Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Transkript

1 CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A S Öza Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü/ SİVAS Received: 737, Accepted: 547 Özet: Bu çalışmada sıır oşuluda spetral parametreyi içere impulsive Sturm-Liouville sıır değer problemii spetral arateristileri icelemiş ve ters problem içi teli teoremi verilmiştir Aahtar Kelimeler: Ters problem, spetrum, diferasiyel ifade Direct ad Iverse Problems for Impulsive Sturm-Liouville Boudary Value Problem with Spectral Parameter Cotaied i Boudary Coditio Abstract: I this study, the spectral characteristics of impulsive Sturm-Liouville boudary value problem with spectral parameter cotaied i boudary coditio are ivestigated ad uiqueess theorem for iverse problem is give Key words: Iverse problem, spectrum, differetial epressio Giriş Aşağıdai sıır değer problemii göz öüe alalım: y" qy = λy, λ =, q L, () y ' = si a y cos a y' =, () 3

2 yd ( ) = α yd ( ) = y'( d ) α y'( d ), a d () diferasiyel delemii () sıır oşullarıı sağlaya çözümlerii araması problemi []-[3] çalışmalarıda da gösterildiği gibi b yarıçaplı üre içeriside ompat supportu bir homoje olmaya medyumu içi aşağıda verile üç boyutlu ters austi saçılma problemii çözümüde ortaya çımıştır u u =, s u = ep( i(, α)) u ( ); s u s limr iu = r r Orijial problemi parametrelerie bağlı ola, ()-() problemidei a parametresi ve qpotasiyeli şelidedir b q = BqB, a=, ξ= ( t ()) dt B ''( r) 5( '( r)) q( ξ) = B= ( t ()) dt 3 4( r ()) 6 ( r ()) r b Ayrıca daha öce sıır oşullarıda spetral parametrei lieer şeilde içerildiği durum [4]-[5] çalışmalarıda icelemiştir Diğer tarafta aralıta süresizliğe sahip sıır değer problemleri matemati, meai fizi ve jeofizi gibi bilim dallarıda sılıla arşımıza çıar Süresizliğe sahip olmaya diferasiyel operatörleri ters ve düz spetral problemleri []-[6] çalışmalarıda icelemiştir Süresizliği varlığı operatörleri icelemeside temel itelisel gelişmeler sağlamıştır Süresizliğe sahip sıır değer problemleri içi düz ve ters problemleri çeşitli formülasyoları [7]-[8] ve diğer çalışmalarda ele alımıştır ()-(3) problemii L ile gösterelim q = içi () delemii e (, ) =, e (, ) = i başlagıç oşullarıı ve (3) süresizli oşullarıı sağlaya çözümü aşağıdai gibidir: ep i, < < d e (, ) = α epi α epi( d ), d < < (3) Burada α = α, α = α α α dır 4

3 K L Kt L (,),, (,),, α K(, ) = () qtdt K (, ) = (, ) α K d K(,d ) = qtdt (), olma üzere, q olduğuda (4) it e (, ) = e (, ) K( te,) dt, K ( t,) = K( t,) K(, t) gösterimii varlığı R Kh Amirov [] tarafıda gösterilmiştir Ayrıca bu çalışmada, ϕ(, ) = e (, ) e ( ) () delemii ϕ( o, ) =, ϕ'( o, ) = başlagıç oşullarıı ve (3) süresizli oşullarıı sağlaya çözümü olma üzere, ϕ(, ) = ϕ (, ) K ( t,)cos tdt (5) şelide bir gösterimi mevcut olduğu ispatlamıştır Burada cos, < < d ϕ(, ) = α cos α cos( d ), d < < (6) dır Spetrumu Özellileri Bu bölümde L problemii spetrumu öğreilecetir L ile L problemide q = olduğu durumu belirtelim si λa ψ(, ) fosiyou () delemii ψ (, λ) =, ψ '(, λ) = cos λa başlagıç λ oşullarıı sağlaya çözümü olsu Lemma : si λa ψ(, λ) = ϕ(, λ) eşitliği her içi sağlaır ϕ (, λ ) λ 5

