ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ. Doktora Tezi SELF ADJOINT OLMAYAN MATR IS KATSAYILI STURM-LIOUVILLE OPERATÖRLER I.

Transkript

1 ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ Doktora Tezi SELF ADJOINT OLMAYAN MATR IS KATSAYILI STURM-LIOUVILLE OPERATÖRLER I Murat OLGUN MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA Her hakk akl d r

2 TE ONAYI Murat OLGUN taraf ndan haz rlanan " Self Adjoint Olmayan Matri Katay l Sturm-Liouville Operatörleri " adl tez çal şma 9// tarihinde aşa¼g daki jüri taraf ndan oybirli¼gi/oyçoklu¼gu ile Ankara Üniveritei Fen Bilimleri Entitüü Matematik Anabilim Dal nda Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir. Dan şman: Yrd.Doç.Dr. Cafer COŞKUN Jüri Üyeleri: Başkan: Prof.Dr. Cihan ORHAN Ankara Üniveritei Fen Fakültei Üye: Prof.Dr. iya ARGÜN Gazi Üniveritei Gazi E¼gitim Fakültei Üye: Prof.Dr. Elgiz BAYRAM Ankara Üniveritei Fen Fakültei Üye: Prof.Dr. Nurhayat ISP IR Gazi Üniveritei Fen Edebiyat Fakültei Üye: Yrd.Doç.Dr. Cafer COŞKUN Ankara Üniveritei Fen Fakültei Yukar daki onucu onaylar m Prof.Dr. Orhan ATAKOL Entitü Müdürü

3 ÖET Doktora Tezi SELF ADJOINT OLMAYAN MATR IS KATSAYILI STURM-LIOUVILLE OPERATÖRLER I Murat OLGUN Ankara Üniveritei Fen Bilimleri Entitüü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Yrd.Doç.Dr. Cafer COŞKUN Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölüm giriş k m na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, pektral analizin temel tan m ve önemli teoremleri verilmiştir. Üçüncü bölümde elf adjoint olmayan matri katay l Sturm-Liouville operatörünün belirli başlang ç koşullar n a¼glayan çözümleri incelenmiş ve reolvent operatörü belirlenmiştir. Dördüncü bölümde ie analitik fonkiyonlar n birebirlik teoremleri kullan larak L operatörünün özde¼gerleri ve pektral tekillikleri elde edilmiştir. Son bölümde ie özde¼ger ve pektral tekilliklere karş l k gelen ea fonkiyonlar tan t lm ş ve bunlar n baz özellikleri incelenmiştir. Spektral analiz, reolvent operatör, özde¼ger, pektral tekil-, 48 ayfa Anahtar Kelimeler: lik, ea fonkiyon. i

4 ABSTRACT Ph.D. Thei NON SELF ADJOINT STURM-LIOUVILLE OPERATORS WITH MATRIX COEFFICIENTS Murat OLGUN Ankara Univerity Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematic Supervior: At.Prof.Dr. Cafer COŞKUN Thi thei conit of ve chapter. The rt chapter ha been devoted to the introduction. In the econd chapter, ome baic de nition and main theorem of pectral analyi have been given. In the third chapter, the olution atifying certain initial condition of non elf adjoint Sturm-Liouville operator with matri co ecient are invetigated and reolvent operator i calculated. In the fourth chapter, uing the uniquene theorem of analytic function eigenvalue and pectral ingularitie of L operator are invetigated. In the lat chapter, the propertie of the principal function correpending to the eigenvalue and the pactral ingularitie are eamined., 48 page Key Word: Spectral analyi, reolvent operator, eigenvalue, pectral ingularitie, principal function. ii

5 TEŞEKKÜR Bu çal şma konuunu bana veren ve araşt rmalar m boyunca en yak n ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dan şman hocam, Say n Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN (Ankara Üniveritei Fen Fakültei) a çal şmalar m n her aşama nda bana rehberlik eden Say n Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Ankara Üniveritei Fen Fakültei) a ve bana her zaman detek olan aileme en içten ayg ve teşekkürlerimi unar m. Murat OLGUN Ankara, Aral k iii

6 IÇ INDEK ILER ÖET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D I IN I v. G IR IŞ TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELF ADJOINT OLMAYAN MATR IS KATSAYILI STURM- LIOUVILLE OPERATÖRLER IN IN SPEKTRAL ANAL I I Baz Özel Çözümler Reolvent Operatörü ÖDE ¼GERLER VE SPEKTRAL TEK ILL IKLER ESAS FONKS IYONLAR KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ iv

7 S IMGELER D I IN I R R + C C C (L) d (L) c (L) (L) R (L) L Reel ay lar kümei f R : g Komplek ay lar kümei fz C : Im z > g fz C : Im z g L operatörünün pektrumu L operatörünün dikret (nokta) pektrumu L operatörünün ürekli pektrumu L operatörünün pektral tekilliklerinin kümei L operatörünün reolvent operatörü L operatörünün adjoint operatörü (M; ) M kümeinin komşulu¼gununlebegue ölçüü L (X) = f j f : X! R; R jf ()j d < 8 R 9 < L (N; C ) = : ( n) n P = A j k n k < n= ; n v

8 . G IR IŞ Uygulamal matemati¼gin ve kuantum mekani¼ginin ço¼gu probleminin çözümünde difereniyel denklemlerin ve difereniyel operatörlerin pektral analizi kullan lmaktad r. Bu ebeple Sturm-Liouville, Dirac, Schrödinger ve Klein-Gordon difereniyel denklemleri yard m yla elde edilen difereniyel operatörlerin pektral analizi matematikçilerin araşt rma konuu olmuştur. Banach uzaylar ve Hilbert uzaylar nda tan ml, lineer, n rl, elfadjoint, normal ve üniter operatörlerin pektral teorii ayr nt l biçimde incelenmiş olup, bu çal şmalar fonkiyonel analiz kitaplar n n temel konuunu oluşturmuştur. Matematik ve zi¼gin baz problemlerin incelenmeinde normal, üniter ve elfadjoint olmayan n r z operatörlerin pektral teorii ile karş laş l r. Bu operatörler genellikle difereniyel operatörlerdir. L (R + ) uzay nda; q komplek de¼gerli bir fonkiyon, h C ve bir pektral parametre olmak üzere y + q () y = y < (.) y () hy () = (.) Sturm-Liouville n r de¼ger problemini göz önünde bulundural m. (.)-(.) n r de¼ger probleminin elfadjoint olmayan ve ingüler oldu¼gu aç kt r. Bu problemin pektral analizi ilk defa Naimark (96) taraf ndan incelenmiştir. Bu çal şmada pektrumunun ürekli ve dikre pektrumlardan oluştu¼gu göterilmiştir. Daha onra ürekli pektrum üzerinde pektral tekilliklerin bulundu¼gu ipatlanm şt r.spektral tekilliklerin reolvent operatörün çekirde¼ginin kutuplar oldu¼gu, ürekli pektrumda bulundu¼gu, fakat operatörün özde¼geri olmad ¼g da bu çal şmada göterilmiştir. Ayr ca en az bir " > için

9 ep (") jq ()j d < ; " > koşulu gerçeklendi¼ginde (.)-(.) Sturm-Liouville probleminin onlu ay da onlu katl özde¼gerlerinin ve pektral tekilliklerinin oldu¼gu elde edilmiştir. Krall (965) taraf ndan, K L (R + ) komplek de¼gerli bir fonkiyon ve ; C olmak üzere, L (R + ) uzay nda (.) difereniyel ifadei ve y () y() + K()y()d = n r şart yard m yla üretilen non-elfadjoint L operatörün pektral analizi ayr nt l bir şekilde incelenmiştir. Krall n yapm ş oldu¼gu bu çal şmada L adjoint operatörü bulunmuş, L ve L operatörlerinin özfonkiyonlar cininden aç l mlar elde edilmiştir. p; q komplek de¼gerli fonkiyonlar ve p fonkiyonu R + üzerinde ürekli difereniyellenebilen bir fonkiyon olmak üzere, L (R + ) uzay nda l (y) = y + q()y + p() y ; R + (.) difereniyel ifadei ve y () y() + K()y()d = n r koşulu yard m yla üretilen Kuadratik Schrödinger operatörler demetini L() ile göterelim. Burada, ; C, jj + jj 6= olmak üzere K L (R + ) olun. Bairamov vd.(997) ve Bairamov vd. (999) analitik fonkiyonlar n birebirlik teoremlerini kullanarak, L() operatörünün özde¼gerlerinin ve pektral tekilliklerinin onlu ay da ve katlar n n onlu olma için yeter şartlar vermişlerdir. Yine bu çal şmada, pektral tekilliklere ve özde¼gerlere karş l k gelen ea fonkiyonlar elde edilerek bu fonkiyonlar cininden bir pektral aç l m verilmiştir.

