Journal of Engneerng and Natural Scences Mühendslk ve Fen Blmler Dergs Sgma 5/ THE EFFECT OF SINGULER FINITE ELEMENT ON THE STRESS INTENSITY FACTORS CALCULATED WITH THE FINITE ELEMENT METHODS IN A PRE-STRECHED STRIP WITH A CRACK Arzu TURAN * Yıldız Teknk ÜnverstesKmya-Metalurj Fakültes Matematk Mühendslğ Bölümü Davutpaşa-İSTANBUL Gelş/Receved: 8.7.4 Kabul/Accepted: 9.3.5 ABSTRACT In ths work the effect of sngular fnte elements on the stress ntensty factors (SIF) calculated wth the Fnte Element Methods (FEM) n a pre-stressed strp wth a crack s nvestgated. It s known that n the determnaton of the SIF by the use of dsplacements the sngular fnte elements should be employed. As a result of ths the dffcultes arse from the FEM modelng. However determnaton of SIF by employng one of the Energy Methods such as Energy Release Rate the requrement for the use of sngular fnte elements n the FEM modelng at the around of crack s not precse. So n ths work t s shown that wth a concrete problem as an example the use of the sngular fnte elements under calculaton of SIF through Energy Release Rate Method s unnecessary. Keywords: Stress ntensty factors Fnte element methods Sngular fnte element Composte Crack Intal stres. MSC number/numarası: 8M 74R 74B. ÇATLAK İÇEREN ÖNGERİLMELİ ŞERİTTEKİ GERİLME BİRİKİMİ ŞİDDETİ FAKTÖRÜ NÜN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASINDA SİNGÜLER SONLU ELEMANLARIN ETKİSİ ÖZET Bu çalışmada çatlak çeren öngerlmel şertte Sonlu Elemanlar Yöntem le hesaplanan Gerlme Brkm Şddet Faktörüne (SIF) sngüler sonlu elemanların etks ncelenmştr. Blndğ üzere Gerlme Brkm Şddet Faktörünün yerdeğştrmeler vasıtasıyla belrlenmesnde sngüler sonlu elemanlar kullanılmalıdır. Bunun sonucu olarak sonlu elemanlar modellemesnden doğan zorluklar artar. Fakat Enerj Yöntemlernden br örneğn Energy Release Rate Yöntem le SIF n belrlenmesnde sngüler sonlu elemanların Sonlu Elemanlar modellemesnde kullanımı zorunluluğu belrgn değldr. Böylece bu çalışmada SIF ün Energy Release Rate metodu le hesaplanmasında sngüler sonlu elemanların kullanılmasının gerekl olmadığı örnek problem çerçevesnde gösterlmştr. Anahtar Sözcükler: Gerlme brkm şddet faktörü Sonlu elemanlar yöntem Sngüler sonlu eleman Kompozte Çatlak Öngerlme. e-posta: artur@yldz.edu.tr tel: ( 449 7 6 6
The Effect of Snguler Fnte Element on the. GİRİŞ Blndğ üzere yapı elemanlarının kırılma mekanzması; yapıda mevcut olan kusurların dış yükler etksnde çatlakları oluşturması ve bu çatlakların büyüyerek yapı elemanında kırılmaya sebep olması şeklnde fade edlmektedr. Grffth e kadar yapı elemanlarının kırılmasının ncelenmes Klask Mukavemet Krter çerçevesnde yapılmakta d. Yapı elemanı çatlak çerdğ durumda Grffth tarafından Klask Mukavemet Krternn yetersz olduğu gösterlmş ve yen mukavemet krter ortaya atılmıştır []. Daha sonraları Irwn (948) ve Orawan (948) tarafından çatlak ucu cvarında gerlme yayılışı analtk olarak belrlenmş ve bu gerlme yayılışında Gerlme Brkm Şddet Faktörü (SIF) adı verlen ve kırılma parametres olarak kabul edlen K parametres dahl edlmştr. Bu alandak pek çok çalışma Kırılma Mekanğ n oluşturmaktadır. Kırılma mekanğ kend çersnde Lneer Elastk Kırılma Mekanğ (LEFM) ve Non-Lneer Kırılma Mekanğ (NLFM) şeklnde kye ayrılır. Bu k dal arasındak fark çatlak ucunda oluşan malzeme nonlneertesnn göz önüne alınması ve alınmamasına dayanmaktadır. Dolayısıyla çatlak ucunda oluşan malzeme non-lneertesnn göz önüne alınmadığı problemler Lneer Elastk Kırılma Mekanğn oluşturur ve gevrek malzemeler ( örneğn cam seramk veya yüksek mukavemetl metaller vb.) çn geçerldr. Non-Lneer Kırılma Mekanğ se çmento tpl malzemeler veya düşük mukavemetl metaller gb sünek malzemeler çn geçerl olup çatlak ucu bölgesndek malzeme non-lneertesn göz önüne alan Kırılma Mekanğ dalını oluşturmaktadır [5]. Mevcut lteratürde yapı elemanlarının kırılmasına at araştırmalar daha çok LEFM çerçevesnde yan gevrek malzemeler çn yapılmıştır. LEFM çerçevesnde kırılma tek br kırılma parametres (Örneğn K) le temsl edleblmektedr. Bu parametrenn değernn belrlenmes; a) Analtk-Emprk Formüller yardımıyla b) Enerj Yöntemler yardımıyla k şeklde mümkündür. SIF değer sonsuz ve zotrop ortamlar çn lteratürdek kaynaklarda çeştl yükleme durumlarında formüllern bulunduğu tablolar halnde verlmektedr [67]. Bunun dışında kalan durumlarda örneğn anzotrop ve sonlu ortamlar çn SIF n belrlenmesnde Enerj Yöntemler veya çatlak ucu cvarındak yerdeğştrmelerden yararlanılmaktadır. Genellkle Enerj Yöntemler yapı elemanındak çatlağın büyümes sonucunda yapı elemanının elastk enerjndek değşm mktarının çatlak uzamasına oranının K le fade edlmesne dayanmaktadır. Yapıda elastk enerjnn hesaplanması veya yerdeğştrmelern belrlenmes se çoğunlukla sayısal yöntemlern kullanımını zorunlu hale getrmektedr. Sayısal yöntemlerden en çok kullanılanı Sonlu Elemanlar Yöntem olup bu yöntem çatlak ucu bölgesnde özel modellemey yan tekl (sngüler) sonlu elemanların kullanımını gerektrmektedr [89]. Sonlu eleman modellemesnde sngüler sonlu elemanların kullanılması yönteme at algortma ve programların oluşturulmasını oldukça zorlaştırmaktadır. Günümüzde mühendslk açısından öngerlmenn yapı elemanının mukavemetne etkler üzernde yoğun şeklde çalışılmaktadır. Bu alandak lk çalışmalar Guz ve öğrenclerne attr. Klask Elastste teors çerçevesnde yapı elemanındak öngerlmeler göz önüne alınamaktadır. Öngerlmelern göz önüne alınablmes ancak Üç Boyutlu Lneerze Edlmş Elastste Teors (ÜBLET) çerçevesnde mümkündür []. Öngerlmenn ÜBLET çerçevesnde Gerlme Brkm Şddet Faktörüne etks Guz ve öğrencler tarafından; homojen öngerlme ve anzotrop sonsuz ortamlar çn yapılmış daha sonraları sonlu ortam ve homojen/nhomojen öngerlme durumlarında Akbarov ve öğrencler