ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ -LORENTZ UZAYLARINDA B-MAKSİMAL VE KESİRLİ B-MAKSİMAL FONKSİYONLAR.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ L n ( Rk ),,, γ + -LORENT UAYLARINDA B-MAKSİMAL VE KESİRLİ B-MAKSİMAL FONKSİYONLAR Canay AYKOL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 8 Her hakkı saklıdır

2 ÖET Yüksek Lisans Tezi L ;; Rk;+ n -LORENT UAYLARINDA B-MAKS IMAL VE KES IRL I B-MAKS IMAL FONKS IYONLAR Canay AYKOL Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dal Dan şman: Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I Bu çal şmada, L ;; Rk;+ n Lorenz uzaylar nda M f; B-maksimal fonksiyon ve M ; f; kesirli B maksimal fonksiyonun varl k ve s n rl l k koşullar incelenmişir. Tez al bölümden oluşmakad r. Birinci bölüm giriş k sm na ayr lm ş r. Ikinci bölümde, emel an m, eorem ve lemmalar verilmişir. Üçüncü bölümde, da¼g l m fonksiyonu ve bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an larak emel özellikleri verilmişir. Dördüncü bölümde L ;; Lorenz uzaylar n n cebirsel ve oolojik özellikleri incelenmişir. Beşinci bölümde, klasik maksimal ve kesirli maksimal fonksiyonlar n emel özellikleri verilmişir. Al nc bölüm ezin orjinal k sm d r. Bu bölümde kesirli B maksimal M ; f fonksiyonu için kesin bir eşisizlik bulunmuş ve bu eşisizlik yard m yla M ; f nin L ;; Lorenz uzaylar ndaki s n rl l k koşullar elde edilmişir. Bunun bir sonucu olarak M f fonksiyonunun s n rl l k koşullar bulunmuşur. Temmuz 8, 84 sayfa Anahar Kelimeler: Lalace-Bessel diferensiyel oeraörü, da¼g l m fonksiyonu, yeniden düzenleme, genelleşirilmiş öeleme oeraorü, Lorenz Uzaylar, B maksimal fonksiyon, kesirli B maksimal fonksiyon. i

3 ABSTRACT Maser Thesis B-MAXIMAL AND FRACTIONAL B-MAXIMAL FUNCTIONS IN L ;; R n k;+ LORENT SPACES Canay AYKOL Ankara Universiy Graduae School of Naural And Alied Sciences Dearmen of Mahemaics Suervisor: Assoc. Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I In his sudy, he exisence and boundedness condiions of B maximal funcion M f and fracional B maksimal funcion M ; f in he L ;; Rk;+ n Lorenz saces are invesigaed. This hesis consiss of six chaers. The rs chaer is devoed o he inroducion. In he second chaer, basic de niions, heorems and lemmas are given. In he hird chaer, he disribuion funcion and rearrangemen of a funcion are inroduced and heir fundamenal roeries are given. In he fourh chaer, some algebraic and oological roeries of he L ;; Lorenz saces are given. In he fh chaer, he basic roeries of he classical maximal and fracional maximal funcions are given. The sixh chaer is he original ar of he hesis. In his chaer, a shar ineualiy for fracional B maximal funcion M ; f is obained in he Lorenz saces L ;; and by using his ineualiy he boundedness condiions of he M ; f are found. As a resul of hese boundedness condiions of he M f are obained. July 8, 84 ages Key Words: Lalace-Bessel di erenial oeraor, disribuion funcion, rearrangemen, generalized shif oeraor, Lorenz saces, B maximal funcion, fracional B maximal funcion. ii

4 TEŞEKKÜR Çal şmam n her aşamas nda görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda yard mc ve desek olan say n hocam Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I ye (Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi Maemaik Bölümü), engin kirleriyle gelişmeme kak da bulunan say n Prof. Dr. Vag f GUL IYEV e, yüksek lisans ya ¼g m süre boyunca verdi¼gi burs ile beni desekleyen TÜB ITAK a, çal şmalar m s ras nda desek ve anlay ş n esirgemeyen sevgili aileme en içen sayg ve eşekkürlerimi sunar m. Canay AYKOL Ankara, Temmuz 8 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D I IN I v. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR 4 3. DA ¼GILIM FONKS IYONU ve YEN IDEN DÜENLEME.. 3. Da¼g l m Fonksiyonu Yeniden Düzenleme Yeniden Düzenleme ve L ; Normu ** Oeraörü L ;; LORENT UAYLARI ve TEMEL ÖELL IKLER I L ;; Lorenz Uzaylar L ;; Lorenz Uzaylar n n Toolojik Özellikleri MAKS IMAL ve KES IRL I MAKS IMAL FONKS IYONLAR Maksimal Fonksiyon Kesirli Maksimal Fonksiyon B-MAKS IMAL ve KES IRL I B MAKS IMAL FONKS IYONLAR 7 6. B Maksimal Fonksiyon Kesirli B Maksimal Fonksiyon KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D I IN I R n B (x; r) R n k;+ B je (x; r)j n boyulu Öklid uzay x merkezli r yar çal yuvar fx : x = (x ; x ; :::; x n ) ; x > ; :::; x k > g ; k n fx : x = (x ; x ; :::; x n ) ; x n > g Lalace oeraörü Lalace-Bessel oeraörü x ndx E(x;r) M f Maksimal fonksiyon I f Riesz oansiyeli M f Kesirli maksimal fonksiyon M f B maksimal fonksiyon M ; f Kesirli B maksimal fonksiyon T y f Genelleşirilmiş öeleme oeraörü f f f ; f L (X; ; ) L ; (X; ; ) M + (X; ) f nin da¼g l m fonksiyonu f nin azalan yeniden düzenlemesi f nin -da¼g l m fonksiyonu f nin -azalan yeniden düzenlemesi Lebesgue uzay Lorenz uzay Negaif olmayan ölçülebili fonksiyonlar n kümesi v

7 .G IR IŞ Maksimal ve kesirli maksimal fonksiyon harmonik analizin önemli konular aras nda yer almakad r. Özellikle k smi ürevli denklemler eorisinde, singüler inegraller eorisinde ve fonksiyon uzaylar eorisinde birçok uygulamalar ya lm ş r. B k= k + n x n Lalace-Bessel diferensiyel oeraörü araf ndan üreilen inegral oeraörler Muckenhou ve Sein (985), Kiriyanov (967), Trimeche (997), Lyakhov (997), Semak (985), Gadjiev ve Aliyev (988), Şerbeçi ve Ekincio¼glu (4), Guliyev (3) gibi birçok maemaikçi araf ndan çal ş lmakad r. 95 y l nda Levian (; ) aral ¼g n n öelemesini an mlay bu öelemenin (; ) aral ¼g ndaki nokalar yine ayn aral ¼g n nokalar na dönüşürdü¼günü, ayr ca elde edilen bu öelemenin d dx + d x dx Bessel singüler diferensiyel oeraörü ile yak ndan ilgili oldu¼gunu gösermişir. Daha sonra Kiriyanov (967) Levian n an mlad ¼g genelleşirilmiş öelemeyi ; n boyulu Öklid uzay na "ilk (n ) de¼gişkene göre adi ve n: de¼gişkene göre (; ) aral ¼g ndaki genelleşirilmiş öeleme alarak " genişlemiş ve B Lalace-Bessel oeraörü ile yak ndan ilgili olan T y f (x) = c f x y ; x n x n y n cos + yn sin d genelleşirilmiş öelemeyi an mlam ş r. Harmonik analizin emel araçlar ndan birisi olan Mf (x) = su r> je (; r)j E(;r) jf (y)j dy

8 Hardy-Lilewood Maksimal fonksiyonu Guliyev (998) araf ndan genelleşirilerek T y genelleşirilmiş oeraörü araf ndan üreilen M f (x) = su r> je (; r)j E(;r) T y jf (x)j y ndy B maksimal fonksiyonu an mlanm ş ve bu fonksiyonun L ; s n rl l ¼g isalanm ş r. f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere M f kesirli maksimal fonksiyonu M f (x) = su r> je (; r)j n E(;r) jf (y)j dy ; < n; x R n ile an mlan r. Kesirli B maksimal fonksiyon Guliyev ve Safarov () araf ndan (M ; f) (x) = su r> je (; r)j n+ E(;r) T y jf (x)j y ndy; < n + ; x biçiminde an mlanm ş ve L ; uzaylar nda s n rl l k koşullar incelenmişir. L ;; Lorenz uzay ; 8 >< kfk ;; = >: f () d C A ; < < ; < < su f () ; < < ; = > sonlu olacak biçimde üm f :! C ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir. Burada f fonksiyonu f nin azalan yeniden düzenlemesi olarak adland r l r. Bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi kavram klasik analizde önemli yere sahiir ve birçok eşisizlike anahar rol oynamakad r. Öncelikle Hardy-Lilewood araf n-

