ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. q-osilatörleri VE q-deforme FONONLAR. Emine AYDIN FİZİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ -OSİLATÖRLERİ VE -DEFORME FONONLAR Emie AYDIN FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 6 Her haı salıdır

2 Prof. Dr. Beir Sıtı KANDEMİR daışmalığıda, Emie AYDIN tarafıda hazırlaa bu çalışma 7/8/6 tarihide aşağıdai jüri tarafıda oybirliği ile Fizi Aabilim Dalı da yüse lisas tezi olara abul edilmiştir. Başa: Prof. Dr. Halu MUTLU Aara Üiversitesi Mühedisli Faültesi Fizi Mühedisliği Bölümü Üye: Prof. Dr. Abdullah VERÇİN Aara Üiversitesi Fe Faültesi Fizi Bölümü Üye: Prof. Dr. B. Sıtı KANDEMİR Aara Üiversitesi Fe Faültesi Fizi Bölümü Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Tezi Adı : -Osilatörleri Ve -Deforme Foolar Yuarıdai soucu oaylarım Prof. Dr. Ülü MEHMETOĞLU Estitü Müdürü

3 ÖZET Yüse Lisas Tezi -SALINICILARI ve -DEFORME FONONLAR Emie AYDIN Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Fizi Aabilim Dalı Daışma: Prof. Dr. Beir Sıtı KANDEMİR Bu tezde öcelile uatum meaiğii temel sistemleride biri ola harmoi salııcı sistemi gözde geçirilere, harmoi salııcıları -deformasyou ve bu bağlamda Fiboacci Salııcıları, -deformasyou istatistisel özellileri gibi oular ayrıtılı olara iceledi. Deformasyou sistem üzeride meydaa getirdiği değişililer araştırıldı. 6, 53 sayfa Aahtar Kelimeler: -deformasyou, -salııcıları i

4 ABSTRACT Master Thesis -OSCILLATORS ad -DEFORMATION Emie AYDIN Aara Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Physics Supervisor: Prof. Dr. Beir Sıtı KANDEMİR I this thesis, harmoic oscillator which is oe of the mai systems i uatum mechaics is reviewed; the -deformatio of harmoic oscillators ad i this coectio, the subjects lie Fiboacci oscillators, statistical properties of -deformed oscillators are examied i detail. The chages i the oscillators system which are caused by the deformatio are studied. 6, 53 pages Key Words: -deformatio, -oscillators ii

5 TEŞEKKÜR Kuatum meaiğii temelleri haıda bei böyle bir çalışmaya yöledire, e armaşı avramları dahi basit ve açı bir dille alatımı ile avrata sevgili hocam Sayı Prof. Dr. Beir Sıtı KANDEMİR e teşeür ederim. Emie AYDIN Aara, Ağustos 6 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET......i ABSTRACT......ii TEŞEKKÜR....iii SİMGELER DİZİNİ...v ÇİZELGELER DİZİNİ...vi. GİRİŞ..... SU() LİE CEBİRİ, JORDAN-SCHWINGER KURULUMU VE TEMSİLİ...4. Harmoi Osilatörleri -Aalogları ve SU () Kuatum Grubu SU () u - osilatör temsili deforme osilatörüü oordiat temsili deforme osilatör içi ortagoalli ve saler çarpım Fiboacci Osilatörleri osilatörüü Döüşüm Teorisi soğurulma ve yayılma bağıtıları ofigürasyo uzayı uyarılmış durumlar aa bazı ve x bazı arasıdai döüşüm Osilatör Sistemii İstatistisel Özellileri: Foolar ve Fotolar Termo ala diamiğii -aaloğu osilatör sistemii istatisti meaisel özellileri İstatisel dağılımı -aaloğu Siyah cisim ışıması Öz ısı SONUÇ. 5 KAYNAKLAR 5 ÖZGEÇMİŞ iv

7 SİMGELER DİZİNİ a a a a E Harmoi Osilatörü yo edici operatörü Harmoi Osilatörü yaratıcı operatörü -deforme Osilatörü yo edici operatörü -deforme Osilatörü yaratıcı operatörü -deforme Osilatörü. uyarılmış durum eerji özdeğeri G ( ε ) Rogers-Szëgo poliomları H Hamiltoye J ±, J z Açısal mometumu azaltıcı, artırıcı operatörleri ve z bileşei J Açısal mometumu aresi m N p Φ ( x) ( x) Kütle. durum özdeğeri Sayı operatörü Lieer mometum Deformasyo parametresi Taba durumu dalga fosiyou Φ. uyarılmış durum dalga fosiyou ω Salıımı freası ψ Taba durum ormalize öz vetörü ψ. durum ormalize öz vetörü a a b b g ( ω ) Fermiyolar içi yo edici operatör Fermiyolar içi yaratıcı operatör Freas spetrumu v

8 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge. α3, β-, [], [] değerlerii çözümleri Çizelge. α3, β-, [], [] değerlerii çözümleri..... Çizelge.3 Fiboacci Serisi vi

9 .GİRİŞ Harmoi osilatör, diatomi moleülleri titreşimleri, ristal içidei atomları ve çeirdetei üleoları salıımları, eletromayeti ala, foolar ve bezeri bir ço titreşe sisteme model teşil ettiğide dolayı fizite temel bir öeme sahiptir. Bir ço fizisel sistem içi, potasiyel eerji V, uzayda bir otası civarıda bir miimuma sahiptir. Potasiyel eerji oumu fosiyou olara bu dege otası civarıda V V V V ( ) ( )... (.)!! şelide uvvet serisie açılabilir. Buradai iici terim dege oşuluda dolayı sıfırdır. m ütleli bir parçacı dege oumu etrafıda ço üçü salıımlar yapıyorsa, potasiyeli uvvet serisidei yüse mertebeli terimler ço üçütürler ve bu yüzde ihmal edilebilirler. Potasiyeli başlagıç otasıı seçimii eyfi alımasıda dolayı il terim de alımayabilir. Böylece Delem (.) dei V da sadece V ( ) terimi alır i, bu da ütlesi m ola ve dege oumuda uzalığıa bağlı olara C geri çağırıcı uvveti etisi altıdai harmoi osilatörü potasiyelidir. Bu şeilde bir potasiyele maruz ala bir boyutlu bir osilatörü Hamiltoyei, H p m mω (.) ile verilir. Burada, osilatörü dege oumua göre ola yer değiştirmeyi, p lieer mometumu, m parçacığı ütlesii ve ω salıımı freasıı belirtir. Harmoi osilatör içi uatizasyo, ve p yi Hilbert uzayıda

