Erkan İlik YÜKSEK LİSANS TEZİ. Fizik Anabilim Dalı

Transkript

1 Geelleştirilmiş Bir Bose Gazı Modelii Bazı İstatistik Mekaiksel Özelliklerii İcelemesi Erka İlik YÜKSEK LİSANS TEZİ Fizik Aabilim Dalı Hazira 03

2 A Ivestigatio o Some Statistical Mechaical Properties of a Geeralized Bose Gas Model Erka Ilik MASTER OF SCIENCE THESIS Departmet of Physics Jue 03

3 Geelleştirilmiş Bir Bose Gazı Modelii Bazı İstatistik Mekaiksel Özelliklerii İcelemesi Erka İlik Eskişehir Osmagazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Lisasüstü Yöetmeliği Uyarıca Fizik Aabilim Dalı Yüksek Eerji ve Plazma Fiziği Bilim Dalıda YÜKSEK LİSANS TEZİ Olarak Hazırlamıştır Daışma: Prof. Dr. Abdullah ALĞIN Hazira 03

4 ONAY Fizik Aabilim Dalı Yüksek Lisas öğrecisi Erka İlik i YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı Geelleştirilmiş Bir Bose Gazı Modelii Bazı İstatistik Mekaiksel Özelliklerii İcelemesi başlıklı bu çalışma, jürimizce lisasüstü yöetmeliği ilgili maddeleri uyarıca değerledirilerek kabul edilmiştir. Daışma : Prof. Dr. Abdullah ALĞIN İkici Daışma : -

5 v ÖZET Bu çalışmada öcelikle kuatum özdeş parçacık sistemleride bozoları geel kuatum mekaiksel özellikleri ele alıdı. Özel olarak, bir-boyutlu stadart bozo salııcıları sistemii taımlaya operatör bağıtıları ve sistemi Hamiltoiyei iceledi. Daha sora Bose sistemlerii istatistiksel dağılım foksiyouu asıl elde edilebileceği araştırıldı. İkici olarak, ideal Bose gazıı geel istatistik mekaiksel özellikleri iceledi. Özellikle ideal Bose gazıı hal deklemi, öz ısısı, etropisi gibi foksiyolarıı düşük ve yüksek sıcaklıklarda değişimlerie yoğulaşıldı. Burada stadart Bose sistemleride, Bose-Eistei yoğulaşmasıı hagi koşullarda gerçekleşebileceği teorik olarak araştırıldı. Üçücü olarak, bu çalışmaı orijial kısmıı oluştura ve Bose sistemlerie de bir örek uygulama olabilecek geelleştirilmiş bir bozo gazı modeli ele alıdı. Tamm- Dacoff (TD) bozo gazı modeli olarak adladırıla bu sistemi taımlaya bazı kuatum mekaiksel özellikler iceleerek, modeli bazı istatistik mekaiksel yöleri üzeride çalışıldı. Özel olarak, bu geelleştirilmiş bozo gazı modelii deformasyo parametresii sistemi geelleştirilmiş dağılım foksiyou, iç eerjisi, etropisi gibi foksiyolarıa etkileri araştırıldı. Ayrıca bu yolla, sistemi geelleştirilmiş Bose- Eistei foksiyoları ( g ( z, q)) elde edilerek, 0 z ve q bölgeleride bu foksiyoları değişimleri iceledi. Bu bağlamda elde edile öemli souçlarda birisi, düşük sıcaklıklarda sistemi etropisii deformasyo parametresi q arttıkça azalış göstermesidir. So olarak, elde edile diğer souçları yaı sıra TD-bozo gazı modelie uygulama alaı teşkil edebilecek fiziksel problemlerde bazıları tartışıldı. Aahtar Kelimeler: Bozo, Bose sistemleri, Bose-Eistei dağılımı, deforme Bose gazı modeli, deforme bozolar, kuatum simetrileri, kuatum istatistiği, istatistiksel termodiamik.

6 vi SUMMARY I this study, geeral quatum mechaical properties of bosos which are oe of the quatum idetical particle systems are primarily studied. I particular, the operator relatios ad the Hamiltoia of the oe-dimesioal stadard boso oscillators system are examied. How oe ca obtai the statistical distributio fuctio of Bose systems is the ivestigated. Secodly, geeral statistical mechaical properties of a ideal Bose gas are reviewed. Especially, for low ad high temperatures, it is focused o variatios of some fuctios of a ideal Bose gas such as the equatio of state, the specific heat ad the etropy. Hece, i the stadard Bose systems, the coditios uder which the Bose- Eistei codesatio would ocur are theoretically ivestigated. Thirdly, a geeralized Bose gas model called Tamm-Dacoff (TD) boso gas costitutig both a origial part of this study ad a example for applicatios of Bose systems is cosidered. Some statistical mechaical aspects of this system are studied by meas of some quatum mechaical properties of the model. I particular, effects of the deformatio parameter q o some fuctios of this geeralized boso gas model such as the geeralized distributio fuctio, the iteral eergy ad the etropy are ivestigated. I this way, variatios of these fuctios i the itervals 0 z ad q are also examied. I this regard, oe of the importat results obtaied i this study is that for low temperatures, the etropy of the system decreases whe the deformatio parameter q is icreased. Fially, i additio to other obtaied results i this study, some physical problems which may provide applicatio fields for the TDboso gas model are discussed. Keywords: Boso, Bose systems, Bose-Eistei distributio, deformed Bose gas model, deformed bosos, quatum symmetries, quatum statistics, statistical thermodyamics.

7 vii TEŞEKKÜR Gerek lisas gerekse yüksek lisas öğreimim süresice; çalışkalığı ve dürüstlüğü ile örek ola, öğretmeyi seve, öğüt ve tavsiyeleriyle yol göstere, daışma hocam, Prof. Dr. Abdullah ALĞIN a göstermiş olduğu sabır, alayış ve yardımlarıda dolayı teşekkürlerimi suarım. Ders ve tez aşamam boyuca Nükleer Fizik Araştırma Laboratuarı da sağladıkları saki ve güzel çalışma ortamı içi değerli hocam Prof. Dr. Emel ALĞIN a teşekkürü bir borç bilirim. Yüksek lisas ders ve tez aşamamda kulladığım programlarda yardımcı ola Yrd. Doç. Dr. Dursu IRK ve Arş. Gör. Celal AŞICI ya ayrı ayrı teşekkür ederim. Yüksek lisas eğitimim süresice maevi açıda destek ve yardımlarıı esirgemeye Doç Dr. Ceyda Sibel KILIÇ (Akara Üiversitesi), Arş. Gör. Dr. Gökha KILIÇ ve Arş. Gör. Dr. U. Gökha İŞSEVER e teşekkür ederim. Yüksek lisas tez aşaması araştırmalarım sırasıdaki yardımlarıda dolayı Mustafa ŞENAY, M. Berki DÜNDAR, Egi ÖZAYDIN ve Buse ÖZEN e teşekkür ederim. Eğitim ve öğretim hayatımı her döemide yaımda ola, maddi ve maevi desteklerii hiçbir zama esirgemeye aileme teşekkürü bir borç bilirim.

8 viii İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET... v SUMMARY... vi TEŞEKKÜR... vii ŞEKİLLER DİZİNİ... x SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... xi. GİRİŞ.... BOSE SİSTEMLERİNİN GENEL KUANTUM MEKANİKSEL ÖZELLİKLERİ Özdeş Parçacıklar Simetrik ve atisimetrik dalga foksiyoları Etkileşmeye iki parçacıklı sistemler Bir-Boyutlu Stadart Bozo Salııcıları Sistemi Bose Sistemlerii Dağılım Foksiyou İDEAL BOSE GAZININ TERMO-İSTATİSTİKSEL ÖZELLİKLERİ İdeal Bose Gazıı Geel Termo-İstatistiksel Özellikleri Yüksek sıcaklıklarda ideal Bose gazıı davraışı Düşük sıcaklıklarda ideal Bose gazıı davraışı Bose-Eistei Yoğulaşması GENELLEŞTİRİLMİŞ BİR BOSE GAZI MODELİNİN BAZI İSTATİSTİK MEKANİKSEL ÖZELLİKLERİ TD-Bozo Gazı Modeli TD-Bozo Gazı Modelii Bazı İstatistik Mekaiksel Özellikleri SONUÇ VE TARTIŞMA... 4 KAYNAKLAR DİZİNİ... 45