9 dan an lm ş ve ard ndan reel ve harmonik analizde, singüler inegrallerin araş r lmas nda, fonksiyon uzaylar nda ve inerolasyonlarda birçok maemaikçi araf ndan kullan lm ş r. L ;; Lorenz uzay lineer bir uzayd r ve ya da = = durumunda k:k ;; fonksiyoneli bir norm belirir, dolay s yla ve nun bu de¼gerleri için L ;; uzay bir Banach uzay d r. Ayr ca; L ;; uzaylar na L ; uzay n n bir genelleşirmesi olarak bak labilir çünkü < için = al nd ¼g nda L ;; = L ; elde edilir. Tezin amac, Lalace- Bessel diferensiyel oeraörü yard m yla elde edilen maksimal ve kesirli maksimal fonksiyonlar n L ;; Lorenz uzaylar nda varl k ve s n rl l k özelliklerini incelemekir. Bunun için öncelikle harmonik analizde önemli yere sahi olan bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi kavram verilerek özelliklerine de¼ginilmişir. Ard ndan azalan yeniden düzenlemenin L ; normuyla olan ilişkisi incelenmişir. Daha sonra L ;; Lorenz uzaylar n n baz cebirsel ve oolojik özellikleri verilmiş ve bu uzaylarda B maksimal ve kesirli B maksimal fonksiyonlar n s n rl l k koşullar elde edilmişir. Bu ez al bölümden oluşmakad r. Ikinci bölümde daha sonraki bölümlerde gerekli olan emel an m, eorem ve lemmalara yer verilmişir. Üçüncü bölümde bir fonksiyonun da¼g l m fonksiyonu ve azalan yeniden düzenlemesi an lm ş ve bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesinin L ; normu ile ilişkisi incelenerek bir fonksiyonun L ; R+ n normu ile azalan yeniden düzenlemesinin L (; ) normunun birbirine eşi oldu¼gu isalanm ş r. Dördüncü bölümde L ;; Lorenz uzaylar an larak baz cebirsel ve oolojik özelliklerine de¼ginilmişir. Beşinci bölümde maksimal fonksiyon ve kesirli maksimal fonksiyon an mlanm ş ve bunlar n varl k ve s n rl l k özellikleri incelenmişir. Al nc bölüm ezin orjinal k sm d r. Teorem 6.. de M ; f kesirli maksimal fonksiyonu için kesin bir eşisizlik elde edilmiş ve bu sonuç yard m yla M ; f nin ve buradan M f maksimal fonksiyonunun L ;; Lorenz uzaylar nda s n rl oldu¼gu isalanm ş r. 3

10 . TEMEL KAVRAMLAR. Genel Bilgiler Tan m.. X bir K cismi üzerinde bir vekör uzay olsun. E¼ger bir k:k : X! R x! kxk dönüşümü 8x; y X ve 8a K için (N) kxk ve kxk =, x = (N) kaxk = jaj kxk (N3) kx + yk kxk + kyk özelliklerini sa¼gl yorsa bu dönüşüme X üzerinde norm ad verilir. (X; k:k) ikilisine bir normlu vekör uzay denir. (X; k:k) normlu uzay k saca X ile göserilir. Tan m.. (N3) eşisizli¼ginde kx + yk C (kxk + kyk), C > olmas durumunda bu dönüşüme uasi-norm ad verilir. Tan m..3 Bir T lineer oeraörü aşa¼g daki özellikleri gerçekleyen oeraördür: (i) T nin D (T ) an m bölgesi bir vekör uzay olu R (T ) de¼ger bölgesi, ayn cisim üzerinde bir vekör uzay d r. (ii) Her x; y D (T ) ve skaleri için, gerçeklenir. T (x + y) = T x + T y T (x) = T x Tan m..4 X ve Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lineer oeraör olsun. E¼ger her x D (T ) için, kt xk A kxk olacak şekilde bir A reel say s varsa, T oeraörüne s n rl d r denir. 4

11 Bir T oeraörünün normu kt k = kt xk su kxk xd(t ) x6= ile an mlan r. Tan m..5 X ve Y normlu uzaylar, D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y bir oeraör ve x D (T ) olsun. E¼ger verilen her " > say s na karş l k, kx x k < koşulunu gerçekleyen her x D (T ) için, kt x T x k < " olacak şekilde bir > say s varsa T ye x da süreklidir denir. Tan m..6 X ve Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lineer oeraör olsun. Bu durumda T nin sürekli olmas için gerek ve yeer koşul T nin s n rl olmas d r (Kreyszig 989). Tan m..7 X bir küme olsun. E¼ger X in al kümelerinin bir s n f için aşa¼g daki özellikler sa¼glan yorsa bu durumda s n f na X üzerinde bir cebirdir denir: (i) X (ii) Her E için E c = XnE (iii) k = ; ; :::; n için E k ise n [ k= E k E¼ger (iii) şar yerine Her n N için E n ) [ n= E n şar konulursa cebirine bir cebir ad verilir. Tan m..8 Bir K s n f n kasayan -cebirlerinin en küçü¼güne K n n do¼gurdu¼gu -cebiri denir. R n deki büün aç k (a; b) aral klar n n do¼gurdu¼gu -cebirine Borel cebiri denir ve B(R n ) ile göserilir. B(R) nin her bir eleman na Borel kümesi denir. Tan m..9 X bir küme ve ; X üzerinde bir cebiri olsun. Bu durumda (X; ) ikilisine bir ölçülebilir uzay, daki her bir kümeye de -ölçülebilir küme veya k saca ölçülebilir küme ad verilir. Tan m.. (X; ) bir ölçülebilir uzay ve f : X! R bir fonksiyon olsun. E¼ger 5

12 8 R için f (]; +[) = fx X : f (x) > g oluyorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir. X üzerindeki ölçülebilir fonksiyonlar n ailesi M (X; ) ile.göserilir. Tan m.. (X; ) bir ölçülebilir uzay olmak üzere X deki negaif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar n kümesi M + (X; ) ile göserilir. Tan m.. X bir küme ve P (X) de X in kuvve kümesi olsun. P (X) üzerinde an ml, genişleilmiş reel de¼gerli bir fonksiyonu (i) (;) = (ii) Her E P (X) için (E) (iii) A B X için (A) (B) S P (iv)her bir n N için A n P (X) ise A n (A n ) şarlar n sa¼glarsa fonksiyonuna X üzerinde bir d ş ölçüdür denir. n= n= Tan m..3 (I k ), R nin s n rl ve aç k al aral klar n n bir dizisi, A = n(i k ) : A [ o I k olsun. P (R) üzerinde ( ) X m (A) = inf l (I k ) : (I k ) A k= biçiminde an mlanan m bir d ş ölçüdür. Bu d ş ölçüye Lebesgue d ş ölçüsü denir. Lebesgue d ş ölçüsü R nin her bir al aral ¼g na onun uzunlu¼gunu karş l k geirir. n boyulu R n uzay nda Lebesgue d ş ölçüsünü an mlamak için I = fx : a i x i b i ; i = ; :::; ng 6

13 n boyulu kaal aral klar n göz önüne alal m. Bu aral klar n hacimleri v (I) = ny (b i a i ) i= biçimindedir. Key bir E R n kümesinin Lebesgue d ş ölçüsü ( ) X [ m (E) = inf v (I k ) : E I k ; I k bir aral k ile an mlan r. 8A R n için e¼ger k= k= m (A) = m (A \ E) + m (A \ (R n E)) ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir. Tan m..4 M (R; m ), m d ş ölçüsüne göre ölçülebilen R nin al kümelerinin s n f olsun. m Lebesgue d ş ölçüsünün M (R; m ) s n f na da B (R) s n f na da olan k s lanmas na Lebesgue ölçüsü denir, m ile göserilir. Tan m..5 (X; ; ) bir ölçü uzay olsun. E¼ger bir önerme ölçüsü s f r olan bir küme d ş nda do¼gru ise, o önerme hemen her yerde do¼grudur denir. Tan m..6 (X; ; ) bir ölçü uzay olsun. < < olmak üzere 8 < L = f M (X; ) : : X 9 = jfj d < ; kümesine -inci kuvveen inegrallenebilen fonksiyonlar s n f denir. L uzay nda bir f fonksiyonunun normu ile an mlan r. 8 R >< kfk = X >: jfj d ; < ess su jf (x)j ; = xx 7

