndx = c f x y ; x 2 n 2x n y n cos + yn 2 sin x nddx A A elde edilir. 8> < >: z = x y z n = y n x n cos z = x n sin dönüşümünü yaal m. Dönüşümün Jakobiyeni j = x n dir. z 2 n + z 2 = (y n x n cos ) 2 + x 2 n sin 2 = y 2 n + x 2 n cos 2 2x n y n cos + x 2 n sin 2 = x 2 n 2x n y n cos + y 2 n bulunur. T y f (x) x ndx = c f z ; zn 2 + z 2 sin x n x ndxd A A+(y;) = c A+(y;) f z ; zn 2 + z 2 zdzdz elde edilir. Şimdi T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü araf ndan üreilen fg B (genelleşirilmiş konvolüsyon) an mlay önemli özelliklerini verece¼giz. konvolüsyonu 26

33 Tan m f ve g, üzerinde ölçülebilir iki fonksiyon olmak üzere (f g) (x) = f (y) T y g (x) y ndy şeklinde an mlanan genelleşirilmiş konvolüsyona B konvolüsyon denir. Tan m (Genelleşirilmiş B Riesz Poansiyeli) 2 L s; S+ n ; s ; S n + = x 2 : jxj = ve ; üzerinde s f r nc dereceden homojen yani, 8 > ; 8x 2 için (x) = (x) olsun. Bu durumda kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli veya genelleşirilmiş B kesirli inegral oeraörü I ;; f (x) = (y) jyj T y f (x) yndy olarak an mlan r. Aşa¼g daki lemmada B konvolüsyon için W.H. Young eşisizli¼gi sa¼glan r. Lemma ; r ; + = ; f 2 L r ; R+ n ; g 2 L; olsun. Bu durumda f g 2 L r; ve kf gk Lr; kfk L; kgk L; eşisizli¼gi sa¼glan r. Isa. ; ; ; + + = j(f g) (x)j = = olacak şekilde oziif say lar olsun. f (y) T y g (x) y ndy jf (y)j jt y g (x)j y ndy R n + jf (y)j ( ) jt y g (x)j ( ) jf (y)j jt y g (x)j ( y + + ) dy n 27

34 elde ederiz. ; ; ye göre Hölder eşisizli¼gi uygulan rsa; j(f g) (x)j B jf (y)j ( ) jt y g (x)j ( ) y C n dya B jf (y)j yndy C B A jt y g (x)j yndy C A oldu¼gu görülür. Dolay s yla j(f g) (x)j kfkl ; kt y g (x)k B L; jf (y)j ( ) jt y g (x)j ( ) y C n dya elde edilir. = + ; = + ve = r + olsun. Bu durumda r = + + = sa¼glan r. j(f g) (x)j kfkl ; kt y g (x)k B L; jf (y)j ( ) jt y g (x)j ( ) y C n dya j(f g) (x)j kfkl ; kt y g (x)k B L; jf (y)j jt y g (x)j yndy C A r eşisizli¼gi bulunur. Her iki araf n r: kökü al n rsa j(f g) (x)j r r kfkl ; kt y g (x)k r L ; B jf (y)j jt y g (x)j yndy C A 28

35 oldu¼gu görülür. Şimdi her iki araf n inegrali al n rsa j(f g) (x)j r x r ndx kfkl ; kt y g (x)k r L ; jf (y)j jt y g (x)j y ndyx ndx r = kfk L ; kt y g (x)k r L ; jf (y)j yndy jt y g (x)j x ndx sa¼glan r. Buradan kf gk r L r; r kfkl ; kt y g (x)k r L ; kfk L ; kt y g (x)k L ; eşisizli¼gini elde ederiz. Her iki araf n r: kökü al nd ¼g nda kf gk Lr; kfkl ; kt y g (x)k L; kfk r L; kt y g (x)k r L; = kfk + r L ; kt y g (x)k + r L ; = kfk L; kt y g (x)k L; kfk L; kgk L; elde edilir. 29

