ÜNİTE 8.1.3 Kareköklü İfadeler Anla-Uygula 1 A B + + : C D UYGULAMA BÖLÜMÜ 3. 8 8. SINIF 8.1.3.5 Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini yapar. Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi: a ve b birer 0 veya pozitif reel sayılar olmak üzere a. b ab. dir. Yani iki ya da daha fazla kareköklü ifadeyi çarparken kök içlerini çarpıp ortak köke yazabiliyoruz. Burada kök içlerinin aynı olması gerekmez. Eğer katsayı varsa, 7 6. 5 şeklinde olacaktır. a. bc.. d ac.. bd. Örnekler 9. 3 Ö1) 3. 5 35. 15 Ö) Ö3) 5. 7 5 7. 5 14 6. 9 5 69.. 5. 54 10 13. 4 Yukarıdaki örnekleri incelediğimizde, kareköklü sayıların çarpımı yapılırken, kök içindeki sayılar ayrı kök dışındaki sayılar da ayrı çarpılması gerekir. 3 8. 1 Aşağıda verilen kareköklü sayıları çarpınız. 15 5. 5 7. 6 16 38. 9 1. 5 3.. 5 0. 14 90
1 5 3 10 15... 3 6. 3 6. 3 3! UYARI LEVHASI! Örnekte görüldüğü gibi kök için- deki sayı ile kök dışındaki sayı asla çarpılmaz. Ayrıca köklü sayı ile kat sayı arasına çarpma işareti konulmayabilir. 5. 5 14. 3 14 3 Anla-Uygula 5 8. 3 10 ( 7). 7 Kareköklü bir sayının kendisiyle çarpımı kök içindeki sayıya eşit olacaktır. a. a aa. a a Kareköklü bir sayının karesi, kök içindeki sayıya eşittir. a a. a a ( 4 ).( 9 3) Ö1) Ö) Ö3) Ö4) Örnekler.. ( ) ( 7) 7. 7 7 ( 5 6) 5.( 6) 5. 6 150 3. 3.. 33. 4 3 43. 1 ( 3 3).( 5).( 6) Aşağıdaki kareköklü çarpımların sonucunu bulunuz. ( 1 ).( 5 7).( 10 3) 15. 15 7. 7 16. 4. 9 13. 13 3 5. 5 ( 11).( ).( 3 5).( 7 ) 6. 6.. ( 4 1).( 15 ).( 3 1). 15 91
Anla-Uygula 3 100 : 10 Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi: a a : b b a b 4 3 16 a b a c d c İki köklü sayının bölümü yapılırken kökler ortak olarak birleştirilir ve bölme işlemine geçilir. Katsayılı bölme işlemi varsa da katsayılar kök ile karıştırılmadan ayrı ayrı bölme işlemi gerçekleştirilir. b d 36 36 1 1 50 10 5 40 Örnekler Ö1) 15 : 3 15: 3 5 4 4 Ö) 3 8 8 9 1 9 1 Ö3). 3 3 3 7 3 7 1 18 Ö4) 1 18 1 6 3 3 15 84 1 90 45 15 5 13 Aşağıdaki kareköklü sayılarla ilgili bölme işlemlerini yapınız. 3 7 36 5 5 60 1 75 3 8 : 7 38 14 15 10 6 5 7 18 9 36 40 33 11 80 : 40 4 1 16 48 9
Aşağıda kareköklü sayılarla ilgili hem çarpma hem de bölme işlemlerini yapınız. ( 3. 6 ). 3 8 3. 15 5 1. 18. 15. 3. 5 37. 40 60 5. 36. 49 4. 9. 16 1. 6. 7 ( 5).( 6) 30 10 : 3 0. 30. 48 1. 15 3 3 15. 1 5 150 135. 5. 7 50 4. 9 1 6. 1 3 4..... 3 4 5 90 0 : 6 4 800. 1000 15. 40 00 10. 5 4 3 3 ( 8).( 15 ) ( ).( 5) 93
