GRUPLARI İÇİN İNDİRGEME ALGORİTMA ANALİZLERİ Abdullah ÇAĞMAN Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı Doç. Dr.

Transkript

1 GRUPLARI İÇİN İNDİRGEME ALGORİTMA ANALİZLERİ Abdullah ÇAĞMAN Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı Doç. Dr. Nurullah ANKARALIOĞLU 2014 Her hakkı saklıdır

2 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GRUPLARI İÇİN İNDİRGEME ALGORİTMA ANALİZLERİ Abdullah ÇAĞMAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı ERZURUM 2014 Her hakkı saklıdır

3 T.C. ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEZ ONAY FORMU GRUPLARI İÇİN İNDİRGEME ALGORİTMA ANALİZLERİ Doç. Dr. Nurullah ANKARALIOĞLU danışmanlığında, Abdullah ÇAĞMAN tarafından hazırlanan bu çalışma.../.../... tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı nda Doktora tezi olarak oybirliği/oy çokluğu ( / ) ile kabul edilmiştir. Başkan :... İmza : Üye :... İmza : Üye :... İmza : Üye :... İmza : Üye :... İmza : Yukarıdaki sonuç; Enstitü Yönetim Kurulu.../.../.. tarih ve....../ nolu kararı ile onaylanmıştır. Prof. Dr. İhsan EFEOĞLU Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak olarak kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

4 ÖZET Doktora Tezi GRUPLARI İÇİN İNDİRGEME ALGORİTMA ANALİZLERİ Abdullah ÇAĞMAN Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Nurullah ANKARALIOĞLU Hesaplamalı Grup Teori (HGT) kapsamında önemli bir çalışma alanı, klasik grupların maksimal alt gruplarının bir sınıflandırması olan Aschbacher sınıflandırmasındaki gruplar için indirgeme (homomorfizm kurma) algoritması oluşturmak ve bu algoritmaların analizlerini yapmaktır. bir ekstra-özel grup ve ( asal) olmak üzere, şeklindeki alt grupları Aschbacher sınıflandırmasındaki kategorisini oluşturmaktadır yılında sınıfına giren gruplar için bir indirgeme algoritması kurulmuş ancak bu algoritmadaki BlindDescent kısmının analizleri sadece ve olmak üzere şartıyla birlikte durumları için tamamlanmıştır. Bu tezdeki amaç, durumunda BlindDescent ın herhangi bir şart olmaksızın bazı analizlerini yapmaktır. Bu amaç kapsamında, analizler için gerekli olan nin mükemmel alt grupları tespit edilmiş, tamamlanmış ve 2014, 71 sayfa nin çözülebilir olduğu durumlarda analizler nin çözülebilir olmadığı bazı durumlar için analizler yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Grubu, İndirgeme Algoritması, Algoritma Analizi i

5 ABSTRACT Doctoral Thesis REDUCTION ALGORITHM ANALYSIS FOR GROUPS Abdullah ÇAĞMAN Atatürk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Algebra and Number Theory Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Nurullah ANKARALIOĞLU In the context of Computational Group Theory (CGT), an important working area is setting up reduction algorithms and analysing these algorithms for groups in Aschbacher classification which is an categorisation of maximal subgroups of the classical groups. Let be an extra-special group and ( prime). The subgroups such that forms the groups in this classification. In 2006, a reduction algorithm was set up for the groups in class but the analyses of section BlindDescent only have been completed for the cases and with for. In this thesis, the aim is to make some analyses of the BlindDescent for without any condition. So, the perfect subgroups of which we need for the analyses are determined, analyses for the cases completed and analyses for some other cases 2014, 71 pages is not solvable are made. is solvable are Keywords: Group, Reduction Algorithm, Algorithm Analysis ii

6 TEŞEKKÜR Doktora tezi olarak sunduğum bu çalışma Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü nde hazırlanmıştır. Bu tez konusunu çalışmamı sağlayan, doktora eğitimim boyunca ilgi ve alakasını eksik etmeyen ve hem akademisyenliğe hem de hayata yaklaşımıyla bana örnek olan saygıdeğer hocam Sayın Doç. Dr. Nurullah ANKARALIOĞLU na teşekkürü bir borç bilirim. Çalışmalarım boyunca değerli fikirlerinden faydalandığım Sayın Prof. Dr. Hüseyin AYDIN a, Sayın Prof. Dr. Ramazan DİKİCİ ye, Sayın Prof. Dr. Erdal KARADUMAN a, Sayın Yrd. Doç. Dr. Tevfik İŞLEYEN e ve matematik bölümünün değerli öğretim elemanlarına şükranlarımı sunarım. Bu meşakkatli yolda bütün sıkıntılarıma ortak olan, varlığıyla huzur bulduğum eşime ve emeklerinden dolayı aileme sonsuz teşekkür ederim. Tez süreci boyunca maddi ve manevi desteklerinden dolayı TÜBİTAK a teşekkürlerimi sunarım. Abdullah ÇAĞMAN Ekim, 2014 iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... viii 1. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Grup Teori Grup Çarpımları Merkezil çarpım Yarı direkt çarpım Zengin çarpım MATERYAL ve YÖNTEM Yardımcı Tanım ve Teoremler Klasik Gruplar Formlar İzometri grupları Klasik grup tanımları Klasik Grupların Mertebeleri Lineer gruplar Simplektik gruplar Üniter gruplar Ortogonal gruplar Ekstra-özel Gruplar Grupları nun Maksimal Alt Grupları Algoritmik Önbilgiler BlindDescent ARAŞTIRMA BULGULARI iv

8 5. TARTIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELER DİZİNİ ile ile ile ile ile ile nin genişlemesi (split olup olmaması önemli değil) nin split olmayan genişlemesi nin split genişlemesi nin yarı direkt çarpımı nin merkezil çarpımı nin direkt çarpımı. mertebeden alterne grup ile nin zengin çarpımı homomorfizminin çekirdeği. mertebeden dihedral grup mertebeden elementer abelyen grup mertebeden elementer abelyen normal alt gruba sahip ve bu alt grupla bölüm grubu mertebeden elementer abelyen grup olan mertebeden elementer abelyen grup nin türev grubu grubunun. türev grubu Genel lineer grup Genel üniter grup Genel ortogonal grup. mertebeden devirli grup olayının olma olasılığı ile olaylarının koşullu olasılığı. mertebeden kuaterniyon grup Kronoker deltası Özel lineer grup vi

10 Simplektik grup. mertebeden simetrik grup nun deki normal kapanışı Aşikar (birim) grup den büyük olmayan en büyük tamsayı vii

11 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1. Eksponenti olan simplektik-tip grupların yapısı Çizelge 3.2. nun geometrik-tip maksimal alt grupları ( ( )) Çizelge 3.3. nun sınıfına giren maksimal alt grupları Çizelge 4.1. Hesaplamalar Çizelge 4.2. nin maksimal alt grupları Çizelge 4.3. nin maksimal alt grupları Çizelge 4.4. nin maksimal alt gruplarının çözülebilir kalanları Çizelge 4.5. İnvolüsyonlar viii

