Cebir Notları. Geometrik Dizi ( ) ( ) Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 006 Cebi Notlı Mustf YAĞCI, Geometik Dizi Aitmetik diziyi bi htılylım bklım. Tüm dışık teimlei sıdki fkl sbitti. Yi stgele bi ilk teim vdı, o ilk teime bi d eel syısı ekleiyo ve ikici teim buluuyodu, dh so ikici teime yı d syısı ekleeek üçücü teim buluuyodu ve bu böyle devm ediyodu. Yi itmetik dizide he teim bi öceki teimi d fzlsıydı. Geometik dizide de he teim bi öceki teimi d ktıdı. Am biz itmetik diziyle kışmsı diye geometik dizide bu sbit syıyı yle gösteeceğiz. Kıscsı, geometik dizilede ikici teimi elde etmek içi biici teim kçl çpılmışs, üçücü teimi bulmk içi de ikici teimi o syıyl çpmmız geeki ve bu böyle devm edesek dizii tüm teimleii bulbiliiz. Alşıl o ki, itmetik dizide dışık teimlei fklı eşit m geometik dizide dışık teimlei olı eşitti. Hehgi bi teimi, kedide bi öce gele teime böleek bulduğumuz bu o d, yi bi teimi bulmk içi bi öceki teimi çptığımız değeie de bu geometik dizii otk çpı dei. Şimdi söyledikleimize uyck şekilde bi geometik dizi iş etmeye klklım. İlk teim cımız e istese o olsu. Öeği olsu. Şimdi de bi eel syısı uydulım. Bu d öeği olsu. O hlde ikici teim ilk teimi ktı olmlı diye ikici teim 6 dı. Üçücü teim de ikici teimi ktı olmlıdı, o hlde üçücü teim di. Dödücü teim de üçücü teimi ktı, o hlde dödücü teim. Bu oyuu böyle devm ettieek oluştuduğuuz dizii he teimii bulbilisiiz. İşte bu yzıd geometik dizilei teimlei sıd bi tkım ilişkile bulk, hiç dki teimlei hesplmy geek klmd öeği yüzücü teimi hemececik bulbileceğiz. Dhsı ilk 00 teimi toplmıı d hemececik bulbileceğiz. Sbedi hepsi z so. Öce şu yptığımız geometik diziyi bi kşımız llım. Htılsız =, = 6, =, = diye bulmuştuk. 5 = ve 6 = 6 olduğuu bulmk d pek zo olms geek. O hlde dizimiz =, 6,,,, 6,... ( ) ( ) şeklidedi. Güzel güzel m bi bkışt dizimizi 00 ücü teimii söylemek o kd d koly göümüyo. Keşke bi fomülümüz ols ve yeie 00 yzsk, bize 00 ücü teimi vese değil mi? Olck, sbedi. Htt o fomüle de dizii geel teimi diyeceğiz. Amy bşlylım o zm. = = = =... diye devm ediyo. He teimi diye bi çpıı olduğuu ldık. Bi de he teimde bi mikt çpı v. Kç te diye bktığımızd kçıcı teimse, od eksik syıd çpı olduğuu göüyouz. O hlde dizii ici teimi yi = olmlıdı. Aye itmetik dizide olduğu gibi dizii ici teimi geel teimdi. Şimdi bşk geometik dizile ştılım ve bu dizilei geometik olup olmdıklı k veelim. Sou. ( ) = (,,,, 6,,, ) dizisi bi geometik dizi midi? Öyleyse ede, değilse ede olduğuu belitiiz. Çözüm: İlk bikç dışık teimi olı bkmk bizi yıltbili. ( + ) ci teimi ici teime böleek bulduğumuz syı eğe sbit bi eel syıys, dizi geometikti yoks değildi diyece- = olduğud + = ve = ğiz.( ) ( ) + olu. = = R olduğud ( ) bi geometik dizidi. Otk çpı d di.

