LORENTZ UZAYLARINDA BESSEL DİFERENSİYEL OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MAKSİMAL ve KESİRLİ MAKSİMAL OPERATÖRLERİN SINIRLILIĞI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEİ LORENT UAYLARINDA BESSEL DİFERENSİYEL OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MAKSİMAL ve KESİRLİ MAKSİMAL OPERATÖRLERİN SINIRLILIĞI Cuma BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır

2 ÖET Dokora Tezi LORENT UAYLARINDA BESSEL D IFERENS IYEL OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MAKS IMAL ve KES IRL I MAKS IMAL OPERATÖRLER IN SINIRLILI ¼GI Cuma BOLAT Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dal Dan şman: Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I Bu çal şmada, ölçülebilir bir f fonksiyonun f () ; -azalan yeniden düzenlemesi yard m yla an mlanan, L p;; (; ) Lorenz uzaylar nda L Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen M f maksimal ve M ; f kesirli maksimal fonksiyonlar n varl k ve s n rl l k şarlar incelenmişir. Tez beş bölümden oluşmakad r. Birinci bölüm giriş k sm na ayr lm ş r. Ikinci bölümde, emel an m, eorem ve lemmalar verilmişir. Üçüncü bölümde, da¼g l m fonksiyonu ve bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an larak emel özellikleri ispalanm ş r. Dördüncü bölümde L p;; (; ) Lorenz uzay an mlanm ş r ve baz özellikleri verilmişir. Beşinci bölüm ezin orjinal k sm d r. Bu bölümde Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen M f maksimal ve M ; f kesirli maksimal fonksiyonlar n an mlar yap lm ş r. M ; f ;kesirli maksimal fonksiyonu için kesin bir eşisizlik bulunmuşur. Bu eşisizlik yard m yla M ; f nin L p;; (; ) Lorenz uzaylar ndaki s n rl l k şarlar elde edilmişir ve bunun bir sonucu olarak M f fonksiyonunun s n rl l k şarlar bulunmuşur. Temmuz 9, 85 sayfa Anahar Kelimeler: Bessel diferensiyel operaörü, da¼g l m fonksiyonu, yeniden düzenleme, T y genelleşirilmiş öeleme operaörü, Lorenz uzaylar, B-maksimal fonksiyon, B-kesirli maksimal fonksiyon. i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis THE BOUNDEDNESS of THE MAXIMAL and FRACTIONAL MAXIMAL OPERATORS ASSOCIATED wih BESSEL DIFFERENTIAL OPERATOR on LORENT SPACES Cuma BOLAT Ankara Universiy Graduae School of Naural And Applied Sciences Deparmen of Mahemaics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I In his sudy, he exisence and boundedness condiions of B maximal funcion M f and fracional B maksimal funcion M ; f in he L p;; (; ) Lorenz spaces de ned by using rearrangemen, f () of a funcion f are invesigaed. This hesis consis of six chapers. The rs chaper is devoed o he inroducion. In he second chaper, basic de niions, heorems and lemmas are given. In he hird chaper, he disribuion funcion and rearrangemen of a funcion are inroduced and heir fundamenal properies are proved. In he fourh chaper, he L p;; (; ) Lorenz spaces are de ned and some algebric and opological properies of hese spaces are given. In he fh chaper, classical maximal and fracional maximal funcions are inroduced and heir imporan properies are examined. The sixh chaper is he original par of he hesis. B maximal funcion M f and fracional B maksimal funcion M ; f which are de ned by using Laplace-Bessel di erenial operaor are inroduced. A sharp ineualiy for fracional B maximal funcion M ; f is obained in he Lorenz spaces L p;; (; ) and by using his ineualiy he boundedness condiions of he M ; f are found. As a resul of hese he boundedness condiions of he M f are obained. July 9, 85 pages Key words: Bessel di erenial operaor, disribuion funcion, rearrangemen, generalized shif operaor, Lorenz spaces, B-maximal funcion, B-fracional maximal funcion. ii

4 TEŞEKKÜR Çal şmam n her aşamas nda görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda yard mc ve desek olan say n hocam Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I ye, engin kirleriyle gelişmeme kak da bulunan say n Prof. Dr. Vag f GUL IYEV e ve çal şmalar m süresince deseklerini esirgemeyen Arş. Gör. Canay AYKOL a sayg ve eşekkürlerimi sunar m. Cuma BOLAT Ankara, Temmuz 9 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖET ABSTRACT TEŞEKKÜR S IMGELER D I IN I i ii iii v. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR Genel Bilgiler Genelleşirilmiş Öeleme ve Özellikleri DA ¼GILIM FONKS IYONU ve YEN IDEN DÜENLEME 4 3. Da¼g l m Fonksiyonu Yeniden Düzenleme Yeniden Düzenleme ve L p; (; ) Normu ** Operaörü L p;; (; ) LORENT UAYI ve TEMEL ÖELL IKLER I L p;; (; ) Lorenz Uzay BESSEL D IFERENS IYEL OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MAKS IMAL ve KES IRL I MAKS IMAL OPERATÖR- LER IN SINIRLILI ¼GI KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D I IN I R n B (x; r) R n + L jej M f h M f M ; f T y f f f f ; f M + (; ) n boyulu Öklid uzay x merkezli r yar çapl yuvar fx : x = (x ; x ; :::; x n ) ; x n > g Bessel diferensiyel operaörü E kümesinin -ölçüsü Maksimal fonksiyon Fourier-Bessel (Hankel) diferensiyel operaörü L p;; (; ) uzay nda maksimal fonksiyon L p;; (; ) uzay nda kesirli maksimal fonksiyon Genelleşirilmiş öeleme operaörü f nin da¼g l m fonksiyonu f nin azalan yeniden düzenlemesi f nin -da¼g l m fonksiyonu f nin -azalan yeniden düzenlemesi Negaif olmayan x + dx ölçüsüne göre ölçülebilir fonksiyonlar n kümesi M + (; ; #) M + (; ) kümesinde armayan fonksiyonlar n kümesi v

7 . G IR IŞ Maksimal ve kesirli maksimal fonksiyonlar, harmonik analizin önemli konular aras ndad r. Özellikle k smi ürevli denklemler eorisinde ve maemaiksel zike birçok uygulama alanlar vard r. L = d dx + + d x dx ; ( > ; x > ); ile an ml L Bessel (ve n boyulu öklidyen uzayda Laplace-Bessel) diferensiyel operaörüne karş l k gelen inegral operaörler Sempak (99), Muckenhoup and Sein (985), Kipriyanov (967), Trimeche (997), Lyakhov (997), Gadjiev and Aliev (988), Şerbeci ve Ekincio¼glu (4) ve Guliyev (3) gibi bir çok maemaikçi araf ndan çal ş lmakad r. Sempak (99) Mf (x) = sup r> m (B (x; r)) B(x;r) jf (y)j dy ile an ml Mf Hardy-Lilewood Maksimal fonksiyonunu genelleşirerek Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen M f (x) = sup r> r T y jf (x)j y + dy; x (; ) r + maksimal fonksiyonunu an mlam ş ve bu maksimal fonksiyonun L p; (; ) Lebesgue uzay nda s n rl oldu¼gunu gösermişir, burada T y operaörü T y f (x) = ( + ) + hp f x + y + xy cos i sin d ile an mlanan genelleşirilmiş öeleme operaörüdür öyle ki bu operaör

8 (L ) x u = (L ) y u u (x; ) = f (x) u y (x; ) = başlang ç de¼ger probleminin çözümüdür. Guliyev (3) L p; (R n +) Lebesgue uzay nda Laplace-Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen M f (x) = sup r> jb(; r)j B(;r) T y jf (x)j y ndy; x R n + maksimal fonksiyonunu an mlam ş ve bu fonksiyonun s n rl l ¼g n ispalam ş r. Klasik Hardy-Lilewood maksimal fonksiyonu için cf () (Mf) () Cf () ; (; ) azalan yeniden düzenleme eşisizli¼ginin sa¼gland ¼g bilinmekedir Benne and Sharpley (988), burada f (); f fonksiyon olmak üzere f () = nin azalan yeniden düzenlemesidir ve f ölçülebilir bir R f (s)ds olarak an mlan r. f L loc (R n ) için benzer yeniden düzenlemeleri eşisizlikleri Arino and Muckenhoup (99) de f nin maksimal fonksiyonu için; Cianchi e al. () def nin kesirli maksimal fonksiyonu için ve Guliyev e al. (8) de f L p; (R n +), > nin Laplace-Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen kesirli maksimal fonksiyonu için elde edilmişir. Bu eşisizlikler rearrangemen-invarian uzaylar üzerinde an ml operaörlerin incelenmesinde ve inerpolasyon eorisinde büyük öneme sahipir. Bu ezin amac, L Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen (M ; f) (x) = sup r> r + r T y jf (x)j y + dy; f L p; (; ) ; x (; ) kesirli maksimal fonksiyonu için benzer azalan yeniden düzenleme eşisizlikleri