4 ψ λ = W(, ) = = W(, ) = (, ) ϕ(, λ) (, ) İspat: ( λ ) ϕψ ϕψ ϕ λ λ = ve ϕ (, λ ) olduğuda ψ(, λ ) = βϕ(, λ ) olur So eşitlite = yazılrsa β ψλ (, ) si λa = = elde edilir Bu ise ispatı tamamlar ϕ (, λ ) ϕ (, λ ) λ Lemma : L problemii özdeğerleri reel, ayrı ve basittir İspat: İl olara L problemii özdeğerlerii reel olduğuu gösterelim; Kabul edelim i, λ sayısı L problemii bir özdeğeri ve ϕ(, λ) bu özdeğere arşılı gele özfosiyou olsu Bu durumda q L (, ) olduğuda ϕ''(, λ) q ϕ(, λ) = λϕ(, λ) ϕ''(, λ) q ϕ(, λ) = λϕ(, λ) eşitlileri sağlaır Bu eşitlileri sırasıyla ϕ(, λ) ve ϕ(, λ ) ile çarpılıp taraf tarafa çıarılır ve (, ) aralığıda itegralleirse, d ϕ'(, λϕ ) (, λ) ϕ'(, λϕ ) (, λ) ϕ'(, λϕ ) (, λ) ϕ'(, λϕ ) (, λ) = ( λ λ) ϕ(, λϕ ) (, λ) d d elde edilir ϕ(, λ ) ϕ(, λ ) fosiyoları L problemii özfosiyoları olduğuda, () sıır oşulu ve (3) süresizli oşuluu sağlarlar Burada = ( λ λ) ϕ(, λϕ ) (, λ) d eşitliği elde edilir ϕ(, λ ) olduğuda, λ = λ olur L problemii arateristi fosiyou tam fosiyo olduğuda sıfırları ayrıtır Bu ise özdeğerleri ayrı olması soucuu verir Şimdi, özdeğerleri basit olduğuu gösterelim ψ ''(, λ) q ψ(, λ) = λψ(, λ) ϕ''(, λ ) q ϕ(, λ ) = λϕ(, λ ) eşitlileri sırasıyla (, ) ve (, ) itegralleirse, ϕ λ ψ λ ile çarpılıp taraf tarafa çıarılır ve ı, aralığıda 6

5 d [ ϕ'(, λ ) ψ(, λ) ψ '(, λϕ ) (, λ )] [ ϕ'(, λ ) ψ(, λ) ψ '(, λϕ ) (, λ )] d = ( λ λ) ψ(, λϕ ) (, λ) d so eşitlite ϕ(, λ ) fosiyouu L problemii bir özfosiyou olduğuu göz öüe alırsa ψ '(, λ) = ( λ λ) ψ(, λϕ ) (, λ) d elde edilir Dolayısıyla () de ( λ) = ( λλ ) ψ(, λϕ ) (, λ ) d olur So eşitlite λ λ ie limite geçerse si λ a = ( λ) ϕ (, λ) ϕ (, λ) λ d eşitliğii buluruz Burada ( λ ) olduğu açıtır Böylece Lemma i ispatı tamamlamış olur Teorem 3: L problemii özdeğerleri ve özfosiyoları içi ζ δ = λ = (7) s b ϕ = α α (8) (, ) cos cos d asimptoti ifadeleri geçerlidir Burada, ζ, s, δ, b, ayrıca, L problemii özdeğerlerii areölerii belirtmetedir ve ( ) = h, { h} şelidedir ( a) İspat: L problemii arateristi fosiyouu ( ) ile L problemiiii de ( ) gösterelim Bu durumda aşağıdai eşitlileri yazabiliriz: si a = ϕ(, ) cos aϕ' (, ) = α cos( a) α cos( d a) ( ) fosiyouda (5) ve (6) eşitlileri ullaılırsa; ile 7

