Bir Kütle-Yay Sisteminde Belirli Bir Doğal Frekansı Değiştirmeksizin Ters Yapısal Değişiklik Yapılması

Transkript

1 Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 Bir Kütle-Yay Sisteinde Belirli Bir Doğal Freansı Değiştiresizin ers Yapısal Değişili Yapılası M. Hüseyinoğlu * O. Çaar Fırat University Fırat University Elazığ Elazığ Özet Mühendislite ialat aşaasından sonra bir ürünün belirli özellileri sağlayabilesi için üzerinde bazı fizisel değişililer yapılası ihtiyacı ortaya çıabiletedir. Bir yapı üzerinde yapılan bu fizisel (ütle, atılı veya sönü) değişililer o yapının dinai özellilerini değiştiretedir. Anca bazı durularda yapılan değişililer sonucunda yapının belirli bir doğal freansının değişeesi istenebilir. Bir yapı üzerine belirli bir ütle elenditen sonra istenilen bir doğal freansın sabit alasını sağlayaca bir yay tasarlanabiletedir. Bu çalışada altı serbestli dereceli bir siste üzerinde belirli bir oordinata ütle elenditen sonra, yapının belirli bir doğal freansını orua aacıyla, siste üzerinde seçilen ii genelleştiriliş oordinat arasına elenesi gereen yayın yay atsayısının belirlenebilesi için Sheran- Morrison forülüne dayalı yapısal değişili teniğinden faydalanılara bir yönte geliştiriliştir. Yöntein geçerliliği sayısal bir uygulaa ile gösterileye çalışılıştır. Anahtar elieler: doğal freans, freans te fonsiyonu, odal analiz, yapısal değişili Abstract In engineering, requireent of soe physical odifications on a product after the anufacturing process ay occur in order to provide the specific properties. he physical (ass, stiffness or dang) odifications on a structure change dynaic properties of the structure. However in the soe cases it can be desired that a specified natural frequency of the structure is not altered after odifications. A spring can be designed without a specified natural frequency after the adding a specific ass on a structure. In this study, after adding a nown ass at a specified coordinate on a six degree of freedo ass-spring syste to design a spring which is needed to preserve a specified natural frequency by adding two generalized coordinates, a ethod is developed aing use of the structural odification technique based on Sheran-Morrison forula. he validity of the developed ethod is deonstrated by a nuerical alication. Keywords: frequency response function, odal analysis, natural frequency, structural odification * huseyinoglu@firat.edu.tr caaro@firat.edu.tr I. Giriş Yapısal değişili pratite arşılaşılan çeşitli titreşi problelerinin çözüü için ullanılan etili bir araçtır. Bu değişililer ürün üzerinde e geliştire yapılasının yanı sıra çoğu zaan tasarı aşaasında titreşi ve gürültü problelerinin diate alınaası nedeniyle yapılatadır. Yapılan değişililer sonucunda ilgilenilen yapının istenilen dinai özellileri sağlaası aaçlanatadır. Yapılaca bu değişililer genel olara o yapının ütle, atılı veya sönü gibi fizisel özellilerinin değişiiyle olatadır. Aynı zaanda bir yapının ütle, atılı ve sönü paraetreleri o yapının doğal freansları ve titreşi biçileri gibi dinai özellilerini belirleetedir. eel olara yapısal dinai değişili evcut