14 Tan m..7 f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her komak K kümesi üzerinde jfj d < ise f fonksiyonuna lokal inegrallenebilirdir denir. K Tan m..8 > ve + = olmak üzere f L, g L olsun. Bu durumda fg L ve kfgk kfk kgk sa¼glan r. Bu eşisizli¼ge Hölder eşisizli¼gi denir (Sadosky 979). Tan m..9 için e¼ger f, g L ise (f + g) L ve kf + gk kfk + kgk dir. Bu eşisizli¼ge Minkowski eşisizli¼gi denir (Sadosky 979). Tan m.. x = (x ; :::; x n ) ve y = (y ; :::; y n ) ; R n de vekörler olmak üzere R n ; P n boyulu Öklidyen uzay (x; y) = n x j y j iç çar m ile dona lm ş R n ; n boyulu j= reel uzay d r. Burada x vekörünün mulak de¼geri jxj =! P n x j j= ile an mlan r. R n üzerinde dx = dx :::dx n ile Lebesgue ölçüsünü göserece¼giz. R n uzay üzerinde f fonksiyonunun (Lebesgue) inegrali f (x) dx = f (x ; :::; x n ) dx :::dx n ile göserilir. Çok kal inegrali kuusal koordinalarda ifade emek ço¼gu kez kullan şl olmakad r. r = jxj olsun ve S n = fx : jxj = g ile birim küreyi göserelim. R f (jxj) dx inegralinin hesab için; R n r < ; ; :::; n ; n olmak üzere x = r cos 8

15 x = r sin cos x 3 = r sin sin cos 3 ::: x n = r sin sin ::: sin n dönüşümü ya l r. Bu dönüşümün Jakobiyeni ny J (r; ; :::; n ) = r n (sin j ) n j olarak hesalan r. f (jxj) dx = R n = j= r n ::: f (r) J (r; ) drd :::d n f (r) dr ::: n j= =! n f (r) r n dr Y (sin j ) n j d :::d n elde edilir, burada! n ; birim kürenin yüzey alan d r. Genel olarak R n f (jxj) dx = = f (r sin ; :::; r sin ::: sin n ) r n drd :::d n S n f (r; ) r n drd biçiminde yaz l r. dx hacim eleman dx = r n drd biçiminde yaz l r. Burada d; S n üzerinde dx araf ndan belirlenen yüzey ölçüsüdür. Teorem.. E R n, jej < olsun. E¼ger r < s ise bu durumda L s (E) L r (E) sa¼glan r (Neri 97). Tan m.. Bir s fonksiyonunun görünü kümesi sonlu elemandan meydana geliyorsa s ye bir basi fonksiyondur denir. 9

16 Teorem.. E¼ger < ise L deki basi fonksiyonlar n kümesi L de yo¼gundur (Adams and Fournier 3). Tan m.. ; olmak üzere T : L (R n )! L (R n ) bir oeraör olsun. E¼ger 8f L (R n ) için kt fk A kfk olacak biçimde f den ba¼g ms z bir A > sabii varsa T oeraörüne (; ) iindendir denir. bir ölçü olmak üzere e¼ger 8 > için A kfk fx : jt f (x)j > g ; < olacak biçimde ve f den ba¼g ms z bir A sabii varsa T dönüşümüne zay f (; ) iindendir denir (Sadosky 979). Teorem..3 (Riesz-Thorin) ; ; ; olmak üzere T; ( ; ) ve ( ; ) ili bir oeraör olsun. Bu durumda = +, = + ( < < ) olmak üzere T; (; ) ili bir oeraördür (Sadosky 979). Teorem..4 (Marcinkiewicz) T alolamsal oeraör ve < ; ve 6= olsun. Ayr ca T oeraörü zay f ( ; ) ve zay f ( ; ) ili oeraör olsun ve ile = +, = + ( < < ) biçiminde an mlans n. Bu durumda T oeraörü (; ) ili oeraördür (Sadosky 979).

17 Tan m..3 (L ; Lebesgue uzay ) L; Lebesgue uzay, 8 >< kfk ; = >: R jf (x)j x ndx! ; < ess su jf (x)j ; = x sonlu olacak biçimde fonksiyonlar n kümesi olarak an mlan r. Tan m..4 (L ; Lorenz uzay ) George G. Lorenz araf ndan 95 y l nda an mlanm ş olan L ; Lorenz uzay, (; ; ) ; sonlu ölçü uzay olmak üzere 8 >< kfk = f () d A ; < ; < < su f () ; < ; = >o sonlu olacak biçimde üm ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir, burada f fonksiyonu f nin azalan yeniden düzenlemesidir, yani f (s) = fx : jf (x)j > sg f nin da¼g l m fonksiyonu olmak üzere için f () = inf fs : f (s) g dir. Tan m..5 (k:k fonksiyoneli) Key f L ; fonksiyonu için k:k fonksi-yoneli 8 >< kfk = f () d A ; < < ; < < su f () ; < ; = > biçiminde an mlan r, burada f : (; )! [; ] olmak üzere f () = f (s) ds d r. Tan m..6 (Hardy Eşisizli¼gi) h; (; ) aral ¼g üzerinde oziif azalan bir fonksiyon, ve r > olsun. Bu durumda

18 (i) h (u) dua r r (h ()) r da h (u) dua r r (h ()) r da eşisizlikleri gerçeklenir (Krisiansson ). Lemma.. (Faou) (X; ; ) bir ölçü uzay ve ff n g de M + (X; ) daki fonksiyonlar n bir dizisi ise d r. X lim inf f n d lim inf n! n! X f n d Lemma.. h; (; ) üzerinde azalan bir fonksiyon olsun. E¼ger < ve ise, o h () da h () d eşisizli¼gi gerçeklenir. Burada sabii kesindir (Krisiansson ). Teorem..5 (F.Riesz) (X; ; ) ölçü uzay ve f n ; f X üzerinde h.h.y. de sonlu fonksiyonlar olsun. O halde aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) f n! f ve fn! g ) f = g, h:h:y:ve ersine; f n! f; f = g h:h:y: ) fn! g d r.

19 (ii) f n! f ) fnk! f h:h:y: olu burada n k : k olmak üzere f nk lar f n lerin aldizileridir. (iii) E¼ger (X) < ve kümesi am ve her ölçülebilir f n dizisi için f n! f ise, o halde f n! f d r. Teorem..6 (Lebesgue Yak nsakl k Teoremi) (X; ; ) bir ölçü uzay, g : X! [; ] inegrallenebilen bir fonksiyon ve f; f ; f... de X üzerinde reel de¼gerli fonksiyonlar olsun. E¼ger h:h:x için ölçülebilir (i) lim f n (x) = f (x) n! ve (ii) 8n N için jf n (x)j g (x) ise bu durumda f ve f n inegrallenebilirdir ve lim n! X f n d = X fd d r. Teorem..7 (Monoon Yak nsakl k Teoremi) (X; ; ) bir ölçü uzay ve (f n ) de M + (X; ) daki fonksiyonlar n monoon aran bir dizisi olsun. fonksiyonuna yak nsak ise fd = lim f n d (f n ) dizisi f dir. X X 3

20 Tan m..7 (Pseudo-merik) : X X! [; ) bir fonksiyon olsun. fonksiyonu (i) (x; y) =, x = y (ii) (x; y) = (y; x) (iii) L > öyle ki (x; z) L ( (x; y) + (y; z)) özelliklerini sa¼gl yorsa ya seudo-merik denir. Tan m..8 (Hilber Dönüşümü) f; R üzerinde lokal inegrallenebilir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun Hf Hilber dönüşümü Hf (x) = :v: olarak an mlan r (Duoandikoexea ). f () d x. Genelleşirilmiş Öeleme Oeraörü ve Özellikleri Tan m.. f : R! R bir fonksiyon ve y R olsun. T y f (x) = f (x + y) şeklinde an mlanan oeraöre R de adi öeleme oeraörü denir. Adi öeleme oeraörü 8> < u (x; ) = f (x) u y (x; ) = şeklindeki başlang ç de¼ger robleminin çözümüdür (Aliyev and Gadjiyev 988). Tan m.. X bir oolojik uzay, f : X! C sürekli bir fonksiyon olsun. y X olmak üzere F (x; y) = T y f (x) 4

21 oeraörü aşa¼g daki şarlar sa¼gl yorsa genelleşirilmiş öeleme oeraörü ad n al r. (i) 8f; g C (X) ; a; b C için T y [af (x) + bg (x)] = at y f (x) + bt y g (x) eşili¼gi sa¼glan r. (ii) 8f C (X) için bir y X vard r 3 T y f (x) = f (x) sa¼glan r. (iii) 8f C (X) ve x; y; z X için T z T y f (x) = T y T z f (x) eşili¼gi sa¼glan r. (iv) 8x; y X için F (x; y) = T y f (x) süreklidir. Tan m..3 (Bessel diferensiyel oeraörü) > ve x > olmak üzere; B = d dx + d x dx şeklinde ifade edilen B oeraörüne Bessel diferensiyel oeraörü denir. Tan m..4 (Lalace-Bessel oeraörü) > olmak üzere B k= n n şeklinde an mlanan oeraöre Lalace-Bessel diferensiyel oeraörü denir. Levian (95) (; ) aral ¼g nda Bessel diferensiyel oeraörü ile yak ndan ilgili olan T y f (x) = + () genelleşirilmiş öelemesini an mlam ş r. f x + y xy cos sin d 5

