ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

Transkript

1 ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: Web: Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör Özvektör 5 ÖZDEĞER PROBLEMİ Mtrs özdeğerler ve ler Stdrt özdeğer problem

2 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ Mühedslk blmler heme her dlıd, özellkle dmk ve stblte problemlerde stdrt özdeğer problem dı verle 5 5 tpde deklem sstem le krşılşılır Burd gerçek syılrd oluş br kre mtrs, sbt br syı, sıfırd frklı br vektördür 5 fdese stdrt özdeğer problem, y ı özdeğer, e ı ü der blr ve blmez 5 deklem sğly sbt ve vektörüü hesbı ster Özdeğer problem krşı trfı d blmeye br deklem sstemdr 5 deklem, brm mtrs olmk üzere olrk yzılblr Demek k, özdeğer problem kre ktsyılı br homoje deklem sstemdr ck, çözüm homoje deklem sstem çözümü kdr bst değldr Çükü hem hem de blmemektedr Bölüm d kre ktsyılı br homoje deklem sstem sıfırd frklı çözümüü olblmes ç ktsyılr mtrs tekl, y determtıı sıfır olmsı gerektğ çıklmıştı O hlde, 5 ü çözümüü olblmes ç det 5 olmlıdır 5 ve 5 bğıtılrıı lmı şudur: özdeğer, ktsyılr mtrs ı determtıı sıfır yp br syıdır özdeğer hesplmk ç; ktsyılr mtrs 5 Özvektör Özdeğer Homoje deklem sstem Özvektör Özdeğer Özvektör Ktsyılr mtrs

3 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, dygol elemlrıd çıkrtılır, oluş mtrs determtı hesplır, sıfır eştler, özdeğer syısl değer buluur ı syısl değer 5 de yere kour, homoje deklem sstem çözülür, özdeğer vektörü hesplır Örek : Dygol mtrs özdeğer problem,?? 5 e göre: 5 e göre, ktsyılr mtrs determtı sıfır olmlı: det Üç frklı özdeğer vr, her br ktsyılr mtrs ı determtıı sıfır ypr 5 e göre üç özdeğere krşılık üç frklı, ve ü olcktır özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: 5,, 6 derece polomuu kökü vrdır determtı sıfır yp det vrdır det özdeğer vrdır Homoje deklem sstemde serbest değşke olmuştur, çükü eştlğ vrdır O hlde ç herhg br değer seçleblr Bst olmsı ç seçelm So k deklemde: 5 buluur özdeğere t Htırltm: dygol mtrs determtı dygol elemlrı çrpımıdır

4 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: 5 özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: Kotrol: Özdeğerler bğıtısıı sğlmlıdır Görüldüğü gb, özdeğerler ve ler özdeğer problem sğlmktdır Homoje deklem sstemde serbest değşke olmuştur, çükü eştlğ vrdır O hlde ç herhg br değer seçleblr seçelm İlk ve so deklemde: 5 buluur özdeğere t Homoje deklem sstemde serbest değşke olmuştur, çükü eştlğ vrdır O hlde ç herhg br değer seçleblr seçelm İlk k deklemde: buluur özdeğere t Geelleştrme: dygol mtrs te özdeğer vrdır, dr ü brm mtrs vektörüdür brm mtrs özdeğerler tümü yı, dr ü brm mtrs vektörüdür O sıfır mtrs özdeğerler tümü sıfırdır, dr Özvektörler keyf herhg br vektördür

5 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, Örek : Üst üçge mtrs özdeğer problem U,?? 5 ve 5 e göre, det olmlı Üst üçge mtrs determtı dygol elemlrı çrpımı eşttr:,, 6 Üç frklı özdeğer vr, her br ktsyılr mtrs ı determtıı sıfır ypr 5 e göre üç özdeğere krşılık üç frklı, ve ü olcktır özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: 5 özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: 5 So k deklemde: 5 buluur Brc deklemde dır yere kouluc: olur O hlde serbest değşkedr Her değer seçleblr: özdeğere t So deklemde: İkc deklemde dır yere kouluc olur O hlde serbest değşkedr, her değer seçleblr, seçelm Brc deklemde: 5 ve değerler yere kork 5 d /5 buluur özdeğere t

