ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN MATEMATİKSEL BİR MODEL

Transkript

1 LASTİ PİZOLTRİ BİR CİSMİN LTRO-TRMOMANİ DAVRANIŞI İÇİN MATMATİSL BİR MODL LOMAN YÜNLÜ YÜS LİSANS TZİ MAİN ĞİTİMİ ANABİLİM DALI ISPARTA 008

2 T.C. SÜLYMAN DMİRL ÜNİVRSİTSİ FN BİLİMLRİ NSTİTÜSÜ LASTİ PİZOLTRİ BİR CİSMİN LTRO- TRMOMANİ DAVRANIŞI İÇİN MATMATİSL BİR MODL Loman YÜNLÜ Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mele USAL YÜS LİSANS TZİ MAİN ĞİTİMİ ANABİLİMDALI ISPARTA- 008

3 Fen Bilimleri nstitüsü Müdürlüğüne Bu çalışma jürimiz tarafından MAİN ĞİTİMİ ANABİLİM DALI nda oy birliği/oy çoluğu ile YÜS LİSANS tezi olara abul edilmiştir. Başan: Yrd. Doç. Dr. Ümran SNDMİR urum: Süleyman Demirel Üniversitesi Müh.-Mim. Faültesi Maine Mühendisliği Üye: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL urum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teni ğitim Faültesi Maine ğitimi Üye: Yrd. Doç. Dr. Mele USAL (Danışman) urum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teni ğitim Faültesi Maine ğitimi ONAY Bu tez 3 / 01 / 008 tarihinde yapılan tez savunma sınavı sonucunda, yuarıdai jüri üyeleri tarafından abul edilmiştir. / /0 Prof. Dr. Fatma GÖTP nstitü Müdürü

4 İÇİNDİLR Sayfa İÇİNDİLR.... i ÖZT... iii ABSTRACT... iv TŞÜR... v ŞİLLR DİZİNİ... vi SİMGLR DİZİNİ... vii 1. GİRİŞ Süreli Ortam Modeli Süreli Ortam Hareeti Şeil Değiştirme Hareet Yay ve Hacim lemanlarının Maddesel Türevi Green- Gauss (Diverjans) Teoremi letrostati Denge Denlemleri Yü, letri Alan ve letrisel Potansiyel letrisel Yer Değiştirme Polarizasyon letrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi letro Termomeani Denge Denlemleri ütlenin orunumu Lineer Momentum Denliği Açısal Momentum Denliği nerji Denliği Termodinamiğin İinci anunu (Clausius Duhem şitsizliği) AYNA ÖZTLRİ MATRYAL V YÖNTM Materyal lasti Piezoeletri Ortamların Termodinamiği Bünye Asiyomları Nedenselli (ozalite) Asiyomu Determinizm Asiyomu i

5 şbulunma Asiyomu Uygunlu Asiyomu Objetivite Asiyomu Maddesel Simetri Asiyomu Yöreselli Asiyomu Yöntem Anizotropi Ortamlarda Simetri Gerime ve Polarizasyonun Bünye Denlemlerinin Tayini ARAŞTIRMA BULGULARI Asimetri Gerilmenin Tayini Yarı-Lineer Teori Yarı-Lineer Bünye Denlemlerinin Uzaysal oordinatlardai İfadeleri Yarı Lineer Teoride Asimetri Gerilmelerin Tayini Maddesel oordinatlarda Uzaysal oordinatlarda TARTIŞMA V SONUÇ AYNAAR ÖZGÇMİŞ ii

6 ÖZT Yüse Lisans Tezi LASTİ PİZOLTRİ BİR CİSMİN LTRO-TRMOMANİ DAVRANIŞI İÇİN MATMATİSL BİR MODL Loman YÜNLÜ Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü Maine ğitimi Anabilim Dalı Juri: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL Yrd. Doç. Dr. Ümran SNDMİR Yrd. Doç. Dr. Mele USAL (Danışman) Bu çalışmada elasti piezoeletri bir cismin eletro-termomeani davranışı modern süreli ortamlar meaniği çerçevesinde sistemati olara incelenmiştir. Meaniğin denge anunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve iinci anunlarının birleştirilmiş şeli, serbest enerji fonsiyonunun zamana göre maddesel türevi cinsinden ifade edilmiştir. Serbest enerji fonsiyonunun bağımsız değişenleri; Green deformasyon tansörü ve eletri alan vetörü olara belirlenmiştir. Termodinami ısıtlamaların neticesi olara serbest enerji fonsiyonunun bir simetri tansör ile bir polar vetöre bağlı olduğu görülmüştür. Maddesel ortamın malzemeden aynalanan esas yapısı itibariyle anizotrop olduğu varsayılmıştır. Maddesel simetri asiyomu ullanılmış ve ortamın sıışabilirliği göz önüne alınara gerilme ve polarizasyona ait bünye denlemleri bulunmuştur. Malzemenin anizotrop olma durumunu diate alıp, gerilme potansiyeli yalaşı teorilerden bulunmuş, meani ve eletromeani etileşimler nonlineer abul edilere seri açılımı yapılmıştır. Bu seri açılımda diate alınan terimlerin türü ve sayısı ortamın nonlineerli mertebesini belirlemiştir. Seri açılımıyla ortaya onulan gerilme potansiyeli bünye denlemlerinde yerine yazılıp deformasyon tansörüne ve eletri alan vetörüne göre türevi alınara gerilme ve polarizasyon alanı denlemleri nonlineer formda elde edilmiştir. lde dilden bünye denlemleriyle problem çözme zor olacağından dolayı bünye denlemleri belli ölçülerde lineerleştirilmiştir. lde edilen lineer bünye denlemleri balans denlemlerinde yerlerine onulara alan denlemlerine ulaşılmıştır. ANAHTAR İMLR: Piezoeletri, Polarizasyon, Anizotropi, Bünye Denlemleri, Gerilme, Lineerleştirme, Alan denlemleri. 008, 10 sayfa iii

7 ABSTRACT M.Sc. Thesis A MATHMATICAL MODL FOR TH LCTRO- THRMOMCHANICAL BHAVIOR OF AN LASTİC PİZOLCTRIC BODY Loman YÜNLÜ Süleyman Demirel University School of Applied and Natural Sciences Machine ducation Department Thesis Committee: Asst. Prof. M. Reşit USAL Asst. Prof. Ümran SNDMİR Asst. Prof. Mele USAL (Supervisor) In this study, in the frame of modern continuum mechanics, the electrothermomechanical behavior of an elastic piezoelectric body has been systematically studied. Second law of thermodynamics, combined with the fırst law and consistent with mechanical balance laws, has been written in terms of the time rate of free energy function. Its arguments have been furnished with Green deformation tensor and electric field in the reference state. After the thermodynamical constraints, it has been seen that free energy function depends on a symmetric tensor and one polar vectors. The materialistic medium is supposed to be anisotropic due to its main structure sourced from the material. Material symmetry axioms have been used and by considering compressibility of medium constitutive equations of stress and polarization fields have been obtained. Considering the state of being anisotropic of the material, stress potential have been found out from the approximate theories, by being accepted of the mechanical and electro mechanical interactions to be nonlinear, the series expansion has been done. The ind and number of terms, in this series expansion, determine the nonlinearity - degree for material. The stress potential that is appeared by the series expansion is written in the place of it in the constitutive equations and stress and polarization field equations have been obtained in the form of nonlinear by taing its rate according to the deformation tensor and the electrical field vector. The constitutive equations have been linearized in certain degrees because solving problems with the obtained constitutive equations are very hard. By putting the obtained linear constitutive equations in their places in the balance equations, field equations have been reached. Y WORDS: Piezoelectric, Polarization, Anisotropy, Constitutive quations, Stress, Linearization, Field quations. 008, 10 pages iv

8 TŞÜR Yüse lisans çalışmamın yapılmasında yardım ve destelerini esirgemeyen, çalışmayı titizlile yöneten ve beni yönlendiren değerli Danışman Hocam Yrd. Doç. Dr. Mele USAL a sonsuz teşeürlerimi sunarım. Tez çalışmalarımda arşılaştığım problem ve engellerde bilgi ve tecrübelerine başvurduğum değerli Hocam Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL a sonsuz şüranlarımı sunarım. Ayrıca, tezin yazılması esnasında yardımlarını esirgemeyen mesai aradaşlarım Arş. Gör. Ahmet ABUL ve Arş. Gör. Bene HAMAMCI ya teşeür ederim. Bugünlere gelmemde büyü emeleri bulunan Annem, Babam ve ardeşlerime şüranlarımı sunuyorum. Loman YÜNLÜ ISPARTA, 008 v

9 ŞİLLR DİZİNİ Sayfa Şeil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi Şeil 1.. Maddesel ve uzaysal oordinatlar Şeil 1.3. Süreli ortamda belli bir andai şeil değiştirme Şeil 1.4. Maddesel türev... 3 Şeil 1.5. Yay elemanındai değişim... 5 Şeil 1.6. Süresizli yüzeyi içeren bölge... 9 Şeil 1.7. Hareetli süresizli yüzeyi vi

10 SİMGLR DİZİNİ C Birim hacim başına eletrostati uvvet çifti C, Green Piola deformasyon tansörleri 1 C c, Cauchy Finger deformasyon tansörleri 1 l c l D d l letrisel yer değiştirme alanı Şeil Değiştirme (genleme) hızı tansörü ds, ds D Dt = v t Deformasyondan öncei ve sonrai öşegen uzunluğu Zamana göre hareeti taip eden türev letri alan vetörü, e l Maddesel (lagrange) ve uzaysal (uler) genleme tansörü ~, ~ f e l Sonsuz üçü Lagrange ve uler genleme tansörleri Birim ütle başına meani hacimsel uvvet [ ] = f f f f in süresizli yüzeyi boyunca sıçraması F F h h x Birim hacim başına düşen eletrostati gövde uvveti = x, = Deformasyon gradyanı X Birim ütle başına ısı aynağı letrostati enerji aynağı I i (i=1,,..31) İnvaryant değerler I, i (, = 1,,3) Maddesel ve uzaysal oordinatlardai birim vetörler J n P = det F Deformasyon gradyanına ait matrisin determinantı Dış birim normal vetör Polarizasyon vetörü (eletri dipol yoğunluğu) vii

11 P p Q q f Q (X)=X, q S t t Hidrostati basınç P notasının t anında uzaysal oordinatlardai yeri Maddesel oordinat sisteminin tam- ortogonal transformasyon matrisi Birim hacme düşen serbest eletri yüü Maddesel oordinat sisteminde ısı vetörü Simetri grubuna ait dönüşüm matrisi Asimetri gerilme tansörü Simetri gerilme tansörü t (n) n yüzeyine tesir eden gerilme vetörü T, T T tansörü, T matrisi T JX, X L, l t Maddesel oordinatlarda antisimetri gerilme tansörü l T JX, X L, l t l Maddesel oordinatlarda simetri gerilme tansörü u Yer değiştirme vetörü V, v Deformasyondan öncei ve sonrai hacim V v =, l Deformasyon hızı tansörü xl λ, ( i = 1,,...) Denlemleri ısaltma için ullanılan ısaltmalar i β i ω w f Açısal hız vetörü Yüzeysel serbest eletri yü yoğunluğu w l Spin tansörü δ, δ l Maddesel ve uzaysal oordinatlarda ronecer delta ω Açısal hız vetörü viii

12 ε ε 0 Birim ütle başına iç enerji Boşluğun eletrisel permitivitesi ε M, ε lm Maddesel ve uzaysal oordinatlarda permütasyon sembolü η θ (X,t) ργ Birim ütle başına entropi yoğunluğu Bir t anında X maddesel notasının mutla sıcalığı Birim ütle başına entropi üretimi ρ 0, ρ Deformasyondan öncei ve sonrai ütle yoğunluğu σ Süreli ortam içinde yer alan süresizli yüzeyi Σ ρ 0 ψ Gerilme potansiyeli X, x (,=1,,3) Maddesel ve uzaysal oordinatlar X, x Maddesel notanın deformasyondan önce ve sonrai onum vetörleri 1 ψ ε θη ρ i P i Genelleştirilmiş serbest enerji yoğunluğu Gradyan operatörü P Π Birim ütle başına polarizasyon ρ Γ Toplam entropi üretimi ix

13 1. GİRİŞ Bu çalışma, elasti piezoeletri özelli taşıyan ortamların eletro-termomeani davranışlarını temsil eden bünye denlemlerine ait matematisel bir modelin oluşturulması amacını taşımatadır. Modern süreli ortamlar meaniğinin temel ile ve asiyomları, bu çalışmanın gerçeleştirilmesinde yol gösterici ve belirleyici olmuştur. Hazırlanan bu tezin bilimsel bütünlü içindei özel yerini tespit etme için gereli görülen avramlarla ilgili genel bilgiler aşağıda sistemati olara verilmiştir. Günümüzde meani ve malzeme bilimindei gelişmeler ve eş zamanlı olara ortaya çıan dizayn ve imalat tenolojilerindei ilerlemeler ço sayıda yeni ve ileri derecede mühendisli malzemesi üretti. Bu fonsiyonel malzemeler, meani, eletri, magneti alan veya ısınma gibi bir dış fizisel olayın etisinde aldığı zaman şelini ve maddesel özellilerini değiştirme onusunda farlı davranışlar sergilerler. Aıllı bir malzeme endi içerisindei ve çevresindei değişililere reasiyon gösterebilen, endisinden belenen bir davranışı tüm ullanım süresi boyunca optimum bir şeilde yerine getirebilen malzemelerdir. Piezoeletri gibi yarı ileten malzemeler, aıllı malzemeler sınıfına girmetedir. Gelişen ve yenilenen tenolojide aıllı malzemelere olan talep her geçen gün daha da artmatadır. Aıllı malzemeler içinde piezoeletriğin yeri, mevcut ullanım alanlarının yoğunluğu baımından gelecete de en ço ihtiyaç duyulan malzemelerden olacağının bir göstergesidir. Bu tür malzemelerin nonlineer termomeani davranışının bilinmesi uygulama alanlarının genişlemesi baımından faydalı olacatır. Piezoeletri elimesi Latince bastırma-press anlamındai piezo ön einden türetilen bir avramdır. Piezoeletri ileten olmayan billurdan yontulmuş bir levha belli bir doğrultuda uygulanan bir bası (çeme ya da sııştırma) sonunda, billur levhanın ii yüzünde ters işaretli yülerin (q ve -q) çımasıyla nitelendirilen bir olaydır. Bilindiği gibi atı maddeler, yülü parçacılardan oluşur ve bir atı madde içindei negatif ve pozitif yülü parçacılar dengededir (yani atı madde eletrisel olara yüsüzdür). Anca meani bir yolla malzeme üzerine meani bir uvvet uygulanara, yüzey yülerinin oluşması sağlanabilir. Bir ristalde piezoeletri 1

14 özelliğin gözlenmesi bu yüzey yülerinin oluşmasına bağlıdır. Faat simetri özellileri bu yülerin oluşması için gereli oşulları ısıtlamatadır. Bu nedenle simetri merezi olmayan ristaller bu iş için en uygun malzeme gurubunu oluşturmatadır. letrisel olara yüsüz ve yapısal simetri merezi bulunmayan bir ristalde uygulanan basınç artı yülerin merezi ile esi yülerin merezinin birbirinden hafifçe ayrılmasına ve ristalin arşılılı yüzeylerinde zıt yülerin ortaya çımasına neden olur. Yülerin bu şeilde ayrılması bir eletri alnı yaratır. Ve ristalin arşılılı yüzeyleri arasında ölçülebilir bir potansiyel far oluşur. Piezoeletri etiyi ifade eden bu sürecin terside geçerlidir. Ters piezoeletri etide de arşılılı yüzeylerin arasındai bir eletri gerilimi uygulanan ristalde boyutsal bir şeil değişiliği oluşmatadır. Piezoeletri eti 1880 de Pierre ve Jacgues Curie ardeşler tarafından eşfedilmiştir. Pierre Curie önceleri Piroeletri ve ristal simetrisi arasındai ilgi üzerine çalışmıştır. Bu çalışma, ardeşleri sadece basınçtan meydana gelen eletrilenmeyi arama zorunda bıramış, faat tahmini olara basıncın ne yönde uygulanabileceği ve ristal sınıflarının etisi açılanmamıştır. Aynı olay, turmalin ve Rochelle tuzu gibi birço diğer ristalde de bulunmuştur. Hanel piezoeletri ismini önermiştir. Piezoeletri eletrisel ve meani sistemler arasındai bir etileşimdir. Doğrudan (diret) piezoeletri eti meani gerilme tarafından üretilen eletri utuplanmasıdır. Piezoeletri özelli malzemenin ristal yapı yöneliminin bir sonucudur. Bu özelli, meani gerilmelerin etisinde aldığı zaman bir eletri alanı üretebilen veya tersine eletri alana soulduğu zaman deforme olabilen belirli ristal yapıdai malzemelerin bir yeteneği olara ta tanımlanabilir (Yünlü, 006). Piezoeletri malzemeler, gösterdileri hızlı davranıştan dolayı titreşim ontrolü ve atif yapısal austi ontrol gibi üçü stroların gereli olduğu yüse freans uygulamalarında tercihli bir şeilde ullanılmatadırlar. Bir tetileyicide veya sensörde ullanılan piezoeletri davranış bir eletri alanın sebep olduğu gerinmeyi hesaplayara önceden tahmin edilebilir veya bu prosesin terside ullanılabilir. Genellile, gerinme ve eletri alan arasındai bağıntı nonlineerdir ve çevrim

15 esnasında gerinme-eletri alan düzleminde bir histerisis olara gözlenir. Bu bağıntıyı tesis etme için, tasarımcı zamanla, sürtünme etisiyle, yaşlanma ve piezoeletri etinin azalması ile değişen malzeme özellilerini belirleme zorunda alacatır. Piezoeletri malzemeler eletri enerjisini meani enerjiye, meani enerjiyi eletri enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemeler olduların için bu özellilerden yararlanılara algılayıcı (sensör) ve tetileyici (actuator) olara sıça ullanılmatadır. letrotlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında meani bir hareetle cevap vermesi veya meani bir bası sonucunda bünyesine bağlanan eletrotlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelili olara yapısal sistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıarmıştır (Doğruol, 00). Malzemelerin incelenmesi genellile miromeani ve maromeani olma üzere ii ana sınıfa ayrılır. Miromeani analiz, matris ve taviye elemanların fizisel ve meani özellilerinden yola çıara malzemenin genel davranışına ait meani özellilerin bulunmasını hedefler. Miromeani metotlar, enerji metodu ve malzeme meaniği metodu olma üzere üç ısım a ayrılabilir. nerji metodu, malzemenin bütününe ait elasti özelliler için alt ve üst sınırları belirlemeye çalışır. lastisite metodu, elastisitenin alan denlemlerini, matris malzemesi ve taviye elemanları arasındai sınır şartlarını ullanara elasti modülleri bulmaya yönelir ve genellile sayısal çözümleme tenilerini ullanır. Malzeme meaniği metodu ise elemanter muavemetin basitleştirici abullerini ullanara daha olay yoldan sonuca gider ve genellile deneysel verilere uyum sağlayan sonuçlara ulaşmayı hedefler. Maromeani metotlar da üç temel sınıfa ayrılır. Bunlar, Lineer Anizotropi lastisite, Nonlineer Anizotropi lastisite Teorisi ve Süreli Ortamlar Teorisidir. Lineer Anizotropi lastisite genellile tabaalı yapıların incelenmesinde ullanılır ve tabaaya ait genelleştirilmiş hooe yasasını belirlemeye çalışır. Sonlu elastisite yalaşımında malzemenin bir deformasyon enerjisi dağılımına sahip olduğu ve bu dağılımın deformasyon dağılımından etilendiği, gerilme dağılımının ise bu enerjinin deformasyon gradyanına göre türevinden elde edildiği bilinmetedir (Usal, 001). 3

16 Meani, genel anlamda uantum Meaniği ve Süreli Ortamlar Meaniği olara iiye ayrılmatadır. uantum Meaniği fiziçilerin ilgi alanına girmete, atomi ve atom altı parçacıların davranışını incelemetedir. Süreli Ortamlar Meaniği ise daha ço mühendislerin ilgilendiği ve uygulamasını yaptığı bir alan olup endine özgü alt dallara ayrılmatadır. Bunların arasında atılar Meaniği ve Aışanlar Meaniği önemli bir yer işgal etmetedir. Günümüzde mevcut olan gelişmiş tenoloji farlı bilim dallarının işbirliği sonucunda ortaya çımıştır. Meani, sistemlerin denge ve hareet şartlarını, sistemin tersinmezli derecelerini, sistemin miro ve maro davranışlarını inceleyen bir bilim dalıdır. Meani, sistemleri ve sistemlerin çevreleri ile etileşimlerini inceleren uvvet, hareet, deformasyon analizi, ömür tahmini, boyutlandırma, işe yaramama oşulları, eonomili, dayanım, esteti gibi avramları bir arada ullanır. Tüm bunlar oluren disiplinleri işbirliğine zorlar ve dolayısıyla diğer bilim dalları ile ilişi urara gere teori gerese uygulamalı alanlarda temel ilelerini onların paylaşımına sunar (Usal, 001). Süreli ortamlar meaniği, ütle dağılımı süreli abul edilebilen maddesel cisimlerin meani davranışını belirlemele uğraşan bir bilim dalıdır. Maddesel bir cisim gerçete ayrı parçacılardan oluştuğu için süreli model anca bir matemati soyutlama olara değerlendirilebilir. Bununla beraber sonlu bir hacimdei parçacı sayısının sonlu almasına arşın, ço özel durumlar dışında, genellile ço büyü olması, bu parçacıların sayısını sonsuz abul etmele yapılan hatayı pe ço, özellile tenoloji, uygulamada abul edilebilir sınırların içine soar. Ortamın marosopi davranışı ile ilgilendiğimiz sürece süreli model ile elde ettiğimiz sonuçlar, çoğu zaman, aradığımız büyülülerin yerel çalantılarının sistemati olara düzgünleştirilmiş değerlerine arşı gelir ve prati açıdan geresinimlerimizi hemen hemen tümüyle arşılayabilen bilgileri bize sağlar. Anca ortamı oluşturan parçacıların yapısı ço çeşitli türden etileşmelere yol açtığı için ile olara süreli ortamların genel meani davranışını, çeşitli alanlarla etileşimini göz önüne almadan belirleme mümün değildir. Çağdaş süreli ortamlar meaniği bütün bu etileşimleri en genel biçimiyle rasyonel bir çerçeve içine soabilme çabalarının bir ürünüdür (Şuhubi, 1994). 4

