MEKANİK SİSTEMLERİN KAPALI KONTROLÜNÜN RUNGE-KUTTA YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ

Transkript

1 . ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Miarlık Fakültesi, 4-6 Eylül MEKANİK SİSTEMLERİN KAPALI KONTROLÜNÜN RUNGE-KUTTA YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ Hira Karagülle Dokuz Eylül Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölüü, Bornova 5, İZMİR Levent Malgaca Dokuz Eylül Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölüü, Bornova 5, İZMİR ÖZET Karaşık ekanik sistelerin sonlu elean odelleri bilgisayar progralarıyla kurulabilekte, zaana bağlı girdiler progralara tanılandığında sistelerin cevapları elde edilebilektedir. Progralarda, sayısal yöntelerle cevabın değerleri bulunur. Girdinin değerleri tü zaan aralığı için tanılanır ve cevabın değerleri de tü zaan aralığı için elde edilir. Bu çalışada, bu progralara kontrol yöntelerinin entegrasyonu ele alınır. Cevabın ani değeri, hedefin ani değerinden çıkarılarak elde edilen farka kontrol devresinin gerektirdiği sayısal işleler uygulandıktan sonra ekanik sistee ani girdi elde edilir ve bu ani girdiye bağlı ani cevap Runge-Kutta yönteiyle bulunur. İşle düzgün reji değeri elde edilene kadar seçilen zaan adıı ile deva ettirilir. Yönte, zeinine adı girdi uygulanan yay-kütle sisteine uygulanarak sonuçlar Laplace transforu ile bulunan analitik çözülerle karşılaştırılıştır. Yöntein başarı ile uygulanabileceği gözleniştir. Daha sonra, yöntein üç serbestlik dereceli esnek bir ekanik sistein kapalı kontrolüne uygulanası gösteriliştir. ANALYSIS OF CLOSED LOOP CONTROL SYSTEMS BY RUNGE-KUTTA METHOD ABSTRACT It is possible to odel coplex echanical systes by coputer progras using the finite eleent ethod. The dynaic responses are obtained if the inputs are defined to the progras. The values of responses are found in the prograes by using nuerical ethods. The values of inputs are given for a tie interval with a tie step, and the values of the responses are found for the sae tie interval with the sae tie step. In this work, the integration of the control strategies to these prograes is considered. The instantaneous value of the input is obtained by subtracting the instantaneous value of the output fro the instantaneous value of the reference input, and the new output is found by the Runge-Kutta ethod. The process is continued with the selected tie step until the steady-state value is obtained. The ethod described is applied to a ass-spring syste excited fro its foundation, and the step response is copared with the results obtained by the Laplace transfor ethod. It is observed that the ethod can be used successfully. Then, the ethod is applied to the closed loop control of a three degree of flexible echanic syste. 59

