Modeller Kuramı (TASLAK)
|
|
- Emine Topbaş
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Modeller Kuramı (TASLAK) David Pierce 23 Mart 2017 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul
2 İçindekiler Önsöz 3 1. Doğal sayılar 3 2. İmzalar ve yapılar İmzalar Yapılar Örnekler İfadeler Terimler Formüller Doğruluk Tanımlanabilirlik İşlemler Bağıntılar Göndermeler Homomorfizimler Gömmeler İzomorfizimler Kaynaklar 25 A. Yunan Harfleri 28 B. Alman Harfleri 29
3 Önsöz Bildiğim ve kullandığım modeller kuramı kitapları ilk yayım tarihlerine göre aşağıda sıralanmıştır Robinson Complete Theories [13] 1963 Robinson Introduction to Model Theory and to the Metamathematics of Algebra [12] 1965 Robinson Non-standard Analysis [14] 1967 Shoenfield Mathematical Logic [16] 1969 Bell & Slomson Models and Ultraproducts: An Introduction [1] 1973 Chang & Keisler Model Theory [2] 1985 Poizat Cours de théorie des modèles [11, 10] 1993 Hodges Model Theory [6] 1995 Rothmaler Introduction to Model Theory [15] 2002 Marker Model Theory: An introduction [8] 2003 Marcja & Toffalori A Guide to Classical and Modern Model Theory [7] 2012 Tent & Ziegler A Course in Model Theory [19] Türkçe ifadelerde yardım ettiği için Ayşe Berkman a teşekkür ederim. Ali Nesin in Analiz IV kitabını da [9] matematiksel Türkçe örneği olarak kullandım. Bazı terimler, Grünberg ile Onart [4] ve Demirtaş [3] tarafından yazılmış kitaplardan alınmıştır. 1. Doğal sayılar Çoğunlukla sıralı bir n-li (a 1,...,a n ) olarak yazılır, ama bu metinde (a 0,...,a n 1 ) tercih ediliyor. Tanıma göre ω, öyle ξ kümelerinin en küçüğüdür ki 1) ξ, ve 3
4 2) her α kümesi için α ξ ise α {α} ξ. O zaman ω, doğal sayılar kümesidir. Özel olarak 0 =, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, ve genelde n ω ise n = {0,...,n 1}. Her A kümesi için A n kuvveti, elemanları n den A ya giden göndermeler olan kümedir. Bu şekilde A n kuvvetinin aynı elemanı, a, (a 0,...,a n 1 ), (a i : i < n), i a i biçimlerinde yazılabilir. Özel olarak A 0 = { } = {0} = 1. ω {0} kümesi, N sayma sayıları kümesidir. 2. İmzalar ve yapılar 2.1. İmzalar R gerçel sayılar sıralanmış cisminin imzası, {+,0,,,1,<} kümesidir. Burada 0 ve 1, değişmezdir; + ve, 2-konumlu işlem simgeleridir;, 1-konumlu işlem simgesidir; <, 2-konumlu yüklemdir. 4 Modeller Kuramı
5 Genelde bir imzanın her elemanı, 1) ya değişmezdir, 2) ya da bir n sayma sayısı için a) ya n-konumlu bir işlem simgesidir, b) ya da n-konumlu bir yüklemdir. Bu metinde I her zaman bir imza olacak Yapılar R gerçel sayılar sıralanmış cismi bir yapıdır. İmzası I olan bir yapı, öyle bir (A,S S A ) sıralı ikilisidir ki 1) A bir kümedir, ve 2) S S A, tanım kümesi I olan bir göndermedir, ve a) I nin her d değişmezi için d A A; b) I nin her n-konumlu F işlem simgesi için F A : A n A, yani F A, A da n-konumlu bir işlemdir; c) I nin her n-konumlu R yüklemi için R A A n, yani R A, A da n-konumlu bir bağıntıdır. (A,S S A ) yapısı, sadece A olarak yazılabilir. Bu yapının evreni, A dır. I nin her S elemanı için S A, S nin A daki yorumudur. İmzası I olan yapılar sınıfını oluşturur. Yap( I) 5