bir yapıya ütle, yay veya sönü gibi eleanların elenesi veya çıarılası işlei olara tanılanabilir. Kütleler yapı üzerinde evcut bir oordinata doğrudan elenebildiği gibi bir yay vasıtası ile de elenebilir. İinci duruda yapıya e serbestli derecesi getiriliş olur. Yaylar ise evcut genelleştiriliş ii oordinat arasına veya bir oordinat ile yer arasına bağlanabilirler [-]. Yapısal değişili genellile ii farlı şeilde yapılatadır. Bunlardan birincisi evcut yapı üzerinde yapılan fizisel değişililerin o yapının dinai özellilerini nasıl etileyeceğini belirlee için ullanılan düz yapısal değişilitir. Diğeri ise ialatı yapılış bir ürünün istenilen dinai özellileri sağlayabilesi için ürün üzerinde yapılası gereli olan değişililerin belirlenesi için ullanılan ters yapısal değişilitir. ers ve düz yapısal değişililer için geliştirilen yöntelerde sonlu eleanlar (SE) çözüünden veya deneysel odal analizden [3-6] elde edilen odal özelliler ullanılatadır. Doğrudan freans te fonsiyonları (FF) ullanılara da yapısal değişili yapılabiletedir [7-8]. Çoğu zaan incelenen yapıların sonlu eleanlar odellerinin evcut olayışı veya oluşturulasındai zorlular gibi nedenlerle deneysel verileri ullanara yapılan yapısal değişili tercih ediletedir. Ölçülen FF ler yapısal değişiliğin yanı sıra odel doğrulaa ve güncellee, genel titreşi ve gürültü problelerinin çözüü, siste tanılaa ve dış uvvetlerin belirlenesi gibi birço aaçla ullanılatadırlar [9]. Yapısal değişili daha ço rezonans olgusundan açına için ullanılır. suei ve Yee [0], sönüsüz bir

2 Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 eani sistein belirli bir doğal freansının istenilen bir değere ayası için bir yönte sunuşlardır. Bir başa çalışada Bucher ve Braun [5], odal özellilerin esiliğini de diate alara istenilen doğal freansları ve öz vetörleri elde ete aacıyla gereli ütle ve yay değişililerinin hesabı için lasi odal analiz teorisine dayalı bir yönte sunuşlardır. Ra [] yapıya ütleyay sisteleri eleyere spetral bir bantta yapının doğal freanslarını belirleyece bir strateji geliştirdi. Sivan ve Ra [] ise yapısal değişilite sınırlı odal özelli etisini bir optiizasyon problei ile çözeye çalışışlardır. Diğer taraftan McMillan ve Keane [3], bir pla üzerine elenen notasal ütlelerin onularını değiştirere, bu duruun yapının dinai özellileri üzerine olan etisini araştırışlardır. Diğer bir araştırada McMillan ve Keane [4], didörtgen bir pla üzerine sıralı bir şeilde elenen ütleler ile titreşi yalıtıı üzerine bir çalışa yapışlardır. Yapılan çalışada en iyi titreşi yalıtıı için elenen ütlelerin onularını Geneti Algorita ile optiize etişlerdir. Par ve Par [5], evcut bir yapının istenilen dinai özellileri sağlaası aacıyla FF bağlaa teniğine dayalı bir yönte ullanışlardır. Çalışadai gereli yapısal değişililer cebirsel denle taıının çözüüyle elde ediliştir. Meani sistelerde rezonans adar ters-rezonanslar da öneli olatadır. ü FF lerde rezonans freansları aynı olala beraber ters-rezonans freansları her FF de farlı olabiletedir. Bir yapıda ölçülen FF diate alındığında bu yapı, ilgili tahri oordinatında, ters-rezonans freanslarında haroni bir uvvetle