OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: TOPLAMA YÖNTEMİ: Bi E olayı E veya E olaylaıda biii geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi +m seçeek vadı. E=E E ve E E =Ø içi: s(e)=s(e E )=s(e )+s(e )=+m A ketide B ye kaa, deiz veya hava yollaıda bii ile gidilebilmektedi.iki ayı kaa yolu, üç ayı deiz yolu ve iki ayı hava yolu bulumaktadı. A da B ye kaç faklı yolla gidilebili? Y: +3+=7 A={(x,y): x +y 5, x,y Z } kümesi kaç elemalıdı? x +y =0 içi: (0,0) tae x +y = içi: (,0),(-,0),(0,),(0,-) 4 tae x +y = içi: (,),(-,),(,-),(-,-) 4 tae x +y =3 içi: YOK x +y =4 içi: (,0),(-,0),(0,),(0,-) 4 tae x +y =5 içi: (,),(-,),(,-),(-,-),(,), (,-),(-,),(-,-) 8 tae + tae 74
ÇARPMA YÖNTEMİ: Bi E olayı, adada E ve E olaylaıı geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi.m seçeek vadı. s(e)=s(e xe )=s(e )xs(e )=.m A ketide D ye, öce B ve soa C de geçmek koşuluyla gidiliyo. A da B ye yol, B de C ye 5 yol, C de D ye 3 yol vasa, A da D ye kaç değişik yolda gidilebili? Y:.3.5=30 { 0,,,,9 } elemalaı kullaılaak basamaklı kaç şife yazılabili? He basamakta o tae akam kullaılabili. 0.0.0.0=0 tae Üç basamaklı doğal sayılada kaç taeside 0 akamı kullaılı? Üç basamaklı doğal sayıla: 9.0.0=900 tae 0 akamı kullaılmayala: 9.9.9=79 tae 0 akamı kullaılala: 900-79=7 tae 75
E az iki basamağı ayı ola döt basamaklı kaç doğal sayı vadı? Döt basamaklı doğal sayıla: 9.0.0.0.=9000 Basamaklaı faklı olala: 9.9.8.7=4536 E az iki basamağı ayı olala: 9000-4536=4464 s(a)=, s(b)=m olmak üzee; A da B ye kaç tae foksiyo taımlaabili? Bu foksiyolada kaç taesi bie-bidi? A daki. elema, B deki m tae elemada biiyle,. elema, B deki m tae elemada biiyle,. elema, B deki m tae elemada biiyle eşleebileceğide; tae m i çapımı ( m ) kada eşleme yapılabili. Foksiyo sayısı: m di. A daki. elema, B deki m tae elemada biiyle,. elema, kala m- tae elemada biiyle, 3. elema, kala m- tae elemada biiyle,. elema, kala m-(-) tae elemada biiyle eşleebileceğide, eşleme sayısı : m.(m-).(m-) (m-+) di. Bu da taımlaabilecek - foksiyolaı sayısıdı. 76
{0,,,3,4,5} kümesii elemalaı ile; a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabili? Yüzle basamağıa: 0 dışıda beş akamda bii, Ola basamağıa: altı akamda bii, Bile basamağıa: altı akamda bii yazılabileceğide ; 5.6.6=80 sayı yazılabili. b. Üç basamaklı, akamlaı tekasız kaç sayı yazılabili? Yüzle basamağıa: 0 dışıda beş akamda bii, Ola basamağıa: kala beş akamda bii, Bile basamağıa: kala döt akamda bii yazılabileceğide ; 5.5.4=00 sayı yazılabili. c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabili? Yüzle basamağıa: 0 dışıda beş akamda bii, Ola basamağıa: altı akamda bii, Bile basamağıa: 0 veya veya 4 akamlaıda bii yazılabileceğide; 5.6.3=80 sayı yazılabili. 