1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler"

Transkript

1 . ÜNİTE: MANTIK

2 . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir. (Yanlış) Bir gerçek sayının karesi negatif olamaz. (Doğru) ifadeleri birer önermedir. Ancak; Yaşın kaç? Çok sıkıldım. Akıllı birine benziyorsun. ifadeleri önerme değildir. Çünkü bu ifadelerle ilgili kesin olarak doğru ya da yanlış şeklinde bir yorum yapılamaz. Bir önerme soru cümlesi, yorum cümlesi ya da uyarı cümlesi olamaz! Önermeler p, q, r, s, t,... gibi küçük harflerle ifade edilirler. Bir önerme doğru ise, yanlış ise 0 sembolüyle gösterilir. Bu sembollere önermenin doğruluk değeri denir. n farklı önerme için 2 n farklı durum vardır. Tanım (Denk Önermeler) Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir ve / sembolü ile gösterilir. p / q (p ile q denk önermeler) p _ q (p ile q denk olmayan önermeler) Tanım (Önermenin Değili) Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen yeni önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir ve bir p önermesinin değili p9 veya p sembollerinden biri ile ifade edilir. p / p9 / 0 veya q / 0 q9 / dir...2. Bileşik Önerme Birden çok önermenin veya, ve, ya da, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önerme, bileşik önermeyi oluşturan önermelere de bileşik önermenin bileşenleri adı verilir. Önermeler ve Vektörler Bileşik Önermeler NİTELİK Yayıncılık Tanım (VEYA Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan en az biri doğru iken doğru (), her ikisi de yanlış iken yanlış (0) olan önermeye p veya q bileşik önermesi denir ve p 0 q sembolüyle ifade edilir. p 0 q / 0 iken p / q / 0 dır. p 0 0 q 0 0 p 0 q 0 p 0 q / iken p ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yapılamaz. Tanım (VE Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan en az biri yanlış iken yanlış (0), her ikisi de doğru iken doğru () olan önermeye p ve q bileşik önermesi denir ve p / q sembolüyle ifade edilir. p / q / iken p / q / dir. p 0 0 q 0 0 p / q p / q / 0 iken p ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yapılamaz. Tanım (YA DA Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q dan yalnız biri doğru iken doğru (), diğer durumlarda yanlış (0) olan önermeye p ya da q bileşik önermesi denir ve p Q q sembolüyle ifade edilir. p q p Q q p Q q / iken p ile q farklı doğruluk değerine sahiptir. p Q q / 0 iken p ve q aynı doğruluk değerine sahiptir. Bileşik Önermelerin Özellikleri VEYA Bağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p 0 p / p (Tek kuvvet özelliği) p 0 q / q 0 p (Değişme özelliği) (p 0 q) 0 r / p 0 (q 0 r) (Birleşme özelliği) p 0 /, p 0 0 / p, p 0 p9 / 2 2

3 VE Bağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p / p / p p / q / q / p (Tek kuvvet özelliği) (p / q) / r / p / (q / r) (Değişme özelliği) (Birleşme özelliği) p / / p, p / 0 / 0, p / p9 / 0 YA DA Bağlacının Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p Q p / 0 p Q q / q Q p (p Q q) Q r / p Q (q Q r) (Değişme özelliği) (Birleşme özelliği) p Q / p9, p Q 0 / p, p Q p9 / VE ile VEYA İşlemlerinin Birbiri Üzerine Dağılma Özellikleri p, q ve r birer önerme olsun. p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) (/ nin 0 üzerine dağılma özelliği) (p 0 q) / r / (p / r) 0 (q / r) p 0 (q / r) = (p 0 q) / (p 0 r) (0 nın / üzerine dağılma özelliği) (p / q) 0 r = (p 0 r) / (q 0 r) De Morgan Kuralları p ve q iki önerme olsun. Bu durumda (p 0 q)9 / p9 / q9 ve (p / q)9 / p9 0 q9 denlikleri sağlanır. Bu denkliklere De Morgan Kuralı denir. p ve q önermeleri için (p Q q)9 / p9 Q q / p Q q9 olur. VE / VEYA Bağlaçlarının Elektrik Devrelerinde Gösterimi Elektrik devrelerinde iki tür bağlanma vardır. Bunlar; I. Paralel Bağlama p q Akım yönü Akımın yolu üzerindeki paralel bağlı olan p ile q anahtarlarından en az biri kapalı iken devreden akım geçer ve lamba yanar. Bu durum p 0 q önermesi ile ifade edilir. NİTELİK Yayıncılık II. Seri Bağlama p q Akım yönü Akımın yolu üzerindeki seri bağlı olan p ile q anahtarlarından her ikisi de kapalı iken devreden akım geçer ve lamba yanar. Bu durum p / q önermesi ile ifade edilir...3. Küme İşlemleri İle Sembolik Mantık Arasındaki İlişki Hatırlatma A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesi ve A9 de A nın tümleyen kümesi olsun. Bu durumda (i) A A9 = E (ii) A A9 = (iii) A (B C) = (A B) C (Birleşme öz.) (iv) A (B C) = (A B) C (Birleşme öz.) (v) A (B C) = (A U B) (A C) (Dağılma öz.) (vi) A (B C) = (A B) (A C) (Dağılma öz.) (vii) (A9)9 = A (Tümleyenin tümleyeni kendisidir.) (viii) (A B)9 = A9 B9 (ix) (A B)9 = A9 B9 eşitlikleri mevcut idi. (De Morgan Kuralı) Mantıkta kullanılan Sembolik sembollerle kümelerde kullanılan sembol- 0 0 / / mantık Kümeler E = ler arasında yandaki tabloda verildiği gibi doğrudan bir ilişki söz Boş küme Evrensel küme konusudur. Bu sembol benzerliği ile yukarıdaki Hatırlatma kutusununda verilen eşitliklerin benzerleri sembolik mantıkta da sırasıyla aşağıdaki denklikler olur. p, q ve r önermeleri için, (i) p 0 p9 / (ii) p / p9 / 0 (iii) p 0 (q 0 r) / (p 0 q) 0 r (Birleşme öz.) (iv) p / (q / r) / (p / q) / r (Birleşme öz.) (v) p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r) (Dağılma öz.) (vi) p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) (Dağılma öz.) (vii) (p9)9 / p (Değilinin değili kendisidir.) (viii) (p 0 q)9 / p9 / q9 (ix) (p / q)9 / p9 0 q9 (De Morgan Kuralı). ÜNİTE: MANTIK 3

