Abdullah Ayd n ÜNLÜ Harun ER

Transkript

1

2 OAÖĞEİM MAEMAİK Adullh Ayd ÜNLÜ Hru E Millî Eğitim Bklığı lim ve eriye Kuruluu..9 trih ve 8 syılı krrı ile öğretim yılıd itire (eş) yıl süre ile ders kitı olrk kul edilmiştir. YAYINCILIK ANAY VE CAE L M ED fi KE İvedik Orgize yi Bölgesi. Cdde 78. okk Nu: ANKAA el.: () 9 7

3 Bu kitı her hkkı sklıdır ve NOVA YAYINCILIK ittir. Fikir ve t Eserleri Kuu gereğice kitı tmmı vey ir kısmı, yyıcıı izi olmksızı elektroik, mekik, fotokopi y d herhgi ir kyıt sistemi ile çoğltılmz, yyılmz ve sılmz. Editör ez EV N K Dil Uzm Nury DO AN Görsel sr m uf YAfiA Ölçme ve De erledirme Uzm Hüly BAfiAAN Progrm Gelifltirme Uzm Mehmet YILDIZLA Geliflim Uzm Lütfiye ALUNOP IBN Bsk Cilt Feryl Mts Akr (.) 9 7 8

4 İİKLÂL MAŞI Korkm, sömez u şfklrd yüze l sck; ömede yurdumu üstüde tüte e so ock. O eim milletimi yıldızıdır, prlyck; O eimdir, o eim milletimidir ck. Bstığı yerleri toprk! diyerek geçme, tı: Düşü ltıdki ilerce kefesiz ytı. e şehit oğlusu, icitme, yzıktır, tı: Verme, düylrı ls d, u ceet vtı. Çtm, kur olyım, çehrei ey zlı hilâl! Khrm ırkım ir gül! Ne u şiddet, u celâl? olmz döküle klrımız sor helâl... Hkkıdır, Hkk tp, milletimi istiklâl! Kim u ceet vtı uğru olmz ki fedâ? Şühedâ fışkırck toprğı sıks, şühedâ! Câı, cââı, ütü vrımı lsı d Hud, Etmesi tek vtımd ei düyd cüdâ. Be ezelde eridir hür yşdım, hür yşrım. Hgi çılgı zicir vurckmış? Şşrım! Kükremiş sel giiyim, edimi çiğer, şrım. Yırtrım dğlrı, egilere sığmm, tşrım. uhumu sede, İlâhi, şudur ck emeli: Değmesi medimi göğsüe âmhrem eli. Bu ezlr ki şhdetleri dii temeli Eedî yurdumu üstüde eim ilemeli. Grı âfâkıı srmışs çelik zırhlı duvr, Beim im dolu göğsüm gii serhddim vr. Ulusu, korkm! Nsıl öyle ir imı oğr, Medeiyet! dediği tek dişi klmış cvr? O zm vecd ile i secde eder vrs tşım, Her cerîhmd, İlâhi, oşıp klı yşım, Fışkırır ruhı mücerred gii yerde şım; O zm yükselerek rş değer elki şım. Arkdş! Yurdum lçklrı uğrtm, skı. iper et gövdei, dursu u hyâsızc kı. Doğcktır s v dettiği güler Hkk ı... Kim ilir, elki yrı, elki yrıd d ykı. Dlgl se de şfklr gii ey şlı hilâl! Olsu rtık döküle klrımı hepsi helâl. Eediye s yok, ırkım yok izmihlâl: Hkkıdır, hür yşmış, yrğımı hürriyet; Hkkıdır, Hkk tp, milletimi istiklâl! Mehmet Âkif EOY