600 sayısıı kaç tae pozitif tamsayı bölei vadı? 600= 3.3.5 Pozitif tamsayı böleleide: olmayabili, olabili, 4 olabili, 8 olabili. (4 seçeek) 3 olmayabili, 3 olabili. ( seçeek) 5 olmayabili, 5 olabili, 5 olabili. (3 seçeek) seçeek sayılaı çapımı: 4..3=4 KURAL: Faklı asal çapalaıı üsleii bie fazlalaıı çapımı kada pozitif tamsayı bölei vadı. 77
A={,,,00} kümesi içi ; Ü={(a,b,c): a,b,c A, a < b ve a < c } kaç elemalıdı? a=,,,99 alıdığıda; b sayısı 00-a tülü, c sayısı 00-a tülü seçilebili. (a,b,c) gibi (00-a) tae üçlü yazılabi. a= alıısa, b içi 98, c içi 98 seçeek. 98.98=98 a= alıısa, b içi 97, c içi 97 seçeek. 97.97=97 a=98 alıısa,b içi, c içi seçeek..= 99 +98 + + = =38 350 6 78
PERMÜTASYON (SIRALAMA) A={a,a,,a } kümesii 0 olmak üzee elemalaıda taesii sıalamasıa elemaı -li bi pemütasyou dei.! P,!... P, 0 ve P,! di. A={a,b,c,d} kümesii 3 lü pemütasyolaı? P(4,3)=4.3.=4 abc bac cab dab acb bca cba dba abd bad cad dac adb bda cda dca acd bcd cbd dbc adc bdc cdb dcb E={a,b,c,,,,x,y,z} 6 hafli İgiliz abc si. sessiz, 5 sesli haf va. İlk ve so haflei faklı sesli haflede, diğelei faklı sessiz haflede oluşa 5 hafli kaç kelime yazılabili? İlk ve so haflede: 5 sesli hafte ikisi, P(5,) aaya: sessiz hafte üçü, P(,3) şekilde sıalaabili. Hepsi bilikte: P(5,).P(,3)=5.4..0.9=59 600 79
7 ekek, 3 kız öğeci ya yaa sıalaacak: a. Koşulsuz: P(0,0)=0! b. 3 kız bi aada olacak: 3 kız, bi elema olaak alıısa, 7 ekekle bilikte; P(8,8)=8! şekilde sıalaı. 3 kız kedi aalaıda; P(3,3)=3! şekilde sıalaı. Hepsi bilikte; P(8,8).P(3,3)=8!.3! şekilde sıalama yapılabili. c. Baş ve soda ekekle olacak, hehagi iki kız ya yaa gelmeyecek: 7 ekek kedi aalaıda; P(7,7)=7!, aada kala 6 yee de 3 kız; P(6,3) ve bilikte; 7!.6.5.4 0000 ile 70000 aasıda akamlaı tekasız kaç çift sayı vadı? O bile basamağıa; A={,3,4,5,6} Bile basamağıa; B={0,,4,6,8} kümesii elemalaıda bii yazılacaktı. A B={,4,6} O bile basamağıa; {,4,6} da bii yazılısa, Bile basamağıa; B de kala döt elemada bii, diğe üç basamağa da kala sekiz akamda üçü yazılı. 3.4.P(8,3) sayı yazılı. VEYA O bile basamağıa; {3,5} te bii yazılısa, Bile basamağıa; B de bii ve diğe üç basamağa da kala sekiz akamda üçü yazılı..5.p(8,3) sayı yazılı. Hepsi bilikte: 3.4.P(8,3)+.5.P(8,3)=739 sayı. 80
