YAPI STATİĞİ Prof. Dr. P. Marti

İlk aın: Kasım 04 www.gven-kta.ch YPI STTİĞİ Prof. Dr. P. Marti Gerilmeler ve Mohr dairesi 44-04- B dosaı 44_00_Yapı Statiğine Giriş ve Öet dosasıla beraber incelerseni daha ii anlarsını. Çevirenler: M. Güven KUTY, Mhammet ERDÖL En son düeltme: Kasım 04 B dosalarda alnı ders notlarının tercümesi verilmiştir. Daha geniş ve detalı bilgi almanı için Prof. Dr. P. Marti nin Statik kitabını öneririm. lmanca-detsch İngilice-English Prof. Dr. P. Marti Peter Marti Bastatik, Grndlagen- Stabtragwerke-Flächentragwerke Ernst & Sohn, Berlin, 0 Peter Marti Theor of Strctres, Fndamentals, Framed Strctres, Plates and Shells Ernst & Sohn, Berlin, 0 Prof. Dr. sc. Peter Marti 990 ile 04 senelerinde Zürich ETH da İnşaat Statiği ve Konstrüksion Profesörü 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

DİKKT: B çalışma ii nietle ve bgünün teknik imkanlarına göre apılmıştır. B çalışmadaki bilgilerin anlış kllanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi arar için sormllk kllanana aittir. B çalışmadaki bilgileri kllananlara, kllandıkları erdeki şartları ii değerlendirip bradaki verilerin eterli olp olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detalı hesap apmaları önerilir. Eğer herhangi bir düeltme, tamamlama vea bir arn olrsa, hiç çekinmeden biimle temasa geçebilirsini. Statik dosalarında kllandığımı terimlerin lmancadan Türkçe karşılığını, ne Türk Dil Krmnda nede normal vea elektronik sölüklerde blamadık. Hedefimi Türkçe bilen ve temel bilgisi a dahi olan kütlee basit olarak bilgileri aktarmak oldğ için, kendi mantığımıa göre okcnn anlaacağı, basit Türkçe terimler kllandık. rıca 44-00 nmaralı dosada Türkçe-lmanca(-İngilice-Fransıca) sölük ile Kanakları verdik. İsteen oradan kllanılan Türkçe terimleri ve tanımlamaları blabilir. Bilgini ola!.. Terimlerin Türkçe karşılığı için büük ardımı olan saın Mhammet ERDÖL e kendim ve dosadan fadalanacakların adına çok teşekkür ederim. 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

İ Ç İ N D E K İ L E R. Gerilmeler... 5.. Gerilmelerin tarifi... 5... Bir eksenli gerilme... 6... İki eksenli gerilmeler... 7... Kesit düleminde n-ekseni önünde normal gerilme "σ n "... 7... Kesit düleminde t-ekseni önünde normal gerilme "σ t "... 8... Kesit düleminde t-ekseni önündeki önündeki kama gerilmesi " tn "... 9...4. Kesit düleminde kama "n" önünde " nt " gerilmesi... 0... Üç eksenli gerilmeler..... sal normal gerilmeler ve önleri... 6.. Mohr dairesi... 7... Mohr dairesinin merke koordinatları... 8... Mohr dairesinin rads bo... 9... sal normal gerilmeler ve... 9..4. Maksimm kama gerilmesi ma... 9..5. Mohr dairesininin geometrik ormlanması... 9.4. sal normal gerilmeler... 0.4.. Parçada ve için ön işaret kralı... 0.4.. Mohr dairesinde gerilmelerin ( ve gösterilmesinde ön işaret kralı... 0.5. Mohr dairesinin konstrüksion....5.. Mohr dairesi için pratikten örnek... 4. Kesitteki gerilmeler... 7.. Genel giriş... 7.. Gerilmeler ve deformasonlar için kabller ve sonçları... 7.. Eğilme ve eksenel kvvet... 8... talet momentleri... 0... Çeşitli kesitlerde atalet momentleri...... Normal gerilmelerin genel formülü...... Eğilme çigisi...... Kirişin diferansiel denklemi ile sehim...... Örnekler... 5..4. Homojen olmaan kesitte eğilme ve eksenel kvvet... 7.4. Çapra kvvet... 8.4.. Çapra kvvetin aklaşık incelenmesi... 8.4.. Statik moment... 9.4... Statik moment hesapları örneği... 9.4.. Uglama örneği... 4.4.4. Şekil değiştirme işi "U" a kısa bakış... 4.4.5. Elastiklik teorisi... 44.4.5.. İnce cidarlı profillerde elastiklik teorisi... 45.4.6. Torsion merkei... 46.5. Torsion... 47.5.. Dönüş torsion (St.Venant)... 47.5.. İnce cidarlı kaval profiller... 47. Deformasonlar... 49.. İki eksenli deformasonlar... 49.. Koordinatların transformason... 5.. Üç eksenli deformasonlar... 5.4. Isı etkisinde deformasonlar... 56.5. Deformasonların öeti... 56.6. Uglama örneği... 56.7. Mohr dairesi ve benerleri, öet... 57.7.. Gerilmeler için Mohr dairesi... 57.7.. Esnemeler için Mohr dairesi... 58.7.. taletler momentleri için Mohr dairesi... 58 4. Kesit çekirdeği... 59 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

4.. Navier e göre genel gerilme formülü... 59 4.. Kesit çekirdeğinin konstrüksion... 6 4... Genelde kesit çekirdeğinin konstrüksion... 6 4... Dikdörtgen kesit alanında çekirdek... 6 4... Kesit çekirdeğinin detalı konstrüksion... 6 5. Mohr benerliği (Mohr analojisi)... 65 5.. Prensip ve gidiş ol... 65 5.. Örnekle Mohr benerliği... 66 5... Örnek, Serbest çta tek kvvetle orlanan portafo (çıkma) kirişte sehim... 66 5... Örnek, Sabit aılı ükle orlanan klasik kirişte sehim... 67 5... Örnek, Mafsallı sistemde sehim... 68 6. Kon İndeksi... 69 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 5. Gerilmeler.. Gerilmelerin tarifi Bir cisim çeşitli dış kvvetler etkisinde olsn. Örneğin: üe basıncı, basma ve beneri kvvetler gibi. B cisimden küp biçiminde küçük bir parça alalım (Şekil ). B dış kvvetler, b küp şeklinde düşünülen küçük elementte üç eksenli gerilmeler medana getirir. Şekil, ismin küçük küp parçacığı Küpün altı üeinin herbirinde bir normal ve iki kama gerilmesi doğar (Şekil ). B gerilmeleri bir koordinat sistemi ile gösterebiliri. Eksenler, ve olarak adlandırılır. Brada olşan gerilmelere bakacak olrsak iki cins gerilme görürü:. Normal gerilmeler "": Şekil ile gösterildiği gibi gerilmenin cinsi "" ile, gerilmenin önüde indisi ile gösterilir. Örneğin:, -ekseni önünde normal gerilme. Normal gerilmelerde basma gerilmesi negatif (), çekme gerilmesi ise poitif (+) olarak kabl edilir. Genelde ön işaret kralına göre işaretleri verilir (bk. 44_00_Statiğe Giriş ve Öet dosası).. Kama gerilmeleri "": Şekil ile gösterildiği gibi gerilme cinsi "" ile, indisinde. indis gerilmenin önünü,. indisde gerilmenin dik oldğ ekseni gösterir. Örneğin:, -ekseni önünde, -eksenine dik kama gerilmesi. Kama gerilmeleri, cismin merkeini saat önünde çeviriorsa poitif (+), tersine çeviriorsa negatif () işaret verilir. Eğer gerilme analii apılan parçada, parça üç botl oldğ için genel olarak üç eksende etkili gerilmeler blnmalıdır. Pratikte ş şekiller ortaa çıkar. nalii apılan parçada alnı bir normal gerilme varsa ve diğer iki normal gerilmede sıfır ise b gerilme şekline "bir eksenli gerilme" denir. nalii apılan parçada herhangi bir eksen önünde etki eden gerilme sıfır ise, gerie gerilmeleri olan iki eksen kalacağından, böle bir gerilme şekline "iki eksenli gerilme" denir. B gerilmeler "Dülem gerilmeleri" diede adlandırılır. nalii apılan parçada üç eksende etkili gerilmeler hemen hemen ok denecek kadar a rastlanır. Eğer üç eksende etkili gerilme varsa, böle bir gerilme şekline "Üç eksenli gerilme" denir. B gerilmeler "Hacim gerilmeleri" diede adlandırılır. Pratikte genel olarak dülemde hesaplar apılır ve çok ender olarak gerilmeler hacimde düşünülür ve hesaplanır. Bir çbğ bir taraftan eğilme momenti diğer taraftan torsion momenti ile ükleelim. Hesabın apılacağı kesiti incelediğimide, brada iki arı çeşit gerilme ile karşılaşırı. B drmda asıl sor ortaa çıkar.ölçülendirilicek vea kontrol edilecek bir makina parçasının kesitinde, arı cinsden gerilmeler blnrsa, hesap nasıl apılır? Böle bir problemin çöümünde ttlacak ol şöledir:.n O t t.n Parçaa etki eden gerilmeler bir eksenli gerilme olarak "karşılaştırma gerilmesi" adı altında toparlanır ve malemenin mkavemet değeri ile karşılaştırılarak karar verilir. Malemenin bilinen mkavemet değerleri, denelerle elde edilen bir eksenli mkavemet değerleridir. Genelde bir dülemdeki gerilmeler en çok görülen haldir. t.n n B 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

6 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i...bir eksenli gerilme Dikdörtgen prima şeklindeki bir çbğn -ekseni önünde normal kvvetle orlandığını düşünelim. Eksende etken olan kvvetin dik kesitte doğrdğ gerilmee, "bir eksenli gerilme" vea "bir botl gerilme" denir. Brada alnı normal kvvet "N=F " oldğndan, F = F = 0 olr ve τ = 0 ve σ = σ =0 dır. Bk Şekil. N N.sin Kesit alanı, Normal kvvet N=. = sabit ise açılı kesitte: Normal gerilme : n sin Kama gerilmesi : tn sin cos Mohr dairesi ile gerilmelerin geometrik ormlanması için Şekil ile verilmiş olan dikdörtgen primanın t kesitinde olşan gerilmeler Şekil ile Mohr dairesi olarak gösterilir. Brada Mohr dairesinde X noktası Ktp noktası rolünü onar. X den parça kesitine çiilen paralelin dairei kestiği nokta "N" noktasıdır. t n [N/mm ] N( ) tn n tn sin n.sin n X tn t kesitine paralel Y n t n Şekil, Bir eksenli gerilme Şekil, Bir eksenli gerilme için Mohr dairesi Eğik kesitteki gerilmeler: Çbkta açılı eğik bir kesitte olşan gerilmeleri blalım. Kesit dülemi eksenini "t" (teğetsel) ve kesit dülemine dik ekseni "n" (normal) olarak adlandıralım. Şekil ile "n" önündeki normal gerilme " n " bağıntısı ş şekilde blnr: " = N/" bradan "N =. " eğik dülem için ". sin" ve alananı birim alan " = " olarak düşünürsek "N =.. sin"bradanda "N =. sin" blnr. n = F n / F n = N. sinφ φ = / sinφ N sin sin n Bna bener kama gerilmesi " = tn = nt " ş şekilde blnr: τ = F t / φ F t = N. cosφ n sin N cos sin tn nt tn sin cos Trigonometri fonksionna göre : sinφ cosφ = sinφ ve sinφ cosφ = sinφ/ = 0,5. sinφ oldğna göre, 0,5 sin olarakta gösterilebilinir. tn 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 7 Şekil ile "t" önündeki normal gerilme " t " bağıntısı ş şekilde blnr: t = F t / F t = N. cosφ φ+ = / cosφ t N cos cos t cos Brada hesapladığımı σ n ve σ t gerilmelerini toplaacak olrsak: n t sin cos (sin cos ) sin cos oldğndan n t Brada sınır değerlerini araacak olrsak "n" önündeki normal gerilme σ n için sin φ =, "t" önündeki normal gerilme σ t için cos φ = ve kama gerilmesi τ için sinφ = olması gereklidir. σ n nin σ nma olması için sin φ =, ani φ = 90 olmalıdır. Bölece. asal gerilme blnr. Bölece: σ = σ nma = σ, σ = σ tmin = 0 olr. σ t nn σ tma olması için cos φ = ani φ = 0 olmalıdır. Bölece. asal gerilme blnr. Bölece: σ = σ tma = σ, σ = σ nmin = 0 olr. τ = τ ma olması için sinφ = ani φ = 45 olmalıdır. Bölece: τ = τ ma = σ / ve σ nma = σ tma = σ / olr. B drm şöle gösteriri: ma n ma t ma Sonç: Kvvet eksenine dik olan kesitte beklenildiği gibi asal normal gerilme bir eksenli gerilme şeklindedir ve kama gerilmesi sıfırdır. Birinci asal gerilme " = = N/" dır. 45 lik eğik kesitte ise en fala gerilme olasılığı " ma = nma + tma = /" kadardır....iki eksenli gerilmeler İki botl vea iki eksenli, dülem gerilmesi. Dülemde gerilmelerin analiini apmak için Şekil 4 ile görülen eni ve bo bir birim olan parçaı ele alalım ve parçadaki gerilmeleri belirleelim. Şekil 4 ile üçgen olarak gösterilen esasında primadır, dülemde gerilme analii apıldığından üçgen olarak şekilde gösterilmiştir. Primaı etkileen bütün dış gerilmelerin doğrdğ iç kvvet ve alan sabit oldğ için gerilmelerinde statiğin denge kannn gerçekleştirmesi gereklidir. Şekil 5 ile görüldüğü gibi üçgenin noktasında bütün kvvet vea gerilmelerin toplamı mekaniğin denge kannlarına göre sıfır olmalıdır. B primanın üeleri ve önlerinde σ, σ ve τ = τ = τ tarafından etkilenir. B etkilerden drma göre σ n, σ t ve τ = τ nt = τ tn gerilmeleri olşr.... Kesit düleminde n-ekseni önünde normal gerilme "σ n " Şekil 5 ile verilen noktasındaki normal gerilmelerin toplamı için denge denklemini kralım. / n 0 n 0 n I II III IV 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

