Küme Teorisi Ve Olasılık Hesapları. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
|
|
|
- Berkant Türkay
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Küme Teoisi Ve Olsılık Hesplı Yd. Doç. D. Tije ÖVER ÖZÇELİK
2 IV. Küme Teoisi Ve Olsılık Hesplı Küme Kvmı; Küme, tek bi isim ltıd toplbile ve beze özellik göstee biimlei meyd getidiği topluluk olk tımlbili. Küme içide bulu biimlee elem dı veilmektedi. Kümele geellikle A, B, C gibi büyük hflele, eleml ise, b, c, gibi küçük hflele gösteilile. Kümelee, tkım sııf, cümle, set gibi isimle de veilmektedi. Eğe hehgi bi elemı, hehgi bi B kümesie it ise bu ifde şöyle yzılbili. B Eğe, B i elemı değilse B şeklide yzılı.
3 Kümelele İlgili Kvml 1- Bi Kümei içide sdece bi elem vs böyle kümelee biim küme dı veili. 2- Eğe A kümesii he elemı, B kümesii de elemı ise A y B i lt kümesi dei. Yi A B ise A, B i lt kümesidi, ve AB vey BA (A kpsı B vey B kps A şeklide gösteili. He küme kedisii bi lt kümesidi. AA - Hiçbi elemı olmy kümeye boş küme dı veili ve vey ={} şeklide gösteili. Mesel elm sepetide lı potkll kümesi boş bi kümedi. Eğe C={; =, tek syı} ise C= olu. Boş küme he kümei bi lt kümesidi. Yi A vs. - İcelemeye kou ol bütü kümelei oluştuduğu kümeye evesel (uivesl küme dei ve büyük hf U ile gösteili. Mesel üfus syımı çlışmlıd evesel küme, düyd yşy bütü islı oluştuduğu kümedi. A= {Tükiye de yşy isl} U= {Düyd yşy isl} A U
4 5- Eşit küme: İki küme yı eleml ship ise bibileie eşit olul. Buu şöyle yzbiliiz. A B ve B A ise A=B Mesel A={,b} ve B={b,} ise A=B olu. Bu tım göe He Küme kedisie eşitti ve bu bütü kümele içi doğudu. A=A b A=B ise B=A olu [simeti özelliği] c A=B ve B=C ise A=C olu [geçişlilik özelliği] 6- A, B, C gibi hehgi üç küme içi AB ve BC ise A C di. [geçişlilik] 7- Sıılı syıd elem içee kümelee sıılı küme dei. Öek: A={X: lfbedeki sesli hfle } Bi küme içideki eleml syılmyck kd çok ise böyle kümelee sıısız küme dı veili. 8- Eşleik Küme: Elemlı sıd bie bi kşılşm ol kümelee eşleik küme dei. Öek: A = {1,2,,} ve B={2,,6} ise bu kümele eşleikti. Çükü A dki he syıy B kümeside iki ktı bi syı kşılık gelmektedi.
5 9- Kuvvet Kümesi: Sıılı syıd elem içee bi kümei bütü lt kümeleii oluştuduğu kümeye Kuvvet Kümesi dei. A sıılı syıd elem içee bi küme ise kuvvet kümesi P A şeklide gösteili. Öek: A={1,2,} olsu. Bu kümei kuvvet kümesi P A ={, {1}, {2}, {}, {1,2}, {1,}, {2,}, {1,2,}} Teoem A kümesi syıd elem içee sıılı bi küme ise P A ı 2 syıd elemı olu, y d 2 te lt kümesi olu. Yukıdki öekte A ı elemı vdı öyleyse A kümesii 2 =8 lt kümesi olu. Küme İşlemlei Ve Diygmlı: U evesel kümesi geellikle bi dikdötgele gösteili. U u lt kümelei dielele gösteili. Kümele sıdki bu ilişkiyi geometik şekillele göstee diygml Ve diygmlı dı veili.
6 Bileşim işlemi: A ve B tesdüfi olk veilmiş iki küme olsu. A ve B i bileşimi A B şeklide gösteili ve böylece yei bi küme teşkil edilmiş olu. Bu küme, A ve B i (vey hem A ve hem de B i ikisii bide elemlı shipti. Yi; A B={X: A ve/vey B} Bu işlem Ve diygmı ile şöyle gösteili. Şekildeki tlı l AB yi vemektedi.
7 Kesişim: Otk elemlı oluştuduğu kümedi. Hem A, hem de B i otk elemlıı meyd getidiği küme A ve B kümeleii kesişimii vei ve AB şeklide gösteili. Yi AB={X: A ve B} Şekilde tlı l AB yi göstemektedi. Ayık küme: AB= ise yi A ve B Kümeleii otk elemlı yoks bu tip kümelee Ayık Küme dı veili. Aşğıdki şekilde yık bi küme göülmektedi.