6 = K(,d )si( a d ) K (,d )si( a d ) K (, )si ( a) K (, )si ( a ) K (,d )si( a d ) d d K(,d )si( a d ) K (,)cos t ( a t) dt (,)cos K t a t dt K(, t)cos ( a ) d (,)si ( ) d d d t dt K (,)si t a t dt K (,)si t ( a t) dt K t a t dt eşitliği buluur So eşitlite ısmi itegrasyo yapılırsa, = K(,d ) K(,d ) si( a d ) d K(, )si ( a) K t(,)si t ( a t) dt d t(,)si t(,)si K t at dt K t a t dt d d K t(,)si t at dt K (,)si t ( a t) d d K (,)si t a t dt K (,)si t ( a t) dt d d (,)si ( ) K t a t dt dt eşitliği elde edilir olara gösterelim Burada β G : = : =, =,,, { δ δ } G : = :, >, =,,, δ β δ << olaca şeilde δ seçilir [9] çalışmasıda gösterildiği gibi Gδ içi Cδ ep( Im ) dır 8

7 Diğer tarafta [4] de, i yeterice büyü değerleride G içi, ( ) Im lim e = e K d K d ( a d ) Im lim (, ) (, ) si d K(, )si ( a) K t(,)si t ( a t) dt d t(,)si t(,)si K t at dt K t a t dt d (,)si (,)si d K t(,)si t a t dt K (,)si t ( a t) dt d d K t at dt K t a t dt d d K (,)si t ( a t) dt = olduğuda, C < δ ep( Im ) eşitsizliğii elde ederiz Souç olara i yeterice büyü değerleride G içi, C < < < δ ep( Im ) C ep( Im ) δ elde edilir Rouche teoremide i yeterice büyü değerleride sıırladırdığı bölge içeriside, ( ) ile G çevresii = fosiyolarıı sıfırlarıı sayısı atlarıyla birlite ayıdır Yai bu fosiyolar () sayıda:,,, sıfırlarıa sahiptir δ yeterice üçü olduğuda ε = o() olma üzere = ε eşitliği geçerlidir sayıları arateristi fosiyouu sıfırları olduğuda, 9

8 = ε K(,d ) K(,d ) si( ε )( a d ) ε d (, )si ( ε)( ) (,)si t ε ε ( ε ) ( ε ) ( ε ) K a K t a t dt d t(,)si (,)si ε ε d t K t at dt K t a t d t(,)si (,)si ε ε d ( ε ) ( ε ) ( ε) (,)si ( ε )( ) ( ε ) ( ε ) K t at dt K t a t dt d (,)si (,)si ε ε d d K t at dt K t a t dt K t a t dt siüs tipli fosiyo olduğuda [] her içi ( ) şeilde γ δ > sayısı vardır [] çalışmasıda dolayı geçerlidir Diğer tarafta, olduğuda γδ dt olaca ( ) = h, h ( a) ( ) ( ) = α cos a α cos d a, ε = ε o( ε ) d { t(,)si ε t (,)si( ε) d d ε = K(,d ) K(,d ) si( )( ) ε a d o() ( ε) d K(, )si ε a Kt(,)si t ( ε)( a t) dt K t a t dt K t a t dt Kt(,) t si ε (,)si ( ε) d (,)si ε (,)si( ε) d d d a t dt K t a t dt K t a t dt K t a t dt K (,)si t ( ε)( at) dt (4) eşitliğide

9 ε buluur Burada ( )( a d ) ( )( a ) ( ε) o() α si si ε α ε δ = qtdt (), δ ζ δ ε,, = ζ δ olduğu elde edilir Dolayısıyla eşitliği ispatlamış olur ζ δ = λ =, ζ, δ Şimdi (8) asimptoti formülüü doğru olduğuu gösterelim, d K(,d )si ( d ) K (,)si t t tdt Kt( t,)cos tdt d ϕ(, ) = α cos α cos d K( t,)cos tdt K( t,)cos tdt d = α cos α cos d K(,d )si ( d ) K (, )si so eşitlite yerie yazarsa ve Burada, d = ε olduğuu göz öüe alırsa, = ( ) ( )( ) ( ε) d K d K d ( ε ) ( ε) ( ε ) ( ε) ( ε) ϕ(, ) α cos ε α cos ε d si (, ) (, ) si K (, ) K ( t,)si tdt O ( ε ) s b = α cos α cos ( d ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) t si si ( d ) s (, ) (, ) = K K d K(,d ) O( ε ) / / olup, sıırlı bir dizidir 3 Ters Problem Bu bölümde L problemii özdeğerleride yararlaara te şeilde belirleebileceği haıda bir teorem ispatlaaca

