ÇARPANLARA AYIRMA ÇARPANLARA AYIRMA Bir polinomu farklı polinomların çarpımı şeklinde yazabilme işlemine çarpanlara ayırma işlemi denir. P()=A().B().C() şeklindeki yazılımda A(), B(), C() polinomlarına P() polinomunun çarpanları denir. Bu bölümde çarpanlara ayırma metodlarını inceleyeceğiz. Ortak çarpan parantezine alma Bir polinomun her teriminde ortak olan bir çarpan varsa polinomu bu çarpan parantezine alıp, her terimi bu çarpana bölerek ifade çarpanlarına ayrılabilir. Örneğin, +y ifadesinde sayısının ortak çarpan olduğunu görerek parantezine alırsak, y + y = + = ( + y) olur. 1.çarpan.çarpan Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) +y b) 4+1y c) 6y+9z d) 6 1y+18 a) ortak çarpan, +y=.(+y) b) 4 ortak çarpan, 4+1y=4.(+y) c) ortak çarpan, 6y+9z=( y+z) d) 6 ortak çarpan, 6 1y+18=6( y+) Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali a+4 a+4=.(a+) 5+5 5 5+5=5.(+1) +m +m=.(1+m) a+b a+b=.(a+b) m+6n m+6n=.(m+n) 5 15y 5 5 15y=5.( y) 4 4 =.( 1) ( 6y) 6y=.(+y) ( m 9) m 9=.(m+) m 6n+4 m 6n+4=.(m n+) 4a+6b+1 4a+6b+1=.(a+b+6) n n n n =.(n n 1) 7 +1 14 7 7 +1 14=7.( + ) 6m +15m+1 6m +15m+1=.(m +5m+7) 4
soru 1 soru 5 (+8) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? (+4y+8) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A).(+) B).(+4) C).(+8) D) 4.(+) E) 8.(+1) A).(+y+) B).(+y+4) C).(+y+4) D).(+y+4) E).(+4y+4) soru soru 6 (m+1) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ( 6y) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A).(m+1) B).(m+) C).(m+) D).(m+4) E).(m+1) A).(+y) B).( y) C).( +y) D).( y) E).(+y) soru soru 7 (4 ) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4.( ) B) 4.( 1) C).( 1) D).( ) E).( 1) soru 4 soru 8 (5 10y) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5( y) B) 5( y) C) 5( y) D) 10( y) E) 10( y) 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI ( 7+9) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A).( +1) B).( 9+) C).( 9+1) D).( 7+) E).( 9+1) Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) +6=.(+) B) 4 4=4.( 1) C) 5 5=5.( 5) D) y+=.( y) E) 6y+=.( y+1) 1 B D E 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) + b) m +6m c) + d) a ay a) ortak çarpan, +=.(+1) b) m ortak çarpan, m +6m=m.(m+6) c) ortak çarpan, +=.( +1) d) a ortak çarpan, a ay=a.( y) Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali + +=.(+) y y y y y=y.(y 1) 5 + 5 +=.(5+1) ma m m ma m=m.(a 1) cd+c c cd+c=c.(d+) =.( ) + + + +=.( ++1) m m m m m m m=m.(m m 1) y 4 4y y y 4 4y=y.(y ) a 4 a + a a a a 4 a + a a=a.(a a +a 1) 5b b b 5b b= b.(5b+1) a ay+an a a ay+an=a.( y+n) =( 1) y y y y y=y(y 1) + +=( +1) 5n +n n 5n +n=n(5n +1) n n +n n n n +n=n(n n+1) m ma m m ma=m( a) n 4 +n 5n n n 4 +n 5n=n(n +n 5) = ( ++1) n +m + n +m +=( n +m+1) 6
soru 1 soru 5 a a ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? m m +m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a 1. a B) a.(a 1) C) a.(a ) D) a.(a 1) E) a.(a ) A) m (m 1)+m B) m (m m+1) C) m(m m+1) D) m(m +m 1) E) m(m m) soru soru 6 m +6m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? a 4 +a a ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) m(m+6) B) m(m+) C) m(m+) D) m (m+6) E) m (m 6) A) a(a +a 1) B) a(a +a 1) C) a(a a+1) D) a(a a+1) E) a(a +a 1) soru soru 7 ab ac ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a(b c) B) a(c b) C) a(b+ac) D) a(ab c) E) a(b ac) soru 4 soru 8 + ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (+) B) ( +) C) ( +) D) (+) E) ( +) 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI n 5 +n n ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) n(n 4 n 1) B) n(n 4 +n 1) C) n(n 4 n +1) D) n(n 4 +n 1) E) n(n 4 +n n) 6m m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) m( 6m 1) B) m( 6m+1) C) m(6m 1) D) m(6m+1) E) m( 6m 1) 1 E A A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 5+10y b) 16a 4an c) 6 +4 5 d) y 4 +y +y a) 5 ortak çarpan, 5+10y=5(1+y) b) 16a =(4a) olduğundan 4a ortak çarpan, 16a 4an=4a(4a n) c) 5 ortak çarpan, 6 +4 5 = 5 (+4) d) y ortak çarpan, y 4 +y +y =y.(y +y+) Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali a 10ab a a 10ab=a.(a 5b) m 1my m m 1my=m.( 4y) 5n a 15nb 5n 5n a 15nb=5n.(na b) 1 y+4y 4y 1 y+4y =4y.(+y ) y y y y y=y.(y ) m n 6mn mn m n 6mn =mn.(m n) a 4 5a a a 4 5a =a.(a 5) 5 4 5 4 =.( 4) 5 + 5 + =.( +) 6 + 4 6 + 4 =.( 4 + 1) a 7 a a a 7 a =a.(a 4 ) n 5 6n 4 1n n n 5 6n 4 1n =n.(n n 4) 9a +1a a 9a +1a=a.(a+4) 5 a 5b 5 5 a 5b=5.(5a b) a 4a a a 4a =a.(a ) m+6n m+6n=.(m+n) 5 10m 5 5 10m=5.( m) 4 4 =.( 1) a 7 +b 5 5 a 7 +b 5 = 5.(a +b) m 9 +m 6 +m m m 9 +m 6 +m =m.(m 6 +m +1) y 10 y 1 y 10 y 10 y 1 =y 10.(1 y ) 5 + 4 + 5 + 4 + =.( + +1) 10y 5 +5y 4 +5y 5y 10y 5 +5y 4 +5y =5y.(y +y +1) 8
soru 1 soru 5 15m 5mn ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4m +8m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5m(5m n) B) 5m(m n) C) 5m(m n) D) 5m(m n) E) 5m(m n) A) 4m (m+4) B) 4m (m+1) C) 4m (m+) D) 4m(m +) E) 4m(m+) soru soru 6 a b 4ab ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 9 6 +1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a(a b) B) ab(a b ) C) ab(a b ) D) ab(a ) E) ab(a b ) A) ( 8 +4) B) ( 7 +4) C) ( 7 +6) D) ( 7 + 6) E) ( 7 6+4) soru soru 7 a b a b ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a b (ab b) B) a b (ab 1) C) a b(ab b) D) a b(ab 1) E) a b(a b) soru 4 soru 8 6 4 y +y ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) y ( +y) B) y ( +1) C) y ( +y ) D) y( +y) E) y( +1) 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 4 6 8 5 +1 4 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 4 ( +) B) 4 4 ( 4+) C) (4 8 +1) D) 4 4 ( ++) E) 4 4 ( ) 4 y 4 8 5 y 5 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) y 5 B) y +1 C) y D) y E) 1 y 1 D C D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 E
Aşağıda verilenlerden hangisi +5 ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. +5 ifadesinde ortak çarpan olduğundan, +5 = (+5) biçiminde çarpanlarına ayrılır. I) ifadenin çarpanlarındandır. I) II) III) +5 IV) II).(+5)=..(+5) biçiminde yazılabileceğinden de çarpanlardan biridir. III) +5 ifadenin çarpanlarındandır. IV) ifadenin çarpanlarından değildir. Cevap: Aşağıda verilenlerden hangisi 4 y+ y ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. 4 y+ y ifadesinde y ortak çarpan olduğundan, 4 y+ y = y(+y ) biçiminde çarpanlarına ayrılır. I) ifadenin çarpanlarındandır. I) II) III) y IV) y V) y II) ifadenin çarpanlarındandır. III) y ifadenin çarpanlarındandır. IV) y(+y )=.y(+y ) biçiminde yazılabileceğinden.y de çarpanlardan biridir. V) y ifadenin çarpanlarından değildir. Cevap: y Aşağıda verilenlerden hangisi a b ab ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. a b ab ifadesinde a.b ortak çarpan olduğundan, a b ab =a.b(a b ) biçiminde çarpanlarına ayrılır. I) a ifadenin çarpanlarındandır. I) a II) b III) ab IV) a V) b VI) ab VII) (a b) II) b ifadenin çarpanlarındandır. III) a.b ifadenin çarpanlarındandır. IV) a.b ab =a.b(a b )= ( a).b(a b ) biçiminde yazılabileceğinden a ifadenin çarpanlarındandır. V) a b ab =a.b(a b )=a. ( b).(a b ) olduğundan, b çarpandır. VI) a b ab =a.b(a b )= ( ab)(a b ) olduğundan, ab çarpanlardandır. VII) (a b) çarpanlarından biri değildir. Cevap: a b 10