12 1 1. GİRİŞ 1911 yılında Alman matematikçi Max Dehn in sormuş olduğu ve gruplar için kelime problemi olarak bilinen, Sonlu üretilmiş bir grupta verilen herhangi bir kelimenin grubun birim elemanına eşit olup olmadığına karar veren bir algoritma var mıdır? sorusu ile başlayan Hesaplamalı Grup Teori (HGT), Hesaplamalı Cebir in (HC) en eski ve en gelişmiş dallarından biri olup, grup teori algoritmalarını oluşturma, analiz etme ve etkili bir şekilde kullanma olarak tanımlanabilir. Kelime problemi ile başlayan HGT, 20. yüzyılın ortalarından sonra büyük ilerlemeler kat etmiştir. Permütasyon gruplarının hemen hemen her alanında çalışmalar yapılmış olup bu gruplar HGT nin bugüne kadar en çok çalışılan gruplarıdır. Bu alandaki ilk çalışmalardan biri Sims (1970) in düzenlediği ve Schreier-Sims algoritması olarak da bilinen permütasyon gruplarının mertebesini bulan algoritmadır. Bu algoritma daha sonra Knuth (1991) tarafından çalışma zamanı daha iyi olacak şekilde geliştirilmiştir. Sims daha sonra büyük boyutlu permütasyon gruplarını belirlemek, bu grupların arakesitlerini bulmak ve daha bir çok teorik özellikleri tespit etmek için etkili algoritmalar kurmuştur (Sims 1971). elemanlı bir küme üzerinde tanımlı bir permütasyon grubunun, mertebesi çok büyük olsa bile küçük bir geren kümesi ile temsil edilebileceği bilinmektedir. Furst et al. (1980), elemanı olma, eşitlik ve içerme testleri gibi bir çok problemin polinom zamanda çözülmesini sağlayan bu şekildeki geren kümelerinin kullanılmasının pratikte çok faydalı olduğunu göstermişlerdir. Elemanı olma ve mertebe bulma gibi problemlerin yanı sıra permütasyon gruplarıyla ilgili normalleştirici hesaplama, Sylow alt grupları belirleme ve maksimal alt grupların eşlenik sınıflarının temsilci elemanlarını bulma gibi çok değişik çalışmalar da yapılmıştır (Butler 1983; Butler and Cannon 1991; Cannon and Souvignier 1997; Cannon and Holt 2003). Bu gruplarda yapılan çalışmalar, Cayley in Her grup bir permütasyon grubuna izomorftur. teoremi dikkate alındığında diğer gruplar için temel teşkil etmektedir. Permütasyon gruplarının yanı sıra temsil teori ve sonlu gerilmiş gruplarda da çalışmalar bulunup, HGT nin uzun süre ihmal edilen fakat seksenli yıllardan sonra hızla büyüyen alt dalı

13 2 sonlu cisimler üzerinde tanımlanan matris gruplarıdır. Matris grupları üzerindeki çalışmalar Aschbacher in 1984 yılında yayınlanan çalışmasını temel almaktadır (Aschbacher 1984). Aschbacher bu çalışmasında, klasik gruplar olarak bilinen lineer, simplektik, üniter ve ortogonal grupların maksimal alt gruplarının sınıflandırmasını yapmıştır. Bu sınıflandırma aşağıdaki gibidir: Teorem 1.1:, üzerinde nun etkisi olan bir vektör uzayı, nun bir maksimal alt grubu ve nin skaler matrislerinin alt grubu ( ( ) ) olsun. Bu taktirde aşağıdakilerden en az biri doğrudur:., indirgenebilir etkiye sahiptir,., ilkel olmayan (imprimitive) etkiye sahiptir,., cisim genişlemesi üzerinde tanımlanan boyutlu bir vektör uzayının yarı-lineer otomorfizmlerinin grubu olarak üzerinde etki eder,. üzerinde tanımlı boyutlu uzaylarının tensör çarpımı olarak nin bir ayrışımını korur,. cisminin has alt cismi ve olmak üzere dir,. Bazı asalları için ve, mertebesi olan simplektik grubu veya mertebesi olan ekstra-özel grubu normalleştirir,., tensör-induced gruptur,., bir klasik grubu içerir ve aynı zamanda normalleştirir,. değişmeli olmayan bir basit grup olmak üzere, dir, (Aschbacher 1984). Aschbacher in bu çalışması matris gruplarıyla ilgili algoritmik çalışmaların başlamasına öncülük etmekle kalmayıp matris gruplarının yapısal özelliklerinin de incelenmesine imkan sağlamıştır.

14 3 İncelemekte olduğumuz sınıfıyla ilgili indirgeme algoritmalarını içeren ilk çalışma 2005 yılında Alice C. Niemeyer tarafından yapılmıştır. Niemeyer (2005), verilen bir grubunun mertebeden ( tek asal) bir normal ekstra-özel grup içerip içermediğini belirleyen ve eğer böyle bir grup içeriyorsa den ye bir homomorfizm kuran algoritmanın doğruluğunu ispat etmiştir. Homomorfizm bulmayla ilgili bir diğer çalışma da Niemeyer (2005) in devamı olarak düşünebileceğimiz Brooksbank et al. (2006) ın makalesidir. Bu çalışmada, bir ekstra-özel normal alt grup içeren grubundan aşikar olmayan permütasyon ya da matrislerin bir grubuna homomorfizm tanımlayan bir algoritma verilmiştir. HGT de yapılan bütün çalışmalar özel olarak yapılandırılmış iki sistemi kullanmaktadır: GAP (The GAP Group 2014) ve MAGMA (Bosma 1997). Bunların yanı sıra bir çok bağımsız program ve küçük sistemler de mevcuttur. Bu tezde ele alınan gruplar ve cisimler sonlu olup, notasyon olarak Conway et al. (1985) temel alınmıştır. Tezin içeriği, aşağıdaki gibi beş ana başlık altında toplanmıştır: Tezin Giriş kısmında tez konusu ile ilgili geçmişten günümüze yapılan çalışmalar tarihi bir seyir içinde sunulmuştur. Kuramsal Temeller olarak adlandırılan ikinci bölümde, tezde geçen genel tanım ve teoremlere belirli alt başlıklar altında yer verilmiştir. İlk olarak Herman Weyl tarafından adlandırılan klasik gruplar bazı geometrik özellikler yardımıyla, Materyal ve Yöntem olarak adlandırılan üçüncü bölümde tanımlanmış ve yine bu bölümde bahsedilen grupların mertebeleri verilmiştir. İlave olarak, yukarıda tanımladığımız ve tez konumuzun temelini oluşturan gruplarının yapısal özelliklerinden bahsedilmiş, analiz yaparken çok sık kullandığımız nun maksimal alt gruplarına ve algoritmik bazı bilgilere değinildikten sonra analizini

15 4 yaptığımız BlindDescent algoritması verilmiştir. Dördüncü bölüm olan Araştırma Bulguları kısmında, BlindDescent algoritmasının, girdi olan grubunun önce çözülebilir olduğu durumda daha sonra ise diğer bazı durumlarda analizleri yapılmıştır. Son bölüm olan beşinci bölümde ise elde ettiğimiz sonuçlar verilmiştir.

16 5 2. KURAMSAL TEMELLER 2.1. Grup Teori Tanım 2.1.1: bir grup ve için ler de nin alt grupları olsun. serisine nin alt normal serisi denir. Tanım 2.1.2: bir grup ve serisi nin alt normal serisi olsun. Eğer her için bölüm grubu abelyense ye çözülebilir grup denir. Denk olarak, türev serisi nin aşikar alt grubu ye ulaşıyorsa grubuna çözülebilir grup denir. Buradaki, olan en küçük sayısına nin türev uzunluğu ya da çözülebilirlik uzunluğu denir. Teorem 2.1.3: çözülebilir bir grup ise nin alt grupları da çözülebilirdir (Rotman 1995). Tanım 2.1.4: bir grup ve de nin komütatör alt grubu olsun. Eğer ise ye mükemmel (perfect) grup denir. Teorem 2.1.5: Eğer bir mükemmel grup ise nin her bölüm grubu da mükemmeldir (Dummit and Foote 2004). İspat:, nin herhangi bir normal alt grubu ve doğal homomorfizm olsun. örten olduğu için dir. Ayrıca için ([ ]) [ ] olduğundan komütatör alt grubu komütatör alt gruba götürür. Yani, dür. mükemmel olduğundan olup bulunur. Dolayısıyla, de mükemmeldir. Tanım 2.1.6: bir asal olmak üzere, ye