10 Bairamov ve Çelebi (999), (p n ) ve (q n ) komplek terimli diziler olmak üzere L (N; C ) uzay nda, y () n+ y () n + p n y () n = y () n y n () + y () n + q n y n () = y n () denklem itemi ve y () = n r koşulu yard m yla üretilen Dirac operatörünün up (jp n j + jq n j) ep " p n < ; " > nn koşulu alt nda, özde¼gerlerinin, pektral tekilliklerinin ve bunlar n katlar n n onlu oldu¼gunu götererek bu operatör için bir pektral aç l m vermişlerdir. Bairamov vd.(), (a n ); (b n ) komplek terimli diziler ve a = olmak üzere L (N) uzay nda, a n y n b n y n + a n y n+ = y n fark denklemi ve X h n y n = nn n r şart yard m yla üretilen elfadjoint olmayan dikret operatörün özde¼gerlerinin, pektral tekilliklerinin ve bunlar n katlar n n onlu oldu¼gunu ipatlam şlard r. Krall vd.(), (b n ) komplek terimli bir dizi olmak üzere, L (N) uzay nda, (ly) n = y n + y n+ + b n y n fark ifadei ve y = n r koşulu taraf ndan üretilen fark operatörünün Weyl-Titchmarh fonkiyonunu incelemişler ve bu fonkiyon yard m yla, operatörün Marchenko anlam nda genelleştirilmiş pektral fonkiyonu ara nda bir ilişki elde etmişlerdir. Ayr ca Weyl-Titchmarh fonkiyonunun Cauchy tipinde bir integral göterimini bulmuşlar ve bu göterimden yararlanarak bir pektral aç l m vermişlerdir. Selfadfjoint olmayan Sturm-Liouville denklemlerinin pektral tekillikleri de dikkate al narak pektral aç l m ilk defa Krall vd. (), pektral tekilliklerinin pektral aç l mda do¼gurdu¼gu onuçlar ie ayr nt l olarak Bairamov vd. () taraf ndan verilmiştir. Ayr ca bu çal şmada pektral tekilliklerin do¼gurdu¼gu altuzaylara 3

11 tan ml izdüşüm operatörlerinin n r z oldu¼gu göterilerek, pektral tekilliklerin yeni bir özelli¼gide elde edilmiştir. Elde edilen bu onuçlar üç boyutlu Schrödinger denklemelerine Bairamov vd. () taraf ndan genişletilmiştir. Spektral tekilli¼gi olan Dirac, Schrödinger ve Klein-Gordon denklemlerinin pektral teoriinin çeşitli problemleri Bairamov, Cokun, Naimark, Makarov gibi bir çok matematikçi taraf ndan çal ş lm şt r. E n- boyutlu komplek Euclid uzay, kyk E ie bu uzaydaki y vektörünün normu olun. R + := [; ) olmak üzere R + üzerinde tan ml E-de¼gerli Lebegue ölçülebilir ve kf ()k E d < koşulunu gerçekleyen tüm f fonkiyonlar n n uzay L (R + ; E) ile göterilin. L (R + ; E) (f; g) L = (f () ; g ()) E d iç çarp m alt nda bir Hilbert uzay olup, iç çarp m n do¼gurdu¼gu norm ie kfk L kf ()k E d A ile verilir. Q, Q 6= Q koşulunu gerçekleyen n n tipinde, fonkiyon bileşenli bir matri olmak üzere, L (R + ; E) Hilbert uzay nda ` (Y ) = Y + Q () Y < vektör de¼gerli difereniyel ifadei yard m yla tan mlanan operatör L olun. Q elfadjoint olmayan matri de¼gerli bir fonkiyon oldu¼gundan L operatörü de elfadjoint de¼gildir. Bu operatöre matri katay l Sturm-Liouville operatörü ad verilir. Bugüne kadar incelenen difereniyel operatör ve denklemlerin ço¼gu kaler katay l olup, matri katay l operatör ve denklemlerin pektral teorii hakk nda yeterince çal şma bulunmamaktad r. L = L durumunda L operatörünün pektral analizinin çeşitli problemleri Naimark, Agranovich, Marchenko, Makerov, Kielov ve Getezy 4

12 taraf ndan verilmiştir. Fakat elfadjoint olmayan L operatörünün pektral teorii yeteri kadar incelenmemiş olup bu konunun incelenmei önem arz etmektedir. Bu nedenlerden dolay bu doktora tezinde pektral tekilliklere ahip elf adjoint olmayan matri katay l Sturm-Liouville operatörünün pektral analizinin baz problemlerini incelenecektir. 5

13 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde, ileride ihtiyaç duyulacak baz temel tan m ve teoremler verilecektir. Tan m. X 6= fg komplek normlu bir uzay T : D(T ) X! X lineer bir operatör olun. C olmak üzere R (T ) = (T I) operatörüne T nin reolvent operatörü ya da k aca reolventi denir (Luternik 974). Tan m. R (T ) operatörü mevcut, n rl ve tan m cümlei X uzay nda yo¼gun ie, C ay na T operatörünün bütün regüler de¼geri denir. T operatörünün regüler de¼gerlerinden oluşan kümeye ie T nin reolvent kümei ad verilir (Luternik 974). Tan m.3 R (T ) mevcut olmayacak şekildeki komplek ay na T operatörünün özde¼geri ve bütün özde¼gerlerin kümeine de T operatörünün dikret pektrumu ya da nokta pektrumu ad verilir (Luternik 974). Tan m.4 R (T ) mevcut, n r z ve R (T ) operatörünün tan m kümei X uzay nda yo¼gun olacak şekildeki komplek ay lar n n oluşturdu¼gu kümeye T operatörünün ürekli pektrumu denir (Luternik 974). Tan m.5 Bir T operatörünün reolventinin çekirde¼ginin kutup nokta olup, ürekli pektrumda bulunan ve T operatörünün özde¼geri olmayan komplek ay na T operatörünün pektral tekilli¼gi ad verilir (Naimark 96). Bir operatörün regüler de¼gerleri, özde¼gerleri ve pektral tekillikleri ve bunlar n özelliklerinin belirlenmeinde aşa¼g daki teoremler kullan lacakt r. Teorem. Özdeş olarak f r olmayan bir analitik fonkiyonun, analitiklik bölgeinin içindeki f rlar (e¼ger vara) ayr kt r (Dolzhenko 979). Teorem. Özdeş olarak f r olmayan bir analitik fonkiyonun, analitiklik bölgeinin içindeki f rlar n n limit noktalar (e¼ger vara) analitiklik bölgeinin n r ndad r (Dolzhenko 979). 6