soru 1 soru 5 Aşağıda verilenlerden hangisi a 4a ifadesinin çarpanlarından biri değildir? Aşağıda verilenlerden hangisi 4 y +6y ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) B) a C) a D) ( a) E) (1 a) A) ( +) B) y C) y D) E) y soru soru 6 Aşağıda verilenlerden hangisi 5 4 +10 ifadesinin çarpanlarından biri değildir? Aşağıda verilenlerden hangisi a b a b ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) (+5) B) C) 5 D) 5 E) A) a B) b C) a b D) (ab 1) E) (ab 1) soru soru 7 Aşağıda verilenlerden hangisi 1m 6m ifadesinin çarpanlarından biridir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Aşağıda verilenlerden hangisi 4 + ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) m B) m C) 6m D) (m 1) E) (m 1) A) B) C) D) ( + ) E) ( ++) soru 4 soru 8 Aşağıda verilenlerden hangisi 5y 4 5y +y ifadesinin çarpanlarından biridir? Aşağıda verilenlerden hangisi a 4 b a b ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) (y +5y+1) B) (5y 5y+1) C) (5y +5y 1) A) a b B) a b C) a D) a b E) b D) 5y E) 5y 1 D A E 4 B 5 A 6 D 7 E 8 A 11
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) Ortak çarpan (+1), (+1).a+(+1).b=(+1)(a+b) a) (+1).a+(+1).b b) (+) +(+) c) ( 1) ( 1) d) (+5) (+5)( 1) b) Ortak çarpan (+), (+) +.(+)=(+)((+)+) =(+)(++)=(+)(+) c) Ortak çarpan ( 1), ( 1).( 1)=( 1)(( 1) ) =( 1)( 1 )=( 1).( 4) d) Ortak çarpan (+5), (+5) (+5)( 1)=(+5)((+5) ( 1)) =(+5)(+5 +1) =(+5).6 Aşağıdakilerden hangisi ( ) ( )(+1) ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. Ortak çarpan ( ), ( ) ( )(+1)=( )(( ) (+1)) =( )( 1) a) b) c) + d) e) +1 Uyarı =( ).( ) = ( )(+) Burada dikkat etmeniz gereken sayı = ( ) olduğu için de bu ifadenin çarpanıdır. Cevap: e Bir polinomun çarpanlarının zıt işaretlileride o polinomun çarpanıdır. (a b)(a+c) (b a).(a c) ifadesini çarpanlarına ayırınız. b a= (a b) olduğunu biliyoruz. O halde (a b) ortak çarpan olur. (a b)(a+c) (b a)(a c)=(a b)(a+c)+(a b)(a c) =(a b)(a+c+a c)=(a b).a Cevap: a.(a b) ( y)(+y) (y ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. (y ) =( y) olduğunu biliyoruz. O halde ( y) ortak çarpan olur. ( y)(+y) ( y) =( y)((+y) ( y)) = ( y)( + y + y) = ( y) y Cevap: y.( y) 1
soru 1 soru 5 (+)y+(+4)y (a+b)(a c)+(a+b)(a+c) A) (+4)y B) (+6)y C) ( 4)y D) (+6)y E) (+8)y A) (a+b).(a c) B) c.(a+b) C) a.(a+b) D) (a+b)(a+c) E) a.(a+b) soru soru 6 ( ) +( ) (a b)(b+c)+(b a)(b c) A) ( )( ) B) ( )( ) C) ( )( ) D) (+)( +) E) (+)( 1) A) (a b)(b c) B) (a b)(b c) C) c.(a b) D) b.(a b) E) c(a b) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI (+1) +(+1) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 1 D) + E) + Aşağıdakilerden hangisi, ( y)(+y) (y ) ifadesinin çarpanlarından biridir? A) y B) +y C) D) E) y soru 4 soru 8 (y+)(y 1) (y+) A) (y+1)(y 1) B) (y+) C) (y+) D) (y+1)(y+1) E) (y 1)(y 1) Aşağıdakilerden hangisi, ( y) +(y ).(+y) ifadesinin çarpanlarından biridir? A) y B) +y C) y D) y E) y 1 D A D 4 B 5 C 6 E 7 E 8 A 1
Gruplandırma Yolu İle Çarpanlara Ayırma En az 4 terimli polinomları çarpanlara ayırmada kullanılan bir metoddur. Polinom ortak çarpan oluşturacak şekilde gruplara ayrılır daha sonra bu ortak çarpan yardımı ile çarpanlara ayırma işlemi yapılır. a+ay+b+by polinomunu çarpanlara ayırınız. 1. grup. grup I. Yol: a + ay + b + by = (a + ay) + (b + by) =a(+y)+b(+y) ((+y) ortak çarpan) =(+y).(a+b) 1. grup. grup II. Yol: a + ay + b + by = (a + b) + (ay + by) Uyarı =(a+b)+y(a+b) ((a+b) ortak çarpan) =(a+b)(+y) Gruplandırma yöntemi uygulandığında ortak çarpan bulmak gereklidir. Ortak çarpan bulunamazsa farklı gruplandırmalar denenebilir. a by ay+b polinomunu çarpanlara ayırınız. a by ay+b=(a+b) (by+ay) =(a+b) y(b+a) ((a+b) ortak çarpan) =(a+b)( y) Cevap: (a+b)( y) +4 polinomunu çarpanlarına ayırınız. +4=( ) ( 4) = ( ) ( ) (( ) ortak çarpan) =( )( ) Cevap: ( )( ) m+n= ve y =5 olduğuna göre, m my+n ny ifadesinin değerini bulunuz. m my+n ny=(m my)+(n ny) =m( y)+n( y) =( y).(m+n) y =5 ise y= 5 tir. ( y)(m+n)= 5.= 15 Cevap: 15 14
soru 1 soru 5 ad+bd+ac+bc +4 ++8 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (a+b)(c+d) B) (b+c)(a+c) C) (a+b)(b+c) D) (a+b)(a+c) E) (a+b)(a+d) A) + B) + C) +4 D) +4 E) + soru soru 6 mn+mr+pn+pr 4+4 A) (m+n)(p+r) B) (m+r)(p+r) C) (n+r)(m+p) D) (m+r)(n+p) E) (m+p)(n+m) A) (+1)( 4) B) ( 1)( +4) C) ( 1)( 4) D) ( +1)( 4) E) ( 1)(+4) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a+yb b ya ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? a+b= ve y= olduğuna göre, a ay+b by ifadesinin değeri kaçtır? A) +y B) a+b C) +a D) y E) a A) 6 B) C) 0 D) E) 6 soru 4 soru 8 a cb+ab ac ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? q p=5 ve m+n=4 olduğuna göre, pm qn+pn qm ifadesinin değeri kaçtır? A) a+c B) b+c C) a b D) b c E) a c A) 0 B) 9 C) 1 D) 9 E) 0 1 A C D 4 E 5 B 6 C 7 E 8 A 15
1 a+a polinomunu çarpanlarına ayırınız. 1 a+a=(1 ) (a a) =(1 ) a(1 ) ((1 ) ortak çarpan) =(1 )(1 a) Cevap: (1 )(1 a) a +b +ab+ab polinomunu çarpanlarına ayırınız. a +b +ab+ab =(a +ab)+(b +ab ) =a(a+b)+b (b+a) ((a+b) ortak çarpan) =(a+b)(a+b ) Cevap: (a+b)(a+b ) (y +1)+y( +1) polinomunu çarpanlarına ayırınız. (y +1)+y( +1)=y ++y +y =(y +y )+(+y) =y(+y)+(+y) ((+y) ortak çarpan) =(+y)(y+1) Cevap: (+y).(y+1) a+ay b by+y+y polinomunu çarpanlarına ayırınız.. grup 1. grup. grup a + ay b by + y + y = a + ay b by + y + y =a(+y) b(+y)+y(+y) =(+y)(a b+y) Cevap: (+y)(a b+y) 16