9 ix İÇİNDEKİLER DİZİNİ (devam) Sayfa EKLER... 5 EK-. Stadart (x) Bose-Eistei dağılım foksiyouu Fortra yazılımı. EK-. Stadart g g 3 / ( z) Bose-Eistei foksiyouu Fortra yazılımı. EK-3. Stadart g g 5 / ( z) Bose-Eistei foksiyouu Fortra yazılımı. EK-4. Geelleştirilmiş (, q) Bose-Eistei dağılım foksiyouu Fortra yazılımı. EK-5. Geelleştirilmiş g g3/ ( z, q) foksiyouu Fortra yazılımı. EK-6. Geelleştirilmiş g g5 / ( z, q) foksiyouu Fortra yazılımı. q 3 EK-7. Geelleştirilmiş ( S / k V ) foksiyouu deformasyo parametresi q ya göre değişimii vere Fortra yazılımı. B

10 x ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. â ve â operatörlerii özfoksiyolarıa etkilerii göstere Sayfa basit bir diyagram Stadart (x) Bose-Eistei dağılım foksiyou (x ( )) Stadart g g (z) foksiyolarıı fugasiteye göre değişim grafiği ( V / N ) parametresii bir foksiyou olarak ideal Bose gazıı fugasite grafiği T / T ) i bir foksiyou olarak ormal faz ( N e / N ) ve yoğu ( c faz ( N 0 / N ) kesirlerii değişim grafiği T / T ) i foksiyou olarak ideal Bose gazıı öz ısı grafiği... 6 ( c 4. Geelleştirilmiş (, q) Bose-Eistei dağılım foksiyouu 0 3 ve q 0 aralıkları içi grafiği Geelleştirilmiş g g3 / ( z, q) Bose-Eistei foksiyouu 0 z ve q 0 aralıkları içi grafiği Geelleştirilmiş g g5 / ( z, q) Bose-Eistei foksiyouu 0 z ve q 0 aralıkları içi grafiği Düşük sıcaklıklarda geelleştirilmiş ( S / k V) etropi q foksiyou deformasyo parametresi q ya göre değişim grafiği B

11 xi SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama h h / m k B p P S T T c Plack sabiti Kütle Boltzma sabiti Mometum Basıç Etropi Sıcaklık Kritik sıcaklık U V z İç eerji Hacim Fugasite Kimyasal patasiyel / k B T Termal dalgaboyu Açısal hız kuatum durumudaki özfoksiyo Eerji özdeğerleri N Toplam parçacık sayısı Q N ( V, T ) Kaoik bölüşüm foksiyou Z ( z, V, T) Büyük kaoik bölüşüm foksiyou N 0 N e C V E Ĥ Taba durumudaki parçacık sayısı Uyarılmış durumdaki parçacık sayısı Öz ısı Toplam eerji Hamilto operatörü

12 xii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ (devam) Simgeler â Açıklama Bozoik yok etme operatörü â Nˆ Bozoik yaratma operatörü Bozoik sayı operatörü g (z) Stadart Bose-Eistei foksiyoları â ~ â ~ q Geelleştirilmiş bozoik yok etme operatörü Geelleştirilmiş bozoik yaratma operatörü Reel bir deformasyo parametresi [N ˆ ] Geelleştirilmiş bozoik sayı operatörü g ( z, q) Geelleştirilmiş Bose-Eistei foksiyoları q S Geelleştirilmiş etropi foksiyou Kısaltmalar Açıklama TD Tamm-Dacoff

13 BÖLÜM GİRİŞ Evrede varola tüm fiziksel olaylar, 9. yüzyıla kadar klasik fiziği ögördüğü yasa ve kavramlarla açıklamaya çalışılmıştır. Makroskopik fiziksel sistemler içi, Newto u hareket yasaları mekaik olayları, Maxwell deklemleri ise elektrik ve optik olaylarıı açıklamasıda kullaılmıştır. 0. yüzyılı başlarıda yapıla çalışmalar soucuda klasik fiziği yaıtlayamadığı soruları cevapları kuatum teorisi deile yei bir teori ile icelemeye başlamış, makroskopik sistemlerde olduğu gibi mikroskopik sistemleri icelemeleride de başarılı souçlar elde edilmiştir (Griffiths, 995; Apaydı, 004 a; Karaoğlu, 008; Zettili, 009). Mikroskopik fiziksel sistemler, temel olarak kuatum özdeş parçacıklarda fermiyolar ve bozolar olarak iki sııfta iceleirler. Fermiyolar birimleride yarım tamsayı spilere sahip olup, Fermi-Dirac istatistiği ile iceleirler. Proto, ötro ve elektrolar fermiyolara örek olarak verilebilir. Öte yada, bozolar birimleride tamsayı spilere sahip olup, Bose-Eistei istatistiği ile iceleirler. Fotolar, foolar ve parçacık fiziğii stadart modelide yer ala kuvvet taşıyıcıları (W +, W - ve Z 0 gibi) bozolara verilebilecek öreklerdedir. Gücel olarak çalışıla Bose sistemlerii oluştura fiziksel uygulamalar içeriside; etkileşimsiz, zayıf ya da güçlü etkileşimli sistemleri gerek kuatum mekaiksel gerekse termo-istatistiksel icelemelerie rastlamak mümküdür (Corgii ad Sakovich, 999, 00; Walser, et al., 999; Kirso, 000; Jackeli ad Raiger, 00; Shimizu ad Miyadera, 00; Güay, 00; Ketterle, 00; Rombouts, et al., 00; Schmidth ad Schack, 00; Carusotto ad Casti, 003; Sitko, 003; Ya, 003; Zoido, 003; Crisa ad Grosu, 005; Blakie, et al., 007; Ford ad O Coell, 007; Combescot ad Betbeder-Matibet, 008; Dede, 008; Geroth, et al., 008; Moseley, et al., 008; Kuzemsky, 009; Deeey ad O Leary, 0; Dupuis ad Raco, 0; Li, et al., 0; Mulli ad Sakhel, 0; Shi-Jie, et al., 0). Yie stadart bozolar yerie deforme bozo sistemleri göz öüe alıarak, doğada çok parçacık kuatum etkileşmeleri sergileye karmaşık sistemleri davraışlarıı aaliz edilmeside, yei kuatum simetrili modeller de geliştirilmiştir (Marti-Delgado, 99;

14 Johal ad Gupta, 998; Ubriaco, 998; Lavago ad Narayaa Swamy, 000, 00; Márkus ad Gambár, 00; Chag ad Che, 00; Shu, et al., 00; Ou ad Che, 003; Devire, 005; Yukalov, 006; Camacho ad Macías, 007; Zeg, et al., 0, 0; Gavrilik ad Rebesh, 007, 0; Şeay, 0). Bu tez çalışmasıı ikici bölümüde, Bose sistemlerii çok geel bazı kuatum mekaiksel özellikleri ele alıacaktır. Bose sistemlerii kuatum mekaiksel icelemeleride, öcelikle N tae özdeş kuatum parçacığı oluşturduğu sistemleri simetrileştirme özellikleri iceleecektir (Griffiths, 995; Apaydı, 004 a; Karaoğlu, 008, 0; Zettili, 009). Bu sayede fermiyoları atisimetrik, bozoları ise simetrik dalga foksiyolarıa sahip oldukları gösterilecektir. Daha sora, bir-boyutlu stadart bozo salııcıları sistemii taımlaya operatör bağıtıları ve sistemi Hamiltoiyei iceleecektir (Merzbacher, 970; Sakurai, 994; Tag, 005; Atkis ad Friedma, 008; Zettili, 009). So olarak, Bose sistemlerii büyük kaoik kümede büyük bölüşüm foksiyou ve Bose-Eistei dağılım foksiyou elde edilecektir. Tezi üçücü bölümüde, ideal Bose gazıı termo-istatistiksel özellikleri iceleecektir (Greier, et al., 995; Pathria, 996; Apaydı, 004 b; Karaoğlu, 0). Bu icelemeler içi ilk olarak, ideal Bose gazıı geel termo-istatistiksel eşitlikleride bazıları elde edilerek, yüksek ve düşük sıcaklıklardaki davraışı detaylı bir biçimde ele alıacaktır. Düşük sıcaklıklardaki icelemeler sırasıda ideal Bose gazıı yapısıı bir soucu olarak ortaya çıka Bose-Eistei yoğulaşması olayıı hem teorik hem de bazı deeysel souçları üzeride kısaca durulacaktır. Tezi orijial kısmı ola dördücü bölümde, geelleştirilmiş bir Bose gazı modeli ele alıacaktır. Bu modele Tamm-Dacoff (TD) bozo gazı modeli adı verilmiştir (Odaka, et al., 99; Chaturvedi, et al., 993). TD-bozo gazı modelii taımlaya kuatum mekaiksel özellikler aa hatlarıyla iceleerek, modeli bazı istatistik mekaiksel özellikleri elde edilmeye çalışılacaktır. Özel olarak TD-bozo gazı modelii düşük sıcaklıklarda geelleştirilmiş etropi foksiyou üzeride yoğulaşılacaktır. Buula birlikte, deformasyo parametresi q u sistemi basıcı, iç eerjisi gibi bazı öemli istatistik mekaiksel özelliklerie olası etkileri üzeride araştırmalar yapılacaktır.