tahri edildiğinde yapının cevap oordinatındai titreşi genliği sıfır olur []. Mottershead ve Lalleent [6], bir doğal freansı yanındai ters rezonansa ötelee suretiyle ilgili notada bir düğü notası oluşturara rezonans probleinin giderilebileceğini gösterişlerdir. ers yapısal değişiliğin özel bir uygulaa alanı ise yapısal değişililerden sonra evcut yapının belirli bir doğal freansının değişeden alasıdır. asarı ve ialat aşaasından sonra bir yapı üzerinde bazı iyileştirelerin gereliliğinden aynalanan değişililer, belirli sayıda ütlelerin yapı üzerinde çeşitli oordinatlara elenesi veya çıarılası ile yapılatadır. Yapı üzerine ütle elenditen sonra değişili yapılış yapının bir doğal freansı haroni uvvet freansı ile çaışabilete ve bu duruda yapının rezonansa giresine neden olatadır. itreşi teorisinden de bilindiği gibi bir sistee ütle elendiğinde doğal freanslar düşe eğilii gösteriren yay elendiğinde bu değerler arta eğiliindedirler [7]. Bu özelliten faydalanılara sistee ütle elenditen sonra belirli bir doğal freansın değişeden alası isteniyorsa ii genelleştiriliş oordinat arasına yay elee suretiyle bunu gerçeleştire üün olabilir. Burada esas proble genelleştiriliş oordinatlar arasına yerleştirilece yayın özellilerinin belirlenesidir. Yaptıları çalışada Wu ve Luo [8], didörtgen bir pla üzerine notasal ütleler ve bir ucu sabit yaylar eleyere değiştiriliş sistein istenilen od şeillerini ve bu od şeillerine arşılı gelen doğal freansları sağlaası için bir yönte geliştirişlerdir. Gürgöze ve İnceoğlu [9], bir ucu anastre diğer ucu serbest bir irişe ütle elenditen sonra istenilen bir doğal freansının sabit alası için elenen bir ucu sabit yayın yay sabitinin hesabı için bir yönte sunuşlardır. Farlı sınır şartları ile elenen ütlelerin farlı değer ve onuları için elenesi gereen yayın yay sabiti değerlerini tablo halinde verişlerdir. Benzer bir problei Merertaş ve Gürgöze [0] plalara uygulaışlar ve yay sabitinin hesabı için FF leri ullanan epedans bağlaa teniği [] olara adlandırılan yapısal değişili teniğine dayalı bir yönte sunuşlardır. Yaptıları çalışada sadece ii sınır şartı için didörtgen bir pla üzerinde hareet ettirilen belli sayıda notasal ütlenin plağın teel freansını değiştireesi için yayların ullanıı ihtialini araştırışlardır. Benzer bir çalışada Çaar [], bir onsol iriş üzerine ütle elenditen sonra orijinal yapının belirli bir doğal freansının değişeesi için elenesi gereen bir ucu sabit yayın, yay sabitinin hesaplanası için Sheran- Morrison (SM) forülüne dayalı bir yönte sunuştur. Daha sonra Çaar [] sunduğu bu yöntei genelleştirere gerçe yapılara uygulanabilirliğini gösteriştir. Bu çalışada ise diğerlerinden farlı olara yere bağlı yay yerine ii genelleştiriliş oordinat arasına yerleştiriliş yay duruu göz önüne alınıştır. Bunun için altı serbestli dereceli bir ütle-yay sisteine bilinen bir ütle elenditen sonra değişen doğal freanslardan istenilen herhangi birinin değişeesi için ii genelleştiriliş oordinat arasına elenesi gereen yayın atsayısı belirleneye çalışılıştır. Çalışada il olara SM forülüne dayalı yapısal değişili yöntei veriliştir. Daha sonra, yapılan ters yapısal