6 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: Kotrol: Özdeğerler bğıtısıı sğlmlıdır U 6 6 U U Özdeğerler ve ler özdeğer problem sğlmktdır Örek : mtrs özdeğer problem,?? ve e göre, det olmlı 6, 8 9 İk frklı özdeğer vr, her br ktsyılr mtrs ı determtıı sıfır ypr 5 e göre k özdeğere krşılık k frklı ve ü olcktır 5 5 So deklemde: dır O hlde serbest değşkedr, her değer seçleblr, seçelm ve deklemde: / 5 5/ 5 özdeğere t Geelleştrme: boyutlu lt vey üst üçge mtrs özdeğerler dygol elemlrı eşttr Htırltm: mtrs determtıdygol elemlrı çrpımı dğer dygol elemlrı çrpımıdır

7 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: 6 6 GUSS bst özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: GUSS bst Kotrol: Örek : Sl özdeğerler,?? ve e göre, det olmlı, 8 So deklemde: serbest değşkedr, her değer seçleblr, seçelm Brc deklemde: dır olur 6 özdeğere t 5 So deklemde: serbest değşkedr, her değer seçleblr, seçelm Brc deklemde: dır 5 olur özdeğere t Htırltm: mtrs determtıdygol elemlrı çrpımı dğer dygol elemlrı çrpımıdır Htırltm:, dır

8 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, İk frklı sl özdeğer vr, her br ktsyılr mtrs ı determtıı sıfır ypr 5 e göre her k özdeğere krşılık k frklı ve ü olcktır özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: özdeğer homoje deklemde yere kork hesplır: Kotrol: So deklemde: serbest değşkedr, her değer seçleblr, seçelm Brc deklemde: dır olur özdeğere t GUSS u kolyc uygulmk ç stırlr değştrld Bst GUSS uyguldıkt sor So deklemde: serbest değşkedr, her değer seçleblr, seçelm Brc deklemde: dır olur özdeğere t GUSS u kolyc uygulmk ç stırlr değştrld Bst GUSS uyguldıkt sor

9 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ 9 Özdetermt ve özdeklem 5 bğıtısı le verle det Determtı özdetermt vey krkterstk determt der Syısl öreklerde de lşıldığı gb, bu determt hespldığıd y bğlı derece br polom elde edlr: det 55 Bu polom özdeklem vey özpolom vey krkterstk deklem der Derecede ol özdeklem te kökü vrdır Dolyısıyl ı determtıı sıfır yp te özdeğer vrdır: Her br özdeğere krşılık gele te de,,, vrdır,,, Özdeğerler mtrs ve ler mtrs Her br ve çft 5 özdeğer problem sğlr: [ ] [ ] X X Λ X X Λ X X Λ 56 Burd Λ ve X mtrsler, Λ Özdeğer ve ler br ry topldığı mtrslerdr Çoğu kez Λ mtrse spektrl mtrs X mtrse de modl mtrs dı verlr Herhg br özdeğer sıfır olbleceğde Λ özdeğerler mtrs tekl olblr, X [ ] Λ her zm tımlı olmyblr Özvektörler 5 homoje deklem sstem temel çözüm kümesdr ve doğrusl bğımsızdırlr Dolyısıyl boyutlu X modl mtrs tekl değldr, y ters X vrdır Bu özellk edeyle, 56 fdes X X X olduğu görülür X X X Λ X X Λ X le sğd çrpılırs X ΛX X ΛX X le sold çrpılırs 5 olur So özellk kullılrk ı Kuvvet ç: X ΛX X Λ X X ΛX X ΛX Özvektörler doğrusl brleşm: yzılblr X ΛX X ΛX X ΛΛΛ ΛΛX hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, 9