15 3 Tezi so bölümüde ise dördücü bölümde icelee model Bose gazı yardımıyla elde edile souçlar tartışılacak ve modeli muhtemel uygulama alaları üzeride durulacaktır.

16 4 BÖLÜM BOSE SİSTEMLERİNİN GENEL KUANTUM MEKANİKSEL ÖZELLİKLERİ Bose sistemlerii geel kuatum mekaiksel özelliklerii iceleeceği bu bölümde, öcelikle özdeş parçacıklar kousu ele alıacaktır. Birbirleri ile etkileşmeye çok sayıda özdeş parçacığı oluşturduğu sistemlerle ilgili kuatum mekaiksel özellikler ile simetrileştirme ilkesi kouları iceleecektir. Özel bir uygulama olarak, iki özdeş parçacıklı bir kuatum sistemii sahip olabileceği dalga foksiyouu özellikleri iceleecektir. So olarak, Bose sistemlerii büyük bölüşüm foksiyou, dağılım foksiyou gibi öemli kuatum istatistiksel özellikleri ele alıacaktır... Özdeş Parçacıklar İki özdeş parçacığı tüm yapısal özellikleri (kütle, elektrik yükü, spi, ) ayı ise bu iki parçacık özdeştir. Başka bir deyişle, hiçbir deeysel yötemle ya da fiziksel bir ölçümle ayırt edilebilmeleri mümkü değildir (Karaoğlu, 008). Burada özellikle kuatum özdeş parçacık sistemleri ele alıacaktır. Özdeş ola çok sayıda parçacığı oluşturduğu bir sistem göz öüe alıarak, sistemi oluştura parçacıkları dalga foksiyolarıı yapısı iceleecektir.... Simetrik ve atisimetrik dalga foksiyoları N tae parçacıkta oluşa bir sistem içi, sistemi iteleye dalga foksiyou, (,,...,,..., N ) N (.) dir. Burada χ, her bir parçacığı koumuu ve spiii, α N ler ise parçacıkları buluabileceği kuatum durumlarıı temsil etmektedirler (Karaoğlu, 0). Öte yada deeysel olarak gözlee büyüklük, olasılık yoğuluğudur:,..., (,,..., ) N N (.)

17 5 Kuatum mekaiğide parçacıkları ayırt edilemez oluşu şöyle ifade edilir (Karaoğlu, 0): Herhagi iki parçacık tüm özellikleriyle (koum+spi birlikte) yer değiştirdiğide, bu olasılık yoğuluğu değişmemelidir. Yai,,..., (...,,...,,...),..., (...,,...,,...) N i j N j i (.3) koşuluu sağlaabilmesi içi (..., i,..., j,...) a,..., (..., j,...,,...) (.4),..., N N i olmalıdır. (.3) ve (.4) eşitlikleride yararlaarak parçacıkları yer değiştirmeleri altıda aşağıdaki souçlara ulaşılır: a ve de a (.5) a olacaktır. Her iki durum içi (.5) eşitliği şu alama gelmektedir: Parçacıkları yer değiştirmesi sırasıda, sistemi iteleye dalga foksiyou ya ayı kalır ya da işaret değiştirir (Karaoğlu, 0). O halde, (..., i,..., j,...),..., (...,,...,,..., N N j i (..., i,..., j,...),..., (...,,...,,..., N N j i,...),...) (.6) (.7) olmak üzere (.6) eşitliğideki dalga foksiyolarıa simetrik, (.7) eşitliğideki dalga foksiyolarıa ise atisimetrik dalga foksiyou adı verilir. 940 yılıda Pauli, görelilik teorisie dayaarak spi ile simetri arasıdaki ilişkiyi buldu. Bua göre simetrileştirme ilkesi (Griffiths, 995; Apaydı, 004 a; Karaoğlu, 008, 0; Zettili, 009): (a) Spileri i tamsayı katları ola parçacıklar simetrik dalga foksiyolarıa sahip olup, bozolar olarak adladırılırlar. Öreği pio, foto, gravito gibi parçacıklar bozo sııfıdadırlar.

18 6 (b) Spileri i yarım tamsayı katları ola parçacıklar atisimetrik dalga foksiyolarıa sahip olup, fermiyolar olarak adladırılırlar. Öreği elektro, proto, ötro gibi parçacıklar fermiyo sııfıdadırlar. Burada belirtile simetrileştirme presibii somut souçlarıı özel olarak, iki özdeş parçacıklı sistem içi icelemek mümküdür.... Etkileşmeye iki parçacıklı sistemler İki parçacıklı, etkileşmeye bir kuatum sistemi ele alıırsa, sistemi iteleye zamada bağımsız Schrödiger deklemi, m ( r, r ) m ( r, r ) U( r, r ) ( r, r ) E ( r, r ) (.8) şeklidedir (Apaydı, 004 a). Parçacıklar arasıda etkileşme olmadığı içi, her bir parçacık birbiride bağımsız olarak davraır. O halde sistemi toplam potasiyel eerjisi U r, r ), iki parçacığı potasiyel eerjilerii toplamıdır: ( U( r, r ) U( r ) U( r ) (.9) sistemi iteleye dalga foksiyou da ( r, r ) ( r ) ( r ) (.0) dir. Burada ( r ) ve ( r ) sırasıyla, koumları r ve r ola parçacıkları dalga foksiyolarıdır. Eğer birici parçacığı r ) ve ikici parçacığı r ) kuatum durumlarıda buludukları varsayılırsa, a ( b ( I ( r, r ) a( r ) b( r ) (.) buluur (Griffiths, 995; Apaydı, 004 a). Parçacıklar kedi aralarıda yer değiştirirlerse,

19 7 II ( r, r ) a( r ) b( r ) (.) olacaktır. Parçacıklar özdeş (ayı zamada m m ), yai birbiride ayırt edilemeye parçacıklar olduğu içi hagi parçacığı hagi kuatum durumuda olduğu biliemez. Ölçülebile bir fiziksel iceliği temsil ede olasılık yoğuluğu, parçacıkları yer değiştirmeside etkilemeyeceği içi (.) ve (.) eşitlikleri icelee kuatum sistemii kabul edilebilir özfoksiyoları olamazlar (Apaydı, 004 a). içi oları, Öte yada, hem hem de I II, Schrödiger deklemii çözümleri oldukları S I II (.3) A I II (.4) ifadeleri de ayı Schrödiger deklemii çözümleridir (Apaydı, 004 a). Buradaki S, bozoları temsil ede simetrik dalga foksiyouu, A ise fermiyoları temsil ede atisimetrik dalga foksiyouu göstermektedir. (.3) ve (.4) eşitlikleri S a ( r ) b( r ) a( r ) b( r ) (.5) A a ( r ) b( r ) a( r ) b( r ) (.6) olarak elde edilebilir (Apaydı, 004 a). (.5) ve (.6) eşitliklerideki parçacıklar tekrar yer değiştirecek olurlarsa, S a ( r ) b( r ) a( r ) b( r ) (.7) ve

20 8 A a ( r ) b( r ) a( r ) b( r ) (.8) elde edilir. (.7) ve (.8) eşitlikleride görüleceği üzere, değiştirmeside etkilemezke, değiştirmiştir (Apaydı, 004 a). S içi olasılık yoğuluğu A S parçacıkları yer parçacıkları yer değiştirmesi soucuda işaret ve A dalga foksiyolarıı olasılık yoğuluklarıa bakılacak olursa, S P ( r, r ) S ( Ψ S ) * ( Ψ S ) (.9) dir. Parçacıklar kedi aralarıda yer değiştirdiğide S değişmeyeceği içi, P ( r, r ) S ( Ψ S * ) ( Ψ S ) (.0) olur. Yai olasılık yoğuluğu değişmez. O halde, S özdeş iki parçacıklı bir kuatum sistemii kabul edilebilir bir dalga foksiyoudur. Yukarıdaki işlem A içi de yapılırsa, özdeş iki parçacıklı kuatum sistemii kabul edilebilir bir dalga foksiyou olabileceği görülebilir (Apaydı, 004 a). Kuatum özdeş parçacıklar sistemleri ola bozo ve fermiyolar içi ormalize edilmiş özfoksiyolar, yukarıdakilere bezer özelliklere sahiptirler. Bu tez çalışmasıda özel olarak Bose sistemleri ele alıacağıda aşağıda stadart bozoları diğer kuatum özellikleride bazıları kısaca ele alıacaktır.