5 AAÜK'ÜN GENÇLİĞE HİABEİ Ey ürk Geçliği! Birici vzife, ürk istiklâlii, ürk cumhuriyetii, ileleet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudiyetii ve istiklii yegâe temeli udur. Bu temel, sei, e kıymetli hziedir. İstiklde dhi, sei, u hziede, mhrum etmek isteyecek, dhilî ve hricî, edhhlrı olcktır. Bir gü, istiklâl ve cumhuriyeti müdf mecuriyetie düşerse, vzifeye tılmk içi, içide ulucğı vziyeti imkâ ve şeritii düşümeyeceksi! Bu imkâ ve şerit, çok âmüsit ir mhiyette tezhür edeilir. İstiklâl ve cumhuriyetie kstedecek düşmlr, ütü düyd emsli görülmemiş ir gliiyeti mümessili olilirler. Cere ve hile ile ziz vtı, ütü kleleri zpt edilmiş, ütü terselerie girilmiş, ütü ordulrı dğıtılmış ve memleketi her köşesi ilfiil işgl edilmiş olilir. Bütü u şeritte dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketi dhilide, iktidr ship ollr gflet ve dlâlet ve httâ hıyet içide uluilirler. Httâ u iktidr shipleri şhsî meftlerii, müstevlileri siysî emelleriyle tevhit edeilirler. Millet, fkr u zruret içide hrp ve îtp düşmüş olilir. Ey ürk istiklii evlâdı! İşte, u hvl ve şerit içide dhi, vzife; ürk İstiklâl ve cumhuriyetii kurtrmktır! Muhtç olduğu kudret, dmrlrıdki sîl kd mevcuttur!

6 Mustf Keml AAÜK

7 Ç NDEK LE OGANİZAYON ŞEMAI ÜNİE: KAMAŞIK AYILA KAMAŞIK AYILA Gerçek yılr Kümesii Geişletme Gereği l Birim (i yısı) Krmşık yılr Kümesi Krmşık yıı Eşleiği ve Modülü Krmşık yılrd oplm ve Çıkrm İşlemleri Krmşık yılrd Çrpm ve Bölme İşlemleri Krmşık yıı Eşleiği ile İlgili Özellikler Krmşık yıı Modülü ile İlgili Özellikler Krmşık yılrd İkici Derecede Bir Bilimeyeli Deklem ü İki Krmşık yı Arsıdki Uzklık ve Krmşık yı ile Çemer İlişkisi Ölçme Değerledirme Çlışmlrı KAMAŞIK AYILAIN KUUPAL BİÇİMİ Kutupsl Koordit istemi ve Krmşık yılrı Kutupsl Biçimi Kutupsl Biçimde Verile Krmşık yılrl İşlemler Krmşık yıı Oriji Etrfıd Dödürülmesi Bir Krmşık yıı Kuvvetleri Bir Krmşık yıı Kökleri Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ÜNİE Eİ ÜNİE: LOGAİMA ÜEL FONKİYON VE LOGAİMA FONKİYONU Üstel Foksiyo Logritm Foksiyou Özel Logritm Foksiyolrı Logritm Foksiyouu Özellikleri Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ÜLÜ VE LOGAİMALI DENKLEMLE VE EŞİİZLİKLE Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ÜNİE Eİ ÜNİE: PEMÜAYON, KOMBİNAYON, OLAILIK VE İAİİK PEMÜAYON ym Yötemleri Permütsyo Döel Permütsyo ekrrlı Permütsyo Ölçme Değerledirme Çlışmlrı KOMBİNAYON Komisyol İlgili Özellikler Ölçme Değerledirme Çlışmlrı BİNOM AÇILIMI Biom Açılımı İlgili Özellikler Ölçme Değerledirme Çlışmlrı OLAILIK Olsılık Foksiyou Eş Olumlu (Olsılı) Öreklem Uzy Koşullu Olsılık Bğımlı ve Bğımsız Olylr

