BÖLÜM 5 TAŞINIM-YAYINIM PROBLEMLERİ İÇİN SONLU HACİMLER YÖNTEMİ

Transkript

1 ÖLÜM TŞINIM-YYINIM ROLMLRİ İÇİN SONLU HCİMLR YÖNTMİ.. Giriş: kışkn kımının önmli rol oyndığı problmlrd tşınım tkilrinin hsb ktılmsı grkir. oğd tşınım sırsınd dim yyınım d oluşur. u bkımdn bu bölümd tşınım v yyınım tkilrini birlikt inclyck yöntmlr inclncktir. imi hldki tşınım-yyınım dnklmi hrhngi bir büyüklüğü için (.9) trnsport dnklmindn zmn bğlı trim silinrk ( ρ ) ( Γ ) S u r (.) şklind çıkrtılbilir. ir kontrol hcmi içrind intgrl lınrk v divrjns tormi uygulnrk ( ρu ) nd ( Γ ) nd r r r υ S dυ (.) ld dilir. u dnklm bir kontrol hcmindki kı dngsini ifd tmktdir. Sol trft nt tşınımsl kı yr lmkt ikn sğ trft nt yyınımsl kı v kontrol hcmi içrisind özlliğinin ürtimi vy ksilmsi blirtilmktdir. Tşınım trimlrinin yrıklştırılmsındki n problm, tşınn özlliğinin kontrol hcmi yüzylri üzrindki dğrlri v bunun yüzylrdn gçn tşınımsl kılrının hsplnmsıdır. ölüm 4 d (.) dnklminin sğ trfındki yyınım v kynk trimlrinin yrıklştırılmsı için mrkzi frklr kullnılmıştı. Yyınım problmlrind iyi çlışn bu uygulmnın burd d tşınım trimlri için kullnılmsının uygun olcğı şikr gibidir. nck, yyınım olyı, tşınn bir büyüklüğün hr yöndki grdyntlrı boyunc dğılımını tkilrkn tşınım olyı sdc kım doğrultusund tkindir. u husus mrkzi frklrl krrlı bir tşınım-yyınım hsplmsı ypılbilmsi için hücr boyutlrı üzrind tşınım v yyınım şiddtlrinin ornın bğlı bir sınırlm gtirir. urd, tşınımsl tkilr için dh z kısıtlm il krrlı hsp ypbilck bşk yrıklştırm yollrı d sunulcktır. u nlizlr sırsınd hücr yüzlrindki hızlrın hsbın klkışılmyck olup, bir şkild bilindiklri vrsyılcktır. Hızlrın hsbı konusun 6 ıncı bölümd yr vrilcktir... imi, bir-boyutlu tşınım v yyınım: Kynk triminin olmmsı hlind u hızındki bir-boyutlu kım lnınd bir özlliğinin dimi tşınım v yyınımı d dx d dx d dx ( ρu) Γ (.) dnklmi il modllnir. kımın sürkliğinin d sğlnmsı grkir: d dx ( ρu ) (.4) H.K. Vrstg nd. Mllskr, n Introduction to Computtionl luid ynmics, Th init Volum Mthod, Longmn, 99

2 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - Şki. d göstriln bir-boyutlu kontrol hcmini göz önün lrk ölüm 4 d tnıtıln notsyonu kullnlım. urd dikktimizi, kontrol noktsın vrcğiz. Komşu kontrol noktlrı v, kontrol hcmi yüzlri is v il blirtilmktdir. Şkil. Kontrol hcmi içrisind (.) trnsport dnklmi intgr dilrk ρ Γ Γ (.) x x ( u ) ( ρu ) (.4) sürklilik dnklmi intgr dilrk ( ρ ) ( ρu ) u (.6) ld dilir. Tşınım-yyınım problmin it yrıklştırılmış dnklmlri ld tmk için (.) dnklmindki trimlrin yklşık ifdlrinin yzılmsı grklidir. unun için birim ln bşın tşınımsl kütl kısı v hücr yüzlrindn yyınım iltknliği d olmk üzr iki yni dğişkn tnımlmk uygun olur. Γ ρu, (.7) v büyüklüklrinin hücr yüzlrindki dğrlri ( ρu ), ( ρu ) Γ, Γ (.) şklind yzılbilir. olduğu kbul dilirs v (.) dnklminin sğ trfındki yyınım trimlrinin ktkısı mrkzi frklrl hsplnırs ( ) ( ) (.9) v (.6) sürklilik dnklmi d (.) şklin glir. Hız lnının bir şkild bilindiği vrsyılmış olup, bu hız lnının hsbı sırsınd v nin dğrlri dikkt lınmış olmlıdır. (.9) dnklminin çözümü için v hücr yüzlrind özlliğini dğrlrinin hsplnmış olmsı grklidir. u mçlı şmlr izlyn prgrflrd yr vrilcktir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

3 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -.. Mrkzi frk şmsı: (.9) dnklminin sğ trfındki yyınım trimlrini tmsil tmk üzr mrkzi frk yklşımı kullnılmış olup, bu dnklmin sol trfındki tşınımsl trimlrin hücr yüzlrindki dğrlrini hsplmk için d linr intrpolsyon uygulnmsı mntıklı glmiştir. Üniform bir ğ için özlliğinin hücr yüzlrindki dğrlri ( ) (.) / ( ) (.b) / şklind yzılbilir. u şitliklrin (.9) dki tşınımsl trimlrd kullnılmsı hlind (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ld dilir. u dnklm düznlnrk vy ( ) (.) y d burdki v büyüklüklrinin ktsyılrı v mrkzi frk ifdlri olrk isimlndirilrk yrıklştırılmış tşınım-yyınım dnklmi (.4) şklin glir. urd, ( ) (.4b), Görüldüğü gibi dimi tşınım-yyınım problmlri için ld diln (.4) dnklmi, sdc yyınım içrn problmlri için bulunn (4.) dnklmiyl ynı biçimddir. Yni dnklmdki tk frklılık tşınılm ilgili olrk gln ilv ktsyılrdır. ir-boyutlu bir tşınım-yyınım problmini çözmk için (.4) il vriln yrıklştırılmış dnklmin bütün ğ kontrol noktlrınd yzılmsı grkir. öylc bir linr dnklm tkımı ld dilir. nklm tkımı çözülrk tşınn özlliğinin kontrol noktlrındki dğrlri bulunur. u işlmlr izlyn örnkl göstrilcktir. Örnk.: ir özlliği Şkil. d görüln bir-boyutlu bölgd tşınım v difüzyon yoluyl nkldilmktdir. Olyı yöntn dnklm (.) il vrilmiştir. Sınır şrtlrı x d v xl d L şklinddir. şit boyd bş hücr lrk v tşınım v yyınım için mrkzi frk yrıklştırmsı kullnrk nin x il dğişimini (i) u. m/s, (ii) u. m/s hllrind hsplyınız. ld diln sonuçlrı UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

