BÖLÜM 4 4. AÇI METODU

Transkript

1 Açı etodu Bölüm. AÇ ETODU BÖÜ Hperstat sstemlern çözümü sstem hperstat yapan blnmeyenlern uvvet ve şel değştrme olmasına göre değşr. Ço açılılı br mütemad rş hperstat yapan mesnet tep uvvetler en atlı br çerçevey hperstat yapan hem mesnet tep uvvetler hem de düğüm uvvetler ve düğüm şel değştrmeler olablmetedr. Bu durum. bölümde apsamlı olara ele alınmıştır. Şelde verlen hperstat br mütemad rş çözümü yapılaca olursa. P P P ϕ A A B ϕ B A = 0 Asağ Asol = 0 Yazılablr B = 0 Bsağ Bsol = 0 omentler açı değerlernden bulunur Blnmeyenler şel değştrmeler olan AÇARDR. P A y B y δ A δ B a A y B y δ A δ B a A ve B tepler δ ve δ oluşturur b P ets δ ve δ oluşturur A B Blnmeyenler KUVVETERDİR. esnette (A,B) δ = 0 A y y A ve B bulunur B b Bu sstem eğer düğüm notalarında momentler bulunara çözülme stenrse bu momentler oluşturan şel değştrmeler olan açı değerler bulundutan sonra moment değerler bulunur. Bu yönteme şel değştrmeler yöntem (AÇ) denr. Bundan önce bölümlerde de anlatıldığı gb br notada dönüş şel değştrmes arandığı zaman brm moment değer uygulanmıştı. Dğer durumda se sstem hperstat yapan mesnet tep uvvetler bulunara sstemn est tesrler elde edlyorsa bu çözüm yöntemne de KUVVET yöntem denr. Kuvvet yöntem 6. bölümde açılanmatadır. Bu yöntemlern brbrne göre ve sstemden ssteme değşen olaylıları bulunmatadır... AÇ ETODU GENE BAĞNTAR Açı metodu, blnmeyenler açı olara alınan ve est tesrler bu değerlere göre hesaplanan br metottur. etodun esası, sstemde düğümlern rjt abul edlmesnden dolayı br düğüme brleşen çubuların aralarında şel değştrmeden önce açı değerler, şel değştrdten sonrada aynı almasıdır. Yan rş, olon ve çerçevelern düğümlernn şel değştrren br bütün olara döndülernden dolayı aralarında açıların değşmedğ abul edlr. Bu durum düğüme brleşen çubuların moment toplamlarının da sıfır olmasını berabernde getrr. Yan her düğümde moment toplamı sıfır olmalıdır. Çünü blnmeyen olara abul edlen açılar düğümlerde momentlern sıfır olması şartından yararlanılara bulunmatadır. NOT: AÇ ETODU (Esenel uvvet şel değştrmeler hmal) 8

2 Bölüm Açı etodu. ucu moment taşıyan çubuğu çn bağıntıların elde edlş N V ϕ P ψ P ψ ϕ δ δ N V δ =ψ δ =ψ N ϕ ψ V ψ P P ϕ N V Klas metot Açı metodunda Klas metot - Açı metodunda - İşaret abulu saat dönüş yönü olara alınmıştır. Bu şaret değşm açı metodunda date alınmalıdır. Uç deplasmanları. ϕ ve ϕ çubu uç teğet dönüş açıları. ψ esen dönüş açısı. δ görel deplasman (ψ. ) (rölatf uç deplasman; çubuğun br ucunun dğer ucuna göre yer değştrmes; - arası değl; - arası, Deprem yönetmelğnde görel deplasman olara belrtlmete ) Çubu Uç uvvetler. ve çubu uç momentler. V ve V çubu uç esme uvvetler... Çubu uç uvvetler le uç deplasmanları arasında bağıntılar δ =0 δ =0 ϕ =0 ϕ =0 Hç şel değştrmes olmayan eleman ϕ _ ve gb blnmeyen olduğundan çözümü çn denleme htyaç vardır. Bunlar;. ϕ = 0 ( ucu anastre). ϕ = ϕ ( ucunda blnen dönüş açısı) Uç momentler ve olsun.. denlem (ϕ = 0) yazılaca olur se ısaltma teorem ve vrtüel ş teorem ullanılara ucunda brm dönüş açısı stenlen eyf br zostat ssteme uygulanır. Burada bast rşe uygulanmıştır. 9

3 Açı etodu Bölüm - - x -..[ ] 6E φ = = 0 = _ - x -.. φ = = 0 = 6E E Yuarıda yapılan çözüm sonucunda, bağıntısı bulunur. =.. ucunda dönüş açısı yazılaca olur se (ϕ = ϕ ( ucunda blnen dönüş açısı) ) ısaltma teorem ullanılara ucunda brm dönüş açısı stenlen eyf br zostat ssteme uygulanır. Burada bast rşe uygulanmıştır. - - x -..[ ]..[ / ] E φ = = 0 = φ 6E 6E _ x - φ =.. =.. / 0 = E φ - E 6E E 6E.. bağıntısında bulunan = yerne yazılır se E ya bağlı çubu uç momentler, ucu dönerse E E = ϕ = ϕ ucu dönerse E E = ϕ = ϕ.. olara elde edlr.... δ le uç deplasmanları arasında lş -ψ ψ = δ/ ψ δ = E ψ = E ψ = E ψ -ψ = E ψ Buradan, ψ= δ se = E E ψ= 6E δ = E E ψ= 6E δ olara elde edlr. Dönüş açısından [ϕ] oluşan oment ve Kesme ϕ Deplasmandan [δ] oluşan moment ve esme δ E = ϕ 'den oluşan esme uvvetler E E ϕ 6E V = V = = ϕ _ E = ϕ 6E = δ _ 6E = δ δ' dan oluşan esme uvvetler 6E 6E δ δ E V = V = = δ 0

4 Bölüm Açı etodu Sonuç olara çubularında bulunan değerler; E E 6E E E 6E = ϕ ϕ δ = ϕ ϕ δ... 6E 6E E 6E 6E E V = V ϕ ϕ δ V = V ϕ ϕ δ... Yuarıda denlemlerde anastrel momentler ve V ve V anastrel esme E uvvetler olma üzere = ısaltması yapılaca olur se çubu uç momentler ve esme uvvetler aşağıda bağıntılar le hesaplanır. δ δ = ( ϕ ϕ ) = ( ϕ ϕ ) V = V ϕ ϕ δ V = V ϕ ϕ δ... Sadece br ucu moment taşıyan çubuğu çn bağıntıları Çubu uç uvvetler le uç deplasmanları arasında bağıntılar ϕ =0 V blnmyor N blnmyor =0 V blnmyor N blnmyor Dğerler =0 V blnmyor N blnmyor =0 V blnmyor N blnmyor blnmyor V blnmyor N blnmyor blnmyor V blnmyor N blnmyor Eğer ucu rjt çubu abul edlmş olsaydı, uçlarda oluşan moment aşağıda şelde gb olacağı daha önce açılanmıştı. Burada ucunda momentn sıfır olması çn bu notaya ters yönde ve eşt şddette br moment uygulanara toplamının sıfır olduğu görülür. ucuna, ucuna ters yönde uygulanan momentn yarısı aynı şaretle gönderlr. ucu anastre çubu abul edelm ucunda moment sıfırlama çn lave edlenn yarısı edyoruz E = ϕ edyoruz E E E = ϕ ϕ = ϕ ' dan gelen E = ϕ ϕ KESE E V = ϕ = V E = ϕ E E = ϕ ϕ = 0 ucunda moment sıfırlama çn lave edyoruz. Çünü baştan blyoruz sabt mesnette =0 sıfırlamaçn

5 Açı etodu Bölüm δ le uç deplasmanları arasında lş: Verlen çubu ucu rjt çubu abul edlere uçlarda oluşan moment aşağıda gb olacatır. Burada ucunda momentn sıfır olması çn bu notaya ters yönde ve eşt şddette br moment uygulanara toplamının sıfır olduğu görülür. ucuna, ucuna ters yönde uygulanan momentn yarısı aynı şaretle gönderlr. ucunda moment sıfırlama çn lave edlenn yarısını lave edyoruz = 6E 6E E δ δ = δ E = δ Sonuç olara çubularında bulunan değerler; _ E δ E V = V = = δ δ 6E 6E = δ δ = 0 ucunda moment sıfırlama çn lave edyoruz. Çünü baştan blyoruz sabt mesnette =0 E E = ϕ δ 0 =...5 V E E = V ϕ δ V V = E E ϕ δ...6 Yuarıda denlemlerde anastrel momentler ve V ve V anastrel esme E uvveler olma üzere = ısaltması yapılaca olur se çubu uç momentler ve esme uvvetler aşağıda bağıntılar le hesaplanır. ' δ = ( ϕ ) V = V ϕ δ Şel değştrme ucu eğlmel [] br çubuta sonuç uç momentler Br ucu eğlmel [ ] br çubuta sonuç uç momentler ucu P q ucu ucu ucu P q oment V V V V ucu dönüşü E ϕ 6E E ϕ ϕ ϕ 6E ϕ E ϕ E ϕ 0 ϕ E ϕ ucu dönüşü ucu deplasma nı E ϕ 6E ϕ E ϕ 6E 6E E δ δ δ δ ϕ 6E ϕ 0 0 E δ E δ E δ δ 0 ϕ 0 0 E δ ucu anastrel moment TOPA [ çubuğu] P q V V V 0 0 E E 6E E E = ϕ ϕ δ = ϕ δ E E 6E = ϕ ϕ δ = 0 6E 6E E E E V = V ϕ ϕ δ V V = ϕ δ 6E 6E E E E V = V ϕ ϕ δ V V = ϕ δ P q TOPA [ çubuğu]

6 Bölüm Açı etodu Yuarıda bulunan çubu uç şel değştrmelernden oluşan est tesrlernn matrs formatında düzenleyere ucu arasında açının sıfır olduğu yan yere paralel przmat br elemanın rjtl matrs aşağıda şelde yazma mümündür. P q P q E 6E - E 6E - ϕ E E ϕ 6E V - = V E 6E - E 6E - E 6E - E 6E - E 6E - E X δ ϕ δ E V Q 0 = V Q E 6E - 6E - E 6E - E 6E - E 6E - E X δ ϕ δ V V.. DÜĞÜ NOKTAAR SABİT [δ=0] SİSTEERDE AÇ ETODU Düğüm notaları sabt sstem, ve uçlarında yatay hareetler önlenmş sstem olara tanımlanablr. Bu yatay hareetn önlenmes mesnet şartı ve smetr le (smetr sstem smetr yüleme) sağlanır. A ϕ A ϕ B ϕ B B D ϕ B ϕ C ϕ C E C ϕ C B ϕ B P ϕ C ϕ=0 Sstem smetr yüleme smetr olmasından dolayı (ϕ =ϕ )sstem düğüm notaları sabt sstemdr. D E E=sabt C ϕ B ϕ B A B C ϕ C ϕ C P

7 Açı etodu Bölüm Düğüm notaları sabt [δ=0] sstemler denlemlernn elde edlş ϕ 0 ve dğer ϕ= 0 olsun düğümünde Σ = 0 yazılır se, DÜĞÜ OENT DENGESİ ' ' [ ] ϕ [ ] ϕ [ ] ϕ = 0 ucu dönüşünde etl çubular Komşu uç dönüşler Anastrel momentler Çözümde zlenen yol: Düğüm çubu uç momentler ' = [ϕ ϕ ] sıfır = [ ϕ ϕ ] ucu ucu = [ ϕ ϕ ]] ucu ucu ' = [ϕ ϕ ] sıfır. Her çubuğun atalet [] moment bulunur ve bu değer ullanılara.. = E.. E = değer bulunur.. Her br düğüm çn yuarıda açılandığı gb moment denges [ Σ = 0] denlem yazılır.. Sstemn her düğümü çn yazılan Σ=0 dan oluşan denlem sstem urulur [smetr]. Kurulan bu denlem sstemnn sabtler olan anastrel momentler şaretlerne göre denlem sstemnde yerne yazılır.. Denlem sstem blnen br yöntemle çözülere blnmeyen dönüş açıları [ϕ] hesaplanır. 5. Bulunan dönüş açıları [ϕ] ullanılara 5.. çubularında = ( ϕ ϕ ) anastrel 5.. çubularında = '( ϕ ) anastrel le çubu uç momentler hesaplanır. 6. Çubu uç momentler hesaplandıtan sonra elemanlar zostat parçalara ayrılara est tesrler esme, moment ve normal uvvet dyagramları çzlr.

8 Bölüm Açı etodu Çıma solda [-] Çıma sağda [Gerber] [-] Hperstat sstemlern çözümünde onsolun ve taşınan ısmın düğüm notasına moment ets P =Pbqb / P P b b b P b q q c c G G e Gy=Pb/c Gy=Pb/c q a P =-[Pbqb /]/ a =Pbe/c =Pbe/c Çıma sağda [] Çıma sağda [Gerber] [] a a = Pb /= Pa/ a q /=qa / a a a q q a q G G y=qa/ a G q G a a = -[Paqa /] P =Pa a a G y=qa/ =qa /qa /qa /6 Çerçeve sstem q b G c a P qc b [ c ] b=c se - qb q = Pa/ = Pa P P Py a = Pa/ = Pa a a.. ANKASTREİK OENTERİNİN BUUNAS [ ] İ ucu anastre rşler [] Br ucu anastre dğer ucu mafsallı rşler[ ] P q P q Verlen sstem zostat hale getrme çn mesnetlerde momentler blnmeyen olara ssteme yülenr. Bu durumda sstem verlen dış yülerden ve mesnet momentlernden oluşan ayrı yüleme şelnde alınır. Dış yülerden dolayı olan ısım bast rş olara moment alanı çzlr ve bu alan eğlme rjtlğne bölünere yü olara eşdeğer sstem olan aynı ssteme yülenr. Aynı ssteme mesnet momentlerde yülenere aynı şlemler yapılır. Önce bölümlerde açılandığı üzere ohr yöntemnde br notada dönüş açısını elde etme çn eşdeğer ssteme yü olara yülenen moment alanlarının esme uvvetler bulunur. Bu şlemler aşağıda hem yayılı yü hem de tel yü ve dğer ucu mafsallı sstemler çn ayrı ayrı yapılmıştır. 5

9 Açı etodu Bölüm ÖRNEK.: Şelde verlen sstemde anastrel moment değernn bulunması E.6 m m Çözüm: Aşağıda şelde zostat esas sstem seçlere çözüm yapılır. E.6 m m b İzostat esas sstem Verlen dış momentn zostat sstemde moment alanı esnet şartı gereğ notasında dönüş açısının sıfır olması gerer. Bunun çn ohr yöntemnde dönüş açısını veren esme uvvetlernn toplamının sıfır olması şartından, anastrel moment aşağıda şelde hesaplanır. a a E b b a b a E ab a b E 6 E 6 Verlen dış momentn zostat sstemde moment alanın yü olara yülenmes (/E) sonucu oluşan mesnet tep uvvetler E 6E esnet momentn zostat sstemde moment alanın yü olara yülenmes (/E) sonucu oluşan mesnet tep uvvetler b a b a a a b b ϕ = 0 = 0 = b = E 6 E Bu anastrel moment değer bulunur. = = E.6 m m /5.6 E m.6 m /5.6 0./ E m.6 m 0./5.6 TOPA (0.)/5.6 E.6 m m (0.)/ OENT AAN

10 Bölüm Açı etodu q ANKASTREİK OENTERİ q Yayılı Yü Dış Yülerden esnet momentnden Dış Yülerden esnet momentnden Bast Krş q q q /8 q /8 ohr Yöntem q E q 8E q q E E q= /E - E q E q 8E q q E - E q= /E 6E Anastr el oment Tel Yü q q ϕ = 0 = 0 = = E E P / / q q ϕ = 0 = 0 = E E 8 P / / Bast Krş P P / P P / ohr Yöntem P 6E P E P 6E E q= /E - E P 6E P E P 6E - E q= /E 6E Anas trel ome nt P ϕ = 0 = 0 = = 6E E P 8 P P φ = 0 = 0 = 6E E 6 P P Tel Yü Bast Krş P Pab a b P Pab a b ohr Yöntem Pab( b) Pab (E)6 Pab( a) E (E)6 E q= /E - E Pab( b) Pab (E)6 Pab( a) E (E)6 E q= /E 6E Anastrel oment Pab( b) Pab ϕ = 0 = 0 = (E)6 E 6E Pab( a) Pba ϕ = 0 = 0 = (E)6 6E E Pab( b) ϕ = 0 = 0 (E)6 E Pab( b) = Br sstemn açı yöntem moment denges yazılara çözüleblmes çn sstemn en az veya çubuğu veya br ve br çubuğundan oluşması gerer. Yan br sstemn Açı yöntem çözümü çn moment denges yazılaca notanın (düğümün) sağında ve solunda en az br veya çubuğunun bulunması gerer. Bu nedenle aşağıda bahsedlen te çubulu hperstat sstemlern çubu uç momentler anastrel momentlerne eşt olur. Bu anastrel momentler ullanılara çubuğun dğer notalarında esme, moment ve esenel uvvetler elde edlr. 7

11 Açı etodu Bölüm Yü Yüleme şel / / / / / / a b ANKASTREİK OENTERİ q q 9 q qa a 8 a qa q q 9 q [ a] q 8 q 8 q 6 qa a 8 Tüm yü değerler q / / c/ c/ / / / / / / a b q 9 qc ( c ) 5q 9 qc ( c ) q 0 q 960 q 05 qa ( a) q 0 7q 960 q 5 qb ( b) 9q 8 qc ( c ) 6 q 5 5q 90 8q qa ( a) 8 / / a a 5q 96 q a a 5q 96 q a a 5q 6 q a 8 a o q 5 q 5 q 0 Tüm yü değerler P q / / a a a a a / / / N a b / / N b q δ q q [ ] [ ] [ 8q 7q ] 60 b(a b) P 8 Pab P [n ] n P 8 N Nb(a b) q q 60 a(b a) 6Eδ P 8 Pa b P [n ] n P 8 N Na(b a) 6Eδ 8 0 b P 6 Pab ( b) P [n ] 8 n 9P Eδ N 8 N b d ϕ t Eα t d E Eα t d E Eα t d E 8

12 Bölüm Açı etodu Yüleme şel Sstem.6 m m 80 Nm b(a b) a(b a) Anastrel moment = = 6.5 = =.67 oment..67 b =.69 = Kesme SAAT TERSİ YÖNÜ (-) 80 Nm.6 m m b(a b) a(b a) b Anastrel moment = = 6.5 = =.67 =.69 = oment Kesme SAAT YÖNÜ () Anastrel moment = = = 0 = = 0 8 oment 80 Nm m m Kesme 0,5 80 Nm m m Anastrel moment = = = 0 = = 0 8 oment Kesme

13 Açı etodu Bölüm Te elemanlı bazı hperstat sstemlern moment alanı aşağıda verlmştr. q q 8 o =s q q 0 o = q 9 q 5 q q q 8 q q q q 8 9q 8 q 8 5q 8 q 0 q 5 q 5 o q 0 q 0 7q 0 q 0 ÖRNEK.: Şelde verlen mütemad rşn moment alanının çzlmes. Nm A.0E.6 m m Çözüm: Te açılılı sstemlern AÇ yöntemyle çözümü ANKASTREİK OENTİNİN bulunmasıdır. Çünü düğüm notası bulunmadığı çn açı metodunun temel olan düğüm moment denges yazılamamatadır. Bu sstemlerde anastrel momentnn bulunmasından sonra sstem zostat hale gelr ve çözüm tamamlanmış olur. Anastrel AB =.5Nm = esnet tep uvvetler A y = By = = 0.95N Nm Kontrol: Sonuç moment alanı le herhang br zostat brm moment alanları çarpımı sıfır olur. ÖRNEK.: Verlen te açılılı hperstat rşm moment alanın açı metodu le elde edlmes A 0 Nm B 6 m m Çözüm: Sstem te çubulu olduğu çn uç momentler anastrel momentlerne eşt olur. Anca bu sstemde anastrel moment sıfırdır. Anca çımada dolayı sabt mesnette oluşan momentn yarısı arşı mesnete geçeceğnde A mesnetnde 0/=5 Nm l moment olur. A 6 m 0 Nm B A 0/=5 Nm 6 m B 0 Nm

14 Bölüm Açı etodu.. DÜĞÜ NOKTAAR SABİT SİSTEERE AİT ÖRNEKER [δ=0] ÖRNEK.: Şelde yülemes verlen rşn () moment alanını çznz. Norta q=0 N/m A B m 6 m Çözüm: Verlen sstemde,. Tüm rşlern rjtller (, ) hesaplanır. C P = = 9Nm 8 8 Norta A =x/= m B q 0 6 = = 5Nm 8 8 q=0 N/m =.5x/6= m C. Dış yülerden oluşan Anastrel omentler hesaplanır.. Her düğüm çn moment değes yazılır. AB = P q 0 6 = = = 9 Nm BC = = = 5 Nm AB B DÜĞÜ OENT DENGESİ ' ' [ AB BC] ϕ B 0 BA BC = 0 B ucu dönüşü A ve C uçları Anastrel momentler. Her düğüm çn dönüş açıları hesaplanır. B mesnednde düğüm denge yazılırsa, (0.75) ϕ B 9-5= 0 ϕ B =6.55 [Gerçe ϕ B =6.55/E] 5. Bulunan düğüm dönüş açıları ve anastrel momentler ullanılara çubu uç momentler hesaplanır. Düğüm çubu uç momentler AB = BA [ ϕ A ϕ B ] BA = [0 6.55] 9 =.0 Nm} 0 (anastre mesnet gereğ) = ϕ ϕ = = BA BA [ B A ] BA [ ] Nm HER DÜĞÜDE = 0 ' HER ZAAN BC = BC[ ϕ B ϕc ] BC = 0. 75[ ] 5 = 5.0 Nm CB = 0 (mesnet gereğ) 6. Bulunan çubu uç momentler ve dış yüler her açılı bast rş abul edlere bu bast rşlere yülenere est tesrler çzlr. Ve sonunda bu bast rş est tesrler brleştrlere sstemn est tesr elde edlr. ESNET TEPKİ KUVVETERİNİN HESAB A y=/-(5.-.)/=.6 N B y=6x0/5./6=5.87 N B y=/(5.-.)/=.7n C y=6x0/-5./6=. N A.0 Norta 5. B m 5. B q=0 N/m 6 m C A Norta B m q=0 N/m 6 m C mas. V 5.87 açılı = mesnet = 5.mesnet = 9. Nm q KESE OENT 5

15 Açı etodu Bölüm ÖRNEK.: Şelde rşn B mesnet 0 mm çömes le oluşan () moment alanını çznz. A 6E = = 78Nm Eδ = = 59Nm 6 B C m 6 m =Exx/=E =Ex.5x/6=0.75E A m B 6 m C Çözüm: Verlen sstemde, 6E esnet çömesnden oluşan Anastrel omentler hesaplanır. 0.0 = = 78Nm E δ = = 59Nm 6 8. Her düğüm çn dönüş açıları hesaplanır. B mesnednde düğüm denge yazılırsa, (0.75)E ϕ B 78-59= 0 ϕ B = Bulunan düğüm dönüş açıları ve anastrel momentler ullanılara çubu uç momentler hesaplanır. Düğüm çubu uç momentler } BA = BA [ ϕ B ϕ A ] BA = E[ ( ) 0] 78 = 77.8 Nm HER DÜĞÜDE 0 ' = HER ZAAN BC = BC[ ϕ B ϕc ] BC = 0.75E [ ( ) 0] 59 = 79.8Nm C B = 0 (mesnet gereğ) AB = BA [ ϕ A ϕ B ] BA = E[ ] 78 =.9 Nm 0 (anastre mesnet gereğ) 0. Bulunan çubu uç momentler ve dış yüler her açılı bast rş abul edlere bu bast rşlere yülenere est tesrler çzlr. Ve sonunda bu bast rş est tesrler brleştrlere sstemn est tesr elde edlr. ESNET TEPKİ KUVVETERİNİN HESAB A y=/-(5.-.)/=.6 N B y=6x0/5./6=5.87 N B y=/(5.-.)/=.7n C y=6x0/-5./6=. N A.0 Norta m 5. B 5. B q=0 N/m 6 m C A Norta B m q=0 N/m 6 m C mas. V 5.87 açılı = mesnet = 5.mesnet = 9. Nm q KESE OENT ÖRNEK.: Şelde yülemes verlen rşn () moment alanını çznz. 6 Norta q=0 N/m A B m 6 m Çözüm: Verlen sstemde,. Tüm rşlern rjtller (, ) hesaplanır. C A P 6 = = 9Nm Norta =.5x/=.5 m B q 0 6 = = 5Nm 8 8 q=0 N/m =.5x/6= m C 5