2 Mustf YAĞCI Geometik Dizi Sou. (,,,,, ) bi geometik dizi midi? Öyleyse otk çpı Çözüm: Tbii ki geometik dizidi. Buu bi öceki soudki gibi + + = = eşitliğide lıyouz. Aslıd bu oktd bi geelleme ypıp, = şeklideki he dizii geometik dizi ( ) ( ) olduğuu söyleyebiliiz. Otk çpı d olu. Sou. c,, p ve k bie eel syı ve 0 olmk = c p+ k geometik dizisii otk üzee ( ) ( ) çpı p+ p+ k p+ k p + c c Çözüm: = = = p+ k p+ k c c Sou. (,,,,, ) bi geometik dizi midi? Öyleyse otk çpı Çözüm: He teim kedide bi öce gele teimi ktı olduğud tbii ki geometik dizidi. Bi öceki soud bulduğumuz kuld c =, p = 0 ve k = 0 olduğuu d düşüebilisiiz. Sou 5. ( ) = ( ) bi geometik dizi midi? + ( + ) + + Çözüm: = = = + + olduğu bksk, dışık iki teimi oıı sbit bi eel syı olmdığıı, devmlı değiştiğii lız, bu d bu dizii geometik olmdığı kıttı. İsteye ye,, değeleii veeek de otk bi çpı bulumdığıı lybilidi. Sou 6. Aşğıd geel teimlei veile dizilei hgisi vey hgilei geometik dizidile? ) ( ) = ( ) b) ( ) = ( ) c) d) ( ) = ( ) = ( ) ( ) e) ( ) (( ) = ) f) ( ) (( ) = ) g) ( ) = (( + )! ) Çözüm: Sdece b ve d seçeekleideki dizile geometikti. Diğe seçeekledeki dizilede sbit bi i bulumdığıı lmk oldukç kolydı. p Sou 7. ( ) = geometik dizisii otk çpı Çözüm: ( ),,, =,... = olduğud otk çp / tü. Sou. ( ) = geometik dizisii 5 ici teimi Çözüm: 5 ici teim 5 demek diye 5 = ti. 5 Geometik dizii teimlei sıdki ilişki. He teimi kedide bi öce gele teimi ktı olduğuu htılyk teimlei yzlım: =... = = = = Yukd d kolyc göüleceği üzee iki teimi oı, teimlei idislei fkı kd i çpımıdı. 7 6 Yi =, =, = gibi Sou. İlk teimi, otk çpı ol bi geometik dizii 0 ucu teimi Çözüm: 0 = = = = olu. Sou 0. Bi geometik dizide biici teim ve otk çp ise bu dizii ucu teimi 7 Çözüm: = = = = olu. Sou. Bi geometik dizide =, 5 = 6 ise bu dizii otk çpı Çözüm: = olduğud 6= olu ki 5 = olduğud = olk buluu.

3 Mustf YAĞCI Geometik Dizi Sou. Üstteki dizii ücü teimi Çözüm: ( ) 5 = = = =. Sou. ( ) geometik diziside = ve 5 = ise bu dizii geel teimii buluuz. Çözüm: Geel teimi, ici teim olduğuu tık dımız gibi biliyouz. Buu bulmk içi yi bilmeye ihtiyç v. O hlde = eşitliğide dehl yi bullım. = 5 diye = 5 olu. = = 5 = Sou. ile syılı sı, bu syıll bilikte geometik dizi oluştuck şekilde 7 teim dh yeleştiilise, bu dizii 6 cı teimi kç olu? Çözüm: Elimizde hli hzıd teim vdı zte, y 7 teim dh geldi, teimimiz oldu. Bu duumd = ve = oldu. = olduğud = olu ki bud = buluu = = = =. Sou 5. Adışık iki teimi ve ol geometik dizii otk çpı ile te so gele teimii çpımı Çözüm: Otk çpı olduğu sııtıyo. te so gele teim de bu yüzde di. O hlde istee değelei çpımı olu. Geometik dizi Geometik ot ilişkisi. Aitmetik diziyle itmetik ot sıd sıl bi ilişki vs, geometik dizide de yı ilişki vdı. Aitmetik dizide hehgi bi teim kedie eşit uzklıkt bulu teimlei itmetik otsı oluyodu y, geometik dizide de hehgi bi teim kedie eşit uzklıkt bulu teimlei geometik otsıdı. Buu d kıtlmk çok kolydı. Öeği, ici teimi ele llım. Komşul d ( p) ici ve ( + p) ici teimle olsu. Biliyouz ki, = + p p Eşitliği he iki yıı p ile çplım: p p ( ) = = = p + p p p p Göüldüğü üzee + p p = olduğud kıt tmmlmıştı. Soulı çözeke idislee bu yüzde dikkt etmekte fyd vdı. Rstgele