4 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -4 L xp xp ( ρux / Γ) ( ρul / Γ) şklindki nlitik çözümlrl krşılştırınız. (iii) u. m/s hlindki çözümü ğ noktsı için tkrrlyınız v nlitik çözüml krşılştırınız. Hsplmlrd uzunluk L. m, yoğunluk ρ. kg/m³, Γ.kg/m/s lıncktır. u x xl Çözüm: Şkil. Çözüm yöntmi Şkil. d göstriln bsit ğ ypısı kullnılrk izh dilcktir. Çözüm bölgsi,.m lınrk kontrol hcmin bölünmüştür. ütün hücrlrd u, Γ/ olup, sınırlr v il blirtilmiştir. x u u 4 xl Şkil. yrıklştırılmış (.4) dnklmi v ktsyılrı, v 4 numrlı dhili hücrlrd doğrudn uygulnck, nck v numrlı sınır hücrlrindki uygulm dh özl olcktır. numrlı hücrnin doğu yüzünd (.) dnklminin intgrlindki yyınım trimlrinin v tşınım kılrının hr ikisind d mrkzi frklr kullnılcktır. u hücrnin btı yüzünd is büyüklüğünün dğri olrk vrilmiştir. u bkımdn bu yüzd tşınımsl kı trimi için hrhngi bir yklşım ypmy grk yoktur. Yyınım trimi is dh önc olduğu gibi ilri frklrl yrıklştırılcktır. öylc bu hücrnin il blirtiln kontrol noktsınd ( ) ( ) ( ) (.6) dnklmi ld dilir. numrlı kontrol hcminin doğu yüzünd d olrk vrilmiş olup, bu hücrnin btı yüzünd tşınım v yyınım trimlrinin hr iki için yin mrkzi frklr kullnılırkn doğu yüzünd tşınım trimi için hrhngi bir yklşım ypmy grk yoktur. Yyınım trimi is gri frklrl hsplncktır. un gör bu hücr için d ( ) ( ) ( ) (.7) dnklmi ld dilir. (.6) v (.7) dnklmlri iç hücrlr için (4) dnklmiyl vriln gnl biçimd ynidn düznlnrk S (.) u UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

5 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - şklin gtirilbilir. urdki mrkzi ktsyı ( ) S p (.b) şklinddir. ütün hücrlr için ktsyılr Γ/ v olmk üzr: Nokt S p S u -/ -() (),,4 / -/ / -(-) (-) Sınır şrtlrının uygulnmsıyl sınır trfındki ktsyının sıfır ypıldığı v sınırdki kının d kynk trimind yr ldığı görülmktdir. (i) u. m/s, ρ. kg/m³, Γ.kg/m/s,.m için ρu.; Γ/. olup ktsyılrın dğrlri şğıd listlnmiştir. Tblo. Nokt S p -S p S u nklm tkımı, v olmk üzr mtris formd (.9) v dnklm sistminin çözümü şklinddir (.) Vriln büyüklüklr (.) dnklmind kullnılrk problmin nlitik çözümü UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

6 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -6 ( x ). 7 xp( x ). 7 şklind ld dilir. Nümrik v nlitik sonuçlr Tblo. v Şkil.4 d krşılştırılmıştır. Tblo. Nokt Msf VM nlitik rk Yüzd ht Konum (x) Şkil.4 ğ ypısının kb olmsın krşın mrkzi frk şmsı nlitik çözümlrl kbul dilbilir bir uyum göstrmiştir. (ii) u. m/s, ρ. kg/m³, Γ.kg/m/s,.m için ρu., Γ/. olup ktsyılr Tblo. d listlndiği gibi ld dilmiştir. Tblo. Nokt S p - S p S u (i) hlindkiyl ynı formüllrd bu tblodki dğrlr kullnılrk mtris dnklmlri ld dilmiş v çözülmüştür. u hldki nlitik çözüm d UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

7 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -7 xp( x ) 7. ( x ) şklinddir. Nümrik v nlitik çözümlr Tblo.4 v Şkil. d krşılştırılmıştır. Tblo.4 Nokt Msf VM nlitik rk Yüzd ht Konum (x) Şkil.4 u kz mrkzi frk şmsı nlitik çözüm trfınd çlkntı göstrn bir çözüm vrmiştir. u çlkntılr litrtürd gnllikl iggls olrk dlndırılır. nlitik çözüml uyumun iyi olmdığı çıktır. (iii) u. m/s hlind nokt için., ρu.; Γ/./.. olup, bu durumd bulunn ktsyılr Tblo. d öztlnmiş v ld diln çözümlr nlitik çözüml Şkil.6 d krşılştırılmıştır. Tblo. Nokt S S p - S p UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

8 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi Konum (x) Şkil.6 Şimdi nümrik çözümlrl nlitik çözümlrin uyumu iyidir. u hldki vrilrl (ii) hlindki vrilr krşılştırıldığınd hücr gnişliklrinin zlmsıyl / ornının dn. indiği görülmktdir. Mrkzi frk şmsının / ornının küçük dğrlri için doğru sonuçlr vrdiği görülmktdir. / ornının tkisi v bu orn büyük olduğund mrkzi frk çözümlrind iggls görülmsinin ndnlri şğıd trtışılcktır..4. yrıklştırm şmlrının özlliklri irlştirilmiş tşınım-yyınım içrn bzı hllrd mrkzi frk yklşımının ht vrmsi yrıklştırm şmlrının özlliklrinin drinliğin inclnmsini grkli kılmktdır. Hücr syısının sonsuz büyük olmsı hlind, kullnıln frk yöntmin bğlı olmksızın, tm (xct) çözümdn yırt dilmyn nümrik çözümlr ld dilmsi torik olrk mümkündür. nck prtikt sonlu syıd (bzn çok z syıd) hücr kullnmk zorund klınır. u durumd nck yrıklştırm şmsı bzı tml hususiytlr ships nümrik sonuçlr fiziksl olrk grçkçi olur. n önmli hususiytlr şunlrdır: - Korunumsllık - Sınırlılık - Nkldilbilirlik.4. Korunumsllık Tşınım-yyınım dnklmi sonlu syıd kontrol hcmi içrisind intgr dilrk, tşınn büyüklüğünün kontrol hcmi yüzlrindn gçn kılrını içrn yrıklştırılmış bir korunum dnklmi tkımı ld dilmktdir. büyüklüğünün bütün çözüm bölgsind korunumunun sğlnbilmsi için nin hrhngi bir kontrol hcmini bir yüzündn trk dn kısının, komşu kontrol hcmin ynı yüzdn girn kıy şit olmsı grkir. unun sğlnbilmsi için d kının hrhngi bir gnl hücr yüzü için komşu hücr il uygun biçimd yzılmsı grkir. Örnğin Şkil.7 d göstriln, kynk trimi olmyn dimi bir-boyutlu yyınım problmini l llım. Hsp bölgsi sınırlrındn gçn kılr q v q il blirtilmiştir. Çözüm bölgsini dört hücry bölrk hücr yüzlrindn gçn yyınımsl kılrı hsplmk içim mrkzi frk uygulylım. noktsını içrn hücryi btı yüzündn trk dn kı için Γ ( )/ v hücry doğu yüzündn girn kı için d ( ) Γ / yzılbilir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