8 Ölçme Değerledirme Çlışmlrı İAİİK erpilme ve Kutu Grfiği Gerçek Yşm Durumlrı ve Uygu Grfikler Merkezi Eğilim ve Yyılım Ölçüleri tdrt Pulr Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ÜNİE Eİ ÜNİE: ÜMEVAIM VE DİZİLE ÜMEVAIM ümevrım Yötemi Ölçme Değerledirme Çlışmlrı OPLAM VE ÇAPIM EMBOLLEİ oplm (/) ve Çrpım ( ) emolleri ve Özellikleri Ölçme Değerledirme Çlışmlrı DİZİLE Dizi Dizilerde İşlemler Art, Azl, Azlmy ve Artmy Diziler Ölçme Değerledirme Çlışmlrı AİMEİK VE GEOMEİK DİZİLE Aritmetik Dizi ve Özellikleri Geometrik Dizi ve Özellikleri Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ÜNİE Eİ ÜNİE: LİNEE CEBİ MAİLE Mtris Mtris Çeşitleri Mtrislerde oplm İşlemi Bir Mtrisi Bir Gerçek yı ile Çrpımı Mtrislerde Çrpm İşlemi Bir Mtrisi Çrpm İşlemie Göre ersi Bir Mtrisi Devriği (rspozu) Ölçme Değerledirme Çlışmlrı DOĞUAL DENKLEM İEMLEİ Doğrusl (Lieer) Deklem istemi Doğrusl Deklem istemlerii Mtrisler Yrdımıyl ü Ölçme Değerledirme Çlışmlrı DEEMİNANLA Determit rrus Yötemi Ek Mtris Ölçme Değerledirme Çlışmlrı DOĞUAL DENKLEM İEMLEİ Doğrusl Deklem istemlerii ers Mtris Yrdımıyl ü Crmer Kurlı Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ÜNİE Eİ ÜNİE ELEİ CEVAP ANAHALAI ÖZLÜK KAYNAKÇA

9 OGAN ZAYON fiemai Üite şlık ve lt şlıklrıı gösterir. Kouyl ilgili ypılck etkilikleri yer ldığı kısımdır. Kouyl ilgili tım, ilgi ve özellikleri içerir. Kouyl ilgili uyrılrı içerir. Kouy yöelik değerledirme çlışmlrıı kpsr. Kitı tmmı stlik işleişe göre hzırlmıştır. Kerlrı peme rek ile elirtile kısımlr ise sdece stlik progrmd işlemesi gereke ölümleri göstermektedir. z + vey z z vey z olur. Bir krmşık syıı mutlk değeri egtif olmycğı içi z tür. Örek z + i z eşitliğii sğly z krmşık syısıı ullım. z + i z + olur. z + i z + + i + i i i + + ve dir. + + g + ] ( ) tir. z i ve olduğu göre uluur. Krmşık yılrd İkici Derecede Bir Bilimeyeli Deklem ü EKİNLİK + deklemii diskrimitıı (Δ) iceleyiiz ve köklerii uluuz deklemii diskrimitıı (Δ) iceleyiiz ve köklerii uluuz. + + deklemii diskrimitıı (Δ) iceleyiiz ve köklerii uluuz. Üçücü deklem ile diğer iki deklem rsıdki frk edir? Üçücü deklemi kökleri içi e söyleyeilirsiiz? Üçücü deklemi kökleri rsıdki ilişki edir? + deklemii çözüm kümesii ullım. + deklemi içi,, c olduğud, Δ c ( ) uluur. Δ < olduğud + deklemii gerçek syı kökü yoktur. O hâlde, u deklemi krmşık syı köklerii rştırlım. i i + ] g $ g i i ] i uluur. Öyleyse Ç { + i, i) olur. $ Deklemi krmşık syı köklerii irirlerii eşleiği olduğu dikkt ediiz. Uyrı Örek İkici derecede ir ilimeyeli gerçek kt syılı ir deklemi kökleride iri + i ise diğer kök i dir (, ). i, 8