14 Teorem.3 Özdeş olarak f r olmayan bir analitik fonkiyonun, onuz katl f rlar (e¼ger vara) analitiklik bölgeinin n r ndad r (Dolzhenko 979). Teorem.4 (Privalov Teoremi): Aç k üt düzlemde özdeş olarak f r olmayan, analitik bir fonkiyonun reel ekendeki f rlar n n Lebegue ölçüü f rd r (Dolzhenko 979). Teorem.5 (Pavlov Teoremi): f fonkiyonu C + kümeinde her mertebeden türeve ahip bir fonkiyon ve E = R : f (n) () = ; 8n N = olun. f (n) (z) An ; z C + ; n = ; ; ; ::: eşitizli¼gi a¼glanacak şekilde A n ay lar mevcut ve A n n T () = inf n n! olmak üzere log T () d (E; ) = olun. Ayr ca en az bir N pozitif reel ay için N log jf ()j + d <, N log jf ()j + d < ie f fonkiyonu kapal üt düzlemde özdeş olarak f rd r (Pavlov 975). 7

15 3. SELF ADJOINT OLMAYAN MATR IS KATSAYILI STURM - LIOUVILLE OPERATÖRLER IN IN SPEKTRAL ANAL I I Bu bölümde elf adjoint olmayan matri katay l Sturm-Liouville denklem itemi tan mlanacak ve bu difereniyel denklem iteminin çözümleri, bu difereniyel denklem itemi ile üretilen operatörün reolventi, ürekli pektrumu, özde¼gerleri ve pektral tekillikleri incelenecektir. pektral parametre ve < aral ¼g nda tan ml ve ürekli Q elf-adjoint olmayan matri de¼gerli fonkiyonu Q () = [q jk ()] n j;k= olmak üzere y j + y j = nx q jk () y k (j = ; ; :::; n) ; (3.) k= difereniyel denklem itemini göz önüne alal m. Burada Q; potaniyel matri ya da k aca potaniyel olarak adland r l r. (3.) denklem iteminin çözümü Y + Q () Y = Y (3.) difereniyel denklemini a¼glayan n n tipinde kareel bir Y = Y (; ) matrii ile göterilebilir. (3.) ifadeinin her matri çözümünün ütunlar (3.) denklem iteminin çözümleridir. Bu yüzden kolayl k aç ndan (3.) denklem itemi yerine (3.) difereniyel ifadei ile çal ş lacak ve k:k ; E Euclid uzay ndaki normu götermek üzere kq ()k d < (3.3) koşulunun gerçeklendi¼gi kabul edilecektir. 8

16 3. Baz Özel Çözümler Bu k mda (3.) denkleminin verilen başlang ç koşullar n a¼glayan baz özel çözümleri elde edilecektir. Teorem 3. (3.) denkleminin S (; ) = ve S (; ) = I başlang ç de¼ger koşulunu a¼glayan çözümü S (; ) = in I + Q (t) S (t; ) in ( t) dt (3.4) integral denkleminin de bir çözümü olup bunun teride do¼grudur. Ipat. S (; ) = ve S (; ) = I başlang ç de¼ger koşullar n n (3.4) denklemini a¼glad ¼g aç kt r. (3.4) integral denklemi a¼glanma durumunda (3.) denklemi de a¼glan r. Gerçekten S (; ) = co I + Q (t) S (t; ) co ( t) dt S (; ) = in I Q (t) S (t; ) in ( t) dt + Q () S (; ) eşitlikleri (3.) denkleminde dikkate al n ra elde edilir. in I + Q (t) S (t; ) = Q () S (; ) Q (t) S (t; ) in ( t) dt + in I in ( t) dt + Q () S (; ) Karş t olarak (3.) denkleminin S (; ) = ve S (; ) = I başlang ç de¼ger koşullar n a¼glayan çözümü (3.4) integral denklemini de gerçekledi¼gini götermek yeterli olacakt r. (3.) denklemine ait homojen denklem Y + Y = 9

17 olmak üzere bu denklemin temel çözümleri co I ve in I oldu¼gundan çözüm es (; ) = c co I + c in I biçimindedir. O halde( 3.) denkleminin genel çözümü S (; ) = c () co I + c () in I (3.5) biçiminde olmal d r. (3.5) denkleminin de¼gişkenine göre türevi al n ra S (; ) = c () co I + c () in I c () in I + c () co I elde edilir. c () co I + c () in I = (3.6) al n ra S (; ) = c () in I + c () co I bulunur. Elde edilen on denklemin tekrar de¼gişkenine göre türevi al n ra S (; ) = c () in I + c () co I c () co I c () in I elde edilir. Bulunan on eşitlik (3.) denkleminde yerine yaz l ra yani c () in I + c () co I c () co I c () in I + c () co I + c () in I = Q () S (; ) c () in I + c () co I = Q () S (; ) (3.7) bulunur. (3.6) denklemi ( toplan ra in ) ile (3.7) ie ( co ) ile çarp l p taraf tarafa c () in I + c () co I = Q () S (; ) in olup c () I = bulunur. = c () denire on eşitlikten Q () S (; ) in c () Id = [c () ] I = Q (t) S (t; ) in t dt

18 olup c () I = I Q (t) S (t; ) in t dt (3.8) elde edilir. Benzer işlemlerle (3.6) denklemi ( in ) ile (3.7) ie (co ) ile çarp l p taraf tarafa toplan r ve gerekli düzenlemeler yap l ra c () I = I + bulunur. (3.8) ve (3.9) denklemleri (3.5) de yerine yaz l ra S (; ) = co I + in I co + in Q (t) S (t; ) co t dt (3.9) Q (t) S (t; ) co t dt = co I + in I + Q (t) S (t; ) in t dt Q (t) S (t; ) in ( t) dt bulunur. Elde edilen on eşitlikte S (; ) = ve S (; ) = başlang ç de¼ger koşullar n dikkate al n ra bulunur. O halde S (; ) = I = =) = S (; ) = in I + Q (t) S (t; ) in ( t) dt elde edilir. Bu denklemin de¼gişkenine göre türevi al n ra S (; ) = co I + Q (t) S (t; ) co ( t) dt bulunur. S (; ) = I oldu¼gu kullan l ra I = I =) = bulunur. Bu durumda S (X; ) = in I + Q (t) S (t; ) in ( t) dt

19 çözümü elde edilir. (3:) denkleminin (3:3) koşulu alt nda C + olmak üzere eşitli¼gini a¼glayan F n rl matri çözümünün F (; ) = e i I + Q (t) F (t; ) lim Y (; ) e i = I (3.)! oldu¼gu göterelim. (3.) denklemine ait homojen denklem oldu¼gundan bu denklemin genel çözümü Y + Y = ey (; ) = c e i I + c e i I in ( t) dt (3.) şeklindedir. O halde (3.) denkleminin genel çözümü Y (; ) = c () e i I + c () e i I (3.) biçiminde olmal d r. Şimdi bu çözümü bulal m. (3.) denkleminin de¼gişkenine göre türevi al n ra Y (; ) = c () e i I + c () e i I + ic () e i I ic () e i I elde edilir. denire c () e i I + c () e i I = Y (; ) = c () e i I + c () e i I bulunur. Elde edilen on denklemin tekrar de¼gişkenine göre türevi al n ra Y (; ) = ic () e i I ic () e i I c () e i I c () e i I elde edilir. Bulunan on eşitlik (3.) denkleminde yerine yaz l ra ic () e i I ic () e i I c () e i I c () e i I + c () e i I + c () e i I = ic () e i I ic () e i I = Q () Y (; )