2 Karagülle ve Malgaca. GİRİŞ Hafif ve esnek ekanik sisteler rijit ve ağır ekanik sistelere göre öneli avantajlar sağlaaktadır. Hafif ve esnek ekanik sistelerin en güncel örnekleri robot anipülatörleridir. Bu esnek robotlar daha az enerji tüketirken, daha güvenli olakta ve aynı zaanda da daha hızlı çalışabilektedirler. Esnekliklerine bağlı olarak, artık (residual) titreşilerin fazlalığı ve uç nokta salınıları geniş kullanıını kısıtlaaktadır. Tipik olarak iç veya alzee sönüü yetersiz gelekte, pasif dış sönüleyicilerin eklenesi ise anipülatörlerin dinaik cevaplarını etkileektedir. Tatin edici sonuçlar elde edebilek için aktif titreşi kontrolü gerekir ve ideal olarak bu aktif elean sistedeki kuanda eleanı olabilir. Karaşık olan ve altı çizilesi gereken husus ise anipülatörlerin dinaik cevaplarının tahin edileeesidir, çünkü bir paraetre ile üzerindeki yükler her an için değişekte, anipülatörün uç noktasının konuunu araştırak zor bir hal alabilektedir. Bu tip sistelerin kontrolü için bir çok stratejiler evcuttur. Karolov ve Chan [4] tek serbestlik dereceli bir esnek robot anipülatörü için, sistein doğal frekanslarındaki değişiden etkileneyen bir kontrol algoritası geliştirişlerdir. Abduljabbar ve diğerleri [7] bir robot anipülatörünün esnek odlarını kontrol etek için birkaç kontrol stratejisini geliştiriş ve birbirleriyle kıyaslaıştır. Meckl ve Seering [,] bang bang kontrol fonksiyonu ve sistein rezonans olayından kaçınası için bir kontrol fonksiyonu kullanarak yine bu tip sistelerin açık devre kontrolünü araştırıştır. Aynı zaanda, bir rapa sinüzoid fonksiyonuna dayanan bir kontrol fonksiyonunun perforansını da inceleişlerdir. Bu çalışa bir ipuls serisi ile girdinin düzenlenesini (input shaping) kullanan Singhose ve diğerleri [8] tarafından daha da genişletiliştir. Yaada ve Nakagawa [] tek serbestlik dereceli sistein, doğal frekanslarındaki değişilerden kaynaklanan artık titreşileri azaltan yönte önerirken, Vincent ve diğerleri [5] topaklanış paraetreli sisteler için, iki aşaalı bir kontrol algoritası tasarlaışlardır. Yapılan çalışanın birinci aşaası açık devre hızlı konulandıra aşaası iken, ikinci aşaası kapalı devreden oluşan sönülee aşaasıdır. Jayasuriya ve Choura [6] siste cevabının zaanını küçültürken, artık titreşileri yok eden iniu enerji prensibine dayanan bir açık devre zorlaa fonksiyonu geliştirişlerdir. O Connor ve Lang [9] yaptıkları çalışada, topaklanış çok serbestlik dereceli kütle-yay sisteini, tek serbestlik dereceli robot kolunun bir odeli olarak, tek kuanda eleanı (actuator) ile ekanik dalgaları kullanarak bir konu kontrol algoritası geliştirişlerdir. Son zaanlarda yapılan deneysel ve teorik çalışalarda [-4] ise kontrol stratejilerinde piezoelektrik ve piezoseraik kullanıına dayanan akıllı eleanlar yaygınlaşaktadır. Bu çalışada, dinaik odeli Runge- Kutta yönteiyle çözülebilen esnek bir ekanik sistein kapalı kontrol stratejilerinin Runge-Kutta çözüüne entegrasyonu ele alınıştır. Böylece, sonlu elean odeli kurulan karaşık yapıdaki esnek ekanik sistelerin kapalı kontrolü incelenebilir.

3 . ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Miarlık Fakültesi, 4-6 Eylül. SAYISAL YÖNTEMİN İŞLEYİŞİ. Yay-kütle sisteinde titreşi kontrolü Bu çalışada kullanılan sayısal yöntein işleyişi, analitik çözüü evcut olan Şekil (a) daki esnek ekanik sistein kapalı kontrolüne uygulanarak gösterilecektir. Sistede k yay sabiti, c sönü sabiti, kütledir. z(t) girdi, x(t) cevaptır. periyot T =.5 s dir. Cevap grafiğinin çizilesinde zaan aralığı t=. < (T /) ve düzgün rejie ulaşa zaanı t s =.5 > T /ξ seçiliştir. Örnek düzgün reji cevabının.4 katı kadar aşa değeri (overshoot) evcuttur. Sistein kapalı kontrolünün blok diyagraı Şekil de veriliştir. Şekil. Şekil (a) daki sistein kapalı kontrolünün blok diyagraı.5 (a) G(s), açık sistein transfer fonksiyonu; G k (s), PID ( propotional-integralderivative ) kontrol eleanının transfer fonksiyonudur.burada K p oransal, K i integral ve K d türevsel kontrol katsayılarıdır. Kapalı sistein girdisi z r (t) dir. Kapalı sistein transfer fonksiyonu (b) Şekil. (a) Yay-kütle sistei, (b) adı girdiye cevabı (= kg, c= Ns/, k=78 N/) Sistein ateatik odeli & x + cx& + kx = cz& + kz () olarak bulunur. Sistein adı girdiye cevabı analitik olarak bulunabilir ve örnek bir cevap Şekil (b) de gösteriliştir. Sistein seçilen sabitlere bağlı olarak sönü oranı ξ=.6 ve sönüsüz doğal frekansının belirlediği GG H(s) = () + GG dir. Kapalı sistein adı girdiye cevabı Laplace transforundan yararlanarak analitik olarak bulunabilir. Denkle de verilen ateatik odel duru değişkenleri forunda şu şekilde yazılabilir. x& = v v& = k x c v + k z + c z& () Bu denkleler Runge-Kutta yönteiyle [6] çözülebilir. t= dan başlayarak t aralıkla x(t) nin ve v(t) nin ani değerleri bulunur. Eşitliğin sağ tarafındaki z ve z& nın ani değerleri gereklidir. Kapalı kontrolde; z, (z r -x) in kendisi K p ile, integrali K i ile ve türevi K d ile çarpılarak bulunur. z& ise, (z r -x ) in türevi K p ile, 6