8 İki Kümei Fkı: A y it olup t B ye it olmy elemlı teşkil ettiği küme A ı B de fkı dıı lı ve A-B vey A\B şeklide gösteili. Şekildeki tlı l bu fkı göstemektedi. A - B = A\B = {X: A ; B} Tmmly Küme: Tmmlyıcı küme mutlk ve izfi tmmlyıcı küme olmk üzee iki şekilde ele lıı. Mutlk tmmlyıcı küme evesel kümeye göe ifde edile bi küme olup A gibi bi kümei tmmlyıcısı A, Ac vey A şeklide yzılı. A =Ac= U-A = { X: U ve A } olu.
9 İzfi tmmlyıcılık ise bi üst kümeye göe ol tmmlyıcılıktı. B kümesi A i lt kümesi ise, yi BA ise B ı A ye göe tmmlyıcısı; c B A = { X: A ve B } şeklide yzılı ve şğıdki gibi gösteili. c B A AB i tmmlyıcısı ise (AB c vey (AB şeklide yzılı.
10 Küme Aitmetiği Yukıdki küme işlemleide fydlk küme itmetiği ile ilgili şğıdki kull ulşmk mümküdü. Kulı dı Bileşim Kesişim Ysım (idempotet AA=A AA=A Bileşme (ssocitive (ABC=A(BC (ABC=A(BC (ABC =ABC (ABC=ABC Değişme (commuttive AB=BA AB=BA Dğılm (distibutive A(BC=(AB(AC Özdeşlik (idetity A=A A= Özdeşlik (idetity AU=U AU=A Tmmlyıcılık (complemet AA c =U AA c = Tmmlyıcılık (complemet (A c c =A U c =, c =U De Mog (AB c =A c B c (AB c =A c B c A(BC=(AB(AC
11 Sym Tekiklei Olsılık hesplı ve isttistikte biçok poblem, veile küme elemlıı syılmsıı vey sılmsıı geektii. Eğe bi olyı olsılığıı hesplmsıd, mümkü hlle syısı çok büyük ise olyı doğud sılmsı vey syılmsı uzu zm lı ve bzı hllede doğud symk mümkü olmz. Bu gibi duumld symyı kolylştııcı bzı tekiklee ihtiyç duyulu. Bu tekiklee sym tekiklei (combitiol lysis dı veili. SAÜ fkülteleide eğitim göe öğecilei cisiyet ve öğeim gödüğü fkülte yöüde sııfldıılmsı hlide kç fklı duumu olcğıı belileyelim. Cisiyet vsfıı kız ve ekek olmk üzee iki şıkkı vdı. Fkülte vsfıı mühedislik, İİBF, Fe edebiyt, Tekik eğitim, Eğitim ve İlhiyt olmk üzee 6 şıkkı vdı. Bu göe ğç diygmı çizildiğide SAÜ öğecileii bu vsıfl göe kç fklı duumd olduğu göülebili.
12 Ağç diygmı Ağç diygmı ile sym Ydki ğç diygmıd öğecilei cisiyet ve fkülte vsfıı şıklı göe 12 fklı duumd buluduğu lşılmktdı. 2 cisiyet, 6 fkülte 2*6 = 12 duum
13 Yukıdki ğç diygmıd heketle şğıdki sym kulı ulşbiliiz. Çpım Kulı: A1 ve A2 kümelei sısıyl 1 ve 2 elem içeiyos, A1 i bi elemı ile A2 i bi elemıı seçmei 1 2 değişik yolu vdı. Yi iki oly yı d 1 2 değişik şekilde meyd geli. Bi bşk öek İstbul d Ak y yold (k-hv-demiyolu, Ak d Koy y yold (k, hv, demiyolu gidilebiliyos İstbul d Koy y Ak bğltılı olmk üzee =9 değişik yold gidilebili. Küme syısı ikide çok olduğu zm yukıdki kul şğıdki şekilde geelleştiilebili. Çpım Kulıı Geelleştiilmesi: A1, A2,..., Ak kümelei sısıyl 1, 2,..., k elem içeiyos, öce A1 i bi, so A2 i bi, so A,..., Ak i bi elemıı seçmei 12,..., k değişik yolu vdı. Yi k oly bi d k fklı şekilde meyd geli.