20 bulunur. Ayr ca c () e i I + c () e i I = oldu¼gu göz önüne al n ra, c () I = c () I = Q()Y (;) e i i Q()Y (;) e i i denklemleri elde edilir. c ve c fonkiyonlar n bulmak için [; ) aral ¼g nda integral al n r ve lim! c () =, lim! c () = oldu¼gu kabul edilire R c () I = I R c () I = I + Q(t)Y (t;) e it dt i Q(t)Y (t;) e it dt i bulunur. Elde edilen c ve c fonkiyonlar (3.) denkleminde yerine yaz l ra Y (; ) = e i I + e i I + Q (t) Y (t; ) e i(t i = e i I + e i I + = e i I + e i I + Q (t) Y (t; ) e i(t i ) dt ) dt Q (t) Y (t; ) ei(t ) e i Q (t) Y (t; ) in (t ) dt i(t ) elde edilir. Bulunan on eşitli¼gin her iki taraf e i ile çarp l r ve (3.) koşulu göz önüne al n ra = ve = elde edilir. Böylece bulunur. F (; ) = e i I + Q (t) F (t; ) in (t ) dt Im dt R R Teorem 3. () = kq ()k d; () = kq ()k d olun. (3.) denkleminin F (; ) = e i I + K (; t) e it dt Im Bu durumda 3

21 eşitli¼gini a¼glayan F (; ) çözümü vard r. Ayr ca K matri de¼gerli fonkiyonu K (; t) = Q () d + +t t+ Q () K (; a) dad +t + +t t+ t+ Q () K (; a) dad ( < t) integral denklemini a¼glar ve kk (; t)k + t e () (3.3) eşitizli¼gini gerçekler. Ipat. E¼ger F (; ) = e i I + K (; u) e iu du (3.4) denire ve (3.) yard m yla yani F (; ) = e i I + in ( ) 8 < Q () : ei I + 9 = K (; u) e iu du ; d K (; t) e it dt = + in ( ) Q () e i d (3.5) = J + J Q () d in ( ) K (; u) e iu du yaz labilir. in ( ) e i = ei( ) e i = ei( ) e i i = e it dt i( ) e i 4

22 ve in ( ) e iu = ei( ) e i = ei( +u) e i = +u e it dt i( ) e iu i( +u) +u eşitlikleri kullan larak J = Q () e it dtd J = +u Q () K (; u) e it dtdud +u elde edilir. Bu integrallerin integrayon ra de¼giştirilire J = +t Q () e it ddt ve t+ Q () K (; u) e it dudtd J = + t+ Q () K (; u) e it dudtd = t+ t+ Q () K (; u) e it duddt + +t +t t+ Q () K (; u) e it duddt t+ 5

23 oldu¼gu görülür. J ve J (3.5) denkleminde yerine yaz l ra K (; t) e it dt = B Q () da e it dt + + +t +t +t t+ t+ t+ C Q () K (; u) duda e it dt C Q () K (; u) duda e it dt bulunur. Elde edilen bu on eşitlik için Fourier dönüşümü uygulan ra +t R R R t+ R 4K (; t) Q () d Q () K (; u) dud +t t+ 3 R t+ R Q () K (; u) dud5 e it dt = +t K (; t) = Q () d + +t t+ Q () K (; u) dud (3.6) +t + +t t+ t+ Q () K (; u) dud elde edilir. Şimdi (3.6) denkleminin çözümlenebilir oldu¼gunu götermek için ard ş k yaklaş mlar yöntemini kullanal m. için azalan oldu¼gundan () (o) = t kq (t)k dt < yaz labilir. E¼ger K (; t) = Q () d +t K m (; t) = t+ Q () K m (; u) dud + +t t+ Q () K m (; u) dud +t 6 t+

24 X (; t) := K m (; t) m= denire ile tan mlanan eri mutlak ve düzgün yak nakt r. Gerçekten, kk (; t)k +t kq ()k d = + t ; kk (; t)k 4 +t + 4 +t t+ t+ = A + A t+ + u kq ()k dud + u kq ()k dud olun. Bu durumda t < için A = 4 4 +t +t t+ t+ + u kq ()k dud + t + = +t t + 4 t+ t+ t+ t+ kq ()k dud kq ()k dud = +t t + 4 ( ) kq ()k d = t + +t kq ()k d 7

25 ve A = 4 4 = 4 +t +t t+ + + u kq ()k dud t+ () kq ()k (t kq ()k dud ) d +t 4 + t + t + t +t +t +t + t kq ()k d ( ) kq ()k d kq ()k d elde edilir. Bu durumda kk (; t)k A + A +t t + kq ()k d + + t kq ()k d +t t + kq ()k d = t + bulunur. E¼ger m için ()! kk m (; t)k t + m () (m)! (3.7) oldu¼gu kabul edilire () = kq ()k d =) d () = 8 kq ()k d

26 olaca¼g ndan t+ +t t+ Q () K m (; u) dud K m+ (; t) = kk m+ (; t)k +t t+ Q () K m (; u) dud + kq () K m (; u)k dud t+ +t + +t t+ kq () K m (; u)k dud +t + +t t+ t+ t+ t+ kq ()k + u m () (m)! dud kq ()k + u m () (m)! dud olup a¼gdaki terimler ra yla N ve N ile göterilire N 4 = 4 +t +t t+ + m kq ()k () (m)! dud kq ()k () m () (m)! t + t + t + +t +t +t (t ) d t + kq ()k kq ()k ( kq ()k m () (m)! d 9 m () (m)! d ) m () (m)! d

27 ve bulunur. O halde N 4 +t + 4 +t t+ t+ + t + kq ()k t + kq ()k +t t + kq ()k ( m () (m)! dud ( ) m () (m)! d +t t + kq ()k m () (m)! d kk m+ (; t)k m! m! = m! = t + t + t + t + 4 lim a! ) m () (m)! d kq ()k m () d lim a! m+ () (m + )! a 3 m () kq ()k d5 m+ () m + bulunur. O halde tümevar m yöntemi gere¼gince her m N için (3.7) eşitizli¼gi gerçeklenir. Ayr ca azalan oldu¼gundan a kk m (; t)k () m () m! (3.8) gerçeklenir. Ayr ca X m= m () m! = e () oldu¼gundan ve (3.8) gerçeklendi¼ginden karş laşt rma teti gere¼gince X K m (; t) m= erii mutlak yak nakt r. Ayr ca (3.8) eşitizli¼gi her için gerçeklendi¼ginden ayn eri Weiertra M- kriteri gere¼gince düzgün yak nakt r.

28 Di¼ger yandan X K m (; t) X kk m (; t)k m= m= = t + X () e () m= X t + m () m! m= m () m! t + e () bulunur. olmak üzere K (; t) := X K m (; t) m= kk (; t)k t + t + = C = C e () t + +t kq ()k d e () gerçeklenir. Teorem 3.3 K fonkiyonunun ve t de¼gişkenine göre k mi türevleri mevcut olup C > olmak üzere kk (; t)k + t t + 4 Q + c ve kk t (; t)k + t t + 4 Q + c eşitizlikleri a¼glan r. Ipat. E¼ger A (; ; t) := B (; ; t) := t+ t+ t+ K (; u) du K (; u) du

29 denire (3.6) yard m yla K (; t) = Q () d + +t Q () A (; ; t) d +t + Q () B (; ; t) d ( < t) +t olur. Buradan K (; t) = + t 4 Q + + t + t 4 Q A ; ; t +t Q () A (; ; t) + Q () A (; ; t) d + t + t 4 Q B ; ; t + Q () B (; ; t) d +t (3.9) bulunur. + t A ; ; t = 3t +t K + t ; u du B + t ; ; t = 3t +t K + t ; u du ve A (; ; t) = K (; t + ) K (; t + ) B (; ; t) = K (; t + ) A (; ; t) =