soru 1 soru 5 1 a a +a ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? a(b 1)+b(a 1) A) a+ B) a +1 C) a D) a 1 E) a A) (a+b).ab B) (a+b)(ab 1) C) (a+b)(ab+1) D) (a b)(ab 1) E) (a b)(ab+1) soru soru 6 1+ 5 8 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? y( 4)+(y 1) A) B) 5 C) 1+ 5 D) 1 E) 1 5 A) (y+)(+y) B) (y+)( y) C) (y )(+y) D) (y )( y) E) ( )( y) soru soru 7 +y + y+y m+my+n+ny+r+ry KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) (+y)( +y) B) (+y)(+y ) C) ( +y )(+y) D) ( +y)(+y ) E) ( ++y)(+y) A) (+y+m)(n+r) B) (+n+r)(y+m) C) (+n)(y+m+r) D) (+y)(m+n+r) E) (n+y)(+m+r) soru 4 soru 8 a 4 b a b+a b ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? y= ve a+b=4 olduğuna göre, a by+b ay ifadesinin değeri kaçtır? A) a +b B) a +b C) a b D) a b E) a+b A) 8 B) 4 C) D) 4 E) 8 1 D E A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 E 17
a +b+c Üç Terimlisini Çarpanlarına Ayırma a +b+c ifadesinin çarpanları (m+n) ve (r+s) olsun. a +b+c=(m+n).(r+s)=m.r +(ms+nr)+ns eşitliğinden, a=m.r, b=m.s+n.r ve c=n.s olduğu görülür. a +b+c ifadesinin çarpanları olan (m+n) ve (r+s) yi bulmak için; a ve c nin çarpanları alt alta yazılır. 1. Adım. Adım. Adım 4. Adım a +b+c m n r s Çarpanlar çapraz olarak çarpılıp sonuçlar toplanır. ms+rn Sonuçlar toplamının ortadaki terime eşit olup olmadığı incelenir. ms+rn=b Sonuçlar toplamının ortadaki terime eşit ise çarpanlar aşağıdaki şekilde ok yönünde yazılarak bulunur. ms+rn=b ise a +b+c=(m+n)(r+s) m r n s Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade a +b+c a ve c nin Çarpanları Çarpanların Toplamı Çarpanlarına Ayrılmış Biçimi 5 +16+ 5 +16+=(5+1).(+) 5 +16+ 5 1 15+1=16 (Ortadaki terim) 5 1 a a a a =(a ).(a+1) a a a a+( a)= a (Ortadaki terim) a a 1 a 1 5 5 =(+1).( ) 5 1 6+= 5 (Ortadaki terim) 1 +10 +10 5 +10=( +).(+5) 5+= (Ortadaki terim) 5 6m 19m 7 6m 19m 7 m 1 m 7 1m+m= 19m (Ortadaki terim) 6m 19m 7=(m+1).(m 7) m 1 m 7 18
soru 1 soru 5 +7+ A) (+)(+1) B) (+1)(+1) C) (+1)(+) D) (+)(+) E) (+1)(+1) A) (+)(+1) B) ( 1)(+) C) ( )(+1) D) (+1)( ) E) (+)( 1) soru soru 6 5 +6+1 6 16 6 A) (5+1)(+1) B) (5+)(+1) C) (+1)(+1) D) (+)(+1) E) (+1)(5+) A) (6+)( ) B) (6 )(+) C) (6 )(+) D) (6+)( ) E) (6 )( ) soru soru 7 6a +1a+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 1a 5a A) (6a+1)(a+1) B) (6a+1)(a+) C) (6a+)(a+1) D) (a+1)(a+) E) (a+)(a+1) A) (a )(4a+1) B) (a+)(4a 1) C) (a 1)(4a+) D) (a+1)(4a ) E) (a 1)(4a ) soru 4 soru 8 4m +1m+10 10n +n A) (m+5)(m+) B) (m+1)(m+10) C) (4m+)(m+5) D) (4m+5)(m+) E) (4m+1)(m+10) A) (5n 1)(n+) B) (5n+1)(n ) C) (5n+)(n 1) D) (5n )(n+1) E) (5n )(n 1) 1 C A B 4 D 5 E 6 D 7 A 8 C 19
a=1 için (+m)(+n)= +n+m+mn= +(n+m)+mn ifadesi incelenirse b=n+m ve c=m.n olduğu görülebilir. O halde, +b+c ifadesini çarpanlara ayırabilmek için toplamları b, çarpanları c olan iki sayı bulmalıyız. +b+c=(+m)(+n) +m +n Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) +4+ b) +5+6 c) +7+1 a) +4+=(+)(+1) + +1 (Çarpımları, toplamları 4 olan sayılar +1 ve +) b) +5+6=(+)(+) + + (Çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar + ve +) c) +7+1=(+4)(+) +4 + (Çarpımları 1, toplamları 7 olan sayılar +4 ve +) +5a+6a ifadesini çarpanlarına ayırınız. Çarpımları 6a, toplamları 5a olan sayılar a ve a olduğu için +5a+6a =(+a)(+a) +a +a Cevap: (+a)(+a) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 6+8 b) 15 c) +4 a) 6+8=( 4)( ) 4 (Çarpımları 8, toplamları 6 olan sayılar 4 ve ) b) 15=( 5)(+) 5 + (Çarpımları 15, toplamları olan sayılar 5 ve +) c) +4 =(+8)( 4) +8 4 (Çarpımları, toplamları +4 olan sayılar +8 ve 4) 0
soru 1 soru 5 +6+5 9+18 A) (+)(+4) B) (+)(+) C) (+5)(+1) D) (+6)(+1) E) (+1)(+4) A) ( 9)( ) B) (+9)(+) C) (+6)(+) D) ( 6)( ) E) ( 6)(+) soru soru 6 +1+0 5 6 A) (+)(+10) B) (+4)(+5) C) (+8)(+4) D) (+6)(+) E) (+0)(+1) A) ( 6)(+1) B) (+6)( 1) C) ( )(+) D) ( )( ) E) ( 1)( 6) soru soru 7 +a+a KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a +4a 1 A) (+)(+1) B) (+a )(+1) C) (+a)(+) D) (+a)(+a) E) (+a )(+a) A) (a 6)(a 1) B) (a+6)(a ) C) (a 6)(a+) D) (a 4)(a+) E) (a+4)(a ) soru 4 soru 8 +10m+1m n n 0 A) (+m)(+m) B) (+1m)(+m) C) (+6m)(+m) D) (+8m)(+m) E) (+7m)(+m) A) (n 10)(n+) B) (n 15)(n+) C) (n 6)(n+5) D) (n+6)(n 5) E) (n+15)(n ) 1 C A D 4 E 5 D 6 A 7 B 8 C 1
+(a+b)+a.b ifadesini çarpanlarına ayırınız. +(a+b)+ab=(+a).(+b) +a +b (Ortadaki terim=b+a=(a+b)) m +(m+)+ ifadesini çarpanlarına ayırınız. m +(m+)+=(m+).(+1) m 1 (Ortadaki terim=m+=(m+)) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, +n+6=(+a)(+b) eşitliği kaç farklı n tam sayısı için sağlanır, bulunuz. +n+6 ifadesini çarpanlarına ayırabilmemiz için çarpımları 6, toplamları n olan iki tam sayı bulmalıyız. 6=6.1 n=6+1=7 6=( 6).( 1) n=( 6)+( 1)= 7 6=. n=+=5 6=( ).( ) n=( )+( )= 5 Buna göre, n'nin alabileceği değerler 7, 7, 5 ve 5 dir. Cevap: 4 a+1 ifadesinin çarpanlarından biri olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. a+1=ifadesinde çarpımları 1 olan iki sayıdan biri ifadesinden olduğu görülebilir. a+1 4 Ortadaki terim: 4+( )= 7 7= a a=7 Cevap: 7
soru 1 soru 5 (a+b)+a.b A) (+a)(+b) B) (+a)( b) C) ( a)(+b) D) ( a)( b) E) (+a)( b) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, +n 8=(+a)(+b) eşitliği kaç farklı n tam sayısı için sağlanır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 soru soru 6 +(m+n)+mn A) (+m)(+n) B) (+m)(+n) C) ( m)(+n) D) (+m)( n) E) ( m)( n) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, +8+m=(+a)(+b) eşitliğini sağlayan en küçük m doğal sayısı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 1 D) 15 E) 16 soru soru 7 m +(m+1)+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +a+6 ifadesinin çarpanlarından biri + olduğuna göre, a kaçtır? A) (m+1)(+) B) (m+)(+1) C) (m 1)( ) D) (m )( ) E) (m 1)(+) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 4 soru 8 n (n ) 6 +11+n ifadesinin çarpanlarından biri + olduğuna göre, n kaçtır? A) (n )(+) B) (n )( ) C) (n+)( ) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) (n+)(+) E) (n+)( ) 1 D B A 4 E 5 B 6 B 7 C 8 C
Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Özdeşlik: Yazılışları farklı olan birbirine eşit harfli ifadelere özdeşlik denir. İki kare farkı özdeşliği: y =( y)(+y) Bunu, "iki sayının kareleri farkı o iki sayının farkları ile toplamlarının çarpımına eşittir" şeklinde ifade edebiliriz. Örneğin: 5 =(5 ).(5+) eşitliğinin doğru olduğunu gösterelim. 5 9=. 8 16=16 dýr. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 9 b) 1 c) 4 a d) 5 a a) 9= =( ).(+) b) 1= 1 =( 1).(+1) c) 4 a = a =( a).(+a) d) 5 a =5 a =(5 a).(5+a) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 4 1 b) 9 4 c) 1 5a d) 81 4a a) 4 1=() 1 =( 1).(+1) b) 9 4=() =( ).(+) c) 1 5a =1 (5a) =(1 5a).(1+5a) d) 81 4a =9 (a) =(9 a).(9+a) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 4y b) 9 y c) 16 5y d) 100 49y a) 4y =() (y) =( y).(+y) b) 9 y =() (y) =( y).(+y) c) 16 5y =(4) (5y) =(4 5y).(4+5y) d) 100 49y =(10) (7y) =(10 7y).(10+7y) 4