9 elde emek ve daha sonra elde edilen azalan yeniden düzenlemelerin eşisizliklerini kullanarak bu maksimal operaörün L p;; (; ) Lorenz uzaylar nda s n rl l ¼g için gerek ve yeer şarlar vermekir. Bu çal şmalar n sonucu olarak L p;; (; ) Lorenz uzaylar ndaki Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen M f maksimal fonksiyonunun s n rl l k şarlar n elde edilecekir. Bu çal şma boyunca M + (; ) ile (; ) üzerinde an ml negaif olmayan x + dx ölçüsüne göre ölçülebilir fonksiyonlar n kümesini ve M + (; ; #) ile M + (; ) da armayan üm fonksiyonlar n kümesini göserece¼giz. Ayr ca c, C sabileri paramerelerden ba¼g ms z olup her durumda ayn olmas gerekmez. Bu ez beş bölümden oluşmakad r. Ikinci bölümün birinci k sm nda sonraki bölümler de gerekli olan an m ve eoremler verilmişir. Ikici bölümün ikinci k sm nda genelleşirilmiş öeleme operaörlerinin an mlar yap lm ş r ve bu operaörlerin genel özellikleri verilmişir. Üçüncü bölümün birinci k sm nda (; ) aral ¼g üzerinde an ml ölçülebilir bir f fonksiyonun f ; ; da¼g l m fonksiyonu an mlanm ş r ve özellikleri incelenmişir. Üçüncü bölümün ikinci k sm nda (; ) aral ¼g üzerinde an ml ölçülebilir bir f fonksiyonun f ; azlan yeniden düzenlemesinin an m ve genel özellikleri verilmişir. Üçüncü bölümün üçüncü k sm nda f azalan yeniden düzenleme ve L p; normu verildi ve ölçülebilir bir f fonksiyonunun L p; (; ) uzay ndaki normu ile f azalan yeniden düzenlemesinin L p (; ) uzay ndaki normuna eşi oldu¼gu göserilmişir. Üçüncü bölümün son k sm nda f fonksi- yonunu an mlanm ş r ve bu fonksiyonlar n genel özellikleri incelenmişir. Dördüncü bölümde L p;; (; ) Lorenz uzaylar an mlanm ş r ve baz cebirsel özellikleri ve- rilmişir. Beşinci bölüm ezin orjinal k sm d r. Bu bölümde önce klasik maksimal fonksiyonun an m yap lm ş r ve s n rl l ¼g incelendiken sonra Lorenz uzaylar nda Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen maksimal ve kesirli maksimal fonksiyonlar n an m yap lm ş r ve kesirli maksimal fonksiyonun azalan yeniden düzenlemelerini içeren eşisizlikler elde edilmişir. Daha sonra elde edilen azalan yeniden düzenlemelerin eşisizlikleri yard m yla M ; f kesirli maksimal operaörün L p;; (; ) 3

10 Lorenz uzaylar nda s n rl l ¼g için gerek ve yeer şarlar verilmişir. Bunun sonucu olarak Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen M f maksimal operaörünün L p;; (; ) Lorenz uzaylar ndaki s n rl l ¼g elde edilmişir. 4

11 . TEMEL KAVRAMLAR.. Genel Bilgiler Bu bölümde çal şmam zda bize yard mc olacak emel an mlar ve eoremler verilecekir. Tan m.. (Psedo-merik): : X X! [; ) bir fonksiyon olsun. fonksiyonu (i) (x; y) =, x = y (ii) (x; y) = (y; x) (iii) L > öyleki (x; z) L ( (x; y) + (y; z)) özelliklerini sa¼gl yorsa ya psedo merik denir. Tan m... X bir K cismi üzerinde bir vekör uzay olsun k:k : X! R, x! kxk dönüşümü 8x; y X ve 8 K için (N ) kxk ve kxk =, x = (N ) kxk = jj kxk (N 3 ) kx + yk kxk + kyk özellikleri sa¼glan yorsa bu dönüşüme X üzerinde bir norm ad verilir. (X; k:k) ikilisine bir normlu vekör uzay denir.(x; k:k) normlu uzay k saca X ile göserilir. Tan m..3. Bir T operaörü 8x; y D (T ) ve skaleri için, 5

12 T (x + y) = T (x) + T (y) T (x) = T (x) oluyorsa T operaörüne lineer operaör denir. Tan m..4. X; Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lineer operaör olsun. E¼ger her x D (T ) için, kt xk A kxk olacak şekilde bir A reel say s varsa, T operaörüne s n rl d r denir. Bir T operaörünün normu ile an mlan r. kt k = kt xk sup xd(t ) kxk x6= Tan m..5. X ve Y normlu uzaylar, D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y bir operaör ve x D (T ) olsun. E¼ger verilen her > say s na karş l k, kx x k < şar n sa¼glayan her x D (T ) için kt x T x k < olacak şekilde bir > say s varsa T ye x nokas nda süreklidir denir. Tan m..6. X ve Y normlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere T : D (T )! Y lineer oparaör olsun. Bu durumda T nin sürekli olmas için gerek ve yeer şar T nin s n rl olmas d r (Kreyszig 989). Tan m..7. X bir küme olsun. E¼ger X in alkümelerinin bir s n f için (i) X (ii) Her E için E c = X n E (iii) k = ; ; 3:::; n için E k ise n S k= E k özellikleri sa¼glan yorsa bu durumda s n f na X kümesi üzerinde bir cebirdir denir. E¼ger (iii) şar yerine, her n N için E n şar konulursa cebirine denir. cebiri Tan m..8. Bir K s n f n kapsayan cebirlerinin en küçü¼güne K n n ürei¼gi 6

13 cebiri denir. R n deki büün aç k (a; b) aral klar n n do¼gurdu¼gu cebirine Borel cebiri denir ve B (R n ) ile göserilir. n = olmas halinde B (R ) Borel cebiri B (R) ile göserilir. B (R) nin her bir elaman na Borel kümesi denir. Tan m..9. X bir küme ve, X üzerinde bir cebiri olsun. Bu durumda (X; ) ikilisine bir ölçülebilir uzay, daki her bir kümeye de ölçülebilir bir küme veya k saca ölçülebilir bir küme ad verilir. Tan m... X bir küme ve ; X in alkümelerinin bir s n f olsun. -cebiri ve üzerinde an ml bir ölçüsünden oluşan (X; ; ) ölçüsüne bir ölçü uzay denir. Tan m.. (Ölçülebilir Fonksiyon): (X; ) bir ölçü uzay olsun. Her R için f ((; +)) = fx X : f (x) > g varsa f : X! C fonksiyonuna ölçülebilir fonksiyon denir. Tan m.. (Ölçü Fonksiyonu): (X; ) bir ölçülebilir uzay olsun. üzerinde an ml genişleilmiş reel de¼gerli bir fonksiyonu (i) () = (ii) Her A için (A) (iii) Her ayr k (A n ) dizisi için! [ X A n = (A n ) j= n= özellikleri sa¼glan yorsa bu fonksiyonuna ölçü fonksiyonu veya ölçü ad verilir. E¼ger her A için (A) < ise ye sonlu ölçü ad verilir. X kümesi her biri sonlu ölçüye sahip say labilir say da kümelerin birleşimi olarak yaz labiliyorsa ölçüsüne sonludur denir. bir cebiri olsun. üzerinde bir ölçü, R[ f+g poziif ölçü ya da C kompleks de¼gerli bir fonksiyondur. Bu fonksiyon 7

14 ! [ A j = j= X (A j ) j= anlam nda oplamsal say labilirdir. Burada A j, j = ; ; 3:::ve A j kümeleri ikişer ikişer ayr k r.yani A j \ A k = (j 6= k) biçimindedir. Tan m..3. X bir küme ve P (X) ; X in kuvve kümesi olsun. P (X) üzerinde an ml, genişleilmiş reel de¼gerli bir fonksiyonu (i) () = (ii) Her E P (X) için (E) (iii) A B X için (A) (B) (iv) Her bir n N için A n P (X) ve S n= P A n (A n ) şarlar sa¼glan rsa fonksiyonuna X üzerinde bir d ş ölçü denir. n= Tan m..4. (I k ) ; R nin s n rl ve aç k aral klar n n bir dizisi, A = n(i k ) : A [ o I k olsun. P (R) üzerinde ( ) X (A) = inf ` (I k ) : (I k ) A k= biçiminde an mlanan bir d ş ölçüdür. Bu d ş ölçüye Lebesgue d ş ölçüsü denir. Lebesgue d ş ölçüsü R nin her bir al aral ¼g na onun uzunlu¼gunu karş l k geirir. n boyulu R n uzay nda Lebesgue d ş öçüsünü an mlamak için I = fx : a i x i b i ; i = ; ; :::; ng n boyulu kapal aral klar n göz önüne alal m. Bu aral klar n hacimleri (I) = ny (b i a i ) i= 8