22 B; Bessel diferensiyel oeraörü olmak üzere 8 >< >: B x u = B y u u (x; ) = f (x) u y (x; ) = diferensiyel denkleminin çözümü (; ) aral ¼g nda T y genelleşirilmiş öelemesidir. Şimdi T y oeraörünün genelleşirilmiş öeleme özelliklerini sa¼glad ¼g n göserelim. (i) Lineerlik özelli¼gi T y oeraörünün an m ndan T y (af (x) + bg (x)) = T y ((af + bg) (x)) + = () = + + () + () = at y f (x) + bt y g (x) (af + bg) x + y xy cos sin af x + y xy cos sin bg x + y xy cos sin d d d elde edilir. (ii) Pozii ik özelli¼gi f, oziif bir fonksiyon olsun. T y f (x) = + () f x + y xy cos sin d oldu¼gunu biliyoruz. f oziif fonksiyon oldu¼gundan f x + y xy cos 6

23 sa¼glan r. iken sin oldu¼gundan yukar daki eşili¼gin sa¼g araf oziifir. O halde T y f (x) oldu¼gu görülür. (iii) T y oeraörünün an m ndan T y () = oldu¼gu kolayca görülür. (iv) f s n rl bir fonksiyon oldu¼gunda T y oeraörü s n rl d r. jt y f (x)j = elde edilir. Buradan eşisizli¼gi sa¼glan r. su x + () + () + () su jf (x)j x f x + y xy cos sin d f x + y xy cos sin d f x + y xy cos sin d + () sin d jt y f (x)j T y jf (x)j su jf (x)j x (v) T y oeraörü süreklidir. T y oeraörü lineer ve s n rl oldu¼gundan süreklidir. (vi) T y oeraörünün de¼gişme özelli¼gi T y T z f (x) = T z T y f (x) 7

24 biçimindedir. Şimdi Kiriyanov (967) araf ndan üzerinde an mlanan genelleşirilmiş öelemeyi verelim. x = (x ; x n ) ; y = (y ; y n ) ; x; y R n ; x = (x ; x ; :::; x n ) ; y = (y ; y ; :::; y n ) olsun. Bu durumda 8 ( >< B ) x u (x; y) = ( B ) y u (x; y) >: u (x; ) = f (x) u y (x; ) = başlang ç de¼ger robleminin çözümü u (x; y) = T y f (x) = + () f x y ; x n x n y n cos + yn sin d fonksiyonudur. Bu öeleme üzerinde genelleşirilmiş öelemedir. Lemma.. ; f L ; olsun. Bu durumda 8y R n + için kt y f (x)k L; kfk L; (..) eşisizli¼gi sa¼glan r. Isa. Eşisizli¼gi önce = durumu için isalayal m. T y f (x) = c f x y ; x n x n y n cos + yn sin d oldu¼gunu biliyoruz. Burada c sabii c sin da = + () 8

25 eşili¼gi ile verilir. kt y f (x)k L;() = jt y f (x)j x ndx = = c = c c c sin f = kfk L;() x y ; x n x n y n cos + yn sin f x y ; x n x n y n cos + yn sin f x y ; x n x n y n cos + yn sin d d x ndx x nddx x ndxd f x y ; x n x n y n cos + yn x ndx elde edilir. Şimdi de = için kt y f (:)k L() kfk L () oldu¼gunu göserelim. T y f (:) oeraörünün L normu şeklindedir. kt y f (:)k L() = ess su jt y f (x)j x jt y f (x)j = c c c f x y ; x n x n y n cos + yn sin d f x y ; x n x n y n cos + yn sin d kfk L() sin d = kfk L() c sin d = kfk L() 9

26 = için kt y f (:)k L; kfk L; ve = için kt y f (:)k L kfk L sa¼gland ¼g ndan, Riesz Thorin inerolasyon eoreminden için kt y f (:)k L; kfk L; elde edilir. Lemma.. A = (A ; A n ) ; A = A :::A n R n herhangi ölçülebilir kümeler, A n (; ) ve y olsun. Bu durumda aşa¼g daki eşilik gerçeklenir. T y g (x) x ndx = c g z ; zn + zn+ d (z; z n+ ) A (y;)+a Burada A = A ( m; m) [; m); m = su A n ve d (z; z n+ ) = z n+dzdz n+ (Guliyev e al. 7). dir Isa. Genelleşirilmiş öeleme oeraörünün an m ndan; T y f (x) = c f x y ; x n x n y n cos + yn sin d oldu¼gunu biliyoruz. Her iki araf n inegralini al rsak; T y f (x) x ndx = c f x y ; x n x n y n cos + yn sin x nddx A A elde edilir. 8> < >: z = x y z n = y n x n cos z n+ = x n sin

27 dönüşümünü yaal m. Dönüşümün Jakobiyeni j = x n dir. z n + z n+ = (y n x n cos ) + x n sin = y n + x n cos x n y n cos + x n sin = x n x n y n cos + y n bulunur. T y f (x) x ndx = c f z ; zn + zn+ sin x n x ndxd A A+(y;) = c A+(y;) f z ; zn + zn+ zn+dzdz n+ elde edilir.

28 3. DA ¼GILIM FONKS IYONU ve YEN IDEN DÜENLEME Bu bölümde da¼g l m fonksiyonu ve bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an larak bunlarla ilgili emel özellikler verilecekir. Birinci k s mda ölçülebilir bir fonksiyonun da¼g l m fonksiyonu an lacak ve baz emel özellikleri verilecekir. Ikinci k s m azalan yeniden düzenlemenin özelliklerine ayr lm ş r. Üçüncü k s mda ölçülebilir bir fonksiyonun L ; R+ n normu ile azalan yeniden düzenlemesinin L (; ) normunun birbirine eşi oldu¼gu isalanacak r. Daha sonraki bölümde de görülecekir ki bu özellik L ;; Lorenz uzay için norm eşisizliklerinin bulunmas nda büyük öneme sahiir. Son k s mda ise ** oeraörü ve bu oeraörün baz emel özellikleri verilecekir. 3. Da¼g l m Fonksiyonu Tan m 3.. ( da¼g l m fonksiyonu). f :! R ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f ; : [; )! [; ]; f ; () = x : jf (x)j > şeklinde an mlanan f ; fonksiyonuna f fonksiyonunun burada E ölçülebilir bir küme olmak üzere da¼g l m fonksiyonu denir, jej = x ndx biçiminde an mlan r. E Aşa¼g daki lemma ile da¼g l m fonksiyonunun baz özelliklerini verilecekir. Teorem 3.. f; g :! R ölçülebilir iki fonksiyon olsun. Aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) jfj ; () = f ; () ; (ii) h.h.y. f = g ise f ; = g ; d r.

29 (iii) 8x için jf (x)j jg (x)j ise 8 [; ) için f ; () g ; () eşisizli¼gi sa¼glan r. (iv) f ; azalan ve sa¼gdan süreklidir. (v) (f + g) ; ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) ; ; (vi) (fg) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) ; ; (vii) 8x h:h:y: için jf (x)j lim inf n! jf n (x)j ise, o halde 8 için f ; () lim inf n! (f n) ; () d r. Isa. (i) jfj ; () = x : jf (x)j > = f ; () (ii) f ve g fonksiyonlar hemen her yerde eşi oldu¼gundan f ; () = x : jf (x)j > = x : jg (x)j > = g ; () oldu¼gu kolayca görülür. (iii) 8x için jf (x)j jg (x)j oldu¼gundan x R n + : jf (x)j > x : jg (x)j > oldu¼gu görülür. Buradan her iki araf n ölçüsü al n rsa x : jf (x)j > x : jg (x)j > oldu¼gundan 8 için f ; () g ; () eşisizli¼gi elde edilir. 3

30 (iv) Ilk olarak f ; fonksiyonunun azalan oldu¼gunu göserelim. ; [; ) için > olsun. Bu durumda f ; ( ) f ; ( ) oldu¼gunu gösermeliyiz. > oldu¼gundan her için x R n + : jf (x)j > x : jf (x)j > dir. Her iki araf n ölçüsü al nd ¼g nda x : jf (x)j > x : jf (x)j > elde edilir. Buradan oldu¼gundan f ; azaland r. f ; ( ) f ; ( ) Şimdi de f ; n n sa¼gdan sürekli oldu¼gunu göserelim. ::: n ::: ; lim n = olsun. f ; ( n )! f ; () oldu¼gunu göserece¼giz. n! E = x : jg (x)j > olsun. ::: n ::: oldu¼gundan E E ::: E dir. Buradan [ E n = E n= olur. lim f ; ( n ) = lim x R n + : jf (x)j > n n! n! = lim n! je n j = je j = x : jf (x)j > = f ; () oldu¼gundan isa amamlan r. 4