10 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ 95 üü herhg br gerçek c syısı le çrpılmsı vey bölümes soucud elde edle ye vektör de br dür Çükü c le de c c 58 sğlır Bu öeml özellk edeyle, sterse, c herhg br gerçek syı seçleblr Özvektörler ~ c c c doğrusl brleştrlmes le oluş ye ~ de br dür ve 5 sğlr Bu çıklmlrd şu souc vrılır: Herhg br mtrs te özdeğer, te temel ü, fkt sosuz ü vrdır Normlleştrlmş 58 dek c ktsyısıı seçmde uygulmd frklı yklşımlr vrdır: Bstlğ edeyle, üü hesbı sırsıd serbest değşke geellkle lıır Bu c lmıddır c lırk hespl temel dür Yukrıdk syısl örekler tümüde serbest değşkeler seçlmşt Bzı uygulmlrd ü e büyük elemıı olmsı ster Buu ç, temel ü hespldıkt sor, elemlrıd mutlk değer e büyük ol syı c olrk lıır, tüm elemlrı c ye bölüür Oluş ye ü e büyük elemı olur Bu yoll hespl e ormlleştrlmş der Öcek syflrd verle örek de: Normlleştrlmş Temel Bzı uygulmlrd temel ü hespldıkt sor uzuluğuu olmsı ster Geel olrk; herhg br [ ] T vektörüü uzuluğu T le tımlır vektörüü uzuluğuu ypmk ç sbt br c syısı le çrpmk gerekr: dr 5 5 c ~ 5 c T c c c ~ c le hesplck ye vektörü uzuluğu olcktır: ~ 5 c Demek k br vektörü uzuluğuu olmsı sterse o vektörü elemlrıı o vektörü uzuluğu bölmek gerekr Öcek syflrd verle örek de: ~ Hem ü uzuluğu Uzuluğu ol ye hem de problem sğlrlr üü uzuluğu ~ örek dek özdeğer ~ örek dek Hem hem de özdeğer problem sğlrlr hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, 95

11 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ 96 Kotrol: ~ ~ T ~ Özdeğer ve ler bzı öeml özellkler Özdeğer problem sdece kre mtrsler ç tımlıdır mtrs dm te özdeğer,,,, özdeğer mtrs determtıı sıfır ypr vrdır Her özdeğere krşılık gele br ü vrdır sğlr ve çft berber bğıtısıı 5 Özdeğerler poztf, egtf, sıfır gerçek syılrı olbldğ gb sl syılr d olblr 6 Özvektörler elemlrı gerçek ve sl syılrd oluşblr Elemlrı gerçek syılrd oluş smetrk T se, tüm özdeğerler de gerçek syılrd oluşur Smetrk mtrs ler ortogoldır: X T X 8 smetrk T ve poztf tımlı se tüm özdeğerler de poztftr 9 Bzı özdeğerler brbre eşt olblr Fkt Eşt özdeğerler ler mutlk frklıdır Çükü ler doğrusl bğımsızdır Öreğ brm mtrsde ve ler,, dır Görüldüğü gb, özdeğerler brbre eşt fkt ler brbrde frklıdır üü herhg br gerçek c syısı le çrpılmsı vey bölümes soucud elde edle ye vektör de br dür Yı ye vektör c le de c sğlır Bu öeml özellk edeyle, sterse, c herhg br gerçek syı seçleblr ve T yı özdeğerlere shptr, fkt ler geelde frklıdır ve B kre mtrsler olmk üzere B ve B mtrsler yı özdeğerlere shptr ı özdeğer se özdeğer olmdığı lmıddır dr mtrs z özdeğerler toplmı eşttr: İz 5 mtrs determtı özdeğerler çrpımı eşttr: det durumud Dolyısıyl, özdeğerlerde herhg br sıfırs,, det dır ve tımsızdır tımsızdır, bu se ı tekl ve Özdeğer ve ü geometrk yorumu bğıtısıd hespl özdeğer ve ü şu şeklde yorumlblr: mtrs vektörüü kdr büyütmekte vey küçültmektedr vektörüü doğrultusu değşmemekte fkt yöü değşeblmektedr poztf se ve yı yöde, ks hle ters yödedrler hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, 96

