SINIR ŞARTLARININ BİRİNDE ÖZDEĞER PARAMETRESİ BULUNDURAN SÜREKSİZ STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN ÖZFONKSİYONLARI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİ SLİK FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 00 : 8 : : 9-6 SINIR ŞARTLARININ BİRİNDE ÖZDEĞER PARAMETRESİ BULUNDURAN SÜREKSİZ STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN ÖZFONKSİYONLARI Okty MUHTAROV*, Mhir KADAKAL** ve Fhrettin Ş. MUHTAROV*** *Gziosmnpş Üniversitesi, Fen-Edeiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Tokt **Ondokuz Myıs Üniversitesi, Fen-Edeiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, 5539-Kurupelit/Smsun ***Azeryn Bilimler Akdemisi, Mtemtik ve Meknik Enstitüsü, Bkü-Azereyn Geliş Trihi : ÖZET Bu çlışmd, sınır şrtlrının irinin ktsyılrı özdeğer prmetresini lineer olrk içeren süreksiz ktsyılı ve ğırlıklı Sturm-Liouville proleminin rezolvent opertörü ve özfonksiyonlr sisteminin tmlık özellikleri yeni ir yklşıml inelenmiştir. İnelenen prolemin opertör-teorik yzılımı L [, ] C/ Hilert uzyınd yeni eşdeğer iç çrpım ve uygun kendine eşlenik lineer opertör tnımlnmıştır. Ayrı, φ (, ve χ (, temel çözümleri özel ir yöntemle tnımlnmıştır. Anhtr Kelimeler : Süreksiz Sturm-Liouville prolemi, Özdeğer, Özfonksiyon, Rezolvent opertör EIGENFUNCTIONS OF DISCONTINUOUS STURM-LIOUVILLE PROBLEM CONTAINING EIGENVALUE PARAMETER IN THE ONE OF BOUNDARY CONDITIONS ABSTRACT In this pper y using new pproh we investigte the resolvent opertor nd ompleteness of the system of eigenfuntions of the Sturm-Liouville prolem with disontinuous oeffiients nd weight, one of the oundry onditions of whih ontined liner eigenprmeter. For opertor-theoreti formultion of the onsidered prolem we define new equvlent inner produt in the Hilert spe L [, ] C/ nd suitle selfdjoint liner opertor in it. Further, the si solutions φ (, nd χ (, re defined y the speil proedure. Key Words : Disontinuous Sturm-Liouville prolem, Eigenvlue, Eigenfuntions, Resolvent opertor. GİRİŞ Bu çlışmd ktsyılrı sonlu [, ] rlığının ir < < iç noktsınd genel olrk süreksiz oln Tu : r() λu, [,) (,] { ( p()u ) + q()u} diferensiyel denkleminden, uç noktlrdki, () 9

2 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov u () 0 () ( + β ) () ( λα + β ) u () λα (3) u sınır şrtlrındn ve süreksizlik noktsındki γ ( 0) δ u( 0) (4) u + γ ( 0) δ u ( 0) (5) u + geçiş şrtlrındn oluşn ir sınır değer prolemini ineleyeeğiz. Burd; λ kompleks prmetredir; α β, γ, δ (i, ) reel syılrdır ve i, i i i + β > 0, γ + δ > 0, γ + δ > β 0 doğl şrtlrını sğlıyorlr; r, p, p, q ise [,) ve (,] rlıklrının her irinde sürekli oln ve noktsınd sonlu sğ ve sol limit değerleri mevut oln reel değerli fonksiyonlrdır. Ayrı her [,) (, ] r () > 0, p() > 0 olduğunu kul edeeğiz. Bu prolemin (Wlter, 973) nlmınd kendine eşlenik olmsı, : α β α β > 0 şrtının sğlndığını d kul edeeğiz Wlter (973) in mklesinde olduğu gii, eğer ()-(5) prolemi herhngi ir Hilert uzyınd kendine eşlenik ir opertör