10 . ÜN E KAMAfiIK AYILA Krmşık syılr, ugü mtemtikteki geiş yerii yı sır kutum mekiği, görecelik kurmı, hidrodimik ve hritcılık gii irçok ld öemli ir uygulm rcıdır. iyl lizide, periyodik olrk değişe siylleri tımlmsıd krmşık syılr kullılır. Elektrikte, ltertif kım krmşık syılrl ifde edilir ve ceirsel işlemleri ypılmsıı kolylştırır. KAMAŞIK AYILA Gerçek yılr Kümesii Geişletme Gereği Mtemtiksel deklemlerde yrrlılrk, ilgisyrd muhteşem görütüler çizileilmektedir. Bu görütüleri çizilmeside, krmşık syılr etki ir rol oymktdır. EKİNLİK, +,, 7, +, + deklemlerii çözüm kümelerii uluuz. Gerçek syılr kümeside çözümüü ulmdığıız deklem y d deklemler vr mı? Cevıız evet ise u deklemleri söyleyiiz. üü ulmdığıız deklemler vrs gerçek syılr kümeside u deklemleri çözüm kümesie ulşmyışıızı temel edeii elirtiiz. Bu deklemleri çözeilmek içi hgi özellikteki syılr ihtiycıız vr? Gerçek syılr kümeside u özellikte ir syı ulmız mümkü mü? Bu durum, gerçek syılr kümeside dh geiş ir syı kümesie ihtiyç duyulduğu lmı gelir mi? rtışıız. 9

11 İkici derecede, ir ilimeyeli deklemleri çözümüde diskrimit yötemii htırlylım.,, c ve olmk üzere, + + c c,( ) + + l! & < + + l l + c F c c & < + l F,( ) & + l! c c c & + l e o & e + + oe + o olur. c c > & c+ + mc + m f( ) uluur. c + c < & c+ mc + m f( ) uluur. c () ve () eşitlikleride c c + mc + + m olur. Bu göre, c c + vey + + c c & + vey, (! ) elde edilir. olmk üzere + + c deklemide c ifdesie deklemi diskirimitı deir ve Δ (delt) semolü ile gösterilir. O hâlde, Δ c olmk üzere + + c deklemi köklerii elirleyelim:. Δ > ise, deklemi frklı iki gerçek kökü vrdır. Bu kökler, + vey dır.. Δ ise deklemi iririe eşit (çkışık) iki gerçek kökü vrdır. Bu kökler, dır.. Δ < ise deklemi gerçek kökü yoktur. Örek Aşğıdki ikici derecede ir ilimeyeli deklemleri diskrimit yötemi ile çözelim. ) + ) + 9 c) + + ) + deklemide, ve c tür. Bu göre, Δ c ( ) 9 + uluur. Δ > olduğud deklemi frklı iki gerçek kökü vrdır ve u kökler, vey $ 8 $ ) + 9 deklemide, ve c 9 dur. Bu göre, uluur. Bu göre Ç {, } uluur. Δ c ( ) 9 dır. Δ olduğud deklemi çkışık iki kökü vrdır. Bu kökler, $ tür. Bu göre Ç {} uluur.