ÜNİTE 1 8.1.3 Kareköklü İfadeler A B ++ :8. SINIF C D UYGULAMA BÖLÜMÜ a b ifadeyi a 8.1.3.6 Kareköklü bir b şeklinde yazar ve şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır. Anla-Uygula 1 Tam kare olmayan ama içinde tam kare doğal sayı çarpanı bulunan kareköklü bir ifadede, tam kare olan doğal sayı dışarı çıkartılabilir. a,b,c birer doğal sayı olsun. c a. b c a. b a b şeklindedir. Kısaca özetleyecek olursak karekök içindeki sayının çarpanları arasında tam kare doğal bir çarpan varsa bu çarpanın karekökü alınıp dışarı çarpım olarak çıkarılabilir. Diğer çarpan ise kök içinde kalır. Örnekler Aşağıdaki kareköklü sayıları yukarıdaki örnekteki gibi çarpanlarına bakarak en büyük tam kare doğal sayı çarpanını belirleyip kök dışına alınız. 0 4. 5. 5 5 7 18 1) ) 3) 4) 1 43.. 3 3 18 9. 3. 3 48 41.. 1 1 48 16. 3 4. 3 4 3 7 98. 3. 8 3 8 7 36. 6. 6 8 8 Bu tür ifadelerde kareköklü sayının çarpanlarına bakılıp genellikle en büyük tam kare doğal sayı çarpanı tespit edilir. Bu sayı kök dışına çıkabilirken, kalan çarpan ise kök içinde kalır. 40 Örnek 45 3 nin tam kare çarpanları 1, 4, 16 1 x 3 4 x 8 16 x 3 16. 4. 4 50 Örnek 5 16 nin tam kare çarpanları 1, 9, 81 1 x 16 9 x 18 81 x 16 81. 9. 9 54 94
7 Anla-Uygula 90 Bazı durumlarda kareköklü sayının önünde çarpan olabilir. Bu durumda dışarı çıkabilen çarpan, kök dışındaki sayıyla çarpım durumuna geçer. 108 10 Örnek 1 4. 3. 3. 3 4 3 4 Aşağıdaki uygulamaları yukarıdaki örnekteki gibi yapınız. 15 5 18 135 6 4 150 15 48 160 10 48 180 0 3 00 1 8 16 1000 15 40 360 16 75 4 95
Anla-Uygula 3 Karekök aslında bir sayının üssünün ye bölünmesidir. Buna göre üssü ye tam bölünebilen çarpanlar dışarı tam olarak çıkabilir. a, b, c birer doğal sayı olmak üzere 4 a. b. c a. b. c ab.. c 3 1 a a. a a a a a 5 4 1 b b. b b b b b dir. Yani kök içindeki bir çarpanın dışarı tam olarak çıkabilmesi için üssünün çift olması yeterlidir. Eğer çarpanın üssü 1 se ve tam kare doğal sayı değilse, çarpan kök içinde bırakılır. Kök içindeki tüm sayılar çıkabiliyorsa o zaman kök işareti kaybolur. 4 4 4 8 4 3. 3. 3. 916. 144 4. 5 6. 3. 4 5.. 9 4 8 Örnekler 18 4 1. 3. 9 Ö1) Ö) Ö3) 16. 5 4. 5 45. 0 6 6 3 5. 3. 5. 3. 5. 3. 375 4 5 4. 4 5. 6 Aşağıda kök içleri verilmiş olan üslü ifadeli çarpanı ya da çarpanları tam çıkabilecek şekilde kök dışına çıkarınız. Tam çıkamayan çarpanları da kök içinde bırakınız. 3 5 49.. 3. 3 3. 6 3 4. 4 5. 16 5 7 3. 64. 36. 16. 7 3 381. 89. 949.. 100 4. 6 3 96
Anla-Uygula 4 8 3 a b şeklindeki bir ifadede a sayısını kök içine alabiliriz. Bir üslü sayı kök dışına çıkarken üssü ile bölünüyordu. Bu sefer tam tersini düşünmemiz gerekecek. Yani burda yapmamız gereken karekök dışındaki çarpanı kök içine almak için üssünü ile çarpmamız yeterlidir. a b a. b 10 5 5 1 3 4 6 a. b d a. b. d 3. 7 Örnekler Ö1) 5. 5 4. 5 0 Ö) 3 6 3. 6 9. 6 54 3 6 4 Ö3). 3 5. 3. 5 64. 81. 5 590 Aşağıda kök dışındaki çarpanları kök içine alarak sonucu yazınız. 65.. 4 5 9. 3 4 3 4. 3 16. 3 48 3 4. 3 5 49. 5 6 10 34.. 5 7 3 4 1. 3. 4 7 8 5 3 10 5. 10 97