12 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, Örek 5: mtrs özdeğer problem verldğe göre özdeğer problem çözüüz Bu şu lm gelmektedr: ı determtıı sıfır yp,, özdeğerler ve her br özdeğere t,, vektörler, bğıtısıı sğlyck şeklde, buluuz Özdeğerler hesbı: çözümü rdığıd, bu bğıtıı sğlblmes ç, ktsyılr mtrs determtı sıfır olmlıdır: det f Lplce çılımıkolo göre: f 9 8 ] [ f f So term çrplrıd kökler,, buluur Bulr ı özdeğerlerdr, ı determtıı sıfır yprlr Özdeklem kökler uygu br progrml d bulublr, dereces 5 ve yukrı ol problemlerde zte bşk çre yokturkök bulm progrmlrı ç bk: bölüm 6 Özvektörler hesbı: özvektöler homoje deklemde hesplır E uygu yötem GUSS drgeme metodudur İdrgeme soucud ktsyılr mtrs eşdeğer br üst üçge mtrse döüşür Üçge mtrs dygol elemı sıfır olur Bu determtı sıfır olduğu lmıddır Sıfır dygole ve krşı trf herhg br sbt c syısı yzılır Bu ü c ktıı d br olduğu özellğde yrrldığımız lmı gelr Bstlğ edeyle çoğu kez c terch edlr Yukrı doğru hesp ypılrk ü tüm termler belrler ç ü hesbı: { özdeklem Özdeklem MÜLLER progrmı le bulu köklerbk: Bölüm 6, syf 9 Özdeğer problem lıır {

13 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, ç ü hesbı: { GUSS le: ~ 8 8 ~ ç ü hesbı: { GUSS le: ~ ~ Homoje deklem sstem GUSS le drger dygol sıfırdır serbest değşkedr Dygole ve krşı trf yzılır: Yukrı doğru hesp le tüm blmeyeler belrler 5 5 ~ Normlleştrlmş e büyük term ~ Normlleştrlmş uzuluğu Homoje deklem sstem GUSS le drger dygol sıfırdır serbest değşkedr Dygole ve krşı trf yzılır: Yukrı doğru hesp le tüm blmeyeler belrler e t temel Normlleştrlmş e büyük term Normlleştrlmş uzuluğu Homoje deklem sstem GUSS le drger dygol sıfırdır serbest değşkedr Dygole ve krşı trf yzılır: Yukrı doğru hesp le tüm blmeyeler belrler e t temel Normlleştrlmş e büyük term Normlleştrlmş uzuluğu e t temel

14 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ 99 Özdeğerler mtrs ve temel ler mtrs: Λ, Özdeğerler mtrs X Modl mtrs temel ler Normlleştrlmş modl mtrse büyük elem Normlleştrlmş modl mtrs her vektörü uzuluğu 5 ~ X, 5 ~ X Kotrol: ~ ~ X X Λ ve X X Λ le çözümler kotrol edleblr Özdeğer problem çözüm metotlrı Özdeğer problem, syf 58 de çıkldığı gb, determt hesbı homoje deklem sstem çözümüde brettr Çözümü yükü ve zorluğu özdeğerler belrlemesdedr Çözüm ç drekt ve tersyo metotlrı kullılmktdır Drekt metotlr br tkım şlemler sorsı 55 bğıtısıd verle özdeklem kurr ve çözerler Büyük deklem sstemler ç uygu değldrler Çükü derece ol özdeklem özpolomu te köküü bulumsı büyük ümerk sorulr yrtır Çok bst br örek le çıklylım: Özdeğerler Özvektörler Λ, 5 X Dygol ktsyılı özdeğer problem 6 det özdeğer, bldğ gb, dygol elemlrı eşttr Özvektörler de brm mtrstr Özdeklem det 5 det dır Görüldüğü gb, bu çok bst ve çok küçük problemde ble polomu ktsyılrı çok büyüktür 6 det özdeğerler bu polomd hesplmsı yuvrlm htlrıı çok hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, 99

15 5 STNDRT ÖZDEĞER PROBLEMİ büyük olcğı lmıddır Çok büyük özdeğer problemlerde syı tşmsı kçıılmzdır Bu edele, büyük boyutlu özdeğer problemlerde, tersyo yötemler terch edlr Çok syıdk tersyo yötemlerde determt rm, powermses, vers power, JCOB, RNOLD, LNCZOS, QR, HOUSEHOLDER, GVENS gb metotlrıı dı verleblr İtersyo yötemler el hesplrı ç fzlsıyl krmşıktır Bu edele dı, geçe yötemler teors yere sdece bzı yötemler progrmlrı verlecektrbk: bölüm hmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk lz, Eskşehr Osmgz Üverstes,,