17 6 izomorf olan grubuna elementer abelyen -grup denir (Rotman 1995). Tanım 2.1.7: Bir grubunun bütün maksimal alt gruplarının arakesitine bu grubun Frattini alt grubu denir ve ile gösterilir. Tanım 2.1.8: Bir grubunun elemanlarının mertebelerinin en küçük ortak katına bu grubun eksponenti denir ve exp ile gösterilir. Özel olarak, bir asal olmak üzere - grupların eksponenti en büyük mertebeli elemanın mertebesine eşittir. Teorem 2.1.9: bir grup ve, nin Frattini alt grubu olsun. Eğer nin herhangi bir alt kümesi için oluyorsa bu taktirde olur (Suzuki 1982) İspat: olduğunu kabul edelim. Eğer, nin bir has alt grubu ise i içeren nin bir maksimal alt grubu vardır. Bu taktirde, olup bu ise olması ile çelişir. Dolayısıyla, nin bir has alt grubu olmayıp, dir. Sonuç : Eğer devirli ise bu taktirde de devirlidir (Gorenstein 1980). İspat: Herhangi bir için olsun. Bu taktirde, olup Teorem dan dır. Teorem : bir grup ve, nin merkezi olsun. Eğer devirli ise abelyendir (Aschbacher 2000). İspat: Herhangi bir için olduğunu kabul edelim. Her için olup herhangi bir tamsayısı için dir. Özel olarak, herhangi bir için dir. Şu halde, ve ( ve tamsayılar) olsun. Bu taktirde,

18 7 olup abelyendir. Teorem : bir asal, bir -grup ve, nin bir normal alt grubu olsun. Eğer ise dir. Özel olarak, eğer ise nin merkezi birimden farklı bir eleman daha içerir yani, ise dir (Suzuki 1982). Teorem : bir grup ve olsun. Bu taktirde, olması için gerek ve yeter şart ve nın abelyen olmasıdır (Isaacs 2008). İspat: olsun. Bu taktirde için dır. Özel olarak, ve için de olup olacağından dir. Ayrıca, için olduğundan olup abelyendir. Tersine ve abelyen olsun. Bu taktirde, için olup elde edilir. Teorem : bir grup ve de nin bir normal alt grubu olsun. Eğer ve çözülebilir ise de çözülebilirdir (Rotman 1995). Teorem : çözülebilir bir grup ve de nin bir normal alt grubu olsun. Bu taktirde, de çözülebilirdir (Rotman 1995). İspat: çözülebilir ve bir örten homomorfizm ise da çözülebilirdir ifadesini ispat etmemiz yeterlidir. Eğer bölüm grupları abelyen olan alt normal seri ise serisi de için bir alt normal seridir. Gerçekten, her ve için ( ) olup olduğundan ve dolayısıyla da dir. Yani her

19 8 için dir. şeklinde tanımlanan dönüşüm, ve örten homomorfizmlerinin bileşkesi olduğundan yine bir örten homomorfizmdir. Ayrıca, olup her için olduğundan dur. Dolayısıyla, örten homomorfizminden örten homomorfizmini elde edebiliriz. abelyen olup bu homomorfizmin çekirdeği ile bölüm grubu da abelyendir (abelyen grupların bölüm grupları da abelyendir). Bu bölüm grubu 1. İzomorfizm teoreminden ye izomorf olup bölüm grubu da abelyendir. O halde, grubu da çözülebilirdir. grubundan normal alt grubuyla elde edilen bölüm grubuna her zaman bir örten homomorfizm (doğal homomorfizm) tanımlanabildiğinden eğer çözülebilir ise bölüm grupları da çözülebilirdir. Tanım : bir grup da nin bir alt grubu olsun. Eğer her için oluyorsa ya nin karakteristik alt grubu denir. Örnek : Bir grubunun aşikar alt grupları ve merkezi karakteristik alt gruplarıdır ( olsun. bir otomorfizm olduğundan örten olup ve homomorfizm olup dir. Ayrıca, ( ), nin merkezi olup olduğundan ( ) dir). Teorem (Karşılık Gelme): bir grup de nin normal alt grubu olsun. bölüm grubunun alt gruplarıyla nin yi içeren alt grupları arasında birebir eşleme vardır. Bu birebir eşlemede normallik korunur. Yani, bu birebir eşlemede

20 9 2012). nin normal alt grupları nin yi içeren normal alt grubuna eşlenir (Machi İspat: kümesi nin bir alt grubu olsun. nin bir alt kümesini tanımlayalım (bu küme aslında deki yan kümelerin birleşimidir). kümesi yi içerir ve nin bir alt grubudur. Gerçekten, i. her için ve olup ve kapalı olduğundan olur. Dolayısıyla, dir. ii. için olup dir. iii. her için ve olduğundan olup dir. Dolayısıyla, bulunur. Tersine eğer, nin yi içeren alt grubu ise kümesi nin bir alt grubudur. Gerçekten, i. her için ve olduğundan dir. ii. için dir. iii. her için olup dir., nin yi içeren alt gruplarının kümesi ve de nin alt gruplarının kümesi olsun. dönüşümünün birebir ve örten bir dönüşüm olduğunu gösterelim. Bunun için dönüşümünün nın tersi olduğunu göstermemiz yeterlidir. Bu sebeple, ve dönüşümlerinin birim dönüşüm olduğunu göstereceğiz: ve

21 10 olup dönüşümü birebir ve örtendir., nin yi içeren normal alt grubu olsun. nın nin normal alt grubu olduğunu gösterelim. Her ve için olup normal alt grup olduğundan ve dolayısıyla bulunur. Yani, normal alt gruptur. Tersine, eğer, nin normal alt grubu ise kümesi de nin normal alt grubudur. Gerçekten, ise her ve için dür. Buradan yazılır. olması için, ve olmak üzere, yani olması gerekir. olduğundan dür. olarak alırsak olduğundan olup bulunur Grup Çarpımları Merkezil çarpım Tanım : bir grup ve ler grubunun alt grupları olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanırsa ye nin merkezil çarpımı denir ve şeklinde gösterilir. i. ve ii. Her için [ ] [ ] dir. Teorem : ler bir grubunun alt grupları ve bu grupların direkt çarpım grubu olsun. olarak tanımlayalım. Bu taktirde aşağıdaki ifadeler denktir: i., alt gruplarının merkezil çarpımıdır.

22 11 ii. için ( ) olacak şekilde bir epimorfizmi vardır (Doerk and Hawkes 1992). İspat: i ii Merkezil çarpımın tanımından ve için [ ] olur. () olarak tanımlayalım. ve nin keyfi elemanları olsun. Bu taktirde, () olup bir grup homomorfizmidir. nun tanımından örten ve ( ) olduğu açıktır. ii i örten olduğundan dir. olup ( ) ( ) ( ) ( ) olur. Dahası, için [ ] [ ( ) ( )] ([ ] olup nin merkezil çarpımıdır. Teorem : ler birer grup ve ise için monomorfizmi var olacak şekilde bir abelyen grup olsun. dış direkt çarpım grubu ve olsun. Ayrıca, ( ) kümesini tanımlayalım. Bu taktirde,,, olmak üzere bölüm grubu, alt gruplarının merkezil çarpımıdır ve için dir (Doerk and Hawkes 1992). İspat: olduğu nin tanımından açıktır ve böylece dir. kümesini göz önüne alalım. Herhangi bir için ve aynı zamanda

23 12 olmak üzere ( ) yazabiliriz. Dolayısıyla, sıralı -lilerin eşitliğinden olur. ler homomorfizm oldukları için bulunur. Ayrıca, olduğundan olduğu kolayca görülür. Buradan da olup bulunur. Yani, dir. olduğunu göz önüne alırsak İkinci İzomorfizm Teoremi nden ( ) olduğunu söyleriz. Şimdi, ve arasındaki izomorfizmini ( ) izomorfizmine genişletelim ve doğal homomorfizmini göz önüne alalım. Bu taktirde, bileşke dönüşümü den ye bir örten homomorfizimdir. Gerçekten, her için, ( ) ( ) ( ) (( ) (( ))) ( ) ( ) ( ) ( ) olup bir homomorfizimdir. nın tanımından örten olduğu açıktır. Ayrıca, olmak üzere, ( ) ( ( )) ( ) ( ) olup bölüm grubu alt gruplarının merkezil çarpımıdır.