6 Eğer I = {S 0,S 1,...} ise A, (A,S A 0,S A 1,...) olarak yazılabilir. Eğer farklı bir yapı A nın evrenini kullanmazsa A, (A,S 0,S 1,...) olarak yazılabilir. Normalde bir B yapısının evreni B, ve saire (sayfa 29 a bakın); ama tutarlı olmak zor veya imkânsızdır. Örnek 1. Gerçel sayılar kümesi R ise, o zaman gerçel sayılar sıralanmış cismi (R,+ R,0 R, R, R,1 R,< R ); ama normalde R ifadesi hem küme hem de sıralanmış cisim için kullanılır Örnekler 1. Aşağıdaki yapı örnekleri matematikte sık sık kullanılıyor. a) (C, +, 0,,, 1) karmaşık sayılar cismi. b) p asal olmak üzere p-elemanlı (F p,+,0,,,1) cismi. c) (Q, +, 0,,, 1, <) kesirli sayılar sıralanmış cismi. d) Bir (G,,e, 1 ) grubu. e) (Q,+,0, ) abelyan grubu. f) (Z, +, 0, ) tamsayılar abelyan grubu. g) (Z, +, 0,,, 1) tamsayılar değişmeli halkası. h) (Q,<) kesirli sayılar doğrusal sırası. i) (ω,<) doğal sayılar doğrusal sırası. j) (N, ) parçalı sırası. 2. Bir (K,+,0,,,1) cismi verilirse Mat 2 2 (K) = {[ x 0 0 x 0 1 x 1 0 x 1 1 ] : x i j K }, I = [ ] olmak üzere(mat 2 2 (K),+,0,,,I) değişmeli olmayan matrisler halkası elde edilebilir. 3. Bir Ω kümesinin altkümeleri P(Ω) 6 Modeller Kuramı
7 kuvvet kümesini oluşturur, ve bu kümeden a) (P(Ω), ) parçalı sırası, b) (P(Ω),,,,Ω, ) Boole cebiri elde edilir. 4. Herhangi küme, imzası boş olan bir yapıdır. 5. Eğer E, bir A kümesinde bir denklik bağıntısı ise, o zaman (A,E) sıralı ikilisi bir yapıdır. Bu durumda b A ise b nin {x A: x E b} denklik sınıfı [b] olarak yazılabilir. O zaman tanıma göre A/E = {[x]: x A}. 6. n N ise n modülüne göre kalandaşlık, Z de bir denklik bağıntısıdır. Bu durumda Z n = {[x]: x Z} ise (Z n,+,0,, ) değişmeli halkası elde edilir. 7. Eğer K bir cisim ise, o zaman K üzerinde vektör uzaylarının imzası {+,0, } {F a : a K} olarak alınabilir. Şimdi V, K üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer u V ise, o zaman tanıma göre F a V (u) = a u. Her n sayma sayısı için V nin imzasına yeni n-konumlu bir n yüklemi eklenebilir, ve bu simgenin V deki yorumu, n-konumlu doğrusal bağımlılık olabilir. Bu şekilde (u 0,...,u n 1 ) n V ancak ve ancak K nin, biri 0 olmayan bazı a i elemanları için F a0 V (u 0 )+ +F an 1 V (u n 1 ) = 0. O zaman (V, 1, 2, 3,...) yapısı incelenebilir. 7
8 8. Tekrar K bir cisim olsun, ve n N olsun. O zaman K n+1 kuvveti, bir V iç çarpım uzayı olarak anlaşılabilir. V nin her a 0 a n a elemanı. sütun vektörü olarak alınsın. Eğer V n kuvvetinin (a j : j < n) elemanı verilirse, i n olmak üzere a 0 0 a 0 n 1.. A i = â i 0 â i n 1.. a n 0 a n n 1 olsun. Yani n (n 1) lik (a 0 a n 1 ) matrisinin i ninci satırı silinirse kare A i matrisi elde edilsin. Şimdi X(a j : j < n) = det(a 0 ). ( 1) j det(a j ). ( 1) n 1 det(a n ) olsun. Bu şekilde V nin her u elemanı için u X(a j : j < n) = det [ u a 0 a n 1 ]. Burada X, V de n-konumlu işlemdir. Eğer n = 2 ise X(a, b), normal a b çapraz çarpımıdır [18]. 8 Modeller Kuramı
9 3. İfadeler 3.1. Terimler Her n doğal sayısı için x n simgesi değişken olarak anlaşılsın. Bunların yerine x, y, z falan kullanılabilir. Şimdi, her imzada, özyinelemeyle, terimler tanımlar: 1) Her değişken, bir terimdir. 2) her değişmez bir terimdir; 3) her m sayma sayısı için, her m-konumlu F işlem simgesi için, tüm t 0,..., t m 1 terimleri için, Ft 0 t n 1 ifadesi de terimdir. Normalde n = 2 durumunda Ft 0 t 1 ifadesinin yerine (t 0 F t 1 ) kullanılır. Terimlerin tanımı özyinelemeli olduğundan tümevarımlı kanıtlar mümkündür: Bir imzada, bir A kümesi 1) her değişken içerirse, 2) her değişmez içerirse, 3) her m sayma sayısı için, her m-konumlu F işlem simgesi için, A nın zaten t 0,..., t m 1 terimlerini içerdiği Ft 0 t m 1 terimini içerirse, o zaman A, her terimi içerir. Hiçbir değişkenin gözükmediği terim sabittir. Sabit terimlerin tanımı da özyinelemeli biçimde konulabilir: Teorem 1. Bir imzada, bir A kümesi 1) her değişmez içersin; 9