soru 1 soru 5 16 6 5y A) (+4)(+4) B) ( 4)( 4) C) ( 4)(+4) D) ( )(+) E) ( 16)(+16) A) (6 5y)(6 5y) B) (6 5y)(6+5y) C) (5 6y)(5+6y) D) (6 5y)(6+5y) E) (6+5y)(6+5y) soru soru 6 6 a 81a 49b A) (a 6)(a+6) B) (a 6)(a 6) C) (6+a)(6+a) D) (6 a)(6 a) E) (6 a)(6+a) A) (9a 7b)(9a+7b) B) (9a 7b)(9a 7b) C) (81a 49b)(a+b) D) (9a+7b)(9a+7b) E) (81a 49b)(81a+49b) soru soru 7 16 1 A) (4 1)(4+1) B) (4 1)(4 1) C) (4+1)(4+1) D) (6 1)(+1) E) (16 1)(+1) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) 49=( 7)(+7) B) a 1=(a 1)(a+1) C) 4a 9b =(4a 9b)(4a+9b) D) 9 100n =( 10n).(+10n) E) 16 81y =(4 9y)(4+9y) soru 4 soru 8 49 4a A) (7 4a)(7+4a) B) (7+4a)(7+4a) C) (7 a)(7 a) D) (7 a)(7+a) E) (a 7)(a+7) Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur? A) 81=( )(+7) B) 49=( 7)(+7) C) 5 1=(5 1)(5+1) D) 16 9=(4 9).(4+9) E) 9 4=( 4)(+4) 1 C E A 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 5
Konu Kavrama Çalışması Çarpanlara Ayrılacak İfade 1. Adım Çarpanlara Ayrılmış İfade 4 9 ( ) 4 9=( ).( +) 6 5 ( ) 5 6 5=( 5).( +5) y 4 (y ) y 4 =( y ).(+y ) a 6 b 8 (a ) (b 4 ) a 6 b 8 =(a b 4 ).(a +b 4 ) a 8 b 4 (a 4 ) (b ) a 8 b 4 =(a 4 b ).(a 4 +b ) a 10 1 (a 5 ) 1 a 10 1=(a 5 1).(a 5 +1) m 1 n 10 (m 6 ) (n 5 ) m 1 n 10 =(m 6 n 5 ).(m 6 +n 5 ) m n 6 m (n ) m n 6 =(m n ).(m+n ) 4 1 y 5 1 y 1 9y 1 y 16 9a y 1 () (5) (a) y 1 y 1 y 1 y 4 y 1 1 1 = + y y y 1 1 1 4 = + y y y 1 1 1 = + 9y y y 1 1 1 5 = 5 5 + y y y 16 4 4 9a = a a + y y y 5 6a b (6a) 5 5 5 6a = 6a 6a + b b b 49a 6 5b (7a) 6 5b 6 6 6 49a = 7a 7a + 5b 5b 5b y (ñy) y=( ñy)(+ñy) 5 b (ñ5) b 5 b =(ñ5 b)(ñ5+b) y (ñ) (ñy) y=(ñ ñy)(ñ+ñy) 4 y ( ) (ñy) 4 y=( ñy)( +ñy) m 1 (ñm) 1 m 1=(ñm 1)(ñm+1) n (ñn) (ñ) n =(ñn ñ)(ñn+ñ) m n (ñm) (ñn) m n=(ñm ñn)(ñm+ñn) 6
soru 1 soru 5 4 5 A) ( 4 5)( 4 +5) B) ( 5)( +5) C) ( 5)(+5) D) ( 5)(+5) E) ( 5)( +5) 5 1 4y 1 1 1 1 A) 5 5 + B) 5 5 + y y 4y 4y 1 1 1 1 C) 5 5 + D) 5 5 + y y 4y 4y 1 1 E) 5 5 + y y soru soru 6 a 4 b 6 A) (a b )(a +b ) B) (a b )(a +b ) C) (a b )(a+b ) D) (a b 6 )(a+b 6 ) E) (a b)(a+b) soru soru 7 8 y A) ( 4 y )( 4 +y ) B) ( 4 y)( 4 +y) C) ( 4 y )( 4 +y ) D) ( y)( +y) E) ( y )( +y ) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a 1 5b 1 1 1 1 A) a a + B) a a + 5b 5b 5b 5b 1 1 1 1 C) a a + D) a a + 5b 5b 5b 5b 1 1 E) a a + b b 16a 1 b 1 1 1 1 A) 8a 8a + B) a a + b b b b 1 1 1 1 C) 4a 4a + D) 4a 4a + b b b b 1 1 E) 4a 4a + b b soru 4 soru 8 a 6 49 A) (a 49)(a +49) B) (a 7)(a+7) C) (a 7)(a +7) D) (a 7)(a +7) E) (a 6 7)(a 6 +7) 5 81 y 5 5 5 5 A) 9 9 + B) 9 9 + y y y y 5 5 5 5 C) 81 81 + D) 9 + y y y y 5 5 E) + y y 1 E A B 4 D 5 E 6 B 7 C 8 A 7
Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. a) 19 17 =(19 17)(19+17)=.6=7 b) 97 96 =(97 96)(97+96)=1.19=19 a) 19 17 b) 97 96 c) 8 9=8 =(8 )(8+)=80.86=6880 d) 111 11=111 11 =(111 11)(111+11)=100.1=100 c) 8 9 d) 111 11 1 66 +65 1 ifadesinin değeri kaçtır, bulunuz. Birbirine yakın olan sayıları gruplayalım. (1 1 ) (66 65 ) =(1 1)(1+1) (66 65).(66+65) =1.45 1.11=45 11=114 Cevap: 114 Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. a) (+) 9=(+) =((+) )((+)+) = ( + )( + + ) =.( + 6) a) (+) 9 b) 16 (+) c) (+1) (+1) d) (a+b c) (a b+c) b) 16 (+) =4 (+) =(4 (+))(4+(+)) =(4 )(4++)=( )(+6) c) (+1) (+1) =((+1) (+1))((+1)+(+1)) =(+1 1)(+1++1)=(+) d) (a+b c) (a b+c) =((a+b c) (a b+c))((a+b c)+(a b+c)) = (a + b c a + b c)(a + b c + a b + c ) =(b c).a =(b c).a=4a.(b c) y +4 4y ifadesini çarpanlarına ayırınız. İfade iki kare farkı içerdiğinden grupları oluştururken bunu dikkate alabiliriz. y +4 4y=( y )+(4 4y) =( y)(+y)+4( y) =( y).(+y+4) Uyarı y +4 4y ifadesini ( +4) (y +4y) şeklinde gruplandırdığımızda ortak çarpan bulamadığımızı görebilirsiniz. 8
soru 1 soru 5 77 75 ifadesinin değeri kaçtır? (+) 16 A) 150 B) 15 C) 00 D) 04 E) 14 A) (+1)(+5) B) ( 1)(+) C) ( 1)(+7) D) ( )(+7) E) (+1)(+19) soru soru 6 77 9 ifadesinin değeri kaçtır? ( 1) (+) A) 590 B) 5810 C) 570 D) 560 E) 5580 A) ( )(5+) B) (+4)(5+) C) ( 4)(5+) D) ( 4)(5 ) E) (+)(5 ) soru soru 7 79 4 +4 78 ifadesinin değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y + y A) 6 B) 66 C) 7 D) 74 E) 85 A) ( y)(+y+1) B) ( y)(+y 1) C) (+y)( y+1) D) (+y)( y 1) E) ( y)(+y) soru 4 soru 8 1 +1 1 14 ifadesinin değeri kaçtır? y 6 6y A) 7 B) 59 C) 4 D) 4 E) 18 A) (+y)( y+6) B) (+y)( y 6) C) ( y)(+y+6) D) ( y)(+y 6) E) ( y)(+y) 1 D A C 4 E 5 C 6 C 7 A 8 B 9
Tamkare Özdeşliği (a+b) =a +ab+b (a b) =a ab+b a b b a b a a a a b a+b b a b a.b a b b a a a a.b a a b Karenin alanı=(a+b) Karenin alanı şekildeki tüm alanların toplamına eşit olduğundan, (a+b) =a +a.b+a.b+b ise (a+b) =a +ab+b dir. Yukarıda bir kenarı (a+b) birim olan kare verilmiştir. a Yukarıdaki şeklin içinde verilenler bulundukları bölgelerin alanlarıdır. a a a b b b b b a b b a b a b a b a a a b b b b.(a b) a b b b b b a b (a b) a b a b b.(a b) a Karenin alanı=a Karenin alanı şekildeki tüm alanların toplamına eşit olduğundan, a =(a b) +b.(a b)+b.(a b)+b a =(a b) +ab b +ab b +b a =(a b) +ab b ise a b b a b b (a b) =a ab+b dir. a a Yukarıda bir kenarı a birim olan bir kare Yukarıdaki şeklin içinde verilenler bulundukları bölgelerin alanlarıdır. ve sağ üst köşesinde bir kenarı b birim olan bir kare verilmiştir. Bu açılımdaki, birimleri, birincinin karesi, birinci ve ikincinin çarpımlarının katı ve ikincinin karesi şeklinde söyleyebiliriz. Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) (+y) b) (+) c) (+1) d) (a+) a) (+y) = +y+y b) (+) = +.+ = +4+4 c) (+1) =() +.().1+1 =4 +4+1 d) (a+) =(a) +.(a).+ =9a +1a+4 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) ( y) b) ( ) c) (4 1) d) (a ) a) ( y) = y+y b) ( ) =.+ = 6+9 c) (4 1) =(4).(4).1+1 =16 8+1 d) (a ) =(a).(a).+ =4a 1a+9 0
soru 1 soru 5 (+4) (m ) A) ++4 B) +4+16 C) +4+4 D) +8+16 E) +16 A) 4m +9 B) 4m 1m+9 C) 4m 6m+9 D) 4m m+9 E) 4m m+9 soru soru 6 (4a+) (+7) A) 16a +9 B) 16a +1a+9 C) 16a +4a+9 D) 16a +6a+9 E) 16a +48a+9 A) 9 ++49 B) 9 +7+49 C) 9 +1+9 D) 9 +5+49 E) 9 +4+49 soru soru 7 ( 5) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +6+9 A) +5 B) 5+5 C) +5+5 D) +10+5 E) 10+5 A) (+) B) ( ) C) (+6) D) ( 6) E) ( ) soru 4 soru 8 (5m ) 4n 0n+5 A) 5m +4 B) 5m 10m+4 C) 5m +10m+4 D) 5m 0m+4 E) 5m +0m+4 A) (4n 5) B) (4n+5) C) (n 5) D) (n+5) E) (4n ) 1 D C E 4 D 5 B 6 E 7 A 8 C 1
( y) ifadesinin eşitini bulunuz. ( y) =( ) +.( ).( y)+( y) = +y+y dir. Cevap: +y+y 1 + ifadesinin eşitini bulunuz. 1 1 1 + = () + () + 1 1 = + + 1 = + + Cevap: ++ 1 ifadesinin eşitini bulunuz. () () = + + 4 = + 4 = 4+ Cevap: 4 4+ 16 +4+k ifadesi tamkare olduğuna göre, k kaçtır, bulunuz. 16 +4+k=(4) +.(4).+k Açýlýmdan gelen çarpaný 1. terim. terim. terim olduğundan k= =9 dur. Cevap: 9