30 olaca¼g ndan (3.9) dikkate al n ra K (; t) = = + t 4 Q + 4 Q + t +t Q () K (; t + + t 4 Q 4 Q + t 3t +t K Q () K (; t + ) d 3t +t K + t ; u du +t Q () K (; t + ) d + t ; u du +t Q () K (; t + +t Q () K (; t + ) d ) d ) d elde edilir. Benzer olarak K t (; t) = = + t 4 Q + +t + 4 Q + t Q () K (; t + + t 4 Q 3t +t K 3t +t K + t ; u du +t ) d Q () K (; t + + t ; u du + + t 4 Q + Q () K (; t + +t Q () K (; t + ) d 3 +t ) d Q () K (; t + ) d ) d

31 olur. Ayr ca (3.3) eşitizli¼gi dikkate al n ra kk (; t)k = 4 Q + t Q () K (; t + +t Q () K (; t + ) d +t + t 4 Q + kq () K (; t + + kq () K (; t + )k d ) d )k d + t 4 Q + 4 e () + t 4 Q + C +t + kq ()k e () + t kq ()k + C +t + t kq ()k d + t + t kq ()k d + t 4 Q + C + t + C + t kq ()k d = + t + t 4 Q + C d kq ()k d d bulunur. Benzer işlemlerle kk t (; t)k + t + t 4 Q + C 4 kq ()k d

32 elde edilir. Ayr ca kk (; t)k dt c = C + t dt C () d < t dt (3.) ve kk (; t)k dt 4 + t Q d + t t + c kq (u)k du + c (u) du < dt oldu¼gundan için K (; :) L (; ) ;, kk (; t)k < K (; :) L (; ) ;, kk (; t)k < yaz labilir. C + üzerinde e it ; jj ya göre azalan oldu¼gundan K (; t) e it kk (; t)k gerçeklenir. Buna göre (3.) gere¼gince K (; t) e it dt kk (; t)k dt < R olur. Ayr ca K (; t) e it dt fonkiyonu ya göre C + K (; t) e it dta = itk (; t) e it oldu¼gunu göterelim. Im > için te t Im < oldu¼gu dikkate al n ra itk (; t) e it dt t kk (; t)k e t Im dt kk (; t)k dt < 5

33 elde edilir. Böylece F çözümünü ya göre C + üzerinde analitik bir fonkiyondur. Hatta F çözümü R üzerinde ya göre üreklidir. e it C üzerinde ya göre ürekli oldu¼gundan R üzerinde de üreklidir. O halde F nin üreklili¼gini götermek için K (; t) e it dt integralinin üreklili¼gini götermek yeterlidir. Buna göre K (; t) e it dt integrali C + üzerinde düzgün yak nak oldu¼gundan R key olmak üzere lim! K (; t) e it dt = = K (; t) lim! K (; t) e i t dt e it dt bulunur. O halde itenilen elde edilmiş olur. Teorem 3.4 C + ve! için aşa¼g daki aimptotik eşitlikler gerçeklenir. i) F (; ) = e i [I + o ()] ; (3.) ii) F (; ) = e i [I + o ()] : (3.) R Ipat. i) F (; ) = e i I + K (; t) e it dt oldu¼gundan F (; ) e i I = + K (; t) e i(t ) dt yaz labilir. C + oldu¼gundan e i(t K (; t) e i(t ) dt ) ve dolay yla kk (; t)k e i(t kk (; t) dk t 6 ) d t

34 R eşitizli¼gi elde edilir. kk (; t)k dt < oldu¼gundan lim! yani! için kk (; t)k dt = =) kk (; t) dk t = o () ; (! ) kk (; t)k dt = o () olur. O halde C + ve! için K (; t) e i(t ) dt = o () bulunur. Sonuç olarak C + ve! için F (; ) = e i [I + o ()] gerçeklenir. ii) F (; ) = ie i I K (; ) e i + K (; t) e it dt oldu¼gundan F (; ) e i ii = K (; ) e i + K (; t) e i(t ) dt bulunur. Buna göre (3.3) yard m yla! için kk (; )k C () = C kq ()k d = o () ve K (; :) L (; ) oldu¼gu dikkate al n ra C + ve! için F (; ) = e i [I + o ()] elde edilir. Teorem 3.5 C + ve jj! için aşa¼g daki aimptotik eşitlikler gerçeklenir. i) F (; ) = e i [I + o ()] ; (3.3) ii) F (; ) = e i [I + O ()] : (3.4) 7

35 3. Reolvent Operatörü Bu bölümde Q elfadjoint olmayan bir matri de¼gerli fonkiyon olmak üzere Hilbert uzay nda ` (Y ) := Y + Q () Y < vektör de¼gerli difereniyel ifadeinin ve Y () = n r koşulu yard m yla tan mlanan L operatörü ve onun reolvent operatörü olan R tan t lacakt r. Y ve (3.) denkleminin herhangi iki çözümü olmak üzere Y + Q () Y = Y (3.5) ve T + T Q () = T (3.6) denklemleri gerçeklenir. G; (3:5) denkleminin bir çözümü ve U T (3:6) nin çözümü olmak üzere W U T ; G = U T G U T G ifadeinin de¼gişkeninden ba¼g m z oldu¼gu göterilebilir. Bunun için G + Q () G = G ve U T + U T Q () = U T eşitlikleri a¼glanaca¼g ndan ilk denklemi oldan U T ile, ikinci denklemi ie G ile a¼gdan çarp p taraf tarafa toplan ra U T G U T G = bulunur. h U T G U T G i = U T G U T G = oldu¼gundan C herhangibir abit matri olmak üzere U T G U T G = C 8

36 yani elde edilir. W U T ; G = U T G U T G = C g L (R + ; E) ; = ve LY Y = g olmak üzere Y + Q () Y Y = g (3.7) denklemini göz önüne alal m. (3.7) denkleminin, homojen k m n n iki çözümü G (; ) ve F (; ) olmak üzere genel çözümü Y (; ) = G (; ) c () + F (; ) c () (3.8) şeklindedir. Bu çözümün ra yla de¼gişkenine göre türevi al n ra Y = G (; ) c () + F (; ) c () + G (; ) c () + F (; ) c () bulunur. Buradan G (; ) c () + F (; ) c () = (3.9) eçilir ve tekrar de¼gişkenine göre türev al n ra Y = G (; ) c () + F (; ) c () + G (; ) c () + F (; ) c () elde edilir. Bu on eşitlik (3.7) denkleminde yerine yaz l ra G (; ) c () F (; ) c () G (; ) c () F (; ) c () + Q () G (; ) c () + Q () F (; ) c () = G (; ) c () + F (; ) c () + g () bulunur. Gerekli adeleştirmeler yap l ra elde edilir. Ayr ca (3.9) denklemini G (; ) c () + F (; ) c () = g () (3.3) G T (; ) ile (3.3) ie G T (; ) ile çarp l p taraf tarafa toplan ra G T (; ) G (; ) G T (; ) G (; ) c () + G T (; ) F (; ) G T (; ) F (; ) c () = G T (; ) g () 9

