1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

Transkript

1 . ÜNİTE: MANTIK

2 . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir. (Yanlış) Bir gerçek sayının karesi negatif olamaz. (Doğru) ifadeleri birer önermedir. Ancak; Yaşın kaç? Çok sıkıldım. Akıllı birine benziyorsun. ifadeleri önerme değildir. Çünkü bu ifadelerle ilgili kesin olarak doğru ya da yanlış şeklinde bir yorum yapılamaz. Bir önerme soru cümlesi, yorum cümlesi ya da uyarı cümlesi olamaz! Önermeler p, q, r, s, t,... gibi küçük harflerle ifade edilirler. Bir önerme doğru ise, yanlış ise 0 sembolüyle gösterilir. Bu sembollere önermenin doğruluk değeri denir. n farklı önerme için 2 n farklı durum vardır. Tanım (Denk Önermeler) Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir ve / sembolü ile gösterilir. p / q (p ile q denk önermeler) p _ q (p ile q denk olmayan önermeler) Tanım (Önermenin Değili) Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen yeni önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir ve bir p önermesinin değili p9 veya p sembollerinden biri ile ifade edilir. p / p9 / 0 veya q / 0 q9 / dir...2. Bileşik Önerme Birden çok önermenin veya, ve, ya da, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önerme, bileşik önermeyi oluşturan önermelere de bileşik önermenin bileşenleri adı verilir. Önermeler ve Vektörler Bileşik Önermeler NİTELİK Yayıncılık Tanım (VEYA Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan en az biri doğru iken doğru (), her ikisi de yanlış iken yanlış (0) olan önermeye p veya q bileşik önermesi denir ve p 0 q sembolüyle ifade edilir. p 0 q / 0 iken p / q / 0 dır. p 0 0 q 0 0 p 0 q 0 p 0 q / iken p ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yapılamaz. Tanım (VE Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan en az biri yanlış iken yanlış (0), her ikisi de doğru iken doğru () olan önermeye p ve q bileşik önermesi denir ve p / q sembolüyle ifade edilir. p / q / iken p / q / dir. p 0 0 q 0 0 p / q p / q / 0 iken p ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yapılamaz. Tanım (YA DA Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan yalnız biri doğru iken doğru (), diğer durumlarda yanlış (0) olan önermeye p ya da q bileşik önermesi denir ve p Q q sembolüyle ifade edilir. p q p Q q p Q q / iken p ile q farklı doğruluk değerine sahiptir. p Q q / 0 iken p ve q aynı doğruluk değerine sahiptir. Bileşik Önermelerin Özellikleri VEYA Bağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p 0 p / p (Tek kuvvet özelliği) p 0 q / q 0 p (Değişme özelliği) (p 0 q) 0 r / p 0 (q 0 r) (Birleşme özelliği) p 0 /, p 0 0 / p, p 0 p9 / 2 2

3 VE Bağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p / p / p p / q / q / p (Tek kuvvet özelliği) (p / q) / r / p / (q / r) (Değişme özelliği) (Birleşme özelliği) p / / p, p / 0 / 0, p / p9 / 0 YA DA Bağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p Q p / 0 p Q q / q Q p (p Q q) Q r / p Q (q Q r) (Değişme özelliği) (Birleşme özelliği) p Q / p9, p Q 0 / p, p Q p9 / VE ile VEYA İşlemlerinin Birbiri Üzerine Dağılma Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) (/ nin 0 üzerine dağılma özelliği) (p 0 q) / r / (p / r) 0 (q / r) p 0 (q / r) = (p 0 q) / (p 0 r) (0 nın / üzerine dağılma özelliği) (p / q) 0 r = (p 0 r) / (q 0 r) De Morgan Kuralları p ve q iki önerme olsun. Bu durumda (p 0 q)9 / p9 / q9 ve (p / q)9 / p9 0 q9 denlikleri sağlanır. Bu denkliklere De Morgan Kuralı denir. p ve q önermeleri için (p Q q)9 / p9 Q q / p Q q9 olur. VE / VEYA Bağlaçlarının Elektrik Devrelerinde Gösterimi Elektrik devrelerinde iki tür bağlanma vardır. Bunlar; I. Paralel Bağlama p q Akım yönü Akımın yolu üzerindeki paralel bağlı olan p ile q anahtarlarından en az biri kapalı iken devreden akım geçer ve lamba yanar. Bu durum p 0 q önermesi ile ifade edilir. NİTELİK Yayıncılık II. Seri Bağlama p q Akım yönü Akımın yolu üzerindeki seri bağlı olan p ile q anahtarlarından her ikisi de kapalı iken devreden akım geçer ve lamba yanar. Bu durum p / q önermesi ile ifade edilir...3. Küme İşlemleri İle Sembolik Mantık Arasındaki İlişki Hatırlatma A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesi ve A9 de A nın tümleyen kümesi olsun. Bu durumda (i) A A9 = E (ii) A A9 = (iii) A (B C) = (A B) C (Birleşme öz.) (iv) A (B C) = (A B) C (Birleşme öz.) (v) A (B C) = (A U B) (A C) (Dağılma öz.) (vi) A (B C) = (A B) (A C) (Dağılma öz.) (vii) (A9)9 = A (Tümleyenin tümleyeni kendisidir.) (viii) (A B)9 = A9 B9 (ix) (A B)9 = A9 B9 eşitlikleri mevcut idi. (De Morgan Kuralı) Mantıkta kullanılan Sembolik sembollerle kümelerde kullanılan sembol- 0 0 / / mantık Kümeler E = ler arasında yandaki tabloda verildiği gibi doğrudan bir ilişki söz Boş küme Evrensel küme konusudur. Bu sembol benzerliği ile yukarıdaki Hatırlatma kutusununda verilen eşitliklerin benzerleri sembolik mantıkta da sırasıyla aşağıdaki denklikler olur. p, q ve r önermeleri için, (i) p 0 p9 / (ii) p / p9 / 0 (iii) p 0 (q 0 r) / (p 0 q) 0 r (Birleşme öz.) (iv) p / (q / r) / (p / q) / r (Birleşme öz.) (v) p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r) (Dağılma öz.) (vi) p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) (Dağılma öz.) (vii) (p9)9 / p (Değilinin değili kendisidir.) (viii) (p 0 q)9 / p9 / q9 (ix) (p / q)9 / p9 0 q9 (De Morgan Kuralı). ÜNİTE: MANTIK 3