24 13 Örnek : ve olsun. ve dir. devirli grubunu düşünelim. Bu taktirde, ve ve aynı zamanda ve monomorfizimlerini (bu dönüşümler aynı zamanda izomorfizmdir) tanımlayabiliriz. direkt çarpım grubu ve olsun. Son olarak da ( ) olur. Bu taktirde, olup ve olup

25 14 olarak bulunur. Dolayısıyla, bölüm grubu ve nin merkezil çarpımıdır. Burada, dir. İki grubun merkezil çarpımı daha pratik olarak şu şekilde de yapılabilir: ve herhangi iki grup olsun. bir izomorfizm olacak şekilde, ve alt gruplarının var olduğunu kabul edelim. Bu taktirde, ( ) olmak üzere kümesine ve nin merkezil çarpımı denir Yarı direkt çarpım Tanım : bir grup ve boştan farklı bir küme olsun. Eğer için, dönüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa nin üzerinde etkisi vardır denir. i. için ii. için (, grubunun birim elemanıdır). Eğer nin üzerinde bir etkisi varsa ya bir -küme denir. Burada için şeklinde bir dönüşüm tanımlarsak bu dönüşüm bir permütasyon olur. Gerçekten, ( ) ( ) ve aynı zamanda ( ) olup, nin tersi olduğundan birebir ve örtendir. Tanım : ve birer grup olsun. Eğer, üzerinde, her a nın etkisi

26 15 ( ) nin bir otomorfizmi olacak şekilde etki ediyorsa ya üzerinde otomorfizimlerle etki ediyor denir. Tanım e göre grubunun grubu üzerinde otomorfizimlerle etki etmesi için gerek ve yeter şart ve için, olmasıdır. Burada ilk iki şart nın üzerinde etkisi olduğunu, son şart ise nın üzerindeki etkisinin nin bir otomorfizmi olduğunu garanti eder. Buradan da, nin birim elemanı olmak üzere ve için olduğu açıktır. Örnek : bir grup olsun. Sabit bir için şeklinde tanımlanan dönüşüm nin kendisi üzerinde bir etkidir. Ayrıca, bu dönüşümle birlikte kendisi üzerinde otomorfizimlerle etki eder. Teorem : ve birer grup olsun. nın üzerinde otomorfizimlerle etki ettiğini kabul edelim., nin otomorfizmi olmak üzere,, şeklinde tanımlanan dönüşüm bir homomorfizmdir (Grillet 2007). İspat: olmak üzere, ( ) ( ) olduğu göz önüne alınırsa nin bir homomorfizm olduğu kolaylıkla görülebilir. Tanım : ve birer grup ve nın üzerinde otomorfizimlerle etkisi olsun. kartezyen çarpım kümesi, ve için,

27 16 ikili işlemi ile birlikte bir gruptur. Bu gruba nin ile dış yarı direkt çarpım grubu denir ve ile gösterilir. grubunun birim elemanı ve herhangi bir elemanının tersi ( ) dir. Tanım : bir grup,, ve olsun. Bu taktirde ye nın ile iç yarı direkt çarpım grubu denir ve ile gösterilir. Teorem : Bir grubunun, ve gruplarının dış yarı direkt çarpım grubuna izomorf olması için gerek ve yeter şart, ve olacak şekilde ve alt gruplarının olmasıdır (Grillet 2007). İspat: grubu, dış yarı direkt çarpım grubuna izomorf olsun. ve kümeleri tanımlansın. ve için; ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) olup olduğu görülür. Ayrıca, ve dır. Şimdi, dönüşümünün bir izomorfizm olduğu kabul edilirse, ( ) ve ( ) olarak tanımlanan gruplar istenilen gruplardır. Tersine,, ve olacak şekilde ve alt gruplarının varlığını kabul edelim. Bu taktirde, için şeklindeki yazılış tek türlüdür. Gerçekten, olduğunu kabul edersek olup ve olacağından ve

28 17 dolayısıyla bulunur. Benzer mantıkla, olduğu da açıktır. Şimdi, olduğundan nın üzerinde eşlenik etkisi vardır. Dahası, bu etki otomorfizimlerle etkidir. Dolayısıyla, yarı direkt çarpım grubundan bahsedebiliriz. dönüşümünü tanımlayalım. Bu dönüşüm bir izomorfizmdir. Gerçekten, olacağından olup dönüşüm birebirdir. Ayrıca, dönüşümün örten olduğu, ve nın yapısını ve dönüşümü birlikte düşününce açık olarak görülür. Şimdi, nın üzerinde eşlenik etkisini ( ) göz önüne alırsak, () () () () olup bir homomorfizm dolayısıyla bir izomorfizmdir. Yani, grubu ya dolayısıyla e izomorftur. Örnek : alterne grubunu göz önüne alalım., alterne grubunun normal alt grubu ve,. mertebeden normal olmayan alt grubudur. Ayrıca, ve olduğundan, nin ile yarı direkt çarpım grubudur.

29 18 Her grubu mertebesi daha küçük bir takım grupların yarı direkt çarpım grubu olarak yazamayabiliriz. Örneğin, için basit olduğundan aşikar olmayan normal alt grubu yoktur. Dolayısıyla, has alt grupların yarı direkt çarpımı olarak yazılamaz. Ayrıca, quaternion grubunun has alt grupları olup hepsi i ihtiva ettiğinden arakesitleri olamaz. Dolayısıyla, has alt grupların yarı direkt çarpım grubu olarak yazılamaz. Yarı direkt çarpımla ilgili bazı basit durumlar şu şekilde sıralanabilir: Eğer Teorem deki dönüşümü aşikar dönüşümse yani nın her elemanını birim elemana götürüyorsa yarı direkt çarpım bildiğimiz basit manadaki direkt çarpıma dönüşür ve ayrıca Teorem deki da nin normal alt grubu olur. Gerçekten, ve için, ( ) ( ) olup normal alt gruptur (Burada dönüşümünün aşikar olması demek otomorfizminin birim olması yani her için olması anlamına gelir). Son olarak, ve nin her ikisi de abelyen olsa bile, eğer dönüşümü aşikar dönüşüm değilse, yarı direkt çarpım grubu abelyen olmayabilir Zengin çarpım ve boştan farklı kümeler olmak üzere ile dan ya bütün fonksiyonların kümesi gösterilsin. Özel olarak, eğer bir grup ise kümesi, her ve her için ikili işlemiyle birlikte bir gruptur (Burada eşitliğin sağındaki çarpma nin işlemidir). Eğer

30 19, elemanlı sonlu bir küme ise,, tane grubunun direkt çarpım grubu olmak üzere, ( ) dönüşümü bir izomorfizmdir. Dolayısıyla, kümesi ye izomorftur. Tanım : ve birer grup olsun ve nın boştan farklı kümesi üzerinde grup etkisi olduğunu kabul edelim. Ayrıca, nın üzerinde her, her ve her için şeklinde tanımlanan bir etkisi olsun. Bu taktirde, yarı direkt çarpımına nın ile zengin çarpımı denir ve ile gösterilir., nın ile zengin çarpımı olmak üzere, alt grubuna, nın taban grubu denir. kümesi elemanlı yani sonlu olduğunda, direkt çarpım grubu grubuna izomorf ve her grubun kendisi üzerinde sol çarpımla regüler etkisi (dengeleyicinin birim grup olması durumu) olduğunu göz önüne alırsak zengin çarpımın tanımını aşağıdaki şekilde de verebiliriz. Tanım : ve herhangi iki sonlu grup olsun. yarı direkt çarpımına nın ile regüler ya da standart zengin çarpımı denir ve ile gösterilir. Burada, nın üzerindeki etkisini şu şekilde oluşturabiliriz: olduğunu kabul edelim ve nın elemanlarının sabit bir sıralanışını seçelim. Herhangi bir için, nin şeklinde tanımlanan bir permütasyonu olmak üzere, ( ) şeklinde tanımlanan dönüşüm nın üzerindeki etkisidir. Bu son tanıma göre, ( ) şeklinde tanımlanan dönüşüm bir otomorfizimdir ve olduğundan