37 olup G (; ) = ; G (; ) = I (3.3) koşullar dikkate al n ra F (; ) c () = G T (; ) g () c () = F (; ) G T (; ) g () elde edilir. c fonkiyonunu elde etmek için c () = olmak üzere c () = + F () G T (t; ) g (t) dt bulunur. Şimdi de (3.9) denklemini F T (; ) ile (3.3) ie taraf tarafa toplan ra F T (; ) G (; ) F T (; ) G (; ) c () + F T (; ) F (; ) F T (; ) F (; ) c () = F T (; ) g () bulunur. W F T ; F = (F T F W F T ; F = olup (3.3) koşulu da dikkate al n ra F T (; ) ile çarp l p F T F olmak üzere (3.) koşulu gere¼gince F T (; ) c () = F T (; ) g () c () = F T (; ) F T (; ) g () elde edilir. al n ra lim c () = olmak üzere on eşitli¼gin [; ) aral ¼g nda integrali! c () = + F T (; ) F T (t; ) g (t) dt olur. Elde edilen c ve c fonkiyonlar (3.8) eşitli¼ginde yerine yaz l ra Y (; ) = G (; ) + G (; ) F T (; ) F T (t; ) g (t) dt +F (; ) + F (; ) F (; ) G T (t; ) g (t) dt 3

38 olup Y () = ; ve G (; ) = oldu¼gu dikkate al n ra = F (; ) elde edilir. det F (; ) 6= olaca¼g ndan = bulunur. Bu yerine yaz l ra Y (; ) = G (; ) + G (; ) F T (; ) F T (t; ) g (t) dt + F (; ) F (; ) G T (t; ) g (t) dt a¼glan r. G (; ) = L oldu¼gundan Y çözümünün L den olma için = olmal d r. Böylece 8 < F (; ) F (; ) G t (t; ) ; t R (; t; ) = : G (; ) [F t (; )] F (t; ) ; < t < ; (3.3) olmak üzere R (L) f () = R (; t; ) f (t) dt; g L (R + ; E) olarak bulunur. 3

39 4. ÖDE ¼GERLER VE SPEKTRAL TEK ILL IKLER R F (; ) = I + K (; t) e it dt olmak üzere f () := det F (; ) (4.) şeklinde tan mlan n. f () = denkleminin, C + çözümleri (3.3) gere¼gince reolvent operatörün kutuplar olup C + ie F (; ) L (R + ; E) ve R ie F (; ) = L (R + ; E) olaca¼g ndan L operatörünün özde¼gerlerinin ve pektral tekilliklerinin kümei ra yla d (L) = z : z =, C +, f () = (4.) (L) = z : z =, Rn fg, f () = : (4.3) ile verilir. Şimdi ileride verece¼gimiz teoremlerde kullanmak üzere aşa¼g daki tan m verelim. Tan m 4. C + üzerinde (4:) ile tan ml f fonkiyonunun bir f r n n kat na, L operatörünün bu f ra karş l k gelen özde¼gerinin veya pektral tekilli¼ginin kat denir. Dolay yla L operatörünün özde¼gerlerini ve pektral tekilliklerini ay al olarak incelememiz için f fonkiyonunun C + daki f rlar n belirlememiz gerekir. M = f : C +, f () = g ve M = f : R, f () = g : olarak tan mlan ra (4:) ve (4:3) yard m yla d (L) = z : z =, M (4.4) 3

40 ve (L) = z : z =, M n fg : (4.5) yaz l r. Bu göterimler ile aşa¼g daki Lemma verilebilir. Lemma 4. i) M kümei n rl ve en çok ay labilir ay da elemana ahiptir. Ayr ca bu kümenin limit noktalar vara reel ekenin n rl bir alt aral ¼g ndad r. ii) M kümei kompaktt r ve Lebegue ölçüü olmak üzere (M ) = gerçeklenir. Ipat. i) f fonkiyonu f () := det F (; ) ile verildi¼ginden F; C + da analitik ve reel ekende ürekli olup f de C + da analitik ve reel ekende üreklidir. Ayr ca Teorem 3.5 yard m yla jj! için f () = + o () (4.6) yaz labilir. Bu aimptotik eşitli¼gi bize, C + için jj yeterince büyük eçildi¼ginde f () 6= oldu¼gunu yani M ve M kümelerinin n rl oldu¼gunu göterir. Ayr ca Teorem. dikkate al n ra f fonkiyonunun C + daki f rlar n n kümei ayr kt r. Bu durumda M kümei en çok ay labilir ay da eleman içerir. Son olarak Teorem. gere¼gince M kümeinin limit noktalar reel ekenin n rl bir alt aral ¼g nda yer al r. ii) M kümei n rl oldu¼gundan bu kümenin kompakt bir küme oldu¼gunu götermek için kapal oldu¼gunu götermek gereklidir. M olun. Bu durumda her n N için n M ve lim n! n = olacak biçimde bir ( n ) dizii vard r. Buna göre f; C + f ( ) = f lim n n! 33 = lim n! f ( n ) = üzerinde ürekli oldu¼gundan

41 yani M gerçeklenir. O halde M kümei kapal d r. Di¼ger yandan f C + üzerinde analitik ve f 6= oldu¼gundan Privalov teoremi gere¼gince (M ) = elde edilir. (4:4), (4:5) ve Lemma 4. göz önüne al n ra aşa¼g daki teorem elde edilir. Teorem 4. (3:3)koşulu alt nda (3:) ile verilen L operatörünün i) d (L) n rl olup en çok ay labilir ay dad r. Ayr ca özde¼gerlerin limit nokta vara, reel ekenin n rl bir alt aral ¼g ndad r. ii) (L) n rl ve ( (L)) = gerçeklenir. Teorem 4. " > olmak üzere ep (") kq ()k d < (4.7) koşulu alt nda L operatörünün onlu ay da özde¼ger ve pektral tekillikleri vard r ve bunlar n kat da onludur. Ipat. (3:3) ve (4:7) göz önüne al n ra C > abit olmak üzere + t kk (; t)k C = C Ce " +t +t kq ()k d = C e " kq ()k d Ce " +t +t e " e " kq ()k d e " kq ()k d (4.8) C ep +t " + t ; c > eşitizli¼gi a¼glan r. Ayr ca F (; ) = e i I + K (; t) e it F (; ) = iei K (; t) e it = ie i I + itk (; t) e it dt 34

42 olup, itk (; t) e it dt C t kk (; t)k e it dt te " +t e t Im dt = C t kk (; t)k e t Im dt e " te t(im + " ) dt bulunur. Bu durumda Im > " için f fonkiyonu analitik olaca¼g ndan reel eken analitiklik bölgeinin içinde yer al r. Bu yüzden f fonkiyonunun C + daki f rlar n n limit noktalar reel eken üzerinde bulunamaz. Di¼ger yandan Lemma 4. gere¼gince M ve M kümeleri n rl d r. Ayr ca f 6= ve bu kümeler analitiklik bölgeinin içinde oldu¼gundan onludurlar. f fonkiyonu Im > " için analitik devama ahip oldu¼gundan, Teorem.3 gere¼gince f fonkiyonunun C + daki f rlar n n kat onludur. Dolay yla d (L) ve (L) kümeleri onlu ay da elemana ahip olup elemanlar n n katlar da onludur. ep " p kq ()k <, " > (4.9) gerçeklenin. (4:9) koşulu alt nda f fonkiyonu C + da analitik olup reel ekende her mertebeden türeve ahiptir. Fakat f fonkiyonu reel ekenden alt yar düzleme analitik devama ahip de¼gildir. Ayr ca (4:9) koşulu alt nda f fonkiyonunun özde¼gerlerinin ve pektral tekilliklerinin onlulu¼gu Teorem 4. nin ipat benzer şekilde yap lamaz. ve M 4 = denire aşa¼g daki Lemma elde edilir. M 3 = M C + : 8k N; dk (f ()) = d k Lemma 4. M ; M ; M 3 ve M 4 kümeleri için aşa¼g daki ba¼g nt lar gerçeklenir. i) M \ M 4 = ; M 3 M ; M 4 M ; M 3 M 4 ii) (M 3 ) = (M 4 ) = : 35

43 Ipat. i) C + üzerinde f analitik oldu¼gundan bu bölgede onuz katl f ra ahip olamaz dolay yla M \ M 4 = gerçeklenir. f, C + üzerinde ürekli oldu¼gundan M 3 M a¼glan r. M 4 ve M kümelerinin tan m ndan M 4 M oldu¼gu aç kt r. ii) M 3 M ve M 4 M oldu¼gu ve Lemma 4. dikkate al n ra (M 3 ) = (M 4 ) = gerçeklenir. Bundan onraki teoremin ipat nda ihtiyaç duyulan Lemmalar aşa¼g da verilmiştir. Lemma 4.3 (4.8) koşulu alt nda f (n) () An, n = ; ; ::::, Im eşitli¼gini a¼glayan A n := C " t n e "p t dt n = ; ; ::::, (4.) abitleri vard r. Ipat. f () := det F (; ) olmak üzere d n d n f () = (it) n K (; t) e it dt 36 t n kk (; t)k dt (4.)