soru 1 soru 5 ( y) A) 4 +4y+y B) 4 4y y C) 4 +y+y D) 4 y+y E) 4 y+y 1 + ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 1 A) + + B) + + 1 C) + + 4 4 1 1 D) + + E) + + 1 4 4 soru soru 6 ( a b) 8+m ifadesi tamkare olduğuna göre, m kaçtır? A) a 6ab+9b B) a +6ab+9b C) a ab+9b D) a +ab+9b E) a ab+b A) 4 B) 8 C) 1 D) 16 E) 0 soru soru 7 1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 9 6+n ifadesi tamkare olduğuna göre, n kaçtır? 1 1 1 A) B) + C) + 1 1 1 D) + + E) + A) 48 B) 6 C) 16 D) 9 E) 6 soru 4 soru 8 1 a + a 1 1 1 A) 4a + + 1 B) 4a + + C) 4a + + 4 a a a 1 1 D) 4a + + 8 E) 4a + + 16 a a a 1+4 ifadesi tamkare olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1 A B E 4 C 5 E 6 D 7 B 8 E
+y=9 y +y=16 olduğuna göre, +y toplamının pozitif değerini bulunuz. +y ile y +y nin toplamının +y+y olduğunu görmeliyiz. + y + y + y = + y + y = ( + y) 9 16 olduğuna göre, (+y) =5 ve +y=5 olur. Cevap: 5 =4, y=7, olduğuna göre, y+y ifadesinin değerini bulunuz. y+y =( y) olduğuna göre, ( y) =(4, 7,) =( ) =9 olur. Cevap: 9 =6, y=7,7 olduğuna göre, ( y) +4y ifadesinin değerini bulunuz. ( y) +4y= y+y +4y= +y+y =(+y) olduğuna göre, (+y) =(6,+7,7) =14 =196 olur. Cevap: 196 y=8 y+y =1 olduğuna göre, y farkının pozitif değerini bulunuz. y ile y+y nin toplamının y+y olduğunu görmeliyiz. y+y+y = y+y =( y) olduğuna göre, ( y) =8+1=9 y= Cevap: 4
soru 1 soru 5 y=7 y y=9 (+y) 4y olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) (+y) B) +y C) ( y) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 D) y E) y soru soru 6 a(a+b)=11 b(a+b)=5 olduğuna göre, a+b toplamının negatif değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 =ñ+ñ y=ñ ñ olduğuna göre, ( y) +4y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 4 C) 8 D) 1 E) 18 soru soru 7 =5,9 5y=17 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y=7,1 olduğuna göre, +y+y ifadesinin değeri kaçtır? y +y= olduğuna göre, y nin pozitif değeri kaçtır? A) 81 B) 100 C) 11 D) 144 E) 169 A) 7 B) 8 C) 15 D) 4 E) 49 soru 4 soru 8 =5+ñ7 y=+ñ7 olduğuna göre, y+y ifadesinin değeri kaçtır? +y=8 4y +y=8 olduğuna göre, +y aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) +16ñ7 B) 17+16ñ7 C) 64 D) 49 E) 4 A) 4 B) C) 0 D) E) 5 1 B D E 4 E 5 C 6 D 7 A 8 A 5
y ++1 ifadesini çarpanlarına ayırınız. y ++1=( y)(+y)+(+1) gruplandırmasının başarısız olduğunu görebilirsiniz. Bu tip gruplandırma sorularında tamkare ifadelere dikkat ediniz. y ++1=( ++1) y =(+1) y =(+1 y)(+1+y) Cevap: (+1 y)(+1+y) y +6y 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız. y +6y 9= (y 6y+9) = (y ) =( (y ))(+(y ))=( y+)(+y ) Cevap: ( y+)(+y ) +6y+9y ++6y ifadesini çarpanlarına ayırınız. +6y+9y ++6y=( +6y+9y )(+6y) =(+y) +(+y) =(+y)(+y+) Cevap: (+y)(+y+) 1 1 1 + + = A 64 9 1 olduğuna göre, A pozitif sayısını bulunuz. 1 1 1 64 9 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + 64 9 1 8 8 A () (8) 1 1 8 + 11 = + = = 8 4 4 11 11 = ise A = 4 4 şeklinde yazılırsa, Cevap: 11 4 6
soru 1 soru 5 y +4+4 +4y+4y ++6y A) (+)(++y) B) ( y)(++y) C) ( y+)( y ) D) (+y)( y+) E) (+y+)( y+) A) (+y)(+y+6) B) (+y)(+y+) C) (+y)(+y+) D) (+y)(+y+) E) (+y)(+y+) soru soru 6 a b 6a+9 a ab+b a+b ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (a b)(a+b+) B) (a b )(a+b) C) (a b )(a+b ) D) (a )(a b+) E) (a+)(a+b+) A) a b+ B) a+b C) a+b+ D) a b E) a+b soru soru 7 y +y 1 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 1 1 1 + + = A 81 6 7 A) y+1 B) y 1 C) +y D) +y+1 E) y olduğuna göre, A pozitif sayısı kaçtır? 5 7 1 A) B) C) D) E) 18 6 9 1 6 soru 4 soru 8 a b 4b 4 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) a b+ B) a+b C) a b D) a b E) a+b 1 1 1 + 5 64 0 1 1 1 A) B) C) D) E) 0 40 0 40 0 1 E C A 4 D 5 B 6 D 7 A 8 D 7
6+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır, bulunuz. ( ) = 6+9 olduğunu görerek, ifadeye 9 ekleyip, 9 çıkaralım. 6+0= 6+9 9+0 =( ) +11 Bir sayının karesi en az sıfır olacağından, = için ifade 11 değerini alır. Cevap: 11 +y 4+y+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır, bulunuz. ( ) = 4+4 ve (y+1) =y +y+1 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, +y 4+y+0= 4+4 4+y +y+1 1+0 =( ) +(y+1) +0 4 1 =( ) +(y+1) +15 = ve y= 1 için ifade 15 değerini alır. Cevap: 15 +y 8+4y+0=0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır, bulunuz. ( 4) = 8+16 ve (y+) =y +4y+4 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, +y 8+4y+0=0 8+16 16+y +4y+4 4+0=0 ( 4) +(y+) +0 16 4=0 ( 4) +(y+) =0 Kareleri toplamı sıfır olan sayıların herbiri sıfır olmalıdır. O halde, 4=0 ve y+=0 =4, y= ve +y=4+( )= olur. Cevap: 4 +y +z 4+10z+6=0 olduğuna göre, +y+z toplamı kaçtır, bulunuz. ( 1) =4 4+1 ve (z+5) =z +10z+5 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, 4 +y +z 4+10z+6=0 4 4+1 1+y +z +10z+5 5+6=0 ( 1) +y +(z+5) =0 O halde, 1=0, y=0, z+5=0 olur. 1 1 9 =, y = 0 ve z = 5 ise + y + z = + 0 5 = 9 Cevap: 8
soru 1 soru 5 4+9 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? +y +6+y+10=0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 9 E) 10 A) 4 B) C) D) 1 E) 0 soru soru 6 +8+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? +y 10+1y+61=0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 10 E) 0 A) 4 B) C) D) 1 E) 0 soru soru 7 +y +6y+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +9y +4 6y+5=0 olduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? A) 1 B) 14 C) 0 D) 0 E) 45 5 A) 6 B) C) D) 1 E) soru 4 soru 8 +y +6 1y+10 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? 4 +16y +z 4+6z+1 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 40 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 1 C B C 4 B 5 A 6 D 7 E 8 E 9
a+b=4 a.b=5 olduğuna göre, a +b ifadesinin değerini bulunuz. (a+b) =a +ab+b olduğuna göre, a +b =(a+b) ab olur. a +b =4.5=16 10=6 Cevap: 6 a+b=6 a +b =0 olduğuna göre, a.b çarpımının değerini bulunuz. (a+b) =a +ab+b olduğuna göre, 6 =0+.ab 6 0=ab 16=ab ve ab=8 olur. Cevap: 8 +y =68.y=16 olduğuna göre, +y toplamının pozitif değerini bulunuz. (+y) = +y+y (+y) =68+.16 (+y) =68+ (+y) =100 ve +y nin pozitif değeri 10 olur. Cevap: 10 + = 7 olduğuna göre, + 9 ifadesinin değerini bulunuz. + ifadesinin karesini aldığımızda ve terimleri oluşacaktır. 9 + = + + 9 7 = + 6+ 9 9 49 = + + 6 ve + = 49 6 = 4 Cevap: 4 40