31 (v) ; için (f + g) ; ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) oldu¼gunu göserece¼giz. (f + g) ; ( + ) = x : j(f + g) (x)j > + biçimindedir. Ayr ca x R n + : jf (x) + g (x)j > + x : jf (x)j > [ x : jg (x)j > oldu¼gu görülür. Her iki araf n ölçüsü al nd ¼g nda x : jf (x) + g (x)j > + x : jf (x)j > + x : jg (x)j > elde edilir. Buradan (f + g) ; ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) oldu¼gu görülür. (vi) ; için (fg) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) oldu¼gunu göserece¼giz. (fg) ; ( ) = x : j(fg) (x)j > biçimindedir. Ayr ca 5

32 x R n + : jf (x) g (x)j > x : jf (x)j > [ x : jg (x)j > oldu¼gu görülür. Buradan x : jf (x) g (x)j > x : jf (x)j > + x : jg (x)j > gerçeklenir. Sonuç olarak (fg) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) elde edilir. (vii) A n = x : jf n (x)j > ; n = ; ; ::: olsun. Kabulumüzden ve limi inferior an m ndan jf (x)j lim inf jf n (x)j = su inf jf n (x)j n! mn n>m sa¼glan r. Bu ise, jf (x)j > koşulunu sa¼glayan her x için n > m kalacak şekilde bir m do¼gal say s n n var olmas demekir; öyle ki jf n (x)j > sa¼glan r. Böylece A [ \ m= n=m kasama ba¼g n s gerçeklenir ve key m için \ A n n=m inf ja nj nm su mn A n (3..) inf ja nj n>m = lim inf ja nj n! 6

33 sa¼glan r. Bundan başka, (3::) den ve son olarak elde edilir. [ f ; () = ja j ( \ m= n=m n=m A n) m= \ \ A n = lim m! kümelerin aran bir dizisi oldu¼gundan n=m A n lim inf n! (f n) ; () Teorem 3.. olmak üzere f; () = f ; eşili¼gi sa¼glan r. Isa. f; de ölçülebilir bir fonksiyon olsun. için f; () = x : jf (x)j > = = fx:jf(x)j >g x ndx = x:jf(x)j> fx:jf(x)j>g x C ndxa x ndx = f ; elde edilir. Lemma 3.. f L ; R+ n ; < olsun. Bu durumda f ; () jf (x)j x ndx; > fxr n :jf(x)j>g + eşisizli¼gi gerçeklenir. Isa. jf (x)j x ndx fxr n :jf(x)j>g + fx :jf(x)j>g x ndx = x : jf (x)j > = f ; () 7

34 !, > dolay s yla oldu¼gu görülür. Buradan f ; () kfk L ; = kfk L ; x : jf (x)j > kfk L ;! elde edilir. Teorem 3..3 f L ; ; < olsun. Bu durumda kfk L;() f ; () da df ; () da eşili¼gi gerçeklenir. Isa. L ; uzaylar ndaki norm an m gere¼gince kfk L ;() = jf (x)j x ndx jf(x)j da x ndx = = x fxr n :jf(x)j>g + ndxc A d x : jf (x)j > d = f ; () d elde edilir. 8

35 Sonuç 3.. Teorem 3..3 en = için kfk L;() = inf f : f ; () = g ve = için oldu¼gu görülür. kfk L;() = kf ;k L (;) 3. Yeniden Düzenleme Bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi kavram klasik analizde büyük öneme sahi olu birçok eşisizlike anahar rol oynamakad r. Bu k s mda bir fonksiyonun azalan yeniden düzenlemesi an larak baz emel özellikleri isalanacak r. Tan m 3.. ( Yeniden Düzenleme) f :! R ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun yeniden düzenlemesi f () = inf fs : f ; (s) g 8 [; ) şeklinde an mlan r. Aşa¼g daki eorem yeniden düzenlemenin emel özelliklerini vermekedir. Teorem 3.. gerçeklenir. f :! R ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Aşa¼g daki özellikler (i) s; için f () > s, f ; (s) > dir. (ii) f ve f eş ölçülebilirdir. Yani 8 için x : jf (x)j > = m : f () > d r. Burada m Lebesgue ölçüsüdür. (iii) s ve f ; (s) < olsun. O halde her < " < için f (f ; (s)) s ve 9

36 f (f ; (s) + ") s sa¼glan r. Ayr ca, f () < ve 8" > için f ; f () ve f ; f () " eşisizlikleri gerçeklenir. (iv) üzerinde h.h.y f = g ise [; ) üzerinde f = g gerçeklenir. (v) f azalan ve sa¼gdan süreklidir. (vi) için f () = f ; () eşili¼gi sa¼glan r. (vii) < < için (jfj ) () = f () dir. (viii) A ölçülebilir bir küme ve f olmak üzere (f A ) () f () [;jaj ) () ; d r. Isa. (i) Ilk olarak f () > s ) < f ; (s) oldu¼gunu göserelim. f () = inf fz : f ; (z) g > s dir. f ; azalan fonksiyon oldu¼gundan < inf fz : f ; (z) sg ) < f (s) dir. Karş olarak < f ; (s) ) f () > s oldu¼gunu göserelim. < x : jf (x)j > s ve f ; azalan bir fonksiyon 3

37 oldu¼gundan s < inf fz : f ; (z) g ) s < f () dir. (ii) (i) den m : f () > = x : f ; () oldu¼gu görülür. (iii) Ilk olarak f ; (s) < oldu¼gunu kabul edelim. f ; azalan fonksiyon oldu¼gundan f (f ; (s)) = inf f : f ; () f ; (s)g s sa¼glan r. Ayr ca key " > için f (f ; (s) + ") = inf f : f ; () f ; (s) + "g s elde edilir. Benzer biçimde f () < için f ; fonksiyonu sa¼gdan sürekli oldu¼gundan f ; f () = f ; (inf f : f ; () g) sa¼glan r. Bundan başka key " > için (ii) den f ; f () " = x : jf (x)j > f () " elde edilir. = m s > : f (s) > f () " (iv) Teorem.3. (ii) den f (s) = inf f : f ; () sg = inf f : g ; () sg = g (s) elde edilir. 3

38 (v) f n azalan oldu¼gunu göserelim. ; [; ) için > olsun. f ( ) f ( ) oldu¼gunu göserece¼giz. Teorem.3. (iv) den > ise f ; ( ) f ; ( ) oldu¼gunu biliyoruz. f ( ) = inf fs : f ; (s) g ve fs : f ; (s) g fs : f ; (s) g oldu¼gunu biliyoruz. Küme büyüdükçe in mum de¼geri küçülece¼ginden inf fs : f ; (s) g inf fs : f ; (s) g elde edilir. Buradan f ( ) f ( ) sa¼glan r. Şimdi f n sa¼gdan sürekli oldu¼gunu göserelim. ::: n :::, lim n! n = olsun. f ( n )! f () oldu¼gunu göserece¼giz. lim f ( n ) = lim inf fs : f ; (s) n g = inf fs : f ; (s) g = f () n! n! oldu¼gu görülür ve isenilen elde edilir. (vi) için üzere; f () = f ; () oldu¼gunu göserece¼giz. m, Lebesgue ölçüsü olmak f () = m s : f (s) > = m (fs : s < f ; ()g) = m([; f ; ()) = f ; () dir. 3

39 (vii) < < için (jfj ) () = f () oldu¼gunu göserelim. n o (jfj ) () = inf : jfj ; n () = inf : x : jf (x)j > o ; = v n = inf v : x : jf (x)j > v o = f () elde edilir. (viii) (f A ) () f () [;jaj ) () ; oldu¼gunu göserece¼giz. 8x için (f A ) (x) f (x) dir. Buradan (f A ) ; () f ; () ; olur. Di¼ger arafan x : j(f A ) (x)j > jaj (3..) oldu¼gu görülür. (3::) ve (3::) den 8 için (f A ) () = ; > jaj (3..) (f A ) () f () [;jaj ) () elde edilir. Teorem 3.. Her ; için (f + g) ( + ) f ( ) + g ( ) ve (fg) ( + ) f ( ) g ( ) eşisizlikleri sa¼glan r. Özel olarak her için (f + g) () f + g ve (fg) () f g 33