31 20 dönüşümü bir homomorfizimdir. Dolayısıyla, yarı direkt çarpım iyi tanımlıdır. Tanım : herhangi sonlu bir grup ve olsun. yarı direkt çarpımına nın ile permütasyon zengin çarpımı denir. nin otomorfizmi ( ) şeklinde tanımlanır. Örnek : mertebesi olan devirli grup olmak üzere, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dir. nin elemanlarının sabit sıralanışı olsun. Bu taktirde, birim otomorfizm ve olduğundan yani dir. Şimdi ( ) elemanın mertebesinin olduğunu gösterelim: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dir. ( ) ( )( ) ( ) ( ) olup ( ) elemanının mertebesi olarak bulunur. Ayrıca, ( ) (( ) ) ( ) ( ) ve aynı zamanda, ( )

32 21 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) olup ( ) ( )( )( ) ( ) olduğu görülür. Dolayısıyla, zengin çarpımı dihedral grubuna izomorftur.

33 22 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. Yardımcı Tanım ve Teoremler Tanım 3.1.1: bir grup olsun. nin en geniş çözülebilir normal alt grubuna çözülebilir radikal denir ve ile gösterilir. Örnek 3.1.2: çözülebilir olduğu için çözülebilir radikali kendisidir. Tanım 3.1.3: bir grup olsun. çözülebilir olacak şekildeki normal alt gruplarının arakesitine nin çözülebilir kalanı denir (Rose 1978). Örnek 3.1.4: için nin çözülebilir kalanı dir. Teorem 3.1.5: sonlu bir grup ve de nin çözülebilir kalanı olsun. normal alt grubu mükemmel bir grup olup ayrıca nin bütün mükemmel alt gruplarını ihtiva eder (Schmidt 1994). İspat:, nin komütatör alt grubu olmak üzere serisini göz önüne alalım. Burada dir. Gerçekten, ve [ ] için, [ ] olup dir. [ ][ ] [ ] [ ] Ayrıca, 3. İzomorfizm Teoremi nden dir. nin tanımından

34 23 çözülebilir ve de abelyen olduğundan çözülebilir olup Teorem den çözülebilirdir. Ancak, çözülebilir olacak şekildeki en küçük alt grup olarak alınmıştı. Dolayısıyla, olup mükemmel alt gruptur. Herhangi bir için 2. İzomorfizm Teoremi nden ve dir. olup çözülebilir olduğundan Teorem den çözülebilirdir. Ayrıca, eğer mükemmel bir grup ise Teorem den de mükemmeldir. Bir grup hem mükemmel hem de çözülebilir ise bu grup aşikar gruptur. Yani, dir. Bu ise yani olması ile mümkündür. Dolayısıyla, nin bütün mükemmel alt grupları çözülebilir kalan tarafından kapsanır. Teorem 3.1.6: bir grup de nin çözülebilir kalanı olsun. Bu durumda, nin türev serisindeki son gruptur (Kantor 2003). İspat: serisi nin türev serisi olmak üzere, alt grubu nin bütün mükemmel alt gruplarını içerdiğinden ve olduğundan dir. Diğer taraftan, de mükemmel olup ve olduğundan dir.

35 Klasik Gruplar Klasik gruplar ilk olarak Herman Weyl tarafından 1939 yılında The Classical Groups, Their Invariants and Representations adlı kitabında tanıtılmıştır. Bu gruplarla ilgili ayrıntılı bilgi Kleidman (1990) ve Bray (2013) de bulunabilir Formlar Tanım :, bir cismi üzerinde sonlu boyutlu vektör uzayı olsun. dönüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa bu dönüşüme nin bir -yarılineer dönüşümü denir: i) ve için dir. ii) ve için olacak şekilde bir vardır ( ile nın otomorfizmi altındaki görüntüsü kastedilmektedir). Tanım : bir -yarılineer dönüşüm olsun. Eğer oluyorsa ye tekil olmayan dönüşüm denir. nin bütün tekil olmayan -yarılineer dönüşümlerinin kümesini ile gösterelim. olmak üzere olur. Gerçekten, ( ) ( ) ve ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

36 25 olup bulunur. dönüşümü tekil olmayan dönüşüm olduğu için birebir olup aynı zamanda olduğu için örtendir. Dolayısıyla, nin her elemanının tersi vardır. Birim dönüşümü birim eleman olarak alıp dönüşümlerin bileşkesinin birleşmeli olduğunu göz önüne alırsak bir grup oluşturur. Bu gruba nin cismi üzerinde genel yarılineer grubu denir ve, dönüşümü, çekirdeği olan bir örten grup homomorfizmidir. Örnek : kompleks sayılar cismi üzerinde vektör uzayını düşünelim., nin standart tabanı olmak üzere, ( ) dönüşümü bir yarılineer dönüşüm olup lineer değildir. Tanım : bir cismi üzerinde vektör uzayı ve bir dönüşüm olsun. Eğer için şeklinde verilen dönüşümü lineer dönüşüm ise ya da diğer bir değişle ve için ve oluyorsa dönüşümüne sol-lineer form denir. Benzer bir tanımda sağ-lineer form için yapılabilir. Hem sağ-lineer hem de sol-lineer olan dönüşümlere bilineer form denir. Tanım : Herhangi bir dönüşümü için, dönüşümünü tanımlayalım. Eğer bilineer form ve, için oluyorsa ya kuadratik form denir. Eğer kuadratik form ise ya bağlantılı bilineer form denir. Tanım : Eğer, den ye herhangi bir dönüşüm ve, nin herhangi bir tabanı ise şeklinde tanımlanan

37 26 matrisine dönüşümünün matrisi denir. Ayrıca, eğer kuadratik form ise bu forma karşılık gelen matrisi şu şekilde bulunur: için ve için dır. Burada, bağlantılı bilineer formuna karşılık gelen matris ile gösterilirse, dur. Örnek : ve olsun. Eğer olarak alırsak [ ], şeklinde tanımlanan dönüşüm bir kuadratik formdur. Tanım : bir dönüşüm olsun. Eğer için den ye ve dönüşümleri sıfır dönüşüm değilse dönüşümüne dejenere olmayan dönüşüm denir. bir kuadratik form olmak üzere, eğer bağlantılı bilineer form dejenere olmayan dönüşüm ise ya dejenere olmayan kuadratik form denir. Tanım : bir dönüşüm olsun. Eğer için oluyorsa ye simetrik form denir. Kuadratik formlarda bağlantılı bilineer form simetrik formdur. Ayrıca, eğer oluyorsa ye ters simetrik form, eğer için oluyorsa ye alterne form denir. Not : Eğer nin karakteristiği ise simetrik form ve ters simetrik form aynı ve bir tanedir. Gerçekten, eğer simetrik ise yani ise olup ters simetriktir. Tersine, ters simetrik ise yani ise olup simetrik formdur.