15 olur. Key bir E R n kümesinin Lebesgue d ş ölçüsü ( X [ (E) = inf (I k ) : E I k ; I k k= k= bir aral k ) ile an mlan r. 8A R n için e¼ger (A) = (A \ E) + (A \ (R n E)) ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir. Tan m..5. M (R; m ), m d ş ölçüsüne göre ölçülebilen R nin al kümelerinin s n f olsun. m Lebesgue d ş ölçüsünün M (R; m ) s n f na da B (R) s n f na da olan k s lanmas na Lebesgue ölçüsü denir, m ile göserilir. Tan m..6. (X; A; ) bir ölçü uzay olsun. E¼ger bir önerme, ölçüsü s f r olan bir küme d ş nda do¼gru ise, o önerme hemen hemen her yerde do¼grudur denir. Tan m..7. A R n bir aç k küme f : A! C Lebesgue ölçülebilir bir fonksiyon olsun. E¼ger K A kompak al kümesi için jfj d < K oluyorsa f fonksiyonuna lokal inegrallenebilir denir. Tan m..8. p < ve (X; ; ) bir ölçü uzay olsun. X den C ye ölçülebilir üm fonksiyonlar n mulak de¼gerlerinin p: kuvveleri inegrallenebilen fonksiyonlar n eşde¼gerlik s n ar n n kümesi L p ile göserilir ve 8 < L p (X) = : f : X 9 = jf (x)j p dx < ; p < ; şeklinde ifade edilir ve k:k p = k:k Lp normu 9

16 kfk p jf (x)j p dxa p X eşili¼gi ile verilir. Tan m..9. p > ve + = olmak üzere f L p p; g L olsun. Bu durumda f g L ve kf gk kfk p kgk sa¼glan r. Bu eşisizlige Hölder eşisizli¼gi denir. Tan m... p için e¼ger f; g L p ise (f + g) L p ve kf + gk p kfk p + kgk p d r. Bu eşisizli¼ge Minkowski eşisizli¼gi denir. Tan m... x = (x ; x ; :::; x n ) ve y = (y ; y ; :::; y n ) ; R n de vekörler olmak üzere R n ; n boyulu Öklidyen uzay (x; y) = nx x j y j j= iç çarp m ile verilmiş R n ; n boyulu reel uzay d r. Burada x in mulak de¼geri jxj = nx j= x j! olarak an mlan r. R n üzerinde dx = dx :::dx n ile Lebesgue ölçüsünü göserece¼giz. R n uzay üzerinde f fonksiyonunun (Lebesgue) inegrali f (x) dx = ::: f (x ; :::; x n ) dx :::dx n

17 ile göserilir. Çok kal inegrali kuupsal koordinalarda ifade emek ço¼gu kez kullan şl olmakad r. r = jxj olsun ve S n = fx : jxj = g ile birim küreyi göserelim. dx hacim elaman n dx = r n drd olarak yazar z, burada d; S n üzerinde dx araf ndan belirlenen yüzey ölçüsüdür. Bu durumda e¼ger f (x) inegrallenebilir bir fonksiyon ise Fubini Teoreminden elde edilir. R n f (x) dx = 8 < : S n 9 = ; f (x) d dr = S n 8 < : f (x) r n 9 = dr ; d Tan m.. (Düzgün Fonksiyon): Bir bölge üzerinde her merebeden sürekli ürevlere sahip olan bir f fonksiyonuna düzgün fonksiyon denir. Tan m..3. f (x) ve g (x) her x (; ) üzerinde an ml iki düzgün fonksiyon olsun. h = f g konvolüsyonu h (x) = (f g) (x) = f (y) g (x y) dy olarak an mlan r, burada inegrasyon (; )üzerinden al n r ve R Lebesgue anlam nda inegrald r. Teorem... E¼ger f; g L ise bu durumda h = f g hemen her yerde vard r ve L e aiir. Ayr ca khk kfk kgk sa¼glan r. Teorem... p olsun. E¼ger f L p ve g L ise bu durumda h = f g hemen her yerde vard r ve L p uzay na aiir. Ayr ca

18 khk p kfk p kgk gerçeklenir (Neri 97). Teorem..3 (Young): p + ve r = p + olmak üzere f L p ve g L olsun. E¼ger h = f g ise bu durumda h L r khk r kfk p kgk sa¼glan r (Neri 97). Tan m..4. T; p ; olmak üzere, T : L p (X)! L (X) bir dönüşüm olsun. E¼ger 8f L p (X) için kt fk A kfk p olacak biçimde bir A > sabii varsa T operaörüne (p; ) ipindendir denir. Tan m..5. T; p ; olmak üzere, T : L p (X)! L (X) bir dönüşüm olsun. E¼ger 8f L p (X) için m ölçü olmak üzere A kfkp m fx : jt f(x)j > g = mes fx : jt f(x)j > g ; > ise, T (p; ) zay f ipindedir denir, burada, A bir sabiir (Sein 97). Tan m..6. M (; ) ve M ( ; ) hemen her yerde sonlu ölçülebilir fonksiyonlar n s n f n gösersin. f M ( ; ) ve g M ( ; ) fonksiyonlar n n da¼g l m fonksiyonlar ayn ise bu fonksiyonlara eş ölçülebilir fonksiyonlar denir. Yani her > için f () = g () gerçeklenir. Tan m..7 (Aom): (X; ) ölçü uzay ve bu uzay üzerinde bir sonlu ölçü fonksiyonu olsun. E¼ger A n n ölçülebilir herhangi bir B alkümesi için (A) > (B)

19 olacak şekilde bir (B) = var ise dan al nan bu A kümesine aom denir. Tan m..8 (Aomu Olmayan Ölçü Uzay ): (X; ) ölçü uzay ve bu uzay üzerinde bir sonlu ölçü fonksiyonu olsun. E¼ger (A) > olarak verilen herhangi bir ölçülebilir bir küme için (A) > (B) > olacak şekilde A n n ölçülebilir bir B alkümesi varsa bu ölçü uzay na aomu olmayan uzay denir. Örnek... X = f; ; 3; 4; ::::; g kümesini göz önüne alal m ve ; X in kuvve kümesinin bir cebiri olsun. ölçüsü bir kümeyi kardilenine göüren bir fonksiyon olsun. Yani kümeleri elamanlar say s na göüren fonksiyon olsun. O zaman i = ; ; ::: için fig işarelerinin her biri bir aomdur. Reel do¼gru üzerinde Lebesgue ölçüsü düşünüldügünde bu ölçünün aomu yokur. Tan m..9 (Rezonan Uzay): E¼ger (X; ; ) ölçü uzay veya bir ölçüsü sonlu ve ya aomu olmayan ya da eşi ölçülü aomlar n say labilir bileşkesi ise bu uzaya rezonan uzay denir (Krisiansson, ). Teorem..4. E¼ger rezonan ise o zaman f () g () d = sup jf (x) :~g (x)j d X eşili¼gi sa¼glan r, burada supremum g ile eş ölçülebilir üm ~g; ölçülebilir fonksiyonlar üzerinden al n r. Yani ~g () = g () ; d r. Bununla birlike (X) < ise f () g () d = jf (x) :~g (x)j d olacak şekilde ölçülebilir ~g fonksiyonu vard r. X Tan m..3 (Desek): Bir f fonksiyonunun dese¼gi f (x) 6= şar n sa¼glayan x nokalar n n kapan ş d r ve 3

20 supp f = fx : f(x) 6= g olarak göserilir. Tan m..3. f : X! C ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere f : [; )! [; ]; f () = (fx X : jf (x)j > g) ; şeklinde an mlanan f fonksiyonuna f fonksiyonunun da¼g l m fonksiyonu denir. Tan m..3. f : X! C ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere f fonksiyonunun yeniden düzenlemesi f : [; )! [; ], f () = inf fs : f (s) g 8 [; ) şeklinde an mlan r (Benne and Sharpley 988). Tan m..33. f : (; )! [; ] fonksiyonu f () = f (s) ds olarak an mlan r. Teorem..5. E R n, jej < olsun. E¼ger r < s ise bu durumda L s (E) L r (E) sa¼glan r (Neri, 97) Tan m..34 (Maksimal Fonksiyon): f, R n üzerinde hemen her x için inegrallenebilir bir fonksiyon olsun. Temel Lebesgue Teoremi ne göre lim r! m (B (x; r)) B(x;r) f (y) dy = f (x) ifadesi hemen her x için geçerlidir, burada 4