8 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i t.cos.cos.sin cos.sin sin tn n n t n.cos t.cos B nt.sin.sin Şekil 4, Dülemde gerilmeler Ykarıda verilen denklemdeki bilinmienleri sırasıla hesaplaalım. Brada Şekil 4 ile verilen örnek, iki eksenli gerilme vea iki botl gerilme için genelde gösterilen tipik örneklerden biridir. sin nin bileşeni I sin sin cos nin bileşeni II cos cos I II sin cos sin nin bileşeni sin cos cos nin bileşeni sin cos Bradan n nin formülü F blnr n cos sin sin cos F MPa -ekseni önündeki normal gerilme Kesitin açısı MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa Kama gerilmesi... Kesit düleminde t-ekseni önünde normal gerilme "σ t " Denge denklemini Şekil 6 ile verilen B noktasında normal gerilmelerin toplamı için kralım. t 0 Bt 0 III IV t I II III IV Ykarıda verilen denklemdeki bilinmeenleri sırasıla hesaplaalım: sin nin bileşeni I sin sin cos nin bileşeni II cos cos I II sin cos 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 9 IV III.sin.cos t II I.cos.sin n tn n Şekil 5, noktasında n gerilmesi t.cos.cos t III IV B II I.sin n.sin Şekil 6, B noktasında t gerilmesi sin nin bileşeni sin cos cos nin bileşeni sin cos III IV Bradan t-ekseni önündeki normal gerilme t nin formülü F ile blnr t sin cos sin cos F t MPa t-ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme Kesitin açısı MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa Kama gerilmesi Prensipte formül F ile sin erine cos, cos erine sin konlp kama gerilişminin işareti negatif alınsa hemen t değeri blnr. Yalnı sin, cos ile er değiştirse F ile kolalıkla blnr.... Kesit düleminde t-ekseni önündeki önündeki kama gerilmesi " tn ".sin t.cos.sin.cos tn II I IV III n III II.cos B.sin I.cos.sin IV nt n Şekil 7, noktasında tn gerilmesi Şekil 8, B noktasında nt gerilmesi 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

0 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i Denge denklemini Şekil 7 ile verilen noktasında kama gerilmelerinin toplamı için kralım. t 0 t 0 0 tn tn I I II II III III IV Ykarıda verilen denklemdeki bilinmienleri sırasıla hesaplaalım: IV cos nin bileşeni I sin cos sin nin bileşeni II sin sin sin nin bileşeni III sin cos cos nin bileşeni IV cos cos I II III IV sin cos sin sin cos cos Bradan tn nin değeri F ile blnr. tn nt cos cos sin sin F MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme Kesitin açısı MPa Kama gerilmesi...4. Kesit düleminde kama "n" önünde " nt " gerilmesi Denge denklemini Şekil 8 ile verilen B noktasında kama gerilmelerinin toplamı için kralım. nt tn n 0 Bt 0 0 I I II II III III IV Ykarıda verilen denklemdeki bilinmienleri sırasıla hesaplaalım: sin nin bileşeni I sin cos IV I sin cos cos nin bileşeni II sin cos cos nin bileşeni III cos cos sin nin bileşeni IV sin sin II III IV sin cos cos sin Bradan nt nin formülü F 4 de anen F gibi blnr. tn nt cos cos sin sin F 4 MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme Kesitin açısı MPa Kama gerilmesi 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i...üç eksenli gerilmeler Formül Fehler! Verweisqelle konnte nicht gefnden werden. ile verilmiş olan "t" vektörü herhangi bir önde "" ile bir skaler t verir. Brada vektör "t". dereceden tensör olarak kabl edilmelidir. İlerde "Virtüel İş Prensibi" dosasında göreceğimi Statik Sınır Koşllar formülü (F 5) ile Gerilmeler tensörü" (F 6) ile "" nin her önünde bir vektör "t" olştrr. Gerilmeler tensörü " ij " matrisi simetrik. dereceden tensördür (F 6). t,... F 5 ij F 6 Genel olarak b bağıntılar matris olarak gösterilir ve "matrisle aılış şekli" denir (F 7): Diğer aılışa "sembolle aılış şekli" denir (F 8): Vea başka aılışa "indisle aılış şekli" denir (F 9): t F 7 ti t F 8 ij j F 9 F 9 ile görülen indis "j" bie değerlerin toplanacağını söler. B toplama şekli "Einstein nın toplama konvansion" olarak tanımlanan şekilde apılır. t formülünde önünü blmak istersek: eğer kama gerilmeleri oksa = 0 demektir ve kama gerilmesinin olmadığı önde formülümü: t F 0 vea kama gerilmeleri oksa = 0 demektir ve F 5 formülüne göre F ile görülen homojen ve lineer eşitlik formülü "Homojen lineer denklem" blnr: 0 F Vektör nün trival olmaan çöümü ile, eşitlik sisteminin determinantları ortadan kalkarsa, "Karakteristik denklem" ortaa çıkar, F. 0 F () F 5 den F e kadar sembollerin tarifi MPa idisinde gösterilen önündeki kama gerilmesi MPa idisinde gösterilen önündeki normal gerilme Birim vektörü t N Elementer kvvet (i) MPa Değişme değerler i MPa sal gerilmeler F eşitliği ş değişme değerlerle olşr. () () ( ) F ( ) 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i ( ) Gerilmeler tensörü " ij " nin (F 6) temel invariantları F formülünün temel değerleri asal gerilmeler,.ve.dür. sal önler, ve F e temel değerlerin erleştirilmesile blnr. O ; OB ; OB Brada B dülemine dik birim vektörüdür. t t t.n Şekil 9, Üç eksenli gerilmeler O t t.n t B Karakteristik denklem, trival çöümü olmaan homojen lineer eşitlik sisteminin (Determinantı=0) çöümüle blnr. Karakteristik denklemin çöümüle de "na gerilmeler" blnr. na önler,, ;,, homojen lineer denkleme erleştirilmesile blnr. Şöle ki: i i i i i i i i i.n [ i = ( - i ). -., ] (i=,,,...) Hatırlatma: Karakteristik denklemdeki (). terimi çok kere negatif ön işaretli olarak aılır. () için sağ el kralının tersi kabl edilir. Gerilme darbeleri hidrostatik ve deviatorik komponentlerine arılır (literatüre bk). na eksen sisteminde vea ana gerilmeler hacminde geometrik interpretasonlar, hidrostatik eksen ve deviatorik dülem oktaeder normal gerilme ve oktaeder kama gerilmesi ile apılır (literatüre bk). Ortagonal kabl edilen betonn kllanılma öntemini"fib-ch-pblikation Osaka 00" aınında blrsn. n B 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i n S X N S n tn Y Ktp S N "N" -eksenine paralel normal dülem "S" t-ekseni etrafında açısıla dönmüş dülem t Şekil 0, Üç eksenli gerilmeler ile Mohr dairesi "S" noktalarının gerilmeleri Şekil 0 ile görülen -, - ve - ana dairelerinin arasında kalan orak şeklindeki kısımdadırlar. Konstrüksion, -ekseni önünde kabl edilirse, gerilmelerin tensörleri dülemsel ve hidrostatik olarak gösterilir (bk. F 4). 0 0 0 0 0 0 Dülemsel 0 0 0 0 0 0 hidrostatik 0 0 F 4 Maksimm kama gerilmesi ( ma ) iki asal gerilmenin ekstrem değerile blnr (F 5). ma 0, 5 eğer ise. F 5 Genelde gerilme tensörü hidrostatik ve deviatorik kısımlara arılarak gösterilir (F 6). 0 0 0 0 0 0 hidrostatik 0 S 0 0 0 S deviatorik 0 S 0 F 6 F 6 formülü ile verilen 0 genelde "Oktaeder normal gerilme" olarak bilinen ş büüklüktür. Genel olarak deviator ş şekilde gösterebiliri: Sij 0 F 7 ij 0 ij F 8 Brada verilen birim matrisini ij F formülüne analog olarak aarsak deviatörün üç değişme değerli ana denklemlerini blr, F 9: S ( ) 0 F 9 () () S ( ) 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

4 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i S ( ) () S () () () 7 Eksenleri, ve olan koordinat sisteminde herhangi bir "" vektörü, hidrostatik eksende ( = = ) blnan " 0 " vektörü ve deviatorik dülemde ( () =0) blnan "s" vektörü ile gösterilir ( 0. s = 0), Şekil. Vektör s nin deviatik düleme idüşümüş şekilde formüle edilir: Brada s vektörünün değeri OP.,,, s, s,... F 0 6 6 s s ( ) 0 F F formülü ile verilen 0 genelde "Oktaeder kama gerilmesi" olarak bilinen ş büüklüktür. 0 s () F Deviatik dülem Hidrostatik eksen 0 P O P P s P s P P P s P O P Şekil, Deviatik dülemle üç eksenli gerilmeler Şekil ile görülen açısının değeri F ile blnr. s cos F 0 6 0 Parçadaki gerilmelerin drm, bilinen gerilmeler 0, 0 ve açısının verilmesile ana eksenler sisteminde kati olarak belirlenir. 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i Bnn anında şnda ntmamak gerekir; ana eksenler sistemine geçişini sağlaan başlangıç koordinatlarını belirleen altı tensörün bileşenleri kabolmştr (görünmemektedir). 5 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

6 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.. sal normal gerilmeler ve önleri Brada maksimm ve minimm değerleri blmak için birinci derecedeki diferansiel denklemi sıfıra eşitlememi gereklidir. B hesabı apmak istersek: d n / d = 0 n cos sin + sin - cos = 0 sin sin cos + cos sin + cos sin / d = 0 ( + ) sin = cos sin = cos ( ) Bölece asal normal gerilmeler ve nin önlerinin açısı blnr: tan = F 4 Kesitin açısı *) MPa Kama gerilmesi MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme *) Brada açısı, -ekseni ile. asal normal gerilme ekseninin olştrdğ açısıdır. F 4 ile verilenlerin analiini aparsak: sal normal gerilmeler σ ve σ birbirlerine diktirler ve tanφ birbirinden 80 farklı iki açıı gösterir. Bnn anında φ açısı birbirine 90 farklı iki eksen önünü belirler. Diğer taraftan kama gerilmelerinin hesabına devam edersek (F 4): sin cos cos sin tn nt Trigonometri bilgimii taelersek; cos sin = cos ve sin cos = sin / B bağıntıları τ tn -formülünde erleştirirsek: ( - ) tn = cos + sin sal normal gerilmelerin önleri formülünü tekrar ele alıp işlersek (F 4): sin cos = ve bradan sin = cos - - B blnan değeri erleştirirsek: ( - ) - cos tn = cos + ( - ) tn = cos cos!.. F 5 MPa Kama gerilmesi Kesitin açısı F 5 ile ile verilenlerin analiini aparsak ş sonca varırı. Küçük bir prima parçasını asal normal gerilmeler σ ve σ etki edene kadar çevirdiğimide kama gerilmeleri sıfırdır. 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 7.. Mohr dairesi F ile bilinen n normal gerilmesini ele alalım. n cos Trigonometri bilgimii tekrar taeleelim; sin sin = (- cos ) cos = (+ cos ) sin cos B bağıntıları eğik dülemindeki normal gerilmeler formülünde erleştirirsek: n = (+ cos ) + ( cos ) + sin + n = + cos + sin ve iç teğet gerilme için; = ( - tn cos sin ) + ( ) cos sin v tn = cos + sin tn = sin + cos sin cos = sin Eğer b iki eşitlik formülünün karesini alıp beraber toplarsak Mohrn (mohr) gerilmeler dairesini blr. B daire σ n ve τ koordinat sisteminde blnr: + n - = cos + sin tn = sin + cos + - + = ( + n cos sin ) + tn Diğer taraftan cos + sin = oldğndan F 6 formülü blnr. + - - + n tn = + F 6 σ n MPa Kesit üeindeki toplam normal gerilme τ tn MPa Kesit üeindeki toplam kama gerilmesi σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme τ MPa Kama gerilmesi Daire fomülü: ( - a ) + ( - b ) = r F 7 F 6 ile blnan formülün dairesini ve F 7 ile verilen genel daire fomülü çielim (bk Şekil ) ve F 6 ile F 7 formllerini Tablo de karşılaştıralım: 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