38 27 Not : Eğer Gerçekten, bir alterne form ise aynı zamanda ters simetrik formdur. olup bulunur. Eğer nin karakteristiği tek ise bu durumun tersi de doğrudur yani her ters simetrik form aynı zamanda alterne formdur. Tanım : Ters simetrik, alterne bilineer forma simplektik form denir. Örnek : ve olsun. olmak üzere formdur. [ ], şeklinde tanımlanan dönüşüm bir simplektik Tanım :, cisminin bir otomorfizmi olmak üzere, eğer sol-lineer ve için oluyorsa ye üniter form denir ( otomorfizmi şeklinde Frobenius dönüşümü alınabilir). Örnek : ve olsun. nin bir otomorfizmi olmak üzere, şeklinde tanımlanan dönüşüm bir üniter formdur. Not : sol-lineer ve olmak üzere için olsun. Bu taktirde,

39 28 ( ) olur. Ayrıca, ( ) bulunur İzometri grupları ya sol-lineer ya da kuadratik form olsun. Dolayısıyla, ya da olmak üzere, ( tane) den ye bir dönüşümdür. Buradan, olur. ve için ( ) olsun. ve, ya ikisi de sol-lineer ya da ikisi de kuadratik form ve, cismi üzerinde boyutlu vektör uzayları olmak üzere, den ne -lineer dönüşümlerin kümesi olsun. Tanım : Eğer için ( ) şartını sağlayan terslenebilir bir elemanı varsa bu elemana bir izometri denir. Eğer böyle bir izometri varsa ve vektör uzayları izometriktir denir ve

40 29 şeklinde gösterilir. Tanım : terslenebilir bir eleman olmak üzere, eğer için ( ) olacak şekilde varsa bu elemanına bir benzerlik denir. Eğer böyle bir benzerlik varsa ve vektör uzayları benzerdir denir. Bundan sonra olduğu durumlarla ilgilenilecektir. Burada, izometriler -izometri olarak adlandırılacaktır. Bu durumda, -izometrilerin kümesi nin bir alt grubunu oluşturur. Bu grubu κ-izometri grubu olarak adlandıracak ve ile göstereceğiz. Özel lineer grubun ( ) elemanı olan -izometriye (yani nin elemanına) özel κ-izometri denir ve özel -izometrilerin oluşturduğu grubu ile göstereceğiz. Aynı şekilde, buradaki herhangi bir benzerlik κ-benzerlik olarak adlandırılacak ve -benzerliklerin kümesi benzerlik grubunu oluşturacaktır. Benzerlik grubunu ile göstereceğiz. olmak üzere, için eğer ( ) olacak şekilde ve varsa bu elemanına κ-yarıbenzerlik denir. - yarıbenzerliklerin kümesinin oluşturduğu grubu ile göstereceğiz. Dolayısıyla, dır. Kolaylık olması açısından tanımladığımız,, ve gruplarını sırasıyla,, ve ile göstereceğiz. Dolayısıyla, grup zincirini elde ederiz Klasik grup tanımları, karakteristiği (asal) olan sonlu bir cisim ve, aşağıdaki dört durumdan birisinde ortaya çıkan sol-lineer ya da kuadratik formu olsun.

41 30 durum L durum S durum O durum U sıfır form, dejenere olmayan simplektik form, dejenere olmayan kuadratik form, dejenere olmayan üniter form Bu her bir dört durum için ayrı ayrı grup dizisini elde edilebilir. Ayrıca, eğer ile e karşılık gelen ve ile gösterilen projektif grubunu gösterirsek projektif grup zincirini oluşturulur. Bütün bu bilgiler ışığında klasik grup kavramı şu şekilde tanımlanabilir: Tanım : L, S, O ve U dört durumundan birinde veya zincirlerindeki herhangi bir gruba klasik grup denir. Eğer böyle bir klasik grupsa bu grup L, S, O ve U durumlarında sırasıyla lineer grup, simplektik grup, ortogonal grup ve üniter grup olarak adlandırılır. Örnek : Örneğin S durumunda, ve dur Klasik Grupların Mertebeleri Lineer gruplar Bir önceki alt bölümde anlatılan L durumunun geçerli olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla, burada sıfır formdur. Teorem : genel lineer grup olmak üzere, ( ) dir (Grove 2002). İspat: nun elemanları tipinde terslenebilir matrislerdir. Bir matrisin

42 31 terslenebilir olması için gerek ve yeter şart satırlarının lineer bağımsız olmasıdır. Dolayısıyla, indisleri elemanlı cisimden alınan ve satırları lineer bağımsız olan tipinde kaç tane matris yazabiliriz sorusunu cevaplamalıyız. Matrisin ilk satırı sıfırdan farklı herhangi bir vektör olacağı için tane durum vardır. İkinci satır ilk satırın katı olmayacağından tane vektör yazılabilir. Böyle devamla, satır kendinden önceki satırın lineer terkibi olarak yazılamayacağından bu satır için durum söz konusudur. Dolayısıyla, ( tane matris yazılabilir. Teorem : özel lineer grup ve projektif genel lineer grup olmak üzere, ve projektif özel lineer grup olmak üzere dir (Grove 2002). İspat: elemanlı cisim ve olmak üzere dir. Ayrıca, her matrisi determinantına götüren det: homomorfizminin çekirdeğinin olduğu göz önüne alınırsa 1. İzomorfizm Teoremi nden olup dir. Ayrıca, ( ) olup ( ) olduğundan dir. nun merkezinin mertebesinin olduğunu gösterirsek ispat tamamlanmış olur. ( ) olduğunu biliyoruz. Şimdi, da eşitliğinin kaç tane çözümü olduğunu araştıralım., cismin ikinci işlemine göre bir devirli grup olup bu grubun bir gereni olsun. Bu taktirde, olacak şekilde bir tamsayısı vardır. olmasıdır. olup ( tamsayı) ve dır. Dolayısıyla, olacak şekildeki ler devirli grubunu oluştururlar. Bu devirli grup ise ın mertebeden devirli alt grubudur. Yani, bu şekildeki lerin sayısı tam tane olup olur.

43 Simplektik gruplar Bu bölümde S durumunun geçerli olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla, burada dejenere olmayan simplektik formdur. Önerme : simplektik grup olsun. Bu taktirde, vektör uzayının boyutu olan çift olup olarak alırsak her için ve olacak şekilde nin bir tabanı vardır (Burada, kronoker delta fonksiyonudur). Bu şekildeki tabana standart taban ya da simplektik taban adı verilir (Kleidman and Liebeck 1990). Teorem : olmak üzere, tipinde matrislerden oluşan simplektik grup ve projektif simplektik grup olsun. Bu taktirde, ve dir (Grove 2002) Üniter gruplar Bu bölümde, U durumunun geçerli olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla, burada dejenere olmayan üniter formdur. Önerme : üniter grup olsun. Bu taktirde, vektör uzayının her için, ve ayrıca olacak şekilde; {

44 33 tabanı vardır (Kleidman and Liebeck 1990). Teorem : üniter grup, özel üniter grup, projektif üniter grup ve da projektif özel lineer grup olmak üzere, ( ) ve dir (Taylor 1992) Ortogonal gruplar Bu bölümde, O durumunun geçerli olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla, burada dejenere olmayan kuadratik formdur. yu bağlantılı bilineer form olarak kabul edelim. Dolayısıyla,, dejenere olmayan simetrik bilineer formdur. Tanım : bir vektör uzayı ve da nin bir alt uzayı olsun., nın ya kısıtlanışı olmak üzere eğer dejenere olmayan dönüşüm ise ya dejenere olmayan alt uzay denir. Tanım : bir vektör uzayı ve da nin bir alt uzayı olsun. Eğer sıfırdan farklı en az bir için oluyorsa ya nin izotropik alt uzayı denir. Eğer her için ise ya nin anizotropik alt uzayı denir. Yardımcı Teorem : nın cismi üzerinde tanımlı vektör uzayının dejenere olmayan anizotropik alt uzayı olduğunu kabul edelim. Eğer nın boyutu ise bu taktirde, polinomu cismi üzerinde indirgenemez olmak üzere; ( ) olacak şekilde tabanına sahiptir (Kleidman and Liebeck 1990).

