bölümde tanımı doğrudan kullanmadan türev bulma yöntemleri

Transkript

1 Türev Alma Kurallar

2 Türevlerin, eğim ve eğişim hızı olarak nasıl yorumlanacağını görük. Değer tablolarıyla verilen fonksiyonların türevlerinin yaklaşık olarak nasıl hesaplanacağını a görük. Grafikleri verilmiş fonksiyonların türevlerinin grafiklerinin nasıl çizileceğini öğrenik. Formüllerle verilmiş fonksiyonların türevlerini hesaplamak için türevin tanımını kullanık. Fakat her zaman tanımı kullanmak zoruna kalmak hesap yapmayı yavaşlatacağınan, bu bölüme tanımı oğruan kullanmaan türev bulma yöntemleri geliştireceğiz. Bu türev alma kuralları, polinomların, rasyonel fonksiyonların, üstel fonksiyonların, logarit- A. ma fonksiyonlarının, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların türevlerini kolaylıkla hesaplamamıza olanak A. verir. Daha sonra bu kuralları, eğişim hızlarını, parametrik eğrilerin teğetlerini ve fonksiyonların yaklaşımlarını içe- ren problemleri çözmek için kullanacağız. A. Polinomların ve Üstel Fonksiyonların Türevleri y c y=c eğ i m = O Bu bölüme, sabit fonksiyonlann, kuvvet fonk s i yo nlarının, polinomlann ve üste! fo nks i yo nl arının türevlerini nas ıl alacağ ırnı z ı öğren eceğ i z. Tüm fonks i yo nl arın en basiti olan f (x) = c sabit fonksiyonu ile b aş l ayalım. Bu fonksiyonun grafi ği, eği mi O olan y = c yatay oğ ru s uu r, bu neenle f'(x) = O olm alıı r. (Bkz. Şe kil 1.) Türevin tanı rnı m kullanan kanıt a ko l ay ır : o ŞEKiL 1 f(x) = c ni n g r afiğ i y =c oğrus u ur. Bu neenle f'(x) = O ı r. f'(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim c - c -o h -o h =Jim O = O Jı ~ o Leibniz gösterimiyle bu kuralı şöy l e yazar ı z: Sabit Fonksiyan Türevi -(c) = O ~ Kuvvet Fonksiyonları )' Ş imi e, n pozitif tamsayı olmak üzere f(x) = x" fo nksiya nlarına b akalım. n = 1 ise, f (x) = x fonksiyonunun grafiği, eğimi l olan y = x oğru suur (Bkz. Şekil 2). Bu neenle y=x eğ im = 1 (x) = 1 o ŞEKIL 2 f(x) = x in grafiğ i y = x oğ ru s u ur, bu neenlef'(x) = 1 ir. olur. (Denklem 1 i türevin tammını kullanarak a oğrul aya bilirs ini z.) n = 2 ve n= 3 uruml arı nı zaten inceleik. Gerçekten e, Bölüm 2.8 e (A lı ş tırm a 17 ve 18), 189

3 190 ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI oluğunu bulmuştuk. n= 4 içinf(x) = x 4 ün türevini. f(x + h) - f(x). (x + h) 4 - x 4 j'(x) = lım = lım h lı -> 0 h lı->0 olarak buluruz. Bu neenle, = Jim (4x 3 + 6x 2 h + 4xh 2 + h 3 ) = 4x 3 lı olur. (1), (2) ve (3) eki eşitlikleri karşı laştırı ğ ımıza, bir üzenliliğin ortaya çıktığını görürüz. Buraa, n pozitif bir tamsayı iken (/ )(x") = nx"- ı oluğunu tahmin etmek akla yatkın görünmekteir. Bu, gerçekten e oğruur. Kuvvet Kuralı n pozitif bir tam sayı olmak üzere, - (x") = ' nx "- ı ır. Kanıt f(x) = x" ise, f( + h) f( ). (x + h)" - x" f'(x) = Jim x - x = lım-'---'---,_o h h ->O h A. Binom teoremi, Boşvuru Sayfası 1 e verilmekteir. olur. x 4 ün türevini bulurken (x + h) 4 ifaesini açmak zorunayık. Buraa (x + h)" ifaesini aç marnız gerekmekteir ve bunun için Binom Teoremini kullanırız. Birinci terim ı ş ın a her terimin h çarpanı oluğunan, bu terimler O a gier ve [ x" + nx" - ıh + n(n; 1 ) x"- 2 h nxh"- 1 +h"] - x" f'(x) = Jim -= h =--- ~ı~o n(n - 1) nx"- 1 h + x"- 2 h nxh"- 1 + h" 2 = Jim h->0 h = 1im [nx"- 1 + n(n- 1 ) x"-2 h + + nxh"- 2 + h"- 1 ] h->0 2 ele eeriz. Örnek l e, Kuvvet Kuralı ' nı e ğişik gösterimlerle açıklamaktayız.

4 BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI ÖRNEK 1 (a) f(x) = x 6 ise, f'(x) = 6x 5 (c) y = t 4 ise y = 4t3, t o (b) y = x 1000 ise, y' = 1000x 999. () - (r 3 ) = 3r 2 r Üsleri negatif olan kuvvet fonksiyonlan için ne enebilir? Alıştırma 53 e türevin tanımını kullanarak oluğunu göstermenizi istiyoruz. Bu enklemi, biçimine e yazabiliriz, olayısıyla Kuvvet Kuralı n= - 1 için e oğruur. Bir sonraki bölüme (Alıştırma 43) bu kuralın her negatif tamsayı için oğru oluğunu göstereceğiz. Üs bir kesirse ne olur? Bölüm 2.8 eki Örnek 4 e oluğunu buluk. Bu ifae, ı -J= 2vfx biçimine yazılabilir. Bu a kuvvet Kuralının n = k için e oğru oluğunu gösterir. Aslına bu kuralın her n gerçel sayısı için oğru oluğunu Bölüm 3.7 e göstereceğiz..i. Şekil 3, Örnek 2(b) eki y fonksiyonu ve onun türevi olan y' nü gösterir. y nin O a türevlenebilir olmaığına ikkat einiz (y' bu noktaa tanımlı eğilir). y arttığı zaman y' nün pozitif ve y azalığı zaman y' nün negatif oluğunu gözlemleyin iz. 2 Kuvvet Kuralı (Genel Biçim) Her n gerçel sayısı için, ÖRNEK 2 Aşağıaki türevleri alınız: ı (a) f(x) = 2!!: (x") = nx"- 1 ir. (b) y = ~ ÇÖZÜM İki uruma a, fonksiyonu x in bir üssü olarak yenien yazanz. (a)f(x) = x 2 oluğunan, n= -2 için Kuvvet Kuralı'nı uygularız : ŞEKiL 3 y= if0-2 (b) 2 f'(x) =- (x - 2 ) = -2x - z - ı = -2x- 3 = -- x 3

5 192 ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI 3 ÖRNEK 3 y = xj eğrisinin (1, 1) nokta s ınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. Eğrinin ve teğetinin grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM f(x) = xj = xxı 1 2 = x 312 fonksiyonunun türevi 3 ı y= ıx- 2 f'(x) = ~ x (3 / 2) - ı = ~ xı 12 = ~J olur. Dol ayısıy la, (1, 1) eki teğet oğru su nun eğimi f'(l) = ~ ir. Bu neenle, teğet oğrusu y - 1 = ~(x - 1) ya a 3 ı Y = ıx- 2 ŞEKiL 4 ir. Şekil 4 e eğri ve teğet oğru s unun grafikleri çizilmiştir. ~ Bilinen Türevieren Yeni Türevler Ele Etmek Eleki fonksiyonlaran toplama, çıkarma veya bir sabitle çarpma yoluyla ele eilen yeni fonksiyonları n türevleri, eleki fonksiyonların türevleri cinsinen hesaplanabilir. Aşağıaki formül, bir fonksiyonun sabit le çarpılmasıyla ele eilen yeni fonksiyonun türevinin, ilk fonksiyonun türevinin bu sabitle ça rpılması ile ele eiliğini söylemekteir..6. Sabitle Çarpım Kuralı'nın Geometrik Yorumu Sabit le Çarptm Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, [cf(x)] = c f(x) ir. y ~ y= 2f (x ) ~ y=f (x ) 0 c = 2 ile çarpmak grafiği ikey olarak 2 kat gerer. Tüm yükseklikler 2 katına çıkar, ancak genişlikler eğişmez. Dolayısı ile eğimler e iki katına çıkar. Kanıt Kanıt g(x) = cf(x) olsun. O zaman, g'(x) = lim g(x + h) - g(x) = lim cf(x + h) - cf(x) -o h -o h = Jim c [ f(x + h) - f(x) J -o h = c lim f(x + h) - f(x) -o h = cf'(x) (Limitlerin Kural 3' ü neeniyle) ÖRNEK 4 (a) - (3x 4 ) = 3- (x 4 ) = 3(4x 3 ) = 12x 3 (b) (-x) = [(-l)x] = (-1) (x) = -1(1) = -1 Bir sonraki kural, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamına eşit oluğunu söylemekteir..6. Üs gösterimi kullanarak toplam kuralını (J + g)' = f' + g' biçimine yazabii i riz. Toplam Kuralı f ve g türevlenebilir ise, [!(x) + g(x)] = f(x) + g(x) ir.

6 BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEl FONKSIYONlARlN TÜREVLERI 193 Kanıt F(x) = f(x) + g(x) olsun. Bu uruma F'(x) = lim F(x + h) - F(x) lı ---> 0 h = lim [f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)] lı ---> 0 h = lim [ f(x + h) - f(x) +.:::.g_:_(x_+_h): "g-'-(x.:_) J lı ---> 0 h h = lim f(x + h) - f(x) + lim.:::.g_:_(x_+_h.:..._) _-,g'--'-(x--'-) h--->0 h h---> 0 h (Kural 1 en) olur. = f'(x) + g'(x).. Toplam Kuralı, herhangi bir sayıaki fonksiyonun toplamına genelleştirilebilir. Omeğin, bu teorerni iki kez kullanarak, (f + g + h)' = [{f + g) + h]' = (f + g)' + h' = f' + g' + h' ele eeriz. f- g fonksiyonunu f + ( -l)g biçimine yazarak ve Toplam ve Sabitle Çarpım Kurallarını uygulayarak, aşağıaki formülü ele eeriz. Fark Kuralı fve g türevlenebilir ise, [f(x) - g(x)] = f(x) - g(x) ir. Aşağıaki örnekte gösteriliği gibi, herhangi bir polinomu n türevini almak için, bu üç kural Kuvvet Kuralı ile birleştirilebilir. Bunun gibi aha çok problem çözmeyi eneyiniz. Resources 1 Moule 4 1 Polynomial Moels 1 Basic Diflerentiation Rules an Ouiz ÖRNEK S - (x x 5-4x x 3-6x + 5) =!! (x 8 ) + 12!! (x 5 ) - 4!! (x 4 ) + 10!! (x 3 ) - 6!! (x) +!! (5) = 8x (5x 4 )- 4(4x 3 ) + 10(3x 2 ) - 6(1) +O ÖRNEK 6 y = x 4-6x eğrisi üzerineki, teğet oğrusunun yatay oluğu noktaları bulunuz. ÇÖZÜM Yatay teğetler, türevin sıfır oluğu noktalaraki teğetlerir. Öncelikle, y =!! (x 4 ) - 6!! (x 2 ) +!! (4) = 4x 3-12x + O = 4x(x 2-3)

7 194 ÜNiTE 3 TÜREVALMA KURALLARI ele eeiz. Dolayısıyla, x =O ve x 2-3 = O enkleminin kökleri olan x = ±..[3 için y/ =O olur. Bu neenle, verilen eğri x =O,.j3 ve -.j3 için yatay teğetlere sahiptir. Bu eğerlere karşılık gelen noktalar (0, 4), (.j3, -5) ve ( -..[3, -5) ir. (Bkz. Şekil 5) eğris i $EKIL S y =x'-6x 2 +4 ve yatay teğetleri ÖRNEK 7 Bir parçacığın hareketinin enklemi, s santimetre vet saniye cinsinen olmak üzere, s = 2t 3 - fonksiyon olarak bulunuz. 2 saniye sonraki ivme neir? ÇÖZÜM Hız ve ivme 5t 2 + 3t + 4 olarak verilmiştir. İvıneyi zamana bağlı bir s v(t) = - = 6t 2 - lot + 3 t v a(t) = - = 12t - ıo t ur. 2 saniye sonraki ivme a(2) = 14 cm/sn ı ir. ~ Üstel Fonksiyonlar Türevin tanımını kullanarak, f(x) = ax üstel fonksiyonunun türevini hesaplamaya çalışalım:,. f(x + h) - f(x). a x+jı - ax f (x) = lım = lım ---- ~ı-o h 1ı-o h ax çarpanı h ye bağlı eğilir, olayısıyla limitin ışına alınabilir: a"- ı f'(x) = ax!im--- Jı-o h Bu limitf nin türevinin O aki eğeriir, bir başka eyişle, a"- ı Jim 1ı - o h = f'(o) Dolayısıyla, şu nu göstermiş oluk; eğer f(x) = ax üste! fonksiyonu O a türevlenebilirse, her yere türevlenebilirir ve f'(x) = f'(o)a x

8 BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI "- ı 3" - ı h h h 0,1 0,7177 1, ,0 1 0,6956 1,1047 0,001 0,6934 1,0992 0, ,6932 1,0987 olur. Bu eşitlik, her üste/fonksiyonun eğişim hı zının,fonksiyonun kenisiyle oğru orantılı oluğunu söyler. (Eğim yükselikle oğru orantılıır. Solaki tabloa, a = 2 ve a = 3 urumlarına, f'(o) türevinin varlığına ilişkin sayısal bulgular verilmekteir. (Değerler, virgülen sonraki örüncü hasarnağa kaar oğru olacak biçime verilmiştir. a = 2 için, Bölüm 2.7 eki Örnek 3 e bakınız.) Limit var gibi görünmekteir ve a = 2 için 2"- ı f'(o) = lim --= 0,69 1ı ~ o h a = 2 için, 3 /ı - ı f'(o) = lim - - = 1,.10 lı -> 0 h ele eeriz. Aslına, bu limitlerin varlığı gösterilebilir ve eğerleri virgülen sonra altı basamak oğrulukla, ~ (2x) lx-o= 0, ~ (3") lx-o = ı,0986ı2 ir. Bu neenle, Denklem 4 en.6. Alışiırma 1 e, e nin 2,7 ile 2,8 arasına olu(lunu görece(jiz aha sonra, virgülen sonra beşinci basama(ja kaar o(jru olacak şekile e= 2,71828 olu(lunu görece(jiz. ~ (2x) = (0,69)2' ~ (3") = (l,lü)y Denklem 4 eki olası a seçimleri içine, en basit türev alma formülü f'(o) = 1 urumuna ele eilir. a = 2 ve a = 3 için f'(o) yaklaşık eğerlerini üşünürsek, 2 ile 3 arasına f'(o) = 1 olmasını sağlayan bir a sayısı olması akla yatkın görünmekteir. Geleneksel olarak, bu sayıyı e ile gösteri riz. (Aslına, Bölüm ı.5 e, e sayısını böyle tanımlamıştık.) Dolayısıyla, aşağıaki tanımı verebiliriz. e Sayısının Tanımı e, elı- Jim lı -> 0 h = ı koşulunu sağlayan sayıır. Geometrik olarak bu, y = ax üste! fonksiyonları içine, saece f(x) = e" fonksiyonunun (0, 1) noktasınaki teğet oğrusunun eğiminin ı oluğu anlamına gelir. (Bkz. Şekil 6 ve 7.) y (x,e') / eğim = e' eğim = 1 ŞEKiL 6 ŞEKiL 7

9 196 ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI Denklem 4 e, a =e ve olayısıyla f'(o) = formülünü ele eeriz. 1 koyarsak, aşağıaki önemli türevalma 1 Doğal Üste! Fonksiyonun Türevi -(e-')= ex.x Bu neenle, J(x) = ex fonksiyonu, kenisinin türevi olma özelliğini taşır. Bunun geometrik anlamı, y = ex eğrisinin bir noktas ınaki teğet oğrusunun eğiminin, o noktanın y koorinatına eşit olmasıır. ÖRNEK 8 f(x) = ex - x, ise f' ve f" fonksiyonlarını bulunuz. ÇÖZÜM Fark Kuralını kullanarak, 3 f'(x) = -(e-' - x) = -k') - - (x) = e-' - 1.x.x.x ele eeriz. Bölüm 2.8 e ikinci türevi, f' nün türevi olarak tanımlaık. Bu neenle, - 2 '---~----''----~-./ 2 o $EKiL 8 f"(x) =-(e x - 1) = - (e x) - - (1) = e-'.x ele eeriz. e' fonksiyonunun her x için pozitif oluğunu biliyoruz, bu neenle her x için f"(x) > O olur. Bu neenle,fnin grafiği ( -oo, oo) aralığına ışbükeyir. Örnek 8 bunu oğrulamaktaır. ÖRNEK 9 y = ex eğrisinin hangi noktasınaki teğet oğrusu y = 2x oğrusuna paralelir? ÇÖZÜM y = ex oluğunan, y' = ex ir. Soruaki noktanm koorinatı a olsun. Bu noktaaki teğet oğrusunun eğimi ea olur. Teğet oğrusu, eğimi, y = 2x oğrusunun eğimiyle aynı, bir başka eyişle 2 oluğuna, bu oğruya paralel olacaktır. Eğimleri eşitlersek, a =In 2 $EKIL 9 ele eeriz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, e ) = (In 2, 2) ir. (Bkz. Şekil 9) ~~ Alıştırmalar 1. ( a) e sayısı nasıl tanımlanır? (b) 2 7" - ı lim --'-'-- ve ~ı ~ o h 2 8"- ı lim-'-- " ~ o h limitlerinin eğerlerini, hesap makinesi kullanarak, virgülen sonra ikinci hasarnağa kaar oğru olacak şekile yaklaşık olarak hesaplayınız. e nin eğeri hakkına ne gibi bir sonuca varabilirsiniz? 2. (a) f(x) = e ' fonksiyonunun grafiğini, grafiğin y eksenini nasıl kestiğine özellikle ikkat eerek elle çiziniz. Hangi bilgileri kullanınız? (b) f(x) = e.x ve g(x) = x' ne tip fonksiyonlaru? fve g(x) için kullanığırnız türev alma formüllerini karşılaştınnız. (c) x büyüüğüne, (b) eki iki fonksiyonan hangisi aha hızlı büyür?

10 BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI Fonksiyonun türevini alıruz. 3. f(x) = 5x - ı S. f(x) = 9x 4-3x g(x) = 5x 8-2x y = x -2/5 9. G(x) =.j - 2ex 1 1. V(r) = ~?Tr F(x) = (16x) 3 ıs. y = 47T 2 x 2 + 4x y =.j w ı 19 V= ı A 21. z =w+ Be 1 y 4. F(x) = -4x y =sex + 3 ı o. R(ı) = sı R(x) JW = - 7 x y =..[(x- 1) 16. H(s) = (s/ 2) 5 x 2-2..[ 18. y = ----'-- b c 20. y = ae' V V 22. u = Jı3 (b) (a) şıkkınaki grafikten eğimi yaklaşık olarak bularak, f' nün grafiğini kabaca elle çiziniz. (Bkz. örnek 1, Bölüm 2.8.) (c) f'(x) i hesaplayınız ve bu ifaeyi ku llanarak bir grafik çizim aygıtıyla f' nün grafiğini çiziniz. (b) şıkkınaki çiziminizle karşılaştınnız. ~ 36. (a) Grafık çizebilen bir hesap makinesi veya bilgisayar kullanarak, g(x) = ex - 3x 2 fonksiyonunun grafiğini [-1, 4] x [-8, 8] görüntilleme ikörtgenine çiziriniz. (b) ( a) şıkkınaki grafikten eğinıi yaklaşık olarak bularak, f' nün grafiğini kabaca elle çiziniz. (Bkz. Örnek 1, Bölüm 2.8.) (c) g'(x) i hesaplayınız ve bu ifaeyi kullanarak bir grafık çizim aygıtıyla g' nün grafiğini çiziniz. (b) şıkkınaki çiziminizle karşılaştırınız Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulunuz. 37. f(x) = x 4-3x x 38. G(r) = jr +.if; ~ f'(x) fonksiyonunu bulunuz.fve f' fonksiyonlannın grafiklerini karşılaştırınız ve yanıtınızın akla yatkınlığını kontrol etmek için bu grafıkleri kullanınız. 23. f(x) = 2x 2 - x f(x) = 3x 5-20x x 25. f(x) = 3x 15-5x f(x) = x - 3x 113 ı 26. f(x) = x f(x) = x 2 + 2ex ~ 29. (a) f(x) = x fonksiyonunun grafiğine oaklanarak f'(2) eğerini yaklaşık olarak bulunuz. (b)!'(2) nin gerçek eğerini bulınak için Kuvvet Kuralını kullanıruz ve (a) şıkkına buluğunuz eğerle karşılaştırıruz. ~ 30. (a) f(x) = x 2-2ex fonksiyonunun grafiğine oaklanarak f'(l) eğerini yaklaşık olarak bulunuz. (b) f'(l) nin gerçek eğerini bulunuz ve (a) şıkkına buluğunuz eğerle karşılaştırınız. ~ Eğrinin verilen noktaaki teğet oğrusunun enklernini bulunuz. Eğri yi ve teğet oğrusunu aynı ekrana çizirerek açıklayınız y = x + -, (2, 4) 32. y = x 5 1 2, (4, 32) 33. y = +..[, (1, 2) 34. y = x 2 + 2e, (O, 2) ~ 35. (a) Grafık çizebilen bir hesap makinesi veya bilgisayar kullanarak f(x) = x 4-3x 3-6x 2 +?x + 30 fonksiyonunun grafiğini [-3, 5] x [-10, 50] lik görüntüleme iktörtgenine çiziriniz. ~ Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulunuz.f, f' ve f" nün grafiklerini karşılaştırarak, kontrol einiz. 39. f(x) = 2x - 5x f(x) = ex - x 3 yanıtlannızın oğruluğunu 41. Bir parçacığın hareket enklemi, s metre ve ı saniye cinsinen olmak üzere, s = ı 3-3ı olarak verilmekteir. (a) Hız ve ivmeyi ı ye bağlı fonksiyonlar olarak, (b) 2 sn sonraki ivmeyi ve (c) hız O iken İvıneyi bulunuz. 42. Bir parçacığın hareket enklemi, s metre ve t saniye cinsinen olmak üzere, s = 2ı 3-7t 2 + 4t + 1 olarak verilmekteir. (a) Hız ve ivmeyi ı ye bağlı fonksiyonlar olarak bulunuz. (b) 1 sn sonraki ivmeyi bulunuz. ~ (c) Konum, hız ve ivme fonksiyonjannı aynı ekrana çiziriniz. 43. f(x) = 1 + 2ex - 3x fonksiyonu hangi aralıkta artanır? 44. f(x) = x 3-4x 2 + 5x fonksiyonu hangi aralıkta ışbükeyir? 45. y = x 3 - x 2 - x + 1 eğrisi üzerine teğetin yatay oluğu noktalan bulunuz. 46. Hangi x eğerleri için f(x) = 2x 3-3x 2-6x + 87 fonksiyonunun grafiğinin yatay teğeti varır? 47. y = 6x 3 + Sx - 3 eğrisinin, eğimi 4 olan bir teğet oğrusu olmaığım gösteriniz.

11 198 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI m 48. y = ı + 2e'- 3x eğri s inin hangi noktas ınaki teğ et oğrusu 3x - y = 5 o ğ ru s un a paralelir? Eğri y i ve iki oğ ruyu çizerek açıklayını z. 49. y = x 2 parabolünün (0, -4) n o kt as ınan geçen iki te ğ et oğrusu o lu ğ unu bir şe kil çizerek gösteriniz. Bu iki teğe t oğrusunun parabol ile k es i ş ti ğ i n okta l a rın koo rin a tl arını bulunuz. SO. (2, - 3) n o ktas ın an geçen ve y = x 2 + x parabolüne teğ et olan iki oğrunun enklemini bulunuz. sı. Bir C eğri s inin P n o kt as ın aki normal oğrusu, P en geçen ve C nin P eki teğe t oğ ru s un a ik olan oğ ru olarak tanıml a nır. y = ı - x 2 parabolünün (2, -3) n ok t as ın aki normal oğ ru s unu bulunuz. Parabol ve normal oğr u s unu çizini z. S2. y = x - x 2 parabolünün (1, 0) n o kta s ın aki normal oğru s u, parabol ile ikinci kez neree k es i ş ir? Çizerek aç ı k l ay ını z. S3. f(x) = l/ x ise f'(x) = -l/x 2 o l u ğ unu göstermek için türevin t a nımını kullanını z. (Bu, 11 = - I için Ku vvet Kuralını k a nıtl a r. ) S4. Fonksiyonun ilk bir kaç türevini h esa pl ay ıp, ortaya ç ık a n üze nlili ğ i gözlemleyerek 11 inci türevi bulunuz. (a) f(x) = x" (b) f(x) = l / x SS. P(2) = 5, P'(2) = 3, ve P"(2) = 2 koş ulun u sağ l aya n bir ikinci erece polinom bulunuz. S6. y" + y' - 2y = x 2 enklemi, bilinmeyen bir y fo nksiyonu ve onun y' ve y" türevlerini i çe ri ğ in e n, bir iferansiyel enklem olarak alanırılır. y = Ax 2 + Bx + C fo nksiyonunun bu enklemi sağ l amas ı için gerekli olan A, B ve C sabitlerini bulunuz. (Di fe ransiyel Denklemler, Ünite 7 e ay rıntılı bir ş ekil e incelenecektir.) ST. (a) Bölüm 2. 1 O a bir f fonksiyonunun ilkel ini, F' = f k oş ulunu sağ l ayan bir F fonksiyonu olarak tanımlaık. J(x) = x 2 nin ilkeli için bir formül tahmin etmeye ç alı ş ınız. Daha sonra ya nıtını z ı tü rev alarak kontrol einiz. f nin kaç tane ilkeli varu? (b) J(x) = x 3 ve f(x) = x 4 fonk s iyonlarının ilkellerini bulunuz. (c) 11 =rf - 1 için f(x) = x" fonksiyonunun ilkelini bulunuz. Türev alarak kontrol einiz. S8. Alı ş ıırm a 57(c) nin sonucunu, a ş a ğ ı aki fonksi y onların bir ilkelini bulmak için kull a nını z. (a) f(x) = -rx (b) f(x) = e' + 8x 3 S9. Hangi a ve b eğ erleri için 2x + y = b oğrusu, x = 2 iken y = ax 2 parabolüne te ğ ettir? 60. Denklemi y = ax 2 + bx + c olan, eğ imi x = 1 e 4, x = -1 e 8 olan ve (2, 1 5) noktas ınan geçen parabolü bulunuz. 61. G rafiği n i n, (-2, 6) ve (2, O) noktalarınaki teğetleri yatay olan ve y = ax 3 + bx 2 + cx + biçimine verilen üçüncü ereceen polinomu bulunuz. 62. xy = c hiperbolüne P nokta s ına bir teğet çizili yor. (a) Bu teğe t oğ ru s unun koorinat eksenlerini k es ti ğ i n ok tal ar ın aras ın a kalan o ğ ru parç as ının orta noktas ının P o lu ğ unu gösteriniz. (b) Teğet oğru s u ve koorinat eksenleri tarafınan o lu ş turul an üçgenin alanının, P nin hiperbol üzerineki konumunan xı ooo _ 63. lim - -- x- ı - 1 bağuns ı z olarak, her zaman aynı o luğunu gösteri niz. limitini bulunuz. 64. y-ekseni üzerine kes i şe n iki ik oğrunun, ikisinin e y = i parabolüne teğe t o lu ğ u bir ş ekil çiziniz. Bu oğru l ar hangi noktaa kes i ş ir? Uygulama ~ f Projesi ' == 85~ ~ Daha iyi Bir Heyecan Treni Yapmak L ı 7 / / 1 1 p f Q L, ~ - \ \ Lunapark için, yeni bir heyecan treninin ilk çıkış ve ini ş ini ta s arımlamanızın isteniğini varsay ını z. En çok sev i ğ iniz heyecan trenlerinin fo toğraflarını inceleyerek, çıki ş ın eğiminin 0,8 ve ini ş in eğ iminin - 1,6 olması gerekti ğ ine karar veriyorsunuz. y = L ı(x) ve y = L ı (x) ile verilen bu iki oğ ru s al uzantıyı, x ve f(x) ft cinsinen olmak üzere, y = f(x) = ax 2 + bx + c parabolünün bir p arças ıyla birleştirmeye karar veriyorsunuz. Raylaran geç i ş in üzgün olabilmesi için hareket yönüne ani bir eğişiklik o lmamalıır, bu neenle L ı ve Lı oğru parçalarının P ve Q geç i ş noktalarına parabole teğet o lm as ını istersini z. ( Ş e kil e bakınız. ) Denklemleri b as itle ş tirmek için b aş langıç noktasını P olarak almaya karar veriyorsunuz. 1. (a) P ve Q n o ktaları arasınaki yatay u zakl ı ğın 100 ft o l uğ unu varsayınız. Bu geçiş n o ktaların a rayların geçi ş inin üzgün olm as ını s ağlayan a, b ve c cinsinen enklemler y a z ınız. (b) f(x) için bir formül bulmak için (a) ş ıkkınaki enklemleri çözerek a,b ve c yi bulunuz.