12 c) + + deklemide, ve c dir. Bu göre, Δ c uluur. Δ < olduğud deklemi gerçek kökü yoktur. Dolyısıyl u deklemi çözüm kümesii ulilmek içi yei ir syı kümesie ihtiyç duyulmktdır. Örek t, 99 yıllrı rsıdki zm rlığıı göstermek üzere, ir cep telefou şirketii ir ülkede 99 yıllrı rsıdki yıllık stış tutrı A (milyo L) A t + t +, t içimide verilmektedir. Bu modele ğlı olrk, ) tışlrı hgi yıllr içide 9 milyo L ye ulştığıı, ) tışlrı hgi yıllr içide milyo L ye ulştığıı ullım. ) A t + t + 9 t + t + t t dır. Δ c 9 ( ) > olduğud t t deklemii frklı iki gerçek kökü vrdır ve u kökler, ve t t dir. t [, ] olduğud t [, ] olur. Bu göre şirketi yıllık stış tutrıı 99 yıllrı rsıd 9 milyo L ye ulştığı görülmektedir. ) A t + t t + t + t t + uluur. Δ c 9 9 < olduğud t t + deklemii gerçek kökü yoktur. Bu souç ise 99 yıllrı rsıd şirketi yıllık stış tutrıı hiçir zm milyo L ye ulşmdığıı gösterir. Uyrı + gii ir deklemi doğl syılr kümeside çözümü olmdığıd tm syılr kümesie, + gii ir deklemi tm syılr kümeside çözümü olmdığıd rsyoel syılr kümesie, + gii ir deklemi tm syılr kümeside çözümü olmdığıd yei ir syı kümesie ihtiyç duyulur. Uyrı + + c, ikici derecede ir ilimeyeli deklemide Δ c < olduğud deklemi gerçek köküü olmdığı görülmektedir. Bu durum, deklemi çözümüü olmdığı lmı gelmemektedir. Bu deklemi köklerii gerçek syı olmdığı lmı gelmektedir. Buu içi dh geiş ir syı kümesie ihtiyç duyulmktdır. Corel Friedrich Guss (Korıl Fıredkik Gus) (7778) Ktkıd uluduğu llrd zılrı; syılr kvrmı, liz, difersiyel geometri, geodezi, elektrik, myetizm, stroomi ve optiktir. Mtemtikçileri presi ve tik çğlrd eri yşmış e üyük mtemtikçi olrk d elire Guss, mtemtiği ve ilimi pek çok lı etkisii ırkmış ve trihi e üfuslu mtemtikçileride iri olrk kul edilmiştir. Guss, sl syılrı doktor tezide kullmsı ile mtemtik düysıd yei ir pecere çmıştır. l Birim (i yısı) EKİNLİK + deklemii gerçek köklerii olmdığıı iliyoruz. Bu eşitliği sğlmsı içi yerie kresi ol ir syı yzmmız gerekir. Bu göre şğıdki sorulrı cevplyıız. Kresi ol yei ir syı tımldığımızı düşüelim. Bu syıyı istediğiiz ir semolle gösteriiz. Bu semolü kullrk kresi ve ol syılrı yzıız. Yukrıd tımldığıız semolü kullrk + ve + 9 deklemlerii çözüm kümelerii uluuz.

13 Örek 9 + toplmıı frklı içimde ifde edelim uluur. Kresi ol syıy sl syı irimi deir ve i ile gösterilir. Bu durumd, i y d i şeklide ifde edileilir. Örek Aşğıdki işlemleri souçlrıı ullım. ) + ) 7 c) $ ) + $ ] g + $ ] g $ + $ i+ i 9i uluur. ^i h ) 7 7 $ $ i i i olur. ^i h c) $ $ ]g $ $ ] g $ $ $ $ i$ $ i ^i h Uyrı i i $ ]g olur. + ve i olmk üzere $ i dir. Örek Aşğıdki işlemleri iceleyelim. ) 9 9 $ i 7i ) 7 7 $ i i EKİNLİK i ve i olduğu göre şğıdki tlodki oşluklrı uygu şekilde dolduruuz. i i i i i i i i 7 i 8 i 9 i i i i i i i i 7 i 8 i 9 i i i Yukrıd doldurduğuuz tlo yrdımıyl i syısıı doğl syı kuvvetlerii hgi değerleri ldığıı söyleyiiz. i syısıı doğl syı kuvvetlerii ldığı değerleri ulmk içi ir sistem oluşturmy çlışıız. Örek i + i + i i i+ i ifdesii değerii ullım. i _ i i i i$ i $ i i olduğud i i ` ^ h ] g i i $ i $ i i i i$ i $ ] g i+ i+ i i + i i i i+ i i i uluur.

