BAĞINTI VE FONKSİYON

Transkript

1 BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı ikilidir. x ) sıralı üçlüdür. x e birici bileşe, x e ikici bileşe, x e üçücü bileşe,... x e. bileşe deir. ( Uyarı: ( x, x ) ile { x, x } farklıdır. Çükü ( x, x ) sıralı ikilidir. Sıraı öemi vardır. Fakat { x, x } kümedir. Kümede sıraı öemi yoktur. SIRALI N-LİLERİN EŞİTLİĞİ ( x, x, x,..., x ) ve ( y, y, y,..., y ) sıralı -lileri içi = x = y, x = y, x = y,..., x = y ( x, x, x,..., x ) ( y, y, y,..., y ) dir. sıralı ikililer içi; ( x, x ) = ( y, y ) x = y ve x = y dir. sıralı üçlüler içi; ( x, x, x ) ( y, y, y ) x = y, x = y, x = y = dir. Soru: ( x, x. ( 7,0) = ise x + y =? m Soru: ( x +, y, + ) = (0, x,7) ( x, y, m) =? İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI Taım: A ve B boş olmaya kümeleri içi x A ve y B olmak üzere bütü (, ) kümesie A ile B i kartezye çarpımı deir. A B biçimide gösterilir. Bua göre; Soru: A = { a, b, c}, {, } {(, ) : } A B = x y x A ve y B dir. x y ikililerii B = olduğua göre A B ve B A kümelerii elemalarıı yazarak belirtiiz. Soru: A = {,,} ise A A kümesii yazıız.

2 A KARTEZYEN ÇARPIMIN ŞEMASI VE GRAFİĞİ = { a, b}, B = {,,} ise A B = ( a, ),( a, ),( a, ),( b, ),( b, ),( b,).. A B a B b A B i Şeması a b A B i Grafiği A KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ. A =. A B ise A B B A. s( A) = a s( B) = b s( A B) = s( A). s( B) = a. b = s( B A) s( A A) = a. a = a 4. Birleşme Özelliği: ( A B) C = A ( B C) 5. Dağılma Özelliği: A (B C) = (A B) (A C) 6. Dağılma Özelliği: A (B C) = (A B) (A C) Soru: A B = ( a, ),( a, ),( b, ),( b,) C D ( a, ),( a, ),( c, ),( c,) D ( A C) i elema sayısı kaçtır? = olduğua göre, Soru: A =, B = {, }, C { a, b} = olduğua göre A B C kümesii yazıız. Soru: A (B C) = (A B) (A C) olduğuu gösteriiz.

3 Çözüm: ( x, A ( B C) x A y ( B C) Kartezye Çarpımı Taımı x A ( y B y C) Kesişimi taımı ( x A y B) ( x A y C) Kesişimde ( x, ( A B) ( x, ( A C) Kartezye Çarpımı Taımı ( x, ( A B) ( A C) Kesişimi Taımı O halde, A ( B C) = ( A B) ( A C) KOORDİNAT SİSTEMİ ANALİTİK DÜZLEM y P(m,) m x Birbirii 0 (sıfır) sayısıı buluduğu oktada dik olarak kese iki doğruu ( yatay olaı x eksei düşey olaı y eksei ) oluşturduğu sisteme dik koordiat sistemi (öklit çatısı ) deir. Dik koordiat sistemide yatay ola eksee apsis eksei, düşey ola eksee ordiat eksei deir. Apsis ve ordiat ekseleride oluşa sisteme koordiat sistemi ve üzeride koordiat sistemi yerleştirilmiş düzleme aalitik düzlem deir. m ve reel sayı olmak üzere düzlemi her oktasıa bir (m,) reel sayı ikilisi karşılık gelir. (m,) ikilisie oktaı koordiatı deir. (m,) ikiliside m ye oktaı apsisi, ye oktaı ordiatı deir. Apsis ve ordiat ekselerii kesiştiği oktaya başlagıç oktası ( ORİJİN ) deir ve koordiatı ( 0,0 ) ile gösterilir. Soru: A = {,, 0,}, {,,} gösteriiz. B = kümeleri veriliyor. A B kümesii oktalarıı aalitik düzlemde Soru: A = {-, 0,, } olduğua göre, A A kümesii oktalarıı dışarıda bırakmaya e küçük yarıçaplı çemberi yarıçapı kaç birimdir.