tarafından gelştrlmştr [34]. Akbarov ve dğerler (3) le Akbarov ve dğerler (4) çalışmalarında çatlak çeren yapı elemanlarının sonlu eleman modellemesnde kullanılan sngüler sonlu elemanların kullanımının stablte kaybı problemnde etk göstermedğ sonucu elde edlmştr. Benzer şeklde bu çalışmada ÜBLET çerçevesnde çatlak çeren öngerlmel yapı elemanında öngerlmenn SIF e etksnn Enerj Yöntemlernden Energy Release Rate yardımıyla belrlenmesnde sonlu eleman formülasyonunda çatlak ucu cvarında kullanılan sngüler ve sngüler olmayan sonlu elemanların kullanımının etk göstermedğne at elde edlen sayısal sonuçlar verlmektedr. 7
A. Turan Sgma 5/. PROBLEMİN FORMÜLASYONU Ele alınan problemn çözüm bölgesnn Şekl de { x H ; x } (H= h A + h U ) kısmı gösterlmştr. Bu bölgede sağlanan Lneerze edlmş alan denklemler bünye denklemler geometrk lgler le sınır koşulları aşağıda verlmştr. () j + n = j n = Aε + Aε = Aε + Aε j = A 66ε εj = + j ;j= ( sınır koşulları: u x = ; x = H h = = U + x= ; = pδ x = = pδ x = H h U = Yukarıdak denklemlerde blnen notasyonlar kullanılmıştır. ( de üst nds () j öngerlmeler göstermekte ayrıca δ = δj Kronecker sembolü x ler Lagrange koordnatlarıdır. ( dek öngerlmeler aşağıdak sınırdeğer problemnn çözülmes le elde edlr. () j j () () () () () () () () = = Aε + Aε ; = Aε + Aε ; = A66ε () () () u j () () () εj = + = = q = ;j= (3) j x= x = x= ;h () u =. (4) x = ; Şekl. Ele alınan şert-levhanın geometrs Ele alınan problem çözümü k aşamada bulunmaktadır: Brnc aşamada öngerlmenn yapı elemanındak dağılımı belrlenr; knc aşamada brnc aşamada elde edlen öngerlme değerlernn de şlemlere dahl edldğ formülasyonda çatlağın üst ve alt yüzeylerne normal doğrultuda etk eden ve çatlağı açılmaya zorlayan düzgün yayılımlı p kuvvet nedenyle çatlak () 8
The Effect of Snguler Fnte Element on the ucunda meydana gelen SIF e öngerlmelern etks ncelenr. Her k aşamada da çözüm sayısal olarak Sonlu Elemanlar Yöntem yardımıyla yapılır. 3. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE MODELLEME Ele alınan problemn Sonlu Elemanlar Yöntem le modellenmesnde aşağıdak fonksyonel kullanılır. u u u u + U = T T T T dx dx pu dx AA + + + Ω Ω' x x x x x = h U + pu dx (5) x h = U + burada () () = + + T T () () = + + { x h ( ) x ( ) } T () () = + + T () () = + + Ω ' = = U ± < < + (6) yarı çatlak uzunluğu ve şert-levhanın dır. (5) de Ox doğrultusundak uzumluğudur(şekl. Belrtelm k (5) fonksyonelnn brnc varyasyonunun sıfıra eştlğnden ( dek alan denklem () = j + n ve gerlmelere göre sınır koşulları elde j n edlmektedr. Yan (5) ve (6) dan U T T T T δ = δ + δ + δ + δ dx dx Ω Ω' + + pδu dx pδu dx x h (7) x h = U = U+ j olur. (7) dek T jδ fadeler yerne T u x δ x δ = ( Tδu δ T = ( Tδu ) δu T u x δ x (8) δ = ( Tδu δ T = ( Tδu ) δu 9