21 B(x; r) = fy R n : jx yj < rg x merkezli r yar çapl aç k yuvard r. Yukar daki limi yerine supremum ve f yerine jfj al narak f nin Mf (x) = sup r> m (B (x; r)) B(x;r) jf (y)j dy maksimal fonksiyonu an mlan r. Maksimal fonksiyon R n nin sandar kümelerinde n = için Hardy Lilewood araf ndan an mlanm ş ve Wiener araf ndan n boyulu R n Öklid uzay na genişleilmişir (Sein, 97). Tan m..35 (L p; Lorenz uzay ): George G. Lorenz araf ndan 95 y l nda an mlanm ş olan L p; Lorenz uzay, (X; ; ) ; sonlu ölçü uzay olmak üzere 8 >< kfk p; = p f () d A ; < p ; < < sup p f () ; < p ; = >o sonlu olacak biçimde üm ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir. Tan m..36 (k:k fonksiyoneli): Key f L p; fonksiyonu için k:k fonksiyoneli 8 >: kfk p; = biçiminde an mlan r. p f () d A ; < p < ; < < sup p f () ; < p ; = > Lemma.. (Hardy Eşisizli¼gi): h; (; ) aral ¼g üzerinde poziif azalan bir fonksiyon, ve r > olsun. Bu durumda 5

22 (i) h (u) dua r r (h ()) r da h (u) dua r r (h ()) r da eşisizlikleri gerçeklenir (Krisiansson, ). Lemma... h; (; ) üzerinde azalan bir fonksiyon olsun. E¼ger < ve ise, o h () da h () d eşisizli¼gi gerçeklenir, burada sabii kesindir (Krisiansson, ). Tan m..38. Bir s fonksiyonunun görünü kümesi sonlu elemandan meydana geliyorsa s ye bir basi fonksiyondur denir. Teorem..6. E¼ger p < ise L p deki basi fonksiyonlar n kümesi L p de yo¼gundur (Adams and Fournier, 3). Genelleşirilmiş Öeleme ve Özellikleri Levian (95) y l nda (; ) da Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen bir T y genelleşirilmiş öelemesinin var oldu¼gunu gösermişir. T y genelleşirilmiş öelemesi (; ) aral ¼gndaki nokalar yine bu aral kaki nokalara dönüşürür. Kipriyanov (967) y l nda R n +; n boyulu üs yar -uzay nda an ml genelleşirilmiş öelemeyi vermişir. Bu öeleme (n ) de¼gişkene göre adi, n: de¼gişkene göre (; ) arall ¼g ndaki öeleme olarak ele al nm ş ve Laplace-Bessel diferensiyel operaörü ile ilişkisi 6

23 incelenmişir. Tan m.. (^adi Öeleme): T y f(x) = f(x + y) ile göserilen T y operaörüne R de adi öeleme denir. Adi öeleme ( 8 >< >: ; ) aral ¼g nda an ml d r. Bu adi u (x; ) = f (x) u y (x; ) = başlang ç de¼ger probleminin çözümüdür (Aliyev and Gadjiyev, 988). Tan m.. (Genelleşirilmiş Öeleme): T y f(x) = F (y; x) şeklinde an mlanan öeleme operaörü aşa¼g daki özellikleri sa¼gl yorsa, bu operaöre genelleşirilmiş öeleme operaörü denir. a) T y operaörü lineerdir. b) T f(x) = f(x); f C(R) c) T z T y f(x) = T y T z f(x) d) Herhangi f C için, F (y; x) = T y f(x) fonksiyonu (y; x) nokas nda süreklidir(levian 964). Tan m..3 (Bessel Diferensiyel Operaörü): (L ) x = d dx + + d x dx ; > ; x > şeklinde ifade edilen L operaörüne Bessel diferensiyel operaörü denir Şimdi Bessel diferensiyel operaörüne karş l k gelen R + daki öelemeyi inceleyelim. L Bessel diferensiyel operaörü olmak üzere, (L ) x u = (L ) y u u (x; ) = f (x) u y (x; ) = 7

24 başlang ç de¼ger probleminin (..) denkleminin, başlang ç şarlar n sa¼glayan çözümü, u (x; y) j y= = f (x) (x; y) j = u (x; y) = T y f (x) = ( + ) + f hp x + y + xy cos i sin d şeklindedir. Bu formülde yerine al n r ve fonksiyonuna ai, eşili¼gini kullan rsak, () () = () + T y f (x) = ( + ) + hp f x + y + xy cos i sin d (..) elde edilir. Bu öeleme (; ) aral ¼g nda an mlan r. (..) ifadesinde y = için, T f (x) = f (x) oldu¼gu aç k r. Ayr ca f fonksiyonunun sürekli T y f (x) y= = (..3) dir ve f fonksiyonunun ikinci merebeden sürekli ürevi varsa, bu durumda T y f (x) ; (..) denkleminin çözümüdür ve (..3) başlang ç şar n sa¼glar. 8

25 a) Lineerlik Özelli¼gi: T y faf (x) + bg (x)g = at y f (x) + bt y g (x) dir. Bu eşili¼gi şu şekilde göserebiliriz. T y faf (x) + bg (x)g = T y f(af + bg) (x)g ( + ) = + hp i (af + bg) x + y + xy cos ' sin 'd' = = ( + ) hp af x + y + + xy cos 'i hp i +bg x + y + xy cos ' sin 'd' + ( + ) + ( + ) + a f b = at y x f (x) + bt y x g (x) hp x + y + xy cos 'i sin 'd' hp i g x + y + xy cos ' sin 'd' bulunur. b) Pozii ik Özelli¼gi: E¼ger f (x) ise T y f (x) d r. bu ifade de, T y f (x) = ( + ) + hp f x + y + xy cos 'i sin 'd' hp f x + y + xy cos 'i ve sin ', ' aral ¼g nda poziif oldu¼gundan eşili¼gin sa¼g araf da poziifir. O halde, T y f (x) dir. 9

26 c) T y () = dir. Bunu gösermek için T y nin an m ndan, sin 'd' = + ( + ) eşili¼gi kullan l rsa f (x) = için, T y f (x) = = = ( + ) + ( + ) + f hp x + y + xy cos 'i sin 'd' + ( + ) elde edilir. d) E¼ger x a, için f (x) ise bu durumda jx yj a için T y f (x) d r. e) T y operaörü süreklidir: E¼ger ff n (x)g sürekli fonksiyonlar dizisi her sonlu aral ka f (x) fonksiyonuna yak nsak ise, iki de¼gişkenli fonksiyonlar n ft y f n (x)gdizisi her sonlu bölgede T y f (x) fonksiyonuna yak nsar. f) T y operaörü s n rl d r: f (x) ; R + da s n rl fonksiyon ise T y f (x) de s n rl d r. T y f (x) in an m ndan, jt y f (x)j = sup x ( + ) + ( + ) + sup jf (x)j x = sup jf (x)j x ( + ) + hp f x + y + xy cos 'i sin 'd' hp i f x + y + xy cos ' sin 'd' ( + ) + elde edilir. Burada yap lmak isenen şey şudur. hp i f x + y + xy cos ' sin 'd' sin 'd'

27 jt y f (x)j T y jf (x)j g) T y operaörünün de¼gişme özelli¼gi: supt y jf (x)j x = sup jf (x)j T y : x = sup jf (x)j : x T y T z f (x) = T z T y f (x) dir. h) T y operaörünün yer de¼gişirme özelli¼gi: T z T y f (x) = T y T z f (x) dir. ) Eşlenik özelli¼gi: E¼ger sürekli f (x) fonksiyonu için x + jf (x)j dx < ve g (x), üm x için sürekli ve s n rl fonksiyon ise, T y f (x) :g (x) x + dx = f (x) :T y g (x) x + dx dir. j) T y f (x) = T y f (x) dir. k) T y nin ( ). özelli¼gi olan T y f (x) :g (x) x + dx = f (x) :T y g (x) x + dx

28 eşilike g (x) = al n rsa T y f (x) x + dx = f (x) x + dx olur. Tan m..4 (Fourier-Bessel Dönüşümü): Fourier-Bessel (Hankel) dönüşümü h (f)(x) = j (xy)f(y)y + dy; x (; ) olarak an mlan r, burada poziif bir say olmak üzere Bessel fonksiyonu, j (s) = ( + )s J (s); olup, burada R ve (v) = e x x v J (x) = x v + e ix cos sin () d dx biçiminde an mlan r. Ayr ca j L = d dx + + d x dx ; > =; x > Bessel diferensiyel operaörü olmak üzere L u = u; u() = ; u () = diferensiyel denkleminin çözümüdür. Tan m..5. (; ) üzerinde f ve g düzgün fonksiyonlar n n konvolüsyonu (f #g)(x) = T y f(x)g(y)y + dy; x (; ):