4 . ÜNİTE: MANTIK..4. Koşullu Önerme Tanım (İSE Bağlacı) p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru, q yanlış iken yanlış (0), diğer durumlarda doğru () olan önermeye p ise q önermesi veya koşullu önerme adı verilir ve p q sembolüyle gösterilir. p q / 0 iken p / ve q / 0 olmalıdır. p q p q p q / iken p ve q nun doğruluk değerleriyle ilgili kesin bir yorum yapılamaz. p ve q önermeleri için p q / p9 0 q denkliği daima sağlanır. Tanım p q bileşik önermesi doğru iken p önermesine q için yeter şart, q önermesine ise p için gerek şart denir. ANCAK VEYA ANCAK Bağlacının Özellikleri p ve q birer önerme olsun. Bu durumda p q / q p (Değişme öz.) p p / p p9 / p9 p / 0 p / p / p p 0 / 0 p / p9 (p q)9 / p9 q / p q9 (Ancak ve Ancak'ın Değili) (p q)9 / p Q q Dolayısıyla p q (İSE) şekliyle verilen bir bileşik önerme, dengi olan p9 0 q bileşik önermesine çevrilerek işlem yapılabilir. İSE Bağlacının özellikleri p, q ve r birer önerme iken aşağıda verilen özellikler sağlanır. p p / 0 p / p 0 / p9 p / p p / p p9 / p9 p9 p / p Ayrıca nin 0 ve / üzerine dağılma özellikleri vardır. p (q 0 r) / (p q) 0 (p r) p (q / r) / (p q) / (p r) Tanım (Koşullu Önermenin KARŞITI, TERSİ ve KARŞIT TERSİ) p ve q birer önerme olmak üzere p q önermesinin NİTELİK Yayıncılık..6. Sözel Olarak veya Sembolik Mantıkta Verilen Bileşik Önermeleri Birbirine Çevirme Hatırlatma Sembolik mantıkta verilen sembollerin sözel ifadeleri aşağıdaki gibiydi. 0 (VEYA) / (VE) Q (YA DA) (İSE) (ANCAK VE ANCAK) Matematikte verilen bileşik önerme, bileşenlerinin sembolik mantıkta kullanılan bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilir. p 0 q... p veya q p / q... p ve q p Q q... p ya da q p q... p ise q p q... p ancak ve ancak q karşıtı q p önermesi, tersi p9 q9 önermesi ve karşıt tersi q9 p9 önermesidir...7. Totoloji ve Çelişki Tanım p ve q önermeleri için p q ile q9 p9 bileşik önermeleri birbirine denktir. Tanım (ANCAK VE ANCAK Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru (), farklı değerleri aldığında yanlış (0) olan önermeye iki yönlü koşullu önerme denir, p q biçiminde gösterilir ve p ancak ve ancak q biçiminde okunur. p q / ise p ile q aynı değerlidir. p q / 0 ise p ile q farklı değerlidir. p q p q p ve q için p q / (p q) / (q p) denkliği sağlanır. Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm durumları için daima doğru () oluyorsa bileşik önermeye totoloji, daima yanlış (0) oluyorsa çelişki adı verilir. Örneğin bir tiyatro oyunu için, "Yerli veya yabancıdır." yorumu kesinlikle doğrudur ve totolojidir. "Yerli ve yabancıdır." yorumu ise kesinlikle yanlıştır ve çelişkidir. Bir p önermesi için elde edilebilecek totoloji ve çelişkilerin birkaçı aşağıdaki gibi verilebilir. p 0 / (Totoloji) p Q p9 / (Totoloji) p p / (Totoloji) p p / (Totoloji) p / p9 / 0 (Çelişki) p / 0 / 0 (Çelişki) p Q p / 0 (Çelişki) p p9 / 0 (Çelişki) 4

5 . Aşağıda verilen ifadelerin hangisi ya da hangileri bir önerme belirtir? I. "Elif zeki bir öğrencidir." II. "Buğra Türk vatandaşıdır." III. "2 tek sayıdır." IV. "Sınavın nasıl geçti?" V. "Türkiye Avrupa Birliği'ne üye değildir." Uygulama Soruları 4. p, q ve r önermeleri için p / q / ve p9 0 r / olduğu biliniyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. p / r /... b. q9 Q r /... c. q9 0 r9 / p : Nilay üniversite mezunudur. q : Nilay iş bulmuştur. r : Nilay ın arabası vardır. önermeleri için aşağıda verilen ifadeleri koşullu önerme şeklinde yazınız. a. "Nilay üniversite mezunuysa iş bulur." b. "Nilay ın arabası varsa iş bulur." c. "Nilay iş bulamazsa üniversiteyi bitirir.". ÜNİTE: MANTIK 2. p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 0, 0 ve dir. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. 5. p ve q önermeleri için p / ( 0 q) / 0 ve p9 Q q / 0 olduğuna göre p 0 q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 8. p, q ve r önermeleri için (p9 0 q) 0 r / 0 olduğuna göre (p Q q9) 0 r9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. a. p 0 q /... b. p Q r /... c. q9 / r /... d. r9 0 p /... e. p9 / r9 / p : 2, 2 den küçük değildir. q : Siyah, beyazdan koyu bir renktir. r : En küçük rakam dir. önermeleri için (p9 0 r) Q q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 6. p ve q önermeleri için aşağıda verilen bileşik önermelerin en sade şekillerini bulunuz. a. p 0 (p9 / q) b. p Q (p9 Q 0)9 c. (p9 Q q) Q p 9. [(p Q q) q] / 0 olduğuna göre p önermesinin doğruluk değeri nedir? 5

6 . ÜNİTE: MANTIK 0. Aşağıda verilen elektrik devrelerinin ifade ettiği bileşik önermeleri yazınız. a. p q 3. p : Telefonumun şarjı bitti. q : Tabletimin şarjı bitti. r : İnternete girebilirim. önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri mantık sembolleri ile ifade ediniz. 6. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 / q) p 0 q koşullu önermesinin karşıt tersinin en sade şeklini bulunuz. b. p q r a) Telefonumun şarjı bitmedi ve internete girebiliyorum. b) Telefonumun ve talbetimin şarjı biterse internete giremem. c. r q s p. Aşağıda istenen durumları ifade ediniz. 4. Aşağıda verilen denkliği doğruluk tablosu yardımıyla gösteriniz. 7. Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. 2 asal sayı ise 2 tam sayı de- p9 q / p Q q a. (p9 r) (r9 p) ğildir. önermesinin tersi b. p : Papağanımın kanadı kırık. b. (p q) / (p Q q) q : Papağan uçamaz. önermeleri için p q nun karşıt tersi 2. Aşağıda verilen önermelerinin olumsuzlarını (değillerini) bulunuz. a. p / q9 b. p9 0 q9 c. (p9 0 q) / (p / q) d. (p9 Q q9 ) 0 r 5. [(p / q9) 0 (p9 / q)]9 / p... q denkliğinde p ve q birer önermedir. Denklikte verilen boşluğa hangi mantıksal sembol getirilmelidir? 8. p ve q önermeleri için p (p 0 q9) / p 0 q denkliğinin sağlandığını sembolik mantık işlemleri ile gösteriniz. 6

7 . I de bir yorum söz konusudur. Elif'in zeki olma durumu kişiden kişiye değişir. Önerme değildir. IV de bir soru cümlesi verilmiştir. Soru cümleleri önerme olamaz. Diğerlerinde doğru ya da yanlış kesin bir hüküm söz konusudur. Uygulama ÇÖZÜMLER Soruları 4. q / p / ise p / q / olmalıdır. p9 0 r / 9 0 r / 0 0 r / r / olmalıdır. a. p / r / / / 7. a. p q b. r q c. q9 p olur. Nilay iş bulamazsa. ÜNİTE: MANTIK Dolayısıyla II, III ve IV birer önerme b. q9 Q r / 9 Q / 0 Q / 8. (p9 0 q) 0 r / 0 p9 0 q / 0, r / 0 olur. c. q9 0 r9 / / / 0 p9 0 q / 0 p9 / 0, q / 0 bulunur. p / olmalıdır. O halde (p Q q9) 0 r9 / ( Q 09) veya (0) bağlacında iki önerme de 0 iken 0, diğer durumlarda dir, ve (/) bağlacında iki önerme de iken, diğer durumlarda 0 dır, ya da (Q) bağlacında iki önerme farklı doğruluk değe- 5. p / ^ 0 qh > / 0 olduğundan kesinlikle p / 0 dır. p9 Q q / 0 09 Q q / 0 / ( Q ) 0 / 0 0 / rine sahipse, aynı doğruluk değerine sahipse 0 dır. O halde p / 0, q / 0 ve r / olduğundan a. p 0 q / / 0 b. p Q r / 0 Q / c. q9 / r / / / Q q / 0 q / dir. O halde p 0 q9 / / / 0 olur. 9. " " bağlacında 0 / 0 dışındaki tüm durumlarda koşullu önerme e denk olur. [ ^pq qh& q] :;;; < + / 0 olmalıdır. 0 q / 0 ve p Q q / d. r9 0 p / / 0 e. p9 / r9 / / 0 / 0 H 6. a. p 0 (p9 / q) / ( p0 p9) / (p 0 q) p Q 0 / p / bulunur. 3. Verilen önermelerden p doğru, q doğru ve r yanlış (en küçük rakam 0) olduğundan p /, q / ve r / 0 dır. O halde (p9 0 r) Q q9 / (9 0 0) Q 9 / (0 0 0) Q 0 / 0 Q 0 / 0 olur. (Dağılma öz.) / / (p 0 q) / p 0 q b. p Q (p9 Q 0)9 / p Q (p9 Q ) (De Morgan Kur.) / p Q p (Aynı) / 0 farkl H c. (p9 Q q) Q p / ( p9 Q p) Q q (Birleşme öz.) / Q q / q9 0. Elektrik devrelerinde seri bağlamada ve (/), paralel bağlamada veya (0) bağlacı kullanılır. p p q p / q q p 0 q Dolayısıyla a. p / q b. p / (q 0 r) c. (p / q) / (r 0 s) olur. 7