10 [, p] i (.3) şelide Heiseberg sıra değiştirme bağıtısıı sağlaya öz eşlei operatörler alara gerçeleştirilir ( alımıştır). Bular ciside, biri diğerii hermiti eşleiği ola bozoi operatörler ise mω a i mω p (yaratıcı operatör) (.4) mω a i mω p (yo edici operatör) (.5) şelide taımlaır. Taımı soucu olara bu bozoi operatörler, aa, (.6) sıra değiştirme bağıtısıı sağlarlar. Böylece, Delem (.) ile verile harmoi osilatör hamiltoyei Delem (.4) ve (.5) dei bozoi operatörleri ciside ω H ( a a aa ) ω a a (.7) şelide yazılabilir. ψ, salııcı operatörleri etidiği H Hilbert uzayıı, a ψ (.8) şartıı sağlaya ormalize bir öz vetörü olsu. Delem (.5) yardımı ile Delem (.8) mω d i ψ mω d

11 şelide yazılabilir. Bu şeilde, Delem (.8) artı. mertebede lieer bir diferasiyel deleme döüşmüştür. Buu çözümüü ( ω ) oum bazıda x m olma üzere x / 4 ( x) exp( ) xψ ψ π şelide olduğu rahatlıla gösterilebilir. Bu çözüm, Hilbert uzayıda taımlı saler çarpıma göre dx x ψ ψ ψ şelide ormalizedir. Normalize özvetörleri tam ümesi { }, ψ { ψ } da / (!) ψ a ψ (.9) bağıtısı ullaılara urulabilirler. Bu vetörler, Na a ile verile sayı operatörüü N ψ ψ şelide özdeğerli ormalize özdurumlarıdır. N sayı operatörüü spetrumu, egatif olmaya tam sayılarda meydaa gelmiş olup, özdeğerleri hiç biri dejeere değildir. Dolayısı ile ψ ler H i de ( /) ω özdeğerli özvetörleridir. 3

12 - SU() LİE CEBİRİ, JORDAN-SCHWINGER KURULUMU VE TEMSİLİ K adet lieer bağımsız osilatör topluluğu içi yaratıcı ve yo edici operatörler arasıdai sıra değiştirme bağıtıları giriş bölümüde betimlee bir boyutlu te osilatörüie bezer olara (.) ai, a j δij ai, a j ai, a j i, j,,..., K şelide yazılabilir. Bezer şeilde bu osilatörler topluluğuu hamiltoyei, (.) H K K ω ai ai i ve buu özdurumları.... K K a a a ψ (.3) şelide urulabilir. Burada, a, durumuda bir bozo yaratıre, ise yo eder. Dolayısı ile a ve a içi özdeğer delemleri bir boyutlu eşdeğerleri diate alıara i i a a,,...,,...,,,,..., K i K i i i i a,,...,,...,,,,..., K i K i i i i 4

13 şelide yazılabilir. SU() cebirii operatörleri J ± ve J 3 ii lieer bağımsız osilatörü artırıcı ve azaltıcı operatörleri ciside J a a J a a Jz ( aa aa) ( N N) (.4) şelide urulabilir (Chaichia ad Hagedro 998 ). Bu uruluma SU() i Jorda- Schwiger realizasyou adı verilir. Açısal mometumu aresi, J de bu bozoi operatörler ciside J ai ajajai N 4 i, j (.5) şelide yazılabilir, burada N ise N a a N N i i i ile verilir. Bu durumda, olma üzere J i özdeğer delemi J ψ, ψ, (.6) olara buluur. Daha öcede bulmuş olduğumuz J z içi de Jz ψ, ψ, (.7) bağıtısı diate alıır ise açısal mometum uatum sayısı j içi (.5) eşitliğide 5

14 j,,,... (.8) değerlerii aldığı görülür. Böylece, Delem (.4) la birlite Delem (.8) dei ifadeler ullaılır ise j ve m içi j, m ( ) (.9) değerleri buluur. Açısal mometum özvetörleri artı ( ) jm P a, a (.) jm şelide vaum durumuda üretilirler, burada Pjm ( a, a ) jm (, ) P a a j m ( a ) ( a ) j m ( j m) ( j m)!! şelide yazılabilir. (.) Delemidei operatörler bu vetörler üzerie J jm m jm z ( ) J jm j m j± m j, m± ± olaca şeilde etirler. Bu souçlar, Jorda-Schwiger urulumuu, SU() Lie Cebirii tüm souçlarıı ço basit bir şeilde verdiğii gösterir. 6

15 - Harmoi Osilatörleri -Aalogları ve SU () Kuatum Grubu U (su()) şelide de gösterilebile SU () uatum grubu, il olara Slyai ve oda bağımsız olara Kulish ve Reshetihi tarafıda Yag-Baxter delemlerii icelemesi esasıda öe sürülmüştür (Chaichia ad Hagedro 998). Bu esimde, teorii cebirsel işlemlerii diate değer bir şeilde basitleştire Jorda- Schwiger temsilii (Chaichia ad Hagedro 998 ) -aaloğu ullaılara, SU () uatum grubuu realizasyou gerçeleştirilecetir (Biedehar989). Bu realizasyou bulabilme içi harmoi salııcıı -aaloğu urulacatır (Biedehar 989, Macfarlae 989). SU () uatum grubu, Lie omütatör bağıtılarıa uya operatörleride cebirsel olara türetilir (Macfarlae 989): J, J ve Jz [, ] J J ± J z ± ± (..) (..) z z [ J, J ] [ Jz ] / / J J burada, reel bir sayı olup, J± Jx ± ijy dir. Delem (..) ve (..) ile verile bu cebiri jeeratörleri limitide SU() i Lie cebirie idirgeir. Delem (..) ve (..) de e τ ( τ ie olma aydı ile ) olma üzere x x sihτ x sihτ [ x] ısaltması ullaılmıştır. Bir boyutlu -deforme harmoi osilatör 7

16 a ( a ) ([ ] )! olaca şeilde bazlı (,,,3, ) bir Hilbert uzayıda etiye a operatörü ve buu eşleiği diate alıara urulur. Burada [ ]![ ][ - ]...[ ] ile verilmiştir. Bu durumda, a ve a ı özdeğer delemleri [ ] / a (..3) a [ ] / (..4) ile verilirler, burada [ N ] aa (..5) [ N] aa (..6) operatörleri ve N operatörü N olaca şeilde taımlamıştır. Ayrıca (..7) [ ] Na, a Na, a 8