4 Soru: A = { x : x <, x R }, B { x : x, x } kümelerii grafiğii çiziiz. Soru: A = { x : x <, x R }, {,} = < R kümeleri veriliyor. A B ve B A B = kümeleri veriliyor. A B ve B A kümelerii grafiğii çiziiz. Soru: Bir köylü tavukta birii ve iekte birii kaç farklı biçimde satabilir. = + oktası x ekseie 5 birim, y ekseie birim uzaklıkta olduğua göre a. b Soru: A ( a, b ) değeri e çok kaç olabilir? BAĞINTI Taım: A ve B boş olmaya kümeleri içi deir. β simgesi ile gösterilir. A B kümesii her alt kümesie A da B ye bir bağıtı β A B β, A da B ye bağıtıdır. β bağıtısı içi ( x, β ise bu durum yβ x ile gösterilir ve y elemaı β bağıtısı ile x elemaıa bağlıdır. diye okuur. A A ı her β alt kümesie A da bir bağıtıdır deir. Soru: A = {, }, B { a, b, c} = kümeleri içi aşağıdakilerde hagileri A da B ye bir bağıtıdır? a) β = (, a),(, c) b) β = (, b),(, a),(, b) c) β = {(, ),(, a) } d) β = ( a ) ( b ) ( c ) 4,,,,, Soru: A = { 0,,,, 4} kümesi veriliyor. Bua göre aşağıdaki bağıtıları liste yötemi ile yazıız. a) β { = ( x, A A: y = x } b) β = { x y A A x böler y} (, ) : 4

5 BAĞINTININ ŞEMASI VE GRAFİĞİ β A da bir bağıtı ve ( x,y ) β olsu. x ve y elemaları Ve şemasıda x y şeklide okla birleştirilir. ( x, x) β ise bu durumda Ve şemasıda x şeklide gösterilir. β bağıtısıa ait ola elemaları birici bileşei yatay eksede, ikici bileşei düşey eksede olacak biçimde oluşturula şemaya, bağıtıı kartezye şeması ya da grafiği deir. Soru: A = { a, b, c, d } kümeside taımlı β = {( a,a ), ( b,b ), ( b,c ), ( c,d ), ( d,b )} bağıtısıı şemasıı ve grafiğii çiziiz. Soru: A = { a, b, c}, B = {,,} kümeleri veriliyor A da B ye taımlı β = ( a, ),( b, ),( c, ),( c,) şemasıı ve grafiğii çiziiz. Soru: {( x, R R : x, y } β = < bağıtısıı grafiğii çiziiz. BAĞINTI SAYISI s( A) =, s( B) = m olsu s( A B) = s ( A). s ( B) =. m dir. A B i her alt kümesi A da B ye bir bağıtı olduğua göre A da B ye taımlı bağıtı sayısı, A B kümesii alt küme sayısı ola.m taedir. Soru: s( A ) = ve A da B ye 9 4 tae bağıtı yazılabiliyor ise B kümesi kaç elemalıdır? Soru: A = { a, b, c} ve {,} B = ise a. A da B ye kaç tae bağıtı yazılabilir? b. A da B ye yazılabilecek bağıtıları kaç taeside (,) c. A da B ye kaç tae üç elemalı bağıtı yazılabilir? a elemaı buluur? d. A da B ye yazılabilecek 4 elemalı bağıtıları kaç taeside ( a,) ( b,) elemaı bulumaz? elemaı buluur fakat 5

6 BİR BAĞINTININ TERSİ Taım: A da B ye β bağıtısı verilsi. β ı elemalarıı bileşelerii yer değiştirerek elde edile bağıtıya β ı tersi deir ve ile gösterilir. β β {( y, x) : ( x, β} = dır. β A B ise, β B A dır. Soru: A = { 0,,,} ve {,,,5} elemalarıı liste yötemi ile yazıız. B = kümeleri veriliyor. Bua göre aşağıdaki bağıtıları terslerii a. β = {( x, A B : y = x } b. β = {( x, A B : y = x } + Soru: A = {,,} kümeside ( ) yazıız ve grafiğii çiziiz. { x, y : x y} β = < bağıtısı veriliyor. β ve β - bağıtısıı liste yötemi ile İKİ BAĞINTININ BİLEŞKESİ Taım: A ve B de β bağıtısı ve C ve D de β bağıtısı verilsi. A da D ye β oβ = x, z : x, y β ve y, z β, y B C olarak taımlaa bağıtıya β ile β bağıtısıı {( ) ( ) ( ) } bileşkesi deir ve ο simgesi ile gösterilir. β = ve Soru: A = {,,}, B = {, 4,5,6}, C = { 5, 6,8,9} kümeleri ile A da B ye (, ),(, 4 ),(,6) B de C ye ( ) ( ) ( ) ( ) β oβ bağıtısıı buluuz. β =,6,,9, 4,5, 5,5 bağıtıları veriliyor. A da C ye 6