14 Uyrı N olmk üzere, i k Z ], k ] i, k + [ ], k + ] i, k + \ y d k Z ve k (mod ) olmk üzere, i k i dir. Örek Aşğıdki syılrı değerlerii ullım. ) i 7 ) i c) i ç) i 9 d) i 79 e) i 9 ) 7 (mod ) i 7 i i, ) (mod ) i i, c) (mod ) i i, ç) 9 (mod ) i 9 i i, d) 79 (mod ) i 79 i i, e) 9 (mod ) i 9 i i uluur. Örek P() poliomu içi P(i) i değerii ullım. P() P(i) i + i + i + i i 9 P(i) (i + i + i + i ) + (i + i + i 7 + i 8 ) (i 89 + i 9 + i 9 + i 9 ) + i 9 [i + ( ) + ( i) + ] + [i + ( ) + ( i) + ] [i + ( ) + ( i) + ] + i () + () () + i i elde edilir. Örek i + i i i 9 8 ifdesii eşitii ullım. i + 9 ] i + g + _ i i i8+ i] + g + i i + + i + ` + i i i i] g + i i i] g + i 9 8 i + i i uluur. Örek $ $ işlemii soucuu ullım. _ $ $ i $ $ i ` $ $ i $ i $ $ i$ i$ i ^ $ $ h $ ] i$ i$ ig i i uluur.

15 Krmşık yılr Kümesi EKİNLİK i syısı, sl syı irimi deildiğii öğremiştik. i ifdeside, sl syı irimii kt syısıdır. i + i işlemii soucuu uluuz. ouç sdece sl syı irimide mi oluşuyor? ouçt, sl syı irimii kt syısı kçtır? ouç sdece i ye ğlı değil ise i ye ğlı olmy kısım kçtır? z i + i i ve z 8i + i i 8 eşitlikleri ile verile z ve z yi uluuz. z ve z i sl syı irimilerii kt syılrıı eşit olduğuu söyleyeilir misiiz? z ve z i i ye ğlı olmy kısımlrıı eşit olduğuu söyleyeilir misiiz? z ve z rsıdki ilişkiyi elirtiiz. Örek z + i, v i, u i, s irer krmşık syıdır., ve i olmk üzere, + i şeklideki syılr krmşık syı deir. Krmşık syılr kümesi C ile gösterilir. Bu tım göre, C { + i i,, } dir. z krmşık syısıı z + i şeklideki gösterimie z i stdrt içimi deir. z + i krmşık syısıd; y z krmşık syısıı gerçek kısmı, ye z krmşık syısıı sl kısmı dı verilir. e(z) ve İm(z) şeklide gösterilir. O hâlde, z + i e(z) + İm(z) i olur. Örek Aşğıdki krmşık syılrı gerçek (e) ve sl (İm) kısımlrıı ullım. ) z i e(z ) ve İm(z ) ) z + i e(z ) ve İm(z ) c) z i e(z ) ve İm(z ) ç) z 7i e(z ) ve İm(z ) 7 d) z e(z ) ve İm(z ) e) z e(z ) ve İm(z ) i f) z 7 z7 i e(z 7 ) ve İm(z 7 ) Uyrı içi + i içimide yzılilir. O hâlde, her gerçek syı, sl kısmı sıfır ol ir krmşık syıdır. Yi, krmşık syılr kümesi gerçek syılr kümesii kpsr. Bu durumd, N Z Q C dir.

16 Örek Aşğıdki ifdeleri + i içimide yzlım. ) 9 $ ) + i $ $ c) $ $ 8 ) 9 $ 9 $ $ $ $ $ i$ $ i $ i i i ( ) i i ) + i$ $ $ + i$ $ $ $ i+ i i + $ ]ig i i ^ $ i+ i$ $ i$ $ i hi c) $ $ 8 $ $ $ $ 8 $ i i$ 8 i i $ i i ]g i + + i EKİNLİK P() + + ve Q() c + d poliomlrı veriliyor. P() Q() olduğu göre,, c ve d i değerlerii uluuz.,, c ve d i değerlerii ulurke izlediğiiz yötemi çıklyıız. z i ve z + i krmşık syılrı veriliyor. z z olduğu göre ve değerlerii ulmy çlışıız. Poliomlrı eşitliğideki ilimeyeleri değerlerii ulurke kulldığıız yötemi krmşık syılrı eşitliğideki ilimeyeleri değerlerii ulmk içi uygulyilir misiiz? rtışıız. Örek ullım. z ( ) + i ve v + ( )i krmşık syılrı veriliyor. z v ise + toplmıı İki poliomu eşitliğii htırlyılım: z P(i) ve v Q(i) poliomlrı gii lıilir. z v ise P(i) Q(i) dir. + i + ( )i dir. Burd, ve olur. 7 ve 8 uluur. Bu durumd + olur. İki krmşık syıı eşit olmsı içi u krmşık syılrı gerçek kısımlrıı iririe ve sl kısımlrıı d iririe eşit olmsı gerekir. O hâlde, z, z C ve z + i, z c + di olmk üzere, z z + i c + di c ve d dir. Örek Aşğıd verile işlemleri iceleyelim. ) i + i ve, ç) g + hi i g ve h, ) c + i + di c ve d, d) m + i m ve olur. c) e + fi i e ve f,