özdeğer prolemine indirgeneilirse, o hlde u proleme kendine eşlenik prolem diyeeğiz. ()-(5) proleminin zı özel hlleri (Wlter, 973; Fulton, 977) kynklrınd frklı yöntemlerle inelenmiştir. Mtemtik fiziğin zı prolemlerinde zmn değişkenine göre kısmi türev sdee difernsiyel denklemde değil ynı zmnd sınır şrtlrınd d orty çıkmktdır. Böyle prolemlere uygun oln spektrl prolemlerde özdeğer prmetresi sdee difernsiyel denklemde değil sınır şrtlrınd d ulunmktdır (Lnger, 93; Tikhonov nd Smrskii, 963). (4)-(5) içimindeki geçiş şrtlrı ise frklı fiziksel ve meknik özellikleri ulunn isimler rsındki ısı ve mdde iletimi vey şk geçiş süreçlerinde orty çıkmktdır (Rsulov, 967; Titeu nd Ykuov, 997; Mukhtrov ve Demir, 999).. SINIR DEĞER GEÇİŞ PROBLEMİNİN UYGUN HİLBERT UZAYINDA ÖZDEĞER PROBLEMİ BİÇİMİNDE İFADESİ Eğer, (u) : βu() βu () (u) : αu() αu () (6) gösterimlerinden yrrlnırsk, koly her u, v C [, ], [ u()v () u ()v()] (u) (v) (u) (v) (7) olduğunu göstereiliriz. Şimdi iki ileşenli F () F :,F () L[, ],F C/ F elemnlrının L [, ] C/ lineer uzyınd iki F,G L [, ] C/ elemnın iç çrpımını, < F,G > p,r, : p() F G F ()G ()r()d + formülü ile tnımlylım (Burd + ediyoruz). O hlde, ( L [,] C, / < ) (8) : kul H p,r, :, > p,r, iç çrpım uzyının ir Hilert uzyı olğı çıktır. Bu uzyd tnım ölgesi D (A) { F Hp,r, F, F fonksiyonlrının her iri [,)ve(,] rlıklrının her irinde mutlk süreklidirler; F ( ± o),f ( ± 0) sonlu limit değerleri mevuttur. F () 0, γf ( 0) δf ( + 0), γf ( 0) δf ( + 0);F (F ) (9) } Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6

3 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov oln A : H p H opertörünü,,r, p,r, F () TF A : (F ) (F ) (0) eşitliği ile tnımlylım. O hlde ()-(5) sınır değer geçiş prolemi, u() AU λu U : D(A) (u) () opertör-denklem içiminde yzılilir. Böylee ()-(5) prolemini ir Hilert uzyınd tnımlı oln ir lineer opertör özdeğer prolemine indirgemiş olduk... Lemm Eğer, δ δp( 0) γγp( + 0) şrtı sğlnıyors A opertörü simetriktir. İspt. F,G D(A) iki tne keyfi elemn olmk üzere Lgrnge formülünü (Nimrk, 967) uygulrsk, < AF,G > p,r, F () ( TF )()G ()r()d + ( (F ) )( G ) p() ( TG )()r()d + F ()( TG ) + p( 0)W F,G ( ; 0) p()w( F,G ;)+ ()r()d + p() + p()w F,G; p( + 0)W F,G; + 0 F G ( ) ( ) ( ) ( ) ( G ) ( F ) + p() < F,G > p,r, + { ( 0)W( F,G ; 0) p( + 0)W( F,G ; + 0) } p {( F ) ( G ) ( F ) ( G ) } p () p() ( TG )()r()d + F ()( TG )()r()d + ( F ) ( G ) ) F () p()w( F,G;) + p( )W( F,G; 0) p( + 0)W( F,G; + 0) p () W( F,G ;) ( F ) ( G ) ( ) F ( ) { }+ + G () eşitliğini uluruz. Burd; ( F,G ; ) : F ()G () F ()G () (3) W ile F, G fonksiyonlrının Wronskiyeni gösterilmiştir. F () veg() fonksiyonlrı () sınır şrtını sğldıklrı, ( ; 0) ( F,G ;) 0 W p( 0)W F,G p( 0) F ( 0)G ( 0) F ( 0)G( 0) γ γ δ δ p( + 0) F ( + 0) G ( + 0) δδ γ γ δ δ F ( + 0) G ( + 0) γ γ ( ; 0) p( + 0)W F,G + (4) eşitliği sğlnır. F, G fonksiyonlrının (4) ve (5) geçiş şrtlrını sğldığını ve lemmnın şrtını dikkte lırsk, (5) Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () 9-6 Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6

