SÜPERSİMETRİK WKB YAKLAŞIMI

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSNS TEZİ) SÜPERSİMETRİK WKB YKLŞIMI H. Hale YILMZ Fizik abilim Dalı Bilim Dalı Kodu : Suuş Tarii : 5..8 Tez Daışmaı : Prof. Dr.. Doğa DEMİRHN Borova - İZMİR

2 II

3 III H. Hale YILMZ tarafıda Yüksek Lisas tezi olarak suula Süpersimetrik WKB Yaklaşımı başlıklı bu çalışma E.Ü. Lisasüstü Eğitim ve Öğretim Yöetmeliği ile E.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Eğitim ve Öğretim Yöergesi i ilgili ükümleri uyarıca tarafımızda değerledirilerek savumaya değer bulumuş ve 5..8 tariide yapıla tez savuma sıavıda aday oybirliği/oyçokluğu ile başarılı bulumuştur. Jüri Üyeleri: İmza Jüri Başkaı : Prof. Dr. Fevzi BÜYÜKKILIÇ... Raportör Üye: Prof. Dr.. Doğa DEMİRHN... Üye : Doç. Dr. Öza KYCN...

4 IV

5 V ÖZET SÜPERSİMETRİK WKB YKLŞIMI YILMZ, H. Hale Yüksek Lisas Tezi, Fizik Bölümü Tez Yöeticisi: Prof. Dr.. Doğa DEMİRHN Ekim 8, 63 sayfa Bu tezde, süpersimetrik kuatum mekaiği taıtılarak, e düşük mertebeli süpersimetrik Wetzel-Kramers-Brilloui (SWKB) yaklaşım yötemi detaylarıyla iceledi. Bu yötemi birçok fiziksel uygulama içi verdiği souçlar araştırıldı ve şekil ivaryat potasiyeller içi tam bağlı durum spektrumlarıı elde edilebileceği gösterildi. yrıca seçile bazı deforme potasiyelleri ve V C ta D cos potasiyelii eerji özdeğerlerii elde etmek içi deee bu yötemi, bu potasiyeller içi doğruluğu kaıtladı. atar sözcükler: Süpersimetri, SWKB kuatumlama koşulu, şekil İvaryat potasiyeller, deforme potasiyeller.

6 VI

7 VII BSTRCT SUPERSYMMETRIC WKB PPROXIMTION YILMZ, H. Hale MSc i Pysics Supervisor: Prof. Dr..Doğa DEMİRHN October, 8, 63 pages I tis tesis, te lowest order supersymmetric Wetzel-Kramers- Brilloui (SWKB) approximatio metod is studied by usig te supersymmetric uatum mecaics. Te results obtaied by SWKB approximatio metod are aalysed for sape ivariat potetials. It is sow tat te SWKB approximatio metod gives te exact boud state spectra for tese potetials. dditioally, we attempt to use tis metod to obtai te eigevalues of Hailtoias i te presece of some D. cos deformed potetials ad te potetial of V C ta Evetually, we sow tat SWKB approximatio metod gives exact results for tese potetials. Keywords: Supersymmetry, SWKB uatizatio coditio, sape ivariat potetials, deformed potetials.

8 VIII

9 IX ramızda çok erke ayrıla değerli bilim adamı, ilk tez daışmaım sevgili ocam Doç. Dr. Haru EĞRİFES i aısıa

10 X

11 XI TEŞEKKÜR Çalışmam içi bu kouyu belirleye ve literatür taramasıda baa yardımcı ola değerli ocam Doç. Dr. Haru EĞRİFES ile tezimi er aşamasıda bei destekleye ve öerileriyle bei yöledire daışma ocam Sayı Prof. Dr.. Doğa DEMİRHN a, ayrıca tezimi titizlikle okuya ve öemli tavsiyelerde bulua Dr. Bura BKR a ve edefime ulaşabilmek içi bei koşulsuz destekleye aileme sosuz teşekkürlerimi bir borç bilirim.

12 XII

13 XIII İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... V BSTRCT... VII TEŞEKKÜR... XI İÇİNDEKİLER DİZİNİ... XIII ŞEKİLLER DİZİNİ... XVII ÇİZELGELER DİZİNİ... XIX KISLTMLR... XXI.GİRİŞ....SÜPERSİMETRİK KUNTUM MEKNİĞİ Teori Süpersimetrii Basit Harmoik Osilatöre Uygulaması Şekil İvaryatlığı ve Çözülebilir Potasiyeller WKB (Wetzel, Kramers, Brilloui) YKLŞIMI SÜPERSİMETRİK WKB (SWKB) YKLŞIMI E Düşük Mertebeli SWKB Kuatumlama Koşulu Şekil İvaryat Potasiyeller İçi SWKB Koşuluu Doğrulaması... 36

14 XIV İÇİNDEKİLER (devam) 5. SWKB YÖNTEMİ İLE BZI POTNSİYELLER İÇİN ÇÖZÜMLER... 4 Sayfa 5. Bazı Şekil İvaryat Potasiyelleri Çözümleri Pöscl-Teller Scarf I (trigoometrik) Scarf II (iperbolik) Rose Morse II (iperbolik) Deforme Potasiyelleri Çözümleri Deforme Rose Morse Potasiyeli Deforme Değiştirilmiş Rose Morse Potasiyeli Deforme Pöscl Teller Potasiyeli Deforme Hiperbolik Kratzer Bezeri Potasiyel... 5 D Potasiyelii Çözümü...54 cos 5.3 V C ta 6. SONUÇ KYNKLR... 58

15 XV İÇİNDEKİLER (devam) EKLER... 6 Sayfa Ek SWKB ile esaplaa şekil ivaryat potasiyeller içi alıa referas değerler Ek İtegral Tablosu... 6 Ek 3 Deforme Hiperbolik Foksiyolar ÖZGEÇMİŞ... 64

16 XVI

17 XVII ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil Sayfa. İki süpersimetrik parter potasiyeli eerji seviyeleri SUSY i bozulmadığı durumda verile alteratif seçim Bozulmuş süpersimetri Harmoik osilatörü süpersimetrik parter potasiyellere ait özdeğer spektrumu Klasik bölge... 9

18 XVIII

19 XIX ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 4. Şekil-ivaryat potasiyellere karşılık gele süper potasiyel değerleri ve m içi esaplaa süpersimetrik parter potasiyeller Çizelge 4. Bu potasiyelleri seçile parametre değerlerie göre SWKB ve WKB kuatumlama koşulları ile esaplaa taba durumu eerji özdeğerleri Çizelge Ek. Şekil ivaryat potasiyellere karşılık gele süper potasiyel değerleri ile m içi esaplaa eerji özdeğerleri ve bu potasiyelleri taba durumu dalga foksiyoları..6

20 XX

21 XXI KISLTMLR SUSY SUSY QM WKB SWKB ŞİP Süpersimetri Süpersimetrik Kuatum Mekaiği Wetzel, Kramers, Brilloui Süpersimetrik WKB Şekil İvaryat Potasiyeller

22 . GİRİŞ Süpersimetri (SUSY), fermiyolar ve bozolar arasıda döüşüm oluşturmak içi kullaıla bir simetri olup, bu teori; yüksek eerji fiziğide doğadaki tüm temel etkileşimleri birleştirilmiş taımıı elde etmek içi, 97 yılıda Ramod tarafıda öe sürülmüştür (Ramod, 97). Süpersimetri cebiri, komütasyo ve atikomütasyo bağıtılarıı içere kapalı bir cebirdir. Fermiyolar ve bozaları saip olduğu farklı özellikler edeiyle oldukça ilgiç ola bu simetri, so yıllarda atom fiziği, molekül fiziği, ükleer fizik, istatistiksel fizik ve yoğu madde fiziği gibi fiziği birçok dalıda kullaılmaya başladı. 98 yılıda Witte, bir boyutlu süpersimetrik bir sistemde bir fermiyo içi, taba durumu ariç ayı spektrumlara saip iki parter Hamiltoyede oluşa bir Hamiltoye taımlamıştır ve fermiyoik bileşei taba durumu bilidiğie göre, bozoik bileşei birici uyarılmış seviyesie ulaşılabileceğii göstermiştir (Witte, 98). Böylece süpersimetri; kuatum mekaiğie de uygulamış ve birçok potasiyel içi eerji özdurumlarıı tam olarak elde edilebileceği gösterilmiştir. Fiziği çeşitli dallarıda ortaya çıka birçok potasiyel içi Scrödiger deklemii tam aalitik çözümü bazı durumlarda mümkü olmamaktadır. Bu durumda pertürbasyo, varyasyo veya Wetzel- Kramers-Brilloui (WKB) gibi yaklaşım yötemleride birie