ÜNİTE 1 8.1.3 Kareköklü İfadeler A B ++ :8. SINIF C D UYGULAMA BÖLÜMÜ 8.1.3.7 Kareköklü bir ifade ile çarpıldığında, sonucu bir doğal sayı yapan çarpanlara örnek verir. Anla-Uygula 1. 7 Kareköklü bir sayıyı herhangi bir sayı ile çarptığımızda sonucu doğal sayı yapan ifadeleri, örnekler üzerinden inceleyelim. Ö1). 8 16 4 Ö) 5. 5 5 5 Ö3) 3 3. 7 3 81 3. 9 7 Görüldüğü gibi köklü çarpımların sonucu tam kare doğal sayıya eşit oluyorsa çarpım kökten kurtulur. Bu durumda çıkan sonuç da doğal sayıya eşit olacaktır. 3 5. 5 7. 5 0. 5 Aşağıdaki kareköklü sayılarla ilgili çarpımları yapınız. 8. 6 7 3. 3 45. 5 6. 54 8. 10. 5.. 10. 5 7. 7. 6. 3 5. 8 5. 5. 7. 4. 7 ( 1).( 7 3 ) 3. 1.. ( 9 4).( 3 6 ) 10. 5. 6. 3 98
Aşağıdakilerden hangisinin sonucunun doğal bir sayıya eşit olduğunu belirleyiniz. Aşağıdaki tablodaki kareköklü sayıların satır ve sütunları çarpıldığında doğal sayı yapanlarını işaretleyiniz. 3. 7 1 sayısı tam kare bir doğal sayı olmadığından sonuç doğal bir sayıya eşit olmayacaktır. 60. 15 900 30 30 sayısı tam kare bir doğal sayı olduğundan çıkan sonuç doğal bir sayıya eşit olacaktır. x 75 3 5 6 8 x x 10. 5. 6. 3 80 75. 3 96 108 4 1. 3 15 18 5. 135 150 18. 5 180 00 5. 11 1 3 4. 6 18 7 6. 3. 3 45 0. 5. 5 50 54. 3. 4. 6 7 99
ÜNİTE 1 8.1.3 Kareköklü İfadeler A B ++ :8. SINIF C D UYGULAMA BÖLÜMÜ 8.1.3.8 Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini yapar. Anla-Uygula 1 6 5 4 5 Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi: 6 11 16 11 İki ya da daha fazla kareköklü sayıyla toplama ve çıkarma işlemi yaparken öncelikle kök içlerinin aynı olmasına dikkat etmeliyiz. Buna göre bu durumu iki başlık altında inceleyim. 1) Kök içleri aynı olan kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi: 18 3 15 3 30 17 17 + 7 17 a, b, c, d doğal sayılar olmak üzere a b ± c b ( a± c). b şeklindedir. Kısaca özetlersek, kök içleri aynı olan kareköklü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yaparken sadece köklü ifadelerin katsayılarıyla işlem yapılır. Kök içleri kesinlikle toplanmaz veya çıkarılmaz. 5 13 + 4 13 + 13 1 15 3 Örnekler Ö1) 3 + 5 3 + 5 3 7 3 Ö) 6 4 + 3 6 4+ 3 5 ( ) 15 Ö3) 4 15 15 4 1 8 6 + 9 6 11 6 1 19 15 19 + 1 19 Aşağıdaki kareköklü sayılarla ilgili toplama ve çıkarma işlemlerinin yapınız. 0 + 0 + 13 0 3 + 4 3 7 9 3 9 + 5 9 3 5 + 7 5 ( 5 3 8 3)+ 1 3 8 3 8 + 3 8 ( 10 10 + 10) 8 10 + 4 10 100