17 Örek z y + + i ve z + ( + y ) i olmk üzere z z ise ve y değerlerii ullım. z z y + + i + ( + y )i y + ve + y dir. y + y...() ve + y + y 7...() olur. () ve () i ortk çözümü ypılırs y + + y 7 9 uluur. y y uluur. Krmşık Düzlem EKİNLİK z + i, z + i, z i ve z i krmşık syılrıı gerçek kısımlrıı irici ileşe, sl kısımlrıı ise ikici ileşe olmk üzere, irer sırlı ikili içimide yzmy çlışıız. Bu ikililerde her iri düzlemde ir okt elirtsi. Alitik düzlemi göz öüde uludurrk u oktlrı yer lcğı ir düzlem oluşturuuz. Oluşturduğuuz düzlemdeki ekseleri krmşık syılrı kısımlrıı düşüerek isimlediriiz. Yukrıd verile krmşık syılr it ikilileri elirttiği oktlrı, oluşturduğuuz düzleme yerleştiriiz. Örek z + i, z + i, z i, z, z i, z i krmşık syılrı ile eşleşe sırlı ikilileri litik düzlemde gösterelim. z A(,) z B(,) z C(,) z D(,) z E(, ) z F(, ) y A B D C F O E

18 Krmşık syılrı litik düzlemi oktlrı ile ire ir eşlemesiyle elde edile düzleme krmşık düzlem deir. Alitik düzlemde, ekseii gerçek ekse, y ekseii sl ekse olrk lırsk krmşık düzlemi elde ederiz. Krmşık düzlemi her oktsı, ir krmşık syıı görütüsüdür. z + i krmşık syısı içi, e(z) syısıı ekseide, İm(z) syısıı y ekseide lrk oluş (, ) oktsı, z + i krmşık syısıı gösterir. y O sl ekse (, ) z + i gerçek ekse Örek Aşğıd verile krmşık syılrı krmşık düzlem üzeride gösterelim. z + i z + i z z i z i y sl ekse z + i (, ) z + i (, ) z (, ) z i (, ) z i (, ) olur. Ydki şekilde verile krmşık syılr, krmşık düzlem üzeride gösterilmiştir. z + i z + i z O z i gerçek ekse z i Krmşık yıı Eşleiği ve Modülü EKİNLİK z + i ve z i krmşık syılrıı ekseie (gerçek ekse) göre simetriği ol krmşık syılrı uluuz. z ve z krmşık syılrıı ekseie göre simetrilerii ldığıızd u krmşık syılrı hgi kısımlrıd ve sıl ir değişiklik olmuştur? Açıklyıız. z ve z krmşık syılrıı orijie ol uzklıklrıı uluuz. z ve z krmşık syılrıı orijie ol uzklıklrıı ulurke izlediğiiz yötemi çıklyıız. z + i krmşık syısıı ekseie göre simetriğii lmk ve orijie ol uzklığıı ulmk içi irer metod oluşturuuz. 7