16 Bölüm Açı etodu. Dış yülerden oluşan anastrel omentler hesaplanır.. Her düğüm çn moment değes yazılır.. Her düğüm çn dönüş açıları hesaplanır. B DÜĞÜ OENT DENGESİ ' ' [ AB BC] ϕ B 0 BA BC = 0 ucu dönüşü A ve C uçları Anastrel momentler B mesnednde düğüm denge yazılırsa, ( ) ϕ B 9-5= 0 ϕ B =8.00 [Gerçe ϕ B =8/E] Düğüm çubu uç momentler AB = 0 CB = 0 (mesnet gereğ) ' BA BA B A BA = [ ϕ ϕ ] =.5[ 8 0] 9 = Nm sıfır HER DÜĞÜDE 0 ' = HER ZAAN BC = BC[ ϕ B ϕ C ] BC = 0. 75[ 8 0] 5 = Nm sıfır A y=6/-/=- N B y=6//=9 N A 6 6 Norta m B 9 C y=6x0/-/6=.5 N B y=6x0//6=5.5 N q=0 N/m B 6 m C.5 A 6 6 Norta B m q=0 N/m 6 m C.5 KESE OENT mas. V 5.5 = mesnet = q 0 = 0.0 Nm açılı mesnet ÖRNEK.: Şelde verlen mütemad rşn moment alanının çzlmes. 0 N/m m m m m m 60 Nm 80 Nm 0 N/m =0.80 =0.75 m m m m 60 Nm m 80 Nm b a 0 = = =.80 Nm 5 5 omentler saat yönünde a b 0 olduğu çn = = =.80 Nm 5 5 anastrel momentler [ ] alınmıştır 60 = = = 7.5 Nm 8 8 düğümünde denge, ( ) ϕ.87.5[80/]=0 ϕ =-6.87 Çubu uç momentler = 0.80 ( x0-6.87).80= Nm = 0.80 ( x(-6.87)).80= -.9 Nm = 0.75 (x(-6.87)) 7.50 =.9 Nm = -80 Nm a b a b b = / / = 8 5

17 Açı etodu Bölüm N/m.9.. y=( )/5=. N y=( )/5=-. N.9 60 Nm 80 Nm y=(8060.9)/=-0.55 N y=(8060.9)/=0.55 N 0 N/m 60 Nm m m m m m 80 Nm ÖRNEK.: Şelde verlen mütemad rşn moment alanının çzlmes. 0 N/m m m m m m 60 Nm 80 Nm 0 N/m b a 0 = = =.80 Nm 5 5 omentler saatn TERSİ yönünde a b 0 olduğu çn = = =.80 Nm 5 5 anastrel momentler [ ] alınmıştı r 60 = = = 7.5 Nm 8 8 düğümünde denge, ( ) ϕ [80/]=0 ϕ =-8.9 Çubu uç momentler = 0.80 ( x0-8.9) -.80= Nm =0.80 =0.75 m m m =0.8(x(-8.9))-.8=-9.Nm =0.75(x(-8.9))-7.50=9.09 Nm =-80 Nm m 60 Nm m a a 80 Nm b b b = / / = N/m Nm 80 Nm y=( )/5=-5.8 N y=( )/5=5.8 N y=( )/=-9.78 N y=( )/=9.78 N 0 N/m 60 Nm m m m m m 80 Nm

18 Bölüm Açı etodu ÖRNEK.: Şelde verlen mütemad rşn moment alanının çzlmes. N/m m m Nm m Çözüm: Sstemn ve anastrel momentler bulunur ve ara mesnet sayısı adar düğüm denges yazılır. 6 Nm N/m Anastrel momentler =0.60 =0.75 x 5 = = 9.75Nm 8 düğümünde denge, ( ) ϕ [-6/][/]9.75= 0 ϕ =-.9 Çubu uç momentler = 0.60 ( x (-.9)) =.87 Nm = 0.75 ( x (-.9)).5 = -.87 Nm = - Nm Nm = -6 Nm N/m m m Nm m Uygulama: Verlen mafsallı sstemn alanını çznz. 0 N/m m m m 0 N/m m m m Çözüm: düğümü mafsallı olduğundan dolayı açı metodunda düğüm notası olara abul edlemez. Bu nedenle düğümünde moment denges yazılmaz. Anca mafsalın sadece düşey deplasman yapmasından dolayı burada düşey denge yazılır. afsalın sağında ve solunda çubular çubuğu olara şleme alınır. q q Anastrel momentler = = 6.50 Nm 5 = 5 = = 5 Nm 8 55

19 Açı etodu Bölüm 0.75δ ( ) ϕ - =0.08 ϕ δ = 0 Düğüm = 0 0.0δ ( ) ϕ 6.5 5=0.9 ϕ 0.δ = D ϕ δ ϕ δ 7.5 = ϕ 0. ϕ δ = Blnmeyenler Uç momentler ϕ ϕ δ Sabt = (78.56) = 5.6 Nm,08 0-0,875 = 0 ϕ = 78,56 = ( 78.56) = 0.5 Nm 0,9 0, = -7,5 ϕ = -78,9 = 0.75 ( / ) = 0.Nm -0,875 0, 0,07088 = 7,5 δ = 869, = 0.0 ( ( 78.9) 869./ 5) 6.5= 9.7Nm = ( ( 78.9)) 5 = 9.7Nm 5 = ( 78.9) 5 = 7.6 Nm q max. aç= / 0q= 6.60 Nm 5 Uygulama: Şelde verlen çerçevenn E sabt olup her br açılığı ve yüselğ eşt olup olduğuna göre moment alanının çzm N/m N/m q /8 8. SONUÇ AAN Çözüm: Ortada olon bast rş olduğu çn end çnde çözülür ve notasında mesnet teps düğümüne esme uvvet olara uygulanır. Bu esme uvvet 0x5/=50 N olara yatay denge denlemnde date alınara çözüm yapılır. 0.δ 0.δ Düğüm = 0 (0.0.) ϕ - =0.ϕ 0.δ = 0 (0.0.) ϕ - =0.ϕ 0.δ = δ ϕ ϕ [ ] = ϕ ϕ δ = D Blnmeyenler Uç momentler ϕ ϕ δ Sabt = 0. ( / 5) = 8.Nm, 0-0, = 0 ϕ =8,05 = 0. ( / 5) = 76.9 Nm 0, -0, = 0 ϕ =7,786 = 0. ( 8.) = 76.9 Nm -0, -0, 0,07 = 50 δ =77,86 = 0.0 ( 7.79) =.87 Nm 5 = 0. ( / 5) =.87 Nm 56

20 Bölüm Açı etodu Uygulama: Şelde verlen sstemde A notasında ayıcı mesnet momentnn hesabı Fx = 0 (/5)A (5/)B= 0 A = 9.7N B = 9.7N Fy = 0 (/5)A (/)B 00= 0 F = (/)B 6 (5/)B = 0 = 06 Nm x A A 00 m m 00 m Uygulama: Şelde verlen çerçevenn nolu mesned anastre ayıcı nolu mesned se anal çnde düşey yönde hareet eden ayıcı mesnettr. Sstemde E sabt olup her br açılığı ve yüselğ eşt olup olduğuna göre moment alanının çzm. 0 N/m 0 N/m Çözüm: nolu düğüm anastre ayıcı mesnet olduğu çn çubuğudur. nolu mesnet se çubuğudur. Sstem düğüm notaları sabt sstem olmasına arşı - çubuğu düşey yönde deplasman yapablmetedr. Buna göre düşey denge yazılır. 57

21 Açı etodu Bölüm 0.δ 0.δ Düğüm = 0 (0.0.0.) ϕ =0.ϕ 0.δ 0.δ = δ 0.δ D ϕ = ϕ δ δ = 5 5 Uç momentler ϕ δ Sabt = 0. ( 0 95.) = 78. Nm, -0, = 6,5 ϕ = 95,5 = 0. ( 95. 0)) = 56.5 Nm -0, 0,0 = 50 δ = 059,896 = 0. ( 95. 0) = 56.5 Nm = 0. ( / 5) 6.5 =.50 Nm ÖRNEK.: Şelde verlen mütemad rşn moment alanının çzlmes..5 N/m N/m 7. N N.0.6 m 7. m. m. m 0.9 m Çözüm: İl önce çubuların ve anastrel moment değerler aşağıda şelde hesaplanır. =0.556 =0.87 =0.7.5 x.6 x 7. Anastrel = = =.86Nm = = =.96Nm Pab[ b] = =.80Nm düğümünde denge, ( ) ϕ 0.87ϕ.86.96= 0.686ϕ 0.87ϕ = 8.0 düğümünde denge, ( )ϕ 0.87ϕ (x0.9/)=0.08ϕ 0.87ϕ =-9.5 Çubu uç momentler ϕ =6.68 ϕ =-8.0 = 0.556(6.68)-.86 = -. Nm = 0.87 ( x ).96 = -.7 Nm = ( x 6.68).86 =.7 Nm = 0.87 ( x (-8.0) 6.68).96 = 0. Nm = 0.7 ( x (-8.0)).80.5 = -0. Nm Uç momentler bulundutan sonra bazı çubuların açılılarında değerler aşağıda gb bulunur Q alanı alanı 58

22 Bölüm Açı etodu ÖRNEK.: Şelde düğüm notaları sabt sstemn alanının AÇ metoduyla çzm. N m N/m. m m x=8 N/m =.x/.=.0 =x/=0.5 m m m Sonuç alanı 5.7 Anastrel momentler = = [q / ] = 5.88 Nm düğümünde moment denges (0.5)ϕ 5.888=0 ϕ = Çubu uç momentler 6.. çubularında = ( ϕ ϕ ) 6.. çubularında = ( ϕ ) = 0.5 (-0.707) = -0.5 Nm =.0 ( x (-0.707)) 5.88 = -7.9 Nm =.0 (-0.707) 5.88 = 5.7 Nm = 0.5 ( x (-0.707)) = Nm onsol =x=8 Nm ÖRNEK: Şelde rşn açı metoduyla moment alanını çzm. m m m 0 N 6 m =0.50 =0. 0 N / / = = Anastrel momentler = = [ / ] = [0 / ] = 0.00 Nm düğümünde denge, (0.0.5) ϕ 0= 0 ϕ =-6.0 Çubu uç momentler, = 0.5 ( -6.0)0 =7.00 Nm = 0.5 ( x (-6.0))0 =.00 Nm = 0. ( x (-6.0))=-.00 Nm = 0. ( -6.0)=.00 Nm Sonuç = =.75 Uygulama: Şelde verlen çerçevenn alanının elde edlmes. 0 N/m m A B.5 D C E 6 m m 59

23 Açı etodu Bölüm A =0.9 0 N/m B =0.5 C =.0 =0.75 D 6 m E m q 0 5 q 0 6 Anastrel BA = = = 6.50 CB = BC = = = ( ) ϕ = 0. B düğüm denges ϕ B B 0.5ϕ C = 0 KONSO C düğüm denges ( ) ϕc 0.5ϕB 60 0 = 0 ϕ C = 8.07 BA = 0.9 ( (0.) 0) 6.5 = 6.08 Nm CB = 0.5 ( ( 8.07) 0.) 60 = 5.09 Nm = 0 BD =.0( (0.) 0) = 0.6 Nm = 0 CE = 0.75 ( ( 8.07) 0) =.Nm BC = 0.5 ( (0.) 8.07) ) 60 = 6.7 Nm DB =.0 ( (0) 0.) = 0. Nm rş uç momentler 0q 5 açılı q 6 moment açılı max. = / ( 0 q ) =.9 Nm max. = / ( 0 q ) 6.7 =.9 Nm OENT ÖRNEK.: Şelde verlen çımalı rşn açı metoduyla moment alanını çzm. m N/m m 0.75 m Anastrel momentler = = [q / ] = 6.5Nm = [q / 8] = 9.75 Nm m 6 Nm =0. =0.5 =0. düğümünde denge, (0.5 0.) ϕ 0. ϕ -6.56=0.8 ϕ 0. ϕ = 0.5 düğümünde denge, ( ) ϕ 0.ϕ (6/)=0 0. ϕ. ϕ =0.5 Bu denlem çözülere blnmeyenler bulunur. ϕ = 0. ϕ =0.0 N/m m 0.75 =0.5 6 Nm Çubu uç momentler, = 0.5 ( x 0.) = 0. Nm = 0.0 ( x ) 6.5 = -6. Nm = 0. ( x ) 6.5 = 6. Nm = 0. ( x 0.0) 9.75 (6/) = -6.6 Nm 5= 0.5 ( x 0.0) = 0.0 Nm 5= 0.5(0.0)=0.05 Nm = 6 Nm açılığı 6. N/m =x5/ 0.0=6.-6./ V 7.6 maxaç = = 6. =.5Nm q x - açılığı 6.6 N/m =x5/ 0.07=6.6-6/ maxaç = 6.6 =.9Nm Sonuç alanı

24 Bölüm Açı etodu ÖRNEK.5: Şelde verlen çerçevenn moment alanını çznz. N N/m m m 6 m.5 Nm 0 N m m m =0.5 N/m =0.5 0 Nm =.0 = Anastrel momentler = = [q /] = tm düğümünde denge ( )ϕ ϕ 6 = 0 ϕ ϕ = ϕ = -.7 düğümünde denge (0.5.0 ) ϕ ϕ - 0 = 0 ϕ ϕ = 0 ϕ = 7.09 = 0.5 ( -.7) = -.67 Nm = 0.5 ( x (-.7)) 6 = -7.7 Nm =.0 ( x (-.7) 7.09) =.5 Nm =.0 ( x (7.09) -.7) =.907 Nm = 0.5 ( x (-.7)) =.77 Nm = - Nm 5 = 0.5 ( x (7.09)) = 7.09 Nm 5 = 0.5 ( 7.09) =.55 Nm 6

25 Açı etodu Bölüm ÖRNEK : Şelde sstemn moment alanının AÇ metodu le elde edlmes. N/m 0 N 0 Nm N/m 0 Nm m m m m m ➆ ➇ m Çözüm: Sstemn denge delemlern ve anastrel moment değerler bulunur. q q Anastrel momentler = = = Nm = = = = 5Nm = = = = 0Nm 8 ( ). düğüm denges ϕ 0 / = 0 ϕ ( ). düğüm denges ϕ 0.5ϕ 0.8ϕ 5 = 0. düğüm denges ( )ϕ 0.8ϕ 0 / 0 / 5 = 0 N/m 0 N 0 Nm N/m Nm m m m m m ➆ ➇ m. düğüm denges ϕ 0.5ϕ=-. düğüm denges.6 ϕ 0. 5ϕ0.8ϕ = 5 ϕ =. ϕ = 9.77 ϕ =.. düğüm denges 5.ϕ ϕ = = 0.75 ( (.) 0) 0 / =. Nm = 0.5 ( (9.77).) = 8.66 Nm = 0 = 0.5 ( (.) 9.77) =.67 Nm = 0 = 0.8 ( (9.77) (.) 5 = 8. Nm = = ( (.) 0) 0.67 Nm 7 = 0.5 ( (9.77) 0) = 9.77 Nm = 0.8 ( (.) 9.77) 5 =.67 Nm 7 = 0.5 ( 0 (9.77)) =.89 Nm 5 = 0.75 ( (.) 0) 0 / =.0Nm = 0 8 = ( 0 (.) 0 =. Nm = = = = 8 ( (.) 0) 0.68 Nm 0 0 Nm

26 Bölüm Açı etodu.5. DÜĞÜ NOKTAAR HAREKETİ [δ 0] SİSTEER [AÇ ETODU] Sstemlern boyca uzama ve ısalmaları hmal edldğnden dolayı düğüm notalarının yatay ve düşey deplasmanı önlenmemş sstemlere düğüm notaları hareetl sstemler denr. Bu sstemlerde hareet ncelenen ısmın düğüm notası olduğu blnmeldr. Elemanların açılılarında deplasman ve dönmeler sstem düğüm notaları hareetl anlamına getrmez. Düğüm notaları hareetl sstemler;. Düşey elemanları E rjtller eşt olmayan,. Yatay ve düşey yülemes smetr olmayan. Elemanların her uç deplasmanı tutulmayan Sstemler olara sayılablr. δ δ δ δ δ δ δ B ϕ B ϕ C p D E δ p E sabt anca Düşey yönde hareetl Düğüm notaları hareetl sstemlern düğüm notaları sabt sstemlerden farı düğüm notalarının deplasmanı olduğu çn denlemlere sadece deplasman yönüne göre deplasman termler lave edlr. Bu leveler yne çubuların ve oluşlarına göre aşağıda şelde yapılır. çubularında bulunan değerler; ϕ E δ =0 δ =0 ϕ =0 ϕ =0 Hç şel değştrmes olmayan eleman E 6E E E 6E δ = ϕ ϕ δ = ϕ ϕ 6E 6E E 6E 6E E V = V ϕ ϕ δ V = V ϕ ϕ δ _ Yuarıda denlemlerde anastrel momentler ve V V İ anastrel esme E uvveler olma üzere = ısaltması yapılaca olur se çubu uç momentler ve esme uvvetler aşağıda bağıntılar le hesaplanır = ϕ ϕ = ϕ ϕ δ δ V 6 = V ϕ ϕ δ V 6 = V ϕ ϕ δ 6

27 Açı etodu Bölüm çubularında moment ve esme uvvet değerler; E E = ϕ δ = 0 V E E E E = V ϕ δ V = V ϕ δ Yuarıda denlemlerde anastrel momentler ve V V anastrel esme E uvveler olma üzere = ısaltması yapılaca olur se çubu uç momentler ve esme uvvetler aşağıda bağıntılar le hesaplanır ' δ = ϕ V = V ϕ δ Düğüm notaları hareetl sstemlern AÇ metoduyla çözümde zlenen yol:. Her br çubuğun veya değerler hesaplanır.. Anastrel momentler hesaplanır.. Her br düğüm çn (Σ=0) düğüm denges yazılır.. Her at çn yatay denge yazılır. Yatay Denge ϕ P P P q h q q h h?? q q P P P? q P h V V 5 V 67? Çubu ucu esme uvvet. atta yatay denge, ΣQ = -P P P q h / - q h = ΣPΣqh V anastrel esme ΣP Σqh : yatay denge yazılan atın üzernde uvvetler. anastrel V esme : yatay denge yazılan atta anastrel esme uvvet 6 h h q q P P? 5 q 5 67 V V 5 V 67 Düğüm esme uvvet? 7 6 h h h 6

28 Bölüm Açı etodu Bu yatay uvvetler arşılayaca şel değştrmeler, KOON UÇ DÖNÜŞERİ KAT YATAY KUVVET ' ' anastrel 5 67 δ ϕ ϕ ϕ ϕ 6 ϕ = esme h h h h. YD ( ) ( ) ( ) (6 6 ) P qh V KOON UÇ DEPASANAR Not: Soldan sağa etyen yatay uvvetler artıdır []. 6δ çubularında ( ϕ a ϕ ü ) = P qh V h h δ çubularında ( ϕ ) = P qh V h h q q N/m q q q q q q / = = V q V = [ ] q q 5q = = Q [ ] [ ] q N/m q q q = = Q 8 8 [ ] Çözümü stenen sstemde aç at varsa o adar yatay denge yazılır. Bu örnete at olduğu çn üç tane yazılmalıdır. Yazılan bu yatay denge denlemler le moment denge denlemler çözülere blnmeyenler olan dönüş açıları (ϕ) ve at deplasmanları (δ) bulunur. Bulunan bu blnmeyenler ullanılara; çubularında çubularında δ δ = ϕ ϕ = ϕ ϕ 6 6 V = V ϕ ϕ δ V = ϕ ϕ δ V δ = ϕ V = P qh V ϕ δ h h moment denlemler le çubu uç momentler bulunur. Bulunan momentler saat yönü artı () ters es (-) olaca şelde düğüm notalarına şaretlenere çeme oluşan tarafa çzlr. ÖRNEK 7: Şelde verlen çımalı rşn açı metoduyla moment alanının çzm. N/m 6 Nm N/m m =sabt m m m m m m =sabt m m m Anastrel momentler = q x 5 = = = 6.5N q x 5 = = = 9.75Nm 8 8 [Σ =0] (0.50.) ϕ 0. ϕ (x0.5xδ / ) =0.8 ϕ 0. ϕ 0.δ=0.5 [Σ =0] (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.5xδ/) (6/)=0 0.ϕ. ϕ 0.δ=0.5 Yatay denge, (- x 0.5 ϕ / ) δ ( ) / =0 [mafsaldan dolayı ϕ açısını etlemez] -0. ϕ 0. δ = 0 65

29 Açı etodu Bölüm Bu üç denlem çözülere blnmeyenler bulunur. ϕ = 0.6 ϕ =0.00 δ= 0. Çubu uç momentler, = 0.5 ( x0.6 x0./)=0.08 Nm = 0.0 (x ) 6.5=-6.08 Nm = 0. (x ) 6.5=6.9 Nm = 0. (x0.0) 9.75 (6/)=-6. Nm = 6 Nm 5 = 0 ÖRNEK : Şelde sstemn moment alanının AÇ metodu le elde edlmes. N/m 0 N 0 Nm N/m 0 Nm m m m m m ➆ ➇ m q q Anastrel momentler = = = Nm = = = = 5Nm = = = = 0Nm 8 8 = ( ). düğüm denges ϕ 0.5 ϕ δ/ 0 / = 0 ( ). düğüm denges ϕ 0.5ϕ 0. 8ϕ δ/ 5 = 0 ( ). düğüm denges ϕ 0.8ϕ - δ/ 0 / 0 / 5 = 0 N/m 0 N 0 Nm N/m Nm m ➆ ➇ m m m m m YD ( 75 / ) ϕ ( 0.5 / ) ϕ ( / ) ϕ δ( )/ 5 0 = 0. düğüm denges ϕ 0.5ϕ δ=-. düğüm denges.6 ϕ 0.5ϕ0.8ϕ -0.75δ = 5. düğüm denges 5.ϕ 0.8ϕ-0.75δ = 50 Yatay denge 0.75ϕ ϕ ϕ δ = ϕ ϕ ϕ δ,000 0,500 0,000-0,75 = - ϕ =,579 0,500,600 0,800-0,75 = 5 ϕ =,68 0,000 0,800 5,00-0,750 = -50 ϕ = -0,78-0,75-0,75-0,750 0,656 = 5 δ = 79,0 Yayılı yüten düğümünde anastrel esme uvvet 5q = 5 = 0 Nm, omentten oluşan anastrel moment 8 8 ve esme uvvetler hesaplanır. 8=0 05=5 N/m / = 6 anastrel = = 0 Nm 0 0 = 5 0/=0 anastre / = = 0 0 = 5 0/=0 66