23 başvurulur. Bularda e kullaışlısı, bir boyutlu Scrödiger deklemii çözmek içi kullaıla WKB yaklaşımıdır. WKB teorisi ayrıca adi diferasiyel deklemleri çözümlerii elde etmek içi de kullaıla çok yararlı bir yötemdir. cak bu yaklaşım yötemi sadece basit armoik osilatör ve Morse potasiyeli içi tam souçlar verilebilmekte, tam çözülebilir diğer potasiyeller içi ise bazı düzeltmeler gerektirmektedir (Hrüska et al., 996). Süpersimetrik kuatum mekaiği kavramıda yola çıkarak, 985 yılıda Comtet ve çalışma arkadaşları WKB yötemii süpersimetrik kuatum mekaiği (SUSY QM) kavramıa uygulamış ve süpersimetrik WKB (SWKB) koşulu olarak bilie yarı-klasik bir kuatumlama koşulu öermişlerdir (Comtet, 985). Bu koşul ile, WKB yötemii çözemediği ya da çok uzu cebirsel işlemler sorasıda çözebildiği potasiyeller ve 983 yılıda Gedestei tarafıda taımlaa şekil ivaryat potasiyeller (ŞİP) (Gedestei, 983) içi tam eerji özdurum spektrumları elde edilmiştir. Bu projei amacı, e düşük mertebeli SWKB yaklaşım yötemii taımlamak ve bu yötemle ilgili birçok fiziksel uygulama vermektir. Buu içi bazı şekil ivaryat potasiyeller SWKB yaklaşımı ile aalitik olarak çözüldü ve bulua souçlar şekil ivaryatlık koşulu kullaılarak esaplaa souçlar ile karşılaştırılarak, SWKB yaklaşımıı tüm ŞİP içi doğruluğu iceledi. yrıca deforme Rose Morse, deforme değiştirilmiş Rose Morse, deforme Pöscl Teller ve deforme iperbolik Kratzer bezeri potasiyelleri ile V D potasiyeli SWKB yötemi ile aalitik cos C ta

24 3 olarak çözülerek, bu yaklaşım yötemi ile bu potasiyeller içi eerji özdeğer ve özfoksiyolarıı tam olarak elde edilip edilmediği araştırıldı.

25 4. SÜPERSİMETRİK KUNTUM MEKNİĞİ. Teori Scrödiger deklemii çözmek içi geliştirile öemli yötemlerde biri de yaratma ve yok etme operatörleri kullaılarak Hamiltoyei çarpalarıa ayırmaktır. Bua bezer olarak süpersimetrik kuatum mekaiğide yaratma ( ) ve yok etme () operatörleri; d d W, W m dx m dx (.) şeklide taımlaabilir. Bu iki operatörde H ve operatörleri aşağıdaki şekilde türetilir, H Hamiltoye H, H. (.) Buu gösterebilmek içi, deeme foksiyoua uygulaır: operatör çarpımı eragi bir g(x) ( ) g( x) H g m d dx W m d dx W g( x) d m dx m dw W dx g( x) d H V ( m dx x ), V W W '. (.3) m

26 Souçta H Hamiltoyeie ulaşılır. yı zamada V potasiyeli, kedisii ürete süper potasiyel ciside elde edilir. yı işlemler H Hamiltoyei içi tekrarladığıda; 5 d H V m dx x ( ), V W W ' (.4) m bağıtılarıa ulaşılır. SUSY QM de W(x) e süper potasiyel, V, (x) e de süpersimetrik parter potasiyeller adı verilir. Bulua V potasiyeli içi H Hamiltoyeii sağlaması gerekmektedir. Bu durumda H ile belirlee orijial sistem ve ou H ile belirlee süpersimetrik parteri arasıda bir ilişki kurulabilir (Kare, 4). Öreği () E H i özdeğeri ise H i de özdeğeri olmalıdır. H Hamiltoyei içi Scrödiger deklemi şu şekilde yazılır: H Ψ Ψ. (.5) () () () E Bu orijial sistem içi yazılmış özdeğer deklemidir ve dalga foksiyou ola Hamiltoyei açıkça yazıldığıda; Ψ () () E Ψ () () E de. durum () Ψ e karşılık gele eerji seviyesidir. H ifadesie ulaşılır. Deklemi er iki tarafı operatörü ile solda çarpıldığıda; Ψ E Ψ E Ψ, () () () () ()

27 6 () () () ( Ψ ) E ( Ψ ), bulua H çarpaı H Hamiltoyeie eşit olduğuda; () () () ( Ψ ) E ( Ψ ) (.6) () soucu elde edilir. Bu dekleme göre ( Ψ ) i parter sistem içi Scrödiger deklemii varılır. () E eerjili bir çözümü olduğu soucua yapılırsa, Bezer işlemler parter sistemi H Hamiltoyei içi de () E. durum dalga foksiyou ola eerji seviyesi olmak üzere; H ( () Ψ ye karşılık gele () () () Ψ ) E ( Ψ ) (.7) özdeğer deklemi elde edilir ve ( Ψ () ) i, orijial sistem içi Scrödiger deklemii varılır. () E eerjili bir çözümü olduğu soucua Böylece H ile belirlee orijial sistem ve H ile belirlee süpersimetrik parteri arasıdaki ilişkii varlığı gösterilmiş olur. Buu yorumu şu şekilde yapılabilir: orijial sistemi eragi bir özfoksiyoua operatörü uyguladığıda, parter sistemi ayı eerji özdeğerli öz foksiyou elde edilir. Bezer şekilde süpersimetrik parter sistemi eragi bir özfoksiyoua operatörü uyguladığıda orijial sistemi ayı eerjili özfoksiyou elde edilir. Bua göre

28 7 yaratma ve yok etme operatörleri ile ayı eerji seviyeside geçişler yapılabildiğide orijial sistem ile süpersimetrik parteri özdeş sistemler olarak düşüülebilir. cak iki spektrum arasıda bir fark vardır. Bu da operatörü yok etme operatörü olduğuda orijial sistemi taba durumu dalga foksiyoua uyguladığıda, bu dalga foksiyouu yok etmeside kayaklaır. Böylece orijial sistemi taba durumu dalga foksiyoua ayı eerjide karşılık gele süpersimetrik parterii olmadığı ortaya çıkar. (bkz. Şekil.) Öyleyse parter sistemi taba durumu eerji seviyesi orijial sistemi birici uyarılmış durumdaki eerji seviyesie karşılık gelir (Kare, 4). Bua göre, iki sistemi eerji seviyeleri arasıdaki ilişki: () E E, E (.8) () () bağıtılarıyla ifade edilebilir. Şimdi artık dalga foksiyoları arasıdaki ilişki de yazılabilir: Ψ aψ (.9.a) () () () () Ψm bψm. (.9.b) Burada a ve b ormalizasyo sabiti olup ormalizasyo koşulu ve ile operatörlerii adjoitlik özelliği kullaılarak buluabilir. Operatörleri adjoitliği f ve g eragi iki foksiyo olmak üzere f g f g eşitliği ile verilir. Normalizasyo koşuluda; Ψ () () () () () () () () Ψ Ψ H Ψ E Ψ Ψ E (.)

29 8 eerji değeri elde edilir. Bu souç dalga foksiyouu ormalize edilebilir olduğu gerçeğie dayaır. djoit olma özelliğide; () () () () ( Ψ ) ( Ψ ) a Ψ a Ψ () () Ψ Ψ a (.) buluur. () Ψ i de ormalize edilebilir olduğu kabul edilerek; (.) ve (.) deklemleride a sabiti buluabilir: a. (.) () ± E yı işlemler b sabiti içi de yapılabilir ve souçta; b ± (.3) () E m buluur. Sabitler yerie yazıldığıda birbirii süpersimetrik parteri ola iki sistemi dalga foksiyoları arasıdaki ilişki tam olarak elde edilir (Özer, 3): () () () Ψ ± E Ψ, (.4) () () () Ψm ± E m Ψm m içi () () () Ψ ± E Ψ. (.5)

30 9 Şekil. İki süpersimetrik parter potasiyeli eerji seviyeleri W(x) süper potasiyeli; V potasiyelii bilidiği durumlarda, daa öce verile ve Riccati diferasiyel deklemi olarak adladırıla deklem (.3) çözülerek buluabilir. Bu potasiyeli elde etmei bir diğer yolu da; yok etme operatörüü, orijial sistemi taba durumu dalga foksiyouu yok ettiği gerçeğii kullamaktır. () Ψ, m d dx W x () Ψ ( ) () dψ m dx, () Ψ' ( Ψ W () ) Ψ m. (.6) Bu formüle göre taba durumu dalga foksiyou biliiyorsa W(x) buluabilir.