36 3. DA ¼GILIM FONKS IYONU ve YEN IDEN DÜENLEME Bu bölümde da¼g l m fonksiyonu ve bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an larak bunlarla ilgili emel özellikler verilmişir. Birinci k s mda ölçülebilir bir fonksiyonun da¼g l m fonksiyonu an lm ş ve baz emel özellikleri verilmişir. Ikinci k s m azalan yeniden düzenlemenin özelliklerine ayr lm ş r. Üçüncü k s mda ölçülebilir bir fonksiyonun L ; R+ n normu ile azalan yeniden düzenlemesinin L (; ) normunun birbirine eşi oldu¼gu isalanm ş r. Daha sonraki bölümde de görülecekir ki bu özellik L ;; Lorenz uzay için norm eşisizliklerinin bulunmas nda büyük öneme sahiir. Son k s mda ise ** oeraörü ve bu oeraörün baz emel özellikleri verilmişir. Bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi f ve ** oeraörü O Neil ii eşisizli¼ginin göserilmesinde anahar rol oynamas bak m ndan büyük bir öneme sahiir. 3. Da¼g l m Fonksiyonu Tan m 3.. ( f ; : [; )! [; ]; da¼g l m fonksiyonu) f :! R ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f ; () = x 2 : jf (x)j > şeklinde an mlanan f ; fonksiyonuna f fonksiyonunun da¼g l m fonksiyonu denir. Burada E ölçülebilir bir küme olmak üzere E kümesinin ölçüsü jej = x ndx biçiminde an mlan r. E Aşa¼g daki eoremde da¼g l m fonksiyonunun baz özelliklerini verilecekir. 3

37 Teorem 3.. f; g :! R ölçülebilir iki fonksiyon olsun. Aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) jfj ; () = f ; () ; (ii) h.h.y. f = g ise f ; = g ; d r. (iii) 8x 2 için jf (x)j jg (x)j ise 8 2 [; ) için f ; () g ; () eşisizli¼gi sa¼glan r. (iv) f ; azalan ve sa¼gdan süreklidir. (v) (f + g) ; ( + 2 ) f ; ( ) + g ; ( 2 ) ; ; 2 (vi) (fg) ; ( 2 ) f ; ( ) + g ; ( 2 ) ; ; 2 (vii) 8x 2 h:h:y: için jf (x)j lim inf n! jf n (x)j ise, o halde 8 için f ; () lim inf n! (f n) ; () d r (Aykol 28). Lemma 3.. f 2 L ; R+ n ; < olsun. Bu durumda f ; () jf (x)j x ndx; > fx2r n :jf(x)j>g + eşisizli¼gi gerçeklenir. 3

38 !, > Isa. jf (x)j x ndx fx2r n :jf(x)j>g + fx2 :jf(x)j>g x ndx = x 2 : jf (x)j > = f ; () dolay s yla oldu¼gu görülür. Buradan f ; () kfk L ; = kfk L ; x 2 : jf (x)j > kfk L ;! elde edilir. Teorem 3..2 f 2 L ; ; < olsun. Bu durumda kfk L;() = f ; () da = df ; () da eşili¼gi gerçeklenir. Isa. L ; uzaylar ndaki norm an m gere¼gince kfk L ;() = jf (x)j x ndx = jf(x)j da x ndx 32

39 = = B x fx2r n :jf(x)j>g + ndxc A d x 2 : jf (x)j > d = f ; () d elde edilir. Sonuç 3.. Teorem 3..2 den = için kfk L;() = inf f : f ; () = g ve = için oldu¼gu görülür. kfk L;() = kf ;k L (;) 3.2 Yeniden Düzenleme Bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi kavram klasik analizde büyük öneme sahi olu birçok eşisizlike anahar rol oynamakad r. Bu k s mda bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi an larak baz emel özellikleri isalanacak r. Tan m 3.2. ( Yeniden Düzenleme) f :! R ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun yeniden düzenlemesi f () = inf fs : f ; (s) g 8 2 [; ) şeklinde an mlan r. Aşa¼g daki eorem yeniden düzenlemenin emel özelliklerini vermekedir. 33

40 Teorem 3.2. gerçeklenir. f :! R ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Aşa¼g daki özellikler (i) s; için f () > s, f ; (s) > dir. (ii) f ve f eş ölçülebilirdir. Yani 8 için x 2 : jf (x)j > = m : f () > d r. Burada m Lebesgue ölçüsüdür. (iii) s ve f ; (s) < olsun. O halde her < " < için f (f ; (s)) s ve f (f ; (s) + ") s sa¼glan r. Ayr ca, f () < ve 8" > için f ; f () ve f ; f () " eşisizlikleri gerçeklenir. (iv) üzerinde h.h.y f = g ise [; ) üzerinde f = g gerçeklenir. (v) f azalan ve sa¼gdan süreklidir. (vi) için f () = f ; () eşili¼gi sa¼glan r. (vii) < < için (jfj ) () = f () dir. (viii) A ölçülebilir bir küme ve f olmak üzere (f A ) () f () [;jaj ) () ; d r (Aykol 28). 34