8 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i B r ma 0 M R b a ma min M = ()/ X Y ma D Şekil, Genel daire Tablo, Daire fomülü ile gerilme fomülünün karşılaştırılması Şekil, Mohr dairesi Genel daire, F 7 ve Şekil Mohr dairesi, F 6 ve Şekil n a M + ( - a ) n - tn b 0 ( - b ) r r 0 Brada b = 0 olması dairenin merkeinin koordinat sisteminin sıfır noktasında oldğn gösterir. B daire ilk defa Mohr tarafından blndğ için "Mohr dairesi" denir....mohr dairesinin merke koordinatları Tablo ile görülen benerliklerden ş formülleri kolalıkla üretiri: Mohr dairesinin merke koordinatları Tablo ile derhal görülür. Mohr dairesinin merkei daima - ekseni üerinde olacağından ordinatı sıfırdır ve apsis değeri F 8 ile blnr. R tn M F 8 M MPa Mohr dairesi merkeinin değeri (apsisi), =0 σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 9...Mohr dairesinin rads bo Mohr dairesinin rads bo Tablo ile derhal görülür ve F 9 ile gösterilmiştir. R F 9 σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme τ MPa Kama gerilmesi...sal normal gerilmeler ve Mohrn gerilmeler dairesi üerindeki her nokta parça üerindeki bir kesiti gösterir (Şekil ). B çember üerindeki noktada krlacak koordinat sistemi, o kesitteki iç gerilmeleri "σ ve τ" gösterir. ve noktaları koordinat sisteminin gösterdiği kesitteki maksimm ve minimm iç normal gerilmeleri, diğer deimi ile asal normal gerilmeleri gösterir. B değerleri formülle göstermek istersek Şekil ile görüldüğü gibi ş bağıntıı blr., = a R + -, = + F 0 σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme τ MPa Kama gerilmesi..4.maksimm kama gerilmesi ma Şekil ile görülen B ve D noktaları maksimm kama gerilmesini gösterir ve bda Mohr dairesinin radsna eşittir. ma R F σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme σ MPa -ekseni önündeki normal gerilme τ MPa Kama gerilmesi..5.mohr dairesininin geometrik ormlanması [MPa ] X N n tn Şekil 4 ile görülen: M P T t nt Y [MPa] t n açısı; -ekseni ile eğik dülemin olştrdğ açıdır. açısı; -ekseni ile. asal normal gerilme ekseninin olştrdğ açıdır. Şekil 4, Mohr dairesi 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

0 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.4. sal normal gerilmeler Şekil 5, sal normal gerilmeler Herhangi bir çbktan küçük bir kısmını aldığımıı (Şekil 5) ve b parçanın σ, σ ve τ tarafından etkilendiğini kabl edelim. B parçaı avaşca döndürdüğümüde bir an gelecek belirli bir φ (fi) açısında, Normal gerilmelerin (σ ve σ ) birinin en büük diğerininde en küçük değere vardığında τ ninde kaboldğ, değerinin sıfır oldğ görülecektir. Brada daima σ > σ. kabl edilir. B arada σ ma = σ ve σ min = σ olarak aılır. B drmada ş tanım apılır: Bir parçada kama gerilmesi sıfır ve alnı normal gerilmeler var ise, b gerilmelere "asal normal gerilmeler ( σ ve σ ) " denir. Gerilmelerin geometrik ormlanması Mohr dairesi ile apılır..4..parçada ve için ön işaret kralı Bir ödevde verilen gerilmelerin (, ve = ) ön işaretleri daima aşağıda verilen ön işaret kralına göre kabl edilecektir. Ön işaret kralı +. Çekme gerilmeleri daima poitiftir.. Düleme inen dikmeler in vea nin + poitif koordinat sistemindeki önlerini gösteriorlarsa, b gerilmeler poitiftir. + Eğer kama etkilediği üede poitif - önündese ve poitif -önünü gösteriorsa + kama gerilmesi poitiftir. Şekil 6, Parçada ve.4..mohr dairesinde gerilmelerin ( ve gösterilmesinde ön işaret kralı Ön işaret kralı. Çekme gerilmeleri daima poitiftir.. Kama gerilmeleri poitiftir, eğer parçanın + içine göre parçaı saat önünde + döndürüorsa.. Eğer poitif ise, Mohr dairesinde + negatif olarak gösterilir. Ön işaret daima bilinenin tersidir. Şekil 7, Mohr dairesinde ve Ykarıda teorik olarak anlatılan Mohr dairesinin konstrüksionn daha ii anlaabilmek için basit 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i bir örneği ele alıp detalı analiini aparak Mohr dairesi konstrüksionn anlatmaa çalışalım. sin Kabller vea bilinenler: + + + t n cos cos sin cos t sin tn Şekil 8, Parçada gerilmeler.5. Mohr dairesinin konstrüksion n n Düleme dik Paralel oldğ eksen = 70 MPa = 0 MPa = 5 MPa = 5 MPa = 5 Mohr dairesinin konstrüksionnn bitmiş hali Şekil 9 ile görülmektedir. Kabl edilen apsisi, ordinatı olan bir koordinat sistemi ele alınır..eksene // 50 40 5 0 0 [MPa] + + tn 0 (, ) t 0 0 n-eksenine // 0 nt nt t 0 T ( t, nt ) -eksenine // 0 5 40 50 ma 0 Y(, ). eksen M -eksenine // -eksenine // 60 -eksenine // X(, ) P N(, ) tn n n. eksen t-eksenine // t tn (, ) n.eksene // [MPa] n Şekil 9, Mohr dairesi konstrüksion. Bilinen değerlerle X ve Y noktaları ölçekli koordinat sisteminde işaretlenir. Brada X(, ) = X(70, 5) ve Y(, ) = Y(0, 5) değerindedir.. Mohr dairesi merkei M noktası: X ile Y noktalarını birleştiren doğrnn -eksenini kestiği nokta Mohr dairesinin merkei M noktasıdır. nalitik olarak M noktasının saısal büüklüğü F ile hesaplanır: 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i M F MPa -eksenindeki normal gerilme MPa -eksenindeki normal gerilme Örnekdeki değerlerle M noktasının saısal büüklüğü şöle hesaplanır: Mohr dairesi arıçapı R: 70 0 M 50 M (50,0) Şekil 9 de işaretlenir. X ile M noktalarını birleştiren doğr Mohr dairesinin arıçapıdır "R" ve analitik olarak saısal büüklüğü F ile hesaplanır: R ma ma F Saısal olarak Mohr dairesinin arıçapı ile maksimm kama gerilmesi anı değerdedir. Yalnı birim olarak değişiktir. Maksimm kama gerilmesi, t ma : değeri analitik olarak F 4 ile hesaplanır: ma F 4 MPa -eksenindeki normal gerilme MPa -eksenindeki normal gerilme MPa Kama gerilmesi Örnekdeki değerlerle arıçap R nin saısal büüklüğü: R 70 0 5 40,. Mohr dairesinde ktp noktası P: R Şekil 9 de işaretlenir ve Mohr dairesi çiilir. X noktasından -eksenine çiilen paralelin, Y noktasından -eksenine çiilen paraleli kestiği nokta Mohr dairesinde ktp noktası P dir. Şekil 9 ile görüldüğü gibi P noktasının koordinatları P(, ) dr. Brada P(70,5) dir. 4. sal normal gerilmeler ve (=0) ile ve nmaralı eksenler: ve nmaralı asal normal gerilmelerin noktaları daima -ekseni üerindedir ve Mohr dairesi ile -ekseninin kesiştiği noktalardır. Daima ve olarak adlandırılır. P doğrs.eksene paraleldir ve nin önünü gösterir, P doğrs.eksene paraleldir ve nin önünü gösterir. 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i sal normal gerilmeler ve (=0) saısal büüklüğü analitik olarak F 5 ile hesaplanır:, F 5 MPa. asal normal gerilme ( ) MPa. asal normal gerilme ( ) MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa Kama gerilmesi sal normal gerilmeler ve nin önleri analitik olarak F 6 ile hesaplanır: Örnekdeki değerlerle in saısal büüklüğü: ( 5) tan,750 0 70 5. Gerilme noktaları N ve T: tan F 6 -ekseni ile. eksenin olştrdğ açı MPa Kama gerilmesi MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme arctan(,750) 60,55 0,8 P noktasından t-eksenine çiilen paralelin Mohr dairesini kestiği nokta gerilme noktası N ( n, tn ) P noktasından n-eksenine çiilen paralelin Mohr dairesini kestiği nokta gerilme noktası T ( t, nt ). B değerler Şekil 9 ile görüldüğü gibi analitik olarak F 7, F 8 ve F 9 formüllerile hesaplanırlar. n cos sin sin cos F 7 tn t sin cos sin cos F 8 nt cos cos sin sin F 9 MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa -ekseni önündeki normal gerilme MPa Kama gerilmesi Örnekdeki değerlerle n, n ve tn nin saısal büüklüğü hesaplamak istersek: = 70 MPa ; = 0 MPa ; = 5 MPa ; = 5 için; n-eksenindeki normal gerilme; t-eksenindeki normal gerilme; n = 49,8 MPa t = 5,79 MPa Kama gerilmesi; tn = 40, MPa nt = 40, MPa 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

4 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 6. Gerilmelerin diagramda gösterilmesi ve çiilmesi: X noktasında normal gerilme "+" poitif oldğndan "çekme" gerilmesidir. ismin dol tarafı sol tarafta gösterildiği için gerilme önü üee dik olarak sağa doğr gösterilir. Kama gerilmesi "+" poitif oldğndan cismin merkeini saat önünde çevirior demektir. ismin merkei sol tarafta oldğ için gerilme önü brada aşağıa doğr çiilir. N noktasında normal gerilme n "+" poitif oldğndan "çekme" gerilmesidir. ismin dol tarafı sol tarafta gösterildiği için gerilme önü üee dik olarak sağa doğr gösterilir. Kama gerilmesi tn "+" poitif oldğndan cismin merkeini saat önünde çevirior demektir. ismin merkei sol tarafta oldğ için gerilme önü brada aşağıa doğr çiilir. noktasında asal normal gerilme "+" poitif oldğndan "çekme" gerilmesidir. ismin dol tarafı sol tarafta gösterildiği için gerilme önü üee dik olarak sağa doğr gösterilir. sal normal gerilmenin oldğ erde kama gerilmesi = 0 dır. Y noktasında normal gerilme "+" poitif oldğndan "çekme" gerilmesidir. ismin dol tarafı karı tarafta gösterildiği için gerilme önü üee dik olarak aşağıa doğr gösterilir. Kama gerilmesi "" negatif oldğndan cismin merkeini saat önünün tersine çevirior demektir. ismin merkei karı tarafta oldğ için gerilme önü sağa doğr çiilir. T noktasında normal gerilme t "+" poitif oldğndan "çekme" gerilmesidir. ismin dol tarafı karı tarafta gösterildiği için gerilme önü üee dik olarak aşağıa doğr gösterilir. Kama gerilmesi nt "" negatif oldğndan cismin merkeini saat önünün tersine çevirior demektir. ismin merkei karı tarafta oldğ için gerilme önü sağa doğr çiilir. noktasında asal normal gerilme "+" poitif oldğndan "çekme" gerilmesidir. ismin dol tarafı karı tarafta gösterildiği için gerilme önü üee dik olarak aşağıa doğr gösterilir. sal normal gerilmenin oldğ erde kama gerilmesi = 0 dır..5..mohr dairesi için pratikten örnek Mohr dairesinin konstrüksion için pratikten örnek apalım. Şekil 0 ile verilen bir parçada kanak dikişi ile birleştirme vardır. Parçada ve parçanın kanak dikişindeki gerilmelerin analiini apalım. a Kanak dikişi t n a Z X Şekil 0, Eğik kanak dikişli plakada gerilmeler Şekil 0 ile verilmiş olan eğik kanak dikişli plakada bilinenler: = 0 MPa = 60 MPa = = 0 MPa = 8 Mohr dairesinin konstrüksionnn bitmiş hali Şekil ile görülmektedir. Kabl edilen apsisi, ordinatı olan bir koordinat sistemi ele alınır.. Bilinen değerlerle X ve Z noktaları ölçekli koordinat sisteminde işaretlenir. Brada X(, ) = X(0, 0) ve Z(, ) = Z(60, 0) değerindedir. 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 5 ma N ( n, tn ) [MPa] t-eksenine // tn n Ktp P (, ). eksen X -eksenine // (, ) 0 0 0 0 0 M= -eksenine // + n-eksenine //. eksen 60 Z (, ) (, ) Z [MPa] X T ( t, nt ) nt t n tn nt nt t n tn t t n Şekil, Eğik kanak dikişli plaka için Mohr dairesi. Mohr dairesi merkei M noktası: X ile Z noktalarını birleştiren doğrnn -eksenini kestiği nokta Mohr dairesinin merkei M noktasıdır. nalitik olarak M noktasının saısal büüklüğü F 40 ile hesaplanır: M F 40 MPa -eksenindeki normal gerilme MPa -eksenindeki normal gerilme Örnekdeki değerlerle M noktasının saısal büüklüğü şöle hesaplanır: 0 60 M 0 M (0 ; 0) işaretlenir (Şekil ). Mohr dairesi arıçapı R blnr. X ile M noktalarını birleştiren doğr Mohr dairesinin arıçapıdır ve analitik olarak saısal büüklüğü F 4 ile hesaplanır. Formülde arı çapın birimi mm olarak seçilmiştir. R F 4 Maksimm kama gerilmesi ma ın saısal büüklüğü F 4 ile hesaplanır. ma F 4 MPa -eksenindeki normal gerilme MPa -eksenindeki normal gerilme MPa Kama gerilmesi 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