12 BÖLÜM 3.2 ÇARPIM VE BÖLÜM KURALLARI f:l1 (c) L 1,fve Lı nin grafiklerini çizirerek, geçişlerin üzgün oluğunu gözlemleyiniz. () P ile Q arasınaki yükseklik farkını bulunuz. 2. Problem ı eki çözüm geçişlereki üzgünlüğü sağlarınş görünse bile, öyle hissettirmiyar olabilir, çünkü [x <O iken L 1 (x), O.:::; x.:::; 100 ikenj(x), ve x > 100 iken Lı (x) parçalarınan oluşan] parçalı fonksiyonun ikinci türevi sürekli eğilir. Dolayısıyla, ikinci erece q(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonunu saece 10.:::; x.:::; 90 aralığına kullanarak ve bu fonksiyonu aşağıaki üçüncü erece fonksiyonlar ile oğrusal fonksiyonlara bağlayarak, tasarımınızı geliştirmeye karar veriyorsunuz: g(x) = kx 3 + lx 2 + mx + n O.:::; x < 10 h(x) = px 3 + qx 2 + rx + s 90 < x.:::; 100 (a) Fonksiyonların ve ilk iki türevlerinin geçiş noktalarına aynı olmalarını sağlayan 1 ı eğişkenli enklemler yazımz. (b) q(x), g (x) ve h (x) için formüller bulmak amacıyla (a) şıkkınaki enklemleri bir cebirsel bilgisayar yazılımı kullanarak çözünüz. g, q, h ve Lı nin grafiklerini çizirerek, Problem l(c) eki çizimle karşılaşunnız. (c) Lı, Çarp1m ve Bölüm Kurallar Bu bölümeki formüller, fonksiyonların çarpımı veya bölümü olarak ele eilen yeni fonksiyonların türevlerini almamızı s ağlamaktaır. ~ Çarpım Kuralı D. u u D. u tı.u D. u V u c v tı.u ~ Toplam ve Fark Kurallarına benzer şekile, Leibniz' in üç yüzyıl önce yaptığı gibi, bir çarpımın türevinin, çarpanlarının türevlerinin çarpımı oluğu tahminini yapmaya eğilimli olabiliriz. Fakat özel bir örneği inceleyerek, bu tahminin yanlış oluğunu görebiliriz. f(x) = x ve g(x) = x 2 olsun. Kuvvet Kuralı, f'(x) = I ve g'(x) = 2x verir. Fakat (fg)(x) = x 3, olayısıyla (fg)'(x) = 3x 2 olur. Bu neenle, (fg)' #- f' g' ele eilir. Doğru formül Leibniz tarafınan (hatalı başlangıcınan kısa bir süre sonra) keşfeilmiştir ve Çarpım Kuralı olarak alanınlır. Çarpım Kuralını ifae etmeen önce, bu kuralı keşfetmeye çalışalım. u = f(x) ve v = g(x) in pozitif, türevlenebilir fonksiyonlar oluklarını varsayalım. Bu uruma, uv çarpımını bir ikörtgenin alanı olarak eğerlenirebiliriz (Bkz. Şekil 1). Eğer x, Llx kaar eğişirse, u ve v e buna karşılık gelen eğişimler ŞEKiL 1 Çarpım kuralının geometrisi u D. u Llu = f(x + Llx) - f(x) olur ve yeni (u + Llu)(v + Llv) çarpımı, Llv = g(x + Llx) - g(x) Şekil 1 eki büyük ikörtgenin alanı olarak eğerlenirilebilir ( Ll u ve Llv nin pozitif oluğu varsayılmaktaır). Dikörtgenin alanınaki eğişim [i] Ll(uv) = (u + Llu)(v + Llv) - uv = u Llv + v Llu + Llu Llv = üç taralı bölgenin alanı toplamı

13 200 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI olur. ~x ile bölersek, Jı. Leibniz gösterimine, türevin tanımıy. fiy b".. ı b"l nın = 4 ~ 0 fix ıçımın e yazı a ı e- ceğini anımsayınız ele eeriz. Bu ifae, ~x ~ O için, bize uv nin türevini verir: ~(uv) ( ~v ~u ~v) -(uv) = lim -- = lim u-+ v - +~u ax-o ~ ax- o ~ ~ ~ = u lim ~ + v lim ~u + ( lim ~u) ( lim ~) ax- o ~ ax-0 ~ ax- o ax- o ~ v u v =u-+v-+0 - v u - (uv) =u-+ v (ftürevlenebilir ve olayısıyla sürekli oluğunan, ~x ~O için ~u~ O oluğuna ikkat einiz.) Geometrik yorum için, bütün niceliklerin pozitif oluğunu varsayarak başlasak a, Denklem ı in her zaman oğru oluğunu farkeeriz. (u, v, ~u, ve ~v nin pozitif ya a negatif olmasınan bağım s ız olarak, yukanaki işlemler geçerliir.) Dolayı s ıyla, Çarpım Kuralı olarak bilinen Denklem 2 nin, her türevlenebilir u ve v fonksiyonlan için oğru oluğunu göstermiş oluk. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise, [f(x)g(x)] = f(x) [g(x)] + g(x) [f(x)] Sözlü olarak ifae eersek, Çarpım Kuralı, iki fonksiyonun çarpımının türevinin, birinci fonksiyonla ikinci fonksiyonun türevinin ça rpımıy la, ikinci fonksiyonla birinci fonksiyonun türevinin çarpımının toplamı oluğunu söyler. ÖRNEK 1 (a) f(x) = xex ise, f'(x) i bulunuz. (b) fnin n-inci türevi,f">(x) i bulunuz. Jı. Şekil 2, Örnek 1 eki fve onun türevi olan f' fonksiyonunun grafiklerini göstermekteir. f artarken f nün pozitif ve f azalırken f' n ün negatif oluğunu ikkat einiz. CÖZÜM (a) Çarpım Kuralınan, f'(x) = _:!_ (xex) = _:!_ (ex) + ex _:!_ (x) = xex + ex. ı = (x + l)ex ele eeriz. (b) Çarpım Kuralını ikinci kez kullanarak, $EKIL 2 f - ı f"(x) = [(x + 1)ex] = (x + 1) (ex) + ex (x + 1) = (x + I)ex + ex ı = (x + 2)ex

14 BÖLÜM 3.2 ÇARPIM VE BÖLÜM KURALLARI 201 ele eeriz. Çarpım Kuralı'nın art ara uygulanmasıyla, f"'(x) = (x + 3)ex ele eilir. Aslına, art ara gelen her türev alma ile başka bir ex terimi eklenir, bu neenle f (n)(x) = (x + n)ex olur. ÖRNEK 2 f(t) = /i (1 - t) fonksiyonunun türevini alınız. ÇÖZÜM 1 Çarpım Kuralı'nı kullanarak, f'(t) = /i ~ (1 - t) + (1 - t) ~ /i t t =/i (-I) + (1 - t). ~ t - l /2 ı - t ı - 3t = -li + 2/i = 2/i ÇÖZÜM 2 Üs kurallarını kullanarak,! (t) fonksiyonunu yenien yazarsak, türevini Çarpım Kuralı'nı kullanmaan a alabiliriz. Böylece, f(t) =/i- t/i = tl/2 - t 3/2 f'(t) = ~ı- 1 /2 - ~ıl / 2 ele eilir ve bu sonuç Çözüm ı ekiyle aynıır. Örnek 2, bazen fonksiyonların çarpırnını saeleştirmenin, Çarpım Kuralı'nı kullanmaktan aha kolay oluğunu gösterir. Örnek ı e ise, kullanılabilecek tek yöntem Çarpım Kuralı ' ır. ÖRNEK 3 g(4) = 2 ve g'(4) = 3 olmak üzere, f(x) = J g(x) ise, f'(4).eğerini bulunuz. ÇÖZÜM Çarpım Kuralı'nı uygulayarak, f'(x) = [Jg(x)] = J [g(x)] + g(x) [J] = J g'(x) + g(x) ~x = J g'(x) + g('% 2-yx. g(4) 2 ele eerız. Dolayısıyla, f'(4) =.J4 g'(4) + 2.J4 = 2 3 +M= 6,5 olur. ÖRNEK 4 Bir telefon şirketi, bir sonraki ay içerisine kurması gerekecek yeni telefon hatları sayısını tahmin etmek istemekteir. Ocak ayının başına, şirketin, her birinin ortalama 1,2 telefon hattı olan ıoo.ooo abonesi varır. Şirket, abone sayısının yaklaşık olarak aya 1000 lik bir hızla arttığını belirlerniştir. Varolan abonelere uygulanan anketler, her abonenin Ocak ayının sonuna kaar ortalama 0,01 yeni telefon hattı kururmak niyetine oluğunu ortaya çıkarmıştır. Ayın başınaki, hatlaraki artış hızını hesaplayarak, Ocak ayına şirketin kurması gereken yeni hat sayısını yaklaşık olarak bulunuz.

15 202 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI ÇÖZÜM t ay cinsinen olmak ve t = O Ocak ayının başlangıcına karşılık gelmek üzere, tamnaki abonelerin sayısı s(t) ve abone başına üşen telefon hattı sayısı n(t) olsun. Bu uruma toplam hat sayısı, L(t) = s(t)n(t) olur ve amacımız L'(O) eğerini bulmaktır. Çarpım Kuralı ' nan, L'(t) = - [s(t)n(t)] = s(t)- n(t) + n(t)- s(t) t t t ele eeriz. s(o) = ve n(o) = 1,2 oluğu verilmiştir. Şirket, yaklaşık artış hızlarını s'(o) = 1000 ve n'(o) = 0,01 olarak tahmin etmekteir. Dolayısıyla, L'(O) = s(o)n'(o) + n(o)s'(o) = ,01 + 1, = 2200 ele eilir. Şirketin, Ocak ayına yaklaşık olarak 2200 yenj telefon hattı kurması gerekmekteir. Çarpım Kuralı'na ortaya çıkan iki terimjn farklı kaynaklaran (eski ve yeni aboneler) geliğine ikkat einiz. L' ne yapılan birinci katkı, varolan abonelerin say ısı ( ) çarpı bu abonelerin yeni hat ısınarlama hızıır (abone başına yaklaşık olarak aya 0,01 ). İkinci katkı, abone başına üşen ortalama hat sayısı (ayın başına bu sayı 1,2 ir) çarpı abone sayısının artış hızıır (aya 1000). ~ Bölüm Kuralı fve g nin türevlenebilir fonksiyonlar oluğunu varsay ını z. F = J/g fonksiyonunun türevlenebilir oluğu varsayımını kabul eersek, F ' için f' ve g' cinsinen bir formül bulmak zor eğilir. F(x) = f(x)/g(x) oluğunan, f(x) = F(x)g(x) yazarak, Çarpım Kuralı'nı uygulayabiliriz: Bu enkleme F'(x) i çözerek, f'(x) = F(x)g'(x) + g(x)f'(x) F'(x) = f'(x) - F(x)g'(x) g(x) f'(x) - f(x) g'(x) g(x) g(x) g(x)f'(x) - f(x)g'(x) [g(x)] ı ( f(x) )' g(x) g(x)f'(x) - f(x)g'(x) [g(x)] ı ele eeriz. Bu formül, F nin türevlenebilir oluğu varsayımı altına ele eilmiş olsa a, bu varsay ım olmaan a kanıtlanabilir (Bkz. Alıştırma 44).

16 BÖLÜM 3.2 ÇARPIM VE BÖLÜM KURA LLAR I 203 Bölüm Kuralı fve g türevlenebilir fonksiyonlarsa, ~ [ f(x) ] = g(x).x [f(x)] - f(x) [g(x)] 2 ir..x g(x) [g(x)].a. Örnek 5'eki yanıtın akla yatkın oluğunu kontrol etmek için bir grafik çi zim aygıtı kullanabiliriz. Şekil 3, Örnek 5 eki fonksiyonun ve türevinin grafiklerini göstermekteir. [-2 yakınına], y hızlı büyüüğüne, y' nün büyük ve y yavaş büyüüğüne y' nün O a yakın oluğuna ikkat einiz. Sözle ifae eil iğ in e, Bölüm K u ra lı, bir bölümün türevinin, paya çarpı payın türevinen pay ça rp ı payanm türevinin çı karı lmasıy la ele eilen ifaenin, payanı n karesine bölünmesiyle ele e ili ği ni söyler. Aşağ ı a ki ö rn eği n göste ri ğ i gibi, Bölüm Ku ra lı ve i ğe r türev alma formüll eri, herhangi bir rasyonel fo nksiyonun türevini h esa pl am a mı z ı sağ l ar. x 2 + x- 2 ÖRNEK S y = --- x3 + 6 Bu uruma, olsun. (x 3 + 6)- (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 2)- (x 3 + 6).x y' = ~(x~3~+-6~)~ (x 3 + 6)(2x + 1) - (x 2 + x - 2)(3x 2) (x3 + 6)2 (2x 4 + x x + 6) - (3x 4 + 3x3-6x 2 ) (x3 + 6)2-1,5 -x 4-2x3 + 6x x + 6 (x 3 + 6? ŞEKIL 3 ele eilir. ÖRNEK 6 y = ex/(1 + x 2 ) eğr i s inin (1, e/2) n ok tas ın aki teğe t oğ ru s unun enklemini bulunuz. ÇÖZÜM Bölüm Kur a lı ' n a n, 2,5 y (1 + x 2)ex- ex(2x) (1 + xı? e x (ı - x) 2 (1 + xı)ı ele eeriz. Do l ay ı s ı y l a, (1, e/2) eki teğe t oğru s unun eğimi, - 2 '=~--' 0-~-~--'----' 3,5 ı r. Bu, (1, e/2) n oktas ın aki teğet oğru s un u n yatay ve enkleminin y = e/2 oluğ unu ifae etmektei r. [Bkz. Şekil 4. Fonksiyonun artan o lu ğ un a ve (1, e/2) eki ŞEKIL 4 teğe t oğ ru s unu keserek geçt i ğ in e ikkat einiz.]

17 204 ÜNITE 3 TÜ REV ALMA KU RALLARI NOT Her bölüm görüğünüze, Bölüm Kuralı ' nı kullanmayını z. Bazen verilen bölümü, b aş tan, türev almayı ba s itle ş tirecek biçime yenien yazmak aha kol ay ır. Örneğin, F(x) = 3x2 + 2J fonksiyonunun türevini Bölüm Ku ralı' nı kullanarak almak mümkünür. Ancak, önce bölmeyi yapmak ve fonksiyonu F(x) = 3x + 2x - ı 12 biçimine yazıktan sonra türevi almak çok aha kolaylr. ~ A lı şh rmala r ı. y = (x 2 + l )(x 3 + 1) çarpımırun türevini iki yolla bulunuz: oğruan Çarpım Kuralı ' ru kullanarak ve önce çarpma i ş lemini yaparak. Yanıtlannız u yu ş u yor mu? 2. F(x) = _x_-_3'f=' x...:.. J_x J fonksiyonunun türevini iki yolla bulunuz: oğruan bölüm Kuralı ' nı kullanarak ve önce saeleştirme yaparak. Yarutlarınızın eş eğe r o lu ğunu gösterini z. Hangi yöntemi tercih eersiniz? 3-18 Türevi alını z. e' s. y=ı x+2 7. h(x) = - x - ı 9. H(x) = (x 3 - x + l)(x x- 3 ) 10. H(t) = e'( l + 3t 2 + 5t 4 ) 2 11 = t. y -3-t 2=----2-ı_+_l_ 13. y = (r 2-2r)e' ls. Y = v3-2v.jv 17. f(x) = -- c + V 4. g(x) = J e' e' 6. y=- l+x 1 - u 2 8. f(u) = --, 1 + u - ı 3 + ı 12. y =-4- ı - 2 ı 14. y=-- s + ke' 16. z = w (w + ce"') 18. f(x) = ax + b cx Eğrinin verilen noktaaki teğet o ğ ru s unun enklemini bulunuz. 19. y = 2xe', (O, O) 21. (a) ı y=~ J 20. y = ~ (4, 0,4) eğris i Maria Agnesi caısı olarak alanırılır. Bu eğ ri nin (- 1, i ) n oktas ın aki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. (b) Eğriyi ve teğetini ay nı ekrana çizirerek, (a) şıkla nı açıklayınız. 22. (a) y = x/(1 + x 2 ) eğrisi serpantin olarak al a nırılır. Bu eğrinin (3, 0,3) nokta s ınaki teğet oğru sunun enklemini bulunuz. (b) Eğriyi ve teğetini ay nı ekrana çizirerek, (a) ş ıklanı aç ı kjayınız. 23. (a) f(x) = e'/x 3 ise, f'(x) i bulunuz. ffi (b) f ve f' fonksiyonlannın grafıkl e rini karşılaştırarak, (a) ş ıklanaki yanıtınızın akla yatkı n ol uğ unu görünüz. 24. (a) f(x) = x/(x 2-1) ise, f'(x) i bulunuz. ffi (b) f ve f ' fo nk siyo nlannın grafıkjerini karş ıla ş tırarak, (a) ş ıklanaki yanıtınızın akja yatkın oluğunu görünüz. 2S. (a) f(x) = (x - l)e' ise, f'(x) ve f"(x) i bulunuz. ffi (b) f, f' ve f" fonksiyonl arını n grafıkjeri ni karşılaştırarak, (a) ş ıkkınaki yarutınız ın akla yatkın olu ğ unu görünüz. 26. (a) f(x) = x/(x 2 + 1) ise, f'(x) ve f"(x) i bulun uz. ffi (b) f, f' ve f" fonksiyonlarının g rafıkjerini karş ıla ş tırarak, (a) ş ıklanaki ya nıtınızın akla yatkın oluğunu görünüz.

18 BÖLÜM 3.2 ÇARPIM VE BÖLÜM KURALLARI !(5) = l, f'(5) = 6, g(5) = -3 ve g'(5) = 2 oluğunu varsay ınız. Aşağıaki sayı ları bulunuz: (a) (fg)'(5) (b) (J/g)'(5) (c) (g/!)'(5) 28. f(3) = 4, g(3) = 2, f'(3) = -6 ve g'(3) = 5 ise, aşağıaki eğerleri bulunuz: (a) (f + g)'(3) (b) (fg)'(3) (c) ( -{} (3) () ( 1! g )' (3) 29. f(x) = e' g(x), g(o) = 2 ve g'(o) = 5 ise, f'(o) ı bulunuz. 30. h(2) = 4 ve h'(2) = -3 ise, (h(x))l eğerını bulunuz. x f ve g fonksiyonlarının grafikleri aşağıa gösterilmekteir. u(x) = f(x)g(x) ve v(x) = f(x)/g(x) olsun. (a) u'(l) i bulun uz. y ~ ;--- i-- "" lt l-ı< r- V ~./ o ı (b) v'(5) i bulunuz. / i<-- V g 32. ftürevlenebilir bir fonksiyonsa, aşağıaki fonksiyonların türevlerini ifae einiz. (c) y = xı f(x) (b) y =!;:) 1 + xf(x) () y = ----F=-.0...:... vlx 33. Bu alıştırmaa, Miami-Ft. Lauerale bölgesineki toplam kişisel gelirin artış hızını yaklaşık olarak belirleyeceğiz. Temmuz 1993 e, bölgenin nüfusu i ve nüfus yaklaşık olarak yıla kişi artmaktayı. Kişi başına ortalama yıllık gelir oları ve bu ortalama, yıla yaklaşık olarak 1900 olar artmaktayı (bu, yaklaşık olarak yıla 660 olar olan ABD ortalamasının olukça üzerineyi). Temmuz 1993 e, Miami-Ft. Lauerale' eki toplam kişisel gelirin artış hızını, Çarpım Kuralı ve bu sayıları kullanarak yaklaşık olarak bulunuz. Çarpım Kuralı ' naki terimlerin anlamını belirtiniz. 34. Bir üretici, sabit genişliği olan kumaş topları üretmekteir. Satılan kumaş miktarı (yara cinsinen) q, satış fiyatı (olar cinsinen) p ye bağlı bir fonksiyonur. Dolayısıyl a, q = f(p) biçimine yazabiliriz. Bu uruma, p satı ş fiyatıyla toplam kazanç, R(p) = pf(p) olur. (a)!(20) = ve f'(20) = -350 ne anlama gelmekteir? (b) (a) şıkkınaki eğerlerin oğruluğunu varsayarak, R'(20) yi bulunuz ve yanıtınızı yorumlayımz. 35. f(x) = x 3 e' fonksiyonu, hangi aralıkta artanu? 36. f(x) = x 2 e' fonksiyonu, hangi aralıkta içbükeyir? 37. y = x / (x + 1) eğrisine teğet olan oğrularan kaç tanesi (1, 2) noktasınan geçer? Bu oğrular eğriye hangi noktaa 38. teğettir? - 1 y=- x + ı eğrisinin, x - 2y = 2 oğrusuna paralel olan teğet oğrularının enklemlerini bulunuz. 39. (a) J, g ve h türevlenebilirse, Çarpım Kuralı ' nı iki kez kullanarak, oluğunu gösteriniz. (fgh)' = f'gh + Jg'h + fgh' (b) (a) şıkkına f = g = h alarak, oluğunu gösteriniz. ~ [J(x)P = 3[f(x)] 2 j'(x) (c) (b) şıkkım kullanarak, y = e 3 ' fonksiyonunun türevini alınız. 40. (a) F(x) = f(x)g(x) ise ve f ile g nin her basamaktan türevi varsa, F" = f"g + 2f'g' + fg" oluğunu gösteriniz. (b) F"' ve F ( 4 l için benzer formüller bulunuz. (c) F (n) için bir formül tahmin einiz. 41. f(x) = x 2 e' fonksiyonunun ilk beş türevini veren ifaeler bulunuz. Bu ifaelere bir üzenlilik görüyor musunuz? j <">(x) için bir formül tahmin einiz ve bu formülün oğru oluğunu türnevarım yöntemini kullanarak gösteriniz. 42. (a) Türevin tanımın kullanarak Bir Bölüsü Kuralı ' nı kanıtlayınız : g türevlenebilirse,!! (-1-) - - g'(x) ir g(x) - [g(x)] 2 (b) Bir Bölüsü Kuralı'nı kullanarak Alışturna 14 eki fonksiyonun türevini alınız. 43. Kuvvet Kuralı' nın negatif tamsayılar için oğru oluğunu, bir ba şka ifaeyle her pozitif n tamsayısı için -(x-n) = -nx - n - ı oluğunu Bir Bölüsü Kuralı ' nı kullanarak gösteriniz. 44. Çarpım Kuralı ve Bir Bölüsü Kuralı ' nı kullanarak Bölüm Kuralı ' nı kanıtlayınız.

19 206 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI Doğa Bilimleri ve Sosyal Bilimlere Değişim Hızları Bölüm 2.7 en, y = f(x) ise, y/ türevinin, y nin x eğişkenine bağlı eğişim hızı olarak yo rumlanabileceğini anımsayınız. Bu bölüme, bu fikrin fizik, kimya, biyoloji, ekonomi ve iğer bilimlereki bazı uygularnalarını inceleyeceğiz. Bölüm 2.6 an, eğişim hızlannın arınaki temel üşünceyi anımsayalım. x eğişkeni x 1 en x 2 ye eğişirse, x eki eğişim Llx = ı - ı ir ve y e buna karşılık gelen eği ş im Lly = f(x ı ) - f(xı) y olur. Lly f(x ı ) - f(xı) Llx ı - ı o nıpq = ortalama eğişim hızı m = f'(x 1 ) = anlık e ğ i ş im hı z ı biçimineki fark oranı, [x 1, x 2 ] aralığınay nin x e göre ortalama eğişim hız ı ır ve Şekil 1 eki PQ kiriş oğrusunun eğimi olarak yorumlanabilir. Bu oranın, Llx ~ O iken limiti f'(xı) türeviir ve olayısıyla y nin x e göre anlık eğişim hızı ya a P(x 1,f(x 1)) noktasınaki teğet oğru su nun eğimi olarak yorumlanabilir. Leibniz gösterimini kullanarak, bu i ş lemi, y Lly Llx lim :.x~o ŞEK I L ı biçimine yazabiliriz. y = f(x) fonksiyonunun, özel bir bilimsel anlamı varsa, türevinin e eğişim hlzl olarak özel bir anlamı olacaktır. (Bölüm 2.6 a görüğümüz gibi, y/ türevinin birimi, y nin biriminin x in birimine bölümi.iür.) Şimi bu yorumların, oğa l ve sosyal bilimlereki bazı örneklerini görelim. ~ Fizik Doğru üzerine hareket een bir cismin konum fonksiyonu s = f(t) ise, Lls/ M, M lik bir zaman aralığınaki ortalama hızı ve v =s/ t, anlık hızı (konumaki zamana bağlı eği ş im hızını) gösterir. Bu, Bölüm 2.6 ve 2.7 e ele alınmıştı, ancak şimi türev alma formüllerini biliğimizen, hız problemlerini aha kolay çözebiliriz. ÖRNEK ı Bir cismin konumu, t saniye ve s metre cinsinen ölçülmek üzere, s = f(t) = t 3-6t 2 + 9t enk.jemi ile verilmekteir. (a) t zamanınaki hızı bulunuz. (b) 2 sn sonraki hız neir? 4 sn sonraki? (c) Cisim ne zaman urmaktaır? () Cisim ne zaman ileri oğru (pozitif yöne) hareket etmekteir? (e) Cismin hareketini gösteren bir şekil çiziniz. (f) İlk be ş saniye süresince parçacığın alığı toplam yolu bulunuz.