8 . ÜNİTE: MANTIK. a. p q önermesinin tersi p9 q9 olduğundan verilen önermede p: "2 asal sayıdır." ve q: " 2 tam sayı değildir." şeklinde tanımlanırsa koşullu önermenin tersi "2 asal sayı değilse 2 tam sayıdır." şeklinde bulunur. b. p q koşullu önermesinin karşıt tersi q9 p9 dir. Dolayısıyla verilen önermenin karşıt tersi "Papağan uçabiliyorsa kanadı kırık değildir." şeklinde olur. 4. p q p9 p9 q p Q q Doğruluk tablosundan da görüldüğü gibi p q / p Q q olur. 7. a. (p r) (r p) / t olsun. t / (p 0 r) 0 (r 0 p) (Değişme öz.) / (p 0 r) 0 (p 0 r) (p 0 r = s olsun) / s 0 s / b. (p q) / (p Q q) bileşik önermesinde I. Durum p ile q aynı doğruluk değerli olsun. Bu durumda p q /, p Q q / 0 olacağından 2. De Morgan'dan (p 0 q) = p / q ve (p / q) = p 0 q idi. O halde a. (p / q ) / p 0 (q ) / p 0 q b. (p 0 q ) / (p ) / (q ) / p / q c. [(p 0q) / (p/q)] / (p 0q) 0 (p/q) / ((p ) / q ) 0 (p 0 q ) / (p / q ) 0 (p 0 q ) d. (p Q q) / p Q q veya (p Q q) / p Q q idi. [(p Q q ) 0 r] / (p Q q ) / r / (p Q q ) / r (veya) / (p Q q ) / r dir. 3. a. Telefonumun şarjı bitmedi. (p ) ve internete girebiliyorum. (r) p / r b. Telefonumun ve tabletimin sarjı biterse internete giremem (r ) (p / q) r 5. [(p / q ) 0 (p / q)] önermesinde De Morgan Kuralını ve p q / p 0 q denkliğini kullanırsak / (p / q ) / (p / q) / (p 0 q) / (p 0 q ) / (p q) / (q p) / p q elde edilir. Yani denklikte boş bırakılan yere sembolü getirilmelidir. 6. p q koşullu önermesinin karşıt tersi q p dir. Öte yandan p q = p 0 q denkliği de dikkate alınırsa (p / q) p 0 q önermesinin karşıt tersi (p 0 q) (p / q) / ((p 0 q) ) 0 (p 0 q ) / (p 0 q) 0 (p 0 q ) (Birleşme öz.) / (p 0 p) 0 (q 0 q ) / p 0 / olur. (p q) / (p Q q) / / 0 / 0 olur. II. Durum p ile q farklı doğruluk değerli olsun. Bu durumda p q / 0, p Q q = olacağından (p q) / (p Q q) / 0 / / 0 dır. Yani her iki durumda da (p q) / (p Q q) / 0 olacaktır. Ya da daha kısa bir çözüm olarak (p Q q) / p q denkliği kullanılırsa (p q) / (p Q q) / s / s / 0 olur. s olsun 8. p (p 0 q ) ifadesi [p (p 0 q )] / [(p 0 q ) p] / [p 0 (p 0 q )] / [(p 0 q ) 0 p] / [(p 0 p) 0 q ] / [(p / q) 0 p] (Birleşme) (Dağılma) / ^ 0 q9h > / [ ^ > p9 0 ph/ ^q0 ph] / / [ / (p 0 q)] / / (p 0 q) / p 0 q bulunur. 8

9 TEST - 2TEST -. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme belirtir? A) "Nasılsın?" B) "Yarın okula gidecek misin?" C) "Çok yorgunum." D) "Doktorlar Tıp Fakültesi mezunudur." E) "Bu soru çok zor." Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. Aşağıda önermelerle ilgili verilenlerden hangisi yanlıştır? A) 9 / 0 B) 09 / C) (p9)9 / p D) (9)9 / 0 E) (09)9 / 0 7. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) 0 0 B) 0 C) 0 Q D) 0 0 E) /. ÜNİTE: MANTIK 2. p : "3 + 8 > 0 dur." q : "2 en küçük asal sayıdır." t : "Bir hafta 6 gündür." r : "Bütün önermeler doğrudur." s : "Bir yıl 2 aydan oluşur." Yukarıda verilen önermelerin kaçı doğrudur? 5. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerleri toplamı kaçtır? p : " < tir." 3 5 q : "3 en küçük tek asal sayıdır." r : "Filler denizde yaşar." s : "Çift sayıların tek kuvvetleri tektir." farklı önermenin doğruluk tablosu yapılırken 32 farklı durumla karşılaşılır. cümlesinde boş bırakılan yere kaç yazılmalıdır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 32 A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 0 B) C) 2 D) 3 E) 4 3. p : "Arda lise öğrencisidir." q : "Arda çalışmaktadır." önermeleri veriliyor. Buna göre "Arda lise öğrencisidir veya çalışmaktadır." bileşik önermesinin gösterimi aşağıdakilerden A) p 0 q B) p / q C) p Q q D) p E) q 6. p yanlış, q doğru bir önerme olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi daima doğrudur? A) q B) p / q C) p 0 q D) p / q E) p / q 9. p : 3 > 5 tir. önermesi için p9 önermesi aşağıdakilerden A) 3 < 5 tir. B) 3 5 tir. C) 3 = 5 tir. D) 3 5 tir. E) 3 > 5 tir.. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. B 9

10 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 2. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi önerme belirtir? I > 2 dir. II. III. IV. Tüm hayvanlar iki ayaklıdır. Bir gün 24 saattir. Yolcuğun iyi geçti mi? Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) 0 0 / B) / / C) 0 Q / D) Q / E) / 0 7. p 0 q önermesinin değili aşağıdakilerden A) p / q B) p 0 q C) p / q D) q / p E) p / q A) 0 B) C) 2 D) 3 E) 4 2. p : "Nesrin gözlüklüdür. 5. p, q ve r birer önermedir. 8. I. 0 p q : "Nesrin üniversite öğrencisidir." p 0 q / 0 ve q Q r / II. 0 / p önermeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi "Nesrin gözlüksüzdür veya üniversite öğrencisidir." önermesini ifade eder? A) p 0 q B) p 0 q C) p / q D) p q E) p 0 q olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Üç önerme de doğrudur. B) İkisi doğru, biri yanlıştır. C) İkisi yanlış, biri doğrudur. D) Üç önerme de yanlıştır. E) Yorum yapılamaz. III. Q p IV. p / p V. p Q p Yukarıda verilen bileşik önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri dir? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. p bir önerme ise / p önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) p E) Yorum yapılamaz 6. Aşağıda p ve q önermeleri için verilen denkliklerden hangisinde p ve q nun doğruluk değeri kesin olarak bilinir? A) p q / 0 B) p / q / 0 C) p 0 q / D) p Q q / E) p q / 0 9. p : 3 < 5 tir. q : Haftaiçi 6 günden oluşur. önermeleri için verilen aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p / q B) p Q q9 C) p q D) p q E) p9 0 q9 0. D 2. A 3. C 4. D 5. C 6. A 7. C 8. B 9. E