17 Süreli ortamlar meaniği aışanları (su, yağ, hava, vb.) ve atıları (auçu, metal, serami, ahşap ve yaşayan dou gibi) içerir. Sürelili gibi malzemenin marosopi doğasını tanımlamada fenomenoloji yalaşım teniği ullanılır. Fenomenoloji yalaşım matematisel denlemler ile deneysel verileri uygun hale getirmeyle uğraşır ve özellile atı meaniğinde başarılı olmuştur (Holzapfel, 000). ısım 1.1 de süreli ortam modeli tanımlanmıştır. Geometri ve inemati temsilde maddesel notaların başlangıç anında bulunduları yer ve daha sonra işgal etmiş olduları yerlerin tespiti için bir referans sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle ısım 1. de süreli ortamın hareeti ile oordinat sistemleri haında bilgi verilmiştir. ısım 1.3 de maddesel ve uzaysal oordinatlarda yer vetörü, hareet deformasyonu temsili, deformasyon gradyanı, Green, Cauchy, Piola ve Finger deformasyon tansörleri, gerilmeyi oluşturan genleme (Strain) tansörü haında ısa bilgiler ve ilgili natosyan verilmiştir. ısım 1.4 de ortamın hareeti sırasında parçacılara ilişin hız ve ivme gibi inemati büyülüler ve daha genel olara da şeil değiştirme arateristilerinin zamanla değişim hızının nasıl ölçüleceği (maddesel türev) belirlenmeye çalışılmıştır. Süresizli yüzeyi tanımlanara genelleştirilmiş Green Gauss (diverjans) teoremi verilmiştir. ısım 1.5 de eletro-termomeani denge denlemleri verilmetedir. Her bir denge denlemi hem ortam içinde hem de süresizli yüzeyi içinde (veya ortam sınırında) geçerli olan hali ile birlite verilmiş olup sırasıyla ütle, lineer momentum, açısal momentum, enerji dengesi ve entropi üretim eşitsizliğinden oluşmatadır. Bunlardan ütle balansı, atı ve aışanlar meaniğinden bilinen denlemin aynısıdır. Lineer momentum dengesinde, meani ütlesel uvvete ilave olara malzeme içinde oluşan eletri dipol dağılımı ile eletri alanının etileşiminden ortaya çıan eletrostati ütle uvveti yer almatadır. Açısal momentum dengesinde, meani ve eletrostati gövde uvvetlerinin momentlerine ilave olara ponderomotif uvvet çifti C P ve süresizli yüzeyi üzerinde eletrostati gerilme tansörünün zıplamasından aynalanan yüzeysel uvvetin momentinin atıları gelmetedir. 5

18 Açısal momentumun yerelleştirilmesinden, meani gerilme tansörünün (t) simetri olmadığı ortaya çımatadır. Meani gerilme tansörü ile polarizasyon tansörünün toplamından oluşan ve (t) şelinde gösterilen, simetri bir gerilme tansörü tanımlanmıştır. Simetri tansörlerin matematisel yapıları önemli olduğu için, bünye teorisi bu şeilde tanımlanan tansör üzerine urulaca, neticede meani gerilme tansörü buradan olayca çeilebilecetir. Termodinamiğin 1. anunu, yani iş-enerji dengesi, termomeani olaylar için serbest cismin toplam iç ve ineti enerjisinin zamana göre türevi, serbest cisme çevreden giren termomeani yülenme işi ve serbest cisim içindei ısı aynağı ile dengededir. ğer cisim dieletri yani yalıtan olup bir eletrostati alan içine onulmuş ise hacimsel ısı aynağına ( ρ h) ilave olara, hacimsel eletrostati enerji aynağına ( ρ h ) sahip olacatır. (1.153) ifadesi ile verilen ( ρ h ), süreli ortam parçacığı için enerji ayna terimi olara düşünülebilir. Çünü süreli ortamlar teorisinde iç alanların atısı iç-enerji ve gerilme tansörü vasıtasıyla ifade edilebildiği için, enerji ayna terimi olara; sadece maddesel notanın dışında olan fatörlerin atısı diate alınır. Örneğin, parçacığın apsadığı uzay boşluğunda oluşan eletri alanda depo edilen ve ( 1 ε ) 0 şelinde ifade edilen eletrisel enerji, enerji denlemindei iç enerji (ε ) teriminin içinde olduğu varsayılmıştır. nerji denleminin yerel ifadesini veren (1.15) 1 denleminde C veω nin tanımlarından ve ( h ) ρ yi veren (1.158) ifadesinden ρ h C ω = P& & = ρ Π& olara bulunmuştur. Burada eletrostati alanı, P birim hacim başına eletri dipol yoğunluğu olara tanımlanan polarizasyonu, Π ise birim ütle başına polarizasyonu göstermetedir. P nin üzerindei nota ( ), zamana göre hareeti taiben türev anlamında maddesel türevi göstermetedir. Balans denlemlerine ilave olara da termodinamiğin iinci anunu, yani entropi eşitsizliği termomeani denge denlemleri için olduğu gibi verilmiştir. Bu beş denge denlemi daha sonra yerelleştirilere zıplama şartı ile birlite cismin herhangi bir notası ve süresizli yüzeyi üzerinde herhangi bir nota için geçerli olaca şeilde elde edilmiştir (Usal, 001). 6

19 ısım 3.1 de elasti piezoeletri ortamların termodinamiğinden bahsedilmetedir. Burada termodinamiğin 1. ve. anunlarının birleştirilmesinden elde edilen Clasusius-Duhem eşitsizliği temel başlangıç notası olara diate alınmatadır. Bu eşitsizlite; entropi yoğunluğunun, iç enerjinin, polarizasyon yoğunluğunun ve deformasyonun zamanla sıcalığında uzaysa oordinatlara göre değişimi termodinami prososi temsil etmetedir. Bir termodinami proseste iç enerji, entropi ve eletri polarizasyon değişiminin ontrolü mümün olmayacağından, (3.) de verildiği tarzda bir Legendre transformasyonu uygulanara, zamanla değişen terimler iç enerji, entropi ve polarizasyon yerine serbest enerji, sıcalı ve eletri alanlarının değişimi cinsinden yazılmıştır. Daha sonra bu eşitsizlite yer alan asimetri gerilme tansörü yerine, (1.137) ifadesi ile tanımlanan gerilme tansörü yazılmıştır. Clausius Duhem eşitsizliğinin ullanılabilir hale getirilebilmesi için serbest enerjinin zamana göre maddesel türevinin hesaplanıp yerine onulması gereir. Anca bu işlem Σ nın hangi bağımsız değişenlere bağlı olduğunu tespit etmeden önce yapılamaz. Burada her şeye ait bilginin serbest enerji fonsiyonuna ait bilgiden aynalandığını göz önünde bulundurara daha ısa bir yol izlenmiştir. ringen (1980) ve Şuhubi (1994) tarafından tüm bünye fonsiyonları için geliştirilmiş olan bünye asiyomları te te ele alınmış ve bunların neticeleri, Clausius Duhem eşitsizliğini temsil eden (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji Σ için dile getirilmiştir. ozalite, determinizm, eşbulma, uygunlu, objetivite, maddesel simetri ve yöreselli asiyomlarına göre, t anında X maddesel notasının serbest enerji yoğunluğu, cismi meydana getiren tüm X maddesel notalarının hareet, sıcalı ve eletri alan tarihlerine bağlıdır. Buna göre diğer bünye fonsiyonellerinin argüman dağılımına bir benzerli oluşturması açısından serbest enerji fonsiyoneli diate alıp, daha sonra da sırasıyla objetivite, yaın civarsallı, yaın hafıza ve uygunlu asiyomlarını ullanılara Σ nın genelde hangi argümanlara bağlı olması geretiği (3.45) denleminde verilmiştir. ısım 3. de simetri gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanmıştır. Bunun için simetri gerilme ve polarizasyon alanı, gerilme potansiyeli Σ dan elde edildiğinden Σ doğal durum olara seçilen referans onumu etrafında, bağlı olduğu argümanların 7

20 bileşenleri cinsinden bir uvvet serisine açılmıştır. (3.69) ifadesi ile verilen bu açılımda Σ nın tansörüne ve vetörüne göre türevi alınıp (3.7) ve (3.77) denlemlerinde yerine yazılara, sıışabilir piezoeletri anizotrop ortamda simetri gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer bünye denlemleri (3.75)ve (3.80) ifadeleri ile verilmiştir. ısım 4.1 de asimetri gerilme ortaya onulmuştur. Daha önce (3.76) ifadesi ile elde edilen simetri gerilme (3.80) ifadesi ile verilen polarizasyon alanında uygun indis değişiliği yapılara (4.1) denleminde yerine yazılmıştır. ısım 4. de şeil değiştirmeler, x ), yer değiştirme gradyanları, U ) ço (, (,L üçü abul edildiği tadirde (3.76), (3.81) denlemleri ile verilen polarizasyon alanı ve simetri gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir ve lineer teoriyi de elde etme için ortam şeil değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün; << 1 (,L=1,, 3) şartını sağladığı varsayılmıştır (Şuhubi, 1994). ısım 4.3 de asimetri gerilmenin lineer bünye denlemleri maddesel ve uzaysal formda elde edilmiştir. (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanının maddesel lineer bünye denleminde uygun indis değişiliği yapılara (4.1) ifadesinde yerine yazılmasıyla, asimetri gerilmenin maddesel formda lineer bünye denlemi (4.) ifadesi ortaya çımıştır. Benzer şeilde asimetri gerilmenin uzaysal oordinatlardai lineer bünye denlemleri (4.5) ifadeleri ile elde edilmiştir. Bu ısımda en son olara, ısım 1.5 te verilen toplam eletrisel yer değiştirme vetörü (4.30) ifadesiyle elde edilmiş ve ısım 1.6 da verilen Cauchy hareet denleminin ullanılmasıyla da (4.38) ifadesiyle verilen alan denlemi bulunmuştur. 8

21 1.1. Süreli Ortam Modeli Bir maddesel cismin içinde alacağımız tamamen eyfi her hacim bu cismin ütlesinin bir ısmını içeriyorsa bu cisim bir süreli ortam olara nitelendirilebilir. Buna göre süreli bir ortamın bir notası etrafında eyfi, yani istediğimiz adar üçü seçebileceğimiz bir Δv hacmini diate alırsa bu hacimde cismin bir Δm ütlesi bulunacatır. Bu nota civarında ortalama yoğunlu, Δm ρ ort = (1.1) Δv olara tanımlanır (Şuhubi, 1994). Süreli ortam varsayımına göre Δv ne adar üçü olursa olsun içinde ütle bulunacağından yuarıdai ifadenin Δv 0 için bir limiti olacatır. Dolayısıyla ortamın göz önüne alınan notadai yoğunluğu bu limit işleminin sonucu olara, Δm dm ρ = lim = (1.) Δv 0 Δv dv bulunur. Atomisti ölçeğe indiğimizde madde büyü ölçüde boşlulu bir yapı sergiler. Buna göre bir notada tanımlanan yoğunluğun stati olara anlamlı bir ortalamaya arşı gelebilmesi için Δv hacminin bir Δv * riti değerinden büyü olması gereir. Δv < Δv * için bir notada yoğunlu, Δv ye bağlı olara, büyü çalantılar gösterir (Şeil 1.1). Süreli ortam modeli, sonlu bir hacimdei parçacı sayısını sonsuz almaya eşdeğerdir. Buna göre cismin içinde alınan bir V hacminde bulunan ütle mitarı, M = ρ dv (1.3) V integrali ile hesaplanır. (Şuhubi, 1994). 9

22 Δm/Δv ρ Δv * Δv Şeil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi (Şuhubi, 1994) 1.. Süreli Ortam Hareeti Bir süreli ortamın hareetini belirleme için bu ortamı oluşturan, sonsuz sayıdai bütün parçacıların zamanla bulunduları uzaysal onumlarının belirlenmesi gereir. Ortamın belli bir andai onumunun tamamen bilindiği varsayılır, bu onum referans onumu olara adlandırılır ve oluşturduğu hacimsel bölge V ile gösterilir. Ortamın referans onumunu belirli ılma için bir X 1, X, X 3 artezyen oordinat taımı seçilir. Ortamın bir parçacığı, şimdi referans onumunda işgal ettiği P notasının yerini tanımlayan R yer vetörü, ya da eşdeğer olara X ( = 1,, 3) oordinatlarıyla tamamen belirlenir. X oordinatlarına maddesel oordinatlar (Lagrange oordinatları) adı verilir. Süreli bir ortamın hareetini belirleme için referans onumundai herhangi bir P maddesel notasının t anında uzayda bulunduğu onumu, yani p notasının yerini, belirleme için x 1, x, x 3 artezyen oordinat taımı seçilir (Şeil 1.). Bu oordinat taımında p uzaysal notası r yer vetörü, ya da x ( = 1,, 3) oordinatlarıyla belirlenir. Bu oordinatlara uzaysal oordinatlar (uler oordinatları) adı verilir. Gere duyulduğu tadirde maddesel ve uzaysal oordinatlar çaışı olara seçilebilir. 10

23 v(t) X 3 x 3 p P V i 3 r x I 3 b i R i 1 I 1 I X X 1 x 1 Şeil 1.. Maddesel ve uzaysal oordinatlar (Şuhubi, 1994) Bir t anında her P parçacığının işgal ettiği p notaları zamanla değişen bir v(t) bölgesini oluşturur. Bu bölge ortamın t anındai onumunu belirler. Buna göre süreli ortamın hareeti, her P notasına bir t anında hangi p notasının arşı geldiğini gösteren bir dönüşüm olara tanımlanır. Böyle bir dönüşüm, r = r( R, t), x x ( X, t) (1.4) = süreli bağıntıları yardımıyla tanımlanır. Tersi söylenmediçe referans onumunun t=0 anına arşı geldiği abul edilir. Süreli ortamın hareetini tanımlayan (1.4) dönüşümünün bir fizisel hareete arşı gelebilmesi için süreli olması gereir. Ayrıca bu dönüşümün hacmi sonlu olan bir bölgeyi hacmi sıfır, ya da sonsuz bir bölgeye dönüştürmemesi için, dönüşümün jaobyeni sıfırdan ve sonsuzdan farlı olması gereir. Yani, x1 x1 x1 X 1 X X 3 x x x J ( X, t) = det ( x, ) = 0, (1.5) X 1 X X 3 x3 x3 x3 X X X

24 şartının sağlanması gereir. Bir J(X,t) fonsiyonunu (1.5) in mutla değeri, j( X, t) = J ( X, t) = det( x, ), < j < (1.6) 0 olara tanımlanır. Temel varsayımımız uyarınca J 0 olduğundan j ile J arasındai far çoğu zaman prati baımdan ortadan alar. apalı fonsiyon uyarınca (1.5) ya da (1.6) oşulu (1.4) dönüşümünün süreli bir tersinin olacağını ifade eder. Bu ile uyarınca (1.4) dönüşümünden, R = R( r, t), X X ( x, t) (1.7) = Yazılabilir (Şuhubi, 1994). Fizisel olara bu bağıntılar, seçilmiş, belli bir uzay notasından çeşitli zamanlarda ortamın hangi parçacılarının geçtiğini belirler ve v(t) uzaysal bölgeler ailesini te bir V maddesel bölgesine dönüştürür (Şuhubi, 1994) Şeil Değiştirme Referans onumunda verilen bir V bölgesini dolduran bir süreli ortamın belli bir t, örneğin t 1, anında v(t) uzay bölgesine dönüştüğünü ve bu süreli dönüşümün verilen, x = x ( X, t) veya X X ( x, t) (1.8) = hareet denlemlerinin t parametresinin t 1 değeriyle tamamen belirlenmiş olduğu varsayılır. Dolayısıyla başlangıçtai, yani referans onumundai herhangi bir P parçacığı t 1 anında p uzay notasına taşınmış olur. P ve p notalarının yer vetörleri, R = X I, r = x i (1.9) ile verilir ve (1.8) bağıntıları yardımıyla birbirlerine bağlanır (Şeil 1.3). Bundan sonra instein toplama uylaşımından yararlanılara ve terarlanan ii indis üzerinde 1

25 1 den 3 e adar toplama yapılacağı abul edilir. Uzaysal ve maddesel oordinat taımları arasındai dönüşüm, i = λ I, I = Λ i (1.10) bağıntıları ile belirlenir. λ ve Λ atsayı matrisleri birbirinin tersidir ve, λ = i I, Λ = I i (1.11) olara tanımlanır. Her ii oordinat taımı da di olduğundan bu dönüşüm ortogonaldir. Yani, 1 T Λ = λ = λ veya Λ = λ (1.1) yazılabilir. bu atsayılar, Λ matrisi λ matrisinin transpozu olara tanımlanmıştır. Dolayısıyla λ λ = δ, λ λ = δ (1.13) l l L bağıntılarını gerçeleme zorundadır. Burada δ l ve δ büyülüleri ronecer delta olara adlandırılır ve birim matrisi temsil eder. Yani ii indis birbirine eşitse 1, farlı ise 0 değerini alırlar. λ matrisi yardımıyla uzaysal oordinat taımında tanımlanmış bir vetörü endisine paralel alara maddesel oordinat taımına aydırabilir, ya da bu işlemin tersi yapabilir. Bu özelliler nedeniyle λ atsayıları aydırıcılar (Shifter) olara adlandırılır. Deformasyonu temsil etme için, şeil 1.3 de P parçacığına ço yaın olan başa bir P parçacığı göz önüne alınır. P nün P ye göre onumunu sonsuz üçü dr vetörüyle belirlenir. P maddesel notası hareetle t 1 anında p uzay notasına taşınmış olur. p notasının P nin görüntüsü olan p notasına göre onumu da yine sonsuz üçü olan dr vetörüyle belirlenir. 13

26 X 3 x udu 3 P V u dr P i 3 v(t) p dr p r x X 1 I 3 b i R I 1 I Referans onumu X i 1 t=t 1 anındai onum x 1 Şeil 1.3. Süreli ortamda belli bir andai şeil değiştirme (Şuhubi, 1994) Bu vetörler maddesel ve uzaysal oordinat esenleri üzerindei bileşenleri cinsinden, dr = dx I, dr = dx i (1.14) şelinde yazılır. Ayrıca (1.8) bağıntısında zamanın sabit olduğunu göz önünde tutulara diferansiyeli alınırsa, =,, = dx (1.15) dx x dx dx X, ifadeleri elde edilir. Bir alt indisten öncei virgül o indisin belirttiği değişene göre ısmi türevini gösterir, (1.15) dei x, ve X, ifadeleri aşağıdai gibi tanımlanır. x x X X,,, (1.16) X x Bir P parçacığında, örneğin t 1 anında, hesaplanmış x, büyülülerine o maddesel notada ve o andai şeil değiştirme gradyanı adı verilir ve boyutsuz F matrisi ile gösterilir. 14

27 F( X, t1) = x 1 x1 x1 X 1 X X 3 x x x, = (1.17) X 1 X X 3 x 3 x3 x3 X 1 X X 3 [ x ] j = det F 0 olduğundan F matrisinin bir F -1 tersi vardır. (1.8) bağıntılarını göz önüne alır ve belli bir anda ısmi türevin zincir uralını uygularsa, x, X, l = δ l, X, x, L = δ (1.18) Yazılabilir. Buradan da, [ ] F 1 = X, (1.19) ifadesi elde edilir. Bir matrisin tersini hesaplama için her elemanın yerine ofatörünü oyara oluşturduğumuz matrisin transpozunu matrisin determinantına bölünmesi gereir. X [ x ] ofatör,, = (1.0) J Bilindiği gibi bir determinantı hesaplaren bir satırdai elemanları ofatörleriyle çarpıp işaret uralına uygun şeilde toplanır. Buna göre determinantın açılımı o satırdai elamanlara göre birinci derecedendir ve determinantın bir elemanına göre türevini alırsa bu elemanın ofatörünü elde ederiz. Bu sonuç, J x, = ofatör j [ x, ] = JX, = jx, x, (1.1) 15

