JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) ( x, ). ( x, ) I( x, ) (7.) şeklnde tanımlanan Posson denklemdr. 3-B modellemede se (.) denklem ( x,, ). ( x,, ) I( x,, ) (7.3) şeklnde aılır. Denklem (.) ve (.3) de kullanılan değşkenler Bölüm. de verlmştr. Yukarda aılan model bağıntılar sınır koşulları kullanılarak çöülür. 7.. Model Bağıntısı Elektrk öntemler teors, homojen olmaan br letken er çn EM alanın genel kuralları kullanılarak gelştrlmştr (Zhdanov ve eller, 994). Doğru akım ödrenç öntemnde, modellemede kullanılan Posson Denklem, EM alanları tanımlaan Maxwell denklemler kullanılarak çıkarılablr. Bu bağıntının çıkarılmasında, akımın sürekllk denklem ve kapalı br alanda ntegralnn oldan bağımsı olması (konservatf) öellklernden ararlanılarak. ( x,, ) ( x,, ) I. ( x xs ). ( s ). ( s ) (7.4) E nn şeklnde bulunur. Burada (x,, ), 3-B uada öletkenlk, (x,, ) 3-B gerlm, I, akım, x x ), ) ve ) kamış brm mpuls fonsonları, x s,, ) nokta akım ( s ( s ( s kanağının 3-B uadak koordnatları, ( s s gradent ve. se dverjans operatörüdür. Bu denklem Posson denklem olarak blnr ve sadece kanak cvarında geçerldr. Denklem (.4), 3-B ua çn aılmıştır. -B modelleme çn letkenlk dağılımının -önünde değşmedğ kabul edlrse, ( x,, ) aılablr. Bu kabul (.4) denklemne ugulanırsa,. ( x, ) ( x,, ) I. ( x xs ). ( s ). ( s ) (7.5) eştlğ elde edlr. Denklem (.5) de, nokta akım kanağı ve gerlm; x, ve değşkenlernn fonksonudur. Fakat letkenlk x ve değşkenlernn fonksonudur. Hesaplamaların kola apılablmes çn Fourer cosnüs dönüşümü le ( x,, ) erne, ( x, k, ) uaında şlemler apılır. Bu amaç çn, Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-4/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) ~ f ( x, k, ) f ( x,, )cos( k ) d ~ f ( x,, ) f ( x, k, ) cos( k ) dk dönüşüm çft kullanılır. Burada f ( x,, ) ve f ( x, k, ) çft fonksondurlar. Denklem (.5), ( x,, ) noktasındak nokta kanak çn, k boutlu letkenlk ((, )) dağılımından s s s x oluştuğu varsaılan, 3-B gerlm ((,, )) dağılımını -B gerlm dağılımına ((,, ) ) çevrr. x (7.6) x k Helmholt denklem ve Fourer dönüşümünün öellklernden ararlanarak (.5) denklem x k cosnüs dönüşümü sonucu (,, ) uaında aşağıdak gb aılablr. ~ ~. ( ( x, ) ( x, k, ) k ( x, ) ( x, k, ) I( x x ). ( ) s s Bu fade k nn sabt br değer çn aılmıştır. -B modellemede 3-B nokta akım kanağının kullanıldığı problemler.5-b (two and a half dmensonal) problem olarak smlendrleblrler (Petrov, 995). Çünkü denklem (.6) da görüldüğü gb frekans uaında, k (7.7) katsaısına bağlı olarak - önündek letkenlk değşmde br term le eklenmştr. Denklem (7.7) aşağıdak sınır koşulları le çöülür.. ( x,, ) gerlm, ( x, ) k boutlu letkenlk dağılımının bütün sınırlarında sürekl olmalıdır.. J( ) olmalıdır (De ve Morrson 979). akım oğunluğunun normal bleşen bütün sınır üelernde sürekl 7.3. B ve 3B Posson Denklemnn Sonlu Elemanlar Yöntem le çöümü Sonlu elemanlar öntem (SEY); kısm dferansel denklem vea enerj teoremle tanımlanan fksel br problem çömek çn kullanılan saısal br öntemdr ve lk olarak Zenkewch ve Cheung (965) tarafından kullanılmıştır. SEY aşağıda sıralanan altı aşamada ugulanır. Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-4/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem). Verlen dferansel denklem, ntegral denklemne dönüştürülür. Burada ntegral denklem tanımlanan alan çn aılır. İntegral denklemne dönüştürme şlem, ağırlıklı redüel öntem vea varasonel öntem kullanılarak apılır.. Verlen çöüm bölges sonlu saıda küçük elemana bölünür. Burada alan, doğrusal üçgen elemanlara bölünmüştür. Bu elemanlar brbrlerne düğüm noktalarından (node) bağlıdır. Daha sonra sonlu elemanlar ağındak elemanlar ve düğüm noktaları arı arı numaralandırılır. 3. Blnmeen (gerlm) değerler, her eleman çnde polnom denklem le tanımlanır. Burada doğrusal polnom aklaşımı kullanılmıştır. Tanımlanan polnom denklem kullanılarak elemanın düğüm noktalarındak gerlm (, j, k ), değerler tanımlanır. Daha sonra elemanın aılır.,, değer düğüm noktalarında tanımlanan j k değerler cnsnden 4. Üçüncü adımda, düğüm noktalarındak gerlm değerler cnsnden aılan elemanların gerlm değerler, brnc adımda elde edlen ntegral denklemne erleştrlerek her eleman çn doğrusal denklem takımları gelştrlr. Gelştrlen bu doğrusal denklem takımları brleştrlerek, her elemana at de denklemler oluşturulur. 5. Dördüncü adımda oluşturulan eleman de denklemler brleştrlerek sonlu elemanlar ağı çn genel de denklem (global matrx equaton) elde edlr. Genel de denklemn oluştururken Neumann ve Drchlet sınır koşulları ugulanır. 6. Genel de denklem çöülerek düğüm noktalarında tanımlanan gerlmler hesaplanır. 7.3.. İntegral Denklemnn Elde Edlmes DAÖ önemnde aşağıdak gb verlen 3B Posson denklem çöülür. ( x,, ) ( x,, ) I. ( x x ). ( ). ( ) s s s Bu denklemde I ; x, ve nn fonksonudur. Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-43/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) DAÖ öntemnde B modellemede se, -önünde ödrencn değşmedğ kabul edlrse ve Fourer cosnüs dönüşümü (denklem (.6)) ugulanırsa, B modellemede aşağıdak Possson denklem çöülür. x,) (x,k,) k (x,) (x,k,) I (x x ) () ( s Bu k denklemn sonlu elemanlarla çöümü benerdr. Örneğn B Posson denklemnn sonlu elemanlar le çöümünde brnc adım olarak varasonel öntem le aşağıdak ntegral denklem elde edlr. ~ ( x, k, ) ~ ~ (,, ) x k (,, ) k x k ( ) ( ) ~ x (,, ) I x xs x k dxd.(7.8) 7.3.. Alanın Elemanlara Arılması İknc aşamada, denklem (.) n tanımlı olduğu alan, eleman adı verlen sonlu saıda küçük parçalara bölünür. Elemanlar brbrlerne bell saıda noktalardan bağlıdır ve blnmeen değerler her eleman üernde belrlenen bu noktaların koordnat değerlernde hesaplanırlar. Blnmeen değerlern hesaplandığı bu noktalara düğüm noktası (node) denr. Brbrlerne düğüm noktalarından bağlı sonlu saıda elemanın oluşturduğu alana sonlu elemanlar ağı (fnte element mesh) adı verlr. Şekl. de doğrusal üçgen (lnear trangle) elemanlara bölünmüş br sonlu elemanlar ağı görülmektedr. O x Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-44/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) Şekl.. Doğrusal üçgen elemanlara bölünmüş sonlu elemanlar ağının şematk gösterm (Uchda, 995). Ağ üerndek elemanların boutları ve saısı le düğüm noktası saısı problemn çöümünde çok önemldr. Elemanlara arılan alanda, düğüm noktaları ve elemanlar arı arı numaralandırılır. Drchlet sınır koşulunu ugulamak çn sonlu elemanlar ağının orta noktasından (O) sol, sağ ve aşağı öne doğru gdldkçe elemanların boutları artırılır. 7.3.3. Eleman De Denklemnn Elde Edlmes SEY -B, -B ve 3-B tanımlanan dferansel denklemlern saısal çöümü çn kullanılablr. -B çöümde br eğr dügün doğru parçalarının br sers le tanımlanır. -B çöümde üçgen vea dkdörtgen elemanlar ada her ksnn brleşm kullanılablr. 