4 . ÜNİTE: MANTIK..4. Koşullu Önerme Tanım (İSE Bağlacı) p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru, q yanlış iken yanlış (0), diğer durumlarda doğru () olan önermeye p ise q önermesi veya koşullu önerme adı verilir ve p q sembolüyle gösterilir. p q / 0 iken p / ve q / 0 olmalıdır. p q p q p q / iken p ve q nun doğruluk değerleriyle ilgili kesin bir yorum yapılamaz. p ve q önermeleri için p q / p9 0 q denkliği daima sağlanır. Tanım p q bileşik önermesi doğru iken p önermesine q için yeter şart, q önermesine ise p için gerek şart denir. ANCAK VEYA ANCAK Bağlacının Özellikleri p ve q birer önerme olsun. Bu durumda p q / q p (Değişme öz.) p p / p p9 / p9 p / 0 p / p / p p 0 / 0 p / p9 (p q)9 / p9 q / p q9 (Ancak ve Ancak'ın Değili) (p q)9 / p Q q Dolayısıyla p q (İSE) şekliyle verilen bir bileşik önerme, dengi olan p9 0 q bileşik önermesine çevrilerek işlem yapılabilir. İSE Bağlacının özellikleri p, q ve r birer önerme iken aşağıda verilen özellikler sağlanır. p p / 0 p / p 0 / p9 p / p p / p p9 / p9 p9 p / p Ayrıca nin 0 ve / üzerine dağılma özellikleri vardır. p (q 0 r) / (p q) 0 (p r) p (q / r) / (p q) / (p r) Tanım (Koşullu Önermenin KARŞITI, TERSİ ve KARŞIT TERSİ) p ve q birer önerme olmak üzere p q önermesinin NİTELİK Yayıncılık..6. Sözel Olarak veya Sembolik Mantıkta Verilen Bileşik Önermeleri Birbirine Çevirme Hatırlatma Sembolik mantıkta verilen sembollerin sözel ifadeleri aşağıdaki gibiydi. 0 (VEYA) / (VE) Q (YA DA) (İSE) (ANCAK VE ANCAK) Matematikte verilen bileşik önerme, bileşenlerinin sembolik mantıkta kullanılan bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilir. p 0 q... p veya q p / q... p ve q p Q q... p ya da q p q... p ise q p q... p ancak ve ancak q karşıtı q p önermesi, tersi p9 q9 önermesi ve karşıt tersi q9 p9 önermesidir...7. Totoloji ve Çelişki Tanım p ve q önermeleri için p q ile q9 p9 bileşik önermeleri birbirine denktir. Tanım (ANCAK VE ANCAK Bağlacı) p ve q iki önerme olsun. p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru (), farklı değerleri aldığında yanlış (0) olan önermeye iki yönlü koşullu önerme denir, p q biçiminde gösterilir ve p ancak ve ancak q biçiminde okunur. p q / ise p ile q aynı değerlidir. p q / 0 ise p ile q farklı değerlidir. p q p q p ve q için p q / (p q) / (q p) denkliği sağlanır. Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm durumları için daima doğru () oluyorsa bileşik önermeye totoloji, daima yanlış (0) oluyorsa çelişki adı verilir. Örneğin bir tiyatro oyunu için, "Yerli veya yabancıdır." yorumu kesinlikle doğrudur ve totolojidir. "Yerli ve yabancıdır." yorumu ise kesinlikle yanlıştır ve çelişkidir. Bir p önermesi için elde edilebilecek totoloji ve çelişkilerin birkaçı aşağıdaki gibi verilebilir. p 0 / (Totoloji) p Q p9 / (Totoloji) p p / (Totoloji) p p / (Totoloji) p / p9 / 0 (Çelişki) p / 0 / 0 (Çelişki) p Q p / 0 (Çelişki) p p9 / 0 (Çelişki) 4

5 . Aşağıda verilen ifadelerin hangisi ya da hangileri bir önerme belirtir? I. "Elif zeki bir öğrencidir." II. "Buğra Türk vatandaşıdır." III. "2 tek sayıdır." IV. "Sınavın nasıl geçti?" V. "Türkiye Avrupa Birliği'ne üye değildir." Uygulama Soruları 4. p, q ve r önermeleri için p / q / ve p9 0 r / olduğu biliniyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. p / r /... b. q9 Q r /... c. q9 0 r9 / p : Nilay üniversite mezunudur. q : Nilay iş bulmuştur. r : Nilay ın arabası vardır. önermeleri için aşağıda verilen ifadeleri koşullu önerme şeklinde yazınız. a. "Nilay üniversite mezunuysa iş bulur." b. "Nilay ın arabası varsa iş bulur." c. "Nilay iş bulamazsa üniversiteyi bitirir.". ÜNİTE: MANTIK 2. p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 0, 0 ve dir. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. 5. p ve q önermeleri için p / ( 0 q) / 0 ve p9 Q q / 0 olduğuna göre p 0 q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 8. p, q ve r önermeleri için (p9 0 q) 0 r / 0 olduğuna göre (p Q q9) 0 r9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. a. p 0 q /... b. p Q r /... c. q9 / r /... d. r9 0 p /... e. p9 / r9 / p : 2, 2 den küçük değildir. q : Siyah, beyazdan koyu bir renktir. r : En küçük rakam dir. önermeleri için (p9 0 r) Q q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 6. p ve q önermeleri için aşağıda verilen bileşik önermelerin en sade şekillerini bulunuz. a. p 0 (p9 / q) b. p Q (p9 Q 0)9 c. (p9 Q q) Q p 9. [(p Q q) q] / 0 olduğuna göre p önermesinin doğruluk değeri nedir? 5

6 . ÜNİTE: MANTIK 0. Aşağıda verilen elektrik devrelerinin ifade ettiği bileşik önermeleri yazınız. a. p q 3. p : Telefonumun şarjı bitti. q : Tabletimin şarjı bitti. r : İnternete girebilirim. önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri mantık sembolleri ile ifade ediniz. 6. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 / q) p 0 q koşullu önermesinin karşıt tersinin en sade şeklini bulunuz. b. p q r a) Telefonumun şarjı bitmedi ve internete girebiliyorum. b) Telefonumun ve talbetimin şarjı biterse internete giremem. c. r q s p. Aşağıda istenen durumları ifade ediniz. 4. Aşağıda verilen denkliği doğruluk tablosu yardımıyla gösteriniz. 7. Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. 2 asal sayı ise 2 tam sayı de- p9 q / p Q q a. (p9 r) (r9 p) ğildir. önermesinin tersi b. p : Papağanımın kanadı kırık. b. (p q) / (p Q q) q : Papağan uçamaz. önermeleri için p q nun karşıt tersi 2. Aşağıda verilen önermelerinin olumsuzlarını (değillerini) bulunuz. a. p / q9 b. p9 0 q9 c. (p9 0 q) / (p / q) d. (p9 Q q9 ) 0 r 5. [(p / q9) 0 (p9 / q)]9 / p... q denkliğinde p ve q birer önermedir. Denklikte verilen boşluğa hangi mantıksal sembol getirilmelidir? 8. p ve q önermeleri için p (p 0 q9) / p 0 q denkliğinin sağlandığını sembolik mantık işlemleri ile gösteriniz. 6

7 . I de bir yorum söz konusudur. Elif'in zeki olma durumu kişiden kişiye değişir. Önerme değildir. IV de bir soru cümlesi verilmiştir. Soru cümleleri önerme olamaz. Diğerlerinde doğru ya da yanlış kesin bir hüküm söz konusudur. Uygulama ÇÖZÜMLER Soruları 4. q / p / ise p / q / olmalıdır. p9 0 r / 9 0 r / 0 0 r / r / olmalıdır. a. p / r / / / 7. a. p q b. r q c. q9 p olur. Nilay iş bulamazsa. ÜNİTE: MANTIK Dolayısıyla II, III ve IV birer önerme b. q9 Q r / 9 Q / 0 Q / 8. (p9 0 q) 0 r / 0 p9 0 q / 0, r / 0 olur. c. q9 0 r9 / / / 0 p9 0 q / 0 p9 / 0, q / 0 bulunur. p / olmalıdır. O halde (p Q q9) 0 r9 / ( Q 09) veya (0) bağlacında iki önerme de 0 iken 0, diğer durumlarda dir, ve (/) bağlacında iki önerme de iken, diğer durumlarda 0 dır, ya da (Q) bağlacında iki önerme farklı doğruluk değe- 5. p / ^ 0 qh > / 0 olduğundan kesinlikle p / 0 dır. p9 Q q / 0 09 Q q / 0 / ( Q ) 0 / 0 0 / rine sahipse, aynı doğruluk değerine sahipse 0 dır. O halde p / 0, q / 0 ve r / olduğundan a. p 0 q / / 0 b. p Q r / 0 Q / c. q9 / r / / / Q q / 0 q / dir. O halde p 0 q9 / / / 0 olur. 9. " " bağlacında 0 / 0 dışındaki tüm durumlarda koşullu önerme e denk olur. [ ^pq qh& q] :;;; < + / 0 olmalıdır. 0 q / 0 ve p Q q / d. r9 0 p / / 0 e. p9 / r9 / / 0 / 0 H 6. a. p 0 (p9 / q) / ( p0 p9) / (p 0 q) p Q 0 / p / bulunur. 3. Verilen önermelerden p doğru, q doğru ve r yanlış (en küçük rakam 0) olduğundan p /, q / ve r / 0 dır. O halde (p9 0 r) Q q9 / (9 0 0) Q 9 / (0 0 0) Q 0 / 0 Q 0 / 0 olur. (Dağılma öz.) / / (p 0 q) / p 0 q b. p Q (p9 Q 0)9 / p Q (p9 Q ) (De Morgan Kur.) / p Q p (Aynı) / 0 farkl H c. (p9 Q q) Q p / ( p9 Q p) Q q (Birleşme öz.) / Q q / q9 0. Elektrik devrelerinde seri bağlamada ve (/), paralel bağlamada veya (0) bağlacı kullanılır. p p q p / q q p 0 q Dolayısıyla a. p / q b. p / (q 0 r) c. (p / q) / (r 0 s) olur. 7