11 TEST - 2TEST - 3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme belirtmez? A) x gerçek sayısı için x 2 0 dir. B) En küçük tek asal sayı 5 tir. C) Sınavım kötü geçti. D) < 0 dur. E) 86 sayısı 8 ile tam bölünebilir. Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p 0 p9 bileşik önermesinin dengi aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) p9 E) p / 7. p bir önerme olduğuna göre p9 p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) p9 D) E) Yorum yapılamaz. ÜNİTE: MANTIK 2. p: "Doğukan sarışındır." q: "Doğukan İngilizce kursuna gitmektedir." önermeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi "Doğukan sarışındır ve İngilizce kursuna gitmemektedir." önermesini ifade eder? A) p 0 q B) p / q C) p / q D) p q E) p 0 q 5. p, q ve r önermelerine göre aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) p 0 q / q 0 p B) p / q / q / p C) (p / q) / r / p / (q / r) D) p / p / p 0 p E) p 0 p9 / p 8. p bir önerme olmak üzere p p9 bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) p9 D) E) Yorum yapılamaz 3. p önermesi için p 0 /... cümlesindeki boşluğa aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? A) 0 B) C) p D) p9 E) Yorum yapılamaz. 6. p ve q önermeleri için p q9 koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden A) p q9 B) p9 q9 C) q9 p9 D) q p9 E) q9 p 9. p ve q önermeleri için, p9 0 q9 / olduğuna göre p / q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) p9 E). C 2. C 3. D 4. B 5. E 6. E 7. B 8. B 9. A

12 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 4. p önermesinin değilinin doğruluk değeri olduğuna göre aşağıda verilen önermelerden hangisi yanlıştır? A) p 0 0 B) p Q C) p 0 D) p 0 E) p 0 4. p, q ve r birer önermedir. p / (q 0 r9)9 / Önermeler ve Bileşik Önermeler olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p / q B) q / r C) p Q r D) p q E) q9 r 7. p / ve q / 0 olmak üzere aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) p 0 q B) p Q q C) p q D) p q9 E) p / q9 2. p : Ali futbol takımındadır." q : Ali satranç şampiyonudur." önermeleri veriliyor. "Ali futbol takımındadır fakat satranç şampiyonu değildir." önermesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) p / q B) p9 0 q C) p 0 q9 D) p / q9 E) p9 / q 5. p önermesi için aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) p p9 B) p p9 C) p / D) p Q 0 E) p 8. p ve q önermeleri için (p 0 q) / (p9 0 q) önermesinin dengi olan önerme aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) q E) p / q 3. p yanlış ise q doğrudur. önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden A) p doğru ise q doğrudur. B) p doğru ise q yanlıştır. C) p yanlış ise q yanlıştır. D) q yanlış ise p yanlıştır. E) q yanlış ise p doğrudur. 6. q p Yukarıda verilen elektrik devresi modelinde hangi bileşik önerme modellenmiştir? A) (p 0 q) / r B) (p 0 q) 0 r C) p 0 (q / r) D) p / (q 0 r) E) (p / q) 0 r r 9. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) (p / q)9 / p9 / q9 B) (p Q q)9 / p9 Q q C) (p q)9 / p / q9 D) (p q)9 / p9 q E) (p 0 q)9 / p9 / q9 2. A 2. D 3. E 4. E 5. E 6. C 7. C 8. D 9. A

13 TEST - 2TEST - 5. p : "Her hayvan bir canlıdır." q : "Her canlı bir hayvandır." önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p / q B) p Q q C) p q D) p q E) p9 0 q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 / q9 )9 / p... q denkliğinde boş bırakılan yere hangi mantıksal sembol getirilmelidir? A) 0 B) / C) Q D) E) 7. p ve q iki önermedir. p v q bileşik önermesinin e denk olması olasılığı kaçtır? 3 A) B) C) D) E) Bulunamaz. ÜNİTE: MANTIK 2. (p / q) 0 r 5. p ve q önermeleri için 8. p : Bir hafta 7 gündür. ifadesinin değili aşağıdakilerden A) (p / q) 0 r9 B) (p 0 q) / r9 C) (p9 0 q) / r D) (p9 0 q9) / r E) (p9 0 q9) 0 r p q9 / 0 olduğuna göre p9 Q q9 bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) p9 E) q : İzmir Ege Bölgesi'ndedir. önermeleri için aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur? A) p / q9 B) p Q q C) p q D) p9 q E) p9 0 q9 3. p ve q birer önerme olduğuna göre (p / p9) Q (p 0 p9) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) q9 6. p ve q önermeleri için p Q q9 / 0 olduğuna göre aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) p 0 q B) p / q C) p9 / q D) p q E) p q 9. (p p9 ) / (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p9 / q. B 2. D 3. B 4. A 5. A 6. A 7. C 8. C 9. A 3

14 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 6. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) / 0 B) 0 Q 0 C) 0 D) E) Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p Q (p9 q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) q 7. p ve q önermeleri için [p9 0 (q / p)]9 önermesi aşağıda verilenlerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) p / q9 2. p q önermesi çelişki olduğuna göre (p q) 0 p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) C) 0 5. p ve q önermeleri için p / (p q) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 8. p 0 (p 0 q)9 önermesinin değilinin en sade şekli aşağıdakilerden A) p q B) q p C) p q D) q E) p q A) 0 B) p C) D) 0 E) D) p 0 q E) p / q 3. p (p9 q) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) p C) q D) p9 E) 6. p q9 önermesinin değili aşağıda verilenlerden hangisi ya da hangilerine denk olabilir? I. p9 q9 II. p9 q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, III ve III 9. p q9 / ve q p / olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi yanlıştır? A) p q B) p 0 q C) p Q q D) p9 q E) p / q9 4. D 2. B 3. E 4. E 5. E 6. D 7. E 8. A 9. A

15 TEST - 2TEST - 7. (p q) p9 koşullu önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) p / q E) p 0 q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. (p9 / q) (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 0 q 7. p ve q birer önermedir. I. (p / q) (p 0 q) II. (p 0 q) (p / q) III. (p q) (p 0 q) koşullu önermelerinden hangisi ya da hangilerinin yanlış olması imkansızdır? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. ÜNİTE: MANTIK 2. p q önermesi çelişki olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi bu önermeye denktir? A) q p B) q C) p D) q p E) p / q 5. (p 0 q) r önermesinin tersi aşağıdakilerden A) (p 0 q) r B) (p / q) r C) (p / p ) r D) (p / q) p E) r (p 0 q) 8. p ve q önermeleri için verilen p (p 0 q) bileşik önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denk olur? A) 0 B) p C) q D) p 0 q E) 3. p r 6. p : = 7 9. p9 (p / q) p Lamba Aşağıdaki durumlardan hangisinde lamba yanmaz? A) p / 0, r / 0 B) p / 0, r / C) p /, r / D) p /, r / 0 E) p / 0 q : 2 3 < 5 önermeleri veriliyor. Buna göre p q önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) tir. B) tir. C) 2 3 < dir. D) dir. E) 2 3 > = 7 dir. önermesinin karşıt tersinin en sade şekli aşağıdakilerden A) p B) q C) p9 D) q9 E) p 0 q. D 2. E 3. D 4. B 5. A 6. D 7. A 8. A 9. A 5