A. Turan Sgma 5/ fadeler (7) de göz önüne alınırsa U u δ = + δ + δu dx dx + Ω Ω' ( T u T u ) ( T u T u δ + δ + δ + δ ) dx dx Ω Ω' + + pδu dx pδu dx x H h x H h = U = U+ bulunur. (9) da altı çzl terme Gauss teorem uygulanırsa ve δ U = çn ele alınan probleme at alan denklemler ve gerlmelere göre sınır koşulları elde edlr. Böylece Sonlu Eleman formülasyonunda kullanılacak olan (5) fonksyonel ele alınan sınırdeğer problemne eşdeğer br fonksyoneldr. Tekrar belrtelm k (6) da üst nds () öngerlmeler göstermektedr. Ele alınan problemde bast mesnet sınır koşulu ve öngerlmelern çatlak doğrultusuna paralel alınması nedenyle çatlağın varlığının öngerlmenn yapı çersnde dağılımına etks hmal edlerek () () j j ve = q olarak alınmıştır. Sonrak aşamada ele alınan çözüm bölges sonlu sayıda sonlu elemanlara ayrıklaştırılır ve her sonlu elemanda aranan fonksyonun fades polnom olarak kabul edlr. Bundan sonra blnen Rtz teknğ yardımıyla her sonlu elemanda polnom olarak kabul edlen çözümün katsayıları belrlenr. Bu çalışmada yerdeğştrme esaslı Sonlu Elemanlar Yöntem kullanıldığından elde edlen çözüm her sonlu elemanda yerdeğştrme fonksyonudur. Gerlmeler se ( de verlen bünye denklemler (Hooke yasası) yardımıyla bulunur. Bu şlemlern yapılması sırasında ele alınan problemn x = ye göre smetrk olması göz önünde bulundurularak çözüm { x H; x } bölges çn yapılmış bu bölgenn ayrıklaştırılmasında çatlak ucu cvarında 6 düğüm noktalı (nodlu) sngüler (I. Durum) veya sngüler olmayan (II. Durum) üçgen sonlu elemanlar (Şekl ) ger kalan bölgede standart 9 düğüm noktalı (nodlu) dkdörtgen sonlu elemanlar kullanılmıştır. Dolayısıyla ele alınan bölgenn sonlu eleman modellemesnde 596 standart dkdörtgen 8 sngüler veya sngüler olmayan üçgen sonlu eleman (Şekl ); 55 düğüm noktası (NOD) ve 4975 serbestlk dereces (NDOF) kullanılmıştır. Elde edlen çözümün gerlme sınır koşullarını sağlaması gerekllğ göz önünde tutularak çözümün hassaslığı üzernde dkkat edlmştr. (9) (a) (b) Şekl. Çatlak ucunda a) standart b) sngüler sonlu eleman ağı
The Effect of Snguler Fnte Element on the Sonlu Elemanlar çözümlernden elde edlen verler (5) fonksyonel ve Energy Release Rate yöntem ( U ) yardımıyla çatlak ucunda. Mod SIF değerler elde edlmştr. Örneğn öngerlmel zotrop ortamdak çatlak ucunda K değer (E) 4γµ K I = () 3 3 3λ + 8λ µ + 7λµ + 4µ ν µ 4( λ + µ ) ( λ + µ ) den belrlenr []. () da λ ve µ malzemenn sırasıyla Lamé sabt ve kayma modülü sonsuzda çatlak doğrultusuna paralel olarak verlen öngerlme ve () du γ = ( da dır. ( de U-csmde brken elastk enerj a-yarı çatlak uzunluğudur. Çatlak çeren öngerlmel anzotrop ortamlarda K- γ lşks daha karmaşık olduğu çn burada verlmemştr. 