3-B çöümde se quadratk üçgen vea dkdörtgen şekll elemanlar kullanılır. Burada -B modellemede kullanılan doğrusal üçgen eleman çn eleman de denklem aşağıdak gb elde edlr b + c b b + c c b b + c c ~ ~ j j k k a ~ ~ I b b + c c b + c b b + c c j k j j j j j k j k j a j 4 ~ ~ (.8) b b + c c b b + c c b + c a k k j k j k k k k k k Burada a x x b c x x j k k j j k k j a x x b c x x j k k j k j k a x x b c x x k j j k j k j Şeklnde tanılnalır. Bu denklem sadeleştrlrse, smgesel br - elemanı çn aşağıdak de denklem elde edlr. k k k k k k k k k 3 3 3 3 33 ~ a ~ I a (.9) ~ 3 a 3 Bu denklem kısaca, k. u s (.3) Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-45/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) şeklnde aılablr. Yukardak denklemde -elemanı çn koordnatlarına, k k, düğüm noktalarının dönüşüm katsaısına ve elemanın öletkenlğne bağlı katsaı de (stffness matrx), u düğüm noktalarındak gerlmlere bağlı ( 3) boutunda sütun vektör, s 3 elemana ugulanan nokta akıma bağlı ( ) boutunda sütun vektördür. 7.3.4. Genel De Denklemnn (Global Matrx Equaton) Elde Edlmes Elemanlar düğüm noktalarından brbrne bağlı olduğundan, düğüm noktalarındak gerlmler br eleman çn aılan de denklemnn çöümüle bulunama. Gerlmlern hesaplanması çn elemanlar çn oluşturulan de denklemler, sonlu elemanlar ağına bağlı brleştrlerek genel de denklem oluşturulmalıdır. Oluşturulan genel de denklem çöülerek düğüm noktalarındak gerlmler hesaplanır. Denklem (.3) sonlu elemanlar ağındak bütün elemanlar çn türetleblr. Sonlu elemanlarda amaç bütün elemanların katsaı delern toplaarak, tüm apının katsaı dene dönüştürmektr. Bunu göstermek çn Şekl.6 dak gb ( 3 3) boutunda br sonlu elemanlar ağı ele alınablr. 4 3 3 5 5 3 7 4 3 6 6 8 7 x 8 9 Şekl.6.Sek doğrusal üçgen eleman ve doku düğüm noktası olan sonlu elemanlar ağı. Burada ağın 8 elemanı ve ukardan aşağıa doğru numaralandırılmış 9 düğüm noktası vardır. Denklem (.3) da görüldüğü gb, br eleman üernde üç düğüm noktası olduğundan katsaı delerde ( 3 3) boutundadır. Bu deler brleştrerek tüm ağın katsaı de halne getrmek çn düğüm noktası saısı boutunda ( 9 9) br kare dee gereksnm vardır. atsaı den oluşturarak genel de denklemn elde etme şlemne ''Doğrudan Rjtlk Yöntem'' denr. Burada br elemana at de denklemnde de ve vektörün satır ve sütun numarası (sonlu elemanlar ağında elemanın düğüm noktalarının numarası), de ve vektörün kenarlarına aılır. Sonra sonlu elemanlar ağındak düğüm noktası saısı Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-46/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) boutunda br kare de (katsaı de, coeffcent- stffness matrx) oluşturulur ve den bütün elemanlarına sıfır değer atanır. Bundan sonra, her eleman çn aılmış denklemlerde den kenarına aılan düğüm noktası numarası, katsaı denn satır ve sütun numarası olacak şeklde değerler erleştrlr. Anı satır ve sütun numarasına denk gelen değerler toplanır. Bu şlem bütün elemanlar çn apılır. Numaralandırma şlem numaralı eleman çn aılan de denklemnde görülmektedr. Toplam sek eleman çn elde edlen de denklemlernn katkısı toplanarak, genel de denklem 4 3 4 5 33 53 63 3 4 44 54 74 4 35 65 75 85 5 45 55 86 96 36 56 66 47 77 87 47 3 4 58 5 68 696 78 7 88 89 8 98 99 9 (.3.a) şeklnde aılablr. Burada; k, k, 3,..., k, k k k,...,, e eşttr. Buna göre (.3a) de denklem 3 genel olarak tanımlanan br sonlu elemanlar ağı çn aşağıdak gb aılablr. ( N N ). U( N ) S( N ) (.3.b) Burada N ağ üerndek düğüm noktası saısı olmak üere, (.3) denklemnde ( N N) boutlu, potf değerl, smetrk-band dedr. Bu de sonlu elemanlar ağındak tüm elemanların geometrsne ve öletkenlğne bağlıdır. Den köşegen (dagonal) elemanları sıfırdan (, ) ve anı sıradak köşegen dışı termlerden büüktür. Dede sıfır olmaan termler köşegene akındır ve bandın dışındak bütün termler sıfırdır. Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-47/ 94
U JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) sütun vektör bütün düğüm noktalarındak blnmeen gerlm değerlern çerr. S sütun vektör se bütün düğüm noktalarındak nokta akım kanağının ve sınır koşullarından blnen gerlm değerler le şekl fonsonunun çarpım değerlern çermektedr. Denklem (.3) de görüldüğü gb tek br eleman çn düğüm noktasında hesaplanan gerlm sadece o elemanın katkısıla bulunur. Fakat sonlu elemanlar ağı üerndek br düğüm noktasının gerlm, denklem (.3) le o düğüm noktasına komşu tüm elemanların katkısıla hesaplanır. Bu nedenle sonlu elemanlar ağındak elemanların şekl ve düğüm noktası saısı önemldr. Sonlu elemanlar ağı üernde düğüm noktası saısı ne kadar çok se hesaplanan gerlmler model o kadar temsl eder. Yukarda görüldüğü gb S vektöründe sadece dördüncü düğüm noktasını temsl eden elemanda değer vardır. Bölece kanağın olduğu erde Posson denklem sağlanmış olur. Dğer elemanlara sıfır değer ataarak kanağın olmadığı noktalarda Laplace denklem sağlanmış olur. Arıca her düğüm noktası çn aılan denklemlerde düğüm noktasının komşu olmadığı noktalar çn sıfır değer ataarak sınırlarda Drchlet sınır koşulu ugulanmış olur. 7.3.5. Gerlm Alanın Çöümü Denklme (.3) kanak termn çeren sütun vektörün sıfırdan farklı elemanları olduğundan homojen olmaan denklem takımıdır. Homojen olmaan denklem takımının çöümü dolası (drect) ve dolalı (ndrect, teratve) öntemler olarak ke arılablr. Dolalı öntemler hem algortmalarının kolaca programlanablr olması hem de uvarlatma hatalarının a ve neleme (terason) apıldıkça brkme olmaması bakımından çok kullanılır. Fakat bu öntemlerde dama br akınsama (convergence) problem vardır. Dolası öntemler verlen katsaı denn elemanlarını şlemler sırasında değştrrler ve başlangıçta çok sıfırlı (sparse) olan katsaı de sıfır elemanları daha a olan br oğun (dense) dee dönüşür. Buna karşılık dolalı öntemler katsaı den değştrme. Bu nedenle büük (N > ) ve çok sıfırlı katsaı de olan denklem takımlarının çöümü çn dolalı öntemlern kullanılması önerlr. Fakat bu öntemler çöüme akınsamasa dolası öntemlern kullanılması orunludur. Genel de denklemnde, doğrudan katsaı denn ters alınarak dğer tarafa çarpan olarak geçrleblr ve çöüm daha hassas şeklde doğrudan bulunablr. Fakat bu öntem Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-48/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) dğer dolalı ve dolası çöüm öntemlernden daha fala aman alır. Yne de hılı br blgsaar varsa bu öntem le çöüm terch edleblr. Doğrusal cebrsel denklem takımının çöümünde kullanılacak öntemn seçmnde; çöüm sırasında gereken şlem saısı, çarpma ve bölme şlemler saısı, kola programlanablr olması, mümkün olduğu kadar a uvarlatma hatası