8 . ÜNİTE: MANTIK. a. p q önermesinin tersi p9 q9 olduğundan verilen önermede p: "2 asal sayıdır." ve q: " 2 tam sayı değildir." şeklinde tanımlanırsa koşullu önermenin tersi "2 asal sayı değilse 2 tam sayıdır." şeklinde bulunur. b. p q koşullu önermesinin karşıt tersi q9 p9 dir. Dolayısıyla verilen önermenin karşıt tersi "Papağan uçabiliyorsa kanadı kırık değildir." şeklinde olur. 4. p q p9 p9 q p Q q Doğruluk tablosundan da görüldüğü gibi p q / p Q q olur. 7. a. (p r) (r p) / t olsun. t / (p 0 r) 0 (r 0 p) (Değişme öz.) / (p 0 r) 0 (p 0 r) (p 0 r = s olsun) / s 0 s / b. (p q) / (p Q q) bileşik önermesinde I. Durum p ile q aynı doğruluk değerli olsun. Bu durumda p q /, p Q q / 0 olacağından 2. De Morgan'dan (p 0 q) = p / q ve (p / q) = p 0 q idi. O halde a. (p / q ) / p 0 (q ) / p 0 q b. (p 0 q ) / (p ) / (q ) / p / q c. [(p 0q) / (p/q)] / (p 0q) 0 (p/q) / ((p ) / q ) 0 (p 0 q ) / (p / q ) 0 (p 0 q ) d. (p Q q) / p Q q veya (p Q q) / p Q q idi. [(p Q q ) 0 r] / (p Q q ) / r / (p Q q ) / r (veya) / (p Q q ) / r dir. 3. a. Telefonumun şarjı bitmedi. (p ) ve internete girebiliyorum. (r) p / r b. Telefonumun ve tabletimin sarjı biterse internete giremem (r ) (p / q) r 5. [(p / q ) 0 (p / q)] önermesinde De Morgan Kuralını ve p q / p 0 q denkliğini kullanırsak / (p / q ) / (p / q) / (p 0 q) / (p 0 q ) / (p q) / (q p) / p q elde edilir. Yani denklikte boş bırakılan yere sembolü getirilmelidir. 6. p q koşullu önermesinin karşıt tersi q p dir. Öte yandan p q = p 0 q denkliği de dikkate alınırsa (p / q) p 0 q önermesinin karşıt tersi (p 0 q) (p / q) / ((p 0 q) ) 0 (p 0 q ) / (p 0 q) 0 (p 0 q ) (Birleşme öz.) / (p 0 p) 0 (q 0 q ) / p 0 / olur. (p q) / (p Q q) / / 0 / 0 olur. II. Durum p ile q farklı doğruluk değerli olsun. Bu durumda p q / 0, p Q q = olacağından (p q) / (p Q q) / 0 / / 0 dır. Yani her iki durumda da (p q) / (p Q q) / 0 olacaktır. Ya da daha kısa bir çözüm olarak (p Q q) / p q denkliği kullanılırsa (p q) / (p Q q) / s / s / 0 olur. s olsun 8. p (p 0 q ) ifadesi [p (p 0 q )] / [(p 0 q ) p] / [p 0 (p 0 q )] / [(p 0 q ) 0 p] / [(p 0 p) 0 q ] / [(p / q) 0 p] (Birleşme) (Dağılma) / ^ 0 q9h > / [ ^ > p9 0 ph/ ^q0 ph] / / [ / (p 0 q)] / / (p 0 q) / p 0 q bulunur. 8

9 TEST - 2TEST -. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme belirtir? A) "Nasılsın?" B) "Yarın okula gidecek misin?" C) "Çok yorgunum." D) "Doktorlar Tıp Fakültesi mezunudur." E) "Bu soru çok zor." Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. Aşağıda önermelerle ilgili verilenlerden hangisi yanlıştır? A) 9 / 0 B) 09 / C) (p9)9 / p D) (9)9 / 0 E) (09)9 / 0 7. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) 0 0 B) 0 C) 0 Q D) 0 0 E) /. ÜNİTE: MANTIK 2. p : "3 + 8 > 0 dur." q : "2 en küçük asal sayıdır." t : "Bir hafta 6 gündür." r : "Bütün önermeler doğrudur." s : "Bir yıl 2 aydan oluşur." Yukarıda verilen önermelerin kaçı doğrudur? 5. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerleri toplamı kaçtır? p : " < tir." 3 5 q : "3 en küçük tek asal sayıdır." r : "Filler denizde yaşar." s : "Çift sayıların tek kuvvetleri tektir." farklı önermenin doğruluk tablosu yapılırken 32 farklı durumla karşılaşılır. cümlesinde boş bırakılan yere kaç yazılmalıdır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 32 A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 0 B) C) 2 D) 3 E) 4 3. p : "Arda lise öğrencisidir." q : "Arda çalışmaktadır." önermeleri veriliyor. Buna göre "Arda lise öğrencisidir veya çalışmaktadır." bileşik önermesinin gösterimi aşağıdakilerden A) p 0 q B) p / q C) p Q q D) p E) q 6. p yanlış, q doğru bir önerme olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi daima doğrudur? A) q B) p / q C) p 0 q D) p / q E) p / q 9. p : 3 > 5 tir. önermesi için p9 önermesi aşağıdakilerden A) 3 < 5 tir. B) 3 5 tir. C) 3 = 5 tir. D) 3 5 tir. E) 3 > 5 tir.. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. B 9

10 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 2. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi önerme belirtir? I > 2 dir. II. III. IV. Tüm hayvanlar iki ayaklıdır. Bir gün 24 saattir. Yolcuğun iyi geçti mi? Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) 0 0 / B) / / C) 0 Q / D) Q / E) / 0 7. p 0 q önermesinin değili aşağıdakilerden A) p / q B) p 0 q C) p / q D) q / p E) p / q A) 0 B) C) 2 D) 3 E) 4 2. p : "Nesrin gözlüklüdür. 5. p, q ve r birer önermedir. 8. I. 0 p q : "Nesrin üniversite öğrencisidir." p 0 q / 0 ve q Q r / II. 0 / p önermeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi "Nesrin gözlüksüzdür veya üniversite öğrencisidir." önermesini ifade eder? A) p 0 q B) p 0 q C) p / q D) p q E) p 0 q olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Üç önerme de doğrudur. B) İkisi doğru, biri yanlıştır. C) İkisi yanlış, biri doğrudur. D) Üç önerme de yanlıştır. E) Yorum yapılamaz. III. Q p IV. p / p V. p Q p Yukarıda verilen bileşik önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri dir? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. p bir önerme ise / p önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) p E) Yorum yapılamaz 6. Aşağıda p ve q önermeleri için verilen denkliklerden hangisinde p ve q nun doğruluk değeri kesin olarak bilinir? A) p q / 0 B) p / q / 0 C) p 0 q / D) p Q q / E) p q / 0 9. p : 3 < 5 tir. q : Haftaiçi 6 günden oluşur. önermeleri için verilen aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p / q B) p Q q9 C) p q D) p q E) p9 0 q9 0. D 2. A 3. C 4. D 5. C 6. A 7. C 8. B 9. E