21 9.. Bir-Boyutlu Stadart Bozo Salııcıları Sistemi Bir-boyutlu stadart bozo salııcıları sistemii taımlaya kuatum mekaiksel operatör bağıtıları, [ a ˆ, aˆ ] (.) [ a ˆ, aˆ] [ aˆ, aˆ ] 0 (.) ile ifade edilirler (Merzbacher, 970; Sakurai, 994; Tag, 005; Atkis ad Friedma, 008; Zettili, 009). Bu sistemi Nˆ ile verile bozoik sayı operatörü, ˆ (.3) N aˆ aˆ ile taımlaır. Sayı operatörüü â ve â operatörleri ile ilişkisi [ Nˆ, aˆ ] aˆ [ Nˆ, aˆ ] aˆ (.4) bağıtılarıyla verilir. Sayı operatörüü herhagi bir özfoksiyoua etkisi Nˆ (.5) şeklidedir. Sayı operatörüü a ˆ ) ve a ˆ ) dalga foksiyoları üzerie etkisi iceleirse, ( ( Nˆ ( aˆ ) aˆ aˆ aˆ aˆ ( Nˆ ) ( aa ˆ ˆ ) aˆ aˆ ( ) aˆ ( aˆ aˆ ) ( )(ˆ a ) (.6) elde edilir (Atkis ad Friedma, 008). Yai, ˆ ˆ a (.7) a (.8)

22 0 olduğu gözleebilir. Bu özellikte dolayı, â operatörü alçaltma ya da yok etme operatörü olarak adladırılır. Bezer şekilde Nˆ sayı operatörü a ˆ ) dalga foksiyou üzerie etki ederse, ( N ˆ ( aˆ ) ( )(ˆ a ) (.9) soucua ulaşılır (Atkis ad Friedma, 008). Dolayısıyla a ˆ (.30) a ˆ (.3) elde edilir. Bu yüzde â operatörü yükseltme ya da yaratma operatörü olarak adladırılır. Bu operatörleri özfoksiyolarıa etkileri aşağıdaki gibi verilebilecek basit şematik bir eerji diyagramı üzeride de gösterilebilir: Şekil. â ve â operatörlerii diyagram. özfoksiyolarıa etkilerii göstere basit şematik bir Burada görüldüğü gibi â ve â operatörleri kuatum fiziğideki diğer operatörlerde farklı, ilgiç fiziksel özelliklere sahiptirler. Öyle ki bu operatörler, bir salııcıyı belirli bir eerji düzeyide heme bir alttakie ya da heme bir üstteki kuatum düzeyie çıkarabilmektedirler. Bu yüzde bir kuatum düzeyide miktarı kadar bir eerjiyi oluşturabile â ya yaratma operatörü, miktarları kadarlık bir

23 eerjiyi yok edebile â operatörüe de yok etme operatörü adı verilir. Souç olarak bular, bir titreşimi heme altıdaki veya üstüdeki komşu bir eerji seviyesie geçirebilme özelliklerie sahiptirler. (.), (.), (.4) eşitlikleride yararlaarak bir-boyutlu stadart bozo salııcıları sistemii Hamiltoiyei, H ˆ Nˆ (.3) şeklidedir (Merzbacher, 970; Sakurai, 994; Tag, 005; Atkis ad Friedma, 008; Zettili, 009). Burada sistemi Hamiltoiyeii özfoksiyolarıa etkisi de Ĥ (.33) şeklidedir. (.33) eşitliği, bir-boyutlu bozo salııcıları sistemii zamada bağımsız Schrödiger deklemi olup, eerji özdeğerleri ise,, 0,,, 3, (.34) ile verilir. Ayrıca (.33) eşitliğideki özfoksiyoları, Kesim (.) de verile özelliklere sahip simetrik dalga foksiyolarıdadır. (.34) ile verile eerji spektrumu; altta sıırlı, yarı-sosuz, ardışık düzeyler arası eşit aralıklı fiziksel özelliklere sahip bir özdeğer spektrumudur. Bu souç, eerjii 0 şeklide sürekli her değeri alabileceğii ögöre klasik yaklaşımı aksie (Dereli ve Verçi, 009), (.34) eşitliği bir-boyutlu stadart bozo salııcılarıı kuatumlu eerji durumlarıa sahip olduğuu gösterir. Yukarıda öz ve kısa olarak bir-boyutlu bozo salııcıları sistemii kuatumsal özellikleri ele alımıştır. Ayrıca bozo salııcıları sistemii üç-boyutlu hale geelleştirilmesi de mümküdür (Karaoğlu, 008; Zettili, 009). Geel olarak bozo salııcıları sistemii kuatumsal özellikleri; katıhal fiziğide kristal örgü titreşimleride, atom ve molekül fiziğide molekülleri titreşim tayflarıı icelemeside ve modellemeside sıkça başvurula ve kullaıla temel araçlardadır.

24 Dolayısıyla bozo salııcıları sistemleri, parçacık fiziği de dahil olmak üzere fiziği pek çok araştırma alaıda uygulamalar bulabile çok öemli fiziksel koularda biridir. Tezi buda soraki kısımlarıda bozo salııcıları sistemlerii diğer kuatum istatistiksel özellikleri yoğu olarak iceleecektir..3. Bose Sistemlerii Dağılım Foksiyou İdeal Bose gazı içi kaoik kümede bölüşüm foksiyou Q N ( V, T) e (.35) olarak verilir (Pathria, 996; Abers, 004). Burada / k B T, k B Boltzma sabiti ve sistemi eerji özdeğerlerii temsil etmektedir. Ayrıca toplam eerji E ile toplam parçacık sayısı da N ile verilir. (.34) eşitliği verile koşullara göre yazıldığıda, Q ( V, T) g{ } e (.36) N olur. Burada g { } istatistiksel ağırlık faktörü olup, ideal Bose gazı içi g { } dir (Pathria, 996). Öte yada, bir Bose sistemii büyük bölüşüm foksiyou Z ( z, V, T ) z Q ( V, T ) (.37) N 0 N N şeklide taımlaır (Pathria, 996). Burada z, ideal Bose gazıı fugasitesi olup, bir soraki bölümde detaylıca ele alıacaktır. (.37) eşitliği, (.36) da yararlaarak aşağıdaki formda hesaplaabilir:

25 3 Z ( z, V, T) (.38) ( ze ) ile büyük kaoik kümede bölüşüm foksiyou elde edilir. Burada lz ( z, V, T) l( ze ) (.39) olur. Bose sistemleride dağılım foksiyouu elde edebilmek içi, N olduğuda sistemi Bose-Eistei dağılım foksiyou lz (.40) bağıtısıda elde edilebilir (Pathria, 996). Burada ortalama parçacık sayısı z e (.4) olarak buluur (Pathria, 996). Burada μ kimyasal potasiyel olmak üzere fugasite z e olduğuda, ( ) e (.4) yazılabilir. x ( ) alıırsa Bose sistemlerii dağılım foksiyouu x parametresie göre değişimi solu sıcaklıklar içi Şekil. deki gibi olur (Grafik içi gerekli ola Fortra yazılımı Ek- dedir). (.4) de verile stadart Bose-Eistei dağılım foksiyou egatif olamayacağı içi, 0 koşulu sağlamalıdır. Dolayısıyla tüm 0 kuatum durumları içi sistemi kimyasal potasiyeli hiçbir zama pozitif olamaz. Yai stadart Bose sistemleride 0 olmalıdır. Bu gerçekte ve de (.4) de yararlaarak fugasitei stadart Bose sistemleride 0 ile aralığıda değerler alabileceği görülür.

26 4 Şekil. de, x 0 a yaklaştığı durumlarda Bose-Eistei dağılım foksiyou sosuza gitmektedir. Bu durumu soucuda, bozoik bir sistemi kimyasal potasiyelii daima e düşük tek parçacıklı durumu eerjiside daha küçük olacağı alaşılmaktadır. O halde, Bose parçacıklarıı oluşturduğu sistemlerde her zama koşuluu sağlaacağı açıktır (Greier, et al., 995). Şekil. Stadart (x) Bose-Eistei dağılım foksiyou (x ( )). Yukarıda bazı temel kuatum mekaiksel özellikleri icelee Bose sistemlerie örek olarak, özdeş bağımsız parçacıkları oluşturduğu fotolar topluluğu verilebilir. Öreği, T sıcaklığıda bulua bir oyuğu duvarları ile ısıl degede ola elektromayetik ışıım da bir foto gazı olarak düşüülebilir (Apaydı, 004 b; Dereli ve Verçi, 009). Foto gazıı diğer bir uygulaması ola kara cisim ışıması problemi Bose sistemlerii icelemeside öemli bir rol oyar. Kara cisim ışıması problemi çalışmaları sayeside, foto gazıı kuatum mekaiksel yöleride bazıları ortaya çıkarılabilmiştir. Foto gazıı eerjisii kuatumlu (ya da kesikli) olduğu ilk kez M. Plack tarafıda teorik olarak ortaya komuştur (Karaoğlu, 008). Böylece daha öce

27 5 klasik fizik yötemlerle (öreği Rayleigh-Jeas ve Wie tarafıda yapıla icelemelerde olduğu gibi) kara cisim ışıması problemi çözümüdeki eksiklikler, Plack ı hipotezi soucuda deeylerle uyumlu bir şekilde açıklaabilmiştir. Kara cisim ışımasıda, bir oyuk içerisideki elektromayetik ala salıımlarıı kuatum mekaiksel icelemeleride bir model olarak kuatum harmoik salııcı sistemleri de kullaılmıştır. Diğer yada, kristal örgü yapılarıda tek tek atomları dege koumları civarıdaki titreşim hareketleri de kuatum harmoik salııcı modeli ile iceleebile diğer Bose sistemlerie öreklerdedir (Karaoğlu, 008, 0; Dereli ve Verçi, 009). Yukarıdaki bilgiler ışığıda üçücü bölümde, ideal Bose gazıı diğer termoistatistiksel özellikleri detaylı olarak ele alıacaktır.