14
15 Öek: Test şeklide ypıl bi sıvd 5 sou ve 5 cevp şıkkı vs bi öğeci bu 5 souyu kç fklı şekilde cevpldıı = 5 5 = 125 değişik şekilde işetleyebili. Bu işetleme hlleide sdece biide tüm cevpl doğu olu. (11111=1 = 5 = 102 hlde ise bütü cevpl ylış olu. Öğecii souyu doğu cevplmsı kç fklı şekilde mümkü olu? 5=20 şekilde mümküdü. (1.sou ylış diğe şıklı doğu olmsı (11115 olup diğe 5 sou d böyle olu souu doğu cevplmsı (11110=160 2 souu doğu cevplmsı (1110=60 1 souu doğu cevplmsı (15= 1280 şekilde mümküdü. Adışık yı şıkkı doğu olduğu bi sou bulumdığı göe kç fklı cevp htı oluştuulbili? İlk şık 5 fklı şekilde işetleike diğe şıkld işetleebilecek şık syısı e düşe. Bu duumd: 5=5 =1280 cevp htı oluştuulbili.
16 Öek: {1,2,,,5} kümesideki kml kullılk; - Kç syı oluştuulbili? 555=125 - Kç çift syı oluştuulbili? 552=50-00 de büyük kç çift syı oluştuulbili? 52=0 - Syıld kç tesi 2 ile bşl 5 ile bite? 151=5 - İdesiz bi seçim ypıls, bu kmll bibiide fklı kç syı oluştuulbili? 5=60 vey 5P=60
17 Pemütsyo Elemlı bi kümede elem çekileek sı öemli olmk kydıyl sılmsı hlide buu kç fklı şekilde sıldığıı göstee syıy pemütsyo dı veili ve şöyle fomüle edili; P P ( 1 ( 2 [ ( 1] P! (! Bud (! işeti fktöiyel olk dldıılı ve buu ltıdki bütü pozitif tm syılı çpılcğı lmı geli.! =.(-1.( olk yzılı Özel olk 0!=1 e eşitti. çok büyük olduğu zm! i hesplmsı zo olcğıd stilig fomülü olk tıml şğıdki fomül kullılmktdı.! e 0 d (2 1 e
18 Pemütsyo biçok pobleme uygulbilmekle bilikte, uygulmd dikkt edilmesi geeke bzı duuml vdı. Eğe bi poblemde şu üç şt geçekleşiyos pemütsyou doğud uygulmk mümküdü. 1- Kümedeki bütü eleml bibiide fklı olmlıdı, 2- Hehgi bi elem içi hiçbi kısıtlm getiilmemelidi, - Hiçbi elem bi defd fzl kullılmmlıdı. Öek: P = 5. P ise i değei edi? Çözüm: P 5 P! 5 (!! (! ( 1( 2( (! 5 (! ( 1( 2(! (! (- = 5 = 8 olu.
19 Öek: 20 kişii ktıldığı bi yışmd ilk üç deeceye giele fklı şekillede ödüllediilecekledi. Yışm kç değişik şekilde souçlbili? Çözüm: Öekte sı öemli olduğu göe pemütsyo uygulmsı geeki.
20 Öek: 10 fklı mpul 10 fklı yee kç değişik şekilde tkılbili? b 5 fklı yee kç değişik şekilde tkılbili? Çözüm: 10!= ! b 10P5 020 (10 5!
21 Öek: Bi ft bibiide fklı 5 te Mtemtik, 2 te Fizik ve te Kimy kitbı vdı. Ayı tü kitpl bibiide yılmmk üzee, kç değişik şekilde y y sılbili? Çözüm: 5 Mtemtik kitbıı 1 kitp, 2 Fizik kitbıı 1 kitp ve Kimy kitbı d 1 kitp olk düşüülüse, bul! şeklide sılı. 5 Mtemtik kitbı kedi sıd 5!, 2 Fizik kitbı kedi sıd 2! ve Kimy kitbı d kedi sıd! şeklide sılbili. Şu hlde kitpl bi f;!*5!*2!*! = 860 fklı şekilde sılı. Öek: 8! = ise ( 10! 9! ifdesi şğıdkilede hgisie eşitti? Çözüm 10! 9! = 10 * 9! 9! = 9! ( 10 1 = 9! * 9 bu ifde = 9 * 8! * 9 şeklide yzılıs, = 81 * 8! = 81 olu.
22 Öek: 20 kişii ktıldığı bi şii yışmsıd ilk üç deeceye giele fklı şekillede ödüllediilecekledi. Yışm kç değişik şekilde souçlbili? Çözüm: Öekte he deecei fklı ödülü olduğu göe sı öemli olduğud pemütsyo uygulmsı geeki. P 20! (20! 20! 17! ! 17! Öek: fklı isttistik ve 5 fklı mtemtik kitbı, mtemtik kitplı bibiide yılmmk üzee bi f kç değişik biçimde dizilebili? Çözüm: Mtemtik kitplı bibiide yılmycğı içi hepsi bi kitp olk düşüülebili. Bu duumd 5 kitp 5! şekilde sılı. Ayıc 5 mtemtik kitbı d kedi sıd 5! şekilde sılı. O hlde tüm sılml; 5!. 5! = = 1.00 olu.