4. SAYISAL SONUÇLAR VE DEĞERLENDİRME Ele alınan şert-levhanın malzemesnn x = düzlemne paralel olacak şeklde yerleştrlen ve brbrn tekrarlayan farklı k zotrop levhadan oluşan çok katlı kompozt malzeme olduğunu kabul edelm. Belrtelm k kompozt malzemenn bleşenlernden güçlendrc levhaya at büyüklükler alt nds matrs malzemesne at büyüklükler alt nds le gösterlecektr. Buna göre bu malzemelere at Elastk sabtler E E Young Modülü; ν ν Posson sabt; λ λ µ µ sırasıyla lamé sabtler ve kayma modüller olsun. Dolayısıyla ele alınan kompozt malzemeye at normalze edlmş mekank sabtler Crstensen (979) ve dğer brçok kaynakta verldğ gb aşağıdak formüller yardımıyla bulunur. µ µ A 66 = µ η + µ η A = λη + λ η ηη λ ) + µ ( λ + µ ) + µ η + ( λ + µ ) η λ ) A = + µ η + ( λ + µ ) η η η + µ η + ( λ + µ ) η + µ ( λ + µ ) A = + µ η + ( λ + µ ) η η η. ( + µ η + ( λ + µ ) η burada Ekνk η = η λ k = ( + νk )( νk ) Ek µ k = (3) ( + νk )
A. Turan Sgma 5/ ( ve (3) de η kompozt malzeme çersnde güçlendrc (takvye) malzemesnn hacm oranını göstermektedr. Sayısal uygulamada ν = ν =.3 η =.5 h =. h A = h U = h alınmış ve dğer parametre değerler tablolar üzernde gösterlmştr. Tablo. Elde edlen SIF değerlernn karşılaştırılması (s) (f ) (E) / h K I / K I K I / K I K I / K I.4.4.464.464.936.375.375.98.96.766.3.3.44436.444.878.5.5.9369.936.794...4739.47357.4974.4.4.464.464.936 Tablo de çatlak ucu bölgesnde sngüler sonlu eleman ağı kullanılarak öngerlme olmadığı ( q = ) durumda çatlağın boyutları plağın boyutlarına göre çok küçük alındığında SIF değerler yaklaşık Analtk formül yardımıyla ( K ( s) I K [6] ) çatlak ucu bölgesndek yerdeğştrmelern yardımıyla ( K ( f ) I K [8] ) ve Energy Release Rate yöntem ( E) ( K I K [9] ) yardımıyla olmak üzere üç farklı yolla bulunan SIF değerler plağın homojen zotrop malzeme özellklerne sahp olması durumunda verlmektedr. Ayrıca Tablo de görülen K = p π I olup çatlağın kenarlarına dk doğrultuda etkyen ve sonsuzda verlen eksenel çekme kuvvet ( = p ) etksnde q = çn plaktak çatlak ucunda oluşan SIF değerdr. Tablo den görüldüğü gb çatlağın boyutları küçüldükçe verlen oranlar e yaklaşmaktadır yan Sonlu Elemanlar Yöntem yardımıyla bulunan sayısal sonuçlar kesn çözüme yaklaşmaktadır. Bu sonuç yapılan algortma ve blgsayar programlarının doğruluğunu göstermektedr. Ayrıca br kısmı Tablo de verlen çok sayıda sayısal verlern ncelenmes SIF n belrlenmesnde Energy Release Rate yöntemnn daha güvenlr olduğunu göstermştr. Bu nedenle belrtelm k bundan sonrak sayısal değerler ancak bu yöntem çerçevesnde bulunacaktır. Tablo de sonlu eleman modellemesnde çatlak ucu cvarında sngüler ve sngüler olmayan üçgen elemanların kullanılmasının SIF (K) değerne etks farklı çatlak uzunlukları ve öngerlme durumlarında verlmektedr. Çatlak ucu cvarında sngüler sonlu elemanların kullanılarak veya sngüler olmayan (standart) sonlu elemanlar kullanılarak elde edlen SIF (K) değerler yapı elemanında anzotrop ve çeştl öngerlme değerlernde herhang br etk yaratmamıştır. Yan ele alınan benzer durumlarda enerj yöntemler kullanılarak Sonlu Elemanlar Yöntem yardımıyla K nn belrlenmesnde çatlak ucu cvarında sngüler sonlu elemanların kullanıması gerekl değldr.