17 sıra değiştirme bağıtılarıı da olduğu ve buları, aa ve aa ı Delem (..5) ve Delem (..6) dai değerleri ullaıldığıda, N aa a a (..8) bağıtılarıı verdiği olaylıla görülebilirler. Bu eşitli bilie harmoi osilatör içi N sıra değiştirme bağıtısıı bir cis deformasyoudur. Bu otada, i aave ile sıra değiştirdiğii ve aa a r r r a (..9) a r r r a (..) bağıtılarıı da geçerli olduğuu söyleme gereir (Macfarlae 989). Delem (..) da ralıara N N aa a a bağıtısıa ulaşılabilir. Burada m,r ve N arasıda m rn şelidei bağıtı geçerlidir. Bu ve [ N,N] [ N/,N] sıra değiştirme bağıtısı ile Na a bağıtısı ullaılara aa aa N/ N/ ifadesi elde edilir. So ii bağıtı (..8) Delemide terar yerie yazılırsa, N N/ N/ a a aa (..) ifadesi bulumuş olur i bu otada, olaylı içi 9

18 (..) / b a N / / b a N / (..3) şelide yei yaratıcı ve yo edici operatörler taımlama uygudur. Bular arasıdai sıra değiştirme bağıtısıı bb bb (..4) olduğuu gösterme olaydır. Bu yei operatörleri özdeğer delemleri, basit harmoi osilatörde olduğu gibi, durumuda,,,,. olma üzere b olaca şeilde { } / b (..5) b { } / (..6) yazılabilir. Bu otada itibare olaylı olsu diye { x} x ısaltması ullaılacatır. Bu durumları aslıda, Delem (..4) ve (..5) i yardımı ile öcei gibi Delem (..3) ve (..4) ü Delem (..5) ve (..6) ya döüştüre durumlar olduğuu görme gereir. Bezer şeilde b ve b lar arasıda { } bb N { } bb N N ( N ) bağıtılarıı olduğu ve buları da e τ alıara

19 bb e e τ N b b τ N ( b ) τ N l b şelide yazılabilecelerii görme gereir.. SU () u -osilatör temsili Bir -deforme osilatörü urulumuu gördüte sora, şimdi artı SU() u deforme osilatörler ciside asıl urulacağı problemi iceleebilir. İi adet birbiride bağımsız a ve a operatör grubu ve buları i etlerii gözöüe alara i i J a a J a a (..7) taımlaabilir. Bu operatörler arasıdai sıra değiştirme bağıtısı ise [ J J ] [ J ], z şelidedir. Burada, [ J ] [ N ] [ N ] z olduğuda, (..8) z J N N verir. (..7) Delemi SU() i Schwiger temsilidir. Şimdi artı (..7) ve (..8) Delemleri ve öcei esimde elde edile souçları ullaara, (..) Delemii sağladığı görülebilir. SU() i Jorda-Schwiger temsilide j m j m olduğuda, SU () i jm bazıı realizasyoları

20 j m j m j m j m ( a ) ( j m) ( a ) j m j m! ( j m)! ifadeleri ullaılara jm j m ( a ) ( a ) j m ( j m) ( j m)!! şelide taımlaır. Burada eti ise aslıda şelidedir. So bağıtıya J ve J - operatörleri uygulaması ile bular içi özdeğer delemlerii J jm J a a j m, J jm J aa j, m olaca şeilde ( ) J± jm j± m j m jm± yazma mümüdür... -deforme osilatörü oordiat temsili -deforme harmoi osilatörü oordiat temsilii gerçeleştirebilme içi x x s b e e e (..9)

21 x s x b e e e (..) operatörleri taımlaır. Burada, / x olup x e e e e e u vx vx u uv (..) bağıtısı ullaılır ise, (..9) ve (..) Delemlerii (..4) Delemii sağladığı görülebilir. us ve v- alıaca olursa Delem (..) de e e e e e s x x s s ifadesi elde edilir ve burada yaratıcı operatör b e e e e x x s s şelide buluur. b b ve bb bağıtıları hesaplaıp e s olduğu diate alıdığıda, (..4) Delemi elde edilebilir. Bir evveli esimdei bezer işlemler ile, Delem (..9) da, ( b )( x) Φ olaca şeilde ( x) Φ x x s e taba durum dalga fosiyou buluur. Gerçete de, bu x x s x x ( e e e ) Φ ( x) e Φ( x) e Φ ( x s) ( x s) ( x s) x x x s x s e e e e x x x x x x s s e e olduğuda taba durumudur. Artı yaratıcı operatör aracılığı ile uyarılmış durumlar 3

22 Φ Φ x b x şelide yazılabilir. Yai, ve b x x s s b e e e e olduları ullaılaca olursa. uyarılmış durum içi x Φ x Φ xb ( x) ( x) x x s ( x) ( e e ) ( x) Φ Φ burada. uyarılmış durum içi xb x x s x s ( x) ( e e ) ( x) ( e e ) ( x) Φ Φ Φ ve. uyarılmış durum içi x s Φ Φ x e e x olduğu rahatlıla gösterilebilir. x y x y 4

23 Biom açılımı e so ifadede ullaılırsa, Φ Φ Φ x s ( x) ( x) e ( e ) (..) şelide yazılabilir. ormal Biom atsayıları olup, Delem (..) deiler ise { } {}{ } olaca şeilde taımlamış ve aralarıda ise s e bağıtısı geçerli ola Biom atsayılarıdır. -deforme harmoi osilatörü oordiat temsili, Delem (..) dei Φ ( x) lerde ψ { } / (!) x Φ x (..3) fosiyouu taımlaara elde edilebilir. Bu durumda, yaratıcı ve yo edici operatörler ψ ye uygulaırsa, bağıtıları geçerli olur. / { } ψ ( x) b Ψ x / { } ψ bψ x x..3 -deforme osilatör içi ortagoalli ve saler çarpım 5

24 Gerçete ψ fosiyoları, birim çemberde taımlı ola Rogers-Szëgo Poliomları ile ilişilidirler (Adrews 976, Szëgo 98). Rogers-Szëgo Poliomları, G ( ε ) ε şelide taımlaır. Bu durumda Delem (..3) dei ormalize poliomlar ψ ( / ( z) { }! G z ) (..4) olup, z i e θ dır. π ( f, g) dθ /( π) μ( θ) f ( z) g( z ) Saler çarpımı ullaılaca olursa Buradai μ ( θ ), θ ı fosiyoudur ve ψ ler ( ψ, ψ ) m m δ dili şartıı sağlarlar. μθ N z şelide taımlamıştır. Delem (..4), (..3) ve (..) ile arşılaştırıldığıda x iθ (..5) olduğu görülür ve böylece Ψ x iθ Φ x iθ ψ z e θ i 6