6 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i Örnekdeki değerlerle arıçap R nin saısal büüklüğü: R 0 60 ( 0) R 50,0 işaretlenir (Şekil ) ve Mohr dairesi çiilir. Ykarıda Mohr dairesinin konstrüksion nda anlatıldığı şekilde aranan değerleri çiim tamamlanır ve diagramdan oknr (Şekil ). mm 70 MPa, 0 MPa 09 n 0,5 MPa, t 9 MPa, tn = nt 46 MPa ma 50 MPa B değerler analitik olarakta hesaplanır. sal normal gerilmeler (bk F 0) : >, 0 60 0 60, ( 0) sal gerilme önü (bk F 4) tan ( 0) tan 0,75 = 8,4 + 90 0 60 Maksimm kama gerilmesi ma (bk F ) 70 MPa 0 08,4 MPa ma Kanak dikişi a-a daki gerilmeler: 0 60 ma ( 0) = 0 MPa = 60 MPa = = 0 MPa = 8 Önce brada n için F t için F 90 = 5 blnr n n cos ( 0) cos n 0,568 MPa sin 5 60 sin sin cos 5 ( 0) sin 5 cos5 t sin cos sin cos t ( 0) sin 5 60 cos 5 ( 0) sin 5 cos5 t 9,4 MPa ma 50 tn = nt için F ve F 4 tn nt sin cos cos sin 60 0sin 5 cos5 ( 0) cos 5 sin 5 tn tn nt nt 46,069 MPa MPa 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 7. Kesitteki gerilmeler.. Genel giriş Mkavemet değerlerindeki bilgilerimii taeleelim. Homojen, iotrop ve lineer elastik cisimlerde gerilmeler ve esnemeler genel Hook kannlarına tabidir. B cisimlerde şekil değiştirme işi "U" ve ek iş "U * " eşittirler ve kvvet ile kvvetten olşan esnemelerle kamalar birbirlerile orantılı olp genelde astigliano nn kannlarıla hesaplanırlar. Statik, bilhassa apı statiğinde problemler genelde gerilmeler ve deformasonlarının erine gerilmelerin bileşkesi ve b bileşkeden olşan deformasonlarıla çöülür. Bnn için genelde baı basit ön kabller kllanılır. Örneğin: İnce bir çbk vea kirişte başlangıçta eksene dik ve dü olan kesit kirişin deforme olması halindede eksene dik ve dü kaldığı vede bolamasındaki liflerin birbirini etkilemeeceği kabl edilir. B kabller problemin drmna göre hesabı apacak olan kişinin seçimine kalmıştır. Yamanla b gibi problemleri çöen kişiler tecrübe sahibi olp b drmlarda çabk karar vereceklerdir. Brada kiriş kesit büüklükleri ile olştrdkları deformasonlar detalı görülecektir. N M N V M V T M Şekil, Parçada gerilmeler V E Esneklik G* o EI/L /L Kavis m Ortalama kama Brlma Şekil, Diagramlar T GK/L /L N N Normal kvvet V N Dik kvvet M Nm Eğilme momenti T Nm Torsion momenti E MPa Elastiklik modülü (N/mm ) G MPa Kama modülü (N/mm ) L m Etkili bo G* N/m 4 Brlma rijitliği EI N/m 6 Eğilme rijitliği.. Gerilmeler ve deformasonlar için kabller ve sonçları Kabller: 0 Eksenel esneklik (ama) 0 Ortalama kama rad/m Kavis rad/m Brlma E N/m 4 Eğilme m Kesit alanı * m Etkin kama alanı m 4 talet momenti K m 4 Torsion sabitesi Normal kesitlerin çbk eksenine daima dik ve dü oldkları, Malemenin bona liflerinin biribirine etkisinin olmadığı, Hook kannnn geçerliliği; E. Sonçları: Gerilme drm lineer ve alnı 0, Esneme dağılımı dü ve genel deformason ilkeleri dahilinde ( 0,,.) olşr. Bütün b tanımlama ve kabllere "Kiriş teorisi" denir. 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

8 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.. Eğilme ve eksenel kvvet Genel olarak homojen elastik çbkta kesit büüklüklerini (gerilmelerini) ve ait olan deformasonlarını doğrsal kabl ederek drm ele alırsak, ş bağıntıları blr: M d M N d o Şekil 4, Parçada gerilmeler na eksenlere göre: N d M d M d o N N Normal kvvet d Belirli alanı için integralini alma MPa -eksenindeki normal gerilme M N.m -eksenine göre eğilme momenti mm -değeri M N.m -eksenine göre eğilme momenti mm -değeri -önünde esneme i i-eksenindeki esnemenin kavis vektörü Hook kannlarına an malemenin bilinen değerlerile apılmış gerilme esneme ( ; ) diagramında, eğer esneme (deformason) değeri biliniorsa, basit integrason işlemile gerilme değeri blnr. Bnn tersinde önce çıkış büüklüklerinin bir bölümünü tahmin edip 0,, diğer değerleri N, M, M hesaplaıp, bn eteri kadar doğrlkta sonç blana kadar tekrar ederek (iterason) bir çöüm blnr. Hook kannları dahilinde lineer elastik malemeler için değişmeen ş bağıntı aılır: B drmda F 4 ile ş bağıntılar aılır: E F 44 MPa -eksenindeki normal gerilme E MPa Elastiklik modülü Esneme N E d d d 0 M E 0 d d d M E Vea matris olarak ş eşitlik aılır. 0 d d d Temel büüklükler F 45 F 4 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 9 N d M E d M d d d d d o d d N N Normal kvvet E MPa Elastiklik modülü 0 Etki önünde doğrdan esneme d Belirli alanı için integralini alma i i-eksenindeki esnemenin kavis vektörü MPa -eksenindeki normal gerilme M N.m -eksenine göre eğilme momenti mm -değeri M N.m -eksenine göre eğilme momenti mm -değeri na eksenler, ve ş bağıntılar kabl edilirse; d d d 0 F 45 ile verilen formüller ş şekli alırlar: Brada N M E o ; d E ; M E F 46 ; d ; d F 47 na eksenler ( ; ) koordinatlar dönüşümüle deviason eksenleri ve olan koordinat sistemi verirler. o Şekil 5, ve için o Önce = 0 kabl edersek: ve bölece: 0 ; 0 cos sin o sin cos o d d 0 d d 0 B bağıntılardanda ağırlık merkeinin deviason eksenlerine göre koordinatları blnr. o o d o ; d o F 48 0 mm ağırlık merkeinin deviason eksenine göre apsisi d alanı için integralini alma mm değeri 0 mm ağırlık merkeinin deviason eksenine göre ordinatı mm değeri 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

0 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i...talet momentleri Genel olarak atalet momentlerini ş şekilde gösterebiliri. F 49 Eğer 0 ve kabl edersek ordinat ve apsis değerlerini F 50 ile aarı: cos sin Deviason momentinin genel formülü F 5 ile görülmektedir. d sin cos F 50 Formül F 50 ile verilen değerleri F 5 e erleştirirsek deviason momenti blnr, bk F 5: d cos sin sin cos d 0 F 5 d cos sin d 0 sin cos F 5 Eğer deviason momentini = 0 d 0 kabl edersek ana ön in formülü blnr: d tan d d Brada: d ; d ve d kabl edilirse; tan F 5 Eğer d d 0 ise; d o cos d o sin 0 d o sin d o cos 0 B denklemleri tan ve cot ile çarpar vede toplarsak: d o 0 cos ; d o 0 sin Genel dönüşüm formülleri: d d d cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin F 54 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

vea matris olarak ş eşitlik aılır. Y a p ı S t a t i ğ i cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin... Çeşitli kesitlerde atalet momentleri S S b S a Şekil 6, Dik dörtgen kesit ğırlık merkeine göre atalet momentleri: S a b S a b Kenar koordinat eksenlerine göre atalet momentleri ve deviason momenti: a b a b a b 4 ğırlık merkeine göre atalet momentleri ve deviason momenti: a S S a b 6 S a b 6 S S a b 7 S b S Şekil 7, Üçgen kesit Kenar koordinat eksenlerine göre atalet momentleri ve deviason momenti: a b a b a b 4 S R S S ğırlık merkeine göre atalet momentleri: S 4 R 4 S 4 R 4 Şekil 8, Daire kesit Steinere göre atalet momentleri talet momentleri ve deviason momenti: Şekil 9, Steinere göre atalet momentleri 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i Deviason momenti nin ön işaretine kadar, gerilme ve deformasonlarının dönüşümü analogtr. bndan dolaıda Mohr dairesi ile gösterilir. P Ktp (, ) -eksenine Z (, 0) Y (, 0) -eksenine -eksenine (, ) -eksenine Brada: > ters saat önünde Şekil 0, talet momentleri için Mohr dairesi ve genel krallar sal atalet momentleri: +, = + F 55 sal atalet momentlerinin önü: tan F 56 İdeal elemsilik momentleri:...normal gerilmelerin genel formülü n d ve n d F 57 F 4 ve F 46 ile normal gerilmelerin genel formülü F 58 blnr. E E o N M M ; N i i F 58 vea matris olarak ş eşitlik aılır. N 0 M 0 M 0 0 M Bnn anında: N, M N i, i 0 ise nötr ekseni formülü blnr: 0 i i 0 o 0 Statik eşdeğer kvvetin etki noktaları Elemsilik radsları F 59 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i...eğilme çigisi Eğilme çigisi: Bir kirişin/çbğn nötr ekseni noktalarının belirli bir öndeki kama bileşenlerinin olştrdğ çigidir. Eğilme çigisini: Kirişin diferansiel denklemi ile, Mohr analoğ ile, İş denkleminin nokta nokta prensibi ile, hesaplaabiliri. () n (w) m n m w m w n w m n Şekil, Eğilme çigisi... Kirişin diferansiel denklemi ile sehim Bildiğimi tanımlamaları hatırlaalım: d M " " Temel bilgilerden: M E w" d M q M q E w" q 0 E F 80 U d d G F 8 U d F 8 T V G T T o h * V S G b B formüllerden kirişin genel diferansiel denklemi F 60 blnr: d d d d w d T T d V E E o T q 0 d d d h d * F 60 G 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

4 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i d d w Kirişin diferansiel denklemi: E q 0 d d Kavis: d w d * Ortalama kama: V / G değerleri w e ş katkıda blnr: vea w" m d w d M E T To T h d d V * G F 6 Kirişin genel diferansiel denklemi F 60 homojen olmaan dördüncü dereceden katsaıları değişken diferansiel denklemdir ve nmerik oldan çöülür. Bnn karşıtı olarak F 6 ile görülen kirişin basitleştirilmiş diferansiel denkleminin katsaıları sabittir ve çöümü genel olarak F 6 ile görülmektedir. Brada "E. = sabit" kabl edilir. 4 IV d w q w F 6 4 d E w V w nin 4. dereceden türevini alma q N/mm Yaılı ükün birim değeri E N/mm Elastiklik modülü (MPa) mm 4 it oldğ eksene göre atalet (elemsilik) momenti w wpart 4 F 6 Homojen olmaan "w part " diferansiel denklemi genelde basit kabllerle hesaplanır. Kavis ile genelleme: M T To V w T F 64 E h * G T o T T o m h V T T T Şekil, Kavis ile genelleme 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 5 " " " T T V E w E o q 0 T h * F 65 G E N/mm Elastiklik modülü (MPa) mm 4 it oldğ eksene göre atalet (elemsilik) momenti w " w nin. dereceden türevini alma T mm/ Isıl genleşme katsaısı T Parçanın alt kenarının sıcaklığı T o Parçanın üst kenarının sıcaklığı h mm Parçanın üksekliği V N Çapra kvvet G N/mm Kama modülü (MPa) * mm Etkin kama alanı q N/mm Yaılı ükün birim değeri Brada E. homojen olarak alınmıştır. E. nin homojen olmaması halinde, homojen olmaan dördüncü dereceden diferansiel denklemler nmerik oldan çöülürler. Mohr analoğ ile kirişin sehimi için Kesit büüklüklerinde Mohr analojisi kısmına bakını. İş denklemi ile kirişin sehimi için İş denklemi kısmına bakını... Örnekler. Yaılı ük ile orlanan klasik kiriş L q B Kabül: q " w part 4 E F 6 tamamen geçerlise F 6 ile görülen den 4 e kadar integral sabitleri için, sınır şartları ile ş değerler blnr. SD q w 0 w" 0 w L w" L 0 V=M=Ew" M=Ew" w w q.l/ ql 4E = B= q.l/ + + ql /8 4 5qL 84E q.l/ B q.l/ ql 4E Şekil, Yaılı ük ile orlanan klasik kiriş q L ; 0 E q L ; 4 0 4 E B değerleri F 6 a erleştirirsek için sehim w değeri blnr: q w 4 E 4 L L Blnr ve b formüllede = L/ için maksimm değer blnr. 4 5q L wl / 84 E 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