29 olarak an mlan r. T y ve # genelleşirilmiş konvolüsyon operaörü aşa¼g daki özelliklere sahipir: a) C ve x; y (; ) için T y (j ( :))(x) = j (x)j (y): b) E¼ger f L p; ve p ise, o halde her y için T y f L p; olup kt y fk Lp; kfk Lp; : eşisizli¼gi sa¼glan r. c) f L ; ve g L p; için kf #gk Lp; kfk L; kgk Lp; : d r. d) f; g L p; ve p = ya da için i) h (T y f)() = j (y)h (f)(), ii) h (f #g) = h (f)h (g) sa¼glan r. 3

30 3. DA ¼GILIM FONKS IYONU ve YEN IDEN DÜENLEME Bu bölümde da¼g l m fonksiyonu ve bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an mlanacak ve bunlarla ilgili emel özellikler verilecekir. Birinci k s mda ölçülebilir bir fonksiyonun da¼g l m fonksiyonu an mlanacak ve baz emel özellikleri verilecekir. Ikinci k s mda azalan yeniden düzenleme nin an m yap lacak ve baz özellikleri incelenmişir. Üçüncü k s mda ölçülebilir bir fonksiyonun L p; (; ) normu ile azalan yeniden düzenlemesinin L p (; ) normunun birbirine eşi oldu¼gu ispalanacak r. Daha sonraki bölümde de görülecekir ki bu özellik L p;; (; ) Lorenz uzay için norm eşisizliklerinin bulunmas nda büyük öneme sahipir. Son k s mda ise ** operaörü ve bu operaörün baz emel özellikleri verilecekir. 3.. Da¼g l m Fonksiyonu Tan m 3... E (; ) ölçülebilir bir küme olmak üzere jej = x + dx E biçiminde an mlan r. Tan m 3.. ( olsun. f ; : [; )! [; ]; Da¼g l m Fonksiyonu): f : (; )! C ölçülebilir bir fonksiyon f ; () = jfx (; ) : jf (x)j > gj şeklinde an mlanan f ; fonksiyonuna f fonksiyonunun da¼g l m fonksiyonu denir. Aşa¼g daki eorem ile da¼g l m fonksiyonunun baz özellikleri verilecekir. Teorem 3... f; g : (; )! C ölçülebilir iki fonksiyon olsun. Aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. 4

31 (i) jfj ; () = f ; () ; (ii) h.h.y. f = g ise f ; = g ; d r. (iii) 8x (; ) için jf (x)j jg (x)j ise 8 [; ) için f ; () g ; () eşisizli¼gi sa¼glan r. (iv) f ; azalan ve sa¼gdan süreklidir. (v) (f + g) ; ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) ; ; (vi) (f g) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) ; ; (vii) 8x (; ) h:h:y: için jf (x)j lim inf jf n (x)j ise, o halde 8 için n! f ; () lim inf (f n) n! ; () d r. Ispa. (i) jfj ; () = jfx (; ) : jf (x)j > gj = f ; () (ii) f ve g fonksiyonlar hemen her yerde eşi oldu¼gundan f ; () = jfx (; ) : jf (x)j > gj = jfx (; ) : jg (x)j > gj = g ; () oldu¼gu kolayca görülür. (iii) 8x (; ) için jf (x)j jg (x)j oldu¼gundan fx (; ) : jf (x)j > g fx (; ) : jg (x)j > g oldu¼gu görülür. Buradan her iki araf n ölçüsü al n rsa jfx (; ) : jf (x)j > gj jfx (; ) : jg (x)j > gj oldu¼gundan 8 için f ; () g ; () eşisizli¼gi elde edilir. 5

32 (iv) Ilk olarak f ; fonksiyonunun azalan oldu¼gunu göserelim. ; [; ) için > olsun. Bu durumda f ; ( ) f ; ( ) oldu¼gunu gösermeliyiz. > oldu¼gundan her için fx (; ) : jf (x)j > g fx (; ) : jf (x)j > g dir. Her iki araf n ölçüsü al nd ¼g nda jfx (; ) : jf (x)j > gj jfx (; ) : jf (x)j > gj elde edilir. Buradan oldu¼gundan f ; azaland r. f ; ( ) f ; ( ) Şimdi de f ; n n sa¼gdan sürekli oldu¼gunu göserelim. ::: n ::: ; lim n = olsun. f ; ( n )! f ; () oldu¼gunu göserece¼giz. n! E = fx (; ) : jg (x)j > g olsun. ::: n ::: oldu¼gundan E E ::: E dir. Buradan [ E n = E n= olur. lim f ; ( n ) = lim jfx (; ) : jf (x)j > n gj n! n! = lim n! je n j = je j = jfx (; ) : jf (x)j > gj = f ; () oldu¼gundan ispa amamlan r. (v) ; için (f + g) ; ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) 6

33 oldu¼gunu göserece¼giz. (f + g) ; ( + ) = jfx (; ) : j(f + g) (x)j > + gj biçimindedir. Ayr ca fx (; ) : jf (x) + g (x)j > + g ffx (; ) : jf (x)j > g [ fx (; ) : jg (x)j > gg oldu¼gu görülür. Her iki araf n ölçüsü al nd ¼g nda jfx (; ) : jf (x) + g (x)j > + gj jfx (; ) : jf (x)j > gj + jfx (; ) : jg (x)j > gj elde edilir. Buradan (f + g) ; ( + ) f ; ( ) + g ( ) oldu¼gu görülür. (vi) ; için (f g) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) oldu¼gunu göserece¼giz. (f g) ; ( ) = jfx (; ) : j(f g) (x)j > gj biçimindedir. Ayr ca fx (; ) : jf (x) g (x)j > g ffx (; ) : jf (x)j > g [ fx (; ) : jg (x)j > gg oldu¼gu görülür. Buradan 7

34 jfx (; ) : jf (x) g (x)j > gj jfx (; ) : jf (x)j > gj + jfx (; ) : jg (x)j > gj gerçeklenir. Sonuç olarak (f g) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) elde edilir. (vii) A n = fx (; ) : jf n (x)j > g ; n = ; ; ::: olsun. Kabulumüzden ve limi inferior an m ndan jf (x)j lim inf jf n (x)j = sup inf jf n (x)j n! mn n>m sa¼glan r. Bu ise, jf (x)j > koşulunu sa¼glayan her x (; ) için n > m kalacak şekilde bir m do¼gal say s n n var olmas demekir; öyle ki jf n (x)j > sa¼glan r. Böylece A [ \ m= n=m kapsama ba¼g n s gerçeklenir ve key m için sa¼glan r. \ A n n=m inf ja nj nm sup mn A n (3...) inf ja nj n>m = lim inf ja nj n! Bundan başka, (3:::) den ve son olarak elde edilir. [ f ; () = ja j ( \ m= n=m n=m A n) m= \ \ A n = lim m! kümelerin aran bir dizisi oldu¼gundan n=m A n lim inf n! (f n) ; () 8

35 Lemma 3... f L p; (; ) ; p < olsun. Bu durumda f ; () p fx(;):jf(x)j>g jf (x)j p x + dx; > eşisizli¼gi gerçeklenir. Ispa. jf (x)j p x + dx p x + dx fx(;):jf(x)j>g fx(;):jf(x)j>g = p jfx (; ) : jf (x)j > gj = p f ; () dolay s yla f ; () p kfkp L p; = kfk L p;! p, > oldu¼gu görülür. Buradan jfx (; ) : jf (x)j > gj kfk L p;! p elde edilir. Teorem 3... f L p; (; ) ; p < olsun. Bu durumda kfk = p f ; () da p p df ; () da p eşili¼gi gerçeklenir. Ispa: L p; (; ) uzaylar ndaki norm an m gere¼gince kfk p L = p;(;) jf (x)j p x + dx jf(x)j p p da x + dx 9

36 = p = p p fx(;):jf(x)j>g p x + C dxa d jfx (; ) : jf (x)j > gj d = p p f ; () d elde edilir. Sonuç 3... Teorem 3.. en p = için kfk L;(;) = inf f : f ; () = g ve p = için oldu¼gu görülür. kfk L; (;) = kf ;k L (;) 3.. Yeniden Düzenleme Bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi kavram klasik analizde büyük öneme sahip olup birçok eşisizlike anahar rol oynamakad r. Bu k s mda bir fonksiyonun yeniden düzenlemesi an larak baz emel özellikleri ispalanacak r. Tan m 3... ( Yeniden Düzenleme) f : (; )! C ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun yeniden düzenlemesi f () = inf fs : f ; (s) g 8 [; ) olarak an mlan r. Aşa¼g daki eorem yeniden düzenlemenin emel özelliklerini vermekedir. 3