16 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 8. p bir çelişki ise p / (p 0 q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p C) q D) p / q E) p 0 q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p önermesi için ( p) 0 p ifadesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) p D) E) Yorum yapılamaz. 7. (p9 / q) q bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) p 0 q 2. p q bir çelişki olduğuna göre (p q) 0 p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) E) p q 5. p / q ve q 0 r bileşik önermeleri birer totolojidir. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi bir çelişkidir? A) p / r B) r 0 p C) p 0 q D) q 0 r E) r q 8. x 4 = (x = veya x = ) önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) x ve x ise x 4 dir. B) x veya x ise x 4 dir. C) x ve x ise x 4 = dir. D) x = ve x = ise x 4 = dir. E) x = veya x = ise x 4 dir. 3. p9 (p q) / 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) p / 0 B) p / C) q / 0 D) q / E) p / q / 0 6. q p s r Lamba Yukarıdaki elektrik devresini ifade eden önerme aşağıdakilerden A) [p / (q 0 r)] / s B) [p / (q 0 r)] 0 s C) [p 0 (q 0 r)] 0 s D) [p 0 (q / r)] 0 s E) [p / (q / r)] 0 s 9. p, q ve r önermeleri için p (q9 0 r) önermesi bir totolojidir. Buna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerinin sırasıyla yazılmasıyla elde edilen aşağıdaki üçlülerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A), 0, B),, 0 C),, D) 0,, E) 0, 0, 6. B 2. D 3. D 4. D 5. E 6. A 7. B 8. A 9. B

17 TEST - 2TEST - 9. p ve q birer önerme olmak üzere [(p / q) 0 p]9 / p bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) p C) q D) p / q E) Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. (p q) p önermesi bir totoloji belirttiğine göre (p 0 q) (p / q) ifadesi aşağıdaki önermelerden hangisine kesinlikle denktir? A) p B) p C) q D) p q E) p q 7. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 q) (q9 p) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) r E) r9. ÜNİTE: MANTIK 2. p ve q önermeleri için [p9 0 (p q)9] p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) q9 5. (p q) (p / q9 ) önermesinin değilinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) p C) p9 D) q E) 8. [(p / q9 ) 0 (p9 / q)]9 önermesi aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisine denktir? A) p 0 q B) p Q q C) p / q D) p q E) p q 3. (p q) p9 önermesinin değilini ifade eden bileşik önerme aşağıdakilerden A) p 0 q B) p Q q C) p / q D) p q E) p q 6. p9 r Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermenin değili aşağıdakilerden q A) [(p9 / q) / r] / s9 B) [(p / q9 ) / r] / s9 C) [(p9 0 q) 0 r] 0 s D) [(p 0 q9 ) 0 r9] 0 s E) [(p 0 q9 ) / r9] 0 s s9 9. p ve r önermeleri için (p9 / r) (r9 0 p) / I II denkliği veriliyor. Buna göre I ve II yerine sırasıyla aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? A) r, p B) r, p9 C) r9, p D) p, r E) p9, r. A 2. C 3. C 4. B 5. E 6. E 7. B 8. E 9. A 7

18 . ÜNİTE: MANTIK TEST - TEST 2-0. (p9 q9 ) / (p 0 q) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) q E) p / q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p : Şu an vakit öğleden öncedir. q : Tiyatro öğleden sonra başlayacaktır. önermeleri tanımlanıyor. Tiyatro başladı. önermesi aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi ile ifade edilebilir? A) p / q B) p9 / q C) p9 0 q D) p q E) p9 q 7. "Cenk mezun olduktan sonra işe başlayacaktı fakat işe başlayamadı." bileşik önermesinin p : "Cenk mezun oldu." q : "Cenk işe başladı." önermeleri ile ifadesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) p9 q B) p q9 C) (p q9) q D) (p9 q) / q9 E) (p q) / q9 2. (p9 0 q) / (p / r9 ) / olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p / r B) q9 0 r C) q r D) r Q q E) q9 r9 5. p ve q birer önerme olmak üzere (p q9 ) / (q9 p) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) p q9 B) p9 q C) p q D) p q E) q p 8. p : "x = 2 dir." q : "x + 3 = 0 dır." önermeleri veriliyor. Aşağıdaki verilenlerden hangisi p 0 q önermesine denktir? A) x 2 x 6 = 0 B) x 2 + x 6 = 0 C) x = y + 5 D) x 2 + xy = 0 E) y = x 6 3. p q r t Lamba Yukarıdaki elektrik devresini ifade eden uyan önerme aşağıdakilerden A) (p 0 q) 0 (r 0 t) B) (p 0 q) 0 (r / t) C) (p 0 q) / (r / t) D) (p / q) 0 (r / t) E) (p 0 q) / (r 0 t) 6. Aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a + b = 5 [a = 2 / b = 3] B) a b = 6 [a = 2 / b = 3] C) [x = 2 / y = 3] x y = 6 D) x 2 = 4 x = 2 ve x = 2 E) (x 2) (y 3) = 0 [x = 2 / y = 3] 9. p : "a + b 0 dır." q : "a = c dir." önermeleri veriliyor. Aşağıda verilenlerden hangisi p q önermesine denktir? A) a 2 + ab = ac + bc B) a 2 + ac = ab + bc C) a 2 + bc = ac + bc D) a 2 + bc = ac + c 2 E) a 2 + ab = ac + b 2 8. C 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. E 8. B 9. A

19 .2.. Niceleyiciler BÖLÜM -.2. Her ve bazı sözcükleri önlerine getirilen elemanların çokluğunu ifade eden niceleyicilerdir. Her sözcüğü sembolüyle, bazı sözcüğü de sembolüyle ifade edilmektedir. sembolü, bazı sözcüğünün dışında aslında matematiksel olarak aynı anlamda olan en az bir sözcüğüyle de kullanılmaktadır. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri Tanım Herhangi bir E evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış bir açık önermeyi doğrulayan elemanların oluşturduğu kümeye bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi, bu kümenin her bir elemanına da çözüm adı verilir. Niceleyicilerin Değili. ÜNİTE: MANTIK Tanım En az bir anlamına gelen bazı ( ) niceleyicisine varlıksal niceliyici, tamamı anlamına gelen her ( ) niceleyicisine de evrensel niceleyici adı verilir. "p(x) açık önermesi A kümesinin tüm elemanları için doğrudur." önermesinin değili "p(x) açık önermesi A kümesinin bazı elemanları için yanlıştır." [ x, p(x)]9 / x, p9(x) "q(x) açık önermesi A kümesinin bazı elemanları için doğrudur." önermesinin değili niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki her elemanın verilen şartı sağlaması gerekir. Sağlamayan bir elemanın bile varlığı önermenin yanlış olduğu anlamına gelir. niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki bir elemanın verilen şartı sağlaması yeterlidir. Önermenin yanlış olması için kümedeki hiçbir elemanın verilen şartı sağlamaması gerekir Açık Önermeler Tanım (Açık Önerme) Doğruluğu, içinde bulunan değişkene bağlı olan önermelere açık önerme denir. Örneğin x değişkenine bağlı bir p(x) : "x çift sayıdır." önermesi bir açık önermedir. Zira verilen önerme x in bazı değerleri için doğru iken bazı değerleri için de yanlış olacaktır. p(2) / p(4) / p(2) / ve p( 3) / p() / p(7) / 0... gibi. Açık önermede değişken sayısı birden çok da olabilir. Örneğin a ve b değişkenine bağlı bir q(a, b) : "a, b N için (a 3) (b + ) 0 dır." önermesi de bir açık önermedir. q(, 2) / (( 3) ( + 2) = 6 0 dır.) q(7, ) / 0 ((7 ) ( + ) = 2 % 0 dır.) NİTELİK Yayıncılık "q(x) açık önermesi A kümesinin her elemanı için yanlıştır." [ x, q(x)]9 / x, q9(x) dir Tanım, Aksiyom, Teorem, İspat Terimleri Tanım Kavramı Özellikle öğrenim hayatımızın birçok aşamasında karşılaştığımız tanım kavramı öğrenmeye başlamanın temellerinden biridir ve bir konu veya araştırma hakkında bilgi sahibi olabilmenin ilk şartlarındandır. Bir konuyu ya da kavramı anlayabilmek için gerekli terimlerin tanımlarını bilmek öğrenmeyi hızlandıracaktır. Bir terimin tanımı, kişisel yorumlar katılmadan mümkün olduğunca açık ve sade bir dille, herkes tarafından kabul görecek şekliyle (bir önerme olarak) yapılmalı ve terimi kavrayabilmek için gerekli tüm bilgiler eksiksiz bir şekilde verilmelidir. Aksiyom Doğruluğu ispatlanmayan ancak doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom (postulat) adı verilir. Aksiyomlar, doğruluğu hissedilen ancak önceden verilen tanım ya da önermeler kullanılarak bir matematiksel sistem içerisinde doğruluğu gösterilemeyen olgulardır. Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 9