28 özdeşliğini verir. dr vetörünün boyu ds, dr vetörünün boyu ise ds ile gösterildiği tatirde, ds = dr dr = dx dx, ds = dr dr = dx dx (1.) şelinde ifade edilir. (1.15) bağıntılarını ullanara yuarıdai ifadeler, ds ds = x, = X x,, L X dx, l dx L l = C l dx dx dx = c dx dx dx l L, (1.3) şelinde elde edilir. Burada t anında hesaplanmış bileşenleri, C ( X, t) x, x, L, cl ( x, t) = X, X, l = (1.4) ile verilen ifadeler sırasıyla Green ve Cauchy şeil değiştirme tansörleri veya matrisleri adını alır. Bu matrislerin simetri olduğu ve, C = C, c = c (1.5) L l l bağıntılarının sağlandığı görülmetedir. C ve c büyülülerini matrisin yanı sıra tansör olara ta nitelendirilmesinin nedeni sırasıyla maddesel ve uzaysal oordinatları dönüştürüp yeni oordinat taımlarına geçildiğinde bileşenlerinin belirli bir urala göre değişmesidir. X oordinat esenleri yine di X oordinat esenlerine dönüştürülsün. Bu dönüşüm Q ortogonal matrisi yardımıyla gerçeleşir ve oordinat esenleri arasında, X = Q X, X = Q X (1.6) L L L ilişileri yazılabilir. Buna göre C tansörünün yeni oordinat taımındai bileşenleri, 16

29 C x = X x X L = x X M X M X x X N X N X L = MQLN x M x, N Q, = Q Q C (1.7) M LN MN şelinde bulunur. Bu da C nin iinci mertebe bir maddesel tansör olduğunu gösterir. Burada (1.6) bağıntısının Q ortogonal bir matris olmasa da, yani oordinatları di olmayan bir taıma dönüştürüldüğünde de Q T yerine Q -1 matrisini alma oşuluyla geçerli alacağına diat edilmeli. Benzer olara uzaysal oordinatları, x =Q x (1.8) l l ile dönüştürülürse c nin iinci mertebe bir uzaysal tansör olduğunu gösteren, c = Q Q c (1.9) l m ln mn ifadesi elde edilir. Buraya adar verilen ifadeler matris notasyonu ullanılara yazılırsa; dx ve dx sütun vetörleri, dx 1 dx1 dx = = dx, dx dx (1.30) dx 3 dx3 şelinde tanımlanır. (1.15) bağıntıları matris notasyonu ile, 1 d x = Fd X, d X = F d x (1.31) yazılabilir. (1.) ve (1.31) bağıntılarından, 17

30 ds ds T = d x d x = d X = d X T T d X = d x F T T F Fd X 1 T F 1 d x (1.3) bulunur. (1.3) bağıntısı göz önünde tutulduğunda Green ve Cauchy şeil değiştirme tansörlerinin şeil değiştirme gradyanlarına bağlı olara, T 1 T C = F F, c = F F 1 (1.33) şelinde ifade edilebileceği görülür. Bazı durumlarda (1.33) ile verilen matrisler yerine terslerinin ullanılması gereebilir. Bu matrisler ise, c 1 T T = F F, C = F F (1.34) veya bileşenleri cinsinden, 1 1 c l = x, xl,, C = X, X L, (1.35) şelinde ifade edilir. c -1 ve C -1 tansörleri sırasıyla Finger ve Piola şeil değiştirme tansörleri olara bilinir. Hareet denlemleri r = r( R, t) şelinde verilmesi yerine P parçacığının u yer değiştirme vetörüne bağlı olara ifade edilir. Yer değiştirme vetörünü (Şeil 1.3), u = r R b (1.36) olara tanımlanır. u vetörünü, u = u i = U I (1.37) 18

31 şelinde yazara uzaysal ve maddesel bileşenleri belirlenir. (1.8) hareet denlemlerinden yararlanara uzaysal ve maddesel yer vetörlerini r = r(x,t) ve R = R(x,t) olara ifade edilirse, dr = C dx, dr = c dx (1.38) yazılabilir. Burada C ve c vetörleri, r R = I (1.39) C = x, i, c = = X, X x olara tanımlanmıştır. Bu vetörler cinsinden şeil değiştirme tansörleri, C = C C, c = c c (1.40) L l l olara bulunur. (1.39) 1 bağıntısından, C CL = x, i xl, Lil = x, xl, L l = x, x, L δ (1.41) bulunur ve benzer şeilde (1.39) bağıntısından da, c cl = X, I X L, l I L = X, X L, l = X, X, l δ (1.4) bağıntısı bulunur. C ve c vetörlerinin fizisel anlamı tanımlardan açıça görülmetedir. (1.39) ifadelerine benzer olara, 1 1 c = x, I, C = X, i (1.43) vetörleri tanımlanır. 1 c vetörlerinin c vetörlerine arşıt olduğu, yani, c 1 c l = δ l (1.44) 19

32 bağıntısını sağladıları görülür. (1.39) ve (1.43) bağıntılarından, c 1 c = x l, I X L, l I L = x, X L, l δ = x X = δ,, l l (1.45) bulunur. Benzer şeilde 1 C vetörlerinin de C vetörlerine arşıt olduğu ve C 1 C L = δ (1.46) bağıntılarının sağlandığı gösterilebilir. (1.35) bağıntısı göz önünde tutulursa, c (1.47) l = c cl, C = C CL yazılabilir. c -1 ile c ve C -1 ile C tansörleri birbirlerinin tersleri olduğu için, c c =δ =δ (1.48) 1 m ml 1 l, CM CML bağıntılarının da geçerli olacağı açıtır. Cismin şeil değiştirmesinden söz edebilme için parçacıları arasındai uzalığın hareeti sırasında değişmesi geremetedir. Ortamın ii parçacığı arasındai uzalığın değişmesi için ds ds olması geretiğinden ortamın bir notasındai şeil değiştirmenin ölçümü olara ds ds büyülüğü seçilir. (1.) ve (1.3) bağıntıları yardımıyla, ds ds = dx dx = e dx dx (1.49) L l l yazılabilir. Burada ve e l simetri tansörleri, 1 1 X, t) = ( C δ ), el ( x, t) = ( δ l c ) (1.50) ( l 0

33 1 olara tanımlanır ve sırasıyla maddesel (Lagrange) ve uzaysal (uler) genleme tansörleri adını alır. Bir maddesel notada tansörünün değerini bildiğimiz tadirde bu notadan geçen sonsuz üçü dx maddesel vetörünün hareeti sırasında boyundai değişim (1.49) bağıntısıyla belirlenir. Aynı boy değişimi bu parçacığın t anındai yerinde e tansörünün değeri yardımıyla da hesaplanabilir. (1.50) bağıntıları matris formunda, ) ( 1 ), ( 1 c I e I C = = (1.51) yazılabilir. (1.15) bağıntılarından (1.49) da yararlanılırsa maddesel ve uzaysal genleme tansörlerinin, L l l l L l x x e X X e,,,,, = = (1.5) eşitlileriyle birbirlerine bağlandığı görülebilir. (1.36) ve (1.39) bağıntıları, b vetörü oordinatlara bağlı olmadığı için yer değiştirme vetörü cinsinden, l l l l l L L L L L i u i u i x u x r c I U I U I X u X R C ) ( ) (,,,, = = = = = = δ δ (1.53) sonucu elde edilir. Şeil değiştirme tansörleri için yer değiştirme gradyanlarına bağlı olara, m l m l l l m l ml m m mn l n nl m m l l L M M L L L M ML M M MN L N NL M M L u u u u u u u u c c c U U U U U U U U C C C,,,,,,,,,,,,,,,, ) )( ( ) )( (, ) )( ( ) )( ( = = = = = = = = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ (1.54)

34 sonuçları bulunur. Maddesel ve uzaysal genleme tansörleri de (1.50) tanımları yer değiştirme gradyanı cinsinden, e l 1 = ( U 1 = ( u, l, L u U l, L, u U m, u M, m, l ) U M, L ) (1.55) şelinde ifade edilir Hareet Bu bölümde, ortamın hareeti sırasında parçacılara ilişin hız ve ivme gibi inemati büyülüler hesaplanaca ve daha genel olara ta şeil değiştirme arateristilerinin zamanla değişim hızının nasıl ölçülebileceği belirlenmeye çalışılaca. Ortamın hareetini tanımlayan maddesel oordinatlarla uzaysal oordinatlar arasındai dönüşüm (1.4) bağıntısıyla aşağıdai şeilde verilmişti. x = x ( X, t), X v (1.56) (1.56) bağıntısı V bölgesindei belli bir X parçacığı seçildiğinde t parametresine bağlı bir eğri gösterir. Süreli ortamın hareeti sırasında X parçacığının izlediği yolu gösteren bu eğriye göz önüne alınan parçacığın yörüngesi adı verilir. (1.56) bağıntısı tüm ortam parçacılarının yörüngeler ailesini tanımlamatadır. Bunun için il olara süreli ortamın parçacılarına bağlı bir fonsiyonun zamanla değişim hızını ölçme gereir. Süreli ortama bağlı bir saler, vetör ya da tansör değerli bir alan büyülüğü f(x,t) şelinde verilebilir. Maddesel gösterilimde böyle bir fonsiyon, ilgili alan büyülüğünün bir parçacıta aldığı değerin bu parçacı yörüngesi üzerinde hareet

35 ederen zamanla nasıl değiştiğini bize verir. (1.56) ifadesinin tersi ullanılırsa, f fonsiyonunda [ X ( x t), t] f ( x t) f, =, (1.57) yazılabilir. f(x,t) fonsiyonu göz önüne alınan alan büyülüğünün uzaysal gösterilimi adını alır. Maddesel ve uzaysal gösterilimde bu fonsiyon aynı sembolle göstermesine arşın birbirine arşı gelen maddesel ve uzaysal notalarda sayısal değerleri eşit olmala beraber f(x,t) ve f(x,t) fonsiyonları tümüyle farlı fonsiyonlardır. Bir x uzay notasında f (x,t) fonsiyonu alan büyülüğünün bu notadan çeşitli zamanlarda geçen farlı parçacılarda aldığı değerleri gösterir. Uzaysal gösterilimden maddesel gösterilime geçiş, ( X, t) f [ x( X, t) t] f =, (1.58) dönüşümü yardımıyla sağlanır. Bir alan büyülüğünün süreli ortamın bir parçacığını izleren zamana göre değişim hızı maddesel türev olara tanımlanır (Şeil 1.4). X x t f(t xdx tdt f(t)(df/dt)dt Şeil 1.4. Maddesel türev (Şuhubi, 1994) ğer maddesel gösterilim ullanılıyorsa maddesel türev X oordinatlarını sabit tutara zamana göre hesaplanan türev olduğundan, 3

36 d f dt f ( X, t) = = f t & (1.59) yazılabilir. Uzaysal gösterilim ullanıldığında (1.57) bağıntısını X değişenlerini sabit tutara t değişenine göre türetirse zincir uralına göre, d f f [ x( X, t), t] f f x f& = = = (1.60) dt t t x t X = Sbt x = Sbt X = Sbt elde edilir. Bir parçacığın hızı r(r,t) yer vetörüne bağlı olara, dr dt ( R,t) r t dx dt x t v = = = i = i (1.61) veya bileşenleri cinsinden, dx x v ( X,t) = =, v= vi (1.6) dt t şelinde ifade edilebilir. Buna göre uzaysal gösterilimde maddesel türevi, f alanının (1.60) ile verilen d f f f & = = f v dt t (1.63), olur. (1.63) ifadesinin sağ tarafındai il terim x oordinatları sabit tutulara zamana göre alınmış türev olduğundan yerel değişme hızını gösterir. İinci terim ise t anında x notasında bulunan parçacığın hareetinden aynalandığı için onvetif değişme hızı adını alır. 4

37 Yay ve Hacim lemanların Maddesel Türevi p P dx P ds ds dx p ds[d/dt](ds)dt t=0 t tdt Şeil 1.5. Yay elemanındai değişim (Şuhubi, 1994) Referans onumunda bir P maddesel notasından geçen sonsuz üçü bir ds yay elemanı ve bu elemanın t anındai ds görüntüsü göz önüne alınırsa (Şeil 1.5), t anına sonsuz yaın tdt anında bu elemandai değişim maddesel türevin tanımına göre ds ds) dt olur. ds yay elemanının maddesel türevini belirleme amacıyla önce ( p notasını p notasına birleştiren dx vetörünün maddesel türevi hesaplanmaya çalışılaca. Bu vetör referans onumundai dx elemanter vetörünün hareet altında t anındai görüntüsü olduğundan dx = x, dx yazılabilir. dx bileşenleri zamana bağlı olmadığından türetmenin zincir uralından uygun şeilde yararlanılara, d dt ( dx ) = d dt, ( x, ) = (, ) = v dx = v X dx = v dx, t, l x l dx, l = X dx l x t dx (1.64) elde edilir. Dolayısıyla, dx = v,l dx l (1.65) 5

38 yazılabilir. (1.64) de üçüncü ve beşinci ifadelerde dx bileşenlerinin atsayılarını eşitlerse şeil değiştirme gradyanının maddesel türevi, d dt ( x, ) = x, = v, = v,l xl, (1.66) olara bulunur. Hız gradyanı tansörü, =, v (1.67) L v L l = l, ile tanımlanırsa, (1.65) ve (1.66) bağıntıları, d T T x = L d x, F& = L F (1.68) şelinde de ifade edilebilir. Hız gradyanı tansörünün simetri ve antisimetri ısımlarından oluşan ii yeni tansörü, d l 1 1 = v ( v,l vl, ) = dl, wl = ( v,l l, ) = wl (1.69) veya, d T 1 T T ( L L), w = ( L L) L = d w 1 =, (1.70) bağıntılarıyla tanımlanır. d tansörüne şeil değiştirme hızı (bazen de genleme hızı) tansörü, w tansörüne ise spin veya çevri tansörü adı verilir. (1.1) bağıntısından yararlanara önce, dj dt, ( x, ) = J X, v,l xl, = J v, J d = (1.71) x d t 6

39 şelinde jaobyenin maddesel türevi elde edilir. Bir ortamın hacim elemanının değişme hızı, dv = jdv olduğundan türetme ile, d dt dj = (1.7) dt ( dv ) dv yazılabilir. jaobyenin maddesel türevinden faydalanılara, d dt ( dv ) j v dv = v dv = vdv = (1.73),, bulunur. Referans onumunda V hacmi hareetle t anında v(t) hacmine dönüşürse v(t) hacim integralinin maddesel türevi aşağıdai şelide hesaplanır. d dt v ( t ) φ ( x, t ) dv = t = v V Φ ( jφ ) ( X, t ) j dv = [ j Φ ( X, t )] j 1 dv = ( t ) v( t ) V t φ v t, dv dv (1.74) Maddesel türevin tanımından faydalanara (1.74) ifadesi, d dt v φ φ dv = ( φ v ) dv (1.75), t v ( t ) ( t ) şelinde yazılabilir. t ye göre ısmi türevi x değişenleri sabit tutulara alındığı için (1.75) bağıntısında sağ taraftai il terimde türev ile integral operatörünün yeri değiştirilebilir. Son terim de Green Gauss integral teoremi ullanılara v(t) hacmini içine alan S(t) apalı yüzeyi üzerindei bir integrale dönüştürülürse, d dt v φ φ v n da (1.76) t dv = φ dv ( t ) v( t ) S ( t ) 7

40 elde edilir. v n = v n ortam hızının yüzeye di bileşenidir. φ v n büyülüğüne φ alanının yüzey boyunca aısı adı verilir ve ortam hareetiyle bu fizisel alanın S(t) yüzeyinin bir tarafından ötei tarafına bu yüzeyin birim alanı başına birim zamanda atarılan ısmını gösterir Green Gauss (Diverjans) Teoremi Doğa yasalarından süreli ortamların hareetini yöneten denlemlerin çıartılmasına olana sağlayan bazı integral teoremlerinin genelleştirilmesi gereir. Bilindiği gibi bir v apalı yüzeyi ile sınırlanmış v hacminde tanımlanmış vetör ya da tansör değerli süreli bir fonsiyon için Green Gauss veya diverjans teoremi olara bilinen teorem bu alanın diverjansının hacim içindei integralini normal bileşeninin yüzey üzerindei integraline dönüştürür, v φ dv = n φ da (1.77) v n yüzeyin birim dış normalidir. φ bir vetör alanı olduğu tadirde yuarıdai saler denlemin anlamı açıtır. φ iinci mertebe bir tansör alanı ise (1.77) vetör değerlidir ve, φ = φ, = l, il n φ nφ lil (1.78) olara tanımlanır. Şimdi v bölgesinde hareetli de olabilen bir σ yüzeyi üzerinde φ tansör alanının süresizli göstermesi halinde diverjans teoreminin genelleştirilmiş şelini elde etmeye çalışacağız. v hacmini ii parçaya ayıran σ yüzeyinin dış normalini eyfi olara yönleyelim ve v bölgesini σ yüzeyinin dış normalinin yöneldiği tarafta alan parçasını v, ötei parçasını ise v - ile gösterelim. v=v v - olduğu açıtır. σ yüzeyi φ alanı için bir süresizli yüzeyi ise bu alan σ üzerindei 8

41 9bir notada, bu notaya v ya da v - bölgeleri içinden yalaşıldığına göre farlı değerler alır. Bu değerler sırasıyla φ ve φ - ile gösterilir (Şeil 1.6). φ tansör alanının σ üzerindei süresizliğini ölçen sıçraması, φ = φ φ (1.79) olara tanımlanır. v n v n φ σ v - n φ v Şeil 1.6. Süresizli yüzeyi içeren bölge (Şuhubi, 1994) Doğal olara bu büyülü σ yüzeyinin oordinatlarının bir fonsiyonudur. φ alanı v σ apalı yüzeyi ile sınırlanmış v ve v - σ apalı yüzeyi ile sınırlanmış v - bölgelerinde sürelidir. Dolayısıyla bu bölgelerde Green Gauss teoremi (1.77) şeliyle uygulanabilir. σ yüzeyinin bu anlamda dış normalinin v için n olduğuna diat edilirse, v φ dv = n φ da n φ da, v v φ dv = v n φ da σ σ n φ da (1.80) yazılabilir. Bu ii ifade taraf tarafa toplanırsa genelleştirilmiş Green Gauss teoremi, 9

42 v φ dv = n φ da n φ da (1.81) v σ şelinde elde edilir. Süreli alanlar için σ yüzeyi üzerinde φ = 0 olacağı için (1.81) denlemi (1.77) denlemine indirgenir. v(t) bölgesinin süreli ortamda bir maddesel bölge olduğu abul edilirse ve σ süresizli yüzeyinin de verilen bir u hızı ile hareet ettiği varsayılır (Şeil 1.7). Amaç (1.75) denlemini φ tansör alanının σ üzerinde süresizli gösterdiği hale genelleştirmetir. Bunun için ısmi türev operatörünü integralin içine soara (1.76) denlemini φ alanının içinde süreli v ve v - bölgelerine ayrı ayrı uygulanırsa (Şeil 1.7), d dt d dt v v ( t ) v () t v () t φ dv = φ dv = φ dv t φ dv t ( t ) v () t v () t φ v n φ v da n da σ ( t) σ ( t) φ u da, n φ u n da (1.8) elde edilir. Bu denlem taraf tarafa toplanırsa, d dt φ φ dv = dv φ v n da un φ da, (1.83) t v( t) v () t v () t σ ( t) 30

43 v (t) n v (t) n u n σ (t) v (t) - n v (t) Şeil 1.7. Hareetli süresizli yüzeyi (Şuhubi, 1994) sonucu elde edilir. v = n v olduğuna diat edilere süresizli yüzeyi içeren bir n bölgede diverjans teoremini ifade eden (1.81) denlemi ullanılırsa, ( v φ ) dv n da, v φ φ v da = n v φ da = (1.84) n v( t) v( t) v( t ) σ ( t) yazılabilir. Bu ifade (1.83) bağıntısına yerleştirilir, v(t) ve σ(t) bölgeleri üzerindei integralleri bir araya toplanır ve σ(t) yüzeyinin u n normal hızının süresizli gösteremeyeceğine diat edilirse sonuç olara, d dt v( t) φ dv = = v( t) v( t) dφ dt dφ φ v dt ( φ v ),, dv dv σ ( t) σ ( t) Uφ da Uφ da (1.85) elde edilir. Burada σ(t) yüzeyi üzerinde tanımlanan, U = u v = ( u v ) n (1.86) n n 31

44 büyülüğüne yer değiştirme hızı adı verilir ve σ(t) yüzeyinin süreli ortama göre bağıl normal hızını gösterir. u = 0 olduğundan, n U = v n (1.87) bağıntısı geçerlidir letrostati Denge Denlemleri Piezoeletri özelli meani alan ile eletrostati alanın etileşiminin sonucu olara ortaya çıar. Bilindiği gibi, Piezoeletri malzeme bir dış eletri alana girdiği zaman deforme olur ve bu eletri alan cismi polarize eder. Ayrıca Piezoeletri malzeme deformasyona uğradığı zaman bir eletri alan üretir ve yine polarizasyon görülür. Polarizasyon alanı yalnızca eletri alan vasıtası ile oluşmaz, deformasyon alanı da belli bir polarizasyon alanı oluşturur Yü, letri Alan ve letrisel Potansiyel Deformasyon alanı ile eletrostati alanın etileşimi miro düzeydei ütle ve yü etileşimlerinin bir sonucudur. letri yüünün mevcudiyeti fiziğin temel postülatlarından biridir ve deneysel gözlemlerle anıtlanmatadır. letri aımının varlığı yülerin hareetinden aynalanmatadır. Modern fiziğe göre, malzeme temel partiüllerin bir bileşimidir ve bu partiüllerden bazıları partiüller arası uvvetlerle birbirine bağlıyen bazıları da serbestçe hareet edebilirler. Bu temel partiüllerden bazıları ütleye ilaveten yü denilen başa bir özelliğe sahiptir. e = Coulomb ile ifade edilen eletroni yü, yüün mümün olan en üçü ısmını temsil etmetedir. Herhangi bir uzaysal hacimde bulunan toplam yü eletroni yüün tam atmanlarından meydana gelmetedir. Bu çalışmada, süreli ortam hipotezi gereğince yüün sonsuz bir şeilde bölünebileceği, ya da incelediğimiz miro hacim elemanı ne adar üçü olursa olsun yeterli sayıda yü içerdiği abul edilecetir. Maddenin, pozitif ve negatif olara nitelendirilen ii farlı 3