20 BÖLÜM 3.3 DOGA BILIMLERI VE SOSYAL BILIMLERDE DEG I ŞIM HlZLARI 207 (g) t anınaki ve 4 sn sonraki ivme neir? (h) O :;;:;: t :;;:;: 5 için konum, hız ve ivme fonksiyonlarını çiziniz. (i) Cisim ne zaman hızlarunakta, ne zaman yavaşlamaktaır? ÇÖZÜM (a) Hız fonksiyonu konum fonksiyonunun türeviir. s = f(t) = t 3-6t 2 + 9t s v(t) =- = 3t 2-12t + 9 t (b) 2 sn sonraki hız, t = 2 eki anlık hızır, bir başka eyişle, ir. 4 sn sonraki hız v(2) = - s ı = 3(2) 2-12(2) + 9 = -3 m/s t r~ ı v(4) = 3(4) 2-12(4) + 9 = 9 m/s ir. (c) Parçacık v(t) = O iken urmaktaır, bir başka eyişle, 3t 2-12t + 9 = 3(t 2-4t + 3) = 3(t - l)(t - 3) = o olmalıır ve bu t = 1 ya a t = 3 için oğruur. Dolayı s ıyla, parçacık I ve 3 üncü saniyelere urmaktaır. () Parçacık v(t) > O iken pozitif yöne hareket eer, bir başka eyişle 3t 2-12t + 9 = 3(t - l)(t - 3) > o t = 3 s=o : ; --..-') t=o s= O ŞEKIL 2 t=l s= 4 olmalıır. Bu eşitsizlik, iki çarpan a pozitifren (t > 3) ya a iki çarpan a negatifken (t < 1) oğruur. Bu neenle, parçacık t < 1 ve t > 3 zaman aralıklarına pozitif yöne ilerlemekteir. l < t < 3 iken geriye oğru (negatif yöne) hareket etmekteir. (e) Şekil 2 e, () şıkkınan ele ettiğimiz bilgileri kullanarak, parçacığın bir oğru (s-ekseni) üzerineki ileri ve geri hareketinin şematik bir çizimini verik. (f) () ve (e) şıklarınan öğreniklerimizen olayı, [0, 1], [1, 3] ve [3, 5] zaman aralıklarınaki alınan yolları ayrı ayrı hesaplamaya gereksinim uyarız. İlk bir saniye içine alınan yol, t = 1 en t = 3 e kaar alınan yol ıj(l) - f(o) ı = ı4 - O ı = 4 m ı ıj(3) - f (l ) ı = ı O - 4 ı = 4 m t = 3 en t = 5 e kaar alınan yol J(5) -!(3) ı = ı20 - O ı = 20 m ir. Toplam yol = 28 m ir (g) lvme, hız fonksiyonunun türeviir: 2 s v a(t) = t 2 = t = 6t - 12 a(4) = 6(4) - 12 = 12 m/sn 2

21 208 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI (h) Şekil 3 e s, v ve a nın grafıkleri gösterilmekteir. (i) Parçacık, hızı pozitif ve artarken (v ve a nın ikisi e pozitifken) ve aynı zamana hızı negatif ve azalırken (v ve anın ikisi e negatifken) hızlarımaktaır. Bir başka eyişle, hız ve ivme aynı işarete sahipse parçacık hızlanmaktaır. (Parçacık, hareket ettiği yöne itilmekteir.) Şekil 3 en, bu urumun ı < t < 2 ve t > 3 iken gerçekleştiği görülmekteir. v ile a nın işaretlerinin ters oluğu O.;.:; t < ı ve 2 < t < 3 aralıklarına parçacık yavaşlamaktaır. Şekil 4, parçacığın hareketini özetlemekteir. TEC Moule 3.3/ 3 4/ 3.5 e s nin keni seçtiginiz bir ifaesi için Şe ki l 4 ü hareketli olarak görebi lirsiniz. 5 geri ileri ŞEKIL 4 yavaşlı- hızlaru- yav a şlıyor yor yor hızianıyor ÖRNEK 2 Bir çubuk ya a tel parçası homojen ise, birim uzunluğa üşen kütle miktan (p = m/ 1) olarak tanımlanan ve kilogram bölü metre cinsinen ölçülen oğrusal yoğunluğu her yere aynıır. Çubuğun homojen olmaığını ve sol ucunan bir x noktasına kaar olan kütlesinin, Şekil 5 e gösteriliği gibi m = f(x) fonksiyonu ile veriliğini varsayınız. fo ! ŞEKIL S Çubuğun bu parçasının kütlesi.fi:x) ir. Çubuğun, x = ı ve x = x ı arasına kalan parçasının kütlesi f:.m = f(x ı ) - f(xı) ile verilmekteir. Dolayısıyla, bu parçanın ortalama yoğunluğ u v f:.m f(x ı ) - f(xı) ortalama yogunluk = -- =...::...: :._..:...:.--=f:.x ı - ı olur. f:.x ~ O (bir başka eyişle, x 2 ~ x 1) iken, gittikçe küçülen aralıklara ortalama yoğunluğu hesaplarız. x 1 noktasınaki oğrusal yoğunluk p, bu ortalama yoğunlukların f:.x ~ O iken lirnitiir. Başka bir eyişle, oğrusal yoğunluk kütlenin uzunluğa göre eğişim hızıır. Bunu, sembolik olarak, f:.m m p= lim -=-.<ı.x- o f:.x biçimine gösterebiliriz. Bu neenle, çubuğun oğrusal yoğunluğu, kütlenin uzunluğa göre türeviir. Örneğin, m kilogram ve x metre cinsinen ölçülmek üzere, m = f(x) = j ise, çubuğun 1.;.:; x ~ 1,2 ile verilen parçasının ortalama yoğunluğu tl. m f:.x f(l,2) - f(l) 1,2- ı JI2- ı -'--'---- = 0.48 kg/m 0,2

22 BÖLÜM 3.3 DOGA BILIMLERI VE SOSYAL BILIMLERDE DEGIŞIM HlZLARI 209 olurken, tam olarak x = 1 için yoğunluk olmaktaır. p =- m ı = 1 '-- ı = 0,50kg/ m x~ ı 2v x~ ı ŞEKIL 6 ÖRNEK 3 Elektrik yükleri hareket ettiğine bir akım oluşmaktaır. Şekil 6 a, bir telin parças ı ve taralı üzlem yüzeyen geçen elekıronlar gösterilmekteir. LlQ, yüzeyen Llt süresi içine geçen net yük miktan ise, bu zaman aralığınaki ortalama akım LlQ Q ı - Q ı ortalama akım = ~ = ut lı - lı olarak tanımlanır. Ortalama akımın gittikçe küçülen zaman aralıklanna limitini alarak, verilen bir t 1 zamanınaki I akımını ele eeriz:. LlQ Q I= lım--= r--+ 0 Llt t Dolayısıyla, akım, yükün yüzeyen akma hızıır. Birim zamana üşen yük birimi cinsinen (genellikle arnper olarak alanınlan coulomb bölü saniye cinsinen) ölçülür Fizikte önemli olan eğişim hızlan yalnızca hız, yoğunluk ve akım eğilir. Güç (işin yapılma hızı), ısı akışının hızı, sıcaklık grayanı (sıcaklıktaki konuma göre eğişim hızı) ve nükleer fizikteki rayoaktif maenin bozulma hızı gibi aha bir çok eğişim hızı varır. ~ Kimya ÖRNEK 4 Bir kimyasal tepkime, bir ya a aha fazla maeen (tepkimeye girenleren), bir veya aha fazla maenin (ürünün) oluşmasıyla sonuçlanır. Örneğin, 2Hı + O ı H ı0 "enklemi", iki hirojen molekülü ve bir oksijen molekülünün, iki su molekülü oluşturuğunu gösterir. Aşağıaki, A ve B nin tepkimeye girerek C ürününü oluşturuğu A+B C tepkimesini üşünelim. Anın konsantrasyonu litre başına üşen mol (6, molekül) sayısıır ve [A] ile gösterilir. Tepkime s ırasına konsantrasyon eğişir, ve bu neenle [A], [B] ve [C] zamana (t) bağlı fonk s iyonlarır. C ürününün tı ~ t ~ t2 zaman aralığınaki ortalama tepkime hızı Ll[C] [C](tı ) - [C](tı) Llt tı - lı biçimine ifae eilir. Fakat, kimyacılar, ortalama tepkime hızlannın M sıfıra yak-

23 21 O ÜNiTE 3 TÜRE V ALMA KURALLARI laştığınaki lirniti olan anlık tepkime hızı ile aha çok ilgiliirler:.. ~[C] [C] tepkime hızı = lım -- = -- a r~o M t Tepkime ilerleikçe, ürünün konsantrasyonu arttığınan [C]/t türevi ve olayısıyla C nin tepkime hızı pozitif olacaktır. Tepkimeye girenierin konsantrasyonu ise tepkime sırasına üşmekteir. Bu neenle, A ve B nin tepkime hızlarını pozitif yapmak için, [A]/ t ve [B]/ t türevlerinin önüne eksi işareti koyarız. [A] ve [B], [C] nin arttığı hızla azalığınan, tepkime hızı = [C] t [A] t [B] t ele eeriz. Genelleştirirsek, aa + bb ----;. cc + D biçimineki bir enklem için, 1 [A] 1 [B] 1 [C] 1 [D] a t b t c t t ele eeriz. Tepkime hı zı, grafik kullanarak a belirlenebilir (bkz. Alıştırma 16). Bazı urumlara, tepkime hızını, konsantrasyonları zamana bağlı fonksiyonlar olarak ifae een açık formüller bulmak amacıyla kullanabiliriz. ÖRNEK S Termoinamikteki ilgi çekici nicelikleren biri sıkıştırılabilirliktir. Bir mae sabit bir sıcaklıkta tutuluğuna, maenin V hacmi, P basıncına bağlıır. Dolayısıyla, hacimeki basınca bağlı eğişim hızını, bir başka eyişle V/ P türevini ele alırız. P arttığına, V azalmaktaır, bu neenle V/ P < O ır. Sıkıştırılabilirlik bu türevi hacme bölerek ve önüne eksi işareti getirerek tanımlanır: sabit s ıcaklıkta sıkıştırılabilirlik = {3 = - _!_ V V P Dolayısıyla, {3, sabit sıcaklıkta, basınç artarken bir maenin hacmineki birim hacme göre azalma hızını ölçer. Örneğin, 25 C e hacmi V (metreküp cinsinen) olan hava ömeğinjn, basıncı P (kilopascal cinsinen) ile ilişkisi 5,3 V=p enklemi ile verilmekteir. P = 50 kpa için V nin P ye göre eğişim hızı V ı 5,3 ı P P= 50 = - p ı P= SO = -~ = m / kpa 2500,

24 BÖLÜM 3.3 DOGA BILIMLERI VE SOSYAL BILIMLERDE DEGIŞIM HlZLARI 211 olur. Bu basınçtaki s ıkıştırılabilirlik olur. ~ =- ~ ~~ ~P~ so , 3 = 0,02 (m 3 / kpa)/ m 3 50 ~ Biyoloji ÖRNEK 6 n = f(t) bir hayvan ya a bitki topluluğunun tanınaki birey sayısını göstersin. t = tı vet = t ı zamanları arasınaki nüfus büyüklüğüneki eğişim!::in= f(t ı) - f(tı) o lu ğunan, tı ~ t ~ t ı zaman aralığınaki ortalama büyüme hızı....!::in f(tı) - f(tı) ortalama buyume hızı= - =..;;..:...!::it l ı - lı ir. Anlık büyüme hızı, bu ortalama büyüme hızınan, zaman ara lı ğ ı!::it nin O a yak l aşınasıy l a ele eilir:!::in n büyüme hızı = Jim - = -..l t -'> 0!::it t Aslına bu tam anlanuyla oğru eğilir, çünkü n = f(t) nüfus fonksiyonunun gerçek grafiği, bir oğum ya a ölüm oluğuna süreksiz olan ve olayısıyla türevlenebilir olmayan bir basamak fonksiyonu nun grafiğiir. Ancak, büyük bir hayvan veya bitki nüfusu için, bu grafiğin yerine Şeki l 7 eki gibi, yaklaşık olarak bu grafiğ i veren türevlenebilir bir eğri yi kull anabi liriz. ll ŞEKiL 7 Bir büyüme fonksiyonunu yaklaş ık olarak veren üzgün bir eğri o Özel bir örnek olarak, homojen bir besin ortaınınaki bir bakteri nüfusunu ele alınız. Çeşitli aralık l ar l a veri alarak, nüfusun bir saatte iki katına çıktığ ının belirleniğini varsayınız. Başlangıç nüfusu n 0 ve t saat cinsinen ölçülürse, f( L) = 2f(O) = 2no f(2) = 2f(l) = 2 2 no f(3) = 2f(2) = 2 3 n0

25 212 ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI ve genele, f(t) = 2'no olur. Böylece, nüfus fonksiyonu n = n02' biçimine ifae eilmekteir. Bölüm 3.1 e, üste! fonksiyonlann türevlerini çalışrruş ve oluğunu bulmuştuk. Dolayısıy la, t zamarnnaki bakteri nüfusunun artış hızı n - = - (no2') = no(0,69)2' t t olur. Örneğin, no = 100 başlangı ç nüfusu ile başlaığırruzı varsayalım. Bu uruma 4 saat sonraki büyüme hızı n 1 = 100(0,69)2 4 = 1104 t ı-4 olur. Bu, 4 saat sonra, bakteri nüfusunun yaklaş ık olarak saatte 1100 bakterilik bir hızla bü yü ü ğü anlamına gelmekteir. ÖRNEK 7 Damarlaran geçen kan akışını ü ş ünürsek, amarın biçimini Şekil 8 eki gibi yançapı R ve uzunluğu l olan silinir bir tüp biçimine moelleyebiliriz. ŞEK I L 8 Damaraki kan akış ı Tüpün uvarlannaki sürtünmeen olayı, kanın v hızı, tüpün merkez ekseni boyunca en yüksek eğerini almakta, eksenen olan uzaklığı gösteren r arttıkça azalmakta ve uvar üzerine O olmaktaır. v ver arasınaki ilişki, 1840'a Fran s ız oktor Jean-Louis-Marie Poiseuille tarafınan ke şfeilen laminar akış yasası ile verilmekteir. Bu yasa, 17 karun akışkanlığı ve P tüpün uçlan arasınaki basınç farkı olmak üzere, oluğunu söyler. P ve l sabitse, v, tanım kümesi [O, R] olan r ye bağlı bir fonksiyonur. [Daha aynntılı bilgi için, bkz. Nichols ve M. O' Rourke (es), McDonal's Bloo Flow in Arteries: Theoretic, Experimental an Clinical Principles, 3 e. (Philaelphia: Lea&Febiger, 1990).] r = rı en ı ş anya oğru r = rı ye hareket ettiğimize hızaki ortalama eğişim hızı D.v v(rı) - v(rı) D.r rı - rı

26 BÖLÜM 3.3 DOGA BILIMLERI VE SOSYAL BILIMLERDE DEGIŞIM HlZLARI ir ve b.r O iken, hızın r ye göre anlık eğişim hızını ele eeriz: Denklem 1 i kullanarak, b.v v hız grayanı = lim - = - ~,- o b.r r v P Pr - = -(O - 2r) = -- r 41Jl 21Jl ele eeriz. Daha ki,içük insan ataramarları için, 1J = 0,027 R = 0,008 cm, l = 2 cm ve P = 4000 in/cm 2 alabiliriz. Bu v = 4 ( 0, 027 ) 2 (0, r ) verir. r = 0,002 cm e kan = 1, (6,4 ıo - s - r 2 ) v(0,002) = 1, ( ) hızıyla akmaktaır ve buraaki hız grayanı v 1 r r-0,002 = 1,11 cm/ sn 4000(0,002) = _ 74 (cm/sn)/cm 2(0,027)2 olur. Bu ifaenin ne anlama geliğini hissetmek için, birimi santimetreen mikrometreye (1 cm = f.lid) eğiştirelim. O zaman, ataramarın yarıçapı 80 f.lid olmaktaır. Merkezi eksene i-lm/sn olan hız, r = 20 f.lid uzaklığına i-lm / sn ye üşmekteir. Bu uzaklıkta v/ r = -74 (!-Lm / sn)/ 1-Lm olması, r = 20 f.lid iken hızın, merkezen uzaklaştığırnız her mikrometre için yaklaşık olarak 74 i-lm / sn lik bir hızla azalığı anlamına gelmekteir. ~ Ekonomi ÖRNEK 8 Bir şirketin bir malan x birim üretmek için yaptığı toplam harcamanın C(x) oluğunu varsayın. C fonksiyonuna genel maliyet fonksiyonu enir. Üretilen parça sayısı x 1 en x 2 ye çıkarılırsa, maliyetteki artış b.c = C(x ı ) - C(xı) ve maliyetteki ortalama eğişim hızı b. C b.x C(x ı ) - C(xı) ı - ı C(x ı + D.x) - C(xı) b.x olur. Bu niceliğin b.x O iken limiti, bir başka eyişle maliyetin üretilen parça sayısına göre anlık eğişim hızı, ekonomistler tarafınan birim eğişimeki maliyet olarak alanırılır : b.. ~. ki ı b.c C ının egışım e ma ıyet: = lim - = - ~ x - o b.x

27 214 ÜNiTE 3 TÜREVALMA KURALLARI [x genellikle saece tamsayı eğerler alığınan, kelimenin gerçek anlamıyla Llx in s ıfıra gitmesinen söz eemeyiz, ancak Örnek 6 a oluğu gibi her zaman C(x) in yerine, bu fonksiyona yaklaşan türevlenebilir bir fonksiyonu kullanabiliriz.] Llx = l ve yeterince büyük bir n s ayı s ı (Llx, n ile karşılaştırılığına küçük olacak ş ekile ) alırsak, C'(n) = C(n + l) - C(n) ele eeriz. Dolayısıyla, n birim üretmenin birim eğişimeki maliyeti yaklaşık olarak bir birim aha üretmenin maliyetine e ş ittir [(n + 1) inci birim]. Genellikle, toplam maliyet fonksiyonunu C(x) = a + bx + cx biçimineki bir polinomla göstermek uygunur. Buraa, a sabit gierlerin maliyetini (kira, ı s ınm a, b akım), iğer terimler ise hammae, emek vb. maliyetlerini gösterir. (Hammaelerin maliyeti x ile oğru orantılı olabilir, fakat emek maliyetleri, gerek mesai maliyetleri, gerekse büyük ölçekli i ş lemlereki verimsizlikten olayı kısmen x in yüksek ku vvetlerine bağlı olacaktır. ) Örne ğ in, bir ş irketin, x parça üretmenin maliyetini (olar cinsinen) C(x) = ıo.ooo + 5x + 0,01x 2 olarak tahmin ettiğini varsayını z. Bu uruma, birim eğişimeki maliyet fonksiyonu C'(x) = 5 + 0,02x ir. 500 parça lık üretim üzeyine birim eğ i ş imeki maliyet C'(500) = 5 + 0,02(500) = I 5 $ 1 parça olur. Bu, x = 500 lük üretim üzeyine göre maliyetin artış hızını verir ve 50 I inci maliyetini belirtir. 501 inci p ar ç ayı üretmenin gerçek maliyeti parç anın y akl aş ık C(501) - C(500) = [ (501 ) + 0,01(501 )2 ] - [ (500) + 0,01(500)2] = 15,01 $ ir. C'(500) = C(50 l) - C(500) olu ğ un a ikkat einiz. Ekonomistler, talep, gelir ve kar fonksi y onlarının türevleri olan, birim başına talep, gelir ve fay ayı a çalışırlar. Ünite 4 e, fonk s iyonl arın maksimum ve minimum eğ erlerini bulmak için yöntemler geli ş tirikten sonra, bunların üzerine urulacaktır. Diğer Bilimler Deği ş im hı z ları, bütün bilimlere ortaya çıkar. Bir jeolog, katmanların arasına girmiş, erimi ş bir kaya parçasının çevresineki kayalara ı s ı ileterek s ağumasının hızıyla ilgilenir. Bir mühenis, bir eponun içine giren ya a epoan ışarı ç ıkan suyun akış hız ını bilmek ister. Bir kentsel coğrafyacı, nüfus yoğunluğunun, kentin merkezinen olan uzaklı ğa bağ lı eğişim hızı ile ilgiliir. Bir meteorolog, atmosfer basıncının yüks ekli ğe bağlı eğişimiyle ilgilenir (Bkz. Bölüm 7.4 eki Alıştırma 15).

28 BÖLÜM 3.3 DOGA BILIMLERI VE SOSYAL BiliMLERDE DEGI ŞIM HlZLARI 215 Psikolojie, öğrenme kuramı ile ilgilenenler, öğrenme eğrisi olarak alanırılan ve bir beceriyi öğrenmekte olan ki ş inin, eğitim alma zamanı t ye bağ lı performans fonksiyonu olan P(t) nin grafiğini incelerler. Özellikle, performan s ın zaman geçtikçe hangi hızl a geliştiği yle, bir başka eyişle P/ t ile ilgilenirler. Sosyolojie, iferansiyel kalkülüs, bir söylentinin (ya a yeni li ğ in ya a hevesin ya a mo a nın ) yay ılma hızını çözümlernek için kullanılır. p(t), bir söylentiyi bilenlerin t zamanınaki nüfustaki oranın ı gösterirse, pj t türevi söylentinin yayılma hızını gösterir (Bkz. Bölüm 3.5 eki Alıştırma 60). Özet Fizikteki hız, yoğunluk, akım, güç ve s ıc aklık grayanı, kimyaaki tepki me hızı ve s ı kıştırılabilirlik, biyolojieki gelişme hızı ve kan hızı grayanı, ekonomieki birim eğişimeki maliyet ve kar, jeolojieki s ıc aklık akışı hızı, psikolojieki performan s ın ge li ş me hızı, sosyolojieki bir söylentinin yayılma hızı tümüyle tek bir matematiksel kavramın, türevin, özel örnekleriir. Bu, matem a tiği n gücünün, kı s men onun soy utluğ una yattığını göstermekteir. Tek bir soyut matematiksel kavramın (türev gibi), her bilirne farklı bir yorumu olabilmekteir. Matematiksel bir kav ra mın özelliklerini bir kez ge li ş tiri ğ imize, bu sonuçları bütün bilimiere uygulayabiliriz. Bu, bilim allarınaki kav ra mların özelliklerini ayrı ayrı ge li ş tirmekten çok aha verimliir. Fransız matematikçisi Joseph Fourier, bunu özlü bir biçime şöy le ifae etmiştir: "Matematik en fa rklı olgu l arı karşıtaştım ve on l a rı birle ş tiren gizli benzerlikleri keşfe e r. " ~ Alıştırmalar 1. Bir parçac ık, 1 saniye ve s metre cinsinen olmak üzere, () 1 a nın a ki i v nıey i bulunuz. lvın e ne zaman O ır? s = f(t) = t 3-12t , t "" O, ile verilen konum enklemine ~ (e) O :;;;; t :;;;; 4 için konum, hı z ve ivme fonksiyonlarını çiziniz. göre hareket etmekteir. (a) tanınaki hızı bulunuz. (f) P arçac ık ne zaman hı z lanm akta, ne zaman yavaş laınak taır? (b) 3 sn sonra hız neir? (c) Parçac ık ne zaman urur? 3. Bir parçacığın konum fonksiyonu s = t 3 - ile verilmekteir. 4,5t 2-71, 12: O () Parçacık ne zaman ileri o ğ ru hareket eer? (e)!lk 8 sn içine a lın a n topl am yolu bulunuz. (a) P a rçacık ne zaman 5 nı/sn hı z ın a ul a ş ır? (b) l vıne ne zaman O ır? Bu 1 eğerinin önemi nei r? (f) Parçac ı ğ ın hareketini göstermek için Şekil 2 eki gibi 4. Bir top 80 ft/sn hı z ı y l a üşey olarak y u karı oğru fı rl at ılırsa, t saniye sonraki y üksek li ğ i s = t 2 o lmakt a ır. bir şema çiziniz. (g) ı a nınaki ve 3 sn sonraki İvıne y i bulunuz. (a) Topun ul aş tığı maksimum yükseklik neir? ~ (h) O :;;;; t :;;;; 8 için konum, hız ve ivme fonksiyonlarını çiziniz. (b) Top yukarı oğru yükselirken, yerin 96 ft üstüneki hı z ı (i) Parçacık ne zaman hızlanm ak t a, ne zaman yavaş l a nıak neir? Aşağı inerken ay nı yükseklikteki hı z ı neir? taır? 2. Bir parçac ık x-ekseni boyunca hareket etmekteir. Parçac ı ğ ın tanınaki konumu, t saniye ve x metre cinsinen ol mak üzere, x( ı) = t/ ( l ), t 2: O til e veri lmekteir. (a) tanınaki hı z ı bulunuz. (b) Parçacık ne zaman sağa, ne zaman sola oğ ru hareket etmekteir? (c) tık 4 sn e alınan toplanı yolu bulunuz. S. (a) Bir ş irket, kare şekl in eki silikon plakalaran bilgisayar çipieri yap m ak t aır. Şirket, bir plakanın ken a rını 15 mm ye çok yak ın tutmaya ça lı ş m akta ve p l akanın A(x) alanının, x kenar uzunlu ğ u eğiştiğine n as ıl e ğ i şti ğ ini bilmek istemekteir. A'(l5) i bulunuz ve bu uruma ne anlama ge li ğ ini açıklayın ı z. (b) Bir karenin a l a nının, kenar uzunlu ğ una göre eğişim hı z ının, çevresinin yans ı oluğunu gös te ıini z. Bunun niçin