45 34 Önerme : ortogonal grup olmak üzere, vektör uzayı aşağıdaki tabanlardan birine sahiptir: i. ( ve her için ve ). ii. ( ve her için,, ve Yardımcı Teorem deki gibidir). iii. ( ve her için,, ve ) (Kleidman and Liebeck 1990). O durumunu Önerme teki tabanlara göre üç alt duruma bölebiliriz. i. şıkkındaki taban için, ii. şıkkındaki taban için ve iii. şıkkındaki taban için ise durumlarını düşünürsek bu kategorilere giren gruplar da sırasıyla, ve şeklinde gösterilir. Teorem :, ve dir. Ayrıca, özel ortogonal grup olmak üzere; { dir (Grove 2002).

46 Ekstra-özel Gruplar Tanım 3.4.1: bir asal, bir -grup olsun. Aşağıdaki şartlardan birisi sağlanırsa ye özel -grup denir (Suzuki 1986). i., elementer abelyen -grup ii. ve elementer abelyen Tanım 3.4.2: bir asal olmak üzere, eğer abelyen olmayan bir özel -grubunun merkezi devirli ise, grubuna ekstra-özel -grup denir (Suzuki 1986). Teorem 3.4.3: sabit bir asal sayı olsun. Eğer abelyen grubu için özelliğini sağlıyorsa bu taktirde, cismi üzerinde bir vektör uzayıdır (Suzuki 1982). İspat: yi toplamsal bir grup gibi düşünüp toplam notasyonunu kullanalım. Hipotezden her için yazabiliriz. Herhangi tamsayıları için ve olduğunu biliyoruz. Şimdi vektör uzayı şartlarını sağlatalım: i. nın değişmeli grup olduğu hipotezden açıktır. ii. ve için ( ) ( ). iii. ve için. iv. ve için ( ) ( ) ( ). v..

47 36 Teorem 3.4.4: bir asal ve bir -grup olsun. Bu taktirde, nin her maksimal alt grubu normaldir ve bölüm grubu. mertebeden devirli bir gruptur (Suzuki 1982). Teorem 3.4.5: bir asal olmak üzere bir -grup ve, nin Frattini alt grubu olsun. Bu taktirde, her elemanı şartını sağlayan bir abelyen gruptur (Suzuki 1982). İspat: Teorem den eğer, nin maksimal alt grubu ise ve bölüm grubu mertebeden devirli bir gruptur. Eğer ise nin mertebesi olduğundan dir. Buradan, olduğu için olup bulunur. Aynı zamanda herhangi bir için olup devirli dolayısıyla abelyen olduğundan elde edilir. keyfi olduğundan ve, nin her maksimal alt grubunun elemanıdır. Dolayısıyla, bu elemanlar Frattini alt grubun da elemanları olur yani ve dir. olduğundan ( ) yazarız ve olduğundan ( ) bulunur. Ayrıca, olduğundan olup abelyendir. Teorem 3.4.6: asal sayı, bir -grup ve, nin Frattini alt grubu olsun. Teorem den her elemanı şartını sağlayan abelyen gruptur. Dolayısıyla, Teorem den, cismi üzerinde bir vektör uzayıdır. olarak kabul edelim. nin elemanları ve için olsun. i. nin üzerindeki boyutu dir. ii. olması için gerek ve yeter şart nin tarafından gerilen uzayla çakışmasıdır. Özel olarak, eğer dir. ise

48 37 iii. grubu tam olarak eleman tarafından gerilebilir. alt kümesinin yi germesi için gerek ve yeter şart nin cismi üzerinde tanımlı vektör uzayının bir tabanı olmasıdır (Suzuki 1982). Teorem 3.4.7: bir asal ve, mertebesi olan bir -grup olsun. nin abelyen olmadığını ve bir devirli maksimal alt grubunun olduğunu kabul edelim. Bu taktirde, olur ve, eğer tek ise temsiline sahip grubuna, eğer ise, dihedral grup, genelleştirilmiş kuaterniyon grup 1986)., ya da kuasi-dihedral grup grubuna izomorftur (Suzuki Teorem 3.4.8: mertebeden abelyen olmayan bir -grubu aşağıdaki gruplardan birine izomorftur: i. Eğer ise ya da. ii. Eğer ise ya ya da [ ] [ ] ( ) (Suzuki 1986). İspat:, mertebeden abelyen olmayan bir grup olsun. olduğunu kabul edelim. Eğer nin her elemanının mertebesi ise olacağından ve olur. Buradan, [ ] olup ve değişmelidir. Bu elemanlar keyfi olduğu için grubu da değişmeli olur. Ancak, hipotezden değişmeli olmadığı için. mertebeden en az bir tane elemanı olmalıdır. Bu eleman. mertebeden maksimal devirli bir alt grup üretir. Dolayısıyla, Teorem den ya da dir. Şimdi, olduğunu kabul edelim. Eğer, mertebeden bir eleman ihtiva ediyorsa bu eleman mertebeden maksimal devirli

49 38 bir alt grup üretir. Dolayısıyla, Teorem den tür. Diğer taraftan, exp olsun. Eğer olsaydı maksimal alt grup tek olup Frattini alt grup bu gruba eşit olurdu. Bu durumda, olup asal mertebeden her grup devirli olacağından devirli bir grup olurdu. Dolayısıyla, Sonuç dan grubu devirli olacaktı ki bu, nin abelyen olmaması ile çelişir. Ayrıca, eğer olsaydı olup abelyen olduğundan bu durum yine nin abelyen olmaması ile çelişir. Dolayısıyla, olup Teorem den, her elemanı şartını sağlayan mertebeden değişmeli bir gruptur. Dolayısıyla, Teorem den, cismi üzerinde bir vektör uzayıdır ve aynı zamanda Teorem dan bu vektör uzayının boyutu olup iki gerenli olarak yazılabilir. olsun. exp olduğundan [ ] dir. Şimdi,, nin merkezi olsun. Teorem den dir. olduğunu kabul edelim. Bu taktirde, olup devirli bir grup olur. Dolayısıyla, Teorem den abelyen olur. Ancak, grubu abelyen olmadığından dir. abelyen olmadığı için nin türev grubu birimden farklıdır. Ayrıca, ve abelyen oldukları için Teorem den ve olup olduğu için olur. Buradan da [ ] olup elde edilir. Teorem 3.4.9: bir asal olmak üzere, bir ekstra-özel -grup mertebeden grupların merkezil çarpımıdır. Daha kesin bir ifadeyle aşağıdaki durumlar sağlanır: bir ekstra-özel -grup olsun. Bu taktirde, bazı doğal sayıları için olup aşağıdakilerden bir tanesi doğrudur: i) Eğer exp ise ve, e izomorf tane grubun merkezil çarpımıdır. ii) Eğer exp ve ise, ve tane e izomorf grubun merkezil çarpımıdır. iii) Eğer ise, ya mertebesi olan tane dihedral grubun merkezil çarpımı ya da mertebesi olan tane dihedral grup ve. mertebeden bir kuaterniyon grubun merkezil çarpımıdır (Suzuki 1986).