31 yrıca bu ifade düzeleip, itegrali alıdığıda taba durumu dalga foksiyoua ulaşılabilir: Ψ () x m x N exp W ( y) dy ( ). (.7) Bu durumda da W(x) süper potasiyeli biliiyorsa taba durumu dalga foksiyou buluabilir. Problem çözümleride deklem (.3) ve deklem (.7) çıkış oktaları olarak alıır. Süper potasiyel, taba durumu dalga foksiyou bilimiyorsa deklem (.3), biliiyorsa deklem (.7) çözülerek buluabilir. H ve H süpersimetrik parter Hamiltoyelerii spektrumlarıı saip olduğu dejeereliği alamak içi süpersimetri cebirii özelliklerii icelemek gerekir. Süpersimetrik parter potasiyeller ayı özdeğerlere saip iki ayrı sistem olarak görüse de aslıda tek bir sistemdir (Lee, 999). Hem H em de H Hamiltoyelerii kapsaya süpersimetrik matris Hamiltoyei; H H (.8) H şeklide taımlaır. Bu matris em bozoik em de fermiyoik operatörler ile komütasyo ve atikomütasyo bağıtılarıı içere kapalı cebiri bir parçasıdır. Süperyükler olarak bilie Q ve Q operatörleri: Q, Q (.9)

32 şeklide taımlaır. Matris Hamiltoye ve süperyükleri komütasyo ve atikomütasyo bağıtıları aşağıdaki ifadeleri sağlıyorsa kapalı bir cebir oluşturur (Kare, 4): [ ] [ ],, Q H Q H, { } H Q Q,, { } { },, Q Q Q Q. (.) Bu bağıtıları sağladığı şu şekilde gösterilebilir: [ ], H H H H H H Q H [ ], Q H, { } H H H Q Q QQ Q Q,, { }, QQ QQ Q Q. Süpersimetrik ala teorisie göre; H Hamiltoyei içideki H fermiyoik kısmı H ise bozoik kısmı temsil etmektedir. Q, Q süper yük operatörleri ise fermiyoik serbestlik derecesii bozoik serbestlik derecesie, bozoik serbestlik derecesii de fermiyoik serbestlik

33 derecesie (eerji seviyeside değişiklik yapmada) döüştüre operatörlerdir (Wellma, 4; Cooper et al., 994). H Hamiltoyeii özvektörleri aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Ψ (), Ψ () m (.) Burada () Ψ H i, () Ψm de H i özfoksiyoudur. Bu özvektörleri Q, Q süperyük operatörlerii özvektörleri olup olmadığıa bakılır ve souca göre Hamiltoye spektrumlarıı dejeereliği yorumlaabilir (Lee, 999). ) () Q Ψ Ψ () Ψ, ( () () Ψ Ψ Q. Q ( ) (), Ψm Ψm () Ψ m Q. () () Ψm Ψm Souçlara bakıldığıda H Hamiltoyei ile Q, Q süperyük operatörlerii ayı özvektöre saip olmadığı görülür. Kuatum mekaiğide birbiriyle komüt, dejeere olmaya iki operatörde birii özvektörü bir sabit farkıyla diğerii de özvektörü olmalıdır. Bua göre;

34 H Hamiltoyei, Q, Q süperyükleriyle komüt olmasıa rağme, ayı özvektörlere saip olmadığıda Hamiltoye spektrumuu dejeere olduğu soucua varılır (Lee, 999). rtık orijial sistemi taba durumu dalga foksiyoua ayı eerjide karşılık gele süpersimetrik parterii olmadığı ve Hamiltoye spektrumuu dejeere olduğu bilidiğie göre; tek ola bu sıfır eerjili özdurumu agi spektrumda yer alacağı sorusu yaıtlaabilir. Buu içi, operatörleri ile yok edile Ψ, Ψ () dalga foksiyolarıı ormalize edilebilirliği icelemelidir. Ψ, () Ψ koşuluu sağlaya dalga foksiyoları; () 3 () Ψ () x () m x N exp W ( y) dy ( ), Ψ () x () m x N exp W ( y) dy ( ) şeklide daa öce bulumuştu. Ψ, Ψ dalga foksiyolarıı ormalize edilebilmesi içi sosuzda sıfır olmaları gerekir. Öreği () Ψ i sosuzda sıfır olması içi, üstel ifadei - olması () () gerekmektedir. Buu içi süper potasiyel; x da egatif olmalıdır. Bu durumda x da pozitif, () Ψ ormalize edilebilir ve sıfır eerjili özdurum H i spektrumuda yer alır. yı icelemeler () Ψ içi yapıldığıda tam ters souçlar elde edilir. Böylece iki dalga

35 4 foksiyouu ayı ada ormalize edilemeyeceği soucua varılır (Cooper et al., 994; Lee, 999). Geel olarak () Ψ ormalize edilebilir olarak seçilir. Yai sıfır eerjili özdurum H i spektrumuda yer alır (bkz. Şekil.). Bu durumda W süper potasiyeli, H Hamiltoyeie süpersimetrik parter H Hamiltoyeii üretecek şekilde seçilir. cak bu potasiyel H Hamiltoyeie süpersimetrik parter H Hamiltoyeii üretecek şekilde de seçilebilir. Bu durumda () Ψ ormalize edilemez olacağıda, sıfır eerjili eşleşmemiş taba durumu H Hamiltoyeii spektrumuda yer alır (Şekil.). Şekil. SUSY i bozulmadığı durumda verile alteratif seçim

36 Bir diğer seçim de W süper potasiyelii H, H parter sistemlerii, içbirii ormalize edilebilir taba durumu dalga foksiyoua saip olmayacak şekilde alımasıdır. Bu seçimde, operatörleride içbiri 5 () () Ψ, Ψ dalga foksiyolarıı yok edemez. Dolayısıyla taba durumu dalga foksiyoları açıkça elde edilemez. Bu durum bozulmuş süpersimetri olarak biliir (Lee, 999), ( Şekil.3). Şekil.3 Bozulmuş süpersimetri Buraya kadar alatılalarda sora şöyle bir değerledirme yapılabilir. SUSY i bozulmadığı durumda, tae bağlı durumu ola ve taba durumu eerjisi V potasiyeli; V E ola çözülebilir bir W W ' V Eo m V potasiyeli içi, (.)

37 6 olarak alıır ve böylece sistemi taba durumu eerjisi sıfır yapılır (Kare, 4; Dutt et al., 988). H, H parter Hamiltoyelerii çözümü zor, dalga foksiyoları elde edilebilir olduğu durumda operatörü H i taba durumua uygulaarak H i birici uyarılmış durumu elde edilir. Diğer durumları bulmak içi H ye yei bir süpersimetrik parter H 3 oluşturulur. Dolayısıyla yei bir W(x) süper potasiyeli ve yei, operatörleri oluşturulur (Cooper et al., ). Yei operatörüü H 3 ü taba durumua uygulamasıyla, H i birici uyarılmış seviyesi ve ayı ada H i ikici uyarılmış seviyesi esaplamış olur. Bu işlemler devam ettirilerek er seferide yei süper potasiyeller ve yei basamak operatörleri oluşturularak daa üst mertebe uyarılmış seviyelere ulaşılabilir. Bu bölümde elde edile souçları bir uygulaması olarak; kuatum mekaiğide iyi bilie bir sistem ola basit armoik osilatör modeli ele alıabilir.. Süpersimetrii Basit Harmoik Osilatöre Uygulaması: V Bu sistem içi potasiyel, mw x şeklide verilir. Sistemi eerji özdurumlarıı süpersimetri teorisi ile elde etmek içi ilk öce süper potasiyel taımlamalıdır. Süper potasiyel;

38 7 W mw x şeklide seçilebilir. Deklem (.) kullaılarak; w V E W W ' mw x, m E w değerie ulaşılır ve bu basit armoik osilatörü taba durumu eerjisidir. Süper potasiyel bilidiğie göre taba durumu dalga foksiyou da deklem (.7) de kolayca elde edilebilir: Ψ () m ( ) x N exp mw ydy x. N sabiti, ormalizasyo koşuluda buluur: ( ) () Ψ dx, x / 4 mw N. π Bu durumda artık taba durumu dalga foksiyou tam olarak yazılabilir. Ψ () mw π / 4 mw exp x. Tüm bağlı durumlara ait özdurumları bulabilmek içi öce V parter potasiyeli esaplaır:

39 8 V w W W ' mw x. m Bu oldukça öemli bir souçtur. Görüldüğü gibi armoik osilatörü parteri yie bir armoik osilatördür. Sadece V w V olduğuda, potasiyeli w kadar arttırılmıştır (Lee, 999). Bu sabiti eklemesi dalga foksiyolarıı değiştirmez. Sadece bu potasiyele karşılık gele özdeğerleri bu sabit kadar arttırır. Bu durumda V E i taba durumu eerji özdeğeri kolayca elde edilebilir. () E w 3/ w Bu değer ayı zamada () E () () E bağıtısıda V i birici uyarılmış durumua ait eerji değeridir. Bu durumda bir sabit farkıyla orijial potasiyeli tekrar üretmiş oluyoruz. Öyleyse V taba durumu eerjisi bilidiğide ve ayı süper potasiyel içi potasiyeli yie w kadar arttırılmış ola yei bir V 3 parter potasiyelii taımlayabiliriz. (bkz. Şekil.4) Bu potasiyel içi taba durumu eerjisi 5 / w olup, ayı zamada potasiyelii birici uyarılmış durumua, dolayısıyla V i ikici uyarılmış ait eerji değeridir. İşleme bu şekilde devam ederek armoik osilatör içi eerji özdeğer spektrumu elde edilir. V E w (,, ).