29 216 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI o ğ ru olu ğ unu, x kenar uzunlu ğ u lı. x kaar artırılan bir kare çizip, geometrik olarak a ç ıklamaya çalı ş ını z. lı. x küçük ise, al anaki lı. A eğ i ş imini y akla ş ık olarak veren bir eğe ri n as ıl bulursunuz? 6. (a) Su ve soyum klorat çözeltisi ya v aşça buh ar l aş tırılığına, büyüyen küp şe klin e soyum klorat kristalleri oluş ur. V, kenar uzunlu ğ u x o lan böyle bir kübün hacmi yse, x = 3 mm o lu ğ un a V/ eğe rini h esa pl ay ını z ve anl amını aç ıkl ay ını z. (b) Kübün hacmineki, kenar uzunlu ğ un a bağ lı eğ i ş im hız ının kübün yüzey a l a nının y arı s ı o lu ğ unu gösteriniz. Bu sonucun niçin oğ ru o lu ğ unu, A lı ş ıı rm a 5(b) ye benzer bir biçime geometrik olarak aç ıkl ayını z. 7. (a) B ir airenin r y arı ça pı aşağ ı aki ş ıkl a rab gibi eğ i ş tiğ in e, airenin al a nının r ye göre ortalama eğ i ş im hı zını bulunuz: (i) 2 en 3 e (ii) 2 en 2,5 e (iii) 2 en 2,1 e (b) r = 2 için a nlık eğ i ş im hı z ını bulunuz. (c) Dairenin a lanının y arı ça p a göre eğ i ş im hı z ının (herhangi bir r için), airenin çevresine eş it o lu ğ unu gösteriniz. Bunun niç in oğ ru o lu ğ unu, y arı ça pı lı.r kaar artırılan bir çember ç izip, geometrik olarak aç ıkl amaya çalış ını z. lı. r küçük ise, alanaki buna b ağ lı lı. A eğ i ş imini yak l aş ık o larak veren bir eğer i n as ıl bulurs unuz? 8. Göle bir taş atarak, 60 cm/sn hı z l a merkezen ı şarı oğ ru çembersel olarak hareket een bir alga yara tıl mıştır. (a) l sn (b) 3 sn ve (c) 5 sn sonra, çemberin a l a nın aki artı ş hı z ını bulunuz. Ne gibi bi r sonuca varabilirsini z? 9. Küre biçimineki bir balon ş i ş i r ilm ek t e i r. Balonun r yar ı ça pı, (a) l ft (b) 2 ft ve (c) 3 ft iken, yüzey a l a nının (S= 4 7Tr 2 ) r ye göre artı ş hı z ını bulunuz. Ne gibi bi r sonuca varabilirsiniz? ıo. (a) Büyüyen küre biçimineki bir hücreni n hacmi, r mikrometre cinsinen ( ı ı-ı-m = ı o- 6 m ) ölçüt mek üzere, V = ~ 1rr 3 ür. r aşağ ı ab ş ık.j ar ab gibi eğ i ş ti ğ ine, V nin r ye göre ortalama eğ i ş im hı z ını bulunuz: (i) 5 en 8 ı.ı-m ye (ii) 5 en 6 ı.ı-m ye (üi) 5 en 5, l ı-ı-ın ye (b) r = 5 için, V nin r ye göre anlık eğ i şim hızını bulun uz. (c) Kürenin hacminin r ye göre eğ i ş im hı z ının, kürenin yüzey a l a nın a eş it o lu ğ unu gösteriniz. Bu sonucun neen oğ ru o l u ğ unu geometri k olarak aç ı k l ay ını z. A lı ş ıırm a 7(c) ile benzerlik kurarak tartı ş ını z. ı 1. Bir metal ç ubu ğ un, sol uç n o ktas ı ile bu n ok ta nın x metre sağ ın a ki nokta aras ın a kalan p arçan ın kütlesi 3x 2 kg ır. x, (a) l m (b) 2 ın ve (c) 3 m iken, oğr u sa l yoğ unlu ğ u bulunuz. Y oğ unluk neree en fazla, neree en az ır? ı 2. Bir epoaki 5000 galon su, eponun ibinen akarak 40 akikaa boşa lıy o r sa, t akika sonra epoa kalan suyun hacmini Torricelli Ya s a s ı o,;:; t,;:; 40 olarak verir. (a) 5 k (b) LO k (c) 20 k ve () 40 k sonra, suyun epoan b oşalm a hı z ını bulunuz. Su ne zaman en hızlı, ne zaman en yavaş akmaktaır? Buluklarını z ı özetleyiniz. 13. Bir teleki bir noktaan, (saniye cinsinen ölçülen) t zamanına kaar geçen yük miktarı Coulomb cinsinen (C), Q(t) = t 3-2t 2 + 6t + 2 olarak verilmekteir. (a) t = 0,5 sn ve (b) t = 1 sn terineki akımı bulunuz. [Bkz. Örnek 3. Akımın birimi amperir. ( l A = 1 C/sn).] Akım ne zaman en ü ş ü k tür? ı4. Newton' un Kütle Çekim Y asas ı, kütlesi m olan bir cisim tara fın an kütlesi M olan bir cisme uygulanan kuvvetin, G evrensel çekim sabiti ve r ci simler ar as ınaki u z aklık olmak üzere, o lu ğ unu söyler. GnıM F = --,. ı (a) Cisirnler hareket ei yorsa, F/ r türevini bulunuz ve anlamını a çıkl ay ını z. Eksi i ş are ti neyi göstermekteir? r = km iken, bir ci smi 2 N/km hızıyla (b) Dün ya nın, azalan bir kuvvetle çe kti ğ ini v ars a y alım. r = km iken bu kuvvet hangi hızla eğ i ş mekte ir? 15. Boyle Yasas ı, sabit bir s ı c aklıkta s ıkı ş tırıl a n bir gaz ın, bas ın c ı ve hacminin çarpımının sabit o lu ğ unu söyler: PV = C (a) Hacmin b as ın ca göre eğ i ş im hı z ını bulunuz. (b) Dü ş ük bir b as ın ç altına bir kabın içerisine uran bir gaz örneğ i, 10 akika boyunca üzenli bir biçime sabit s ı caklıkta s ıkı ş tınlmaktaır. Hacim 10 akikanın b aş ın a mı, yoksa sonuna mı aha hızlı azalmaktaır? A ç ıklayıruz. (c) lzotermal s ıkı ş tırılabilirli ğ in (bkz. Örnek 5), f3 = 1/ P o l u ğ unu gösteriniz. ı 6. Tabloaki veriler, hiroksivalerik asiin 25 "C eki laktonl aşmas ı ile ilgiliir ve asiin, t abka sonraki mo! bölü litre cinsinen C(t) konsantrasyonunu vermekteir. 1 o C(l) , ,0295 0,0210 (a) Aşağ ı aki zaman ar a lıkların ab ortalama tepkiıne hızını bulun uz: (i) 2,;:; f,;:; 6 (ii) 2,;:; f,;:; 4 (iii) o,;:; t,;:; 2 (b) Tabloaki n o kt a l arı i şa re tle y ini z ve bu noktalaran geçen, konsantrasyon fonksiyonunun grafi ğ ini yaklaşık olarak veren türevlenebilir bir e ğ ri çiziniz. Daha sonra, t = 2 eki teğ eti çiziniz ve bunu kullanarak t = 2 için anlık tepki me hı z ını yakl aş ık olarak bulunuz. (c) Tepkime hı z i a nı y or mu, yoksa yava ş lıyor mu?

30 BÖLÜM 3.3 DOGA BILIMLERI VE SOSYAL BILIMLERDE DEGIŞIM HlZLARI 217 ~ 17. Aşağ ıaki tablo, 20. y ü zyı l a ünya nüfusunu vermekteir. Nüfus Nüfus Yıl (milyon) Y ıl (milyon) (a) tki kiriş oğrusunun eğ iml eri nin orta l amalarını alarak, 1920 ve 1980 eki nüfus artış hızını yaklaşık olarak bulunuz. (b) Grafik çizen bir hesap makinesi veya bilgisayar kullanarak, bu veriyi moelleyen üçüncü ereceen bir polinarn fonksiyonu bulunuz. (Bkz. Bölüm 1.2.) (c) (b) şıkkı n aki moeli kullanarak, 20. yüzy ıl aki nüfus artış hızını moelleyen bir fonksiyon bulunuz. () (c) ş ıkkını kullanarak I 920 ve 1980 eki büyüme hı z l a rını bulunuz. Sonucunuzu, (a) şıkkı n a buluğunuz yakl aşık eğerlerle karşılaştırınız. (e) 1985 eki büyüme hı z ını tahmin einiz. ~ 18. Tablo, 20. yüzyı lın ikinci yarıs ın a, Japon kaınlarının ilk evlilik yaş ı orta l a ma s ının nasıl eğiştiğini göstermekteir. 1 A(l) 1 A(1) , , , , , , , , ,3 (a) Grafik çizen bir hesap makinesi veya bilgisayar kullanarak bu veriyi örüncü erece bir polinomla moelleyiniz. (b) (a) ş ıkkını kullanarak, A'(t) yi moelleyen bir fonksiyon bulun uz. (c) 1990 aki kaınların evlenme yaşınaki eğişim hızını tahmin einiz. () Tabloaki n okta l arın ve A ile A' moellerinjn grafiğini çizinjz. 19. Örnek 4 e, C ürününün bir molekülü, tepkimeye giren A ve B nin birer moleküllerinen o lu ş u yor, ve Aile B nin başlangıçtaki konsantrasyonları [A] = [B]= a mol/lt ise, k sabit ol" mak üzere, [C]= a 2 kt/ (akt + 1) olur. (a) t zam anı n aki tepki me hı z ını bulunuz. (b) x = [C] ise, - = k(a - x) t 2 o lu ğ unu gösteriniz. (c) t-? oo iken konsantrasyonane olur? () t-? oo iken tepkime hı zına ne olur? (e) (c) ve () şıkların ın son u ç l arı pratikte ne anlama gelir? 20. Bir bakteri kolonisineki nüfusun başlangıçta 500 o lu ğunu ve her saatte üç katı n a çıktığını varsayın ı z. (a) 3 saat sonraki, 4 saat sonraki ve ı saat sonraki nüfus neir? (b) Bölüm 3. I eki (5) in sonucunu kullanarak, bakteri nüfusu naki 6 saat sonraki artış hızını tahmin einiz. 21. Örnek 7 eki laminer akış yasasına bakın ı z. Yarıçapı 0,01 cm, uzunluğu 3 cm, basınç farkı 3000 in/cm2 ve akışkanlığ ı TJ = 0,027 olan bir kan amarı üşünelim. (a) Kanın, r = O a karş ılık gelen merkez çizgisi boyunca, merkezen r = 0,005 cm uzaklıktayken ve amarın iç çeperi üzerineki, bir başka eyişle r = R = 0,01 cm urumunaki hızını bulunuz. (b) r =O, r = 0,005 ver= O,Ql eki hız grayanını bulunuz. (c) Hız neree en yüksektir? Neree en fazla eğişmekteir? 22. Titreşen keman tellerinin titreşimlerinin frekans ı, L telin uzunluğu, T gerilimi ve p a oğrusal yoğunl u ğu olmak üzere, f= 2~ fp enklemi ile veri lmekteir. (Bkz. Donal Hall, Musical Acoustics, 2 e. (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 1991) kitabına Bölüm I 1.) (a) Frekansın, (i) (T ve p sabit oluğuna) uzunluğa göre (i i) (L ve p sabit o l uğuna) gerilime göre (iii) (L ve T sabit o lu ğuna) oğrusal yoğunluğa göre eğişim hızlarını bulunuz. (b) Bir notanın tonu (ne kaar ince ya a kalın o lu ğu),f frekans ı ile belirlenmekteir. (Frekans yükselikçe, notanın tonu a artmaktaır.) (a) şıkkınaki türevlerin i şaretlerini kullanarak, aşağıaki urumlara notanın tonuna ne o lu ğunu belirleyiniz: (i) Telin üzerineki bir noktaya parmakla basılarak aha küçük bir kısmının titreşınesine neen olunması, bir başka eyişle titreşen tel uzunlu ğunun azaltılması urumuna, (ii) Bir akort anahtarının önürülerek gerilimin arttırılması urumuna, (iii) Başka bir tele geçilerek, telin oğrusal yoğunluğ u nun arttırı lın ası urumuna. 23. Bir şirketin, yeni bir pantolon moelinen x tane üretınesinin maliyetinin, olar cinsinen C(x) = x + 0,01x 2 + 0,0002x 3 o lu ğunu varsayınız. (a) Birim eğişimeki maliyeti bulunuz. (b) C'(lOO) eğerini bulunuz ve an l am ı nı aç ı klayınız. Bu eğer neyi öngörmekteir? (c) C'(lOO) eğerini 1 Ol inci pantatonu üretmenin inaliye tiyle karşı l aştırınız. 24. Belli bir ürünün maliyet fonksiyonu, C(x) = 84 + O, I 6x - 0,0006x 2 + 0,000003x 3 ür. (a) C' (I 00) eğerini bulunuz ve yorumlayın ı z. (b) C'(lOO) eğerini 1 O 1 inci ürünü üretmenin maliyetiyle karş ıl aştırı nı z.

31 218 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI ffi (c) Mali yet fonksiyonunu çiziniz ve büküm noktasının yeri - ni yak la ş ık olarak belirleyiniz. () C nin bir büküm n oktas ını veren x eğerini bulunuz. Bu eğe rin önemi neir? 25. Bir fabrikaa x i şç i varken, üretimin toplam eğe ri p(x) ise, bu fabrikaaki i şg ü c ünün ortalama ve rimliliği A(x) = p(x) ir. (a) A'(x) i bulunuz. A'(x) > O ise, ş irket niçin aha faz la i ş çi ça lı ş tırmak ister? (b) p'(x) ortalama verimlilikten büyükse, A'(x) > O o lu ğ u nu gösteriniz. 26. R, gücü x o lan bir u ya rı ya vücuun tepkisini gösterirse, S ile gösterilen uyarlilık, tepkinin zamana göre eği ş im hızı olarak t a nıml a nm a kt a ır. Özel bir örnek verecek o lursak, bir ı ş ık ka y n ağ ın ı n p arl aklı ğ ı artılırsa, göz, gözbe beğ inin R alanını azaltarak tepki vermekteir. R milimetre kare ve x e uygun bir p a r l a klık birimi cinsinen ölçülmek üzere, eneysel olarak e le ei len x 0 A R = ::-: x 0 A formülü, R nin x bağ ımlılı ğ ını moellernek içi n kulla nılmakt a ır. (a) Du yar lılı ğ ı bulunuz. ffi (b) R ve S yi x in fonksiyonl a rı olarak ç izerek (a) ş ıkkını aç ıkl ay ını z. R ve S nin ü ş ük üzeylereki p a rl a klı ğa karş ılık gelen eğe rl e rini yo ruml ay ınız. Bu, bek l eiğ ini z bir sonuç muur? 27. Ieal gaz yasası, s ıcaklı ğ ı (kelvin cinsinen) T, ba s ın c ı (atmosfer cinsinen) P, hacmi (litre cinsinen) V o lan ieal bir gaz için, n gaz ın mallerinin say ı s ı ve R= 0,082 I gaz sabiti olmak üzere, PV = nrt o lu ğ unu söyler. Belirli bir ana, bas ın c ın P = 8,0 a tın o lu ğ unu ve O, I O atm/k hızı y l a a rttı ğ ı nı, ayrıca V = I O lt o lu ğunu ve O, I 5 lt/k hı zıy l a aza lı ğ ını var s ayalım. n = I O mo! ise, T nin zamana göre anlık e ğ i ş im hı z ını bulunuz. 28. Bir balık ç iftli ğ ineki havuza bir b a lık nüfusu o lu şturulmu ş ve üzenli olarak sa tış ya pılmakta ır. r0 balıkların oğum oranı, Pc havuzun a l a bileceğ i maksimum nüfus (taşıma kapasitesi) ve f3 sa tı ş için havuzan alınan balık say ı s ının yüzesi olmak üzere, balık nüfusunun e ğ i ş im hı z ının moeli P = ro( I - P(t) )P(t) - f3p (t) t Pc enklemi ile verilmekteir. (a) Hangi P/t eğe ri, engeli bir nüfusa kar ş ılık gelmekteir? (b) Havuz I 0000 balık alabiliyorsa, oğ um o ra nı %5 ve satı ş için toplama o ranı %4 ise, engeli nüfus üzeyini bu lunuz. (c) {3. %5 e ç ık a rılırsa ne o lur? 29. Ekasistemler incelenirken, türler ara s ınaki etkileşimi ça lı şmak için genellikle av-avc ı moeli ku ll a nı lır. Kuzey Kanaa'aki tunra kurtlarının nüfusunun W(t) ve Karibu geyiklerinin nüfu sunun C( ı ) ile ve rili ğ ini ü şününü z. Etki l eşim, C - = ac- bcw t enklemleri ile moellenmekteir. W -= - cw + CW t (a) Hangi C/t ve W/t eğe rleri engeli nüfu s laı a kar ş ı lık gelmekteir? (b) "Karibu geyiklerinin nesli tükeni yor" tümcesi, matematiksel olarak n as ıl ifae eilir? (c) a = 0,05, b = 0,00 I, c = 0,05 ve = 0,000 I o l u ğ u nu varsay ını z. Dengeli nüfus o lu şumunu sağ l aya n tüm (C, W) nüfus ikililerini bulunuz. Bu moele göre, türlerin uyum içine yaşa ma s ı olanaklı mıır, yoksa türleren biri ya a iğerinin nesli tükenir mi? Trigonometrik Fonksiyonlarm Türevleri.t. Trigonometrik fonks i yonlarının genel tekrorı Ek C e verilmekteir. Bu bölüme ba ş lamaan önce, trigonometrik fonksiyon l arı gözen geçirmeye gerek uyabilirsini z. Özellikle, her x gerçel say ı s ı için tanımlanan, J(x) =sin x fonksiyonunan söz ett i ğ imi ze, sin x ile, eğe ri rayan cinsinen x olan açının sinüsünün a nl aş ılı ğ ın ı an ı msamamı z önemliir. Benzer bir varsayım, cos, tan, esc, see ve cot trigonometrik fonksiyon l arı için e geçerliir. Bölüm 2.4 en, trigononıetrik fonks i yo nl arın tanını kümelerineki her noktaa sürekli oluğunu anımsayınız. J(x) = sin x fonksiyonunun g rafiğ ini çizer ve f' (x) in, sinüs eğrisinin teğet in i n eğ imi olarak yo runılanı ş ın ı f' nün grafiğini çizmek için k ull anırsak (bkz. Bölüm 2.8 eki Alı ş tırına 14), f'nün grafiğinin kosinüs eğrisiyle aynı olabilece ğ ini görünüz. (Bkz. Şekil I)

32 BöLÜM 3.4 TRIGONOMETRiK FONKS IYONLARlN TÜREVLER I 219 Şekil 1 in enimasyonunu görünüz. Resou rc es 1 Moule 4 1 Trig on ometric Moels 1 Slop e-a-sco pe for Sine f (.r)=sin.r.f'(x) ŞEKiL 1 f(x) = sin x ise f'(x) = cos x olur biçimineki tahmini m izi oğ rul am aya ça lı şa lım. Türevin t a nımın a n,.& Sinüs için toplam formülünü kullanık. Bkz. Ek C. f'(x) = Jim f(x + h) - f(x) /ı -> 0 lı. sin(x + lı ) - sin x = lım : ~---, _, o h sin x cos h + cos x sin lı - sin x = Jim Jı ~ o h. [ sin x cos lı - sin x cos x sin h J = lım , _, o lı h = },~ [ sin x ( cos /~ - ı ) + cos x ( s i ~ lı) J [j] coslı- I sin h = Jim sin x Jim + Jim cosx Jim--, _,o lı -> O lı, _, o, _, o lı ele eeri z. Bu ört limitten ikisinin eğe ri k o l ay lıkl a bulunabili r. lı.,. O için bir limit hesapl arken, x i sabit olarak ü ş ünü ğ ümü z e n, Jim sin x = sin x ve Jim COS = COS lı ele eeri z. (s in lı )/lı nin limiti bu kaar aç ık eğ ili r. Bölü m 2.2 eki Örnek 3 e, say ı s al ve grafikten ele eilen bulgulara ayanarak, sin e Jim-- = ı o-> o e tahminine bulunmu ş tuk. Ş imi, Denklem 2 yi k a nıtl am a k için geometrik bir yaklaş ım kull a nac ağ ı z. e aç ı s ının O ve 7T/ 2 aras ın a olu ğunu va rsayalım. Şe kil 2(a) a merkezi O, merkezi aç ı s ı e ve ya rı ça pı L olan bir aire ilimi gösteriimekteir. BC, OA ya ik olarak ç i z ilmi ş ti r. Rayan ölçüsünün t a nıının an o lay ı, AB yay ı = e olur.

33 220 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI D Aynca, 1 BC 1 = 1 OB 1 sin () = sin ()ır. Şekilen, jbci <!ABI < arcab (a) A E ele eeriz. Dolayısıyla, sin () < () sin () ve -- < l () ir. A ve B eki teğetler E e ke s i şsi n. Şekil 2(b) en, çemberin çevre uzunluğunun, ı ş ına çizilen çokgenin çevre uzunlu ğunan aha küçük oluğ unu görebilirsiniz. Bu neenle, AB yay ı < 1 AE EB 1 ir. Dol ayıs ıyla, () =AB yayı < 1 AE EB 1 <IAE I +!ED I = jad 1 = 1 OA 1 tan() = tan() ŞEKIL 2 (b) olur. Buraan, sin () () < - cos () ve sin () cos () < -- < ı () ele eeriz. lim e~o ı = ı ve lim 9~ 0 cos () = 1 oluğunu biliyoruz. Sıkıştırma Teoreminen, sin () lim -- =ı o~o + () ele eeriz. (sin 0)/ 0 fonksiyonu çift oluğunan, sağ ve sol limitleri eşit Bu neenle, sin () lim-- = 1 o~o () ele eeriz. Böylece Denklem 2 yi kanıtlamış oluk. (1) eki son limitin e ğerini aşağıaki gibi hesaplanz: o lmalıır..._ Fonksiyonu, biliğimiz limitleri kullanab ileceğim iz bir biçime getirmek için payı ve pa yayı cos () + 1 ile ç arparız. cos e - ı [ cos e - ı cos e + ı J cos ı l~ () =!~ (). co s () + ı =!~ () (co s () + ı) - sin 2 () sin () sin () =Jim = -lim o ~o () (cos () + ı ) o~o () cos () + sin () sin () = -Jim-- Jim---- o~ o () o~o cos () + ı =-ı (ı~ı) =o (Denklem 2 en)

34 BÖLÜM 3.4 TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 221 cos (} - lim----=0 e ~ o (} Şimi, (2) ve (3) eki limitleri (1) e yerine koyarak, cos h - ı sin h f'(x) = Jim sin x Jim + Jim cos x Jim-- ~ı ~ o 1ı ~ o h 1ı ~ o 1ı ~ o h = (sin x) O + (cos x) ı = cos x ele eeriz. Böylece, sinüs fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlamış oluk:. (sın x) = cos x..a. Şekil 3, Örnek l eki fonksiyonu ve türevini göstermekteir.y nin yotoy tegeti olugu zaman y' = O oluguna ikkat einiz. s ÖRNEK 1 y = x 2 sin x fonksiyonunun türevini alınız. ÇÖZÜM ele eeriz. Çarpım Kuralı'nı ve Formül 4 ü kullanarak, y - = x 2 - (sin x) + sin x- (x 2 ) = x 2 cos x + 2x sin x Formül 4 ün kanıtınaki yöntemleri kullanarak, ŞEKIL 3 - s ~ (cos x) = -sin x formülünü kanıtiayabiliriz (bkz. Alıştırma 16). Tanjant fonksiyonunun türevi e, türevin tanımı kullanılarak alınabilir, ancak Bölüm Kuralı'nı Formül 4 ve 5 ile birlikte kullanmak aha kolayır: _!} (tan x) = _!} ( sin x ) COS cos x _!} (sin x) - sin x _!} (cos x) cos 2 x cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x COS 2 + Sin 2 x COS 2 ı = -- = sec 2 x cos 2 x

35 222 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI Di ğer trigonometrik fonksiyonlar, esc, see ve cot ın türevleri e Bölüm Kuralı kullanılarak kolayca bulunabilir (bkz. Alışıırma 13-15). Trigonometrik fonksiyonların türev lerinin formülleri aşağıaki tabloa topl a nmı şt ır. Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri "" Bu tabioyu ezberlerken, eksi işaretinin "kolonksiyonlar " ın, bir başka egişle kosinüs, kosekant ve katanjantın türevine oluguna ikkat einiz. o - (s ın x) = cos x o - (cos x) = -sın x - (tan x) = sec 2 x - (esc x) = -esc x cot x -(see x) = see x tan x - (cot x) = -csc 2 x.. see x ORNEK 2 f(x) = fonksiyonunun türevini alınız. Hangi x eğe rleri içinfnin 1 + tan x grafiğinin yatay teğeti varı? ÇÖZÜM Bölüm Kuralı (1 + tan x)- (see x) - see x- (1 + tan x) (_l_+_t_a_n x- )-,- f'(x) = \ ) \ ( "'\ - 3 ŞEKiL 4 Örnek 2 eki yatay teğetler (1 + tan x)sec x tan x-see x sec 2 x (1 + tan x? see x [tan x + tan 2 x - sec 2 x] (1 + tan x) 2 see x (tan x - 1) (1 + tan x) 2 verir. Yanıtı saeleştirmek için, tan 2 x + 1 = sec 2 x özeşliğini kullanık. see x hiç sıfır olmaığınan, yal nı z tan x = 1 için f'(x) = O oluğunu görürüz, ve bu, n tamsayı olmak üzere, x = nw + w/ 4 eğerlerine gerçekleşir (bkz. Şekil 4). Trigonometrik fonksiyonlar gerçek hayattaki olguları moellernee sıklıkla kullanılır. Özellikle, titreşimler, algalar, elastik hareketler ve periyoik biçime eği şe n iğer büyüklükler, trigonmetrik fonksiyonlar kullanılarak betimlenebilir. Aşağıa, basit harmonik hareket örneğini göreceğ iz. zıııı.._., o 4 ÖRNEK 3 Dü şey bir yayın ucuna hareketsiz uran bir cisim, 4 cm aşağı çekilerek, t = O a nın a serbest bırakılıyor. (Şeki l 5 e bakınız ve aşağıya oğru olan yönün pozitif oluğuna ikkat einiz.) Cismin tanınaki konumu s = f(t) = 4 cos t ŞEK i L S kullanarak cismin hareketini incele ir. tanınaki hız ve ivmeyi bulunuz ve bunları yiniz.

36 BÖLÜM 3.4 TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 223 ÇÖZÜM Hız ve ivme, ŞEKIL 6 s v = - = - (4 cos t) = 4- (cos t) = - 4 sin t t t t v a = - = - ( -4 sin t) = -4- (sin t) = - 4 cos t t t t olarak ele eilir. Cisim, en alttaki nokta (s = 4 cm) ile en üstteki nokta (s = -4 cm) arasına sa lınır. Salınırnın periyou, cos t nin periyou olan 27T ir. Cismin hızı 1 v 1 = 41 sin t 1 ir. Bu, en yüksek eğerini 1 sin t 1 = 1 urumuna, bir ba şka eyişle cos t = O için alır. Dolayısıyla, cismin en hızlı oluğu urum, enge konumunan (s = 0) geçtiği urumur. En üstteki ve alttaki noktalara karşılık gelen sin t = O urumuna hız sıfırır. s = O için, ivme a = -4 cos t = O ır. En üstteki ve en alttaki noktalara, en büyük eğerine ulaşır. Şekil 6 aki grafiklere bakınız. ÖRNEK 4 cos x fonksiyonunun 27 inci türevini bulunuz. Bir üzenlilik arayınız. ÇÖZÜM f(x) = cos x fonksiyonunun ilk bir kaç türevi aşağıaki gibiir: f'(x) = -sinx f"(x) = -cos x f 111 (x) = sinx j < 4 l(x) = cos x j < 5 l(x) = -sin x Arışık türevlerin, 4 aıma bir yineleniğini ve n, 4 ün bir katı olmak üzere, j <"l(x) = cos x oluğunu görürüz. Bu neenle, olur ve üç kez aha türev alırsak j < 24 l(x) = cos x ~ ~ Alıştırmalar 1-12 Türevi a lınız. 1. f(x) = x - 3 sin x 3. g(t) = t 3 cos t S. h(8) =esc{}+ e 8 cot {} ]. y = tan x 9. y=---- sin x + cos x ll. y = see{} tan{} f(x) = x sin x g(t) = 4 see t + tan t y = e" (cos u + cu) sin x y= J + COS y = tan x- see x 12. y = esc {} ( {} + cot 8) j < 27 l(x) = sin x ele eeriz (see x) = see x tan x oluğunu kanıtlayınız. IS. - (cot x) = -csc 2 x o lu ğunu kanıtlayınız. 16. f(x) = cos x ise, türevin tanımını kullanarak f'(x) = - sin x o lu ğ unu k a nıtlayınız Eğrinin verilen noktaaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. 17. y=tan x, (7T/ 4, 1) 18. y = e' cos x, (O, 1) 13. (esc x) = - esc x cot x o lu ğunu kanıtlayınız. 19. (a) y = x cosx eğrisinin ( 7T, - 1r) noktasınaki te ğe t oğrusu enklemini bulunuz.