37 Teorem 3... f : (; )! C ölçülebilir bir fonksiyon ise. (i) s; için f () > s, f ; (s) > dir. (ii) f ve f eş ölçülebilirdir. Yani 8 için jfx (; ) : jf (x)j > gj = m (f : f () > g) d r. Burada m Lebesgue ölçüsüdür. (iii) s ve f ; (s) < olsun. O halde her < " < için f (f ; (s)) s ve f (f ; (s) + ") s sa¼glan r.ayr ca, f () < ve 8" > için f ; (f ()) ve f ; (f () ") eşisizlikleri gerçeklenir. (iv) (; ) üzerinde h.h.y f = g ise [; ) üzerinde f = g sa¼glan r. (v) f azalan ve sa¼gdan süreklidir. (vi) için (f) () = f ; () eşili¼gi sa¼glan r. (vii) < p < için (jfj p ) () = (f ()) p dir. (viii) A ölçülebilir bir küme ve f olmak üzere (f A ) () f () [;jaj ) () ; d r. Ispa. (i) Ilk olarak f () > s ) < f ; (s) oldu¼gunu göserelim. f () = inf fz : f ; (z) g > s dir. f ; azalan fonksiyon oldu¼gundan < inf fz : f ; (z) sg ) < f (s) dir. Karş olarak < f ; (s) ) f () > s 3

38 oldu¼gunu göserelim. < jfx (; ) : jf (x)j > sgj ve f ; azalan bir fonksiyon oldu¼gundan s < inf fz : f ; (z) g ) s < f () dir. (ii) ve (i) den m (f : f () > g) = jfx (; ) : f ; () gj oldu¼gu görülür. (iii) Ilk olarak f ; (s) < oldu¼gunu kabul edelim. f ; azalan fonksiyon oldu¼gundan f (f ; (s)) = inf f : f ; () f ; (s)g s sa¼glan r. Ayr ca key " > için f (f ; (s) + ") = inf f : f ; () f ; (s) + "g s elde edilir. Benzer biçimde f () < için f ; fonksiyonu sa¼gdan sürekli oldu¼gundan f ; (f ()) = f ; (inf f : f ; () g) sa¼glan r. Bundan başka key " > için (ii) den f ; (f () ") = jfx (; ) : jf (x)j > f () "gj = m (fs > : f (s) > f () "g) elde edilir. 3

39 (iv) Teorem 3.. (ii) den f (s) = inf f : f ; () sg = inf f : g ; () sg = g (s) elde edilir. (v) f n azalan oldu¼gunu göserelim. ; [; ) için > olsun. f ( ) f ( ) oldu¼gunu göserece¼giz. Teorem 3.. (iv) den > ise f ; ( ) f ; ( ) oldu¼gunu biliyoruz. f ( ) = inf fs : f ; (s) g ve fs : f ; (s) g fs : f ; (s) g oldu¼gunu biliyoruz. Küme büyüdükçe in mum de¼geri küçülece¼ginden inf fs : f ; (s) g inf fs : f ; (s) g elde edilir. Buradan f ( ) f ( ) sa¼glan r. Şimdi f n sa¼gdan sürekli oldu¼gunu göserelim. ::: n :::, lim n! n = olsun. f ( n )! f () oldu¼gunu göserece¼giz. lim f ( n ) = lim inf fs : f ; (s) n g n! n! = inf fs : f ; (s) g = f () oldu¼gu görülür ve isenilen elde edilir. (vi) için (f ) () = f ; () oldu¼gunu göserece¼giz. m, Lebesgue ölçüsü olmak 33

40 üzere; (f ) () = m (fs : f (s) > g) = m (fs : s < f ; ()g) = m([; f ; ()) = f ; () dir. (vii) < p < için (jfj p ) () = (f ()) p oldu¼gunu göserelim. (jfj p ) () = inf n : jfj p ; () o = inf f : jfx (; ) : jf (x)j p > gj g ; p = v = inf fv p : jfx (; ) : jf (x)j > vgj g = (f ()) p elde edilir. (viii) (f A ) () f () [;jaj ) () ; oldu¼gunu göserece¼giz. 8x (; ) için (f A ) (x) f (x) dir. Buradan (f A ) ; () f ; () ; olur. Di¼ger arafan jfx (; ) : j(f A ) (x)j > gj jaj (3..) oldu¼gu görülür. (3::) ve (3::) den 8 için (f A ) () = ; > jaj (3..) (f A ) () f () [;jaj ) () elde edilir. Teorem 3... Her ; için (f + g) ( + ) f ( ) + g ( ) 34

41 ve (f g) ( + ) f ( ) g ( ) eşisizlikleri sa¼glan r. Özel olarak her için (f + g) () f + g ve (f g) () f g gerçeklenir. Ispa: Birinci eşisizli¼gin ispa ile başlayal m. f ( )+g ( ) < oldu¼gunu kabul edelim, aksi akdirde ispaa gerek yokur.o halde = f ( ) ve = g ( ) için, Teorem 3... (iii) gere¼gince; f ; ( ) ve g ; ( ) eşiisizlikleri ve Teorem 3.. (v) den (f + g) ( + ) f ; ( ) + g ; ( ) + eşisizli¼gi gerçeklenir. azalan yeniden düzenlemenin an m kullan lacak olursa (f + g) ( + ) + = f ( ) + g ( ) elde edilir. Ikinci eşisizli¼gin ispa da benzer biçimde yap labilir, f ( ) g ( ) < oldu¼gu kabul edilir ve Teorem 3.. (vi) kullan lacak olursa (f g) ; ( ) f ; ( ) + g ; ( ) elde edilir. Yine azalan yeniden düzenlemenin an m yard m yla 35

42 (f + g) ( + ) = f ( ) g ( ) elde edilir ki bu da aran lan eşisizlikir. Özel olarak = = al nd ¼g nda ise geriye kalan iki eşisizlik elde edilir Yeniden Düzenleme ve L p; Normu Bu k s mda öncelikle ölçülebilir bir fonksiyonun L p; (; ) normu ile onun yeniden düzenlemesinin L p (; ) normunun eşi oldu¼gu ispalanacak r. Daha sonra zay f L p; uzay an lacak, T y f genelleşirilmiş öeleme operaörü ile yeniden düzenleme aras ndaki ilişkiye de¼ginilecekir. Tan m > = için (; ) aral ¼g nda an ml büün ölçülebilir fonksiyonlar n s n f olmak üzere L p; L p; (; ) L p ((; ); x + dx); ( p < ); 8 9 < = L p; (; ) = : f : jf(x)j p x + dx < ; ; kfk jf(x)j p x + dxa =p < olacak biçimde an mlan r ve L ; (; ) = L (; ) ile (; ) aral ¼g nda Lebesgue ölçüsüne göre s n rl üm fonksiyonlar n uzay belirilir. Teorem jf (x)j x + dx = f ; () d = f () d (3.3.) ve sup > f ; () = sup f () (3.3.) > 36

43 eşilikleri gerçeklenir. Ispa: (3:3:) eşili¼gini öncelikle basi fonksiyonlar için ispalayal m ve basi fonksiyonlar n yo¼gunlu¼gundan yararlanarak üm fonksiyonlara genelleşirelim. s fonksiyonu (; ) de s (x) = kx j Aj (x) (3.3.3) j= biçiminde basi fonksiyon olsun. Burada > > ::: > k > ve A j ler ikişer ayr k kümelerdir. O halde s ; () = kx j Bj () j= jx olarak elde edilir. Burada ise j = ja i j, B k = [ j+ ; j ), j = ; ; :::; k ve k+ = d r. Böylece, basi fonksiyonun inegrali an m ndan, i= s ; () d = kx j m ([ j+ ; j )) = j= kx j ( j j+ ) (3.3.4) j= bulunur. Dolay s yla, kx j ( j j+ ) = ( ) + ( 3 ) + ::: + k k j= = + ( ) + ::: + k k k + k k kx = j jajj j= olup, (3:3:4) eşili¼gi ve ekrar basi fonksiyonun inegrali an m kullan larak s ; () d = kx j jajj = j= s (x) x + dx elde edilir. Bu ise (3:3:) eşili¼ginin sol k sm n basi fonksiyonlar için ispalar. 37

44 (3:3:) eşili¼ginin sa¼g k sm n n ispa nda poziif s fonksiyonu için s () = kx j [Bj B j ) () j= elde edilir, böylece s () d = kx j (B j B j ) = j= kx j jajj = j= s (x) x + dx olur. Ispa n genel hali Teorem 3.. (vii), Teorem 3.. (ii) ve Monoon Yak nsakl k Teoremi nden elde edilir. Şimdi (3:3:) eşili¼gini ispalayal m. E¼ger j j = olacak biçimde bir (; ) varsa, bu durumda ve supf ; () = > sup f () sup = > > elde edilir. Tersine, e¼ger f ( ) = olacak biçimde (; ) varsa, bu durumda sup f () = > ve sup > f ; () sup = > elde edilir. Buradan (3:3:) eşili¼ginin sabi > ve > için f ; ve f sonsuz oldu¼gu durumlarda sa¼gland ¼g görülür. O halde şimdi her için f ; () < ve her için f () < olmas durumlar n göz önüne alal m. Ispa amamlamak için sup > f ; () sup f () > 38