{,3,5,7} kümesii elemalaı ile akamlaı tekasız kaç sayı yazılabili? Toplamlaı kaçtı? Bi basamaklı: P(4,)=4 tae İki basamaklı: P(4,)=4.3= tae Üç basamaklı: P(4,3)=4.3.=4 tae Döt basamaklı: P(4,4)=4.3..=4 tae Hepsi bilikte: 4++4+4=64 tae sayı yazılabili. Bi basamaklılaı toplamı: +3+5+7=6 İki basamaklılaı toplamı: tae sayıı he basamağıda, he akam :4=3 e kez kullaılmıştı. Toplam: 3.6.0+3.6=58 Üç basamaklılaı toplamı: 4 tae sayıı he basamağıda, he akam 4:4=6 şa kez kullaılmıştı. Toplam:6.6.00+6.6.0+6.6=0656 Döt basamaklılaı toplamı: 4 tae sayıı he basamağıda, he akam 4:4=6 şa kez kullaılmıştı. Toplam: 6.6.000+6.6.00+6.6.0+6.6=06656 Tümüü toplamı: 06656+0656+58+6=7856 Yazılabile döt basamaklı sayıla küçükte büyüğe doğu sıaladığıda, başta 9. sayı kaçtı? He basamakta, he sayı altışa kez kullaıldığıda: ile, 3 ile,5 ile başlaya altışa sayı vadı. 9. sayı 735 olu. 8
DÖNEL SIRALAMA: s(a)= ve 0 olmak üzee; elemaı döel sıalama sayısı: Q, P, di. P, Q,!! A={a,b,c,d} kümesii 3 lü döel sıalama sayısı? P(4,3) 4.3. Q(4,3)= 8 3 3 5 ekek, 3 kız öğeci yuvalak masa etafıa sıalaacak: a. Koşulsuz: Q(8,8)=(8-)!=7! b. E ve K ya yaa olacak: E,K bi elema olaak alıısa, diğeleiyle bilikte 7 elema sıalaı. Q(7,7)=(7-)!=6! E, K kedi aalaıda! şekilde sıalaı. Tümü bi aada düşüülüse: 6!.! sıalama vadı. 6!.= 440 c. E ve K ya yaa olması: Koşulsuz sıalama sayısı ile ya yaa olma sayısı aasıdaki fak,ya yaa olmama duumuu vei. 7!-6!.=3 600 d. Hehagi iki kız ya yaa gelmesi: 5 ekek sıalaı: (5-)!=4! Aalaıdaki 5 boşluğa 3 kız sıalaı: 5.4.3 Tümü bi aada düşüülüse: 4!.5.4.3 sıalama va. 8
evli çift yuvalak masa etafıa sıalaacak: a. Bi ekek, bi baya: ekek sıalaı: (-)! Aalaıdaki boşluğa baya sıalaı:! Tümü bi aada düşüülüse: (-)!.! sıalama va. b. Çiftle ayılmayacak: Çiftle bi elema olaak alıısa: çift, (-)! He çift kedi aasıda şekilde sıalaacağıda: çift kedi aalaıda : Tümü bi aada düşüülüse : (-)!. TEKRARLI PERMÜTASYON: tae elemada,,, taesi ayı ve + + + = olmak üzee elemaı tekalı pemütasyolaıı sayısı: P ;,,...,!!!...! di. A={a,a,,a } kümesii elemalı tekalı pemütasyolaıı sayısı: di.. sıaya, tae elemada bii;. sıaya, tae elemada bii;... sıaya, tae elemada bii yazılabileceğide, tae i çapımı ( ) kada sıalama yapılabili. 83
A={a,b,c} kümesii li tekalı pemütasyolaı 3 taedi. aa, ab, ba, ac, ca, bb, bc, cb, cc 4 ev, 6 ek boya ile kaç değişik şekilde boyaı? a. Koşulsuz: 6.6.6.6=6 4 b. Faklı ekle kullaılacak: P(6,4)=6.5.4.3=80 c. Ya yaa iki ev ayı ekte olması: 6.5.5.5 a,a,a,b,c haflei ile 5 hafli kaç kelime yazılabili? P(5;3,,)= 5! 3!.!.! 5.4=0 tae 0, 3 tae, 5 tae akamıyla; a. 0 basamaklı kaç şife yazılabili? 0! P(0;,3,5)= 50!.3!.5! b. 0 basamaklı kaç doğal sayı yazılabili? 9! 0 ile başlaya şife sayısı: P(9;,3,5)= 504 3!.5! 50-504=06 tae doğal sayı yazılabili..yol: başlayala+ ile başlayala P(9;,,5)+P(9;,3,4)=756+60=06 84