30 Bölüm Açı etodu 6 = 0.75 ( / ) =. Nm = 0.5 ( ) = 6.9 Nm = 0 = 0.5 ( ) =.90 Nm = 0 = 0.8 (.68 ( 0.78) 5 =.95 Nm = = 0.75 (.579) 0 /. Nm 7 = 0.5 ( / ) =.99 Nm = 0.8 ( ( 0.78).68) 5 = 5.95 Nm 7 = 0.5 ( / ) =. Nm 5 = 0.75 ( ( 0.78) 0) 0 / =.8 Nm = 0 8 = ( 0 ( 0.78) 79.0 / ) 0 = 9.76 Nm = = 8 ( ( 0.78) 79.0 / ) Nm = 0 = 0 Nm Sonuç alanı Uygulama: Şelde yüleme durumu verlen çerçevenn moment alanının çzm.. 50 Nm m Nm 0. 50/5=0 05=5 (.5.5)/5=5 50/=.50anastre. E=sabt m Nm = 50/5=0 50 Nm 50 Nm (.5.5)/5=5 50/=.5anastre düğümünde anastrel esme uvvet 50 = = = =.50Nm düğümünde anastrel esme uvvet 50/5(.50.50)/5=5 Nm düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)-.50= 0.6ϕ 0.ϕ 0.δ=.5 düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.δ/5) =0.ϕ 0.ϕ 0.δ=0 Yatay denge, -x0.ϕ /5-x 0.ϕ /5δ(6x0.x0.)/5 05=0-0.ϕ -0.ϕ 0.δ=-5 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = Çözümden ϕ = -,05 ϕ = -9,98 δ = -6,5 Çubu uç momentler =0.[(-.05- (-6.5)/5)]-.5=.0 Nm =0.[( (-.05)- (-6.5)/5)]-.5=5. Nm 0.00 =0.[( (-.05)- 9.9] =-5. Nm =0.[( (- 9.9)-.05]=-.6 Nm 0.00 =0.[( (-9.9)- (-6.5)/5)] =.6 Nm Sonuç alanı 67

31 Açı etodu Bölüm Uygulama: Şelde yüleme durumu verlen çerçevenn moment alanının çzm. 0.5=.5 m 0. 00/5=0 6/5=5. 6 anastrel 00 Nm E=sabt m 00Nm Nm = 00/5=0 00 Nm 00 Nm 6/5=5. düğümünde anastrel esme uvvet b 00 = = = 6 Nm 5 düğümünde anastrel esme uvvet 00/56/5=5.0 Nm 05.=5. 00/5=0 6/5=5. 6 anastrel 00 Nm = 00/5=0 00 Nm 00 Nm 6/5=5. düğümünde denge, (0.0.) ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)= 0.6ϕ 0.ϕ 0.δ=0 düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.δ/5)6 =0.ϕ 0.ϕ 0.δ=-6 Yatay denge, -x0.ϕ /5-x 0.ϕ /5δ(6x0.x0.)/5-0-5.=0-0.ϕ -0.ϕ 0.δ=5. Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = Çözümden ϕ = 5,90 ϕ = -6,6 δ = 95,5 Çubu uç momentler =0.[(5.9- (95.5)/5)]=-5.55 Nm =0.[( (5.9- (95.5)/5)]=-.8 Nm 0.00 =0.[( (5.9)- 6.6] =.8 Nm =0.[( (- 6.6)5. 9]=.7 Nm 0.00 =0.[( (-6.6)- (95.5)/5)6 =.7 Nm UYGUAA: Şelde verlen sstemn alanının açı yöntem le elde edlmes. 50 N 00 Nm 80 Nm. m 50 Nm. 00 Nm E=sabt m Çözüm:. Çubu ve değerler hesaplanır.. Çubular üzerne etyen yülerden;.. Düğüm moment denges (Σ=0) çn anastrel OENTERİ 68

32 Bölüm Açı etodu.. Yatay denge çn (ΣV=0) anastrel KESE uvvetler hesaplanır. 00Nm N Nm 50 Nm 0. 00Nm düğümünde rşn anastrel moment 00 = = = = 50Nm düğümünde olonun anastrel moment 50 = = = =.50Nm düğümünde olonun anastrel esme uvvet 50/5(.50.50)/5=5 N DÜĞÜÜ 05=5 DÜĞÜÜ 05.=5. 50/5=0 (.5.5)/5=5 50/=.50anastre 00/5=0 6/5=5. 6 anastrel 50 Nm = 50 Nm 50 Nm 00 Nm = 00 Nm 00 Nm 50/5=0 (.5.5)/5=5 50/=.5anastre 00/5=0 6/5=5. düğümünde olonun anastrel moment b 00 = = = 6 Nm 5 düğümünde olonun anastrel esme uvvet 00/56/5=5.0 Nm Düğüm moment ve yatay denges aşağıda şelde yazılır. ( ) ϕ Düğümü ϕ ( 0. δ / 5).5 50 = 0. 6ϕ 0. ϕ 0. δ = 7.5 ( ) Düğümü ϕ 0. ϕ ( 0. δ / 5) = 0 ' YD ( 0. / 5) ϕ ( 0. / 5) ϕ (6 0. / 5 ) δ ( 0. / 5 ) δ = 0. ϕ 0. ϕ 0.δ = 0. ϕ 0. ϕ 0.δ = 60.0 Yuarıda yazılan denge denlemler çözülere şel değştrmeler tabloda gb bulunur. Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler , = Çözümden ϕ = 68,07 ϕ =,65 δ = 679,5 Çubu uç momentler =0.[ )/5)]-.5=-8. Nm =0.[ )/5)]-.5=-. Nm 0.00 =0.[( ] 50=. Nm =0.[( ]50=0.55 Nm 0.00 =0.[ / 5] 6 =-0.5 Nm 69

33 Açı etodu Bölüm N 00 Nm 80 Nm. m 50 Nm 00 Nm. E=sabt m Sonuç alanı 8. ÖRNEK : Şelde çerçevenn moment alanını açı yöntemne göre belrlenmes 6 N N/m. 6 N m 6 m Çözüm: Çubuların ve anastrel moment ve esme uvvet değerler bulunur. Anastrel q x.5 = = = 0.5 Nm 8 8 Pab 6 x.5 x = = =.96 Nm.5 Anastrel esme uvvet 6 N N/m m N m q 8 N/m q q 5 q = 8 8 q q q = = = x.5.5 =.67 6 x =..5 Pab 6 x.5 x = = N Pab 6 x x.5 = = düğümünde anastrel esme uvvet 5q = 5.5 = 7.5N 8 8 düğümünde anastrel esme uvvet.67 ( )/.5 =.5 N düğümünde denge, (0.67.) ϕ. ϕ (x0.67xδ/.5) 0.5 = 0.0 ϕ. ϕ 0.0δ = -0.5 düğümünde denge, (. 0.) ϕ. ϕ ( x 0. x δ /.5) = ϕ. ϕ 0.0δ =.96 Yatay denge, - x 0.67 ϕ /.5- x 0. ϕ /.5 δ (0.5 x 0.5 ) /.5 = 6 5 x x ϕ -0.0 ϕ 0.00 δ = =.7 =.67(x.8-x87./.5)0.5=-.9Nm Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = ϕ =.8 ϕ =7.66 δ= 87.0 Çubu uç momentler =. ( x ) =.6 Nm =. ( x ) =.9 Nm =0.(x7.66-x87.0/.5)-.96= -.0 Nm =0.(7.66-x87.0/.5).7 = Nm 70

34 Bölüm Açı etodu ÖRNEK 8: Şelde çerçevenn moment alanını AÇ yöntemne göre belrlenmes. N/m E=sabt N/m q 8 N/m q q 5 q = 8 8 q q q = 8 8 Çözüm: Önce sstemn, anastrel moment ve esme uvvetler belrlenere denge denlemler elde edlr. 5 Anastrel momentler = = 6.5Nm Anastrel esme 5 x x 5 /8 = 6.5 N 8 düğümü (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)6.5=0.0 ϕ 0.ϕ 0.δ=-6.5 düğümü (0.0.) ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)=0 0.0 ϕ.0 ϕ 0.δ = 0 Yatay denge, (- x 0.0 ϕ / 5) (- x 0.0 ϕ / 5) δ ( ) / 5 = ϕ -0. ϕ 0.08 δ = 6.5 Bu üç denlem çözülere blnmeyenler bulunur. Dönüş açıları Deplasman Sabtler ϕ ϕ δ = ϕ = 7.9 ϕ =.5 δ= Sonuç alanı.75 Çubu uç momentler = 0.0 ( x x 8.9 / 5) 6.5 = -.5 Nm 0.00 = 0.0 ( x 7.9.5) =.5 Nm = 0.0 ( x.5 7.9) =.75 Nm = 0.0 ( x.5 - x 8.9 / 5) = -.75 Nm 0.00 Örne: Şelde verlen çerçevenn moment alanın elde edlmes. N m m 8 Nm =0. =0.50 m E=sabt 6 m m =0. 6 m m düğümü (0. 0.) ϕ 0. ϕ ( x 0. x δ / 6) = 0 düğümü (0.0.50)ϕ 0.ϕ (x0.50xδ/)8=0.7. Sonuç alanı x0. x x 0. x0.50 Yatay denge, ϕ ϕ 6 δ = 6 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler, 0, -0,67 0,00 0,,667-0, = -8,00-0,67-0, 0,67 -,00 ϕ = -. ϕ =-5.99 δ=

35 Açı etodu Bölüm ÖRNEK 9: Şelde verlen sstemn moment alanının AÇ metoduyla elde edlmes 6 N.5 N m 6 N.5 N m N/ m N/ m m m 6 m m m m 6 m m P 6 x 6 Anastrel momentler = = =.5Nm 8 8 q x 5 = = =.50Nm 8 8 5q 5 x x 6 Anastrel esme uvvet V = = = 5 N 8 8 düğümünde denges (0.60.5) ϕ 0.5ϕ (x0.6xδ/5).5.5=0.ϕ 0.5ϕ 0.δ=-8 düğümünde denge, ( ϕ 0.50 ϕ.5 =0.0 ϕ 0.50 ϕ =-5.5 x 0.6 x 0.6 Yatay denge, ϕ δ = 5-0. ϕ 0.08 δ = Bu üç denlem çözülere blnmeyenler bulunur. Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = ϕ = 78. ϕ =-.9 δ= 70. Çubu uç momentler, = 0.60 ( x78. x 70. / 5).50 = Nm = 0.50 ( x 78..9).5 = 6.50 Nm = 0.50 [ x (-.9) 78.].5 =.8 Nm = 0.50 [ x (-.9)] = -.9 Nm =(.9- / 6) Sonuç moment alanı 0.97=(6.5.9)/ N.9.00=6/ - açılığı.00.97=6.5.9/ toplam Kesme uvvet dyagramı =0.97x-6.5 moment dyagramı KONTRO: Yatay denge x 5 x /5-xx5/8[q/8] =0 N (yatay yüün toplamı x5=0n) Düşey denge = 0 N (düşey yüün toplamı 6 N) 7

36 Bölüm Açı etodu ÖRNEK 0: Verlen çerçevenn açı metoduyla moment alanını çzm..5 N B.8 C m.5 N B 0.5 C m.6 N/m A 0 m D.6 N/m 0.0 A 0 m 0.57 D Anastrel momentler, q.6 x 5 AB = BA = = =. tm B düğümünde, (0. 0.5)ϕ B 0.5ϕ C x 0. δ / 5. = 0.506ϕ B 0.5ϕ C 0. δ=-. C düğümünde, ( )ϕ C 0.5ϕ B x 0.57 δ / 7 = 0.88ϕ C 0.5ϕ B 0.5 δ=0 Yatay denge, - x 0. ϕ B / 5 - x 0.57ϕ C /76(0./5 0.57/ 7 ) δ x 5 /= 0-0.ϕ B -0.5ϕ C 0.66 δ= Dönüş açıları Deplasma Sabtler AB =-8.0 Nm n ϕ B ϕ C δ BA =-8. Nm BC =8. Nm = 0.00 CB =8.70 Nm CD = Nm alanı - ϕ B = 7.7 ϕ C =8.5 δ= 7.86 DC =-.9 Nm ÖRNEK : Verlen çerçevenn açı metoduyla moment alanını çzm. 0 N 8 N/m Anastrel. 0 N 6 m.. 0 N 8 N/m x.5 = = =.5Nm. 0 N 6 m 0. 0 x.5x.5 0 x.5 x.5 =.8Nm 8.Nm 6x6 = = 6x6 = düğümünde denge ( ) ϕ. ϕ ( x0.889 x δ/.5).5-.8= 0. ϕ. ϕ 0.59 δ = düğümünde denge (. 0.) ϕ. ϕ ( x 0. x δ /.5) 8. = 0.56 ϕ. ϕ 0.96 δ = -8. Yatay denge (-x0.889ϕ /.5)(-x0.ϕ /.5) δ (6x0.889x0.)/.5 =0(8x.5)/ ϕ ϕ 0.07δ = Sonuç alanı

37 Açı etodu Bölüm Dönüş açıları Deplasman Uç momentler Sabtler ϕ B ϕ C δ = Nm =-.667 Nm = -8. =.706 Nm =.75 Nm ϕ =. ϕ =-0.99 δ=6.58 =-.66 Nm ÖRNEK : Verlen çerçevenn açı metoduyla moment alanını çzm. 0 N 8 N/m 6 m.. 0 N 8 N/m m q 8 x.5 Anastrel momentler, = = = 0.5Nm Anastrel esme uvvet se, 8 8 düğümünde, (0.667.)ϕ.ϕ x δ / = 0 ϕ.ϕ C 0.96 δ=-0.5 düğümünde, (0.587.)ϕ.ϕ x δ /.5 = 0.8ϕ.ϕ 0.9 δ=0 Yatay denge, - x ϕ /.5 -x0.58 ϕ /.5(x0.667/.5 6x0.58/.5 )δ = ϕ -0.89ϕ 0.9 δ=.5 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = = =.50 ϕ =0.0 ϕ =.9 δ= q 8 8 N/m q q 5 q = 8 8 q q q = 8 8 Çubu uç momentler = ( x 0.0 x /.5) 0.5 = -7. Nm =. ( x ) = 7. Nm =. ( x.90.0) =.8 Nm =0.587(x.9 x6.875/.5)= -.9 Nm =0.587(.9 x6.875/.5)= -.07 Nm ÖRNEK : Şelde verlen çerçevenn moment alanının çzm. 0 N m E=sabt 6 m m m 0 Nm =0.5 =0. 6 m m m Sonuç alanı 7.00 = 0 ( ) ϕ 0 = 0 ϕ = 6.00 Anastrel moment = =/=0/=0 Nm = 0.5( 6) 0 = 7 Nm = 0.5(( 6)) 0 = Nm = 0.(( 6)) = Nm = 0.( 6) = Nm Örne: Şelde verlen çerçevenn moment alanının elde etme çn açı metodu denlem sstemnn elde edlmes (yatay yüler çn). 7

38 Bölüm Açı etodu Kat g n x q w =g n q h w h V t = t F V [w h / w h ] 0 x = 0 0,8 x x 0 = , 0,5 0 x 6 = 60 0,8 x x 0 = ,,76 0 x 8 = 80 0,8 x x 0 = , 0,5 0 x0 =00 0,8 x 5 x 0 = , 6,5 Toplam ,0 = =.5 = q= 5 N/m q= N/m q= N/m q= N/m g=0 N/m g= 8 N/m g= 6 N/m g= N/m 5 6 =0. =0.5 Krşler 6 m m 8 5. Düğümde moment denges düğümünde 6,8 ϕ 0, ϕ ϕ δ -δ = 0 düğümünde 0,55ϕ 0, ϕ,5ϕ 5 0,5ϕ 0,9δ,88δ = 0 at yatay denge - ϕ (x)/ - ϕ ( x,88) / -ϕ ( x,65)/ δ (6(,65 ) x,88))/ =0,5 - ϕ 0,9ϕ -,ϕ,5δ =0,5 at -ϕ (x ) / - ϕ (x ) / - ϕ ( x,5) / - ϕ 5 ( x,5) / - ϕ ( x,65) / - ϕ 6 ( x,65) / δ (6 (,65,5))/ =, - ϕ,88ϕ - ϕ,88ϕ 5 -,ϕ,ϕ 6,056δ =, Benzer şelde dğer notalarda ve atlarda denlemler yazılıp aşağıda tabloda verlmştr. Kats ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 ϕ 8 ϕ 9 ϕ 0 ϕ ϕ δ δ δ δ 0 6,8 0, , 0,55 0,5 0, ,9 -, ,5 7,6 0 0, , -, ,8 0, , 0,55 0,5 0, ,88 -, ,65 0 0,5 7,6 0 0, , -, ,8 0, ,5 0 0, 0,55 0,5 0, ,88 -, ,65 0 0,5 7,6 0 0, , -, ,8 0, ,5 0 0, 6,8 0, , ,65 0 0,5, , 0,5 - -0,9 -, , , - -,88 -, - -,88 -, , , ,88 -, - -,88 -, , , ,88 -, - -,88 -, 0 0 0,056 Denlem sstemnn çözümünden ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 ϕ 8 ϕ 9 ϕ 0 ϕ ϕ δ δ δ δ,8 0,07,6,0,88 0, 6, 6,9,9, 6,58 9,,70 75,7 06,0 05, ÖRNEK : Şelde verlen çerçevenn moment alanının çzm.[at yüselğ m ve açılı 8 m] Krşler 5/ N = 6 =0.67 =..7 N 5.7 N

39 Açı etodu Bölüm ( ) ϕ ( ) ( ) ( ( ) ) (.. )..0 ( (. ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ 0.67 / )( δ δ ) = 0.68ϕ 0.67ϕ ϕ 0.67δ 0.67δ = ϕ 0.67ϕ.0 ϕ x 0.67 / δ = ϕ. ϕ ϕ 0.67δ = 0 ϕ ϕ ϕ / ( δ δ ) = 0 7.ϕ ϕ. ϕ. δ. δ =0 6. ϕ ϕ. ϕ. / δ = 0.66ϕ ϕ. ϕ. δ = / ϕ. / ϕ / δ = ϕ.ϕ.δ = ϕ / 0.67 ϕ /. ϕ /. ϕ / 6x ( ) / δ = ( ϕ ϕ ).( ϕ ϕ δ ) = ( ) ( ) 5 6 Zat yüler çn açı metodu denlem taımları ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 δ δ Sabt BİİNEYENER ϕ = ϕ = ϕ 5 =.8 = ϕ 6 = δ = δ = 9.58 Yatay yüler çn açı metodu le çubu uç moment değerler = 0.67 (.9 x(9.) / ) = -.8 Nm = 0.67(x.9 x(9.) / ) =-.5 Nm = 0.67(x.9.0 x(9.58) / = -.5 Nm 5 =( x.9.8) = 6.69 Nm = 0.67( x.0.9 x(9.58) / ) =-.76 Nm 6 = ( x.0.7) 5=.((.8) x (9.) / ) 5 =.(x(.8) x(9.) / ) =.75 Nm = -8.9 Nm = -.6 Nm 56 =.(x(.8).7 x(9.58) /) = -.9 Nm 5 = (x(.8).9) = 7.59 Nm 65 =.(x(.7).8 x(9.58) / ) = -. Nm 6 = (x(.7).0) =. Nm Örne: Şelde verlen düğüm notaları hareetl sstemn V, ve N dyagramlarının çzm deprem [AÇ] N 6 Nm.. =0.67 =.0 =. 0 Nm 5 Nm. m 8 m 7. N m m =0.667 =.0 =. Çözüm: l önce sstemn anastrel moment ve esme uvvetler hesaplanır. a b..8 = = 7.68 N/m b a.8. = = = = 6.0 a b 5.9 [a = b] = = N/m

40 Bölüm Açı etodu Anastrel = = = =.88 Nm V.5 N..8 0 x 9 6 = = = = 7.68 Nm V 9.00 N Anastrel x.5 x = = = = 0 0 x 9.00 Nm V65.6 N x = 0 x = 6.00 Nm 56 = Nm = 0 x.5 x = Nm = onsol = 7.x =.0 Nm = 0 ( ) ϕ.00ϕ 0.67 ϕ [x0.67 / ] δ [x0.67 / ] δ = 0 5 = 0 ( ) ϕ.00ϕ 0.67 ϕ [x0.67 / ] δ 6 = 0 6 = 0 (..00.) ϕ.00ϕ. ϕ [x. / ] δ [x. / ] δ.8. = = 0 (.00.) ϕ.00ϕ. ϕ [x0.67 / ] δ 6.9 = X = 0 [x0.67 / ] ϕ [x. / ] ϕ [6x0.67 / ] δ [6x. / ] δ = X = 0 [x0.67 / ]( ϕ ϕ ) [x. / ]( ϕ ϕ ) [6x0.67 / ] δ [6x. / ] δ = ϕ = 6.68 ϕ = ϕ = ϕ = ϕ 5 =.59 ϕ 5 = ϕ 6 = 6.9 ϕ 6 = δ = 5.8 δ = δ = 9.7 δ = 6.65 = 0.67(9.09 (x.58)/ ).88 =.Nm = 0.67(x9.09 (x.58)/ ) 7.68 =.95 Nm = 0.67(x (x6.65)/ ) 9 =.66 Nm =.00(x ) = 6.60 Nm 5 = 0.67(x( 0.99) 9.09 (x6.65)/ ) 6 = 5.9 Nm 6 =.00(x( 0.99) 6.58) = 5.9 Nm =.00(x ) = 5.9 Nm =.(x8.8 (x.58) / ) = 0. Nm 5 5 =.(x (x6.65)/ ).8 =.0 Nm 56 6 =.00(x ) =.7 Nm 65 =.(x (x6.65)/ ) 6.9 =.7 Nm =.(8.8 (x.58)/ ) =.5 Nm 5 77

41 Açı etodu Bölüm Örne olara - çubuğunun est tesrler bulunur V N Örne: Şelde verlen düğüm notaları hareetl sstemn dyagramının çzm. (Sstemde tüm olon =.8 ve rş = ) 5 N/m 0 N 0 Nm =0.67 =0.667 =0. =.0 =. =. 8 N/m 0 Nm m m m m Çözüm: Verlen çerçevenn değerler hesaplanara çerçeve üzernde verlmştr. Anastrel momentler ve düğüm moment dengeler aşağıda verlmştr. m m 5 N/m 0 N 0 Nm ➆ m =0. m =. =0.5 =0. =. =. =. = N/m 0 Nm m m m m ➇ m m 0 0 8x 5x 5 = = 9.0 Nm = = 5.65 Nm = 0 ( ) ϕ 0.ϕ. ϕ [x./ ] δ = = 0 ( ) ϕ 0.ϕ. ϕ [x. / ] δ 9 5 = = 0 (. 0.) ϕ.ϕ 0. ϕ [x. / ] δ 0 = = 0 (. 0.) ϕ.ϕ 0. ϕ [x. / ] δ 0 = Sonuç. NOT: Çerçevenn. atı düğüm notası sabt br sstem en. atı düğüm notaları hareetl sstem olduğu çn. atta yatay denge aşağıda şelde yazılmıştır. X = 0 [x. / ]( ϕ ϕ ) [x. / ]( ϕ ϕ ) [6x. / ] δ = Yuarıda denlemler aşağıda şelde matrs formatında yazılara blnmeyenler bulunmuştur ϕ = -.75 ϕ = ϕ 5 = ϕ 5 = ϕ 7 = -0 ϕ 7 = ϕ 8 = 0 ϕ 8 = δ = 0 δ = Blnmeyenler ullanılara düğüm notalarında çubu 78

42 Bölüm Açı etodu = 0.5(( 0.00)) =.5 Nm =.(( 0.00)) = 0.05 Nm = 0.0(( 0.00) ) = Nm =.[( 0.00).59 (( / )x( 0.078))] =.7 Nm 5 7 =.[x(.59) 0.00 (( / )x( 0.078))] = 8.55 Nm 78 = 0.(x(.59).566) =.5 Nm 7 = 0.0(x ) =. Nm =.[x (( / )x( 0.078))] = 8.58 Nm =.[( (( / )x( 0.078))] =. Nm = 0.(( ) = 0.05 Nm 58 5 = 0.75(( )) 5 =.96 Nm =.(( )) 9 = 9. Nm 56 5 Örne: Şelde verlen düğüm notaları hareetl sstemn dyagramının çzm. 0 N m 0 N m Çözüm: Sstemde hem yatay hem de düşey denge yazılmalıdır m 0 N δ 0 N =0.75 m -δ m δ δ m = 0 (0.75 ) ϕ ϕ [x/ ] δ [x0.75 / ] δ 5 5 = 0 = 0 ( 0.) ϕ ϕ 0. ϕ [x/ ] δ [x0. / 5]( δ ) 5 = 0 = 0 ( ) ϕ 0. ϕ [x0.75 / ] δ [x0. / 5]( δ ) = Yatay denge X = 0 ( ϕ ϕ) ϕ 6 δ δ 5 = Düşey denge Y = 0 ϕ δ ( ϕ ϕ ) 6 ( δ ) = ϕ = 0 ϕ = ϕ = -5 ϕ = ϕ = 0 ϕ = δ = 5 δ = δ = 0 δ = 6.85 = 0.75(x.66 ( / )x6.8)) 5 = 6.Nm 0.00 =.00(x.66.5 ( / )x.5)) 5 = 6.Nm =.00(x.5.66 ( / )x.5)) 5 = 6.8 Nm 0.00 = 0.(x.5.59 ( / 5)x( 6.85))) = 6.8 Nm = 0.(x.59.5 ( / 5)x( 6.85))) = 7.Nm = 0.75(x.59 ( / )x.5)) = 7.Nm 6. Sonuç alanı 79