28 6 BÖLÜM 3 İDEAL BOSE GAZININ TERMO-İSTATİSTİKSEL ÖZELLİKLERİ Klasik istatistiksel yaklaşım, birçok fiziksel sistemi makroskopik yapısıı iyi bir yaklaşıklıkla verebilmektedir. Fakat maddei kuatum yapısıı öe çıktığı birçok fiziksel olay, klasik istatistik mekaikle açıklaamamaktadır (Karaoğlu, 0). Kuatum sistemleri içi, ilgileile parçacıkları daha öceki bölümde belirtildiği gibi ayırt edilemez oluşu ve eerjii kuatumlaması sebebiyle Bose sistemleri içi yapılacak icelemelerde kuatum istatistik mekaiği kullaılmaktadır. Bu sebeple Kesim (.3) de yapıla icelemelerde büyük kaoik küme taımlamış ve Bose sistemleri içi gerekli bazı temel kuatum mekaiksel özellikler icelemiştir. Bu bölümde, ideal bir Bose gazıı oluşturduğu sistemi, öcelikle geel termoistatistiksel özellikleri iceleecek, sorasıda ise yüksek ve düşük sıcaklıklarda ideal Bose gazıı davraışı ile ilgili termo-istatistiksel eşitlikler elde edilecektir. So olarak, ideal Bose gazıı düşük sıcaklıklarda ortaya çıka ilgiç bir özelliği olarak Bose- Eistei yoğulaşması olayı kısaca ele alıacaktır. 3.. İdeal Bose Gazıı Geel Termo-İstatistiksel Özellikleri İkici bölümde (.38) eşitliği ile verile büyük kaoik kümede bölüşüm foksiyou ve Bose sistemlerii dağılım foksiyou ((.4) eşitliği) kullaılırsa, PV k T B lz( z, V, T) l( ze ) (3.) N z e (3.) olur (Pathria, 996). N toplam parçacık sayısıı ve V hacmii çok büyük olduğu hallerde tek-parçacık kuatum durumlarıı spektrumu eredeyse sürekli hale gelir. Bu yüzde (3.) ve (3.) eşitliklerideki toplam, itegral ile yer değiştirebilir (Huag, 987;

29 7 Greier, et al., 995; Pathria, 996). Bu döüşümü sağlaabilmesi içi ile d arasıda bulua durum yoğuluğu, 3 3/ / a( ) d ( V / h )(m) d (3.3) dir (Pathria, 996). (3.3) eşitliği, (3.) ve (3.) eşitlikleride kullaıldığıda toplam itegrale döüştürülebilir. Acak bu eşitliklerdeki toplamı itegrale döüştürülmesi sırasıda 0 taba eerji düzeyideki ağırlığı istemede sıfır alıyoruz. Bu yalıştır çükü kuatum mekaiksel bu düzeltmede, sistemdeki dejeere olmamış tek parçacıklı durumu istatistiksel ağırlığıı alıması gerekmektedir. O halde, (3.) ve (3.) eşitlikleri (3.3) eşitliği kullaılarak itegrale döüştürülmede öce, bu temel durumu toplam içeriside çıkarılması gerekir (Pathria, 996). Böylece, P k T B 3/ / (m) l( ze ) d l( z) 3 h V 0 (3.4) ve N V h 3 (m) 3/ 0 z / e d V z ( z) (3.5) elde edilir. (3.4) ve (3.5) eşitliklerii itegral dışıda kala kısımları 0 taba eerji düzeyide gele katkılardır. Bu katkıları öemi hakkıda daha fazla açıklama yapılacak olursa, z olduğuda ilgileile durumlar klasik limitteki icelemelerde çok farklı olmayacaktır. Yai bu terimleri her biri ( / N ) i yaıda katkı sağlamayacağıda ihmal edilebilirler. Acak z artarak maksimum değeri ola e yaklaştığı varsayılırsa, (3.5) eşitliğide bulua z /( z) V terimi ( N 0 / V ) ye ( N 0, 0 taba durumuda bulua parçacık sayısı) özdeş olacaktır ve ( N 0 / V ), ( N / V) kesri yaıda öemli hale gelecektir. 0 taba eerji durumu üzeride verile parçacıkları makroskopik kesrideki bu birikim icelemeyi Bose-Eistei yoğulaşması olayıa götürür (Pathria, 996). (3.4) ve (3.5) eşitlikleride

30 8 ( p / m) x değişke değiştirmesi ile birlikte kısmi itegrasyo uygulaırsa, gerekli ara işlemlerde sora P k T B (mk h B 3 T ) 3/ 0 x / l( ze x ) dx 3 g 5 / ( z) (3.6) elde edilebilir (Pathria, 996). Bir ot olarak ifade edilmelidir ki, (3.6) ı elde edilişide z / ( z) N0 ve böylece z N 0 / ( N0 ) olduğuda dolayı (3.4) eşitliğideki { V l( z)} terimi V l( N )} e eşit olacaktır. (3.4) eşitliğide { 0 taba durumu eerjiside gele terim itegrale herhagi bir katkı sağlamayacağı içi (3.6) eşitliğide z i tüm değerleride ihmal edilebilir ve eşitlikte tamame atılabilir. Diğer tarafta bezer döüşümler (3.5) eşitliğide de düşüülürse, gerekli ara işlemlerde sora N 3/ N0 (mk BT ) x dx g3/ ( z) 3 x 3 V h z e 0 / (3.7) formu elde edilebilir (Pathria, 996). (3.6) ve (3.7) eşitliklerideki itegralleri çözümleride elde edile, g 5/ ( z) ve g 3/ ( z) olarak verile stadart Bose-Eistei foksiyoları g ( z) Γ ( ) 0 x dx x z e l z l l, 0 z (3.8) şeklide taımlaırlar (Pathria, 996). Özel olarak 5/ ve 3/ alıırsa, 5 / ( z) l z l l g (3.9) 5/ 3 / ( z) l l z l g (3.0) 3/

31 9 olurlar. Stadart g ( ) ve g ( ) 5/ z 3/ z foksiyolarıı z ile değişimi Şekil 3. dedir (Ek- ve Ek-3 de bu foksiyoları grafiği ile ilgili Fortra yazılımı verilmiştir). g ( ) 5/ z ve g ( ) ; 0 z değerleride değişebile, pozitif değerlere sahip ola ve z i artışıa 3/ z göre mooto olarak arta foksiyolardır (Huag, 987; Pathria, 996). Şekil 3. deki grafiğe göre, z i çok küçük değerleride g z) g ( ) olmaktadır. Ayrıca geel olarak g z) g ( ) olduğu da görülmektedir. 3/( 5/ z 5/( 3/ z Şekil 3. Stadart g g (z) foksiyolarıı fugasiteye göre değişimi. Ayrıca Şekil 3. de de görüldüğü gibi ideal Bose gazı içi fugasite 0 z aralığıdadır (Greier, et al., 995; Pathria, 996). Bose sistemleride fugasitei 3 alabileceği e büyük değer dir. Aşağıda z i ( V / N ) ü bir foksiyou olarak değişimi gösterilmektedir. Burada / h / ( mkb T ) ile taımlı olup, termal 3 dalgaboyu olarak adladırılırlar (Pathria, 996). Şekil 3. de z, ( V / N ) ile ilişkili olduğuda, daha basit olarak 3 / T ile değişimii taımlaması da olasıdır.