50 Grupları Aschbacher (1984), klasik grupların maksimal alt gruplarını dokuz kategoriye ayırarak bir sınıflandırma oluşturmuştur. Bu sınıflandırmadaki kategorilerden biri de kategorisidir. Bu kategoriye giren gruplarla ilgili bazı bilgiler aşağıda verilmiştir. Tanım 3.5.1: bir -grup olsun. Eğer nin her abelyen karakteristik alt grubu devirli ise ye simplektik-tip grup denir. Simplektik-tip grupların yapısı ekstra-özel gruplarla yakından ilgili olup bu grupların yapısı aşağıdaki gibidir: Teorem 3.5.2: bir simplektik-tip -grup olsun. Bu taktirde ; i. ya da ekstra-özel grup, ii. devirli ya da ve, için hepsi. mertebeden olmak üzere, (dihedral grup), (kuaterniyon grup) veya (kuasi-dihedral grup) gruplarından birine izomorftur, olacak şekildeki ve gruplarının merkezil çarpımıdır (Gorenstein 1980). bir simplektik-tip -grup olmak üzere, bundan sonra tek ise eksponenti, çift ise eksponenti olan simplektik-tip -gruplarıyla ilgilenilecektir. Dolayısıyla, Teorem nin sonucu olarak bu şekildeki simplektik-tip -grupları, Teorem de verilen grubu olmak üzere aşağıdaki gibi verebiliriz:

51 40 Çizelge 3.1. Eksponenti olan simplektik-tip grupların yapısı nin yapısı Notasyon yukarıdaki gibi bir simplektik-tip -grup olsun., mertebesi olan bir cisim olmak üzere ve ayrıca durumunda olduğunu kabul edelim. Bu taktirde, olmak üzere den ya çekirdeği birim olan bir temsil vardır (Kleidman and Liebeck 1990). Dolayısıyla, ye izomorf olan nun bir alt grubu mevcut olup, yi bir matris grubu olarak düşünebiliriz ve ye izomorf olan bu grubu da yine ile göstereceğiz. Aschbacher sınıflandırmasındaki grupları, yi normal alt grup olarak içeren ve olmak üzere nin daki normalleştiricisinin alt gruplarıdır. Yani, eğer bir grubu ise olacak şekilde bir simplektik-tip grup vardır. Burada, nin yapısı aşağıdaki gibidir: ( ) tek, ( ) ve ( ) ( ) olması gerektiğinden, bu grupların sadece ilk ikisiyle ilgileneceğiz. gruplarıyla ilgili daha fazla bilgi Kleidman and Liebeck (1990) da bulunabilir.

52 nun Maksimal Alt Grupları Çizelge 3.2 ve Çizelge 3.3 te Bray et al. (2013) ten alınan nun maksimal alt grupları verilmiştir. Çizelge 3.2. nun geometrik-tip maksimal alt grupları ( ( )) Sınıf Maksimal Alt Grup Şart ( ) tek ( ) çift ( ) tek - GU(3,q).2 tek tek, asal çift çift Çizelge 3.3. nun sınıfına giren maksimal alt grupları mod mod mod mod mod,, mod, mod, mod,

53 42 Çizelge 3.3. (devam) mod mod ( ) mod mod, mod, 3.7. Algoritmik Önbilgiler Bu tezde, ağırlıklı olarak ilgilenilecek ve bir sonraki alt bölümde detayları verilecek olan BlindDescent algoritmasını daha iyi anlayabilmek için bazı algoritmik bilgiler aşağıda verilmiştir. Hesaplamalı Grup Teori de kurulan algoritmalarda genel olarak rastgele algoritmalar kullanılmıştır. Bunun temel sebebi, rastgele algoritmaların diğer algoritmalara göre daha hızlı olmasıdır. Bu tip algoritmalar, grup teoride aşağıdaki gibi şekillenmiştir: Hesaplamalı görev, bir girdisi (input) ve bir çıktısı (output) arasındaki bağıntısı olarak tanımlanabilir. Eğer girdisine bağlı olarak gerçekleşen görevin sonucu olan, doğru bir çıktı ise bağıntısı tutarlıdır denir. Grup algoritmalarında girdi genellikle bir grubun üreteç kümesini ihtiva eder. Çıktı ise girilen grubun istenen herhangi bir alt grubunu üreten grup elemanlarından oluşabileceği gibi, bir sayı (örneğin, girilen grubun mertebesi) veya bir karar verme probleminin sonucu (örneğin, girilen grubun abelyen olup olmadığı) da olabilir. Algoritmalar genel olarak belirleyici (deterministic) ve belirleyici olmayan

54 43 (nondeterministic) algoritmalar olarak ikiye ayrılabilir. Belirleyici olmayan algoritmalar girdi aynı olsa bile, farklı zamandaki çalıştırmalarda farklı sonuçlar verebilir. Doğru bir belirleyici (deterministic) algoritma bütün girdileri için bağıntısı tutarlı olacak şekilde bir çıktısı hesaplar. Örneğin, bir sayının asal olup olmadığını test eden aşağıdaki algoritma bir belirleyici algoritmadır: Input: Output: asal ise Doğru değilse Yanlış 1 if then 2 return Doğru 3 fi; 4 if then 5 return Yanlış 6 fi; 7 for do 8 if then 9 return Yanlış 10 fi; 11 od; 12 return Doğru Yukarıdaki algoritmanın çıktısının hatalı olma ihtimali yoktur. Dolayısıyla, bu bir belirleyici algoritmadır. Diğer bir algoritma türü de belirleyici olmayan algoritma kategorisine giren rastgele algoritmalardır. Bu tip algoritmalar rastgele seçilmiş elemanlardan oluşan bir dizisi kullanırlar ve sonuç olarak çıktısını verirler. Sonuç her dizisi için doğru olmayabilir. Bu algoritmaların belirleyici algoritmalara göre en belirgin üstünlüğü, girdinin büyük değerleri için daha hızlı sonuç vermeleridir. Yukarıdaki örnekte girilen bir sayının asal olup olmadığı test

55 44 edilmişti. Benzer şekilde Fermat ın küçük teoremini ( bir asal ve da tarafından bölünmeyen herhangi bir tamsayı ise dir) baz alan aşağıdaki rastgele algoritma da yine bir sayının asal olup olmadığını test etmektedir: Input: Output: asal ise Muhtemelen Doğru değilse Yanlış 1 repeat times 2 :=Random([ ]); 3 if then 4 return Yanlış 5 fi; 6 done 7 return Muhtemelen Doğru Benzer şekilde aşağıda verilen ve yine bir sayının asallığını test eden Miller-Rabin algoritması da bir rastgele algoritmadır. Input: ve güvenilirlik parametresi Output: asal ise Muhtemelen Doğru değilse Yanlış 1 repeat times 2 i tek olacak şekilde formatında yaz 3 Random([ ]); 4 mod ; 5 if ya da then 6 ana döngüye dön; 7 fi; 8 repeat times 9 ; 10 if then

56 45 11 return Yanlış 12 fi; 13 if then 14 ana döngüye dön; 15 fi; 16 return Yanlış 17 done 18 done 19 return Muhtemelen Doğru Tanım 3.7.1: hata terimi olmak üzere, eğer bütün girdileri için ( ( ) ) oluyorsa, bu rastgele algoritmaya Monte Carlo algoritması denir. Buradaki, terimi Monte Carlo algoritması kurulduktan sonra belirtilir. hata Bu tip algoritmaların güvenilir olup olmadığına aynı girdi veya girdiler için algoritmayı daha fazla çalıştırarak ya da girdileri değiştirip uygulama sayısını artırarak karar verilebilir ve böylece algoritmanın güvenilirliği konusundaki eksiklikler giderilebilir. Monte Carlo algoritmalarının bir tipi de karar verme problemlerinde kullanılan tek taraflı Monte Carlo (1MC) algoritmalarıdır. Bu tip algoritmalarda çıktıların birinin doğruluğu garanti altına alınır. Eğer doğru cevap Evet ise 1MC algoritması hatalı sonuç üretebilir ancak eğer doğru cevap Hayır ise algoritma her zaman Hayır sonucunu üretmek zorundadır. Dolayısıyla, Evet çıktısı her zaman doğrudur ancak Hayır çıktısı her zaman doğru olmayabilir. co-1mc algoritmaları da yukarıdaki Evet ve Hayır kelimelerinin yerleri değiştirilerek tanımlanabilir.