7 BİR KÜMEDE TANIMLI BAĞINTILARIN ÖZELLİKLERİ. Yasıma Özelliği: β A da taımlı bir bağıtı olsu. x A içi ( x, x) β ise β ya A da yasıya bağıtı deir. Soru: A { a, b, c} = kümesi veriliyor. Aşağıdakilerde hagileri A da yasıya bağıtıdır? i. β = { (a,a), (b,b), (a,c) } ii. β = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,c) } iii. β = { (a,a), (c,c) } Uyarı: s( A) Çözüm : = ola A kümeside yazılabilecek tüm yasıya bağıtıları sayısı Bir bağıtıı yasıya olabilmesi içi taıma göre, x A taıma göre, (, ),(, ),...(, ) içi ( x, x) taedir. β olmalı yai a a b b mutlaka olmalı hepsii bir elema gibi düşüürsek, geriye tae elema kalır. (Kümelerde hatırlayıız. Bir elemaı olmaması ile olması ayı idi. ) elemalı a, a, b, b,..., içeriside mutlaka var olduğuda) tüm alt kümeleri yasıya bir bir kümei ( ( ) ( ) ( ) bağıtı olacaktır. Soru: A kümeside yazılabilecek tüm yasıya bağıtıları sayısı 8 4 ise A kümesii elema sayısı kaçtır?. Simetri Özelliği: β A da taımlı bir bağıtı olsu. ( x, β ike ( y, x) bağıtıdır deir. β ise β ya A da simetrik Soru: A = { a, b, c } kümeside taımlı aşağıdaki bağıtılarda hagileri simetriktir? i. β = { (a,a), (b,b), (c,c) } ii. β = { (a,a), (a,b), (b,a), (a,c) } iii. β = { (a,a), (c,a), (a,c), (b,c), (c,b) } 7

8 Uyarı: β simetrik bir bağıtı ise β = β dir. Uyarı: s( A) İspat : = ola A kümeside yazılabilecek tüm simetrik bağıtıları sayısı + taedir. y y = x doğrusu üzerideki oktalar simetri özelliğii bozmaz. x Her iki oktayı tek bir okta gibi düşüüüz. Çükü birisi varke diğeri de olmalı buluur. O zama kümemizi elema sayısı + olur. Bua göre simetrik bağıtı sayısı da + = kümeside yazılabilecek simetrik bağıtı sayısı kaç taedir? Soru: A { a, b, c, d}. Ters Simetri ( Ati simetri ) Özelliği: β A da bir bağıtı olsu. x y bir bağıtıdır deir. ve ( x, β ike ( y, x) β ise, β ya A da ters simetrik Soru: A { a, b, c} = kümeside taımlı aşağıdaki bağıtılarda hagileri ters simetriktir? i. β = { (a,b), (b,b), (c,c) } ii. β = { (a,b), (a,c), (b,c), (c,b) } iii. β = { (a,b), (a,c) } Uyarı: Simetrik olmaya bir bağıtıı ters simetrik, ters simetrik olmaya bir bağıtıı simetrik olması gerekmez. Soru: A = { a, b, c} kümeside ( a, b),( b, b),( a, c),( c, a) özelliklerii olup olmadığıı iceleyiiz. β = bağıtısıı simetri ve ters simetri 8

9 4. Geçişme Özelliği: β A da bir bağıtı olsu. ( x, ve ( y, z) β ike ( x, z) bağıtıdır deir. (x, ve (y,z) gibi ikililer elemaı değilse zate geçişkedir deir. β ise β ya A da geçişke bir Matığı hatırlayıız p q ifadesi p ike yai doğru ike q yalışsa 0 olur aksi halde p q da p 0 ike ( (x, ve (y,z) gibi ikililer elemaı değilse) ikici öermei hali yai q u doğru veya yalış olmasıı bir öemi yok her halükarda öermei souç değeri olur tabloya bakıız. p q p q Soru: A = { a, b, c } kümeside taımlı aşağıdaki bağıtılarda hagileri geçişkedir? a) β = { (a,a), (b,b), (c,c) } b) β = { (a,a), (a,b), (b,c) } c) β = { (a,a), (a,b), (c,b) } d) β 4 = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a),(c,b) } Soru: Doğal sayılar kümeside taımlı β = { (x, : x + 4y = 45 } bağıtısı, bağıtıı kaç özelliğii sağlar? Çözüm: 45 4y x + 4y = 45 x = 4y = 5 y = 0 x = 5 0 = 5 (5,0) β...ise β = { (5,0), (,), (7,6), (,9) } 9