9 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -9 Grdyn ( - )/ 4 q 4 q / / Şkil.7 v 4 noktlrını içrn kontrol hcimlri için sınırdn gçn kılrı d dikkt lrk bütün kontrol hcimlrin it nt kılrı toplmk surtiyl çözüm bölgsinin tmmı için bir kı bilnçosu ld dilbilir. Γ ( ) ( ) ( ) Γ q ( ) ( ) ( ) 4 Γ Γ Γ q Γ 4 4 q q (.) Γ Γ, Γ Γ v Γ Γ 4 olduğundn kontrol hcmi yüzylrindn gçn kılr uygun bir trzd ifd dilmiş olup, bütün bölg üzrind toplm ypıldığınd ş kılr birbirini götürmktdir. Sonuçt sdc iki sınır kısı q v q klmkt olup (.) dnklmi özlliğinin bütünsl korunumunu ifd tmktdir. kı uygunluğu, yyınım kısının mrkzi frk formülsyonu için nin bütün bölg üzrind korunumunu sğlmktdır. Uygun olmyn intrpolsyon formüllri bütünsl kı korunumunu sğlmyn uygunsuz şmlr götürbilir. Örnğin Şkil. d göstrildiği gibi numrlı kontrol hcmi için, v noktlrdki dğrlr dynn v numrlı kontrol hcmi için d, v 4 noktlrdki dğrlr dynn kudrik intrpolsyon formüllrini dikkt llım. kudrik fonksiyonu nin grdyntı kudrik fonksiyonu 4 in grdyntı q 4 q / / Şkil. u kudrtik ğrilr birbirindn gyt frklı olbilir. Ki bu şkild iki ğrinin hücr yüzlrindki grdynlrı ynı olmzs kontrol hcminin doğu yüzünd hsplnn kı dğri il kontrol hcminin btı yüzündki kı dğri şit olmybilir. u durumd d iki kı birbirini götürmz v bütünsl korunum sğlnmz. Yukrıdki örnk kudrtik intrpolsyonun tmmıyl kötü olduğu nlmın glmz. Nitkim, QUICK dı vriln uygun kudrtik yrıklştırm şmsı prtikt çok popülrdir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

10 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -.4. Sınırlılık Hr bir kontrol noktsınd yrıklştırıln dnklmlr sonuçt çözülmsi grkn bir linr dnklm tkımı oluşturur. üyük dnklm tkımlrını çözmk için normld tkrrlı (itrtif) syısl tkniklr uygulnır. u yöntmlr çözüm işlmin dğişkninin thmini bir dğılımındn bşlyrk ykınsmış bir çözüm ld dilincy kdr işlmlri tkrrlrlr. Scrborough (9) bir tkrrlı yöntmin ykınsk olmsı için ytrli bir koşulun yrıklştırılmış dnklmlrin ktsyılrının dğrlri cinsindn şğıdki gibi ifd dilbilcğini göstrmiştir: p nb < ütün noktlrd n z bir noktd (.) urd mrkzi noktnın nt ktsyısı (yni, S ) olup, syçtki toplm bütün komşu noktlr (nb) üzrind lınmıştır. Şyt frk şmsı yukrıdki kritri sğlyn ktsyılr vrirs orty çıkn mtris diygonli bskın bir mtris olur. iygonli bskın mtris ld dbilmk için ( S ) nt ktsyısının dğrinin büyük olmsı grkir. un gör kynk trimlrinin linrlştirilmsi S yi dim ngtif işrtli vrck biçimd olmlıdır. Şyt durum bu şkild is S dim pozitif işrtli olck v y klnrk ktsyısının büyümsini sğlycktır. iygonlin bskın olmsı sınırlılık kritrinin sğlnmsı için istnn bir özlliktir. u husus kynk olmmsı hlind büyüklüğünün iç noktlrdki dğrlrinin sınırlrdki dğrlri vsıtsıyl sınırlncğını ifd dr. un gör örnğin dimi hld kynk içrmyn v sınır sıcklıklrı C v C oln bir ısı iltimi problmind iç noktlrd T sıcklığının dğrlri C dn küçük v C dn büyük olcktır. Sınırlılık için diğr bir tml grk d, yrıklştırılmış dnklmlrin bütün ktsyılrının ynı işrtli (ksriytl pozitif) olmsıdır. unun fiziksl nlmı, bir noktd dğrind oluşck rtımın komşu noktlrdki dğrlrd d bir rtış yrtmsıdır. Şyt yrıklştırm şmsı sınırlılık grklrini sğlmzs çözüm ykınsmybilir. u husus Örnk. dki hlind göstrilmiştir. ütün diğr örnklrd yrıklştırılmış dnklmlrin v nb ktsyılrı pozitif işrtli ikn hlind doğu ktsyılrının çoğu ngtif işrtli (bkz. Tblo.) olup çözümd şğı yukrı yönd büyük spmlr vrdır..4. Nkldilbilirlik ir kışkn kımının nkldilbilirlik özlliği Şkil.9 d göstrildiği gibi bir noktsınd sbit bir kynğı dikkt lınrk izh dilbilir (Roch, 976). kım doğrultusu oyutsuz hücr clt syısı tşınım v yyınımın şiddtlri ornının ölçüsü olrk tnımlnır: ρu Γ / (.) Şkil.9 urd (hücr gnişliği) krktristik uzunluktur. Şkil.9 dki çizgilr syısının frklı dğrlri için sbit ğrilrinin (Örnğin ) gnl şklini göstrmktdir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