32 0 0 ( N 3 V / ) (.6) aralığıda ike, c 0 T T ve z olduğu Şekil 3. de 3 görülmektedir. ( V / N ) olduğuda, g 3/ ( z) ve böylece z dir. Bu koşullar altıda g 3 / ( z) z olduğu da icelemeler soucuda görülebilir. Böylece bu bölgede klasik durumla uyumlu olarak 3 z ( V / N ) dir (Pathria, 996). 3 Şekil 3. ( V / N ) parametresii bir foksiyou olarak ideal Bose gazıı fugasitesi (Pathria, 996). Diğer yada ideal Bose gazı içi iç eerji, (3.) ve (3.6) eşitlikleri yardımıyla U l 3 V Z kbt g5/ ( ) 3 z z, V (3.) şeklide buluur (Pathria, 996). Dolayısıyla (3.6) eşitliğide tekrar yararlaılırsa basıç ile iç eerji arasıda P 3 U V (3.) ilişkisii olduğu görülebilir. Böylece yukarıda, göreli olmaya hızlarda Bose parçacıklarıı oluşturduğu ideal varsayıla bir Bose gazıı ortalama parçacık sayısıı, basıcıı, iç eerjisii vere ifadeler icelemiştir.

33 3... Yüksek sıcaklıklarda ideal Bose gazıı davraışı Yukarıda verile Şekil 3. de de gözleebileceği üzere, kimyasal potasiyel ve 3 sistemi sıcaklığıa bağlı ola fugasitei ( V / N ) ile değişimi icelediğide yüksek sıcaklıklarda giderek azala değerlere sahip olduğu ortaya çıkar. Yai fiziksel olarak z değerleride, sistemi yüksek sıcaklıklardaki termo-istatistiksel özellikleri ele alıacağı alaşılır. Bu gerçekte hareketle z içi (3.7) eşitliğide N, N i 0 yaıda ihmal edilebilir. Burada (3.7) eşitliği, sistemi hal deklemii belirlemek üzere (3.6) eşitliği ile beraber kullaılabilir. Yüksek sıcaklıklarda Bose gazıı oluşturduğu sistemi durum ya da hal deklemii virial açılımı, PV Nk T B l a l 3 l (3.3) formudadır (Greier, et al., 995; Pathria, 996). Burada V / N öz hacim, a l ler ise virial katsayılarıdır. Bua göre ilk dört virial katsayısı, a a a a (3.4) şeklidedir (Pathria, 996). Bu katsayılarda biricisi klasik durumları yai ideal gaz soucuu vermektedir. İkici ve daha soraki tüm virial katsayıları ise ideal gaz yasasıa düzeltme terimleri olarak yorumlaabilir. Öreği ideal gaz yasasıa ilk düzeltme terimi ola a katsayısı fiziksel olarak sistemdeki parçacıklar arasıda birici mertebede etkileşme terimi olarak göz öüe alıır. Bu bakımlarda virial katsayılarıı hesaplaması sistemi fiziksel yapısıı alamada çok öemli ipuçları verir. Bezer şekilde sabit hacimdeki öz ısı,

34 CV Nk B Nk B U T 3 5 N, V l 0 3l a l 3 l (3.5) dir (Pathria, 996). T a gittiğide (ya da 0 a gittiğide) hem basıç hem de gazı öz ısısı sırasıyla N V k T 3 Nk B ve B ola klasik değerlerie yaklaşırlar. Yüksek sıcaklıklarda sabit hacimdeki öz ısıyı elde edebilmek içi (3.7), (3.) ve (3.5) eşitlikleri kullaılırsa CV Nk B T 3 T g g 5/ 3/ ( z) ( z) (3.6) elde edilir (Greier, et al., 995; Pathria, 996). Bu eşitliği çözümüde Bose-Eistei foksiyoları içi taımlı g3/ ( z) g/ ( z) z z (3.7) tekrarlama bağıtısı (Huag, 987; Pathria, 996) kullaıldığıda, CV Nk B 5 4 g g 5/ 3/ ( z) ( z) 9 4 g g 3/ / ( z) ( z) (3.8) elde edilir. Yüksek sıcaklıklarda so olarak ideal Bose gazıı etropisi iceleirse U TS PV N (3.9) termodiamik bağıtısıda ve (3.), etropisi, (3.3) eşitlikleride yararlaılırsa sistemi S NkB 5 g g 5/ 3/ ( z) ( z) l z (3.0)

35 3 şeklide elde edilir (Apaydı, 004 b; Pathria, 996) Düşük sıcaklıklarda ideal Bose gazıı davraışı İdeal olduğu varsayıla bir Bose gazıda, sistemi sıcaklığı düştüğüde ( 3 / ) değeri artacağıda (3.3) ve (3.5) eşitlikleri kullaılamaz. Bu durumda uyarılmış eerji düzeyideki parçacık sayısı N e, (3.7) eşitliğide yararlaarak N 3/ ( mkbt ) V g3/ ( z) (3.) e 3 h olarak elde edilir (Pathria, 996). (3.0) eşitliğide verile g 3 / ( z) taımıda yararlaarak z alıırsa, 3 g 3/ ( ) / 3/ 3 (3.) olur ki bu da, ( 3/ ) Riema zeta foksiyoua dektir (Pathria, 996). Ayı zamada Şekil 3. de de çıkarılabilecek ola bu souç, ideal olduğu varsayıla bir Bose gazıda fugasite (z) i daima birde küçük değerler aldığıı ve g 3 / ( z) i de z de üstte sıırlı olduğuu, solu bir değere yakısadığıı gösterir. Dolayısıyla fiziksel olarak sistemde z i bir ve bire yakı değerleride düşük sıcaklıklar göz öüe alııyor demektir. Böylece aşağıda verile (3.3) ve (3.5) eşitlikleride de alaşılacağı üzere ( N / N) kesri büyüyeceğide parçacıklar arası ortalama uzaklık 0 görece giderek azalacaktır. Sistem bu oktada itibare yoğu faza doğru (yai Bose- Eistei yoğulaşmasıa doğru) ilerleyecektir. Öte yada (3.) eşitliğide z alıırsa, N ( V mk h B 3 T) 3/ 3 e (3.3) olur. Bu durumda taba eerji düzeyideki parçacık sayısı, N N N ) eşitliği gereği ( 0 e

36 4 N 0 N V ( mk h B 3 T) 3/ 3 (3.4) olarak elde edilir. (3.7) ve (3.) eşitlikleride T /3 h N T (3.5) c mk V (3/ ) B olduğu görülebilir (Pathria, 996). Burada T c, kritik sıcaklık olarak adladırılır. İdeal Bose gazı içi T c kritik sıcaklığı öemlidir. T Tc olduğu durumlarda, ideal Bose gazı sistemi iki farklı fazı bir karışımı olarak düşüülebilir (Pathria, 996): (i) Normal faz; uyarılmış durumlar ( 0) üzerie dağılmış N e { 3/ N ( T / ) } parçacıklarıı içere bir fazdır. T c (ii) Yoğu faz; taba durumuda ( 0) birike N { N N } 0 e parçacıklarıı içere bir fazdır. Şekil 3.3 de, birbirlerii bütüleyici ( N e / N) ve ( N / N) kesirlerii T / T ) ile 0 değişimi gösterilmektedir. ( c T Tc içi, sadece ormal fazı olduğu, taba durumudaki parçacık sayısıı toplam parçacık sayısı N ye kıyasla ihmal edilebileceği görülebilir. Açık bir biçimde, bu durum T oktasıda tekildir. T Tc ye doğru giderke yoğu fazı ifade ede kesir aşağıdaki gibi sıfırlaır (Pathria, 996): Tc N T 3 Tc T 0 (3.6) N T T c 3/ c Ayrıca Şekil 3. de de verildiği üzere, z durumua karşılık gele sıcaklığa baze Bose sıcaklığı ya da kritik sıcaklık ( T c ) adları da verilir. Sistem bu ve buda daha küçük sıcaklıklarda yoğulaşma fazıda kalacak demektir.