25 ifadesi elde edilir. Böylece, daha evvel taımlamış ola saler çarpım m π dθ / π σ θ Ψ θ Ψ m θ (..6) şelie döüşür. Delem (..6) da σ θ θ σ ( θ) μ( θ) exp (..7) 4s ile verilir. Delem (..5) ullaılara b ve b yeide yazılırsa (..8) b exp( iθ) exp iθ exp is θ b exp( iθ ) exp is exp iθ θ (..9) şelii aldıları olayca görülür. 7

26 . Fiboacci Osilatörleri Bu bölümde, bozoi osilatörleri Schwiger teorisi Fiboacci osilatörlerie geelleere -parametresii fizisel yorumu üzeride durulacatır (Chatterjee 994,996). Bir boyutlu basit harmoi osilatör içi ola Hamiltoye ifadesie bezer olara - deforme harmoi osilatör içi Hamiltoiye ω H ( aa aa ) (..) şelide yazılabilir. -deforme harmoi osilatör ile deforme olmamış harmoi osilatörü yaratıcı ve yo edici operatörleri arasıda a a a [ ] a [ ] (..) bağıtıları vardır. -deforme osilatörü H E (..3) özdeğer delemi deforme olmamış harmoi osilatöre bezer şeilde çözülürse, deforme olmuş harmoi osilatör içi eerji özdeğerleri ω E {[ ] [ ] } (..4) olara buluur. Eğer deformasyo parametresi e τ alıırsa eerji özdeğeri, 8

27 E τ sih τ ω τ sih (.4.5) şelide buluur. Bu ifadede, yai τ alıırsa, eerji özdeğeri deforme olmamış harmoi osilatör içi bulua ifadeyle ayı değerleri alır. (..) Delemii [ ] [ ] (..6) şelide yeide yazılabileceği görüldüğüde, (..7) [ ] ( )[ ] [ ] şelide bir idirgeme bağıtısı elde edilebilir. Bu bağıtı, daha geel bir biçimde [ ] α[ ] β[ ] (..8) şelide de yazılabilir. Delem (..6), (..7) ve (..8) de [ ], [ ] ve limitide [ ] [ ] Delem (..8) de, α - ve β alıaca olursa, limitide, değerlerii aldığı rahatlıla görülür. [ ] ifadesii de büyü olması geretiğie diat etme gereir. α 3 ve de ϕ seçilir ise 9

28 3 ϕ ϕ 3 ϕ buluur i bu da ϕ ϕ delemie idirgeir. Bu delemi çözümleri ise ϕ, ± 9 4 şelide olup, işaretli ola (..9) 5 ϕ matematite Altı Ora olara biliir. Farlı α ve β seçimleri içi [ ifadeleri çizelge. ve. de verilmişlerdir. ]

29 Çizelge. α3, β-, [], [] değerleri ullaılara (..8) Delemii çözümleri. DURUM: α3, β-, [], [] []α[] β[] [] []3[] - [] 3 []3[] - [] 3 3- []3[] - [] [3]3[3] - [3] 3-8 [4]3[4] - [4] [5]3[5] - [5] [6]3[6] - [6] [7]3[7] - [7] [8]3[8] - [8] [9]3[9] - [9] [] 3 [3] 8 [4] [5] 55 [6] 44 [7] 377 [8] 987 [9] 584 [] 6765 [] 353

30 Çizelge. α3, β-, [], [] değerleri ullaılara (..8) Delemii çözümleri. DURUM: α3, β-, [], [] []α[] - β[] [] []3[] -[]3- [] []3[]- []3 - [3] 5 []3[]- [] [3]3[3][ [4]3[4- [4] [5]3[5]-[5] [4] 3 [5] 34 [6] 89 [7] [6]3[6] - [6] [7]3[7] - [7] [8]3[8] - [8] [9]3[9] - [9] [8] 6 [9] 597 [] 48 [] 946

31 Çizelge.3 Çizelge. ve Çizelge. i birleştirimi soucu oluşa Fiboacci Serisii tablosu FIBINACCI SERİSİ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3 [ 3 ] 5 [ 3 ] 8 [ 4 ] 3 [ 4 ] [ 5 ] 34 [ 5 ] 55 [ 6 ] 89 [ 6 ] 44 [ 7 ] 33 [ 7 ] 377 [ 8 ] 6 [ 8 ] 987 [ 9 ] 597 [ 9 ] 584 [ ] 48 [ ]

32 .3 -osilatörüü Döüşüm Teorisi Bu bölümde, yayılım-soğurulma temsilii bilie formülasyou ile başlayara, ofigürasyo ve mometum uzaylarıda durum fosiyoları elde edilecetir..3. Soğurulma ve yayılma bağıtıları İl olara -deforme sıra değişim bağıtısı (.3.) (, ) a a aa aa şelide yeide yazılırsa, bu operatörleri zama bağımlılığı (.3.) H ω ( aa a a ) Hamiltoyei ile ( a H) i a (.3.3), delemide belirleir. Delem (.3.) ve (.3.), Delem (.3.3) de ullaılaca olursa (.3.4) i a ωa buluur i, bu da abaca buları 4

33 i t a a ω (.3.5) şelide zama bağımlılığıa sahip oldularıı söyler., H Hamiltoyeii öz durumları ise a a (.3.6) bağıtıları geçerlidir ve burada, daha öce olduğu gibi (.3.7) şelide taımlamıştır. Böylelile, tüm bulara e olara aa aa (.3.8) ve ( ) aa aa (.3.9) bağıtılarıı da yazma mümüdür. So olara da, Delem (.3.) ile verile Hamiltoye içi özdeğer delemi ω H ( ) (.3.) şelide yazılabilir..3. ofigürasyo uzayı 5

34 Delem (.3.) de gösterile basit sıra değişim bağıtısı aşağıda gösterile formda da yazılabilir: ' A A (.3.) Burada taımlaa ' A ve A şöyledir: a A, A' ( a a), a (.3.) Delem (..), SU () ye ait aoi döüşümü ullaara (x,p) temsilie döüştürülebilir. Bu döüşüm, A TX (.3.3) şelide olup, burada X D x (.3.4) ve T α χ SU () (.3.5) γ δ ile verilirler. Bu durumda, X ' X (.3.6a) ya da 6