11 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - kım önünd yr ln bir noktsının kım grisind yr ln bir noktsındki tkisini göstrmk için iki uç hli dikkt llım: Tşınım olmdığı sd yyınım hli ( ) Yyınım olmdığı sd tşınım hli ( ) Ylnız yyınım olmsı hlind ( ) kışkn durğndır. Yyınım olyı özlliğini hr doğrultud şit miktrd yycğındn sbit ğrilri ş-mrkzli dir çmbrlridir. doğu noktsındki şrtlr kım önündki noktsındn v kım-grisindki şrtlrdn tkilncktir. syısı rttığınd ğrilr dir çmbrindn lips dönüşür v Şkil.9 d göstrildiği gibi kım doğrultusund uzr. öylc noktsı dki şrtlrdn kuvvtli bir şkild tkilnirkn dki şrtlr dn zyıf bir şkild tkilnir vy hiç tkilnmz. Ylnız tşınım olmsı hlind ( ) liptik ğrilr kım doğrultusund çizgi gibi uzr. dn çıkn özlliğinin tmmı nınd grid y doğru tşınır. öylc, yyınım olmdığındn dki dğri sdc kım önü şrtlrındn tkilnir, büyüklüğü y şit olur. clt syısının büyüklüğü il tkilşimin doğrultusu rsındki ilişki çok önmlidir v nkldilbilirlik olrk nitlndirilir.. Tşınım-yyınım problmlri için mrkzi yrıklştırm şmsının dğrlndirmsi Korunumsllık Mrkzi frk şmsı kontrol hcmi yüzlrind tşınımsl v yyınımsl kılrın hsbı için uygun ifdlr kullnır. ölüm.4. dki trtışmlr şmnın korunumsl olduğunu göstrmktdir. Sınırlılık (i) Mrkzi frklrl yrıklştırılmış sklr trnsport dnklminin iç noktlrdki ktsyılrı, ( ) (.4b), şklind bulunmuştu. imi bir-boyutlu kım lnı ynı zmnd yrıklştırılmış sürklilik dnklmi (.) il d yöntilmktdir. u dnklm kımd sürklik sğlndığı zmn ( - ) nin sıfır olcğını göstrmktdir. u durumd olup mrkzi frk şmsının ktsyılrının (.) Scrborough kritrini sğldığı görülmktdir. (ii) - / olup tşınımın doğu ktsyısın oln ktkısı ngtiftir. Şyt tşınım bskıns ngtif olbilir. >, > (yni kım tk yönlü) v pozitif işrtli olmk üzr v şğıdki koşulu sğlmlıdır: < (.4) UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

12 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - Şyt dn büyüks doğu ktsyısı ngtif olcktır. u durum sınırlılık grklrindn birini ihll dr v fiziksl bkımdn imknsız çözümlr vrbilir. Örnk. d (ii) il blirtiln hlind (.4) koşulu ihll dilmiştir. unun sonuçlrı büyük miktrdki düşük-thminlrl v fzl-thminlrl (iggls) çık biçimd görülmüştür. nin dn küçük lındığı (i) v (iii) hllrind is nlitik çözümlr ykın v sınırlı ynıtlr ld dilmiştir. Nkldilbilirlik Mrkzi frk şmsı, noktsınd tşınımsl v yyınımsl kılrın hsplnmsınd çvrsindki bütün doğrultulrdn tki lır. olyısıyl bu şm kımın yönünü vy tşınımın yyınım kıysl şiddtini frk tmz. u bkımdn yüksk syılrınd nkldilbilirlik özlliğin ship dğildir. oğruluk Mrkzi yrıklştırm şmsınd Tylor srisindki ksm htsı ikinci mrtbdndir (bkz. k ). Mrkzi frk şmsınd ktsyılrın pozitif olmsı grksinimi sdc / < olmsı hlind şmnın krrlı v doğru olcğını göstrir. Hücr clt syısının, (.) tnımlmsındn d görüldüğü gibi, kışkn özlliklriyl (ρ v Γ), bir kım özlliğinin (u) v bir ğ özlliğinin () kombinsyonu olduğunu blirtmk önmlidir. un gör ρ v Γ nın vrilmiş dğrlri için (.4) koşulunun sğlnmsı sdc hızın küçük olmsı hlind (dolyısıyl yyınımın bskın olduğu küçük Rynolds syılı kımlrd) y d ğ gnişliğinin küçük olmsı hlind mümkündür. u kısıtlmlr gör mrkzi frk yrıklştırmsı gnl mçlı kım hsplmlrı için uygun bir yrıklştırm yöntmi dğildir. un gör dh uygun özlliklr ship yrıklştırm şmlrın ihtiyç vrdır. u çrçvd, izlyn prgrflrd sırsıyl upind, hibrid, kuvvt-knunu v QUICK şmlrı trtışılcktır..6 Upind yrıklştırm şmsı Mrkzi frkl yrıklştırm şmsının n uygun olmyn yönlrindn birisi kım yönünü blirlymmsidir. Mrkzi frk yrıklştırılmsınd özlliğinin hücrnin btı duvrındki dğri v nin hr ikisindn d tkilnmktdir. Tşınımın soldn sğ doğru v kuvvtli olduğu bir kımd is hücrnin btı duvrı noktsın kıysl noktsındn dh kuvvtl tkilncğindn yukrıdki durum doğru dğildir. Upind vy vrici hücr yrıklştırm şmsı bir hücr duvrınd hsp yprkn kımın yönünü dikkt lır: nin bir hücr duvrındki tşınn dğri kım-önü noktsındki dğrin şit lınır. Hücr duvrlrındki dğrlri hsplmk için kullnıln noktsl dğrlr, kım pozitif yönd (btıdn doğuy) ikn Şkil. d, v ngtif yönd ikn Şkil. d göstrilmktdir. u u Şkil. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

13 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - kım pozitif yönd ikn, u >, u > ( >, >), olup upind şmsınd v (.) lınır v böylc yrıklştırılmış (.9) dnklmi ( ) ( ) (.6) vy düznlnrk y d ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) şklin glir. (.7) u u Şkil. kım ngtif yönd is, u <, u < ( <, <), olup upind şmsınd bu kz v (.) lınır v yrıklştırılmış dnklm vy ( ) ( ) (.9) [ ( ) ( )] ( ) şklin glir. (.) v nin ktsyılrı v il blirtilrk (.7) v (.) dnklmlri lışılgldik gnl (.) biçimind düznlnbilir. urdki mrkzi ktsyı ( ) v komşu ktsyılr d şğıdki şkilddir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

14 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -4 >, > <, < - Upind yrıklştırm şmsınd komşu ktsyılr için hr iki kım yönünü d içrck biçimd bir formülsyon şğıd vrilmiştir. mx(,) mx(,- ) Örnk.: Örnk dki problmi upind yrıklştırm şmsı v hücr kullnrk (i) u.m/s, (ii) u. m/s hlind çözünüz Çözüm urdki yrıklştırm için yin Şkil. dki ğ ypısı kullnılmktdır., v 4 numrlı iç noktlrd yrıklştırılmış dnklm v ktsyılrı (.) v şliğindki tblolrd vrilmiştir. u örnkt bütün hücrlr için ρu v Γ/ olduğu blirtilmlidir. Tşınım trimlri için upind yrıklştırmsının kullnılmsıyl numrlı sınır noktsınd ( ) ( ) (.) v numrlı sınır noktsınd ( ) ( ) (.) ld dilir. Sınır noktlrınd Γ/ v olup bu iki dnklm lışılgldik biçimd düznlnirs u S (.4) şklin glir. urd ( ) S olup ktsyılrın dğrlri şğıd tblolnmıştır. Nokt S S u -( ) ( ),,4 - UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