değişilite yay sabitinin hesabı için geliştirilen yönte sunuluş ve son olara da sunulan yöntein geçerliliği ve etinliği sayısal bir uygulaa ile gösterileye çalışılıştır. II. Yapısal Değişiliğin eori Forülasyonu Bu çalışada yapısal değişiliğin forülasyonu için sunulan yönte SM eşitliğine dayanatadır. SM eşitliği ile değişili yapılış bir atrisin tersini hesaplayabile için değişiliten öncei atrisin tersi ve değişi vetörleri ullanılatadır. Bu eşitli yardııyla yeni atrisin tersi, herhangi bir atris tersi işleine gere alasızın hesaplanabiletedir [3]. Bu duruu açılayabile için teil olayan bir [A] are atrisi diate alınaca olursa, bu atriste []={u}{v} gibi ii vetörün dış çarpıı şelinde ifade edilebilen bir değişili yapılası sonucu elde edilen değiştiriliş yeni atrisin [A * ]=[A]+ {u}{v} tersi, SM

3 Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 forülü ullanılara aşağıdai gibi hesaplanabiletedir [3]. A A - - A u v A - + v A u - - () SM forülü yapısal analiz, istatisti, ağ sisteleri, optiizasyon ve ısi diferansiyel denleler gibi birço alanda ullanılıştır [4-5]. Sanlitür [] SM forülünü lineer ve lineer olayan yapısal değişilite ullanılasıyla ilgili bir çalışa sunuştur. Çaar ve Sanlitür [6] yerel yapısal değişili için genel bir forül geliştiriş ve bunu deneysel olara ölçülüş FF ler üzerindei iveölçerin ütle etisini aldıra için ullanışlardır. Ayrıca yazarlar aynı yöntei FF ölçüü esnasında serbest sınır şartlarını sağlaa aacıyla yapıları asa için ullanılan elasti ordonların etilerini aldıra için de ullanışlardır [7]. Değişili yapılaış bir eani sistein freans alanındai hareet denlei şu şeilde ifade ediletedir []. K M icq Zq f () Burada [K], [M] ve [C] sırasıyla sistein atılı, ütle ve sönü atrislerini, {q} cevap genlileri vetörünü, {f} uvvet vetörünü, [Z] dinai atılı atrisini ve ω açısal freansı gösteretedir. Bu denlein çözüünden siste cevabı aşağıdai gibi elde edilebilir. - q Z f f (3) Bu denlede [α], dinai esneli (reseptans) veya FF atrisi olara adlandırılatadır. Bu duruda dinai atılı ile dinai esneli arasında [Z] - = [α] bağıntısı evcuttur. Yapının fizisel paraetrelerinde yapılaca değişililer [ Z] aşağıdai gibi ifade edilebilir. ΔZ ΔK ΔM iδc (4) Dinai atılı ve dinai esneli arasındai bağıntı diate alınara değiştiriliş sistein dinai esneli tindei FF leri () denlei ile verilen SM forülü ile hesaplanabilir [, 9, -, 6-7]. - u v * * Z (5) v u Burada α * atrisi, değişie uğraış sistein FF lerini içeretedir. Aynı zaanda (5) denleindei {u} ve {v} değişi oordinatları haricindei tü eleanları 3 sıfır olan olon atrislerdir. Bu denlede yapısal değişili için yapılan sayısal hesaplaalarda isteneyen atris tersi işleinin ullanıladığı görületedir. İncelenen sistelerin sayısal çözüleri evcut ise FF atrisinin taaını oluştura üündür. Anca deneysel çalışalarda bu atrisin çoğu zaan bir satırı veya sütununu oluştura üün olatadır. Bu duru diate alındığında (5) denlei yapı üzerinde sadece değişili yapılan oordinatlara bağlı olara yazılabilir. Buna göre FF atrisi aşağıdai gibi alt atrislere ayrılabilir []. aa pa Burada a ve p alt indisleri sırasıyla atif ve pasif oordinatları gösteretedir. Yapı