11 TEST - 2TEST - 3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme belirtmez? A) x gerçek sayısı için x 2 0 dir. B) En küçük tek asal sayı 5 tir. C) Sınavım kötü geçti. D) < 0 dur. E) 86 sayısı 8 ile tam bölünebilir. Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p 0 p9 bileşik önermesinin dengi aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) p9 E) p / 7. p bir önerme olduğuna göre p9 p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) p9 D) E) Yorum yapılamaz. ÜNİTE: MANTIK 2. p: "Doğukan sarışındır." q: "Doğukan İngilizce kursuna gitmektedir." önermeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi "Doğukan sarışındır ve İngilizce kursuna gitmemektedir." önermesini ifade eder? A) p 0 q B) p / q C) p / q D) p q E) p 0 q 5. p, q ve r önermelerine göre aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) p 0 q / q 0 p B) p / q / q / p C) (p / q) / r / p / (q / r) D) p / p / p 0 p E) p 0 p9 / p 8. p bir önerme olmak üzere p p9 bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) p9 D) E) Yorum yapılamaz 3. p önermesi için p 0 /... cümlesindeki boşluğa aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? A) 0 B) C) p D) p9 E) Yorum yapılamaz. 6. p ve q önermeleri için p q9 koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden A) p q9 B) p9 q9 C) q9 p9 D) q p9 E) q9 p 9. p ve q önermeleri için, p9 0 q9 / olduğuna göre p / q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) p9 E). C 2. C 3. D 4. B 5. E 6. E 7. B 8. B 9. A

12 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 4. p önermesinin değilinin doğruluk değeri olduğuna göre aşağıda verilen önermelerden hangisi yanlıştır? A) p 0 0 B) p Q C) p 0 D) p 0 E) p 0 4. p, q ve r birer önermedir. p / (q 0 r9)9 / Önermeler ve Bileşik Önermeler olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p / q B) q / r C) p Q r D) p q E) q9 r 7. p / ve q / 0 olmak üzere aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) p 0 q B) p Q q C) p q D) p q9 E) p / q9 2. p : Ali futbol takımındadır." q : Ali satranç şampiyonudur." önermeleri veriliyor. "Ali futbol takımındadır fakat satranç şampiyonu değildir." önermesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) p / q B) p9 0 q C) p 0 q9 D) p / q9 E) p9 / q 5. p önermesi için aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) p p9 B) p p9 C) p / D) p Q 0 E) p 8. p ve q önermeleri için (p 0 q) / (p9 0 q) önermesinin dengi olan önerme aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) q E) p / q 3. p yanlış ise q doğrudur. önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden A) p doğru ise q doğrudur. B) p doğru ise q yanlıştır. C) p yanlış ise q yanlıştır. D) q yanlış ise p yanlıştır. E) q yanlış ise p doğrudur. 6. q p Yukarıda verilen elektrik devresi modelinde hangi bileşik önerme modellenmiştir? A) (p 0 q) / r B) (p 0 q) 0 r C) p 0 (q / r) D) p / (q 0 r) E) (p / q) 0 r r 9. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) (p / q)9 / p9 / q9 B) (p Q q)9 / p9 Q q C) (p q)9 / p / q9 D) (p q)9 / p9 q E) (p 0 q)9 / p9 / q9 2. A 2. D 3. E 4. E 5. E 6. C 7. C 8. D 9. A

13 TEST - 2TEST - 5. p : "Her hayvan bir canlıdır." q : "Her canlı bir hayvandır." önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p / q B) p Q q C) p q D) p q E) p9 0 q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 / q9 )9 / p... q denkliğinde boş bırakılan yere hangi mantıksal sembol getirilmelidir? A) 0 B) / C) Q D) E) 7. p ve q iki önermedir. p v q bileşik önermesinin e denk olması olasılığı kaçtır? 3 A) B) C) D) E) Bulunamaz. ÜNİTE: MANTIK 2. (p / q) 0 r 5. p ve q önermeleri için 8. p : Bir hafta 7 gündür. ifadesinin değili aşağıdakilerden A) (p / q) 0 r9 B) (p 0 q) / r9 C) (p9 0 q) / r D) (p9 0 q9) / r E) (p9 0 q9) 0 r p q9 / 0 olduğuna göre p9 Q q9 bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) p9 E) q : İzmir Ege Bölgesi'ndedir. önermeleri için aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur? A) p / q9 B) p Q q C) p q D) p9 q E) p9 0 q9 3. p ve q birer önerme olduğuna göre (p / p9) Q (p 0 p9) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) q9 6. p ve q önermeleri için p Q q9 / 0 olduğuna göre aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) p 0 q B) p / q C) p9 / q D) p q E) p q 9. (p p9 ) / (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p9 / q. B 2. D 3. B 4. A 5. A 6. A 7. C 8. C 9. A 3

14 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 6. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) / 0 B) 0 Q 0 C) 0 D) E) Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p Q (p9 q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) q 7. p ve q önermeleri için [p9 0 (q / p)]9 önermesi aşağıda verilenlerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) p / q9 2. p q önermesi çelişki olduğuna göre (p q) 0 p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) C) 0 5. p ve q önermeleri için p / (p q) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 8. p 0 (p 0 q)9 önermesinin değilinin en sade şekli aşağıdakilerden A) p q B) q p C) p q D) q E) p q A) 0 B) p C) D) 0 E) D) p 0 q E) p / q 3. p (p9 q) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) p C) q D) p9 E) 6. p q9 önermesinin değili aşağıda verilenlerden hangisi ya da hangilerine denk olabilir? I. p9 q9 II. p9 q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, III ve III 9. p q9 / ve q p / olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi yanlıştır? A) p q B) p 0 q C) p Q q D) p9 q E) p / q9 4. D 2. B 3. E 4. E 5. E 6. D 7. E 8. A 9. A

15 TEST - 2TEST - 7. (p q) p9 koşullu önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) p / q E) p 0 q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. (p9 / q) (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 0 q 7. p ve q birer önermedir. I. (p / q) (p 0 q) II. (p 0 q) (p / q) III. (p q) (p 0 q) koşullu önermelerinden hangisi ya da hangilerinin yanlış olması imkansızdır? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. ÜNİTE: MANTIK 2. p q önermesi çelişki olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi bu önermeye denktir? A) q p B) q C) p D) q p E) p / q 5. (p 0 q) r önermesinin tersi aşağıdakilerden A) (p 0 q) r B) (p / q) r C) (p / p ) r D) (p / q) p E) r (p 0 q) 8. p ve q önermeleri için verilen p (p 0 q) bileşik önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denk olur? A) 0 B) p C) q D) p 0 q E) 3. p r 6. p : = 7 9. p9 (p / q) p Lamba Aşağıdaki durumlardan hangisinde lamba yanmaz? A) p / 0, r / 0 B) p / 0, r / C) p /, r / D) p /, r / 0 E) p / 0 q : 2 3 < 5 önermeleri veriliyor. Buna göre p q önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) tir. B) tir. C) 2 3 < dir. D) dir. E) 2 3 > = 7 dir. önermesinin karşıt tersinin en sade şekli aşağıdakilerden A) p B) q C) p9 D) q9 E) p 0 q. D 2. E 3. D 4. B 5. A 6. D 7. A 8. A 9. A 5

16 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 8. p bir çelişki ise p / (p 0 q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p C) q D) p / q E) p 0 q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p önermesi için ( p) 0 p ifadesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) p D) E) Yorum yapılamaz. 7. (p9 / q) q bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) p 0 q 2. p q bir çelişki olduğuna göre (p q) 0 p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) p C) q D) E) p q 5. p / q ve q 0 r bileşik önermeleri birer totolojidir. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi bir çelişkidir? A) p / r B) r 0 p C) p 0 q D) q 0 r E) r q 8. x 4 = (x = veya x = ) önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) x ve x ise x 4 dir. B) x veya x ise x 4 dir. C) x ve x ise x 4 = dir. D) x = ve x = ise x 4 = dir. E) x = veya x = ise x 4 dir. 3. p9 (p q) / 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) p / 0 B) p / C) q / 0 D) q / E) p / q / 0 6. q p s r Lamba Yukarıdaki elektrik devresini ifade eden önerme aşağıdakilerden A) [p / (q 0 r)] / s B) [p / (q 0 r)] 0 s C) [p 0 (q 0 r)] 0 s D) [p 0 (q / r)] 0 s E) [p / (q / r)] 0 s 9. p, q ve r önermeleri için p (q9 0 r) önermesi bir totolojidir. Buna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerinin sırasıyla yazılmasıyla elde edilen aşağıdaki üçlülerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A), 0, B),, 0 C),, D) 0,, E) 0, 0, 6. B 2. D 3. D 4. D 5. E 6. A 7. B 8. A 9. B