20 . ÜNİTE: MANTIK Bilinen bazı aksiyomlar; Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. Bir bütün parçalarından büyüktür. Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti dir. Bütün dik açılar birbirine eştir. I. Doğrudan İspat Yöntemi Bilenen tanım, aksiyom ve teoremler yardımıyla p q koşullu önermesinde p önermesinin (hipotez) doğruluğundan hareketle q önermesinin (hüküm) doğru olduğunu göstermeye doğrudan ispat yöntemi denir. Bir eşitliğe eşit sayılar eklenirse ya da eşitlikten eşit sayılar çıkarılırsa eşitlik bozulmaz. biçiminde verilebilir. Teorem Doğruluğu gösterilmiş önermelere teorem, doğruluğunu göstermek için kullanılan işlemler bütününe de ispat (kanıt) adı verilir. II. Dolaylı İspat Yöntemi Karşıt Ters (Olmayana Ergi) İspat Yöntemi Hatırlatma p ve q önermeleri için p q / q9 p9 idi. p q koşullu önermesi ile verilen bir teoremin ispatında doğrudan ispat yöntemi kullanışlı değilse bu önermeye denk olan q9 p9 koşullu önermesi doğrudan ispatlanır. Bu yönteme karşıt ters (olmayana ergi) ispat yöntemi denir. Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri p q koşullu önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm (iddia) adı verilir. Teoremin başka bir tanımı da aşağıdaki şekilde verilebilir. Tanım p hipotezi doğru olan p q koşullu önermesine (gerektirmesine) teorem adı verilir İspat Yöntemleri Bir teoremin ispatlanmasında farklı yöntemler kullanılabilir. İspatın kolay ve sade yapılabilmesi için aşağıdaki şemada verilen yöntemlerden uygun olanı seçilir. Tümevarım yöntemi Karşıt - Ters (olmayana ergi) ispat yöntemi İSPAT YÖNTEMLERİ Doğrudan ispat yöntemi Tümdengelim yöntemi Çelişki yoluyla ispat yöntemi Dolaylı ispat yöntemi Aksine örnek verme ispat yöntemi NİTELİK Yayıncılık Çelişki ile İspat Yöntemi Çelişki yöntemi ile ispat yapılırken p q önermesinin doğru olduğunu ispatlamak yerine p q önermesinin değili olan (p q)9 = p / q9 önermesinin yanlış olduğu ispatlanır. Aksine Örnek Verme İspat Yöntemi Bu ispat yöntemi genellikle p q şeklinde verilen bir önermenin yanlış olduğunu (teoremi çürütmek amaçlı) göstermek için kullanılır. Eğer hipoteze uygun bir durum hükmü sağlamazsa teorem çürütülmüş olur. Yani iddia bir teorem olamaz..2.5 Tümevarım İspat Yöntemi n N + ve D N + olmak üzere p(n), n ye bağlı bir hüküm olsun. n 0, D nin en küçük elemanı iken, p(n 0 ) doğru p(n) yi n = k için doğru (kabul edelim.) p(n) n = k + için doğru oluyorsa n N + için p(n) doğrudur. Bu ispat yöntemine tümevarım ispat yöntemi denir. 20

21 . Aşağıda verilen önermelerin açık önerme olup olmadıklarını belirleyiniz. a. "Sezgin gitar çalabilmektedir." b. "A vatandaşı öğretmendir." c. "x R, x 2 4 = 0 dır." d. "y R, 3y + 4 tür." Uygulama Soruları 4. Aşağıda verilen önermelerin değillerini (olumsuzlarını) bulunuz. a. x R, x 3 b. x Z, x 2 x + 2 = 0 c. 7x R, x 3 > x d. 7x N, x! asaldır. 7. Aşağıda verilen teoremlerin hipotez ve hükümlerini belirleyerek yanlarında yazılan yöntemlerle ispatlarını yapınız. a. "İki asal sayının toplamı tek ise çarpımı çifttir." (doğrudan ispat yöntemi). ÜNİTE: MANTIK b. "x < 2 ise x 2 4 tür." (aksine örnek ispat yöntemi) 2. p(x) : x 3 + x 2 0 açık önermesi için p(0), p() ve p(2) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz. 5. Aşağıda verilen bileşik önermelerin değillerini bulunuz. a. (7x, x 2 > 0) / ( x, x 2) b. (7x, x 2 x = 0) 0 (7x, x 2 0) c. ( x, x 2 = ) (7x, x < 0) c. "x 3 > 26 ise x > 3 tür." (karşıt - ters (olmayana ergi) ispat yöntemi) 3. Aşağıda x gerçek sayıları için verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. p : "7x, x 2 = " b. q : "7x, x 2 + < 0" c. r : " x, x 3 0" d. s : " x, (x ) 2 = x 2 2x + " e. t : " x, x 2 > 0" 6. (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) koşullu önermesinin doğruluk değerini bulduktan sonra önermesinin a. karşıtını b. tersini c. karşıt tersini yazınız. d. "n N + olmak üzere, n = : 2 2 : 3 n : ( n+ ) n + dir." (tümevarım ispat yöntemi) e. "n N + için n + 2 n " (tümevarım ispat yöntemi) Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 2

22 . ÜNİTE: MANTIK. a. Önerme içinde bilinmeyen olmadığı için açık önerme değildir. b. A yerine öğretmen olan biri yazılırsa doğru, öğretmen olmayan biri yazılırsa yanlış bir önerme olur. ÇÖZÜMLER 3.! 7 niceleyicisi için önermenin bir eleman için bile verilen şartı sağlaması önermeyi doğru yapar. a. p : "Ex, x 2 = " önermesi örneğin x = için 2 = (Doğru) olacağından p / dir. 4. ( ) /, ( ) / ve (=) /, (>) /, ( ) / < olduğu dikkate alınırsa a. ( x R, x 3) / 7x R, x > 3" b. ( x Z, x 2 x + 2 = 0) Önermede A değişkeni bulundu- / 7x Z, x 2 x ğundan bir açık önermedir. b. q : "7x, x 2 + < 0" c. (7x R, x 3 > x) / x R, x 3 x c. x yerine 2 veya 2 konulursa x 2 + < 0 x 2 < d. (7x N, x! asaldır.) doğru, diğer tüm değerler için yanlış bir önerme olmaktadır, x değişken olduğundan bir açık önermedir. d. y yerine ya da daha küçük bir değer yazılırsa doğru, diğer değerler için yanlış önerme olur. Önermede y değişken olduğundan bir açık önermedir. şartını sağlayan x R yoktur. Dolayısıyla eleman bile sağlamadığı için q = 0 olur.! niceleyicisi için önermeyi tanımlı tüm elemanların sağlaması gerekir. Bir elemanın bile sağlamaması önermeyi yanlış yapar. c. r : " x, x 3 0" / x R, x! asal değildir. 5. De Morgan Kurallarından (p / q) / p v q, (p 0 q) / p / q x 3 0 şartı örneğin x = 2 için sağlanmaz. Dolayısıyla r / 0 olur. denklikleri dikkate alınırsa a. [(7x, x 2 > 0) / ( x, x 2)] / (7x, x 2 > 0) 0 ( x, x 2) d. s : " x, (x ) 2 = x 2 2x + " / ( x, x 2 0) 0 (7x, x = 2) (x ) 2 = x 2 2x + b. [(7x, x 2 x = 0) 0 (7x, x 2 0)] Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 2. p(0) için (Yanlış) p() için (Doğru) p(2) için (Doğru) olduğundan p(0) / 0, p() / 0 ve p(2) / dir. eşitliği bir özdeşliktir. Yani x R için sağlanır. Dolayısıyla s / olur. e. t : " x, x 2 > 0" x 2 > 0 eşitsizliği x = 0 için sağlanmaz. Bir elemanın önermeyi yanlış yapması niceleyicisinden ötürü t önermesini yanlış yapar. Yani t / 0 dır. / (7x, x 2 x = 0) / (7x, x 2 0) / ( x, x 2 x 0) / ( x, x 2 > 0) / x, (x 2 x 0 / x 2 > 0) c. ( x, x 2 = ) (7x, x < 0) p q için p q / p 0 q denkliği kullanılırsa [( x, x 2 = ) (7x, x < 0)] / [( x, x 2 = ) 0 (7x, x < 0)] / ( x, x 2 = ) / (7x, x < 0) / ( x, x 2 = ) / ( x, x 0) bulunur. 22