40 gerçeklenir. Isa. Birinci eşisizli¼gin isa ile başlayal m. f ( ) + g ( ) < oldu¼gunu kabul edelim, aksi akdirde isaa gerek yokur. O halde = f ( ) ve = g ( ) için, Teorem.3. (iii) gere¼gince; f ; ( ) ve g ; ( ) eşiisizlikleri ve Teorem 3.. (v) den (f + g) ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) + eşisizli¼gi gerçeklenir. azalan yeniden düzenlemenin an m kullan lacak olursa (f + g) ( + ) + = f ( ) + g ( ) elde edilir. Ikinci eşisizli¼gin isa da benzer biçimde ya labilir, f ( ) g ( ) < oldu¼gu kabul edilir ve Teorem 3.. (vi) kullan lacak olursa (fg) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) elde edilir.yine azalan yeniden düzenlemenin an m yard m yla (f + g) ( + ) = f ( ) g ( ) elde edilir ki bu da aran lan eşisizlikir. Özel olarak = = al nd ¼g nda ise geriye kalan iki eşisizlik elde edilir. 3.3 Yeniden Düzenleme ve L ; Normu Bu k s mda öncelikle ölçülebilir bir fonksiyonun L ; normu ile onun azalan yeniden düzenlemesinin L (; ) normunun eşi oldu¼gu isalanacak r. Daha sonra zay f L ; uzay an lacak, T y f genelleşirilmiş öeleme oeraörü ile yeniden 34

41 düzenleme aras ndaki ilişkiye de¼ginilecekir. Teorem 3.3. ve jf (x)j x ndx = su > f ; () d = f () d (3.3.) f ; () = su f () (3.3.) > eşilikleri gerçeklenir. Isa. (3:3:) eşili¼gini öncelikle basi fonksiyonlar için isalayal m ve basi fonksiyonlar n yo¼gunlu¼gundan yararlanarak üm fonksiyonlara genelleşirelim. s fonksiyonu de s (x) = kx j Aj (x) (3.3.3) j= biçiminde basi fonksiyon olsun. Burada > > ::: > k > ve A j ler ikişer ayr k kümelerdir. O halde s ; () = kx j Bj () j= jx olarak elde edilir. Burada ise j = ja i j, B k = [ j+ ; j ), j = ; ; :::; k ve k+ = d r. Böylece, basi fonksiyonun inegrali an m ndan, i= s ; () d = kx j m ([ j+ ; j )) = j= kx j ( j j+ ) (3.3.4) j= bulunur. Dolay s yla, kx j ( j j+ ) = ( ) + ( 3 ) + ::: + k k j= = + ( ) + ::: + k k k + k k kx = j jajj j= 35

42 olu, (3:3:4) eşili¼gi ve ekrar basi fonksiyonun inegrali an m kullan larak s ; () d = kx j jajj = s (x) x ndx j= elde edilir. Bu ise (3:3:) eşili¼ginin sol k sm n basi fonksiyonlar için isalar. (3:3:) eşili¼ginin sa¼g k sm n n isa nda oziif s fonksiyonu için s () = kx j [Bj B j ) () j= elde edilir, böylece s () d = kx j (B j B j ) = j= kx j jajj = s (x) x ndx j= olur. Isa n genel hali Teorem 3.. (vii), Teorem 3.. (ii) ve Monoon Yak nsakl k Teoremi nden elde edilir. Şimdi (3:3:) eşili¼gini isalayal m. E¼ger j j = olacak biçimde bir (; ) varsa, bu durumda ve suf ; () = > su f () su = > > elde edilir. Tersine, e¼ger f ( ) = olacak biçimde (; ) varsa, bu durumda su f () = > ve su > f ; () su = > elde edilir. Buradan (3:3:) eşili¼ginin sabi > ve > için f ; ve f sonsuz oldu¼gu 36

43 durumlarda sa¼gland ¼g görülür. O halde şimdi her için f ; () < ve her için f () < olmas durumlar n göz önüne alal m. Isa amamlamak için su > f ; () su f () > eşisizli¼ginin isa yla başlayal m. Bunun için su f () < oldu¼gunu kabul edelim. > Aksi akdirde isalayacak birşey yokur. Her için f ; () < oldu¼gundan Teorem 3.. (iii) den su f () f ; () f (f ; ()) f ; (),8 > > olu her iki araf n > üzerinden suremumu al nacak olursa su > f ; () su f () > elde edilir. Şimdi su > f ; () su f () > oldu¼gunu isalayal m. Bunun için suf ; () < oldu¼gunu kabul emeliyiz. Aksi > akdirde isalayacak birşey yokur. Hioez gere¼gince her > için f () < olu yine Teorem 3.. (iii) den her < " < f () için suf ; () f () " f ; f () " f () " > elde edilir. Key " > için bu eşisizlik sa¼gland ¼g ndan suf ; () f () > olu her iki araf n > üzerinden suremumu al nacak olursa su > f ; () su f () > elde edilir. Bu da isa amamlar. 37

44 Teorem 3.3. < < olmak üzere jf (x)j x ndx = f () d eşili¼gi sa¼glan r (Safarov ). Bundan başka, = için elde edilir. ess su jf (x)j = inf f : f ; () = g = f () x Isa. (jf (x)j ) n () = inf : x : jf (x)j > o ; = de¼gişken de¼gişimi ya l rsa = inf n : x : jf (x)j > o = f () elde edilir. jf (x)j x ndx = (jf ()j ) d = f () d olu isa amamlan r. = durumu için essenial suremum an m ndan ve da¼g l m fonksiyonunun 38

45 oziif olmas ndan ess su jf (x)j = n inf : x : jf (x)j > o = x = inf f : f ; () = g = inf f : f ; () g = f () elde edilir. Teorem f L ; ve ; olmak üzere kfk L;() = f L (;) eşili¼gi sa¼glan r (Safarov ). Isa. Teorem 3.. in (vi) ş kk ndan ve f ; an m ndan f L (;) = = (f ; ) () d = jf (x)j x ndx = kfk L ;() : f ; () d elde edilir. Eşili¼gin her iki araf n n : kuvvei al narak isenilen norm eşili¼gi elde edilir. Lemma 3.3. Herhangi > için su jej = E jf (x)j x ndx = f (s) ds (3.3.5) eşili¼gi gerçeklenir (Safarov ). Lemma 3.3. jf (x) g (x)j x ndx f () g () d 39

46 eşisizli¼gi geçerlidir. Isa. Bu eşisizli¼gi basi fonksiyonlar için isalay basi fonksiyonlar n yo¼gunlu¼gundan yararlanarak üm fonksiyonlara genelleşirece¼giz. A j ler ayr k kümeler olmak üzere s (x) = biçiminde göserilsin. kx j Aj ; > > ::: > k > j= j[ B j = A i ; j = j j+ ; k+ = i= olmak üzere yazabiliriz. Gerçeken s (x) = kx j Bj j= s (x) = B + B + ::: + k Bk = ( ) A + ( 3 ) A [A + ( 3 4 ) A [A [A 3 +::: + ( k k+ ) A [A [:::[A k = A A + A [A 3 A [A + 3 A [A [A 3 +::: + k A [A [:::[A k k+ A [A [:::[A k kx = A + A + 3 A3 + ::: + n An = j Aj j= 4

47 bulunur. js (x) g (x)j x ndx = kx j Bj jg (x)j x ndx = j= kx j j= j jg (x)j x ndx = = j= j j= j j j jjj kx kx j g () d = ( j j+ ) kx j j= j= j g () d = s () g () d g () d kx j [j ; j ) () g () d elde edilir. Burada d r. j = jx ja i j ; = i= Şimdi de zay f L ; yani W L ; uzay n an mlayal m ve baz özelliklerini verelim. Tan m 3.3. < olmak üzere zay f L ; uzay şeklinde an mlan r. W L ; = f : kfk W L; = su f () < > Lemma < olsun. 8f L ; için kfk W L;() kfk L ;() eşisizli¼gi sa¼glan r. 4

48 Isa. Teorem den ve f fonksiyonunun azalanl ¼g ndan kfk L;() = f L (;) f (s) ds f (s) ds A f () elde edilir. Buradan kfk L;() kfk W L ;() elde edilir. Lemma < < <, (; ) ve = + olmak üzere kfk W L;() kfk W L ;() kfk W L ;() sa¼glan r. Isa. W L ; uzay ndaki norm an m ndan kfk W L;() i = su f () = su h i f () h f () [;) [;) = kfk W L ;() kfk W L ;() elde edilir. Teorem sa¼glan r. su jf (x) ~g (x)j x ndx = f () g () d (3.3.6) Burada suremum g ile eşölçülebilir ~g fonksiyonlar, yani ~g ; () = g ; () ; üzerinden al nmakad r (Krisiansson ). Aşa¼g daki lemmada T y f genelleşirilmiş öeleme oeraörü ve f nin yeniden düzenlemesi aras ndaki ilişki verilmekedir. 4

49 Lemma Herhangi ölçülebilir A ve y için su jaj = A T y jf (x)j x ndx = c f (s) ds dir (Safarov ). Isa. Lemma.. den T y jf (x)j x ndx = c f (z; zn+ ) d (z; zn+ ) (3.3.7) A (y;)+a eşili¼gi sa¼glan r. Burada f (z; z n+ ) = f z ; zn + zn+ d (z; z n+ ) = z n+dzdz n+ ; z n+ > ile verilir. f (z; zn+ ) fonksiyonu için (3:3:5) eşili¼gi yaz l rsa su ( A)= e ea f ~ (z; z n+ ) d (z; z n+ ) = c f (s) ds (3.3.8) eşili¼gi elde edilir. Burada f (s) = inf > : ( f) () s = inf > : (z; z n+ ) : f (z; zn+ ) > s (y; ) + A e = jaj ve f (s) = f (s) ile verilir. 8> < >: z = x z n = x n cos z n+ = x n sin dönüşümü uygulan rsa 43