soru 1 soru 5 a+b=6 a.b=4 olduğuna göre, a +b ifadesinin değeri kaçtır? a +b =7 a.b=11 olduğuna göre, a+b toplamının pozitif değeri kaçtır? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 +y=7 1 y = olduğuna göre, +y ifadesinin değeri kaçtır? +y =8 1 y = olduğuna göre, +y toplamının negatif değeri kaçtır? A) 4 B) 44 C) 46 D) 48 E) 50 A) 5 B) 4 C) D) E) 1 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a+b=8 a +b =6 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? + = 6 olduğuna göre, + 4 ifadesinin değeri kaçtır? A) 9 B) 5 C) 40 D) 51 E) 58 A) 8 B) C) 4 D) 6 E) 40 soru 4 soru 8 a+b= a +b =y olduğuna göre, a.b çarpımının ve y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 1 + = 7 olduğuna göre, 4 + 1 ifadesinin değeri kaçtır? y y ( y) A) y B) y C) D) E) A) 9 B) 41 C) 4 D) 45 E) 47 1 C D A 4 D 5 E 6 C 7 B 8 D 41
a b=5 a.b= olduğuna göre, a +b ifadesinin değerini bulunuz. (a b) =a ab+b olduğuna göre, a +b =(a b) +ab olur. a +b =5 +.=5+4=9 Cevap: 9 a b=4 a +b =4 olduğuna göre, a.b çarpımının değerini bulunuz. (a b) =a ab+b olduğuna göre, (a b) =a +b ab 4 =4.ab 16=4 ab ab=4 16=8 ve ab=4 olur. Cevap: 4 +y =74.y=5 olduğuna göre, y farkının negatif değerini bulunuz. ( y) = y+y olduğuna göre, ( y) = +y y ( y) =74.5 ( y) =74 10=64 y= 8 olur. Cevap: 8 5 = olduğuna göre, + 5 ifadesinin değerini bulunuz. 5 ifadesinin karesini aldığımızda ve terimleri oluşacaktır. 5 5 5 = + 5 = 10 + 5 + = 4 + 10 = 14 olur. 5 Cevap: 14 4
soru 1 soru 5 a b=6 a.b=4 olduğuna göre, a +b ifadesinin değeri kaçtır? +y =48.y=16 olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) 4 B) 0 C) 6 D) 44 E) 5 A) B) 4 C) 8 D) 4ñ5 E) 10 soru soru 6 y=5.y= olduğuna göre, +y ifadesinin değeri kaçtır? a +b =44 a.b=4 olduğuna göre, a b farkının negatif değeri kaçtır? A) 1 B) 5 C) 9 D) E) 7 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru soru 7 a b=6 a +b =4 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 1 = olduğuna göre, + 1 ifadesinin değeri kaçtır? A) 16 B) 0 C) 4 D) 8 E) A) 7 B) 10 C) 11 D) 1 E) 14 soru 4 soru 8 y=8 +y =44 olduğuna göre,.y çarpımının değeri kaçtır? 4 = olduğuna göre, 16 + ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 A) 4 B) 4 C) 8 D) 1 E) 16 1 D C A 4 E 5 B 6 C 7 C 8 D 4
+y=6.y= olduğuna göre, y farkının pozitif değerini kaçtır, bulunuz. ( + y) = + y + y ifadelerinden ( y) = y + y (+y) =( y) +4y olduğu görülebilir. 6 =( y) +4. 6=( y) +8 ve ( y) =8 y=ò8 Cevap: ò8 1 = 4 olduğuna göre, 1 + toplamının pozitif değerini bulunuz. (+y) =( y) +4y ifadesinde y yerine 1 yazalım. 1 1 1 + = + 4 1 1 + = 4 + 4 = 16 + 4 = 0 ve + = 0 Cevap: ò0 +7+1=0 1 olduğuna göre, + toplamının değerini bulunuz. 1 + ifadesini elde edebilmek için, +7+1=0 denklemin- de her terimi e bölelim. 7 1 0 + 7 + 1 = 0 ise + + = 1 + 7+ = 0 1 + = 7 Cevap: 7 5+=0 olduğuna göre, + 4 ifadesinin değerini bulunuz. 4 + ifadesini hesaplamak için ifadelerinden birine ihtiyacımız olacak. Bu nedenle, 5+=0 denkleminde her terimi e bölerek, 5 0 + = 5 + = 0 ve + = 5 bulunur. + = + + 4 4 5 = + 4 + ve + = 5 4 = 1 Cevap: 1 44
soru 1 soru 5 +y=8.y=6 olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) ò5 B) ò8 C) ò10 D) ò4 E) ò11 +5+=0 olduğuna göre, + toplamının değeri kaçtır? A) 5 B) C) 1 D) E) 5 soru soru 6 +y=7.y= olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) ò41 B) ñ5 C) 7 D) ò5 E) ò57 11 6=0 6 olduğuna göre, farkının değeri kaçtır? A) 11 B) 6 C) 1 D) 6 E) 11 soru soru 7 = olduğuna göre, + toplamının pozitif değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +5+=0 olduğuna göre, + 9 toplamının değeri kaçtır? A) 10 B) 1 C) 16 D) 19 E) A) B) ñ C) ñ D) ñ E) ñ soru 4 soru 8 + = 8 olduğuna göre, farkının negatif değeri kaçtır? +6 =0 olduğuna göre, + 4 toplamının değeri kaçtır? A) B) 6 C) 40 D) 44 E) 48 A) ò1 B) 8 C) ò66 D) ò79 E) 9 1 C A C 4 A 5 A 6 E 7 D 8 C 45
(a+b+c) Özdeşliği (a+b+c) =a +b +c +.(ab+ac+bc) Ayrıca, (a b+c) =a +b +c +.( ab+ac bc) (a+b c) =a +b +c +.(ab ac bc) (a b c) =a +b +c +.( ab ac+bc) özdeşlikleri işaretlere dikkat ederek, kendimiz oluşturabiliriz. (a+b+c) ifadesinin eşitini bulunuz. (a+b+c) =a +b +(c) +.(ab+a.(c)+b.(c)) =a +b +4c +.(ab+ac+bc) =a +b +4c +ab+4ac+4bc (a b ) ifadesinin eşitini bulunuz. (a b ) =(a) +( b) +( ) +.(a( b)+a( )+( b)( )) =9a +b +4+( ab 6a+b) =9a +b +4 6ab 1a+4b (a+b c) ifadesinin eşitini bulunuz. (a+b c) =(a) +b +( c) +.(a.b+a( c)+b.( c)) =4a +b +c +(ab ac bc) =4a +b +c +4ab 4ac bc ( y z) ifadesinin eşitini bulunuz. ( y z) = +( y) +( z) +.(( y)+( z)+( y)( z)) = +9y +4z +( y z+6yz) = +9y +4z 6y 4z+1yz 46
soru 1 soru 5 (a+b+c) (a b 1) A) 4a +b +c +(ab+ac+bc) B) 4a +b +c +(ab+ac+bc) C) 4a +b +c +(ab+ac+bc) D) a +b +c +(ab+ac+bc) E) 4a +4b +c +(ab+ac+bc) A) a +9b +1+( ab+a+b) B) a +9b +1+( ab a b) C) a +9b +1+(ab+a b) D) a +9b +1+(ab a+b) E) a +9b +1+( ab a+b) soru soru 6 (+y+) ( +y) A) +y +4+(y++y) B) +y ++(y++y) C) +y +4+(y++y) D) +y ++(y++y) E) +y +4+(+y+) soru soru 7 (a b 1) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) +9+4y +(y 6y) B) +9+4y +( y 6y) C) +9+4y +(y +6y) D) +9+4y +(y+ 6y) E) +9+4y +( y +6y) (+y+1) A) a b 1+( ab a b) B) a +b +1+( ab a+b) C) a +b +1+(ab a+b) D) a +b +1+(ab+a b) E) a +b +1+(ab a b) A) +y +1+(y++y) B) +y +1+(y++y) C) +y +(y++y) D) +y +(y+ y) E) +y +(y+ +y ) soru 4 soru 8 (a b+) (+y+4z) A) 4a +b +9+(ab+6a b) B) 4a +b +9+( ab+6a+b) C) 4a +b +9+(ab 6a b) D) 4a +b +9+( ab+6a b) E) 4a +b +9+( ab 6a+b) A) 4 +9y +16y +(8y+6z+1yz) B) 4 +9y +16y +(6y+8z+1yz) C) 4 +9y +16y +(y+8z+1yz) D) 4 +9y +16y +(6y+4z+1yz) E) 4 +9y +16y +(6y+8z+6yz) 1 C A B 4 D 5 E 6 A 7 A 8 B 47
11=a +b +c Cevap: 11 6=a +b +c Cevap: 6 Çarpanlara Ayırma a+b+c=5 ab+ac+bc=7 olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değerini bulunuz. 5 (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) 5 =a +b +c +.7 5 14=a +b +c a+b c=4 ab ac bc=5 olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değerini bulunuz. (a+b c) =a +b +c +.(ab ac bc) 4 =a +b +c +.5 16 10=a +b +c a =ab+4 b =ac+ c = bc+ olduğuna göre, a b c ifadesinin değeri kaç olabilir, bulunuz. (a b c) = a + b + c + ( ab ac + bc) = ab + 4 + ac + + ( bc + ) ab ac + bc (a b c) =4++=9 a b c= veya a b c= olabilir. Cevap: veya a+b=6 ab+a+b= olduğuna göre, a +b ifadesinin değerini bulunuz. a+b=6 ise a+b+1=7 dir. (a+b+1) =a +b +1+.(ab+a+b) (6+1) =a +b +1+. 49=a +b +7 ise a +b =4 Cevap: 4 48