37 224 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI ffi (b) Eğri ve teğet oğru s unu ay nı ekrana çizirerek (a) ffi şıkkım açıklayınız. 20. (a) y = see x - 2 cos x eğrisinin ( 7T/3, l ) noktasınaki teğet oğru s unun enklemini bulunuz. (b) Eğri ve te ğet o ğru s unu ay nı ekrana çizirerek (a) ş ıkkım açıklayınız. 21. (a) f(x) = 2x + cot x ise, f'(x) i bulunuz. (b) O < x < 7T için f ve f' nün grafiklerini çizerek, (a) ş ıkkınaki yanıtınızın akla yatkın olu ğunu kontrol einiz. 22. (a) f(x) = e" cos x ise, f'(x) ve J"(x) fonksiyonlanru bulunuz. ffi (b) f, f' ve f" nün grafıklerini çizerek, (a) ş ıkkın aki yanıtınızın akla yatkın oluğunu kontrol einiz. 23. H(()) = ()sin () ise, H'( ()) ve H"(()) fonksiyonlanru bulunuz. 24. J(x) = see x ise, f"( 7T/ 4) eğerini bulun uz. 25. Hangi x eğerleri için, f(x) = x + 2 sin x fonksiyonunun grafiğinin yatay teğeti varır? 26. y = (cos x)/(2 + sin x) eğrisi üzerine, t eğetin yatay oluğu noktalan bulunuz. 27. j(x) = x- 2 sin x, O ~ x ~ 2 7T olsun.f hangi ara lıkt a artanır? 28. j(x) = x - sin x, O ~ x ~ 27T olsun. f hangi aralıkt a ı ş bükeyir? 29. Bir yay ın ucunaki kütle sürtünmesiz yüzeye yatay olarak salınmaktaır (şekle bakını z). t sani ye ve x cm ci nsinen olmak üzere, kütlenin hareket enklemi x(t) = 8 sin t ir. (a) tanınaki hı z ve ivmeyi bulunuz. (b) Kütlenin t = 27T/ 3 eki konum, hı z ve ivmesini bulu nuz. Kütle bu ana hangi yöne hareket etmekteir? Hı z lanmakta mı, yoksa yavaşlarnakta mıır? enge konumu 31. Uzunluluğu lo ft olan bir ıneriven, tepesi uvara yas lanmı ş biçime urmaktaır. (), merivenin tepesiyle uvar arasınaki açı ve x, merivenin a ltının yere eğ i ğ i nokta ile uvar ar as ın aki u zaklık olsun. Merivenin a ltı kayarak uvaran uzakl aş ır sa, () = 7T/ 3 o lu ğ un a x, ()ya göre hangi hı z l a eğ i şm e kte ir? 32. Ağ ırlı ğı W olan bir cisim, cisme ba ğ l anmı ş bir ip boyunca etki een bir kuvvetle yatay bir üzlem boyunca çekilmekteir.!pin üzleınle yap tı ğ ı aç ı ()ve fj. sürtünme katsayısı olarak alanırı lan sabit olmak üzere, kuvvetin büyüklüğü f.j.w F = ---=----- f.j. sin() + cos () olarak verilmekteir. (a) F nin ()ya göre e ğ i ş im hı z ını bulunuz. (b) Bu eğişim hı zı ne zaman O ır? (c) W= 50 Ib ve fj. = 0,6 ise, F nin ()ya bağ lı bir fonksiyon olarak g r afiğ ini çiziniz ve bu g rafi ğ i kull anarak F/ () = O veren eğerini belirleyiniz. Bu eğe r, (b) ş ıkkı n aki ya nı tını z l a tutarlı mıır? nk bir kaç türevi bularak ve ortaya ç ık a n ü ze nlili ğ i gözlemleyerek verilen türevi bulunuz. " H 33. ~(sin x) (x sin x) 35. y = A sin x + B cos x fonksiyonu, y" + y' - 2y = sin x iferansiyel enklemini sağ layacak şekil ea ve B sabitlerini bulunuz. 36. (a) () = 5x eğişken eğişiiiğini kullanarak, sin 5x Jim--- x-o eğerini bulunuz. (b) (a) ş ı kkım ve türevin tanımını kullanarak- (sin 5x) fonksiyonunu bulunuz. ffi 30. Bir kancaya elastik bir şe rit ve şe riin alt ucuna a bir kütle o as ılıır. Kütle aşağıya o ğru çekilip serbest bırakılığına ü şey olarak sa lınmakt aır. s santimetre vet saniye ci nsinen olmak üzere, hareket enklemi s = 2 cos t + 3 sin t, t ;;, O olarak veri lmekteir. (Pozitif yönü aşağ ı oğru alıyoru z.) (a) ı anınaki h ı z ve ivmeyi bulunuz. (b) Hı z ve ivme fonksiyonlannın grafiğ ini çiziniz. (c) Kütle, enge konumunan ilk olarak ne zaman geçer? () Kütle, enge konumunan ne kaar u zağa gier? (e) Hız ne zaman en büyük eğe rini alır? Kütle ne zaman hızl anmaktaır? ffi Formül 2 yi ve trigonometrik özeşlikleri kullanarak, aşağıaki limitleri bulunuz. tan 4x 37. lim-- x-o 38. Jim x cot x x-o 39. lim sin() o~o () + tan () ı 40. (a) Jim x sin- li mitini bulunuz. x-x ı (b) Jim x sin- liınitini bulunuz. x-o (c) y = x si n( l / x) fonksiyonunun gra fi ğ ini çizerek (a) ve (b) ş ıklarını aç ıkla y ını z.

38 BÖLÜM 3.5 ZINC IR KURALl Şekile, 8 merkez açısını gören, uzunluğu s olan bir yay ve uzunluğu olan bir kiriş gösterilmiştir. Jim! o ~ o + eğerini bulunuz. ikizkenar üçgeninin üzerine urmaktaır. A(8) yarıairenin ve B(8) üçgenin alanı ise, eğerini bulunuz.. A(8) lım- o ~ o + B(8) 42. Çap ı PQ olan bir yarıaire, şeki le gösteriliği gibi onurma külahına benzer bir şekil oluşturacak biçime, bir PQR R Zincir Kuralı..t. B ileşke fonksiyonların tekran için Bölüm 1.3 e bakınız. Resources 1 Moule 4 C 1 Trigonometric Moels 1 The Chain Rule F(x) = J.2+l fonksiyonunun türevini alınanızın isteniğini varsayalım. Bu ünitenin bir önceki bölümüne öğreniğiniz türev alma kuralları ile F'(x) i hesaplamanız o l anaklı eğilir. F nin bir bileşke fonksiyonu oluğunu gözlemleyiniz. Gerçekten e, y = j(u) = J;'t ve u= g(x) = x ise, y = F(x) = j(g(x)), bir başka eyişle F = j o g yazabiliriz. f ve g nin her ikisinin e türevlerinin nasıl alınacağını biliyoruz, olayısıyla F =fo g fonksiyonunun türevinin,! ve g nin türevleri cinsinen nasıl bulunuğunu söyleyen bir kural yararlı o l acaktır. f o g bileşke fonksiyonunun türevi,fve g nin türevlerinin çarpımıır. Bu, türev alma kurallarının en önemlilerinen biriir ve Zincir Kuralı olarak alanırılır. Bu, türevleri eğişim hızları olarak ele alığımıza, akla yatkın görünmekteir. u/ i, u nun x e göre eğişim hızı, y/ u yu, y nin u ya göre eğişim hızı ve y/ i, y nin x e göre eğişim hızı olarak üşününüz. u, x in iki katı hızla eğişiyorsa ve y, ıı nun üç katı hızla eğişiyorsa, y nin x in altı katı bir hızla eğişmesi mantıklı görünmekteir ve bu neenle olmasını bekleriz. y y u u Zinr Kuralı jve g türevlenebilir fonksiyonlar ve F = j o g fonksiyonu, F(x) = J(g(x)) biçimine tanımlanan bileşke fonksiyonu ise, F türevlenebilir bir fonksiyonur ve F', F'(x) = j'(g(x))g'(x) çarpımı ile verilir. Leibniz gösterimine, y = j(u) ve u = g(x) türevlenebilir fonksiyonlarsa, y y u u ir.

39 226 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI Zincir Kuralı'nın Kanıtı Üzerine Yorumlar x eki ~x eğişimine karşılık gelen u aki eğişim ~u olsun, bir başka eyişle, ~u = g(x + ~ x) - g(x) olsun. O zaman, buna karşılık gelen y eki eği ş im, olur. ~y = f(u + ~u ) - f(u) y ~y Jim x ->0 ~ ~y ~u = lim- - ->O ~U ~ ~y ~u =Jim- Jim->0 ~U ->0 ~ ~y ~u (g <,ürekli o luğun a n.. h > O için =Jim- limu-> O ~U Ax->0 ~ ::ı. u ---> O olu ğ una ikkat einiz.) y u u biçimine yazabiliriz gibi görünmekteir. Bu akıl yürütmeeki tek eksik, ( 1) e (~x ~ O olsa bile) ~ıı = O olabileceğiir, ve kuşkusuz bu uruma O ile bölemeyiz. Buna karşın, bu akıl yürütme en azınan Zincir Kuralı ' nın oğru oluğufikrini verir. Zincir Kura lı ' nın eksiksiz bir kanıtı bu bölümün sonuna verilmekteir. Zincir Kuralı, üs gösterimiyle (fo g)'(x) = f'(g(x))g'(x) ya a y = f(u) ve u = g(x) ise, Leibniz gösterimiyle y y u u biçimine yaz ılabilir. Denklem 3 ü anımsamak kolayır, çünkü y/ıı ve u/ oran olsaları, u ları saeleştirebilirik. Ancak, u nun tanımlanmamış oluğunu ve u/ in gerçek bir oran gibi ü ş ünülemeyeceğini anımsayınız. ÖRNEK ı F(x) =.J2+I ise, F'(x) i bulunuz. ÇÖZÜM ı (Denklem 2 yi kullanarak): Bu bölümün başına, F fonksiyonunu, f(u) =.jü ve g(x) = x olmak üzere, F(x) = (fo g)(x) = f(g(x)) biçimine ifae etmiştik. f'(u) = ~ıı - 1 /2 = 2~ ve g'(x) = 2x oluğunan, ele eeriz. F'(x) = f'(g(x))g'(x) J = 2x=-----r=== 2.J2+I.J2+I

40 BÖLÜM 3.5 ZINCIR KURALl 227 ÇÖZÜM 2 (Denklem 3 ü kullanarak): u = x 2 + l ve y = Fu, ise F '( x ) _ y u _ 1 ( 2x ) u 2Fu I 2R+t(2x) = R+t ir. Formül 3 ü kullanırken, y/ in (y nin x e göre türevi enilen), y nin x e bağ lı bir fonksiyon olarak türevin i gösteriğini, y/u nun ise y nin u ya bağ lı bir fonksiyon olarak türevini (y nin u ya göre türevi) gös teri ğ ini akıla tutm a lıyı z. Örneğ in, Örnek 1 e y hem x e bağlı bir fo nksiyon (y = R+!) hem e u ya bağ lı bir fonksiyon (y = Fu) olarak ü ş ünül e bilir. y o lu ğ una ikkat einiz. - = F'(x) = --=== R+t ve y, ı u=f(u) = 2Fu NOT Zincir Kuralı ' nı kullanırken, ı şanan içeriye oğru hesap yapanz. Formül 2, önce ıştaki/fonksiyonunun (içteki g(x) fonksiyonuna) türevini alığımızı ve aha sonra bunu, içteki fonksiyonun türeviyle ça rptı ğımız ı söyler. f f' (g(x)) (g(x)) g'(x) '----vo---' '----vo---' '----vo---' '----vo---' '----vo---' ı ş taki içteki ı ş tak i iç teki ı ~ laki fonksiyon fonk siyonaki fonksiyonun fonksiyonaki fo nksiyonun e ğeri türevi eğe ri türev i ÖRNEK 2 (a) y = sin(x 2 ) ve (b) y = si n 2 x fonksiyonlarının türevini alınız. ÇÖZÜM (a) y = sin(x 2 ) ise, ıştaki fonksiyon sinüs ve içteki fonksiyon kare alma fonksiyonuur, olayısıyla Zincir Kuralı ' n an y sin (x ı ) co s (x ı ) 2x '----vo---' '----vo---' '----vo---' '----vo---' '----vo---' ı ş tak i i ç ı e ki ı ş ıaki içte ki içte ki fonksiyon fonk siyonaki fonksiyonun fonksiyonaki fonksiyonun eğe ri türevi eğe ri türev i = 2x cos(x 2 ) ele eeriz. (b) sin 2 x = (sin x) 2 oluğuna ikkat einiz. Buraa, ı ş taki fonksiyon kare alma ve içteki fonksiyon sinüs fonksiyonuur. Dol ay ı s ı y la, y -=-(sin x) 2 ~ ı ş taki fonksiyon 2 (sin x) '----vo---' '----vo---' ı ş ta ki içı e ki fonksiyonun fonksiyonaki türevi eğe ri COS '----vo---' i ç ı e ki fonksiyonun turev i olur. Yanıt, 2 sin x cos x olarak bırakı labilir ya a (yarım açı formülü olarak bilinen trigonometrik öze ş lik kullanılarak) sin 2x olarak yazı labilir. Örnek 2(a) a, Zincir Kuralı ile sinüs fo nksiyonunun türevini alma kuralını birle ş tirik. Genele, u, x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere, y = sin u ise, Zincir Kuralı ' nan, y y u u -=--=cosu u

41 228 ÜNiTE 3 TÜREY ALMA KURALLARI u olur. Dol ayısıy la, -(sin u) = cos u- ir. Benzer biçime, trigonometrik fonksiyonların türevlerini alma formüllerinin tümü, Zincir Kuralı ile birleştirilebilir. Özel bir urum olarak, ıştaki/fonks iyonu bir kuvvet fonksiyonu oluğu zaman, Zincir Kuralı'ın açıkça belirtelirn. y = [g(x)]" ise, u = g(x). olmak üzere, y = f(u) = u" biçimine yazabiliriz. Zincir Kuralı 'ın ve soma a Kuvvet Kuralı 'ın uygulayarak, ele eeriz. y y u u, - =-- = nu"- 1 - = n[g(x)]"- 1 g (x) u [i] Zincir Kuralı ile Birleştirilmiş Kuvvet Kuralı n herhangi bir gerçel sayı ve u = g(x) türevlenebilir bir fonksiyonsa, ya a, u -(u")= nu" [g(x)]" = n[g(x)]"- 1 g'(x) ir. Örnek ı eki türevin, Kural 4 e n = ~ alarak hesaplanabileceğine ikkat einiz. ÖRNEK 3 y = (x 3-1) 100 fonksiyonunun türevini alınız. ÇÖZÜM (4) e, u = g(x) = x 3-1 ve n = ıoo alarak ele eeriz. y _ = _ (x3 _ l)ı oo = loo(x3 _ 1) 99 _ (x3 _ 1) = 100(x3 - ı) 99 3x 2 = 300x 2 (x3 - ı) 99 - ı ORNEK 4 f(x) =.ij ise f'(x) i bulunuz. x 2 + x + ı ÇÖZÜM Önce, f yi, f(x) = (x 2 ++ o -l/3 biçimine yenien yazalım. Dolayısıyla, olur. ÖRNEK S fonksiyonunun türevini bulunuz. f'(x) = - 5(x 2 + x + 1)- 4 / 3 ~ (x 2 + x + ı) = -5(x 2 + x + l)- 413 (2x + 1) ( ı- 2 )9 g(ı) = -- 2ı + ı ÇÖZÜM Kuvvet Kuralı, Zincir Kuralı ve Bölüm Kuralı ' nı birleştirerek, ( ı - 2 ) 8 ( ı - 2 ) g'(t) = 9 2ı+"l t 2t + ı ele eeriz. = 9(~) 8 (2t + 1). ı - 2(t - 2) 2t + ı (2t + 1) 2 45(t - 2) 8 (2t + 1)10

42 BÖLÜM 3.S ZINCIR KURALl 229.A. Şekil 1 'e, Örnek 6 aki y ve y' fonksiyonlarının grafikleri gösterilmekteir. y hızlı arttığına, y' nün büyük ve y nin yatay teğeti oluğuna y' = O oluğuna ikkat einiz. Dolayısıyla, yanıtımız akla yatkın görünmekteir. 10 ÖRNEK 6 y = (2x + 1) 5 (x 3 - x + 1) 4 fonksiyonunun türevini alınız. ÇÖZÜM Bu örnekte, Zincir Kuralı'nı kullanmaan önce, Çarpım Kuralı'nı kullanmalıyız: y - = (2x + 1) 5 - (x 3 - x + 1) 4 + (x 3 - x + 1) 4 - (2x + 1)5 = (2x + 1) 5 4(x 3 - x + 1) 3 - (x 3 - x + 1) + (x 3 - x + 1) 4 5(2x + 1) 4 - (2x + 1) = 4(2x + 1) 5 (x 3 - x + 1) 3 (3x 2-1) + 5(x 3 - x + l) 4 (2x + 1) lo Her terime 2(2x + 1) 4 (x 3 - sonucu x + V çarpanı ortak oluğunan, paranteze alarak, ŞEKiL 1 biçimine yazanz. ÖRNEK 7 y = e sin x fonksiyonunun türevini a lınız. ÇÖZÜM Buraa, içteki fonksiyon g(x) = sin x ve ıştaki fonksiyon f(x) = e' üste! fonksiyonuur. Dolayısıyla, Zincir Kuralı ' nan, ~... - =- (e ""x) = e sı n x _ (sin x) = e"" xcos olur. Zincir Kuralı ' nı, tabanı herhangi bir a > O sayıs ı olan üste! fonksiyonun türevini almak için kullanabiliriz. Bölüm 1.6 an a = e 1 " 0 oluğunu anımsayınız. Dolayısıyla, ir ve Zincir Kuralı, ax = (eln ay = e(ln a)x. - (a x) = - (e(ln a)x ) = e(lna)x- (ln a)x = e (In a)x. In a = a In a sonucunu verir, çünkü In a bir sabittir. Dolayısıyla,.A. x in üs oluğu Formül 5 i (x in taban oluğu) Kuwet Kura l ı - (x") = nx"- 1 ile karıştırmayınız. formülünü ele eeriz. a = 2, özel urumuna, ele eeriz. Bölüm 3.1 e, _!}_ (a x) = ax In a _!}_ (2x) = 2x In 2! (2x) = (0,69)2x yaklaşık eğerini vermiştik. Bu eğer, formül (6) aki kesin ifaesiyle uyumluur, çünkü In 2 = 0, ir.

43 230 ÜNiTE 3 TÜREVALMA KURALLARI Bölüm 3.3 eki Örnek 6 a, saatte iki katına çıkan bir bakteri hücresi nüfusunu ele almış ve t saat sonra nüfusun, n 0 başlangı ç nüfusu olmak üzere, n = no2 1 oluğunu görmüştük Formül 6, bakteri nüfusunun büyüme hızını bulmarmza olanak verir: n - = n n 2 t Bir halka aha ekleyerek, aha uzun bir zincir ele ettiğimize, "Zincir Kuralı" aının neen kullan ıl ığı aha iyi a nl aş ılır. f, g ve h türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere, y = f(u), u = g(x) ve x = h(t) oluğunu varsaya lım. O zaman, y nin t ye göre türevini hesaplamak için, Zincir Kuralı'm iki kez kullanırız: ÖRNEK 8 f(x) = sin(cos(tan x)) ise y y y u t t u t f'(x) = cos(cos(tan x)) - cos(tan x). = cos(cos(tan x)) [ -s ın ( ta n x)] - (tan x) = - cos(cos(tan x)) sin(tan x) sec 2 x olur. Zincir Kuralı'nı iki kez kullanığımıza ikkat einiz. ÖRNEK 9 y = e see 30 fonksiyonunun türevini alınız. ÇÖZÜM Dı ş taki fonksiyon üste! fonksiyon, ortaaki fonksiyon sekant fonksiyonu ve içteki fonksiyon üç katını alma fonksiyonuur. Dolayısıyla, ele eeriz. y. - = e sec3b - (see 38) 8 8 = e sec3o see 38 tan 38- (38) 8 = 3e secjb see 38 tan 38 ~ Parametrik Eğrilerin Teğetleri Bölüm 1.7 e, = j(t) y = g(t) parametrik enklemleriyle verilen eğrileri ele almıştık. Zincir Kura lı, bu eğrileri n teğet oğrul a rını bulmamıza yarım eer. f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve y, x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere, eğri üzerineki bir noktaaki teğet oğrusunu bulmak İsteğimizi varsayalım. Bu uruma, Zincir Kuralı'nan, y = y. t t

44 BÖLÜM 3.S ZINCIR KURAll 231 ele eeriz. /t =/=O ise, eşitlikten y/ i çekebiliriz. y. y t - =/= O ıse - = - ir. t t t leri saeleştiriğimizi üşünerek akıla tutabileceğiniz Denklem 7, t parametresini yok etmeen, parametrik eğrinin y/ eğimini hesaplamamızı sağlar. Eğriyi, bir parçacığın izleiği yol olarak üşünürsek, y/ t ve / t parçacığın üşey ve yatay hızları olur ve Formül 7, teğetin eğiminin bu hıziann oranı oluğunu söyler. (7) en, egrınm, y/t =O iken (/t =/=O koşulu sağlanıyorsa) yatay bir teğeti ve / t = O iken (y /t =/= O koşulu sağlanıyorsa) üşey bir teğeti oluğunu görürüz. ÖRNEK 10 x = 2 sin 2t y = 2 sin t parametrik eğrisinin(-/3, ı) noktasınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. Bu eğrinin neree yatay ve üşey teğetleri var ır? ÇÖZÜM t parametre eğerine karşılık gelen noktaa, eğim y y t t. - (2 sın t) t.!!: (2 sin 2t) t 2 cos t 2(cos 2t)(2) cos t 2 cos 2t ir. ( -/3, I) noktası t = 1r/ 6 parametre eğerine karşılık gelir, bu yüzen bu noktaaki teğetin eğimi y ı cos( 1r/6) -/3/2.J3 r ~ 7T; 6 = 2 cos( 7T/ 3) = 2(D = 2 olur. Dolayısıyla, teğet oğrusunun enklemi.j3 y - 1 = - (x - -/3) 2.J3 ı ya a y = - x ir. ŞEKIL 2 Şekil 2, eğriyi ve teğet oğrusunu göstermekteir. Teğet oğrusu, y/ =O oluğuna yatayır ve bu, cos t =O (ve cos 2t =/= O) urumuna, bir başka eyişle t = 1T/ 2 ya a 3rr/2 oluğuna gerçekleşir. Bu yüzen, Şekil 2 en e tahmin eilebileceği gibi, (O, 2) ve (O, -2) noktalarına eğrinin yatay teğetleri varır. Teğet oğrusu, /t = 4 cos 2t =O (ve cos t =/=O) urumuna, bir başka eyiş l e, t = 1T/ 4, 37T/ 4, 57T/ 4 ya a 7rr/4 oluğuna üşeyir. Bunlara karşılık gelen ört nokta (±2, ±J2) ir. Şekil 2 ye bir kez aha bakarsak, yanıtımızın akla yatkın oluğunu görürüz.

45 232 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Zincir Kuralı Nasıl Kanıtlanır y = f(x) oluğuna ve x, a an a +!lx e eğ i ş tiğine, y eki eği ş imin lly = f(a + llx) - f(a) oluğunu anımsayınız. Türevin tanımın a n,!ly Jim-= f'(a) ~ x--->0 llx ele eeriz. Fark oranı ile türev arasınaki farlu e ile gösterirsek, ele eeriz. Ancak Jim e = tim ( lly - f'(a)) = f'(a) - f'(a) = O ~ x--->0 ~ x---> 0 llx!ly e=-- f'(a)!lx!ly = f'(a)!lx + e!lx Dol ay ı s ı y l a, f türevlenebilir bir fonksiyon için [i]!lx ~ O ikeıe ~ O O olmak üzere, lly = f '(a)!lx + e!lx ir: Türevlenebilir fonksiyonlann bu öze lli ği, Zincir Kuralı ' ru karutlamarruza olanak verir. Zinr Kuralı'nın Kanıtı u = g(x) in a a ve y = f(u) nun b = g(a) a türevlenebilir oluğ unu vars ayalım.!lx, x eki e ğişi m,!lu ve lly, u ve y eki buna kar ş ılık gelen eğ i şimler ise, Denklem 8 i kullanarak,!lu ~ O iken eı ~ O olmak üzere,!lu = g'(a) llx + e ı!lx = [g'(a) + e ı]!lx yazarız. Benzer biçime,!lx ~ O iken e 2 ~ O olmak üzere, lly = f'(b)!lu + e2 llu = [f'(b) + e2 ]!lu olur. Denklem 9 aki!lu ifaesini Denklem lo a yerine koyarsak, lly = [f'(b) + e ı ][g'(a) + eı]!lx ve buraan!ly!lx =(!'(b) + e ı ][g'(a) + eı] ele eeriz. Denklem 9,!lx ~O iken!lu ~ O oluğunu gösterir. Bu yüzen,!lx ~ O.iken hem e ı ~ O hem e e2 ~O ır. Dolay ı s ıyla, y Jim ~y = Jim [f'(b) + e ı ][g'(a) + eı ].ô.x-o u 6x-o = f'(b )g'(a) = f'(g(a))g'(a) olur. Bu, Zincir Kuralı ' nı kanıtlar.