35 ( Dx, ) (.3.6b) yazılabilir. T ise, T' T T T' (.3.7) bağıtısıı sağlar. Delem (.3.7) de elde edile eşitliler aşağıda verilmiştir. αβ βα, αα β β, α β βα αα ββ, βα αβ, ββ ββ, βα αβ (.3.8) Bu eşitliler buluure Delem (.3.6) γ β ve δ α olara alımıştır. Burada, dir. D θ, (.3.9a) x d θ x, (.3.9b) dx olma üzere Dψ ( x) ψ ( x) ψ ( x) x x (.3.9c) far operatörüü sağlar. limitide, D d/dx olur. Şimdi de eşlei mometum (.3.) p D i 7

36 olara taımlaırsa, Heiseberg -sıra değişim bağıtısı: px xp i (.3.) şelie döüşür ve T a α D βx, a βdα x (.3.) aoi döüşümü taımlar. Ters döüşüm ise α T β (.3.3a) β α ya da D αa βα x βa αα (.3.3b), biçimide olur. Yei değişelerle Hamiltoye yeide yazılır ise, ( H αβx ) ( ) ( βαd αα ββ Dx αα ββ ) xd (.3.4) şelii alır. limitide T operatörü T biçimie döüştüğüde, a ve a d a x dx (.3.5) d a x dx olara buluur. Souçta, H 8

37 H d dx x (.3.6) biçimidedir. Taba durumu dalga fosiyou ( β α ) ψ a veya x D x (.3.7) bağıtılarıda buluur. D yi far operatörü olara ifade ettite sora, Delem (.3.7) de ψ ( x) ( K) ψ ( x) (.3.8) buluur. Burada K ( ) K α β x (.3.9) ile verilir. İterasyo yapara, taba durumu içi veya ψ ( ) ψ ( x K x (.3.3) s ) ψ (.3.3) s ( x) ( K ) ψ ifadelerii bulma mümüdür. < olduğuda Delem (.3.3) dei çarpım yaısatır. >r> aralığıda içi Delem (.3.3) dei sosuz çarpım yalaşı olara α βx ψ ( x) ψ ( exp ) r (.3.3) 9

38 şelide yazılabilir. ve r olursa, Delem (.3.3) ifadesi bilie Gaussia taba durumua idirgeir. Delem (.3.3) dei sosuz çarpım aydırılmış fatöriyel ciside aşağıdai biçimde taımlaabilir: ( a) ( s a (.3.33a) ) ( a) ( s a ) (.3.33b) Bu durumda, delem (.3.3) ψ x K (.3.34) şelide yazılabilir. x fosiyouu ortaya çıarır; ψ i i uvvetleri ciside seri açılımı Euler bölüşüm e z z z < (.3.35) Bu durumda, ve öyle i ψ ( x) e ( K) ( K ) ( ) (.3.36) ( ( ) ) ( K ) (.3.37) e K ψ ( x) ( K )! (.3.38)! 3

39 şelide yazılabilir, burada, K, K α β x (.3.39) ( ) olara ullaılmıştır. ( ) Gaussia gösterimi verir. K e K, limitide e olaca şeilde terar.3.3 Uyarılmış durumlar İl uyarılmış durum, Delem (.3.) de ψ x x αx βd ψ x (.3.4) şelide buluur. Delem (.3.7) de ( x) Dψ x α βxψ (.3.4) olduğu gösterilebileceğide, Delem (.3.4) içi ψ x α xψ (.3.4) ifadesi elde edilebilir. İici uyarılmış durum ise, a (.3.43) ile verilir, ya da il uyarılmış durumdaie bezer şeilde, ψ x αx βd ψ x x D( x ) αα ψ βα ψ (.3.44) 3

40 olara elde edilebilir. D içi, Leibiz Kuralı ( ) ( D A x B x DA x B x A x DB x) (.3.45) şelide olduğuda, Delem (.3.7) ve (.3.8) de, ( ψ ) ψ ψ D x x xd x ( α βx ) ψ ( x) (.3.46) ifadesi elde edilir. Bu durumda Delem (.3.44) de, (.3.47) x x ( x ) ( x) ψ αα βα α β ψ ifadesi veya x x ( x) ψ βα α ψ (.3.48) ifadesi olaylıla bulumatadır. Hem ψ ( x) ve hem de ( x) limitide Gaussia olup, idirgeme bağıtıları ψ, P ( ) ( ) ψ formudadır ve burada P x x x de Hermite poliomua idirgeir. ψ, x P ( ) x içi ψ aψ ( ) ( ( ) ) P ψ a P ψ αx γd P ψ (.3.49) 3

41 delemleri aracılığı ile elde edilebilir. Leibiz uralı ve (.3.7) ve (.3.8) Delemleri yardımı ile ψ ψ ψ α β ψ D P DP x P D DP K P x x (.3.5) ifadesi, (.3.49) ve (.3.5) Delemleri aracılığı ile de ( ) ( ) P αxp γ DP K γp α β x (.3.5) ifadesi olaylıla elde edilir. P olduğuda, Delem (.3.5) de bir içi. derecede poliom olması geretiği açıtır. Ayrıca, sahiptir (te ya da çift). olduğu görülür. Böylece, P çift olduğuda, P ( ) P P i her belli bir pariteye P i, te (çift) olduğuda, te (çift) P [ /] p x (.3.5) şelide yazılabilir. Burada [ /], / ye eşit ya da buda üçü e büyü tam sayıdır. Delem (.3.5) de taımlaa yazılması ile p atsayıları içi P i, Delem (.3.5) de yerie ( p ) αp α γ p β α γ p (.3.53) yieleme bağıtısı elde edilir. Delem (.3.53), (!) ullaılara daha da idirgeebilir. Burada taımlaa c ( ) p c γα asatz ı atsayıları, u ümeri fosiyolardır. Delem (.3.8) de verile sıra değişim bağıtısıı art arda ullaılması ile 33

42 α pα l ααp, γ pβ l γβp (.3.54) soucu buluur. Böylece Delem (.3.53), ümeri atsayılar c belirlee daha basit bir bağıtı ile verilir: tarafıda c c c l (.3.55) Delem (.3.55) ü çözümü, il sabit c seçilir ise ( /)( 3 ) c!! (.3.56) şelide yazılabilir, burada Biom atsayısı olup!!! ile verilir. Delem (.3.56) i, Delem (.3.55) ü çözümü olduğu c c (.3.57) c c (.3.58) bağıtıları diate alıara olayca otrol edilebilir. Böylece, Delem (.3.55) ü sağ tarafıdai ifade c c c (.3.59) l 34