6. Yaılı ük ile orlanan iki c sabit kiriş SD V=M=Ew" q.l/ M=Ew" ql / w + L/ = B= q.l/ ql /8 + ql /4 4 ql 84E G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i L/ q.l/ q B B q q.l/ Şekil 4, Yaılı ük ile orlanan iki c sabit kiriş. Ortadan tek ük ile orlanan klasik kiriş Yaılı ük ile orlanan klasik kirişteki kabül bradada geçerlidir: q " w part 4 E -eksenine göre sistemin ve ükün simetrik olmasından ötürü: 0 sınır şartları ilede ş eşitlik blnr. wl / w L / 0 İntegral sabitleri ve 4 ün değerleri: 4 q L q L ; 4 48 E 84 E B değerleri F 6 a erleştirirsek için sehim w değeri blnr: q 4 4 w 6 8L L 84 E Blnr ve b formüllede = 0 için maksimm değer blnr. 4 q L w0 84 E M Ew" eşitliğinden için moment: q L M 4 L SD V=M=Ew" M=Ew" w w Q/ QL 6E + L/ = B= Q/ + Q Q QL/4 QL 48 E L/ q.l/ B B Q/ Şekil 5, Ortadan tek ük ile orlanan klasik kiriş 0 L/ aralığı için sınır şartları ile ş değerler blnr. Simetri şartına göre: w0 w 0 w L / Sıçrama şartına göre: ve w part 0 0 E 0 w" L / Q 0 ile çöüm: Q w L 4 48 E B formüllede L/ için maksimm değer blnr. Q L wl / 48 E 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 7..4.Homojen olmaan kesitte eğilme ve eksenel kvvet Homojen olmaan kesitte eğilme ve eksenel kvvetin analiini apacak olrsak (bk Şekil 6); Şekil 6, Homojen olmaan kesit Elastiklik modülü; E(, ) Hatırlanan diğer formüller: o E o n(, ) E o MPa Elastiklik modülü n Birleşim değeri E N M d M d Bölece normal kvvet ile eğilme momentlerini F 45 e analog ş şekilde formüle edebiliri: N Eo o n d n d n d M Eo o n d n d n d F 66 na eksenler ve çeşitli değerler: M Eo o n d n d n d n d n d n d 0 ise: N E o i o M E o i M E i n d i n d i n d F 66 ve F 67 sembollerinin tanımlanması: o i F 67 N N Normal kvvet E o MPa Elastiklik modülü i mm İndisine göre ait oldğ alan 0 Etki önünde doğrdan esneme M Nmm -eksenine göre eğilme momenti i mm 4 İndisine göre ait oldğ eksene göre atalet momenti i i-eksenindeki esnemenin kavis vektörü M Nm -eksenine göre eğilme momenti d Belirli alanı için integralini alma n Birleşim değeri mm -değeri mm -değeri 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

8 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.4. Çapra kvvet.4..çapra kvvetin aklaşık incelenmesi Çapra kvvet etkisindeki dört köşe çbğn şekil değiştirmesini basitce incelersek, öel eğilme drmla aklaşık olarak blr. Bernollinin kablüne göre = 0 ve bölece =0 olr ve V = 0 olması gerekir. Fakat b gerçek çapra kvvet ile çelişkie düşer. Şöle ki: V d F 68 V N önünde çapra kvvet MPa önünde -eksenine dik kama gerilmesi d a göre integralini alma Şekil 7 ile görüldüğü gibi herhangi bir çbğn küçük bir parçasını analiini apar ve -önünde kvvetler denge denklemini aarsak F 69 formülünü blr. M V S ( ) b S b () d ( S) d M V d Şekil 7, Çapra kvvetlerin olştrdğ deformasonların kaba analii s bs d d b d 0 F 69 s ( s ) MPa ğırlık merkeine mesafesinde kama gerilmesi b( s ) mm ğırlık merkeine mesafesindeki en s d e göre integralini s ile arsında alma d () MPa önünde mesafesindeki kısmı normal gerilme b() mm mesafesindeki en Diğer taraftan ş bağıntılarla meşhr "Bisqit" formülü blnr: M mesafesinde d d "Bisqit" formülü s dm V d Ss s bradan V V F 70 b dm d blnr. ( s ) MPa ğırlık merkeine mesafesinde kama gerilmesi V N önünde çapra kvvet S( s ) mm ğırlık merkeine göre statik moment b( s ) mm s mesafesindeki en mm 4 - eksenine göre atalet momenti 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 9.4..Statik moment Çapra kvvet -önünde ise -eksenine göre herhangi bir noktanın statik momenti genelde F 7 ile pratikte aşağıda verilen iekillere göre hesaplanır:.4... Statik moment hesapları örneği s b S d F 7 s b b S P h S P h P S S S S Şekil 8, Statik moment ğırlık -eksenine göre P noktası için statik moment: S P F 7 S S P mm P noktası için ağırlık merkeine göre -önünde statik moment S mm ğırlık merkeleri mesafesi mm Statik momenti hesaplanacak alan t b t P S a) Statik moment b) Yağmr s kralı Şekil 9, Statik moment ve ağmr s kralı S P F 7 S P mm P noktası için ağırlık merkeine göre -önünde statik moment i mm ğırlık merkeleri mesafesi i mm Statik momenti hesaplanacak alan b mm Statik momenti hesaplanacak alanın genişliği h mm Statik momenti hesaplanacak alanın üksekliği Şekil 9 c ile kama gerilmelerini "ağmr s kralı" na göre önleri gösterilmiştir. Örnek olarak I-Profilinin üst kşağındaki kama gerilimi " " -önünde, -eksenine dik. Her nekadar - ekseninede dikse, genelde -eksenine dik kabl edilir. I-Profili dikmesindeki kama gerilimi " " -önünde, -eksenine dik. 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

40 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i Dik dörtgen şekilli kesitin statik momentini formül F 7 ile hesaplaalım, Şekil 40 : P O P b h/ h/= O Şekil 40, Dikdörtgen şekilli kesit Yatık U-profilin analii b h Brada b() = sabit oldğndan F 7 ş şekli alır: S P O b d S P SP P O b b P O P Brada O = h/ değerini erleştirirsek,formül F 74 i blr: b h S P P F 74 4 b mm Statik momenti hesaplanacak alanın genişliği h mm Statik momenti hesaplanacak alanın üksekliği P mm Statik momenti hesaplanacak noktanın mesafesi U U b b U t Di t K ma O = b K P P ( ma) b t K K O b U P P S t K K O b U P P K Di S a) b) c) Şekil 4, Yatık U-profilinde statik moment Şekil 4 ile görülen atık U-profilinde çeşitli noktalardaki statik momentler ş şekilde hesaplanır: P noktası alt kşakta bir noktadır. Yağmr s kralına göre kesme gerilmesi dir ve statik momenti S P : Şekil 4 a, için : S P P ma P tk bk F 75 P noktası dikmede bir nokta kabl edilirse, ağmr s kralına göre kesme gerilmesi dir ve statik momenti S P : Şekil 4 b, için : S P S K P tk bu F 76 P noktası dikmede bir noktadır. Yağmr s kralına göre dikmede kesme gerilmesi ve kşakta dir. P noktasının statik momenti S P : S 0,5 t F 77 Şekil 4 c, için : P S K K P K P Di K P tdi SP S K 0,5 F 78 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 4 gerçek dağılım idealie edilmiş dağılım O + ma + Şekil 4, Yatık U-profilinde kesme gerilmesinin dağılımı Şekil 4 ile atık U-profilinde kesme gerilmesinin gerçek ve idealie edilmiş dağılımı ve kesme gerilmesinin önü görülmektedir..4..uglama örneği Dört köşe kesitte kama gerilmesi " " parabol olarak kesitin üksekliğine aılır. b/ V b/ h/ h/ m Şekil 4, Dikdörtgen kesit ma V = = m Dikdörtgen şekilli kesit b h b h / s V b Brada b formülü sadeleştirirsek F 79 formülünü blr. Ss 4 s h V b b b h b h S 4 V 4 s F 79 b h h ( s ) MPa ğırlık merkeine mesafesinde kama gerilmesi V N önünde çapra kvvet b mm Kesitin eni h mm Kesitin üksekliği mm Kesitte gerilmesinin arandığı mesafe Ortalama kama gerilmesi m = V / = V /(b.h) olarak hesaplanır. Brada F 79 ile kama gerilmesi: = 0 ise ( s ) = m / dir..4.4.şekil değiştirme işi "U" a kısa bakış = h/ ise ( s ) = 0 dır. Formül F 70 ile görülen kama gerilmesi " " ve ileride göreceğimi kama değeri " " "şekil değiştirme işi"nin hesaplanmasını mümkün kılar. Şöle ki: 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

4 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i = G Y G. *. = m G / G.. * m / m Şekil 44, Parçada "U" Şekil 45, Kesitde "U" Şekil 44 ve Şekil 45 ile görülen şekil değiştirme işi ş formüllerle hesaplanır: U G d d G V S U d d d d F 80 G b Etkin kama alanı * formül F 8 ile blnr. B alan çapra kvveti taşıan ve kama gerilmelerinin hesabında kllanılan alandır. * S b d F 8 F 80 ve F 8 ile verilen semboller. U( ) Nmm Şekil değiştirme işi V N önünde çapra kvvet S mm Statik moment G N/mm Kama modülü (MPa) b mm Kesitin eni mm 4 - eksenine göre atalet momenti * m Etkin kama alanı Etkin kama alanını karıdaki formüle (F 80) erleştirirsek formül F 8 blnr. V U d F 8 * G U( ) Nm Şekil değiştirme işi V N önünde çapra kvvet G N/mm Kama modülü (MPa) * m Etkin kama alanı Dikdörtgen kesitin etkin kama alanı ş şekilde hesaplanır: S b d h / h / b h 4 8 h 4 6 b b 6 h 6 4 44 9 4 b h 6 h 4 8 h 6 5 5 ve 6 5 bh 5 * F 8 6 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 4 * m Etkin kama alanı m Kesitin hakiki alanı Kamadan olşan şekil değiştirme işi, normal gerilmeler ve esnemelerden olşan şekil değiştirme işine oranla çok küçük oldğndan çoğ aman hesaplarda dikkate alınmalar. Esnemelerden olşan şekil değiştirme işini F 84 ile hesaplaabiliri. U E N E d d d F 84 M E U( ) Nmm Şekil değiştirme işi d d Belirli alanı ve belirli değeri için integralini alma M E E N/mm Elastiklik modülü (MPa) önünde esneme d Belirli değeri için integralini alma N N Normal kvvet mm Kesit alanı M i Nmm İndisine göre ait oldğ eksendeki eğilme momenti i mm 4 İndisine göre ait oldğ eksendeki atalet momenti Eşit olarak aılı ükle "q" orlanan dört köşe kesitli basit kirişi ele alıp kama şekil değiştirme işi "U(" ile "U(" ı karşılaştıralım ve orantılarını görelim, Şekil 46. + q L Şekil 46, q ile orlanan kiriş Brada "U(" ile "U(" nın orantısını aarsak: U U Poison saısı = 0,, L=0h ve b = birim kabl edilirse: q L V V L... U d 0 G q M M L... U d E 0 E 0 6 h U G L 5 L U,6 B formüle değerleri erleştirirsek:,6% U 00 Hatırlatma: U blr. q L U 4 G 5 q L U 40 E Şekil değiştirme işi "U" hesaplanırken (ve ile hesaplanan değeri ile (ve ile değeri karşılaştırıldığında (ve ile hesaplanan değer çok küçük oldğndan dikkate alınmalar ve şekil değiştirme işi "U" alnı (ve ile hesaplanır. B bilhassa ince çbkların hesabında münakaşası hemen kabl edilir. Tam ve doğr gerilme dağılımları için bilginii vea literatürdeki verileri dikkate alını. Bisqit fomülü (F 70) ince cidarlı kesitlerdede geçerlidir. h L 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