43 Açı etodu Bölüm ÖRNEK : Şelde verlen çerçevenn AÇ metoduyla moment alanını çznz. 6 N N N N/m Anastrel momentler q x = = = = = = = = 0.75 tm q x 6 8 = 8 = 8 = 8 = = = 6 tm N/m N/m N/m 6 m 6 m değerler q x 6 60 = 7 = = = 9.00tm 8 8 düğümünde, ( )ϕ0.667ϕ ( x 0.667δ / ) -(x0.667δ/) = 0. ϕ ϕ 0.667δ δ = 0 düğümünde, ( ) ϕ 0.667[ϕ ϕ] ( x / )(δδ) =0. ϕ ϕ ϕ 0.667δ δ = 0 düğümünde, ( ) ϕ ϕ ϕ8 ( x 0.667δ / ) = 0. ϕ ϕ ϕ δ = düğümünde, ( ) ϕ ϕ7 ( x 0.667δ / ) -( x 0.667δ / ) - 9 = 0.8 ϕ ϕ δ δ = 9 7 düğümünde, ( ) ϕ70.667ϕ ϕ8 (x0.667δ / ) - ( x 0.667δ / ) -9 = 0.8 ϕ ϕ ϕ δ δ = 9 8 düğümünde, ( ) ϕ ϕ ϕ 0.667ϕ (x0.667δ/)6 6 = 0.00 ϕ ϕ ϕ 0.667ϕ 0.667δ = 0 0 düğümünde, ( ) ϕ ϕ ( x 0.667δ / ) -( x 0.667δ / ) = 0. ϕ ϕ 0.667δ δ = 0 düğümünde, ( ) ϕ ϕ ϕ ( x 0.667δ / ) -( x 0.667δ / ) = 0. ϕ ϕ ϕ 0.667δ δ = 0 düğümünde, ( ) ϕ ϕ ϕ ( x 0.667δ / ) 6 = 0. ϕ ϕ ϕ δ = -6.atta yatay denge (- x / ) ( ϕ ϕ6 ϕ0 ) (6 x 0.667/ ) δ = ϕ ϕ ϕ 0.δ = m 6 m.atta yatay denge (- x / ) ( ϕ ϕ 6 ϕ ϕ 7 ϕ 0 ϕ ) x (6 x 0.667/ ) δ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.δ =.5.atta yatay denge (- x / ) ( ϕ ϕ 8 ϕ ϕ 7 ϕ ϕ ) x (6 x 0.667/ ) δ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.δ = 7.5 m m m Denlem sstem oluşturuldutan sonra çözülür se, ϕ =.997 ϕ =6.870 ϕ =7.8 ϕ 6 =6.7 ϕ 7 =.86 ϕ 8=.906 ϕ 0 =.696 ϕ =8.075 ϕ =.9 δ =59.60 δ =95.57 δ =5.659 Çubu uç momentler aşağıda şelde yazılır. = (.997 x 59.60/) 0.75 = Nm oment alanı 80

44 Bölüm Açı etodu = ( x.997 x 59.60/) 0.75 =.68 Nm = ( x x 95.57/) =-.68 Nm = ( x x 59.60/) 0.75 =5.60 Nm = ( x x 95.57/) = Nm = ( x x 5.659/) 0.75 = Nm 8 = ( x ) -6 =5.86 Nm 56 = (6.7 x 59.60/) =-. Nm 65 = ( x 6.7 x 5.659/)=-.70 Nm 60 = x 0.50 x =7.7 Nm 67 = ( x x 95.57/) =-.57 Nm 90 = (.669 x 59.60/) =-8.6 Nm 09 = ( x x 59.60/) =.5 Nm 0 = ( x x 95.57/) =-.5 Nm 0 = ( x x 95.57/) = -.9 Nm = ( x x 5.659/) =.9 Nm 76 = ( x x 95.57/) = -.8 Nm 7 = x 0.50 x.86-9 =.86 Nm 78 = ( x x 5.659/) =-0.68 Nm 8 = ( x ) 6=.8 Nm 87 = ( x x 5.659/) = -.66 Nm 8 = ( x.906.9) -6 =-0.8 Nm = ( x x 5.696/) =-.8 Nm 8 = ( x.9.906) 6 =.8 Nm.6. SİETRİK SİSTEER [GENE DURU] Yapı sstemlernde smetr özellğ çözüm ve sstem davranışında etldr. Smetr sstemde ve yüleme durumlarında veya her s brlte olablr. Smetr esen sstemde düğüm notasından veya çubu açılığından geçeblr. Bu durumlar aşağıda açılanmatadır. P a Smetr sstem düşey yüleme P P P a a a P a P Smetr sstem yatay yüleme P/ P/ P/ = = P/ / / / / Smetr yüleme / / / Antmetr yüleme ϕ=0 δ düşey 0 / / / Smetr yüleme ϕ=0 / / Antmetr yüleme P P P δ yatay=0 P P / / / / /.7. SİETRİK SİSTE SİETRİK YÜKEE Smetr sstem genel olara; aynı doğrultuda elemanların est özelller (b,h,), malzeme yapısı (E) ve büyülüler (, H) tbaryle aynı olan stemdr. Smetr br sstemde yülemede smetr se şel değştrmelerde (ϕ, δ) dolaysıyla est tesrler (,Q,N) de smetrtr. P Q A Q Sstem ve yüler smetr P Q A Q Sstem ve yüler smetr Q P/ anastre ayıcı mesnet [blnmeyen, F x] B C Kest=D C=0 Q C=0 N C 0 C Kest=D C Pandül aya Kest =D/ B y B y/ 8

45 Açı etodu Bölüm Smetr sstem genel olara; aynı doğrultuda elemanların est özelller (b,h,), malzeme yapısı (E) ve büyülüler (, H) tbaryle aynı olan stemdr. Smetr br sstemde yülemede smetr se şel değştrmelerde (ϕ, δ) dolaysıyla est tesrler (,V,N) de smetrtr. Pandül aya: Üzerne yü olmayan sadece esenel yü taşıyan ucu mafsallı çubulardır. / P P P =0 Q=0 N 0 R P P Yarım sstem R Özet (5 düğümünde). 5 düğümünde yatay deplasman (u x=0). Düşey deplasman (u y=0). ϕ 5=0. -5 çubuğu moment taşımaz. Bunları sağlayan anastre mesnettr. ϕ = ϕ ϕ = ϕ = (ϕ - ϕ ) = (/) ϕ 0. dereceden hperstat mütemad rş [ ve E=sabt] Kesme alanı q q q q oment alanı 8 q q ÖRNEK 6: Verlen mütemad rşn moment alanını smetr özellğn ullanara çzm. N/m N N. N/m N/m 5/70 5/90 5/70 7 m m 6 m m 7 m Çözüm: Sstemn anastrel momentler ve değerler hesaplanır. Smetr sstemn yarısı aşağıda şelde elde edlr. N/m N. N/m N/m N N. N/m =0.. =0.77 =0.. =0.5 7 m m m 7 m m 6 m m 8

46 Bölüm Açı etodu Anastrel momentler.x q x 7 ' = 6 x ( ( / )) = tm = = =.5 tm 8 8 düğümünde denge, ( ) ϕ = 0 ϕ =.50 Çubu uç momentler = 0. ( x.50) = 8.8 tm = 0.77 ( x.50) =-8.8 tm 8.8 =0. =0.77 =0. = m m Kesme uvvet dyagramı, m 7 m m 9.50 m oment dyagramı açılıta maxaç= 8.5 x.08 x 0.5 = 8.9 tm. açılıta maxaç= (.6 5.) x x x x =.96 tm ÖRNEK 7: ütemad rşn moment alanını smetr özellğnden yararlanara çznz. (=sabt).8 N/m.5 N/m.8 N/m m m 5.6 m 6. m.8 N/m.5 N/m.6.8 N/m.5 N/m m m m Anastrel momentler.5 x x 6.5 = = 6.5 tm = 8 = 9.5tm düğümünde denge, ( ) ϕ / = 0 ϕ = -.00 = 0. ( x (-.00)) = 7. Nm = 0.57 ( x (-.00)) 6.5 = -7.5 Nm = 0.57 ((-.00)) 6.5 = 6.7 Nm =.8 x x =-.60 Nm ÖRNEK 8: Şelde verlen sstem smetr özellğnden yararlanara çözünüz.. N/m /m 0 m m =0. =0.5 =0.. N/m /m 0 m 8

47 Açı etodu Bölüm düğümünde denge, (0.5 0.) ϕ 0.5 ϕ 0= 0 düğümünde denge (0.5 0.) ϕ 0.5 ϕ = 0 ϕ = -.9 ϕ = 8.7 Çubu uç momentler = 0. ( x 8.7) -0= -6.7 Nm = 0.5 ( x (-.9) 8.7) =.7 Nm maxaç=. x 0 / = 8.7 Nm = 0.5 ( x ) =6.7 Nm = 0. x x (-.9) =-.7 Nm.98 V alanı alanı 8.7 NOT: Anastrel moment tüm açılı çn hesaplanır. Uygulama: Verlen sstem smetr özellğnden yararlanara alanının çzm. AA: SSSY durumu çn çözüm BA: SSAY durumu çn çözüm BB: Genel çözüm (smetr sstem ullanmadan) 0 N/m m m m m m 0 N/m 0 N/m m m m 0 N/m 0 N/m m 0 N/m m m m m m m m AA: SSSY durumu çn çözüm BA: SSAY durumu çn çözüm SSSY 0.75 ( ) ϕ - -.5=0 SSAY ( ) ϕ.5= ϕ δ = Düğüm = 0 Düğüm = 0 ϕ = ϕ δ 0 0 / 5 = 0 D = ( 6) 7.5 =.50 Nm ϕ = 5 ϕ = 5,5 δ düşey = 57.9 = ( ( 6)) 7.5 = 5.50 Nm = = 8.75 Nm 0.00 = ( 5.5) 7.5 = Nm Uç 'ler = 0.75 ( ( 6)) 0 = 5.50 Nm 0.0 = 0.75 ( / ) 0 = 80 Nm

48 Bölüm Açı etodu BB: Genel çözüm (smetr sstem ullanmadan) 0 N/m m m m m 0.75 ( ) ϕ - =0.08 ϕ δ = Düğüm = 0 ( ) ϕ 0-5=0.08ϕ 0.875δ = ϕ δ ϕ δ 0 = 0 D ϕ0.875 ϕ0 δ = ϕ = 8.5 ϕ = 60.5 δ = 57.9 düşey = 0.75 ( ( 60.5) 57.9 / ) 0 = Nm = (8.5) =.5 Nm 0.0 = = = ( (8.5)) = 6.50 Nm ( ( 60.5)) Nm 0.00 = = = 0.75 ( / ) = ( 60.5) Nm 0 Nm Uygulama: Verlen sstemn alanın elde edlmes 80 Nm 80 Nm m.6 m.6 m m m

49 Açı etodu Bölüm =0.7[-.76].67=-6.5 Nm ANKASTREİK OENTERİ 80 (.6 ) = = = (.6) = = = düğümünde moment denges ( ) ϕ x6.5 = 0 ϕ=-.76 Uç momentler =0.7[ (-.76)]6.5=6.88 Nm =0.7[ (-.76)]6.5=6.88 Nm 0.00 =0.5[ (-.76)]=-.76 Nm =0.7[(-.76)].67=-6.5 Nm Uygulama: Verlen sstemn alanın elde edlmes =0.5[(-.76)]=-6.88 Nm 80 Nm 80 Nm m.6 m.6 m m m Çözüm: Sstem ve yülemenn smetr olmasından dolayı çubu uç momentler anastrel momentlerne eşttr. 6.5 ANKASTREİK OENTERİ 80 (.6 ) = = (.6 ) 6.5 Uç momentler = = 5.6 düğümünde moment denges ( ) ϕ = 0 ϕ=0 =0.7[0].67=.67 Nm =0.7[ (0)]6.5=6.5 Nm =0.7[ (0)]-6.5=-6.5 Nm 0.00 =0.5[ (0)]=0 Nm =0.7[(0)]-.67=-.67 Nm =0.5[(0)]=0 Nm Uygulama: Verlen sstemn alanın elde edlmes 0 N/m m.6 m.6 m m m Çözüm: Sstem ve yülemenn smetr olmasından dolayı çubu uç momentler anastrel momentlerne eşttr. 78. ANKASTREİK OENTERİ = = düğümünde moment denges ( ) ϕ 0.5 δ / = 0 ϕ δ = YD /6 0.5 / 0 Buna göre ϕ=0 δ = 0 yan sstem ve yüleme smetr. Çubu uç momentler anastrel momentlerne eşt olur. 86

50 Bölüm Açı etodu Uygulama: Verlen sstemn alanın elde edlmes 0 N/m m.6 m.6 m m m Çözüm: Sstem smetr en yüleme antmetr olduğu ç anastrel momentlernn şaretler date alınmalıdır. ANKASTREİK OENTERİ Buna göre ϕ= δ = = = düğümünde moment denges = 0.7 ( 50.8) 78. = 6. ( ) ϕ 0.5 δ / = 0 = 0.7 ( 50.8) 78. = = = 0.50 ( ( 50. 8) ( 00.97) / )).6 YD ϕ δ = /6 0.5 / 0 = = 0.50 (( 50.55) ( 0.095) / )).6 Uygulama: Verlen sstemn alanın elde edlmes 0 N/m 0 N/m m 0.5 m.6 m.6 m m m.6 m Çözüm: Sstem smetr en yüleme antmetr olduğu ç yarın sstem ullanılara alanı elde edlr. ANKASTREİK OENTERİ Buna göre ϕ=-50.8 δ = = = düğümünde moment denges = 0.7 ( 50.8) 78. = 6. Nm ( ) ϕ 0.5 δ / 78. = 0 = = [ ( 50.8) ( 00.97) / ] 6.x =.6sonuç Nm = = = YD ϕ δ = 0.5 [( 50.8) ( 00.97) / ] 6.x.6sonu ç Nm /6 0.5 / 0 ÖRNEK 5: Şelde verlen smetr sstem smetr özellğn ullanara çözünüz. N/m N/m N/m 7.99 =0. m =0.5 =0.5 m m m m =0./=0.67 ql /8-7.99=8 =0.5 Blnmeyen sadece ϕ düğümünde denge ( ) ϕ ( x /)=0 ϕ = = 0.5 (7.99) = 8.99Nm ' = 0.67 ( 7.99) = 7.99Nm = 0.5 ( 7.99) = 7.99Nm

51 Açı etodu Bölüm.8. SETRK SSTE ANTETRK YÜKEE R Q P Smetr sstem antmetr yüler B A C Q R R Q P C 0 Q C 0 N C = 0 A Smetr sstem antmetr yüler C B By Q R R Q P/ Bu sstemde bulunan ve Q atı alınır / N=0 C By/ P/ R P A P P/ Smetr sstem smetr yüleme A P/ Smetr sstem antmetr yüleme ϕ = 0 U x = 0 (yatay) U y 0 (düşey) ϕ 0 =0 U x 0 F x =0 U y = 0 Smetr sstem antmetr yüleme durumunda smetr esenn olondan geçmes hal P P P 0 Q 0 N=0.5 R N=0 / Özet (5 düğümünde) düğümünde yatay deplasman var. Düşey deplasman yo. ϕ 5 0. =.5 ( ϕ ) NOT:. Yarım sstemde bulunan momentlern atı esas sstemde moment verr.. R mesnet teps dğer yarım sstemn mesnet teps R le toplamı sıfır olur. Örne: Verlen sstemn smetr özellğnden yararlanara çözümü. N/m N Nm Verlen sstem aşağıda şelde smetr ve antmetr yüleme durumları çn parçaya ayrılara çözüm yapılmıştır. Smetr yüleme çn çözüm N/m N Nm Nm N/m N N/m Nm Anastre ayıcı mesnet Smetr yüleme çn çözüm Nm N/m N 5 X= o sonuç smetr δ =.7 / E δ =.50 / E. 7X.5 = 0 X = 0.60 Nm 0 mesnet = 5 ( 0.60)x( ) =.0 Nm Antmetr yüleme çn çözüm Nm N/m Nm N/m Nm o.5 X=.5 X= sonuç smetr 88

52 Bölüm Açı etodu δ = 5.65 / E δ =.875 / E 5.65X.875 = 0 X =.0 N 0 mesnet moment = 0 (.0)x.5 =.50 Nm Sonuç alanı yuarıda elde edlen yüleme durumlarının toplamı alınara aşağıda gb elde edlr sonuç smetr = sonuç smetr Sonuç alanı Örne: Verlen sstemn smetr özellğnden yararlanara çözümü (E=sabt). 8 N/m A B C Çözüm: Sstem hem smetr yüleme durumu çn hemde antmetr yüleme durumu çn çözülmüştür. N/m N/m N/m N/m N/m X X X =0 N/m X N/m - 50 o - 50 o 5 X = 5 X = X = 5x50x5 65 5x5x5 8. 5x50x 5x50x 5.8 δ 0 = 0 E = δ = E E = δ = = E E E E 5x5x5 8. δ = = 8.X 65 = 0 X = 7.5 N E E 5xx 5xx 6.67 δ = = BA = 5x =.5 Nm E E E 5x5x 5x5x 0.8 δ = = BC = 5x =.5 Nm E E E 8.X 0.8X = X 6.67X = 5.8 X = 9.77 X =

53 Açı etodu Bölüm = 5x9.77 x = 0.7 Nm BA = 5x9.77 x = 0.7 Nm BC = 0 0x9.77 x7.09 = 7.09 Nm CB Sonuç alanı=smetrantmetr yüleme ÖRNEK 9: Şelde yüleme durumu verlen smetr sstem,. Smetr sstem smetr yüleme durumu çn moment değerlernn belrlenmes. Smetr sstem antmetr yüleme durumu çn moment değerlernn belrlenmes. Normal olara çözere moment alanın çzm ve sonuçların arşılaştırılması 8 N N 8 N N 6 N 6 N N N m m m 8 m =0. =0.5 =0.5 m m m 8 m 0.5=0.6 Smetr sstem smetr yüleme m m m 8 m.5=0.5 Smetr sstem antmetr yüleme m m m 8 m Pa 6 x 6xx8 = = a = = = 6Nm Anastrel momentler tel yüten, [ ] [ ] Blnmeyen sadece ϕ düğümünde denge = ( ) ϕ -6=0 ϕ =9.85 = 0.5 ( 9.85) =.796 Nm = 0.5 ( x 9.85 ) = 9.59 Nm = 0.67 ( x 9.85) 6 = Nm = = Nm = Nm = 9.59 Nm Smetr sstem antmetr yüleme durumu çn çözüm. Anastrel momentler tel yüten, pab pab x x8 x8 x = = =.778tm x 0.5δ ( ) ϕ = x x 0.5δ ϕ ϕ δ = ϕ = δ = 0 8x8 ϕ =.58 δ = 6.6 =0.50 P =0.5 = 0.5 (.58 x 6.6/8)) = -0.0 Nm = 0.5 ( x (.58)- x 6.6 /8) = 0.95 Nm = 0.5 ( x (.58).778 = -0.9 Nm = 0.0 Nm = Nm = 0.9 Nm 90

54 Bölüm Açı etodu Sstemn genel olara çözümü: 8 N N pab pab 8 x x8 x8 x = = = 7.78Nm m m m 8 m pab pab x x8 8 x8 x = = =.Nm 0.5 δ (0.5 0.) ϕ 0.ϕ = δ (0.5 0.) ϕ 0.ϕ =. ϕ = 0.79 ϕ = 7.6 δ = δ ( ϕ ϕ ) = ( ) = / 8 =. 60 N m 0.00 = 0.5( / 8 ) = 9. 8 Nm = 0. ( 0.79 ) = 9. 80Nm ( ) 0.00 = = 9. Nm = / 8 = 9. Nm ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) = / 8 = 5. 00Nm Smetr ve antmetr yüleme durumları çn yapılan çözümler sonucunda bulunan çubu uç momentlern toplamı sstemn te olara çözümü sonucunda bulunan çubu uç momentleryle aynı olduğu görülmetedr. Örneğn, = 0. ( x (0.79) 7.6)-7.78 = tm normal çözüm uç moment = 0.67 ( x 9.85) 6 = tm smetr yüleme = 0.5 ( x (.58).778 = -0.9 tm antmetr yüleme TOPA= tm ÖRNEK 0: Şelde yüleme durumu verlen smetr sstem,. Normal olara 5. Smetr sstem smetr yüleme durumu çn 6. Smetr sstem antmetr yüleme durumu çn çözere normal halde moment alanına eşt olduğunu gösternz. N/m N m m m m N/m N =0. =0.5 =0.5 m m m m Anastrel momentler yayılı yüten, qa a 8 a x 8 qa x = 9.56Nm [ a] [ x x ] 5.Nm = = = = = x Pab xx8 Pba x 8 x Anastrel momentler tel yüten, = = = 7.Nm = = =.56Nm Σ düğümünde moment denges, (0.5 0.) ϕ 0.ϕ -(x0.5xδ/) = 0.67 ϕ 0. ϕ 0.75δ =

55 Açı etodu Bölüm Σ düğümünde denge, (0.5 0.) ϕ 0. ϕ ( x 0.5 x δ / ) 5..56= 0 ϕ 0. ϕ 0.75δ = ΣF x Yatay denge, (-x0.5 ϕ /)(-x0.5ϕ /)6δ(0.50.5)/ =0-0.75ϕ -0.75ϕ 0.75δ=0 Dönüş açıları Deplasman =.88 Nm ϕ ϕ δ Sabtler =5.07 Nm = -5. Nm = =.55 Nm =-.5 Nm ϕ =0.9 ϕ =-6.06 δ =.9 =-8. Nm Smetr yüleme durumu çn çözüm Anastrel momentler [Krşn tam boyunda hesaplanır] YAY YÜK qa x [ ] [ ] = = = a = x x 6 6 x N/m N =0.5 =0. N/m =0.5 m m m m N/m N P =0. =0.5. tm N/m TEKİ YÜKTEN Pa x = = [ a] = [ ] = 5. tm Blnmeyen sadece ϕ düğümünde denge ( ) ϕ.-5.=0 ϕ =.6 = 0.50 (.6) = 6.66 Nm = 0.50 ( x.6 ) =.6 Nm = 0.67 ( x.6).-5. = -.6 Nm Smetr sstem antmetr yüleme durumu çn çözüm. = Nm = -.6 Nm =.6 Nm Anastrel momentler yayılı yüten, qa a 8 a x 8 qa x = 9.78 Nm [ a] [ x x ].665Nm = = = = = x Toplam = = -7.5 tm olara bulunur. Çünü düğümüne yaın olan yayılı yüün yönü dğerne göre zıt yöndedr. Anastrel momentler tel yüten, N/m N =0.5 =0.50 N/m =0.5 m m m m N/m N P =0.50 =0.5 Pab = Pab x x8 = x 8x = N/m ( ) ϕ ( x 0.5 δ/ ) )=0 ϕ 0.75δ = tm 9