45 yü içerdiği düşünülmetedir. Deneysel gözlemler, izole edilmiş bir sistemde toplam yüün orunduğunu ifade eden hipotezi desteler. Sistem içerisinde pozitif bir yü mitarı meydana çıar ve aybolursa, buna eşit mitarda negatif yü mitarı açığa çıar veya aybolur. Böylece yüün cebirsel toplamı sabit alır. Yü aynı zamanda serbest veya bağlı olara da araterize edilebilir. Serbest eletronlarla taşınan yüler ve bir atomun iç eletron abularında yer alan negatif yüler serbest ve bağlı yülere örne olara verilebilir (ringen, 1963; 197; ringen ve Maugin, 1990). ğer V S bölgesinde yü mutla olara süreli ise, bir hacimsel yü yoğunluğu q ve bir yüzeysel yü yoğunluğu w mevcuttur. Böylece V S bölgesinde yer alan toplam yü aşağıdai gibi ifade edilebilir, Q = q dv w da [] q = [ ] 3 V S Q L Q w = (1.88) L letrisel Yer Değiştirme Polarizasyon Yülere sahip partiüller bir dış eletri alana girdiği zaman yüleri ile orantılı bir şeilde belirli uvvetlerin etisi altında alırlar. Ortamdai serbest eletronlar bu dış uvvetlerin etisi ile hareete geçerler. Pozitif ve negatif yülü bağlı partiüller ise birbirlerine göre bağıl bir yer değiştirmeye uğrarlar. Bu şeilde gerinmiş olan malzemenin polarize olduğu abul edilmetedir. Polarizasyon basit bir şeilde aşağıdai gibi açılanmatadır. Malzeme başlangıçta, çeirdeği q 0 yüüne sahip olan ve çeirde etrafında hareet eden eletronları eşit mitarda q 0 yüüne sahip olan atomlardan meydana gelmiş bir yapı olara düşünülmetedir. Bu durumda yülerin efetif merezleri çaışıtır. Malzeme bir eletri alanın etisinde aldığı zaman, pozitif yüler negatif yülere göre yer değiştirir. Bir V hacminin S yüzeyi boyunca toplam yü transferi, S Q = N q0 d. da (1.89) 33

46 şelinde ifade edilir. Burada N birim hacimde polarize olan atomların sayısı d ise pozitif yülerin negatif yülere göre yer değiştirme vetörünü göstermetedir. V dei toplam bağlı yü orijinal olara sıfır olduğundan, V de alan toplam polarizasyon yüü Q p aşağıdai gibi ifade edilebilir, N q d. da = P. da = 0 Q = p. S S V P dv q p =. P (1.90) burada, P 0 = N q d (1.91) Polarizasyon vetörü olara bilinir letrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi Bu teori ii temel postülat ve bir bünye denlemi üzerine urulmuştur: 1- letrostati alan onservatif olduğundan apalı bir C eğrisi üzerindei sirülasyonu sıfırdır (Faraday Yasasının özel hali).. dx = 0 (1.9) G - Ortamın hacmi içindei ve σ süresizli yüzeyi üzerindei serbest eletri yüleri cismin içindei ve yüzeydei eletri deplasman alanı oluşturur (Gauss- Coulomb Yasası). D da = q f dv S. w da (1.93) V σ f 34

47 Burada eletrisel deplasman alanı; D ε P (1.94) = 0 Şelinde tanımlanmata olup, ε 0 boşluğun eletrisel permitivitesi, P ise polarizasyon alanıdır. P, birim hacim başına eletri dipol yoğunluğu olup bünye denlemi ile tayin edilmesi gereen bir alandır. Bu alan rijid cisimlerde yalnız eletri alanına bağlı olara, şeil değiştirebilen cisimlerde ise aynı zamanda deformasyon alanına da bağlı olara ortaya çıar. Genelleştirilmiş Stoes teoremi ullanılara (1.9) ifadesinin sol tarafındai terim aşağıdai gibi yazılabilir. dx = n ( ) da C S γ [ ]. h. ds (1.95) Genelleştirilmiş Greeen Gauss Diverjans teoremi ullanılara (1.93) denleminin sol tarafındai terim ise aşağıdai gibi ifade edilmiştir. D n da = D) dv n S V σ [ D ] ( da (1.96) (1.96) denlemi (1.9) ifadesinde ullanılara bilinen usullerle yerelleştirilirse aşağıdai denlemler yazılabilir. V (t) İçinde; D = q f σ (t) Üzerinde; [ D ] n = w f (1.97) Ayrıca ortam ideal dieletri abul edilirse, hacımsal eletri yü yoğunluğu q = 0 alınır ve (1.97) 1 denlemi aşağıdai gibi ifade edilir. f 35

48 V (t) İçinde; D = 0 (1.98) (1.95) denlemi, (1.9) ifadesinde ullanılara bilinen usullerle yerelleştirilirse aşağıdai denlemler elde edilir. V (t) İçinde; = 0, = φ σ (t) Üzerinde; n [ ] = 0 (1.99) Buradai φ salerdir ve letrostati potansiyel olara adlandırılır. φ nin sonsuzdai etisi sıfırdır. Bir dieletri ortamın loal durumu ısmen polarizasyonun değeri ile araterize edilebilir. Polarizasyon eletri alanın bir fonsiyonudur. Böylece elasti bir dieletri ortamın bağımsız durum değişenlerinden biri olara eletri alan vetörü seçilebilir. İleride belirlenece olan bünye denlemlerinden görüleceği gibi bu çalışmada eletri alan bağımsız bünye değişeni olara ele alınmatadır (ringen ve Maugin, 1990; rdem, 1975; Usal, 1994) letro Termomeani Denge Denlemleri Bu ısımda, bütün süreli ortamların meani davranışlarını yöneten temel ilelerden söz edilecetir. Bu çalışmada ele alınan süreli ortama ait bir serbest cisme eti eden eletrostati alan, bu cismin maddesel notalarına hacimsel bir uvvet çifti uygular ve cismin enerjisine eletrostati enerji olara atıda bulunur. Termomeani denge denlemleri şelinde yazılması geremetedir. Bu çalışmada sözü edilen denlemler önce global olara yazılmış sonrada genelleştirilmiş Green- Gauss ve Stoes teoremleri yardımı ile yerelleştirilere yazılmıştır. Global denlemlerde V (t) maddesel hacmi, σ (t) maddesel yüzeyi göstermetedir. Ayrıca ortamın bir süresizli yüzeyi içerdiği abul edilmiştir. 36

49 orunum denlemlerinde sırasıyla aşağıda verilen genelleştirilmiş Gren-Gauss teoremi ve hacim integrallerinin maddesel türevi ullanılacatır, bu ifadelere ait detaylı bilgiler ringen (1980) ve Şuhubi (1994) adlı aynalarda yer almatadır. dv = n φ da n [ φ ] φ da (1.100) V( t) V ( t) σ ( t) d dt ( x, t) dv = φ v, dv [ Uφ ] dφ φ da (1.101) dt V( t) V ( t) σ ( t) Bu denlemlerde φ herhangi bir alan büyülüğü, σ (t) süresizli yüzeyi, u süresizli yüzeyinin hızı, v süreli ortamın hızı, U ise süresizli yüzeyinin süreli ortama göre bağıl yer değiştirme hızı olup aşağıdai gibi tanımlanmıştır: U u v = ( u v) n (1.10) n n İntegral denlemlerde yer alan φ ve süresizliğini ölçen sıçrama değerleri U φ gibi alan büyülülerinin σ üzerindei [ ] φ φ φ ve [ φ ] U φ U φ = U ( φ φ ) U (1.103) Şelinde tanımlanmatadır. Sı ullanılan operatörlerden biri olan maddesel türev operatörü, d = v dt t ifadesiyle tanımlanara bir φ fonsiyonu üzerine uygulanışı dφ dt φ φ φ = v φ = t t φ, v (1.104) Şelinde verilir. 37

50 ütlenin orunumu ütlenin orunumu, bir maddesel hacmin toplam ütlesinin hareeti sırasında değişmediğini ifade eder. Matematisel olara bu ile, ρ ( x, t) yoğunlu fonsiyonu olma üzere aşağıdai eşitlile verilir. dm dt d = ρ ( x, t) dv = 0 (1.105) dt V ( t) (1.101) denleminde φ yerine yoğunlu fonsiyonu ρ alınara (1.105) denlemi aşağıdai gibi elde edilir, d dt [ ρ ρ v, ] dv [ Uρ ] da = 0 ρ ( x, t) dv = (1.106) V( t) V ( t) σ ( t) olur. Burada v(t) süreli ortamın t anında doldurduğu uzay bölgesini, σ(t) ise bu ortamda hareetli bir süresizli yüzeyini göstermetedir. Maddesel türevin tanımından faydalanara ρ nun maddesel türevi, dρ ρ ρ = dt t ρ, v (1.107) Şelinde yazılır. (1.107) denleminde integral altındai ifadelerin süreli olduğu abul edilirse, integrandların sıfır olması gereir. Buna göre sürelili denleminin yerel formu için, dρ v(t) içinde ρ v, = 0 dt ρ veya ( ρ v ), = 0 t σ(t) üzerinde; [ ρ ] = 0 U (1.108) 38

51 şitlileri elde edilir. ütlenin orunumu bir parçacığı içine alan bir elemanter maddesel hacim için aşağıdai gibi yazılabilir. ρ ( X ) dv ( X ) = ρ ( x, t) dv( x, ) (1.109) 0 t Daha önce tanımlandığı gibi dv = JdV ye göre (1.109) denlemi, ρ 0( X ) ρ ( x, t) = (1.110) J ( x, t) şelinde ifade edilir. Bu denlemde, ρ 0 (X); referans onumundai ortamın bilinen yoğunluğudur, J (x,t); jaobyendir. (1.101) denleminde ütlenin orunumundan yararlanara aşağıdai ifade elde edilir. φ ρ ψ alınara ve d dt v( t ) dψ ρ ψ dv = ρ dv Uρ ψ da (1.111) dt v( t ) σ ( t ) burada ψ birim ütle başına herhangi bir alan büyülüğüdür Lineer Momentum Denliği Bu ile herhangi bir maddesel cismin toplam lineer momentumunun zamana göre değişme hızının, bu cismin üzerine etiyen toplam uvvete eşit olduğunu ifade eder. Süreli ortamın bir dm = ρdv elemanter parçacığının hızı v ise elemanter momentum vdm = ρ vdv ve t anındai toplam momentum, P( t) = v( t) ρ vdv (1.11) olur. Ortamın üzerine etiyen toplam uvvet F ise bu ileye göre, 39

52 dp dp d F = ise F = = dt dt dt v(t) ρ vdv (1.113) eşitliği geçerlidir. Newton meaniğinin temel varsayımları uyarınca F yalnız cisme etiyen dış uvvetlerin toplamını gösterir. Bu uvvet genellile ii parçadan oluşur. Bunlardan biri herhangi bir fizisel dış alanın madde ile etileşimi nedeniyle ortamın parçacılarına etiyen, ortamda yayılı ütle uvvetidir. Bu uvvet cismin birim ütlesi başına f yoğunluğuyla verilebilir. Dış uvvetlerin diğer parçası ortamın çevresiyle yüzeyi aracılığı ile etileşiminden aynalanan, değme uvveti türünden, yüzeyinde yayılı yüzey uvvetlerinden oluşur. Bu uvvet, birim dış normali n vetörü olan bir alan elemanına birim alanı başına etiyen t (n) vetörü ile belirlenir. Bu çalışmada süreli ortam olara düşünülen, Piezoeletri özelliği olan ve elasti davranış gösteren bir malzeme ele alınmıştır. Böylece bir malzemeye etiyen dış uvvetlerin toplamını gösteren F tanımlamalardan faydalanılara, ( n) v( t) v( t) F = ( ρ f F ) dv t da (1.114) (1.114) denlemindei F üç parçadan oluşur. Bunlar; ρ f birim hacim başına etiyen meani gövdesel (ütlesel) uvvet. gövdesel uvvet yoğunluğu olup F birim hacim başına etiyen eletrostati F = P (1.115) Şelindedir (ringen ve Maugin, 1990). t (n), herhangi bir notada yönelimi n normal vetörüyle belirlenmiş bir alan elemanına etiyen gerilme vetörü olup aşağıdai gibi ifade edilir. 40

53 t (n) = n t veya t ( n) = nl tl (1.116) Bu durumda lineer momentum denliği, d dt ρ v dv = ( ρ f F ) dv n t da (1.117) V( t) v( t) V ( t) şelinde yazılabilir. Lineer momentum denliğinin (1.117). bileşeni, d dt ρ v dv = ( ρ f F ) dv n t da (1.118) v( t) v( t) l V ( t) l olara ifade edilir. (1.118) bağıntısının sol tarafındai ifade (1.111) bağıntısında ψ yerine v alınara aşağıdai gibi yazılır, d dt [ v ] dv ρ v dv = ρ dv Uρ da (1.119) dt V ( t) v( t) σ ( t) şelinde yazılabilir. (1.118) denleminin sağ tarafında yer alan yüzey integrali terimi Green Gauss teoreminden faydalanılara aşağıdai gibi yazılabilir. nl t l da = t l, l dv l v( t) v( t) σ ( t) n [ t ] l da (1.10) (1.119) ve (1.10) ifadeleri (1.118) denleminde yerine yazılıp eşitliğin sağ tarafındai ifadeler sol tarafa geçirilirse aşağıdai denlem elde edilir. v( t) [ n t ρ v U ] da 0 ρ v& t (1.11) l, l ρ f F dv l l = σ ( t) 41

54 (1.11) eşitliğinin sağlanabilmesi için integrandların sıfıra eşit olması gereir. Bu durumda aşağıdai ifadeler yazılabilir. v(t) içinde; ρ l, l v& = t ρ f F σ(t) üzerinde [ n t v U ] = 0 l l ρ (1.1) (1.1) 1 denlemindei v& terimi ivme olara adlandırılır ve maddesel türevin tanımından aşağıdai şeilde ifade edilir. dv v a = v& = = v v (1.13) dt t Açısal Momentum Denliği Bu orunum yasası, herhangi bir maddesel cismin sabit bir notaya göre açısal momentumunun zamana göre değişme hızının cisme etiyen dış uvvetlerin aynı notaya göre toplam momentine eşit olduğunu ifade eder. t anında ortamın bir elemanter parçacığının sabit O notasına göre yer vetörü x ise aynı notaya göre açısal momentumu, veya momentumunun momenti, x v dm = ρ x v dv olur. dolayısıyla O notasına göre toplam açısal momentum, H = ( x v ρ dv (1.14) 0 ) v( t) Şelinde yazılabilir. O notasına göre dış uvvetlerin toplam momenti M 0, açısal momentumun ilesinden aşağıdai gibi yazılabilir. dh 0 d M 0 = = ( x v) ρ dv (1.15) dt dt V ( t) 4

55 Bu çalışmada ele alınan malzeme için, dış uvvetlerin dağılımına göre M 0 aşağıdai gibi yazılabilir. [ x ( f F C ] dv M = ρ x t da (1.16) 0 ) V ( t) V ( t) ( n) (1.16) denlemindei gibi tanımlanır (ringen ve Maugin, 1990). C terimi eletrostati gövdesel uvvet çifti olup aşağıdai C P (1.17) (1.16) denlemindei t(n) terimi (1.116) denlemleriyle verilen ifadenin aynısıdır. Bu durumda (1.15) ve (1.16) ifadelerinden aşağıdai denlem yazılabilir. d dt = V ( t) [ x ( ρ f F ) C ] dv ρ x v dv = x t da (1.18) V ( t) V ( t) ( n) (1.18) denleminin sol tarafındai ifade (1.111) denleminde ψ terimi yerine x v alınara, aşağıdai ifade elde edilir. d dt x v dv = ρ x v dv ρ U [ x v ] ρ da (1.19) V ( t) V( t) σ ( t) (1.18) denleminin sağ tarafında yer alan V (t) yüzey integrali Gren-Gauss integral teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülüp gereli işlemler yapıldığında aşağıdai denlem elde edilir. n ( ε l p xl tr p i ) da = ( ε r p tr p ε l p xl tr p. r ) r v( t) v( t) n r σ (t) [ x t ] ε i da (1.130) l p l r p i dv 43

56 (1.19) ve (1.130) denlemleri, (1.18) denleminde yerine yazılır, sağ taraftai ifadeler sol tarafa geçirilirse, () bileşeni cinsinden aşağıdai ifade elde edilir. ε v( t) σ ( t) l p l p x ( ρ v l l p ρ f p F P t [ n t ρ U ] da = 0 r r p p r p, r ) dv ( ε r p tr p C ) V ( t) dv ε x v (1.131) (1.131) denlemindei birinci ve üçüncü integraller lineer momentumun yerel denliğini gösteren (1.1) denlemi gereğince sıfırdır. Dolayısıyla (1.131) denlemi aşağıdai gibi ifade edilir, v( t) ( ε t C ) dv = 0 (1.13) r p r p Şelinde elde edilir. (1.13) denleminden açısal momentumun yerel denge denlemi aşağıdai gibi yazılabilir. V(t) içinde; ε t C = 0 (1.133) r p r p (1.17) ifadesindei vetörel çarpım yapılara yerine yazıldığında C bileşeni (1.133) denleminde ε ( t P ) = 0 (1.134) r p r p r p Olduğu görülür. (1.134) denlemindei permütasyon tansörüε antisimetri olduğundan eşitliğin sağlanması için aynı denlemin parantez içinde yer alan ifadenin ( t P ) simetri olması gereir. Bu simetri ifade aşağıdai gibi r p r p tanımlanmıştır ve simetri özelliğinden dolayı ileride görüleceği üzere bünye denlemlerinin bulunmasında olaylı sağlar (Maugin, 1991) r p 44

57 t = rp trp Pr p t pr (1.135) (1.135) ifadesindei P r p terimi polarizasyon gerilme tansörü olara adlandırılır ve aşağıdai şeilde ifade edilir (ringen ve Maugin,1990; Parus,1979). t = P veya t rp = Pr p (1.136) (1.135) ifadesinden t rp tansörü çeilirse aşağıdai ifade elde edilir. t rp = t rp Pr p (1.137) (1.137) ifadesinin r ye göre türevi alınırsa aşağıdai ifade yazılabilir. t rp, r t rp, r ( Pr, r p Pr p, r = (1.138) (1.1) 1 denlemi uygun indis değişimi yapılara, (1.115) ve (1.138) ifadeleri yerlerine yazılırsa lineer momentumun balansı aşağıdai şele indirgenir. V(t) içinde; ρ & (1.139) v p = ρf p t rp, r Prp, r p Burada t rp, r simetri bir tansördür. (1.131) denleminden zıplama şartı olara aşağıdai ifade bulunur. σ(t) üzerinde; x [ n t ρ U ν ] = 0 ε (1.140) lp l r rp p (1.140) denlemi, (1.1) denlemi ile verilen lineer momentumun orunumundai sıçrama şartı ile aynı olduğundan, denge denlemlerine ilave bir atı getirmez. 45

58 nerji Denliği Bu ile; herhangi bir maddesel cismin toplam ineti enerjisi ile toplam iç enerjisinin toplamının zamana göre değişme hızının, cisme etiyen dış uvvetlerin gücü ile birim zamanda cisme giren ya da cisimden çıan tüm enerjilerin toplamına eşit oluğunu ifade eder. nerji denliği matematisel olara aşağıdai eşitlile verilir. d dt ( ) = W Q U α α (1.141) Bu denlemde yer alan terimler; ineti enerji, cismin iç enerjisi, W cisme etiyen uvvetlerin birim zamanda yaptıları toplam iş, Q birim zamanda cisme giren veya çıan ısı enerjisi, U α büyülüleri ise çeşitli etileşimler nedeniyle cismin birim zamandai enerji bilançosuna atıda bulunan eletromagneti veya imyasal aynalı diğer enerjileri gösterir. Burada toplam ineti enerji, elemanter parçacıların dm v = ρ v dv elemanter ineti enerjilerinin toplamıdır. Bu büyülüler sırası ile aşağıdai gibi ifade edilmiştir. = 1 V ( t) ρ v dv (1.14) W cisme etiyen uvvetlerin birim zamandai toplam işi, başa bir deyişle toplam gücüdür. Dolayısıyla W büyülüğü, W = t v da ρ f v dv (1.143) ( n) v( t ) v( t) olara tanımlanır. Q birim zamanda cisme giren, ya da cisimden çıan ısı enerjisidir. Q ii türlü oluşur. Uygun bir etileşim meanizmasıyla, örneğin imyasal, nüleer reasiyonlarla ya da eletri aımıyla cismin içinde ısı enerjisi üretilir veya cisimden ısı enerjisi çeilebilir. Böyle bir enerji birim zamanda cismin birim ütlesi başına h 46