üzerindei değişililerin atif oordinatlarda yapılası ile (6) denlei ullanılara yeni sistein atif oordinatlar arasındai FF leri aşağıdai gibi yazılabilir []. ap u v aa a a aa va aa ua (6) aa (7) aa Denle (7) sadece atif oordinatları ullanara hesaplaa yapayı üün ılatadır. Bu duruda diate alınaca FF lerin sayısı atif oordinatlarla sınırlı olduğundan birço uygulaada incelenen sistein serbestli derecesi sayısından olduça düşütür []. Şeil de bir yapı üzerinde teel yapısal değişililer gösteriliştir. Burada i, j ve r değişi oordinatlarını; p ve q ise herhangi ii oordinatı gösteretedir. Şeil -a da görüldüğü gibi ii genelleştiriliş oordinat arasına bir yay elenesi duruunda değişi atrisi aşağıdai gibi olatadır []. ΔZ - - Böyle bir değişi için topla değişi atrisi olaylıla ii vetörün çarpıı şelinde yazılabilir. - ΔZ uv Eşitli (9) ile verilen topla değişi atrisinde sadece sıfır olayan eleanların verildiği belirtilelidir. Bu vetörlerin değişili yapılayan oordinatlarındai vetör eleanları 0 olara alınır. (8) (9)

4 Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 i p q a- Yay değişiliği i c j p q b- Sönü değişiliği j pj pj qq qi qj qq qi qj ii ij ii ij Si. jj Si. jj pj 0 0 pj qq qi qj 0 0 qq qi qj ii ij ii ij Si. jj Si. jj 0 pj 0 0 qq qi qj 0 ii ij Si. jj pj iq jq ii ij jj + () (3) p r c- Kütle değişiliği Şeil. Yapısal değişililer. Benzer şeilde Şeil -b de verilen ii genelleştiriliş oordinat arasında sönü değişiliği için de topla değişi atrisi ii vetörün çarpıı şelinde yazılabilir []. - ΔZ uv i c c (0) Bir diğer teel yapısal değişili yapı üzerinde ütle değişiliğidir (Şeil -c). Yapı üzerinde herhangi bir oordinata ütle elenesi duruunda topla değişi atrisi sadece bir eleandan oluşatadır. Değişi atrisinin diğer tü eleanları sıfırdır ve aşağıdai biçide ifade edilebilir []. ΔZ uv () Bu değişi atrisleri diate alınara değişili yapılış sistelerin FF leri SM forülü yardııyla hesaplanabilir. Yapı üzerinde, i ve j oordinatları arasına bir yayı elenesi duruunda (Şeil -a), p ve q oordinatları arasındai transfer FF aşağıdai gibi elde ediletedir. q 4 Aynı şeilde, Şeil -b de gösterilen i ve j oordinatları arasına bir c sönü eleanı elenesi duruunda, p ve q oordinatları arasındai transfer FF aşağıdai gibi hesaplanabilir. pj iq jq ic ii ij jj ic + (4) Yuarıdai denleler incelendiğinde değişili yapılan yeni sistein transfer FF lerini hesaplaa için orijinal sistein cevap, uvvet ve değişi oordinatlarına ait sürüş notası ve transfer FF lerinin bilinesi yeterli olduğu görületedir. Siste üzerinde r oordinatına ütlesi elenesi halinde (Şeil-c), değişili yapılış sistein p ve q oordinatları arasındai transfer FF si aşağıdai gibi hesaplanabiletedir [6]: rr pr rq rr ( ) (5) Bu denleden de görüleceği üzere yapı üzerinde r oordinatına ütlesi elenesi ile oluşan yeni sistein transfer FF sini hesaplaa için orijinal sistein değişi r, cevap p ve uvvet q oordinatlarına ait transfer ve sürüş notası FF lerinin bilinesi yeterli olacatır. III. Değişili Yapılış Sistede Doğal Freansın Değişeesi için Elenesi Gereen Yay Hesabı Bu aaçla Şeil de verilen altı serbestli dereceli ütle-yay sistei diate alınıştır.