37 5 Şekil 3.3 T / T ) i bir foksiyou olarak ormal faz ( N e / N) ve yoğu faz ( N / N) 0 ( c kesirlerii değişimi (Burada ( N e / N ) kesri eğrisi ile verile ormal faz kesrii, ( N / N) ise eğrisi ile verile yoğu faz kesrii göstermektedir.) (Pathria, 996). 0 Öte yada, ideal Bose gazıı düşük sıcaklıklarda basıcıı belirleebilmesi içi (3.6) ve (3.5) eşitlikleri ile (5/ ) N N P( Tc ) k B Tc kb Tc (3.7) (3/ ) V V olarak elde edilir (Pathria, 996). kullaılarak İdeal Bose gazıı düşük sıcaklıklarda öz ısısı ise, (3.5) ve (3.7) eşitlikleri CV Nk B (3.8) dir ve burada öz ısıı 3 / T ile oratılı olduğu açıkça görülebilir (Pathria, 996). T T c olduğuda bu eşitlik (3.5) eşitliğide de yararlaarak CV ( T Nk B c ) 5 4 (5/ ) (3/ ).95 (3.9)

38 6 değerii almaktadır (Paathria, 996). (3.8) ve (3.8) de verile, sırasıyla yüksek ve düşük sıcaklıklardaki öz ısı ifadeleri birlikte düşüülürse, buları sıcaklıkla değişimleri Şekil 3.4 deki gibidir. T Tc durumuda öz ısı 3 / T ile oratılı olarak maksimum değerie kadar artış göstermekte, ola.95 değerii almaktadır. T T Tc kritik sıcaklığıa ulaştığıda maksimum değeri a gittiğide ise ideal bir gazı klasik öz ısı değerie yaklaşmaktadır (Greier, et al., 995). Ayrıca sıvı helyumu faz geçişlerii icelemeleri sırasıda C V f (T ) değişimii şeklide dolayı -geçişi taımlamış, bu geçişi meydaa geldiği sıcaklığa da souç da Şekil 3.4 e deeysel açıda bir katkı olarak algılaabilir. -oktası adı verilmiştir (Pathria, 996). Bu Şekil 3.4 T / T ) i foksiyou olarak ideal Bose gazıı öz ısısı (Pathria, 996). ( c So olarak düşük sıcaklıklarda sistemi etropisi (3.9) da da yararlaarak, S NkB 5 v 3 (5/ ) (3.30) şeklide ( 5/ ) Riema zeta foksiyoları ciside elde edilebilir (Pathria, 996).

39 7 3.. Bose-Eistei Yoğulaşması Bose sistemlerii sergilediği ilgiç istatistik mekaiksel olaylarda biri olarak Bose-Eistei yoğulaşması gösterilebilir. Bose-Eistei yoğulaşması olayıı temel fiziksel dayaakları ve Bose sistemlerii diğer bazı uygulamaları aşağıdaki gibi özetleebilir: Klasik istatistik mekaiği açıklamakta yetersiz kaldığı Bose-Eistei yoğulaşması olayıı kuatum istatistiksel açıda iceleyebilmek adıa, Kesim (.3) de elde edile (.4) eşitliği ile Kesim (3.) de elde edile (3.5) eşitlikleride yararlaılabilir. Burada ( ) e (3.3) ile verile stadart Bose-Eistei dağılım foksiyouda z (veya 0 ) alıırsa, (3.3) e elde edilir. Yie 0 durumuda (3.3) eşitliği (3.33) 0 e formuu alır. O halde (3.3) eşitliğide görüleceği üzere 0 eerjili taba durumu içi a gitmektedir. Dolayısıyla bozolar içi Pauli dışarlama ilkesii geçerli olmadığı açıktır. Yai herhagi bir eerji durumuda keyfi sayıda bozo buluabilir. Düşük sıcaklıklarda tutula bir bozo sistemii tüm parçacıklarıı ayı taba eerji durumuda buluma olasılıkları daha yüksektir (Dereli ve Verçi, 009). Bu durum fiziksel açıda yorumlaacak olursa, bozoları hep birlikte sıfır eerji ve mometumlu taba durumua ime eğilimleri var demektir. Bose-Eistei yoğulaşması olarak bilie bu olay, kuatumsal bir etkii makroskopik olarak gözleebileceği eder olaylarda biridir (Karaoğlu, 0). Diğer yada, Kesim (3.) de elde edile (3.) eşitliği, (3.5) eşitliğie döüştürülürke toplam parçacık sayısı

40 8 ( ) N (3.34) e e 0 e ( ) olarak düşüülmüştür. Bu eşitlikte de var ola ve (3.33) ile de verile ilk terim, taba durumudaki ortalama bozo sayısıı temsil etmektedir. O halde (3.5) eşitliği, tüm sıcaklıklar içi geçerlidir. Öte yada, Kesim (3..) de elde edile (3.6) eşitliği ele alıdığıda, T Tc durumuda taba eerji düzeyide bulua toplam parçacık sayısı N giderek artmakta ve T 0 olduğuda ise, tüm parçacıklar taba durumuda 0 bulumaktadırlar. Bu durum Şekil 3.4 de gideceği açıkça gösterilmiştir. T Tc durumuda eğrisi ile N 0 N ye Bose-Eistei yoğulaşması fikri, teorik olarak Bose istatistiğii atomik gazlara uygulaması ile Eistei tarafıda 95 yılıda ögörülmüştür (Helrich, 009). Acak Bose-Eistei yoğulaşmasıı deeysel olarak gözleebilmesi uzu zama almıştır. Öyle ki bu çalışmalarda e göze çarpa deeysel başarı, 87 Rb atomları üzerideki Bose-Eistei yoğulaşması araştırmalarıda ortaya komuştur (Basdevat ad Dalibard, 00; Schwabl, 006). Bu kou, güümüzde hale aktif olarak çalışılmaya devam edile, öemli kuatum istatistiksel olaylarda biridir. Bu bölümde icelee ideal Bose gazıı termo-istatistiksel foksiyoları, bir soraki bölümde iceleecek ola özel geelleştirilmiş bir Bose gazı modelii araştırılmasıda yardımcı olacaktır.

41 9 BÖLÜM 4 GENELLEŞTİRİLMİŞ BİR BOSE GAZI MODELİNİN BAZI İSTATİSTİK MEKANİKSEL ÖZELLİKLERİ Bu bölümde, Bose sistemlerii istatistik mekaiksel uygulamalarıa bir örek olarak, özel bir geelleştirilmiş Bose gazı modeli ele alıacaktır. Esase bu model, daha öce Kesim (.) de icelee stadart bozo salııcıları sistemii bir deformasyouda ibarettir. Burada söz kousu modeli taımlayıcı kuatum özellikleride başlayarak, bazı geel istatistik mekaiksel özellikleri modele özel deformasyo parametresi ciside iceleecektir. Modele ait geelleştirilmiş istatistiksel dağılım foksiyou çıkartılarak, V hacmide N tae deforme bozo parçacığıda oluşa sistemi basıcı, iç eerjisi, etropisi gibi bazı öemli istatistik mekaiksel özellikleri üzeride icelemeler yapılacaktır. So olarak, modeli düşük sıcaklıklar limitide geelleştirilmiş etropi foksiyouu davraışı iceleecektir. 4.. TD-Bozo Gazı Modeli Bir boyutlu Tamm-Dacoff (TD) bozo salııcıları modeli aşağıdaki kuatum cebirsel özelliklerle taımlaır (Odaka, et al., 99; Chaturvedi, et al., 993): ˆ~ ˆ~ ˆ ˆ~ ˆ~ N a a q a a q Hˆ (4.) [ Nˆ, a ˆ~ ] aˆ~ Nˆ, aˆ~ ] aˆ~ [ (4.) Burada â ~ ve â ~, modeli geelleştirilmiş bozoik yok etme ve yaratma operatörlerii temsil etmektedirler. cebirii merkezsel elemaıı göstermektedir. Nˆ bozoik sayı operatörüü, Hˆ de söz kousu operatör Öte yada q parametresi reel ve pozitif bir parametre olup bu tezde buda sora q ola bölgelerdeki değerleri alıacaktır. (4.) ve (4.) eşitlikleride özel olarak q limiti ele alıdığıda, stadart bozo salııcıları sistemie ait (.)-(.4) eşitliklerie ulaşılır. Böylece TD-bozo modelii, stadart bozo operatörlerii geelleştire bir yapıya sahip olduğu görülebilir. Literatürde çalışıla diğer geelleştirilmiş Bose gazı modelleri (Marti-

42 30 Delgado, 99; Johal ad Gupta, 998; Ubriaco, 998; Lavago ad Narayaa Swamy, 000, 00; Márkus ad Gambár, 00; Chag ad Che, 00; Shu, et al., 00; Ou ad Che, 003; Devire, 005; Yukalov, 006; Camacho ad Macías, 007; Algi ad Arsla, 008; Zeg, et al., 0, 0; Gavrilik ad Rebesh, 0; Şeay, 0) göz öüe alıdığıda, (4.) ve (4.) deki TD-bozo gazı modelii istatistik mekaiksel yöleriyle daha az çalışıldığı görülmektedir. İşte bu oktada hareketle bu tezi orijial kısmıı oluştura bu kesimde, modeli mümkü ola diğer bazı istatistik mekaiksel özelliklerii ortaya çıkarmak ve ideal Bose gazıda farklarıı bulmak amaçlamaktadır. (4.) ve (4.) eşitlikleride verile TD-bozo salııcıları modelii geelleştirilmiş bozoik sayı operatörü ˆ ˆ~ ˆ~ ˆ ˆ ˆ ( N ) a a [ N] N H q (4.3) ile taımlıdır (Odaka, et al., 99; Chaturvedi, et al., 993). Buu spektrumu da ( ) [ ] h q, 0,,,... (4.4) şeklidedir. Burada h, reel pozitif bir sabittir. Öte yada, TD-bozo salııcıları sistemii özel olarak Hamiltoiyei ile ilgileirse, sistemi H ˆ ( aˆ~ aˆ~ aˆ~ aˆ~ ) (4.5) şeklide Hamiltoiyei seçilebilir. Gerek bu Hamiltoiyei gerekse { a ˆ~, aˆ~, Nˆ, Hˆ } operatörlerii Fock uzayıdaki kuatum mekaiksel temsilleri,, h ortoormal özfoksiyolar olmak üzere aşağıdaki gibidir (Odaka, et al., 99; Chaturvedi, et al., 993; Algi ad Ilik, 03):