40 9 H H H 3 V V Şekil.4 Harmoik osilatörü süpersimetrik parter potasiyellere ait özdeğer spektrumu V 3 Sistemi özfosiyolarıı elde etmek içi de bezer olarak bulua parter sistemleri yie bir armoik osilatör olduğu göz öüde buludurularak, süpersimetrik parter potasiyeller içi taba durumu dalga foksiyolarıı değişmediği gerçeği kullaılır. Yai süpersimetrik parter sistemi taba durumu dalga foksiyou, orijial sistemi taba durumu dalga foksiyou ile ayı kalacaktır. Bua göre armoik osilatörü eragi bir uyarılmış duruma ait dalga foksiyouu elde etmek içi operatörü taba durumu dalga foksiyoua isteile sayıda uygulaır. Ψ N, (,, ). ( ) Ψ Buradaki N sabiti; dalga foksiyoları arasıdaki ilişkiyi vere deklem (.5) kullaılarak buluabilir. Ψ ( ) wψ.

41 .3 Şekil İvaryatlığı ve Çözülebilir Potasiyeller Bu kavram ilk defa Gedestei (983) tarafıda tam olarak çözülebile potasiyelleri (armoik osilatör, Coulomb, Morse vb. potasiyeller) saip olduğu ortak özelliği e olduğu sorusua cevap olarak öe sürüldü ve şekil-ivaryat potasiyeller (ŞİP) şu şekilde taımladı. Süpersimetrik parter potasiyeller şekil bakımıda birbirii ayı, sadece içerdikleri parametreler bakımıda farklı ise bu potasiyellere şekil-ivaryat potasiyeller deir (Gedestei, 983). Buu şu şekilde ifade etmek mümküdür. Eğer parter potasiyeller ( x ) V aşağıdaki koşulu sağlıyorsa;,,a V x, a ) V ( x, a ) R( ) (.3) ( a V x, ) ve V x, ) potasiyellerii şekil-ivaryat olduğu söyleir. ( a ( a Burada a ; parametreleri bir serisi, a ; a i bir foksiyou ( a f ) ) ve R a ) ; x de bağımsız bir sabittir (Dutt et al., 988; ( a Kare, 4). ( Şekil-ivaryatlık koşulu ve Hamiltoyeleri iyerarşisii kullaarak eragi bir şekil-ivaryat potasiyeli eerji özdeğerleri ve özfoksiyoları süpersimetrii bozulmadığı durumda kolaylıkla elde edilebilir. Buu içi özdeğer ve özfoksiyoları SUSY ile birbirie bağlı ola, H ve H süpersimetrik parter Hamiltoyelerde başlaır. SUSY bozulmadığıda; deklem (.8) ve (.7) de;

42 () E ( a ), Ψ x x, a) N exp W ( y, a ) dy () ( olduğu biliiyor. H i tam spektrumuu şekil-ivaryat koşuluu kullaılmasıyla cebirsel olarak kolaylıkla elde edilebileceğii göstermek içi ilk adım olarak; H i birici uyarılmış durumua ait özdeğer ve özfoksiyou elde edilir. Deklem (.3) ü er iki tarafıa kietik eerji operatörü eklediğide, şekil-ivaryatlık koşulu içi; H x, a ) H ( x, a ) R( a ) ( x, a ) ( x, a ) R( ) (.4) ( a yazılabilir. Bu iki Hamiltoye birbiride bir sabit kadar farklı olduğuda, buları özdeğerleri de birbiride bu sabit kadar farklı ve özfoksiyoları da birbirleriyle oratılı olacaktır. Bu şu şekilde ifade edilebilir: () () () ( a ) E ( a ) R( ), ( x, a ) Ψ ( x a ) E () a Ψ. (.5), () () E ( a ) ve a f ( ) olduğuda ( a ) a taba durumu dalga foksiyou; E olur ve bu durumda x Ψ () ( x, a ) exp W ( y, a ) dy (.6) olarak yazılabilir. SUSY QM i teorisi alatılırke bulua deklem (.8) ve deklem (.5) kullaılarak, birici uyarılmış duruma ait eerji özdeğeri;

43 () ( a ) E ( a ) R( ) E (.7) () a elde edilir. Dalga foksiyolarıı elde etmek içi de bezer olarak; daa öce elde edile () () () () () Ψ ± E Ψ Ψ Ψ bağıtı ile deklem (.5) deki dalga foksiyoları arasıdaki ilişkiyi göstere ifade kullaıldığıda; () () ( x, a ) ( x, a ) Ψ ( x, a ) ( x, a ) Ψ ( x a ) Ψ (.8) (), birici uyarılmış duruma ait dalga foksiyou buluur. Bu işlemlere devam edildiğide H i tam spektrumu ve özfoksiyoları elde edilebilir. Buu içi s,,3 olmak üzere H s Hamiltoye serisi oluşturulur. Eğer H tae bağlı duruma saipse bu durumda H, H 3... H şeklide tae Hamiltoye kurulabilir ve p. Hamiltoye H p de H i ilk p seviyesi yoktur. H p i spektrumu H i geriye kala spektrumu ile ayıdır. Deklem (.3) de verile şekil-ivaryatlık koşulu ard arda kullaılarak, m içi aşağıdaki ifadeye ulaşılabilir: s ( ) d H s V x, a ( ) s R ak. (.9) dx k s Burada a s f ( a ) yai f foksiyou a e s- kez uygulamıştır. Deklem (.3) ve deklem (.9) kullaılarak H s ve H s Hamiltoyelerii spektrumları karşılaştırılabilir:

44 d d H. s s s V s k, s dx k dx k ( x, a ) R( a ) V ( x a ) R( a ) k 3 H s ve s H Hamiltoyelerie bakıldığıda, buları süpersimetrik parter Hamiltoyeler olduğu görülür ve H s i taba durumu eerjisi ariç, özdeş bağlı durum spektrumua saip oldukları soucua varılır. E olduğu göz öüde buludurularak, H s i taba durumu () eerjisi deklem (.9) da; s ( a ) ( s) E R k (.3) k olarak buluur. Buda sora, H s de s H e doğru gidilerek H ve H e ulaşılır. H i taba durumu eerjisi sıfırdır ve seviyesi de H Hamiltoyeii taba durumu seviyesie karşılık gelir. Bua göre H i tam spektrumu şu şekilde verilebilir (Dutt et al., 988): E () a k k ( a ) R( ) (), ( a ) E. (.3) () ait ( x,a ) Heragi bir şekil-ivaryat potasiyel içi tüm bağlı durumlara Ψ dalga foksiyou, süper potasiyel ciside yazılabile ( x ) () Ψ,a taba durumu dalga foksiyouda kolaylıkla elde edilebilir. () Buu göstermek içi taba durumu dalga foksiyou ( ) Ψ x,a s ola,

45 4 deklem (.5) ile verile H s Hamiltoyei ele alıır. H s 'de s H e doğru gidilerek H Hamiltoyeie ulaşılır ve deklem (.5) kullaılarak ( x ) H, a orijial Hamiltoyei içi. durum dalga foksiyou, taba durumu dalga foksiyou ciside elde edilir: Ψ () () ( a ) ( x, a ) ( x, a )... ( x, a ) Ψ ( x, a ) x. (.3), Dalga foksiyolarıı tam olarak bilimesi çoğu zama daa kullaışlıdır. Bu durumda deklem (.3) yi kullamak yerie; () () ( x, a ) ( x, a ) Ψ ( x, a ) Ψ (.33) deklemii kullamak daa kolaydır (Cooper et al., 995). Burada kouyu açıklaya somut bir örek vermek ve eerji özdeğer ve özfoksiyolarıı aalitik olarak asıl elde edilebileceğii göstermek oldukça yararlı olacaktır. Buu içi; W B ta x süper potasiyelii ürettiği; B B( B ) x V sec, (.34) B B( B ) x V sec (.35) parter potasiyeller iceleebilir. Bu iki potasiyeli şekil-ivaryat olduğuu göstermek içi, V potasiyeli (B-) parametresi ciside tekrar yazılır.