4 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov ulmuş oluruz. O hlde (4) ve (5) eşitliklerini () de yerine yzrk (7) eşitliğini de dikkte lırsk, tlep olunn < ;G > p,r, < F, AG > p,r, AF (6) r() { ( p()u ) + q()u} F (), [,) (,] λu (9) eşitliğini, yni A opertörünün simetrik olduğunu elde ederiz... Sonuç ()-(5) proleminin ütün özdeğerleri reeldir. Not : p (),q()ver() reel değerli fonksiyonlr, ()-(5) şrtlrının ktsyılrı reel syılr ve ütün özdeğerler reel olduğu ()-(5) proleminin ütün özfonksiyonlrını reel değerli fonksiyonlr olrk kul edeiliriz... Sonuç λ ve λ (.)-(.5) proleminin herhngi iki frklı özdeğeri, u () ve u () ise uygun özfonksiyonlrı ise u()u()r()d ( u) ( u ) (7) eşitliği sğlnır. p() İspt. A opertörü simetrik olduğu, λ ve λ u() frklı özdeğerlerine uygun ( ) U ve u u () ( ) U özelementleri H p,r, uzyınd u ortogonl olk, yni (7) eşitliği sğlnktır. 3. A OPERATÖRÜNÜN REZOLVENTİ Bu kesimde özdeğer olmyn her λ /C syısının A opertörünün regüler değeri olduğunu göstereeğiz ve yrı, R( λ, A) : ( A λi) rezolvent opertörünü ineleyeeğiz. F H p,r, keyfi elemnı ( A λi) U F (8) U () 0 (0) ( U () βu ()) + λ( αu() αu ()) F β () γ ( 0) δ U ( 0) () U + γ ( 0) δ U ( 0) (3) U + sınır-değer-geçiş prolemi şeklinde yzlım. İlk öne şğıdki önemli lemmyı verelim. 3.. Lemm Herhngi [, ] rlığınd tnımlı ve reel değerli r() 0,p() 0veq() fonksiyonlrı verilsin. Eğer r () veq() fonksiyonlrı u rlıkt sürekli, p () ise sürekli diferensiyelleneilir iseler, o hlde her tm f ( λ )veg( fonksiyonlrı r() { ( p()u ) + q()u} λu, [, ] (4) diferensiyel denkleminin u( i ) f (,u ( ) g( (5) i ( i veyi ) şlngıç şrtlrını sğlyn u(, λ ) çözümü ulunur ve u çözüm fonksiyonu her [, ] değeri λ değişkeninin tm fonksiyonudur. Bu lemm (Tithmrsh, 96) ın kitındki Teorem.5 in isptındki yöntemle tm enzer şekilde ispt edilir. Şimdi u lemmdn yrrlnrk () diferensiyel denkleminin iki tne φ (, ve χ (, çözümlerini tnımlyğız. [,] rlığınd () difernsiyel denkleminin u () 0,u () (6) şlngıç şrtlrını sğlyn çözümünü φ (, ile gösterelim. φ (, fonksiyonu tnımlndıktn sonr [,] rlığınd () diferensiyel denklemini opertör denklemini onunl eşdeğer, homojen olmyn Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () 9-6 Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6

5 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov γ γ () φ(0,,u () φ (0, δ δ u (7) şlngıç şrtlrını sğlyn çözümünü tnımlyiliriz. Bu çözümü φ (, ile gösterelim. Benzer şekilde, [,] rlığınd () difernsiyel denkleminin u() α α λ + β (8) λ + β,u () şlngıç şrtlrını sğlyn çözümünü χ (, ile göstererek, u çözümü tnımldıktn sonr [,] rlığınd () diferensiyel denkleminin δ δ () χ(0,,u () χ (0, (9) γ γ u şlngıç şrtlrını sğlyn çözümünü χ (, ile gösterelim. 