50 (z; z n+ ) R n+ + : f (z; zn+ ) > = fx :jf(x)j>g x ndx = x : jf (x)j > = f ; () elde edilir. Sonuç olarak f (s) = inf f > : f () sg = f (s) dir. (3:3:7) eşili¼ginin her iki araf ndan suremum al n rsa, su jaj = A T y jf (x)j x ndx = c su = c ( A)= e (y;)+ A e f (s) ds = c f (z; zn+ ) d (z; zn+ ) f (s) ds eşili¼gi (3:3:8) eşili¼gi kullan larak elde edilir. Böylece lemman n isa amamlanm ş olur. 3.4 ** Oeraörü Lemma 3.3. deki jf (x) g (x)j x ndx f () g () d eşisizli¼ginde A kümesi ölçüsüne sahi ölçülebilir bir küme olmak üzere g = A al nacak olursa; jf (x) g (x)j x ndx = jf (x)j x ndx jaj f (s) ds = f (s) ds A elde edilir. 44

51 Ayr ca her iki araf jaj = ile bölünecek olursa jaj A jf (x)j x ndx f (s) ds bulunur. Son eşisizli¼gin sa¼g araf ndaki fonksiyon her < için an mlanm ş r. Elde edilen bu fonksiyon L ;; Lorenz uzaylar için büyük öneme sahiir ve uygulamalar na Bölüm 4 e daha aç k de¼ginilecekir. Şimdi ** oeraörünün genel an m n verelim. Tan m 3.4. f biçiminde an mlan r. Her ne kadar yukar da f yaklaş rken Gerçeken, Teorem 3.4. den : (; )! [; ] fonksiyonu f () = f (s) ds fonksiyonu = da an mlanmam ş olsa da s f ra sa¼gdan azalan yeniden düzenleme fonksiyonu an ml d r. lim! +f () = f () = ess su jf (x)j x elde edilir: Teorem 3.4. f; g :! R ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda f fonksiyonu için aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) f ; (; ) üzerinde azalan ve süreklidir. (ii) 8 için f () f () dir. (iii) Hemen her x için jf (x)j jg (x)j ise 8 için f () g () dir. 45

52 Isa. (i) Ilk olarak f n süreklili¼gini göserelim. C (; ) ; ve sürekli iki fonksiyonun çar m da sürekli oldu¼gundan buradan da f () C (; ) olur. R R ' (s) ds C (; ) ' (s) ds C (; ) ve Şimdi de f n azalan oldu¼gunu göserelim. < < key sabiler olsun. f ( ) = f (s) ds = f (s) ds + f (s) ds + f ( ) ( ) = f (s) ds f (s) ds + f (s) ds = oldu¼gu görülür ve buradan isenilen elde edilir. f (s) ds + f ( ) f (s) ds = f ( ) (ii) f fonksiyonu azalan oldu¼gundan elde edilir. f () = f (s) ds f () ds = f () (iii) 8 için f () g () dir. Buradan da elde edilir. f () = f (s) ds g (s) ds = g () 46

53 Teorem 3.4. (Alolamsall k) 8 > için (f + g) () (f) () + (g) () eşisizli¼gi gerçeklenir. Böylece, ** oeraörü alolamsald r. Isa: Lemma 3.3. f n an m na uygulanacak olursa f () = f (s) ds = su jaj = A jf (x)j x ndx elde edilir. Böylece üçgen eşisili¼ginden ve suremumun alolamsall ¼g ndan (f + g) () = su jaj = su jaj = A A jaj = A jf (x)j x ndx + jf (x) + g (x)j x ndx A jf (x)j x ndx + su = f jaj = A () + g () jg (x)j x ndxa jg (x)j x ndx gerçeklenir: Bu da isa amamlar. 47

54 4. L ;; LORENT UAYLARI ve TEMEL ÖELL IKLER I Bu bölümde ilk olarak birinci k s mda L ;; Lorenz uzaylar an mlanacak ve cebirsel özelliklerine yer verilecekir. Ikinci k s mda ise L ;; uzay n n baz oolojik özelliklerine de¼ginilecekir. Burada L ;; uzay n n aml k koşullar incelenecek, ayr labilirli¼gi ve bu uzaydaki basi fonksiyonlar n yo¼gunlu¼gu isalanacak r. 4. L ;; Lorenz Uzaylar Tan m 4.. (L ;; Lorenz uzay ) L ;; = L ;; Lorenz uzay 8 >< kfk ;; = kfk L;;() = >: sonlu olacak biçimde üm f : f () d C A ; < < ; < < su f () ; < < ; = >! C ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir. Burada L ; Lorenz uzay ndan farkl olarak, d Lebesgue ölçüsü yerine x ndx kullan ld ¼g na dikka edilmelidir. = olmas durumunda L ;; L ; oldu¼gundan L ;; uzay na L ; uzay n n genelleşirmesi olarak bak labilir. Gerçeken; < için k:k ;; an m f () d kfk ;; = f d () A f () da = = kfk ; sa¼glan r. Bundan başka; 48

55 = için, f fonsiyonunun azalan olmas ndan ve Teorem 3.3. den elde edilir. kfk ;; = suf () = f () > = ess su jf (x)j x = kfk ; Böylece; L ;; L ; dir. Şimdiki eoremle L ;; uzay n n lineerli¼gi ve k:k ;; nun özellikleri verilebilir. Teorem 4.. L ;; Lorenz uzay lineer bir uzayd r ve k:k ;; fonksiyoneli bir uasi-normdur. Isa. L ;; n n lineer bir uzay oldu¼gunu gösermek için f + g L ;; ve oldu¼gunu göserelim. 8 R; 8f; g L ;; için f L ;; (i) < < ve < < olsun. Teorem 3.. den kf + gk ;; = 4 4 = 4 f h (u) 3 (f + g) () d 5 + g d f (u) + g (u) i du u

56 4 4 3 h i max u f (u) ; u g du (u) 5 u 3 i hu h i f (u) + u g du (u) 5 u = + kfk ;; + kgk ;; h i + max kfk ;; ; kgk ;; + + kfk ;; + kgk ;; Ayr ca her skaleri için; kfk ;; (f) () d A jj f d () A = jj kfk ;; (ii) < ve = olsun. Teorem 3.. gere¼gince; elde edilir. kf + gk ;; = su (f + g) () > = su (u) u> f (u) + g (u) = su f > su u> kfk ;; + kgk ;; + g u f (u) + suu g (u) u> Ayr ca 5

57 kfk ;; = su (f) () > = jj su (f) () > = jj kfk ;; sa¼glan r. O halde L ;; uzay, <, < olmak üzere, bir lineer uzayd r. Bundan başka, yukar daki isaan k:k ;; fonksiyonelinin uasi-norm oldu¼gu da görülür. Şimdi k:k ;; fonksiyonelinin hangi durumlarda norm oldu¼gunu beliren eoremi verelim. Teorem 4.. k:k ;; durumunda norm belirir. fonksiyoneli ya da = = olmas Isa. k:k ;; fonksiyonelinin norm beliri¼gini isalamak için üçgen eşisizli¼ginin yaln zca bu durumlarda sa¼gland ¼g n gösermek yeerli olacak r. Geriye kalan norm özellikleri Teorem 4.. gere¼gince sa¼glan r. Öncelikle alal m. O halde olacak r ve bu ise fonksiyonunun azalan olmas demekir, böylece = olur. Teorem den key f; g L ;; için kf + gk ;; = 4 3 (f + g) () d 5 = 4 3 (f + g) () d5 = 6 4su 3 jf (x) + g (x)j h ~ (x) x 7 n dx5 5

58 6 = su 4 f (x) h ~ (x) + g (x) h ~ (x) 3 x 7 ndx5 sa¼glan r. Burada suremum ile eşölçülebilir ~ h fonksiyonlar üzerinden al nm ş r. Minkowski eşisizli¼gi ve suremumun alolamsall ¼g kullan l rsa 6 kf + gk ;; = su 4 f (x) h ~ (x) + g (x) h ~ (x) 3 x 7 ndx5 su 4 3 jf (x)j h ~ (x) x 7 n dx jg (x)j h ~ (x) x 7 n dx5 C A 6 su 4 3 jf (x)j h ~ (x) x 7 n dx5 6 + su 4 3 jg (x)j h ~ (x) x 7 n dx5 gerçeklenir. Son olarak, ekrar Teorem e başvuruldu¼gunda 6 kf + gk ;; su 4 3 jf (x)j h ~ (x) x 7 n dx5 6 + su 4 3 jg (x)j h ~ (x) x 7 n dx5 = 4 3 f () d g () d5 = kfk ;; + kgk ;; elde edilir. Isa amamlamak için üçgen eşisizli¼ginin kalan durumlarda gerçeklenmedi¼ginin göserilmesi gerekmekedir. (i) < (ii) < < ; < (iii) < < < 5