46 ( x, B ) ( B ) ( B ) B x V sec. (.36) 5 rtık deklem (.35) ve deklem (.36) ile verile iki potasiyel birbiride bir sabit kadar farklı olduğuda şekil-ivaryatlık koşulu yazılabilir. ( x, B) V ( x, B ) B ( B ) V. Bua göre a B, B deklem (.3) de V ( x, B) edilebilir. B B a a a ve ( ) ( ) R a olur ve i tam bağlı durum spektrumu elde E R a k R a R a a a k... B B (,, ). () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B Taba durumu dalga foksiyou ise, deklem (.7) de; Ψ B ( x, B) exp B ta xdx sec x () olarak buluur. Burada artık birici uyarılmış durum dalga foksiyou da elde edilebilir: Ψ () ( x a B) ( x, B) Ψ ( x, a B ) (),. d dx B ta x sec x sec B B x ta x

47 6 İşlemlere bu şekilde devam ederek V ( x, B) özfosiyoları buluabilir (Kare, 4). i tüm bağlı durumlara ait

48 7 3. WKB (Wetzel, Kramers, Brilloui) YKLŞIMI Kuatum mekaiğide bazı problemleri kesi aalitik çözümleri buluamadığıda, gerekli koşullar sağladığıda olay klasik mekaik sıırıa idirilerek yaklaşık çözümler araır (Ladau et al., 977). WKB yötemi, kuatum mekaiği problemlerii çözmek içi klasik ifadelere düzeltmeler getire yarı-klasik bir yaklaşım yötemi olarak taımlaır. Bu yötemi kullaılabilmesi içi gerekli koşul, parçacığı yavaş değişe bir potasiyel alaıda, büyük bir mometuma saip olmasıdır. Eerjisi E ola bir parçacığı, potasiyeli sabit olduğu bir bölgede areket ettiğii düşüelim. E > V(x) ise dalga foksiyou; m ± ikx Ψ e, k [ E V ] (3.) şeklide elde edilir. Burada () işareti sağa doğru gide parçacığı, (-) işareti ise sola doğru gide parçacığı areketii taımlar. Bu dalga foksiyou, dalga boyu λ π / k ve geliği ola bir titreşim areketii belirtir. V(x) i sabit olmadığı acak λ ya göre çok yavaş değiştiği durumda bölge birçok tam dalgaboyu içerdiğide, potasiyel yie sabit gibi düşüülebilir. yrıca dalgaboyu ve geliği x ile yavaş değişmesi ve Ψ i siüsoidal olarak kalması potasiyeli sabit olarak kabul edilebileceğii doğrular.

49 8 E<V(x) olduğu durumda; Vsabit içi dalga foksiyou, ±κx Ψ e, [ V E] m κ (3.) şeklide üstel bir foksiyodur. Dolayısıyla E<V(x) içi ormalize edilebilir dalga foksiyou buluamaz. EV içi ise dalga boyu sosuza gider. Bu durumu sağlaya oktalara döüm oktaları adı verilir. Klasik Bölge: Scrödiger deklemi; d Ψ V m dx Ψ EΨ, p m[ E V ] olmak üzere; d Ψ dx Ψ p (3.3) şeklide yazılabilir. Burada p(x), toplam eerjisi E ve potasiyel eerjisi V(x) ola bir parçacığı mometumudur. E > V(x) olduğuda mometum reel olur ve parçacığı apsolduğu bu bölgeye klasik bölge adı verilir (bkz. Şekil 3.).

50 9 Şekil 3. Klasik bölge (x) geliği ve φ fazı göstermek üzere; kompleks formdaki Ψ dalga foksiyou bu reel icelikler ciside yazılabilir. iφ e Ψ (3.4) Bu dalga foksiyou deklem (3.3) de yerie yazıldığıda, geliği ve fazı vere iki deklem elde edilir: p ' ' ( φ ') (3.5) ( φ' )'. (3.6) Deklem (3.6) i çözümüde geliği, faza bağlı olduğu soucu çıkar: φ ' C, C ; (Csabit). (3.7) φ'

51 3 Doğruda çözülemeye deklem (3.7) içi, değiştiği kabul edilir ve bu yaklaşım ile '', edilebilir. Bu durumda deklem (3.7); dφ ± dx p ' ı x ile yavaş ' ı yaıda imal deklemie idirgeir ve artık φ fazıa ulaşılabilir: φ ± p dx. (3.8) Deklem (3.7) ve deklem (3.8) da elde edile souçlar deklem (3.4) de yerie yazıldığıda; C ± P dx Ψ e (3.9) p i soucu buluur. Görüldüğü gibi, bu yaklaşım ile elde edile dalga foksiyou sadece parçacığı mometumua bağlıdır. Bu edele parçacığı areketi klasik olarak düşüülebilir. yrıca WKB yötemii, yarı-klasik yaklaşım yötemi olarak adladırılmasıı edei de buda kayaklaır. Parçacığı x oktasıda buluma olasılığı ise; C Ψ (3.) p

52 3 parçacığı bu oktadaki mometumu (dolayısıyla da ızı) ile ters oratılı olarak elde edilir (Griffits, 995). Bu durumda, böyle bir bölgede areket ede bir parçacığı eerji özdeğerlerii bulabilmek içi; x m [ E V ] dx ( ) π,,,, (3.) x şeklide bir kuatumlama koşulu yazılabilir (Ladau, 977). Bu kuatumlama koşulua WKB yaklaşım yötemi ya da yarı-klasik yaklaşım yötemi adı verilir.

53 3 4. SÜPERSİMETRİK WKB (SWKB) YKLŞIMI 4. E Düşük Mertebeli SWKB Kuatumlama Koşulu Yaklaşık yıl öce, süpersimetri ile klasik WKB yaklaşım yötemii birleştirilmesiyle e düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşulu elde edildi ve bu koşul ile eerji özdeğerlerii sadece büyük değerleri içi değil ayı zamada taba durumu içi de buluulabileceği gösterildi (Comtet et al, 983). Bu bölümde; e düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşulu ayrıtılı bir şekilde iceleecektir. V potasiyelii W(x) süper potasiyel ciside değeri deklem (.3) de verilmişti. Bu değer deklem (3.) ile verile WKB kuatumlama koşuluda yerie yazıldığıda; x () m E W W ' dx ( ) π (4.) m x ifadesie ulaşılır. Burada potasiyel ye açıkça bağlı olduğuda itegral; I x ( ) f ( x, ) dx π x ( ) (4.) () ( x, ) m E W W f ' m şeklide yazılabilir.

54 Çözüme ulaşabilmek içi I itegrali i kuvvetleri ciside seriye açılır. limitide a ve b klasik döüm oktaları () W ( a) W ( b) taımı ile verilir ve lim x, a, b olur. I ı ye E göre Taylor Serisi açılımı; I I b lim I () [ W ] m E dx, a x di f lim lim dx f d x dx d ( x, ) f ( x ), { [ ]} / m W ' x () m E W ( ) dx d 33 olmak üzere; ( ) I I I O (4.3) şeklidedir. Klasik döüm oktalarıı taımıda f ( x, ) f ( x, ) olduğu buluur. Bua göre deklem (4.); b () W ' [ ( )] dx E W x dx () a E W b m O( ) a π (4.4) olur. Bu deklemdeki ikici itegral kolayca esaplaabilir: ' W b W W dx si () () a E E b a. (4.5)

55 34 Süpersimetrii bozulmadığı durumda W(x) süper potasiyeli döüm oktalarıda zıt işaretlidir: () ( a) W ( b) W. (4.6) E Bu taıma göre; b W si π (4.7) () E a olacağıda, deklem (4.5) de verile itegrali soucu π olarak buluur. Bu souç deklem (4.4) de yerie yazıldığıda; b a () [ E W ] dx π m,,,, (4.8) e düşük mertebeli süpersimetrik WKB kuatumlama koşulu elde edilir (Dutt et al., 99). yı işlemler V potasiyeli içi yapıldığıda; b a m () [ E W ] dx ( )π,,,, (4.9) soucu buluur. Böylece süpersimetrik er iki parter potasiyel içi SWKB kuatumlama koşulu bulumuş olur. Bu koşullarla ilgili şu yorumlar sıralaabilir:

56 a) Deklem (4.8) taba durumu () içi icelediğide, a ve b 35 döüm oktaları çakışık olarak elde edilir ve SWKB kuatumlama koşulu; () E olur. Bua göre d H V m dx Hamiltoyeii taba durumu eerjisi içi doğru değeri verir. b) Deklem (4.8) ve deklem (4.9) da bulua souçlar karşılaştırıldığıda; SWKB koşuluu, Bölüm. de alatıla Hamiltoye spektrumlarıdaki dejeereliği koruduğu soucua varılır. Yai SWKB kuatumlama koşulu ile esaplaa yaklaşık eerji özdeğerleri E E bağıtısıı doğrular. () () c) E düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşulu sadece büyük değerleri içi değil ayı zamada taba durumu içi de tam souçlar verdiğide, klasik WKB yaklaşımıı aksie SWKB yaklaşımı ile tüm değerleri içi eerji özdeğerleri esaplaabilir (Kare, 4). Bua göre SWKB i WKB de daa iyi souçlar verdiği söyleebilir.