3.. Lemm gereği φ i (,, χi(, (i,) fonksiyonlrı λ -nın tm fonksiyonlrıdırlr. Bu fonksiyonlrın tnımlrı gereği φ(,, [,] φ(, :, χ(, : φ (,, [,] χ(,, [,] χ (,, [,] (30) eşitlikleri ile tnımlı φve χ fonksiyonlrı [,) (, ] de () denklemini ve (4), (5) geçiş şrtlrını sğlyklrdır. Ayrı φ (, çözümü () sınır şrtını, χ (, ise (3) sınır şrtını sğlyktır. Aşğıdki; ω : W i i ( φ, χ ; ),i, i λ ω(, : W λ ( φ, χ;) ω(,, [,) ω(,, (,] gösterimlerinden de yrrlnğız. 3.. Lemm Özdeğer olmyn her λ C/ ve her [,) (, ] ω (, 0 dır. İspt. Öne özdeğer olmyn her λ ve her [,) ω (, 0 olduğunu ispt edelim. Aksini kul edelim. O hlde özdeğer olmyn en z ir λ 0 /C ve en z ir 0 [,] ω ( 0, λ0) 0 olur. Bu hlde ω ( 0, λ0) 0 olur. Wronskiyenin iyi ilinen özelliğinden dolyı (Nimrk, 967) u durumd her [,] ω(, λ0 ) Wλ ( φ, χ; ) 0 olktır. O hlde φ, ) ve χ, ) lineer ğımlı olk, yni ( λ0 ( λ0 χ(, λ0) kφ (, λ0), [,) olk şekilde k 0 syısı mevuttur. Burdn, χ (, λ0) kφ(, λ0) 0 elde edilir. Dolyısıyl, χ (, λ 0 ) 0 olur. Böylee χ (, λ0) fonksiyonu () sınır şrtını d sğlmış olur. χ (, λ0) fonksiyonu λ λ 0 değeri () denkleminin, (3) sınır şrtını ve (4), (5) geçiş şrtlrını d sğldığındn χ (, λ0) fonksiyonu λ λ0 ()-(5) proleminin çözümü olur. Diğer trftn χ (, fonksiyonunun tnımı gereği χ (, λ 0 ) α λ 0 + β, χ (, λ 0 ) α λ 0 + β eşitlikleri sğlnır. αβ αβ 0 olduğu sonunu iki eşitlikten χ (, λ0) ve χ (, λ0) syılrının en z irinin sıfırdn frklı olduğu elde edilir. Yni χ (, λ 0) 0 dır. O hlde χ (, λ0) fonksiyonu λ λ 0 ()-(5) proleminin çözümüdür, yni özfonksiyondur. Bu ise λ λ 0 syısının özdeğer olmdığı vrsyımı ile çelişkidir. Böylee özdeğer olmyn her λ C/ ve her [,) ω (, 0 olduğu ispt olunur. (, ] durumu de ispt tm enzer şekilde ypılilir. Bu teoremden ve Wronskiyenin özelliklerinden şğıdki sonuç elde edilir. 3.. Sonuç Özdeğer olmyn her λ C/ φ (,, χ (, fonksiyonlrı [,] rlığınd, φ (,, χ (, fonksiyonlrı ise [,] rlığınd lineer ğımsızdırlr. 3.. Sonuç gereği özdeğer olmyn her λ C/ () diferensiyel denkleminin genel çözümünü Cφ (, + Dχ (,, [,) u(, Cφ(, + Dχ(,, (, ] (3) içiminde ifde edeiliriz; urd C,D,C, D keyfi sitlerdirler. O hlde sitin değişimi yöntemini (Nimrk, 967) uygulyrk (9) Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6

6 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov homojen olmyn denkleminin genel çözümünü [,) φ(y, U (, χ(, F (y) dy + ω (y, χ(y, + φ(, F (y)dy + Cφ (, + Dχ (, (3) ω (y, içiminde, (, ] ise φ(y, U (, χ(, F (y) dy + ω (y, χ(y, + φ(, F (y)dy + Cφ(, + Dχ(, (33) ω (y, içiminde ifde edeiliriz. (9) diferensiyel denkleminin (3) ve (33) eşitlikleri ile verilmiş genel çözümünü (0)-(3) şrtlrınd yerine yzrk C i, D i sitlerini uliliriz. (3) ifdesini (0) sınır şrtınd yerine yzrsk D χ (, 0 eşitliğini elde ederiz. λ özdeğer olmdığı χ (, 0 dır. Dolyısıyl D 0 dır. (33) ifdesini () sınır F şrtınd yerine yzrsk, C ω(, eşitliğini elde ederiz. D ve C ulduğumuz değerleri de dikkte lrk (3) ve (33) ifdelerini () ve (3) geçiş şrtlrınd yzrsk, C ve D değerlerini ulmk şğıdki lineer denklem sistemini elde ederiz. φ (y, γφ (, C δχ (, D γχ(, F (y)dy + ω (y, χ(y, F + δφ (, F (y)dy +δ φ(, ω (y, ω (, φ(y, γφ (, C δχ (, D γχ (, F (y)dy + ω (y, χ (y, F + δφ (, +δ φ λ F (y)dy (, ) ω (y, ω (, Bu sistemin determinntı δδ ω(, 0 olduğu ir tek çözümü ulunur. φ i(,, χi(, fonksiyonlrının tnımlrındn yrrlnrk sonunu denklem sisteminden χ(y, F C F (y)dy +, ω (y, ω (y, φ(y, D F (y) dy ω (y, elde edilir. C i, Di sitleri ulduğumuz değerleri (3) ve (33) ifdelerinde yerine yzrk gerekli düzenlemeleri yprsk, (9)-(3) proleminin çözümü ütün [,) (, ] delinmiş rlığınd U χ(, φ(, φ(y, F (y)dy + ω(y, χ(y, F (y)dy + ω(y, ω formülünü elde ederiz. 