A da B ye e kısa yolda kaç değişik şekilde gidilebili? Yatay yolla : sembolü ile, Dikey yolla : 0 sembolü ile gösteildiğide; A da, B ye e kısa yol: 4 tae, 3 tae 0 sembolü ile 7! yazılabilecek şife sayısı kadadı. P(7;4,3)= 35 4!.3! C de geçmek koşulu ile: 3! 4! A da, C ye: P(3;,)= 3 C de, B ye: P(4;,)= 6!!.! A da, C ye VE C de, B ye: 3.6=8 6 tae özdeş potakal, 3 çocuğa kaç değişik şekilde dağıtılabili? Potakalla 0 sembolü ile, ayıaçla sembolü ile gösteilise; iki tae ayıaç, altı potakalı üç bölüme ayıı. Öeği: 000000 yazılımıda;. çocuk,. çocuk 3, 3. çocuk potakal almıştı. 8! Dağılım sayısı: P(8;6,)= 8 6!.! He çocuk e az bi potakal alıyo ise: İki ayıaç, 6 potakalı aalaıda oluşa 5 tae aalıkta seçile iki taesie yazılı: Dağılım sayısı: C(5,)=0!!! UYARI: Dağıtılacak özdeş ese sayısı: Kişi sayısı: ise ; C(-, -) dağılım vadı. 85
86 KOMBİNASYON: S(A) = ve olmak üzee; A kümesii elemalı alt kümeleie elemaı -li bi kombiasyou dei.,, A={a,b,c,d} kümesii 3-lü kombiasyolaı? {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} olmak üzee; tae. 0!!.!!,, P C 0 4 3 4
4 öğetme, 7 öğecide 5 kişilik gup kaç değişik şekilde seçilebili? a. Koşulsuz: 46 5 b. si öğetme: 47 6.35 0 3 c. E az 3 ü öğetme: 47 47 3 4 9 d. Belli bi öğetme ile belli bi öğeci bi aada olmayacak: Belli bi öğetmele, öğeciyi alı, kala 9 kişi içide 3 kişi daha seçesek; öğetme ile öğecii bi aada olduğu guplaı buluuz. 5 9 378 3 köşeli koveks çokgei köşegelei kaç oktada kesişi?! C(,4)= 4! 4! (oluştuulabile dötge sayısı) 87
88 6 kişi, he masada e az bi kişi olmak koşulu ile yuvalak masalaa kaç değişik şekilde sıalaabili? masaya: Masalaa dağılım: 5, veya 4, veya 3, 3 olabili. UYARI: 3 e, 3 dağılımda masala faklı kabul edilmemişti. 3 masaya: Masalaa dağılım: 4,, veya 3,, veya,, olabili. (Eşit sayıda kişi bulua masala faklı kabul edilmemişti.) elemalı küme ikişeli guplaa kaç değişik şekilde ayılabili? A={,,,} kümesii adışık sayı içemeye -li kombiasyolaı? içi di. A={,,3,4,5,6,7} kümesii adışık sayı içemeye 3 elemalı alt kümelei? taedi. 74.!.! 3 6.3!.! 4 6.4!.0! 5 6 5.!.!.! 4 6 3!.!.! 3 3 6.3!.0!.0! 4 6! 4... 3...5.3.!.! 0 0 3 3 7
0 kişilik bi sııfta: a. kişi kaç değişik şekilde seçilebili? C(0,)=45 b. Bi başka ve bi başka yadımcısı kaç değişik şekilde seçilebili? P(0,)=90 c. şeli gupla kaç değişik şekilde oluştuulabili? 08 64 9.7.5.3. 945 5! d. Oluştuulacak şeli gupla faklı yelee 08 64 gödeilecek ise: 3400 M={ a,. a,...,.. a } kümeside he elema isteildiği kada kullaılmak üzee elemalı kombiasyo sayısı: di. 3 çeşit tost satıla büfede 6 tost kaç değişik şekilde alıabili? 3 6 8 6 A={,,3,4} kümesii 3-lü kombiasyolaı kaç taedi? 4 4 3 taedi. (Buada bi elema bide fazla kullaılamaz.) He elema isteildiği kada kullaılısa; 4 3 0 3 89