57 36 4. Şekil-İvaryat Potasiyeller İçi SWKB Koşuluu Doğrulaması SWKB yötemii üstülükleride biri, kuatum mekaiğide tam olarak çözülebile potasiyelleri şekil-ivaryatlığı özelliğii kullaılmasıdır. Buu sayeside klasik WKB yaklaşımıı çözemediği ya da uzu cebirsel işlemler souda çözebildiği potasiyeller SWKB yaklaşımı ile kolayca çözülebilir ve tam değerlere ulaşılır. Yai tüm şekil-ivaryat potasiyelleri kesi aalitik çözümleri SWKB yaklaşımı ile buluabilir. Buu gösterebilmek içi deklem (.3) ile verile parter potasiyelleri şekil ivaryatlığı koşulu ve deklem (.9) ile verile s. Hamiltoye kullaılır. kuatumlama koşulu; H s Hamiltoyei içi SWKB b a m E ( s) s R k ( a ) W ( a, x) dx π k s şeklide ifade edilir. SWKB kuatumlama koşulu taba durumu eerjisi içi de doğru olduğuda; E ( s) s k R ( a ) k değeri H s Hamiltoyei içi doğrudur. H s de H s e doğru gidildiğide H ve H Hamiltoyelerie ulaşılır ve SWKB koşuluu E dejeereliğii koruduğu kullaılırsa SWKB kuatumlama () () E

58 37 koşulu ile tüm şekil-ivaryat potasiyeller içi tam eerji özdeğerleri buluur (Kare, 4). Bu, tüm ŞİP içi tam doğru değerler vermeye klasik WKB yaklaşımıa yapıla öemli bir düzeltmedir. Klasik WKB yaklaşımı sadece armoik osilatör ve Morse potasiyeli içi tam değerler verirke, SWKB yaklaşımı ile tüm ŞİP içi tam özdurum spektrumları elde edilebilir (Hrüska et al., 996). Bilie tüm şekil-ivaryat potasiyelleri (basit armoik osilatör, üç boyutlu armoik osilatör, Coulomb, Morse, Rose Morse II, Eckart, Rose Morse I, Scarf II, Geelleştirilmiş Pöscl Teller, Scarf I ) taba durumu eerjileri WKB ve SWKB yaklaşım yötemleri ile esaplamış ve bu potasiyelleri bağlı olduğu parametrelere (, B,, w, l) değerler verilerek sayısal souçlar elde edilmiştir. (Hrüska et al., 996) Çizelge 4. de, B,, w, l ve x, r olmak üzere; bu potasiyellerde bazıları içi, süper potasiyeller ve orijial sistem içi süpersimetrik parter potasiyeller, Çizelge 4. de de seçile parametre değerleri ve sayısal olarak elde edile taba durumu eerji özdeğerleri görülmektedir. Çizelge 4. icelediğide, SWKB kuatumlama koşulu ile bulua değerleri gerçek değerlerle ayı olduğu soucua varılır. Bua göre tüm ŞİP ler içi tam değerler vere SWKB yaklaşımıı, WKB yaklaşımıa göre terci edilebilir olduğu söyleir.

59 38 Potasiyeli dı W(x) Süper Potasiyel V (x) Potasiyeli Basit Harmoik Osilatör w x w x Coulomb ( l ) ( l ) e r e r l r ( l ) 4 e 4 ( l ) Rose Morse (iperbolik) B ta x, B B ( ) B tax ( ) ta x Eckart cot r B B B ( ) B cotr ( ) cot r Rose Morse (trigoometrik) B x B cot ( ) B cotx ( ) cot x Çizelge 4..Şekil-ivaryat potasiyellere karşılık gele süper potasiyel değerleri ve m içi esaplaa süpersimetrik parter potasiyeller(hrüska et al., 996)

60 39 Potasiyeli dı Parametre Seçimi SWKB E [ev] WKB E [ev] E ( gerçek) [ev] Basit Harmoik Osilatör -,5w,5w,5w Coulomb e l,65,5677,65 Rose Morse (iperbolik) B,967,3,967 Eckart B 6 7, 6,5 7, Rose Morse (trigoometrik) B 3,,577 3, Çizelge 4..Bu potasiyelleri seçile parametre değerlerie göre SWKB ve WKB kuatumlama koşulları ile esaplaa taba durumu eerji özdeğerleri (Hrüska et al., 996)

61 4 5. SWKB YÖNTEMİ İLE BZI POTNSİYELLER İÇİN ÇÖZÜMLER 5. Bazı Şekil İvaryat Potasiyelleri Çözümleri E düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşuluu tüm ŞİP içi doğru olduğuu göstermek içi, bu potasiyelleri şekil ivaryatlık koşulu ile esaplaa eerji özdeğerleri referas değerler (bkz. Ek.) olarak kabul edilerek, SWKB yaklaşımı ile ayı değerleri elde edilip edilmeyeceği araştırılabilir. Buu içi bazı ŞİP, SWKB yötemi ile çözüldü ve souçlar bu referas değerlerle karşılaştırıldı. 5.. Pöscl-Teller W Bu potasiyel içi süper potasiyel cot( r) B cosec( r), B şeklide seçilebilir (Kare,4). Bu potasiyel deklem (4.8) de verile yerie yazılır. x SWKB I itegralide () [ E cot ( r) Bcot( r)cosec( r) B cosec ( r) ] m dr π x Bu itegrali çözebilmek içi y cos( r) Bu döüşüm altıda a ve b (a<b) döüm oktaları; değişke döüşümü yapılır. y B y ± E ()

62 4 deklemii köklerie eşit olur. İtegral tablosuda verile (bkz. Ek.) ( a b) I 5, tablo itegrali kullaılarak bu potasiyel içi eerji özdeğer spektrumu elde edilir: m E () y y dy y y B () ( E ) y () E B () ( E ), m E () I 5 ( a, b) π, E (). (5.) m Taba durumua ait özfoksiyo ise; özfoksiyou süper potasiyel ciside vere deklem (.7) kullaılarak buluur. İşlemlerde kolaylık sağlaması açısıda ormalizasyo sabiti burada olarak alıdı. N içi taba durumu dalga foksiyou; Ψ () m ( B ) [ si( r) ] m B [ cos( r) ] (5.) şeklide buluur. 5.. Scarf I (trigoometrik) W ta Bsec Bu potasiyel SWKB I itegralide yerie yazılır ve y si değişke döüşümü yapılır. Bu durumda a ve b döüm oktaları

63 4 y B y ± E () deklemii köklerie eşit olur. I ( a, b) 4 tablo itegrali (bkz. Ek.) kullaılarak, bu potasiyel içi eerji özdeğer spektrumu elde edilir: () y m E () ( E ) () E B () ( E ) dy B y y : π y y, m E () I 4 π, E (). (5.3) m Scarf I potasiyel içi taba durumu dalga foksiyou N içi m m ( B ) B [ cos ] [ ] () Ψ si (5.4) olarak buluur Scarf II (iperbolik) W ta Bsec Bu potasiyel SWKB I itegralide yerie yazılır ve y si değişke döüşümü yapılır. Bu durumda a ve b döüm oktaları; y B y ± E ()

64 deklemii köklerie eşit olur. I ( a, ) tablo itegrali (bkz. Ek.) 3 b kullaılarak, bu potasiyel içi eerji özdeğer spektrumu elde edilir: 43 m E () y y dy y y B () ( E ) y () E B () ( E ) π, m E () I 3 ( a, b) π, E (). (5.5) m Ψ Scarf II potasiyeli içi taba durumu dalga foksiyou N içi m m ( ) [ ( )] x sec x exp B ta (si( ) () x (5.6) olarak buluur Rose Morse II (iperbolik) W ta ( x) B / Bu potasiyel SWKB I itegralide yerie yazılır ve y ta değişke döüşümü yapılır. Bu durumda a ve b döüm oktaları B y ± () E deklemii köklerie eşit olur.