10 β yasıya, simetrik ve geçişke değildir. β ters simetriktir. Soru: Tam sayılar kümeside taımlı β = { (x, : x böler y}, bağıtısı bağıtıı kaç özelliğii sağlar? Çözüm: 0 i. 0 Z fakat taımsız olduğuda ( 0,0) β dır ve β yasıya değildir. 0 ii. (,) β fakat ( ), β ; çükü Z. β simetrik değildir. iii. ( a, b) β olsu. b = k. a, k Z dir. Fakat k içi a dır. β ters simetrik bir bağıtıdır. b ve a b Z dir. O halde ( b, a ) β iv. ( a, b),( b, c) β olsu. ( a, b) ( b, c) ise β ise b = k. a, k Z β ise c = k. b, k Z c = k. b = k. k. a,. k k Z olduğuda ( a, c) β dır. β geçişkedir. ***DENKLİK BAĞINTISI Taım: Bir A kümeside taımlı β bağıtısıı yasıma, simetri ve geçişme özellikleri varsa, β bağıtısıa deklik bağıtısı deir. Soru: A {, a, b} = kümeside taımlı β = {(,), (a,a), (b,b), (,a), (,b), (a,), (a,b), (b,), (b,a) } Bağıtısı, deklik bağıtısı mıdır. ***DENKLİK SINIFLARI β A da bir deklik bağıtısı olsu. β bağıtısı ile A kümesii herhagi bir x elemaıa bağlı ola A ı tüm elemalarıı kümesie x i deklik sııfı deir ve x ile gösterilir. { a ( x, a) ve a A} x = : β dır. 0

11 ( x, a) β ise x ve a elemaları β deklik bağıtısıa göre dektir deir ve x a( Mod β ) ile gösterilir. Soru: A = { x : 0 x } Z kümesi üzeride taımlı β = { (x, : x y farkı, ile tam bölüür. } bağıtısıı deklik bağıtısı olduğuu gösteriiz ve deklik sııflarıı yazıız. Çözüm: x x 0 i. A içi = = 0 x olduğuda ( x, x) ii. ( x, β içi x y y x = k, ( k ) = k, ( k ) halde β simetriktir. β dır. O halde β yasıyadır. Z Z olduğuda ( y, x) x y y z (, ) (, ). =,( ) ; =,( Z ) iii. x y ve y z β olsu k k Z k k x y y z x z + = = k + k, ( k + k Z ) olduğuda ( x, z) β dır. O halde β geçişkedir. β yasıma, simetri ve geçişme özelliklerii sağladığıda deklik bağıtısıdır. *** (0,), (0,6), (0,9), (0,) β olduğuda 0 = { 0,, 6, 9, } dir. (,4), (,7), (0,0), (0,) β olduğuda = {, 4, 7, 0, } dir. (,5), (,8), (,) β olduğuda = {, 5, 8, } dir. β olur. O DENKLİK SINIFLARININ ÖZELLİKLERİ. β A da taımlı bir deklik bağıtısı olsu. x A içi (x,x) β olduğuda x x dir. Her deklik sııfıı e az bir elemaı vardır. Deklik sııfları boş küme değildir.. β A da taımlı bir deklik bağıtısı olsu. (x, β ise x ve y ayı deklik sııfıa aittir. Ayrıca x = y dir. Bir öceki örekte ; 0 = = 6 = 9, = 7, = 8 = dir.. β A da taımlı bir deklik bağıtısı olsu. (x, β ise x y ve x y = dir. Bir öceki örekte ; 0 = dir.