44.4.5.Elastiklik teorisi G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i Kiriş teorisine göre toplam gerilmeler N, M ve M ile toplam deformasonlar 0, ve "Genel gerilmeler" ile "Genel deformasonlar" dan sö edilir. Çapra kvvetler dengeden dolaı olşan "Genel reaksionlar" die tanımlanırlar ve deformason ile kama olştrmaan, şekil değiştirme işinede katkısı çok küçük oldğndan dikkate alınmaan kvvetler olarak kabl edilirler. Kama gerilmeleri cisimde belli bir kesit deformason olştrr ve bda kiriş teorisine göre F 46 ile hesaplanan değere belirli bir ek gerilme katar. Kiriş teorisinin şma şartında kaba bir aklaşımla / 0 kabl eder ( in kesit bonca lineer dağılımı) ve bn F 99 a erleştirir ve kvvet dağılımına göre doğr kabl edilecek bir kararla sol taraftaki ikinci toplanan terimi dikkate almaıp ok saarsak, E, 0 ve G dan dolaı F 85 blnr. E G F 85 fonksionnn "" e göre kısmi türevini alma E N/mm Elastiklik modülü (MPa) G N/mm Kama modülü (MPa) Şimdie kadar kllandığımı koordinat ekseni ile nin eri değiştirilir ve F 70 formülüne erleştirilirse dört köşe kesit için F 86 blnr. E q G F 86 fonktionnn "" e göre kısmi türevini alma E N/mm Elastiklik modülü (MPa) q N/mm Yaılı ükün birim kvveti mm değeri G N/mm Kama modülü (MPa) mm 4 -eksenindeki atalet momenti Diferansiel denklem F 86, F 87 ile verilen formülle icra edilir. Brada : M F 87 q E 0 h F 88 0 G M Nmm -eksenindeki eğilme momenti i mm 4 İndisine göre ait oldğ eksendeki atalet momenti mm değeri N/mm önünde normal gerilme artışı q N/mm Yaılı ükün birim kvveti E N/mm Elastiklik modülü (MPa) G N/mm Kama modülü (MPa) Ek gerilmeler iç gerilmelerdir ve bonca sabit olp kesitin sonna kadarda sabit kaldıkları 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i kabl edilir. St. Venant prensibine göre b kabl tıkna olmaan kirişlerde (L/h4) önemli bir rol onama. Brada anı amanda: M M. M.h. q.e.h 0.G. Şekil 47, q ile orlanan kiriş q =. b + 5 0 h h 0 h/ h/ d d 0 ve aılı ük q için q L M 8 q E h 4 0 G M h 5 dir. h L 45 =0, ve L=0.h için 0,5% blnr. Formül F 70 ın türemesinde kama gerilmelerinin " " kesit bonca eşit dağıldığı kabl edilmişti. Elastiklik teorisinde b aklaşımının üksek dikdörtgen kesitlerde (h>b) doğr oldğ ortaa çıkar. Plakalarda ise (b>>h) b drm oldkça büük farklılık verir..4.5.. İnce cidarlı profillerde elastiklik teorisi isimde kesit -eksenine dikse formül F 85 pratikte kllanılabilecek doğra akın sonçlar verir. I-profilinde vea değerlerini blmak için, kesit + profil dikmesine vea kşaklara dik olarak seçilir. -eksenine göre statik momentler S kesite göre olşan momentlerdir. ma Çelik konstrüksion hesaplarında kama gerilmesi + kontrolü genelde plastiklik teorisine göre şöle apılır: V w + Brada " w = profil dikmesi alanı" olarak kabl edilir. Şekil 48, I-profilinde elastiklik teorisi Etkin kama alanı formül F 8 aşağı karı * w verir. İnce cidarlı profillerde U nın değeri dikkate alınmamasına rağmen, dol profillerde U nın değeri U değeri ile beraber dikkate alınır. simetrik kesitlerde, örneğin: köşebent profillerde, ana eksenler erine kesit kenarlarına paralel eksenlerle çalışmak daha avantajlı ve rahattır. Kenarlara paralel eksenlerle çalışmada F 70 değişerek F 89 ile görülen hali alır. V S S t F 89 N/mm Kama gerilmesi V N önündeki çapra kvvet t mm idar kalınlığı i mm 4 İndisine göre ait oldğ eksendeki atalet momenti S i mm İndisine göre ait oldğ eksendeki Statik moment ij Nm İndisine göre ait oldğ eksendeki deviason momenti Diğer büüklükler detalı olarak "Çekirdek" paragrafında görülecektir. 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

46 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.4.6.torsion merkei Tanımı: Profilin torsion merkei toplam çapra kvvetin profile torsion orlaması olmadan etki gösterdiği noktadır. Yani çapra kvvet etkisinde profilde torsion (brlma) etkisi olma. O (V ) V M R S Şekil 49, U-profili kvvet analii m R F R F h Şekil 49 ile verilmiş olan U-profilinin kvvet dağılımı analiini aparsak: "R F " kvvetleri kşaklarda " " gerilmesini olştrr. R S kvveti dikmedeki gerilmei olştrr. B kvvet "V " kvvetine eşittir. Şekil 49 ile görüleceği gibi kvvetlerin dengesi için "M" noktasında bir kvvete gerek vardır. B "M" noktasına profilin "Torsion merkei" denir. Şekil 49 ile görülen sistemde dikme ağırlık merkei için moment denge denklemini kralım: h h RF RF V m 0 bradan RF h m V nı amanda -önünde kvvetlerin denge denkleminden F 0 dan V RS blnr. Bölece U-profilinin (Şekil 49) "M" noktasının dikme üei ağırlık merkeine mesafesi formül F 90 ile blnr: RF h m F 90 RS m mm R S nin M e mesafesi R F N U profilinin kşağını orlaan kvvet h mm U profilinin kşaklar ağırlık merkeleri mesafesi R S N U profilinin dikmesini orlaan kvvet Eğer "V " kvveti dikmee paralel ve profili "M" noktasından orlorsa, kesitte torsions eğilme orlaması olşr. Kiriş teorisine göre normal gerilmeler dağılımı eğer çapra kvvet torsion merkei "M" noktasında etkilise olr. U-profilinde profilin ağırlık merkei "O" ile torsion merkei "M" iki arı noktadır. İnce cidarlı, ıldı şeklindeki profillerde torsion merkei eksenlerin kesiştiği noktadadır. Herhangi bir simetrik profil kesitinde profil kolları ince cidarlı kabl edilirse torsion noktası kola blnr. Şekil 50, Çeşitli profillerde torsion merkei Kalın cidarlı profillerde çok karışık ve or hesaplama gerekir. Diğer bener kesit şekilleri için literatüre bakını. 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i.5. Torsion.5..Dönüş torsion (St.Venant) Torsion gerilmesinin genel hesabı elastiklik teorisi ile apılır. Yvarlak şekilli dol vea kaval kesitte torsion kama gerilmesinin hesabı elementer işlemle apılabilir, (Şekil 5). d r bölece: d G r d T dr a r dr d Şekil 5, Dönüş torsion (St.Venant) ri r T r Bradan: P d dr d G d T G P 4 4 ra ri erleştirirsek: T r P blnr. r a r r i dr Diğer bütün kesit şekilleri için torsion sabitesi "K" torsion atalet momenti P e eşit olma. K P.5..İnce cidarlı kaval profiller İnce cidarlı kaval profillerde torsion gerilmesini Bredte göre hesaplamak pratikte eterlidir. Kama gerilmesi "" cidarın orta noktasında ve cidar kalınlığında eşit olarak dağıldığını kabl edelim. 47 d o o r T t Kama gerilmesi akımı "S =.t = sabit" ve torsion momenti T nin hiç bir şekilde normal gerilme olştrmadığını kabl edelim. Bölece ş eşitlikleri aabiliri: T r Sds S r ds S d o ds Şekil 5, İnce cidarlı profil t T S F 9 Torsion momenti T den ekseni önündeki kama: r o Formül F 9 e kama gerilmesi akımı "S = t. t min " erleştirir ve bn kama gerilmesi " t " e çöersek kama gerilmesini Bredte göre kabaca hesaplama formülünü blr. Formül F 9. T o t t min Bredt formülü T t F 9 o tmin T Nmm Torsion momenti o mm İnce cidarlı kaval profilin ortalama alanı t min mm Kaval profilin en ince cidarı 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

48 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i Kama v d s T s r s s s s d G o G tmin G d r s ele alıp iki tarafı anen genişletelim: s d ds ds r s ds s d s ds ds s d r ds Hook a göre Brada: ds 0 s s ds 0 o d ve r ds dır. B değerleri erleştirirsek: o ds s o F 9 d ds Kavise göre integralini alma o mm İnce cidarlı kaval profilin ortalama alanı / d fonktionnn "" e göre kısmi türevini alma Diğer taraftan başta Hook a göre s s demiştik, braa Bredte göre kama gerilmesini G erleştirir ve s değerini F 9 formülüne erleştirirsek: T s o tmin G B formülü / d e çöelim: T o G d d ds tmin T 4 o o d G ds t min Brada torsion sabitesi 4 K o ds t olarak kabl edilince formül F 94 blnr. d d T G K F 94 d / d fonktionnn "" e göre türevini alma T Nmm Torsion momenti G N/mm Kama modülü (MPa) K mm 4 Torsion sabitesi 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i Plakalar (b>>h) için torsion sabitesi "K" ş şekilde hesaplanır: T h T b h ma ; ; K K G K İnce plakalardan olşan (kalınlık h ve genişlik b) profiller için aklaşık olarak F 95 kllanılır. 49. Deformasonlar.. İki eksenli deformasonlar K mm 4 Torsion sabitesi b mm Genişlik h mm Yükseklik (v) K b h / F 95 v d d L L L d d F d/ D d (w) d d d B v D D B d d B d v d () Şekil 5, Basit esneme Şekil 54, Dülemde deformason drm Kon daha ii anlamak için Şekil 5 ile görülen tek eksenli basit esnemei Şekil 54 ile dülemde iki eksenli deformason drmları ile beraber ele alalım. Brada kamalar çok küçük kabl edilir ve brlmalar dikkate alınmassa esneme ve kama komponentleri ş şekilde gösterilir: -ekseninde esneme " " F 96 olarak blnr. d d d d d F 96 % -ekseni önünde esneme mm -ekseni önünde ama d mm -ekseni önünde çıkış bo nı öntemle diğer eksenlerdeki esnemelerde hesaplanır. v ; w 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch 50 Kama açısı: d d v Brada pratikte kabl edilecek küçük bir anlışla d=d kabl edersek kama açısı ş şekli alır. v d d v nı öntemle i hesaplarsak blnr. Bölece kama açısı " " formülü F 97 ile görülen hali alır. v F 97, rad -ekseni ile e paralel kenarın açısı v, mm vea -ekseni önündeki amalar, mm vea -ekseni önünde çıkış bo Bna analog olarak " " ve " " kama açıları formülleri blnr: w ; v w Büük kamalar ve daha küçük deformasonlarda kinematik relasonlar F 98 verilerile hesaplanır. v v v v v v F 98 Deformason komponentleri "" ve "v" biliniorsa, esnemeler "" ve "" F 96 ve F 97 ile hesaplanır. Bnn aksine deformasonlar "" ve "" biliniorsa, "" ve "v" F 96 ve F 97 formüllerinin entegrason ile, vea " " den üretilen F 99 ile hesaplanırlar. F 99 / Esneme fonktionnn "" e göre kısmi türevini alma / Esneme fonktionnn "" e göre kısmi türevini alma / Kama fonktionnn "" ve "" e göre kısmi türevini alma

Y a p ı S t a t i ğ i 5.. Koordinatların transformason Şekil 55 ile görülen koordinatlar sisteminde ş eşitlikler aılır: n cos sin t sin cos Bradan ş değerleri blabiliri: cos n n( ) n () n cos t sin n sin t cos sin t sin n vea ş şekildede aabiliri: n cos sin t sin cos n cos v sin t sin v cos cos t F 00 cos sin n sin cos t t( ) t (v) Şekil 55, Koordinatlar n t cos sin sin cos v cos n sin n,, sin t cos t Brada "incir kralı"nı glarsak F 0 formülünü blr (incir kralı, bk. Wikipedia) n v v n cos cos sin sin F 0 n n n n n Bradanda F 96, F 97 ve F 00 formüllerinin ardımıla F 0 formülünü F 0 şeklinde aabiliri. n cos sin cos sin F 0 nalog (bener) olarak t t / t ve nt n / t t / n ise ş değerler aılır: nt t sin sin cos sin cos cos sin nt sin cos F 0 sin cos cos sin sin cos nt F 04 F 96 den F 04 e kadarki formüllerde verilen semboller: i mm İndisine göre esneme ij mm İndisine göre kama Eksenler arasındaki açı,,, n, t na eksenler i mm İndisine göre vea n ekseninde esneme v i mm İndisine göre vea t ekseninde esneme F 7, F 8, F 9 formüllerile brada F 96 den F 04 e kadarki formüllerde verilen i, ij değerlerini karşılaştırırsak tamamen bir benerlik (analogi) oldğn görürü. Şöleki: Normal gerilmeler 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