3.. Teorem F φ(, (, Özdeğer olmyn her λ C/ syısı (9), (0) eşitlikleri ile tnımlı oln A opertörünün regüler değeridir ve yrı R ( λ,a) : H,r, p Hp,r, rezolvent opertörü kompkt opertördür. İspt. χ(, φ(y, y,, y ω(y, G (, y; : φ(, χ(y, y,, y ω(y, gösteriminden yrrlnrk sonunu formülü U λ F (, G(, y; F (y)dy + φ(, ω(, içiminde ifde edeiliriz. Burdn R( λ,a) rezolvent opertörü R( λ, A)F formülü elde edilir. F G (, y; F (y)dy + φ(, ω(, F ω(, ( G (, y; ) F (y)dy + ( φ(, ) Şimdi B : L[, ] L[, ] B ~ : H p,r, H ve C : H p H opertörlerini λ, λ p,r, λ,r, p,r, ) Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6

7 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov B λf : G(, y; F (y) dy B ~ λf : BλF ( B ) λf F φ(, ω(, C λf : F ω(, ( φ(, ) eşitlikleri ile tnımlrsk, R( λ,a) rezolvent opertörünü R( λ,a) B ~ λ + Cλ içiminde ifde edeiliriz. B λ opertörü L [, ] Hilert uzyınd kompkt olduğu (Tithmrsh, 96), B ~ λ opertörü H p,r, Hilert uzyınd kompktdır. C λ opertörünün H p,r, Hilert uzyınd kompkt olduğu çıktır. Dolyısıyl özdeğer olmyn her λ C/ R( λ,a) opertörü de H p,r, uzyınd kompkt olktır. (k örneğin (Lng, 983) A opertörü kendine eşlenik olktır. Sonuç olrk, 3.. Teorem, 4.. Teorem ve İntegrl Denklemler teorisinden iyi ilinen Hilert-Shmidt Teoremi (Tylor, 958) gereği şğıdki teorem elde edilir (Glzmn, 965). 4.. Teorem H pr,, Hilert uzyınd (9), (0) eşitlikleri ile tnımlı A opertörünün syılilir syıd reel özdeğeri mevuttur, her özdeğerin eirsel ktı sonludur, özdeğerler dizisi lttn sınırlıdır ve sonlu yığılm noktsı yoktur. Her özdeğer eirsel ktı syıd yzılmk kydı ile, özdeğerler dizisini λ λ... içiminde sırlyrk, uygun normlndırılmış öz elementler ϕn () φn :, n φ n,,... ( ) H içiminde ϕ p,r, n gösterilmek üzere, her F elemnı n H p,r, H p,r, n φn,n < F, φn > Fourier serisi H pr Hilert uzyınd F elemnın ykınsk olktır;,, 4. ÖZFONKSİYONLAR SİSTEMİNİN SERİSİNE AÇILIM Öne şğıdki teoremi ispt edelim. 4.. Teorem (9) ve (0) eşitlikleri ile tnımlı A opertörü H p,r, Hilert uzyınd kendine eşleniktir. İspt. A opertörünün (9) eşitliği ile verilmiş D(A) tnım ölgesinin H Hilert uzyınd her yerde p,r, yoğun olduğu çıktır. Ayrı, 3..Teorem gereği A opertörün en z ir regüler değeri mevut olduğu, kplı opertördür. Yine 3..Teorem gereği Imλ 0 olk şekilde her λ C/ syısı A λi ve A + λi opertörlerinin her irinin değer ölgeleri ütün Hp,r, Hilert uzyı ile çkışmktdır, yni ( A λi)d(a) H p,r, ve ( A eşitlikleri sğlnır. Ayrı λi)d(a) H p,r,.. Lemm gereği A opertörü simetriktir. O hlde simetrik opertörlerin genişlemesi hkkınd Fonksiyonel Anlizden iyi ilinen teorem gereği n F < F, φ > φ (34) n H p,r, n Bu teoremden şğıdki önemli sonuçlr elde edilir. 