15 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - Ktsyılrın hsplnmsı v dnklm sistminin oluşturulrk çözülmsi konusu dh önc bir çok kz inclndiği için burdki uygulm bir lıştırm olrk öğrncilr bırkılmıştır. nlitik çözüm yin (.) bğıntısıyl hsplnıp upind şmsıyl ld dilck nümrik sonuçlrl krşılştırılbilir. (i) u. m/s için çözüm: u hld ρu., Γ/., Γ/. olup sonuçlr Tblo.6 d öztlnmiştir. Şkil. d upind yrıklştırm şmsının bu hücr clc syısı için iyi sonuçlr vrdiği görülmktdir. Tblo.6 Nokt Msf Sonlu hcim çözümü nlitik çözüm rk Ht yüzdsi u. m/s..6.4 Tm çözüm. Syısl çözüm Konum (x) Şkil. (ii) u. m/s için çözüm: u hld d ρu., Γ/., Γ/ olup sonuçlr Tblo.7 v Şkil. d nlitik sonuçlrl krşılştırılmıştır. Tblo.6 Nokt Msf Sonlu hcim çözümü nlitik çözüm rk Ht yüzdsi UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

16 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -6.. Syısl çözüm.6.4 Tm çözüm. u. m/s Konum (x) Şkil. u ikinci uygulmd upind şmsının ynı ğ gnişliği için mrkzi frk şmsın gör dh iyi sonuç vrdiği görülmktdir. ununl birlikt sınırı ykınındki çözüm nlitik çözüm ytrinc ykın dğildir..6. Upind yrıklştırm şmsının dğrlndirmsi Korunumsllık Upind yrıklştırm şmsı hücr duvrlrını gçn kılrın hsbı için uygun bğıntılr kullnmkt olup, formülsyonun korunumsl olduğu kolylıkl göstrilbilir. Sınırlılık yrıklştırılmış dnklmin ktsyılrı hp pozitif olup sınırlılık koşulunu sğlmktdır. kım sürklilik dnklmini sğldığınd ktsyısı içindki ( - ) trimi sıfır olur. öylc ld dilir ki bu d tkrrlı çözümlrd krrlılık için istniln bir durumdur. ütün ktsyılr pozitif işrtli olunc ktsyılr mtrisinin diygonli bskın olur ki böylc çözümd bir iggls oluşmz Nkldilbilirlik Şm kımın yönünü dikkt ldığındn nkldilbilirlik sğlnmktdır. oğruluk Şm gri frkl yrıklştırm formülsyonun dynmkt olup hsssiyti Tylor sri çılımının ksm htlrı bkımındn sdc birinci drcdndir. (kz k ). sitliği ndniyl upind yrıklştırm şmsı ilk C hsplmlrınd gniş şkild kullnılmıştır. Çok-boyutlu problmlrd, upind strtjisi hr bir ksn doğrultusund tkrrlnrk kolylıkl uygulnbilir Şmnın önmli bir zfı kımın ğ çizgilrin uymmsı hlind htlı sonuçlr vrmsidir. u gibi problmlrd upind yrıklştırm şmsı tşınn özlliğin UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

17 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -7 dğılımınd bir bozukluğ ndn olur. Orty çıkn ht yyınım bnzri bir görüntüd olup ypy yyınım olrk dlndırılır. u tki özlliğinin trnsport büyüklüklri bir krtzyn ğ il blli bir çı ypn kım için upind yrıklştırm şmsı kullnılrk hsplnmk surtiyl göstrilbilir. X v m/s u m/s X ig..4 Şkil.4 d hızlrın hr yrd uvm/s olmk üzr üniform v diygonl (dolu çizgi) prll olduğu bir kım lnı söz konusudur. Sınır koşullrı güny v doğu sınırlrınd v btı v kuzy sınırlrınd olrk vrilmiştir. iygonl çizgisinin sınır çizgilriyl ksiştiği birinci v sonuncu düğüm noktlrınd özlliğinin dğri olrk tnmıştır. Upind şmsındn kynklnn ypy yyınımı tspit tmk için, fiziksl yyınımın olmdığı bir slt tşınım olyı dikkt lınmktdır. büyüklüğü için hrhngi bir kynk trimi söz konusu olmyıp dimi hl inclnmktdir. u hldki doğru çözüm bilinmkt olup, kım dolu çizgi şklind blirtiln diygonl prll olduğundn, büyüklüğünün dğri diygonlin üstünd v ltınd d olcktır. Ypy yyınımın drcsi nin dğılımı hsplnıp sonuçlr X-X diygonli boyunc çizilrk göstrilbilir. iziksl bir yyınım olmdığındn X-X diygonlinin dolu diygonli ksip gçtiği noktd tm çözüm nin dğrind dn sıfır ni bir dğişim göstrcktir. Çşitli ğ ypılrı için hsplnmış dğrlr Şkil. d tm çözüml birlikt göstrilmiştir. Şkild syısl çözümlrin kötü biçimd yyvnlşmış profillr vrdiği görülmktdir. Ht n syrk ğ için n büyük olup şkl gör ğın sıkılştırılmsının prnsip olrk ypy yyınım problminin üstsindn gldiği nlşılmktdır. v hücrli ğlr için ld diln çözümlr tm çözüm ykındır. ununl birlikt prtiktki kım hsplmlrınd ğ ypısını ypy yyınımı gidrck drcd sıkılştırmnın mliyti yüksk olbilir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

18 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - Upind Tm çözüm 6 4 Upind Upind X X diygonli boyunc msf (m)..4 ig..4 İnclmlr, yüksk Rynolds syılı kımlrd, ypy yyınımın fiziksl olrk doğru olmyn sonuçlr vrck kdr büyük olbilcğini göstrmiştir (Lschzinr, 9; Hung v rkdşlrı, 9). u ndnl, upind yrıklştırm şmsı doğru kım hsplmlrı için tm nlmıyl kullnışlı görülmmiş olup iyilştirilmiş yrıklştırm şmlrı bulunmsı yönünd önmli miktrd rştırm ypılmıştır..7 Hibrid yrıklştırm şmsı Splding in (97) hibrid yrıklştırm şmsı mrkzi yrıklştırm v upind yrıklştırm şmlrının bir birlşimidir. u şmd küçük clt syılrınd ( < ) ikinci-mrtbdn hsssiyt ship mrkzi frk yrıklştırmsı kullnılırkn büyük clt syılrınd ( ) d birinci mrtbdn hsssiyt ship oln m nkldilbilirliği dikkt ln upind şmsı kullnılmktdır. h önc olduğu gibi hibrid şmnın inclnmsind d kynk trimi olmyn birboyutlu tşınım-yyınım dnklmi l lıncktır. u dnklm bir kı blnsı dnklmi olrk d yorumlnbilir. Hibrid yrıklştırm şmsı hr bir kontrol hcmi yüzündn gçn nt kının hsplnmsınd lokl clt syısın dynn bir kısmi formülsyon kullnır. unun için clt syısı kontrol hcminin yüzlri üzrind hsplnır. Örnğin, bir hücrnin btı yüzünd Γ ( ρu ) / olup bu yüzd birim ln bşın nt kı için hibrid yrıklştırm formülü (.) q < < UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