23 Teklı pemütsyo elem içee bi kümede 1 elem bibiii yısı, 2 elem bibiii yısı,... k elem bibiii yısı ise elemı Pemütsyo syısı!!! k! şeklide hesplı. Öek: ÇANAKKALE kelimesii hflei ile kç fklı kelime yzılbili? Çözüm: Kelimede A, kez teklmış, K, 2 kez teklmış, = 9 (hf syısı olduğu göe;! 1 2!!... k! 9! 020!2! olu. Poblem: Bi sııft bulu 15 öğeciye fklı test veilecekti. He testi l öğeci syısı yıdı. Dğıtım kç fklı şekilde geçekleştiili. (Cevp: ! !5!5!
24 Teklı pemütsyo İSTATİSTİK kelimesii pemütsyo syısıı bulmk içi toplm pemütsyo syısıı tek edile (İ, T ve S hflei pemütsyou bölmek geeki. İ =, T =, S = 2 def tek edilmiş = 7 olduğu göe buluu.
25 Diesel Pemütsyo: te fklı elemı die şeklide bi yee sılmsı, elemı döel (diesel sılmsı dı veili. Diesel sılmd e bştki ile e sodki elem y y geli. Bu edele elemı döel (diesel sılmlıı syısı düz bi htt sılmy göe 1 eksik elem lık buluu. Yi elemı döel (diesel sılmlıı syısı (-1! olu. Öek: 7 kişilik bi komisyo bi ms etfıd otucktı. Bu komisyo yuvlk bi ms etfıd kç fklı şekilde otubili? Bu komisyo düz bi ms boyuc kç fklı şekilde otubili? Komisyo bşkı ve ydımcısı y y gelmek ştıyl yuvlk bi ms etfıd kç fklı şekilde otubilile? Çözüm: (7-1! = 6! = 720 b 7! = 500 c (6-1! *2! = 5!*2! = 20 Diesel pemütsyo: fklı elem bi die etfı ( 1! fklı şekilde dizilebili.
26 Kombisyo Pemütsyo sıı öemli olduğu poblemlee uygulmktdı. Ack bzı poblemlede sıı öemi yoktu. Böyle duumld Pemütsyo uygulmk doğu olmz. Sı öemli olmk ştıyl,b,c,d hfleide üçeli gupl oluştuulduğud şğıdki souçl elde edili. bc cb bc bc cb cb! =! =6 bd db bd bd db db! =! =6 cd dc cd cd dc dc! =! =6 bcd bdc cbd cdb dbc dcb! =! =6 Tblod göüleceği üzee üçeli guplı syısı yi, Pemütsyo syısı;! (! 2 olcktı. Sı öemli olduğud yukıdki he stı sdece bi lt kümei pemütsyolıd ibetti.
27 {,b,c,d} Kümesii he bii üç elemd oluş bibiide fklı döt lt kümesi ({,b,c}, {,b,d}, {,c,d}, {b,c,d} vdı. elemı bulu bi kümede seçile elemı pemütsyolı, he lt kümeyi! def içide buludumktdı. Dolyısıyl elemı li kombisyou ulşbilmek içi P yi! ile bölmek geeki. Böylece sıı öemi otd klkmış olu. Bu göe kombisyo, elemı ol bi kümede he bii elem içee bibiide fklı lt kümelei kç fklı şekilde seçilebileceğii göstee syıdı ve bu syı şöyle buluu. C (!!! Bu kombisyo syısı yı zmd biom ktsyısı dı d veilmektedi.
28 Alfbei ilk döt hfi ile teşkil edile eli kombisyolı syısı;! (!!!!1! olu. Özel olk C 0 = 1 ve C = 1 e eşitti. Ayıc pemütsyo ve kombisyo sıd şöyle bi ilişki vdı. C P! ve P! Yukıdki ifdelee göe kombisyou pemütsyo bğlı olk şöyle ifde etmek mümküdü Toplm pemütsyo syısı Kombisyo = He lt kümei pemütsyo syısı C
29 Pemütsyo ve Kombisyo hgi tü poblemlee uygulbili Pemütsyod sı öemlidi, Öeği; sözcüklei dizilişi, bi sıy otum düzei vey bi bşk bi bşk ydımcısı ve bi vezed seçimi. Kombisyod sı öemli değildi; öeği komisyo ve tkımlı seçimi (sym pozisyolı olmksızı. Pemütsyold geellikle çpm kulı uygulı, çükü sılı pozisyolı he biii seçimi, bi olyl silsilesi olk göülebili. (Kyk: Olsılık, Schum seisi, Nobel yyıcılık
30 Öek: 10 üyesi ol bi deekte kişilik bi komisyo kç değişik şekilde teşkil edilebili. Çözüm: komisyod bulu şhıslı seçim sısı öemli olmdığı göe kombisyo fomülü uygulı. C ! (10!! 10! 7!! ! 7!! 120 Öek: A={1,2,,,5,6} kümesii elemlı ile bsmklı syıl yzılcktı. Bu kümedeki kmll üç bsmklı kç syı yzılbili. (Seçim ideli b He km bi def kullılmk ştıyl (seçim idesiz kç fklı syı yzılbili. c b şıkkıdki syılı kç teside kmı buluu. d Bu syılı kç teside ve 5 kmlı buluu.