10 2) her m sayma sayısı için, her m-konumlu F işlem simgesi için, A nın zaten t 0,..., t m 1 terimlerini içerdiği Ft 0 t m 1 terimi içersin. O zaman A, her sabit terim içerir. Kanıt. İmzanın sabit olmayan terimleriyle A nın elemanları, B kümesini oluştursun. Kısaca B = A {sabit olmayan terimler}. 1. Her değişken, sabit olmadığından B dedir. 2. Her değişmez, sabit olduğundan A dadır, dolayısıyla B dedir. 3. m N ve F, m-konumlu bir işlem simgesi olsun, ve t 0,..., t m 1 terimleri B de olsun. Bu terimlerin her biri ya sabit değildir ya da A dadır. Biri sabit değilse Ft 0 t m 1 terimi de sabit değildir, dolayısıyla bu terim B dedir. Eğer t 0,..., t m 1 terimlerinin her biri A da ise, o zaman varsayıma göre Ft 0 t m 1 terimi de A dadır, dolayısıyla bu terim B dedir. Tümevarımdan B her terim içerir. Özel olarak A, her sabit terim içerir. Eğer t, I nin sabit bir terimiyse, ve A Yap( I) ise, t nin A daki t A yorumunu tanımlamak isteriz. Eğer t bir değişmez ise, o zaman t A zaten tanımlandı. Genel tanım özyinelemeli olacak, ama yapabilmemiz için bir teorem gerekir. Teorem 2. Eğer t 0,..., t m 1, u 0,..., u m 1 terim ise, ve Ft 0 t m 1 ve Fu 0 u m 1 terimleri birbiriyle aynı ise, o zaman m nin her k elemanı için t k ve u k aynıdır. Kanıt. Tümevarımla her terim için hem sonuna yeni simgeler ekleyerek, hem de sonundan simgeler kaldırarak yeni bir terim elde etmeyeceğiz. Bunu göstermek yeter Modeller Kuramı
11 Şimdi t A yorumuna özyinelemeli bir tanım verilebilir: 1. t değişmez ise dediğimiz gibi t A zaten tanımlandı. 2. Eğert,Ft 0 t m 1 biçimindeyse vet k A yorumları tanımlanırsa (Ft 0 t n 1 ) A = F A (t 0 A,...,t n 1 A ). Her durumda t A A. (Bunun kanıtı tümevarımla verilebilir.) Örnek 2. Her durumda t k F p = 1 ise 3.2. Formüller ( (t 0 +t 1 )+ +t p 1 ) Fp = 0. Değişkenler ve değişmezler, bölünemez terimlerdir, ama normalde bu şekilde konuşmuyoruz. Yine de bölünemez formüllerin iki çeşiti vardır: 1. Eğer t ve u terim ise, o zaman t = u denklemi bölünemez bir formüldür. 2. Eğer R, m-konumlu yüklem ise, ve t 0,..., t m 1 terim ise, o zaman Rt 0 t m 1 ifadesi bölünemez bir formüldür. Bu tanım, özyinelemeli değildir. Ama formüllerin tanımı, özyinelemelidir: 1) (Tabii ki) her bölünemez formül, bir formüldür. 2) ϕ ve ψ formül ise (ϕ ψ) de formüldür. 11
12 3) ϕ formül ise ϕ de formüldür. 4) ϕ formül ve x değişken ise x ϕ de formüldür. Formüller için Teorem 2 gibi bir teorem doğrudur, dolayısıyla formüller kümesinde aşağıdaki gibi özyinelemeli tanımlar yapılabilir: 1) ϕ bölünemez ise sd(ϕ), ϕ de gözüken değişkenlerin oluşturduğu kümedir. 2) sd(ϕ ψ) = sd(ϕ) sd(ψ). 3) sd( ϕ) = sd(ϕ). 4) sd( x ϕ) = sd(ϕ) {x}. sd(ϕ) kümesinin elemanları, ϕ nin serbest değişkenleridir Doğruluk Hiç serbest değişkeni olmayan bir formül, bir cümledir. I imzasının her cümlesi, imzası I olan her yapında ya yanlıştır ya da doğrudur. Bu koşulların tanımlanması için daha fazla kavramlar gerekiyor. Her α bölünemez formülünde, bir x değişkeninin her geçişinin yerine bir t terimi konulursa (α x t) 12 Modeller Kuramı
13 formül elde edilir. Ayrıca y x ten farklı bir değişken olmak üzere ((ϕ x t) (ψ x t)) formülüdür ((ϕ ψ) x t), (ϕ x t ) formülüdür ( ϕx t ), x ϕ formülüdür ( x ϕ x t ), y (ϕ x t) formülüdür ( y ϕ x t). J, I imzasını kapsayan bir imza olsun, ve A Yap( I), B Yap(J) olsun. Eğer A ve B nin evrenleri aynı (yani A = B) ise, ve I nin her S elemanı S A = S B ise, o zaman B, A nın J ye bir açılımıdır. Eğer A Yap( I) ve X A ise, o zaman X in her a elemanı, yeni bir değişmez olarak anlaşılabilir. Bu değişmezler I ye eklenirse I(X) imzası elde edilsin. O zaman A nın I(X) e A X açılımı vardır, ve burada, X in her a elemanının yorumu kendisidir: a A X = a. Eğer bir σ cümlesi A da doğru ise A σ ifadesini yazarız. Tanımı şimdi verebiliriz. 1) t A = u A ise A t = u. 2) (t 0 A,...,t n 1 A ) R A ise A Rt 0 t n 1. 3) A σ ve A τ ise A (σ τ). 13