4..Sonuç her f L[, ] fonksiyonu L ([, ], r) Hilert uzyınd ()-(5) sınır-değer- geçiş proleminin { ϕ n },n,,... öz fonksiyonlr sisteminin f () f (y) n (y)r(y)dy ϕn () ϕ n serisine çılır. İspt. Bu sonuun isptı (34) formülünde F H p,r, elemnını özel olrk f () F lmk 0 yeterlidir. (Burd L ([, ], r) ve L [, ] Hilert uzylrının lineer uzylr olrk ynı olduğun dikkt etmek gerekir.) 4.. Sonuç her L [, ] fonksiyonu, n (35) ( n ) ϕ f p() Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6

8 Sınır Şrtlrının Birinde Özdeğer Prmetresi Bulundurn Süreksiz Sturm-Liouville..., O. Muhtrov, M. Kdkl, F. Ş. Muhtrov n ( ϕ ) ϕ () 0 n n eşitlikleri sğlnır. İspt. (34) formülünü (36) < F, φn > H. ϕ n () p,r, F () n 0 (37) F < φ > ( ϕ ) F, n H. p,r, n n 0 0 içiminde yzlım. Bu formülde özel olrk F p() ( ) ϕn. ϕn () 0 lırsk, n 0 eşitliği, yni p() ( ) ϕ n n 0 (35) ve (36) eşitliklerini elde ederiz Sonuç her f L[, ] f (y) (y)dy n.( n ) ϕ 0 ϕ eşitliği sğlnır. n 0 İspt. Bu sonuun isptı (37) formülünü f () F elemnı yzmk yeterlidir SONUÇ (Wlter, 973) mklesinde, sınır şrtlrınd özdeğer prmetresi ulundurn Sturm-Liouville prolemlerinin opertör-teorik yorumunu vererek, özfonksiyonlr sisteminin serisine çılım teoremini isptlmıştır. Bu çlışmd uygun sonuçlr süreksiz ktsyılı ve geçiş şrtlrı ulundurn prolemler genelleştirilmiştir. Bunun hem litertürde ilinen (Fulton, 977; Tithmrsh, 96; Wlter, 973 kynklrın k) yöntemlerden yrrlnılmış, hem de yeni yklşımlr geliştirilmiştir. İnelediğimiz ()-(5) prolemi orjinldir, ulunn sonuçlr ise yenidir. 6. KAYNAKLAR Fulton, C. T Two-point Boundry Vlue Prolems With Eigenvlue Prmeter Contined in the Boundry Conditions, Englnd. Pro. Roy. So. Edin. 77A, Glzmn, J. M Diret Methods of Qulittive Spetrl Anlysis. Jeruslem, Isrel Progrm for Sientifi Trnsltions. Lng, S Rel Anlysis. Addison-Wesley, Reding, Mss. Lnger, R. E. 93. A Prolem in Diffusion or in the Flow of Het For A Solid in Contt With A Fluid, Jpn. Tohoku Mth. J. 35, Mukhtrov, O, Sh nd Demir, H Coeriveness of the Disontinuous Initil-Boundry Vlue Prolem For Proli Equtions, Isrel. İsrel Journl of Mthemtis 4, Nimrk, M. N Liner Differentil Opertors. Ungr, New York,USA. Rsulov, M. L Methods of Contour Integrtion. North-Hollnd Pu. Comp. Amsterdm. Tylor, A. E Introdution to Funtionl Anlysis. John Wiley. Tikhonov, A. N nd Smrskii, A. A Equtions of Mthemtil Physis. Oford nd New York, Pergmon, USA. Tithmrsh, E. C. 96. Eigenfuntions Epnsion Assoited With Seond Order Differentil nd Equtions I edn, Oford Univ. Press, London. Titeu, I nd Ykuov, Y Completeness of Root Funtions For Therml Condution in Strip With Pieewise Continuous Coeffiients. Mthemtil Models nd Methods in Applied Sienes. Vol. 7, (7), Wlter, J Regulr Eigenvlue Prolems With Eigenvlue Prmeter in the Boundry Conditions. Verlg. Mth. Z. 33, Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 8 () Journl of Engineering Sienes 00 8 () 9-6