mi veilmişle yoks iki tesi, bi tesie eşit uzklıktl mı? Buu gömek çözümlede oldukç hız kzdıı bize. Sou 6. Adışık üç teimi x, x +, 5x + 6 ol pozitif teimli bi geometik dizii otk çpı Çözüm: Mdem bu üç teim dışık, demek ki otdki teim komşulıı geometik otsıdı. (x+ ) = x (5x+ 6) 0 x + x+ = x + x x = olduğud x = vey x = di. Fkt dizi pozitif teimli dediğide sdece x = olbili. Bu duumd dışık teimle,, 6 olcğıd otk çp / = 6/ = olu. Sou 7., +, + bi geometik dizii dışık üç teimiyse Çözüm: Yukdkiyle yı duum v, o hlde çözümü de yı olck. Bud dizi pozitif teimli fil demediğie göe tek bi değei çıkcktı. ( + ) = (+ ) = ( + ) + 6+ = + = olduğud = / olk buluu. Sou. Bi geometik dizide 5 = ve = ise Çözüm: Dikkt edeseiz ü 5 ve e ol uzklıklı eşit. O hlde ücü teim, 5 ici ve ici teimi geometik otsı olmlıdı. = 5 = olduğud = 6 dı. Bud ede = 6 oldu d = 6 olmdı diye bi sou klıız gelebili. Geometik otı, he zm otsı lı syılı e küçüğüde büyük, e büyüğüde küçük olmsı geektiğii htılsız, o souy

4 Mustf YAĞCI Geometik Dizi cevp vemiş olusuuz. Zte geometik ot bu yüzde egtif syıld tımlmmıştı bile. Sou. 6 cı teimi, ücü teimi ol bi geometik dizii 0 ucu teimi Çözüm: Yie soul değei veile değelei tm otsıd buluduğuu fk ediyouz. Bu yüzde 0, 6 ile ü geometik otsı olmlı. 0 = 6 = = 6 olduğud 0 = di. Sou 0. ( ) = (, x, y, z, ) pozitif teimli geometik diziside x y z çpımı 7 Çözüm: y değei hem x ile z i hem de le /7 syısıı geometik otsıdı. Yi y = x z olduğud x y z çpımı y e eşitti. y yi bulduk mu sou çözülmüş olck lycğıız. y = = olduğud y = 7 ve y =. 7 Sou. ( ) bi geometik dizi ve 0 = ise Çözüm:, hem ile ü hem de 0 l ü geometik otsı olduğud veile eşitliği 5 = diye göeceğiz. Bud = buluu. Sou. teimli bi geometik dizide = 6 ve = ise tüm teimlei çpımı 6 Çözüm: = olduğud veile değelei 6 yeleie yzsk = 6 yi = buluuz. O hlde = ve = / di. Şimdi bu teimi 5 0 çpcğız: =. Sou. Mooto t bi geometik dizide = 7 ve bu üç teimi itmetik otlmsı ise bu dizii geel teimii buluuz. Çözüm: Dizi geometik olduğud, ile değeleii geometik otsıdı. = 7= olduğud = di. Diğe yd bu üç teimi itmetik otsı ise toplmlı 6 tü, bud + = 5 olu. = = olduğud = ve = çık. Tm tesi lmzdık çükü dizi mooto tmış. Bu duumd dizii ilk üç teimi (,, ) olk buluduğud = olu. Dizii geel teimi, ici teim diye = = olk buluu. Geometik dizilede ilk teimi toplmı. Aitmetik dizilede ilk teimi toplmıı sıl bulduysk, bud d yı işlemi teklycğız. Tüm teimlei lt lt yzıp, toplycğız. =... = = = = = toplmıı yie S ile gösteelim. S = ( ) = olk buluu. Demek ki ilk teim toplmıı bulmk içi ilk teim ve otk çpı bilmek lzım. Bilmiyosk d diğe veilede bulmk lzım. Sou. İlk teimi, otk çpı ol bi geometik dizii ilk 0 teimii toplmı Çözüm: S = olduğud, 0 0 S0 = = = ( ) = 0 Sou 5. Bi geometik dizii ilk teimi ve otk çpı ise bu dizii ilk teimii top- lmı Çözüm: S = olduğud,