4 Karagülle ve Malgaca kendisi K i ile ve ikinci türevi K d ile çarpılarak bulunur. Adı girdinin yaklaşık odellenesinde z, z&, & z nin ani değerleri Şekil de gösteriliştir. r r r Şekil 4 te Şekil deki kapalı kontrol sisteinin Runge-Kutta yönteiyle ve analitik olarak bulunan adı girdiye cevapları farklı kontrol eleanı katsayıları için veriliştir. Runge-Kutta yönteiyle bulunan sonuçların analitik yöntele bulunan sonuçlarla yaklaşık aynı olduğu gözlenir..8 Nüerik Analitik.6 (a) (a) Nüerik Analitik (b) (c) Şekil. Adı girdi yaklaşık odellenesinde (a) ive, (b) hız ve (c) yer değiştirenin örnekleri İvenin integrali, hız ve hızın integrali konu olduğu dikkate alınarak ve konuun düzgün reji değeri olacak şekilde değerler belirleniştir. x ve x & = v nin ani değerleri Runge-Kutta yönteiyle hesaplanaktadır. && x = v& nın ani değeri ise Denkle (5) te. eşitliğin hesaplanan sağ tarafının ani değeri olarak alınır (b).5.5 (c) Nüerik Analitik Şekil 4. Kapalı kontrol sisteinin adı girdi cevapları, = kg, c= Ns/, k=78 N/, (a) K P =.6, K i =, K d =.; (b) K P =.6, K i =5, K d =.; (c) K P =.6, K i =, K d =. 6

5 . ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Miarlık Fakültesi, 4-6 Eylül. ÇOK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMDE TİTREŞİM KONTROLÜ Yukarıda açıklanan yönte, bu kez Kaynak [9] da ele alınan ve Şekil 5 te gösterilen çok serbestlik dereceli sistee uygulanacaktır. edilen cevap, x (t), Şekil 6 da veriliştir. Cevap, Runge-Kutta yönteiyle bulunuştur. Sistein doğal frekansları. Hz,.44 Hz ve 4.97 Hz olarak bulunabilir. Zaan aralığı en küçük periyodun de biri, Δt = /( x 4.97) =. s ve sistein yaklaşık düzgün rejie ulaşa zaanı en büyük periyodun 5 katı, t s = 5 x /. = 4. s alınıştır. Şekil 5. Çok serbestlik dereceli esnek ekanik siste Sistein ateatik odeli x& x& x& = v & (k + k )/ v& k / v& M & x + Kx = f (4) şeklinde kurulabilir. Burada M kütle atrisi, K direngenlik atrisi, x yer değiştire sütun atrisi, f girdi sütun atrisidir. Denkle (4) nın açık hali aşağıda veriliştir. && x k + k && x + k x && k k + k k x k k x = z k x k / (k + k) / k / k / k / (5) Denkle 5, duru değişkenleri forunda ( x & = Ax + Bu) yazılabilir: x r x x x + z v k / v v (6) Denkle 8 in sayısal inceleesi için = = = kg, k = k = k = N/ alınıştır. z(t), adı girdi alınarak elde + x e Şekil 6. Çok serbestlik dereceli sistein (Şekil 5) adı girdiye cevabı Sistede sönü oladığından, Şekil 6 da görüldüğü gibi uç nokta yaklaşık -.5 ile.5 bandı arasında sonsuza kadar titreşi yapar. Şekil 7 de sistein kapalı kontrolü ele alınıştır. dx K x K x dt K e p e + i e + d dt u = z(t) Şekil 7. Çok serbestlik dereceli sistein (Şekil 5) kapalı kontrolü x& = Ax + Bu x Yukarıda açıklandığı gibi, sistein duru değişkenleri forundaki ateatik odelinin Runge-Kutta yönteiyle çözüüne, PID kontrolü de entegre edilerek Şekil 8 deki sonuç elde ediliştir. ( x + x + x) / 6