46 BÖLÜM J.S ZI NCIR KUR A Ll 233 ~~ Alıştırmalar ı-6 Bil eşke fonksiyonunu f(g(x)) biçimine yazını z. [İç teki u = g(x) ve ı ş taki y = f(u) fonksiyonunu belirleyiniz.] Daha sonra, y/ türevini bulunuz. 1. y = sin 4x 2. y = ) 4 + 3x 3. y = (l - x 2 ) y = tan(sin x) S. y = e,j 6. y = sin(e'' ) 7-30 Fonksiyonun türevini bulunuz. 7. F(x) = yi l + 2x + x 3 8. F(x) = (x 2 - x + 1) 3 9. g(t) = (t4 + 1)3 ı 1. y = cos(a 3 + x 3 ) ı3. y = e- mx ıo. f(t) = 4'1 + tan t ı 4. y = 4 see 5x ıs. y = xe-x' ı6. y = e- sx cos 3x ı1. G(x) = (3x - 2) 10 (5x 2 - x + 1) 12 ı8. g(t) = (6t 2 + 5) 3 (! 3-7) 4 ı 9. y = e xcosx ( y 6)3 21. F(y) = --y+7 r 23. y= ~ 27. y = cot 2 (sin li) 29. y = sin(tan )sin x) 20. y = ıoı -x' 4 (ı s(t) = \ff3=i e 2u 24. Y = u - u e +e 26. y = tan 2 (31i) 28. y = sin(sin (sin x)) 30. y =.J +.J + J 3ı-32 Eğrinin verilen noktaaki teğe t oğ ru s unun enk lemini bulunuz. 31. y = sin(sin x), ( 7T, O) 32. y = x 2 e-x (1, 1/ e) 33. (a) y = 2/ ( l + e-x ) eğr i s inin (0, 1) nokt as ın aki teğe t oğ ru s unun enklemini bulunuz. (b) Eğ ri y i ve teğe t oğ ru s unu ay nı ekrana çizirerek (a) ş ı kkım aç ıkl ay ını z. 34. (a) y = ı x ı /~ eğr i s i, mermi burnu eğrisi olarak a l anınlır. Bu eğrinin (1, l) n ok tas ın aki teğe t o ğ ru s unun enklemini yaz ını z. ffi (b) Eğri y i ve teğ et oğru s unu ay nı ekrana çizirerek (a) ş ıkkım aç ıkl ay ını z. 35. (a) f(x) = ~ /x i sef'(x) fo nksiyonunu bulunuz. ffi (b) f ve f' fo nks i yo nlannın grafıkl erini karş ıl aş tırarak, (a) ş ıkkın aki y anı tını z ın akla yatkın o l uğunu kontrol einiz. 36. (a) f(x) = 2 cos x + sin 2 x ise f' (x) ve f"(x) i bulun uz. ffi (b) f, f' ve f" fo nk s i yo nl arının grafiklerini karşı l aş tırarak, (a) ş ıkkı n aki ya nıtını z ın akla yatkı n o lu ğ unu kontrol einiz. 37. F(x) = f(g(x)) ve g(3) = 6, g'(3) = 4, f'(3) = 2 ve f'(6) = 7 o lu ğunu varsayalım. F'(3) eğe rini bulunuz. 38. w= u o v ve ıı (O) = I, v(o) = 2, u'(o) = 3, u'(2) = 4, v'(o) = 5 ve v'(2) = 6 o lu ğ unu va rsaya lım. w'(o) eğe rini bulunuz. 39. f, g, f' ve g' için bi r eğe rl e r tablosu ve r i lmi ş tir. f(x) g(x) f'(x) g'(.r) ı ı (a) h(x) = f(g(x)) ise h '(l) eğerini bulunuz. (b) H(x) = g(f(x)) ise H '( l ) eğerini bulunuz. 40. f ve g A lı ş tırm a 39 a verilen fonksiyonlar olsun. (a) F(x) = f(f(x)) ise, F'(2) eğe rini bulunuz. (b) G(x) = g(g(x)) ise, G'(3) eğe rini bulunuz. 41. f ve g grafikleri şe kil e gösterilen fonksiyonlar olmak üzere, u(x) = f(g(x)), v(x) = g(f(x)) ve w(x) = g(g(x)) olsun. Eğer varsa, aşağ ı aki türevlerin eğerl e rini bulunuz. Yoksa, neenini aç ıkl ay ını z. (a) u'(l) (b) v'( l) (c) w'( l) y 1\ \ f \ 1 t-- t-- V / 1 \ gv ~ 17 \ / o ı 42. f, g r af i ğ i şe kil e gösteril en fonksiyo n o lmak üzere, h(x) = f(f(x)) ve g(x) = f(x 2 ) olsun. f nin graf i ğ i ni kullanarak aşağ ı aki türevlerin yak l aş ık eğer l eri n i bulunuz. (a) h '(2) (b) g'(2) [Y 1-1 r-- y= f (x ) / ' r ı "\ / r ı 1 ro ı.\i

47 234 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI 43. h(x) = f(g(x)) ise, tabioyu kullanarak h'(0,5) in y aklaşık eğerini bulunuz. o ,2 0, f(x) g(x) g(x) = j(!(x)) ise, tabioyu kullanarak g'(l) in yakla ş ık eğerini bulunuz. 0,0 0,5 1,0 1.5 f(x) 1,7 1,8 2,0 2,4 45. h, [O, cıa ) aralığına türevlenebilir olsun ve G, G(x) = h(../x) olarak tanımlansın. (a) G hangi aralıkta türevlenebilirir? (b) G'(x) için bir ifae bulunuz , f nin ~ üzerine türevlenebilir oluğunu ve a nın bir gerçel say ı o lu ğunu varsayalım. F(x) = f (x a) ve G(x) = [!(xw olsun. (a) F'(x) ve (b) G'(x) i ifae einiz. 47. f nin ~ üzerine türevlenebilir oluğunu varsayal ım. F(x) = f(e x) ve G(x) = e f(x) olsun. (a) F'(x) ve (b) G'(x) i ifae einiz. 48. g iki kez türevlenebilir bir fonksiyon vef(x) = xg(x 2 ) ise,!"fonksiyonunu g, g' ve g" cinsinen bulunuz. 49. f(x) = 2 sin x + sin 2 x fonksiyonunun grafiği üzerine, teğet oğrularının yatay oluğu bütün noktalan bulunuz. SO. y = e-x' eğrisi, hangi aralıkta içbükeyir? Sl. y = Ae-x + Bxe-x fonksiyonunun, y" + 2y' + y = O iferansiyel enklemini s ağlaığını gösteriniz. S2. Hangi r eğerleri için,y = e'" fonksiyonu y" + 5y' - 6y = O enklemini sağlar? S3. y = cos 2x in 50 nci türevini bulunuz. S4. f(x) = xe-x fonksiyonunun 1000 inci türevini bulunuz. SS. Titre şe n bir telin üzerineki bir p a rçacığın yer eğiştirmesi, s santimetre ve t saniye cinsinen olmak üzere, s(t) = lo + ~ sin(l07rt) enklemi ile veri lmekteir. Parçac ı ğ ın t saniye sonraki hızını bulunuz. S6. Bir parçacığın hareketinin enklemi s = A cos(wt + 8) ile veriliyorsa, bu parç ac ık basit harmonik hareket yapıyor enir. (a) Parçacığın t anınaki hızını bulunuz. (b) Hız ne zaman O ır? 0, , P a rlaklığı üzenli olarak bir artıp bir azalan y ılı zlara Cephei eğişken y ılızı enir. Bu tip yı lıziann en kolay görüneni, maksimum parlaklıkları arasınaki zaman farkı 5,4 gün olan Delta Cephei yı lızıır. Bu yılızın ortalama parlaklığı 4,0 ır ve p ar laklığ ı :±:0,35 eği ş mekteir. Bu veriler ı ş ığına, t gün cinsinen olmak üzere, Delta Cephei yı lızının t anınaki parl akl ığı, fonksiyonu ile moellenmi ş tir. B(t) = 4,0 + 0,35 sin(27rt/ 5,4) (a) Parl aklığın t gün sonraki eğişim hızını bulunuz. (b) Bir gün sonraki eğişim hızını, virgülen sonra iki ha sarnağa kaar oğru olacak şeki le bulunuz. SS. Bölüm 1.3 eki Örnek 4 e, Philaelphia' a yılın r inci gününeki gün ı ş ığı süresini (saat ci nsinen) moellerniştik : L(t) = ,8 sin[ ;6~ (t- 80)] Bu moeli kullanarak, 21 Mart ve 21 Mayıs tarihlerine gün ı ş ığı saatlerinin sayıs ının nasıl arttığını karşılaştınnız. ffi 59. Bir sürtünme ya a arabaaki şok emici gibi bir sönürme kuvvetinin etkisi altına kalan bir yayın hareketi, çoğunlukla üste! fonksiyonla sinüs ya a kosinüs fonksiyonunun çarpımı olarak moellenir. Böyle bir yayın üzerineki bir noktanın hareket enkleminin, s santimetre ve t saniye cinsinen olmak üzere, s(t) = 2e - ı. 5 ' sin 27Tt oluğunu varsaya lım. t saniye sonraki hızı bulunuz ve O.:; t.:; 2 için konum ve hız fonksiyonlannın grafiğini çiziniz. 60. Belirli ko ş ullar a ltına, a ve k pozitif sabitler ve p(t), t anın a bir eikouyu bilenlerin nüfusa oranı olmak üzere, bir eikou p(t) = 1 + ae -k' enklemine göre yayılmaktaır. [Bölüm 7.5 e bunun p(t) için akla yatkın bir enklem oluğunu göreceğiz.] (a) li m,~~ p(t) li mitini bulunuz. (b) Deikounun yayılma hızını bulunuz. ffi (c) t saat cinsinen olmak üzere, a = 10, k= 0,5 urumuna p nin grafiği ni çiziniz. Grafiği kullanarak, nüfusun %80 inin eikouyu uymasının ne kaar zaman alacağını yaklaş ık olarak bulunuz. 61. Bir parçac ık, s(t) konum fonksiyonu, v(t) hızı ve a(t) i vmesi ile bir oğ ru boyunca hareket etmekteir. v a(t) = v(t) s oluğunu gösteriniz. v/ t ve v/ s türevlerinin anlamlan arasınaki farkı açıklay ını z.

48 BÖLÜM 3.S ZINCIR KURALl Küre şe klineki bir meteoroloji balonuna hava pompalanmaktaır. Herhangi bir t anına balonun hacmi V(t) ve yarıçapı r(t) ir. (a) V/ r ve V/ t türevleri neyi gösterir? (b) V/ ı yi r/ ı cinsinen ifae einiz. ffi 63. Fotoğraf makinesinin fl aşı, kapasitöre biriktirilen yükün, fl aş ın ü ğ mesine basılığına biren bo şa lm as ı y l a ça lı ş ır. ffi 64. Aşağıaki veriler, üğ me si ne basılığına t za manın a (sani ye cinsinen) kapasitöre kalan yükü (mikrocoulomb, f.lc, cinsinen) vermekteir. 1 Q ,00 0,02 81,87 0, ,06 54,88 0,08 44,93 0, 10 36,76 (a) Grafik çizen bir hesap makinesi ya a bilgisayar kullanarak, yük için üste! bir moel bulunuz. (Bkz. Bölüm 1.2.) (b) Q'(t) türevi kapasitören flaş ampülüne gelen elektrik akımını (mikroamper, J.LA, cinsinen) gösterir. (a) ş ıkkım kullanarak t = 0,04 sn için akınun yaklaş ık eğerini bulunuz. Bölüm 2.1 eki Örnek 2 nin sonucoyla karşılaştırınız. Tabloa 1790 an 1860 a kaar ABD nüfusu ve rilmi ş tir. Y ıl Nüfus Yı l Nüfus (a) Grafik çizen bir hesap makinesi ya a bilgisayar kullanarak, verilere uyan bir üste! fonksiyon bulunuz. Yerilereki noktaların ve üste1 moelin grafiğini çiziniz. Moel, verilere ne kaar iyi uymaktaır? (b) Kiri ş oğ rul a rının eğimlerinin ortalaınalarını alarak, 1800 ve 1850 eki büyüme hızl a rının yaklaş ık eğerlerini bulunuz. (c) (a) şıkkın aki üste! moeli kullanarak, 1800 ve 1850 eki büyüme hı z l arının yaklaşık eğe rlerini bulunuz. Bu yaklaşık tleğerleri (b) ş ıkkınakilerle karşılaştırınız. () Üste! moeli kullanarak, 1870 eki nüfusu öngörmeye çalışınız. Gerçek nüfus olan ile karşılaştırınız. Farklılığı açıklayabilir misini z? 65. x = t sin t, y = ı cos ı parametrik enklemleriyle verilen eğrinin (0, - 1T) nokta s ınaki teğe t oğ rusunun enklemini bulunuz. ffi 66. x = sin ı, y = sin (t + sin ı) parametrik enklemleriyle verilen eğrinin ba ş langı ç nokta s ın a iki te ğet oğrusu oluğunu gösteriniz ve bunl arın enklemlerini bulunuz. Eğri ve teğetlerinin grafi ğ ini çizerek açıklayınız. 67. Bir C eğr i s i, x = t 2, y = t 3-3t parametrik enklemleriyle ta nıml anm ı şt ır. (a) C eğr i s inin (3, O) noktasına iki teğe t oğrusu o lu ğ unu gösterini z ve bunl a rın enklemlerini bulunuz. (b) C üzerine, teğeti n yatay veya üşey o lu ğ u nokta l arı bulunuz. ffi (c) C ve teğet oğrularının grafiğ ini çizerek (a) ve (b) [ili] 69. ş ıkl arını aç ıkl ay ını z. 68. Bölüm 1.7 eki Örnek 7 e, = r((} - Sin (}) y = r(l - cos (}) sikloii ele alınmıştı. (a) Sikloiin (} =?T/3 olan n ok ta sı n ak i teğetin in enklemini bulunuz. (b) Teğet hangi noktalara ya tay ır? Neree üşeyir? (c) r = 1 için sikloi ve teğet oğrularının grafiği ni çiziniz. Cebirsel bilgisayar yaz ılıml arın ın, fonksiyonların türevlerini alan komutları va rı r, ancak ya nıtın biçimi uygun olmayabilir ve ya nıtı sa eleştirmek için b aşka komutlar gerekebilir. (a) Örnek 5 eki türevi bulmak için bir CBY kullanınız ve örnekteki ya nıtl a karşılaştınnız. Daha sonra saeleştiı me komutunu kullanınız ve tekrar karşılaştırını z. (b) Örnek 6 aki türevi bulmak için bir CBY kullanınız. Saeleştirme komutunu kullanırsa nı z ne olur? Çarpanianna ay ırm a komutunu kullanırsa nız ne olur? Yanıtın hangi biçimi yatay teğetleri belirlemek için en uygunur? lillj 70. (a) Bir CBY kullanarak f(x) = x 4 - x + x 4 + x + fonksiyonun türevini alını z ve sonucu sae l eşt irini z. (b) f nin grafi ği nin neree yatay teğetleri var ır? (c) f ve f' nün grafiklerini ay nı ekrana çiziri ni z. Grafikler (b) ş ıkkınaki yanıtı nı z l a uyumlu muur? 71. (a) n pozitif bir tamsayı ise, - (sin"x cos nx) =n sin " - ıx cos(n + l)x eşitliğini kanıtlayınız. (b) y = cos"x cos nx fonksiyonunun türevini veren (a) ş ıkkın aki ne benzer bir formül bulun uz. 72. f nin her yere türevlenebilir, y = f(x) eğ ri s inin her zaman x ekseninin üstüne o lu ğ unu ve hi ç yatay teğeti olmaığını varsayalım. Hangi y eğeri için, y 5 in x e göre eğ i ş im hı z ı, y nin x e göre eğişim hı z ınm seksen katıır?

49 236 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI 73. e erece cinsinen ölçülüyorsa, Zincir Kuralı ' nı kullanarak 74. (a) 7r e (sin e) = - cos e oluğunu gösteriniz. (Bu, kalkülüse trigonometrik fonksiyonlarla uğraşırken her zaman rayan ölçüsünün kullanılmasının bir neenini verir: erece ölçüsü kullan s ayık, türev formülleri bu kaar basit olmazı. ) eşitliğini göstermek için ı x ı =..[;2 yazınız ve Zincir Kuralı ' nı kullanınız 76. (b) f(x) = ı sin x ı ise, f '(x) i bulunuz vefile f'nün grafiklerini çiziniz. f neree türevlenebilir eğilir? (c) g(x) = sin ı x ı ise g'(x) i bulunuz ve g ve g' nün grafiklerini çiziniz. g neree türevlenebilir eğilir? 75. f ve g iki kez türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere, y = f (u) ve u = g(x) ise 2 y = y 2 u y (u) 2 u 2 u 2 oluğ unu gösteriniz. Bir kartopunun, hacminin yüzey alanı ile oğru orantılı bir hızla azalarak eriiğini varsayalım. Kartopunun, başlangıç hacminin yansına üşmesi üç saat alıyorsa, tümüyle erimesi ne kaar zaman alacaktır? Laboı atu var Projesi rn Bezier Eğrileri Bezier eğrileri bilgisayar estekli tasanına kullanılır ve otomotiv enüstrisine çalışmış olan Fransız matematikçisi Pierre Bezier'in ( ) aıyla anılır. Üçüncü ereceen bir Bezier eğri s i, Po(x o, yo), Pı(xı, Y ı), Pı (x ı, yı ), ve PJ(J, YJ), biçimineki ört kontrol noktası tarafınan belirlenir ve O,;;; t,;;; I olmak üzere, x = xo(l - t)3 + 3x ı t ( l - t) xı t 2 (1 - t) + x3t 3 y = Yo(l - t)3 + 3y ı ı(l - t) 2 + 3yı t 2 (1 - t) + y3t3 parametrik enklemleri tarafınan tanımlanır. t = O için (x, y) = (x0, y0 ) ve t = 1 için (x, y) = (xj, YJ) ele ettiğirnize, olayısıyla eğrinin P0 a başlayıp P3 e bittiğine ikkat einiz. 1. Kontrol noktalan P0(4, 1), P 1(28, 48), P2(50, 42) ve PJ(40, 5) olan Bezier eğrisinin grafiğini çiziriniz. Daha sonra, aynı ekrana, P0 P ı, P 1 Pı ve Pı P3 oğru parçalannı çiziriniz. (Bölüm 1.7 ekialıştırına 23, bunun nasıl yapılacağını göstermekteir.) Orta kontrol noktalan olan P ı ve Pı nin eğri üzerine olmaığına, eğrinin Po a başlayıp, Pı ve P2 ye oğru yöneliğine, ancak bu noktalara ulaşmaığına ve P3 e bittiği ne ikkat einiz. 2. Problem 1 eki grafıkten, Po aki teğetin P 1 en ve P3 eki teğetin P 2 en geçtiği görülmekteir. Bunu kanıtlayınız. 3. Problem 1 eki ikinci kontrol noktasını eğiştirerek, kenisini kesen bir Bezier eğrisi üretmeye çalışımz. 4. Bazı lazer yazıcıları, harfleri ve iğer sembolleri temsil etmek için Bezier eğrileri kullanır. Değişik kontrol noktaları eneyerek, C harfinin uygun bir temsilini ele einiz. S. tki ya a aha fazla Bezier eğrisini birleştirerek aha karmaşık şekiller ele eilebilir. Birinci Bezier eğrisinin kontrol noktalannın Po, Pı, P 2, P3 ve ikincisinin kontrol noktalannın P3, P4, Ps, P6 oluğunu varsayalım. Bu iki parçanın üzgün bir biçime birleşmesini İstersek, PJ eki teğetlerin çakışması ve olayısıyla Pı, P3 ve P4 noktalannın tümünün bu ortak teğet üzerine olması gerekir. Bu ilkeyi kullanarak, S harfini temsil een iki Bezier eğrisinin kontrol noktalannı bulunuz.

50 BÖLÜM 3.6 KAPALl FONKSIYONLARlN TÜREVLERI Uygulama Projesi Bir Pilot İnişe Neree Başlamalı? y Şekile, iniş yapan bir uçağın izleiği yol görülmekteir ve bu yol aşağıaki koşulları sağlamaktaır : y =P(x) lı (i) Inişin başlaığı noktaa, uçağın yere eğiş noktasınan yatay uzaklığı e, uçuş yüksekliği h ir. (ii) Pilot, iniş boyunca sabit bir yatay hızı korumalıır. (iii) Düşey ivmenin mutlak eğeri, (yerçekimine bağlı ivmeen olukça küçük olan) bir k sabitini geçmemeliir. 1. P(x) ve P'(x) üzerine, inişin başlangıcına ve yere eğiş noktasına uygun koşullar koyarak, (i) koşulunu sağlayan üçüncü erece bir P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + polinomu bulunuz. 2. (ii) ve (iii) koşullarını kullanarak oluğunu gösteriniz. 3. Bir hava yolunun, k = 860 mil/sa' eğerini aşan bir üşey ivmeye izin verınemeye karar veriğini varsayalım. Bir uçağın uçuş yüksekliği ft ve hızı 300 mil/sa ise, pilot havaalanınan ne kaar uzakta inişe başlamalıır? ffi 4. Problem 3 eki koşullar sağlanıyorsa, iniş yolunun grafiğini çiziniz. Kapalı TürevAlma Şimiye kaar karşılaştığımız fonksiyonlar, bir eğişkenin bir başka eğişken cinsinen açık olarak ifae eilmesiyle tanımlanabiliyoru, örneğin, y = J3+l ya a y = x sin x veya genel olarak, y = f(x) gibi. Buna karşılık, bazı fonksiyonlar veya gibi x ve y arasınaki bir bağıntı aracılığıyla kapalı olarak tanımlanır. Bazı urumlara, böyle bir enklemen y yi, x e bağlı bir fonksiyon (veya fonksiyonlar) olarak ele etmek olanaklıır. Örneğin, Denklem 1 en y yi çekersek, y = -:!:. ) 25 - x 2 ele eeriz, ve böylece kapalı Denklem 1 in belirleiği iki fonksiyon f (x) = ) 25 - x 2 ve

51 238 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KURALLARI g(x) = -,)25 - xı ir. f ve g nin grafikleri xı + yı = 25 çemberinin üst ve alt yançemberleriir. (Bkz. Şekil 1.) y y )' o Ş EK i L 1 (a) x 2 + / = 25 (b) f (x ) = 25- ~r 2 (c) g(x ) = - J 25- ;. ı Denklem 2 en, elle hesap yaparak, y yi, x e bağlı bir fonksiyon olarak ele etmek kolay eğilir. (Bir cebirsel bilgisayar yazılımının bunu ele etmee bir sorunu olmasa a, ele eilen ifaeler çok karmaşık olacaktır.) Yine e (2), Descartes folyumu olarak alanınlan, Şekil 2 e gösterilen eğrinin enklenilir ve kapalı olarak y yi x e bağlı çeşitli fonksiyonlar olarak tanımlar. Şekil 3 e, böyle üç fonksiyonun grafiği gösterilnilştir. f nin, Denklem 2 ile kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyon o l uğunu söy leiğinilze, eşitliğinin, x 3 + [f(x)p = 6xf(x) f nin tanım kümesineki her x eğeri için oğru oluğunu kasteeriz. y y y y o o o ŞEK I L 2 Descartes folyumu ŞEKi L3 Descartes falyumunun belirl e i ği üç fonksiyonun grafiğ i Neyse ki, y nin türevim bulmak için, verilen enkleme y yi x cinsinen çözme gereksininil uymayız. Onun yerine, kapalı türevalma yöntenilni kullanabiliriz. Bu, enklenilniki tarafının x e göre türevini almayı ve sonuçtab enklemen y' nü çekmeyi içerir. Bu bölümeki örnekler ve alıştırmalara her zaman, verilen enklemin kapalı bir biçime y yi x e bağlı türevlenebilir bir fonksiyon olarak tammlaığı ve olay ı s ı y la, kapalı türev alma yöntemirun uygulanabiliği varsayılmıştır. ÖRNEK 1 (a) x ı + yı = 25 ise, y i bulunuz. (b) xı + yı = 25 çemberinin (3, 4) noktas ınaki teğetinin enklemini yazınız ÇÖZÜM 1 (a) xı + y ı = 25 enklenilnin iki tarafının türevini alalım:

52 BÖLÜM 3.6 KAPALl FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 239 y nin x e bağlı bir fonksiyon oluğunu amınsayarak ve Zincir Kuralı'nı kullanarak, _!!_ (y2) = _!!_ (y2 ) y = 2y y y ele eeriz. Dolayısıyla y 2x + 2y =O ır. Şimi, bu enklemi, y/ için çözeriz: y y (b) (3, 4) noktasına, x = 3 ve y = 4 ür, buraan y 3 4 ele eeriz. Dolayısıyla, çemberin (3, 4) noktasınaki teğetinin enklemi y - 4 = -~ (x - 3) ya a 3x + 4y = 25 ir. ÇÖZÜM 2 (b) x2 + y2 = 25 enkleminen, y = ±.J25 - x2 ele eeriz. (3, 4) noktası y =.J25 - x 2 üst yançemberinin üzerine oluğunan, f(x) =.J25 - x2 fonksiyonunu ele alınz. Zincir Kuralı'nı kullanarak türev alırsak, f'(x) = ~ (25 - x 2 ) - ı ;z ~ (25 - x 2 ) = l (25 - xı ) - ı fı ( -2x) = - x 2.J25 - x ele eeriz, böylece /'(3) = -.J 25 _ olur ve Çözüm ı e oluğu gibi, teğetin enklemi 3x + 4y = 25 ir. NOT ı Örnek ı, enklemen y yi x cinsinen çekmek olanaklı olsa bile, kapalı türev almanın aha kolay olabiliğini göstermekteir. NOT 2 y/ = - x/ y ifaesi türevi, x ve y nin her ikisi cinsinen vermekteir. Bu ifae, enklem tarafınan hangi fonksiyonunun belieniğinen bağımsız olarak oğruur. Örneğin, y = f(x) =.J25 - x 2 için y = - ȳ ve y = g(x) = -.J25 - x 2 için y y ele eeriz.