43 3 aˆ~ ( ), h hq, h a ˆ~ 0, h 0 (4.6) ˆ~ (4.7) a, h ( ) hq, h ˆ (4.8) H ˆ, h h, h N, h, h Hˆ, h, h h q [ ( q ) ], 0,,,... (4.9) Yukarıda (4.9) eşitliğide de görüleceği üzere TD-Bozo gazı modelii eerji spektrumu Kesim (.) de verile stadart bozoları eerji spektrumlarıda çok daha farklıdır. Özel olarak (4.6)-(4.9) eşitlikleride q limiti alıırsa, Kesim (.) de verile stadart bozo salııcıları sistemie karşılık gele operatör temsilleri elde edilebilir. TD-bozo salııcıları modeli içi bir başka öemli kuatum özelliği de, (4.9) eşitliğide limiti göz öüe alıırsa yüksek eerjilerde modeli aide sıfıra gide bir spektrum özelliği sergilemiş olmasıdır. Modeli (4.9) ile verile eerji spektrumu üzerie diğer bazı kuatum özellikler de daha öce çalışılmıştır (Gavrilik ad Rebesh, 007). (4.)-(4.9) eşitlikleriyle verile TD-bozo gazı modeli özellikle q bölgeside gerek ideal Bose gazıda gerekse literatürde çalışıla diğer geelleştirilmiş Bose gazı modelleride farklı kuatum istatistiksel özellikler sergilemektedir (Algi ad Ilik, 03). Ne var ki, istatistik mekaiksel olarak yukarıdaki TD-bozo salııcılarıı oluşturduğu geelleştirilmiş Bose gazı modeli tüm yöleriyle derilemesie çalışılmamıştır. Buda sora (4.)-(4.4) eşitlikleriyle taımlaa TD-bozo gazı modelii bazı öemli istatistik mekaiksel özellikleri elde edilecek ve bulua souçlar hem ideal Bose gazı hem de literatürdeki diğer geelleştirilmiş bozo gazı modelleriyle kıyaslaacaktır.

44 3 4.. TD-Bozo Gazı Modelii Bazı İstatistik Mekaiksel Özellikleri Bu kesimde TD-bozo gazı modelii istatistiksel dağılım foksiyouda başlayarak bazı geel istatistik mekaiksel foksiyoları, modele ait deformasyo parametresi ciside çıkarılacaktır. Böylece icelee Bose gazı modelie ait olası yei fiziksel souçlar bulumaya çalışılacaktır. Literatürde daha öce ayı modeli kısme de olsa bazı istatistik mekaiksel özellikleri icelemiştir (Gavrilik ad Rebesh, 0). Ne yazık ki modelle ilgili olarak dağılım foksiyou da dahil olmak üzere derilemesie, hem düşük hem de yüksek sıcaklıklarda termo-istatistiksel bakımda icelemeleri heüz yapılmamıştır. İşte bu tezde modelle ilgili bu açık oktalara bazı katkılar yapabilmek amaçlamaktadır. Buu içi öcelikle birbirleriyle etkileşmeye, (4.)-(4.4) bağıtılarıı sağlaya geelleştirilmiş bozo salııcılar sistemii Hamiltoiyeii Hˆ B i ( i ) Nˆ i (4.0) şeklide olduğuu kabul edilebilir (Algi ad Ilik, 03). Bu eşitlikte i. kuatum durumudaki parçacığı kietik eerjisi i dir. μ ise sistemi kimyasal potasiyelidir. Dikkat edilirse (4.0) eşitliğideki Hamiltoiye, modele ait (4.3) eşitliğide verile geelleştirilmiş sayı operatörüü formu edeiyle özüde, deforme bir Hamiltoiyedir. TD-bozo gazı modelii istatistiksel dağılım foksiyouu bulmak içi,, ile modeli geelleştirilmiş ortalama işgal sayısı gösterilirse i q [ Tr{ e Z ˆ B ˆ H B [ N ]} { ˆ~ ˆ~ i Tr e ai a } (4.) Z Hˆ i, q ] i bağıtısıda elde edilebilir (Lee ad Yu, 99; Tuszyski, et al., 99). Burada ˆ B H Z Tr ( e ) ile taımlıdır. (4.)-(4.4), (4.0), (4.) eşitlikleride verile ifadeler kullaılırsa TD-bozo gazı modelie ait geelleştirilmiş istatistiksel dağılım foksiyou aşağıdaki formda elde edilebilir (Algi ad Ilik, 03):

45 33 q (, q) (4.) e q Burada ( ) ile taımlı olup, i kuatum idisi kolaylık olsu diye göz öüe alımamıştır. (4.) eşitliği esase, TD-bozo gazı modelie ait geelleştirilmiş Bose- Eistei dağılım foksiyoudur. (4.) de özel olarak q limiti alıdığıda ideal Bose gazıı dağılım foksiyou elde edilebilir. Ne var ki bu tez çalışmasıda q bölgesideki değerleri göz öüe alıacaktır. Böylece (4.) eşitliği ile verile dağılım foksiyoua sahip model, gerek ideal Bose gazıda gerekse geelleştirilmiş diğer Bose gazı modelleride farklı istatistik mekaiksel özellikler ortaya koyacağı bekleebilir. Bu bağlamda, Şekil 4. de (4.) eşitliği ile verile geelleştirilmiş istatistiksel dağılım foksiyouu ve q parametrelerii foksiyou olarak değişimi gösterilmiştir (Grafik içi gerekli Fortra yazılımı Ek-4 ile verilmektedir).

46 34 Şekil 4. Geelleştirilmiş (, q) Bose-Eistei dağılım foksiyouu 0 3 ve q 0 aralığıda solu sıcaklıklar içi değişimi.

47 35 Öte yada (4.) eşitliğide yararlaarak, sistemi büyük bölüşüm foksiyouu logaritması l i Z l( q ze ) i (4.3) şeklide bir forma sahip olacağı buluabilir (Algi ad Ilik, 03). Bu bağıtıda yararlaarak TD-bozo gazı modelii diğer termo-istatistiksel özellikleri de çıkartılabilir. Öreği sistemi hal deklemi aşağıdaki formda elde edilebilir: P k T B 4 p p dpl( q ze m ) q 3 h 0 l( V z) (4.4) (4.4) eşitliğide sağda ikici terim ideal Bose gazı içi p 0 a karşılık gele özel bir terimdir. Bezer şekilde TD-bozo gazı modelii ( V / N) ifadesi, 4 h 3 q q p dp p V z q (4.5) 0 m z e q şeklide elde edilebilir. (4.4) ve (4.5) eşitlikleri gerekli ara işlemlerde sora aşağıdaki gibi yeide buluabilir (Algi ad Ilik, 03): P k T B g5/ ( z, q) l( q z) 3 V (4.6) 3 q g 3/ ( z, q) (4.7) V z q Eşitlik (4.6) ve (4.7) deki g 3/ ( z, q) ve g 5/ ( z, q) ile verile geelleştirilmiş Bose- Eistei foksiyoları,

48 36 l l ( q z) g 3/ ( z, q) (4.8) 3/ l l l ( q z) g 5/ ( z, q) (4.9) 5/ l ile taımlıdır (Algi ad Ilik, 03). Esase bu foksiyolar üçücü bölümde icelee ideal Bose gazıa ait stadart g (z) Bose-Eistei foksiyolarıı bir parametre ile geişletilmiş halleridir. Özel olarak q limiti alıdığıda eşitlik (3.9) ve (3.0) da verile stadart Bose-Eistei foksiyolarıa idirgeirler. Şekil 4. ve 4.3 de, (4.8) ve (4.9) da verile geelleştirilmiş Bose-Eistei foksiyolarıı z i bir foksiyou olarak q bölgesideki değerleri içi değişimleri verilmiştir (Grafikler içi gerekli Fortra yazılımları Ek-5 ve Ek-6 dadır).

49 37 Şekil 4. Geelleştirilmiş g g z, ) Bose-Eistei foksiyouu 0 z ve q 0 aralıklarıdaki değişimi. 3/ ( q