17 TEST - 2TEST - 9. p ve q birer önerme olmak üzere [(p / q) 0 p]9 / p bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) p C) q D) p / q E) Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. (p q) p önermesi bir totoloji belirttiğine göre (p 0 q) (p / q) ifadesi aşağıdaki önermelerden hangisine kesinlikle denktir? A) p B) p C) q D) p q E) p q 7. p ve q birer önerme olmak üzere (p9 q) (q9 p) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) r E) r9. ÜNİTE: MANTIK 2. p ve q önermeleri için [p9 0 (p q)9] p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) p9 E) q9 5. (p q) (p / q9 ) önermesinin değilinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) p C) p9 D) q E) 8. [(p / q9 ) 0 (p9 / q)]9 önermesi aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisine denktir? A) p 0 q B) p Q q C) p / q D) p q E) p q 3. (p q) p9 önermesinin değilini ifade eden bileşik önerme aşağıdakilerden A) p 0 q B) p Q q C) p / q D) p q E) p q 6. p9 r Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermenin değili aşağıdakilerden q A) [(p9 / q) / r] / s9 B) [(p / q9 ) / r] / s9 C) [(p9 0 q) 0 r] 0 s D) [(p 0 q9 ) 0 r9] 0 s E) [(p 0 q9 ) / r9] 0 s s9 9. p ve r önermeleri için (p9 / r) (r9 0 p) / I II denkliği veriliyor. Buna göre I ve II yerine sırasıyla aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? A) r, p B) r, p9 C) r9, p D) p, r E) p9, r. A 2. C 3. C 4. B 5. E 6. E 7. B 8. E 9. A 7

18 . ÜNİTE: MANTIK TEST - TEST 2-0. (p9 q9 ) / (p 0 q) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) 0 B) C) p D) q E) p / q Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. p : Şu an vakit öğleden öncedir. q : Tiyatro öğleden sonra başlayacaktır. önermeleri tanımlanıyor. Tiyatro başladı. önermesi aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi ile ifade edilebilir? A) p / q B) p9 / q C) p9 0 q D) p q E) p9 q 7. "Cenk mezun olduktan sonra işe başlayacaktı fakat işe başlayamadı." bileşik önermesinin p : "Cenk mezun oldu." q : "Cenk işe başladı." önermeleri ile ifadesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) p9 q B) p q9 C) (p q9) q D) (p9 q) / q9 E) (p q) / q9 2. (p9 0 q) / (p / r9 ) / olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p / r B) q9 0 r C) q r D) r Q q E) q9 r9 5. p ve q birer önerme olmak üzere (p q9 ) / (q9 p) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) p q9 B) p9 q C) p q D) p q E) q p 8. p : "x = 2 dir." q : "x + 3 = 0 dır." önermeleri veriliyor. Aşağıdaki verilenlerden hangisi p 0 q önermesine denktir? A) x 2 x 6 = 0 B) x 2 + x 6 = 0 C) x = y + 5 D) x 2 + xy = 0 E) y = x 6 3. p q r t Lamba Yukarıdaki elektrik devresini ifade eden uyan önerme aşağıdakilerden A) (p 0 q) 0 (r 0 t) B) (p 0 q) 0 (r / t) C) (p 0 q) / (r / t) D) (p / q) 0 (r / t) E) (p 0 q) / (r 0 t) 6. Aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a + b = 5 [a = 2 / b = 3] B) a b = 6 [a = 2 / b = 3] C) [x = 2 / y = 3] x y = 6 D) x 2 = 4 x = 2 ve x = 2 E) (x 2) (y 3) = 0 [x = 2 / y = 3] 9. p : "a + b 0 dır." q : "a = c dir." önermeleri veriliyor. Aşağıda verilenlerden hangisi p q önermesine denktir? A) a 2 + ab = ac + bc B) a 2 + ac = ab + bc C) a 2 + bc = ac + bc D) a 2 + bc = ac + c 2 E) a 2 + ab = ac + b 2 8. C 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. E 8. B 9. A

19 .2.. Niceleyiciler BÖLÜM -.2. Her ve bazı sözcükleri önlerine getirilen elemanların çokluğunu ifade eden niceleyicilerdir. Her sözcüğü sembolüyle, bazı sözcüğü de sembolüyle ifade edilmektedir. sembolü, bazı sözcüğünün dışında aslında matematiksel olarak aynı anlamda olan en az bir sözcüğüyle de kullanılmaktadır. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri Tanım Herhangi bir E evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış bir açık önermeyi doğrulayan elemanların oluşturduğu kümeye bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi, bu kümenin her bir elemanına da çözüm adı verilir. Niceleyicilerin Değili. ÜNİTE: MANTIK Tanım En az bir anlamına gelen bazı ( ) niceleyicisine varlıksal niceliyici, tamamı anlamına gelen her ( ) niceleyicisine de evrensel niceleyici adı verilir. "p(x) açık önermesi A kümesinin tüm elemanları için doğrudur." önermesinin değili "p(x) açık önermesi A kümesinin bazı elemanları için yanlıştır." [ x, p(x)]9 / x, p9(x) "q(x) açık önermesi A kümesinin bazı elemanları için doğrudur." önermesinin değili niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki her elemanın verilen şartı sağlaması gerekir. Sağlamayan bir elemanın bile varlığı önermenin yanlış olduğu anlamına gelir. niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki bir elemanın verilen şartı sağlaması yeterlidir. Önermenin yanlış olması için kümedeki hiçbir elemanın verilen şartı sağlamaması gerekir Açık Önermeler Tanım (Açık Önerme) Doğruluğu, içinde bulunan değişkene bağlı olan önermelere açık önerme denir. Örneğin x değişkenine bağlı bir p(x) : "x çift sayıdır." önermesi bir açık önermedir. Zira verilen önerme x in bazı değerleri için doğru iken bazı değerleri için de yanlış olacaktır. p(2) / p(4) / p(2) / ve p( 3) / p() / p(7) / 0... gibi. Açık önermede değişken sayısı birden çok da olabilir. Örneğin a ve b değişkenine bağlı bir q(a, b) : "a, b N için (a 3) (b + ) 0 dır." önermesi de bir açık önermedir. q(, 2) / (( 3) ( + 2) = 6 0 dır.) q(7, ) / 0 ((7 ) ( + ) = 2 % 0 dır.) NİTELİK Yayıncılık "q(x) açık önermesi A kümesinin her elemanı için yanlıştır." [ x, q(x)]9 / x, q9(x) dir Tanım, Aksiyom, Teorem, İspat Terimleri Tanım Kavramı Özellikle öğrenim hayatımızın birçok aşamasında karşılaştığımız tanım kavramı öğrenmeye başlamanın temellerinden biridir ve bir konu veya araştırma hakkında bilgi sahibi olabilmenin ilk şartlarındandır. Bir konuyu ya da kavramı anlayabilmek için gerekli terimlerin tanımlarını bilmek öğrenmeyi hızlandıracaktır. Bir terimin tanımı, kişisel yorumlar katılmadan mümkün olduğunca açık ve sade bir dille, herkes tarafından kabul görecek şekliyle (bir önerme olarak) yapılmalı ve terimi kavrayabilmek için gerekli tüm bilgiler eksiksiz bir şekilde verilmelidir. Aksiyom Doğruluğu ispatlanmayan ancak doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom (postulat) adı verilir. Aksiyomlar, doğruluğu hissedilen ancak önceden verilen tanım ya da önermeler kullanılarak bir matematiksel sistem içerisinde doğruluğu gösterilemeyen olgulardır. Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 9