5 Mustf YAĞCI Geometik Dizi S 0 = = ( ) = buluu. Sou 6. ( ) = + geometik dizisii ilk teimii toplmı edi? Çözüm: Bize ilk teimle, otk fk lzım. İkisii de bulmyı öğemiştik. = ve = di. S = = = buluu. Sou 0. de e kd umldıılmış kutuu biiciside ceviz vdı. Bud soki kutuld ise bi öceki kutudki ceviz syısıı ktı kd ceviz vdı. Bu göe tüm kutuldki toplm ceviz syısı Çözüm: Kutuldki ceviz syısı devmlı bi öceki kutudki ceviz syısıı ktı kd olduğud kutuldki ceviz syılı bi geometik dizi oluştuul. İlk teimi olup, otk çpı olduğud bu dizii geel teimi di. O hlde kutudki toplm ceviz syısı demek S demek olu. S = = Sou 7. Bi geometik dizide S = ise bu dizii 0 ucu teimi Çözüm: Bu sou tipii itmetik dizilede htılsıız. İlk 0 teim toplmıd ilk teim toplmıı çıktısk, 0 ucu teimi buluuz. 0 0 S0 S = ( ) = = ( ) = Sou. İlk teimii toplmı S = ol geometik dizii 6 cı teimi Çözüm: 6 cı teimi bulmk içi ilk 6 teim toplmıd ilk 5 teim toplmıı çıktmmız geeki = S6 S5 = 6 5 = Sou. İlk teimi, otk çpı ve ici teimi b ol bi geometik dizii ilk teimii toplmı ve b ciside sıl yzılı? Çözüm: = olduğud b= yi b= b olu. Bud d = çık. b S = = = ( ) = b Alıştıml. Geometik dizii ve otk çpı tımı ypıız.. (,,, 7,, ) bi geometik dizi midi? Değilse ede değildi?. Aşğıd geel teimlei veile dizilei hgisi vey hgilei geometik dizidile? ) ( ) = ( ) b) ( ) = ( ) c) d) ( ) = ( + ) ( ) = ( + ) e) ( ) =! f) ( ) = (( ) ). (,,,,,,, ) bi geometik dizi midi? Öyleyse otk çpı 5. (0, 0, 0,, 0, ) bi geometik dizi midi? Öyleyse otk çpı 5

6 Mustf YAĞCI Geometik Dizi 6. ( ) = π 7. ( ) = geometik dizisii otk çpı geometik dizisii 5 ici teimi 5. Adışık iki teimi ve ol geometik dizii otk çpı ile de so gele teimii çpımı 6. Adışık üç teimi x, x +, 5x + 6 ol pozitif teimli bi geometik dizii beşici teimi. ( ) ( ) = ede bi geometik dizi değildi?. İlk teimi, otk çpı ol bi geometik dizii 0 ucu teimi 0. Bi geometik dizide biici teim ve otk çp ise bu dizii ucu teimi 7., +, + bi geometik dizii dışık üç teimiyse bu dizii otk çpı. Bi geometik dizide 5 = ve = ise. 6 cı teimi, ücü teimi ol bi geometik dizii 0 ucu teimiyle ici teimii toplmı. Bi geometik dizide =, 5 = 6 ise bu dizii otk çpı 0. Bi geometik dizide ici teim ve otk çp ise 5 ici teim. Üstteki dizii ücü teimi. ( ) geometik diziside = 0 ve = 0 ise bu dizii geel teimii buluuz.. ile syılı sı, bu syıll bilikte geometik dizi oluştuck şekilde 7 teim dh ye- leştiilise, bu dizii 6 cı teimi kç olu?. Bi geometik dizide = 6 ve 7 = ise 0. ( ) = (, x, y, z, ) pozitif teimli geometik diziside x y z çpımı. Bi geometik dizii dışık beş teimi,, b, c, ise b c b fkı 6

7 Mustf YAĞCI Geometik Dizi. ( ) bi geometik dizi ve = ise 5. 0 teimli bi geometik dizide = 6 ve = ise ilk 5 teimi çpımı. ( ) = + geometik dizisii ilk teimii toplmı edi?. ( ) bi geometik dizidi. = ve = ise... çpımı 6. Mooto t bi geometik dizide = 000 ve bu üç teimi itmetik otlmsı ise bu dizii geel teimii buluuz. 7. Bi geometik dizii sekizici teimi ve otk çpı ise bu dizii ici teimi. İlk teimii toplmı S = ol geometik dizii 6 cı teimi 5. İlk teimi, otk çpı ve ici teimi b ol bi geometik dizii ilk teimii toplmı ve b ciside sıl yzılı?. Bi geometik dizide = ve 0 = 6 ise 0. İlk teimi, otk çpı ol bi geometik 6. de e kd umldıılmış kutuu biiciside ceviz vdı. Bud soki kutuld ise bi öceki kutudki ceviz syısıı ktı kd ceviz vdı. Bu göe tüm kutuldki toplm ceviz syısı dizii ilk teimii toplmı 0. Bi geometik dizii ilk teimi ve otk çpı ise bu dizii ilk 0 teimii toplmı. Bi geometik dizide S = 5 ise bu dizii ucu teimi CEVAP ANAHTARI