10 = (, ) ve =, olma üzere { } L L q a L L q a λ L problemii, λ ise L { } problemii özdeğer dizisi olsu Teorem 4: λ = ve (, ) (, ),, ise λ ϕλ = ϕλ L = L dır Yai, heme heme heryerde a= a ve q = q dır İspat: λ λ olduğuda i yeterice büyü değerleri içi, = doğrudur Burada a= a olduğu aşiardır = o() ( a) ( a ) eşitliği ( λ), λ'ı mertebede tam fosiyoudur Dolayısıyla Hadamard teoremide ( λ ) edi sıfırlarıyla te olara belirleebilir Burada λ λ = ise λ ( λ) çıar Şimdi aşağıdai eğrisel itegrali göz öüe alalım, Burada, C I : = (, ) (, ) (, ) N ϕ λ ϕ λ ψ λ ψ(, λ) dλ ( λ) N CN ( N ) = λ: λ = ( a ) F( λ): = ϕ(, λ) ϕ (, λ) ψ(, λ) ψ (, λ) ( λ) = olduğu olsu F( λ) ı utuplara sahip λ ı meromorf fosiyou olduğu açıtır Dolayısıyla, res( F( λ), λ ) (, ) (, ) (, ) = ϕ λ (, ) ϕ λ ψ λ ψ λ ( λ ) si λa = ϕ(, λ ) (, ) ϕ λ ( λ ) ϕλ (, ) λ Diğer tarafta, N i yeterice büyü değerleride I N olur Dolayısıyla, si λ a i (, ) ϕ λ (, ) ϕ λ = ( λ ) ϕλ (, ) λ elde edilir Burada delemi ile birlite göz öüe alıırsa λ = λ otalarıda basit ϕ(, λ ) = ϕ (, λ ), olduğu çıar So eşitli () diferasiyel q = q hhy olur Bu ise ispatı tamamlar

11 Kayalar [] R Kh Amirov, O Sturm-Liouville operators with discotiuity coditios iside a iterval, J Math Aal Appl 37 (6) [] G Borg, Eie umehrug der Sturm-Liouvillesche eigewertaufgabe, Acta Math 78 (946) -96 [3] B M Levita, IS Sargsya, Itroductio to Spectral Theory, Amer Math Soc Trasl Math Moogr, vol 39, Amer Math Soc, Providece, RI, 975 [4] V A Marcheo, Sturm-Liouville Operators ad Their Applicatios, Naua Duma, Kiev,!977 Eglish Trasl Birhäuser, Basel, 986 [5] B M Levita, Iverse Sturm-Liouville problems, Naua Moscow, 984 Eglish Trasl: VNU Sci Pres, Utrecht, 987 [6] J R Mclaughli, Aalytical methods for recoverig coefficiets i Differetial equatios from spectral data, SIAM rev 8 (986), 53-7 [7] D G Shepelsy, The iverse problem of recostructio of the medium s coductivity i a class of discotiuous ad icreasig fuctios, Adv Soviet Math 9 (994), 9-3 [8] O H Hald, Discotiuous iverse eigevalue problems, Comm Pure Appl Math 37 (984), [9] R Bellma, K Cooe, Differetial-Differece Equatios, Academic Press, New Yor, 963 [] B Ya Levi, Etire Fuctios, MGU, Moscow, 97 [] B F Jdaovich, Formula efor the zeros of Dirichlet polyomials ad quasi-polyomials, Dol Acad Nau SSSR, 35 (8) (96), [] L A Zhoritsaya ad V S Serov, İverse eigevalue problems for a sigular Sturm- Liouville operator o [,], Iverse Problems (994), [3] J McLaughli ad P Polyaov, O the uiqueess of a spherical symmetric speed of soud from trasmissio eigevalues, J Diff Eq 7(994),35{38 [4] C T Fulto, Two-poit boudary value problems with eigevalue parameter cotaied i the boudary coditios, Proc R Soc Ediburgh, A77 (977), [5] C T Fulto, Sigular eigevalue problems with eigevalue parameter cotaied i the boudary coditios, Proc R Soc Ediburgh, A87 (98), -34 3