56 Bölüm Açı etodu (- x 0.5 ϕ ) / 6 x 0.5 x δ / = ϕ 0.88δ =0 Bu denlemn çözümünden ϕ = 7.05 δ=.7 = 0.50 (7.05-x.7/) = -.6 Nm = 0.50 ( x x.7 /) =.79 Nm = 0.5 ( x 7.05) = Nm =.76 Nm = -.79 Nm =.790 Nm Smetr ve antmetr yüleme durumları çn yapılan çözümler sonucunda bulunan çubu uç momentlern toplamı sstemn te olara çözümü sonucunda bulunan çubu uç momentleryle aynı olduğu görülmetedr. Örneğn, - çubu ucunda = 0. ( x ) 6.67 = -5. Nm normal çözüm uç moment = 0.67 ( x.6).-5. = -.6 Nm smetr = 0.5 ( x 7.05) = Nm antmetr TOPA -5.6 Nm Uygulama: Verlen çerçevey AA. Ssmetr özellğn ullanara BA: Genel olara alanın elde edlmes 0 N 8 N/m ➆ m m AA. Ssmetr özellğn ullanara alanını elde etme çn sstemn hem SSSY hemde SSAY olara ayrı ayrı çözüm yapılara toplanır. SSSY durumu çn alanın elde edlmes N/m N/m ➇ 0 N ➆ m m N ➆ 0.5 m m N ➇ ➇ = 0 ( ) ϕ 0.5 ϕ ( 0. / 5)( δ d) = 0.8ϕ 0.5ϕ 0.δ d = 0 ϕ = 9.06 = 0 (0.5 0.) ϕ 0.5 ϕ ( 0. / 5)( δd). 5 = 0.6ϕ 0.5ϕ 0.δ d =.5 ϕ = d 7.59 D ϕ ϕ δ d δ d 5 ( 5 /.5 / 5) = 0 δ =

57 Açı etodu Bölüm = 0.5 ( ) =.5 Nm = 0. ( / 5) = 9.0 Nm 5 = 0.5 ( ) = 9.06 Nm = 0.5 ( ) = 9.8 Nm = 0.5 ( ) = 6.7 Nm = 0. ( / 5).5 = 9.0 Nm = = 5 0. ( / 5) 5.77 Nm SSAY durumu çn alanın elde edlmes N/m N/m 0 N ➆ m m /=0.875 Blnmeyenler; Düğüm dönüş açıları ϕ ; ϕ ve ϕ ; Kat deplasmanları δ ve δ ➇ 9

58 Bölüm Açı etodu 0.5 = 0 ( ) ϕ 0.5ϕ 0. ϕ5 ( δ δ ) =.8ϕ 0.5ϕ 0.ϕ5 0.75( δ δ ) = ϕ =.8 = 0 ( ) ϕ 0.5 ϕ ( δ ).50 =.6ϕ 0.5ϕ 0.75δ =.50 ϕ = = 0 ( ) ϕ 5 0. ϕ ( δ) =.75ϕ5 0.ϕ δ = ϕ 5 = YD ϕ δ = 0.75ϕ 0.875δ = 0 δ = δ = 8.0 YD ϕ ϕ ϕ 5 δ = = 0.75( ϕ ϕ ) 0.09ϕ 0.δ = 00 5 = 0.5 ( 0 (.8) (.76) / ) = 0.5 Nm = 0.5 ( (.8) (.76) / ) = 0.5 Nm = 0.5 ( (.8).95 ( 8.08) / )) =.6 Nm 0.0 = = 5 0. ( (.8).77).8 Nm = 0.5 ( (.95).8 ( 8.0) / )) =. Nm 0.0 = = 0. ( (.95)).5. Nm = = 5 0. ( (.77).8).97 Nm = 0. ( (.77) 0) = 0.66 Nm BA: Genel olara alanın elde edlmes çn sstemn tamamında denge delemler yazılır. Buna göre sstemde 5 düğüm moment denges, yatay denge ve düşey denge denlem yazılara çözüm yapılır. 8 N/m 0 N ➆ m m Sstemde anastrel momentler; = q / 8 = 5 Nm 6 ➇ 95

59 Açı etodu Bölüm DD anastrel esme uvvet V 6 = / 5 05 düğümünde 5 N = yayılı yü 8anastrel moment = 0 ( ) ϕ 0.5ϕ 0. ϕ5 ( δ δ) ( δ d) =.8ϕ 0.5ϕ 0.ϕ5 0.75( δ δ) 0.δ d = = 0 (0.5 0.) ϕ 0.5 ϕ ( δ) ( δ d) =.6ϕ 0. 5ϕ 0.75δ 0. δ d = = 0 ( ) ϕ5 0. ϕ 0.ϕ7 ( δ ) ( δd) ( δ d) =.5ϕ 5 0.ϕ 0.ϕ δ = = 0 (0.5 0.) ϕ ϕ7 ( δ ) ( δ d) 5 =.6ϕ 6 0.5ϕ7 0.75δ 0.δ d = = 0 ( ) ϕ 5 0.ϕ ϕ6 ( Y D ϕ ϕ 7 δ = 0.75ϕ 0.75ϕ δ = 0 YD [ ϕ 0.ϕ 0.5ϕ 0.75δ 0.75δ 0.δ = 0 δ δ ) ( δ d) = d ϕ ϕ ϕ ϕ ] ϕ 0.75( 6 δ = ϕ ϕ ϕ ϕ7 ) 0.875ϕ5 0.9δ = 00 D [φ φ 5] [φ ] δ d (NOT : Düşey δd= δ d) Ydüşey= [φ5 φ 7] [φ 6] δ d 5= 0.(φ φ 7 ) 0.φ 0.φ6 0.δ d= 5 Sstem Rjtl atrs BA ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 δ δ δ d Genel çözüm,8000 0,5000 0,000 0,0000 0,0000-0,750-0,750-0,00 = 0 ϕ = ,5000,6000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,750-0,00 = 0 ϕ =-.5 0,000 0,0000,500 0,0000 0,000 0,0000-0,875 0,0000 = 0 ϕ 5= ,0000 0,0000 0,0000,6000 0,5000 0,0000-0,750 0,00 = -5 ϕ 6=9.55 0,0000 0,0000 0,000 0,5000,8000-0,750-0,750 0,00 = 0 ϕ 7=-0. -0,750 0,0000 0,0000 0,0000-0,7500,750 0,0000 0,0000 = 0 δ = ,750-0,750-0,875-0,750-0,7500,0000 0,9 0,0000 = 0 δ = ,00-0,00 0,0000 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00 = 5 δ d= Uygulama: Verlen şellern alanlarınınelde edlmes 6 Nm Nm 0. ➆ AA m m 6 Nm 6 Nm 6 Nm BA ➆ 0.5 m m 6 Nm BB ➆ 0.5 m m ➇ ➇ ➇ Çözüm: Verlen bu sstem yuarıda çözümü yapılan sstemle aynı olup SSSY ve SSAY durumlarında yatay ve düşey deplasmanların sıfır olma durumlarının sstemn tamamını çözere görüleblr. 96

60 Bölüm Açı etodu Sstem Rjtl atrs AA BA BB ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 δ δ δ d SSSY SSAY NORA,800 0,500 0,00 0,000 0,000-0,75-0,75-0,0 = 6 ϕ = ϕ = ϕ =.099 0,500,600 0,000 0,000 0,000 0,000-0,75-0,0 = 0 ϕ =-.6 6 ϕ = ϕ =.68 0,00 0,000,50 0,000 0,00 0,000-0,88 0,000 = 0 ϕ 5=000 0 ϕ 5=.6 0 ϕ 5=0.00 0,000 0,000 0,000,600 0,500 0,000-0,75 0,0 = 0 ϕ 6=.6 6 ϕ 6= ϕ 6=5.98 0,000 0,000 0,00 0,500,800-0,75-0,75 0,0 = -6 ϕ 7= ϕ 7= ϕ 7=.88-0,75 0,000 0,000 0,000-0,75 0,75 0,000 0,000 = 0 δ =0 0 δ =.50 0 δ =.97-0,75-0,75-0,88-0,75-0,75 0,000 0, 0,000 = 0 δ =0 0 δ = δ =9.8-0,0-0,0 0,000 0,0 0,0 0,000 0,000 0,0 = 0 δ d=.8 0 δ d= δ d=.9 ÖRNEK : Şelde yüleme durumu verlen smetr sstem, a. Smetr sstem smetr yüleme durumu çn b. Smetr sstem antmetr yüleme durumu çn çözere normal halde moment alanına eşt olduğunu gösternz. N/m.6 0 N.6 m m N/m =0.5 = = N =0.5 m m.6 8 m.6 m = m = m Çözüm: Sstem br smetr yüleme br de antmetr yüleme olara parça olara çözülür sonra toplanır. İl önce smetr sstem smetr yüleme durumu çn çözüm yapıldı. N/m.6.6 N/m N/m 0.5/=0.5 6 = N/m N 0 N 0 N 0.5/= N..6.6 = x = 0.75 = 5. Nm Anatrel ve V x = Nm = 8 N/m xx 7.5 N V = = [ ] xx 8 5. = N = V [ ] = 0 ( ) ϕ.067ϕ 5. = 0 Düğüm denges ϕ =.05 ϕ =. = 0 ( ) ϕ.067ϕ 8 = 0 =.067 (.05)=.5 Nm ' ' =.067 ( x.05)=.7 Nm =0.5 ( x.05)=0.55 Nm =.067 ( x.05-.)-5.=-5.6 Nm =.067 ( x (-.).05)8=.09 Nm =0.5 ( x (-.))=-.09 Nm 97

61 Açı etodu Bölüm oment alanı yuarıda çzlmştr. b. Bu ısımda smetr sstem antmetr yüleme durum çn çözülmetedr. Anastrel momentler ve anastrel esme uvvetler yuarıda smetr sstemde değerlerle aynı bulunur. N/m 0 N = 0 ( ) ϕ.067 ϕ (x.067 / )( δ δ ) = 5. N/m 0 N N/m 0 N [/]0.5=0.75 =.067 [/]0.5=0.75 = N.6 N/m ϕ.067ϕ.067δ.067δ = 5. = 0 ( ) ϕ.067 ϕ (.067 / ) δ = 8.88ϕ.067ϕ. 067δ = 8 ϕ = 56.7 ϕ = 7.5 (.067 / ) ϕ (6.067 / ) δ = 0 δ =.85 δ = 65.8 Yatay denge.067ϕ 0.7δ = (x.067 / )( ϕ ϕ ) (6x.067 / ) δ = ( ϕ ϕ ) 0.7δ = 7.5 =.067 ( /)=-8.6 Nm =.067 ( /)= Nm =0.75 ( 56.7)=. Nm =.067 ( /)-5.=-.5 Nm ' =.067 ( /)8=-8.6 Nm ' =0.75 ( 7.5)=8.6 Nm Sonuç moment alanı yuarıda elde edlen smetr ve antmetr yüleme durumları çn bulunmuş olan moment değerlernn toplanmasıyla aşağıda şelde elde edlr Smetr sstem smetr yüleme Smetr sstem antmetr yüleme = Sonuç 98

62 Bölüm Açı etodu ÖRNEK : Şelde yülemes le brlte verlen smetr sstemn moment alanını smetr özellğn ullanara çzm. N/m N/m 5 =0.5/=0.5 N/m 0 N N/m m m N/m 0 N N/m m m m m =0.5/= m 0.5 m 6 m 8 m 6 m 6 m m Anastrel momentler, (sstemn tamamında hesaplanmıştır) x 6 x 8 55 ' ' = = = 6tm = =. tm = 0x x 5 tm = 8 Σ =0 ( ) ϕ 0.67ϕ 6 = 0.00 ϕ 0. ϕ =6... Σ =0 ( )ϕ 0. ϕ 0.5ϕ = 0.8 ϕ 0. ϕ 0.5 ϕ 5 = 9... Σ 5 =0 ( )ϕ ϕ. = 0.5 ϕ ϕ =..., ve ün orta çözümünden blnmeyenler tabloda gb bulunur. ϕ ϕ ϕ 5 er ϕ =.968 ϕ =0.9 ϕ 5=.56 Çubu uç momentler, = 0.67 (.968) =.98 Nm = 0.67 ( x (.968)) =.96 Nm = 0. ( x ) 6 = -.96 Nm = 0. ( x ) 6 = 7. Nm.96.5 Anastre ayıcı mesnet N/m m =. ( x 0.9) = 0.5 =. ( 0.9) = = 0.5 ( x ) = 7.7 Nm = 0.5 ( x 0.9 ) 5 = -.90 Nm 5 = 0.5 ( x ) =.5 Nm 55 = 0.5 ( x.56). = -.6 Nm Açılı momentler, =.5 Nm = 0 x 0 x.90 = 5.0 Nm 55 = ( x 8 /) x x x.5 = 7.75 Nm 99

63 Açı etodu Bölüm. ÇÖZÜ YOU: Verlen smetr sstem sadece düğümlerde dönüş açılarından bulma çn bu çözümde =E/l abulü yapılmamıştır. Anastrel momentler = - = x 6 / = 6 Nm 55 = x 8 / =. Nm =0xx(-(/8)) =5 Nm E E E E E düğümünde denge = ϕ = ϕ = ϕ = ( ϕ ϕ ) = ( ϕ ϕ ) 6 6 düğümünde denge E E x E 8E x E E = ( ϕ ϕ ) 6 = ( ϕ ) = ( ϕ ) = ϕ 7 = ( ϕ ) 7 = ϕ 5 8 E E 5 = ( ϕ ϕ 5 ) = ( ϕ ϕ 5) = E ϕ = x E ϕ E = ϕ E E x E E 5 düğümünde denge 5 = ( ϕ 5 ϕ ) = ( ϕ 5 ϕ ) 58 = ϕ 5 58 = ϕ5. 8 DÜĞÜERDE OENT DENGESİ E E E E düğümünde moment denges = = 0 ϕ ϕ ϕ 6 = 0 ϕ ϕ = 6 düğümünde moment denges = 5 7 = 0 E 8E E E ( ) 6 ( ) 5 0 E 9E E ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 5 5 E E E E 5 düğümünde moment denges = 5 58 = 0 ( ϕ 5 ϕ ) ϕ5. = 0 ϕ ϕ 5 =. Yuarıda üç denlemn orta çözümünden dönüş açıları bulunur. ϕ ϕ ϕ 5 Sabtler = ϕ =.968 ϕ =0.9 ϕ 5 =.56 Bulunan dönüş açıları yerlerne yazılara çubu uç momentler hesaplanır. E E E E düğümünde momentler = ϕ = (.968) =.98 tm = ϕ = (.968) =.96 tm E E = ( ϕ ϕ ) = ( x (.968) 0.9) 6 =.96 tm 6 düğümünde momentler E E = ( ϕ ϕ ) 6 = ((0.9).968 ) 6 = 7. tm E x E 8E E E = ( ϕ ) = ( ϕ ) = 0.9 = 0.5 tm = ϕ = 0.9 =

64 Bölüm Açı etodu x E E E E ' = ϕ 7 = =.95 tm 5 = ( ϕ ϕ 5 ) = ( x0.9.56) = 7.7 tm 8 E E 5 düğümünde momentler: 5 = ( ϕ 5 ϕ ) = ( x ) =.5 tm x E E 58 = ϕ 5 58 =.56. =.56 tm 8 Yuarıda. yöntemle bulunan momentlern aynısı bulunmuştur. Örne: Şelde verlen sstemn moment alanının AÇ metodu le elde edlmes. 8 N/m 6 N/m m m 6 N/m 6 N/m m 6 N/m m 6 N/m m m m m m =./=0.67 m. 6 m 6 m 6 m 6 m.. 6 m 6 m düğüm moment denges (0.67.) ϕ 0.67 ϕ - =0 ϕ 0.67 ϕ = düğüm moment denges (x ) ϕ 0.67ϕ =0 5.0 ϕ 0.67 ϕ =68.8 Düğüm moment dengelernden dönüş açıları ϕ =0.9 ϕ =.9 ÖRNEK : Şelde sstemn moment alanının AÇ metodu le elde edlmes. N/m N/m =0.67 =0.67 m m m =0.75 =0.50 =0.67 m m 6 m 6 m 6 m 6 m q x 6 Anastrel momentler = = = = 6 Nm q x 6 5 = 5 = = = 6 Nm ( ) ϕ δ = 0 ϕ ϕ ϕ / δ = 6 ( ) ϕ / ϕ ϕ ϕ.667 ϕ 0. δ = ϕ 0.75δ = 0 ( ) 5 ϕ δ = ϕ 5 ϕ ϕ / δ = φ φ φ 5 δ = ϕ 0.75ϕ 0.5ϕ 5 0.9δ =

65 Açı etodu Bölüm Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ ϕ 5 δ Sabtler = = = = 0.00 ϕ =.6 ϕ =0.05 ϕ 5=-.7 δ=0.6 çubuğu uç moment = [ ϕϕ [ δ /]] = [ ϕ ϕ [ δ /]] ' çubuğu uç moment = [ ϕ [ δ /]] x 0. 6 x 0. 6 = 0. 75( x. 6 ) =. Nm = 0. 50( x ) = 0. 0Nm = 0. 67( x ) 6= 7. 7Nm x 0. 6 = 0. 50( ) = 0. 0 Nm 5= 0. 67( x (. 7) 0. 05) 6=. 0 Nm x = (. 7 ) =. 55 Nm 6 = 0. 67( x ) 6=. tm 5= 0. 67( x ) 6= 7. 5 tm Örne: Şelde verlen smetr sstemn alanın elde edlmes. N/m.55 =sabt m Sstemn şel değştrmş hal m m m Çözüm: Sstem ve yüleme smetr olduğu çn sstemn yarısı le çözüm yapılır. = = Nm = 0 ( ) ϕ = 0 ϕ = 0.58 /=0.67 = 0.(0.58) =.Nm =0.00 = 0.( x 0.58) = 8.7Nm = 0.67( x0.58) = 8.7Nm ' 0

66 Bölüm Açı etodu [Q] [] - [N].00 Örne: Şelde verlen smetr sstemn alanın elde edlmes. düğümünde, ( )ϕ -0.8 = 0 φ = 9.8 0N/m m 7 m m m m =0.60 0N/m.5 =0. 7 m SİSTE SİETRİK ANTİETRİK YÜKEE = 0.60( x 9.8) =.8 Nm = 0.( x 9.8) 0.8=.8 Nm = 0.( 9.8) 0.8= 9. Nm Örne: Şelde boyutları ve yüleme durumu verlen çerçevenn oment dyagramını Açı yöntemnn smetr özelğn ullanara elde ednz. 0N/m.5.5 m m m 7 m 7 m 0

67 Açı etodu Bölüm A: SİETRİK SİSTE SİETRİK YÜKEE İÇİN ÇÖZÜ.5 0N/m.5 SİETRİK SİSTE YÜKEE m m m 0N/m.5 Anastrelmoment SİETRİK SİSTE YAR SİSTE YÜKEE 0 x 7 = = = 0.8 Nm 7 m 7 m 7 m = 0 ( ) ϕ 0.8= 0 ϕ= = 0.6( x9.8 ) =.8 Nm = 0.9( x9.8 ) 0.8 =.8 Nm 77.0 = 0.9(9.8 ) 0. 8 = 9. Nm.76.5 OENT SONUÇ AAN.5.76 max aç =.5 /( x0).8 = 5. N m B: SİETRİK SİSTE ANTİETRİK YÜKEE İÇİN ÇÖZÜ 0N/m.5 0N/m.5 7 m 7 m SİSTE SİETRİK ANTİETRİK YÜKEE düğümünde, ( )ϕ 0.ϕ x 0.60δ /5-0.8 = 0.058ϕ 0.ϕ 0. δ=0.8 düğümünde, (0. 0.)ϕ 0.ϕ x 0. δ / 0.8 = 0 Yatay Denge, -x0.60ϕ -x0.60ϕ [(x0.60)/5 6x0./ ]δ=0 m m =0.60 0N/m =0. 7 m / =0. ϕ =.99 ϕ =-9.66 δ= SİETRİK SİSTE ANTİETRİK YÜKEE YAR SİSTE 0.ϕ.5ϕ 0. δ= ϕ -0.ϕ 0.7δ=0 0

68 Bölüm Açı etodu x( 6.698) = 0.60( x.99 ) = 6.0Nm = 0.( x.99 ( 9.66)) 0.8 = 6.0Nm = 0.(.99 x9.66) 0.8 = 7.5Nm x( 6.698) = 0.( x( 9.66) ) = 7.5Nm x( 6.698) = 0.( 9.66 ) =.Nm NOT: x( 6.698) = 0.( x( 9.66) ) = 7.5Nm x( 6.698) = 0.( 9.66 ) =.Nm bu moment değerler / çn bulunmuştu. Anca bu değerler yarım sstem çn olmasından dolayı atı alınara moment alanı elde edlr. Bunun gereğ düğüm notasında momentn sıfır olması oşulu yazılara da görülür. x( 6.698) x( 6.698) = 0.( x( 9.66) ) = 7.5Nm x = 5.0 Nm = 0.( 9.66 ) =.Nm x = 8.6 Nm C: SONUÇ OENT AAN [AB] 9. 0N/m m 7 m 5.0 / m m m SİETRİK SİSTE SİETRİK YÜKEE SİETRİK SİSTE SİETRİK YÜKEE SONUÇ OENT SONUÇ AAN

69 Açı etodu Bölüm ÖRNEK : Verlen sstemn moment alanını smetr özellğnden yararlanara çözünüz. (E=sabt) 50 N/m m Çözüm: Yarım ve zostatat esas sstem aşağıda şelde seçlere çözüm 50 N/m. Anastre ayıcı mesnet X 50 N/m orta=5x.5-(50x.5 /)=56.5 o 0. 50x.5=5 δ = 6. / E δ = 0.67 / E 6.X 0.67 = 0 X = 6.98 N orta=x= X = = 0 ( )x6.98 = 67.9 Nm Çubu uç momentler = 0 ( )x6.98 = 67.9 Nm ' 88. max = 56.5 x6.98 = 88. Nm aç Sonuç Kuvvet etodunda Smetr sstem smetr ve Antmetr yüleme ÖRNEK: Şelde verlen çerçevenn smetr özellğnden yararlanara çözümü. 0 N/m Smetr sstem smetr yüleme 0 N/m Smetr sstem smetr yülemede çözüme esas olan sstem 0 N/m veya Smetr sstem smetr yülemede çözüme esas olan Smetr sstem antmetr yüleme sstem 0 N/m 0 N/m 0 N/m 0 N/m / / veya 5m 0 N/m A: Smetr yüleme durumu çn çözüm (at yüselğ m) 0 N/m X = X = X = İzostat esas sstem ve hperstat blnmeyen q /8=6.5 o - X = - X = - X = 06

70 Bölüm Açı etodu δ =.8 / E δ =.667 / E δ = 0.8 / E δ = 5.08 / E δ = 08. / E 0 0 δ = 5.08 / E δ =. / E δ = 0.7 / E δ =.667 / E 0.8X.X 0.7X = 5.08.X.667X.667X = 08. X =.007 X =.00 X = X.667X 0.8X = = =.007 Nm = ( ).007 ( ).00 = 6.0 Nm 6.0 = ( ) 5.5 = 5.5Nm A: Antmetr yüleme durumu çn çözüm Smetr alanı N/m 0 N/m - / / q /8=6.5 - X= - X X= = o X = X = δ =.8 / E δ = 8.8 / E δ = 0 / E δ = 5.08 / E δ = 5.08 / E 0 0 X = δ = 6.67 / E δ = 0.6 / E δ = / E δ = / E 0.8X 0.6X X = X 8.8X X = 5.08 X = 7.86 X = 0.5 X = 7.0 X X 0X = 6.67 = 0 ( )x( 7.86) = 7.86 Nm Çubu uç momentler = 0 ( )x( 7.86) ( )x7.0 = 0.86 Nm = 0 ( )x( 0.5) ( )x7.0 = 7.6 Nm - Antmetr alanı = 0 ( )x( 0.5) = 0.5 Nm Smetr alanı Antmetr alanı 7.6 = Sonuç alanı