41 Teorem Her ; 2 için (f + g) ( + 2 ) f ( ) + g ( 2 ) ve (fg) ( + 2 ) f ( ) g ( 2 ) eşisizlikleri sa¼glan r. Özel olarak her için (f + g) () f + g 2 2 ve (fg) () f g 2 2 gerçeklenir. Isa. Birinci eşisizli¼gin isa ile başlayal m. f ( ) + g ( 2 ) < oldu¼gunu kabul edelim, aksi akdirde isaa gerek yokur. O halde = f ( ) ve 2 = g ( 2 ) için, Teorem 3.2. (iii) gere¼gince; f ; ( ) ve g ; ( 2 ) 2 eşiisizlikleri ve Teorem 3.. (v) den (f + g) ( + 2 ) f ; ( ) + g ; ( 2 ) + 2 eşisizli¼gi gerçeklenir. azalan yeniden düzenlemenin an m ndan (f + g) ( + 2 ) + 2 = f ( ) + g ( 2 ) elde edilir. Ikinci eşisizli¼gin isa da benzer biçimde ya labilir, f ( ) g ( 2 ) < oldu¼gu 35

42 kabul edilir ve Teorem 3.. (vi) kullan lacak olursa (fg) ; ( 2 ) f ; ( ) + g ; ( 2 ) elde edilir.yine azalan yeniden düzenlemenin an m ndan (f + g) ( + 2 ) 2 = f ( ) g ( 2 ) elde edilir ki bu da aran lan eşisizlikir. Özel olarak = = 2 al nd ¼g nda geriye kalan iki eşisizlik kolayca elde edilir. 3.3 Yeniden Düzenleme ve L ; Normu Bu k s mda öncelikle ölçülebilir bir fonksiyonun L ; R+ n normu ile onun azalan yeniden düzenlemesinin L (; ) normunun eşi oldu¼gu isalanacak r. Daha sonra zay f L ; uzay an lacak, T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü ile yeniden düzenleme aras ndaki ilişkiye de¼ginilecekir. Teorem 3.3. ve jf (x)j x ndx = su > f ; () d = f ; () = su f () > f () d eşilikleri gerçeklenir (Aykol 28). Teorem < < olmak üzere jf (x)j x ndx = f () d eşili¼gi sa¼glan r (Safarov 2). 36

43 Bundan başka, = için elde edilir. ess su jf (x)j = inf f : f ; () = g = f () x2 Isa. (jf (x)j ) n () = inf : x 2 : jf (x)j > o ; = de¼gişken de¼gişimi ya l rsa = inf n : x 2 : jf (x)j > o = f () elde edilir. jf (x)j x ndx = (jf ()j ) d = f () d olu isa amamlan r. = durumu için essenial suremum an m ndan ve ozii i¼ginden da¼g l m fonksiyonunun ess su jf (x)j = n inf : x 2 : jf (x)j > o = x2 = inf f : f ; () = g = inf f : f ; () g = f () elde edilir. 37

44 Teorem f 2 L ; ve ; olmak üzere kfk L;() = f L (;) eşili¼gi sa¼glan r (Safarov 2). Isa. Teorem 3..2 ve f ; an m ndan f L (;) = = (f ; ) () d = jf (x)j x ndx = kfk L ;() : f ; () d elde edilir. Eşili¼gin her iki araf n n : kuvvei al narak isenilen norm eşili¼gi elde edilir. Lemma 3.3. Herhangi > için su jej = E jf (x)j x ndx = f (s) ds (3.3.) eşili¼gi gerçeklenir (Safarov 2). Lemma (Hardy-Lilewood Eşisizli¼gi) jf (x) g (x)j x ndx f () g () d eşisizli¼gi geçerlidir. Isa. (Aykol 28). Şimdi de zay f L ; yani, W L ; uzay n an mlayal m ve baz özelliklerini verelim. 38