31 e Bu syılı kç teside, 5 ve 6 kmlı vdı. f Bu syılı kçı 00 de büyüktü. g Bu syıld kç tesii so kmı 1 di. h Bu syıld kçı 1 ile bşl 6 ile bite. Çözüm: 666 = 216 b 6 P = 65=120 c d e C 5!!! vey 6P 5P!2!!!! 6 2 olu 1!(-1!!! 6 olu. (! C 1 P 60 f 5 = 80 g 15=20 h 11=
32
33 Biom ktsyılı Biom ktsyılıı geel olk şöyle ifde edebiliiz. (+b ifdesi çıldığıd - b i ktsyısı det b ve - det yı seçmek içi mevcut ol hl syısı eşitti. Dolyısıyl b i ktsyısı, elemlı bi Kümede elemı ol bi lt küme seçmek içi mevcut ol hl syısı eşitti. Yi kısc du. Biom teoemi: Eğe pozitif tmsyısı ise; ( b 0 b 1 ( 2 1 b Geel teim : 1 2 b 2.1!!(!... b b b olu.
34 Biom ktsyılı şu üç teoem kullılk kolyc hesplbili. Teoem 1 pozitif tmsyı ve =0,1,... içi olu. Bu ifde biom ktsyılıı simetik olduğuu ifde etmektedi. Teoem 2 pozitif tmsyı ve =0,1,2,...-1 içi 1 1 olu. Bu teoeme göe Pskl üçgeideki üstteki iki syıı toplmıı lttki syıy eşit olduğu lşılmktdı. 2. teoem kullılk, biom ktsyılı, pskl üçgei ydımıyl kolylıkl hesplbili. =0 (+b 0 1 =1 (+b =2 (+b = (+b 1 1 = (+b =5 (+b
35 Teoem Öek: (+1/ 8 ifdesii çılımıd sbit teimi buluuz. Öek: (-5 10 ifdesii çılımıd 6 yı içee teimi buluuz k m k k m 0 geeki. olmsi ici teim Sbit olu. 8 1 ( olu. 0 8 ici olmsi i 0 8 olu. 70!!(8 8! 8 0 8
36 Öek: (+5 teimii çılımıı yzıız. Çözüm: (+5 = Öek: ifdesii çılımıı yzıız. Çözüm: (5 (5 1 (5 2 (5 1 (5 0 5 ( 2 1 ( b b b b b b b b
37 Öek: ifdesii çılımıd sbit teimi buluuz. Çözüm: Sbit teim 0 lı teim di. Bu duumd vey, 2 - = 0 ise = 6 olu. Bu duumd; Olk buluu. 8 1 ( 8 1 ( 1 ( ( 8 ( !6! ( ! 6 8
38 Öek (2 2 -b i çılımıd teimlede bii m 6 b 15 ise, i buluuz b m i buluuz. Çözüm teim m 6 b 15 ise, ı üssü 6, b i üssü 15 olduğu göe bu üsle ve b ifdeleii üslei de dikkte lık şöyle yzılbili. m 2 b 5 olu. O hlde: =+5 = 8 di. b =8 olduğu göe = 5 olu. Bu göe; ( (2 2 b m 568(-2 ( ( (2 5 8 ( (2 b b b b b m
39 ( 11 Öek ifdesii çılımıdki teimlede teimii ktsyısıı buluuz. Çözüm ( 11 " ( ( ( ( ( i ktsyısı dığı içi 1 e bkmk geeki 'de 1= =2 =5 olu. Bud ! (11 5!5! ! 6!5! 62 = 5 = 102 dolyısıyl i ktsyısı =7088
4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR
4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme
21. İlk 5 dakikanın sonunda Burak ve Onur un bulundukları. Cevap B. Burak 100. = 45 olup farkları = 22 bulunur. Cevap C
Deneme - / Mt MEMİK DENEMESİ Çözümle.. c + m. d ı. 4 4 6 4 4 6 ( 6) ( 4) ( ) ( ) y 5 7. y c + m. y d ı. 4 8 6 ( ) ( ) ( ) olduğun göe, 6 6y 8y bulunu.. y - + + y - y - y y - y 6 6. ^009, h. ^0, 07h > c
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;
Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Bir Dizinin Limiti...
LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süeklilik...8 Bi Foksiou Limiti... 9 Özel Tımlı Foksiolı Limiti... Pçlı Foksiolı Limiti... Mutlk Değe Foksiouu Limiti... 7 Limit Özelliklei... Geişletilmiş Geçel Sıl Kümeside
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei
DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )
. BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
Cebir Notları. Geometrik Dizi ( ) ( ) Mustafa YAĞCI,
www.mustfygci.com, 006 Cebi Notlı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Geometik Dizi Aitmetik diziyi bi htılylım bklım. Tüm dışık teimlei sıdki fkl sbitti. Yi stgele bi ilk teim vdı, o ilk teime bi d eel syısı
8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com
III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel
PERMUTASYON A B C B C A C A B C B C A B A ABC ACB BAC BCA CAB CBA
PERMUTASYON Pemutsyo, elli syıdki eselei i sı içeiside fklı şekillede düzelemesidi. Öek olk A, B, C gii üç kitp i ft kç fklı şekilde sılili? O A B C B C A C A B Olmk üzee ğç diygmı ile kolylıkl çözüleili.
TYT / MATEMATİK Deneme - 3
TYT / MTEMTİK Deneme -. (0,) 0 (0,) = 0 00 00 0 80 00 = = = bulunu. 00 00 00 6. 7! 8! = 7 6! 8! =! ( 8) = 0! = 0 0 = = b c budn b c = = 8 bulunu.. Syı = olsun = & = 8 & = 0 u syının ü ise 0 = bulunu. 7.
İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ
Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce
BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1
SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie
ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
V. Ulusl Üetim Aştımlı Sempozyumu, İstbul Ticet Üivesitesi, 25-27 Ksım 2005 ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Tme EREN Kııkkle Üivesitesi
Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul
Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)
tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.
. OLASILIK TEORİSİ İsttstsel ştımlı temel oulıd b souu öede es ol blmeye bzı şs bğlı olylı (deemele) olsı tüm mümü souçlıı hg sılıl oty çıtığıı belleyeblmet. Bu sou sttstte olsılı poblem ol dldıılı ve
ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK
ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..
TYT Temel Yeterlilik Testi
Otöğetim lnı MF - 01 TYT Temel Yetelilik Testi Geometi Des Föyü Geometik Kvml Doğud çıl Nokt: Klemin syfy bıktığı ize deni. Uygulylım 1. şğıdki boşluklı dolduunuz. ) Doğu...boyutludu. Noktsı noktsı oyutsuzdu.,,
TG 2 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hkkı sklıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı ve bi kısmıı İhtiç Yıcılık
5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mt MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 ulunu.. P ve pd eklenecek sı olsun. - + =- + + & - + =-- - & + = ^--h + & =- ulunu. + 3. Veilen
TG 1 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hı slıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı vey bi ısmıı İhtiyç Yyıcılı
a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade
ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..
2 Diğer sayfaya geçiniz
TYT / MTEMTİK Deneme - 5. + c m $ ^+ & & + & Cevp : 5. ^ ise 'dn son gelen tm ke oln syı ^ + di. Yni ^ + + + ulunu. Cevp : E 6. 5! + 6! + 7! 5! + 6$ 5! + 7$ 6$ 5! 8! 7! 8$ 7! 7!. ise ^ + ^ + > H ^ + +
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu
TÜMEVARIM DİZİ - SERİ
99 A = {, N } ve P() öemes vels. Eğe :. P() doğu,. A ç P() doğu e P(+) öemes de doğu se; P() öemes A ç doğudu. TOPLAM SEMBOLÜ R ve N olm üzee;... dı. c c. c c b b < m < ç m m p p p 0 F F F F F F F F A
ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM
YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir
LYS1 / 4.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
. İki bsmklı toplm sı vdı. ile lınd sl olmsı için ve e tm bölünmemeli e bölünen sıl 8 det e bölünen sıl det LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLİ 8. - ` j - 8 k - 8 8-8 8 nck ʼin ktı oln sıl ( tne) kee lındı. -
Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 20 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri
Öğenci Yeleştime Sınvı (Öys) Hzin 99 Mtemtik Soulı Ve Çözümlei. Rkmlı bibiinden fklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkileden hngisine klnsız bölünebili? A) B) C) 6 D) 8 E) 9 Çözüm Rkmlı bibiinden fklı
TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200
., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,
1. SAYI CİSİMLERİ SÜREKLİ KESRİN UYGULAMALARI ELİPTİK EĞRİLER...88
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK İSANS TEZİ CEBİRSE SAYIAR TEORİSİNDEN BAZI AGORİTMAAR Züleyh MUTU MATEMATİK ANABİİM DAI ANKARA 5 He hı slıdı İÇİNDEKİER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii
Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?
RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine
a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.
YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1
YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER
TOPLAM FARK FORMÜLLERİ İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER ANALİZ TESTLERİ
ÖÜ OP OÜİ inüs oplm - k omülü... osinüs oplm - k omülü...9 njnt ve otnjnt oplm - k omüllei... oplm - k omülleinin Geometik Şekillee ygulnmsı... G İ...9 ÖÜ İİ Ç OÜİ inüs İki t çı omülü... osinüs İki t çı
KAREKÖKLÜ SAYILAR TARAMA TESTİ-1
EÖLÜ SYIL TM TESTİ- 8..3.. -8..3.2.-T kre doğl syılr ve doğl syılrl rsıdki ilişki. 8..3.3. T kre oly syılrı krekök değerlerii hgi iki doğl syı rsıd olduğuu belirler. 8..3.4. Gerçek Syılr. ) şğıdkilerde
ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Üite 9: Koelasyo Öğ. Elemaı: D. Mustafa Cumhu AKBULUT 9.Üite Koelasyo 2 Üitede Ele Alıa Koula 9. Koelasyo 9.1. Değişkele Aasıdaki İlişkile 9.2. Koelasyo katsayısı 9.Üite Koelasyo 3 Koelasyo Buda öceki
TG 10 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hkkı sklıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı vey i kısmıı İhtiyç
Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,
www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr
İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK
Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa
MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:
Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrı toplmı: 1 + + 3 +...+ =.(+1) Ardışık çift syılrı toplmı : + 4 + 6 +... + =.(+1) Ardışık tek syılrı toplmı: 1 + 3 + 5 +... + ( 1) =.= Ardışık tm kre syılrı
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersi Adı SINIFI: KONU: Diziler Dersi Kousu. Aşğıdkilerde kç tesi bir dizii geel terimi olbilir? I. II. log III. IV. V. 7 7 9 9 t 4 4 E). Aşğıdkilerde hgisi bir dizii geel
SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER
ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı
RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ:
OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: TOPLAMA YÖNTEMİ: Bi E olayı E veya E olaylaıda biii geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi +m seçeek vadı. E=E E ve E E =Ø içi:
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.
MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)
Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi. KOORDİNAT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER
KOORDİNT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER i önceki bölümde Kteen koodint sisteminde işlemleimii ptık. Kteen koodint sisteminden bşk biçok koodint sistemlei vdı. u bölümde kteen koodint sistemine ek olk silindiik
MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
TG 5 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 5 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hı slıdı. Hgi mçl olus olsu testlei tmmıı vey i ısmıı İhtiyç Yyıcılı
REEL ANALĐZ UYGULAMALARI
www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (
1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÖYS. Bir top kumşı öce i, sor d klı ü stılıyor. Geriye 6 m kumş kldığı- göre, kumşı tümü kç metredir? 70 6 60 0., y pozitif iki tmsyı olmk üzere, (+y)(-y)=88 dir. Bu eşitliği soludki çrplrd üyüğü, küçüğüü
TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERONEL EÇME INAVI ÖĞREMENLİK ALAN BİLGİİ Eİ ORAÖĞREİM MAEMAİK ÖĞREMENLİĞİ G ÖAB ORAÖĞREİM MAEMAİK Bu testlei he hkkı sklıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı ve bi kısmıı İhtiç Yıcılık ı zılı izi
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR
1) 2, 8, 26, 80... şeklideki ir syı örütüsüde 30. teri kçtır? A) 3 30 + 1 B) 3 30 1 C) 2 30 1 D) 2 30 + 1 5) Adylrı oy kulldığı ir seçide 889 öğrei oy kullktır. Seçie ktıl 8 dyd irii kzilesi içi e z kç
Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki
8.sınıf matematik üslü sayılar
.sııf tetik üslü syılr bir tsyı, sy syısı olk üere te ı ÖĞETEN MİNİ ETİNLİ- çrpıı şeklide gösterilir ve ı. kuvveti y d üssü olrk okuur. Üs (kuvvet)....= Tb 0 0 0 0 00 0 0 ) Her syıı. kuvveti kedisie eşittir.
GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1
IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
Başlangıç değerleri. olduğundan iterasyona devam!
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİESİ Mühedl Mmlı Fülte İşt Mühedlğ Bölümü E-Pot: ogu.hmet.topcu@gml.com Web: http://mmf.ogu.edu.t/topcu Blgy Detel Nüme Alz De otlı Ahmet OPÇU m X X X.5.5.5.5.75 -.5.5.875.75
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF.
SINIF ÜSLÜ SAYILAR www.tyfuolcu.co Üslü Syı : ifdesi ı te çrpıı lı gelektedir. =.... te =.. = 8 =. = 4 =. = 9 4 =... = 81 10 6 = 10.10.10.10.10.10 Teel Kvrlr ile. ifdeleri çok sık krıştırıl ifdelerdeir.