53 240 ÜNITE 3 TÜREV ALMA KU RALLARI ÖRNEK 2 (a) x 3 + y 3 = 6xy ise, y'nü bulunuz. (b) x 3 + y 3 = 6xy enklemiyle verilen Descartes folyumu eğ ri s inin (3, 3) n oktas ınaki teğetini bulunuz. (c) Eğ ri üzerineki hangi noktalara teğe t yatay veya ü şe y i r? CÖZÜM Ca) y yi x e b ağ lı bir fonksiyon olarak ü ş ün e rek, y 3 terimi için Zincir ve 6xy terimi için Çarpım Kuralı ' nı kullanarak, x 3 + y 3 = 6xy enkleminin iki t arafınm x e göre türevini a lır s ak, 3x 2 + 3y 2 y' = 6y + 6xy' ya a x ı + yıy' = 2y + 2xy' ele eeriz. Bu enklemen y' nü çekersek: y 2 y' - 2xy' = 2y - x 2 (/ - 2x )y' = 2y - x 2 ele eeriz. (b) x = y = 3 için 2y - x y' 2 = -':-- y2-2x y' ı ir ve Şeki l 4 e bir bakı ş, bunun (3, 3) eki eğim için akla ya tkın bir eğe r o lu ğ unu oğrul ar. Bu neenle folyumun (3, 3) n ok tas ın aki teğe t i nin enklemi y - 3 = - L(x- 3) ya a x+y=6 ır. ŞEK I L 4 4,---- (c) y' = O ise, teğ et ya tay ır. (a) ş ı kla n a y' için ele etti ğimi z ifaeyi kullanarak, 2y - x 2 = O o lu ğ u zaman y' = O o lu ğunu görürüz. Eğrinin enklemine y = }: x 2 koyarsak, ŞEKiL S ele eeriz ve bu enklem, x 6 = 16x 3 biçimine sa e l eş tirilebilü. Bu neenl e, x = O veyax 3 = 16 ır. x = 16 1 / 3 = 2 4 / 3 için y = 3: ( ) = 2 5 / 3 olur. Dol ay ı s ı y l a, (0, O) a ve yak l aş ık olarak (2,5198, 3,1748) olan (2 4 / 3, ) n o kt as ın a teğe t ya tay ır. Şe kil 5 e bakarsak, y anıtırru z ın akla yatkın o lu ğ unu görürüz. y/ i veren ifaenin p ay as ı O olu ğ un a, teğ et oğru s u ü ş ey ir. Bir i ğer yöntem ise, x ve y yer eğ i ş t i ri ğ i ne, eğrin i n enkleminin eği ş mei ğ ini, ol a yıs ı y l a eğri n in y = x a ğru s un a göre si metrik o lu ğ unu gözlemlemektir. Bu, (0, O) ve (2 413, ) n okt al arınaki yatay teğe tl e re k arş ılık (0, O) ve (2 513, ) noktal arına ü şey teğetl er olu ğu a nl amın a gelir. (Bkz. Şe kil 5.) NOT 3 Üçüncü ereceen enklemlerin üç kökü için, çok aha karm aş ık olsa a, iki nci ereceen o l a nl arınki gibi bir formül varır. Bu formülü kull anırs ak (veya bir cebirsel bilgisayar ya zılımı kull anırsak), enkl em t arafın a n belirlenen üç fonksiyon ele eeriz:

54 BÖLÜM 3.6 KAPALl FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 241.&. Norveçli matematikçi Niels Abel 1824 te 5 inci ereceen bir enklemin köklerini veren köklü genel bir ifaenin olmaıgını kanı tl aı. Daha sonra Fransız matematikçi Evoriste Galois, n, 4 en büyük ise, n inci ereceen bir enklemin köklerini veren köklü genel bir ifaenin olmaıgını kanıtlaı. ve Y = H-J(x) ± A(1- ~ x 3 + Jh 6-8x 3-1-h 3 - Jh 6-8x 3 )] (Bunlar, grafikleri Şekil 3 e gösterilen üç fonksiyonur.) Kapalı türevalma yönteminin bu gibi urumlara işleri çok kolaylaştırığını görebilirsiniz. Dahası, kapalı türev alma yöntemi, gibi, y nin x cinsinen ifaesini bulmanın olanaksı z oluğu enklemler için e aynı kolaylıkla çalışır. ÖRNEK 3 sin(x + y) = y 2 cos x ise y' nü bulunuz. ÇÖZÜM anımsayarak, x e göre kapalı türev alarak ve y nin x e bağlı bir fonksiyon oluğunu 2 cos(x + y) (1 + y') = 2yy' cos x + y 2 ( -sin x) ele eeriz. (Sol tarafta Zincir Kuralı'nı ve sağ tarafta Çarpım ve Zincir Kuralları'nı kullanığımıza ikkat einiz.) y' içeren terimleri bir araya toplarsak, cos(x + y) + y 2 sin x = (2y cos x)y' - cos(x + y) y' y 2 sin x + cos(x + y) ele eeriz. Bu neenle, y' = ( ) olur. 2y COS - COS + y Ş E KI L 6 Bir cebirsel bilgisayar yazılımımn, kapalı-çizim komutuyla çizilmiş olan Şekil 6, sin(x + y) = y 2 cos x eğrisinin bir parçasını göstermekteir. Hesaplarımızı kontrol etmek amacıyla, x = y = O için y' = - ı oluğuna ve grafikten, başlangıç noktasınaki eğimin -ı gibi görünüğüne ikkat einiz. ~ O rtogonal Yörüngeler y Kesişi m noktalarınaki teğet oğruları ik olan iki eğri, ortogonal olarak alanırılır. Aşağıaki örnekte, kapalı türev almayı kullanarak iki eğri ailesinin birbirinin ortogonal yörüngeleri oluğunu, bir başka eyişle bir aileeki her eğrinin iğer aileeki her eğriye ik oluğunu göstereceğiz. Ortogonal yörüngeler fiziğin çeşitli alanlarına karşımıza çıkar. Örneğin, bir elektrostatik alanın kuvvet çizgileri, sabit potansiyel çizgilerine iktir. Terınoinamikte, izotermler (eş sıcaklık eğrileri) ısı akış çizgilerine iktir. Aeroinamikte, akış çizgileri (hava akımımn yönünün eğrileri) hız-eşpotansiyel eğrilerinin ortogonal yörüngeleriir. ÖRNEK 4 xy =c c,e o enklemi bir hiperbol ailesini verir. (c sabitinin farklı eğerleri farklı hiperbolleri verir. Bkz. Şekil 7.) Ş E KiL 7 enklemi, asimptotları y = ±x olan bir iğer hiperbol ailesini verir. (3) ailesineki

55 242 ÜNiTE 3 TÜREV ALMA KURALLARI her eğrinin, (4) ailesineki her eğriye ortogonal oluğunu, bir başka eyişle bu iki ailenin birbirinin ortogonal yörüngeleri oluğunu gösteriruz. ÇÖZÜM Denklem 3 ün kapalı türevini alınca, y y + x- =O ve böylece y y ele eeriz. Denklem 4 ün kapalı türevini alınca, y 2x - 2y - = O bu neenle ele eeriz. (5) ve (6) an, iki aileen seçilen birer eğrinin kesişim noktasın a, teğetlerin eğimlerinin çarpıırunın eksi bir oluğunu görürüz. Dolayısıyla, açılarla ke s i ş irler. y y eğriler ik ~ Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri Ters trigonometrik fonksiyonlar Ek C e özetlenmiştir.. Ters trigonometrik fonksiyonların türevlenebilir oluklannı varsayarak, bunların türevlerini almak için kapalı türev alma yönterruni kullanabiliriz. Arksinüs fonksiyonunun tanıırunı anı msayınız : sin y = x ve 'Tr 'Tr --=:;;y=:;;- 2 2 anlaıruna gelir. sin y = x in x e göre kapalı türevini alırsak, y cos y = 1 veya y cos y ele eeriz. - rr/ 2 ::;; y ::;; rr/ 2 oluğunan, cos y ~ O ır, bu yüzen cos y =.J1- sin 2 y =.jl=2 olur. Dolayısıyla, y cos y ~ir. v 1 - x- Şekil 8, f(x) = tan- 'x fonksiyonu ile f'(x) = 1/ (1 + x ' ) türevinin grafiğini göstermekteir./ nin artan ve f'(x) in her zaman pozitif oluğuna ikkat einiz.x --> :too iken f'(x) --> O olması, x--> :too iken tan- 'x--> :t7r/2 olmasının bir sonucuur. - (sin- 1 x) = ---;===.J ı - x 2 Arktanjant fonksiyonunun türevinin formülü e benzer bir yolla ele eilir. y = tan - ıx ise, tan y = x ir. tkinci enklerrun x e göre kapalı türevini alırsak,? y sec-y - =ı y ı ı ŞEKiL 8-1,5 ele eeriz. ı - (tan- 1 x) = x 2

56 BÖLÜM 3.6 KAPALl FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 243..t. aretan x in tan- 1 x in farklı bir gösterimi o lu ~ unu anım s a yı nız... ı c ORNEK S (a) y = -.-_ 1 - ve (b) f(x) = x arctanvx fonk s iyonl arının türevlerini s ın x a lınız ÇÖZÜM (a) - y = - (. - ı ) - ı (. - ı )- 2 (. - ı ) s ın x = - s ın x - s ın x ı (b) f'(x) =x (J)' ( ~ x - ' 1 2 ) + arctan.jx J - -'--- + aretan.j 2(1 + x) En s ık kar ş ıla ş ıl an ters trigonometrik fonksiyonlar yukara görüklerimizir. y = cos-'x fo nksiyonunun türevi Alı ş tırm a 34 e verilmekteir. Diğer ters trigonometrik fonk s i yo nl ar ın türev alma formülleri B aş vuru Say fa s ı 3 e bulunabilir. ~ Alıştırmalar 1-2 (a) y ' türevini k a p a lı türevalarak bulunuz. (b) Verilen enklemen, y yi çekiniz ve türevalarak y' nü x cinsinen ele einiz. (c) y için bulu ğ unu z ifaeyi (a) aki çözümünüze yerine koyarak, (a) ve (b) ş ıkl arın aki çözümlerinizin tu tar lı o lu ğ unu kontrol eini z. 1. xy + 2x + 3x ı = x ı + 9y ı = 36 ıs. y 2 = x 3 (2 - x) (J, 1) (pirifo rm) )' o x ı ; ı + y ı; ı = 4 (-3V), ı) (astroi) y y/ i kap a lı türev al ararak bulunuz. 3. x 3 + x 2 y + 4yı = 6 4. x ı - 2xy + y 3 = c s. x 2 y + xyı = 3x 6. y 5 + x 2 y 3 = 1 + ye-'' 7. JiY = 1 + x ıy 8..J ı + x 2 yı = 2xy 9. 4 cos x sin y = l 10. COS y + y COS = J 11. cos(x - y) = xe -' 12. sin x + cos y = sin x cosy 17. 2(x ı + yı ) 2 = 25(x 2 - y ı ) 18. x 2 y 2 = (y + 1)2(4 - y 2 ) (3, 1) (0, -2) (lemniskat) (Nicomees konkoii) y y Eğrinin verilen noktaaki teğe t oğru s unun enk- lernini bulunuz x ı yı = 1 ( - 5, D (hiperbol) (a) yı = 5x 4 - x 2 eğ ri s i Euoxus kampilesi olarak a l a nırılı r. Bu eğ rinin ( l, 2) nokta s ınaki teğe t oğ ru s unun enklemini bulunuz.

57 244 ÜNiTE 3 TÜREV KURALLARI ffi (b) (a) şıkkına verilen eğrinin ve teğet oğrusunun grafiklerini ay nı şekil üzerine gösterini z. ( Eğer sizin grafik çizmek için kullanığınız aygıt kapalı olarak tanımlan a n eğril eri n grafiklerini çizebiliyorsa onun bu ye teneğini kull a nın. Aksi takire, bu eğri nin grafiğini ikiye ay ırarak aşağ ı ve yukarı yan üzlemlere ayn ayn çizebilirsiniz.) 20. (a) y 2 = x 3 + 3x 2 enklemi ile verilen eğ ri ye Tschirnhausen kübik eğrisi enir. Bu eğ rinin (1, -2) noktasınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. (b) Bu eğrinin hangi noktalara yatay teğeti varır? ffi (c) (a) ve (b) ş ıklann a verilen eğr i ve teğet oğrularınm grafiklerini ay nı şeki l üzerine gösteriniz. CBY 21. Cebirsel bilgisayar yaz ılımlarının kapa lı fonksiyonl arın grafiklerini çizmeeki yetenekleri kullanılarak göste ri ş li şekiller çizilebilir. (a) y(y 2-1 )(y - 2) = x(x - l )(x - 2) enklemi ile verilen eğrinin grafiğini çiziniz. Bu eğri kaç noktaa yatay teğe te sahiptir? Bu noktalan n x-koorinatlanru grafikten yaklaşık olarak belirleyiniz. (b) (0, 1) ve (0, 2) noktal arı n aki teğet oğrulannın enklemlerini yaz ını z. (c) (a) şıkkınaki n oktaların x-koorinatlannı tam olarak bulun uz. () (a) ş ıklun a verilen enklem üzerine eğişiklikler yaparak aha a göste ri ş li eğri l er çiziniz. CBY 22. (a) 2y 3 + y 2 - y 5 = x 4-2x 3 + xı enklemi ile verilen eğri, yayianan bir arabaya benzetilebilir. Bu eğri nin grafiğini çizmek için bir cebirsel bilgisayar yaz ılımı kullanını z ve niçin öyle o lu ğ unu görünüz. (b) Bu eğr inin kaç noktaa yatay teğet oğ ru su varır? Bu noktaların x -koo rin at l arını bulunuz. 23. Problem 17 e verilen l emn i s katın yatay teğete sahip oluğ u n oktal ar ı bulunuz K a palı fonksiyonların türevini kullanarak x ı y ı - +-= 1 a ı b ı 26. xı + 6xy + yı = 8, ise kapalı fo nks i yo nların türevini kullanarak y" yü bulun uz Verilen fonksiyonun türevini bulunuz. Olanaklı ise kısaltmaları ya pını z. 27. y = sin- 1 (x 2 ) 29. y = 2)tan- 1 vfx 31. H (x) = (1 + x ı )arc ta n x 33. y = arcsin(tan (}) 28. y = (sin - 1 x) h(x) = Jl=2 aresin x 32. y = tan - 1 (x-.jt+2) 34. Kosinüs fonksiyonunun tersi cos- 1 = arccos,f(x) = cos x fonksiyonun O :s; 5 :s; 7T aralı ğ ına kı s ıtlanı ş ının tersi olarak tanı mlanır. Do l ayısıy l a, y = coç 1 x emek, O :s; y :s; 7T olmak üzere cos y = x emektir. o luğ unu gösteriniz. ı - (coç 1 x) =- J1=2 1 - x ~ f'(x) i h esap l ayın ı z. f ve f' fonksiyonlannın grafikleri ni karş ılaştırarak ceva bını z ın oğrulu ğunu kontrol einiz. 3S. f(x) = ex - x ı aretan x 36. f(x) = x arcsin( 1 - xı) Verilen eğri l eri n ortogonal oluklannı gösteriniz x ı + yı = 3, x = y x 2 - yı = 5, 4x ı + 9y ı = Tepelik bir bölgenin h ari t as ı üzerineki e ş yükselti eğrileri, aynı yükseklikteki n okta ları birle ş tiren eğrilerir. Tepeen aşağıya yuvarlanan bir top, eşyükse l ti olan bir eğri boyunca en sarp yolu izler. Şekile bir tepenin üzey haritası eğri l erine ortogonal veril i ğ in e göre A ve B noktaların an bırakılan topların izleyeceği yo ll ar ı kabaca çiziniz.. elipsinin (x0, y0 ) n o k tas ınaki teğetinin enkleminin o lu ğ unu gösteriniz. o YoY -+--= a ı b ı 2S. x 4 + y 4 = 16 ise aşağıaki aımlan izleyerek y" türevini bulunuz. (a) K ap a lı fonks i yo nl arın türevini kullanarak y' türevini bulunuz. (b) Bölüm kuralını kullanarak (a) aki y' ifaesinin türevini bulunuz. Sonucu yalnızca x ya a y cinsinen ifae einiz. (c) (b) ş ıkkınaki cevabınızı, x ve y nin x 4 + y 4 = 16 enklemini sağ lamak zoruna o lu ğ unu kullanarak aşağ ıaki şe kile ba s it l eştiriniz. 40. TV e hava urumunu sunan kişiler sık s ık hava basıncın ı gösteren h ar it a l arı işaret eerler. Böyle haritalar, izobar (eş b as ın ç eğrileri) enilen, üzerine hava b as ıncı sabit olan eğrileri gösterir. Şekil e gösterilen izobarlar ailesini ü ş ünelim. lzobarlan ik kesen eğri ailesinin birkaç öğesini kabaca çiziniz. Rü zgarın yüksek hava ba s ıncı olan bir bölgeen al-

58 BÖLÜM 3.7 LOGARITMA FONKSIYONLARININ TÜREVLERI çak hava basınçlı bir bölgeye oğru est i ği verilirse, ik aile ler neyi gösterir? Verilen eğri ailelerinin birbirlerini ik kestiklerini gösteriniz. Her iki eğri ailesini aynı koorinat üzlemine çiziniz. 41. x ı +y ı = r ı, ax + by= O 42. x ı + y 2 = ax, x 2 + y ı = by 43. y = cx 2, x ı + 2y ı = k 44. y = ax 3, x ı + 3yı = b 45. Kapalı fonksiyon l arın türevini kullanarak O merkezli bir çemberin üzerineki herhangi bir P noktasınaki teğet oğrusunun OP yarıçapına ik oluğunu gösteriniz. 46. J + JY =.JC şeklin e tanımlanan eğrinin herhangi bir teğet oğrusunun x- ve y- kesenlerinin toplamının c sayısına eş i t oluğunu gösteriniz. noktaları bu 47. x ı - xy + y ı = 3 enklemi önürülmüş bir elipsi, iğer bir ifaeyle eksenleri koorinat eksenlerine paralel olmayan bir elipsi temsil eer. Elipsin x-eksenini kestiği lunuz ve bu noktalaraki teğet oğrularının paralel oluklarını gösteriniz. 48. (a) (-1, 1) noktasına x ı - xy +y ı = 3 elipsinin normal oğrusu elips ile ikinci kez neree kesişir? (Normal oğrunun tanıını için sayfa 198 e bakınız.) (b) (a) şıkkına verilen elipsin ve normal oğrusunun grafiğini çiziniz. 49.Teğet oğrusunun eğimi -ı olan, x ı y 2 + xy = 2 eğrisinin üzerineki tüm noktaları bulunuz. 50. (12, 3) noktasınan geçen ve x ı + 4y 2 = 36 enklemi ile verilen elipse teğet olan oğruların enklemlerini yazınız. 51. (a) f fonksiyonu bire-bir ve türevlenebilir olsun. Eğer f nin tersi e türevlenebilir ise kapalı fonksiyon l arın türevini kullanarak, paya sıfıran farklı iken oluğunu gösteriniz. u - ı) ' (x) = f'(f lı(x)) (b) Eğer f(4) = 5 ve f'(4) = ~ ise {f- 1 )'(5) eğerini hesaplayınız, 52. (a) f(x) = 2x + cos x fonksiyonunun bire-bir o lu ğunu gösteri niz. (b) r 1 (1) eğerini hesaplayınız. (c) Alıştırma 51 (a) aki formülü kullanarak {f- 1 )'(1) eğerini bulunuz. 53. Mertebesi sıfır olan Bessel fonksiyonu, y = 1(x), x in her eğeri için xy" + y' + xy = O iferensiyel enklemini sağlar ve bu fonksiyonun O aki eğeri 1(0) = 1 ir. (a) 1'(0) ı bulunuz. (b) Kapalı fonksiyon l arın türevini kullanarak 1"(0) eğerini bulunuz. 54. Aşağıaki şekil, y-ekseninin 3 birim sağına yerleştirilmiş bir lamba ve x ı + 4y 2,; 5 eliptik bölgesinin yarattığı gölgeli bölgeyi göstermekteir. Eğer (-5, O) noktası gölgeli bölgenin kenarı üzerine ise, lamba x-ekseninin ne kaar yukarısına yerleştirilmiştir? -- y ? ~ T -5 3 Logaritma Fonksiyonlarınin Türevleri Bu bölüme y = loga x logaritma fonksiyonları ve özel olarak y = In x oğal logaritma fonksiyonunun türevlerini bulmak için kapalı fonksiyonların türevini kullanacağız. Logaritma fonksiyonl arın türevlenebilir o lu ğun u varsayıyoruz ; bu varsayımın akla yatkın oluğu logaritma fonksiyonlarının grafiklerinen anlaş ıl abilir (bkz Bölüm 1.6, Şekil 12). [j] ı - (log a x) = - x Ina

59 246 BÖLÜM 3 TÜREV KURALLARI Kanıt y = logax olsun. Bu takire.&. Formül (ax) = ax Ina olugunu söyler olur. Formül i kullanarak bu enklernin x e göre kapalı türevini alırsak y ay(l n a)- = 1 ele eeriz. Buraan y ay In a x In a buluruz. Eğer Formül 1 ea = e koyarsak, sağ taraftaki Ln a çarpanı yerine In e = ı gelir. Bu uruma log, x = In x o ğa l logaritma fonksiyonunun türevi için aşağıaki formülü ele eeriz: ı -(In x) = x Formül ı ve 2 yi karş ıla ş tırırsak, kalkülüse oğa l logaritınanın (e tabanına göre l ogaritına) kullanılınasının temel neenlerinen birini görürüz: In e = ı oluğunan, a = e alınığına türev formülü en ya lın uruma gelir. ÖRNEK 1 y = ln(x 3 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz. ÇÖZÜM Zincir kuralını kullanmak için u = x 3 + ı iyelim. Bu takire y = In u ve y = y u =_..!:._u = ı_ ( 3 x 2 ) = ~ u u x 3 + ı x Genel olarak Örnek 1 e verilen Zincir Kuralı ile Formül 2 yi birle ş tirir sek I u -(In u)=- u veya [In g(x)] = g'(x) g(x) ele eeriz... ORNEK 2 - ln(sin x) türevini h esaplay ını z. ÇÖZÜM (3) ü kull anarak ele eeriz. ı ı - ln (sin x) = -. --(sin x) = -. - cos x = cot x sın x sm x ÖRNEK 3 f(x) = JI[I fonksiyonunun türevini bulunuz. ÇÖZÜM Buraa logaritma fonksiyonu iç fonksiyon o luğunan Zincir Kuralını kullanarak ele eeriz. f'(x) = ~ (In xt 112 _!!:._ (In x) = ı 2JI[I x 2xJI[I

60 BÖLÜM 3.7 LOGARITMA FONKSIYONLARININ TÜREVLE RI 247 ÖRNEK 4 f(x) = log 10(2 + sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz. ÇÖZÜM Formül ı, a = ıo alın arak kull a nılı rsa L f'(x) = - log ı o(2 + sin x) = - (2 + sin x) (2 + sin x) In ı o ele eilir. + J ÖRNEK 5 -In ~ ÇÖZÜM 1 COS (2 + sin x) In 10 türevini bulunuz. x+ ı x+ l - In = ~ x+ ı ~ ~ ~ ~ ı - (x + O(D<x- 2) ı x- 2- ~ (x + 1) (x + l)(x- 2) x - 2 x- 5 2(x + ı )(x - 2) ÇÖZÜM 2 İlk olarak, l ogari tm anı n özellikleri k ull a nıl arak verilen fonksiyonu b as itl eş tirir sek, türev almak aha a ko l ay l aş ı r: x+ ı [ ı ] -In ~ = - ln (x + ı) - ı ln (x - 2) vx ı ı ( ı ) x+ l 2 x-2 (Bu cevap böyle bırakı l a bilir. Fakat p ay a l ar ı eş itl e rsek Çözüm ı eki sonuç ile ay nı o luğ unu görürüz.) y.&. Şekil 1, Örnek 5 eki f fonksiyonunun ve türevinin grafiğini göstermekteir. Bu bizim hesaplarım ı z ı n görsel olarak kontrolünü sağlar. f hızla azalığına f'(x) in negatif olarak büyük eğerler alığına ikkat einiz. o l :_- f - f' $EKIL 1 ÖRNEK 6 f(x) = Ln ı x ı ise f'(x) türevini bulun uz. ÇÖZÜM o lu ğ un an f(x) = {In, > 0 ln(-x), x < O

61 248 ÜNiTE 3 TÜREV KURALLARI.i. Şekil 2, Örnek 6 aki f(x) = In ı x ı fonksiyonu ile türevi f'(x) = 1/x fonksiyonunun grafiğini göstermekteir. x küçük oluğuna y = In ı x ı in grafiğinin ik oluğuna ve olayısıyla f'(x) in büyük oluğuna (pozitif ya a negatif) ikkat einiz. ı ı f'(x) = \ 1 - (-1)= - -x x x> O x< O olarak ele eilir. Böylece her x =i' O için f'(x) = 1/ x olur. Örnek 6 nın sonucu hatırlamaya eğerir : ı -ln lxl= - x ŞEKIL 2-3 Logaritmik Türev Çarpma, bölme, ya a kuvvet içeren karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanma s ı logaritma alınarak aha basit hale getirilebilir. Aşağıaki örnekte kullanılan yöntem logaritmik türev olarak alanırılır. x 314.Jx2+I ORNEK 7 y = ( ) 3x fonksiyonunun türevini bulunuz. ÇÖZÜM Denklernin her iki tarafının logarilm as ını alıp, ba s itle ş tirmek için logaritmanın özelliklerini kullanalım: ln y = ~ In x + ~ ln(x 2 + I) - 5 In(3x + 2) Kapalı olarak tanımlanan bu fonksiyonun x e göre türevini alırsak olur. Buraan y/ i çözersek 1 y x 3 --= y 4 x 2 x 2 + 3x + 2.i. Örnek 7 e logeritmik türevi kullanmasayık hem Çarpım Kuralı ' nı heme Bölüm Kuralı ' nı kullanmak zoruna kalırık. Bu uruma hesaplar çok karmaşık oluru. y = Y(l._ + x ıs ) 4x x x + 2 x 314.Jx2+I ( (3x + 2)5 4x x ) 3x + 2 ele eeriz. Logarifmik Türeve Aımlar 1. y = f(x) enklerninjn her iki tarafının oğallogaritmasını alınız ve enklemi basit hale getirmek için Logaritma Kurallarını kullanınız. 2. Kapalı olarak tanımlı fonksiyonun x e göre türevini alını z. 3. Sonuçta ele eilen enklemen y' nü çözünüz.