45 Tan m 3.3. < olmak üzere zay f L ; uzay W L ; = şeklinde an mlan r. f :! R ölçülebilir, kfk W L; = su > f () < Lemma < olsun. 8f 2 L ; için kfk W L;() kfk L ;() eşisizli¼gi sa¼glan r. Isa. Teorem den ve f fonksiyonunun azalanl ¼g ndan kfk L;() = f L (;) = f (s) ds A f (s) ds A f () elde edilir. Buradan kfk L;() kfk W L ;() elde edilir. Lemma < < < 2, 2 (; ) ve = + 2 olmak üzere kfk W L;() kfk W L ;() kfk W L 2 ;() sa¼glan r. Isa. W L ; uzay ndaki norm an m ndan kfk W L;() i = su f () = su h i f () h 2 f () 2[;) 2[;) = kfk W L ;() kfk W L 2 ;() 39

46 elde edilir. Aşa¼g daki lemmada T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü ve f nin yeniden düzenlemesi aras ndaki ilişki verilmekedir. Lemma Herhangi ölçülebilir A ve y 2 için su jaj = A T y jf (x)j x ndx = c f (s) ds dir (Safarov 2). Isa. Lemma den T y jf (x)j x ndx = c f (z; z ) d (z; z ) (3.3.2) A (y;)+a eşili¼gi sa¼glan r. Burada f (z; z ) = f z ; zn 2 + z 2 d (z; z ) = z dzdz ; z > ile verilir. f (z; z ) fonksiyonu için (3:3:) eşili¼gi yaz l rsa su (A)= A f (z; z ) d (z; z ) = c f (s) ds eşili¼gi elde edilir. Burada f (s) = inf > : ( f) () s = inf > : (z; z ) : f (z; z ) > s (y; ) + A = jaj ve f (s) = f (s) 4

47 ile verilir. 8> z = x < z n = x n cos >: z = x n sin dönüşümü uygulan rsa f ; (s) = (z; z ) 2 R + : f (z; z ) > = = x 2 : jf (x)j > = f ; () fx2 :jf(x)j>g x ndx elde edilir. Sonuç olarak f (s) = inf f > : f ; () sg = f (s) dir. (3:3:2) eşili¼ginin her iki araf ndan suremum al n rsa, su jaj = A T y jf (x)j x ndx = c su = c (A)= (y;)+a f (s) ds = c f (z; z ) d (z; z ) f (s) ds eşili¼gi elde edilir. Böylece lemman n isa amamlanm ş olur. 4

48 3.4 ** Oeraörü Lemma deki jf (x) g (x)j x ndx f () g () d eşisizli¼ginde A kümesi ölçüsüne sahi ölçülebilir bir küme olmak üzere g = A al nacak olursa jf (x) g (x)j x ndx = jf (x)j x ndx jaj f (s) ds = f (s) ds A elde edilir. Ayr ca her iki araf jaj = ile bölündü¼günde jaj A jf (x)j x ndx f (s) ds bulunur. Son eşisizli¼gin sa¼g araf ndaki fonksiyon her < için an mlanm ş r. Elde edilen bu fonksiyon L ;; Lorenz uzaylar için ve B konvolüsyonlar için O Neil ii eşisizli¼ginin göserilmesinde büyük öneme sahiir. Şimdi ** oeraörünün genel an m n verelim. Tan m 3.4. f biçiminde an mlan r. : (; )! [; ] fonksiyonu f () = f (s) ds Her ne kadar yukar da f yaklaş rken den fonksiyonu = da an mlanmam ş olsa da s f ra sa¼gdan azalan yeniden düzenleme fonksiyonu an ml d r. Gerçeken, Teorem lim! +f () = f () = ess su jf (x)j x2 elde edilir: 42

49 Teorem 3.4. f; g :! R ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda f fonksiyonu için aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) f ; (; ) üzerinde azalan ve süreklidir. (ii) 8 için f () f () dir. (iii) Hemen her x 2 için jf (x)j jg (x)j ise 8 için f (Aykol 28). () g () dir Teorem (Alolamsall k) 8 > için (f + g) () (f) () + (g) () eşisizli¼gi gerçeklenir, yani ** oeraörü alolamsald r (Aykol 28). 43