The Effect of Snguler Fnte Element on the Tablo. Bazı E E ve q (Eη + E η ) değerlernde sngüler (I.Durum)/sngüler olmayan (II.durum) sonlu elemanlar modellemes le elde edlen SIF değerler. q (Eη + E η ).4..5. E E I.Duru m..99.99 5.73.73.573.573.435.435.85.85 5.736.736.6476.6476.5754.5754.599.599 5.6.6.879.879.9384.9384 3.77 3.77 5.8679.8679.589.589.347.347 II.Durum I.Durum II.Durum I.Durum II.Durum +. +. -. -..9.9.839.839.939.939.6.6.7.7.599.599.736.736.86.86.555.555.44.44.59.59.77.77.47.47.87.87.463.463.756.756.847.847.84.84.8553.8553.8946.8946.757.757.685.685.7355.7355.7838.7838.646.646.5934.5934.6536.6536.75.75.5675.5675.564.564.5836.5836.679.679.55.55.45.45.593.593.69.69.499.499.666.666.75.75.375.375.763.763.985.985.998.998.4.4.953.953.884.884.94.94.7.7 3.534 3.534 3.39 3.39 3.95 3.95 3.4785 3.4785.849.849.6985.6985.8873.8873 3.89 3.89.5687.5687.4.4.6.6.839.839.336.336.55.55.379.379.668.668 TEŞEKKÜR Bu çalışmada blglernden ve önerlernden faydalandığım Sayın Prof. Dr. Surkay D. AKBAROV ve Sayın Doç. Dr. Nazmye YAHNİOĞLU na teşekkür ederm. 3
A. Turan Sgma 5/ KAYNAKLAR [] Grffth A.A. The Phenomena of Rupture and Flow n Solds Phlosophcal Transanctons Roy. Soc. 63-98 9. [] Grffth A.A. The Theory of Rupture In: Proc Frst Int. Cong. App. Mech. 55-63 94. [3] Irwn G.R. Fracture Dynamcs In: Fracture of Metals Amer. Soc. for Metals 47-66 948. [4] Orawan E. Fracture and Strength of Solds Reports on Progress n Physcs XII 85-3 948. [5] Cotterell B. and Ma Y.W. Fracture Mechancs of Cementtous Materals Blacke Academc & Professonal London 996. [6] Sh G. Handbook of Stress Intensty Factors Lehgh Unversty Pennsylvana 973. [7] Vardar Ö. Fracture Mechancs Boğazç Unversty Publcaton İstanbul 988. [8] Benzley S.E. Representaton of Sngulartes wth Isoparametrc Fnte Elements Internatonal Journal Numercal Methods n Engneerng 8 537-545 974. [9] Henshell R.D. and Shaw K.G. Crack Tp Fnte Elements are Unnecessary Internatonal Journal Numercal Methods n Engneerng 9 495-57 975. [] Zenkewch O.C. and Taylor R.L. Basc Formulatons and Lnear problems the Fnte Elements Method Vol 4 th Edton McGraw-Hll London 648 989 [] Guz A.N. Brttle Fracture of the Materals Wth Intal Stresses Kev Naukova Dumka- 99. [] Guz A.N. Fundamentals of the Three-Dmensonal Theory of Stablty of Deformable Bodes Sprnger-Verlag Berln Hedelberg-999. [3] Akbarov S.D. Yahnoğlu N. and Turan A. Çatlak İçeren Öngerlmel Şertte Gerlme Brkm Şddet Faktörüne Öngerlmenn Etks XII Ulusal Mekank Kongres Gazantep 8- Eylül 3 797-86. [4] Akbarov S.D. Yahnoğlu N and Turan A. On the determnaton of the SIF at the macrocrack tps n the pre-streched ansotrop strp 6 th Internatonal Fracture Conference Konya - September 3-8. [5] Akbarov S.D. Rzayev O.G. and Yahnoğlu N. On the unnecessty of the sngular fnte elements n the delamnaton problems 6 th Internatonal Fracture Conference Konya - September 3 9-8. [6] Akbarov S.D. Yahnoğlu N. and Rzayev O.G. On the unnecessty of the sngular type fnte elements for nvestgatons of the buclng around a crack Internatonal Appled Mechancs 4 ( has been accepted for publcaton). [7] Crstensen R.M. Mechancs of Composte Materals Wley New York 348 979. [8] Gosz M. Dolbow J. and Moran B. Doman Integral Formulaton for Stress Intensty Factor Computaton Along Curved Three-Dmensonal Interface Cracks Internatonal J. Solds and Structures 763-783 998. [9] Tan C.L.and Y.L. Gao. Treatment of Bmateral Interface Crack Problems Usng the Boundary Element Method Eng. Fracture Mechancs 36 6 99-93 99. 4