20 . ÜNİTE: MANTIK Bilinen bazı aksiyomlar; Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. Bir bütün parçalarından büyüktür. Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti dir. Bütün dik açılar birbirine eştir. I. Doğrudan İspat Yöntemi Bilenen tanım, aksiyom ve teoremler yardımıyla p q koşullu önermesinde p önermesinin (hipotez) doğruluğundan hareketle q önermesinin (hüküm) doğru olduğunu göstermeye doğrudan ispat yöntemi denir. Bir eşitliğe eşit sayılar eklenirse ya da eşitlikten eşit sayılar çıkarılırsa eşitlik bozulmaz. biçiminde verilebilir. Teorem Doğruluğu gösterilmiş önermelere teorem, doğruluğunu göstermek için kullanılan işlemler bütününe de ispat (kanıt) adı verilir. II. Dolaylı İspat Yöntemi Karşıt Ters (Olmayana Ergi) İspat Yöntemi Hatırlatma p ve q önermeleri için p q / q9 p9 idi. p q koşullu önermesi ile verilen bir teoremin ispatında doğrudan ispat yöntemi kullanışlı değilse bu önermeye denk olan q9 p9 koşullu önermesi doğrudan ispatlanır. Bu yönteme karşıt ters (olmayana ergi) ispat yöntemi denir. Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri p q koşullu önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm (iddia) adı verilir. Teoremin başka bir tanımı da aşağıdaki şekilde verilebilir. Tanım p hipotezi doğru olan p q koşullu önermesine (gerektirmesine) teorem adı verilir İspat Yöntemleri Bir teoremin ispatlanmasında farklı yöntemler kullanılabilir. İspatın kolay ve sade yapılabilmesi için aşağıdaki şemada verilen yöntemlerden uygun olanı seçilir. Tümevarım yöntemi Karşıt - Ters (olmayana ergi) ispat yöntemi İSPAT YÖNTEMLERİ Doğrudan ispat yöntemi Tümdengelim yöntemi Çelişki yoluyla ispat yöntemi Dolaylı ispat yöntemi Aksine örnek verme ispat yöntemi NİTELİK Yayıncılık Çelişki ile İspat Yöntemi Çelişki yöntemi ile ispat yapılırken p q önermesinin doğru olduğunu ispatlamak yerine p q önermesinin değili olan (p q)9 = p / q9 önermesinin yanlış olduğu ispatlanır. Aksine Örnek Verme İspat Yöntemi Bu ispat yöntemi genellikle p q şeklinde verilen bir önermenin yanlış olduğunu (teoremi çürütmek amaçlı) göstermek için kullanılır. Eğer hipoteze uygun bir durum hükmü sağlamazsa teorem çürütülmüş olur. Yani iddia bir teorem olamaz..2.5 Tümevarım İspat Yöntemi n N + ve D N + olmak üzere p(n), n ye bağlı bir hüküm olsun. n 0, D nin en küçük elemanı iken, p(n 0 ) doğru p(n) yi n = k için doğru (kabul edelim.) p(n) n = k + için doğru oluyorsa n N + için p(n) doğrudur. Bu ispat yöntemine tümevarım ispat yöntemi denir. 20

21 . Aşağıda verilen önermelerin açık önerme olup olmadıklarını belirleyiniz. a. "Sezgin gitar çalabilmektedir." b. "A vatandaşı öğretmendir." c. "x R, x 2 4 = 0 dır." d. "y R, 3y + 4 tür." Uygulama Soruları 4. Aşağıda verilen önermelerin değillerini (olumsuzlarını) bulunuz. a. x R, x 3 b. x Z, x 2 x + 2 = 0 c. 7x R, x 3 > x d. 7x N, x! asaldır. 7. Aşağıda verilen teoremlerin hipotez ve hükümlerini belirleyerek yanlarında yazılan yöntemlerle ispatlarını yapınız. a. "İki asal sayının toplamı tek ise çarpımı çifttir." (doğrudan ispat yöntemi). ÜNİTE: MANTIK b. "x < 2 ise x 2 4 tür." (aksine örnek ispat yöntemi) 2. p(x) : x 3 + x 2 0 açık önermesi için p(0), p() ve p(2) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz. 5. Aşağıda verilen bileşik önermelerin değillerini bulunuz. a. (7x, x 2 > 0) / ( x, x 2) b. (7x, x 2 x = 0) 0 (7x, x 2 0) c. ( x, x 2 = ) (7x, x < 0) c. "x 3 > 26 ise x > 3 tür." (karşıt - ters (olmayana ergi) ispat yöntemi) 3. Aşağıda x gerçek sayıları için verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. p : "7x, x 2 = " b. q : "7x, x 2 + < 0" c. r : " x, x 3 0" d. s : " x, (x ) 2 = x 2 2x + " e. t : " x, x 2 > 0" 6. (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) koşullu önermesinin doğruluk değerini bulduktan sonra önermesinin a. karşıtını b. tersini c. karşıt tersini yazınız. d. "n N + olmak üzere, n = : 2 2 : 3 n : ( n+ ) n + dir." (tümevarım ispat yöntemi) e. "n N + için n + 2 n " (tümevarım ispat yöntemi) Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 2

22 . ÜNİTE: MANTIK. a. Önerme içinde bilinmeyen olmadığı için açık önerme değildir. b. A yerine öğretmen olan biri yazılırsa doğru, öğretmen olmayan biri yazılırsa yanlış bir önerme olur. ÇÖZÜMLER 3.! 7 niceleyicisi için önermenin bir eleman için bile verilen şartı sağlaması önermeyi doğru yapar. a. p : "Ex, x 2 = " önermesi örneğin x = için 2 = (Doğru) olacağından p / dir. 4. ( ) /, ( ) / ve (=) /, (>) /, ( ) / < olduğu dikkate alınırsa a. ( x R, x 3) / 7x R, x > 3" b. ( x Z, x 2 x + 2 = 0) Önermede A değişkeni bulundu- / 7x Z, x 2 x ğundan bir açık önermedir. b. q : "7x, x 2 + < 0" c. (7x R, x 3 > x) / x R, x 3 x c. x yerine 2 veya 2 konulursa x 2 + < 0 x 2 < d. (7x N, x! asaldır.) doğru, diğer tüm değerler için yanlış bir önerme olmaktadır, x değişken olduğundan bir açık önermedir. d. y yerine ya da daha küçük bir değer yazılırsa doğru, diğer değerler için yanlış önerme olur. Önermede y değişken olduğundan bir açık önermedir. şartını sağlayan x R yoktur. Dolayısıyla eleman bile sağlamadığı için q = 0 olur.! niceleyicisi için önermeyi tanımlı tüm elemanların sağlaması gerekir. Bir elemanın bile sağlamaması önermeyi yanlış yapar. c. r : " x, x 3 0" / x R, x! asal değildir. 5. De Morgan Kurallarından (p / q) / p v q, (p 0 q) / p / q x 3 0 şartı örneğin x = 2 için sağlanmaz. Dolayısıyla r / 0 olur. denklikleri dikkate alınırsa a. [(7x, x 2 > 0) / ( x, x 2)] / (7x, x 2 > 0) 0 ( x, x 2) d. s : " x, (x ) 2 = x 2 2x + " / ( x, x 2 0) 0 (7x, x = 2) (x ) 2 = x 2 2x + b. [(7x, x 2 x = 0) 0 (7x, x 2 0)] Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 2. p(0) için (Yanlış) p() için (Doğru) p(2) için (Doğru) olduğundan p(0) / 0, p() / 0 ve p(2) / dir. eşitliği bir özdeşliktir. Yani x R için sağlanır. Dolayısıyla s / olur. e. t : " x, x 2 > 0" x 2 > 0 eşitsizliği x = 0 için sağlanmaz. Bir elemanın önermeyi yanlış yapması niceleyicisinden ötürü t önermesini yanlış yapar. Yani t / 0 dır. / (7x, x 2 x = 0) / (7x, x 2 0) / ( x, x 2 x 0) / ( x, x 2 > 0) / x, (x 2 x 0 / x 2 > 0) c. ( x, x 2 = ) (7x, x < 0) p q için p q / p 0 q denkliği kullanılırsa [( x, x 2 = ) (7x, x < 0)] / [( x, x 2 = ) 0 (7x, x < 0)] / ( x, x 2 = ) / (7x, x < 0) / ( x, x 2 = ) / ( x, x 0) bulunur. 22