6 Karagülle ve Malgaca Şekil 8. Kapalı kontrol sisteinin (Şekil 7) adı girdi cevabı (K p =4, K i =, K d =.) Şekil 8 de kapalı kontrol sisteinin cevabının iniu değeri -.5 ve aksiu değeri.67 olup adı girdi referans değerine.75 hata ile yakınsaaktadır. Şekil 6 daki açık sistein sonsuza kadar titreşii kapalı siste ile kontrol ediliştir. 4. SONUÇ Bu çalışada duru değişkenleri forunda ateatik odeli olan bir sistein kapalı kontrolü Runge-Kutta yönteiyle inceleniştir. Mateatik odelin ilk değerlerden başlayarak Runge-Kutta yönteiyle ani çözüünde ani hata değerlerine PID kontrolünün gerektirdiği düzenlee yapılıştır. Yöntein başarısı analitik çözüü olan problele gösteriliştir. Daha sonra serbestlik dereceli esnek bir ekanik sistein kapalı kontrolüne uygulanıştır. Yönte ateatik odeli sonlu eleanlarla kurulan karaşık şekilli ekanik sistelere veya lineer olayan sistelere de uygulanabilir. 5. KAYNAKLAR. Meckl, P., and Seering, W., 985, "Active Daping in a Three-Axis Robotic Manipulator," ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design. Vol. 7, Jan. pp Meckl, P., and Seering, W., 985, "Miniizing Residual Vibration for Point to-point Motion", ASME Joıırnal of Vibration, Acoııstics, Stress, and Reliability in Design. Vol. 7, Oct., pp Yaada I., and Nakagawa, 985, Reduction of Residual Vibration in Position Control Mechasniss, ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design. Vol. 7, Jan. pp Karolov, V.V., Chen, Y. H., 989, "Controller Design Robust to Frequency Variation in a One-link Flexible Robot Ar", ASME Journal of Dynaic Systes, Measureent, and Control, Vol., Mar., pp Vincent T.L., Joshi S.P., and Yeong Ching Lin, 989, Positioning and Active Daping of Mass Spring Systes, ASME Journal of Dynaic Systes, Measureent, and Control, Vol., Dec., pp Jayasuriya, S., Choura, S., 99, "On the Finite Settling Tie and Residual Vibration Control of Flexible Structures", Journal of Sound and Vibration, Vol. 48, No., pp

7 . ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Miarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 7. Abduljabbar, Z., EIMadany, M. M., and AI-Dokhiel, H. D., 99, "Controller Design of a One-Link Flexible Robot Ar", Coputers and Structures, Vol. 49, No., pp Singhose, W. E., Singer, N. C, and Seering, W. P., 994, "Design and Ipleentation of Tie-Optial Negative Input Shapes", Proceedings of the 994 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Chicago, IL, ASME Dynaic Systes and Control Division DSC 55-, pp Willia O Connor, Donogh Lang, 998, Position Control of Flexible Robot Ars Using Mechanical Waves, ASME Journal of Dynaic Systes, Measureent, and Control, Vol., pp Structures with Piezoelectric Actuators and Sensors, Sart Materials and Structures, Vol., pp Zhang Xianin, Shao Changjian, Arthur, Arthur G. Erdan,, Active Vibration Controller Design and Coparison Study of Flexible Linkage Mechanis Systes, Mechanis and Machine Theory, Vol. 7, pp Malgaca L., Vibration Control of a Flexible Two-Link Manipulator by Trajectory Design, Y.Lisans Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Bilileri Enstitüsü, Haziran, 6. Chapra, S. C., Canale R. P., Nuerical Methods for Engineers with Prograing and Software Applications, 4 th Edition, Singapore,. Young Hun Li, Vasundara V Varadan, Vijay K Varadan, 999, Closed Loop Finite Eleent Modeling of Active Structural Daping in the Tie Doain, Sart Materials and Structures, Vol. 8, pp W J Manning, A R Pluer and M C Levesley,, Vibration Control of a Flexible Bea with Integrated Actuators and Sensors, Sart Materials and Structures, Vol. 9, pp Paolo Gaudenzi, Rolando Carbonaro, Edoardo Benzi,, Control of a Bea Vibrations by Means of Piezoelectric Devices: Theory and Experients, Coposite Structures, Vol. 5, pp I Bruant, G Coffignal, F Lene and M Verge,, Active Control of Bea 65