5 Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 olalıdır. Bu duruda (8) eşitliği terar düzenlenir ve yay atsayısı bu denleden çeilece olursa; x x (9) x x 4 x x 5 ifadesiyle yay atsayısı hesaplanabilir. Bu denlee göre ütle elenditen sonra sistein ω r doğal freansının değişeden alası için elenesi gereen yayın yay sabitinin hesabında 3, 4 ve 5 oordinatlarına ait ilgili FF lerinin evcut olası yeterlidir. Eğer yapıya birden fazla ütle veya yay elenesi istenirse bu duruda yuarıda açılanan işleler ardı ardına uygulanabilir. Burada (8) denleine alternatif olara, FF nin doğal freanslara arşılı gelen değerlerinin sönüsüz sistelerde sonsuza gittiği diate alınır ve denle (7) paydası sıfır olaca şeilde düzenlenirse; Şeil. Kütle ve yay eleniş altı serbestli dereceli siste [8]. Burada öncelile siste üzerinde oordinatına bir ütlesi eleniştir. Bu duruda sistein doğal freansları değişecetir. Bu değişiliten sonra orijinal sistein belirli bir doğal freansının değişeesi için 4 ve 5 genelleştiriliş oordinatları arasına elenesi gereen yay eleanının yay atsayısı belirleneye çalışılacatır. Şeil de verilen sistein oordinatına ütle elenditen sonra değişili yapılış sistein 3 ve 4 oordinatları arasındai transfer FF si (5) eşitliği yardııyla hesaplanabilir. ( ) (6) Kütle değişiliği yapılış siste üzerinde 4 ve 5 genelleştiriliş oordinatları arasına yayının elenesi duruunda yeni sistein 3 ve 4 oordinatları arasındai transfer FF si (3) denlei yardııyla aşağıdai şeilde hesaplanabilir (7) Siste üzerinde yapılan ütle ve yay değişiliğinden sonra sistein doğal freanslarından istenilen birinin esela r, değişeesi için yapının son hali ile il haline ait FF lerinin bu freanstai değerlerinin aynı olası geretiği düşünülebilir. Yani; 34 r 34 ( ) = ( ) r (8) (0) eşitliği ile verilen bir sonuç da elde edilebilir. Sayısal uygulaa olara Şeil de verilen altı serbestli dereceli siste için fizisel paraetreler aşağıda verildiği gibi diate alınıştır. g N İl olara teori odal analiz yönteiyle değişi yapılaış sistein öz değerleri ve öz vetörleri elde ediliştir. Bu sistein titreşilerine ait doğal freansları ablo de veriliştir. Mod r (Hz) ABLO. Orijinal sistein doğal freansları. Sistein istenen oordinatlara ait transfer ve sürüş notası FF leri [] de verilen; () N pr qr r r j rr denlei yardııyla 0.0 Hz freans adıları ile 0-7 Hz freans aralığında elde ediliştir. Burada N od sayısını, pr ve qr sırasıyla r odu için cevap ve tahri oordinatlarına ait öz vetörleri, r r odunun freansını, zorlayıcı uvvetin freansını ve ζ r r. odun odal sönü oranını gösteretedir. Bu şeilde elde

6 Genli [/N] Genli [/N] Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 edilen FF ler orijinal sistein FF leri olara adlandırılıştır. Bu çalışada sönü diate alınaıştır. opla ütlesi 6 g olan sistein. oordinatına =500 gr lı bir ütle elenere ütle değişiliği yapılış ve (6) denlei yardııyla değiştiriliş sistein FF si ( ) elde ediliştir. Şeil 3 de orijinal 34 ve ütle eleniş sistein 3. ve 4. oordinatları arasındai transfer FF si görületedir Freans (Hz) Şeil 3. Orijinal sistein 34 FF si ile ütle eleniş sistein 34 FF sinin arşılaştırılası. Belenildiği gibi sistee ütle elenditen sonra doğal freanslar azala eğilii gösterere ayıştır. Bu uygulaada, örne olara yapısal değişiden sonra sistein.05 Hz freanslı üçüncü doğal freansının sabit alası istendiğini varsayalı. Kütle elenditen