59 büyülüğü ile belirlenebilir. Radyasyon ve ısı iletimi yoluyla da cismin yüzeyinden cisme giren veya cisimden çıan ısı enerjisi ise q ısı aısı vetörü ile belirlenir. Bu vetör doğrultusuna di olan bir birim alandan birim zamanda geçen ısı enerjisini gösterir. Buna göre, Q = ( q n) da ρ ( h h ) dv (1.144) v( t) v( t) yazılabilir. Gerçeten cismin v(t) yüzeyinde bir alan elemanından cisme giren ya da cisimden çıan ısı enerjisi buradai ısı aısı vetörünün alan elemanının normali doğrultusundai bileşeni ile ölçülür. Zira q vetörünün yüzeye teğet olan bileşeni cismin yüzeyini yalayıp geçen, dolayısıyla cismin enerji bilançosuna atıda bulunmayan bir ısı enerjisine arşı gelir. Toplam ısı enerjisi (1.144) ifadesi ile tanımlandığında, n yüzeyin birim dış normalini gösterdiği tadirde q n > 0 olduğunda bu durumun cismin içinden dışına doğru bir enerji aısına arşı geleceğine diat edilmelidir. U α büyülüleri çeşitli etileşimler nedeniyle cismin birim zamandai enerji bilançosuna atıda bulunan eletromagneti, imyasal gibi başa aynalı enerjileri gösterir ve bu çalışma çerçevesinde bu tür etileşimler göz önüne alınmayaca. iç enerji ise, gözlemler ve deneyler cisme etiyen dış uvvetlerin yaptığı işin, ısı enerjisinin v.s. yalnız cismin ineti enerjisini değiştirmeye harcanmadığını açıça göstermetedir. Bu farın, cismin iç enerjisini değiştirmete ullanıldığı abul edilece. İç enerji varlığı, abaca, cismin parçacıları arasında çeşitli etileşimlerden aynalanan iç uvvetlerin yaptığı işe bağlanabilir. Cismin sıcalığının değişimi iç enerji değişiminin en belirgin göstergesini oluşturur. Cismin iç enerjisi genellile birim ütlesi başına ε iç enerji yoğunluğu yardımıyla belirlenebilir, = V (t) ρ ε dv (1.145) α Uα = ( F ν ) dν C ω dν (1.146) V( t) V ( t) 47

60 İl defa bu denlemlerde ortaya çıan büyülülerin anlamı aşağıda verilmiştir: ε : birim ütle başına iç enerji yoğunluğu q : birim zamanda ve alanda sistem sınırlarından giren veya çıan ısı aısı vetörü h : birim ütle başına ısı aynağı h : eletrostati enerji aynağı ω : açısal hız (1.14) - (1.146) eşitlileri ile verilen ifadeler (1.141) enerji denleminde yerine onursa enerji denliği aşağıdai formda ortaya çıar; d dt v( t) 1 ρ ε v dv = ( ( n) q n ) v( t) v( t) [ ρ f v ρ ( h h ) F ν C ω ] dv t v da (1.147) (1.111) denleminde ψ terimi yerine tarafındai ifade, 1 ε v alınır ve (1.147) denleminin sol d dt v( t) ρ ε 1 v dv = v( t) 1 & ε v v& dv ρ U ε v da (1.148) σ ( t) şelinde elde edilir. (1.148) denlemindei, &ε ve v& terimleri iç enerji ve hızın maddesel türevlerini göstermetedir. (1.147) denleminin sağ tarafındai v(t) üzeridei yüzey integrali Green Gauss teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülere gereli işlemler yapılırsa, n ( t v q ) da = ( t l l l V( t) V ( t) n [ t v q ]da σ ( t) l l, vl tlvl, q, ) dv (1.149) 48

61 49 ifadesi elde edilir. (1.148) ve (1.149) denlemleri (1.147) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade bulunur. dv F f t C h h q t t v l l l l l l l ) (,,, ) ( ) ) ( ρ ρ ω ρ ε ρ v v v & & 0 1 ) ( = da q t n U t l l σ ε ρ v v (1.150) (1.149) denleminde (1.1) 1 ifadesiyle verilen lineer momentumun orunumu diate alınara gereli sadeleştirme yapıldığında, dv C h h q t t v l l ) (,, ) ( ω ρ ε ρ v 0 1 ) ( = da q v t n U t l l σ ε ρ v (1.151) İfadesine ulaşılır ve gereli yerelleştirilme işlemleri sonucunda, v(t) içinde; l l C h h q t ω ρ ρ ε ρ =,, v & σ(t) üzerinde; 0 1 = l l q t n U v v ε ρ (1.15) Denlemleri elde edilir. (1.15) 1 denlemindei h ρ terimi birim hacim başına eletrostati enerji aynağı olara adlandırılır ve aşağıdai gibi ifade edilir. l l l l d t P d t P h = = & & : ρ (1.153) (1.153) ifadesi süreli ortam parçacığı için enerji aynağı terimi olara düşünülebilir. Çünü süreli ortamlar teorisinde içi alanların atısı iç-enerji ve gerilme tansörü vasıtasıyla ifade edileceği için, enerji aynağı terimi olara sadece maddesel

62 notanın dışında olan fatörlerin atısı diate alınır. Örneğin; parçacığın apladığı uzay boşluğunda oluşan eletri alanda depo edilen ( 1 ε ) 0 h şelindei eletrisel enerji, iç-enerji (ε ) teriminin içinde olduğu düşünülür. (1.153) denlemindei P & terimi aşağıdai tanımla verilir (ringen ve Maugin, 1990). P & P& P( ν ) P ν (1.154) (1.153) denlemindei t terimi, polarizasyon gerilme tansörü olara adlandırılmış ve (1.136) denlemiyle ifade edilmiştir. (1.153) denlemindei simetri bir tansör olan d, şeil değiştirme hızı (genleme hızı) tansörü olara adlandırılır ve aşağıdai gibidir. 1 d l = ( ν, l ν l, ) = dl (1.155) (1.154) ve (1.155) de verilen ifadeler (1.153) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. 1 ρ h = P& Pν, l P ν l, P l ( ν, l ν l, ) (1.156) Birim ütle başına polarizasyon Π ile gösterilere aşağıdai gibi tanımlanmıştır (ringen ve Maugin, 1990). P Π (1.157) ρ (1.157) ifadesinden yararlanara P vetörünün maddesel türevi ρ Π = & ρ Π Π& ρ şelinde alınıp sürelili denlemi de göz önünde 50

63 bulundurulara (1.156) ifadesi uygun indis değişilileri ve sadeleştirmelerden sonra, 1 1 ρ h = ρ Π & P l ν l, P l ν, l P lν l, (1.158) Şelinde elde edilir. (1.15) 1 denlemindei C terimi (1.17) denlemiyle tanımlanmıştı. Açısal hız ω terimi de aşağıdai gibidir. 1 ω = ν (1.159) (1.17) ve (1.159) ifadelerinin sağ tarafında yer alan vetörel çarpım işlemleri yapılara, (1.15) 1 eşitliğinin sağ tarafında yer alan en son terim gibi elde edilir. C m ω aşağıdai m 1 1 ω = (1.160) C m m P l Vl, P l V, l (1.15) 1 denlemindei ρ h C m ωm terimi, (1.158) ve (1.160) ifadelerinden gereli sadeleştirmeler yapılara aşağıdai gibi bulunur. ρ h C ω = ρ Π& (1.161) (1.161) ifadesi (1.15) 1 denleminde yerlerine yazıldığında, v(t) içinde; & ε = t v q ρ h ρ Π& (1.16) ρ l l,, Şelinde yerelleştirilmiş enerji denlemi elde edilir. 51

64 Termodinamiğin iinci anunu (Clausius Duhem şitsizliği) ntropi eşitsizliği veya Clausius Duhem eşitsizliği de denilen bu anuna göre, serbest cisim içindei entropinin zamana göre artışı, cisme hacim aynalarından ve yüzeyden giren entropiden daha büyütür veya en az ona eşittir. Termodinamiğin iinci anunu, matematisel olara aşağıdai gibi ifade edilir. d dt V h q ρ η dv ρ dv n da Γ 0 (1.163) θ θ ( t ) V ( t ) V ( t ) (1.163) denleminin sol tarafındai il terim, (1.111) denleminde ψ yerine (η ) yazılara d dt V ( t ) ( t ) σ ( t ) [ η ] ρ η dv ρη& dv ρ U da (1.164) V şelinde elde edilir. (1.163) denleminde son integral terimi Green Gauss teoreminden faydalanılara aşağıdai şeilde yazılır. q q q n da = dv n v t θ V ( t ) θ σ ( t ) θ ( ) da (1.165) (1.164) ve (1.165) denlemleri (1.163) eşitsizliğinde yerlerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. h q q ρ & η ρ dv ρ U η n da 0 (1.166) ( ) θ θ V t σ ( t ) θ (1.166) denleminin yerelleştirilmesi sonucunda, 5

65 h 1 1 v(t) içinde; ρ & η ρ q q θ ρ γ 0 θ θ θ n q σ(t) üzerinde; ρ U η 0 (1.167) θ denlemleri elde edilir. Burada ifade edilen denge denlemleri aşağıdai gibi özetlenere maddeler halinde yazılabilir. 1. ütlenin orunumu (1.108) ve (1.110) v(t) içinde; ρ ρ& ρ v, = 0 veya ( ρ v ), = 0 t σ(t) üzerinde; U ρ = 0 ρ 0( X ) ρ ( x, t) = J ( x, t) (1.168). Lineer Momentumun orunumu (1.1) ve (1.139) v(t) içinde; ρ v& p = ρ f p t rp, r Pr, r p σ(t) üzerinde; [ v ] 0 n t l l ρ U = (1.169) 3. Açısal Momentumun orunumu (1.133), (1.137) ve (1.140) v(t) içinde; ε t C = 0, trp = t rp Pr p rp rp σ(t) üzerinde; ε x n t ρ U v = 0 (1.170) l p l r r p p 53

66 4. nerjinin orunumu (1.15) ve (1.16) v(t) içinde; & ε = t v q ρ h ρ Π& ρ l l,, 1 σ(t) üzerinde; ρ U ε v n tlvl q = 0 (1.171) 5. ntropi şitsizliği (1.167) h 1 1 v(t) içinde; ρ & η ρ q q θ ργ 0 θ θ θ n q σ(t) üzerinde; ρ U η 0 (1.17) θ 6. Gauss anunu (1.98) v(t) içinde; D = 0, D ε P = 0 σ(t) üzerinde; n [ D ] = ω f (1.173) 7. Faraday anunu (1.99) v(t) içinde; = 0, = ϕ σ(t) üzerinde; [ ] = 0 n (1.174) Yuarıda liste halinde verilen denge denlemlerinde yer alan ve bilinmeyen olara göz önüne alınaca büyülüler sayılarıyla birlite aşağıdai gibi sıralanabilir. ρ ( 1), ν (3), t l (6), q (3), θ (1), η (1), (3), Π (3), ε (1) (1.175) 54

67 (1.169) 1 ve (1.171) 1 denlemlerindei f ve h gibi dış aynaların bilindiği abul edilmiştir. (1.175) ifadesinden görüldüğü gibi bilinmeyen sayısı tanedir. Buna arşılı bu bilinmeyenleri tespit etme için mevcut olan (1.168) - (1.174) ifadelerinden = 13 tane denlem elde edilebilmetedir. Bilinmeyen sayısı, denlem sayısından ço olduğu için ilave denlemlere ihtiyaç duyulmatadır. İleride görüleceği üzere, aradai farı apataca olan 9 tane denlemin 6 tanesi simetri gerilme tansörüne 3 tanesi de polarizasyon vetörüne ait saler bileşenler şelinde ortaya çıacatır. Bu denlemler, süreli ortam olara abul edilen, elasti Piezoeletri bir maddesel cismin araterini belirleyen bünye denlemleri olacatır. 55

68 . AYNA ÖZTLRİ Modern süreli ortamlar meaniğine ait temel avram, asiyom ve denlemler çalışmamızın her aşamasında ullanılmıştır. Süreli ortalar meaniği alanında ringen (1967, 1980), ve Şuhubi (1994) nin itapları temel aynalar olara ullanılmıştır. ringen (1967), modern süreli ortamlar meaniğinin ana iseletini oluşturduğu bu eserinde sırasıyla gerinme, hareet, gerilme, süreli ortamın termodinamiği, bünye denlemleri ve elastisite teorisi, aışanların dinamiği ve termoelastisite onularını sistemati bir tarzda işlemiştir. ringen (1980) de yuarıdai onulardan farlı olara süreli ortamların eletrodinamiğini ayrı bir bölüm olara vermiştir. Şuhubi (1994) nin eseri ise ringen (1967) nin paralelinde anca daha detaylı yazılmış ve süreli ortamlar meaniği onusunda Türçe literatüre azandırılmış bir başyapıt mahiyetindedir. Süreli ortamlar meaniği onusunda yabancı literatürde ço sayıda yayın bulunmatadır. Bunlar arasında Jaunzemis (1967), Malvern (1969), Dawson (1976), Spencer (1980), Chandraseharaih ve Debnath (1994) önemli eserler olara görülmetedir. Termoelastisite ve uygulamaları onusunda Nowaci (1975) nin itabı büyü bir boşluğu doldurmatadır. Nowaci bu eserinde termoelastisitenin temel denlemlerini oluşturmata, termoelasti ortamda harmoni dalgalar, peryodi olmayan aynalardan doğan termoelasti dalgaların yayılması, düzlem termoelastisite problemleri, anizotropi ve piezoeletri cisimlerin termoelastisitesi, magnetotermoelastisite onularını büyü bir titizlile incelemetedir. Bu ayna özellile uygulamalar yönünden olduça zengindir (Usal, 001). Singh vd. (006), yayınlamış olduğu maalesinde, Cr 3 atılı basit PZN ristalinin dieletri ve piezoeletri özellilerini incelemiştir. %0.5 mol Cr O 3 atılı PZN ristallerini aış metoduyla üretmiştir. <001> merezli teli ristallerin dieletri ve piezoeletri özellileri incelemiş ve sonuçlar saf PZN teli ristaliyle arşılaştırılmıştır. romiyumla birleştirildiğinde dieletri geçişi ve artı utuplaşması ve d 33 değerlerinin düşüş gösterdiğini ve asi bir durum olan zorlayıcı alanı ile niteli fatörü (q m ) nin arttığını bulmuştur. 56

69 Zong vd. (006), yayınlamış olduğu maalesinde Pb 3 O 4 ile uvvetlendirilmiş PZT- PFW PMN piezoeletri seramiğinin yapısına WO 3 ilave edilmesinin etileri ve eletrisel özellilerini incelemiştir. WO 3 ün yapıya elenmesiyle hacim yoğunluğu ve seramiğin eletrisel özellileri belirgin oranda değişmiş, Seramiğin yoğunlaşmasını sağlayan liit- sıvı safhası oluşturulmuş ve ırılgan yapı değişmiştir. WO 3 ün aşırı mitardai arışımında ise dieletri ve piezoeletri özellileri en uygun eletrisel özelliler olara belirlenmiştir. rdem vd. (005), yayınlamış olduları maalede, eyfi bir fiber ailesi ile taviye edilmiş visoelasti ve piezoeletri bir malzemenin dış çevreden maruz aldığı eletromeani yüler arşısında davranışını Süreli Ortamlar Meaniği apsamında sistemati bir şeilde incelemiştir. Cismin matris ısmının visoelasti ve piezoeletri anizotropiye sahip olduğu buna ilaveten fiber taviyesi nedeniyle de cismin tüm ortam olara anizotropi bir yapıya sahip olduğunu varsaymıştır. Genel yalaşım tarzı olara elasti gerilme ve eletrisel polarizasyon alanlarını, işlemler içinde tanımlanan bir termodinami potansiyelden (gerilme potansiyeli) türetmiştir. Gerilme potansiyelinin ve dissipatif gerilme fonsiyonunun analiti olduğunu varsayara bağlı olduları argümanları cinsinden Taylor serisinde açmıştır. Meani etileşimleri lineer, eletrisel etileşimleri nonlineer olara abul etmiş ve bünye denlemlerindei fonsiyonları veren uvvet serilerinin terimlerinin mertebelerini buna göre tesbit etmiştir. Sonuç olara ta elde edilen bünye denlemlerini denge denlemlerinde yerine yazara alan denlemlerini bulmuştur. Ray vd. (005), yayınlamış olduğu maalesinde, işlevlerine göre sınıflandırılmış tabaaların, PFRC (Piezoeletri Fiber taviyeli ompozit) malzemesiyle birleşmesinin stati analizi için sınırlı sonlu eleman modeli türetilmesiyle ilgilenmiştir. PFRC malzemesinin atmanı, FG (işlevsel olara sınıflandırılmış) tabaalarının dağıtımlı atuatörü (dağıtımına neden olan) olara görev yaptığını abul etmiştir. PFRC atmanındai piezoeletri fiber açısı değişenliğinin FG tabaalarını hareete geçirme abiliyeti üzerinde önemle durmuştur. Sonlu elaman modeli (FM) ile alın ve ince tabaalar için tam/doğru çözümlerle, atman FG 57

70 tabaasının yüzeyine minimum sertlite bağlı olduğu zaman, masimum sertlite bağlı olduğu zamandan daha etili olduğunu gözlemlemiştir. Yang vd. (005), PZT PZM PZN Piezoeletri seramiğinin yapısı ve eletrisel özelliği onulu çalışmasında farlı içerilere sahip olan Pb(Zr 0.5 Ti 0.48 )O 3 Pb(Mn 1/3 Sb /3 )O 3 Pb(Zn 1/3 Nb /3 )O 3 piezoeletri seramiğini, erimiş tuz bireşimi ile sentezlemiş, PZN içeriğinin; yapı, miroyapı, dieletri ve piezoeletri özellileri üzerindei etisini detaylı bir şeilde incelemiştir. PZN içeriğinin % den %7 ye adar olduğu aralılarda içeri arttıça malzemenin tane boyutunun yavaş bir şeilde azaldığını, malzemenin dieletri ve piezoeletri özellilerinin önemli ölçüde değiştiğini saptamışlardır. Çalışan (00), yapmış olduğu yüse lisans tezinde piezoeletri seramiler gibi aıllı yapıların havacılı ve uzay mühendisliğindei uygulama alanları üzerine bir çalışma yapmıştır. Çalışmasında ullandığı aıllı yapılar; düz, sonlu iriş ve pla geometrisindei alüminyum yapılardan ve bunların yüzeylerine yapıştırılan PZT (Lead- Zirconate- Titanate) yamalardan oluşmatadır. Bu çalışmada öncelile aıllı iriş ve plaaların yapısal modellemeleri yapılmış ve elde edilen bu modeller, aıllı elemanların boyut, yerleşim ve piezoeletri uyarı gerilimi gibi etileri düşünülere, aıllı yapıların stati ve dinami davranışlarının detaylı analizleri için ullanmıştır. Çalışan, bu tez çalışmasında yapısal modellemeler için ANSYS yazılımından yararlanara tasarım ve analiz esnasında sonlu elemanlar yalaşımı ve deneysel sistem tanımlama tenilerini ullanmıştır. Gözen (00), yapmış olduğu yüse lisans tezinde yüzeyine piezoeletri malzeme yapıştırılmış bir çubuğu analiti ve nümeri olara incelemiş ve piezoeletri ullanımı olara bir robot eli modeli oluşturmuştur. Bu çalışması yapılarda şeil ontrolünün sağlanması ve dinami davranışlarının anlaşılması açısından büyü olaylı sağlamıştır. Her ii yüzeyine simetri olara piezoeletri malzeme yapıştırılmış sonlu bir atılığa sahip yapıştırma atmanı varsayılan çubuğun stati bir modelini oluşturmuş ve ayma gerilmelerin piezoeletri malzemeden ana yapıya nasıl iletildiğini incelemiştir. Ayrıca çalışmasının iinci bölümünde aıllı yapılar, 58