olması ve çöüm hıı öellkler göönünde tutulur. Genel de denklem Cholesk Decomposton, Gauss elmnasonu, LUarıklaştırması (LU decomposton) vb. öntemlerle çöüleblr. '' Cholesk decomposton'' öntemne göre, herhang br A denn elemanları, potf ve smetrk se bu de LL T A şeklnde aılablr. Burada L de alt üçgen de, göstermektedr. L denn köşegen elemanları dr. Burada, L T se L denn devrğn L, j ( - j > m) L T, j L, j dr. Buna göre Ax=b denklem aşağıdak şeklde adım adım L T b (.3) L x (.33) çöülür. Denklem (.3) le önce çöülür ve daha sonra çöüm (.33) de erne konularak x blnmeen öne bulunablr. Bu öntem öellkle n ver saısı m parametre saısından büük olduğu (n>>m) durumlarda (alt üçgenlere bölme öntem) etkldr. Burada ele alınan problem çn ver saısı parametre saısından faladır. Bu öntem Gauss elmnason öntemnden çok daha çabuk çöüme ulaşmaktadır (De ve Morrson 979). 7.3.6. Gerlmn ( x, k, ) Uaından ( x,, ) Uaına Dönüştürülmes ve GÖ Hesabı Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-49/ 94
JFM36 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Ödrenç Yöntem) ( x, k, ) uaından, (,, ) x uaına dönüşüm le -B letkenlk dağılımı neden le oluşan üç boutlu gerlm dağılımı hesaplanablr. Dönüşüm şlem Fourer cosnus dönüşümü le gerçekleştrleblr. Denklem (.3) den hesaplanan gerlmler ( ~ ( x, k, ) ); ( x, k, ) uaında çöülmüştür. Bu değerlern ( x,, ) uaına dönüştürülmes gerekmektedr. Dönüşüm şlemnde kullanılan k nn seçm deneme anılma olu le apılmaktadır. Bu değerler sıfır le dört arasında seçlerek gerçekleştrleblr. Fakat herhang br er model çn ağ boutunun değşmes (dx ve d aralıklarının değşmes) en k değerlernn bulunmasını gerektrmektedr. Arıca anı model çn her farklı AB/ değer çnde k değerlernn enden düenlenmes gerekmektedr. k değerler deneme anılma öntem le bulunarak homojen br model çn doğru olup olmadığı bütün AB/ değerlernde kontrol edlmeldr. k değerlernn kaç adet olması br kurala bağlı değldr. Örneğn, De ve Morrson (979) aptıkları programda beş adet, Rod(976) ed adet, Uchda (995) se ondört adet k değer kullanmıştır. Uchde k değerlern ağ boutuna bağlı olarak tanımlamıştır. Her modelde ~ ( x, k, ) genel davranışı k = çn asmptotk olarak dü br tepk fonksonuna, k nn en büük değer çn dügün aalarak sıfıra asmptot olmaktadır. Dönüşüm şlem ( x, k, ) ugun br üstel fonksona aklaştırılarak değerler çn ( k k k ) analtk olarak k k e ak ak e cos( k b) dk bsn( bk ) a cos( bk ) a b k k ~ ( x, k, ) nn arfını k ' nn le apılablr. Çöülen ~ ( x, k, ) ler ( x,, ) e dönüştürüldükten sonra görünür ödrenç değerler hesap edleblr. Gerlm değerler hesap edlrken farklı kanak konumları çn çöülen den üee karşılık gelen elemanları daha sonra kullanılmak üere saklanır. Denklem (.3) de gerlmn hesaplandığı düğüm noktasıla lşks olmaan düğüm noktalarına karşılık gelen sütunlara sıfır değer atanır. Bu durumda köşelerde Drchlet sınır koşulu sağlanmış olur. Arıca nokta akım kanağını çeren dede kanağın bulunmadığı noktalara sıfır atamakla Laplace denklem, nokta akım kanağında se Posson denklem sağlanmış olur (Pekşen 996). Denklem (.3.4) ve (.6) de katsaı de br model çn br ke kurulur. Daha sonra nokta kanak termnn değşk konumları çn bu denklem sstem çöülerek stenlen modeln Prof.Dr.M.E.Candansaar, Ankara Ünv. Müh.Fak. Jeofk Müh.Böl (Bu notu aardan habers fotokop le çoğaltmak asaktır) - Ocak 6-5/ 94