19 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -9 q q (.6) şklinddir. u yrıklştırm, kolylıkl görülbilir ki, küçük clt syılrınd tşınım v yyınım trimlri için mrkzi yrıklştırm kullnılmsın şdğr, > olduğund is tşınım için upind yrıklştırmsı ypılmsı v yyınımın d sıfır lınmsın şdğrdir. yrıklştırılmış dnklmin gnl formu (.7) şklind olup burdki mrkzi ktsyı d ( ) şklind tnımlnmktdır. imi bir-boyutlu tşınım-yyınım problmi için hibrid yrıklştırm şmsın it diğr ktsyılr d bzı düznlmlrdn sonr şğıdki biçimd ld dilir: mx,, mx,, Örnk.: Örnk. d (ii) u. m/s hlindki problmi hibrid yrıklştırm şmsı kullnrk çözünüz. ş noktlı bir çözümü noktlı çözüml krşılştırınız. Çözüm Şyt bş noktlı ğ ypısı kullnılır v Örnk dki vrilr u. m/s il birlikt kullnılırs ρu. v Γ /. v böylc clt syısı için d ρu / Γ ld dilir. Hücr clt syısı dn büyük olduğu için hibrid şm tşınımsl trimlr için upind yrıklştırm kullnck v yyınımı d sıfır lcktır. İç noktlr, v 4 d yrıklştırılmış dnklm (.7) bğıntısı v ktsyılrıyl tnımlnır. Sınır koşullrının dhil olduğu v noktlrınd is özl inclm grkir. un gör numrlı sınır noktsınd ( ) (.) UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

20 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln - v numrlı sınır noktsınd d ( ) (.9) yzılbilir. Sınırdki yyınımsl kı sğd yr lırkn tşınımsl kılrın upind yöntmiyl vrildiği görülmktdir. yrıc v Γ/ olup böylc yrıklştırılmış dnklm u S (.4) şklind yzılbilir. urd ( ) S v Nokt S p S u -( ) ( ),, 4 - Vriln syısl büyüklüklr kullnılrk ld diln ktsyılr Tblo. d sunulmuştur. Tblo. Nokt S p -S p S u nklm tkımı, v olmk üzr mtris formd (.4) v dnklm sistminin çözümü

21 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - şklinddir (.4) nlitik çözüml krşılştırm Nümrik sonuçlr nlitik çözüm il Tblo.9 d krşılştırılmıştır. Hücr clt syısı yüksk olduğundn sonuçlr slt upind şmsınd olduğu gibidir. ğ ypısının < olck biçimd sıkılştırılmsı hlind şm mrkzi yrıklştırmy dönüşür v dh hsss bir çözüm vrir. u husus noktlı bir ğ ypısı kullnılrk (.4 m,.) göstrilmiştir. Syrk v sıkı ğ ypılrıyl ld diln sonuçlrın hr ikisi d nlitik çözüml birlikt Şkil.6 d sunulmuştur. Tblo.9 Nokt Msf VM nlitik rk Yüzd ht Hibrid yöntm ( hücr).6.4 Hibrid yöntm ( hücr). u. m/s Tm çözüm Msf (m) Şkil.6.7. Hibrid yrıklştırm şmsının dğrlndirmsi Hibrid yrıklştırm şmsı upind v mrkzi yrıklştırm şmlrının istnn özlliklrini kullnmktdır. Mrkzi yrıklştırm şmsının htlı sonuçlr vrdiği yüksk syılrınd upind şmy gçr. Şm tm olrk korunumsldır v ktsyılr dim pozitif işrtli olduğundn koşulsuz olrk sınırlıdır. clt syısının UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

22 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - büyük dğrlri için bir upind şmsı kullnrk nkldilbilirlik grğini sğlr. Şm fiziksl olrk grçkçi çözümlr vrir v bu bölümd dh ilrid trtışılck oln yüksk mrtbdn şmlr kıysl hyli krrlıdır. Hibrid yrıklştırm çşitli C prosdürlrind gniş şkild kullnmıştır v prtik kımlrın hsbınd çok fydlı bulunmuştur. Olumsuz ynı is Tylor srisi ksm htsı bkımındn hsssiytinin sdc birinci-mrtbdn olmsıdır..7. Çok-boyutlu tşınım-yyınım için hibrid yrıklştırm şmsı Hibrid yrıklştırm şmsı hr ilv koordint doğrultusund tkrrlm surtiyl iki- v üç-boyutlu problmlr kolylıkl uygulnbilir. un gör bütün hllri içrn yrıklştırılmış dnklm (.4) S S N N T T şklind ifd dilbilir. urd mrkzi ktsyı S N T şklind olup diğr ktsyılr d şğıd öztlnmiştir: ir-boyutlu kım İki-boyutlu kım Üç--boyutlu kım mx mx mx mx mx mx S - mx s s s mx s s s N - mx n n n mx n n n - - mx b b b T - - mx t t t n s n s t b Yukrıdki ifdlrdki v nin dğrlri d şğıdki formüllrl hsplnmktdır: Hücr Yüzü s n b t ( ρ u) ( ρ u) ( ρ u) s s ( ρ u ) n n ( ρ u ) b b ( ρ u ) t t Γ Γ Γ δy s S s Γ δy n N n Γ δz b N b Γ δz t T t UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