50 4. L ;; LORENT UAYLARI ve TEMEL ÖELL IKLER I Bu bölümde ilk olarak birinci k s mda L ;; Lorenz uzaylar an mlanm ş ve cebirsel özelliklerine yer verilmişir. Ikinci k s mda ise L ;; uzay n n baz oolojik özelliklerine de¼ginilmişir. Burada L ;; uzay n n aml k koşullar incelenmişir. 4. L ;; Lorenz Uzaylar Tan m 4.. (L ;; ; x ndx Lorenz uzay ) L ;; ; x ndx Lorenz uzay 8 R >< kfk L;;( ;x ndx) = kfk L ;;() = >: f () d ; < < ; < < su f () ; < ; = > sonlu olacak biçimde üm f :! C ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir. Burada L ; Lorenz uzay ndan farkl olarak, d Lebesgue ölçüsü yerine x ndx kullan ld ¼g na dikka edilmelidir. = olmas durumunda L ;; L ; oldu¼gundan L ;; uzay na L ; uzay n n genelleşirmesi olarak bak labilir. Gerçeken; < için k:k ;; an m ndan kfk ;; = = f d () A f () da = = kfk ; f () d A sa¼glan r. Bundan başka = için, f fonsiyonunun azalan olmas ndan ve Teorem den 44

51 elde edilir. Böylece; L ;; L ; dir. kfk ;; = suf () = f () > = ess su jf (x)j x2 = kfk ; Teorem 4.. L ;; Lorenz uzay lineer bir uzayd r ve k:k ;; fonksiyoneli bir uasi-normdur. Isa. (Aykol 28). Teorem 4..2 k:k ;; durumunda norm belirir. fonksiyoneli ya da = = olmas Isa. (Aykol 28). Teorem 4..3 < < ve < 2 olsun. O halde kfk ;2; C kfk ;; eşisizli¼gi sa¼glan r. Burada C = 2 2 olu kesindir. Böylece L ; ; C,! L ;2 ; d r. 45

52 Isa. Lemma 2..4 de h () = f () 2 ; = 2 ve = 2 al nacak olursa kfk ; 2 ; = 2 = 2 f d () A kfk ; ; 2 2 = f () d 2 f () 2 da 2 sa¼glan r. Her iki araf n : kuvvei al nacak olursa elde edilir. Burada C sabii 2 kfk ;2 ; 2 C = olu Lemma 2..4 gere¼gince kesindir. 2 2 kfk ;; Teorem 4..4 E ; jej < ve her < r < < ve her < ; s için L ;;,! L r;s; dir. Her < s ve her < < için L ;;,! L ;s; kasama ba¼g n lar gerçeklenir. Ayr ca, < u < 2 ise bu durumda L 2 ;;,! L 2 ;;,! L ;u;,! L ;; ba¼g n s sa¼glan r. 46

53 Buradan aç kça görülür ki < 2 olmas durumunda L ; ; L ; L ;; L ;; kasama ba¼g n s gerçeklenmekedir. O halde, L ;; uzay na L ; ve L ;; uzaylar n n incelilmişi olarak bak labilir. Şimdi L ;; uzay nda k:k ;; göserimine sahi ve k:k ;; fonksiyoneline denk başka bir fonksiyonel an mlayaca¼g z. Bu yeni fonksiyonel yerine oeraörü yard m yla an mlanacak ve k:k ;; fonksiyonelindekinden daha fazla ve de¼gerleri için üçgen eşisizli¼gi sa¼glanacak r. Tan m 4..2 (k:k ;; fonksiyoneli) Key f 2 L ;; fonksiyonu için k:k ;; fonksiyoneli 8 >: >< kfk ;; = biçiminde an mlan r. f () d A ; < < ; < < su f () ; < ; = > Teorem ve Minkowski eşisizli¼gi yard m yla göserilebilir ki < ve olmak üzere k:k ;; fonksiyoneli için üçgen eşisizli¼gi sa¼glan r. Gerçeken; kf + gk ;; = (f + g) f () d d () A A + g f d () A () + g () d A = kfk ;; + kgk ;; gerçeklenir. 47

54 Ayr ca, k:k ;; fonksiyoneli kfk ;;, kfk ;; =, f =, h:h:y: ve 8f 2 L ;; için kfk ;; = jj kfk ;; özelliklerini gerçekler. Bundan başka kfk ;; kfk ;; eşisizli¼gi sa¼glan r. Buradan da anlaş laca¼g gibi kfk ;;fonksiyoneli üs s n ra sahi de¼gildir. O halde L ;; uzay ndan al nan her eleman için kfk ;; fonksiyonelinin sonlu olmas beklenemez. Gerçeken, = ; = al n r ve f fonksiyonu ölçüsü s f rdan büyük olan bir kümenin karakerisik fonksiyonu olarak seçilirse, f (x) = A (x) olmak üzere elde edilir. kfk ;; = k A k ;; = = B jaj ( A ) () d = C dsa d = jaj d = ( A ) (s) dsa d Teorem 4..5 < < ; < ya da = = olsun. Bu durumda k:k ;; fonksiyoneli L ;; uzay üzerinde bir norm belirir ve böylece L ;; ; k:k ;; bir normlu uzayd r. Özel olarak, kfk ;; kfk ;; kfk ;; (4..) eşisizli¼gi sa¼glan r. Buradan k:k ;; ve k:k ;; normlar eşde¼ger normlard r. Isa: Sol arafaki eşisizlik f () f () oldu¼gundan dolay kolayca elde edilir. Ikinci eşisizlik için < < ve < < olmas durumu ile başlayal m. Hardy 48