Aşağıda verilmeyen harflerin yerine gelmesi gereken sayıları bulunuz. Aşağıdaki toplama ve çıkarma tablolarının boş yerlerini doldurunuz. a 3 + 3 3 7 3 + 3 3 3 3 4 3 11 7 b 7 4 7 5 3 c 1 4 1 5 1 10 3 7 3 13 7 13 + d 13 13 3 3 5 5 e 5 + 6 5 11 5 + 5 5 3 5 4 5 8 10 + 3 10 + f 10 5 10 7 5 + g 15 + 15 4 15 7 15 10 5 0 5 3 + h 6 0 1 5 4 3 3 3 i 3 1 3 + 6 10 5 10 10 10 10 0 17 + j 17 17 117 3 10 k 5 + 5 5 + 5 5 15 10 11 10 13 l 13 + 4 13 5 13 9 13 18 10 101
Anla-Uygula 3 18 5 7 ) Kök içleri aynı olmayan kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi: Bu tür durumlarda eğer kök içindeki sayıların tam kare çarpanları dışarı alındığında kök içleri aynı hale getirilebiliyorsa, toplama ve çıkarma işlemine geçilebilir. Karekök içleri aynı olmadan kesinlikle kök içleri toplanmaz veya çıkarılmaz. 50 6 0 80 Örnek 1 50 + 8 + 18 işleminin sonucu kaçtır? 3 8 63 Çözüm: 50 5. 5 8 4. 5 + + 3 10 18 9. 3 Görüldüğü gibi karekök içindeki sayıların tam kare çarpanlarını ortaya çıkardığımızda diğer çarpanları aynı olduğundan kök içleri eşitlenmiştir. 7 6 5 4 + 6 40 + 7 160 + 3 10 Örnek 7 5 1 + 3 işleminin sonucu kaçtır? 75 + 5 300 8 3 Çözüm: 7 9. 3 3 3 5 1 5 4. 3 5. 3 10 3 9 18 10 7 7 7 5 1 + 3 3 3 10 3 + 3 5 3 Aşağıdaki işlemleri yapınız. 3 44 + 99 1100 3 + 5 1 60 + 15 + 135 7 8 + 3 180 3 80 + 4 0 10
5 117 35 Anla-Uygula 3 6 7 + 5 88 + 4 00 Bazı durumlarda kök içleri tamamen tam kare bir doğal sayı olabilir. Kök içindeki sayı kök dışına çıktığı zaman kök işareti kaybolur ve işlemlere geçilir. Örnek 1 5 98 + 63 + 11 16 + 5 Çözüm: işleminin sonucu kaçtır? 5 1 + 3 4 48 16 + 5 4 + 5 4+. 5 14 Aşağıdaki işlemleri yapınız. 1 5 75 3 7 147 3 4 + 5 1 3 5 3 0 7 16 6 9 ( + 3 8)+ 6 3 3 98 64 + 5 9 ( 5 7 75 ) 4 3 48 49 5 + 3 81 ( 50 + 9 98) 6 + 00 100 + 169 144 ( 80 + 45 ) 8 500 6 70 11 16 5 ( 7 + 3 8) 88 6 800 400 4 + 6 56 103
ÜNİTE 1 8.1.3 Kareköklü İfadeler A B ++ :8. C SINIF D UYGULAMA BÖLÜMÜ 8.1.3.9 Ondalık ifadelerin kareköklerini belirler. Anla-Uygula 1 0, 0004 Ondalık İfadelerin Karekökü: Bir ondalık gösterimin karekökünü almak için önce bu sayıyı rasyonel biçimde göstermemiz gerekir. Daha sonra da pay ve paydasının karekökü alınır. 001, Örnekler 064, Ö1) Ö) Ö3) 4 4 004, 0, 100 100 10 036, 36 36 6 06, 100 100 10 144 144 144 1 100 100 10 1 5, 89, Siz de aşağıdaki ondalık gösterimlerin kareköklerini alınız. 34, 016, 196, 049, 65, 11, 576, 169, 56, 081, 361, 104
Aşağıdaki ondalık gösterimli köklü işlemleri yapınız. ( 0, 01+ 3 0, 09 ). 5 0, 64 3 0, 81 004, + 0, 09 3 016, + 05, 5 ( 036, + 0, 04 ). 05, 036, 001, 3, 5 0, 81 1 5,.. 036, 144, 144, + 11, 36 49 + 036, 049, 1 009, + 0, 04 001, 169, + 0, 64 196, 0, 04 5 9 001, +. 004, 05, 081, 10 16 + 016, 144 144, 009, : 001, 11, 144, 89, + 5 33 36 81 + 036, 081, 049, 05,. 0, 0001 7 5 15. 016, 064, 105