23 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - İki v üç boyutlu hld sınır koşullrının uygulnmsıyl bu bğıntılrd mydn glck dğişikliklr (.4) ifdsin bnzr olcktır.. Kuvvt-knunu şmsı tnkr ın (9) kuvvt-knunu yrıklştırm şmsı bir-boyutlu tm çözüm dh ykın yklşım ypmkt olup hibrid şmdn dh iyi sonuçlr vrmktdir. u şmd hücr clt syısı u ştığınd yyınım sıfır lınır. Şyt clt syısı << rlığınd is kı polinomsl bir ifd kullnılrk hsplnır. Örnğin, bir hücrnin btı yüzünd birim ln bşın nt kı v < için q [ β ( )] < (.44) > için q (.44b) bğıntılrıyl hsplnır. urd ( ) β. / dır. imi bir-boyutlu tşınım-yyınım problmi için kuvvt-knunu şmsı kullnılrk yrıklştırılmış dnklmin mrkzi ktsyısı ( ) v komşu ktsyılrı d, mx (. ) [ ], mx[, ] [ ], mx, (. ) mx [, ] şklind vrilmktdir. Kuvvt-knunu yrıklştırm şmsının özlliklri hibrid şmnınkiyl bnzrdir. irboyutlu problmlrd tm çözüm dh ykın sonuçlr vrmkt olup dh hssstır. Şm prtik kım hsplmlrınd fydlı gözükmkt olup hibrid şmlr bir ltrntif olrk kullnılbilir. zı ticri bilgisyr yzılımlrı, örnğin LUNT 4. vrsiyonu, bu şmyı kım hsplmlrı için dfult şm olrk kullnmktdır (LUNT Usrs' Mnul, 99)..9 Yyınım-tşınım problmlri için yüksk mrtbdn yrıklştırm şmlrı Hibrid v upind şmlrının hsssiyti Tylor sri çılımındki ksm htlrı bkımındn birinci-mrtbdndir. Upind büyüklüklrinin kullnımı şmnın gyt krrlı olmsını v nkldilbilirlik grğini sğlrkn birinci mrtbdn hsssiyt bu şmlrın nümrik yyınım htlrın ğilimli olmlrın yol çr. u gibi htlr yüksk mrtbdn yrıklştırmlr kullnrk zltılbilir. Yüksk mrtbdn şmlr dh çok syıd komşu noktyı hsb ktrk yrıklştırm htlrını zltır. İkincimrtbdn hsssiyt ship oln mrkzi yrıklştırm şmsı krrsız olrk gözükmkt olup nkldilbilirlik özlliğin ship dğildir. kım yönünü dikkt lmyn formülsyonlr krrsızdır v bu ndnl krrlılık için upind büyüklüklrini içrn v kım yönün hsss oln yüksk-mrtbdn şmlr ihtiyç vrdır. Gniş şkild kullnıln yklşımlrın bzılrı şğıd trtışılcktır. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

24 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi Kudrtik upind yrıklştırm şmsı - QUICK şmsı Lonrd (979) trfındn orty konn QUICK (Qudrtic Upstrm Intrpoltion for Convctiv Kintics) şmsınd hücr duvrı dğrlri için üç-noktlı kımönü-ğırlıklı kudrtik bir intrpolsyon kullnılmktdır. nin bir hücr yüzündki dğri bu yüzün iki ynındki iki düğüm noktsıyl kım-gliş trfındki bir diğr düğüm noktsındn gçn bir kudrtik fonksiyondn ld dilir. (Şkil.7). u u Şkil..7 Örnğin, u > nd u > olmsı hlind yi hsplmk için, v noktlrındn gçn bir kudrtik kullnılırkn, yi hsplmk için d, v noktlrındn gçn bir bşk kudrtik kullnılmktdır. u < nd u < olmsı hlind is yi hsplmk için, v noktlrındn yrrlnılırkn yi hsplmk için d, v noktlrınd yrrlnılmktdır. Gnl bir ifdyl, i- v i düğüm noktlrı rsınd kln hrhngi bir hücr yüzündki dğri komşu iki düğüm noktsı il i- kım-önü noktsındki dğrlri cinsindn 6 yüz i i i (.4) şklind hsplnır. u > v u > olmsı hlind bu bğıntı, btı yüzü için komşu noktlr v, kım-önü noktsı d olup 6 (.46) şklind, v doğu yüzü için komşu noktlr v, kım-önü noktsı d olup 6 (.47) şklind yzılır. Yyınım trimlri d ilgili prbolün türvi lınrk ld dilbilir. Üniform ğ ypısı kullnılrk izlnn bu yolun, yyınım için mrkzi yrıklştırm il ld dilnlrl ynı ifdlri vrdiği blirtilmlidir. >, > olmsı hlind v tşınımsl trimlr için ( ) dnklmlri v yyınım trimlri için d mrkzi yrıklştırm kullnılırs, (.9) bir-boyutlu tşınım-yyınım dnklminin yrıklştırlmış biçimi şğıdki gibi yzılbilir: UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

25 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln - ( ) ( ) 6 6 u dnklm düznlnrk 6 6 (.4) şklind vy dh önc d tnımlnn stndrt biçiml (.49) şklind yzılbilir. urd 6 ( ) <, < olmsı hlind btı v doğu yüzlrindki kılr sırsıyl 6 6 (.) şklind hsplnır. u bğıntılr (.9) bir-boyutlu tşınım-yyınım dnklmind yrıklştırılmış tşınımsl trimlr yrin kullnılrk v yyınım trimlri d mrkzi frkllrl yrıklştırılrk stndrt biçimdki yrıklştırılmış dnklmin ktsyılrı şğıdki gibi ld dilir: 6 ( ) ozitif v ngtif kım doğrultulrı için gçrli gnl bğıntılr yukrıdki iki grup bğıntı birlştirilrk ld dilbilir. un gör for bir-boyutlu tşınım-yyınım problmlri için QUICK şmsı şğıdki gibi öztlnbilir: (.) urd mrkzi ktsyı ( ) şklind v komşu ktsyılr d

26 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -6 6 α α α ( α ) 6 α ( α ) şklind tnımlnmkt olup yrıc dır. Örnk.4 ( α ) ( α ) >, > için α, α <, < için α, α Örnk. d göz önün lınn problmi bş-noktlı bir ğ ypısıyl u. m/s için QUICK şmsını kullnrk çözünüz. QUICK sonuçlrını tm çözüml v mrkzi frk yrıklştırmsı sonuçlrıyl krşılştırınız. Çözüm Örnk. d olduğu gibi yrıklştırm için bş-noktlı bir ğ ypısı kullnılcktır. O örnktki vrilr v u. m/s dğri kullnılrk hr yrd. v. ld dilir ki hücr clt syısı d ρu/.4 olur. v 4 iç noktlrınd QUICK şmsıyl yrıklştırılmış dnklm (.) dnklmi v ktsyılrıyl vrilmktdir. QUICK şmsınd iç hücrlrin yüzlrind dğri üç noktdki dğrlri kullnn ( ) formüllriyl hsplnır. nck, v noktlrının hpsi d sınır bölglrindn tkilnmkt olup yrı biçimd inclnmsi grkir. numrlı sınır noktsı için btı yüzünd dğri vrilmiştir. kt doğu yüzünd (.47) bğıntısını kullnrk dğrini hsplmk için grkn bir btı noktsı bulunmmktdır. Lonrd (979) bu problmi hlltmk için fiziksl sınırın btısınd / uzklıkt bir imj nokt ld tmk üzr bir linr kstrpolsyon önrmiştir (Şkil.). / / İmj noktsı ölg sınırı noktsı Şkil.. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