65 44 I ( a, ) tablo itegrali (bkz. Ek.) kullaılarak, bu potasiyel içi eerji 4 b özdeğer spektrumu elde edilir (Hrüska et al., 996): m y y dy y y B () E y B 4 π, m I 4 π, E () m B B m. (5.7) Rose Morse II potasiyel içi taba durumu dalga foksiyou N içi Ψ () m B [ ] m sec exp x (5.8) olarak buluur. 5. -Deforme Potasiyelleri Çözümleri Burada SWKB yaklaşım yötemi başka bir potasiyel sııfı ola deforme potasiyeller (bkz. Ek.3) içi iceledi. Buu içi seçile bazı deforme potasiyelleri eerji özdeğerleri SWKB yötemi ile esapladı ve souçlar bu potasiyeller içi gerçek eerji özdeğerleri ile karşılaştırıldı. yrıca bu potasiyeller içi taba durumu özfoksiyoları süper potasiyel kullaılarak buludu.

66 deforme Rose Morse potasiyeli deforme Rose Morse potasiyeli; x x U e e V B ta B 4U x (5.9) x) e o cos ( x ( e ) eşitliği ile verilir (Eğrifes vd., 999a) ve bu potasiyel içi süper potasiyel; B W ta (5.) şeklide seçilebilir. Taba durumu eerji özdeğerii elde etmek içi deklem (.) bu süper potasiyel içi çözülür. B ( ) ( x) U E ta sec B ta m B sec Burada, ayı değişkeleri katsayıları ve sabitler birbirie eşitleerek süper potasiyeli bağlı olduğu parametreler, V potasiyelii bağlı olduğu parametreler ciside elde edilir: 8mU, B B 8m () B E.

67 46 ve B sabitleri yerie yazılırsa; bu potasiyel içi taba durumu eerji özdeğeri: () mu mb mu m B E (5.) şeklide elde edilir. Tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğerlerii bulabilmek içi, süper potasiyel deklem (4.8) ile verile e düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşuluda yazılır: () ( ) ( ) ta ta x x dx B x B x E m π. Bu itegrali çözebilmek içi ( ) y x ta değişke döüşümü yapılır. Bu durumda itegral sıırları, klasik döüm oktalarıı taımıda; () B E a y, () B E b y şeklide elde edilir. ( ) b a I, 4 tablo itegrali kullaılarak, (bkz. Ek.) orijial sistem içi eerji özdeğer spektrumu şu şekilde elde edilir. () π B E y B y y dy m b a 4,

68 47 ( ) π b a I m, 4, () m B B m E. (5.) Bu değere deklem (5.) deki taba durumu eerji özdeğeri eklediğide; () () m B m E E E (5.3) ifadesie ulaşılır. So olarak ve B sabitleri yerie yazılır ve deforme Rose Morse potasiyeli içi tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğer spektrumu aşağıdaki şekilde elde edilir. ( ) ( ) mu B m mu m E (5.4) Taba durumua karşılık gele özfoksiyo ise N içi deklem (.7) kullaılarak;

69 48 Ψ Ψ () () [ ] m m B exp x sec [ ], 8mU m B sec exp x (5.5) 8mU şeklide buluur. 5.. deforme değiştirilmiş Rose Morse potasiyeli deforme değiştirilmiş Rose Morse potasiyeli; V V [ ] [ ta ] V (5.6) 4 ta şeklide ifade edilir (Eğrifes vd., 999a) ve bu potasiyel içi süper B W ta olarak seçilebilir. Taba durumu potasiyel eerji özdeğerii bulabilmek içi deklem (.) de başlaır. Elde edile deklemde, ayı değişkeleri katsayılarıı birbirie eşitlemesiyle,b sabitleri, ve bu sabitlere bağlı ola taba durumu eerji özdeğeri elde edilebilir: mv, 8m V B, 4 E () V V B. 4 m

70 49 Bulua,B sabitleri () E ifadeside yerie yazılırsa; () 8 /6 8 mv m V mv m V E (5.7) soucua ulaşılır. Tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğerlerii bulabilmek içi seçile süper potasiyel SWKB I itegralide yerie yazılır ve ( ) y x ta değişke döüşümü yapılır. Bu durumda a ve b döüm oktaları; () E B y ± deklemii köklerie eşit olur. ( ) b a I, 4 tablo itegrali (bkz. Ek.) kullaılarak, orijial sistem içi eerji özdeğer spektrumu; () π B E y B y y dy m b a 4 ( ) π b a I m, 4 () m B B m E (5.8)

71 5 olarak buluur. Bu değere deklem (5.7) deki taba durumu eerji özdeğeri de ekleir ve, B sabitleri yerie yazılırsa; deforme değiştirilmiş Rose Morse potasiyeli içi tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğer spektrumu elde edilir: ) ( 8 6 ) ( 8 mv m V mv m V E. (5.9) Taba durumua karşılık gele özfoksiyo ise N içi deklem (.7) kullaılarak; ( ) ( ) [ ] Ψ x mu B m x x mu 8 () 8 exp sec (5.) şeklide buluur deforme Pöscl Teller potasiyeli deforme Pöscl Teller potasiyeli; ( ) ( ) x V x V cos (5.) olarak verilir (Eğrifes vd., 999b).

72 Bu potasiyel içi süper potasiyel W ta 5 olarak seçilebilir. Deklem (.) i bu süper potasiyel içi çözülmesiyle; 8mV 8, m ( ) E taba durumu eerji özdeğeri sabitie bağlı olarak elde edilir. Bu sabit yerie yazılırsa; () 8mV E 8 (5.) m ifadesie ulaşılır. Tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğerlerii bulabilmek içi seçile süper potasiyel I SWKB itegralide yerie yazılır. İtegrali çözebilmek içi y ta a ve b döüm oktaları; değişke döüşümü yapılır. Bu durumda y ± () E deklemii köklerie eşit olur. I ( a, b) 4 tablo itegrali (bkz. Ek.) kullaılarak, orijial sistem içi eerji özdeğer spektrumu elde edilir: m I ( a, b) π 4, () E. (5.3) m m

73 5 Bu değere deklem (5.) deki taba durumu eerji özdeğeri de ekleir ve sabiti yerie yazılırsa; deforme Pöscl Teller potasiyeli içi tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğer spektrumu elde edilir: 8mV ( ) 8 m E. (5.4) Taba durumua karşılık gele özfoksiyo ise ormalizasyo sabiti N içi deklem (.7) kullaılarak; [ ] 8mV ( ) () Ψ x sec (5.5) şeklide buluur deforme iperbolik Kratzer Bezeri potasiyel V Bu potasiyel; V [ ] [ cot ( ) ] V x (5.6) 4 cot şeklide verilir (Eğrifes vd., 999b) ve süper potasiyel B W cot olarak seçilebilir. Deklem (.) i seçile süper potasiyel içi çözülmesiyle, ve B sabitleri ile bu sabitlere bağlı ola taba durumu eerji özdeğeri elde edilebilir.

74 53 8 mv m, 4 B V, () m B V V E 4. Sabitler yerie yazılırsa; içi eerji özdeğeri, () 8 /6 8 : mv m V mv m V E (5.7) olarak buluur. Tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğerlerii bulabilmek içi seçile süper potasiyel SWKB I itegralide yerie yazılır ve ( ) y x cot değişke döüşümü yapılır. Bu durumda a ve b döüm oktaları; () E B y ± deklemii köklerie eşit olur. ( ) b a I, 4 tablo itegrali (bkz. Ek.) kullaılarak, orijial sistem içi eerji özdeğer spektrumu; () m B B m E (5.8) olarak buluur. Bu değere deklem (5.7) ile verile taba durumu eerji özdeğeri de ekleir ve sabitler yerie yazılırsa; deforme iperbolik

75 54 Kratzer Bezeri potasiyel içi tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğer spektrumu elde edilir. ) ( 8 6 ) ( 8 mv m V mv m V E. (5.9) Taba durumua karşılık gele özfoksiyo ise N içi deklem (.7) kullaılarak; ( ) ( ) [ ] Ψ x mv V m x ec x mv () exp cos (5.3) şeklide buluur. 5.3 ( ) ( ) ( ) x D x C x V cos ta Potasiyelii Çözümü Bu potasiyel (Büyükkılıç vd., 997) içi süper potasiyel ( ) ( ) x x W ta olarak seçilebilir. Taba durumu eerji özdeğeri deklem (.) de () ( ) 8 md D m C m E (5.3) olarak buluur.