14 4) A σ değilse A σ. 5) A nın bir a elemanı için A {a} ϕ x a Eğer σ A da doğru değilse yanlıştır. Bazı kısaltmalardan faydalanabiliriz: ise A x ϕ. t u demek t = u, (ϕ ψ) demek ( ϕ ψ), (ϕ ψ) demek ( ϕ ψ), (ϕ ψ) demek ((ϕ ψ) (ψ ϕ)), x ϕ demek x ϕ. Bazı ayraçlar atlanabilir. Örneğin (ϕ ψ θ) demek (ϕ (ψ θ)), (ϕ ψ θ) demek (ϕ (ψ θ)), (ϕ ψ θ) demek ((ϕ ψ) θ). Örnek x y (x 0 xy = 1) cümlesi her cisimde doğrudur ama (Z, +, 0,,, 1) halkasında yanlıştır. 2. x y (y 2 = x y 2 = x) cümlesi (R,+,0,,,1) cisminde doğrudur ama (Q, +, 0,,, 1) cisminde yanlıştır. 3. x y z (x < y x < z z < y) cümlesi (Q,<) sırasında doğrudur ama (Z,<) sırasında yanlıştır. 4. x y z xyz = z cümlesi (Q, ) yapısında doğrudur ama (Z, ) yapısında yanlıştır. 14 Modeller Kuramı
15 4. Tanımlanabilirlik 4.1. İşlemler I imzasından gelen, değişkenleri {x i : i < n} kümesinden gelen terimler Tm n ( I) kümesini oluştursun. Böyle terimlere n-konumlu denebilir, fakat bu durumda her n-konumlu terim (n+1)-konumlu dadır: Tm 0 ( I) Tm 1 ( I) Tm 2 ( I) Eğer t Tm n ( I), A Yap( I), ve a A n ise, i < n olmak üzere her x i değişkeninin t deki her geçişinin yerine a i konulduğu terim t( a) olarak yazılsın. Özyinelemeli bir tanım verilebilir: 1. i < n ise x i ( a), a i olur. 2. d değişmezse d( a), d olur. 3. m nin her k elemanı t k ( a), u k ise ve F, m-konumlu yüklem ise Ft 0 t m 1 ( a), Fu 0 u m 1 olur. Şimdi t A, A kümesinin n-konumlu a t( a) A işlemi olsun. Kısaca Özel olarak t A ( a) = t( a) A. (1) x i A ( a) = a i, d A ( a) = d A, (Ft 0 t m 1 ) A ( a) = F A (t 0 A ( a),...,t m 1 A ( a)). (2) 15
16 Genelde X A ise {t A : t Tm n ( I(X))} kümesinin elemanları, A nın X üzerinde n-konumlu tanımlanabilir işlemleridir. Örnek 4. 1) bir (G,,e, 1 ) grubunda a G olmak üzere x a 1 xa işlemi tanımlanabilir; 2) bir (K,+,0,,,1) cisminde a i K olmak üzere x n a i x i i=0 polinom işlemi tanımlanabilir Bağıntılar I imzasından gelen, serbest değişkenleri {x i : i < n} kümesinden gelen formüller Fm n ( I) kümesini oluştursun. Böyle formüllere n-konumlu denebilir, fakat bu durumda her n-konumlu formül (n + 1)-konumlu dadır: Fm 0 ( I) Fm 1 ( I) Fm 2 ( I) Eğer ϕ Fm n ( I), A Yap( I), ve a A n ise (( (ϕ x 0 a 0 ) ) x n 1 a n 1 ) ifadesinin yerine ϕ( a) 16 Modeller Kuramı
17 (Rt 0 t m 1 ) A = { a A n : (t 0 A ( a),...,t m 1 A ( a)) R A }. (5) yazalım. O zaman olsun. Bu şekilde Özel olarak t Tm n ( I) ise ϕ A = { a A n : A ϕ( a)} a ϕ A A ϕ( a). (3) (t = x n ) A = {( a,b) A n+1 : t A ( a) = b A }. Eğer t i Tm n ( I) ise (t 0 = t 1 ) A = { a A n : t 0 A ( a) = t 1 A ( a)}, (4) ve R m-konumlu yüklem ise Ayrıca ve ψ Fm n ( I) ise (x 0 = x 0 x n 1 = x n 1 ) A = A n, (6) ϕ A = A n ϕ A, (7) (ϕ ψ) A = ϕ A ψ A, (ϕ ψ) A = ϕ A ψ A. Şimdi π, A n+1 kuvvetinden A n kuvvetine giden (a 0,...,a n ) (a 0,...,a n 1 ) 17
18 göndermesi olsun. X A n+1 ise π[x] (yani {π( a): a X}), X in izdüşümüdür. Eğer θ Fm n+1 ( I) ise x n θ A, θ A nın izdüşümüdür: x n θ A = π [ θ A]. Şimdi X A olmak üzere Tan n X(A) = {ϕ A : ϕ Fm n ( I(X))} olsun. Bu kümenin elemanları, A nın X üzerinde n-konumlu tanımlanabilir bağıntılarıdır. Kısaca X üzerinde tanımlanabilir bir bağıntı, X-tanımlanabilirdir. Tan n X(A), P(A n ) Boole cebirinin altcebiridir, yani,, ve işlemleri altında kapalıdır, ve boş kümeyi ve A n kuvvetinin tümümü iȩrir. Normalde (x 0,x 1,x 2 ) değişken listesinin yerine (x,y,z) kullanılır. Örnek (G,,e, 1 ) bir grup ise{(a,a 1 ): a G} bağıntısı,(g,,e) yapısında xy = e formülü tarafından tanımlanır. Özel olarak bu formül ve y = x 1 formülü, aynı bağıntısını tanımlar. Ayrıca(G, ) yapısında {e} kümesi, y (xy = y yx = y) tarafından tanımlanır. Aslında y xy = y, y xy = y 18 Modeller Kuramı