45 eşisizli¼ginin ispa yla başlayal m. Bunun için sup f () < oldu¼gunu kabul edelim. Aksi akdirde ispalayacak birşey yokur. Her için f ; () < > oldu¼gundan Teorem 3... (iii) den sup f () f ; () f (f ; ()) f ; (),8 > > olup her iki araf n > üzerinden supremumu al nacak olursa sup > f ; () sup f () > elde edilir. Şimdi sup > f ; () sup f () > oldu¼gunu ispalayal m. Bunun için supf ; () < oldu¼gunu kabul emeliyiz. Aksi > akdirde ispalayacak birşey yokur. Hipoez gere¼gince her > için f () < olup yine Teorem 3... (iii) den her < " < f () için supf ; () (f () ") f ; (f () ") (f () ") > elde edilir. Key " > için bu eşisizlik sa¼gland ¼g ndan supf ; () f () > olup her iki araf n > üzerinden supremumu al nacak olursa sup > f ; () sup f () > elde edilir. Bu da ispa amamlar. Teorem < p < olmak üzere jf (x)j p x + dx = (f ()) p d 39

46 eşili¼gi sa¼glan r (Safarov, ). Bundan başka, p = için elde edilir. ess sup jf (x)j = inf f : f ; () = g = f () x(;) Ispa. (jf (x)j p ) () = inf f : jfx (; ) : jf (x)jp > gj g ; p = de¼gişken de¼gişimi yap l rsa = inf f p : jfx (; ) : jf (x)j > gj g = (f ()) p elde edilir. jf (x)j p x + dx = (jf ()j p ) d = (f ()) p d olup ispa amamlan r. p = durumu için essenial supremum an m ndan ve poziif olmas ndan da¼g l m fonksiyonunun ess sup jf (x)j = inf f : jfx (; ) : jf (x)j > gj = g x(;) = inf f : f ; () = g = inf f : f ; () g = f () elde edilir. 4

47 Teorem f L p; (; ) ve p ; olmak üzere kfk Lp;(;) = kf k Lp(;) eşili¼gi sa¼glan r (Safarov, ). Ispa. Teorem 3...in (vi) ş kk ndan ve f ; an m ndan kf k p L p(;) = p p (f ; ) () d = p p f ; () d = jf (x)j p x + dx = kfk p L p;(;) : elde edilir. Eşili¼gin her iki araf n n : kuvvei al narak isenilen norm eşili¼gi elde p edilir. Lemma 3.3..Herhangi > için sup jej = E jf (x)j x + dx = f (s) ds (3.3.5) eşili¼gi gerçeklenir (Safarov, ). Lemma jf (x) g (x)j x + dx f () g () d eşisizli¼gi geçerlidir. Ispa. Bu eşisizli¼gi basi fonksiyonlar için ispalay p basi fonksiyonlar n yo¼gunlu¼gundan yararlanarak üm fonksiyonlara genelleşirece¼giz. A j ler ayr k kümeler olmak üzere kx s (x) = j Aj ; > > ::: > k > j= 4

48 biçiminde göserilsin. j[ B j = A i ; j = j j+ ; k+ = i= olmak üzere yazabiliriz. Gerçeken s (x) = kx j Bj j= s (x) = B + B + ::: + k Bk = ( ) A + ( 3 ) A [A + ( 3 4 ) A [A [A 3 +::: + ( k k+ ) A [A [:::[A k = A A + A [A 3 A [A + 3 A [A [A 3 +::: + k A [A [:::[A k k+ A [A [:::[A k kx = A + A + 3 A3 + ::: + n An = j Aj j= bulunur. js (x) g (x)j x + dx = kx j Bj jg (x)j x + dx = j= kx j j= j jg (x)j x + dx = = jjj kx kx j g () d = ( j j+ ) j= kx j j j= j= j= j g () d = s () g () d j j j g () d kx j [j ; j ) () g () d elde edilir, burada d r. j = jx ja i j ; = i= 4

49 Şimdi de zay f L p; yani W L p; uzay n an mlayal m ve baz özelliklerini verelim. Tan m p < olmak üzere zay f L p; uzay olarak an mlan r. W L p; (; ) = f : kfk W Lp; = sup p f () < > Lemma p < olsun. 8f L p; (; ) için kfk W Lp;(;) kfk L p;(;) eşisizli¼gi sa¼glan r. Ispa. Teorem den ve f fonksiyonunun azalanl ¼g ndan kfk = kf Lp;(;) k Lp(;) (f) p (s) dsa (f) p (s) dsa p f () p elde edilir. Buradan kfk Lp;(;) kfk W L p;(;) elde edilir. Lemma < p < p < p, (; ) ve = p p + p olmak üzere kfk W Lp;(;) kfk W L p ;(;) kfk W L p ;(;) sa¼glan r. 43

50 Ispa. W L p; uzay ndaki norm an m ndan kfk W Lp;(;) = sup p f () = sup i h i p f () h p f () [;) [;) = kfk W L p ;(;) kfk W L p ;(;) elde edilir. Teorem sup jf (x) ~g (x)j x + dx = f () g () d (3.3.6) sa¼glan r. Burada supremum g ile eşölçülebilir ~g fonksiyonlar, yani ~g ; () = g ; () ; üzerinden al nmakad r (Krisiansson, ). Aşa¼g daki lemmada T y f genelleşirilmiş öeleme operaörü ve f nin yeniden düzenlemesi aras ndaki ilişki verilmekedir. Lemma A (; ) ; herhangi ölçülebilir küme ve, x > olmak üzere A T y f (x) y + dy = C x+ ~ A f z + z d (z; z ) eşili¼gi gerçeklenir, burada ~ A = A [; m), m = sup A ve d(z; z ) = z dzdz dir. Ispa. Genelleşirilmiş öeleme operaörünün an m ndan T y f (x) = C p f x + y + xy cos sin d oldu¼gunu biliyoruz. Her iki araf n y ye göre inegralini al rsak 44

51 A T y f (x) y + dy = C A p f x + y + xy cos sin y + dyd elde edilir. z = x + y cos z = y sin dönüşümünü yapal m. z + z = x + xy cos + y cos + y sin = x + y + xy cos eşili¼gi ve bu dönüşümün Jakobiyeni J = y de¼geri inegralde yerlerine yaz l rsa A T y f (x) y + dy = C x+ ~ A = C x+ ~ A = C x+ ~ A f f f z + z sin y y+ dzdz z + z (y sin ) dzdz z + z z dzdz elde edilir. Lemma A (; ) ; herhangi ölçülebilir küme ve x > olmak üzere sup jaj = A T y jf (x) jy + dy = C f (s) ds eşili¼gi gerçeklenir. Ispa. Lemma den ve genelleşirilmiş öeleme operaörünün an m ndan 45

52 A T y jf (x)j y + dy = C x+ ~ A f ~ (z; z ) d (z; z ) burada f ~ p (z; z ) = f z + z d r. ~ f (z; z ) fonksiyonu için sup jaj = A jf (x)j x + dx = f (s) ds (3.3.7) eşili¼gi vard r (Edmunds and Evans 4). sup ( A)= ~ ~A jf (z; z )j d (z; z ) = (f) (s) ds dir, burada (f) (s) = inf f > : fj(z; z )j : jf (z; z )j > g sg x + A ~ = jaj ve ~f (s) = f (s) d r. T y f (x) y + dy = C jf (z; z )j d (z; z ) ve oldu¼gundan A sup ( A)= ~ ~A x+ ~ A jf (z; z )j d (z; z ) = (f) (s) ds sup jaj = A T y jf (x) jy + dy = C sup j Aj ~ = = C x+ ~ A jf (z; z )j d (z; z ) ~f (s) ds = C f (s) ds elde edilir. 46

53 3.4. ** Operaörü Lemma 3.3..deki jf (x) g (x)j x + dx f () g () d eşisizli¼ginde A kümesi ölçüsüne sahip ölçülebilir bir küme olmak üzere g = A al nacak olursa; jf (x) g (x)j x + dx = jf (x)j x + dx jaj f (s) ds = f (s) ds A elde edilir. Ayr ca her iki araf jaj = ile bölünecek olursa jaj A jf (x)j x + dx f (s) ds bulunur. Son eşisizli¼gin sa¼g araf ndaki fonksiyon her < için an mlanm ş r. Elde edilen bu fonksiyon L p;; Lorenz uzaylar için büyük öneme sahipir. Şimdi ** operaörünün an m n verelim. Tan m f olarak an mlan r. : (; )! [; ] fonksiyonu f () = f (s) ds 47