71 uyarıcı malzemeler, smart ompozit yapılar ve uyarıcı malzemelerin ıyaslanması gibi onularda da bilgi vermiştir. Usal (001), yapmış olduğu dotora tezinde, te fiber ailesi ile taviye edilmiş visoelasti ve piezoeletri özelli taşıyan bir biyoloji yapı elemanının nonlineer davranışını, modern süreli ortamlar meaniği çerçevesinde sistemati olara incelemiştir. Meaniğin denge anunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve iinci anunlarının birleştirilmiş şelini, serbest enerji fonsiyonunun bağımsız değişenleri cinsinden ifade etmiştir. Matris malzemesinin izotrop olma özelliğini diate almış, invaryantlar teorisini ullanara fiber taviyeli, visoelasti ve dieletri özellili bir ortamın nonlineer eletromeani davranışını belirleyen bünye denlemini elde etmiştir. Daha sonra matris ortamın izotrop olma ısıtlamasını bir tarafa bıraara genel anizotrop bir ortam için simetri gerilme, polarizasyon alanı ve dissipatif gerilme için nonlineer bünye denlemlerini elde etmiştir. Tezinde meani ve eletromeani etileşimleri nonlineer olara abul etmiş ve anizotrop ortamlar için elde ettiği bünye denlemlerinde 5. ve 6. mertebeden malzeme tansörlerine ulaşmıştır. lde ettiği bu ifadelerin pratite ullanılabilmesi için bünye denlemlerini lineerleştirmiş ve en sonun da bu denlemleri Cauchy hareet denlemi ve toplam eletrisel yer değiştirme vetörü ifadesinde yerine yazıp alan denlemine ulaşmıştır. Tüm bunların sonucunda fiber taviyeli visoelasti ve piezoeletri özelliler taşıyan ortamların eletro- termomeani davranışlarını temsil eden bünye denlemlerine ait matematisel bir model oluşturmuştur. Holmes vd. (000), sensör uygulamaları için yeni piezoeletri yapılar haında ilginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoeletri serami cihazlar helisel bir yay şelinde sinterlenmiş bir serami tüp formunda oluşturulmuş, tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine eletrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşü elasti uygunlu ve düşü doğal rezonans freanslarına sahiptir. Cihazların rezonans freanslarını önceden belirleyebilen denlemler geliştirilmiş, bu denlemlerden elde edilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenen cihazın freans davranışı belirlenmiş ve lasi eletromagneti jeofonlarla ıyaslanmıştır. lasi piezoeletri sensörler piezoeletri malzemeden yapılmış 59

72 blolar veya disler şelindedir, hidrofonlarda veya ivmeölçerlerde basınç dalgalarının ölçülmesi amacıyla ullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensör uygulamaları için seramilerin esin şeli veya formu üzerinde bir inceleme yapma bu formların avantajlarını net bir şeilde belirlemetir. ullanılan malzeme PZT cinsinden bir piezoeletri malzemedir. Tauchert vd. (000), aıllı ompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisite teorisindei gelişmeler haında teori incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezotermo-elasti ortamın lineer davranışını yöneten denlemler belirlenmiş, potansiyel fonsiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenen termal yüler ve eletrisel potansiyel dağılımlarının sonucunda sensör uygulamalarının sonuçları belirlenmiş iriş, pla ve abu gibi ompozit yapıların piezoeletri tetileyicilerle nasıl ontrol edileceği anlatılmıştır. Yağcı (1998), yapmış olduğu yüse lisans tezinde, üzerine piezoeletri malzeme yapıştırılmış bir irişin denetimini incelemiştir. uler-bernoulli iriş varsayımını ullanmış ve irişleri değişi yapıştırıcı varsayımları ullanara modellemiştir. Analiti çözüm ile daha önce elde ettiği sayısal çözümler ullanılara modelleri doğrulamıştır. Algılayıcı ve eyleyici denlemleri stati ve dinami durumlarda denetlemiştir. Model onusunda daha fazla bilgi sahibi olma için parametri çalışmalar yapmış, ii farlı yapıştırma modelini parametri bir çalışma ile ıyaslamıştır. Ieda (1990), yaptığı çalışmada piezoeletri özelliğin temelleri onusunda ço önemli sonuçlara ulaşmıştır. Bu çalışmasında eletri, meani ve termal sistemler arasındai etileşim proseslerini belirlemiş malzemenin piezoeletri ve piroeletri özellilerinin nasıl ortaya çıtığını anlatmıştır. letromeani etileşim ve piezoeletri bağlantıların termodinami açıdan incelenmesini sağlamıştır. ristal simetri ve fizisel sabitleri incelemiş, piezoeletri ortamda sesin yayılımı, meani ve dieletri ayıpları ele almıştır. Ayrıca yaptığı bu çalışmada piezoeletri malzemeler ve eletromeani transduserleri detaylı bir şeilde incelemiştir. 60

73 Mindlin (197), yaptığı çalışmada, elastisite, piezoeletri özelli ve ristal afes dinamiği haındai çalışması bu tarihe adar yapılan çalışmalara bir özet teşil etmete ve malzemelerin miro davranışlarını temsil eden atomi ölçeten maro düzeyde elasti ve piezoeletri davranışları temsil eden denlemleri elde etmetedir. Tiersten (1971), bu alanda yapılan bir başa önemli çalışmaya imza atmıştır. Çalışmasında termo- eletroelastisitenin nonlineer denlemlerine ulaşma için birisi eletroni yü süreli ortamı, diğeri ise afes (maddesel) süreli ortamı olma üzere ii süreli ortam etileşimini göz önüne almıştır. Bu çalışmasında eletrostati gerilme tansörünü ço açı bir şeilde ortaya oymuştur. 61

74 3. MATRYAL V YÖNTM 3.1. Materyal Bu çalışmada, materyal olara elasti-piezoeletri bir cisim ele alınmış ve ortamın sıışabilir olduğu abul edilmiştir. letro-termomeani yüleme sonucunda ele alınan ortamda ortaya çıan gerilme ve polarizasyon alanı ifadelerinin hesabını sağlayan bünye ve alan denlemleri çıartılmıştır. Öncelile tüm ortamlar için geçerli olan genel balans denlemleri, Termodinamiğin iinci prensibi (Clausius Duhem eşitsizliği), letrostati alanların davranışı, bünye teorisinin asiyomları ve özellile objetivite, maddesel simetri asiyomları ve malzemenin simetri grubuna ilişin avramlar bünye denlemlerinin ortaya onulmasında bir yöntem olara ullanılmıştır lasti Piezoeletri Ortamların Termodinamiği ısım 1.6 nın sonunda bahsedildiği gibi denge denlemleri herhangi bir fizisel ortam için geçerli olan denlemlerdir. Bu bölümde termodinamiğin birinci ve iinci anunu birleştirilip, bünye asiyomları da ullanılara gerilme, polarizasyon, entropi yoğunluğu, iç enerji ve ısı aısı yoğunluğu tayin edilecetir. Çalışmanın bu ısmında, il önce yuarıda adı geçen büyülüler üzerindei termodinami ısıtlamaları ullanara, ortamın fizisel ve topoloji özellileri de diate alınıp bünye denlemlerine de ait genel formüller çıarılaca daha sonra da bünye asiyomlarının ilgili olanları ullanılara bu formüller somutlaştırılacatır. ısım 1.6 dai (1.167) 1 ifadesini prati ullanım baımından daha yararlı şeillerde yazma için, (1.16) ifadesinden ısı aynağı ( ρ h) çeilir, (1.167) 1 ifadesinde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. ρ 1 1 ργ ( & ε θ & η Π& ) t l ν l, q, 0 θ (3.1) θ θ θ 6

75 Bu ifadedei entropi yoğunluğunun ve polarizasyonun maddesel türevi termodinami bir proses içinde ontrol edilemeyeceğinden dolayı bu büyülülerin türevini, yuarıda verilen (3.1) ifadesinde ontrol edilebilen θ ve büyülülerine intial ettirme için aşağıdai gibi tanımlanan bir Legendre transformasyonu ullanılabilir. ψ ε θη Π veya ψ ε θη ρ 1 P (3.) Yuarıdai ifadede ψ, genelleştirilmiş Helmholtz serbest enerjisi adını alır ve termodinami baımdan enerjinin ullanılabilir ısmını temsil eder. Daha ileride belirtileceği gibi, serbest enerji yoğunluğunun hangi büyülülere bağlı olduğunu malzemenin bünyesi belirleyecetir. (1.157) tanımıyla verilen (Π) nin ve (3.) ifadesindei (ε ) nun maddesel türevi (3.1) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, ontrol edilebilir bağımsız değişenler cinsinden ntropi eşitsizliği (Termodinamiğin iinci anunu) aşağıdai şelini alır (ringen ve Maguin, 1990). ρ ργ ( ψ& & θ η ρ & P ) t lν l, q, 0 θ (3.3) θ θ θ (θ ) pozitif değerli olduğundan, (3.3) eşitsizliği (θ ) ile çarpılırsa eşitsizli değişmeyecetir. (3.3) eşitsizliği (θ ) ile çarpılıp gereli sadeleştirmeler yapıldığında aşağıdai eşitsizli elde edilir ρ ( ψ& & θ η ρ & P ) t lν l, q θ, 0 (3.4) θ θ (3.4) eşitsizliğinde yer alan gerilme tansörü meani ve eletri yülemelerden aynalanmatadır ve simetri değildir. Bu gerilme tansörünün yerine (1.137) ifadesi ile verilen gerilme ifadesi yazılırsa, elde edilen yeni entropi eşitsizliği sadece 63

76 simetri bir gerilme tansörünü ihtiva edeceğinden, simetri tansörün avantajlarından yararlanmayı sağlayacatır. Dolayısıyla (3.4) eşitsizliği aşağıdai şeilde yazılabilir. 1 ρ ( ψ& & θη) t l ν l, P l ν l, q θ, P & 0 (3.5) θ (3.5) eşitsizliğindei ν l, terimi hız gradyanı tansörü olara bilinir ve aşağıdai gibi tanımlanmıştır (Şuhubi, 1994). ν L veya L v (3.6) l, l Hız gradyanı tansörünün transpozu, simetri olan şeil değiştirme hızı tansörü d ile antisimetri olan spin tansörü w nun toplamı olara tanımlanmatadır (Şuhubi, 1994). T L d d veya ν d w (3.7), l l l (3.7) ifadesinin transpozu alınırsa, hız gradyanı tansörü aşağıdai gibi yazılabilir. L d d T T = veya l, = d l wl ν (3.8) (3.6) eşitsizliğindei t l ν l, terimi (3.8) ifadesinden, t l gerilme tansörünün simetrisi ve w l spin tansörünün antisimetrisi nedeniyle aşağıdai gibi elde edilir. l ν l, l dl (3.9) t = t (3.9) ifadesi (3.5) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, aşağıdai eşitli elde edilir. 1 ρ ( ψ& & θη) t l dl P l ν l, q θ, P & 0 (3.10) θ 64

77 (1.4) 1 denlemiyle verilen Green deformasyon tansörünün maddesel türevi alınırsa, d l cinsinden aşağıdai gibi yazılır. & (3.11) C = dl x, xl, L (3.11) eşitliğinde bilinen işlemler terarlanırsa, d l simetri şeil değiştirme hızı tansörü C & cinsinden aşağıdai gibi bulunur. 1 = & (3.1) d l dl = C X, X L, l (3.10) eşitsizliğinde; ρ yerine (1.110) ifadesi, ( d l ) yerine de (3.1) ifadesi yazılır ve eşitsizli (J) ile çarpılırsa aşağıdai eşitsizli elde edilir. 1 ρ 0( ψ& θ η) J t C& X, X L, l JP l ν l, l 1 J q θ θ &, J P 0 (3.13) ψ ye bağlı gerilme potansiyeli aşağıdai gibi tanımlanabilir. Σ ρ 0 ψ (3.14) Σ bundan böyle serbest enerji adı ile anılacatır. (3.14) dei tanımıyla verilen serbest enerjinin (3.13) de yerine yazılmasıyla eşitsizli aşağıdai yeni formuna avuşur. 1 ( Σ & ρ 0η & θ ) J t C& X, X L, l JP l ν l, l 1 J q θ θ &, J P 0 (3.15) 65

78 Σ nın objetif olması istendiğinden, argümanların tümü aşağıdai (3.16) - (3.17) ifadelerindei tanımlarla maddesel oordinatlara göre yazılmıştır. Böylece (3.16) ifadesiyle, (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji yoğunluğunun, bu çalışmada ele alınan ortam için hangi argümanlara bağlı olduğu ortaya çımıştır. T l J X, X L, l t l (3.16) Q J X, q (3.17) P ρ Π (3.18) ρ Π J X, P = 0 X, = ρ0 X, x, (3.19) θ (3.0), x, θ, (3.16) - (3.0) tanımlarından aşağıdai ifadeler yazılabilir. 1 t l = J x, x l, L T (3.1) 1 q J x, = Q (3.) P = J 1 x, Π (3.3) X, = (3.4) θ = (3.5), X, θ, (3.15) eşitliğinde, (3.16), (3.0), (3.), (3.3) ifadeleri ullanılır ve gereli işlemler yapılırsa aşağıdai eşitsizli elde edilir. 66

79 1 1 ( Σ & ρ 0η & θ ) T C& θ, Q Π ( x, ν l, l x, & ) 0 (3.6) θ (3.6) eşitsizliğinde parantez içindei ifade, x, ν l, terimi, şeil değiştirme gradyanının maddesel türevi diate alınara, l, x, = ν l, = xl, ν şelinde ve &, terimi ise indis değişiliği yapılara x l &, l şelinde, ayrıca x l l = &, x şelinde yazılabileceğinden, (3.6) eşitsizliği maddesel oordinatlardai bileşenleri cinsinden aşağıdai formda ifade edilir. 1 1 ( Σ & ρ 0η & θ ) T C& θ, Q Π & 0 (3.7) θ (3.15) eşitliği eletrostati bir alanın etisinde bulunan ve elasti bir davranış gösteren termomeani alanlar için entropi üretiminin genel bir ifadesidir. Bu eşitsizliğin ullanılabilmesi için Σ nın hangi bağımsız değişenlere ne şelide bağlı olduğunun bilinmesi gereir. Buna göre Σ nın argümanlarını seçme formal olara belli bir malzeme seçme demetir. Bu çalışmada eletro- termomeani bir alanın etisinde bulunan, elasti davranış gösteren bir maddesel cisim malzeme olara seçilmiştir. Seçilen bu malzemeye göre Σ nın argümanları ve bağlı olduğu değişenler, ringen (1980) ve Şuhubi (1994) daha genel ve sistemati bir yalaşım izleyere tüm bünye fonsiyonları için geliştirdileri bünye asiyomlarını ullanara bulunacatır. 67

80 3.1.. Bünye Asiyomları Şimdiye adar elde ettiğimiz ve süreli ortamlarda geçerli olan denge denlemleri ortamın davranışını belirlememize yetmeyecetir. Bir malzemenin davranışını bilebilmemiz için o malzemeyi başa malzemelerden ayıran özellileri denlemimizin içine almamız gereir. Bir malzemenin fizisel olara geçerli bütün davranışlarında etili olaca tüm özellilerini yansıtıcı genellite ilişilere çoğu zaman gere yotur. Malzemenin incelenme istenen davranışını belirleyen, daha sade ilişiler yeterli olacatır. Çeşitli alan büyülüleri arasında geçerli olan ve göz önüne alınan malzemelerin yapısal özellilerinden aynalanan bağıntılara bünye bağıntıları veya bünye denlemleri adı verilir. lasti malzemelerin bünye teorileri üzerinde çalışıren yedi adet asiyomu işleme atacağız. Bu denlemlerin cisimlerin gözlenen ve de incelenmesi arzu edilen özelilerini yansıtaca şeilde rasyonel ve sistemati olara üretilmesi ile uğraşan teori de bünye teorisi adını alır. Her asiyomda olduğu gibi bünye asiyomları da doğadan elde edilen ilel izlenimlere ve rasyonel bir dönüşüm sistemine uyumlu bazı önermelerdir (Şuhubi, 1994) Nedenselli (ozalite) Asiyomu Bu asiyom yalnız termal etileşimlerin göz önüne alındığı ortamlarda gözlemlenebilir yada ölçülebilir abul edeceğimiz hareet x ( X, t) ile sıcalı θ ( X, t) alanlarının bağımsız bünye değişenler olara seçilmesi geretiğini ve verilmiş abul edilece dış uvvetlerle ısı aynağı dışında denli denlemlerine ve entropi eşitsizliğine giren ötei alanların bağımlı bünye değişenleri olduğunu ifade eder. Başa bir deyişle bağımlı bünye değişenleri, bağımsız bünye değişenleri olan hareet, eletri alan ve sıcalığın neden olduğu, yani bu değişenlerden türeyen büyülülerdir Determinizm Asiyomu Bu asiyom bir süreli ortamın belli bir parçacığındai bağımlı bünye değişenlerinin, ya da bundan sonra ullanmayı tercih edeceğimiz deyimle sadece 68

81 bünye değişenlerinin, ortamın bütün parçacılarındai hareet, eletri alan ve sıcalığın ortamın tüm geçmişinde aldıları değerler ile belirleneceğini ifade eder. Yani cismin belli bir anda belli bir notasındai davranışı bütün parçacılarının o andan öncei tüm zamanlardai hareet, eletri alan ve sıcalılarının bilinmesiyle estirilebilmelidir. Buna göre X maddesel notanın t anındai gerilme potansiyeli, [ x ( X, t ), ( X, t ), ( X, ) X] Σ ( X, t ) = Σ θ t, X V < t t (3.8) şelinde olur. Malzemenin hafızası olmadığından [ x ( X, t ), ( X, t ), ( X, X] Σ ( X, t ) = Σ θ t ), (3.9) şelini alır şbulunma Asiyomu Bu asiyom bir malzemenin bünye denlemlerini geliştiriren başlangıçta bütün denlemlerin aynı bağımsız bünye değişenlerini içermesi geretiğini ifade eder Uygunlu Asiyomu Bu asiyom her türlü bünye denleminin süreli ortamlar meaniğinin temel ilelerine, yani ütlenin orunumuna, lineer ve açısal momentumun denliğine, enerji denliğine ve her bağımsız termodinami süreç altında entropi eşitsizliğine uyumlu olması geretiğini ifade eder Objetivite Asiyomu Bu asiyom bünye denlemlerinin uzaysal oordinat taımının her hangi bir rijid hareeti altında form-invaryant alması geretiğini, başa bir deyişle bünye fonsiyonellerinin biçiminin objetif olara eşdeğer hareetler altında değişmeden aldığını ifade eder. Dolayısıyla birbirlerine göre rijid hareet eden oordinat 69

82 taımlarına yerleşmiş gözlemcilerin ortamın bu bünye denlemlerine göre gözlemledileri ya da ölçtüleri davranışlarının birbirinin aynısı olması gereir. Burada H (t) uygun bir ortogonal transformasyon matrisi ( H H = H H = I), det H = 1, I = birim matris, b(t) = Öteleme matris, t ise zaman orjininin t den sabit bir a ayması ile elde edilen zaman dilimidir. Objetif olara eşdeğer x ve x hareetli, T T x ( X, t ) = H ( t ) x( X, t ) b( t ), t = t a (3.30) bağıntısı ile tanımlanmatadır. Saler değerli gerilme potansiyeli, Σ [ x( X, t ), θ ( X, t ), ( X, t ), X ] = Σ [ x ( X, t ), θ ( X, t ), ( X, t ), X] veya Σ Σ [ H ( t ) x ( X, t ) b ( t ), θ ( X, t ), ( X, t ), X ] [ x ( X, t ), θ ( X, t ), ( X, t ), X ] (3.31) bağıntısı şelinde olma zorundadır. A. Uzaysal oordinatların ötelenmesi Bu durum için H ( t ) = I, b( t ) = x( X, t ) alınır. Bu değerler (3.30) de yerine yazılırsa, x ( X, t ) = x( X, t ) x( X, t) (3.3) elde edilir. (3.3) denlemini (3.31) de yerine yazarsa gerilme potansiyeli aşağıdai şeilde olur. [ x ( X, t ) x ( X, t ), ( X, t ), ( X, X ] Σ ( X, t ) = Σ θ t ), (3.33) 70

83 B. Uzaysal oordinatların rijid dönmesi Bu durum için b = 0, a = 0, H ( t ) : eyfi olara alınır. Bu değerler (3.30) de yerine yazılırsa, x ( X, t ) = H ( t ) x ( X, t ) (3.34) elde edilir. (3.34) denlemi (3.31) ifadesinde yerine yazılırsa gerilme potansiyeli aşağıdai şeilde elde edilir. [ H ( t ) x ( X, t ), ( X, t ), ( X, X] Σ ( X, t ) = Σ θ t ), (3.35) Maddesel Simetri Asiyomu Bir süreli ortamın bir parçacığına bağlı fizisel özelliler o maddesel notadan geçen doğrultulara bağlı değilse ve bu özelli ortamın bütün parçacıları için geçerli ise ortam izotroptur. Fizisel özelliler doğrultuya göre değişiyorsa anizotroptur. Ortamın fizisel özellileri parçacıtan parçacığa değişmiyorsa ortam homojendir, değişiyorsa heterojendir. Bu durumda bünye denlemleri, maddesel oordinat sisteminin B adar ötelenmesi ve H ortogonal transformasyonuna göre form invaryanttır. X = H X B (3.36) Bu ifade (3.33) ifadesinde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. [ x ( H X B ) x ( X, t ), ( X, t ), ( X, X ] Σ ( X, t ) = Σ θ t ), (3.37) 71

84 Yöreselli asiyomu X notasındai bağımlı bünye değişenlerinin ( t,q,ε, η ) değerinin anca o parçacığın yaın yöresindei bağımsız bünye değişenlerinden ( x, θ ) etileneceğini ifade eder. Bir baıma ortamı oluşturan parçacılar arasındai etileşimlerin ısa erişimli olduğu anlamına gelir. Matematisel bir yapı azanabilmesi için ortamın X notası civarındai hareeti Taylor serisinde açarsa, ( X ' ', t ) = x ( X, t ) x ( X, t )( X X ) 1 ', ' x, ( X, t )( X X )( X L X L )... (3.38) şelinde yazılabilir. (3.38) ifadesinin il ii teriminin alınmasıyla oluşan malzemeye basit termomeani malzemeler denir (ringen, 1980). Yöreselli asiyomuna göre Σ nın argümanlarına olan bağımlılığı X ve X arasındai mesafe arttıça hızla sönümlenmetedir. x ( X, t ) x ( X, t ) = x, ( X, t )( X X ) (3.39) Buna göre gerilme potansiyeli indes notasyonuyla yazılırsa, Σ X, t ) = Σ[ x ( X, t ), ( X, t), θ ( X, t ), X ] (3.40) (, şelini alır. Objetivite asiyomu, (3.40) ifadesine bir ısıtlama daha getirir. Bu ısıtlamaya göre gerilme potansiyeli, deforme olmuş malzemenin rijit hareetleri altında invaryant almalıdır. Bu durumda, uzaysal oordinat sisteminin zamana bağlı transformasyonları altında, Σ nın invaryant alması gereir. Cauchy teoremine göre bu şartın sağlanması ve Σ nın il argümanının te değerli bir fonsiyonu olabilmesi 7

85 için x, = x, i ya olan bağımlılığı,, x vetörlerinin aşağıda belirtildiği gibi iişer iişer saler ve üçlü arışı çarpımlarına bağımlılığı şelinde olması demetir (Şuhubi, 1994). x = C (3.41),.x, L x,. x, L x, M (3.4) (3.40) ifadesindei diğer argümanlar, maddesel oordinatlarda ifade edildiğinden Cauchy teoremi bu argümanlar için söz onusu değildir ve bu argümanlar aynen yerinde alır. (3.41) ifadesi Green deformasyon tansörünün tanımıdır ve (3.35) ifadesi ile verilmiştir (Şuhubi, 1994). (3.4) ifadesi ise deformasyon gradyanının determinantını tanımlamata olup (1.6) ve (1.168) denlemlerinde gösterildiği gibi aşağıdai gibi ifade edilir (Şuhubi, 1994). ρ 1 ( ) ε ε ρ ( X, t ) 3! 0 J d et X = = M lm x, xl, Lxm, M (3.43) (1.4) 1 ve (3.43) ifadesinden faydalanara (3.40) ifadesi aşağıdai şeilde yazılabilir. 1 [ C ( X, t ), ρ ( X, t ), X, θ ( X, t ), ( X, t) ] Σ ( X, t ) = Σ (3.44) Tutarlılı asiyomuna göre, daha önce ütlenin orunumu yasasını ρ0 J = = d et C ρ ( X, t ) şelinde belirtmiştir, (3.44) ifadesinde de C nin mevcut 1 olması nedeniyle ρ değişenler listesinden çıartılabilir. Bu durumda meani bir yülemeye maruz, elasti-piezoeletri bir ortamın gerilme potansiyelinin hangi argümanlara bağlı olduğu aşağıdai denlem ile ortaya çımıştır. 73

86 [ C ( X, t ), ( X, t), X, θ ( X, ) ] Σ ( X, t ) = Σ t (3.45) Bu eşitsizliğin bağımsız değişenlerinin değişiminin bir lineer ombinezonu olara ifade edebilme için Σ nın (3.45) ifadesiyle belirtilen argümanların maddesel türevinin bilinmesi gereir. Malzemelerin homojen olduğu abul edilere (3.45) ifadesine verilen Σ nın bağlı olduğu argümanlardan X aldırılır. (3.45) ifadesinin maddesel türevini alırsa aşağıdai ifadeyi elde ederiz. & Σ & Σ & Σ= C & θ C Σ θ (3.46) Bu ifadeyi (3.7) eşitliğinde yerine yazarsa aşağıdai eşitsizli elde edilir. 1 ( T Σ C 1 Σ Σ ) C& ρ 0 ( η ) & θ ( Π ) & 0 (3.47) ρ θ 0 (3.47) ifadesiyle verilen ntropi eşitsizliğindei termodinami proses, aşağıdai gibi bir sütun vetörüyle gösterilebilir. C& S = & (3.48) & θ (3.48) ifadesiyle verilen sütun vetör, elasti ve piezoeletri bir malzeme için termodinami prosesi temsil eden eyfi bir vetör olara düşünülmüştür. (3.47) eşitsizliğindei argümanları, sağdan başlayara θ yı & θ şelinde C yi C & şelinde yı & şelinde eyfi olara değiştirebileceğimizden (3.47) eşitsizliğinin sağlanabilmesi için θ & nın C & nın atsayıları sıfır olacatır. C & nın & nın & θ nın atsayıları sıfıra eşitlenece aşağıdai ifadeler elde edilir (Şuhubi, 1994). 74

87 T Σ = (3.49) C 1 Σ η = ρ θ 0 (3.50) Σ Π = (3.51) Q = 0 (3.5) elde edilir. Diğer taraftan bünye denlemlerinden olan iç enerji (ε ) ; (3.) ve (3.14) ifadelerinden aşağıdai gibi yazılabilir. 1 1 ε = Σ θη ρ P (3.53) ρ 0 Bu ifade 1 ρ 0 parantezine alınırsa, 1 ε = ( Σ ρ0θη Π ) (3.54) ρ 0 ifadesi elde edilir. Bu ifadede η ve Π terimi yerine (3.50) ve (3.51) ifadesi yerine yazılırsa, iç enerji (ε ) aşağıdai formda ortaya çıar. 1 ε = ρ 0 Σ Σ θ θ Σ (3.55) 75

88 Maddesel oordinatlarda ifade edilmiş olan simetri gerilme tansörü, (3.1) göz önüne alınara uzaysal oordinatlarda aşağıdai gibi yazılabilir. 1 t l J T x, xl, L = (3.56) Bu ifadede, ütlenin orunumu J 1 ρ = ρ 0 tarzında ullanılır ve T terimi yerine (3.49) de ifadesi yazılırsa simetri gerilme tansörü aşağıdai tarzda yazılır. ρ Σ ρ0 C t l = x, xl, L (3.57) Benzer işlemler (3.3) ile verilen polarizasyon bünye denlemleri ile gerçeleştirilirse, Σ 1 P = J x, (3.58) İfadesi elde edilir. (1.137) ifadesi ile verilen asimetri gerilme tansörü t l yuarıdai listede doğal olara gözümemetedir. Bütünlüğü sağlama amacıyla bu gerilme ifadesinde yer alan simetri gerilme polarizasyon terimleri (3.58) ve (3.57) de verilen formlar ile yerine yazılırsa, t l = t l P l (3.59) İfadesi elde edilir. Bu ifade asimetri gerilmenin uzaysal oordinatlardai formudur. (3.59) denleminin maddesel oordinatlardai formu aşağıdai gibi elde edilmiştir. T (3.60) 1 = T Π X M, l X L, l M = T Π M CML 76

89 Bu durumda asimetri gerilmenin hesaplanması için; simetri gerilme ve polarizasyon alanına ait bünye denlemlerinin bulunması geremetedir. Simetri gerilme ve polarizasyon alanının serbest enerji fonsiyonu Σ ya bağlı olduğu (3.49) ve (3.51) denleminde açıça görülmetedir. Bu aşamada, incelenen malzemenin uyma zorunda aldığı maddesel simetri ısıtlamalarından bahsetme uygun olacatır. I, tercihli doğrultulara arşılı gelen bir maddesel oordinat taımını yeni bir maddesel oordinat taımına dönüştüren ve yapının fizisel özellilerini invaryant bıraan ortogonal matrislerden oluşmuş sonlu bir grup olsun. Bu gruba incelenen ristal yapının simetri grubu denir ve ortogonal grubun bir alt grubunu oluşturur, dolayısıyla I O(3) yazılabilir. Simetri grubu tam ortogonal gruba eşitse malzeme izotroptur. I simetri grubunun üyesi olan ve sonlu sayıda S Imatrislerinden oluşmuş bir simetri grubu diate alındığında, bünye = fonsiyonellerinin aşağıdai oordinat dönüşümleri altında şelen değişmez alması geretiği görülmeledir (Şuhubi, 1994). X = S ' X L, X = S X = S L T L ' X ' S = 1 = S = T S I (3.61) = (3.61) ile verilen maddesel simetri ısıtlaması, Σ = Σ( C,, θ ) bünye fonsiyonellerini aşağıdai gibi ifade etmeyi geretirir. ' ' Σ ' = Σ Σ ( C,, θ ) = Σ ( C,, θ ) (3.6) 77

90 Bu bünye fonsiyonellerinin argümanları ise (3.61) ile verilen dönüşüm diate alınara aşağıdai gibi yazılır. C = S S C C = S C S ' M LN MN ' T ' = S = S M M ' (3.63) (3.63) de verilen ifadeler (3.6) bünye fonsiyonellerinde yerine yazıldığında aşağıdai ifadeler elde edilir. T Σ ( SCS, S,, θ ) = Σ ( C,, θ ) (3.64) Bu çalışmada incelenen malzeme anizotroptur. Bu sebepten anizotropi yapıyı temsil etme için bünye fonsiyonellerinin seri açılımı yapılacatır. 78

91 3.. Yöntem Bu çalışmada, tüm ortamlar için geçerli olan genel balans denlemleri, Termodinamiğin. prensibi (Clausius-Duhem eşitsizliği ), letrostati alanların davranışı, bünye teorisinin asiyomları ve özellile objetivite, maddesel simetri asiyomları ve malzemenin simetri grubuna ilişin avramlar açınılmaz bir yöntem olara ullanılmıştır. le alınan malzemenin piezoeletri özelliğinden dolayı anizotrop bir ortam olduğu düşünülmüştür. Anizotrop bir ortamda bünye fonsiyonelinin (gerilme potansiyeli) açı formunun elde edilmesi için yalaşı teorilerden faydalanılacatır. Yalaşı teoriler elde etmede en sistemati yalaşım; ortamın referans onumunu doğal durumu olara seçme ve bu durumda =0 olduğu için gerilme potansiyelini doğal durum etrafında genleme tansörünün bileşenleri cinsinden bir MacLaurin serisine açmatır. Lasti gibi bazı elastomerler dışındai atı cisimlerin çoğu anca ço üçü genlemeler için elasti davranış gösterdilerinden böyle bir serinin il biraç mertebeden terimi ile yetinme genellile yeterli olur. Seri açılımıyla ortaya onulan gerilme potansiyeli, bünye denlemlerinde yerlerine yazılıp, deformasyon tansörüne ve eletri alan vetörüne göre türevi alınara gerilme ve polarizasyon alanı denlemleri non-lineer formda elde edilecetir. lde edilen bünye denlemleriyle problem çözme zor olacağından dolayı bünye denlemleri lineerleştirilmesi geremetedir. Lineer teoriyi elde etme için yer değiştirmeler, yer değiştirme gradyanları ve genleme hızları ço üçü abul edilir. lde edilen lineer bünye denlemleri balans denlemlerinde yerlerine onulara alan denlemlerine ulaşılacatır Anizotropi Ortamlarda Simetri Gerilme ve Polarizasyonun Bünye Denlemlerinin Tayini Bu çalışmada ele alınan malzemenin Piezoeletri özelliğinden dolayı genel anlamda anizotrop olduğu düşünülmüştür. Bu ısımda simetri gerilme ve polarizasyon için bünye denlemleri bulunacatır. Bunun için bir yalaşım olara; ortamın referans onumu doğal durum olara seçilip gerilme potansiyeli bu doğal durum etrafında, 79

92 bağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir uvvet serisine açılara gerilme potansiyeline bağlı olan simetri gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanabilir. C tansörü, tansörü cinsinden aşağıdai ifade geçerlidir. C = δ şelinde ifade edilebildiğinden Σ = Σ (,, θ ) (3.65) Σ Σ = (3.66) C ve maddesel oordinatlara bağlı olduğundan, oordinat dönüşümlerinden bu terimler etilenir. Dolayısıyla notasyon olaylığı sağlama için Σ nın θ ya olan bağımlılığı gösterilmeyecetir. Buna göre (3.65) ifadesi, aşağıdai gibi yazılabilir. Σ = Σ, ) (3.67) ( (3.67) fonsiyonu, cinsinden analiti abul edilere = 0, = 0 civarında bir Taylor serisine açılırsa aşağıdai ifade elde edilir. Σ (, Q Σ ) = Σ (0,0) 0 Σ Q 0 Q 1 Σ! Σ Σ MN QN Q MN 0 Q N 0 Q 0 1 3! 3 Σ 3 Σ MN SQ QN S MN SQ 0 Q N S 0 3 Σ 3 Σ MN Q QN MN Q 0 Q N 0 (3.68) 80

93 (3.68) seri açılımındai ısmi türevler, X parçacığına ve sabit θ bağlı birer atsayı oldularından, Σ(, ) = Σ0( θ, X ) Σ ( θ, X ) β ( θ, X ) Q Q Q 1 Σ 1 Σ 3 MN MNSQ 1 ( θ, X ) MN βqn ( θ, X ) QN λq ( θ, X ) 1 ( θ, X ) MN SQ βqns ( θ, X ) Q 3 ~ 1 λ MNQ ( θ, X ) MN Q λqn ( θ, X ) QN (3.69) ~ ~ N S Q İfadesi yazılabilir. Ortam homojen olduğunda (3.69) ifadesindei atsayı fonsiyonlarının X e olan bağımlılığı alar. Bundan böyle atsayı fonsiyonlarının argümanları yazılmayacatır. (3.68) ve (3.69) ifadelerinden bu atsayılar aşağıdai gibi tanımlanır. Σ 0 Σ(0,0) Σ Σ 0 Σ β 0 Q 0 Σ MN Σ MN 0 β QN Σ Q N 0 81

94 λ Q 1 Σ Q 0 Σ MNSQ 1 3 Σ MN SQ 0 β QNS Σ Q N S 0 λ MNQ Σ MN Q Σ λ QN (3.70) 6 Q N 0 tansörünün simetrisi ve (3.70) ifadesindei tanımlarda türevlerin sıraya bağlı olmaması nedeniyle, bu atsayılar aşağıda verilen simetri özellilerini taşır. Σ = Σ L Σ MN = Σ LMN = Σ NM = Σ MN β QN = β NQ λ Q = λ LQ Σ MNSQ = Σ LMNSQ = Σ NMSQ = Σ MNSQ = Σ SQMN = Σ SQMN β = β = β = β QNS NQS QSN SNQ 8

95 λ = λ = λ = λ MNQ LMNQ NMQ MNQ λ = λ = λ (3.71) QN LQN NQ (3.66) ve (3.49) denlemine göre T PR Σ = (3.7) PR Şelinde tanımlanabilir. (3.7) denlemindei Σ PR terimi, (3.69) denleminden aşağıdai gibi hesaplanır. Σ PR = Σ PR 1 ( Σ PRMN MN Σ PR ) λ PRQ Q 1 (Σ PRMNSQ MN SQ Σ PRSQSQ Σ MNPRMN ) 3 1 ( λ PRMNQMN Q λprqq ) λ PRQN Q N (3.73) (3.73) denlemindei atsayıların indisleri uygun şeilde değiştirilir, (3.71) ifadesiyle verilen simetri özellileri de diate alınırsa, (3.73) ifadesi aşağıdai gibi yazılır. Σ PR = Σ PR Σ PRMN MN λ PRQ Q Σ PRMNSQ MN SQ λ λ (3.74) PRMNQ MN Q PRQN Q N 83

96 (3.74) bağıntısı (3.7) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. T PR = Σ PR Σ PRMN MN λ PRQ Q Σ PRMNSQMN SQ λ λ (3.75) PRMNQ MN Q PRQN Q N = 0 doğal durumda, ortamın gerilmesiz olduğu abul edilirse Σ PR = 0 sonucuna varılır. Buna göre, (3.75) denlemi aşağıdai gibi yazılır ve elde edilen denlem piezoeletri anizotrop bir ortamda gerilmenin bünye denlemidir. T PR = Σ PRMN MN λ PRQ Q Σ PRMNSQMN SQ λ λ (3.76) PRMNQ MN Q PRQN Q N (3.1) ısmında polarizasyon alanı (3.51) ifadesiyle aşağıdai gibi verilmişti. Σ Π R = (3.77) R Σ R terimi, (3.69) denleminden aşağıdai gibi hesaplanır. Σ R 1 ( β 3 1 = β R ( β RN N βqr Q ) λ RNS N S R β β ) QRS Q S QNR 1 λ MNRMN λrn N λ Q N QR Q (3.78) (3.78) denlemindei atsayıların indisleri uygun şeilde değiştirilir. (3.71) ifadesiyle verilen simetri şartları göz önüne alınara (3.78) ifadesi aşağıdai gibi yazılabilir. 84

97 Σ R = β β R RQ Q λ R β RQN 1 λmnrmn λqrq (3.79) Q N (3.79) ifadesi (3.77) denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. Π R = { β β λ β R RQ Q R RQN Q N 1 λmnr λ MN QRQ (3.80) = 0 doğal durumda, ortamda polarizasyon olmadığı abul edilirse β = 0 sonucuna varılır. Bu durumda meani ve eletromeani etileşimler nonlineer abul edilere anizotropi özelli taşıyan ortamlarda polarizasyon alanı aşağıdai şeilde ifade edilmiştir. R Π R = [ β λ β RQ Q R RQN Q N 1 λmnrmn λqr (3.81) Q ] (3.76) ve (3.81) denlemleri piezoeletri bir anizotrop ortamda, ortamın sıışabilir abul edildiği, meani ve eletrisel etileşimlerin nonlineer abul edildiği durumda polarizasyon alanının ve gerilmenin maddesel bünye denlemleridir. Polarizasyon alanının bünye denlemini veren (3.81) ifadesine diat edilirse, bu çalışmada meani ve eletrisel etileşimler ile ilgili yapılan abuller altında eletri alanının, genleme tansörünün, eletri alanının iinci dereceden terimlerinin, genleme tansörü ile eletri alan vetörünün birlite etileşiminin polarizasyon alanının oluşumuna atıda bulunduları görülmetedir. ğer meani ve eletrisel etileşimler lineer abul edilirse, (3.81) ifadesinin il ii terimi dışında alan terimler ortadan alar. Ortamın sıışabilir, meani ve eletrisel etileşimlerin nonlineer abul edildiği piezoeletri bir anizotrop ortamlarda simetri gerilmenin bünye denlemini veren (3.76) ifadesine diat edilirse il terim genleme tansörünün, iinci 85

98 terim eletri alandan aynalanan eletrostritif etinin, üçüncü terim genleme tansörünün nonlineer etisinin, dördüncü terim genleme tansörü ile eletri alanının birlite etileşiminin ve son terim ise eletri alanın nonlineer etisinin simetri gerilmeye olan atılarını ifade etmetedir. Buna göre, (3.76) ve (3.81) ifadelerindei terimler bu çalışmada söz onusu abuller altında ortaya çımış olup özel hallerde bilinen lasi ifadelere indirgenmetedir. Oluşturulan bu matematisel model polarizasyon alanı ve simetri gerilme bünye denleminin maddesel oordinatlardai ifadeleridir. 86

99 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4.1. Asimetri Gerilmenin Tayini Bu ısımda, ele alınan malzemede ortaya çıan asimetri gerilme tansörü hem maddesel hem de uzaysal oordinatlarda bulunacatır. Asimetri gerilme tansörü (3.61) ifadesiyle aşağıdai gibi verilmişti. T (4.1) 1 PR = T PR Π P M CMR (3.75) ile verilen simetri gerilme denlemi ile (3.80) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denlemi, (4.1) denleminde yerine yazılırsa asimetri gerilme aşağıdai gibi elde edilir. T PR = Σ PRMN MN λ PRQ Q λprmnqmn Q λprqn QN Σ β PRMNSQ RQN Q MN N M SQ C β RQ Q 1 λ M C λ C 1 1 MR R M MR C 1 1 MR MNR MN M MR λ C (4.) QR Q M 1 MR (4.) ifadesi meani etileşimlerin ve eletrisel etileşimlerin nonlineer abul edildiği durumda ele alınan malzemede ortaya çıan asimetri gerilmenin maddesel oordinatlardai bünye denlemidir. 4.. Yarı -Lineer teori Şeil değiştirmeler, x ), yer değiştirme gradyanları, U ) ve ço üçü abul (, (,L edildiği tadirde (3.76), (3.81) denlemleri ile verilen polarizasyon alanı ve simetri gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir. Lineer Teoriyi elde etme için ortam şeil değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün; 87

100 << 1 (,L=1,, 3) (4.3) Şartını sağladığı varsayılacatır (Şuhubi, 1994). Buna göre (3.81) ifadesiyle verilen polarizasyon alanının bünye denlemindei QN terimi asimetri gerilmede 3. mertebeden eletri alan vetörü ortaya çıardığından ihmal edilebilir. (3.76) ile verilen simetri gerilmenin bünye denlemindei MN Q teriminin atsayısı 5. dereceden malzeme tansörü olduğu için ihmal edebiliriz. Bu durumda, simetri gerilme ve polarizasyon alanının bünye denlemlerini aşağıdai hale indirgenebilir. T PR = Σ λ λ (4.4) PRMN MN PRQ Q PRQN Q N R [ β λ λ ] Π = (4.5) RQ Q R QR Q Bu ifadeler (4.1) denleminde yerine yazılırsa asimetri gerilmenin yarı-lineer bünye denlemi aşağıdai gibi elde edilir. T PR = Σ PRMN MN λ PRQ Q λ PRQN Q N β RQ Q M C 1 MR λ C (4.6) R M 1 1 MR λqrqmcmr Yarı - Lineer Bünye Denlemlerinin Uzaysal oordinatlardai İfadeleri Lineer teoride x, ve L U, ço üçü olduğu abul edildiğinden süreli ortamların bilinen bağıntılarından aşağıdai ifadeler yazılabilir. x, x l, L λ λ ll X, X l, L λ λ ll 88

101 ~ 1 ( u u ) e l e, l =, l l, 1 & ~ & & ( u& u ) d l el e, l =, l l, ~ λ λ ~ 1 λ λ ( u u ) llel = ll, l l, & ~ 1 λ λ & λ λ & ( u& u ) llel = ll, l l, x p, P x r, R = x p, Pxr, Rx, λ pp λ rr λ 1 J = ( 1 u, ) (4.7) Şelindedir (Şuhubi, 1994). Simetri gerilmenin polarizasyon alanının lineer bünye denlemleri (4.4) ve (4.5) ifadeleri ile maddesel formda elde edilmiştir. Bu lineer bünye denlemlerini uzaysal formda elde etme için ısım de verilen aşağıdai ifadelerden yararlanılır. 1 t pr = J x p, Pxr, R T PR P r = J 1 x r, R Π R t pr = t P (4.8) pr p r (4.7) 8 denlemine göre (4.8) 1- denlemi terar yazılırsa t pr ( 1 u, ) x p, Pxr, R = T (4.9) PR 89

102 P r = 1 um, m ) xr, R ( Π (4.10) R Şelinde ifade edilir. yazılır. (4.4) denlemi ile (4.7) ifadeleri ullanılara (4.9) ifadesi, t pr = ( 1 u [ λ ppλrrλmm λnnσ PRMNe ~, ) mn λ ppλrrλqqλprqq λ λ λ λ λ (4.11) pp rr qq nn PRQN q n ] Şelinde bulunur. (4.1) ifadesi aşağıdai şeilde ifade edilebilir. t pr [ Σ e λ λ ] = ( 1 u ) ~, (4.1) prmn mn prq q prqn q n (4.1) denlemindei Σ prmn, prq λ uzaysal malzeme tansörleri, Σ PRMN, λ PRQ tansörleri ile aynı simetri özellilerini taşır ve (4.11) ifadesinden aşağıdai gibi tanımlanır. Σ prmn λ pp λ rr λ mm λ nn Σ PRMN λ λ prq pp λ rr λ qq λ PRQ λ λ λ λ λ λ (4.13) prqn pp rr qq nn PRQN (4.5) denlemi, (4.10) ifadesinde yerine yazılır (4.7) ifadeleri de ullanılırsa, uzaysal polarizasyon alanının lineer bünye denlemi aşağıdai gibi bulunur. P ( 1 u )( e~, λ λ β λ λ λ λ r = m m rr qq RQ q ll rr R l ll qq rr QR l q ) λ λ λ λ λ e ~ (4.14) 90

103 (4.14) ifadesi aşağıdai şeilde de ifade edilebilir. r ( β λ e~ e ) P = ( 1 u ) ~, λ (4.15) rq q lr l lqr q (4.15) denlemindei β rq, λ lr, λ lqr uzaysal malzeme tansörleri, β RQ, λ R, λ QR tansörleri ile aynı simetri özellilerini taşır ve (4.14) denleminden aşağıdai gibi tanımlanır. β λ rq rr λ qq β RQ λ λ lr λ ll λ rr λ R λ λ λ λ λ λ (4.16) qlr ll qq rr RQ (4.1) ifadesindei Σ prmn (4.15) ifadesindei λ lr ve λ lqr atsayıları Σ prmn = Σ prnm λ lr = λ lr λ lqr = λ lqr (4.17) Bu durumda (4.1) ve (4.15) bünye denlemleri, yer değiştirme gradyanının ve türevinin bileşenleri cinsinden aşağıdai ifadelere dönüşmüş olur. t pr [ Σ u λ λ ] = 1 u, ) p r m n m, n ( (4.18) p r q q prqn q n P r = 1 u )( β λ u λ u ) (4.19) ( m, m rq q lr, l lqr, l q gereli işlemler yapıldıtan sonra (4.18) ve (4.19) denlemleri aşağıdai şeli alır. 91

104 t pr Σ prmnum, n λ prqq λ prqnqn λ prqu, q λ prqnu, = (4.0) q n = β λ, λ β q (4.1) P r rqq lru l lqru, l q rqum, m Yuarıdai Σ p r mn, p r q λ, prqn λ rq β, λ lr, λ lqr atsayıları, X parçacığına ve sabit θ sıcalığına bağlıdır. (4.0) ve (4.1) denlemleri simetri gerilmenin, polarizasyon alanının, ortamın sıışır, piezoeletri bir ortamda uzaysal oordinatlardai yarı lineer bünye denlemleridir. (4.0) ifadesi sıışabilir Piezoeletri ortamlarda gerilme ifadesini vermetedir. Bundan sonrai ısımda asimetri gerilmelerin lineer bünye denlemleri, maddesel ve uzaysal oordinatlarda elde edilecetir. Daha sonra da ısım 1.5 ve 1.6 da verilen eletrisel yer değiştirme vetörü ile alan denlemi bulunacatır Yarı Lineer Teoride Asimetri Gerilmelerin Tayini Maddesel oordinatlarda Daha önce ısım 4.1 de (4.1) denlemiyle asimetri gerilmenin maddesel oordinatlardai hali ifade edilmişti. (4.4) ve (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denleminde uygun indis değişiliği yapılara (4.1) ifadesinde yerlerine yazılırsa, toplam asimetri gerilmenin maddesel lineer formu aşağıdai gibi elde edilir. T PR = Σ PRMN MN λ PRQQ λprqn QN β C (4.) PQ Q M MR λpm CMR λqpqm CMR 9

105 Gerilme ile bir arada gözümesi açısından ısım 4. de (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanının bünye denlemi aşağıda terar yazılmıştır. R [ β λ λ ] Π = (4.3) RQ Q R QR Q Uzaysal oordinatlarda Asimetri gerilme ısım 1.6 da uzaysal oordinatlarda (1.137) ifadesi ile aşağıdai gibi verilmişti. t pr = t pr Pp r (4.4) (4.18) ve (4.19) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denleminde uygun indis değişiliği yapılara (4.4)denleminde yerlerine yazılırsa, asimetri gerilmenin lineer uzaysal formu aşağıdai gibi elde edilir. = Σ prmnum, n λ prqq λ prqnqn λ prqu, q λ prqnu qn t pr, β λ, λ β qr (4.5) pq qr lpu lr lqpu, lqr pqum, m Buraya adar yapılan işlemlerde uzaysal oordinatlarda gerilme tansörüyle (simetri olmayan) polarizasyon vetörü (4.5)ve (4.1) denlemleriyle deplasman vetörünün gradyanları eletri alan cinsinden ifade edilmiş oldu. Bundan sonra ise, (4.1) bünye denlemi, ısım 1.5 te (1.98) ifadesiyle verilen toplam eletrisel yer değiştirme vetörünün diverjansını veren ifadede, eletri alan vetörü yerine de ısım 1.5 te verilen (1.99) 1 ifadesi yazılara, yani genel anlamda bünye denlemleri balans denlemlerinde yerine onulara alan denlemleri bulunacatır. ısım 1.5 te (1.94) ifadesiyle tanımlanan toplam eletrisel yer değiştirme vetörü, D = ε 0 P veya D r = ε 0 r Pr (4.6) 93

106 Şelinde ve Gauss anunu ile Faraday anunu da ısım 1.5 te sırasıyla (1.98) ve (1.99) 1 ifadeleriyle aşağıdai gibi verilmişti. V (t) İçinde; D = 0 veya ε r P 0 (4.7) D r, r = 0, r r, r = V (t) İçinde; r = φ, r (4.8) (4.1) denlemi (4.6) ifadesinde yerine yazılır ve eletri alan yerine (4.8) ifadesi yazılırsa toplam eletrisel yer değiştirme vetörü aşağıdai gibi bulunur, ( β φ λ u λ u φ β u ) ε 0φ φ D r =, r rq, q lr, l lqr, l, q rq m, m, q = rq φ, q λ λ φ β φ lru, l lqru, l, q rqum, m, q ε 0 δ β (4.9) rq rq rq Ortamın homojen ve izotermal olduğu göz önünde bulundurulara, (4.9) ifadesinin diverjansı alınır ve (4.7) 1 denleminde yerine yazılırsa aşağıdai ifade elde, 0 r, r rq, q lr, lr lqr, lr, q, l, qr = D = φ λ u μ ( u φ u φ ) rq( um, mrφ, q um, mφ, qr β ) μlqr = λ lqr (4.30) ısım 1.6 de (1.169) 1 ifadesiyle verilen Cauchy hareet denleminde eletri alanı yerine (4.8)ifadesi yazılırsa aşağıdai ifade elde edilir. ρ & ν = ρ (4.31) p f p trp, r Pr, rφ, p 94

107 ütlenin orunumundan 1 1 ρ = ρ0 J ve (4.7) 8 ifadesinden J = ρ / ρ0 = (1 u, ) olduğunu diate alara ρ = ρ0 ( 1 u, ) (4.3) Yazılabilir. Ayrıca; v p u p u p u& p = u p u (4.33) t t, Şelindedir. (Şuhubi, 1994). Buna göre (4.31) ifadesindei ρ & ν p terimi (4.3) ve (4.33) ifadelerinden aşağıdai gibi yazılabilir. u p u p ρ & ν p = ρ0 (1 u, ) ρ 0 (4.34) t t Bu durumda ço üçü hareetler yapan sıışabilir, piezoeletri bütün ortamlarda hareet denlemi aşağıdai gibi elde edilir. u p ρ 0 = ρ0( 1 u, ) f p t pr, r P r, rφ t, p (4.35) (4.35) denlemindei t pr, r terimi (4.18) denleminden ortamın homojen ve izotermal olduğu göz önünde bulundurulara, t pr, r prmn m, nr prq, qr prqn (, qr, n, q, nr = Σ u λ φ λ φ φ φ φ ) [ u φ φ u ( φ φ φ φ )] λ prq ( u, rφ, q u, φ, qr ) λ prqn, r, q, n,, qr, n, q, nr (4.36) şelinde ifade edilebilir. (4.35) denlemindei ( P r, r ) terimi (4.1) ve (4.8) ifadelerinden, 95

108 P r, r rq, qr lr, lr lqr, lr, q, l, qr = β φ λ u λ ( u φ u φ ) β u φ u φ ) (4.37) rq ( m, mr, q m, m, qr Şelinde elde edilebilir. Bu durumda (4.36) ve (4.37) ifadeleri (4.35) hareet denleminde yerlerine yazılırsa aşağıdai denlem elde edilir. u ρ t λ β p 0 = ρ0 ( 1 u, ) f p Σ prmn um, nr λ prq φ, qr λ prqn ( φ, qr φ, n φ, qφ, nr φ u φ ) λ [ u φ φ u ( φ φ φ φ )] prq ( u, r, q,, qr prqn, r, q, n,, qr, n, q, nr rq φ, qr φ, p lr, lr, p lqr, lr, q, p, l, qr, p λ u φ λ ( u φ φ u φ φ ) β u φ φ u φ φ ) (4.38) rq ( m, mr, q, p m, m, qr, p ) (4.30) ve (4.38) ifadeleri ile u, φ bilinmeyenlerini ihtiva eden alan denlemleri bulunmuş olur. Bu alan denlemlerinin probleme uygun olara verilen il ve sınır şartları altındai çözümü, göz önüne alınaca sınır değer probleminin matematisel yapısını oluşturur. Bu şeilde (4.30) ve (4.38) alan denlemlerinden oluşan sistem; (1.97), (1.1) ve (1.99) zıplama şartlarının muhteviyatı içinde bulunan sınır şartları ile birlite anizotropi, nonlineer, elasti ve Piezoeletri ortamlar ile ilgili sınır değer problemlerinin yönetici denlemleri oluşturulur. Adı geçen sınır şartları açıça yazılaca olursa, D n = D ω f n t l l = t (4.39) = şelinde olduğu olayca gösterilebilir. 96

109 5. TARTIŞMA V SONUÇ Bu çalışmada elasti piezoeletri bir cismin eletro-termomeani davranışını matematisel modelleme için modern süreli ortamlar meaniği apsamında bir yol izlenmiştir. Bu modellemeyi gerçeleştiriren genel termodinami balans denlemleri, Clausius-Duhem eşitsizliği, eletrostati alanların davranışlarını yöneten denlemler, bünye teorisi asiyomlarına ilişin avramlar, gerilme potansiyelinin (bünye fonsiyonelinin), ve alan denlemlerinin bulunması malzemenin nonlineer davranışının modellenmesinin teori temelleri oluşturulmuştur. Böyle bir malzeme için bünye fonsiyonelleri; Green deformasyon tansörü ve eletri alan olara ortaya çıan serbest enerji fonsiyonu olara belirlenmiştir. Bu bünye fonsiyoneli ile vasıtasıyla ele alınan malzemede eletrotermomeani yüleme ile oluşan gerilme tansörü ve polarizasyon vetörü elde edilmetedir. Malzemede ortaya çıan gerilme tansörü ortamın polarize olmasından dolayı asimetri bir formda ortaya çımıştır. Simetri bir tansörün avantajlarından yararlanma için (1.134) e dayanara (1.135) ile simetri bir gerilme tansörü tanımlanmıştır. Simetri gerilme hesaplandıtan sonra asimetri gerilme (1.137) den bulunabilmetedir. Simetri gerilme ve polarizasyon alanı argümanları belli olan serbest enerji fonsiyonundan türetilmiştir. Çalışmanın 3. ısmında meani ve eletrisel etileşimler nonlineer abul edilmiş, malzemenin özelliğinden dolayı ortam anizotrop alınara simetri gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer bünye denlemleri elde edilmiştir. Bu denlemlerin elde edilmesinde seri açılıma gidilmiştir. Seri açılımında alınan terimlerin türü ve sayısı belirleniren meani ve eletrisel etileşimlerle ilgili abuller diate alınmıştır. Polarizasyon alanı ve simetri gerilme serbest enerji fonsiyonundan türetildiği için ısım 3.5 de serbest enerji fonsiyonu Taylor serisinde açılmış ve incelenen malzemede oluşan polarizasyon alanının ve simetri gerilmenin bünye denlemleri (3.75) ve (3.81) ifadeleriyle belirlenmiştir. Bulunması hedeflenen asimetri gerilmeler çalışmanın 4. ısmında verilmiştir. ısım 3.5 te bulunmuş olan polarizasyon alanı ve simetri gerilme ifadelerini ullanara asimetri gerilmenin bünye denlemleri elde edilmiştir (4.). 97

110 lde edilen bünye denlemlerinin uygulamaya dönü problemlerin çözümünde ullanılması ço zor olduğundan, bünye denlemlerinde belli ölçülerde lineerleştirme yapılmıştır. Lineer teoride şeil değiştirme ve yer değiştirme gradyanları ço üçü olduğu abul edilere işlemlere başlanmış simetri gerilmenin ve polarizasyon alanının maddesel oordinatlarda yarı-lineer bünye denlemleri elde edilmiştir. Çalışmanın 4.3 ısmında daha önce ısım 4. de ısmen lineerleştirilen simetri gerilme ve polarizasyon alanı ifadeleri ullanılara asimetri gerilmenin lineer bünye denlemleri maddesel oordinatlarda (4.) ile, uzaysal oordinatlarda ise (4.5) ifadeleri ile elde edilmiştir. Alan denlemlerine ulaşma için (4.1) polarizasyon bünye denlemi ısım 1.5 te verilen (4.7) denleminde, (4.0) simetri gerilme bünye denlemi ısım 1.6 da verilen (4.31) Cauchy hareet denleminde yerine yazılmıştır. Bu yerine oyma işlemi sonucunda (4.30) ve (4.38) alan denlemleri bulunmuştur. 98

111 6. AYNAAR Adoğan,.., Dielectric and Piezoelectric Properties of Doped PZT Ceramics. M.Sc. Thesis, The Middle ast Technical University, 163p. Chandrasehariah, D.S., Debnath, L., Continuum Mechanics, Academics Pres, 595p., Boston. Çalışan, T., 00. Piezoelectric Ceramics and Their Applications İn Smart Aerospace Structure. M.Sc. Thesis, The Middle ast Technical University, 79p. Dawson, T.H., Theory and Practice of Solid Mechanics. Plenum Pres, 81p., New Yor and London. Doğruol, S., 00. Piezoeletri Malzemelerin Bünye Denlemleri. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, Yüse Lisans Tezi, 107s., Isparta. rdem, A. Ü., Usal, M.R., Usal, M., 005. eyfi Fiber Taviyeli Visoelasti Piezoeletri Bir Cismin letro-termomeani Davranışı İçin Matematisel Bir Model. Gazi Üniversitesi Mühendisli Mimarlı Faültesi Dergisi, 0, 3, ringen, A.C., Mechanics of Continua. John Wiley and Sons. Inc, 50 p., New Yor. ringen, A.C., Mechanics of Continua. Robert. rieger Pub. Co., Hungtington, 590p., New Yor. Gözen, Ş., 00. ffects of surface-bonded piezoelectirc on beam structures. M.Sc. Thesis, İstanbul Technical University, 57s. Hamamcı, B., 006. Fiber Taviyeli Termoelasti Malzemeler İçin Matematisel Bir Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, Yüse Lisans Tezi, 90s., Isparta. Holmes, J.., 000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journal of the uropean Ceramic Society, 0, Holzapfel, A.G., 000. Nonlineer Solid Mechanics. John Wiley and Sons Ltd, 455p., Chichester. Ieda, T., Fundamentals of Piezoelectricity. Oxford University Pres, 63p. Jaunzemis, W., Continuum Mechanics. The Macmillan Company, 60p., New Yor. 99

112 abul, A., 004. Fiber Taviyeli Hiperelasti Malzemeler İçin Matematisel Bir Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, Yüse Lisans Tezi, 100s., Isparta. Malvern, L.., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, 713p., New Jersey. Mindlin, R.D., 197. lasticity, Piezoelectricity and Crystal Lattice Dynamics. J. lasticity,, Nowaci, W., Dynamic Problems of Thermoelasticity. Noordhoff International Publishing, 436p., Netherlands. Petterman, H.., ve Suresh, S., A Comprenshive Unitcell Model: A study of Compled ffect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37, Ray, M.C., Sachade, H.M., 005. Finite element analysis of smart functionally graded plates. İnternational Journal of Solids and Structures, 43, Serra, Ç., 000. Compositional Modifications of PZT Based Piezoelectric Ceramics. M.Sc. Thesis, The Middle ast Technical University, 150p. Singh, G., Bhaumi, I., Ganesamoorthy, S., arnal, A.., Tiwari, V.S., 006. Dielectric and piezoelectric properties of the Cr 3 doped PZN single crystals. Materials Letters, 60, Spencer, A.J.M., Continuum Mechanics. Longman Inc, 18p. Spencer, A.J.M., 197. Deformasyon of Fibre-Reinforced Materials. Clarendon Press, 18p., Oxford. Suresh, S., Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7, Şuhubi, S.., Süreli Ortamlar Meaniği Giriş. İ.T.Ü. Fen debiyat Faültesi Yayını, 43s. Tauchert, T.R., Developments in Thermopiezo lasticity with Relevance to Smart Composite Structure. Composite Structures, 48, Taşpınar,., Production and Characterization of Lead Zirconate Titanate and Lead Magnesium Niobate-Lead Titanate Piezoceramics. M.Sc. Thesis, The Middle ast Technical University, 169p. Tiersten, H.F., On The Nonlinear quations of thermoelectro lasticity. Int. J.ngng. Sci., 9,

113 Timosheno, S.P., Goodier, J.N., Theory of lasticity. Mcgraw Hill, 567p. Usal M., 001. Biyoloji Bir onstrüsiyon lemanı için Matematisel Modelleme. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, Dotora Tezi, 3s., Isparta. Usal, M.R., 007. A Constitutive Formulation of Arbitrary Fiber- Reinforced Viscoelastic Piezoelectric Composite Materials- I. İnternational Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8 (), Usal, M.R., Fiber Taviyeli lasti Dieletri Ortamların letro Termomeani Davranışına ait Matematisel bir Model. rciyes Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, Dotora Tezi, 108s., ayseri. Yağcı, B., Modeling and Control of Beam Type Structures With Surface Bonded Piezoelectric Sensors and Actuators. M.Sc. Thesis, The Middle ast Technical University, 143p. Yang, Z., Li, H., Zong, X., Chang, Y., 005. Structure and electrical properties of PZT-PMS-PZN piezoelectric ceramics. Journal of the uropean Ceramic Society, 6, Yünlü, L., 006. Piezoeletri Malzemeler ve Tenolojidei ullanım Alanları. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, Yüse Lisans Semineri, 40s., Isparta. Zong, X., Yang, Z., Li, H., Yuan, M., 006. ffects of WO 3 addition on the structure and electrical properties of Pb 3 O 4 modified PZT-PFW-PMN piezoelectric ceramics. Materials Research Bulletin, 41,

114 ÖZGÇMİŞ Adı Soyadı: Loman YÜNLÜ Doğum Yeri ve Yılı:.Maraş 1981 Medeni Hali: Bear Yabancı Dili: İngilizce ğitim Durumu Lise: Osmaniye ndüstri Mesle Lisesi Lisans: Süleyman Demirel Üniversitesi Teni ğitim Faültesi Tesisat Öğretmenliği Çalıştığı urum ve Yıl: 005- Arş. Gör. (Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü) 10