sonra bu doğal freansın değişeesi için 4. ve 5. oordinatlar arasına elenesi gereen yayın yay sabiti (9) denlei yardııyla = N/ olara hesaplanır. Kütle ve yay değişiliği yapılış siste ile orijinal sistein FF leri Şeil 4 de arşılaştırılıştır Freans (Hz) Şeil 4. Orijinal sistein 34 FF si ile ütle eleniş sistein 34 FF sinin arşılaştırılası. Şeil 4 incelendiğinde, ütle ve yay eleniş altı serbestli dereceli sistein.05 Hz freansındai doğal freansının orijinal sistein doğal freansıyla çaıştığı açıça görületedir. Böylece ütle ve yay elenditen sonra sistein istenilen bir doğal freansı değişeden alıştır. 34 * ** 34 6 IV. Sonuçlar Bu çalışada, bir siste üzerinde yapılan ütle ve atılı değişilerinden sonra belirli bir doğal freansın değişeden alası problei inceleniştir. Mevcut çalışalardan farlı olara freansı sabit tuta için yay eleanı ii oordinat arasına yerleştiriliş ve gereli yayın atsayısının hesabı için bir yönte sunuluştur. Yöntein geçerliliği altı serbestli dereceli sönüsüz bir ütle-yay sistei üzerinde yapılan uygulaa ile gösterileye çalışılış ve başarılı sonuçlar elde ediliştir. Yapısal değişi genelde evcut yapılara uygulandığından ütle ve atılı gibi fizisel paraetreler önceden bilineyebilir. Oysa sunulan yönte FF leri ullandığından dolayı bunların deneysel olara ölçülesi duruunda yapının fizisel paraetrelerinin bilinesine gere yotur. Bu nedenle yönte olduça ullanışlıdır. Ayrıca yönte yapısal değişili oordinatları ile ilgili sınırlı sayıdai FF leri ullandığından dolayı odal özellilerin ullanıldığı yöntelere göre daha üstündür. Diğer taraftan bu çalışada altı serbestli dereceli bir ütle-yay sistei diate alınala birlite sunulan yöntein aslında genel olduğu ve tü sistelere uygulanabilir olduğu söylenebilir. Bu çalışada te bir freans diate alınala birlite yapısal değişiliten sonra birden fazla doğal freansın değişeden alası istenebilir. Denle (9) ile verilen, hesaplana istenen FF lerin freans notalarının sayısı boyutunda bir satır vetördür. Diğer doğal freansların da değişeesi için hesaba atılan fizisel paraetre sayısının arttırılası gerelidir. Burada diat edilesi gereen nota en az değişeden alası istenilen doğal freans sayısı adar fizisel siste paraetresinde değişili yapılasıdır. Buna bağlı olara hangi fizisel paraetrelerde veya oordinatlarda değişili yapılası problei, evcut duru bir optiizasyon probleine dönüştürülere uygun bir yöntele çözülebilir. Bu sayede değiştiriliş sistelerde belirli doğal freansların orijinal yapı ile aynı olabilesi için yapılası gereen yapısal değişiler belirlenebilir. Bu duru diate alındığında bu yönte aynı zaanda SE odellerinin güncellenesi için de ullanılabilir. Bu onu üzerinde yazarların çalışaları deva etetedir. Kaynaça [] Ewins D.J. Modal esting heory, Practice and Alication, Research Studies Press, Baldoc, 000. [] Sanlitur K. Y. An Efficient Method for Linear and Nonlinear Structural Modifications. Proceedings of ESDA 00: 6th Biennial Conference on Engineering Systes Design and Analysis, ESDA 00/APM-08, İstanbul, 00. [3] Ra Y. M. ve Braun S. G. Uer and lower bounds for the natural frequencies of odified structures based on truncated odal testing results. Journal of Sound and Vibration, 37():69-8, 990. [4] Ra Y. M., Blech J. J. ve Braun S. G. Eigen proble error bounds with alication to syetric dynaic syste odification. SIAM J. Matrix Anal. Al., (4): , 990.