23 6. (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) koşullu önermesinde p : 7x Z, x 2 = x q : x R, x 2 diyelim. p için 7 niceleyicisi kullanıldığından ve örneğin x = için 2 = (doğru) olduğundan p / olur. q için niceleyicisi kullanıldığından ve örneğin x = 0 için 0 2 (yanlış) olduğundan q / 0 olur. O halde koşullu önerme p q / 0 / 0 (yanlış) olur. a.! p q koşullu önermesinin karşıtı q p dir. O halde verilen önermenin karşıtı da ( x R, x 2) (7x Z, x 2 = x) olur. b.! p q koşullu önermesinin tersi p q dir. O halde (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) önermesinin tersi de (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) / ( x Z, x 2 x) (7x R, x < 2) şeklinde olur. c.! p q koşullu önermesinin karşıt tersi q p dir. O halde önermenin karşıt tersi ( x R, x 2) (7x Z, x 2 = x) / (7x R, x < 2) ( x Z, x 2 x) şeklinde bulunur. 7. a. "İki asal sayının toplamı tek ise çarpımı çiftttir." Hipotez: "İki asal sayının toplamı tektir." Hüküm: "İki asal sayının çarpımı çifttir" İspat: İki asal sayının toplamı tek olsun. Bu durumda sayılardan biri tek diğeri çift olmalıdır. Yalnız bir tane çift asal sayı (2) olduğundan diğer asal hangi tek asal olursa olsun çarpımları = 2 (tek asal) = çift olmalıdır. b. Hipotez: "x < 2 dir." Hüküm: "x 2 4 tür." Aksine örnek ispat yöntemi bir teoremi çürütmek için önermeyi yanlış yapan bir örnek vermede kullanılır. Örneğin x = olsun (x < 2 dir). 2 4 (yanlış) olduğundan verilen önerme yanlıştır. Yani bir teorem değildir. c. "x 3 > 26 ise x > 3 tür." Hipotez: "x 3 > 26 dır." Hüküm: "x > 3 tür." Olmayana ergi ispat yönteminde hükmün yanlış olduğu kabul edildiğinde hipotez de yanlış oluyorsa teorem ispatlanmış olur. Yani p q yerine bu önermenin karşıt tersi olan q p in doğruluğu ispatlanır. O halde (x > 3) / (x 3) olsun. x x 3 26 / (x 3 > 26) olduğundan teorem ispatlanmış olur. d. "n N + olmak üzere" Hipotez: "n N + dır." Hüküm: n " = dir." : 2 2 : 3 n : ( n+ ) n + n = için = (Doğru) dir. : 2 2 n = k için eşitliği doğru kabul edelim. Yani k =... (*) : 2 2 : 3 k : ( k+ ) k + olsun. n = k + için eşitlik doğru mu? (*) ifadesinin sol tarafına ekleyelim. ( k+ ) : ( k+ 2) : 2 2 : 3 k : ^k+ h ^k+ h: ^k+ 2h (*) dan k = k + + ^k+ h : ^k+ 2h ( k+ 2) k : ^k+ 2h + = ^k+ h : ^k+ 2h 2 k + 2k+ = ^k+ h : ^k+ 2h ^k + h 2 = ^k+ h : ^k+ 2h k + = olur ki bu da k + 2 k = : 2 2 : 3 ^k+ h : ^k+ 2h k + 2 olduğu anlamına gelir. Yani eşitlik n = k + için de sağlanmış olur. Dolayısıyla tümevarım ispat yöntemiyle teorem ispatlanmış olur. e. "n N + için n + 2 n " Hipotez: "n N + dır." Hüküm: "n + 2 n dir." n = için + 2 (Doğru) dir. n = k için eşitsizlik doğru olsun Yani k + 2 k... (*) olsun. n = k + için eşitsizlik doğru mu? (*) eşitsizliğinin sol yanına ekleyelim. k k + 2 k + 2 k (*) den = 2 2 k = 2 k+ olduğundan k k+ eşitsizliğinin doğruluğu görülmüş olur. Bu da verilen eşitsizliğin n = k + için de doğru olduğunu gösterir. Yani teorem ispatlanmış olur.. ÜNİTE: MANTIK Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 23

24 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST -. Aşağıdakilerden hangisi evrensel niceleyici sembolüdür? A) B) C) / D) E) E Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri 4. "7x, p(x)" önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "p9(x)" B) " x, p(x)" C) " x, p9(x)" D) " x, p9(x)" E) " x, p(x)" 7. " x, x " önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden A) " x, x > " B) " x, x " C) "7x, x < " D) " x, x < " E) " x, x " 2. Aşağıdaki önermelerin hangisinde varlıksal niceleyici kullanılmıştır? 5. "p q koşullu önermesinde p ye... denir." 8. Aşağıda verilen önermelerden hangisi x R için doğrudur? A) "Bazı kuşlar uçamaz." B) "3 bir rakamdır." C) "3, 7 den küçüktür." D) "Karesi 5 olan sayı yoktur." E) "Her insan suya ihtiyaç duyar." ifadesinde boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? A) Hipotez B) Hüküm C) Teorem D) Önerme E) Aksiyon A) x, x 2 > 0 B) x, x 2 x + 2 C) x, x 3 < 27 D) x, x 2 = 2x E) x, x 2 + < 0 Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 3. Aşağdakilerden hangisi bir açık önerme olamaz? A) x + 3 > 5 B) x + 2 = x C) 7x, x 2 D) x E) 5 x $ 2 6. Aşağıdakilerin hangisi açık önermedir? A) " ( 7)" B) "x N, x + 2 = 3" C) "Mersin Türkiye'nin başkentidir." D) "Çok güzelsiniz." E) " x R, x 2 0 dır." 9. p(x) : "x 2 < 0" açık önermesi veriliyor. Doğal sayılar kümesinde bu önermenin doğruluk kümesi kaç elemanlı olur? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C 8. D 9. D