54 Her ne kadar yukar da f fonksiyonu = da an mlanmam ş olsa da s f ra sa¼gdan yaklaş rken azalan yeniden düzenleme fonksiyonu an ml d r. Gerçeken, Teorem 3.3..den lim! +f () = f () = ess sup jf (x)j x(;) elde edilir. Teorem f; g : (; )! C ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda f fonksiyonu için aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. (i) f ; (; ) üzerinde azalan ve süreklidir. (ii) 8 için f () f () dir. (iii) Hemen her x (; ) için jf (x)j jg (x)j ise 8 için f () g () dir. Ispa. (i) Ilk olarak f n süreklili¼gini göserelim. C (; ) ; ve sürekli iki fonksiyonun çarp m da sürekli oldu¼gundan buradan da f () C (; ) olur. R R ' (s) ds C (; ) ' (s) ds C (; ) ve Şimdi de f n azalan oldu¼gunu göserelim. < < key sabiler olsun. f ( ) = f (s) ds = f (s) ds + f (s) ds + f ( ) ( ) = f (s) ds f (s) ds + f (s) ds = oldu¼gu görülür ve buradan isenilen elde edilir. f (s) ds + f ( ) f (s) ds = f ( ) 48

55 (ii) f fonksiyonu azalan oldu¼gundan elde edilir. f () = f (s) ds f () ds = f () (iii) 8 için f () g () dir. Buradan da elde edilir. f () = f (s) ds g (s) ds = g () Teorem (Aloplamsall k): 8 > için (f + g) () (f) () + (g) () eşisizli¼gi gerçeklenir. Böylece, ** operaörü aloplamsald r. Ispa: Lemma 3.3. f n an m na uygulanacak olursa f () = f (s) ds = sup jaj = A jf (x)j x + dx elde edilir. Böylece üçgen eşisili¼ginden ve supremumun aloplamsall ¼g ndan (f + g) () = sup jaj = A jaj = sup jaj = A jf (x) + g (x)j x + dx A = f () + g () jf (x)j x + dx + jf (x)j x + dx + sup 49 A jg (x)j x + dxa jaj = A jg (x)j x + dx

56 gerçeklenir. Bu da ispa amamlar. 5

57 4. L p;; (; ) LORENT UAYI ve TEMEL ÖELL IKLER I Bu bölümde L p;; (; ) Lorenz uzay an mlanacak ve bu uzay n lineerli¼gi ve normlanma şarlar gibi cebirsel özelliklerine yer verilecekir. Tan m 4.. (L p;; (; ) Lorenz Uzay ): L p;; = L p;; (; ) Lorenz uzay 8 >< kfk p;; = kfk = Lp;;(;) p f () d A ; < p < ; < < sup p f () ; < p < ; = > sonlu olmak üzere üm f : (; )! C ölçülebilir fonksiyonlar n s n ar n n cümlesidir, burada L p; Lorenz uzay ndan farkl olarak, d Lebesgue ölçüsü yerine x + dx kullan ld ¼g na dikka edilmelidir. = p olmas durumunda L p;p; (; ) L p; (; )oldu¼gundan L p;; (; ) uzay na L p; (; )uzay n n genelleşirmesi olarak bak labilir. Gerçeken; < p için k:k p;; an m ndan kfk p;p; = @ p p f d () A (f ()) p d f () p da p A p p = kfk p; sa¼glan r. 5

58 Bundan başka p = için, f fonsiyonunun azalan olmas ndan ve Teorem 3.3..den elde edilir. kfk ;; = supf () = f () > = ess sup jf (x)j = kfk ; x(;) Böylece; L p;p; L p; dir. Şimdiki eoremle L p;; (; ) uzay n n lineerli¼gi ve k:k p;; nun norm özellikleri verilebilir. Teorem 4.. L p;; (; ) Lorenz uzay lineer bir uzayd r ve k:k p;; fonksiyoneli bir uasi-normdur. Ispa: L p;; (; ) n n lineer bir uzay oldu¼gunu gösermek için f + g L p;; ve 8 R; 8f; g L p;; için f L p;; oldu¼gunu göserelim. (i) < p < ve < < olsun. Teorem 3... den kf + gk p;; = = p (f + g) () d 5 p f + g d 3 h i (u) p (f (u) + g du (u)) 5 u 3 5 5

59 p p h i max u p f (u) ; u p g du (u) 5 u 3 i hu h i p f (u) + u p g du (u) 5 u = p + kfk p;; + kgk p;; h i p + max kfk p;; ; kgk p;; p + + kfk p;; + kgk p;; Ayr ca her skaleri için; kfk p;; p (f) () d A p jj f d () A = jj kfk p;; (ii) < p ve = olsun. Teorem 3... gere¼gince; kf + gk p;; = sup p (f + g) () > sup p f > + g = sup (u) p (f (u) + g (u)) u> p sup u> u p f (u) + sup u> u p g (u) 53

60 = p kfk p;; + kgk p;; elde edilir. Ayr ca kfk p;; = sup p (f) () > = jj sup p (f) () > = jj kfk p;; sa¼glan r. O halde L p;; uzay, < p, < olmak üzere, bir lineer uzayd r. Bundan başka, yukar daki ispaan k:k p;; fonksiyonelinin uasi-norm oldu¼gu da görülür. Şimdi k:k p;; fonksiyonelinin hangi durumlarda norm oldu¼gunu beliren eoremi verelim. Teorem 4.. k:k p;; fonksiyoneli p ya da p = = olmas durumunda norm belirir. Ispa: k:k p;; fonksiyonelinin norm beliri¼gini ispalamak için üçgen eşisizli¼ginin yaln zca bu durumlarda sa¼gland ¼g n gösermek yeerli olacak r. Geriye kalan norm özellikleri Teorem 4.. gere¼gince sa¼glan r. Öncelikle p alal m. O halde olacak r ve bu ise p fonksiyonunun azalan olmas demekir, böylece p p = p olur. Teorem 3... den key f; g L p;; için kf + gk p;; = = p (f + g) () d 5 p 3 (f + g) () d5 54

61 = 4sup jf (x) + g (x)j h ~ (x) x + dx5 3 = sup 4 f (x) h ~ (x) + g (x) h ~ (x) 3 x + dx5 sa¼glan r. Burada supremum p ile eşölçülebilir ~ h fonksiyonlar üzerinden al nm ş r. Minkowski eşisizli¼gi ve supremumun aloplamsall ¼g kullan l rsa kf + gk p;; = sup 4 B 4 sup 4 f (x) h ~ (x) + g (x) h ~ (x) 3 jf (x)j h ~ (x) x + dx5 3 jf (x)j h ~ (x) x + dx x + dx5 + sup 4 3 jg (x)j h ~ (x) x + dx5 jg (x)j h ~ (x) x + dx5 C A 3 gerçeklenir. Son olarak, ekrar Teorem 3... e başvuruldu¼gunda kf + gk p;; sup 4 3 jf (x)j h ~ (x) x + dx5 + sup 4 3 jg (x)j h ~ (x) x + dx5 = 4 p 3 f () d5 + 4 p 3 g () d5 = kfk p;; + kgk p;; elde edilir. Ispa amamlamak için üçgen eşisizli¼ginin kalan durumlarda gerçeklenmedi¼ginin göserilmesi gerekmekedir. 55

62 (i) p < (ii) < p < ; < (iii) < < p < durumlar nda üçgen eşisizli¼gi sa¼glanmad ¼g ndan p ve nun bu durumlar için k:k p;; fonksiyoneli bir norm belirmez (Krisiansson, ). Teorem 4.3. < p < ve < olsun. O halde kfk p;; C kfk p;; eşisizli¼gi sa¼glan r. Burada C = p p olup kesindir. Böylece L p; ; C,! L p; ; d r. Ispa. Lemma... de h () = f () ; = ve = p al nacak olursa kfk p; ; = p f d () A p p p kfk p; p ; f () d p f () da sa¼glan r. Her iki araf n inci kuvvei al nacak olursa kfk p; ; p p kfk p;; 56

63 elde edilir. Burada C sabii p C = olup Lemma... gere¼gince kesindir. p Teorem 4.4. Her < r < p < ve her < ; s için L p;;,! L r;s; 8 < s ve her < p < için L p;;,! L p;s; kapsama ba¼g n lar gerçeklenir. Ayr ca, < u p < p ise bu durumda L p ;;,! L p ;;,! L p ;u;,! L p;; ba¼g n s sa¼glan r. Buradan aç kça görülür ki < p olmas durumunda L p; ; L p; L p;; L p;; kapsamas gerçeklenmekedir. O halde, L p;; uzay na L p; ve L p;; uzaylar n n incelilmişi olarak bak labilir. Şimdi L p;; uzay nda k:k p;; göserimine sahip k:k p;; fonksiyoneline denk başka bir fonksiyonel an mlayaca¼g z. Bu yeni fonksiyonel yerine operaörü yard m yla an mlanacak ve k:k p;; fonksiyonelindekinden daha fazla p ve de¼gerleri için üçgen eşisizli¼gi sa¼glanacak r. 57