44 elde edilir. (4.8 ) eşitizli¼gi yard m yla kk (; t)k C kq ()k d = C t e "p e "p kq ()k d t Ce "p t e "p kq ()k d Ce "p t t e "p kq ()k d = C " e "p t bulunur. Elde edilen on eşitizlik (4.) eşitizli¼ginde yerine yaz l ra elde edilir. d n d n f () C " t n e "p t dt = An Lemma 4.4 (4.) ile tan mlanan A n abitleri, B ve b birer abit olmak üzere A n Bb n n!n n eşitizli¼gini gerçekler. Ipat. A n = C " t n e "p t dt n = ; ; ::::; q t " = u de¼gişken de¼giştirilmei yap l ra Lemma 4.3 gee¼gince A n = C " t n e "p t n+ dt = C" " n+ = C " n+ " n+ (n + ) 37 u n+ e u du

45 elde edilir. Son eşitlikte (n + ) = n (n) oldu¼gu dikkate al n ra b n := 3n+4 " n+ olmak üzere A n = C " n+ (n + ) (n) (n ) :::3: () " n+ n+ = C " (n + )! " n+ n+ C " (n + ) (n + ) ::: (n + ) " n+ n+ C " (n + )n+ " n+ n+ C " (n + )n+ " n+ 3n+4 = C " (n + )n+ " n+ = C " b n (n + ) n+ bulunur. Her n N için + e; n e n + n; n n e n n!; ve n + e n eşitizlikleri do¼gru oldu¼gundan A n C " b n (n + ) n+ C " b n e n (n + ) n n n + = C " b n n n = C " b n + n n n n C " b n e n n n = C " b n n n n n C " b n e n n!n n = Bb n n!n n elde edilir. 38

46 Teorem 4.3 (4:9) koşulu alt nda M 4 boştur. Ipat. Lemma4: gere¼gince yeterince büyük T > için jln jf ()jj < olup T ln jf ()j d ve + T ln jf ()j d (4.) + integralleri mutlak yak nakt r. Şimdi (4.9) koşulu alt nda A n = C " t n e "p t dt n = ; ; ::::, (4.3) olmak üzere A n n G () = inf n n! B ep e b oldu¼gunu göterelim. Lemma 4.4 den A n n Bb n n!n n n G () = inf inf = inf n n! n n! n (Bbn n n n ) (4.4) bulunur. f () = b ile tan ml fonkiyon ( ; ) üzerinde minimum de¼gerini = b e nokta nda al r. Bu (4.4) eşitizli¼ginde dikkate al n ra A n n G () = inf n n! Bb b e b e b e b e = Bb b e b (b e ) b e (b e ) e b e = ep b e elde edilir. Lemma 4.3 den f (n) () An, n = ; ; ::::, Im ; jj < T (4.5) oldu¼gu biliniyor. (M 4 ; ) ie M 4 kümeinin komşulu¼gunun Lebeque ölçüü olmak üzere (4:), (4:5) ve f () 6= oldu¼gundan Pavlov teoremi kullan l ra a > olmak üzere M 4 kümei a ln G () d (M 4 ; ) > (4.6) koşulunu a¼glar. ln (G ()) ln ep b e = b e 39

47 oldu¼gundan bulunur. a integrali rakak oldu¼gundan be d (M 4; ) a a ln G () d (M 4 ; ) < d a d (M 4; ) < olma (M 4 ; ) = ve dolay yla M 4 = olma yla a¼glan r. Teorem 4.4 (4:9) koşulu alt nda L operatörünün onlu ay da özde¼ger ve pektral tekilli¼gi olup bunlar n kat da onludur. Ipat. Lemma 4: ve Teorem 4.3 gere¼gince M 3 boştur. Bu durumda n rl olan M kümei y ¼g lma nokta na ahip olmad ¼g ndan onludur. O halde f fonkiyonu C + da onlu ay da f ra ahiptir. Ayr ca M 4 = oldu¼gundan bu f rlar n katlar da onludur. 4

48 5. ESAS FONKS IYONLAR Bu bölümde özde¼ger ve pektral tekilliklere karş l k gelen ea fonkiyonlar belirlenip bunlara ilişkin temel özellikler incelenecektir. Tan m 5. (4:) ile tan ml f fonkiyonunun C + daki f rlar n n katlar na L operatörünün bu f rlara karş l k gelen özde¼gerlerinin veya pektral tekilliklerinin kat denir. f fonkiyonunun C + daki f rlar ; ; :::; k ve bu f rlar n mertebeleri ra ile m ; m ; :::; m k olun. Benzer biçimde f fonkiyonunun Rn fg daki f rlar k+ ; k+ ; :::; n ve bu f rlar n mertebeleri de ra ile m k+ ; m k+ ; :::; m n olun. Bu durumda ; ; :::; k L operatörünün özde¼gerleri, m ; m ; :::; m k ie bu özde¼gerlerin mertebeidir. Benzer olarak m k+ ; m k+ ; :::; m n ie L operatörünün k+; k+; :::; n pektral tekilliklerinin mertebeidir. Tan m 5. = ; ; :::; m j ; j = ; ; :::; k ve Im j > olmak üzere u ;j ff (; )g = j (5.) ve = ; ; :::; m j ; j = k + ; k + ; :::; n ve Im j = olmak üzere v ;j ff (; )g = j (5.) eşitlikleri ile verilen fonkiyonlara L operatörünün ra yla özde¼ger ve pektral tekilliklerine karş l k gelen ea fonkiyonlar denir. Teorem 5. Özde¼ger ve pektral tekilliklerine karş l k gelen ea fonkiyonlar için gerçeklenir. u ;j L (R + ; E) ; = ; ; :::; m j ; j = ; :::; k; v ;j = L (R + ; E) ; = ; ; :::; m j ; j = k + ; :::; n R Ipat. F (; ) = e i I + K (; t) e it dt olmak üzere j = ; :::; k; için u ;j ff (; )g = j = (i) e ij I + 4 (it) K (; t) e i jt dt (5.3)

49 bulunur.im j > ve j = ; :::; k; için (i) e i j = e Im j olup (i) e i j I d = e Im j d (5.4) = ( Im j ) + ( + ) < bulunur. E¼ger j = ; :::; k için g j () = (it) K (; t) e i jt dt; denire C = C t e " 4 p t dt olmak üzere (4.8 ) eşitizli¼gi yard m yla jg j ()j = (it) K (; t) e ijt dt t kk (; t)k e t Im j dt C t e " 4 p +t t Im j dt Ce Im j t e " p 4 t dt = C e Im j elde edilir. C > ve e Im j L (R + ) oldu¼gundan j = ; :::; k; için jg j ()j d < ; (5.5) 4