19 formüllerinden her biri kullanılabilir. Sonuç olarak (G, ) yapısında {(a,a 1 ): a G} bağıntısı, z xyz = xz formülü tarafından tanımlanır. Bu nedenle (G, ) yapısına da grup denebilir. 2. Benzer şekilde (K,+,0,,,1) bir cisim ise (K,+, ) yapısında {(a, a): a K},{0}, ve{1} bağıntıları -tanımlanabilir. 3. (R,+, ) cisminde {(x,y): x y} sıralaması, z x+zz = y tarafından tanımlanır. 4. Bir grubun merkezi y xy = yx tarafından tanımlanır. Şimdi bölünemez formül tarafından tanımlanan bağıntılara temel densin. O zaman n ω Tann A (A) birleşiminin her elemanı, kesişimler, tümleyenler, ve izdüşümler alınarak temel tanımlanabilir bağıntılardan elde edilibilir. Bir formülde x ifadesi (ve x ifadesinin x kısaltması) bir niceleyicidir. Şimdi Fm n 0( I) = {ϕ Fm n ( I): ϕ niceleyicisiz} olsun. Bu kümeye özyinelemeli bir tanım verilebilir, yani Teorem 1 gibi bir teorem vardır: Teorem 3. Bir A kümesi için, 1. a) {t,u} Tm n ( I) ise t = u A olsun; b) R, I nin m-konumlu bir yüklem ise, ve {t 0,...,t m 1 } Tm n ( I) ise, o zaman Rt 0 t m 1 A olsun; 2. ϕ A ise ϕ A olsun; 19
20 3. {ϕ,ψ} A ise (ϕ ψ) A olsun. O zaman Fm n 0 A. O zaman {ϕ A : ϕ Fm n 0( I(X))} kümesi, P(A n ) Boole cebirinin, tüm temel tanımlanabilir bağıntıları içeren altcebirlerinin en küçüğüdür. Tan 1 A (A) kümesinin elemanları, A nın tanımlanabilir kümeleridir. A nın her sonlu {a 0,...,a n 1 } altkümesi x = a 0 x = a n 1 formülü tarafından tanımlanır. O zaman tümleyeni sonlu olan kümeler de tanımlanabilir. 5. Göndermeler Bu bölümde bir I imzasında A ve B, imzası olacaklar, ve h: A B. Eğer a A n ise anlaşılabilir. O zaman X A n ise I olan yapı h( a) = (h(a 0 ),...,h(a n 1 )) (8) h[x] = {h( a): a X} Homomorfizimler Eğer I nin her 1) d değişmezi için h(d A ) = d B, 20 Modeller Kuramı
21 2) F işlem simgesi için 3) R yüklemi için h F A = F B h, (9) h[r A ] R B (10) ise, o zaman h, A dan B ye giden bir homomorfizim veya benzer yapı dönüşümüdür. Bu durumda ifadesini yazalım. h: A B Örnek x [x]: (Z,+, ) (Z n,+, ). 2. x x: (N, ) (N, ). 3. (x,y) mx+ny: (Z m Z n,+) (Z mn,+). Teorem 4. h: A B ve t, I nin bir terimi ise h t A = t B h. (11) Kanıt. Tümevarım kullanacağız. 1. h(x i A ( a)) = h(a i ) = x i B (h( a)). 2. d değişmeziyse h(d A ( a)) = h(d A ) = d B = d B (h( a)). 3. Bir m için F, m-konumlu bir yüklem ise, ve t nin t i olduğu durumda (11) iddiası doğru ise h((ft 0 t m 1 ) A ( a)) = h(f A (t 0 A ( a),...,t m 1 A ( a)) [(2)] = F B (h(t 0 A ( a),...,t m 1 A ( a))) [(9)] = F B (h(t 0 A ( a)),...,h(t m 1 A ( a))) [(8)] = F B (t 0 B (h( a)),...,t m 1 B (h( a))) [hipotez] = (Ft 0 t m 1 ) B (h( a)). [(2)] 21
22 Tümevarımla her t için iddia doğrudur. Teorem 5. h: A B ve ϕ, I in bölünemez bir formülü ise h[ϕ A ] ϕ B. Kanıt. ϕ nin iki durumu vardır. a (t 0 = t 1 ) A = t 0 ( a) A = t 1 ( a) A, [(4)] = h(t 0 ( a) A ) = h(t 1 ( a) A ) = h(t 0 A ( a)) = h(t 1 A ( a)) [(1)] = t 0 B (h( a)) = t 1 B (h( a)) [Teorem 4] = t 0 (h( a)) B = t 1 (h( a)) B [(1)] = h( a) (t 0 = t 1 ) B, [(4)] a (Rt 0 t m 1 ) A = (t 0 A ( a),...,t m 1 A ( a)) R A [(5)] = h(t 0 A ( a),...,t m 1 A ( a)) R B [(10)] = (h(t 0 A ( a)),...,h(t m 1 A ( a))) R B [(8)] = (t 0 B (h( a)),...,t m 1 B (h( a))) R B [Teorem 4] = h( a) (Rt 0 t m 1 ) B. [(5)] Her durumda a ϕ A = h( a) ϕ B Gömmeler h: A B olsun. Eğer 1) h birebir ve 2) I nin her R yüklemi için h[r A ] = R B h[a] 22 Modeller Kuramı