25 TEST - 2TEST - 2. " n Z, n tek sayıdır." önermesinin değili aşağıdakilerden A) " n Z, n tek sayı değildir." B) " n Z, n çift sayıdır." C) "7n Z, n çift sayıdır." D) "7n R, n çift sayıdır." E) "7n R, n tek sayı değildir." 4. " x, x 2x 2" Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri önermesinin olumsuzuna denk olan önerme aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) "Her x sayısı 2 den küçüktür." B) "Her x sayısı 2 den büyüktür." C) "Her x sayısı 2 den küçük veya 2 ye eşittir." D) "Bazı x sayıları 2 den küçüktür." E) "Bazı x sayıları 2 den büyüktür." 7. "Küpü kendisine eşit olan en az bir doğal sayı vardır." önermesinin sembolik mantıkla ifadesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) n N, n 3 = n B) n N, n 3 = n C) n N, n 3 n D) n N, n 3 = n E) n N, n 3 n. ÜNİTE: MANTIK 2. "x 5 ise x dur." teromeninin hipotezi nedir? A) "x 5" B) "x < 5" C) "x " D) "x < 0" E) "x " 5. Doğrudan ispat yöntemiyle ilgili aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır? A) Hipotez kabul edilir hükme ulaşır. B) Tanımlardan yararlanılır. C) Önermelerden yararlanılır. 8. "Her tam sayının küpü 5 e eşittir." önermesinin sembol ile gösterimi aşağıdakilerden A) x R, x 3 = 5 B) x Z, x 3 = 5 C) 7x R, x 3 = 5 D) Aksiyomlar kullanılabilir. D) x Z, x 3 = 5 E) Teoremi sağlamayan bir değer belirlenerek çelişkiye düşülür. E) x R, x 3 = 5 3. Aşağıda verilen önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) " x R, x 2 dir." B) " x R, x 2 > 0 dır." C) " x R, x 2 < 0 dır." D) " x R, x 2 < x dir." E) " x R, x 2 < x dir." 6. "p(x) : " x R, x 3 < 8" "q(x) : " x R, x 2 > 3" önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p / q B) p 0 q C) p q D) p q E) p Q q 9. " x, x 3 < 0" önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "7x, x 3 > 0" B) "7x, x 3 0" C) "7x, x 3 0" D) " x, x 3 > 0" E) " x, x 3 0" Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri. C 2. A 3. D 4. D 5. E 6. E 7. D 8. D 9. B 25

26 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 3. Aşağıdakilerden hangisi açık önerme değildir? A) "x, karesinden küçüktür." B) "y, 3 katına eşittir." C) "z, 4 fazlasına eşittir." D) "t, 7 den küçüktür." E) "2 sıfırdan büyüktür." Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri 4. "Bazı gerçek sayıların karesi 3 ten küçüktür." ifadesinin sembolle gösterimi aşağıdakilerden 7. " x, x > 2 veya x, x < 2" bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden A) " x, x 2" B) " x, x = 2" A) x R, x 2 < 3 B) x N, x 2 > 3 C) "7x, x = 2" D) "7x, x 2" C) 7x R, x 2 > 3 D) 7x N, x 2 3 E) "7x, x 2" E) 7x R, x 2 < 3 2. p(x) : x Z, 3x Gerçek sayılar kümesinde tanımlı 8. p(x) : "x Z, 4x 2 > x + 7" açık önermesinin doğruluk kümesindeki en büyük eleman kaçtır? p : " x, x 2 0" q : " x, x 2 = 2x" açık önermesinin doğruluk kümesinin en küçük elemanı kaçtır? A) 3 B) 2 C) D) 0 E) r : " x, x 3 < x" A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 önermelerinden hangisi ya da hangilerinin doğruluk değeri dir? A) Yalnız q B) Yalnız r C) p ve r D) q ve r E) p, q ve r Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 3. Aşağıda verilen ifadelerden hangisinde boş bırakılan yere "bazı" niceleyicisi konulursa doğru bir önerme elde edilir? A) "... kediler uçabilir." B) "... insanlar öğretmendir." C) "... aylar 32 günden oluşur." D) "... uçaklar yakıtsız uçabilir." E) "... canlılar suya ihtiyaç duymaz." 6. p(n) : "n N, 3n 0 > 0" açık önermesi veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p(0) B) p() C) p(2) D) p(3) E) p(4) 9. "x ve y pozitif gerçek sayılar ise x 3 y negatiftir." teoreminin hükmü nedir? A) "x ve y pozitif gerçek sayıdır." B) "x ve y negatif gerçek sayıdır." C) "x ve y gerçek sayıdır." D) "x 3 y pozitiftir." E) "x 3 y negatiftir." 26. E 2. A 3. B 4. E 5. D 6. E 7. C 8. C 9. E

27 TEST - 2TEST - 4. Aşağıdakilerden hangisi önerme değildir? A) x, x > 2 B) 7x, x + 2 C) x, x 2 D) 7x, x 2 E) x, x = 2 4. "x N için x, f(x) > 0" önermesi doğrudur. Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri Buna göre aşağıdakilerden hangisi imkansızdır? A) f( ) = 2 B) f(0) = C) f() = 3 D) f(5) = 0 E) f(7) = Aşağıda verilen önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) x Z, x > 3 B) x R, x 2 < 3 C) x Z, x! > D) x Z, x 2 R E) x R, (5x + ) N. ÜNİTE: MANTIK 2. "x R, x 4 = 6" açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanları çarpımı kaçtır? A) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 5. " x, p(x) veya 7x, q (x)" önermesinin değilinin niceleyicilerle ifadesi aşağıdakilerden A) " x, p(x) veya x, q9(x)" B) " x, p9(x) veya x, q9(x)" C) " x, p(x) ve x, q9(x)" D) " x, p9(x) ve x, q(x)" E) " x, p(x) ve x, q(x)" 8. p : "(x R, x < ) (x R, x 3 = )" önermesinin sözel ifadesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) x gerçek sayısı den küçükse küpü e eşittir. B) x gerçek sayısı den büyükse küpü e eşit değildir. C) x gerçek sayısı den büyükse küpü de e eşittir. D) x gerçek sayısı negatifse küpü de den büyüktür. E) x gerçek sayısı pozitifse küpü de dir. 3. Aşağıdakilerden hangisi dolaylı ispat yöntemi değildir? A) Doğrudan ispat yöntemi B) Olmayana ergi ispat yöntemi C) Aksine örnek verme ispat yöntemi D) Karşıt ters ispat yöntemi E) Çelişki bulma ispat yöntemi 6. A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde p(n) : "A kümesinin n elemanlı alt kümelerinin sayısı 0 dur." açık önermesi tanımlanıyor. Buna göre p nin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. p : " n N, n 2 0" x 3 q : " x R, 2 Z" önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır? A) p / q / B) p 0 q9 / C) p q / D) p Q q / 0 E) p9 q / Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri. B 2. B 3. A 4. B 5. D 6. B 7. E 8. A 9. E 27

28 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 5. Aşağıdaki verilen önermelerden hangisi doğrudur? (x R) A) " x, x > 0 dır." B) " x, x 0 dır." C) " x, x 2 pozitiftir." D) "7x, x 2 negatiftir." E) "7x, x 2 sıfırdır." Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri 4. p(n) : "n N, n! = (n )!" açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemandır? A) 0 B) C) 2 D) 0 E) sonsuz 7. x N olmak üzere p(x) : (x 4) (x + 2) (x 5) = 0 açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 7 2. I. " x R, x 0" II. "2 + 7 > 3" III. "7x N, x 2 < " IV. "x + 2 < x 2 " Yukarıda verilen ifadelerden kaçının doğruluk kümesinden bahsedilebilir? A) 0 B) C) 2 D) 3 E) 4 5. f : R R şeklinde tanımlanan bir f polinom fonksiyonu için aşağıda verilenlerden kaçı bir açık önerme olur? I. f(x) = 0 II. f( x) = 2 III. f (x) = 0 IV. f(x 2) V. f(x) < 0 8. "Bazı x gerçek sayılarının küpü 7 den küçük değildir." önermesinin niceleyicilerle ifadesi aşağıdakilerden A) " x R, x 3 > 7" B) " x R, x 3 7" C) " x R, x 3 7" D) " x R, x 3 > 7" E) " x R, x 3 7" A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 3. p(x) : "x N, x! 6" açık önermesi için aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) p(0) / p() B) p(2) / p(3) C) p(3) / p(4) D) p(5) / p(9) E) p(0) / p(206) 6. p(x) : 4 3x + < açık önermesinin tam sayılar kümesindeki doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 n 9. p(n) : "n R, n + 2 Z" açık önermesi veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu açık önermenin doğruluk kümesinin bir elemanıdır? A) p( ) B) p(2) C) p(3) D) p(7) E) p(3) 28. E 2. B 3. B 4. B 5. D 6. D 7. E 8. E 9. A