50 bulunur. (5.4) ve (5.5) yard m yla u ;j L (R + ; E) ; = ; ; :::; m j ; j = ; :::; k; elde edilir. Şimdi F (; ) = e i I + K (; t) e it dt olmak üzere ve (5.) dikkate al n ra j = k + ; :::; n için v ;j () = (i) e i j I + (it) K (; t) e i jt dt ; (5.6) bulunur. Im j = olmak üzere ve j = k + ; :::; n için, (5.6) gere¼gince (i) e ij I d = S d = ; bulunur. E¼ger Im j = ve j = k + ; :::; n için denire (4.9) koşulu alt nda k j () = (it) K (; t) e i jt dt; kk (; t)k C kq ()k d = C +t kq ()k e "p e "p d +t p Ce " +t kq ()k e "p d p Ce " +t +t kq ()k e "p d p = Me " +t 43

51 elde edilir. Bu durumda jk j ()j = (it) K (; t) e ijt dt (5.7) t kk (; t)k dt (5.8) M t e " p +t dt = Me " p Me " p t e " t e " p t dt p +t dt (5.9) M e " p (5.) bulunur ki bu da k j L (R + ; E) onucunu verir. O halde = ; ; :::; m j j = k + ; :::; n için ; ve v ;j = L (R + ; E) ; gerçeklenir. = ; ; :::; olmak üzere 8 < H = : f : 8 < H = : g : ile tan mlanan H ve H uzaylar için, 9 = ( + jj) jf ()j d < ; ; 9 = ( + jj) jg ()j d < ; ; H + $ H $ L (R + ; E) $ H $ H (+) ; (5.) oldu¼gu kolayca göterilebilir. Teorem 5. = ; ; :::; m j ; ve j = k + ; :::; n için v ;j H (+) gerçeklenir. 44

52 Ipat. j = k + ; :::; n; = ; ; :::; m j ve Im j = için ( + ) (+) (i) e i j I d = ( + ) (+) d < ; (5.) bulunur. Ayr ca = ; ; :::; m j ; ve j = k + ; :::; n için (5.7) yard m yla ( + ) (+) (it) K (; t) e ijt dt elde edilir. Bu ie v ;j H (+) oldu¼gunu ipatlar. = ; ; :::; m j olmak üzere j = ; :::; k için u ;j L (R + ; E) d M ( + ) (+) e " < ; ve j = k + ; :::; n için v ;j = L (R + ; E) gerçeklenir. m = mak fm j+ ; m j+ ; :::; m g denire Teorem 5. ve 5. yard m yla aşa¼g daki teorem elde edilir. Teorem 5.3 = ; ; :::; m j ve j = k + ; :::; n için v ;j H m ; a¼glan r. 45

53 KAYNAKLAR Ad var, M. and Bairamov, E.. Spectral propertie of non-elfadjoint di erence operator. J. Math. Anal. Appl. 6; Ad var, M. and Bairamov, E. 3. Di erence equation of econd order with pectral ingularitie. J. Math. Anal. Appl. 77; Ad var, M. and Bohner, M. 6. Spectral analyi of q-di erence equation with pectral ingularitie. Math. Comput. Modelling 43 (7-9); Ad var, M. and Bohner, M. 6. Spectrum and principal vector of econd order q-di erence equation. Indian J. Math. 48 (); Agarwal, R.P. and Wong, P.J.Y Advanced Topic in Di erence Equation. Kluwer, Dordrecht. Agarwal, R.P.. Di erence equation and inequalitie. Theory, Method and Application. Marcel Dekkar Inc., New York, Bael. Agarwal, R.P., Perera, K. and O Regan, D. 4. Multiple poitive olution of ingular and noningular dicrete problem via variational method. Nonlinear Analyi 58; Agarwal, R.P., Perera, K. and O Regan, D. 5. Multiple poitive olution of ingular dicrete p-laplaian problem via variational method. Advance in Di erence Equation, ; Agranovich,.S. and Marchenko, V.A. The Invere Problem of Scattering Theory, Gordon and Breach, 965. Akbulut, A., Ad var, M. and Bairamov, E. 5. On the pectrum of the di erence equation of econd order. Publ. Math. Debrecen 67/3-4; Akhiezer, N.I The Claical Moment Problem and Some Related Quetion in Analyi, New York. Bairamov, E. and Celebi, A.O Spectrum and pectral epanion for the non-elfadjoint dicrete Dirac operator. Quart. J. Math. Oford Ser. ()5; Bairamov, E., Cakar, O. and Krall, A.M.. Non-elfadjoint di erence operator and Jacobi matrice with pectral ingularitie. Math. Nachr. 9; 5-4. Bairamov, E. and Cokun, C. 4. Jot olution and the pectrum of the ytem of di erence equation. Appl. Math. Lett. 7;

54 Bairamov, E. and Cokun, C. 5. The tructure of the pectrum of a ytem of di erence equation. Appl. Math. Lett. 8; Balc, M Matematik Analiz. Balc Yay nlar, Ankara. Berezanki, Y.M Integration of nonlinear di erence equation by the invere pectral problem method. Soviet Math. Dokl. 3; Clark, S., Geztey, F. and Renger, W. 5. Trace formula and Borg-type theorem for matri-valued Jacobi and Dirac nite di erence operator, J.Di erential Equation 9, Dolzhenko, E.P Boundary value uniquene theorem for analytic function. Math. Note 6 (6); Geztey, F., Kielev A. and Makarov, K.A.. Uniquene reult for matrivalued Schrödinger, Jacobi and Dirac-type operator, Math.Nachr.39, Gueinov, G.S The determination of an in nite Jacobi Matri from the cattering date. Sov. Math. Dokl. 7; Gueinov, G.S The invere problem of cattering theory for a econd order di erence equation on the whole ai. Sov. Math. Dokl. 7; Kelley, W.G. and Peteron, A.C.. Di erence Equation. An Introduction with Application. Harcourt Academic Pre. Krall, A.M., Bairamov, E. and Cakar, O.. Spectral analyi of non-elfadjoint dicrete Schrödinger operator with pectral ingularitie. Math. Nachr. 3; Levitan, B.M. and Sargjan, I.S Introduction to Spectral Theory. Tranlation of Mathematical Monograph, 39. Luternik, L.A. and Sobolev, V.J Element of functional analyi. Tranlation of elementy funktional nogo analiza. Lyance, V.E A di erential operator with pectral ingularitie. I, II, AMS Tranl. (6); 85-5, Naimark, M.A. 96. Invetigation of the pectrum and the epanion in eigenfunction of a non-elfadjoint operator of econd order on a emiai. AMS Tranl. (6); Naimark, M.A Linear Di erential Operator. II, Ungar, New York. Olgun, M. and Cokun, C.. Non-elfadjoint matri Sturm-Liouville operator with pectral ingularitie, Appl.Math.Comp 6, Pavlov, B.S On eperation condition for pectral component of a diipative operator. Math. USSR Izvetiya. 9;

55 ÖGEÇM IŞ Ad Soyad : Do¼gum Yeri: Murat OLGUN Akaray Do¼gum Tarihi: 3//979 Medeni Hali: Yabanc Dili: Evli Ingilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l): Lie: Lian: Yükek Lian: Akaray Anadolu Liei-996 Ankara Üniveritei, Matematik Bölümü- K r kkale Üniveritei, FBE-4 Çal şt ¼g Kurum/Kurumlar ve Y l: K r kkale Üniveritei Matematik Bölümü Araşt rma Görevlii (-6) Ankara Üniveritei Matematik Bölümü Araşt rma Görevlii (6-) Yay nlar : Olgun, M. Cokun, C. Non-elfadjoint matri Sturm Liouville operator with pectral ingularitie App. Math. and Comp. 6 () Cokun, C. Olgun, M. Principal function of non-elfadjoint matri Sturm-Liouville equation J. of Comp. and App. Math. (Yay n Aşama nda) 48