55 eşisizli¼ginde r = seçilmesiyle kfk ;; = f kfk ;; d () A = f (s) dsa ( ) da elde edilir. E¼ger < < ve = al n rsa kfk ;; = su > = su > f = kfk ;; su > = () = su > s s kfk ;; f (s) ds f (s) ds su > s ds s suu f (u) ds u> elde edilir. = = olmas durumunda ise f n azalanl ¼g ndan yararlan larak ve f kfk ;; = su > f bulunur ki bu da isa amamlar. () = lim! + f (s) ds = f () = kfk ;; Uyar 4.. k:k ;; = k:k ;;eşili¼ginin varl ¼g na dikka edilmelidir. Gerçeken; sa¼glan r. kfk ;; = su > f () = su > f (s) ds = f (s) ds = kfk ;; 49

56 4.2 L ;; Lorenz Uzaylar n n Toolojik Özellikleri Bu k s mda L ; uzay n n aml ¼g ndan yola ç k larak Riesz eoremleri yard m yla L ;; uzay n n aml ¼g isalanacak r. Teorem 4.2. L ;; uzay k:k ;; uasi-normuyla her < < ve < için amd r. Özel olarak, < <, < ya da = =, = = ise normlu L ;; uzay bir Banach uzay d r. Isa: L ;; ; k:k ;; dan herhangi bir ff n g Cauchy dizisi alal m. O halde kf m f n k ;; kf m f n k ;;! ; m; n! ve Teorem 4..3 en kfk ;; kfk ;; sa¼glan r. Böylece, kf m f n k ;; = su (fm f n ) ()! ; m; n! > ve su (fm f n ) > Buradan görülebilir ki key > için () = su (f m f n ) ; () > = su > x 2 : jf m x 2 : jf m f n j >! ; m; n! f n j > sa¼glan r. O halde ff n g dizisi bir Cauchy dizisidir. F. Riesz Teoremi gere¼gince f n! f olacak şekilde ölçülebilir bir f fonksiyonu vard r. 5

57 Yine F.Riesz eoreminden ff nk g! f olacak şekilde bir ff nk g al dizisi de bulunmakad r. ff n g dizisi bir Cauchy dizisi oldu¼gundan 9 N > vard r öyle ki 8n > N ve f nk f N! f f N ; h:h:y: için kf n f N k ;; < " sa¼glan r. Teorem 3.. (vii) den (f f N ) olu Faou Lemmas kullan larak kf f N k ;; = () lim inf (f n k f N ) k! () ; 8 > lim inf k! (f fn ) () d A lim inf (f n k f N ) k! () d A (fnk = lim inf k! kf n k f N k ;; f N ) () d A elde edilir. Böylece kf f N k ;;! ; N! sa¼glan r. Ayr ca f = f f N + f N için f 2 L ;; oldu¼gundan her < < ve < için L ;; uzay n n am oldu¼gu görülür. Teorem 4..2 gere¼gince < < ve < için L ;; uzay n n normlu uzay oldu¼gunu belirmişik; o halde ve nun bu aral kaki de¼gerleri için L ;; uzay bir Banach uzay d r. 5