71 Açı etodu Bölüm ÖRNEK: Şelde verlen çerçevenn alanının AÇ yöntem le elde edlmes. [E=0.0 6 N/m ] 50 N/m 6 m Tüm estler m 6 m 5 6 m =.06x0 /=0.0 E=5.0 5 Nm Çözüm: Üzernde yü bulunan eğ çubuta est tesrler 50 N/m =8.85 q /=50 Nm α=5 0 qsnα/=06.05 N qcosα/=06.05 N o çn çözüm: 50 N/m E E = 0 ϕ 50 = 0 ϕ = E - = =q /=50 Nm E E = 50 75Nm 75Nm 8.85 = = = E 8.85 E E E = Nm 7.50Nm 8.85 = = = E 8.85 E = 0 [50x6x ] / = 56.5N DÜŞEY DENGE = 0 [50x6x ] / =.75N sağlanıyor = 0 50x = 0 YATAY DENGE = 0 [ 50x6x x6] / 6 = 50 / 6 = 75N = 0 [50x6x x6] / 6 = 50 / 6 = 75N ϕ = çn çözüm: E E E Anastrel momentler = = = 0.57E = = 0.7E 8.85 ϕ = E E 0.57x8.85 = 0 ϕ 0.57E = 0 ϕ = = E E = [ 0.5] 0.57E = 0.78ENm = [ 0.5] = 0.78ENm E E = [ 0.5] 0.7E = 0.5ENm = [ 0.5] = ENm

72 Bölüm Açı etodu Düşey denge = 0 [ ] / = 0.095N = 0 [ ] / = 0.095N sağlanıyor Yatay denge = 0 [ 0.096x ] / 6 = N = 0 [0.096x ]/ 6 = N x E Nm ϕ = çn çözüm: E E E Anastrel momentler = = = 0.57E = = 0.7E 8.85 ϕ = E E 0.57x8.85 = 0 ϕ 0.57E = 0 ϕ = = E E = [ 0.5] 0.57E = 0.78ENm = [ 0.5] = 0.78ENm E E = [ 0.5] 0.7E = 0.5ENm = [ 0.5] = ENm DÜŞEY DENGE = 0 [ ] / = 0.095N = 0 [ ] / = 0.095N sağlanıyor YATAY DENGE = 0 [ 0.096x ] / 6 = N = 0 [0.096x ] / 6 = N x E Nm u x = çn çözüm: u y u x= - çubuğu u cos α u snα cos α 0 u x x y = - çubuğu o x cos α uy snα = 0 ux cos α = uy snα α = 5 ux uy u = - çubuğu denlemnde u = yazılırsa u = u olur. x uy x y = δ = u snα u cos α u sn α = 0.5x x x0.707 = x y x δ = u cos α u snα = 0.5x x0.707 = x y 6 6 = 0 Eφ [ 0.707] [0.707] E= 0 φ =

73 Açı etodu Bölüm E 6E E 6E = [ 0] [ 0.707] ENm [ 0] [ 0.707] = = = ENm E 6E E 6E = [ 0] [ 0.707] ENm [ 0] [ 0.707] = = = ENm YATAY DENGE = 0 [ ] / 6 = 0.096N = 0 [ ] / 6 = 0.096N u x = çn çözüm: u y x E Nm çubuğu u u x U x= x cos α uy sn α = 0 ux = uy - çubuğu u cos α u snα cos α = 0 u u 0 x y x y = - çubuğu denlemnde u x uy = yazılırsa u = u olur. x y = δ = u snα u cos α = 0.5x0.707 [ 0.5]x0.707 = x y δ = u sn α u cos α snα = 0.5x x = x y 6 6 = 0 E [ 0.707] [0.707] E ϕ = ϕ = E 6E E 6E = [ 0] [ 0.707] ENm [ 0] [ 0.707] Nm 8.85 = = 8.85 = E E 6E E 6E = [ 0] [ 0.707] ENm [ 0] [ 0.707] 8.85 = = 8.85 = ENm YATAY DENGE = 0 = 0 [ ]/ 6 = 0.096N [ ]/ 6 = N Sstemn genelnde denge denlemler aşağıda şelde elde edlr x E Nm = E[0.5ϕ 0.5ϕ δ δ... = 7.50 E[ ϕ 0.5ϕ δ δ... oment denges = [E/ 5] ϕ [6E/ 5] δ = E[0.80ϕ 0. δ]... 5 = [E/ 5] ϕ [6E/ 5] δ = E[0.80ϕ 0. δ ]... 0

74 Bölüm Açı etodu Hx = 75 E[0.0589ϕ ϕ 0.096δ δ...5 Yatay denge Hx = 75 E[ ϕ ϕ 0.096δ δ...6 H = [ 6E/ 5] ϕ [E/5] δ = E[ 0.ϕ δ]...7 H5 = [ 6E/ 5] ϕ [E/5] δ = E[ 0.ϕ δ]...8 Denlemler matrs formatında düzenlenere çözüm yapılır ve blnmeyenler [ϕ ϕ δ δ ] bulunur. Denge Denlem SABİT Σ = 0 0,5-0,0589 0,0589-0, ,5 0,8 0-0, 0 0 Σ = 0-0,0589 0,5-0,0589 0,0589-7, ,8 0-0, 0 = ΣX = 0 0,0589-0,0589 0,096-0, H xh -0, 0,096 0 Σ X = 0-0,0589 0,0589-0,096 0, H xh 5 0-0, 0 0,096 0 φ φ δ δ Sabt,5-0,0589-0,8-0, ,5 φ = -09,589-0,0589,5-0,0589-0,8-7,5 φ -0,8-0,0589 0,56-0, δ = -97, = 0,06-0,0589-0,8-0,096 0,56-75 δ = -057,57 [ϕ ϕ δ δ ] yuarıda,..8 denlemlernde yerne yazılara çubu uç değerler bulunur. = 87.5 E[0.5[09.589] [97.] [ 0.05] [ ] ] / E = 77.Nm = 7.5 E[ [09.589] 0.5[97.] [ 0.05] [0.0589] ] / E = 96.5 Nm = E[0.80[09.589] 0.[ 0.05]] / E = 77.Nm 5 = E[0.80[97.] 0.[ ]] / E = 96.5Nm Hx = 75 [0.0589[09.589] [97.] 0.096[0.05] 0.096[ ] = 5.7N Hx = 75 [ [09.589] [97.] 0.096[ 0.05] 0.096[057.57] = 5.7N H = [ 6E/ 5] ϕ [E/5] δ = E[ 0.[09.589] 0.096[ 0.05]] = 5.7N H 5 = [ 6E/ 5] ϕ [E/5] δ = E[ 0.[ 97.] 0.096[ ]] = 5.7N = [E/ 5] ϕ [6E/ 5] δ = E[0.0ϕ 0. δ ] = 0.[09.589] 0.[ 0.05] = 9.5Nm 5 = [E/ 5] ϕ [6E/ 5] δ = E[0.0ϕ 0. δ ] = 0.[97.] 0.[ ] = 7.97Nm = [09.589] 0.78[97.] [ 0.05] [057.57] =.78 Nm x Q SONUÇ N 68.

75 Açı etodu Bölüm V = [ ]cos5 = 5.58N N = [ ]cos5 = 0.0N V = [ ]cos5 = 9.9N N = [ ]cos5 = 86.56N asmum açılı momentnn hesaplanması x x 5.0 x = =.6 m x = 5.0 max aç = 77. = 7.78Nm ÖRNEK : Şelde sstemn moment alanının AÇ metoduyla belrlenmes.[tüm estler ] N/m 8.66 m Anastrel momentler q x = = = = tm Çubu uç. m momentler m = E [ θ θ ϕ ] = [ x0 θ ϕ ] = 0.θ 0.6ϕ 0 = E [ θ θ ϕ ] = [ θ ϕ ] = 0.θ 0.6ϕ 0 N V = 0 = [ θ θ ( 0.7ϕ )] = 0.θ 0.67θ 0.09 ϕ = [ θ θ ( 0.7ϕ )] = 0.θ 0.67θ 0.09 ϕ = 0 0 [ θ θ (0.ϕ ) ] = 0.0θ 0. ϕ = 0 0 [ θ θ (0.ϕ ) ] = 0.0θ 0. ϕ Şmd ve düğüm notalarında momentn toplamlarının sıfır olma şartını yazılır se, N = 0 (0.θ 0.6 ϕ ) (0.θ 0.7θ 0.9 ϕ ) = 0.7θ 0.7θ = = 0 V = 0 (0.θ 0.67θ 0.09ϕ ) (0.0θ 0.0 ϕ ) = 0.67θ 0.5θ ϕ = Yatay denge denlemlernn yazılması = 0 yuarıda denleme uç momentler yazılaca olursa,.8θ 0.5θ.88ϕ = 0.7θ 0.67θ = Bu denlemler düzenlenr se, 0.67θ 0.5θ ϕ =.8θ 0.5θ.88ϕ = Bu denlemlern orta çözümünden θ =87.67 θ =-8.0 ϕ =67.8

76 Bölüm Açı etodu δ δ δ ϕ ϕ ϕ 60 o δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ = 6δ = δ = 0. 5δ 0 0 sn 60 sn90 sn0 sn90 ϕ = ϕ = ϕ = = Sonuç oment alanı (0.5 δ ) (0.5(0 ϕ ) δ (0.866 δ ) (0.866(0 ϕ ) δ = 0 ϕ ϕ = = = 0.7ϕ ϕ = = = = 0.ϕ = E [ θ θ ϕ ] = [ x0 θ ϕ ] = 0.θ 0.6 ϕ =0.x x67.8=-. Nm 0 = E [ θ θ ϕ ] = [ θ ϕ ] = 0.θ 0.6 ϕ =0. x x 67.8=-5.6 Nm 0 = [ θ θ ( 0.7 ϕ) ] = 0.θ 0.67θ 0.09 ϕ =0. x x (-8.)0.09 x =5.6 Nm = [ θ θ ( 0.7 ϕ ) ] = 0.θ 0.67θ 0.09 ϕ =0. x x (-8.)0.09 x 67.8 =5.0 Nm = [ θ θ (0. ϕ ) ] = 0.0θ 0.0 ϕ =0.0 x (-8.0) 0. x 67.8=-5.0 Nm 0 = [ θ θ (0. ϕ ) ] = 0.0θ 0.0 ϕ =0. x (-8.) 0. x 67.8=-7.05 Nm 0 DÜĞÜÜNÜN YATAY DEPASAN (δ ) NE KADAR? Bu değer bulma çn ısaltma teorem ullanılara herhang br zostat ssteme brm yüleme yapılara moment alanı elde edlr. Bu brm moment alanı le hperstat sstemn sonuç moment alanı çarpılara stenlen deplasman bulunur. m 8.66 m. m İzostat sstem ve brm yüleme moment alanı m. m -çubuğu sonuç momentler 5.6 Sonuç alanı çubuğu brm momentler X 0 0 m 0 m

77 Açı etodu Bölüm 0 x 0 x x0 x δ = brmxsonuç = = 6E E E olara bulunur. Bu değern yuarıda bulunan bağıntılarla arşılaştırılması sonucu dogru olduğu görülür. Bu arşılaştırma aşağıda gb yapılmıştır. ϕ = x E δ = E = E olara bulunur. Buradan δ bulunaca olur se, δ δ δ δ 678. = = δ sn 60 sn90 sn 60 (E) sn90 δ 60 o DÜĞÜÜNÜN DÜŞEY DEPASAN (δ ) NE KADARDR? δ = 587. Sstemn çözümünden bulunan değer (ϕ =67.8) ullanılara, δ δ δ δ ϕ = 67.8E = δ = 678.E = δ = 0.5(678.E) = 9.5E 0 0 sn0 sn90 olması gerer. Bu değer bulma çn ısaltma teorem ullanılara herhang br zostat ssteme brm yüleme yapılara moment alanı elde edlr. Bu brm moment alanı le hperstat sstemn sonuç moment alanı çarpılara stenlen deplasman bulunur. m 8.66 m. m İzostat sstem ve brm yüleme moment alanı Sonuç oment alanı çubuğu sonuç momentler -çubuğu brm momentler X m m 6 -çubuğu sonuç momentler -çubuğu brm momentler 5. 0 m X 0 m δ x x(5.6 x5.) x x6 0 x x x x = x = = 6E E E E E düşey brm sonuç 7.05

78 Bölüm Açı etodu ÖRNEK : Şelde verlen çerçevenn açı metodu le moment alanının elde edlmes.5 =0.5 =.0 A N/m.5.67 m. A =0.5 =.0 N/m =0.5 =0.5 =.0 m... B B 6 m m 6 m m Anastrel momentler q x 6 Nm = = = = Düğümlerde moment ve yatay denge = 0 x x0.5 ( ) φ 0.5φ 0.5 φ δ [ δ δ] = 0.5 = 0 x0.5 x 0.5 ( ) φ 0.5φ 0.5φ δ δ = 0 6 Düğümlerde =0 = 0 x0.5 x 0.5 ( ) φ 0.5φ 0.5φ δ δ = 0 6 = 0 x 0.5 x0.5 x.0 ( ) φ 0.5φ 0.5φ.0φ5 δ δ δ = = 0 x x.0 (.0.0) φ 5.0 φ [ δ δ] δ = 0 7 Çerçeve hem yatay hem de düşey yönde deplasman yaptığıdan yatay ve düşey denge ayrı ayrı yazılır. x x x.0 x.0 X= 0 φ φ5 δ [δ δ ] = Yatay X= 0 x 0.5 x0.5 x 6 x x 0.5 x.0 X= 0 [φ φ ] [φ φ ] φ5 δ δ [δ δ ] = x 0.5 x0.5 x 6 x0.5 x Xdüşey 0 [φ φ ] [φ φ ] δ.0 6 x.0 = [ φ 6 6 φ 5 ] δ = 0 Sınır şartı δ δ= 0 9 denlem düzenlenr ve matrs formatında yazılara blnmeyenler hesaplanır. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 5 δ δ δ δ Sabt = ϕ =9.58 ϕ =.09 ϕ =-.59 ϕ =-.05 ϕ 5=-5.98 δ =.76 δ =.7 δ =7.00 δ =7.00 Çubu uç momentler 5

79 Açı etodu Bölüm x.76 A= x9.58 =.0Nm.5 x.7 = 0.5 x = 0.7 Nm x.7 = x.09 = 7.9 Nm x 7.00 = 0.5 x =.8 Nm 6 x 7.00 = x. 59 =.7 Nm 6 x 7.00 = 0.5 x = 7.9 Nm 6 x 7.00 = 0.5 x (.05).09 = 0.85 Nm Sonuç alanı x ( 7.00) 5=.0 x(.05) 5.98 = 5.95 Nm x ( 7.00) 5=.0 (.05) x5.98 =. 05 Nm x.7 = 0.5 x (.59).05 =.7 Nm x.7 = 0.5 (.59) x.05 = 5.0 Nm (.76.7) 5B=.0 x( 5.98) =.05 Nm 7 ÖRNEK : Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. 0 N δδ =0.80 δ 0 N Ι Ι Ι m m =.00 =.00 =0.50 δ δ δ δ =.00 m 0.8 = 0 ( 0.8) φ 0.8φ [δ δ ] δ= 0 5 Düğüm moment denges = = 0 (0.8 ) φ 0.8φ φ δ δ= = 0 ( 0.5) φ φ 0.5φ5 δ [ δ ] = = 0 ( 0.5) φ5 0.5φ δ [ δ ] = 0 6

80 Bölüm Açı etodu Katlarda yatay denge X= 0 x x.0 6x 6x.0 X= 0 φ φ 5 [δ δ ] δ = 0 x.0 x.0 6x.0 6x.0 X= 0 φ [φ φ ] [δ δ ] δ = 0 Y= 0 x0.80 6x0.80 x0.50 6x0.50 [φ φ ] δ [φ φ 5 ] [ δ ] = Sa ϕ ϕ ϕ ϕ 5 δ δ δ bt = ϕ ϕ=7.5 ϕ =9.779 ϕ 5=- 6 = δ =-.89 δ =. 5 δ =-7.6. Sonuç alanı.97 ÖRNEK : Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. N δ N.5 δ m =0.667 m m m m =0.75 =0.50 m m =0.50 =0.667 P x 6 Çözüm: Sstemn ve anastrel moment değerler hesaplanır. 5= 5= = = 7.5Nm 8 8 = 0 ( )φ 0.667φ= 0 m m m m Düğüm moment denges x = 0 ( )φ 0.50φ φ δ 7.50= 0 x = 0 ( )φ5 0.50φ δ 7.5= 0 6 Yatay denge x x x x X= 0 [φ φ ] φ5 δ 6 δ = 0 6 ϕ ϕ ϕ δ Sabt = ϕ =0.7 ϕ =5.05 ϕ =-.8 δ = Sonuç alanı

81 Açı etodu Bölüm ÖRNEK : Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. Ι Ι Ι Ι Ι 0 N Ι Ι Ι ➆ Ι m m m m δ δ δ δ 7 m 7 m ➇ 7 m 7 m Düğümlerde moment denges = 0 x x x 0.57 = 0 ( )φ 0.667φ 0.57φ 5 δ δ δ= 0 7 x x 0.86 = 0 ( )φ 0.667φ 0.86φ δ δ= 0 7 x x 0.86 = 0 ( )φ 0.86φ 0.667φ5 0.86φ6 δ ( δ δ ) = 0 7 x x 0.57 x = 0 ( ) ϕ ϕ 0.667ϕ 0.57ϕ 7 δ δ δ = 0 7 x x = 0 ( ) ϕ ϕ 0.667ϕ7 δ δ = 0 7 x 0.75 x x = 0 ( ) ϕ ϕ ϕ6 δ δ δ = 0 7 x x x x0.75 X= 0 φ φ7 δ δ = 0 Yatay denge X= 0 x0.667 x0.667 x x X= 0 [φ φ ] [φ φ 5 ] [φ6 φ 7 ] δ = 0 x 0.57 x x x0.86 [φ φ 5 ] [φ φ ] δ δ x 0.57 x x0.57 6x 0.86 Düşey denge Ydüş ey= 0 [φ5 φ7 ] [φ φ 6 ] δ δ 0= δ δ= Yuarıda denlemler düzenlenere çözülürse blnmeyenler tabloda gb bulunur. ϕ ϕ ϕ ϕ 5 ϕ ϕ 7 δ δ δ δ Sonuç alanı

82 Bölüm Açı etodu ÖRNEK : Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. N N N E=sabt N m.. m.. Çözüm: Sstem mesnet tep uvvetler tbar le zostat olmasına rağmen çubu uvvetler tbar le hperstattr. Sstemn ve anastrel moment değerler hesaplanır. P x P x5 = = = =.5Nm 5= 5= = =.5Nm = 0 x x 0.5 x 0. ( )φ 0.667φ δ δ δ.5= 0 5 Düğüm j= 0 = 0 x x 0.0 ( )φ 0.667φ δ δ.5.5= 0 5 Yatay denge x x 0.0 5= 0 ( )φ5 0.0φ δ δ.5= 0 5 x x x x X= 0 [φ φ ] φ5 δ δ = 6 6 x 0.50 x0.50 x0.0 x 0.0 x 6 x0.0 Düşey denge Y= 0 φ δ φ [φ φ 5 ] δ 0 = Sınır şartı δ δ= 0 ϕ ϕ ϕ 5 δ δ δ Sabt = ϕ =.9 ϕ =0.75 ϕ =-.8 δ =.7 δ =7.95 δ =-7.95 x 7.95 x ( 7.95) = 0.5 x.9 =.5 Nm = 0. x.9 =.8 Nm 5 x.7 = x =.Nm x.7 x( 7.95) = x =.0 Nm 5= 0.0 x =.0 Nm 5 x( 7.95) 5= 0.0 x (.8) =. Nm 5 x.7 5= x (.8) =. Nm Sonuç alanı x.7 5= =.9 Nm x ( 7.95) = =.9 Nm

83 Açı etodu Bölüm ÖRNEK 5: Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. Ι 0 N Ι δ δ δ δ Ι Ι ➆ δδ =0. =0.50 Ι m =0.667 ➆ =0.667 =0.667 Ι Ι δ =0.667 δ Ι m =.00 =0.75 ➇ ➇ 6 m m ➇ x.0 x = 0 ( ) φ 0.667φ 0.667φ5 δ δ = 0 x = 0 ( ) φ 0.667φ 0.φ6 δ = 0 x 0.75 x Düğüm j = 0 5 = 0 ( ) φ φ 0.667φ6 δ δ = 0 Yatay denge x = 0 ( ) φ φ 5 0.φ 0.50φ7 δ = 0 x = 0 ( ) φ φ6 [ δ δ ] = 0 7 x.0 x 0.75 x x.0 x 0.75 x X = 0 φ φ5 φ 7 δ δ [ δ δ ] = x x x x x x X = 0 [ φ φ ] [ φ 5 φ6] φ 7 δ δ [ δ δ ] = ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 δ δ Sabt = ϕ =5. ϕ =0. ϕ 5=.86 ϕ 6=0.09 ϕ 7=. δ =.7 δ =5.8 Çubu uç momentler x.7 =.0 5. = 8.0 Nm x.7 =.0 x 5. =.59 Nm = 0.667[ x 5..86] = 9.6 Nm 5 = 0.667[ 5. x.86] = 7. Nm Sonuç alanı 7. x 5.8 x 5.8 = x =. Nm = x0. = 0. Nm = 0.[ 0.09 x 0.] = 0. Nm = 0.[ x ] = 0.0 Nm 6 6 = 0.50[ x 0.09.] =.76 Nm = 0.50[ x. 0.09] =.8 Nm x 5.8 x = x =.86 Nm 56= x.86 = 0.0 Nm x.7 x (.7 5.8) 5= 0.75 x.86 = 7. Nm 78= x. =.8 Nm 7 0

84 Bölüm Açı etodu ÖRNEK : Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. =0. m =0. Nm m N m =0.5 E=sabt E=sabt m Çözüm: Sstemn ve anastrel moment değerler hesaplanır. Düğüm moment denges x 0.5 x 0. = 0 (0.5 0.)φ 0.φ δ δ= 0 5 x 0.5 x 0. = 0 (0. 0.)φ 0.φ [ δ ] δ = 0 5 x x 0.5 Yatay denge X= 0 φ δ = 0 Düşey denge x 0. 6x 0. x 0. Y 0 [φ φ ] δ x0. = φ 5 [ δ ] = ϕ ϕ δ δ Sabt = = = = 0 ϕ =-5.55 ϕ =5.057 δ =-5. δ = N Sonuç alanı Çubu uç momentler x( 5.) x( 5.) = =.86Nm = 0.5 ( 5.55) =.Nm x( 5.85) x( 5.85) = 0. ( 5.55) =.Nm = 0. ( 5.55) x =.07Nm 5 5 x(5.85) = 0. x = 0.07Nm 5 ÖRNEK : Şelde verlen sstemn alanın açı yöntem le elde edlmes. N E=sabt m m =0.5 =0. =0. Nm =0. Çözüm: Sstemn ve anastrel moment değerler hesaplanır. E=sabt m m = 0 x0.5 x0. (0.5 0.) φ 0.φ δ δ = 0 5 Düğüm moment d enges = 0 x0. x 0. (0. 0.) φ 0.φ 0.φ [ δ ] δ = = 0 x 0.75 x 0. ( ) φ 0.φ δ δ = 0 5

85 Açı etodu Bölüm x 0.5 x x 0.5 x 0.75 Yatay denge X = 0 φ φ δ δ = 0 x 0. 6 x 0. x0. 6 x 0. Düşey denge Y = 0 [ φ φ ] δ [ φ φ ] [ δ ] = ϕ ϕ ϕ δ δ Sabt = = = = = 0 ϕ = ϕ =6.7 ϕ =-5.89 δ =-7.09 δ = Çubu uç momentler x( 5.885) = 0. x 6.7 ( 9.897).7Nm 5 = x( 9.09) = = 8.9Nm x( 5.885) = 0. x 6.7 ( 5.89).5Nm 5 = x( 9.09) = 0.5 ( 9.897) =.00Nm x( 5.885) = 0. x( 5.89) Nm 5 = x( 5.885) = 0. ( 9.897) 6.7 =.00Nm 5 x( 7.09) = 0.75 x( 5.89) = 0.07Nm VERİEN SİSTE SAP000 İE ÇÖZÜ AÇ İE ÇÖZÜ N E=sabt m. m N N 8.95 N E=sabt m. m N N N E=sabt m m N 8.95 NOT: mesnednn hareetl veya sabt olması arasında açı yöntem le çözümünde br fa yotur. Anca SAP000 programı le çözümünde yuarıda gb far bulunmatadır.