23 ise, o zaman h, A nin B ye bir gömmesidir, ve bu durumda ifadesini yazabiliriz. h: A B Örnek Z n = {[0],...,[n 1]}, ama i n olmak üzere h([i]) = i ise h, (Z n,+) grubunun (Z,+) grubuna bir gömmesi değildir çünkü [1]+[n 1] = [0] ama 1+n 1 = n, ve h([0]) n. 2. [x] [mx]: (Z n,+) (Z mn,+). 3. (Z n,+, ), [x] [mx] tarafından (Z mn,+, ) halkasına gömülmez. 4. Tanıma göre (a,b) E (x,y) ay = bx ise Q + = (Z Z)/E olsun. Bu kümenin her [(a,b)] elemanı, a/b veya a b olarak yazılabilir. O zaman okuldaki gibe toplama ve çarpma Q + kümesinde tanımlanabilir, ve x x 1 : (N,+, ) (Q +,+, ). [ ] x y 5. (x,y) : (R R,+) (Mat 2 2 (R),+). [ y x ] x y 6. x+iy : (C,+, ) (Mat 2 2 (R),+, ). y x Eğer h: A B ve h, x x özdeşlik göndermesiyse A, B nin altyapısıdır, ve bu durumda ifadesini yazarız. A B 23
24 Teorem 6. h: A B ve ϕ, I in niceleyicisiz bir formül ise h[ϕ A ] = ϕ B h[a n ]. (12) Kanıt. Teorem 3 e göre tümevarım kullanacağız. 1. Şimdiki durumda Teorem 5 in adımları tersilenebilir, dolayısıyla ϕ bölünemez ise (12) iddiası doğrudur. 2. İddia ϕ nin ψ olduğu durumda doğru ise a ϕ A a A n ϕ A [(7)] h( a) h[a n ] h[ϕ A ] [h birebir] h( a) h[a n ] (ϕ B h[a n ]) [hipotez] h( a) h[a n ] ϕ B h( a) B n ϕ B h( a) ϕ B. [(7)] 3. İddia ϕ nin ψ veya θ olduğu durumda doğru ise a (ψ θ) A a ψ A θ A [] h( a) h[ψ A ] h[θ A ] [] h( a) ψ B θ B [] h( a) (ψ θ) B. Sonuç olarak iddia her niceleyicisiz ϕ için doğrudur İzomorfizimler Eğer h: A B ve h[a] = B ise, o zaman h 1 de bir gömmedir, ve h bir eşyapı dönüşümü veya izomorfizimdir. Bu durumda h : A = B ifadesini yazalım. 24 Modeller Kuramı
25 Örnek ebob(m,n) = 1 ise (x,y) mx+ny: (Z m Z n,+) = (Z mn,+). 2. Çin Kalan Teoremi. ebob(m,n) = 1, an 1 (mod m) ve bm 1 (mod n) ise (x,y) anx+bmy: (Z m Z n,+, ) = (Z mn,+, ). Teorem 7. h: A = B ise I in her ϕ formülü için h[ϕ A ] = ϕ B. Kanıt. ψ Fm n+1 ( I) ve iddia ϕ nin ψ olduğu durumda doğru olsun, ve a A n olsun. O zaman h eşleme olduğundan A nın bir b elemanı için ( a,b) ψ A ancak ve ancak B nin bir c elemanı için (h( a),c) ψ A. Kısaca h[ x n ϕ A ] = x n ϕ B. Kanıtın kalanı, Teorem 6 nın kanıtı gibidir. Kaynaklar [1] J. L. Bell and A. B. Slomson. Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, Reissued by Dover, [2] C. C. Chang and H. J. Keisler. Model theory. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, third edition, First edition [3] Abdurrahman Demirtaş. Matematik Sözlüğü. Bilim Teknik Kültür Yayınları, Ankara,
26 [4] Teo Grünberg and Adnan Onart. Mantık Terimleri Sözlüğü. Türk Dil Kurumu Yayınları, Ankara, [5] Roe-Merrill S. Heffner. Brief German Grammar. D. C. Heath and Company, Boston, [6] Wilfrid Hodges. Model theory, volume 42 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, [7] Annalisa Marcja and Carlo Toffalori. A guide to classical and modern model theory, volume 19 of Trends in Logic Studia Logica Library. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, [8] David Marker. Model theory: an introduction, volume 217 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, [9] Ali Nesin. Analiz IV. Nesin Yayıncılık, İstanbul, [10] Bruno Poizat. Cours de théorie des modèles. Bruno Poizat, Lyon, Une introduction à la logique mathématique contemporaine. [An introduction to contemporary mathematical logic]. [11] Bruno Poizat. A course in model theory. Universitext. Springer-Verlag, New York, An introduction to contemporary mathematical logic, Translated from the French by Moses Klein and revised by the author. [12] Abraham Robinson. Introduction to model theory and to the metamathematics of algebra. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, [13] Abraham Robinson. Complete theories. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, second edition, With a preface by H. J. Keisler, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, first published Modeller Kuramı