soru 1 soru 5 a+b+c=6 ab+ac+bc=4 olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 B) 8 C) 6 D) 40 E) 48 a = ab+6 b = bc+9 c = ac+10 olduğuna göre, a+b+c toplamının pozitif değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 a b c=4 ab+ac bc= olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 18 C) 16 D) 14 E) 1 =yz+8 y =z+15 z = y+1 olduğuna göre, +y z ifadesinin negatif değeri kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 soru soru 7 y z=6 y+z yz=4 olduğuna göre, +y +z ifadesinin değeri kaçtır? A) 6 B) 8 C) 40 D) 4 E) 44 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 4 = 8y+4 4y = 4z+5 z = 4yz+7 olduğuna göre, +y+z ifadesinin negatif değeri kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 soru 4 soru 8 y z=8 y+z yz= olduğuna göre, +4y +z ifadesinin değeri kaçtır? +y=7 y y=4 olduğuna göre, +y ifadesinin değeri kaçtır? A) 60 B) 6 C) 64 D) 66 E) 70 A) 4 B) 7 C) 8 D) 0 E) 1 B A E 4 E 5 D 6 E 7 A 8 B 49
(+y) ve ( y) Açılımları (+y) = + y+y +y ve ( y) = y+y y Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) (+1) b) (+) c) (+1) d) (+) a) (+1) = +.1+.1 +1 = + ++1 b) (+) = +.+. + = +9 +7+7 c) (+1) =() +.().1+..1 +1 =8 +1 +6+1 d) (+) =() +.().+.. + =7 +54 +6+8 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) ( 1) b) ( ) c) ( 1) d) ( ) a) ( 1) =.1+.1 1 = + 1 b) ( ) =.+. = 6 +1 8 c) ( 1) =().().1+..1 1 =7 7 +9 1 d) ( ) =().().+.. =8 6 +54 7 + y=15 y +y =1 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır, bulunuz. ( + y) = + y + y + y 15 1 (+y) =15+1=7 ve +y= olur. Cevap: +y =1 y + y=14 olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır, bulunuz. ( y) = y+y y =( +y ) ( y+y ) =1 14= 1 ( y) = 1 ise y= 1 Cevap: 1 50
soru 1 soru 5 (+) A) + ++1 B) + +6+8 C) +6 +6+8 D) +6 +1+8 E) +1 +1+8 +y =17 y+y =47 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 (4+1) A) 64 +64 +1+1 B) 64 +48 +1+1 C) 64 +6 +1+1 D) 64 +4 +1+1 E) 64 +1 +1+1 +y =1 y+y =5 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 7 ( ) A) + 1 B) 9 +7 7 C) 7 +9 7 D) 7 +7 7 E) 81 +7 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y=1 y y =1 olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır? A) B) C) ñ D) 5 E) 4 soru 4 soru 8 (4 ) A) 64 16 +1 7 B) 64 +1 7 C) 64 48 +6 7 D) 64 144 +6 7 E) 64 144 +108 7 y =1 y y = olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır? A) B) C) 18 D) 4 E) 5 1 D B B 4 E 5 C 6 A 7 A 8 C 51
+y=4 y= olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır, bulunuz. (+y) = + y+y +y (+y) = +y +y(+y) 4 = +y +..4 64= +y +4 ve +y =40 olur. Cevap: 40 Uyarı (+y) = +y +y(+y) eşitliğinin bu tür sorularda kolaylık sağladığını görebilirsiniz. 1 + = 5 olduğuna göre, + 1 toplamının değeri kaçtır, bulunuz. (+y) = +y +y(+y) 1 1 1 1 + = + + + 1 5 = + + 5 1 1 15 = + + 15 ve + = 110 olur. Cevap: 110 y= y=4 olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır, bulunuz. ( y) = y+y y ( y) = y y( y) = y.4. 7= y 6 ve y =6 olur. Cevap: 6 Uyarı ( y) = y y( y) eşitliğinin bu tür sorularda kolaylık sağladığını görebilirsiniz. = olduğuna göre, 8 farkının değeri kaçtır, bulunuz. ( y) = y y( y) = 8 = 8 8 8 = 1 ve = 0 olur. Cevap: 0 5
soru 1 soru 5 +y=6.y=4 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır? y=5.y= olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır? A) 144 B) 160 C) 180 D) 19 E) 16 A) 15 B) 15 C) 145 D) 155 E) 165 soru soru 6 a+b=4 a +b =40 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? a b= a b =18 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 A) 5 B) 4 C) D) E) 1 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 4 + = olduğuna göre, + 64 toplamının değeri kaçtır? 1 = 5 olduğuna göre, 1 farkının değeri kaçtır? A) 18 B) 15 C) 1 D) 9 E) 6 A) 110 B) 10 C) 10 D) 140 E) 150 soru 4 soru 8 +1=0 olduğuna göre, + 1 toplamının değeri kaçtır? + =0 olduğuna göre, 8 farkının değeri kaçtır? A) 1 B) 15 C) 18 D) 1 E) 4 A) 45 B) 40 C) 5 D) 0 E) 5 1 A B D 4 C 5 D 6 E 7 D 8 A 5
İki Küp Farkı ve Toplamı ( y) = y+y y olduğunu biliyoruz. İfadeyi düzenlersek, y =( y) + y y =( y) +y( y) =( y)(( y) +y) =( y)( y+y +y) y =( y)( +y+y ) açılımını elde ederiz. (+y) = + y+y +y olduğunu biliyoruz. İfadeyi düzenlersek, +y =(+y) y y =(+y) y(+y) =(+y)((+y) y) =(+y)( +y+y y) +y =(+y)( y+y ) açılımını elde ederiz. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 1 b) 8 1 c) 7 8 a) 1= 1 =( 1)( +.1+1 ) =( 1)( ++1) b) 8 1=() 1 =( 1)(() +.1+1 ) =( 1)(4 ++1) c) 7 8=() =( )(() +().+ ) =( )(9 +6+4) 8a 15b ifadesini çarpanlarına ayırınız. 8a 15b =(a) (5b) =(a 5b)((a) +(a)(5b)+(5b) ) =(a 5b)(4a +10ab+5b ) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) +1 b) 7 +1 c) 8 +15 a) +1= +1 =(+1)(.1+1 ) =(+1)( +1) b) 7 +1=() +1 =(+1)(().1+1 ) =(+1)(9 +1) c) 8 +15=() +5 =(+5)(() ().5+5 ) =(+5)(4 10+5) 16m +7n ifadesini çarpanlarına ayırınız. 16m +7n =(6m) +(n) =(6m+n)((6m) 6m.n+(n) ) =(6m+n)(6m 18mn+9n ) 54
soru 1 soru 5 8 +7 A) (+)( +4) B) (+)( 4) C) ( )( ++4) D) ( )( +4) E) ( )( 4) A) (+)( ++9) B) (+)( +9) C) (+)( +9) D) ( )( ++9) E) ( )( +9) soru soru 6 8 7 7 +8 A) (+)(4 6+9) B) (+)(4 6 9) C) ( )(4 +6 9) D) ( )(4 +9) E) ( )(4 +6+9) A) (+)(9 +6+4) B) (+)(9 6+4) C) (+)(9 +4) D) ( )(9 + 6 + 4 ) E) ( )(9 6+4) soru soru 7 7a 15b KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 15a +b ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (a 5b)(9a +15ab+5b ) B) (a 5b)(9a +5b ) C) (a+5b)(9a 15ab+5b ) D) (a+5b)(9a 5b ) E) (a+5b)(9a +15ab+5b ) A) 5a b B) a+5b C) 5a +5ab+b D) 5a 5ab+b E) 5a +b soru 4 soru 8 16m n ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? 4m +8n ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 6m+n B) 6m +6mn+n C) 6m 6mn+n D) 6m 6mn+n E) 6m +6mn+n A) 7m n B) m+7n C) 7m+n D) 49m +14mn+4n E) 49m 14mn 4n 1 C E A 4 E 5 B 6 B 7 D 8 C 55
(+y) n açılımı 0 ( + y) = 1 1 ( + y) = + y ( + y) = + y + y ( + y) = + y + y + y Paskal Üçgeni 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 4 1 Bu açılımları incelediğimizde, in kuvvetleri azalırken, y nin kuvvetlerinin arttığını söyleyebiliriz. Terimlerin katsayıları ise paskal üçgeni yardımı ile bulunur. Paskal üçgeninde dikkat etmeniz gerekenler; 1) Her satırın 1 ile başlayıp 1 ile bittiği. ) Bir satırdaki yanyana olan iki sayının toplamının alt satırda onların arasına yazılan sayıyı verdiği. ) Bu işlem istenildiği kadar yapılarak paskal üçgenin yeni satırlarının oluşturulabileceği. 1 5 10 10 5 1 Aşağıdaki açılımları yapınız. a) (+y) 4 b) (+y) 5 c) (+) 4 Açılımlarda katsayıların, pascal üçgenindeki satırlardan geldiğini dikkat ediniz. a) (+y) 4 = 4 +4 y+6 y +4y +y 4 b) (+y) 5 = 5 +5 4 y+10 y +10 y +5y 4 +y 5 c) (+) 4 = 4 +4.+6.. +4. + 4 = 4 +8 +4 ++16 Uyarı ( y) n açılımı oluşurken, (+y) n açılımında yerine y yazılacağı için terimler aynı kalır fakat terimlerin işaretleri +, +,... şeklinde devam eder. Aşağıdaki açılımları yapınız. a) ( y) 4 b) ( 1) 5 a) ( y) 4 = 4 4 y+6 y 4y +y 4 b) ( 1) 5 =() 5 5() 4.1+10().1 10().1 +5.().1 4 1 5 = 5 80 4 +80 40 +10 1 (+1) 6 açılımını yapınız. Paskal üçgenini devam ettirirsek, 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 satırından sonra 1 6 15 0 15 6 1 satırı oluşur. (+1) 6 = 6 +6 5.1+15. 4.1 +0.1 +15.1 4 +6.1 5 +1 6 = 6 +6 5 +15 4 +0 +15 +6+1 P(,y)= 4 +4 y+6 y +4y +y 4 olduğuna göre, P(ñ5, 5 ñ5) ifadesinin değeri kaçtır, bulunuz. 4 +4 y+6 y +4y +y 4 =(+y) 4 olduğuna göre, P(,y)=(+y) 4 ve P(ñ5,5 ñ5)= ( 5 + 5 5 = 4 =81 Cevap: 81 56