86 Bölüm Açı etodu Örne: Şelde verlen sstemn moment alanının elde edlmes. 00 N 0 N 0 N N/m m N/m =0.89 =.6 N/m E=sabt.. m. / =.5 = /=0.50 Düğüm moment denges.50 = 0 ( ) φ ( 0x /) = 0 ϕ = =0.596(.675)=.00 Nm =0.596(x.675)=.00 Nm =0.50(x.675)-6.67=-5.00 Nm =0.89(x.675)=.00 Nm =0.89(.675) =.50 Nm.00 SONUÇ AAN NOT: 00 N lu tel uvvet düğüm notasına ve smetr esenne etdğ çn moment alanına br atısı olmamıştır. Örne: Şelde verlen sstemn moment alanının elde edlmes. m m E=sabt N N Çözüm: Sstemde hem yatay hem de düşey yönde deplasman bulunmatadır. Kolon = Krş =0. δ δ -δ δ δ Rölatf deplasmanlar - çubuğundaδ - çubuğunda-δ - çubuğunda(δ δ ) - çubuğundaδ - çubuğundaδ Açılılarda yü olmadığı çn anastrel moment bulunmamatadır. Düğüm notalarında moment denges ve yatay ve düşey denge denlemler aşağıda şelde elde edlmştr. δ Düğüm moment denges = 0 x 0. x (.0 0.) φ.0 φ δ ( δ ) = 0 5 = 0 x 0. x (.0 0.) φ.0φ 0. φ [ δ δ ] ( δ ) = 0 5 = 0 x 0. x.0 (.0 0.) φ 0.φ.0φ5 [ δ δ ] δ = = 0 x 0. x.0 (.0 0. ) φ 5.0φ δ δ = 0 5

87 Açı etodu Bölüm x 0. 6 x 0. x 0. 6 x 0. Düşey denge V V = 0 φ δ [ φ φ ] [ δ δ ] = V x 0. 6 x 0. x 0. 6 x0. Düşey denge V56 V = 0 [ φ φ ] [ δ δ ] φ 5 δ = V V 5 N V V 56 V N x 6 x x 6 x Yatay denge V V5 = 0 [ φ φ ] [ δ ] [ φ φ 5] [ δ ] = 0 Bulunan değerler br matrs halne getrlere blnmeyenler bulunur. ϕ ϕ ϕ ϕ 5 δ δ δ Sabt = ϕ = ϕ =-0.58 ϕ =.6 ϕ 6=6.656 δ =-7. δ =6.0 δ =7.58 Blnmeyenler bulundutan sonra çubu uç momentler bulunur. =0.0(x x(-7.)/5)=. Nm =0.0(x(-5.976)-x(-7.)/5)=.75 Nm =.00(x(-5.976)-0.58-x(-7.58)/)=-.75 Nm =.00(x(-0.58) x(-7.58)/)=.685 Nm =0.0(x(-0.58).6-x(-7.6.0)/5)=-.685 Nm =0.0(x(.6)-0.58-x(-7.6.0)/5)=-. Nm 5=.00(x x7.58/)=. Nm.75 Sonuç alanı =.00(x x7.58/)=5.7 Nm 56=0.0(x6.656-x6.0/5)=-5.7 Nm 65=0.0(6.656-x6.0/5)=-8.8 Nm Uygulama: Şelde verlen çımalı çerçevenn alanın çzm N/m m N/m m =0.75 A 6 m m m m

88 Bölüm Açı etodu Çözüm: Sstemde hem yatay hemde düşey deplasman bulunmatadır. Aşağıda şelde düğüm moment, yatay ve düşey denge denlemler yazılır = 0 ( ) ϕ 0.5 ϕ ( δ δ) δ 5 = 0 6 Düğümlerde =0 = ( ) ϕ 0.5ϕ 0.75ϕ5 δ δ = 0 6 = ( 0.5 ) ϕ 0.5ϕ5 δ = = 0 ( ) ϕ ϕ 0.5ϕ δ δ düşey = 0 6 Çerçeve hem yatay hem de düşey yönde deplasman yaptığıdan yatay ve düşey denge ayrı ayrı yazılır. Yatay X = 0 X = ϕ δ = 0 X = [ ϕ ϕ ϕ ϕ 5] δ = Xdüşey = 0 ϕ [ ϕ ϕ 5] δ düşey δ düşey.5 (q / 8) = Sınır şartı δdüşey δ düşey = 0 ϕ ϕ ϕ ϕ 5 δ δ δ δ Sabt,5 0, ,75-0,75-0, ,5,5 0 0,75 0-0,75 0-0, ,5 0-0, ,75 0,5,5 0-0,75 0-0,75 0 = -0, , ,75-0,75-0,75-0,75 0 0, ,5-0,75 0-0, ,0 0,5, ϕ =68.9 ϕ =750. ϕ =7. ϕ 5=7.7 δ =67.8 δ = δ =50.65 δ =50.65 δ =δ olduğundan lave sınır şartı yazmadan yuarıda 8x8 denlem 7x7 denlem halnde yazara çözüm yapıldığında da aynı şel değştrmelern bulunduğu aşağıda şelde görülür. ϕ ϕ ϕ ϕ 5 δ δ δ Sabt,5 0, ,75-0,75-0,5 5 0,5,5 0 0,75 0-0,75-0, ,5 0-0, ,75 0,5,5 0-0,75-0,75 = 0-0, , ,75-0,75-0,75-0,75 0 0, ,5-0,75 0-0, ,66667,5 ϕ =70 ϕ =79.8 ϕ =750. ϕ 5=78.6 δ =0 δ =0.6 δ =756. 5

89 Açı etodu Bölüm =0.5[70-0 / )]=-80 Nm =0.5[ 70-0 / )]=80 Nm =0.75[ / 6)]-5= Nm 0.00 =0.5[ / )]=-5.9 Nm Çubu uç momentler =0.5[( / ]= 9.7 Nm =0.75[ / 6]= -9.7 Nm 5=0.75[( / 6]=-6.0 Nm 5=0.5[ / ]=6.0 Nm =0.5[( / ]= 0 N} 5 δ δ δ Şel değştrme δ oment alanı Örne: Verlen mütemad rşn; a. Dış yüler altında açılılarda masmum momentlern hesaplanması. b. E=78800 Nm sabt olması durumunda; bb. nolu mesnedn /00 radyan dönmes cc. nolu mesnedn 8 mm çömes dd. nolu mesnedn 8 mm çömes ee. nolu mesnedn mm çömes durumunda moment alanının çzm. 80 N/m 8 N/m N m m 6 m m Nm Çözüm: Sstemn ve anastrel moment değerler bulunur. =0. =0. =0.5 m m 6 m Nm. Nm 0.96Nm Nm.7 Nm.7 Nm 6.8 Nm 8 mm Eşt çöme Eϕ/5= =Eϕ/5 Eδ/6 =6.7 6Eδ/5 =5. mm 8 mm (-) alınır 8 mm 6Eδ/5 =5. () alınır Eδ/6 =6.7 E E 6E = ϕ ϕ δ E E 6E = ϕ ϕ δ 6

90 Bölüm Açı etodu Pab x x Pba x x = = =.Nm = = = 0.96Nm [Tel yü] 5 5 q x 5 = = = =.67Nm [Düzgün yayılıyü] Düğümlerde moment denlemler yazılır. 7q 7 x 8 x 6 = = = 6.80Nm 0 0 [Üçgen yayılıyü] = 0 [ ] ϕ 0. ϕ = 0.6 ϕ 0. ϕ = = 0 [ ] ϕ 0. ϕ ( / ) = 0 0. ϕ.ϕ = 5.6 ϕ = 5. 5 ϕ = 8.80 ϕ=0.008/5= mm 8 mm = 0.[ 0 5.5] = 6.67 Nm = 0.[ 5.5 0] = 7.9 Nm [ ] Nm = = Uç omentler = 0.[ ( 8.80) 5.5].67 =.9Nm 0.00 = 0.5[ ( 8.80) 0] 6.80 / 6.7 =.9Nm DÜŞEY YÜKERDEN = 0 [ 0. 0.] ϕ 0. ϕ = 0.6ϕ 0.ϕ = 7.5 = 0 [ ] ϕ 0.ϕ 6.7 = 0 0.ϕ.ϕ = 6.7 mm ϕ=0.00/6= mm ϕ = 5.56 ϕ = 7 ESNET ÇÖKE VE DÖNESİ = 0 [ 0. 0.] ϕ 0.ϕ = 0.6ϕ 0.ϕ =.06 = 0 [ ] ϕ 0. ϕ = 0 0. ϕ. ϕ = 0.6 ϕ = 0.0 ϕ = 8.9 DŞ YÜKERDEN OUŞAN OENT DEĞERERİ ESNET ÇÖKESİ VE DÖNESİNDEN OUŞAN OENT DEĞERERİ = 0.[ x 0 0.0]. =.6Nm = 0.[ ] = 8. Nm = 0.[ ] = 8.85 Nm = 0.[ x( 0.0) 0] 0.96 = 0.95 Nm = 0.[ x( 0.0) 8.9].67 = 0.95Nm = 0.[ ] = 8.85Nm = 0.[ 0.0 x 8.9].67 = 0.70Nm = 0.[ ( 7) 5.56] = 7.78Nm = 0.5[ x8.9 0] 6.80 = 0.70Nm 0.5[ ( 7) 0] Nm = = 7

91 Açı etodu Bölüm oment Alanı 0.70 Dış yülerden enst çöme ve dönmes Toplam=Dış yüleresnet Çöme ve dönmes Uygulama: Şelde mesned m çömes durumu çn çerçevenn moment alanının çzm E=sabt m.9 düğümünde anastrel esme uvvet = 6E E = δ = = 9.56Nm 5 düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)9.56= 0.6ϕ 0.ϕ 0.δ=-9.56 düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.δ/5)9.56=0.ϕ 0.ϕ 0.δ=-9,56 Yatay denge, -x0.ϕ /5-x 0.ϕ /5δ(6x0.x0.)/5 =0-0.ϕ -0.ϕ 0.δ=0 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = Çözümden ϕ = -75,8 ϕ = -6,77 δ = -,909 Uç moment =0.[(-75.- (-.9)/5)]=.9 Nm =0.[( (-75.)- (-.9)/5)]=-8.60 Nm 0.00 =0.[( (-75.)-6.7] 9.56=8.60 Nm =0.[( (- 6.7)-75.]9.56=-.90 Nm 0.00 = 0.[( (-6.7)- (-.9)/5)] =.90 Nm Uygulama: Şelde mesnednn 8 mm yanal hareet çn çerçevenn moment alanının çzm. 8

92 Bölüm Açı etodu E=sabt mm 6Eδ/5 =5.96 0mm 6Eδ/5 =5.96 Eδ/5 = düğümünde anastrel esme uvvet = 6E E = δ = = 5.96Nm 5 K çubularında deplasman (δ) sonucu oluşan momentlern toplamının açılığa bölümünden oluşan atay esme uvvet V = Eδ = 7.88E 0.008= 60.5 N hesaplanır. Bu esme uvvet 5 yatay dengede yerne yazılır. düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)5.96=0.6ϕ 0.ϕ 0.δ=-5.96 düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.δ/5)=0.ϕ 0.ϕ 0.δ=0 Yatay denge, -x0.ϕ /5-x 0.ϕ /5δ(6x0.x0.)/ =0-0.ϕ -0.ϕ 0.δ=60.5 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = Çözümden ϕ = -,87 ϕ = 5,5790 δ = 87,7 Uç =0.[(-.8- (87.5)/5)]5.96=0.6 Nm =0.[( (-.8)- (87.5)/5)]5.96=6.88 Nm 0.00 =0.[( (-.8)5.58]=-6.87 Nm =0.[( )]=7.5 Nm 0.00 =0. [( /5)] =-7.5 Nm Uygulama: Şelde mesnednn /800 dönmes durumunda oluşan moment alanının çzm. 0. Dönüş açısından [ϕ] oluşan oment ve Kesme ϕ E=sabt /800 E = ϕ _ E = ϕ 'den oluşan esme uvvetler E E ϕ 6E Q = Q = = ϕ düğümünde /800 rad. dönüşten dolayı oluşan anastrel moment; Eϕ = = Eϕ 7.88E = = = 7.88E 9.0 Nm = Nm

93 Açı etodu Bölüm çubularında dönüş sonucu oluşan momentlern toplamının açılığa bölümünden oluşan atay Eϕ Eϕ 6Eϕ esme uvvet V = = = E =.6 N hesaplanır. Bu esme uvvet yatay dengede yerne yazılır. düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5)9.=0.6ϕ 0.ϕ 0.δ=-9. düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.δ/5)=0.ϕ 0.ϕ 0.δ=0 Yatay denge, -x0.ϕ /5-x 0.ϕ /5δ(6x0.x0.)/5 -.6=0-0.ϕ -0.ϕ 0.δ=.6 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler = Çözümden ϕ =,8 ϕ = 7,9 δ =,86 Uç momentler =0.[(.8-.86/5)]78.8=6.87 Nm =0.[(.8-.86/5)]9.=-0.7 Nm 0.00 = 0.[.87.9]=0.95 Nm =0. [( 7.9.8)]=6. Nm 0.00 =0.[ ( /5) ] =-6. Nm 6.86 Uygulama: Aşağıda verlen düğüm notaları hareetl sstemde mesnet çöme ve dönmelernden oluşan moment alanının elde edlmes. E=7.880 Nm m ➆ /00 8 mm ➇ 8 mm m m m m m 8 düğümünde /00 rad. dönüşten dolayı oluşan anastreller; E ϕ () ϕ { = = 7.88E E () = = = 7.88E Anastrel = 8 9 Nm Nm Dönüşten Eϕ Eϕ 6E ϕ () E Anastrel V8 = = = = 95.5 N 00 m 0

94 Bölüm Açı etodu Anastrel = = δ= 7 6E E = 6. Nm 8mm yatay = δ= Anastrel V E E = 8.0 N { = δ () 7.88E m düşey Anastrel E 5 = = 7.75 Nm δ 6()E( ) Anastrel = = 6E = =.7 Nm 5 8mm ve m farından düşey δ 6 E(0.008) Anastrel = = 6E = = 6.0 Nm. düğüm denges ϕ 0.5ϕ δ 6.0=0 ϕ = düğüm denges.6 ϕ 0.5ϕ0.8ϕ -0.75δ = 0 ϕ =.87. düğüm denges 5.ϕ 0.8ϕ -0.75δ = 0 ϕ =.5 Yatay denge 0.75ϕ 0.75ϕ 0. 75ϕ 0.656δ = 0 δ = ( ) ϕ. düğüm denges ϕ δ/ 6. = 0 ( ) ϕ 0. düğüm denges ϕ.8ϕ - 0.5δ/ = 0 ( ) ϕ. düğüm denges ϕ - δ/ = 0 mm /00 8 mm ➇ 8 mm m m m m m YD ( 75 / ) ϕ ( 0.5 / ) ϕ ( / ) ϕ m δ( )/ =0.75[( ( 65.70)]= Nm =0.5[ ( 65.70).87]6.0=99.7 Nm =0.75[ ( 65.70) ( 60.85) / ]=-0.7 Nm Uç momentler =0.5[ (.87) 65.7]6.=60.68 Nm =0.8[ (.87).5]-.7 =-5.0 Nm =0.5[ (.87) ( 60.85) / ]6. =-9.5 Nm m ➆ ➇ = 0

95 Açı etodu Bölüm Uygulama: Aşağıda verlen düğüm notaları SABİT sstemde mesnet çöme ve dönmelernden oluşan moment alanının elde edlmes. E=7.880 Nm m ➆ /00 8 mm ➇ 8 mm m m m m m m 8 düğümünde /00 rad. dönüşten dolayı oluşan anastreller; E ϕ () ϕ { = = 7.88E E () = = = 7.88E Anastrel = 8 9 Nm Nm Dönüşten Eϕ Eϕ 6E ϕ () E Anastrel V8 = = = = 95.5 N 00 Anastrel 7 = 6E E = δ= = 6. Nm 8mm yatay Anastrel V Eδ 7.88E = = = 8.0 N { = δ () 7.88E m düşey Anastrel E 5 = = 7.75 Nm δ 6()E( ) Anastrel = = 6E = =.7 Nm 5 8mm ve m farından düşey δ 6 E(0.008) Anastrel = = 6E = = 6.0 Nm. düğüm denges ϕ 0.5ϕ 6.0=0 ϕ =.5. düğüm denges.6 ϕ 0.5 ϕ0.8ϕ = 0 ϕ = düğüm denges 5.ϕ ϕ = ϕ = 8.6 ( ). düğüm denges ϕ 6. = 0 ϕ ( ). düğüm deng es ϕ 0. 5ϕ 0.8ϕ = 0 ( ). düğüm denges ϕ 0.8ϕ = m m m m m ➆ ➇ YD ( 75 / ) ϕ ( 0.5 / ) ϕ ( / ) ϕ m δ( )/ = 0

96 Bölüm Açı etodu =0.75[( (.5)]=-6.87 Nm Uç momentler =0.5[ (.5) 6.78]6.0=9.76 Nm =0.75[ (.5)] =-6.88 Nm =0.5[ ( 6.78).5]6.=88.00 Nm =0.8[ ( 6.78) 8.6]-.7 =-97.6 Nm =0.5[ ( 6.78)]6. =09.6 Nm Uygulama: Şelde verlen sstemn alanının elde edlmes. (E=78800 Nm) 0 mm ➆ ➇ 0 mm m 0 mm m 6 E 0.00 Anastrel Eδ 75 = = = = = = 89. Nm 5 E 0.00 Anastrel V E 5 V5 V57 V δ = = = 75 = = = Nm 5 0 mm düşey E E 0.0 Anastrel δ 6 = = = = 9.56 Nm 5 Anastrel V E = V = V6 = V δ E == = = 8.9Nm 5 Eδ/5 =9.56 0mm Eδ/5 =8.9 Eδ/5 = mm Eδ/5 =8.9 6Eδ/5 =89. 0mm 6Eδ/5 =89. Eδ/5 = Eδ/5 =89. 6Eδ/5 = mm Eδ/5 =

97 Açı etodu Bölüm = 0 ( ) ϕ 0.5ϕ 0. ϕ5 ( δ δ ) ( δ d) =.8ϕ 0.5ϕ 0.ϕ5 0.75( δ δ ) 0.δ d = = 0 (0.5 0.) ϕ 0.5 ϕ ( δ ) ( δ d) =.6ϕ 0. 5ϕ 0.75δ 0. δ d = = 0 ( ) ϕ5 0. ϕ 0.ϕ7 ( δ ) ( δd) ( δ d) =.5ϕ 5 0.ϕ 0.ϕ δ = = 0 (0.5 0.) ϕ ϕ7 ( δ ) ( δ d) 5 =.6ϕ 6 0.5ϕ7 0.75δ 0.δ d = = 0 ( ) ϕ 5 0.ϕ ϕ6 ( Y D ϕ ϕ 7 δ = 0.75ϕ 0.75ϕ δ = 0 YD [ ϕ 0.ϕ 0.5ϕ 0.75δ 0.75δ 0.δ = 0 δ δ ) ( δ d) = d ϕ ϕ ϕ ϕ ] ϕ 0.75( 6 δ = ϕ ϕ ϕ ϕ7 ) 0.875ϕ 5 0.9δ = [φ φ 5] [φ ] δ d (NOT : Düşey δd= δ d) D Ydüşey= [φ5 φ 7] [φ 6] δ d = 0.(φ φ 7) 0.φ 0.φ6 0.δd= Sstem Rjtl atrs ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 δ δ δ d Genel çözüm,8000 0,5000 0,000 0,0000 0,0000-0,750-0,750-0,00 = 89, -7,65 0,5000,6000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,750-0,00 = 9,56-5, 0,000 0,0000,500 0,0000 0,000 0,0000-0,875 0,0000 = 78, -6, 0,0000 0,0000 0,0000,6000 0,5000 0,0000-0,750 0,00 = 9,56-5, 0,0000 0,0000 0,000 0,5000,8000-0,750-0,750 0,00 = 89, -7,65-0,750 0,0000 0,0000 0,0000-0,7500,750 0,0000 0,0000 = 0-55,0-0,750-0,750-0,875-0,750-0,7500,0000 0,9 0,0000 = 0-57,796-0,00-0,00 0,0000 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00 = 0 0 (olduğundan SSYA sonucu çımatadır.) NOT: Çözüm sonuçlarından görüldüğü gb bu mesnet çömes durumunda SSAY durumu ortaya çımatadır. Çünü tüm rş uçlarından dolayı oluşan anastrel momentlernn artı olmasından dolayı esme uvvetler ters olmatadır.