İçide üç çeşit şeke bulua bi kavaozda, üç şeke kaç değişik şekilde seçilebili? A,A,A A,A,B A,A,C A,B,B A,C,C B,B,B B,C,C C,C,C C,B,B A,B,C Olmak üzee; 3 3 5 0 3 3 taedi. x,y,z pozitif tamsayılaı içi; xyz=4000 olacak şekilde kaç faklı (x,y,z) üçlüsü yazılabili? 4000 = 5.5 3 5 3 3 3.0 0 5 3 90
DAĞITIM PROBLEMLERİ: A) faklı ese, faklı kutuya: ) He kutuya e çok bi tae: P(,)=(-)(-).(-+) ) He kutuya isteildiği kada:. = 3) He kutuya isteildiği kada: (kutuladaki sıa öemli)! (+)(+) (+-)=! B) özdeş ese, faklı kutuya: ) He kutuya e çok bi tae: ) He kutuya isteildiği kada: 3) He kutuya e az bi tae: x+y+z= deklemii doğal sayı çözümleii kümesi kaç elemalıdı? =+, iki tae sayısı, x,y ve z bilimeyeleie isteildiği kada dağıtılacak: 3 4 6 Ç={(,0,0),(0,,0),(0,0,), (,,0),(,0,),(0,,)} 9
Beş faklı kitap, üç aflı bi kitaplığa ya yaa kaç faklı şekilde sıalaabili? (Raflaa isteildiği kada kitap sıalaabili.). kitap, 3 afta biie,. kitap, 4 yede biie, (3 af+. kitabı ayıdığı bölümlede bii) 3. kitap, 5 yede biie, (3 af+. ve. kitaplaı ayıdığı bölümle.). 3.4.5.6.7=50 değişik sıalama yapılabili. 9
93 BİNOM TEOREMİ: Başta (+) ici teim : y x di. Katsayıla toplamı: m Faklı teim sayısı: Katsayıla içide e büyüğü: =m ise =m+k ise ifadesii açılımıda: Katsayıla toplamı: 3 4 =8 Faklı teim sayısı: Katsayıla içide e büyüğü: y y x y x x y x...... 0 y x 0 0... 0...... 3...... 0 k k.... 3 3...!.. m m m m x x x x x x........ m m!! m k!! 4 z y x 5 4 3 4!! 4! 3
OLASILIK: ÖRNEK UZAY: Soucu belli olmaya bi deeyde elde edilmesi mümkü ola bütü souçlaı kümesie öek uzay dei. OLAY: Öek uzayı hehagi bi alt kümesie olay dei. Ø :imkasız olay E:kesi olay Öek uzayı ayık iki alt kümesie ayık olayla dei. Öek uzayı bütü alt kümeleii kümeside [0,] aalığıa taımlaa ve aşağıdaki aksiyomlaı sağlaya he P foksiyoua olasılık foksiyou ve A E olayıı P(A) göütüsüe A ı olasılık ı dei. O : A E ise 0 P(A) O : P(E)= O 3 : A B=Ø ise P(A B)=P(A)+P(B) P(Ø)=0 A B ise P(A) P(B) P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(A )=-P(A) E={a,a,,a } içi P(a )=P(a )= =P(a ) ise E öek uzayıa eş olumlu öek uzayı dei. P(A)= s( A) s( E) B olayıı geçekleşmiş olması halide, A olayıı olasılığıa PA B sa B A ı, B koşullu olasılığı dei. P(A\B)= = P B sb P(A B)=P(A).P(B) ise A ve B bağımsızdı. tae bağımsız deeyi he biide olumlu souç elde edilme olasılığı p olsu. Bu tae deeyde tae olumlu souç elde edilme olasılığı:. p.( p) di. (Biom dağılım fok.) 94