7 Uluslararası Katılılı 7. Maina eorisi Sepozyuu, İzir, 4-7 Haziran 05 [5] Bucher I. ve Braun S. he structural odification inverse proble: an exact solution. Mechanical Systes and Signal Processing, 7(3):7 38, 993. [6] Braun S.G. ve Ra Y.M. Modal odification of vibrating systes: soe probles and their solutions. Mechanical Systes and Signal Processing, 5():0 9, 00. [7] Özgüven H. N. Structural odifications using frequency response functions. Mechanical Systes and Signal Processing, 4():53 63, 990. [8] Par Y. H. ve Par Y. S. Structure optiization to enhance its natural frequencies based on easured frequency response functions. Journal of Sound and Vibration, 9:35-55, 000. [9] Çaar O. ve Sanlitur K. Y. Eliination of Noise and ransducer Effects fro Measured Response Data. Proceedings of ESDA 00: 6th Biennial Conference on Engineering Systes Design and Analysis, ESDA 00/APM-08, İstanbul, 8 euz 00. [0] suei Y. G. ve Yee E. K. L. A ethod for odifying dynaic properties of undaped echanical systes. ASME Journal of Dynaic Systes, Measureent and Control, : , 989. [] Ra Y. M. Enlarging a spectral gap by structural odification. Journal of Sound and Vibration, 76():5 34, 994. [] Sivan D. D. ve Ra Y. M. Mass and Stiffness Modifications to Achieve Desired Natural Frequencies. Counications in Nuerical Methods in Engineering, :53-54, 996. [3] McMillan J. ve Keane A. J. Shifting resonances fro a frequency band by alying concentrated asses to a thin rectangular plate. Journal of Sound and Vibration, 9():549 56, 996. [4] McMillan J. ve Keane A. J. Vibration isolation in a thin rectangular plate using a large nuber of optially positioned point asses. Journal of Sound and Vibration, 0():9 34, 997. [5] Par Y. H. ve Par Y. S. Structural Modification Based on Measured Frequency Response Functions: An Exact Eigenproperties Reallocation. Journal of Sound and Vibration, 37(3):4-46, 000. [6] Mottershead J. E. ve Lalleent G. Vibration Nodes, and the Cancellation of Poles and Zeros by Unit-Ran Modifications to Structures. Journal of Sound and Vibration, (5):833-85, 999. [7] Inan J. D. Engineering Vibration, Pearson Prentice Hall, hird Edition, 007. [8] Wu J. S. ve Luo S. S. Use of the analytical-and-nuericalcobined ethod in the free vibration analysis of a rectangular plate with any nuber of point asses and translational springs. Journal of Sound and Vibration, 00():79 94, 997. [9] Gürgöze M. ve Inceoğlu S. Preserving the fundaental frequencies of beas deste ass attachents. Journal of Sound and Vibration, 35: , 000. [0] Merertaş V. ve Gürgöze M. Preservation of the fundaental natural frequencies of rectangular plates with ass and spring odifications. Journal of Sound and Vibration, 76: , 004. [] Çaar O. Bir onsol irişin belirli bir doğal freansını değiştiresizin ütle ve yay elenesi. 4. Ulusal Maina eorisi Sepozyuu, Güzelyurt/Kuzey Kıbrıs ür Cuhuriyeti, -4 euz 009. [] Çaar O. Mass and Stiffness Modifications Without Changing Any Specified Natural Frequency of a Structure, Journal of Vibration and Control, 7(5): , 00. [3] Sheran J. ve Morrison W. J. Adjustent of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in one Eleent of a Given Matrix. Annals of Matheatical Statistics, ():4-7, 950. [4] Agün M.A., Garcelon J.H. ve Hafta R.. Fast Exact Linear and Non-Linear Structural Reanalysis and the Sheran-Morrison- Woodbury Forulas. International Journal for Nuerical Methods in Engineering, 50: , 00. [5] Hager W. W. Updating the inverse of a atrix. SIAM Review, 3():-39, 989. [6] Caar O. ve Sanlitur K. Y. Eliination of ransducer Mass Loading Effects fro Frequency Response Functions. Mechanical Systes and Signal Processing, 9():87-04, 005. [7] Çaar O. ve Sanlitur K. Y. Eliination of Suspension Effects fro Measured Frequency Response Functions. 9th International Research/Expert Conference "rends in the Developent of Machinery and Associated echnology", Antalya, 6-30 Eylül 005. [8] Mottershead J. E., Mares C. ve Friswell M. I. An inverse ethod for the assignent of vibration nodes. Mechanical Systes and Signal Processing, 5():87-00, 00. 7