5 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i ve ile esnemeler ve, ve kama gerilmesi ile arım kama / nin değerleri benerdirler. B büüklükler simetrik tensörün bileşenleridir. Bn matris olarak gösterirsek, gerilme tensörüne analog olarak deformason tensörünü blr: 0 0 0 0 0 F 05 na önler ve ana değerler F 5 ve F 6 e analog olarak ş şekilde aılır:, F 06 4 tan F 07 -ekseni ile n ekseninin olştrdğ açı mm Kama mm -ekseni önündeki esneme mm -ekseni önündeki esneme B gördüklerimii ordinatı arım kama / ve apsisi esneme olan Mohr deformason dairesinde gösterirsek, genel olarak Şekil 56 blnr. -eksenine -eksenine X ( /) -eksenine + -eksenine Y ( /) P Ktp Brada: > saat önünde Şekil 56, Mohrn deformason dairesi Brada değerleri ş şekilde değişme değerler olarak aabiliri: n t F 08 4 n t 4 F 09 mm Kama i mm indisinin ekseni önündeki esneme 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 5.. Üç eksenli deformasonlar Zaman t = 0 iken P noktası P noktasının, t = t iken P noktasıda P noktasının deformason olsn. r r P P dr P dr Şekil 57, Üç eksenli deformason Bradanda ş eşitliği analog olarak aabiliri: P B drmda aman değişken kabl edilirse kama: olr. r, t rr, t r = r r Zaman t sabit kabl edilirse kama sahası (r) : r r r r F 0 nn devamlı ve diferansieli alınabiliniorsa: r r r dr d d d F d d d d,... F F 0 e analog olarak,... kabl edersek, F i F da görüldüğü gibi aarı: d d d d F Brada görülen eni değerlerin hepsi /,..., / bire göre küçük kabl edilirler. Bnlar güa kama eğimidirler. Kama eğimini ş şekildede ifade edebiliri: k,l (k,l) k,l F 4 İndisdeki virgül, virgülden sonra gelen indisin gösterdiği değişkene göre kısmi differensieli gösterir: k,l m L e göre kısmi (parsiel) differansiel B eşitliği L e göre simetrik ve L e göre asimetrik olarakta ifade edebiliri. (k,l) m L e göre simetrik [k,l] m L e göre simetrik olmaan Esneme ve kamalar başta kabl edilen dik açıı küçültmelerine rağmen, değerler infiniteimal dikdörtgen primadan oknabilir. Şekil 58 ile görülen cisimde d değerinin F ile ilk aklaşım değerini aalım: d d 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch 54 d d d d d d d d d P d d Şekil 58, Hacimde deformason Esneme e ş şekli alır:,... d d d nı amanda kamanın değeride aklaşık olarak:... olr. F 4 ile verilen esnemeler ve arım kamalar deformason tensörünü (k,l) simetrik ve asimetrik iki kısım olarak aabiliri: k,l (k,l),l k Brada deformason tensörünün simetrik kısmı ) (k,l i F 5 ile görüldüğü gibi aarı. kl k,l F 5 Ve bölece,, F 6 Diğer taraftan deformason tensörünün asimetrik kısmı k,l i F 7 ile görüldüğü gibi aarı. k,l 0 F 7 F 7 [k,l] göre dal vektörü ş şekilde aabiliri. rot F 8 çısal hı deformason tensörü Hamilton-operatörü Formül F 8 P nin etrafında rijit cisim rotasonn açısal hı ile gösterir. Dülemde deformason drmnda: = = 0

Y a p ı S t a t i ğ i -ekseni etrafındaki rotasonda F 9 ile görüldüğü gibi aılır: 55 v F 9 v Braa kadar gördüklerimii toparlaalım: Şekil 59, Dülemde deformason Herhangi bir noktanın akınındaki deformasonların kama değeri "", rotason "" ve esnemesi "" ile gösterildiğinde, tensör " kl " temel veriondr ve aşağıda verilen eşitliklerle gösterilir. ( ) () () 4 Deformasonların Mohr dairesinde gösterilmesi gerilmelere analog olarak apılır. Deformason " kl " nin; hidrostatik kısmı dilatason (şekil değiştirmesi alnı hacim esnemesi) ile devitatör kısmının toplamı, brklmasına (hacimin esnemesi alnı şekil değiştirmesine) eşittir. F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F Seki önlü esneme: Deviatörün temel verion: ekl o F kl o kl F F 9 e analog olarak: 0 e 7 F 4 Seki önlü kama: o e F 5 na eksenler sistemi: e cos F 6 o o 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

56 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.4. Isı etkisinde deformasonlar Kesitteki eşit dağılmış ısının ükselmesi "t" ısıl genleşme katsaısı " T (/)" e göre defdorme olr (esner). L t F 7 T mm -önündeki esneme L mm -önünde ısı etkisindeki nlk (bo, en vea ükseklik) T / Isıl genleşme katsaısı t Isı farkı Kesit üksekliğinde (h) doğrsal ısı dağılımı alt kısımda "T ", üst kısımda "T o " ise kesitte bir bükülme (kavis) olşr. T T o T F 8 h /mm -önündeki bükülme (kavis) T / Isıl genleşme katsaısı T lt kısımda ısı T o Üst kısımda ısı h mm Kesit üksekliği Genelde bilinen bir temel değere göre ( ve önlerinde, 0 vea çevre ısısı gibi) dağılımı göreceli T(, ) ısısı engellenemeen deformasonlar doğrr. Şöle ki: T T d o T T d T T d F 9, F 0, F ve kesitin her noktasında bir iç gerilim kalır. İç gerilmeleri genel olarak ş şekilde gösterebiliri: : r d r d r d 0 : Bradan da: E T E F T Brada: o Esneme F 9 ile /mm -önündeki bükülme (kavis) F 0 ile /mm -önündeki bükülme (kavis) F ile o hesaplanır. Eğer o, ve herhangi bir şekilde engellenirse, engellenen erde sıkışmalar olşr. Kesitin liflerindeki ama F ile hesaplanır. o F o.5. Deformasonların öeti Bir noktanın akınındaki deformasonlar, o noktanın kadar kaması ve kama değişme derecesi k,l, bir deformason tensörü ile bir antimetrik kısım (rijit cisim rotason) olarak taksim edilir. Deformason tensörlerinin ana önleri, değerleri ve temel varantları gerilme tenssörlerinin hesaplanmaları gibi hesaplanırlar. nalog olarak hidrostatik ve farklı kısımlara arılır..6. Uglama örneği Şekil 60 ile verilen parçada an üei esneme aletleri ardımıla kenar ve köşegenlerinden ölçülmüştür. Ölçülen ortalama değerler şöledir: T 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 57 D D X D,5 4 5 6 5,5 Z Ktp D ile arasının ölçülmesinden = 5,5 ile arasının ölçülmesinden =,5 D in ölçülmesinden d = Şekil 60, Dülemde deformason D önünde 5 esneme olması gereklidir. Eğer her iki köşegende gereği kadar çok ölçülürse hata üdesi mümkün oldğ kadar küçük olr. Eğer Şekil 60 ile verilen şekli kafes kiriş olarak düşünürsek, gereği kadar çok ölçmekle çbk rijitliği ve hataların karesinin en küçük toplamı, en küçük şekil değiştirme enerjisini verir..7. Mohr dairesi ve benerleri, öet.7..gerilmeler için Mohr dairesi -eksenine X ( ) -eksenine -eksenine + -eksenine Y ( ) P Ktp Brada: > saat önünde Şekil 6, Gerilmeler için Mohr dairesi ve genel krallar sal gerilmeler: bk: F 0 + -, + = sal normal gerilmelerin önleri: bk: F 6 tan 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

58 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i.7..esnemeler için Mohr dairesi -eksenine -eksenine X ( /) -eksenine + -eksenine Y ( /) P Ktp Brada: > saat önünde Şekil 6, Esnemeler için Mohr dairesi ve genel krallar sal esnemeler: sal esnemelerin önü: + -, = + tan.7..taletler momentleri için Mohr dairesi P Ktp (, ) -eksenine Z (, 0) Y (, 0) -eksenine -eksenine (, ) -eksenine Brada: > ters saat önünde Şekil 6, taletler için Mohr dairesi ve genel krallar sal atalet momentleri: +, = + F 4 sal atalet momentlerinin önü: tan F 5 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 59 4. Kesit çekirdeği Kesit çekirdeğinin tanımlaması: Bileşik eksenel kvvet "N " (kesite dik normal kvvet, çekme vea basma) parçaı kesit çekirdeği alanının içinde etkiliorsa, kesitin tamamındaki bütün normal gerilmelerin " " ön işareti "N " in ön işaretinin anı olr. Kesit çekirdeği kesitin orlanmasından değil, kesitin geometrisinden olşr. B tanımlamaa göre, eksenel kvvet "N " in etki noktası (, ) kesit çekirdeği alanının içinde ise nötr ekseni daima kesitin dışındadır. Etki noktası (, ) kesit çekirdeği alanının sınırında ise nötr ekseni kesitin kenarlarındadır ve " = 0 " dır. 4.. Navier e göre genel gerilme formülü na koordinat eksenlerine için genel gerilme formülü Genel gerilme formülü F 6 ile ile görüldüğü gibidir: N M M F 6 Brada M ve M değerlerini N ile aarsak formülümü F 7 ile görülen hali alır: N N N F 7 ve formül F 7 kısaltılırsa F 8 ile görülen hali alır: + M + N + M N + Brada: N F 8 i i M N M N Şekil 64, na eksenlere göre momentler MPa -eksenindeki normal gerilme N N -eksenindeki normal kvvet mm Tüm kesit alanı M Nmm -eksenine göre tüm kesittekn moment mm 4 -eksenine göre kesitin atalet momenti mm Etki noktasının -eksenine göre koordinatı M Nmm -eksenine göre tüm kesittekn moment mm 4 -eksenine göre kesitin atalet momenti mm Etki noktasının -eksenine göre koordinatı mm Statik eşdeğer normal kvvetin etki noktasının değeri mm Statik eşdeğer normal kvvetin etki noktasının değeri i mm -eksenine göre kesitin atalet rads i mm -eksenine göre kesitin atalet rads Statik eşdeğer normal kvvetin etki koordinatları: na atalet radsları: i ; i ; M N ; M N i ; i 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

60 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i na koordinat eksenlerine için nötr ekseni Brada 0 ise, formül nötr ekseni formülüdür, F 9 : 0 F 9 i i, mm Çekirdek noktasının koordinatları, mm Nötr ekseni noktasının koordinatları i i mm indisine göre kesitin atalet rads Nötr ekseni için öel haller: -ekseni ile kesişme noktası: -ekseni ile kesişme noktası: -eksenine paralel nötr ekseni -eksenine paralel nötr ekseni P ( P =, 0) i i 0 P ( P, 0) P P Q (0, Q ) i i Q (0, Q = ) 0 Q Q Ortogonal ve eksenler için genel gerilme formülü Navier e göre genel gerilme formülü F 40 ile görüldüğü gibidir: N M M F 40 Navier e göre genel nötr ekseni formülü: 0 F 4 MPa -eksenindeki normal gerilme N N -eksenindeki normal kvvet mm Tüm kesit alanı M Nmm -eksenine göre tüm kesitin momenti mm 4 -eksenine göre kesitin atalet momenti mm Kesit çekirdeğinin sınır (kenar) noktasının koordinatı mm 4 ve eksenlerine paralel ve O noktasında kesişen ve eksenlerine göre deviason momenti mm Kesit çekirdeğinin sınır (kenar) noktasının koordinatı mm 4 -eksenine göre kesitin atalet momenti M Nmm -eksenine göre tüm kesitin momenti mm Nötr ekseni noktasının koordinatı,f 4 mm Nötr ekseni noktasının koordinatı,f 4 Nötr ekseni noktasının koordinatı: Nötr ekseni noktasının koordinatı: M N F 4 M N F 4 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 6 M S M M M N N NX Şekil 65, Ortogonal ve eksenlere göre momentler 4.. Kesit çekirdeğinin konstrüksion 4...Genelde kesit çekirdeğinin konstrüksion Nötr ekseninin (QP) varlanmasıla olşan kesit Şekil 66 ile görülmektedir. F 58 da = 0 kabl edilirse "nötr ekseni" die adlandıracağımı doğr denklemi "n-n" blnr. B doğr kesitin en küçük konveks şeklinde varlarsak sp = 0 ve sq = 0 denklemlerinden : Q i i ; P Q P blnr. "" noktası normal kvvetin etki ettiği nokta olarak kabl edilir. "" noktalarının olştrdğ alana "kesit çekirdeği" adı verilir. Eğer normal kvvet "N" çekirdeğin içinden etkilise, kesitin kesitin her erinde normal kvvetin "N" ön işaretini Şekil 66, Herhangi bir kesit alır (basma vea çekme). Çekirdeğin glanması daha çok çekmee aıf olan beton, dvar ve temel gibi erlerde kllanılır. Pratikte gerilme ve deformasonları blmak için bir sürü tablo ve programlar apılmıştır. Lineer elastik olan bir cisimde F 48 ile ağırlık merkei, F 5 ile ana ön blnr. F 46 ve F 47 ile genel gerilmeler ve deformasonlarla kesitteki herhangi bir noktadaki gerilmelerin bağlantısı blnr. 4...Dikdörtgen kesit alanında çekirdek Q b h h/ P I b h / ; I b h / i h / ; i b / h/ b çekirdek P b h tan / 6 b h tan b/ b/ h h b cot / Şekil 67, Dikdörtgen kesit Q 6h b cot : tan 0 = 0 b / 6 ; 0 : tan = / 0 ; h / 6 0 / P b Q h b h i i i i 4 h b i h i b i 4 i doğr Kesit alanının köşeleri çekirdeği sınırlarlar ve çekirdek köşelerini kesit alanının kenarları verir. 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