62 BÖLÜM 3.7 LOGARITMA FONKSIYONLARININ TÜREVLERI 249 Eğer x in bazı eğerleri için f(x) < O ise, lnf(x) tanımlı eğilir, fakat 1 y 1 = 1 f(x) 1 yazabitir ve Denklem 4 ü kullanabiliriz. Bu yöntemi, Bölüm 3.1 e veriğimiz Kuvvet Kuralı'nın genel urumunu kanıtlayarak açıklayacağız. Kuvvet kuralı ir. Eğer n herhangi bir gerçel sayı ve f(x) = x" ise f'(x) = nx " - ı Eğer x = O ise, oğruan türev tanımını kullanarak n > 1 için f '(O) = O oluğunu gösterebiliriz. Kanıt y = x" olsun ve logaritmik türevi kullanalım. In 1 y 1 = In 1 x 1" = n In 1 x 1 x""'o Böylece ve sonuç olarak y' n y y x" y' =n-= n-= nx" - ı olur. ~ Taban eğişken, üs sabit oluğuna, Kuvvet Kuralı [(x")' = nx " - ı ] ile; taban sabit, üs eğişken olan [(a x)' = ax ln a] üste] fonksiyonların türevalma kurallanm, birbirinen ikkatlice ayırt etmelisirıiz. Genel olarak üs ve tabanlar için ört urum sözkonusuur. 1. (ab ) =O (a ve b sabittir.) 2. _!} [f(x)]b = b[f(x)] h- ıf'(x) 3. - [a g(xl] = a g(xl(ln a)g'(x) 4. (/)[f(x)] 9 Cx) türevini bulmak için aşağ ıaki örnekte oluğu gibi logaritmik türev kullanılabilir. ÖRNEK 8 y = x.;x fonksiyonunun türevini bulunuz. Şekil 3, Örnek 8 eki y = x.;x fonksiyonunun ve türevini-n grafiğini gösterrneklei r. y ÇÖZÜM 1 Logaritmik türevi kullanırsak ele eeriz. ln y = ln x.;x =.J. In x _i_ =.J. _!_ + (In x) y 2-J. y' = y(-1- + ln x) = x.;x(2 + lnx).j. 2.J. 2.J. ŞEKIL 3 ÇÖZÜM 2 Diğer yöntem için x.;x = (eı" x ) / yazalım. _!} (xv' ) = _!} (e v' ın x ) = e Jx ı nx _!} (.J. ln x) = x Jx ( 2 + ln x) 2-J. (yukar ı aki gibi)

63 250 ÜNiTE 3 TÜREV KURALLARI ~ Limit Olarak e Sayısı f(x) = In x oluğuna f'(x) = 1/x oluğunu gösterik. Buraan f' (1) = 1 ir. Şimi bunu kullanarak, e sayısını limit olarak ifae eeceğiz. Türevin lirnit olarak tanurunan ( ). f(l + h) - f(l). f(l + x) - f(l) f' ı = lım = lım.:.. :--'---'--'-'- h-o h x-o ln(l + x) - In ı ı = lim = lim -ın(l + x) x~ o x-0 = lim ln(l + x) 1 1x = ln (!im (1 + x) 1 1x] x-o x-o (In sürekli o lu ğ un a n ) ı ı ı ı ı ı ı ----ri ı Ü ŞEKIL 4 (1 +x)llx 0, , ,00 1 2, ,0001 2, , , , ,7 ı , , ,7 ı 828 ı 8 ı ele eeriz. j'( ı) = ı o l uğunan yazanz. Böylece bulun uz. In (!im (1 + x) l/x] = x- o lim (1 + x) 1 1x = e x-o Formül 5, y = (1 + x) 1 1x fonksiyonunun Şekil 4 e verilen grafiği ve x in küçük için oluşturu l an eğer tablosu ile açıklanabilir. eğe rleri e= 2,7ı828ı8 yaklaş ık eğerinin virgülen sonra yei basamağının oğru o l u ğunu ı gösterir. Eğer Formül 5 e, n= 1/x yazarsak, ~ o+ iken n ~ 00 olur. Bu uruma e s ayı s ı e = lim ( ı + -ı) " n şekline e ifae eilebilir. ~~ Alıştırmalar 1. Kalkülüste y = In x oğal logaritma fonksiyonunun iğer logaritma fonksiyonlan y = logax leren çok aha s ık kull anı l masının neenini açıklayınız Veri len fonksiyonlann türevlerini bulunuz. 2. f(x) = ln(x ) 3. f(o) = ln(cos O) S. f(x) = log ı( 1-3x) 1. f(x) = 0Tl 4. f(x) = cos(ln x) 6. f(x) = lo gı o (-x - ) f(x) = Ln {/ 9. f(x) =.J;: In x (2t + 1) F(t) = In ( 3 t _!) 4 13 _ in x. y - ~ 1 + Int 10. f(t) = 1 - Int 12. h(x) = ln(x + ~) 11. y = ln(e-x + xe-x ) 18. y = [In(! + e xw

64 HIPERBOLIK FONKSIYONLARlN KEŞFETME PROJESI y' ve y" nü bulun uz. 19. y = ex In 20. y = ln(sec x + tan x) 30. ) ı = Pıx + 1 x f fonksiyonunun türevini ve tanım kümesini bulunuz. 2J. j( ) x = 1 - ln(x - I) 22. f(x) = In In In x 31. y = x ' 32. y = xlfx 33. y = x sin x 34. y = (sin x)' 35. y = (In x)' 36. y = x lnx 23. y = In(x 2-3) eğrisinin (2, O) noktasınaki teğet oğrusunun ekiemini bulunuz. ffi 24. y =(In x)/x eğris inin (1, O) ve (e, I/e) noktalarınaki teğet oğrularının enklemlerini yazınız. Eğrinin ve teğet oğrularının grafiklerini çiziniz. 25. (a) f(x) = x In x fonksiyonu hangi aralıkta azalanır? (b) f hangi aralıkta ışbükeyir? 37. y = In(x 2 + y 2 ) ise y' türevini bulunuz. 38. xy = y' için y' türevini hesaplayınız. 39. Eğer f(x) = In(x - I) ise f "l(x) için bir formül bulunuz (x 8 In x) türevini hesaplayınız. 41. Türev tanımını kullanarak ffi 26. f(x) = sin x + In x fonksiyonunun f'(x) türevini bulunuz.f ve f' nün grafiklerini karş ıl aştırarak yanıt ım zın. ln(l + x) lım-:.:... oğruluğunu kontrol einiz. x- o Logaritmik türevi kullanarak verilen fonksiyonun türevini bulunuz. 42. o l uğunu kamtlayınız. Herhangi bir x > O için li m ( l teriniz lf -00 x)" n + - = ex oluğunu gösı Buluş Projesi Hiperbolik Fonksiyonlar e x ve e-x üste! fonksiyonlarının belirli birleşimlerinen oluşan fonksiyonlar, matematikte ve matematiğin uygulamalarına çok sık ortaya çıkar. Bu yüzen onlara özel isimler verilir. Bu proje hiperbolik fonksiyonlar olarak alanmlan fonksiyonların özelliklerini araştırır. ex - e-x sinhx= sinhx tanhx = -- coshx e x + e-x coshx = ı sech x = -- coshx fonksiyonları sırasıyla hiperbolik sinüs, hiperbolik kosinüs, hiperbolik tanjant ve hiperbolik sekant iye a l anırılırlar. Bu fonksiyonlara hiperbalik enmesinin neeni, trigonometrik fonksiyonların çember ile olan ilişkisine benzer olarak hiperbol ile olan ilişkileriir. 1. (a) y = 4e"' vey = 4e-x fonksiyonlarının grafiğini aynı koorinat üzlemi üzerine elle çiziniz ve grafiksel toplamı kullanarak cosh fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ffi (b) y = cosh x fonksiyonunun grafiğini bilgisayar ya a grafik çizen hesap makinesi kullanarak çiziniz ve (a) şıkkınaki çiziminizin oğruluğunu kontrol einiz. Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümesi neir? ffi 2. Hiperbalik fonksiyon l arın en ünlü uygulaması, sarkan bir kablomin şeklini tanımlamak için hiperbol ik kosinüs fonksiyonunun kullanılmasıır. Eğer esnek ağır bir kablo (telefon ya a elektrik kablosu) aynı yükseklikteki iki nokta a ras ına asılırsa, y = a cosh(x/ a) enklemi ile verilen ve zincir eğrisi olarak alanırılan eğrinin şeklini alığ ı kanıt l anabilir. (Bu eğrinin İngilizce aı catenary ir ve catena Latince'e "zincir" anlamına gelir.) y = a cosh(x/ a) fonksiyonlar ailesinin birkaç üyesinin grafiğini çiziniz. a eği ş tikçe grafik nasıl eğişir?

65 252 ÜNITE 3 TÜREV KURALLARI ffi 3. sinh ve tanh fonksiyonlannın grafiklerini çiziniz. Grafikleren sinh, cosh ve tanh foksiyanlarınan hangilerinin tek, hangilerinin çift fonksiyon oluklarına karar veriniz. Tanımları kullanarak iialarınızı kanıtlayınız. 4. cosh 2 x - sinh 2 x = 1 özeşliğini kanıtlayınız. ffi 5. x = cosh t, y = sinh t parametrik enklemleri ile verilen eğrinin grafiğini çiziniz. Bu eğriyi tanırnlayabilir misiniz? 6. sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x si nh y özeş li ği ni kanıtlayınız. 7. Soru 4 ve 6 aki özeşlikler iyi bilinen trigonometrik özeşliklere benzerir. Bilinen trigonometrik özeşlikleri kullanarak iğer hiperbolik özeşlikleri bulmaya çalışınız. 8. Hiperbolik fonks iyonların türev formülleri trigonometrik fonksiyonlannınkine benzerir, fakat bazen i şaretler farklıır.. (a) - (sınh x) = cosh x oluğunu kanıtlayınız. (b) y = cosh x ve y = tanh x fonksiyonlannın türev formüllerini bulunuz. 9. (a) si nh fonksiyonunun niçin bire-bir oluğunu açıklayınız. (b) y = sinh- 1 x ters hiperbolik sinüs fonksiyonunun türevi için bir formül bulunuz. [ İpucu: y = sin- 1 x fonksiyonunun türevini n asıl bulmuştuk?] (c) sinh- 1 x = ln(x + Jf+l) o luğunu gösteriniz. () (c) şıkkj nı kullanarak sinh- 1 x fonksiyonunun türevini bulunuz. Yanan ı z ı (b) eki sonuç ile karşılaştırınız. 10. (a) (a) tanh fonksiyonunun niçin bire-bir oluğu nu aç ıklay ınız (b) y = tanh- 1 x ters hiperbolik tanjant fonksiyonunun türevi için bir formül bulunuz. (c) tanh- 1 x =~ ın(~) o luğunu gösteriniz. 1 - () (c) şıkkj nı kullanarak tanh- 1 x fonksiyonunun türevini bulunuz. Cevabınızı (b) eki sonuç ile karş ı laştırınız. 11. y = cosh x eğrisi üzerineki hangi noktaa teğetin eğimi 1 olur? Doğrusal Yaklaştırırnlar ve Diferansiyeller Resources 1 Moule 3 1 Line ar Approximation 1 Start of Line ar Approximation Bölüm 2.9 a, bir teğet oğru sun un, eğmenoktası civarına eğrinin grafiği ne çok yakm olması üşüncesine ayanan oğrusal yaklaştırı rnlaran bahsettik. Şimi türev kurallarını öğreni ğimiz için oğrusal yaklaştırırnlara tekrar öneceğiz ve bir oğrusal yakjaştırırrun eğe rinin fonksiyonun gerçek eğerine ne kaar yakın oluğunu görmek için grafik yöntemlerini kullanacağız. Ayrıca oğrusal yaklaştırırnların fiziğe nası l uygulanığını göreceğiz. ~ Doğrusal Yaklaştırırnlar y = f(x) eğrisi nin (a,f(a)) noktasınaki teğet oğrusunun enklemi y = f(a) + f'(a)(x - a) ir. Böylece Bölüm 2.9 aki gibi f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

66 BÖLÜM 3.8 DOGRUSAL Y AKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER 253 y y=f(x) yaklaştırırnma f fonksiyonunun a noktasınaki oğrusal yaklaştırımı ya a teğet oğrusu yaklaştırımı enir. (a, f(a)) L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) fonksiyonunal fonksiyonununa noktasınaki oğrusallaştırması enir. x, aya yalan oluğuna f(x) = L(x) oğrusal yaklaştınıru gerçek eğere yalanır (bkz. Şekil 1 ). ŞEKiL 1 ÖRNEK 1 f(x) =.J+3 fonksiyonununa = 1 noktasınaki oğrusallaştırmasıru bulunuz ve bunu kullanarak.j3,98 ve J4,05 sayılarının yaklaşık eğerlerini hesaplayıruz. ÇÖZÜM f(x) = (x + 3) 112 fonksiyonunun türevi f'(x) =!(x + 3tı /2 = ı 2 2.J+3 ür. Buraan f(l) = 2 ve f'(ı) = ~ ele eeriz. Bu eğerleri Denklem 2 e yerine koyarsak oğrusallaştırmanın ı 7 L(x) = f(l) + f'(l)(x- 1) = 2 + ;ı (x - 1) = oluğunu görürüz. Buna karşılık gelen (1 ) oğrusal yaklaş tırımı ür. Özel olarak, 7.J+3 = y - 3 ŞEKIL 2 olur. F>i'\0 = I = ı 995 y:j,/0 4 4 ' ve J4,05 = ~ + I,~S = Örnek ı eki oğrusal yaklaştının Şekil 2 e gösterilmiştir. Gerçekten x, ı e yalan iken teğet oğru yaklaşınımının verilen fonksiyona iyi bir yaklaştının oluğunu görebilirsiniz. Elbette bir hesap makinesi J3,98 ve J4,0S in yaklaşık eğerlerini bize verir, fakat oğrusal yaklaştınmlar tüm bir aralık üzerine kullanılabilecek bir yaklaştının verir. Örnek ı e ele ettiğimiz yaklaş tırım, gerçek eğere ne kaar yalanır? Bunan sonraki örnek, grafik aygıtı ya a bilgisayar kullanılarak oğrusal yaklaş tırırnın gerçek eğere belirtilen hata payıyla yalan oluğu bir aralık bulabileceğimizi göstermekteir. ÖRNEK 2.J+3 = 2_ + ~oğru s al yaklaştırııru hangi x eğerleri için, gerçek 4 4 eğere 0,5 kaar yalanır? O, ı Jik hata payı için ne söyleyebilirsiniz? ÇÖZÜM Yaklaştırırnın gerçek eğere 0,5 kaar yalan olması emek, fonksiyonlar farkının mutlak eğerinin 0,5 ten küçük kalması emektir:

67 254 ÜNiTE 3 TÜ REV KURALLARI Buna enk olarak, 7 ~ y'+3-0,5 < < y ,5 4 4 L (x ) yazabiliriz. Bu bize oğrusal yak l aş tırırrun grafiğ injn, y = J+3 eğrisinin 0,5 bi- ŞEKiL 3 - ı -4 f---tl--t ıo rim yukarı ve aşağ ı kayınlma s ı ile ele eilen eğriler aras ına k a lı ğ ını söyler. Şekil 3, y = (7 + x)/4 teğet oğrusun un y = J+3 + 0,5 üst eğrisini P ve Q noktalanna ke s tiğini gösterir. Grafiği oaklayarak ve imleç kullanarak P nin x-koorinatının yak l aş ık -2,66, Q nun x-koor in a tının yaklaş ık 8,66 oluğunu görürüz. Böylece grafikten 7 J+3= yaklaştınrru nın -2,66 < x < 8,6 aralığına, gerçek eğere 0,5 kaar yakı n oluğunu görürüz. Benzer olarak, Şekil 4 ten, - ı,1 < x < 3,9 aralığına, yaklaştınrrun gerçek eğere O, ı kaar yakın oluğunu görürüz. ŞEKiL 4 ~ Fi:ziğe Uygulamalar D oğrusal yaklaş tırırnlar fi zikte s ık s ık kullanılır. Bir enklernin sonucunu analiz eerken bir fizikçi, bazen fonksiyon ile onun oğrusal yaklaşt ınınını yer eğ i ş tirerek fonksiyonu basitleştirme ihti yac ı uyar. Örneğin, bir sarkac ın periyot formülünün ç ı karılı ş ına, fjzjk kitaplarına teğet ivme için at = -g Sİ n e ifaesi ele eilir Ve e çok büyük eğilse sin e nın e ya çok yakı n olması uyarısı ile sin e ile e yer eğ i ş tirilir. [Örneği n, bkz. Eugene Hecht, Physics: Calcu/us (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 1996), s. 457.] f(x) = sin x fonksiyonununa =O aki oğru sa lla ş tırma s ı L(x) = x tir ve böylece O akioğru sa l yaklaştmm sin x = x olarak bulunur (bkz. Problem 15). Sonuç olarak, bir sarkac ın periyot formülünün ç ı karılma s ına sinüs fonksiyonunun teğet oğrus u yak l aşt ırırru kullanılmaktaır. Bir b aşka örnek ise optik teorisi ne, ı ş ık ı ş ınlarının optik eksene göre yatayayakı n açıyla gelmeleri urumuna ortaya ç ıkar. Bu ı ş ınlara paraksiyaz ış ınlar enir. Paraksiyal (veya Gaussiyen) optiklere hem sin e heme cos e ile onların oğ ru sa li aş tırmaları yer eği ş tirir. Diğer bir e yiş l e, e s ıfıra çok yakı n oluğunan, si n e= e ve cos e= ı oğru sa l y aklaştınınları kullanılır. Bu yaklaştırımlarl a ya pılan he sa pların so nuçl arı mercek yapırru na temel teorik araç olarak kullanılmaktaır. [Bkz. Optics, 2. ba s kı, Eugene Hecht (Reaing, MA:Ajson-Wesley,l987), s. l34.] Bölüm 8.9 a oğru sa l yaklaştırı rnl ar fikrinin eğ i ş ik uygulam a larını vereceğiz. ~ Diferansiyeller D oğrusal y aklaştınınların arına yatan üşünceler kimi zaman iferansiyel terimi ve gösterimi ile ifae eilirler. Türevlenebilir bir f fonksiyonu için, y = f(x) ise, iferansiyeli bağımsız bir eği şke nir. Di ğer bir eyişle, e herhangi bir gerçel say ı e ğeri verilebilir. Buraan y iferansiyeli

68 BÖLÜM 3.8 DOGRUSAL Y AKLAŞIMLAR VE DIFERANSIYELLER 255.A. ;.6 O, ise, enklem 3 ün her iki ya n ını ile bölerek!!:!_ = f'(x) ele eeriz. Benzer enklemleri önceen e görmüştük. Ancak şi m i sal yan gerçekten e iferansiyellerin oran ı olarak yorumlanabilir. y Q R y = f'(x) enklemi ile cinsinen tanımlanır. Sonuç olarak y bir bağımlı eğişkenir; y eğişkeni x ve eğerlerine bağlıır. Eğer e özel bir eğer verilir ve x,fnin tamm bölgesinen özel bir sayı olarak alınırsa, y nin sayısal eğeri bulunur. Diferansiyellerin geometrik anlamı Şekil 5 e gös terilmi şt ir. P(x,f(x)) ve Q(x + f::..x,j(x + f::..x))), f nin grafiği üzerineki noktalar ve = f::..x olsun. y eki eğ i ş imin karşılığı f::..y = f(x + f::..x) - f(x) o ŞEKIL S ir. PR teğet oğru s unun eğimi f'(x) türeviir. Dolayı sıyla, S en R ye olan yönlü uzaklık f'(x) = y ir. Sonuç olarak, x eğeri miktarı kaar eği ştiğine, f::..y, y = f(x) eğrisinin artma ya a azalma miktarını, y ise teğet oğru sunun artma ya a azalma miktarını (oğrusallaştırmaaki eğişim) göstermekteir. Şekil 5 en f::..x küçülükçe f::..y = y yaklaşırmnın aha iyi oluğunu söyleyebiliriz. Eğer = x - a yazarsak, x = a + olur ve (1) eki oğru sal yaklaştınınları iferansiyel gösterimi ile yenien yazarsak \ f(a + ) = f(a) + y olur. Örneğin, Örnek ı eki f(x) =.J+3 fonksiyonu için y = f'(x) = 2.J+3 ele eilir. Eğer a = ı ve = f::..x = 0,05 alırsak, Örnek ı e oluğu gibi y = 0 ' 05 = o oı25 2.j1+3. ve J4,0s = f(l,05) = f(l) + y = 2,0125 eğerlerini buluruz. Son örneğimiz, yaklaşık ölçümler sonucu meyana gelen hataları hesaplamaa iferansiyellerin kullanırmnı göstermekteir ÖRNEK 3 Bir kürenin yarıçapı en fazla 0,05 cm lik ölçüm hatası ile 21 cm olarak ölçülmüştür. Yarıçap için bu eğer kullanılırsa kürenin hacim hesabına yapılan maksimum hata ne olur? ÇÖZÜM Kürenin yarıçapına r ersek, hacim V = ~ 7Tr 3 ür. Eğer r nin ölçüm hata sı r = f::..r ile gösterilirse, V nin hacim hesabına buna karşıgelen hata!::.. V ir ve V = 47Tr 2 r iferansiyeli ile yaklaştırılabilir. r = 2ı ve r = 0,05 alınırsa, V = 47T(21) 2 0,05 = 277 olur. Hacim hesabınaki maksimum hata yakla ş ık 277 cm 3 tür. NOT Örnek 3 teki mümkün olabilecek hata olukça büyük gözükınesine rağmen, bu hatanın büyüklüğü, hatanın toplam hacime bölünmesi ile ele eilen göreli hata

69 256 ÜNITE 3 TÜREY KURALLARI ile aha iyi anlaşılır : V V Böylece, hacimeki göreli hata, yançaptaki göreli hatanın yaklaşık 3 katı olur. Örnek 3 te yarıçaptaki göreli hata yaklaşık olarak r/ r = 0,05/ 21 = 0,0024 hacimeki göreli hata ise yak l aş ık 0,007 ir. Hatalar yarıçapta o/o 0,24 ve hacime %0,7 olmak üzere yüzelik hata olarak a ifae eilebilir. ~ Alıştırmalar ı-4 Fonksiyonun a noktasınaki L(x) oğrusallaştınnasını bulunuz. 1. f(x) = x 3, a = ı 3. f(x) = cos x, a = n/ 2 2. f(x) = ln x, a = ı 4. f(x) =.if, a = -8 ffi S. f(x) = ~ fonksiyonunun a = O aki oğrusal yakla şt ınınını buıunuz ve bunu kullanarak.j0,9 ve J0,99 say ılarının yaklaşık eğerlerini he sap l ayınız. f fonksiyonunun ve teğet oğrusunun grafiğini çiziniz. ffi 6. g(x) = ~ fonksiyonunun a = O aki oğrusal yaklaştınınını bulunuz ve bunu kullanarak {10,95 ve ~ say ılarının yak l aş ık eğerlerini h esap l ayınız. g(x) fonksiyonunun ve teğet oğrusunun grafiğ ini çiziniz. ffi 7-ıo Verilen a =O aki oğrusal yak l aştmmı kontrol einiz. Doğru sa l yaklaş tırınun 0,1 en aha az hata payı ile oğru olabilmesi için x in alabileceği eğerleri belirleyiniz. 7. ~ = 1 + ~ 8. tan = 9. 1/ ( = l - 8x ıo. ex = 1 + x ıı-ı3 Aşağıaki yaklaştırırnların niçin uygun oluğunu aç ıklayınız. ı 1. see 0,08 = 1 ı3. In 1,05 = 0,05 ı4. f(x) = (x - 1) 2 g(x) = e - ıx ve h(x) = 1 + In(l - 2x) olsun. ı2. (ı, oı) 6 = 1,06 (a) f, g ve h nin a = O aki oğrusallaştırmalannı bulunuz. Neyi farkettiniz? Olanlan n ası l açıklarsınız? (b) f, g, h nin oğru sa l yaklaştırıınlan nın grafiklerini çiziniz. Doğrusal yaklaştının hangi fonksiyon için en iyi, hangi fonksiyon için en kötüür? Açıklayınız. ı S. Physics: Calculus, Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, ı996) a lı kitabın 457 inci sayfas ın a, L uzunluğunaki bir sarkacın periyou için T = 27r.JL7ğ formülünün çıkanlış ına, yazar, sar kacın salınınunın teğetsel ivmesi için at = -gsin (} enklemini ele eer. Sonra, "küçük aç ılar için (} mn rayan cinsinen eğeri, sin (} nın eğerine çok yakınır; araaki fark, 20 ye kaar %2 en azır" er. (a) Sinüs fonksiyonunun O aki oğrusal yaklaştırınunın sin x = x oluğunu o ğr ulayınız. ffi (b) Bir grafik aygı tı kullanarak x ve sin x in farkının %2 en aha az o lma s ı için x in alabileceği e ğe rleri bulunuz. Rayan eğerlerini ereceye çevirerek Hecht' in ifaesini o ğru layınız. ı6. fbir fonksiyon, f(l) = 2 vefnin türevi f'(x) = y"3+1 olsun. [f(x) için size bir fonnül verilmei. Onu tahmin etmeye çalı şmayınız - başaramazsınız.] (a) Doğrusal yaklaştının kullanarakf(l, I) eğerini yaklaşık olarak hesaplayınız. (b)f(l, 1) eğerinin sizin buluğunuz yaklaşık eğeren aha büyük mü yoksa aha küçük mü o lu ğunu üşünüyorsunuz? Niçin? ı7. y = ex/ JO olsun. (a) y iferansiyelini bulunuz. (b) Eğer x = O ve = 0,1 ise y ve tiy yi he sap l ay ınız. ı8. y = J olsun. (a) y iferansiyelini bulunuz. (b) Eğer x = 1 ve = tix = 1 ise y ve tiy yi hesaplayıruz. (c) Şekil 5 teki gibi,, y, ve tiy u z unluğunaki oğru parçalarını gösteren bir iyagram çiziniz. ı9. Bir kübün bir kenan, olabilecek 0,1 cm lik bir ölçüm hatası ile 30 cm olarak ölçülmüştür. Diferansiyelleri kullanarak (a) kübün haci minin (b) kübün yüzey alanının hesaplanmasına mümkün olabilecek maksimum hatayı, göreli h atayı ve yüzelik hatay ı yaklaşık olarak he sa playınız. 20. Bir airesel iskin yança pı, en fazla 0,2 cm lik ölçüm hatası ile, 24 cm olarak veriliyor. (a) Diferansiyelleri kullanarak airenin alan he sa bına olabilecek maksimum hatayı yak l aşık olarak bulunuz. (b) Göreli hata ne kaarır? Yüzelik hata neir?

70 LABORATUVAR PROJESi TAYLOR POLINOMLARI Diferansiyelleri kullanarak 50 m çapınaki yarıküre şeklineki bir kubbeye 0,05 cm kalınlıkta bir kat boya yapmak için gerekli olan boya miktarını yaklaşık olarak bulunuz. 22. Kan bir amar boyunca aktığına, Fakısı (verilen bir noktaan geçerek akan kanın birim zamanaki hacmi) kan amarının yarıçapı R nin örüncü kuvveti ile oğru orantılıır: (Bu Poiseuille Yasası olarak bilinir. Bölüm 6.6 a bunun niçin oğru oluğunu göstereceğiz.) Kısmen tıkalı bir arnar anjiyoplasti aı verilen bir operasyon ile açılabilir. Bu yöntemle balon şeklineki bir sona amarı genişletınek için amarın içine şişirilir ve yenien normal kan akışı sağlanır. F eki göreli eğişikliğin R eki göreli eğişikliğin yaklaşık ört katı oluğunu gösteriniz. Yarıçaptaki %5 lik artış kan akışını nasıl etkileyecektir? Lahoı atuvar.., Projesi , ~ Taylor Polinomları L(x) teğet oğru yaklaştırırnı, x = a yakınına f(x) eğerine en iyi birinci erece (oğrusal) yaklaştırımır. Çünkü f(x) ve L(x), aa aynı eğişim hızına (türeve) sahiptir. Doğrusal yaklaştırırnan aha iyi bir yaklaştının için ikinci erece (kuaratik) P(x) yaklaştınınını eneyelim. Diğer bir ifaeyle, bir eğriyi oğru yerine parabol ile yaklaştıralım. Yaklaştırırnın iyi oluğunan emin olmak için aşağıaki koşulları koyalım: (i) P(a) = f(a) (ii) P'(a) = f'(a) (iii) P"(a) = f"(a) (P ve f, a a aynı eğeri almalıır.) (P ve f, a a aynı eğişim hızına sahip olmalıır.) ( P ve f nin eğimleri aynı hıza eğişmeliir.) L f(x) = cos x fonksiyonunun a = O noktasına (i), (ii) ve (iii) koşullarını sağlayan, P(x) = A + Bx + Cx 2 ikinci erece yaklaştınınını bulunuz. P, f ve L(x) = 1 oğrusal yaklaştırırnının grafıklerini aynı koorinat üzlemi üzerine çiziniz. P ve L fonksiyonlarınm/ye yakınlıklarını yorumlayınız. 2. Problem 1 e f(x) = P(x) ikinci erece yaklaştırırnınaki hatanın 0,1 en küçük olması için x in alabileceği eğerleri bulunuz. [İpucu: y = P(x), y = cos x- 0,1 ve y = cos x + 0,1 fonksiyonlarının grafiklerini aynı eksenler üzerine çiziniz.] 3. Bir f fonksiyonunu, a sayısının yakınına ikinci erece P (x) polinomu ile yaklaştırmarun en iyi yolu, P yi aşağıaki biçime yazmaktır. P(x) = A + B(x - a) + C(x - a) 2 (i), (ii) ve (iii) şartlarını sağlayan ikinci erece polinomun P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ~ f"(a)( - a) 2 oluğunu gösteriniz. 4. f(x) = J+3 fonksiyonunun a = 1 yakınına ikinci erece yaklaştırırnını bulunuz. f nin, ikinci erece yaklaştırırnın ve Bölüm 3.8, Örnek 2 e ele eilen oğrusal yaklaştırımm gnl.fiklerini aynı koorinat üzlerni üzerine çiziniz. Hangi sonuca varımz? S. x = a yakınına f(x) fonksiyonuna ikinci erece ya a oğrusal yaklaştının yerine aha yüksek ereceli polinomlarla aha iyi yaklaştırırnlar bulmaya çalışalım. T, in ve ilk n türevinin x = a aki eğerleri,fnin ve ilk n türevinin eğerleri ile aynı olacak şekile bir T,(x) = co + c, (x - a) + c ı (x - a) 2 + c3(x - a) c,(x - a)" polinomu arıyoruz. Bu koşulların c0 = f(a), c, = f'(a), c ı = ~f"(a) ve genel olarak, Jfkl(a) Ck =_k_!_ oluğuna sağlanığını, arka arkaya türev alıp x = a yerleştirerek gösteriniz.