76 Tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğerlerii bulabilmek içi seçile süper potasiyel ( ) 55 SWKB I itegralide yerie yazılır ve y ta x değişke döüşümü yapılır. Bu durumda a ve b döüm oktaları; y ± () E deklemii köklerie eşit olur. I ( a, b) 4 tablo itegrali (bkz. Ek.) kullaılarak, orijial sistem içi eerji özdeğer spektrumu şu şekilde elde edilir. b () m dy E y : y a π m I 4 ( a, b) π () E. (5.3) m m Bu değere deklem (5.3) deki taba durumu eerji özdeğeri de ekleir ve sabiti yerie yazılırsa; bu potasiyel içi tüm bağlı durumlara ait eerji özdeğer spektrumu elde edilir. ( D) 8mC ( D) 8mC md E. (5.33) m Taba durumua karşılık gele özfoksiyo ise N olmak üzere deklem (.7) de;

77 56 ( C D) 8m () ( ) [ ( )] Ψ x x sec (5.34) olarak buluur.

78 57 6. SONUÇ Süpersimetri, fiziği birçok alaıa uygulaa ve doğada bilie er parçacığı, süpersimetrik bir parteri olduğuu savua oldukça ilgi çekici bir koudur. Daa öce, e düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşuluu WKB yaklaşımıa göre terci edilebilir olduğu ve bu koşul ile tüm şekil ivaryat potasiyelleri tam özdeğer spektrumlarıa ulaşılabileceği öe sürülmüştü (Kare, 4). Bu tezde, bazı şekil ivaryat potasiyelleri özdeğerleri SWKB yaklaşım yötemi ile esapladı. Referas değerler ile yapıla karsılaştırmalar soucuda, SWKB yötemi ile elde edile souçları doğruluğu gösterildi. yrıca SWKB yaklaşım yötemi seçile bazı deforme potasiyeller içi deedi ve elde edile souçları gerçek değerlerle birebir uyuştuğu görüldü. Diğer yötemlerle oldukça uzu işlemler souda çözülebile bu potasiyeller içi SWKB yaklaşım yötemii doğru olduğu soucua varıldı.

79 58 KYNKLR DİZİNİ Cooper, F., Kare,. d Sukatme, U.P., 995, Supersymmetry ad Quatum Mecaics, Pysics Reports , p 9. Griffits, J.D., 995, Itroductio to Quatum Mecaics, Pretice- Hall, pp Ladau, L.D. ad Lifsitz, E.M., 977, Quatum Mecaics, No Relativistic Teory, Pergamo Oxford, pp rai,., 99, Exactly Solvable Supersymmetric Quatum Mecaics, J. Mat. al. ppl. 58, 63 Büyükkılıç, F., Eğrifes, H. ad Demira, D., 997, Solutio of te Scrödiger Euatio for Two Differet Molecular Potetials by Nikiforov-Uvarov Metod, Teor. Cem. cc. 98:9 96. Comtet,., Badrauk,. ad Campbell, D. K., 985, Exactess of Semiclassical Boud State Eergies for Supersymmetric Quatum Mecaics, Pys. Lett. B5, 59. Cooper, F., Kare,. d Sukatme, U.P., 994, Supersymmetry ad Quatum Mecaics, arxiv:ep-t/9459v, pp 5-6, p 9. Cooper, F., Kare,. d Sukatme, U.P.,, Supersymmetry i Quatum Mecaics, World Scietific, Sigapore.

80 59 KYNKLR DİZİNİ (devam) Dutt, R., Kare,. d Sukatme, U.P., 988, Supersymmetry, Sape Ivariace ad Exactly Solvable Potetials, m. J. Pys. 56(), pp Dutt, R., Kare,. d Sukatme, U.P., 99, Supersymmetryispired WKB pproximatio i Quatum Mecaics, m. J. Pys. 59(8). Eğrifes, H., Demira, D. ad Büyükkılıç, F., 999a, Exact Solutios of te Scrödiger Euatio for Two Deformed Hyperbolic Molecular Potetials, Pysica Scripta. Vol. 6, Eğrifes, H., Demira, D. ad Büyükkılıç, F., 999b, Polyomial Solutios of te Scrödiger Euatio for te Deformed Hyperbolic Potetials by Nikiforov-Uvarov Metod, Pysica Scripta. Vol. 59, Eğrifes, H., Demira, D. ad Büyükkılıç, F.,, Exact Solutios of te Scrödiger Euatio for te Deformed Hyperbolic Potetial Well ad te Deformed Four-parameter Expoetial Type Potetial, Pysics Letters Gedestei, L., 983, Derivatio of Exact Spectra of te Scrödiger Euatio by Meas of Supersymmetry, JETP Lett. 38, 356.

81 6 KYNKLR DİZİNİ (devam) Hrüska, M., Keug, W.Y. ad Sukatme, U., 996, ccuracy of Semiclassical Metods for Sape Ivariat Potetials, arxiv:uatp/963v. Kare,., 4, Supersymmetry i Quatum Mecaics, arxiv:matp/493v. Lee, C., 999, Supersymmetric Quatum Mecaics, Reed College pp 5-9, 3-3 Özer, O., 3, Supersymmetric Quatum Mecaics ad Its pplicatio i Pysics, Egieerig Pysics, Uiversity of Gaziatep, pp 7-. Ramod, P., 97, Dual Teory for Free Fermios, Pys. Rev., D3, 45 Wellma, T., 3, Itroductio to Supersymmetry i Quatum Mecaical System, udergradpages /teses/ SeiorTesisWellma.pdf. Witte, E., 98, Dyamical Breakig of Supersymmetry, Nucl. Pys. B88, 53

82 6 EKLER Ek. SWKB ile esaplaa şekil ivaryat potasiyeller içi alıa referas değerler Potasiyeli dı: W (Kare,4): ( ) E (Kare, 4): ( ) Ψ (Dutt, 988): Pöscl-Teller cot( r) B cos ec( r) ( ) m ( B) [ si( r) ] m B [ cos( r) ] Scarf I trigoometrik ta Bsec ( ) m ( B ) [ cos ] m B [ si ] Scarf II iperbolik ta B sec ( ) [ sec ] m m exp Bta (si ) Rose Morse II Hiperbolik ta B / ( x) ( ) [ sec ] B / B /( ) exp m m B x Çizelge Ek.: Şekil ivaryat potasiyellere karşılık gele süper potasiyel değerleri ile m içi esaplaa eerji özdeğerleri (Kare, 4) ve bu potasiyelleri taba durumu dalga foksiyoları (Dutt, 988)

83 6 Ek. İtegral Tablosu E düşük mertebeli SWKB kuatumlama koşulu kullaılarak, eerji özdeğerlerii esaplamasıda karşılaşıla itegraller aşağıdaki tablo itegralleri kullaılarak çözülebilir. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) b a b a b a b a b a b a b a y b a y y dy b a I b a b a y b a y y dy b a I ab b a y b a y y dy b a I ab b a y b a y y dy b a I a b y b a y dy b a I,,,, 8, 5 4 / 3 π π π π π π π Burada a ve b döüm oktaları olup, a<b olmak üzere gerçel sayılardır (Hrüska et al., 996).

84 63 Ek 3. Deforme Hiperbolik Potasiyeller si > reel bir parametre olmak üzere; e x e x, cos si ta, cos sec x x e e, cos şeklide verile iperbolik foksiyolar kullaılarak, deforme iperbolik potasiyeller olarak adladırıla ve içi stadart potasiyellere döüşe yei bir potasiyel sııfı taımlamıştır (rai, 99). Bu potasiyelleri eerji özdurumlarıı geellikle parametresie bağlı olması beklemektedir. cak bazı deforme potasiyeller içi bulua eerji özdeğerleri bu parametrede bağımsız olarak elde edilir. Bu durumu sağlaya potasiyeller şekil ivaryat potasiyellerdir. Yai parametresi ile bu potasiyelleri şekilleri değişmez kalır (Eğrifes vd., 999b). deforme değiştirilmiş Rose Morse potasiyeli ve deforme iperbolik Kratzer bezeri potasiyel şekil ivaryat potasiyellere örek gösterilebilir. Geel iperbolik foksiyolar içi bilie tüm bağıtılar, deforme iperbolik foksiyolar içi düzeleebilir: cos si ta sec d dx si, cos d cos si. dx

85 64 ÖZGEÇMİŞ 983 yılıda Tekirdağ, Çorlu da doğdu. İlkokulu, Marmaracık Köyü İlköğretim okuluda, ortaokulu, Çorlu Cumuriyet Ortaokuluda okudu. 997 yılları arasıda, yabacı dil ağırlıklı Çorlu Ticaret Borsası Süper Lise side ortaöğretimii tamamladıkta sora, yılıda Ege Üiversitesi, Fe Fakültesi, Fizik bölümüü kazadı. öğretim yılıda İgilizce azırlık eğitimi aldı. 5 6 öğretim yılı baar döemide Fizik bölümüü ikicilikle bitirdi ve ayı yıl Ege Üiversitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, Matematiksel Fizik bilim dalıda yüksek lisas eğitimie başladı.