27 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln -7 ktrpolsyonl imj noktsınd ld dilck dğrin (.) olcğı kolylıkl göstrilbilir. İmj noktsınd ypıln kstrpolsyon numrlı hücrnin doğu yüzünd (.47) bğıntısıyl ypılck oln hsp için grkn hsp noktsı dğrini sğlmktdır. ( ) 6 7 (.) Sınır hücrlrind grdyntlr d (.) formülün uygun bir bğıntıyl hsplnmlıdır. tı sınırındki yyınımsl kının ( ) x Γ 9 (.4) il hsplncğı göstrilbilir. öylc numrlı noktd yrıklştırılmış dnklm ( ) ( ) 9 7 (.) şklind ld dilir. numrlı hücrnin doğu yüzünd vrilmiş olup bu yüzdki yyınım kısı ( ) x Γ 9 (.6) il hsplnır. öylc noktsındki yrıklştırılmış dnklm d ( ) ( ) 9 6 (.7) şklind ld dilir. hücrsinin doğu yüzünd dğrini ld tmk için özl bir ifd kullnıldığındn kı uygunluğunu sğlmk için numrlı hücrnin btı yüzündki tşınım kısını hsplrkn d ynı bğıntıyı kullnmk grkmktdir. öylc noktsınd ( ) ( ) 7 6 (.) ld dilir. Şimdi, v noktlrındki dnklmlr stndrt formd düznlnirs: u S (.9) urd mrkzi ktsyı

28 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - ( ) S şklind v komşu ktsyılr d şğıdki gibidir: Nk S S u Vriln syısl dğrlrl ld diln ktsyılr Tblo. d öztlnmiştir. Tbl. Nokt S u S nklm tkımının mtris biçimi olup çözüm d şklinddir UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

29 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi -9 nlitik çözüml krşılştırm Şkil.9 dn QUICK çözümünün tm çözümdn nrdys frksız olduğu görülmktdir. Tblo. syrk ğ ypısın rğmn htlrın çok küçük olduğunu doğrulmktdır. Örnk. d izh diln dımlrı tkibn yukrıdki vrilrl mrkzi frk çözümü d ypılmıştır. Tblo. d göstrildiği gibi mutlk htlrın toplmı lındığınd QUICK şmsının mrkzi frk şmsın gör dh hsss çözüm vrdiği nlşılmktdır....6 QUICK şmsı.4. u. m/s Tm çözüm Msf (m) Şkil.9 Tbl. Nokt Konum nlitik çözüm QUICK çözümü Ht Mrkzi frk çözümü Ht Σ mutlk ht QUICK şmsının dğrlndirmsi Şm uygun kudrtik profillr kullnmktdır kılrın hücr yüzündki dğrlri hp komşu iki nokt v ilv bir kımönü noktsı rsınd kudrtik intrpolsyonl hsplnmktdır v bu ndnl korunumsldır. Şm bir kudrtik fonksiyonu ss ldığındn Tylor srisi ksm htlrı çısındn doğruluğu üniform ğ ypısı için üçüncümrtbddir. Nkldilbilirlik özlliği kudrtik fonksiyonun iki kımönü noktsı il bir kımrksı noktsını ss lmsı üzrin inş dilmiştir. kım lnı sürkliliği sğlıyors ktsyısı komşu ktsyılrın toplmın şittir ki bu d sınırlılık için rzu diln bir durumdur. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

30 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - un krşılık, v ktsyılrının pozitif olmsı grnti olmyıp v ktsyılrı d ngtiftir. un gör örnğin, şyt u > v u > is nisptn ort büyüklüklrdki clt syılrınd ( / >/) doğu ktsyısı ngtif olur. u durum bzı kım koşullrınd krrsızlık problmlri yrtır v sınırsız çözümlr vrir. kım ngtif yönd olduğund bnzri biçimd btı ktsyısı ngtif olbilir. olyısıyl QUICK şmsı şrtlı krrlıdır. lirtilmsi grkn bir diğr nokt d yrıklştırılmış dnklmlrin sdc komşu noktlrdki bilinmynlri içrmyip dh ilridki bir noktyı d içrmsidir. u ndnl bu çözüm tkniğind üç-diygonlli dnklm sistmi çözüm yöntmi kullnılmz..9. QUICK şmsının krrlılık sorunlrı v çrlri QUICK şmsı yukrıd izh diln biçimind, ktsyılrının ngtif olmsı ndniyl krrsız olbildiğindn çşitli yollrl krrsızlığı gidrilck biçimd ynidn formül dilmiştir. ütün bu formülsyonlrd sorunlu ngtif ktsyılr kynk trimin dhil dilrk n ktsyılrın pozitif işrtli klmsı sğlnmktdır. öylc olbildiğinc pozitif ktsyılr ld dilrk dh iyi bir krrlılık sğlnmktdır. rtiktki bu tip yklşımlrdn iyi bilinn bzılrı Hn v rkdşlrı (9), ollrd v Siu (9) v Hys v rkdşlrı (99) trfındn grçklştirilmiştir. lirtiln n son çlışmd QUICK şmlrı ynidn düznlnrk yklşım gnllştirilmiş olup krrlı v ykınsyn bir yöntm orty konmuştur. Hys v rkdşlrı (99) trfındn gliştiriln QUICK şmsı şğıdki gibi öztlnbilir: > için ( ) > için ( ) < için ( ) < için ( ) yrıklştırılmış dnklm S (.6) Mrkzi ktsyı ( ) iğr ktsyılr α ( α ) UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln

31 ölüm Tşınım-Yyınım problmlri için Sonlu Hcimlr Yöntmi - S ( ) α ( ) ( )( α ) ( )( α ) α urd >, > için α, α <, < için α, α u yklşımın n büyük üstünlüğü ktsyılrın dim pozitif işrtli olmsı v korunumsllık, sınırlılık v nkldilbilirlik grklrini sğlmsıdır. urd, Hys v rkdşlrınınki d dhil olmk üzr QUICK şmsının bütün vrysyonlrının ykınsm sonucund ynı çözümü vrdiklri blirtilmlidir..9.4 QUICK yrıklştırm şmsıyl ilgili gnl görüşlr QUICK yrıklştırm şmsı mrkzi yrıklştırm vy hibrid şmlr kıysl dh büyük bir hsssiyt shiptir. Ypy yyınım küçük olup syrk ğ ypısıyl ld diln sonuçlr bil sık sık upind vy hibrid şmlrdkindn dh hsss olmktdır. ölüm.6. d orty konn iki-boyutlu tst hli için upind v QUICK şmlrının bir krşılştırmsı Şkil. d göstrilmiştir. QUICK şmsının tm çözüm x hücrli upind şmsındn çok dh ykın olduğu dikkti çkmktdir. Tm çözüm QUICK 6 4 Upind X X diygonli boyunc msf (m)..4 Şkil. ununl birlikt QUICK şmsı Şkil. dn d görüldüğü gibi (küçük çpt) şırıthmin vy ytrsiz-thminlrd bulunbilir. Krmşık kım hsplmlrınd, QUICK kullnılmsı sınırsız sonuçlrın ndn olduğu sorunlr çıkrtbilir. Örnğin, k-ε modli il hsplmlrd ngtif türbülns kintik nrji orty çıkbilir. u ndnl sonuçlrın yorumlnmsı sırsınd şırı thmin vy ytrsiz thmin olsılıklrının dikkt lınmsı grkir. UCK4 Mühndislikt ilgisyr Uygulmlrı, rs notlrı M. dil Yüksln