soru 1 soru 5 (+1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? ( 1) 6 = 6 +...+k +...+1 olduğuna göre, k kaçtır? A) 4 +1 B) 4 + + ++1 C) 4 +4 +6 +4+1 D) 4 +4 E) 4 +5 +10 +5+1 A) 0 B) 15 C) 6 D) 15 E) 0 soru soru 6 (+) 5 = 5 +10 4 +40 +m +n+ olduğuna göre, m+n toplamı kaçtır? ( ) 4 açılımında li terimin katsayısı kaçtır? A) 80 B) 100 C) 10 D) 140 E) 160 A) 144 B) 168 C) 19 D) 16 E) 40 soru soru 7 ( 1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P()= + 1 olduğuna göre, P( 7 +1) ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 +1 B) 4 4 +6 4 1 C) 4 4 +6 4+1 D) 4 +6 4 +4 1 E) 4 +4 +1 A) 1 B) C) 5 D) 7 E) 9 soru 4 soru 8 ( ) 5 = 5 15 4 +90 +k +m 4 olduğuna göre, m k farkı kaçtır? P(,y)= 5 +5 4 y+10 y +10 y +5y 4 +y 5 olduğuna göre, P( ñ,ñ 4) ifadesinin değeri kaçtır? A) 15 B) 5 C) 05 D) 405 E) 675 A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 1 C E C 4 E 5 A 6 D 7 D 8 A 57
Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma Verilen ifade uygun değişken değiştirme ile çarpanlara ayrılabilir hale getirilebilir. 4 5 +6 ifadesini çarpanlarına ayırınız. yerine a yazarsak, ifade ( ) 5( )+6=a 5a+6 üç terimlisine dönüşür. a 5a+6=(a ).(a )=( ).( ) olur. a a Cevap: ( ).( ) ( ) ( ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. yerine a yazarsak, ifade ( ) ( ) =a a üç terimlisine dönüşür. a a =(a ).(a+1)=( ).( +1) a a +1 +1 =( )(+1)( +1) olur. Cevap: ( )(+1)( +1) +1 +1 +4 ifadesini çarpanlarına ayırınız. +1 +1 +4=( )..+4 ifadesinde yerine a yazarsak, a a a+4 Dört terimlisine dönüşür. a a a+4= a (a ) (a ) =(a )(a ) olur. a yerine yazarak, ( )(( ) ) bulunur. Cevap: ( )( ) ña ñb= a b=1 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. ña= ve ñb=y değişken değiştirmeleri yaparsak, a= ve b=y olur. ña ñb= ise y= a b=1 ise y =1 olur. y =( y)(+y) 1=.(+y) ise +y=6 y = Denklem sisteminden + y = 6 = 4 ve y = bulunur. ña= ise ña=4 ve a=16 olur. Cevap: 16 58
soru 1 soru 5 4 7 +1 1 A) ( )( 4) B) ( )( +4) C) ( )(+4) D)( +)( +4) E) ( )( )(+) A) ( 4)( ) B) ( +4)( +) C) ( +4)( ) D)( 4)( +) E) ( +1 +4)( +1 ) soru soru 6 6 8 +1 + A) ( +4)( ) B) ( 4)( +) C) ( 8)( +1) D)( +8)( 1) E) ( 8)(+1) A) ( 1)(9 +) B) ( +1)(9 ) C) ( 1)(9 ) D)( +1)( ) E) ( 1)( +) soru soru 7 ( +) ( +) 4 ña+ñb=6 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? a b=4 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) + B) + 1 C) ++1 D) +4 E) ++4 olduğuna göre, b kaçtır? A) 1 B) C) 4 D) 9 E) 5 soru 4 soru 8 Aşağıdakilerden hangisi ( ) 11( )+4 ifadesinin bir çarpanı değildir? A) 4 B) C) D) +1 E) + 4y=16 ñ ñy= olduğuna göre, kaçtır? A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 5 1 E B C 4 C 5 D 6 C 7 A 8 E 59
Terim Ekleyip Çıkarma Yolu ile Çarpanlara Ayırma Çarpanlara ayrılacak ifadeyi özdeşliklere benzeterek çarpanlara ayırma işlemi yapabiliriz. 4 + +1 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ( +1) = 4 + +1 olduğunu görerek, ifadeye ekleyerek, çıkaralım. 4 + +1= 4 + +1+ = 4 + +1 =( +1) (İki kare farkı) =( +1 )( +1+) Cevap: ( +1 )( +1+) 4 +4 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ( +) = 4 +4 +4 olduğunu görerek, ifadeye 4 ekleyerek, 4 çıkaralım. 4 +4= 4 +4 +4 4 =( +) () (İki kare farkı) =( + )( ++) Cevap: ( + )( ++) + ++9 ifadesini çarpanlarına ayırınız. (+1) = + ++1 olduğunu görerek, + ++9= + ++1+8 =(+1) +8 =(+1) + a=+1 için a + =(a+)(a a+4) =((+1)+)((+1) (+1)+4) = ( + )( + + 1 + 4) =(+)( +) Cevap: (+)( +) y 4 6y 5 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ( ) = 4+4 ve (y+) =y +6y+9 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, ( 4+4 4) (y +6y+9 9) 5 =( ) 4 (y+) +9 5 =( ) (y+) (İki kare farkı uygulayalım.) =(( ) (y+))(( )+(y+)) =( y )( +y+) =( y 5)(+y+1) Cevap: ( y 5)(+y+1) 60
soru 1 soru 5 4 + +4 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? + ++8 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) + D) ++ E) 4 A) ++5 B) 7 C) +7 D) + E) + soru soru 6 4 +7 +16 + 9 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) ( +4)( ++4) B) ( +4)( ++4) C) ( 4)( +4) D)( 4)( +4) E) ( 4)( +4) A) + B) +1 C) D) + E) soru soru 7 8 + 4 +1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y 4y A) ( 4 +1)( 4 1) B) ( 4 +1)( 4 + +1) C) ( 4 1)( 4 + +1) D)( 4 + 1)( 4 + +1) E) ( 4 1)( 4 + 1) A) (+y )( y+1) B) ( y )(+y+1) C) ( y )( y+1) D)(+y )(+y+1) E) (+y+)( y 1) soru 4 soru 8 4 +64 4 y 1+10y 16 A) ( 4 4)( 4+16) B) ( +4 4)( +4 16) C) ( +4)( +16) D)( 4 8)( 4+8) E) ( 4+8)( +4+8) A) ( y )(+y+8) B) ( y+)(+y 8) C) ( y+)(+y+8) D)( y 4)(+y+4) E) ( y+4)( y 4) 1 D A B 4 E 5 C 6 E 7 B 8 B 61
RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ Verilen ifadenin pay ve paydasındaki ifadeler çarpanlara ayrılarak ortak çarpan varsa sadeleştirme yapılabilir. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. + 6 a) 4 + 8 b) c) + 5 + 10 4 1 5 + 6 a) b) c) + 6 ( + ) = = 4 + 8 4( + ) 4 + 5 ( + 5) = = + 10 ( + 5) 4 1 4( ) 4 = = 5 + 6 ( )( ) 4 ifadesinin en sade halini bulunuz. 4 ( ) ( + ) = = ( ) + Cevap: + 5 + 6 ifadesinin en sade halini bulunuz. 1 5+6 = ( )(+1) = (+1) ( )( ) ( ) Cevap: +1 + 1 9 ifadesinin en sade halini bulunuz. 4 + 1 = ( )(+4) = (+4) ( )(+) (+) Cevap: +4 + 6
soru 1 soru 5 + 1 6 + ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? + 5 6 + ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 4 5 6 + 6 + 6 6 + 6 6 A) B) C) D) E) + + 1 1 soru soru 6 + 4 4 + 16 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? + 5 + 1 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? + 4 A) B) C) D)+ 4 E) 8 4 4 + + + 1 A) B) C) D) E) 1 + 1 1 + 1 + soru soru 7 + 1 1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI + 4 + 1 9 1 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 1 D) E) +1 + 1 + 1 + 1 1 1 A) B) C) D) E) + 1 + 1 1 1 1 soru 4 soru 8 a + a a 1 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? 6m + 5m + 1 4m 1 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? a a a + 1 a 1 a A) B) C) D) E) a 1 a + 1 a 1 a + 1 a + 1 m 1 m + 1 m 1 m + 1 m + 1 A) B) C) D) E) m 1 m 1 m + 1 m 1 m + 1 1 B B C 4 A 5 A 6 D 7 C 8 D 6