59 durumlar nda üçgen eşisizli¼gi sa¼glanmad ¼g ndan ve nun bu durumlar için k:k ;; fonksiyoneli bir norm belirmez (Krisiansson ). Teorem 4..3 < < ve < olsun. O halde kfk ;; C kfk ;; eşisizli¼gi sa¼glan r. Burada C = olu kesindir. Böylece L ; ; C,! L ; ; d r. Isa. Lemma.. de h () = f () ; = ve = al nacak olursa kfk ; ; = f d () A kfk ; ; f () d f () da sa¼glan r. Her iki araf n : kuvvei al nacak olursa elde edilir. Burada C sabii kfk ; ; C = olu Lemma.. gere¼gince kesindir. kfk ;; 53

60 Teorem 4..4 E ; jej < ve her < r < < ve her < ; s için L ;;,! L r;s; Her < s ve her < < için L ;;,! L ;s; kasama ba¼g n lar gerçeklenir. Ayr ca, < u < ise bu durumda L ;;,! L ;;,! L ;u;,! L ;; ba¼g n s sa¼glan r. Buradan aç kça görülür ki < olmas durumunda L ; ; L ; L ;; L ;; kasamas gerçeklenmekedir. O halde, L ;; uzay na L ; ve L ;; uzaylar n n incelilmişi olarak bak labilir. Şimdi L ;; uzay nda k:k ;; göserimine sahi ve k:k ;; fonksiyoneline denk başka bir fonksiyonel an mlayaca¼g z. Bu yeni fonksiyonel yerine oeraörü yard m yla an mlanacak ve k:k ;; fonksiyonelindekinden daha fazla ve de¼gerleri için üçgen eşisizli¼gi sa¼glanacak r. Tan m 4.. (k:k ;; fonksiyoneli) Key f L ;; fonksiyonu için k:k ;; fonksiyoneli 8 >: kfk ;; = biçiminde an mlan r. f () d A ; < < ; < < su f () ; < ; = > Teorem 3.4. ve Minkowski eşisizli¼gi yard m yla göserilebilir ki < ve 54

61 olmak üzere k:k ;; fonksiyoneli için üçgen eşisizli¼gi sa¼glan r. Gerçeken; kf + gk (f + g) f () d d () A g f d () A () + g () d A = kfk ;; + kgk ;; gerçeklenir. Ayr ca, k:k ;; fonksiyonelikfk ;;, kfk ;;, f =, h:h:y: ve 8f L ;; için kfk ;; = jj kfk ;; özelliklerini gerçekler. Bundan başka kfk ;; kfk ;; eşisizli¼gi sa¼glan r. Buradan da anlaş laca¼g gibi kfk ;;fonksiyoneli üs s n ra sahi de¼gildir. O halde L ;; uzay ndan al nan her eleman için kfk ;; fonksiyonelinin sonlu olmas beklenemez. Gerçeken, = ; = al n r ve f fonksiyonu ölçüsü s f rdan büyük olan bir kümenin karakerisik fonksiyonu olarak seçilirse, f (x) = A (x) olmak üzere elde edilir. kfk ;; = k A k ;; = = jaj ( A ) () d C dsa d = jaj d = ( A ) (s) dsa d Teorem 4..5 < < ; < ya da = = olsun. Bu durumda k:k ;; fonksiyoneli L ;; uzay üzerinde bir norm belirir ve böylece L ;; ; k:k ;; bir normlu uzayd r. Özel olarak, kfk ;; kfk ;; kfk ;; (4..) 55

62 eşisizli¼gi sa¼glan r. Buradan k:k ;; ve k:k ;; normlar eşde¼ger normlard r. Isa: Sol arafaki eşisizlik f () f () oldu¼gundan dolay kolayca elde edilir. Ikinci eşisizlik için < < ve < < olmas durumu ile başlayal m. Hardy eşisizli¼ginde r = seçilmesiyle kfk ;; f kfk ;; d () f (s) dsa ( ) da elde edilir. E¼ger < < ve = al n rsa elde edilir. kfk ;; = su > = su > f = kfk ;; su > = () = su > s s kfk ;; f (s) ds f (s) ds su > s ds s suu f (u) ds u> = = olmas durumunda ise f ve f n azalanl ¼g ndan yaralan larak kfk ;; = su > f bulunur ki bu da isa amamlar. () = lim! + f (s) ds = f () = kfk ;; 56

63 Uyar 4.. k:k ;; = k:k ;;eşili¼ginin varl ¼g na dikka edilmelidir. Gerçeken; sa¼glan r. kfk ;; = su > f () = su > f (s) ds = f (s) ds = kfk ;; 4. L ;; Lorenz Uzaylar n n Toolojik Özellikleri Bu k s mda L ; uzay n n aml ¼g ndan yola ç k larak Riesz eoremleri yard m yla L ;; uzay n n aml ¼g isalanacak r. Daha sonra basi fonksiyonlar n kümesinin bu uzayda yo¼gun oldu¼gu ve son olarak da bu uzay n ayr labilir oldu¼gu isalanacak r. Teorem 4.. L ;; uzay k:k ;; uasi-normuyla her < < ve < için amd r. Özel olarak, < <, < ya da = =, = = ise normlu L ;; Isa: uzay bir Banach uzay d r. L ;; ; k:k ;; dan herhangi bir ff n g Cauchy dizisi alal m. O halde kf m f n k ;; kf m f n k ;;! ; m; n! ve Teorem 4..3 en kfk ;; kfk ;; sa¼glan r. Böylece, kf m f n k ;; = su (fm f n ) ()! ; m; n! > ve su (fm f n ) > () = su (f m f n ) ; () > = su > x : jf m f n j > 57

64 Buradan görülebilir ki key > için x : jf m f n j >! ; m; n! sa¼glan r. O halde ff n g dizisi bir Cauchy dizisidir. F. Riesz Teoremi gere¼gince f n! f olacak şekilde ölçülebilir bir f fonksiyonu vard r. Yine F.Riesz eoreminden ff nk g! f olacak şekilde bir ff nk g al dizisi de bulunmakad r. ff n g dizisi bir Cauchy dizisi oldu¼gundan 9 N > vard r öyle ki 8n > N ve f nk f N! f f N ; h:h:y: için kf n f N k ;; < " sa¼glan r. Teorem 3.. (vii) den (f f N ) olu Faou Lemmas kullan larak kf f N k ;; = () lim inf (f n k f N ) k! () ; lim inf k! (f fn ) () d A lim inf (f n k f N ) k! () d (fnk = lim inf k! kf n k f N k ;; f N ) () d A elde edilir. Böylece kf f N k ;;! ; N! sa¼glan r. Ayr ca f = f f N + f N için f L ;; oldu¼gundan her < < ve < için L ;; uzay n n am oldu¼gu görülür. 58

65 Teorem 4.. gere¼gince < < ve < için L ;; uzay n n normlu uzay oldu¼gunu belirmişik; o halde ve nun bu aral kaki de¼gerleri için L ;; uzay bir Banach uzay d r. Teorem 4.. Tüm basi fonksiyonlar n kümesi S; < < ; < < için; L ;; da yo¼gundur. Isa. Key < ve f L ;; seçimini yaal m. Teoremin isa için kf s n k ;;! ; (n! ) koşulu sa¼glanacak biçimde bir fs n g basi fonksiyonlar dizisi bulunabilece¼gini gösermeliyiz. Genelliken birşey kaybemeksizin f fonksiyonunu oziif seçebiliriz ve buradan s n f olacak biçimde en az bir basi inegrallenebilir fonksiyonlar n dizisi mevcuur, öyle ki her n = ; ; :::için s n! f; n! sa¼glan r. Böylece, Teorem 3.. den, (f s n ) () f + (s n ) ve Lebesgue Yak nsakl k Teoremi uygulanacak olursa f lim kf s nk n! ;; = lim n! (f sn ) () d = d r. f key seçildi¼ginden bu sonuç S = L ;; oldu¼gunu göserir. O halde S, L ;; da yo¼gundur. Teorem 4..3 < < ve < < için L ;; Lorenz uzay ayr labilirdir. Isa. A sonlu ölçüye sahi key ölçülebilir küme ve " > olsun. O halde in sonlu ölçüye sahi al kümelerinden oluşan say labilir bir U¾ailesi mevcuur ve B U¾ için j(a 4 B)j = j(anb) [ (BnA)j < " 59