43 biçimie döüşür. So olara, l m m l l geel ifadesii Delem (.3.59) da ullaımı ile Delem (.3.5) i sağladığı görülür. olduğu zama sabitleri c c! ( )!!! ( ) (.3.6) biçimie idirgeir, burada ( ) ( )!!!! özdeşliği ullaılmıştır. olduğu zama α γ olduğuda, P poliomları ( ) [ /]!! P x x ( ) [ /] ( ) (! )! ( x) / (.3.6) şelii alır. Bular bilie (ormalize olmamış) Hermit Poliomlarıdır. Aşağıda il altı poliom içi açı ifadeleri yazılmıştır. P x α x / ( )! P x α x βα ( ( 3! ) ) α 3 / P x x βα x 4 3 α βα β α ( ( 4! ) P ) ( x) x x 3 / P x α x βα x β α x ( ( 5! ) ) 5 3 / α βα β α β α ( ) 6! P x x x x 5 3 /

44 .3.4 aa bazı ve x bazı arasıdai döüşüm aa bazı Delem (.3.) i α ve β olduğu zamai özel bir durumudur. Bu durumda, a y y (.3.6a) a y D (.3.6b) y ( y, y) ( y, ) a a D y (.3.6c) ve a (.3.63)! ifadeleri ile y y (.3.64) (!) delemi yazılabilir. (.3.63) Delemii x-bazıa izdüşümü x a x x (.3.65) (!) olara veya ψ ( x) x a ψ (.3.66) (!) ( x) 36

45 şelide yazılabilir. ψ ( x) buluabilir. Öcelile, içi üretici fosiyo aşağıdai urulum izleere y ψ x (!) y a! x ψ ( x) ifadesi ya da ( x ) y ε ya ε K ψ x (!) ifadesi diate alıır. Burada ε ε ( z) z! ifadesi ile, a x Delem (.3.5) de ve K da Delem (.3.39) da taımlamıştır. Böylece, ( x) ψ içi üretici fosiyo y g y x ψ x (.3.67) p (, ) (!) olur, burada g ( y, x) p (, ) ε ( x ) ε ( ) g y x ya K p ile verilir. limitide, bular 37

46 ε ε ( K ) e ( yax ) x / ( / ) y( x x ) e delemlerie idirgeiler. Bu durumda, x x x ( x ) g y x e e e e e e (, ) / y x / / yx / y /4 yx, y x / x e e e e / yx / y y /4 x / ( / ) yx y /4 ( / )( x y / ) e e e ya da g y x e, x y xy ifadesi elde edilir. Delem (.3.67) gp ( y, x) x y şelide de ifade edilebilir öyle i g (, ) p y x, x y i döüşüm fosiyou olur. 38

47 -4 -Osilatör Sistemii İstatistisel Özellileri: Foolar ve Fotolar Hem foolar ve hem de fotolar farlı freaslardai serbest salıılar topluluğu olara düşüülebileceleride dolayı, aşağıda formülasyou gerçeleştirilece ola serbest bozo gazıı istatistisel özellileri bu sistemleri özellilerii - deformasyouda e şeilde etilediği haıda fiir verecetir. Bu bölümde - deforme ala diamiği işa edilere, bu ala diamiği ciside -deforme harmoi osilatörler topluluğuu bazı istatisti meaisel özellileri tartışılacatır. -Foc uzayı [ ]![ ][ - ]...[ ] olma üzere ( a ) ([ ]!) F, a,,,,... (.4.) şelide taımlaır.. [ x ] otasyou deformasyo parametresi ciside daha evvel olduğu gibi (.4.) x x [ x] şelide taımlaır. Böylece, sayı durumua a yaratıcı, a yo edici ve N sayı operatörlerii etisi Delem (..3) ve Delem (..4) ile verilir. -Foc uzayıda aa [ N ] aa [ N ] (.4.3) özdeşlileri geçerlidir. Bu otada -deforme fermiyoi osilatörleri de tartışmata fayda vardır. Bu durum içi N sayı operatörüü özdeğerleri sadece ve değerlerii alır. -fermiyoi yaratıcı ve yo edici operatörleri cebri ise 39

48 { bb} { b b},, N bb b b [ ] Nb, b, Nb, b (.4.4) biçimidedir. Bular, b, b ve N i durumua etiye, ve olma üzere b b b N (.4.5) ifadelerie yol açar. Böylelile [ ], [ ] bb N bb N (.4.6) özdeşlileri sağlamış olur. Bir -deforme osilatörler topluluğu içi, bilie sıra değişim bağıtıları, yuarıda verile -deforme sıra değişim bağıtıları ile değiştirileceğide dolayı sistemi fizisel özellileri deforme parametresi ile etilemiş olur..4. Termo ala diamiğii -aaloğu Termo ala diamiğii temel düşücesi olduça basittir. İyi bilidiği üzere, A gibi bir operatörü toplulu ortalaması ( β ) r A Z T Ae β H (.4.7) ile verilir, burada H sistemi hamiltoyeii ve Z de bölüşüm fosiyouu temsil eder. Bölüşüm fosiyou ise Z H ( β ) Te β (.4.8) r 4

49 ile taımlaır. Diğer tarafta uatum ala teoriside, A operatörüü belee değeri ise A ile verilir. Bu otada, A gibi bir fizisel iceliği toplulu ortalamasıı basitçe buu termal vaum belee değeri olara yazılabileceği bir termal vaum O( β ) taımlamasıı mümü olup olmadığı sorusu ortaya çıar. Tam formüle etme gereirse bu H ( β) ( β) ( β) r O A O Z T Ae β (.4.9) alamıa gelir. Gerçete de bu tilda durumlarıı ortaya oyara ve temel vaumu (.4.) / ( β) ( β) exp ( β / ) O Z E şelide taımlayara yapılabilir. Burada ( a ) a! OO,,... bozolar içi b b OO, fermiyolar içi (.4.) ile taımlaır. Burada, a ve b operatörleri sırası ile bozoları ve fermiyoları bilie yaratıcı operatörleri ( deforme olmaya), olup a ve b bulara arşılı gele tilda operatörleridir. Bular ullaılara ( β) ( β) ( β) exp β( )/ O A O Z Em E mm A m Z exp Em E / m m H ( β ) r Z T Ae β ( β ) β( ) m A δ (.4.) 4

50 olaca şeilde Delem (.4.9) u sağladığı gösterilebilir. Termal vaum O O β β (.4.3) şelide ormalize edilir. Şimdi buları ışığıda, termo ala diamiğii -aaloğu urulabilir. -deforme termal vaum ( β) ( β) exp( β ) O Z E P (.4.4) şelide taımlaır. Burada Z bölüşüm fosiyou olup P ( βe) ( β) exp Z exp exp ( βe) ( βe ) (.4.5) fosiyou ise E eerjili durumuda buluma olasılığıı gösterir. Bu durumda -Foc uzayı artı bozolar içi a a OO,,,,... (.4.6) [ ]! ile, fermiyolar içi ise b ( b ) OO,, (.4.7) ile verilir. a ve b operatörleri artı deformedirler ve (.4.3) ve (.4.4) Delemleri ile verile cebri sağlarlar. a ve b bulara arşılı gele tilda operatörlerdir. Hilbert 4

51 uzayıı dualide tilda operatörleri a, a ve b, b tilda olmaya operatörler gibi ayı cebri sağlarlar. Yai, bozolar içi aa, a, a N aa a a Na, a Na, a (.4.8) ve fermiyolar içi { bb } { b b },, N bb b b Nb, b Nb, b (.4.9) bağıtıları geçerlidir. Normalizasyo şartı ise m M M m m m O β O β P P mm P P δ P olmasıı geretirir. Bozo ve fermiyo sistemleri içi -termal vaumlarıı detaylı bir şeilde bulma içi, -deforme harmoi osilatörler topluluğu iceleir. İici uatumlamada, ıcı uyarılmaı eerjisi E ω dır. Burada alımıştır. Böylece bozolar içi P P ( β E ) exp exp exp exp ( βω ) ( βω ) βω (.4.) 43

52 şelide, fermiyolar içi ise P exp ( β E ) exp ( βω) ( βω ) exp exp( ) βω (.4.) olara buluur. Böylece, Delem (.4.4) dei P yerie Delem (.4.) ve (.4.) yazılaca olursa termal deforme olmamış vaum, bozolar içi ( β) exp exp ( /) βω O P βω (.4.) şelide, fermiyolar içi ise ( β) exp exp ( /) βω βω O P (.4.3) şelide buluur..4. -osilatör sistemii istatisti meaisel özellileri Kuatize fizisel bir sistemi özellileri, sayı temsilidei yaratıcı ve yo edici operatörler ya da ala operatörlerii sıra değişim bağıtısı ve sistemi hamiltoyei tarafıda araterize edilir. İl baışta, öcelile, harmoi osilatörler topluluğuu, sıra değişim bağıtısı -deforme olduğu zama e olacağı ya da topluluğu hale serbest olup olmadığı sorusu ala gelebilir. Buu iceleyebilme içi, osilatör sistemii serbest Hamiltoyeii muhafaza edere, sisteme -deforme sıra değişim bağıtısı empoze edilir. Öcelile, -bozoi osilatörlerde oluşa sistem iceleirse, sistemi serbest Hamiltoyei, H ω N (.4.4) 44

53 olara seçilir, burada ω. düzeydei salııcıı freası (eerjisi) ve arşılı gele sayı operatörüdür. N da bua.4.. İstatisel dağılımı -aaloğu -bozoi osilatörler içi dağılım fosiyouu -aaloğu ( β ) ( β) ( β) [ ] f O a a O O N O β (.4.5) olara buluabilir. Evveli esimde taımlaa -termal vaum ullaılara (.4.5) delemi [ ] f P P m m N m m [ ] m [ ] P P P m N m m δ (.4.6) şelide yazılabilir. [ ] ı yerie [ ] ( ) ( ) ve yerie de Delem (.4.) yazılırsa, Delem (.4.6) dai dağılım fosiyou P ( βω ) exp f { exp( βω ) exp( βω )} exp( βω ) ( βω ) ( βω ) exp exp (.4.7) şelii alır. Dağılım fosiyouu -bağımlılığıı daha açı bir şeilde görme içi l γ veya e γ alıırsa, bu durumda, Delem (.4.7) 45

54 (.4.8) f exp( βω ) ( βω γ ) ( βω γ ) exp exp şeli alır. γ veya olduğu zama Delem (.4.8) i lim f γ exp ( βω ) f (.4.9) şelide bilie Bose-Eistei dağılımıı verdiği olaylıla görülür. f ompat bir şeilde yazma içi, Delem (.4.8) yu daha f C C exp exp ( βω γ ) ( βω γ ) ( γ) ( γ) ( βω ) ( C ) ( βω γ ) ( βω γ ) Cexp Cexp exp C exp exp (.4.3) biçimide yazılır. Burada ve C sabitleri Delem (.4.3) ve Delem (.4.8) arşılaştırılara C Ce γ γ Ce C C (.4.3) şelide buluur. Delem (.4.3) i çözümü ise (.4.3) γ γ e e C C e e e e γ γ γ γ biçimidedir. Böylece, so olara, dağılım fosiyou 46

55 f C C exp β( ω γ / β) exp β( ω γ / β) (.4.33) şelide yazılabilir. Artı, burada ve C delem (.4.3) ile verilirler. C Delem (.4.33) de, γ deformasyo parametresii, deforme sıra değişim bağıtısıda dolayı, dağılımda e ± γ şelide üstel olara belirdiği görülür. Böylece, dağılım fosiyou eerjisi ω ( γ β) ola ve eerjisi ω ( γ β ola ii parçaya ) bölümüş olur. u pozitif taımlı olması dağılım fosiyouu ağırlığıı C C > ve C C olmasıı garati eder. fermiyoi salııcılar dağılım, fosiyou da bezer şeilde taımlaabilir..5.. Siyah cisim ışıması Bir foto topluluğu, bağımsız parçacılarda oluşa bir bozo sistemii basit bir öreği olara düşüülebilir. Fotolar ışıım alaıı uatumu olduğuda dolayı, siyah cisim ışıması bozoi osilatörler sistemi olara baılabilir. Bir ovuğu duvarları tarafıda süreli olara yayılaıp soğurula -fotoları iceleece olursa, siyah cisim ışımasıı eerji dağılımı ω f olup, f ( ) u Delem (.4.33) ile verildiği görülebilir. Birim hacim başıa ışıma alaıı eerjisi i bu ω ile freas bölgesidedir ω dω arasıdai 3 ω u ( ω, β) dω g( ω) ωf dω f 3 dω (.4.4) C π şelide verilir. Burada g ω g ( ω) ω 3 C π freas spetrumudur. Böylece, -foto sistemi içi Plac Işıma Yasası 47