98 Bölüm Açı etodu Uygulama: Şelde verlen dış yülerle brlte mesnet çömes olması durumunda alanının hesabı (E=78800 Nm ). Çözüm: Rjtl matrs önce örnete aynen alınır. Anastrel momentler ve esme uvvetler hesaplanara sstem çözülür. { Eϕ E Anastrel 7.88E ϕ Nm 7.88E = = = = = = 9.5 Nm Dönüşten Eϕ Eϕ 6Eϕ Anastrel V E = = = = 6.9 N 800 E = ϕ 8 mm 6 mm 0 N 8 N/m 0 mm ➆ ➇ 0 mm m 0 mm m 'den oluşan esme uvvetler E E ϕ 6E V = V = = ϕ E = ϕ 6 E 0.00 Anastrel Eδ 75 = = = = = = 89. Nm 5 E 0.00 Anastrel V E 5 V5 V57 V δ = = = 75 = = = Nm 5 0 mm düşey E E 0.0 Anastrel δ 6 = = = = 9.56 Nm 5 Anastrel V E = V = V6 = V δ E == = = 8.9Nm 5 Eδ/5 =9.56 0mm Eδ/5 =8.9 Eδ/5 = mm Eδ/5 =8.9 6Eδ/5 =89. 0mm 6Eδ/5 =89. Eδ/5 = Eδ/5 =89. 6Eδ/5 = mm Eδ/5 = Anastrel = = 6Eδ= E 0.06= 7.80 Nm 6 mm yatay Anastrel V E 7.88E 0.06 = V = δ = = 6.0 N 6Eδ/ =7.80 6mm 6Eδ/ =7.80 Eδ/ =6. 5

99 Açı etodu Bölüm Sstem Rjtl atrs ϕ ϕ ϕ 5 ϕ 6 ϕ 7 δ δ δ d esnet Çömes çn çözüm,8000 0,5000 0,000 0,0000 0,0000-0,750-0,750-0,00 = 89, çöme 7.8 yatay dep. 9.5 dönme ϕ =0,7 0,5000,6000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,750-0,00 = 9,56 çöme ϕ =,07 0,000 0,0000,500 0,0000 0,000 0,0000-0,8750,0000 = 89. çöme 89. çöme ϕ 5=6,0786 0,0000 0,0000 0,0000,6000 0,5000 0,0000-0,7500,00 = 9,56 çöme -5 yayılı yü anastrel moment ϕ 6=,769 0,0000 0,0000 0,000 0,5000,8000-0,750-0,7500,00 = 89, çöme ϕ 7=-6,909-0,750 0,0000 0,0000 0,0000-0,7500,750 0,0000 0,0000 = 06. yatay deplasman 6.9 dönme δ =-95,086-0,750-0,750-0,875-0,750-0,7500,0000 0,9 0,0000 = 0 δ =55,57-0,00-0,00 0,0000 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00 = 5 yayılı yü 0 tel yü δ d=6,9675 = 0.5 (0.7 ( )/) 7.8yatay dep dönme = 65.9 Nm 5 = 0. (6.08 ϕ /5) ϕ düşey dep. = 5.6 Nm Bazıdüğümlern değerler 6 = 0. (.77 ϕ6 ( ) sol düşey deplasman 6.97/5) düşey dep. = 57.7 Nm = 0. (.05 ϕ ( ) sağ düşey deplasman 6.97/5) 9.56düşey dep. = 56.7 Nm

100 Bölüm Açı etodu.9. S ETKİSİ A. FARK S ETKİSİ Anastrel momentler, çubularında Eα t = = d çubularında Eα t = d Örne: Şelde verlen düğüm notaları hareetl sstemde t a =0 o C, t ü =0 o C, α=0-5, d AB =60 cm, d BC =70 cm, d CD =75 cm, =5.0 - m ve E=. 0 6 t/m olduğuna göre açı metoduyla moment alanını çznz. B A.8 0 m C D m m m Anastrel momentler, 6 5 Eα t AB = BA = = = 7.56Nm d Eα t.0 x.8x50 x0 x 0 BC = CB = = = 5.8Nm d Eα t x 0 DC = CD = = = 6.08Nm d 0.75 B de, (0.0.5)ϕ B 0.5ϕ C x0.δ/ =.506ϕ B 0.5ϕ C 0. δ= -.7 C de, ( )ϕ C 0.5ϕ B x0.57δ/ =.88ϕ C 0.5ϕ B 0.5δ=0.6 Yatay denge, -x0.ϕ B /5 -x0.57ϕ C /76(0./5 0.57/7 )δ=-0.ϕ B -0.5ϕ C 0.66 δ= 0 Dönüş açıları Deplasman ϕ B ϕ C δ Sabtler,506 0,5-0, ,5,88-0,5 = 0.6-0, -0,5 0, ϕ B = -.9 ϕ C =0. δ= -.95 Çubu uç momentler; AB = 0.0(-.9 x(-.95)/5)-7.56= Nm BA = 0.0(x(-.9) x (-.95) / 5 ) 7.56 = 6.8 Nm BC = 0.5 ( x (-.9) 0. ) 5.8 = -6.8 Nm CB = 0.5 ( x ) 5.8 = 5. Nm CD = 0.57 ( x 0. x (-.95) / 7 ) = -5. Nm Sonuç alanı CD = 0.57 ( 0. x (-.95) / 7 ) 6.08 =6.6 Nm 7

101 Açı etodu Bölüm EŞİT S (SCAKK) ETKİSİ. Eşt ısı değşmnde göz önüne alınmayan durumlar sındıtan sonra durum sındıtan sonra durum sınmadan önce durum sınmadan önce durum -δ= - δ= -. Smetr sstemler δ=0 sınmadan önce durum -δ= δ=0 δ = / δ = / ve =uzama = α t δ= -δ= -. Düğüm notaları sabt sstemler -δ= δ = -δ= - δ =. Düğüm notaları hareetl sstem δ δ = olara bulunmalı δ=δ blnmeyen seçlr δ δ Anastrel momentler; çubularında = = E çubularında = E Örne: Şelde verlen düğüm notaları hareetl sstemde ünform t a =0 o C, t ü =0 o C, α=0-5,=5.0 - m ve E=. 0 6 t/m olduğuna göre açı metoduyla moment alanını çznz. B A.8 0 m C D m m m δ BA BC CD α 5 BC =. α.t = 0.x0 x0=.00 m 5 AB =. α.t = 5 x0 x0=.0 m 6 BC = E BC =.0 x50 x.00 =. 6 AB = E AB =.0 x50 x.0 =. 8

102 Bölüm Açı etodu 5 CD =. α.t = 7x0 x0=.0 m 6 CD = E CD =.0 x 50 x.0 = C ve B düğümlernde yatay denge yazılaca olur se, δ AB δ = BC cosα δ AB = BC cosα - δ =. cos (.) -δ = δ C ve B düğümlernde düşey denge yazılaca olur se, - CD cosα δ snα AB cosα δ AB snα= cos (.) δsn (.).cos (.) δ AB sn (.) 0.96 (δ δ AB ) = δ δ AB = -6.6 Bazı çubuların uç momentler, δab 0. (.685 δ) δ AB = BA = = = 5. 0.δ AB 0.57 δ CD = DC = = = 0.5δ 5 7 B düğümünde, (0. 0.5)ϕ B 0.5ϕ C δ = 0.506ϕ B 0.5ϕ C 0. δ= -5. C düğümünde, ( )ϕ C 0.5ϕ B 0.5 δ = 0.88ϕ C 0.5ϕ B 0.5 δ=0 Yatay denge, -x0.ϕ B /5 -x0.57ϕ C /76(0.x(.685-δ)/5 0.57/7 )δ=0-0.ϕ B -0.5ϕ C 0.06 δ=-.78 Dönüş açıları Deplasman Sabtler ϕ B ϕ C δ = ϕ = -.98 ϕ =.6 δ=.5 Çubu uç momentler; δab 0.0 (.685 δ) AB = BA = = = 5. 0.δ = = BA = 0.( x (-.978).6 = 0.6 Nm AB = 0.( (-.978).6 =.0 Nm BC = 0.5 ( x (-.978).6 ) = 0.6 Nm CB = 0.5 ( x ) = 0.80 Nm δab 0.57 δ CD = DC = = = 0.5δ = =.95 7 CD = 0.57 ( x.6 ).95 = Nm CD = 0.57 (.6).95 = -.06 Nm 0.5 m m..06 9

103 Açı etodu Bölüm Uygulama: Şelde çeçevede elemanların rjtlğ E= Nm, sıcalı genleşme atsayısı α=0-5, est yüselğ d=0.50 m, t =5 o C ve t d =-5 o C olması durumu çn verlen çerçevenn moment alanının çzm. m E=sabt m 0. Anastrel moment 5 Eα t o t = t td = 5 ( 5) = 0 C = = = = = 6.0 Nm d Eα t = = = 9.56 Nm d 0.50 düğümünde denge, (0.0.) ϕ 0.ϕ (x0.xδ/5) =0.6ϕ 0.ϕ 0.δ=0 düğümünde denge, (0.0.)ϕ 0.ϕ (x0.δ/5) =0.ϕ 0.ϕ 0.δ=-.5 Yatay denge, -x0.ϕ /5-x 0.ϕ /5δ(6x0.x0.)/5 =0-0.ϕ -0.ϕ 0.δ=0 Dönüş açıları Deplasman ϕ ϕ δ Sabtler,60 0,0-0, 0 0,0, -0, =.5-0, -0, 0, 0 Çözümden ϕ = -,58 ϕ = 5,07 δ = 7,9 Çubu uç momentler =0.[( /5)]-6.0=-68.77Nm =0.[( (-.58)- 7.9/5)]6.0=55.88 Nm 0.00 =0.[( (-.58)5.07]-6.0= Nm =0.[( ]6.0=8.66 Nm = 0. ( /5)-9.56=-8.67 Nm t d t d t d d dϕ t ort d t d αt ort d α td t t ort t t td 5 ( 5) o 5 tort = = = 0 C = = = Eαtortd= = 788 D çubuğunda δ = δ çubuğunun se = δ çubuğunda δ = δ D D 0

104 Bölüm Açı etodu Uygulama: Verlen çerçevenn alanının çzm. E = Nm 5 α = 0 dtüm estlerde = 0.50 m t = ta tü = 0 0 = 0 C t a=0 o C t ü=0 o C t a=0 o C t a=0 o C t a=0 o C m ➆ ➇ m m m m m 0,75 0,50 0,80 0,75 0,75 0,50,00 ➆ ➇ m m Çözüm: Verlen sstemde alt üst sıcalı farlı olmasından dolayı sıcalı farı ve ünform sıcalı durumu çn ayrı çözüm yapılara momentler toplanır. m m m m çözüm. t = 0 0 = 0 C AA: Sıcalı farından dolayı t d t d t d d dϕ t ort d t d αt ort d α td t t ort t Sıcalı anastrel d 0.50 = = = = d 0.50 = = = = d α. t 0.0 = 5 = E() = = 9.56 Nm 5 α. t 0.0 E Nm 5 α. t 0.0 E() Nm NOT : Kolonlarda t = 0 0 = 0 olduğu çn = 0 olur. Hesaplanan anastrel momentler sstem rjtl matrsnde yerne yazılara düğüm notalarının dönüş açıları bulunur.. düğüm denges ϕ 0.5ϕ = 0 ϕ 0.5ϕ = 6.0. düğüm denges.6 ϕ ϕ ϕ = ϕ = 7. 0 ϕ = 0.0 ϕ =.60.6 ϕ 0.5ϕ0.8ϕ =.5. düğüm denges 5.ϕ ϕ = ϕ 0.8ϕ =.5.DN FARK SCAKK DEĞİŞİİ İÇİN ÇUBUK UÇ OENTERİ = 0.75 ( ( 7.0) 0) 9.56 = 69.0 Nm = 0.5 ( ( 7.0) 0.0).5 =.9Nm = 0 = = ( ( 7.0)) 5.5 Nm.DN FARK SCAKK DEĞİŞİİ İÇİN ÇUBUK UÇ OENTERİ = 0. 5 ( (0.0) 7.0),5 =.0Nm = 0.8 ( (0.0).60) 6,0 =.0Nm = 0 = = 7 0,5 ( 0.0)) 0.0Nm

105 Açı etodu Bölüm.DN FARK SCAKK DEĞİŞİİ İÇİN ÇUBUK UÇ OENTERİ = 0.8 ( (,60) 0.0) 6.0 = 78.8Nm 8 =.0 ( (,60)) = 9.0Nm = 0 = = 5 0,75 ( (,60)) , 66Nm DİĞER.DN FARK SCAKK DEĞİŞİİ İÇİN ÇUBUK UÇ OENTERİ = 0.5 (0.0) = 5.50Nm 7 8 =,0 (. 60) =.60Nm -69,0 -,50 -,0 -,0-87,67-78,8-5,5 0,0 9,9-5,05 -, BA: Ünform sıcalı durumu Krşlerde tort = = 0 C Kolonlarda tort = = 0 C = 5 = = 6 = = m m 5 Çubularda boyca uzamalar = (E)..t ort. α = = 6.0m = = m 5 = = = 9.56m 0.75 = ( 9.56) = 5.6 Nm = = ( ) = Ünform sıcalı değşm = = ( ) 0 7 = ' çubularında 5 = (9.56) = 5.6 Nm = δ 8 NOT : Kolonlarda yatay deplasman δ = 0 = çubularında = δ t a=0 o C t ü=0 o C t a=0 o C t a=0 o C t a=0 o C m ➆ m ➇ m m m m. düğüm denges ϕ 0.5ϕ 5.6 = 0 ϕ 0.5ϕ = 5.6. düğüm denges.6 ϕ 0.5ϕ0.8ϕ = 0 ϕ = 8.8 ϕ = 0. ϕ = düğüm denges 5.ϕ ϕ = ϕ 0.8 ϕ = 5. 6

106 Bölüm Açı etodu = 0.75 ( ( 8.8) 0) 5,6 =. Nm = 0.5 ( ( 0.) 8.8) =.7 Nm = 0.5 ( ( 8.8) 0.) ) = 8.99 Nm = 0 = 0.8 ( ( 0.) 7.00) ) = 5.07 Nm = = ( ( 8.8) 0 ). Nm 7 = 0. 5 ( ( 0.) 0) = 0. Nm = 0 = 0.8 ( (7.00) 0.) = 0.9 Nm 5 = 0.75 ( (7.00) ) 5.6 =.96 Nm = 0 = = 8.0 ( (7. 00) ).00 Nm = 0.5 ( 0.) = 0.7 Nm 7 =.0 (7.00) = 7.00 Nm 8 -, -8,99 -,95-0,9-69,0 -,50 -,0 -,0-87,67-78,8-0, -,,7-0,9,0-5,5 0,0 9,9 0,7-7,0-5,05 -,60 Ünform sıcalı değşmden dolayı oluşan moment alanı -9,6-5,9-8, -8,7 -,6-89, -8,77 9,77,0 -,88 -,60 Farlı sıcalı ve ünform sıcalıtan dolayı oluşan toplam moment alanı

107 Açı etodu Bölüm KİRİŞ YÜKERİNİN BEİRENESİ Yapının yü taşıma düzlem olan ve üzerne gelen yüler rş veya olonlara ataran genelde yatay betonarme elemanlardır. Krş ve olon sstem seçlen yapıda döşeme, rşler arasında alan yüselğ, genşllerne nazaran ço düşü olan yapı elemanı olara endlğnden oluşur. Krşl, rşsz, dşl (nervürlü), asmolen ve aset (ızgara)- rş döşeme olara hesaplamalar yapılır. mar projede belrtlen yapının ullanım amacı date alınara döşemeler; normal, düşü ve onsol olara seçlr. Döşemeler, aynı tp döşemeler çn yne projenn baış stametne göre soldan sağa olma üzere D le başlayara sırası le hang ata at se smges ve numara olma üzere numaralandırılara proje ölçeğne göre br dare çersne alınır. Döşemenn yülü;. Zat yüler (döşemede zamanla değşmeyen yüler; duvar, aplama). Hareetl yüler (zamanla değşm gösteren yüler, eşya, nsan, ar) Olara belrlenere döşemenn tpne göre taşıyıcı olan olon ve rşlere atarılır. Kaplama 0.0 m Tefsye betonu 0.0 m Döşeme betonu m.0 m.0 m Sıva 0.0 m.0 m ÇAT KAT Tesfye betonu 0.0 = 0.69 N / m Döşeme betonu =.75 N / m Tavans sıvası = 0.0 N / m Ahşap çatı = 0.50 N / m g = 8.9 N / m İzalasyon = 0.0 N / m Kar yüü = 0.75 N / m Kremt =.00 N / m Döşeme yüler brm m başına gelen yüler olara hesaplara atılır. NORA KAT Karo moza = 0.55 N / m Döşeme betonu =.75 N / m g = 5.9 N / m Tesfye betonu 0.0 = 0.69 N / m 7. 9 N / m Tavan sıvası = 0.50 N / m Hareetl yü}.00 N / m Kalıcı Yüler (Ölü) Duvar yüü Döşeme yüü Hareetl Yüler (Canlı) İnsan yüü Eşya yüü

108 Bölüm Açı etodu ÖRNEK 6: Planı atlı yapının - asının moment alanın AÇ metoduyla elde edlmes KB0 A K0 K0 C 5 0 BAKON K05 K06 K07 KB0 K0 K0 S 5/00. m 7 m m K0 K0 D0 D0 d = 5 d = 5 K0 K0 Duvarlar,. Yapılarda meanları ve ısımları bölmede. Yapının dış sınırlarını belrlemede. Yapının yangın, ısı, ses ve nem zolasyonunun sağlamada ullanılan düşey doğrultulu yapı elemanlarıdır. Duvar yapımında ullanılan malzemelere göre duvar türler şunlardır; Kerpç duvarlar Tuğla duvarlar Panel duvarlar Taş duvarlar Beton ve betonarme duvarlar Karma duvarlar olara sınıflandırılır. Yapılarda tam duvarlar (yalaşı 0 cm) duvarlar genellle rş üzerne yapılır. Yarım duvarlar se döşeme üzerne yapılablr. Anca bu durumlarda döşeme hareetl yüü.50 N/m artırılır. 5

109 Açı etodu Bölüm m İç sıva yüü = d x λ x h t/m d : ç sıva alınlığı h : ç sıva yüselğ λ : ç sıva malzemes brm hacm ağırlığı (t/m ) Dış sıva yüü = d x λ x h t/m d : dış sıva alınlığı h : dış sıva yüselğ λ : dış sıva malzemes brm hacm ağırlığı (t/m ) Not:. İç ve dış sıva alınlıları, malzemes ve yüseller aynı se te br hesaplanara atı alınır.. Yapıda ç bölme duvarları genellle 0 cm alınır. d d d Duvar est d q= dλh N/m Duvar yüü = d x λ x h N/m d : duvar alınlığı h: at yüselğ-rş yüselğ λ: duvar malzemes brm hacm ağırlığı (N/m ) Çerçeveler arasına yapılan duvarlar yatay yüler altında yapıya büyü rjtl azandırmatadır. Örne olara aşağıda verlen çerçevenn olon ve rşlernn değerler bulunmuştur. Bu çerçevenn çne duvar yapılması halnde değerler duvar malzemesnn dayanımına göre daha büyü değerler alacatır. Dahası çerçeve arasına donatılı duvar yapılması durumunda (betonarme perde) değer tüm atın est alınara hesaplanır. Örneğn duvar olmaması durumunda olonun değer 8 en bu ısma perde yapılması durumunda değer 8000 olmatadır..0 m h 0. N/m 69 N. N/m 0. N/m 69 N. N/m 6.07 N/m 76 N 5.5 N/m =0.0 =8 76 N = N/m 5.5 N/m =0.0 =8 =0.5. m 00 5 A 7 m m m 00 5 A 7 m m 5 00 Aşağıda resmn ncelemesnden yatay yü durumunda duvarın ets görülmetedr. 6

110 Bölüm Açı etodu Br rşn toplam yüünün belrlenmesnde etl olan parametreler aşağıda gb alınır. Br rş yüü,. Duvarsıva yüü. Döşeme yüü.a. Krşlerle --- yandan çevrl döşeme.b. Krşlern esştğ öşeden açı ortay çzlr..c. Uzun yönde trapez ısa yönde üçgen yayılı yüler rşlere atarılır..d. Atarım TS500 bağıntıları le çözümü olaylaştırma çn düzgün yayılı yü halne getrlr.. Krşn end yüü [bxhxxρ] oluşturur. Sıva Duvar Döşeme Krş 0 q=.00 N/m Sıva Duvar Duv Döşeme Krş 0 q=. N/m DÖŞEE YÜK ANAİZİ (NORA KAT-TS98) Döşemelerden rşlere yüler genel olara ddörtgen, üçgen ve trapez olara üç şelde gelr. Döşemelere gelen bu yüler aynen alınabldğ gb yönetmellern (TS500) öngördüğü şelde düzgün yayılı yüe aşağıda şelde çevrleblr. Döşemeden üçgen olara gelen yülern rşe düzgün yayılı yü olara atarılması x g (N/m ) g q = x q (N/m) x Döşemeden trapez olara gelen yülern rşe düzgün yayılı yü olara atarılması g (N/m ) y gx q = y / X q (N/m) Duvar yüünün belrlenmes, duvarlar genel olara dış ısımlarda 0 cm ç bölme duvarlar se 0 cm olara alınır. Bunun çn TS98 de genş açılamalar bulunmatadır. K06-06 rşne döşemelerden gelen yüler K06 D0 0 d = 5 cm D0 0 d = 5 cm 7

111 Açı etodu Bölüm K06 KİRİŞİ Krş ağırlığı =. N / m Du var ağırlığı =.50 N / m Sıva ağırlığı =.0 N / m 7.9 Döşeme ( ) = 9.89 N / m trapez (5 / ) 7.9 Döşeme =.8 N / m üçgen g= 0.0 N/m 0.0 N/m K06 KİRİŞİ Krş ağırlığı =. N / m 8. 9 öşeme ( ) = 0.8N / m trapez (5 / ) Döşeme =.65 N / m üçgen g= 7.59 N/ m 7.59 N/m 0.x5/=76 N K06. at 76 N 7.59x5/=69 N K06. at Konsol ısmın yüü açılıtann aynısı alınmıştır. Bunun çn çeştl çözüm şeller dğer derslerde ayrıntılı olara görüleblr. Kolon ağırlıları hmal edlmştr. 69 N K0 KİRİŞİ Krş ağırlığı =. N / m Du var ağırlığı = 5.00 N / m Sıva ağırlığı =.0 N / m 7.9 Döşeme ( ) = 5.5 N / m trapez ( 7 / 5) g= 6.07 N/m K0 KİRİŞİ Krş ağırlığı =. N / m Du var ağırlığı =.50 N / m Sıva ağırlığı =.0 N / m 7.9 Döşeme = 7.9 N / m üçgen g= 5.5 N/m K0 KİRİŞİ (ÇAT KAT) Krş ağırlığı =. N / m Döşeme ( ) = 7.00 N / m trapez (7 / 5) g= 0. N/m K0 KİRİŞİ (ÇAT KAT) Krş ağırlığı =. N / m 8.9 Döşeme = 8.9 N / m trapez g=. N/m Kolon ve rş Kest = (bh ) / dm oranları (.0=) = () / A 5x = 6x / B 00x = x / K0-0 5 x = x / 0 K0-0 5 x = x / 0 0. N/m 69 N. N/m 0. N/m 69 N. N/m 6.07 N/m 76 N 5.5 N/m =0.0 =8 76 N = N/m 5.5 N/m =0.0 =8 =0.5. m 00 5 A 7 m m m 00 5 A 7 m m 5 00

112 Bölüm Açı etodu Çerçevenn yüler bu şelde belrlendten sonra herhang br yöntemle est tesrler bulunur. Burada açı metoduyla bulunmuştur.. Kat Anastrel omentler Hesabı:.Kat Anastrel omentler 69 N 76 N 0. N/m. N/m 6.07 N/m 5.5 N/m. m 7 m Tel = = 7,88Nm = =,7Nm Kuvvetten 0 0 6, =.,5 0,75. = 99,07Nm 0 q=6,07n/m 0 yayılı yüten 6, =. 0,75. =,58Nm 0 0 5,5. =. 0,75. = 0,8Nm q=5,5n/m 0 0 yayılı yüten 5,5.. =.,5 0,75. = 5,05Nm 0 0 { Konsoldan onsol = 6,07.,.0,6 = 8,77Nm. m 7 m m Tel = =,7Nm = = 0,Nm Kuvvetten 0 0 0, =.,5 0,75. = 99,07Nm 0 q=0, N/m 0 yayılı yüten 0, =. 0,75. =,58Nm 0 0,. =. 0,75. = 0,8Nm 0 q=, N/m 0 yayılı yüten,.. =.,5 0,75. = 5,05Nm 0 0 { Konsoldan onsol = 0,.,.0,6 =,9Nm Bundan sonra her düğüm çn moment ve yatay denge aşağıda şelde yazılmış ve blnmeyenler ϕ ve δ bulunmuştur. DN: ( ) ϕ 0.0 ϕ 8 ϕ ( x 8)/) (δ δ )-7,88-99,07-0,88,77=0.8ϕ 0.0ϕ 8ϕ -6δ -6δ = 9,0 DN: ( )ϕ 0.ϕ 0.5ϕ (x(0.5)/)(δ δ ),7,585,05=0.80ϕ 0.ϕ 0.5ϕ -0.75δ -0.75δ = -98,5 DN: (80.)ϕ 0.ϕ 8ϕ (x8/)δ -,7-5,7-7,90,9=0 6.8 ϕ 0.ϕ 8ϕ - 6δ = 89,6 DN: (0.50.)ϕ 0.ϕ 0.5ϕ (x0.5/)δ 0,09,,86=0.8ϕ 0.ϕ 0.5ϕ -0.75δ =-.6. KYD (- x 8 / ) ϕ (- x 0.50/ ) ϕ (6 x ( ) / ) δ =0-6ϕ -0.75ϕ.9δ =0. KYD (- x 8 / ) (ϕ ϕ )(-x0.5/)(ϕ ϕ ) (6x(0.58)/ )δ =0 6ϕ 6ϕ -0.75ϕ -0.75ϕ.9δ =0 Zat yüler çn açı metodu denlem taımları ϕ ϕ ϕ ϕ δ δ Sabt = 9, = -98, = 89, = -, = = 0 DENKEERİN ÇÖZÜ SONUÇAR ϕ ϕ ϕ ϕ δ δ 7,677-78,0 9, ,5,085 66,87 9

113 Açı etodu Bölüm δ l = ϕ ϕ ( ) = 0,.7,65 78,0 7,88 99,07 0,8 = 7,86Nm 66, = 8.7,65 9,0 7,9Nm = 0,0 A 8.7,65 8,8Nm = = onsol = 8,77Nm = 0, ( ,65),7,58 5,05 =,00Nm 66, = 0, ,5 55,98Nm 0 =,0 B = 0, = 87,0Nm 66, = 8.9,0 7,65 = 08,96Nm = 0, (.9,0 06,5),7 5,7 7,90 =,Nm 0 onsol =,9Nm 66, = 0,5. 06,5 78,0 70,5Nm = = 0, (. 06,6 9,0) 0, 09,,86 = 70,Nm 0 50