27 [14] Abraham Robinson. Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, Reprint of the second (1974) edition. With a foreword by Wilhelmus A. J. Luxemburg. First edition [15] Philipp Rothmaler. Introduction to Model Theory, volume 15 of Algebra, Logic and Applications. Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, Originally published in German in [16] Joseph R. Shoenfield. Mathematical logic. Association for Symbolic Logic, Urbana, IL, reprint of the 1973 second printing. [17] Herbert Weir Smyth. Greek Grammar. Harvard University Press, Cambridge, Massachussets, Revised by Gordon M. Messing, Eleventh Printing. Original edition, [18] Michael Spivak. Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, [19] Katrin Tent and Martin Ziegler. A Course in Model Theory, volume 40 of Lecture Notes in Logic. Association for Symbolic Logic, La Jolla, CA,
28 A. Yunan Harfleri büyük minüskül çeviri ad Α α a alpha Β β b bêta Γ γ g gamma Δ δ d delta Ε ε e epsilon (basit e) Ζ ζ z zêta Η η ê êta Θ θ th thêta Ι ι i iôta Κ κ k kappa Λ λ l lambda Μ μ m mü Ν ν n nü Ξ ξ x, ks xi Ο ο o omikron (küçük o) Π π p pi Ρ ρ r rhô Σ σ,ς s sigma Τ τ t taü Υ υ y, ü üpsilon (basit ü) Φ φ ph, f phi Χ χ kh, ch khi Ψ ψ ps psi Ω ω ô ômega (büyük ô) Epsilon ve üpsilon basittir çünkü Orta Çağ daαι veοι birleşimlerinin telaffuzları aynıymış [17]. 28 Modeller Kuramı
29 B. Alman Harfleri Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Jj Kk Ll Mm Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz Aşağıdaki yazılı biçimleri Heffner in [5] kitabından alınır: 29
Modeller Kuramına Giriş
Modeller Kuramına Giriş David Pierce 15 Şubat 2012 Redaksiyon yapılmış 9 Şubat 2015 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
DetaylıSayılar Kuramına Giriş Özet
Eğer bir b noktası bir a noktasının sağındaysa, o zaman a, b den küçük ve b, a dan büyük olarak sayılır, ve Sayılar Kuramına Giriş Özet David Pierce a < b, b > a yazılır. Tanıma göre a a, a < b a b, a
DetaylıÖnermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar
Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
DetaylıSonsuzküçük Analiz. Infinitesimal Analysis. David Pierce
Sonsuzküçük Analiz Infinitesimal Analysis David Pierce 30 Aralık 2018 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ david.pierce@msgsu.edu.tr Önsöz Bu notlar, kalkülüs
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıLeyla Bugay Haziran, 2012
Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
DetaylıKuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir. Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
DetaylıGalois Teorisi. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Galois Teorisi David Pierce 6 Temmuz 2018 Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlar, bir lisans Galois kuramı dersinin asgari içeriği teklifidir. Her kanıtlanmamış teoremi kanıtlamak
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
Detaylı3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar
3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıCEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
Detaylıkavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı
Bölüm 5 Permütasyon Grupları Bu bölümde sonlu bir kümenin permütasyonlarını araştıracağız. Öncelikle permütasyon kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir rup üzerinde tanımlı eşlenik
DetaylıMAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI. ise < A > nedir?
MAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI 1. Pozitif rasyonel sayılar kümesi Q + üzerinde x y = xy 2 işlemi tanımlansın. (Q+, ) bir grup mudur? Gösteriniz. 2. (G, ) bir grup olsun. a G olmak üzere her
DetaylıLecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016
Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıCebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler
DetaylıÖNSÖZ. Kitabın kapak tasarımında katkılarından dolayı A-Ztech Ltd. den Sn Ali ÖGE ye teşekkür ederim.
ÖNSÖZ Katıların mekaniği kendi içinde Katı Cisimlerin Mekaniği (veya kısaca Mekanik) ve Şekil Değiştiren Cisimlerin Mekaniği (veya kısaca Mukavemet) olmak üzere iki alt gruba ayrılmıştır. Bunlardan mekaniğin
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
DetaylıModel Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur
Model Teoriye Giriş Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur 16 Nisan 2012 Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Matematik Bölümü http://mat.msgsu.edu.tr/ Bu notlar, Bruno Poizat nın
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
Detaylı7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016
7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Kümeler Cebiri 5 1 Kümeler Cebiri 1 Doğa olaylarının ya da sosyal olayların açıklanması için,
Detaylı12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.
12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
DetaylıSOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.
SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan
DetaylıFatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.
Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıKümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul
Kümeler kuramı David Pierce 18 Nisan 2013, saat 17:35 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu eser Creative Commons Attribution
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
DetaylıTanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir.
BÖLÜM 3 Karakter Dizgileriil i Tanım 3.1.1 Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki öğelerden oluşan bir sonlu dizidir. Hiç bir öğesi olmayan bir karakter dizgisine boş karakter
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
Detaylı8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar
8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
Detaylı1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B
DetaylıCebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıKümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul
Kümeler kuramı David Pierce 9 Eylül 2014 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu eser Creative Commons Attribution Gayriticari
DetaylıKARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR
KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)
DetaylıSezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar
Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.
DetaylıEgzersizler MATH 111
Egzersizler MATH 111 29 Aralık, 1998 Ali Nesin 1. x ve y iki küme olsun. x = y ancak ve ancak z (x z y z) olduğunu gösterin. 2. Eğer X aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X e ilişkisi tarafından yarısıralı
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıKümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul
Kümeler kuramı David Pierce 8 Şubat 2016 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu eser Creative Commons Attribution Gayriticari
Detaylı12.Konu Rasyonel sayılar
12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
DetaylıDOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1
DetaylıNormal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
Detaylı10. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı VERİ, SAYMA VE OLASILIK SAYMA VE OLASILIK Sıralama ve Seçme
10. SINIF No Konular Kazanım Sayısı VERİ, SAYMA VE OLASILIK Ders Saati Ağırlık (%) 10.1. SAYMA VE OLASILIK 8 38 18 10.1.1. Sıralama ve Seçme 6 26 12 10.1.2. Basit Olayların Olasılıkları 2 12 6 SAYILAR
Detaylı9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016
9. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 19, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz.
DetaylıÖnermeler mantığı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul
Önermeler mantığı David Pierce 1 Aralık 2014 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ dpierce@msgsu.edu.tr Bu notlar Creative Commons Attribution
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri
1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner
Detaylı13. Ders. Mahir Bilen Can. Mayı 25, : α nın eş-kökü
13. Ders Mahir Bilen Can Mayı 25, 2016 1 Kök Sistemlerine Bir Örnek Hatırlayacağımız üzere basit kökler kümesi = {α 1,..., α l } Φ ya karşılık gelen temel baskın kökler olan ω 1,..., ω l leri aşağıdaki
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıMAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =
MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri
DetaylıBÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14
İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
Detaylı11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016
11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıModül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
DetaylıMODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı
MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
DetaylıProf.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr
Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,
DetaylıBÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri
BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıHamel Taban ve Boyut Teoremi
Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Laminanın Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 2 Laminanın Makromekanik
Detaylı15. Bağıntılara Devam:
15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür
DetaylıMatrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir.
MATRIS Matrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir. Matristeki her bir sayıya eleman denir. Yukarıdaki matriste m n tane eleman vardır. Matrisin yatay bir doğru boyunca
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Laminanın Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 2 Laminanın Makromekanik
DetaylıBoole Cebri. (Boolean Algebra)
Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
Detaylı