12 4. β A da taımlı bir deklik bağıtısı olsu. β ı A da ayırdığı deklik sııflarıı birleşimi A kümesie eşittir. Soru: β = {( x, : x 4x = y 4y} R R deklik bağıtısıda i deklik sııfıı buluuz. SIRALAMA BAĞINTISI Taım: Bir A kümeside taımlı β bağıtısıı yasıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa β bağıtısıa sıralama bağıtısı deir. Soru: A = { 0,,4,6} kümeside taımlı ( ) sıralama bağıtısı olduğuu gösteriiz. { x, y : x y} β = bağıtısıı liste yötemi ile yazıız ve Soru: A = { x, y, z} kümesii tüm alt kümelerii kümesi ola ( ) ( C, D) : C D vec, D P ( A) P A kuvvet kümeside β = biçimide taımlaa β bağıtısıı sıralama bağıtısı olduğuu gösteriiz. Geel Örekler. A = {,,0,,,,4 } kümeside taımlı β bağıtısı ( ) veriliyor. Bua göre i deklik sııfıı yazıız? ((,,4 ) ) { x, y böler x y; x, y A} β = şeklide.. ( ) x + 5 β = x, y = y; x, y Z bağıtısıı kaç elemaı vardır? ( ) x +. {( x, x y 0} ( x, x y 0 β = + = β = + = bağıtıları veriliyor. Bua göre β β =? 4. R de taımlaa x y 8 0 ( m,) ise m =? ( ) = bağıtısı bir α bağıtısıdır. α bağıtısıı elemalarıda biri = kümesi üzeride bir β bağıtısı taımlaıyor. β bağıtısı bir deklik bağıtısı olup, 5. A { a, b, c, d} sıralama bağıtısı olmadığıa göre β bağıtısı e az kaç elemalıdır? (6)

13 6. Reel sayılar kümeside {( a, b) ( m 6) a 4b 5 0} β = + = bağıtısı simetrik ise m =? (5) 7. A = {,,, 4} kümeside taımlı β bağıtısı verilmiştir. Bua göre β bağıtısıı özelliklerii yazıız? (Yasıma, Ters simetri) β 4 8. A { x : x 6, x } { } β = + = R olduğua göre A da taımlı β = + R ( x, : x y 0, ( x, bağıtısıı grafiğii çiziiz? 9. β = ( x, 4 / ( x yazıız? Z bağıtısıı deklik bağıtısı olduğuu ispatlayıız ve deklik sııflarıı 0. A = {,,} kümeside taımlı; a. 5 elemalı kaç bağıtı vardır? b. E çok elemalı kaç bağıtı vardır? c. E az elemalı kaç bağıtı vardır?, veya, elemalarıda e çok ikisi bulua kaç bağıtı vardır? d. İçide ( ) ( ) e. İçide (,) veya (,) elemalarıda çok ikisi bulaa 4 elamalı kaç bağıtı vardır? f. İçide (,) ve (, ) elemaları bulua 4 elemalı kaç bağıtı vardır?. A = { 0,,,, 4} kümesi taımlaıyor. A kümeside taımlı bağıtıları kaçıda vya elemaı bileşe olarak bulumaz.? ( 9 ). A = { 0,,} kümeside taımlı bağıtıları kaç taeside ( 0, ) veya ( ) buluur? (84). Aşağıdaki bağıtıları özelliklerii iceleyiiz ; a. Doğruları dikliği. b. Doğruları paralelliği, elemalarıda e az biri

14 5. A { c, d, e} c. Alt küme olma özelliği. d. Kardeşlik. e. Arkadaşlık. f. Z ' de" " eşitsizliği. g. Üçgeleri bezerliği. h. R ' de " = " özelliği. = kümeside taımlı kaç tae yasıya bağıtı vardır? (64) 6. Aşağıdakilerde hagisi bir sıralama bağıtısıdır?(d) a. Düzlemde doğruları paralelliği. b. Üçgeleri bezerliği. c. Arkadaşlık. d. Cümlelerde taımlaa alt cümle olma özelliği. e. x < y 4

15 Dosya adı: BAĞINTI İNTERNET Dizi: D:\INTERNET_SİTESİ\MAT_GEO\SINIF_9\Kou_Alatımı ve Tamamlayıcı_Notlar\Bağıtı Şablo: C:\Users\TOLGA\AppData\Roamig\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: BAĞINTI VE FONKSİYON Kou: Yazar: EGESU Aahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :09:00 Düzeltme Sayısı: So Kayıt: :09:00 So Kaydede: TOLGA Düzeleme Süresi: Dakika So Yazdırma Tarihi: :09:00 E So Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 4 Sözcük Sayısı:.980(yaklaşık) Karakter Sayısı: 6.986(yaklaşık)