56 u ( ωβ, ) 3 ω C C dω 3 C π exp( βω γ) exp( βω γ) (.4.4) şelide ifade edilir. γ olduğu zama Delem (.4.4) i u ( ωβ, ) 3 C π 3 ω d ω exp ( βω) (.4.43) u ( ω, β ) ı bilie Plac Işıma Yasasıa döüştüğü olaylıla görülebilir Öz ısı Delem (.4.4) de, toplam siyah cisim ışıması olaylıla buluabilir., yai, γ γ dualite döüşümü altıda [ x ] otasyouu ivaryat aldığıa diat edilece olursa,, << ve böylece de γ, γ < bölgelerie ısıtlaabilir. Bu durumda f ( ) dağılım fosiyou f C C exp β( ω γ / β) exp β( ω γ / β) (.4.44) olara yazılabilir. Dağılım fosiyou f ( ), sadece ω > γ taımlıdır. Böylelile, toplam eerji K Boltzma sabiti olma üzere, β olduğu zama pozitif u C 3 C β 3 ( ω γ β) dω C π γ β exp β ω γ β exp β ω γ β γ ( ζ ( 4 ) ζ (,4)) 6 C π 4 4 KT 3 C C e (.4.45) 48

57 şelide ifade edilebilir. Burada, ζ fosiyou ve modifiye ζ fosiyou ζ ζ ( 4) 4 π 9 γ ( e,4) e γ 4 (.4.46) ile verilirler. Böylece, birim hacim başıa düşe öz ısı γ ( ( 4) 4 3 du T 4KT 3 ) Cν Cζ C ζ e dt C π,4 (.4.47) şelide buluur i bu da alışıldığı şeilde T 3 ile oratılıdır. Eğer -pertürbasyouu yeteri adar üçü olduğu varsayılırsa, yai γ ı yeterice üçü olduğu düşüülürse, o zama, Cζ ( 4 ) Cζ ( e γ,4) ζ ( 4) ζ ( 4) γ ζ ( 3) ζ 4 γ ζ 3 ifadesii yazma mümüdür. Böylece, toplam eerji ve öz ısı basitçe u C ν 6KT 3 C π 4 4 ( T) ζ ( 4) γ ζ ( 3) 4KT 3 C π 4 3 ζ ( 4) γ ζ ( 3) (.4.48) şelide yazılabilir. γ olduğu zama, Delem (.4.48) de bulua souçlar, siyah cisim ışıması içi bilie birim hacim başıa düşe toplam eerji ve öz ısı souçlarıı verir, yai 49

58 ut Cν ( T) π KT 3 5C 4 4 4π KT 3 5C 4 3 (.4.49) şelii alırlar. 5

59 3.SONUÇ Kuatum grupları olara da bilie Kuatum cebirleri so yılları fizitei yoğu araştırma oularıda birisidir. Özellile Macfarlae ve Biedehar ı (989) SU () uatum grubu ve harmoi osilatörleri -aalogları üzerie ola çalışmalarıda sora imya ve fizite -deforme sistemleri uygulamaları geiş bir biçimde yer almıştır. -deforme osilatörler teorisi poliatomi moleülleri titreşimii, süper aışa filmlerdei girdapları, 4 He dei foo spetrumuu açılamaya çalışmış, buu yaı sıra uatum optite -deforme oheret durum teorileride, istatisti meaite, harmoi osilatörü -aaloğu ii durum delemi ve öz ısı hesabıda, -deforme Morse osilatörü, Ladau düzeylerii dejeereliği, -deforme foolar gibi oularda da çalışıla gelmiştir. Bu tezde, çalışma -deforme osilatörlerde yola çıara bozolar ve fermiyoları - aaloğuu ve bular içi Plac Işıma Yasasıı. -salııcı sistemleri İstatisel özellileride yola çıara siyah cisim ışıması ve öz ısıı -aaloğu icelemeye çalışılmıştır. Yie deforme olmaya sistemle, deforme olmuş sistem arasıdai farlı alaşılmaya çalışmıştır. Tüm bu deforme olmuş sistemleri cebirii limitide deforme olmaya sistemi cebirie dödüğü görülmüştür. Yai deforme olmamış sistemler deforme olmuş sistemi özel bir halidir. Ayrıca bu tezde yer almaya aca tez oluşturulure -deforme Morse osilatörleri ve -bozo gazları içi Plac Dağıım Yasaları da icelemiştir. Yie bu her ii deforme olmuş sistemli cebirii de limitide deforme olmaya sistemi cebirie dödüğü görülmüştür. 5

60 KAYNAKLAR Biedehar, L.C The Quatum Group SU () ad a -aalogue of the Boso Operators. J. Phys. A : Math. Ge. L873-L878 Prited i the UK. Chaichia, M. ad Hagedro, R Symmetries i Quatum Mechaics, Istitute of Physics Publishig, Lodo Chatterjee, R Some Commets o -aalogue of a Harmoic Oscillator. Phys. Stat. Sol. (b) Subject classificatio: 63.5 ad 7. Departme of Physics ad Astroomy. Uiversity of Calgary Chatterjee, R Fiboacci Oscillator. Phys. Stat. Sol. (b) Subject classificatio: 63.5 Departme of Physics ad Astroomy. Uiversitybof Calgary Cooper, I.L. ad Gupta, R.K deformed Morse Oscillator. Physical Review A. Volume 5, Number Macfarlae, A.J O -aalogues of the Quatum Harmoic Oscillator ad the Quatum Group SU(). J. Phys. A: Math. Ge Prited i the UK. Marti-Delgado, M.A. 99. Plac Distributio for -boso Gas. J. Phys. A : Math. Ge. 4 L85-L9 Prited i the UK. Fielstei, R. ad Marcus, E Trasformatio Theory of the -oscillator. Departme of Physics, Uiversity of Califoria, Los Ageles Califoria Sog, He-Sha, Dig, Shu-Xue ad A Ig Statistical Mechaical Properties of the -oscillator System. J. Phys. A: Math. Ge Prited i the UK. 5

61 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Emie AYDIN Doğum Yeri: Kaleci/ANKARA Doğum Tarihi: 4/9/978 Medei Hali: Bear Yabacı Dili: Almaca Eğitim Durumu: Lise Lisas : Hasaoğla Atatür Aadolu Öğretme Lisesi (99-996) : Hacettepe Üiversitesi Eğitim Faültesi Fizi Öğretmeliği Bölümü (996-) Yüse Lisas : Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Fizi Bölümü (3-6) Çalıştığı Kurumlar: M.E.B. Fe Bilgisi Öğretmei -3 Atatür İlöğretim Oulu Çuurca-Haari 3-6 Gazipaşa İlöğretim Oulu Beypazarı-Aara 6 Merez Atatür İlöğretim Oulu Çamlıdere-Aara 53