23 6. (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) koşullu önermesinde p : 7x Z, x 2 = x q : x R, x 2 diyelim. p için 7 niceleyicisi kullanıldığından ve örneğin x = için 2 = (doğru) olduğundan p / olur. q için niceleyicisi kullanıldığından ve örneğin x = 0 için 0 2 (yanlış) olduğundan q / 0 olur. O halde koşullu önerme p q / 0 / 0 (yanlış) olur. a.! p q koşullu önermesinin karşıtı q p dir. O halde verilen önermenin karşıtı da ( x R, x 2) (7x Z, x 2 = x) olur. b.! p q koşullu önermesinin tersi p q dir. O halde (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) önermesinin tersi de (7x Z, x 2 = x) ( x R, x 2) / ( x Z, x 2 x) (7x R, x < 2) şeklinde olur. c.! p q koşullu önermesinin karşıt tersi q p dir. O halde önermenin karşıt tersi ( x R, x 2) (7x Z, x 2 = x) / (7x R, x < 2) ( x Z, x 2 x) şeklinde bulunur. 7. a. "İki asal sayının toplamı tek ise çarpımı çiftttir." Hipotez: "İki asal sayının toplamı tektir." Hüküm: "İki asal sayının çarpımı çifttir" İspat: İki asal sayının toplamı tek olsun. Bu durumda sayılardan biri tek diğeri çift olmalıdır. Yalnız bir tane çift asal sayı (2) olduğundan diğer asal hangi tek asal olursa olsun çarpımları = 2 (tek asal) = çift olmalıdır. b. Hipotez: "x < 2 dir." Hüküm: "x 2 4 tür." Aksine örnek ispat yöntemi bir teoremi çürütmek için önermeyi yanlış yapan bir örnek vermede kullanılır. Örneğin x = olsun (x < 2 dir). 2 4 (yanlış) olduğundan verilen önerme yanlıştır. Yani bir teorem değildir. c. "x 3 > 26 ise x > 3 tür." Hipotez: "x 3 > 26 dır." Hüküm: "x > 3 tür." Olmayana ergi ispat yönteminde hükmün yanlış olduğu kabul edildiğinde hipotez de yanlış oluyorsa teorem ispatlanmış olur. Yani p q yerine bu önermenin karşıt tersi olan q p in doğruluğu ispatlanır. O halde (x > 3) / (x 3) olsun. x x 3 26 / (x 3 > 26) olduğundan teorem ispatlanmış olur. d. "n N + olmak üzere" Hipotez: "n N + dır." Hüküm: n " = dir." : 2 2 : 3 n : ( n+ ) n + n = için = (Doğru) dir. : 2 2 n = k için eşitliği doğru kabul edelim. Yani k =... (*) : 2 2 : 3 k : ( k+ ) k + olsun. n = k + için eşitlik doğru mu? (*) ifadesinin sol tarafına ekleyelim. ( k+ ) : ( k+ 2) : 2 2 : 3 k : ^k+ h ^k+ h: ^k+ 2h (*) dan k = k + + ^k+ h : ^k+ 2h ( k+ 2) k : ^k+ 2h + = ^k+ h : ^k+ 2h 2 k + 2k+ = ^k+ h : ^k+ 2h ^k + h 2 = ^k+ h : ^k+ 2h k + = olur ki bu da k + 2 k = : 2 2 : 3 ^k+ h : ^k+ 2h k + 2 olduğu anlamına gelir. Yani eşitlik n = k + için de sağlanmış olur. Dolayısıyla tümevarım ispat yöntemiyle teorem ispatlanmış olur. e. "n N + için n + 2 n " Hipotez: "n N + dır." Hüküm: "n + 2 n dir." n = için + 2 (Doğru) dir. n = k için eşitsizlik doğru olsun Yani k + 2 k... (*) olsun. n = k + için eşitsizlik doğru mu? (*) eşitsizliğinin sol yanına ekleyelim. k k + 2 k + 2 k (*) den = 2 2 k = 2 k+ olduğundan k k+ eşitsizliğinin doğruluğu görülmüş olur. Bu da verilen eşitsizliğin n = k + için de doğru olduğunu gösterir. Yani teorem ispatlanmış olur.. ÜNİTE: MANTIK Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 23

24 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST -. Aşağıdakilerden hangisi evrensel niceleyici sembolüdür? A) B) C) / D) E) E Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri 4. "7x, p(x)" önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "p9(x)" B) " x, p(x)" C) " x, p9(x)" D) " x, p9(x)" E) " x, p(x)" 7. " x, x " önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden A) " x, x > " B) " x, x " C) "7x, x < " D) " x, x < " E) " x, x " 2. Aşağıdaki önermelerin hangisinde varlıksal niceleyici kullanılmıştır? 5. "p q koşullu önermesinde p ye... denir." 8. Aşağıda verilen önermelerden hangisi x R için doğrudur? A) "Bazı kuşlar uçamaz." B) "3 bir rakamdır." C) "3, 7 den küçüktür." D) "Karesi 5 olan sayı yoktur." E) "Her insan suya ihtiyaç duyar." ifadesinde boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir? A) Hipotez B) Hüküm C) Teorem D) Önerme E) Aksiyon A) x, x 2 > 0 B) x, x 2 x + 2 C) x, x 3 < 27 D) x, x 2 = 2x E) x, x 2 + < 0 Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 3. Aşağdakilerden hangisi bir açık önerme olamaz? A) x + 3 > 5 B) x + 2 = x C) 7x, x 2 D) x E) 5 x $ 2 6. Aşağıdakilerin hangisi açık önermedir? A) " ( 7)" B) "x N, x + 2 = 3" C) "Mersin Türkiye'nin başkentidir." D) "Çok güzelsiniz." E) " x R, x 2 0 dır." 9. p(x) : "x 2 < 0" açık önermesi veriliyor. Doğal sayılar kümesinde bu önermenin doğruluk kümesi kaç elemanlı olur? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C 8. D 9. D

25 TEST - 2TEST - 2. " n Z, n tek sayıdır." önermesinin değili aşağıdakilerden A) " n Z, n tek sayı değildir." B) " n Z, n çift sayıdır." C) "7n Z, n çift sayıdır." D) "7n R, n çift sayıdır." E) "7n R, n tek sayı değildir." 4. " x, x 2x 2" Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri önermesinin olumsuzuna denk olan önerme aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) "Her x sayısı 2 den küçüktür." B) "Her x sayısı 2 den büyüktür." C) "Her x sayısı 2 den küçük veya 2 ye eşittir." D) "Bazı x sayıları 2 den küçüktür." E) "Bazı x sayıları 2 den büyüktür." 7. "Küpü kendisine eşit olan en az bir doğal sayı vardır." önermesinin sembolik mantıkla ifadesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) n N, n 3 = n B) n N, n 3 = n C) n N, n 3 n D) n N, n 3 = n E) n N, n 3 n. ÜNİTE: MANTIK 2. "x 5 ise x dur." teromeninin hipotezi nedir? A) "x 5" B) "x < 5" C) "x " D) "x < 0" E) "x " 5. Doğrudan ispat yöntemiyle ilgili aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır? A) Hipotez kabul edilir hükme ulaşır. B) Tanımlardan yararlanılır. C) Önermelerden yararlanılır. 8. "Her tam sayının küpü 5 e eşittir." önermesinin sembol ile gösterimi aşağıdakilerden A) x R, x 3 = 5 B) x Z, x 3 = 5 C) 7x R, x 3 = 5 D) Aksiyomlar kullanılabilir. D) x Z, x 3 = 5 E) Teoremi sağlamayan bir değer belirlenerek çelişkiye düşülür. E) x R, x 3 = 5 3. Aşağıda verilen önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) " x R, x 2 dir." B) " x R, x 2 > 0 dır." C) " x R, x 2 < 0 dır." D) " x R, x 2 < x dir." E) " x R, x 2 < x dir." 6. "p(x) : " x R, x 3 < 8" "q(x) : " x R, x 2 > 3" önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p / q B) p 0 q C) p q D) p q E) p Q q 9. " x, x 3 < 0" önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "7x, x 3 > 0" B) "7x, x 3 0" C) "7x, x 3 0" D) " x, x 3 > 0" E) " x, x 3 0" Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri. C 2. A 3. D 4. D 5. E 6. E 7. D 8. D 9. B 25