6 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 4...Kesit çekirdeğinin detalı konstrüksion Kesit çekirdeği nötr ekseninin (QP) varlanmasıla olşr. Ş tanımlamaları hiç ntmamamı gerekir., kesit çekirdeğindeki noktalar,, nötr eksenindeki noktalardır. n Genelde kesit çekirdeğinin bilinmien noktası (, ) ı blmak için nötr eksenleri n-n ile ana eksenler ve nın kesit noktaları P ( P, 0) ve Q (0, Q ) P kllanılır. Kontrüksion detalı apmak istersek nötr ekseni formülünü (F 4) ele alıp nötr ekseni kesişme noktalarını P ( P, 0) ve Q (0, Q ) blmamı gerekir. Nötr ekseni formülü F 4 ile P ( P, P ) değerlerini erleştirip hesabımıı apalım. P nin değeri herhangi Q bir değerdir, P nin değeri sıfırdır (Şekil 68). Diğer taraftan Q ( Q, Q ) da Q nn değeri sıfırdır, Q nn n değeri herhangi bir değerdir. Şekil 68, Nötr ekseni kesişme noktaları B değerleri nötr ekseni formülüne erleştirip, kesit çekirdeğindeki noktaları blalım. P ( P, P ) için P P 0 P P P = 0 oldğndan 0 bradanda: Formül F 44 P Q ( Q, Q ) için Q Q 0 Q = 0 oldğndan Q 0 bradanda: Q Formül F 45 Bölece bilinmien ve denklemimi olr. Bradan ş eşitlik aılır: Q Q P F 46 Eğer nötr ekseni dik açılı ve eksenlere paralel ve kesitin ağırlık merkeinden geçiorsa, ş öel drmlar ortaa çıkar. 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch 6 a) n-n nötr ekseni eksenine paraleldir. B drmda: Nötr ekseninin ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları P ( P =, 0) olarak kabl edilirse: P ( P =, 0) için F 44 ile 0 F 47 Nötr ekseninin ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları Q (0, PQ ) olarak kabl edilirse: Q (0, Q ) için F 45 anen alınır Q F 45 Bradada iki denklem iki bilinmien oldğ için bilinmeenler hesaplanır: F 47 ile hesaplanırsa elde edilir. B değeri F 45 formülüne erleştirirsek: Q Q Q Q F 48 Hesaplanan F 48 değerini F 47 formülüne erleştirirsek nın değerini blr (F 49). 0 Q Q F 49 mm noktasının değeri mm 4 Deviason momenti Q mm Q noktasının değeri mm Tüm kesit alanı mm noktasının değeri mm 4 -eksenine göre kesitin atalet momenti b) n-n nötr ekseni eksenine paraleldir. B drmda: Nötr ekseninin ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları P ( P, 0) olarak kabl edilirse: P ( P, 0) için F 44 anen alınır P F 44 Nötr ekseninin ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları Q (0, Q =) olarak kabl edilirse: Q (0, Q =) için F 45 ile 0 F 50 Bradada iki denklem iki bilinmien oldğ için bilinmeenler kolaca hesaplanır:

G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch 64 F 50 ile hesaplanırsa elde edilir ve bn F 44formülüne erleştirirsek: P P P P F 5 Hesaplanan F 5 değerini F 50 formülüne erleştirirsek nın değerini blr (F 5). 0 P P F 5 mm noktasının değeri mm 4 -eksenine göre atalet momenti P mm P noktasının değeri mm Tüm kesit alanı mm noktasının değeri mm 4 Deviason momenti Kesit çekirdeğindeki bilgileri tekrar hatırlaalım: Nötr ekseni kesitin bir noktasına değiorsa, çekirdeğin sınırı bir doğrdr. Nötr ekseni kesitin kenarına değiorsa çekirdeğin sınırı köşedir. Kesit çekirdeği alıştırma ödevininin detalı çöümünü 44_04_4 nmaralı dosada göreceği.

Y a p ı S t a t i ğ i 65 5. Mohr benerliği (Mohr analojisi) Mohr benerliği diğer deimi ile "Mohr analojisi" kompleks problemleri basit problemlere indirgeerek kolaca çöümü sağlar. 5.. Prensip ve gidiş ol M Sehimin w" ve momentin M" q diferansiel denklemleri analogdrlar. Bda moment E M nin q ile hesaplanmasına bener şekilde sehim w nin kesit değerleri ile anı apı statiği metodlarıla hesaplanabileceğini gösterir. M" q M w" E Bölece gidiş oln ş şekilde aabiliri:. Bilinen kirişte kesit büüklükleri M (ve V) i bir orlamaa (örneğin:q a) göre hesapları,. nalog kirişte momenti orlaan ük kabl ederi,. w = M* analojisine göre hesabı aparı. Tablo, Mohr benerliği (analojisi) için akış tablos Bilinen kirişte işlem akışı q M" V M M Tablo, Bilinen kiriş ile analog kirişi karşılaştırma Bilinen kiriş Hareketsi atak Hareketli atak Sabit atak Boşta son Hareketli ara atak Mafsal Elastik sabit bağlantı Elastik ataklama w = 0 w 0 w = 0 w 0 w = 0 w = 0 w 0 w 0 w = 0 w L = w R w 0 w L w R w = 0 w = c f. M w = c f. M w 0 nalog kirişte işlem akışı M q* w E " V* w M* w nalog kiriş Hareketsi atak Hareketli atak Boşta son Sabit atak Mafsal Hareketli ara atak Tek üklü c f M boşta son Brada indis L = sol, R = sağ ve c f = /R (m/n) olarak kabl edilir. c f Mometle orlanan hareketsi atak M* = 0 V* 0 M* = 0 V* 0 M* = 0 V* = 0 M* 0 V* 0 M* = 0 V* L = V* R M* 0 V* L V* R M* = 0 V* = c f. M M* = c f. M V* 0 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

66 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 5.. Örnekle Mohr benerliği 5...Örnek, Serbest çta tek kvvetle orlanan portafo (çıkma) kirişte sehim Bilinenler: Q E. L Şekil 69, Portafo (çıkma) kirişte sehim Çöüm: B Şekil 69 ile verilen sistemde E. = sabit ve kvvet Q ile kiriş bo L bilinior. ranan: B noktasındaki sehim formülü. Şimdie kadar öğrendiklerimie göre, analojide bilinen kirişteki maksimm moment erinde maksimm sehim olşr.brda momenti analog kirişte orlaan kvvet kabl edip, bilinen kirişteki maksimm moment erinde analog kirişte momenti hesaplarsak, b bilinen kirişteki sehime eşittir. w B QL Şekil 69-0, Q nn sehiminin kalitatif çiimi Şekil 69-0, Q nn moment dağılımı Tablo ile verilen analojie göre sistemimii analog kiriş olarak ş şekilde gösteriri. Bilinen kiriş nalog kiriş w = 0 w = 0 w 0 w 0 M* = 0 V* = 0 M* 0 V* 0 nalog kirişte bilinen kirişteki moment aılı ük olarak alınır ve sabit atak olarak kabl edilen B tarafındaki moment = sehim hesaplanır. q*= M E. B (/)L Şekil 69-05, nalog kirişte orlama Moment üçgeninin alanı analog kirişte orlama kvvetidir. L ü Fü M Q L L M Q L q* oldğndan wb M Fü E E Bölece Şekil 69-0 ile B cndaki sehim "w B " ş şekilde blnr: Q L w B E L 4 L * * L q L q 4 Q L L F ü E 4 Q L wb E 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 67 5...Örnek, Sabit aılı ükle orlanan klasik kirişte sehim Bilinenler: Çöüm: q L Şekil 70, Sabit aılı üklü klasik kiriş B Şekil 70 ile verilmiş olan sabit aılı ükle orlanan klasik kirişte q ve L bilinmektedir. ranan: Maksimm sehim formülü. nalojide bilinen kirişteki maksimm moment erinde maksimm sehim olşr.brda momenti analog kirişte orlaan kvvet kabl edip, bilinen kirişteki maksimm moment erinde analog kirişte momenti hesaplarsak, b bilinen kirişteki sehime eşittir. w ql /8 ma + Şekil 70-0, q nn sehiminin kalitatif çiimi Şekil 70-0, q dan olşan moment dağılımı Tablo ile verilen analojie göre sistemimii analog kiriş olarak ş şekilde gösteriri. Bilinen kiriş nalog kiriş w = 0 w m 0 w 0 w m = 0 nalog kirişte orlama w = 0 w 0 M* = 0 V* 0 M* 0 V* = 0 M* = 0 V* 0 F P M * q * O F L/ L/6 V=0 Şekil 70-05, nalog kirişte orlama Yarım parabolün alanı analog kirişte orlama kvveti M q L Brada q* oldğndan E 8 E Maksimm moment maksimm sehime eşittir: L L 5L q L 5L wma F FP F 6 6 4 E 6 FP F Şekil 70-06, nalog kirişte moment P FP F q L 8 L * q q L 4 E L 4 5q L wma 84 E 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch

68 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 5...Örnek, Mafsallı sistemde sehim Bilinenler: M B Şekil 7 ile verilen sistem. L/ L rananlar: Şekil 7, Mafsallı sistemde sehim. Mafsal B de sehim w B. Çöüm: B w B B L L/ L L/ Şekil 7-0, Sistemde sehimin kalitatif çiimi Şekil 7-0, Sistemde moment dağılımı Tablo ile verilen analojie göre sistemimii analog kiriş olarak ş şekilde gösteriri. w = 0 w = 0 / w B = / 0 w L w R w = 0 w = 0 M* = 0 V* = 0 / M* = / 0 V* L V* R M* = 0 V* = 0 L B L/ L B L/ Şekil 7-0, Bilinen sistem nalog kirişte orlama Şekil 7-04, nalog sistem q* F F L L L/ B F R L/6 L/ q*/ Şekil 7-05, nalog kirişte orlama ve moment * M q L M L * q L M L q* ÜL FL F L ÜR FR F R E E 8 8 E L L M B 0 F L FL FR F FL FR FL FR M L M L 9 M L M L F F E 8 E 4 E 8 E L wb MB F L FL Maksimm moment maksimm sehime eşittir: M L M L L M L M L M L wb L wb 8 E E 8 E E 4 E 44_04 gerilmeler+mohr.doc www.gven-kta.ch

Y a p ı S t a t i ğ i 69 6. Kon İndeksi sal atalet momentleri..., 58 sal atalet momentlerinin önü..., 58 sal esnemeler... 58 sal esnemelerin önü... 58 sal gerilme... 7 sal normal gerilmeler... 9, 57 sal normal gerilmelerin önleri... 6, 57 talet momentleri... 0 B Bir botl gerilme... 5 Bir eksenli gerilme... 5, 6 Bisqit formülü... 8 Bredt... 47 Bredt formülü... 47 Ç Çapra kvvet... 8 D Daire fomülü... 7 Deviator... Dülem gerilme... 7 Dülem gerilmeleri... 5 E Eğik kesitteki gerilmeler... 6 Eğilme çigisi... Elementer kvvet... Esneme... 49 Etkin kama alanı... 7, 4 G Gerilmeler tensörü... H Hacim gerilmeleri... 5 Homojen lineer denklem... I İdeal elemsilik momentleri... İki botl gerilme... 8 İki eksenli gerilme... 5, 8 İndisle aılış şekli... K Karakteristik denklem... Kavis... 7, 8, 9, 4, 7, 56 Kama açısı... 50 Kama gerilmesi akımı...47 Kiriş teorisi...7 Kirişin diferansiel denklemi...4 Ktp noktası...6 M Maksimm kama gerilmesi...9 Matrisle aılış şekli... Mohr analojisi...65 Mohr benerliği...65 Mohr dairesi... 7, 8 Mohr dairesi ktp noktası P... Mohr dairesi merkei M..., 5 Mohr dairesi arıçapı R..., 5 Mohr dairesinin konstrüksion... Mohr dairesinin merke koordinatları...8 Mohr dairesinin rads bo...9 Mohrn gerilmeler dairesi...7 N Normal gerilmelerin genel formülü... nötr ekseni...60 O Oktaeder kama gerilmesi...4 Oktaeder normal gerilme... Ön işaret kralına...0 S Şekil değiştirme işi... 4, 4 Sembolle aılış şekli... St.Venant...47 Statik moment...9 Statik Sınır Koşllar... T Tensör... Torsion atalet momenti P...47 Torsion merkei...46 Torsion sabitesi...49 U Üç eksenli gerilme...5 Y Yağmr s kralı...9 Z Zincir kralı...5 44_04 Gerilmeler+Mohr.doc www.gven-kta.ch