Beşe seçeekli,5 soulu bi testte,soulaı tümüü tahmi ede öğecii 4 souyu doğu işaetleme olasılığı kaçtı? 5 seçeekli bi souda doğu tahmi yapma olasılığı: p= 5 ti. Yalış tahmi yapma olasılığı: -p= 5 4 olu. 5 4 4 P(A)= ( ).( ) 4 5 5 A ı poblemi çözme olasılığı 4/5, B i /3, C i 3/7 di. Üçü de uğaştığıda poblemi çözülmüş olma olasılığı? Poblemi çözememe olasılıklaı; 4 3 4 P(A )=-, P(B )=-, P(C )=- 5 5 3 3 7 7 Üçüü de poblemi çözememe olasılığı: 4 4 P(A B C )=.. 5 3 7 05 4 0 Poblemi çözülmüş olma olasılığı: - 05 05 Bi çift za atıldığıda toplam 8 gelme olasılığı kaçtı? E={(,),(,),,(6,6)}, s(e)=36 A={(,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,)}, s(a)=5 s( A) P(A)= s( E) 5 36 95
6 kımızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulua tobada 3 top çekiliyo. a. Üçü de kımızı: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) 8.7.6 3.. 6.5.4 8.7.6 6 6.5.4 s(a)= 3 3.. b. beyaz, kımızı: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) 8.7.6 3.. 6.5.8.3 8.7.6 68 s(a)= 6.5.. 8 c. E az bi kımızı: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) 8.7.6 3....0 8.7.6..0 P(A )=-P(A)=- 8.7.6..0 s(a)= 3 3.. hiç bii kımızı değil. e az bii kımuzı. d. Üçü de faklı ekte: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) 8.7.6 3.. 6.4.8.3! 8.7.6 648, s(a)= e. Öce kımızı, soa beyaz, soa mavi çekme olasılığı: P(K)= 8 6, P(B)= 7 4, P(M)= 6 8 6.4.8 P(A)=P(K B M)=P(K).P(B).P(M)= 8.7.6 96
A ı 3, B i 9 kitabı vadı. Kitaplaıı kaç değişik biçimde değiştiebilile? Bie, ikişe veya üçe kitap değiştiebilecekleide; 39 39 39 3.9 3.36.84 9 33 ALIŞTIRMALAR: 9 0 6 ise =? Y:5 (x+y+z) 996 ifadesii açılımıda x 9 y 96 lı teim? 996977 Y: x 9 96 9 y 96 z 88 {,,3,4,5,6} kümesii elemalaı ile üç basamaklı, akamlaı faklı sayıla küçükte büyüğe doğu sıaladığıda başta 6. sayı kaçtı? Y:4 Altı çocuklu (ikiz çocuk yok) bi ailei çocuklaıı üçüü ekek, üçüü kız olma olasılığı kaçtı? Y:5/6 97
KONU TESTİ:. Bi çift za atılıyo. Üstte okua sayıla toplamıı çift sayı olma olasılığı kaçtı? A) 7/36 B) / C) 5/9 D) 7/ E) 5/. A={,,3,4,5,6,7,8,9,0} kümesi veiliyo. A kümeside seçile bi elemaı {3,4} {4,5,6,7} {6,7,8} kümesii de elemaı olma olasılığı kaçtı? A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) 0,8 3. Bi tobada 5 beyaz, 5 kımızı, 5 siyah ve 5 saı olmak üzee toplam 0 top vadı. Tobada ayı ada çekile 4 topta e az ikisii ayı ekte olma olasılığı kaçtı? A) 800/969 B) 49/4845 C) 864/969 D) 844/969 E) 3456/4854 4. Aalitik düzlemde köşelei ; A(,), B(-.), C(,-) ve D(-,-) ola kae alııyo. Kae içide alıa bi P oktasıı O(0,0) oktasıa, A(,) oktasıda daha yakı olma olasılığı kaçtı? A) /8 B) /4 C) 3/8 D) 5/8 E) 7/8 98