26 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 3. Aşağıdakilerden hangisi açık önerme değildir? A) "x, karesinden küçüktür." B) "y, 3 katına eşittir." C) "z, 4 fazlasına eşittir." D) "t, 7 den küçüktür." E) "2 sıfırdan büyüktür." Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri 4. "Bazı gerçek sayıların karesi 3 ten küçüktür." ifadesinin sembolle gösterimi aşağıdakilerden 7. " x, x > 2 veya x, x < 2" bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden A) " x, x 2" B) " x, x = 2" A) x R, x 2 < 3 B) x N, x 2 > 3 C) "7x, x = 2" D) "7x, x 2" C) 7x R, x 2 > 3 D) 7x N, x 2 3 E) "7x, x 2" E) 7x R, x 2 < 3 2. p(x) : x Z, 3x Gerçek sayılar kümesinde tanımlı 8. p(x) : "x Z, 4x 2 > x + 7" açık önermesinin doğruluk kümesindeki en büyük eleman kaçtır? p : " x, x 2 0" q : " x, x 2 = 2x" açık önermesinin doğruluk kümesinin en küçük elemanı kaçtır? A) 3 B) 2 C) D) 0 E) r : " x, x 3 < x" A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 önermelerinden hangisi ya da hangilerinin doğruluk değeri dir? A) Yalnız q B) Yalnız r C) p ve r D) q ve r E) p, q ve r Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 3. Aşağıda verilen ifadelerden hangisinde boş bırakılan yere "bazı" niceleyicisi konulursa doğru bir önerme elde edilir? A) "... kediler uçabilir." B) "... insanlar öğretmendir." C) "... aylar 32 günden oluşur." D) "... uçaklar yakıtsız uçabilir." E) "... canlılar suya ihtiyaç duymaz." 6. p(n) : "n N, 3n 0 > 0" açık önermesi veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p(0) B) p() C) p(2) D) p(3) E) p(4) 9. "x ve y pozitif gerçek sayılar ise x 3 y negatiftir." teoreminin hükmü nedir? A) "x ve y pozitif gerçek sayıdır." B) "x ve y negatif gerçek sayıdır." C) "x ve y gerçek sayıdır." D) "x 3 y pozitiftir." E) "x 3 y negatiftir." 26. E 2. A 3. B 4. E 5. D 6. E 7. C 8. C 9. E

27 TEST - 2TEST - 4. Aşağıdakilerden hangisi önerme değildir? A) x, x > 2 B) 7x, x + 2 C) x, x 2 D) 7x, x 2 E) x, x = 2 4. "x N için x, f(x) > 0" önermesi doğrudur. Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri Buna göre aşağıdakilerden hangisi imkansızdır? A) f( ) = 2 B) f(0) = C) f() = 3 D) f(5) = 0 E) f(7) = Aşağıda verilen önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) x Z, x > 3 B) x R, x 2 < 3 C) x Z, x! > D) x Z, x 2 R E) x R, (5x + ) N. ÜNİTE: MANTIK 2. "x R, x 4 = 6" açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanları çarpımı kaçtır? A) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 5. " x, p(x) veya 7x, q (x)" önermesinin değilinin niceleyicilerle ifadesi aşağıdakilerden A) " x, p(x) veya x, q9(x)" B) " x, p9(x) veya x, q9(x)" C) " x, p(x) ve x, q9(x)" D) " x, p9(x) ve x, q(x)" E) " x, p(x) ve x, q(x)" 8. p : "(x R, x < ) (x R, x 3 = )" önermesinin sözel ifadesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) x gerçek sayısı den küçükse küpü e eşittir. B) x gerçek sayısı den büyükse küpü e eşit değildir. C) x gerçek sayısı den büyükse küpü de e eşittir. D) x gerçek sayısı negatifse küpü de den büyüktür. E) x gerçek sayısı pozitifse küpü de dir. 3. Aşağıdakilerden hangisi dolaylı ispat yöntemi değildir? A) Doğrudan ispat yöntemi B) Olmayana ergi ispat yöntemi C) Aksine örnek verme ispat yöntemi D) Karşıt ters ispat yöntemi E) Çelişki bulma ispat yöntemi 6. A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde p(n) : "A kümesinin n elemanlı alt kümelerinin sayısı 0 dur." açık önermesi tanımlanıyor. Buna göre p nin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. p : " n N, n 2 0" x 3 q : " x R, 2 Z" önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır? A) p / q / B) p 0 q9 / C) p q / D) p Q q / 0 E) p9 q / Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri. B 2. B 3. A 4. B 5. D 6. B 7. E 8. A 9. E 27

28 . ÜNİTE: MANTIK TEST - 2TEST - 5. Aşağıdaki verilen önermelerden hangisi doğrudur? (x R) A) " x, x > 0 dır." B) " x, x 0 dır." C) " x, x 2 pozitiftir." D) "7x, x 2 negatiftir." E) "7x, x 2 sıfırdır." Açık Önermeler ve İspat Yöntemleri 4. p(n) : "n N, n! = (n )!" açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemandır? A) 0 B) C) 2 D) 0 E) sonsuz 7. x N olmak üzere p(x) : (x 4) (x + 2) (x 5) = 0 açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 7 2. I. " x R, x 0" II. "2 + 7 > 3" III. "7x N, x 2 < " IV. "x + 2 < x 2 " Yukarıda verilen ifadelerden kaçının doğruluk kümesinden bahsedilebilir? A) 0 B) C) 2 D) 3 E) 4 5. f : R R şeklinde tanımlanan bir f polinom fonksiyonu için aşağıda verilenlerden kaçı bir açık önerme olur? I. f(x) = 0 II. f( x) = 2 III. f (x) = 0 IV. f(x 2) V. f(x) < 0 8. "Bazı x gerçek sayılarının küpü 7 den küçük değildir." önermesinin niceleyicilerle ifadesi aşağıdakilerden A) " x R, x 3 > 7" B) " x R, x 3 7" C) " x R, x 3 7" D) " x R, x 3 > 7" E) " x R, x 3 7" A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Bölüm.2. Açık Önermeler ve İspat Teknikleri 3. p(x) : "x N, x! 6" açık önermesi için aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) p(0) / p() B) p(2) / p(3) C) p(3) / p(4) D) p(5) / p(9) E) p(0) / p(206) 6. p(x) : 4 3x + < açık önermesinin tam sayılar kümesindeki doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 n 9. p(n) : "n R, n + 2 Z" açık önermesi veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu açık önermenin doğruluk kümesinin bir elemanıdır? A) p( ) B) p(2) C) p(3) D) p(7) E) p(3) 28. E 2. B 3. B 4. B 5. D 6. D 7. E 8. E 9. A

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

A.Adnan Saygun Caddesi 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel: 312 433 37 57 433 25 49 Faks: 433 52 72 e-mail: nitelikyayincilik@gmail.com

A.Adnan Saygun Caddesi 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel: 312 433 37 57 433 25 49 Faks: 433 52 72 e-mail: nitelikyayincilik@gmail.com I Bu set 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz; teksir, fotokoi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, NİTELİK YAYINCILIK

Detaylı

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI

MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI 1.Kurumun Adı 2.Kurumun adresi 3.Kurucunun Adı 4.Programın Adı : OĞUZHAN ÖZKAYA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU : Onur Mahallesi Leylak Sok.No:9 Balçova-İzmir : Oğuzhan Özkaya

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

1 MATEMATİKSEL MANTIK

1 MATEMATİKSEL MANTIK 1 MATEMATİKSEL MANTIK Bu bölümde ilk olarak önerne tanımıverilip ispatlarda kullanılan düşünce biçimi incelenecektir. Tanım 1 Bir hüküm bildiren ve hakkında doğru veya yanlış denilmesi anlamlı olan ifadelere

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK İki değerli mantıkta önermeler, doğru ve yanlış olmak üzere iki değer alabilir. Çünkü özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü hâlin olanaksızlığı ilkelerine göre, önermeler başka bir değer

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 3 Önermeler Önermeler Mantığı, basit ifadelerden mantıksal bağlaçları

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda Matematik6 Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Kesirlerle İşlemler KESİR ve KESİRLERDE SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. Bir kesirde

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı