SİMGELER DİZİNİ. ( t Φ Γ. E xz. xxz. j j j

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ HEDEF TAKİBİNDE UYARLI KALMAN FİLTRESİNİN KULLANIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Emine ÇERÇİOĞLU İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her haı salıdır

2 ÖZET Yüse Lisans Tezi HEDEF TAKİBİNDE UYARLI KALMAN FİLTRESİNİN KULLANIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Emine ÇERÇİOĞLU Anara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatisti Anabilim Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr. Levent ÖZBEK Kalman filtresini alınan gözlemlere göre uyarlamayı amaçlayan farlı yöntemler bulunmatadır. Bu çalışmada, bu yöntemlerden biri olan çolu model algoritmaları araştırılmıştır. Bu amaçla, hedef taibinde, çolu model algoritması ile standart Kalman filtresinin performanslarını arşılaştırabilme için bir benzetim çalışması yapılmıştır. 2006, 98 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Durum Uzay Modelleri, Kalman Filtresi, Uyarlı Kalman Filtresi, Etileşimli Çolu Model Algoritması. i

3 ABSTRACT Master Thesis A STUDY ON THE USAGE OF ADAPTIVE KALMAN FILTER ON TARGET TRACKING Emine ÇERÇİOĞLU Anara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Statistics Supervisor: Asst.Prof.Dr. Levent ÖZBEK There are several different methods which aims to adapt Kalman filter to new observations. In this study, one of these methods, interacting multiple model algorithm has been studied. For this aim, simulation study has been made to compare the performance of interacting multiple model algorithm and the standart Kalman filter algorithm on target tracing. 2006, 98 pages KEY WORDS: State Space Models, Kalman Filter, Adaptive Kalman Filter, Interacting Multiple Model. ii

4 TEŞEKKÜR Bana bu onuyu veren ve çalışmalarım sırasında yaın desteğini, iyi niyetini ve sabrını hep gösteren sevgili danışman hocam, Yrd.Doç.Dr. Levent ÖZBEK e en derin duygularla teşeür ederim. Yaz oulundai çalışmalarımızda, bize Kalman filtresinin ne olduğunu öğreten değerli hocam, Prof.Dr. Firi ÖZTÜRK e teşeürlerimi sunarım. Maddi ve manevi desteğini hiç esi etmeyen, canımdan ço sevdiğim babam ve annem Erbay ve Mele ÇERÇİOĞLU na, doğduğu günden beri benim en büyü desteğim olan, yanımdan hiç ayrılmayan canım ardeşim Esin ÇERÇİOĞLU na, yüse lisansın zorlu yanlarını en ço yansıttığım, zorlandığım anlarda bana hep deste olan Kahraman AKSOY a, yüse lisans yapmama olana sağlayan ve iş yerinde her türlü desteği veren değerli Şube Müdürlerim Alb.Murat KAYA, Alb.Mustafa ULUÇAKAR, Alb.Namı KOÇ a ve birbirinden ıymetli mesai aradaşlarıma teşeürü bir borç bilirim. Emine ÇERÇİOĞLU Anara, Oca 2006 iii

5 SİMGELER DİZİNİ x( t ) x& ( t) && x( t) ( t, t ) Φ 0 0 Γ L δ δ ( t τ) cismin herhangi bir t anındai onumu cismin herhangi bir t anında onumun birinci türevi (hızı) cismin herhangi bir t anında onumun iinci türevi (ivmesi) t dan t ye durum geçiş matrisi gürültü azanç matrisi ters Laplace dönüşümü Dirac delta fonsiyonu Kronecer delta fonsiyonu q% ( t) süreç gürültü yoğunluğu E []. belenen değer Cov E xz P xxz P xz Ω a m ˆx ovaryans z verildiğinde, x in oşullu belenen değeri z verildiğinde, x in oşullu ovaryans matrisi x ve z nin ovaryans matrisi oordineli dönüş açısı masimum ivme artışı x in tahmini x% x tahmininin hatası x Λ ν N[ x; x, P ] arg min { z } = o n x x in belenen değeri olabilirli fonsiyonu innovasyon (gözlem tahmin hatası) ortalaması x ve ovaryansı P olan Normal dağılım minimize edilen argüman = 0,..., için x vetörünün boyutu z dizisi iv

6 P {}. p (). Z Z x ˆ x% P P % 0 P + bir olayın olma olasılığı olasılı yoğunlu fonsiyonu - anına adar olan bütün gözlemler anına adar olan bütün gözlemler Z verildiğinde, x nın oşullu belenen değeri Z verildiğinde, x nın tahmin hatası Z verildiğinde, x nin oşullu ovaryans matrisi başlangıç ovaryansının herhangi bir nedenden dolayı bozulmuş hali Bz. P P Z verildiğinde, x nın oşullu ovaryans matrisi µ ( ) M J modelinin anında doğru olma olasılığı p i model i den, model ye geçme olasılığı N f ( ) M ( ) µ i algoritmadai filtre sayısı anında model nin geçerli olma durumu Z verildiğinde, anında model geçerli ien, - anında model i nin geçerli olma olasılığı, L µ L nci model geçmişinin oşullu olasılığı, L M x ( ) ˆ anında L nci model dizisi M ya ait durum tahmini x ˆi EÇM EKHKO GSB Z verildiğinde, nci filtrenin i nci tahmini yalaşı olara eşit tanım olara eşit ile dağılır etileşimli çolu model en üçü hata areleri ortalaması genelleştirilmiş sözde bayesçi v

7 GSB GSB2 NHKN nci dereceden genelleştirilmiş sözde bayesçi 2 nci dereceden genelleştirilmiş sözde bayesçi normalleştirilmiş hata areleri normu vi

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şeil 4.. Taip Modeli...2 Şeil 4.2. Kalman Filtresinde Durum Tahmini...30 Şeil 4.3. Doğru Model İçin NHKN Değerleri...34 Şeil 4.4. Yanlış Model İçin NHKN Değerleri...34 Şeil 4.5. Doğru Model İçin Artıların Kareleri Toplamı...35 Şeil 4.6. Yanlış Model İçin Artıların Kareleri Toplamı...35 Şeil 4.7. Doğru Model İçin Hareet Yörüngesi ve Tahmini...36 Şeil 4.8. Yanlış Model İçin Hareet Yörüngesi ve Tahmini...36 Şeil 4.9. x Koordinatındai Konum Hatası...37 Şeil 4.0. x Koordinatındai Hız Hatası...37 Şeil 4.. x Koordinatındai İvmelenme Hatası...37 Şeil 4.2. y Koordinatındai Konum Hatası...38 Şeil 4.3. y Koordinatındai Hız Hatası...38 Şeil 4.4. y Koordinatındai İvmelenme Hatası...38 Şeil 4.5. Cismin x Koordinatındai Konumu...39 Şeil 4.6. Cismin x Koordinatındai Hızı...39 Şeil 4.7. Cismin x Koordinatındai İvmelenmesi...39 Şeil 4.8. Cismin y Koordinatındai Konumu...40 Şeil 4.9. Cismin y Koordinatındai Hızı...40 Şeil Cismin x Koordinatındai İvmelenmesi...40 Şeil 6.. Geçişsiz Modeller İçin Çolu Model Tahmin Edicisi...50 Şeil 6.2. GSB Algoritmasının Yapısı...55 Şeil 6.3. GSB2 Algoritmasının Yapısı...58 Şeil 6.4. EÇM Algoritmasının Yapısı...62 Şeil 6.5. Hedefin Gerçe ve Ölçülen Konumu...66 Şeil 6.6. Konum Değişeninin HKO...69 Şeil 6.7. Hız Değişeninin HKO...70 Şeil 6.8. NHKN...7 Şeil 6.9. Model Olasılıları...7 vii

9 . GİRİŞ Tahmin problemlerinde amaç, çeşitli veri aynalarından alınan gözlemlere göre, bilinmeyen parametreler için tahmin sonuçlarına ulaşmatır. Tahmin teorisi, gözlemlerden, istatistisel analizler yapılara bilgi elde etmetir. Tahmin algoritmalarından biri olan Kalman filtresi, lineer ve lineerleştirilmiş sistemlerde durum tahmini yapabilme amacıyla yaygın olara ullanılır. Bu sistemler, sistemin durumunu gösteren anca gözlenemeyen x stoasti süreç ile ilgili bir durum eşitliği ve gözlenebilen z stoasti süreç ile ilgili bir ölçüm (gözlem) eşitliği tarafından modellenir ve; x =Φ x + w (.) + z = H x + v (.2) eşitlileri ile verilir. Bu denlemelere durum-uzay modeli denir. Kalman filtresinin amacı, sistemin durum-uzay modeline uygun olara, sistemde bulunan gürültünün etisini azaltıp, gözlenemeyen x durum vetörünü, z,..., z, z gözlemlerini ullanara tahmin etmetir (Jazwinsi 970). Kalman filtresi ve değişi formları, tahmin problemlerinin çözümlenmesinde temel bir araç haline gelmiştir. Kalman filtresinin il ullanıldığı alanlardan birisi, hava araçlarının sefer/seyir ve güdüm ontrolüdür. Örneğin, 960 lı yılların başında, Apollo ve Locheed C-5A uça programları için seyir sistemleri geliştirilmiştir. Bu teniler, hareet yeteneği olan hedeflerin onumunu izleme ve ontrol etme, otomobil endüstrisi, uydu ve denizaltı seferleri, sanayi sürecinde ölçülemeyen değişenlerin tahmin ve öngörüsü gibi birbirinden farlı alanlarda ullanılmatadır. Hedef taibi, hem sivil hem de aserî alanda, hava trafi ontrolü, silâh ateşleme ontrol sistemi vb. gibi birço uygulamada ullanılmatadır. Hedef taibi, genellile Kalman filtresi ullanılara yapılır. Hedef taip sistemlerinin durum-uzay modeli elde ediliren, hareetin yapısına göre hedefin onumu, hızı, ivmesi, dönüş hızı vd. sistem durum vetörünün bileşenleri olara alınabilir. Anca, hareet esnasında, lineer sistem

10 modeli ile gerçe hedef dinamiği arasında bir uyumsuzlu meydana gelebilir. Sistem dinamiğinin lineer bir modelle tanımlanması ve ortamda başa hata aynalarının bulunma ihtimalinin olması nedeniyle, durum-uzay modelin yetersizliğini önleyebilme ve daha iyi tahmin sonuçlarına ulaşabilme amacıyla bazı uyarlı teniler ullanılabilir. Bu tenilerden biri çolu model algoritmalarıdır. Filtreleme problemi üzerinde, bugüne adar birço çalışma yapılmıştır ve yapılmaya da devam etmetedir. Fagin (964), Fitzgerald (97), Kalman filtresinin ırasaması durumunu incelemiştir. Mehra (972), modelde yer alan hata terimlerinin ovaryanslarının bilinmemesi durumunda, bu matrislerin tahmin edilmesi durumunu incelemiş ve endini uyarlayan Kalman filtresi için çalışmalar yapmıştır. Hashemipour et al. (988), Rao and Durant (99), ço algılayıcılı sistemler için paralel Kalman filtresini incelemişlerdir. Özbe (993), esili-zaman durum-uzay modellerinde indirgemeli tahmin yöntemini incelemiş, Özbe ve Öztür (993), gayri safi millî hasıla değerinin Kalman filtresi ile tahmini ile ilgili bir çalışma yapmışlardır. Lin and Atherton (993), manevra yapan hedef taibinde ullanılan Etileşimli Çolu Model (EÇM) algoritmasının bazı özellileri ve farlı sayıdai modeller ile farlı parametrelerin ullanılmasının etilerinden bahsetmiştir. Li and Bar-Shalom (993), Monte Carlo simülâsyonları ullanılmadan EÇM algoritması için tahmin metodunun performansını örneler ile tartışmışlardır. Xia et al. (994), durum-uzay modelinin hatalı urulması durumunda, Kalman filtresinde ortaya çıan ırasama durumunu ele almış ve filtrede bazı güçlendirmelerin yapılmasını sağlayaca unutma fatörünün hesaplanması için çeşitli algoritmalar önermişlerdir. Özbe vd. (996), Kalman filtresinde modelin hatalı urulmasından aynalanan ırasama problemi ile ilgili bir çalışma yapmışlardır. Yeddanapudi et al. (997), çolu hedef, çolu algılayıcılı hava trafi ontrolüne, EÇM algoritmasının uygulanması üzerinde durmuştur. Özbe (997), durum-uzay modelinin hatalı urulması durumunda, Kalman filtresinde meydana gelen ırasama durumunu ele almış ve filtrede bazı güçlendirmeler yapaca bir algoritma önermiştir. Mazor et al. (993), EÇM algoritmalarını hedef taibi açısından incelenmiş ve algoritmaların varsayımlarını ve çeşitli durumlardai uygulamalarını göstermiştir. Özbe ve Aliev (998), Xia et al. (994) ın önerdileri unutma fatörü ile ilgili bir çalışma yapmışlardır. 2

11 Bu çalışmanın iinci bölümünde, stoasti durum-uzay modelleri, üçüncü bölümünde, hareet eden cisimlerin hareetlerini modelleyebilme için ullanılan esili-zaman durum-uzay modelleri ve dördüncü bölümde dinami sistemlerde lineer tahmin apsamına Kalman filtresi ve elde edilişi haında bilgi verilmiştir. Ayrıca dördüncü bölümde, Kalman filtresinin hareet modelleri için ullanımı ile ilgili bir benzetim çalışması yapılmıştır. Beşinci bölümde, esili-zaman Kalman filtresinin yanlış gürültü ovaryanslarına arşı duyarlılığı üzerinde durulmuştur. Altıncı bölümde ise, Kalman filtresinde çeşitli nedenlerle ortaya çıan ırasama problemi ele alınmış ve uyarlı Kalman filtresinden bahsedilmiş, ayrıca hareet modelleri için Kalman filtresi ve uyarlı Kalman filtresini arşılaştırabilme amacıyla bir benzetim çalışması yapılmıştır. 3

12 2. STOKASTİK SİSTEMLERDE DURUM-UZAY MODELLERİ İçerisinde rasgele girdi (gürültü) bulunan sistemlere stoasti sistemler, bulunmayan sistemlere de deterministi sistemler denir. Gürültü, sistemde meydana gelebilece belenmedi arışılıların modellenmesi için ullanılır. Stoasti sistemlerde, gürültülerin;. 0 ortalamalı, 2. Beyaz (Süreç gürültüsünün farlı ii andai değeri birbirinden bağımsızdır. Bu durumda, süreç gürültüsünün otoorelasyon fonsiyonu; Kronecer (esili) veya Dirac (süreli) delta fonsiyonudur), 3. Birbiriyle ilişisiz rasgele süreçler olduğu varsayılır. Stoasti sistemlerin bazıları, sistemin durumunu gösteren anca gözlenemeyen bir stoasti süreç ile ilgili bir durum eşitliği ve gözlenebilen bir stoasti süreç ile ilgili bir ölçüm (gözlem) eşitliği tarafından modellenir. Birinci dereceden diferansiyel ya da far denlemi olan bu eşitlilere durum-uzay modeli denir (Bar-Shalom et al. 200). 2. Lineer Süreli-Zaman Stoasti Durum-Uzay Modeli Lineer süreli-zaman stoasti durum-uzay modeli, ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) x& t A t x t B t u t D t w% t (2.) z( t) = C( t) x( t) + v% ( t) (2.2) dır. Burada (2.) süreli-zaman durum denlemini, (2.2) de süreli-zaman gözlem denlemini göstermetedir. Ayrıca; x( t ) : n x boyutlu sistem durum vetörü, u( t ) : n u boyutlu ontrol vetörü, w% ( t) : n w boyutlu süreli-zaman sistem gürültüsü, A( t ) : bilinen, nx x n x boyutlu sistem matrisi, B( t ) : bilinen, nx x n u boyutlu süreli-zaman girdi matrisi, 4

13 D( t ): bilinen, nx x n w boyutlu süreli-zaman gürültü matrisi, z( t ) : n z boyutlu gözlem vetörü, v% ( t) : n v boyutlu süreli-zaman gözlem gürültüsü, C( t ) : bilinen, nz x n x boyutlu gözlem matrisidir. w% ( t) ve v( t) % sıfır ortalamalı, ilişisiz ve beyaz gürültü süreçleridir. Süreli-zaman süreç gürültüsü w% ( t) için; ( ) 0 E w% t = (2.3) E w( t) w( τ) = V( t) δ( t τ ) % % (2.4) dır. Burada, δ( t τ) anı için; dır., δ( t τ) = 0,, Dirac delta fonsiyonudur. Beyaz gürültü süreçlerinin her t, τ t= τ t τ Süreli-zaman durum denleminin çözümü; t x t t, t x t t, τ B τ u τ D τ w τ dτ ( ) =Φ ( ) ( ) + Φ ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 0 dır. Burada, x( t 0) başlangıç durumunu ve ( t, t0) göstermetedir. Burada; dır. % (2.5) t0 ( t, t ) ( t ) ( t 2 )... ( t ) 0 0 Φ, t 0 dan t ye durum geçiş matrisini Φ =Φ Φ Φ (2.6) Durum geçiş matrisi aşağıdai özellilere sahiptir:. dφ ( t, t ) dt 0 ( ) ( t, t ) = A t Φ (2.7) 2. ( t, t ) ( t, t ) ( t, t ) Φ 2 0 =Φ 2 Φ t 0 3. ( t, t) 0 (2.8) Φ = I (uygun boyutlu birim matris) (2.9) dır. (2.8) ve (2.9) eşitlilerinin sonucu olara; ( t, t ) ( t, t) Φ =Φ (2.0) 0 0 5

14 bulunur. Sadece, t ( ) ( τ) τ = ( τ) τ ( ) A t A d A d A t t0 t0 oşulu sağlandığında, ( t, t ) t t A( τ) dτ Φ t0 0 = e eşitliği yazılabilir. Bu oşul, zamandan bağımsız sistemler ya da diyagonal A( t ) matrisi için sağlanır. Zamandan bağımsız bir sistem için, t 0 = 0 olara alınırsa; Φ ( t) =Φ ( t,0) olara bulunur. At = e Durum geçiş matrisinin bulunabilmesi için aşağıdai yöntemlerden uygun olanı ullanılabilir:. Sonsuz Seriler Metodu: e ( At) At = = 0! 2 2 A t = I+ At+ +K 2! Burada, I, nxn boyutunda birim matrisini, A, nxn boyutunda sistem matrisini göstermetedir. 2. Laplace Dönüşümü Metodu: Burada, {( ) } At e = L si A L ters Laplace dönüşümünü göstermetedir (Bar-Shalom et al. 200). Bu bölüme bir örne verebilme amacıyla, x ve y oordinatlarında sabit hızla hareet eden bir cisim ele alınsın. Birbirinden bağımsız olduları varsayılan, x ve y oordinatlarındai hareet denlemleri; x ( ) t ; cismin x oordinatında herhangi bir t anındai onumu, ( ) ( ) x t = x& t ; cismin x oordinatında herhangi bir t anındai hızı, 2 6

15 olma üzere, dır. ( ) = ( ) = ( ) x t x& t && x t ; cismin x oordinatında herhangi bir t anındai ivmesi, 3 2 ( ) && ( ) x t x t 3 = = 0 y ( ) olma üzere, t ; cismin y oordinatında herhangi bir t anındai onumu, ( ) ( ) y t = y& t ; cismin y oordinatında herhangi bir t anındai hızı, 2 ( ) = ( ) = ( ) y t y& t && y t ; cismin y oordinatında herhangi bir t anındai ivmesi, 3 2 ( ) && ( ) y t y t 3 = = 0 dır. Burada, x ve y oordinatlarındai hareetin birbirinden bağımsız olduğu ve sistemde gürültü olmadığı varsayımı altında, durum bileşenleri olara; cismin x oordinatındai onumu, x oordinatındai hızı, y oordinatındai onumu ve y oordinatındai hızı olma üzere durum vetörü; x t = x t x t y t y t (2.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dır. Durum denlemi; ( ) = Ax( t) x& t ile verilir. Sistem matrisi; A= dır. Bu durumda sistem geçiş matrisi; T At Φ ( t) = e = 0 0 T olara bulunur (Bar-Shalom et al. 200). (2.2) (2.3) 7

16 x ve y oordinatlarında sabit hızla hareet eden ve sabit açısal hız ile dönüş yapan bir cisim ele alınsın. Birbirinden bağımsız olduları varsayılan, x ve y oordinatlarındai hareet denlemleri; x ( ) olma üzere, t ; cismin x oordinatında herhangi bir t anındai onumu, ( ) ( ) x t = x& t ; cismin x oordinatında herhangi bir t anındai hızı, 2 ( ) = ( ) = ( ) x t x& t && x t ; cismin x oordinatında herhangi bir t anındai ivmesi, 3 2 ( ) = && ( ) = Ω& ( ) x t x t y t y 3 ( ) olma üzere, t ; cismin y oordinatında herhangi bir t anındai onumu, ( ) ( ) y t = y& t ; cismin y oordinatında herhangi bir t anındai hızı, 2 ( ) = ( ) = ( ) y t y& t && y t ; cismin y oordinatında herhangi bir t anındai ivmesi, 3 2 ( ) = && ( ) =Ω& ( ) y t y t x t 3 dır. Burada Ω> 0, sola doğru oordineli dönüş açısını ifade etmetedir. x ve y oordinatlarındai hareetin birbirinden bağımsız olduğu ve sistemde gürültü olmadığı varsayımı altında, durum bileşenleri olara; cismin x oordinatındai onumu, x oordinatındai hızı, y oordinatındai onumu ve y oordinatındai hızı olma üzere durum vetörü; x t = x t x t y t y t (2.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dır. Durum denlemi; ( ) = Ax( t) x& t ve sistem matrisi; Ω A= Ω 0 0 dır. (2.5) 8

17 Bu durumda sistem geçiş matrisi; sinωt cosωt 0 Ω Ω At 0 cosωt 0 sinωt Φ ( t) = e = (2.6) cosωt sinωt 0 Ω Ω 0 sinωt 0 cosωt olara bulunur. Uça ya da diğer uçan cisimler, genellile bu tip oordineli dönüşler yaparlar (Bar-Shalom et al. 200). 2.2 Lineer Kesili-Zaman Stoasti Durum-Uzay Modeli Lineer esili-zaman sistemlerinde durum-uzay modellerinin gösteriminde girdinin, t ve t + örneleme anları arasında sabit olduğu varsayılır, yani; u( t) u t = t t< t + dır. Dolayısıyla, t + anındai durum denlemi, (2.5) eşitliği diate alındığında, t anındai durum vetörü cinsinden; ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) ( ) x t =Φ t t x t + G t t u t + w t (2.7) dır. Burada, Φ, sistemin, boyutları uygun olara seçilmiş olan durum transfer matrisini, G, örneleme süreci boyunca sabit olduğu varsayılan ontrol vetörünün boyutları uygun şeilde seçilmiş olan esili-zaman azanç matrisini ve w( t ) esili-zaman süreç gürültüsünü göstermetedir. Zamandan bağımsız süreli-zaman sistemleri için, rasgele anlarda örnelem alınara elde edilen sistem transfer matrisi; ( t t ) A Φ t t =Φ t t = e + Φ (2.8) Kontrol azancı; (, ) ( ) + + t + ( ) (, t A G t t) e τ + + = Bdτ G (2.9) t Süreli-zaman süreç gürültüsü ile ilişili olan esili-zaman süreç gürültüsü; + ( t τ ) A + w t = e Dw% t dτ w (2.20) ( ) t ( ) t 9

18 dır. w% ( t ) üzerindei, 0-ortalama ve beyaz gürültü varsayımları altında, esili-zaman süreç gürültüsü için; dır. Burada, değerleri için; E[ w ] = 0 (2.2) E w w = Qδ, δ = 0, (2.22) δ, Kronecer delta fonsiyonudur. Beyaz gürültü süreçlerinin her, = dır. Kesili-zaman süreç gürültüsünün ovaryansı; t + ( t τ ) A ( t τ ) A + + Q = e DV τ D e dτ (2.23) t ( ) dır. Kesili-zaman lineer stoasti durum-uzay modeli; x =Φ x + G u + w (2.24) + z = H x + v (2.25) dir. Burada, x, z, n x boyutlu sistem durum vetörü, u, n u boyutlu ontrol vetörü ve n z boyutlu gözlem vetörüdür. u girdisinin ve boyutları uygun şeilde seçilmiş olan Φ, G ve H matrislerinin bilindiği, ayrıca w nın 0 ortalamalı, bilinen Q ovaryanslı beyaz gürültü süreci olduğu varsayılmıştır. Burada, v gözlem gürültüsü olma üzere; E[ v ] = 0 (2.26) E vv = Rδ (2.27) dır. Burada, R, bilinen esili-zaman gözlem ovaryansını, δ, Kronecer delta fonsiyonunu göstermetedir. Ayrıca, süreç ve gözlem gürültüsünün birbiri ile ilişisiz olduğu varsayılmıştır. E w v = 0, (2.28) Bazı durumlarda, esilileştirilmiş süreli-zaman durum denlemini ullanma yerine, doğrudan esili-zamanda tanımlanmış durum denleminin ullanılması daha elverişli 0

19 olabilir. Bu durumda, beyaz gürültü olduğu varsayılan süreç gürültüsü, azancı ile birlite sisteme girer. Bu şeilde durum denlemi; + Γ gürültü x =Φ x + G u +Γ w (2.29) olara değişir. Bu oşullar altında, bilinen ovaryans matrisi Q, doğrudan tanımlanabilir. Eğer, esili-zaman durum-uzay modeli zamandan bağımsızsa, yani; Φ =Φ, G = G, H = H zamandan bağımsız esili-zaman durum-uzay modeli; x =Φ x + + Gu + w z = Hx + v eşitlileri ile verilir. Kesili-zaman durum denlemi; nin çözümü; x =Φ x + + G u + w i 2 0 [ ] (2.30) x = Φ x + Φ G u + w i i i = 0 i= 0 = 0 dır (Bryson and Ho 969, Jazwinsi 970, Anderson and Moore 979, Kumar and Varaiya 986, Chui and Chen 99,Bar-Shalom et al. 200).

20 3. KESİKLİ-ZAMAN HAREKET MODELLERİNİN ELDE EDİLMESİ Durum-uzay modellerinin en ço ullanıldığı alanlardan birisi hareetli hedeflerin onumlarının izlenmesidir. Bu masatla ullanılan, esili-zaman hareet modelleri; süreli-zaman durum-uzay modelinin esilileştirilmesi ile ya da esili-zaman durumuzay modelinin ullanılması ile elde edilebilir. Eğer, örnelem periyotları arasında, hızda veya ivmede bir değişim meydana geliyorsa, süreli-zaman durum-uzay modeli, bu anlar arasında model sabitse, esili-zaman durum-uzay modeli ullanılabilir (Bar- Shalom et al. 200). 3. Süreli-Zaman Hareet Modellerinin Kesilileştirilmesi Hareet modelleri, onumun belli türevlerinin sıfıra eşitlenmesi ile tanımlanır. Eğer sistemde rasgele girdi yosa, bu modeller, her t anında bir polinom tarafından tanımlanan hareeti üretirler. Anca, sistemde gürültü olmadığını varsayma gerçeçi bir yalaşım değildir. Dolayısıyla, bu gürültüler rasgele girdi olara modellenebilir. Modellemenin bir yolu, süreli-zaman beyaz gürültü süreçlerini ullanmatır. Hedef taibinde gözlemler, genellile esili zamanda alındığı için, ilgilenilen süreli-zaman durum denlemine ait esili-zaman durum denlemine ihtiyaç duyulmatadır. Genelde, her bir oordinattai hareetin, diğer oordinatlarla ilişisiz olduğu ve değişi oordinatlara eti eden gürültülerin birbirlerinden bağımsız ve farlı varyanslara sahip olabileceği varsayılır. Bu bölümde, te oordinat üzerindei hareet modelleri üzerinde durulacatır. 3.. Süreli-zaman sabit hızlanma modeli Bir oordinat üzerinde sabit hızla hareet eden bir cisim için; x ( ) t ; cismin herhangi bir t anındai onumu, ( ) ( ) x t = x& t ; cismin herhangi bir t anındai hızı, 2 olma üzere, ( ) = ( ) = ( ) x t x& t && x t ; cismin herhangi bir t anındai ivmesi, 3 2 2

21 ( ) && ( ) x t x t 3 = = 0 dır. Yani, bir oordinat üzerinde sabit hızla hareet eden bir cismin ivmesi sıfıra eşittir. Anca gerçe durumda, hız ufa değişililer aydeder. Bu durum, süreli-zaman, 0 ortalamalı beyaz gürültü süreci w% ( t) ile; ( ) = ( ) && x t w% t (3.) şelinde modellenebilir. Burada; ( ) 0 E w% t = (3.2) E w( t) w( τ) = q( t) δ( t τ ) % % % (3.3) dır. Burada q% ( t), süreli-zaman süreç gürültü yoğunluğudur. İi boyutlu durum vetörü; x( t) = x( t) x2( t ) ile gösterilir. Süreli-zaman durum denlemi; dır. Burada; ( ) = ( ) + ( ) x& t Ax t Dw% t 0 A= D= şelindedir. T örnelem periyotlu esili-zaman durum denlemi; x =Φ + x + w biçimindedir. Burada; 2 2 AT A T Φ= e = I+ AT+ +L 2! T = T L 2 = T 0 olara bulunur. 3

22 0 ortalamalı esili-zaman sistem gürültüsü; T A( T τ) % 0 ( τ) w = e Dw T+ d τ olara elde edilir. (3.3) eşitliği ullanılara ve q% değerinin sabit olduğu varsayıldığında, süreç gürültüsünün ovaryansı; Q = E w w T T τ = [ T τ ] qd τ % T T 3 2 = q% 2 T T 2 olara bulunur. Sadece cismin onum bilgilerine sahip olduğu düşünülürse ve bu ölçümün hatalı olduğu göz önüne alınırsa, gözlem denlemi; [ 0] z = x + v biçiminde yazılabilir. Burada, v hata terimi, 0 ortalamalı ve E vv = R varyanslı beyaz gürültü sürecidir. Sonuç olara, cismin hareeti için esili-zaman durum-uzay modeli; T x = x + w 0 + [ 0] z = x + v eşitlileri ile verilir. T örnelem periyodu süresince hızda aydedilen değişili; Q22 = qt % (3.4) olara yazılabilir. (3.4) eşitliği, süreli-zaman süreç gürültü yoğunluğunun seçiminde ullanılabilir. Süreli-zaman sabit hızlanma modeli için q%, üçü olara seçilmelidir. Çünü, hızdai değişili, gerçe hız ile arşılaştırıldığında ço üçü olmalıdır (Bar- Shalom et al. 200). 4

23 3..2 Süreli-zaman sabit ivmelenme modeli Bir oordinat üzerinde sabit ivmeyle hareet eden bir cisim için; x ( ) olma üzere, t ; cismin herhangi bir t anındai onumu, ( ) ( ) x t = x& t ; cismin herhangi bir t anındai hızı, 2 ( ) = ( ) = ( ) x t x& t && x t ; cismin herhangi bir t anındai ivmesi, 3 2 ( ) ( ) x& t &&& x t 3 = = 0 dır. Yani bir oordinat üzerinde sabit ivmeli hareet eden bir cismin ivmesinin türevi sıfıra eşittir. Anca gerçe durumda, ivme ufa değişililer aydeder. Bu değişililer, süreli-zaman 0 ortalamalı beyaz gürültü süreci w% ( t) ile modellenebilir. ( ) = ( ) &&& x t w% t (3.5) olara yazılabilir. Burada; ( ) 0 E w% t = (3.6) E w( t) w( τ) = q( t) δ( t τ ) % % % (3.7) dır ve q% ( t) süreli-zaman süreç gürültü yoğunluğudur. Üç boyutlu durum vetörü; x( t) = x( t) x2( t) x3( t ) ile gösterilir. Süreli-zaman durum denlemi; dır. Burada, ( ) = ( ) + ( ) x& t Ax t Dw% t 0 0 A= D= 0 dır. T örnelem periyotlu esili-zaman durum denlemi; x =Φ + x + w 5

24 dır. Burada, AT A T A T Φ= e = I+ AT+ + +L 2! 3! = T T T L T T 2 = 0 T 0 0 olara bulunur. 0 ortalamalı esili-zaman süreç gürültüsü; T A( T τ) % 0 ( τ) w = e Dw T+ d τ olara elde edilir. (3.7) eşitliği ullanılara ve q% değerinin sabit olduğu durumda, sistem gürültüsünün ovaryansı, Q = E w w T T T T T T = T T T q% olara bulunur. Sadece cismin onumunun ölçüldüğü düşünülürse ve bu ölçümün hatalı olduğu göz önüne alınırsa, gözlem denlemi; [ 0 0] z = x + v olara yazılabilir. Burada, v hata terimi, 0 ortalamalı ve E vv = R gürültü sürecidir. varyanslı beyaz 6

25 Cismin hareeti için esili-zaman durum-uzay modeli; 2 T T 2 x = 0 T x + w [ 0 0] z = x + v eşitlileri ile gösterilir. T örnelem periyodu süresince ivmede aydedilen değişili; Q33 = qt % (3.8) olara yazılabilir. (3.8) eşitliği, süreli-zaman süreç gürültü yoğunluğunun seçiminde ullanılabilir. Süreli-zaman sabit ivmelenme modeli için, q% nun üçü olara seçilmesi önerilir. Yani, ivmedei T örnelem aralığı boyunca qt % derecesinde meydana gelen değişili, gerçe ivme düzeyi ile arşılaştırıldığında ço üçü olmalıdır (Bar-Shalom et al. 200). 3.2 Kesili-Zaman Hareet Modelleri Yaygın olara ullanılan diğer hareet modelleri ise esili-zamanda tanımlanır. Kesili-zaman sistem gürültüsü w, 0 ortalamalı, sahip beyaz gürültü sürecidir. Kesili-zaman durum denlemi; x =Φ x +Γ w + E w w = σ δ 2 w ovaryansına dır. Burada, Γ, uygun boyutlarda seçilmiş gürültü azanç matrisidir. İinci dereceden bir modelde, hedefin her T genişliğindei örnelem periyodu süresince sabit ivmeli hareet yaptığı ve bu ivmelerin periyotlar arasında ilişisiz olduğu varsayılır Kesili-zaman sabit hızlanma modeli Eğer, w, T genişliğindei ncı örnelem periyodu süresince sabit ivme olara abul edilirse, bu periyot süresince hızdai artış, büyülüğündedir. w T ve bu ivmenin onuma etisi, w T 2 7

26 Bu model için durum denlemi; x =Φ x +Γ w + dır. Süreç gürültüsü, geçiş matrisi; T Φ= 0 ve gürültü azanç vetörü; 2 2 T Γ= T w, esili-zaman 0 ortalamalı beyaz gürültü sürecidir. Sistem dır. Cismin hareeti için esili-zaman durum-uzay modeli; T T x x w 0 T 2 + = + 2 [ 0] z = x + v eşitlileri ile verilir. Burada, T örnelem periyodunu göstermetedir. Modelde yer alan w ve v hata terimleri 0 ortalamalı beyaz gürültü süreçleridir. Γ azanç matrisi ile çarpılmış süreç gürültüsünün ovaryans matrisi; Q= E Γw w Γ =Γσ Γ 2 w 4 3 T T 4 2 = σ 3 2 T T 2 2 w dır. Süreç gürültü varyansı σ w nin seçimi bu model için, masimum ivme büyülüğü, σ dir a m, adar olmalıdır. Uygulamalarda önerilebilece olan aralı, 0.5a m w a m (Bar-Shalom et al. 200). 8

27 3.2.2 Kesili-zaman sabit ivmelenme modeli Bu modelde, beyaz sistem gürültüsü w, ncı örnelem periyodu süresince ivmedei artıştır ve 0 ortalamalı beyaz gürültü olduğu varsayılır. Bu model için durum denlemi; x =Φ x +Γ w + dır. Burada, sistem geçiş matrisi; 2 T T 2 Φ= 0 T 0 0 ve gürültü azancı; ile verilir. 2 T 2 Γ= T Cismin hareeti için esili-zaman durum-uzay modeli; 2 2 T T 2 T 2 x = 0 T x + T w [ 0 0] z = x + v eşitlileri ile verilir. Burada, T örnelem periyodudur. Modelde yer alan gözlem gürültüsü, v, 0 ortalamalı ve E vv = R azanç matrisi ile çarpılmış süreç gürültüsünün ovaryans matrisi; Q= E Γw w Γ =Γσ Γ 2 w varyanslı beyaz gürültü sürecidir. Γ 9

28 4 3 2 T T T = T T T σ 2 2 T T w dir. Süreç gürültü varyansı σ w nin seçimi bu model için, masimum ivme artışı, adar olmalıdır. Uygulamalarda önerilebilece olan aralı, 0.5 am σ w am dir (Bar- Shalom et al. 200). am 20

29 4. DİNAMİK SİSTEMLERDE LİNEER TAHMİN-KALMAN FİLTRESİ Sivil ve aserî alanda, hedef taibi sistemlerine duyulan artan bilgi isteği, bir ya da daha fazla algılayıcıdan alınan gözlemleri ullanara hareetli hedefleri taip edebilme yeteneğine sahip olan algoritmalara duyulan ilgiyi artırmıştır. Taip, hedefin güncel durumu, yani onumu, hızı, ivmesi veya dönüş oranını tahmin edebilme için hedeften alınan gürültülü ölçümlerin işlenmesidir. Basit bir taip sistemi, Şeil 4. dei gibi; algılayıcı, sinyal işleyici ve taip ediciden oluşur. Algılayıcı, hedeften gözlem elde etme için ullanılır. Algılayıcıdan elde edilen bilgiler, taip algoritmasına girmeden önce sinyal işleyici tarafından işlenir. Eğer, sinyal düzeyi algoritmaya giremeyece adar düşüse, yani sinyal düzeyinde bir yüseltmeye ihtiyaç duyuluyorsa veya ölçümler doğru forma soulacasa, sinyal işleyici ullanılır. Taip edicinin amacı, filtreleme yoluyla, ölçümlerdei gürültünün etisini azaltma ve daha iyi durum tahminlerini elde etmetir. Taip algoritmasının performansı, ullanılan durum tahmin edicisine bağlıdır. Hedef Eletromanyeti ya da Austi Eneri Gürültü Algılayıcı Sinyal Sinyal İşleyici Ölçümler Taip Edici Hedefe ait Durum Tahminleri Şeil 4. Taip Modeli 2

30 Taip uygulamalarını, su altı sistemlerinden, uzay silâh sistemlerine adar ço çeşitli alanlarda görme mümündür. Örneğin, aserî çalışmalarda, ara, hava, deniz ve uzaydai hedeflerin, ayrıca her bir silâhın ya da silâh sistemlerinin taibi için ullanılıren, sivil setörde hava trafi ontrolü, azaları önleme, gemi seferlerinin ontrolü vb. alanlarda ullanılmatadır. Filtreleme, durum-uzay modelinde, gözlenemeyen x durum vetörünü z, K, z, z gözlemlerini ullanara tahmin etmetir (Jazwinsi 970). İndirgemeli tahmin; sadece anındai z gözlemine ve - anındai x tahminine bağlı olara, anındai ˆ durumunun en iyi x ˆ değerini tahmin etme problemidir ve Kalman (960) tarafından di izdüşüm yöntemiyle çözülmüştür. Literatürde bu çözüm Kalman filtresi olara bilinir. Hedef taibi uygulamalarında, Kalman filtresi ullanımının pe ço faydası bulunmatadır. Örneğin, Kalman filtresi algoritmalarının, bilgisayar dilleri ullanılara çalıştırılması olduça olaydır. Ayrıca indirgemeli bir algoritma olduğu için geçmiş verileri depolamaz, dolayısıyla da işlem yüünü azaltır. x Kesili-zaman durum-uzay modeli ; x =Φ x + G u + w = 0,,... (4.) + z = H x + v = 0,,... (4.2) dır. Burada; x, n x boyutlu durum vetörünü, z, n z boyutlu gözlem vetörünü ve u, n u boyutlu ontrol vetörünü göstermetedir. Ayrıca, (4.) ve (4.2) ile verilen durumuzay modeli ile ilgili olara aşağıdai varsayımlar abul edilmiştir:. Tüm = 0,, 2, K anlarında, Φ, uygun şeilde seçilmiş ve bilinen matrislerdir. hareeti, vs.). H, G, Q ve R matrisleri boyutları 2. u girdi vetörü bilinmetedir (Örn. Kontrol ya da sensör platformunun 3. w, v stoasti süreçleri; n w ve n v boyutlu, 0 ortalamalı ve Q, ovaryanslarına sahip, birbiri ile ilişisiz ve Normal dağılıma sahip olan süreç ve gözlem gürültüleridir. R 22

31 4. Başlangıç durumu (oşulu) x 0, bilinen x 0 ortalamasına ve P 0 varyansına sahip Normal dağılımlı rasgele süreç olara modellenir ve süreç ve gözlem gürültüleri ile ilişisizdir. (Jazwinsi 970, Anderson and Moore 979, Chui and Chen 99). (4.) dei durum denleminde bulunan w süreç gürültüsü bazı durumlarda, Γ w olara alınır. Burada, n Γ, x w n boyutlu bir matristir. Dolayısıyla, durum denlemindei w gürültüsünün ovaryansı; E [ Γw][ Γ w] =ΓQ Γ (4.3) olara hesaplanır. (4.) ve (4.2) eşitlileri lineer bir yapıya sahip olduları için, durum ve gözlem vetörü Normal dağılıma sahiptir. (4.4) eşitliği anında uygun olan ölçüm dizisi olma üzere; {, } (4.4) Z z xˆ (4.5) eşitliği; Eğer Eğer, Eğer, E x Z (4.5) = ise, durum tahminini (filtre değeri), < ise, durumun düzgünleştirilmiş (smoothed) değerini, > ise, durum öngörüsünü ifade etme için ullanılır. Tahmin hatası; dır. x% x xˆ (4.6) Z gözlemleri verildiğinde x durumunun oşullu ovaryans matrisi ( ˆ )( ˆ ) P E x x x x Z = E x% x% Z (4.7) dır. Kalman filtresinin eşitlileri değişi yollardan elde edilebilir. Bu yollardan biri, stati tahmin eşitlilerinin oluşum mantığının, dinami sistemlere genişletilmesi yalaşımıdır. Aşağıda stati sistemler için, en üçü hata areleri ortalaması (EKHKO) ölçütüne göre durum tahminin elde edilmesi onusu üzerinde durulmuştur. 23

32 Birleşi Normal dağılıma sahip x ve z rasgele vetörleri ele alınsın. Burada, x tahmin edilece rasgele değişeni, z ise gözlemi ifade etmetedir. x y= z (4.8) olara gösterilirse, y N y, P yy (4.9) dir. Yani, y değişeni; x y = z (4.0) ortalaması ve P P P xx xz yy = Pzx P zz ovaryansı ile Normal dağılıma sahiptir. Burada, x, x ortalamasına ve (4.) Pxx = E x x x x ( )( ) ovaryansına sahiptir. x ile z arasındai ovaryans matrisi ise; ile gösterilir. Pxz = E ( x x)( z z ) = P zx (4.2) (4.3) Bu oşullar altında, EKHKO ölçütüne göre, x in z cinsinden tahmini, x in z ye göre oşullu ortalamasına eşittir. Yani, ( ) = min ( ˆ ) 2 EKHKO xˆ z arg E x x z x eşitliğinin çözümü x in z ye göre oşullu ortalamasıdır. (4.4) ˆ EKHKO ( ) = = ( ) x z E x z xp x z dx (4.5) Vetör rasgele değişenler için (4.5) eşitliği, hata areleri normunun belenen değerinin gradyantı (türevi) 0 a eşitlenere, (4.6) dei gibi bulunur. d ( ˆ ) ( ˆ E x x x x ) Z = 2 x ˆ E ( x z ) = 0 dx (4.6) 24

33 Sonuç olara, EKHKO ölçütüne göre, x in z cinsinden tahmini, x in z ye göre oşullu ortalamasına eşittir. x ve z, (4.9) dai gibi birleşi Normal dağılıma sahip ise, x in z ye göre tahmini; ˆ xz zz ( ) x= E x z = x+ P P z z (4.7) Koşullu ovaryansı; P E ( x xˆ )( x xˆ xx z ) = z = Pxx Pxz Pzz Pzx (4.8) dır. EKHKO riterine göre, x ve z nin birleşi Normal dağılıma sahip olmaları varsayımı altında; (4.7) dei x in z ye göre optimal tahmini, z nin lineer fonsiyonudur ve (4.8) dei oşullu ovaryans matrisi, gözlemlerden bağımsızdır (Bar-Shalom et al. 200). 4. Kalman Filtresinin Elde Edilmesi Kalman filtresi algoritması, x 0 başlangıç durumuna ait ˆx tahmininin ve P başlangıç ovaryansının bilindiğinin abul edilmesi ile başlar. 0 Z, başlangıç bilgisini ifade etme üzere, algoritmanın bir döngüsü içerisinde, anına adar ( dahil) bütün gözlemler verildiğinde durum vetörünün oşullu ortalaması; xˆ E x Z (4.9) ve ovaryans matrisi; ( ˆ )( ˆ ) P E x x x x Z (4.20) ullanılara, + anındai x + + ve P + + tahmin değerlerine ulaşılır. Bu bilgiler ˆ ışığında, Kalman filtresinin + anındai durum tahmini ve ovaryansı, ardışı tahmin denlemleri olan, (4.7) ve (4.8) dei ˆ xz zz ( ) x= E x z = x+ P P z z P E ( x xˆ )( x xˆ xx z ) = z = P P P P xx xz zz zx stati tahmin eşitlilerinde, aşağıdai yerine oyma işlemleri yapılara elde edilebilir. Bu işlem, işareti ile ifade edilmiştir. 25

34 . + anında tahmin edilece olan durum vetörü: x x + (4.2) 2. Durum öngörüsü: x xˆ E x Z (4.22) 3. Gözlem vetörü: + + z z + (4.23) 4. Gözlem öngörüsü: z zˆ E z Z (4.24) Güncellenmiş durum tahmini: x ˆ x ˆ E x Z + (4.25) Durum öngörü ovaryansı: Pxx P cov x Z cov x Z + + = % (4.26) + 7. Gözlem öngörü ovaryansı: 8. Pzz S+ cov z Z cov + z Z = % (4.27) + x + ve z + arasındai ovaryans: Pxz cov x, z Z cov x z Z + + = % % (4.28) Güncellenmiş durum tahmin ovaryansı: + + P P cov x Z cov x Z xx z = % (4.29) Filtre azancı: P P K = cov x, z Z S xz zz (4.30) Burada (4.) ve (4.2) de sunulan esili-zaman durum-uzay modelinin durum öngörüsü; dır. xˆ = E x Z = E Φ x + Gu + w Z Süreç gürültüsü + + w, 0 ortalamalı beyaz gürültü süreci olduğu için; (4.3) xˆ =Φ xˆ + G u (4.32) + 26

35 Durum öngörü hatası; x% = x xˆ =Φ x% + w (4.33) olara bulunur. Buradan görülmetedir i, üzerine hiçbir etisi yotur. Durum öngörü ovaryansı; u girdisi bilindiği sürece, tahmin hatası [ ] P = E x% x% Z =Φ E x% x% Z Φ + E w w dır. Gözlem öngörüsü; =Φ P Φ + Q (4.34) zˆ E z Z E H x v Z (4.35) = + = dır. Burada gözlem gürültüsü v +, 0 ortalamalı beyaz gürültü süreci olduğu için; zˆ = H xˆ (4.36) dır. Gözlem öngörü hatası; z% = z zˆ = H x% + v (4.37) ve gözlem öngörü ovaryansı; S = H P H + R (4.38) ile gösterilir. (4.28) dei, x + durumu ve z + gözlemi arasındai ovaryans, (4.37) ullanılara; ( + + ) E x% z% Z = E x H x v Z + + % % = P H + (4.39) olara bulunur. Burada (4.30) dai eşitli, (4.38) ve (4.39) ullanılara; K = P H S (4.40) olara elde edilir ve filtre azancı olara adlandırılır. Dolayısıyla, güncellenmiş durum tahmini; dır. xˆ = xˆ + K + υ + (4.4)

36 Burada; = z zˆ υ = % (4.42) z + ile gösterilir ve innovasyon ya da gözlem hatası olara adlandırılır. + anındai güncellenmiş ovaryans eşitliği; P = P P H S H P [ ] = I K H P = P K S K (4.43) olara bulunur. Sonuç olara, başlangıç değerleri ile Kalman filtresi algoritması; P =Φ P Φ + Q (4.44) + [ ] P = I K H P (4.45) ( ) K = P H H P H + R (4.46) xˆ =Φ xˆ + G u (4.47) + ( ) xˆ = xˆ + K z H xˆ (4.48) eşitlileri ile verilir (Bar-Shalom et al. 200). 4.2 Filtre Kazancının Yorumlanması (4.40) eşitliğindei filtre azancı (sade bir yalaşımla, sadece sayısal değeri açısından incelenirse);. Durum öngörüsünün varyansı ile doğru, 2. İnnovasyon ovaryansı ile ters orantılıdır. Dolayısıyla, eğer durum öngörüsü hatalı (büyü varyansa sahip), ölçümler doğru (öngörünün varyansına ıyasla daha üçü varyansa sahip) ise, azanç büyü, Eğer durum öngörüsü doğru (üçü varyansa sahip), ölçümler hatalı (öngörünün varyansına ıyasla daha büyü varyansa sahip) ise, azanç üçü olur. Büyü azanç, durum tahmini güncelleniren ölçümlere daha fazla ağırlı verildiği anlamına geliren, üçü azanç, durum tahmini güncelleniren ölçümlere daha az 28

37 ağırlı verildiği anlamına gelir. Bu özelliler, freans anlamında filtrenin, yüse ya da düşü band genişliğine sahip olması anlamına gelir. Başa bir deyişle, optimal azancı yüse olan filtrede, daha az gürültü azaltımı meydana gelir, yani gelen gözlemlere güvenilir ve dolayısıyla filtrenin, daha yüse bir band genişliğine sahip olduğu söylenebilir. Sonuç olara, başlangıç oşulu ve sisteme giren bütün gürültülerin Normal dağılıma sahip olması varsayımı altında, Kalman filtresi optimal EKHKO tahmin edicisidir. Şeil 4.2 de Kalman filtre algoritmasının bir döngüsü verilmiştir. Burada diat edilmelidir i, her anında, sistemin geçmişi, x ˆ ve P tarafından özetlenmetedir. Her bir durum tahmin döngüsü içerisinde; durum ve gözlem öngörüsü ve sonra durum tahminin güncellenmesi yapılır. Durum tahmininin güncellenebilmesi için, ovaryans hesaplamalarından elde edilen Kalman azancı ullanılır. Kovaryans hesaplamaları, durumdan ve (bilinen ontrol girdisinden) bağımsızdır, dolayısıyla, filtre içerisinde durum tahmin döngüsünden ayrı olara hesaplanır (Bar-Shalom et al. 200).. 29

38 Sistemin gerçe durum değerlerinin hesaplanması Bilinen girdi Durum tahmini Durum ovaryansının hesaplanması anındai durum x anındai girdi u anındai durum tahmini x ˆ anındai durum ovaryansı P w + anına geçiş x =Φ x + + G u + w Durum öngörüsü xˆ =Φ xˆ + G u + Durum öngörü ovaryansı P =Φ P Φ + Q + Gözlem öngörüsü zˆ = H xˆ İnnovasyon ovaryansı S = H P H + R v + + dei gözlem z = H x + v Gözlem hatası = z zˆ υ Filtre azancı K = P H S Güncellenmiş durum tahmini xˆ = xˆ + K + υ Güncellenmiş durum ovaryansı P P K S K = Şeil 4.2 Kalman Filtresinde Durum Tahmini 30

39 4.3 Sistem Modelinin Olabilirli Fonsiyonunun Özellileri ya adar olan bütün gözlemler; Z ile ifade edilirse, dır. Burada, { z( ) } = = (4.49) Z nın birleşi olasılı fonsiyonu; ( ), p Z = p z Z ( ) = p z Z p Z i p z( i), Z (4.50) = i= 0 Z önsel bilgidir. Eğer, yuarıdai olasılı yoğunlu fonsiyonları Normal dağılıma sahip ise; i ( ), =Ν ( ); ˆ( ), ( ) p z i Z z i z i i S i ( ) ˆ ( );0, ( ) =Ν z i z i i S i ( i) ;0, S( i) =Ν ν ( i) = p ν (4.5) dır. (4.5) de elde edilen sonuç, (4.50) de ullanılırsa; p Z p i = ν( ) i= elde edilir. Bunun anlamı, gözlem dizisinin birleşi olasılı yoğunlu fonsiyonu, bu gözlemlere ait olan innovasyonların çarpımlarına eşittir (Bar-Shalom et al. 200). 4.4 X-Y Koordinatları Üzerinde Sabit İvmeli Hareet Yapan Cisim İçin Benzetim Çalışması Bu bölümde, X-Y oordinatlarında sabit ivmeyle hareet yapan cismin durum-uzay modeli ullanılara benzetim çalışması yapılmış ve Kalman filtresinin doğru ve yanlış modelde nasıl davrandığı gözlemlenmiştir. 3

40 Bu cisim için durum vetörü; x= [ x x& && x y y& && y ] dır. Bu model için durum denlemi; x =Φ x +Γ w + dır. Sistem gürültüsü geçiş matrisi; w, esili-zaman 0 ortalamalı beyaz gürültü sürecidir. Sistem 2 T T T T T T Φ= 2 gürültü azanç matrisi; 2 T 0 2 T 0 0 T T 0 Γ= 2 dir. Cismin hareeti ile ilgili durum-uzay modeli; 2 2 T T T T T x = x + w T T T T 0 T z = x + v (4.52) (4.53) 32

41 eşitlileri ile verilir. Burada, T örnelem periyodunu göstermetedir. Benzetim çalışmasında gürültü süreçleri; w v N N ( 0,00) ( 0,36) başlangıç durumu; x 0 = [ ] ve örnelem periyodu T = 0. olara alınmıştır. Yanlış sistem transfer matrisi olara; 2 T T T T T T Φ= 2 alınmıştır. Benzetim çalışmasında filtrenin tutarlılığını test etme amacıyla, Normalleştirilmiş Hata Kareleri Normu (NHKN) ile benzetim çalışmasının sonuçları arşılaştırılmıştır. Hata vetörü; x% = x xˆ olara alınırsa NHKN; ε = x% P x% (4.54) dır. Modeldei gürültü terimlerinin normal dağılıma sahip olduğu varsayılırsa (4.54) eşitliği ile verilen ε, serbestli derecesi n olan Ki-are dağılımına sahiptir. Yani; E [ ] ε = n x dir. Burada H 0 hipotezi, filtrenin tutarlı olması (durum tahmin hatalarının filtreden hesaplanan ovaryanslarla tutarlılığı) anlamındadır. Eğer; ε [ r, r ] 2 ise H 0 hipotezi abul edilir. Burada abul aralığı; { ε [ 2] 0} P r, r H = α 33

42 eşitliği tarafından belirlenir. Burada, n x = 6, α = 0,05 olara alındığında, % 95 anlam düzeyinde ii taraflı güven aralığı [ ] olara bulunur. Filtrenin tutarlı olup olmadığı (4.54) eşitliğinden hesaplanan değerlerin yalaşı % 95 inin bu aralığa düşüp düşmemesiyle söylenir (Bar-Shalom et al. 200). Şeil 4.3 ve Şeil 4.4 ile NHKN değerleri, doğru ve yanlış model için verilmiştir. Şeil 4.4 den görüleceği gibi hatalı filtre tutarlı değildir. Yani yanlış model, sistemi doğru temsil etmemetedir. Şeil 4.3 Doğru Model İçin NHKN Değerleri Şeil 4.4 Yanlış Model İçin NHKN Değerleri Algoritmaların performanslarını arşılaştırma için, n ( ) 2 ˆ AT = y H x (4.55) n = 34

43 artıların arelerinin toplamı ölçütü de ullanılabilir. (4.55) eşitliği, doğru ve yanlış model için hesaplanmış ve Şeil 4.5 ve Şeil 4.6 ile verilmiştir. Şeillerden de görülebileceği gibi yanlış modelin artıların areleri toplamı, doğru modelin artıların areleri toplamından daha büyütür. Şeil 4.5 Doğru Model İçin Artıların Kareleri Toplamı Şeil 4.6 Yanlış Model İçin Artıların Kareleri Toplamı Sabit ivmeli cismin hareetinin, doğru model için, gerçe yörüngesi, alınan gözlemleri ve yapılan tahmini Şeil 4.7 de verilmiştir. 35

44 Şeil 4.7 Doğru Model İçin Hareet Yörüngesi ve Tahmini Sabit ivmeli cismin hareetinin, yanlış model için, gerçe yörüngesi, alınan gözlemleri ve yapılan tahmini Şeil 4.8 de verilmiştir. Şeil 4.8 Yanlış Model İçin Hareet Yörüngesi ve Tahmini Sabit ivmeli cismin, doğru model altındai hareeti için; Şeil 4.9 da x oordinatındai onum hatası, Şeil 4.0 da x oordinatındai hız hatası, Şeil 4. de x oordinatındai ivmelenme hatası, Şeil 4.2 de y oordinatındai onum hatası, Şeil 4.3 te y oordinatındai hız hatası, Şeil 4.4 te y oordinatındai ivmelenme hatası, Şeil 4.5 te cismin x oordinatındai onumu, Şeil 4.6 da cismin x oordinatındai hızı, Şeil 4.7 de Cismin x oordinatındai ivmelenmesi, Şeil 4.8 de cismin y oordinatındai onumu, Şeil 4.9 da cismin y oordinatındai 36

45 hızı, Şeil 4.20 de cismin x oordinatındai ivmelenmesinin grafileri verilmiştir. Program odları EK (-2) de sunulmuştur. Şeil 4.9 x Koordinatındai Konum Hatası Şeil 4.0 x Koordinatındai Hız Hatası Şeil 4. x Koordinatındai İvmelenme Hatası 37

46 Şeil 4.2 y Koordinatındai Konum Hatası Şeil 4.3 y Koordinatındai Hız Hatası Şeil 4.4 y Koordinatındai İvmelenme Hatası 38

47 Şeil 4.5 Cismin x Koordinatındai Konumu Şeil 4.6 Cismin x Koordinatındai Hızı Şeil 4.7 Cismin x Koordinatındai İvmelenmesi 39

48 Şeil 4.8 Cismin y Koordinatındai Konumu Şeil 4.9 Cismin y Koordinatındai Hızı Şeil 4.20 Cismin y Koordinatındai İvmelenmesi 40

49 5. KESİKLİ-ZAMAN KALMAN FİLTRESİ NİN YANLIŞ GÜRÜLTÜ KOVARYANSLARINA KARŞI DUYARLILIĞI Lineer dinami sistemlerde, Kalman filtresinin en iyi tahmini verebilmesi için, sistem gürültüsünün ovaryans matrisi Q nun, gözlem gürültüsünün ovaryans matrisi R nin ve başlangıç hata ovaryans matrisi P 0 ın tam olara bilinmesi gerelidir. Anca, gerçe uygulamalarda, Q, R ve P 0 ovaryans matrisleri tam olara bilinmez ya da sadece yalaşı değerlerine ulaşılabilir. Bu bölümde, Q, R ve P 0 ovaryans matrislerindei değişililerin Kalman filtresinin optimalliğini nasıl etileyeceği onusu üzerinde durulacatır. Lineer esili-zamandan bağımsız durum-uzay modeli =,2, K için; dır. Burada; x =Φ x + w (5.) + z = Hx + v (5.2) x, n x boyutlu durum vetörünü ve z, n z boyutlu gözlem vetörünü göstermetedir. Ayrıca, (5.) ve (5.2) ile verilen durum-uzay modeli ile ilgili olara aşağıdai varsayımlar abul edilmiştir: matrislerdir.. Φ, H, Q ve R matrisleri boyutları uygun şeilde seçilmiş ve bilinen 2. w, v stoasti süreçleri; 0 ortalamalı ve Q, R ovaryanslarına sahip olan, birbiri ile ilişisiz ve Normal dağılıma sahip süreç ve gözlem gürültüleridir. 3. Başlangıç durumu (oşulu) x 0, bilinen x 0 ortalamasına ve P 0 varyansına sahip Normal dağılımlı rasgele süreç olara modellenir ve süreç ve gözlem gürültüleri ile ilişisizdir. (Jazwinsi 970, Anderson and Moore 979, Kumar and Varaiya 986). Kalman azancının, filtre gürültü ovaryanslarının aynı atsayı ile ağırlılandırılması sonucunda elde edilen değerinin değişmeden aldığı gösterilirse, güncellenmiş durum vetörü de değişmez dolayısıyla optimalli bozulmamış olur. 4

50 P + ( = P ), güncellenmiş durum tahmin ovaryansı, P ( P ) ovaryansı ve K Kalman azancı, başlangıç matrisi P0 ( P0 0) gürültü ovaryans matrisleri Q ve R ye bağlıdır. Dolayısıyla, = durum öngörü + =, sistem ve gözlem P +, P ve eşitlilerindei değişililerin, Q ve R matrislerindei değişililerden aynalandığı söylenebilir. Burada, sistem ve gözlem gürültü matrislerindei değişililerinden, P, P + ve K matrislerinin nasıl etilendiği üzerinde durulacatır. Terarlı algoritmalar: P =ΦP Φ + Q + + ( ) K = P H HP H + R ( ) P = I K H P + dır. Burada, lineer ve zamandan bağımsız sistem ele alındığı için, Φ sabit sistem geçiş matrisini, H sabit gözlem matrisini göstermetedir. K Teorem : Eşitli (5.) ve (5.2) dei lineer sistem göz önüne alınsın. =, 2,... için, P, Q, ( 0) 0 R > ve matrisleri ve 0 K, gerçe, başlangıç, sistem, gözlem ovaryansı ve Kalman azanç P %, Q % ve R ( > 0) % ise bunlara ait bozulmuş matrislerdir. Eğer, =, 2,... için P % 0 =α P, Q % Q 0 =α, R% =α R ve α > 0 ise, Kalman azanç matrisi α nın büyülüğünden bağımsızdır. Diğer bir deyişle, Kalman azancı Q ve R matrisinde meydana gelen bu değişiliten bağımsızdır. Ayrıca, P % = α P ve P% + = α P + olara hesaplanır. İspat: ( ) α( ) % α( ) α ( ) ( ) P% =ΦP% Φ + Q= ΦP Φ + Q = P K% P H HP H R P H HP H R K = α α + α = + = P = I K H P + P% = I K H P = α P + + olara bulunur. - ncı adım içinde bu sonuçların sağlandığı varsayılsın. ncı adım için elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir. 42

51 P =ΦP Φ + Q + ( ) ( ) % α( ) ( ) ( ) P% =ΦP% Φ + Q= ΦP Φ + Q = α P + + K = P H HP H + R K% = α P H α HP H + α R = K P = I K H P + P% = I K H P% = α P + + Bu sonuçlar her değeri için geçerlidir. Bu oşullar altında da Kalman azancının değişmediği, dolayısıyla, durum tahminin değişmediği ve optimal aldığı görülmüştür. Hatırlatma : HQH matrisi P% = α P, Q=αQ % ve R 0 ( R ) için teil olmayan bir matris olsun. Eğer, α > 0 için, = = % ise Kalman azanç matrisi α nın büyülüğünden bağımsızdır. Diğer bir deyişle, Kalman azancı, Q matrisinde meydana gelen bu değişiliten bağımsızdır. Ayrıca, P % = α P ve P% + = α P + olara hesaplanır. İspat: ( ) α ( α ) ( ) P% = α ΦP Φ + Q = P + 0 K% = α P H HP H = P H HP H = K ( ) α( ) P = I K H P + P% = I K H P = α P + + olara bulunur. - nci adım içinde bu sonuçların sağlandığı varsayılsın. ncı adım için elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir. P =ΦP Φ + Q + ( ) ( ) % α( ) ( ) ( α ) P% =ΦP% Φ + Q= ΦP Φ + Q = α P + + K = P H HP H K% = α P H HP H = K P = I K H P + P% = I K H P% = α P

52 Sonuç olara, gözlem hatasının olmadığı ( R= 0 ) durumda süreç gürültü ovaryans matrisindei değişililer sonucu Kalman azancının değişmediği, dolayısıyla, durum tahminin değişmediği ve optimal aldığı görülmüştür. Hatırlatma 2: α > 0 ve,2,... = için, eğer Q 0( Q) = = %, P % 0 =α P ve 0 R % =α R ise Kalman azanç matrisi α nın büyülüğünden bağımsızdır. Diğer bir deyişle, Kalman azancı, R matrisinde meydana gelen bu değişiliten bağımsızdır. Ayrıca, P% = α P ve P% + = α P + olara hesaplanır. İspat: ( ) α( ) α( ) α ( ) ( ) P% =ΦP% Φ = ΦP Φ = P K% P H HP H R H P HP H R K = α α + α = + = P = I K H P + P% = I K H P = α P + + olara bulunur. - nci adım içinde bu sonuçların sağlandığı varsayılsın. ncı adım için elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir. P =ΦP Φ + ( ) ( ) α( ) ( ) ( ) P% =ΦP% Φ = ΦP Φ = α P + + K = P H HP H + R K% P H HP H R K = α α + α = P = I K H P + P% = I K H P% = α P + + Bu sonuçlar her değeri için geçerlidir. Bu oşullar altında da Kalman azancının değişmediği, dolayısıyla, durum tahminin değişmediği ve optimal aldığı görülmüştür. Sonuç olara, yuarıdai varsayımlar altında filtre gürültü ovaryanslarının aynı atsayı ile ağırlılandırılması sonucunda, Kalman filtresinde meydana gelen değişililer, güncellenmiş durum tahmin ovaryansı ve durum öngörü ovaryans matrisi eşitlilerinde görülmetedir. Bu durumda Kalman azancı, dolayısıyla da durum tahmini aynı almatadır (Saab 995, Saab and Nasr 999). 44

53 (5.) ve (5.2) dei lineer esili-zamandan bağımsız durum-uzay modeli için x durum vetörü, z gözlem vetörü Φ, G, H bilinen matrisler, x,, 0 w v normal dağılımlı ilişisiz beyaz gürültü süreçleridir. (5.) ve (5.2) ile ilgili varsayımlar altında Kalman filtresi; P =Φ P Φ + Q / ( ) / = P I KH P ( ) K = P H H P H + R xˆ / / =Φ xˆ / ( ) xˆ = xˆ + K y H xˆ / / eşitlileri ile verilir. Kalman filtresindei sistem dinamileri ve ölçümler arasındai ilişi, lineer modeller tarafından tam olara ifade edilebiliyorsa, filtre, durumun en iyi tahminini verir. Faat, filtre hatalı bir model üzerine urulmuşsa, yanlış durum tahmini yapılabilir (Synder 973). Filtre tahmini çoğunlula geçmiş veriye dayanılara yapıldığı için, geçmiş veriye daha ço ağırlı verme, durum tahmininde ırasamaya neden olabilir. Bu problemin üstesinden gelme için, eğer geçmiş veriler, hatalı model ullanımından dolayı anlamlarını yitirmişlerse, bu verilerin güncel durum tahminine olan etisini azaltma ya da yo etme gereir. Bu masatla Fagin (964), geçmiş veriyi λ unutma fatörü yoluyla üstel olara ağırlılandıran bir metod geliştirmiştir. Bu apsamda Kalman filtresi; xˆ ve λ dir. =Φ xˆ / ( ) xˆ = xˆ + K y H xˆ / / ( ) K = P H H P H + R / / P = λ Φ PΦ + G Q G + / + ( ) / = P I KH P (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) 45