58 5. B KONVOLÜSYONLAR IÇ IN O NEIL T IP I EŞ ITS IL IK R. O Neil (963) R de konvolüsyonun yeniden düzenlemesi için (f g) () f () g () + f (u) g (u) du; < < biçimindeki eşisizli¼gi isalam ş r. O Neil bu eşisizli¼gi kullanarak Lorenz uzaylar nda kesirli inegrallerin s n rl l ¼g n gösermiş ve konvolüsyon oeraörlerin baz özelliklerini vermişir. Bu bölümde Guliyev, Serbeci ve Safarov (27) araf ndan isa edilen, Lalace- Bessel diferansiyel oeraörü ile yak ndan ilgili olan T y genelleş-irilmiş öeleme oeraörü araf ndan üreilen B konvolüsyonun yeniden düzenlemesi için O Neil ii eşisizlik isa edilecekir. Aşa¼g daki eoremde B konvolüsyonun yeniden düzenlemesi için O Neil ii eşisizlik verilmekedir. Teorem 5. (B konvolüsyonun yeniden düzenlemesi için O Neil ii eşisizlik) f ve g, üzerinde oziif ve ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda < < için (f g) () c f () g (u) du + f (u) g (u) dua (5.) eşisizli¼gi sa¼glan r. Burada c = eşili¼gi ile verilir. Isa. > için bir ölçülebilir E kümesi seçebiliriz öyle ki, x 2 R n + : jf (x)j > f () E x 2 : jf (x)j f () 52

59 kasama ba¼g n s gerçeklenir. f = f + f 2 olarak daima yaz labildi¼ginden f (x) = f (x) f () E (x) f 2 (x) = f (x) f (x) ile verilsin. Herhangi ölçülebilir A kümesi için jaj = olsun. Fubini eoremi kullan larak (g f ) (x) x ndx = f (y) T y g (x) y nx ndydx A = A f (y) T y g (x) y nx ndxdy = A f (y) yndy T y g (x) x ndx A elde edilir. Lemma en (g f ) (x) x ndx c g (u) du f (y) y ndy A c g (u) du f (y) y ndy oldu¼gu görülür. f de¼geri yerine yaz ld ¼g nda A (g f ) (x) x ndx c = c g (u) du g f (y) f () E (y) y ndy (u) du f (y) yndy f () A E 53

60 elde edilir. Böylece Lemma 3.3. den (g f ) () = (g f ) (s) ds = su (g f ) (x) x ndx jaj = A su c jaj = = c = c g (u) du f (y) y ndy f () A E su f (y) yndy f () A g (u) du E je j = f (s) ds f () A g (u) du c f () f () g (u) du (5.2) elde edilir. g f 2 yi hesalamak için önce Lemma 3.3. ve sonra Lemma kullan l rsa (T g (x)) () (T g (x)) () = (T g (x)) () = su jaj = A T y g (x) y ndy = c g (s) ds = c g () (5.3) 54

61 elde edilir. Lemma den (g f 2 ) (x) = f 2 (y) T y g (x) y ndy c (f 2 ) (f 2 ) = c f () (u) (T g) (u) du (u) g (u) du g (u) du + f (u) g (u) dua elde edilir. Sonuç olarak Lemma 3.3. den (g f 2 ) () c f () g (u) du + f (u) g (u) dua ve f () f () oldu¼gundan (g f 2 ) () c f () g (u) du + f (u) g eşisizli¼gi elde edilir. (5:2) ve (5:4) eşisizlikleri araf arafa olan rsa (f g) () c f () g (u) du + eşisizli¼gi elde edilir. Böylece eoremin isa amamlan r. f (u) g (u) dua (5.4) (u) dua g (x) = (x) jxj şeklinde al n rsa f ile g nin B konvolüsyonu f g, kaba çekirdekli I ;; genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli oldu¼gundan B konvolüsyonlar için O Neil ii eşisizli¼gin bir sonucunu aşa¼g daki gibi elde ederiz. 55

62 Sonuç 5. S n + = x 2 : jxj = birim kürenin yüzeyini gösermek üzere, ; üzerinde s f r nc dereceden homojen yani, 8 > ; 8x 2 için (x) = (x) = (x), 2 L ; Sn + ; < < n + olsun. Bu durumda her < < için (I ;; f) () (I ;; f) () A f (s) ds + s f (s) dsa eşisizli¼gi sa¼glan r. Burada (5.5) 2 n + A A = c ; A = kk n + L ;(Sn + ) ile verilir. 56