5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos
b göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
MERAKLISINA MATEMATİK
TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz
Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2
eeme - / YT / MT MTEMTİK ENEMESİ Çözümle. - a a + a - a+ a - - ^- ah. ^+ ah ^a- h. ^a+ h =. ^a-h. ^a-h a + =- ^a+ h =-a-. (! ) (! ) =. (!! ). (! +! ) =.!..!. =. tae tae tae = + + = 0 buluu.. =.. alıısa
LYS1 / 3.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
. `n 5j- `n- j - n - n vey n- n n 8. 8 8 LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp: evp:. - f p$ f - p f p 9 - - 5! 5 -! 5 5 5. 8... 5 5. 5.. y 8 8 5 5... z < y < z _. ` j. $ ` j ` ise y. ` j y $ ` j ` j yk. `
DRC sayısının kendisi hariç en büyük üç farklı pozitif tam. Deneme - 3 / Mat. Cevap B. 2 ve 5 numaralı kutular açık olur. Cevap E.
nm - / Mt MTMTİK NMSİ Çözüml. + + -. + + + + + 8 + 8 bulunu. 8 y - 0, y 90 & 0, y y - y 90 y - 0+ y- & y - y 0y+ -y 9+ y 9y+ 7 + y 8y + 5 5y 5 y 5 5 +. + - ^ h - - 9-0 -9 bulunu. - - k. R vp. 5 6 çık çık
ÇARPANLAR VE KATLAR GENEL TEKRAR TESTİ
ÇPNL VE TL GENEL TE TESTİ 1) 3 syısıı doğl syı çrplrıı tı şğıdkilerde hgisidir? ) 1,,4,16 B) 1,,4,6,8,16,3 C),4,6,8,16 D) 1,,4,8,16,3 5) 54 syısıı kç frklı sl çrpı vrdır? ) 1 B) C) 3 D) 4 ) 10 syısıı çrplrıı
Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır.
RİJİT (KTI) CİSMİN KİNEMTİĞİ Ktı cisimlein heketleinin tnımlnmsı e nlizi iki yönden önem tşı. iincisi sıkç kşılşıln bi duum olup mç, değişik tipte km, dişli, çubuk e bu gibi mkin elemnlını kullnk belili
Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3
.Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)
Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?
![Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?](/thumbs/86/94489430.jpg "Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?")
1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm
Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.
Ösöz Değerli Öğreciler, Bu fsiül ortöğretimde bşrıızı yüseltmeye, üiversite giriş sıvlrıd yüse pu lmız yrdımcı olm içi özele hzırlmıştır. Koulr lmlı bir bütü oluşturc şeilde hücrelere yrılr işlemiştir.
DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.
DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli
1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.
GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde
YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
r r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
a 2 =h 2 +r 2 DERS: MATEMATĐK 8 KONU:KONĐ FORMÜLLERĐ ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN ADI: SOYADI:
1) KONĐ: Bi çembein bütün noktlının çembein dışındki bi nokt ile bileştiilmesinden elde edilen cisme koni deni. Kısc Koni, tbnı die oln pimitti. DĐK KONĐ PĐRAMĐT 1-A)DĐK KONĐ: Bi dik üçgenin, dik kenlındn
KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI
KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI SEVGİ İŞLER EYLÜL 5 ÖZET KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE
DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi
DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ
C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.
Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti
5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =
MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)
MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity
1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere
SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ
LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
.. (,! Z ) min için! `, j LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp:. {,,,,,, 7,, 9} Z/'te $ 7,,. $,,. $ 9,,. k ve k ve k ve k f p f p f p f pf pf p evp:. ` j! k 7 ` j! ` j` j 7 ` j!! `-j! `- j!!!.. b. c b c b
KATILARDA DAYANIKLILIK
BÖÜM 3 ATIARDA DAANIII MODE SORU - DEİ SORUARIN ÇÖZÜMERİ 4.. Cnlılın dynıklılığı, biim ğılığ düşen kesitlnı olk ifde edili., kkteistik uzunlukolmk üzee, kesitlnı kesitlnı Dynıklılık ğılık cim 3 di. Bu
8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin
. MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +
1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?
ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi
DERS 12. Belirli İntegral
DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
c
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:
Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrın toplmı: 1 + 2 + 3 +...+ n =.(+) Ardışık çift syılrın toplmı : 2 + 4 + 6 +... + 2n = n.(n+1) Ardışık tek syılrın toplmı: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n.n=n 2
BASİT MAKİNELER BÖLÜM 4
BASİ AİNEER BÖÜ 4 ODE SORU DE SORUARIN ÇÖZÜER fi ip fiekil-i fi fiekil-i ip N fiekil-ii fiekil-ii Çuuklın he iinin ğılığın diyelim Şekil-I de: Desteğe göe moment lısk, Şekil-I de: Şekil-II de: 4 ESEN AINARI