63 6. UYGULAMALAR Ugulamalar bölümünün ilk k sm nda L ; Lebesgue uzaylar nda (rough) kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyelinin ve kaba çekirdekli genelleşirilmiş B maksimal oeraörünün s n rl l ¼g için gerek ve yeer koşullar, ikinci k sm nda ise L ;; Lorenz uzaylar nda kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyelinin ve kaba çekirdekli genelleşirilmiş B maksimal oeraörünün s n rl l ¼g için gerek ve yeer koşullar elde edilecekir. 6. L ; Lebesgue Uzaylar nda Kaba Çekirdekli Genelleşirilmiş B Riesz Poansiyelinin ve Kaba Çekirdekli Genelleşirilmiş B Maksimal Oeraörünün S n rl l ¼g Için Gerek ve Yeer Koşullar Bu bölümde Guliyev, Serbeci ve Safarov (27) araf ndan isa edilen, L ; den L ; R+ n ye ( < < < ) ve L; R+ n den W L; R+ n ye kaba çekirdekli I ;; genelleşirilmiş B Riesz oansiyelinin ve kaba çekirdekli M ;; genelleşirilmiş kesirli B maksimal oeraörünün s n rl l ¼g için gerek ve yeer koşullar elde edilecekir. Uygulamalara Riesz oansiyelinin ve maksimal fonksiyonun an m ndan başlayal m. Tan m 6.. Riesz Poansiyeli Riesz oansiyelleri ilk defa 949 y l nda F.Riesz araf ndan an mlanm ş r. A.Gadjiyev ve I.Aliev 988 y l nda yay nlad klar makelelerinde T y genelleşirilmiş öeleme oeraörü ile üreilen B Riesz oansiyellerini an mlayarak bunlar n özelliklerini incelemişlerdir. f :! R inegrallenebilir ve yeerince düzgün bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun Lalasyeni; f = nx j= 2 f x 2 j 57

64 biçiminde an mlan r. Lalasyenin Fourier dönüşümü ( f)^ (x) = (2 jxj) 2 f (x) (6..) şeklindedir. (6::) ifadesinde kuvveeki 2 yerine al n rsa bu durumda Lalasyenin kesirli kuvvei aşa¼g daki gibi an mlan r. ( ) 2 f ^ (x) = (2 jxj) ^f (x) kuvveinin, n < < ; negaif olmas özel bir öneme sahiir. Bundan dolay (6::) oeraörünü inegral oeraörü olarak ifade edebiliriz. Yani basi bir noasyon de¼gişikli¼giyle = al n rsa; I (f) = ( ) 2 (f) ; < < n yazabiliriz, burada (I f) (x) = () jx yj f (y) dy ve () = n 2 2 ile verilir. I oeraörüne Riesz Poansiyeli denir. n 2 n 2 2 Tan m 6..2 (Genelleşirilmiş B Riesz Poansiyeli) 2 L s; S+ n ; s ; S n + = x 2 : jxj = ve ; üzerinde s f r nc dereceden homojen yani, 8 > ; 8x 2 için (x) = (x) olsun. Bu durumda kaba çekirdekli genelleşirilmiş B Riesz oansiyeli veya genelleşirilmiş B kesirli inegral oeraörü I ;; f (x) = (y) jyj T y f (x) y ndy (6..2) olarak an mlan r. 58

65 Tan m 6..3 Maksimal fonksiyon f, R n üzerinde hemen her x için inegrallenebilir bir fonksiyon olsun. Temel Lebesgue eoremi ne göre lim r! m (B (x; r)) B(x;r) ifadesi hemen her x için geçerlidir, burada f (y) dy = f (x) B(x; r) = fy R n : jx yj < rg x merkezli r yar çal aç k yuvard r. Yukar daki limi yerine suremum ve f yerine jf j al narak f nin maksimal fonksiyonu an mlan r. Maksimal fonksiyon R n nin sandar kümelerinde n = için Hardy Lilewood araf ndan an mlanm ş ve Wiener araf ndan n boyulu R n Öklid uzay na genişleilmişir (Sein 97). f :! R inegrallenebilir bir fonksiyon olsun. f nin maksimal fonksiyonu Mf (x) = su r> m (B (x; r)) B(x;r) jf (y)j dy biçiminde an mlan r. Guliyev ve Safarov 22 y l nda kaba çekirdekli genelleşirilmiş M ;; kesirli B maksimal oeraörü an mlam şlard r. Tan m 6..4 (Genelleşirilmiş Kesirli B Maksimal Fonksiyon) 2 L s; S+ n ; s ; S n + = x 2 : jxj = ve ; üzerinde s f r nc dereceden homojen yani, 8 > ; 8x 2 için (x) = (x) olsun. Bu durumda kaba çekirdekli genelleşirilmiş kesirli B maksimal fonksiyonu M ;; f (x) = su r> r B(;r) j (y)j T y jf (x)j y ndy (6..3) 59