19 Örek z +i ve v i krmşık syılrıı krmşık düzlemde gösterelim. Bu syılrı litik düzlemde eşleştikleri A(,) ve B(, ) oktlrıı orjie ol uzklıklrıı hesplylım. y y i i z i i A i O i i O i i i v i i B OA OB +, + ] g uluur. Bir z krmşık syısıı sl kısmıı işretii değiştirilmesi ile elde edile krmşık syıy, u krmşık syıı eşleiği deir ve z içimide gösterilir. O hâlde, z + i z i dir. z + i ve z i krmşık syılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri ekseie yi gerçek eksee göre simetriktir. O hâlde, e(z) e( z ) ve İm(z) İm( z ) dir. y O sl ekse z + i gerçek ekse z i Örek Aşğıd verile krmşık syılrı ve eşleiklerii krmşık düzlemde gösterelim. ) z i ) v i + c) u ç) s i ) z i z + i ) v i + v i + c) u u ç) s i s i y z O u u z s s v v Krmşık düzlemde, ir z krmşık syısı krşılık gele oktı şlgıç oktsı ol uzklığı u krmşık syıı mutlk değeri y d modülü deir ve z içimide gösterilir. z + i z + dir. 8

20 Yukrıdki eşitliği şğıdki gii göstereiliriz. z + i syısı krmşık düzlemde Z(, ) oktsı krşılık gelsi. ZOA dik üçgeide Pisgor teoremi uygulırs OZ OA + AZ OZ + OZ + z + uluur. y z Z(, ) A O Uyrı Bir gerçek syıı mutlk değeri, syı doğrusu üzeride o gerçek syıy krşılık gele oktı şlgıç oktsı ol uzklığı ike ir krmşık syıı modülü, krmşık düzlemde o krmşık syıy krşılık gele oktı şlgıç oktsı ol uzklığıdır. Uyrı Bir krmşık syıı modülü uzklık elirttiğide z dır. Örek Aşğıdki krmşık syılrı mutlk değerlerii (modüllerii) ullım. ) z + i ) z i c) z i ç) z d) z i ) z + i z + i +, ) z i z i + ] g, c) z i z i ] g + ] g 9, ç) z z ] g +, d) z i z i + uluur. Uyrı z C, z + i olsu. z z dir. Bu eşitliği şğıdki gii kıtlyiliriz: z + i i olur. O hâlde, z ( ) z + + z elde edilir. 9

21 Krmşık yılrd oplm ve Çıkrm İşlemleri EKİNLİK P() + ve Q() + poliomlrı içi P() + Q() ve P() Q() işlemlerii ypıız. z + i ve z + i krmşık syılrı içi z + z ve z z işlemlerii poliomlrd toplm ve çıkrm işlemleride fydlrk ypıız. Poliomlrd toplm ve çıkrm işlemleri ile krmşık syılrd toplm ve çıkrm işlemleri rsıdki ezerlikleri eler olileceğii edeleriyle elirtiriiz. z, z, z + z, z z krmşık syılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. z, z, z + z, z z krmşık syılrı, düzlemde krşılık gele oktlr sırsıyl A, B, C, D olsu. [OA], [OB], [OC], [AC], [BC] rsıdki ilişkiyi elirtiiz. OABC dörtgei hgi geometrik şekli elirtmektedir? [OC], u geometrik şekilde hgi elemı gösterir? Belirtiiz. [BA] ile [OD] rsıdki ilişkiyi elirtiiz. Örek Aşğıdki z ve z krmşık syılrı içi z + z ve z z işlemlerii yplım. ) z i ) z + i c) z + i z + i z i z i ) z i ve z + i olmk üzere z + z ( i) + ( + i) + i + i + i, z z ( i) ( + i) i i i i i uluur. ) z + i ve z i olmk üzere, z + z ( + i) + ( i) + + i i + i z z ( + i) ( i) + i + i + 8i uluur. c) z + i ve z i olmk üzere, z + z ^ + ih+ ^ ih + + i i i, z z ^ + ih^ ih + i + i + i+ i + i uluur. z + i ve z c + di olmk üzere, z +z ( + i) + (c + di) ( + c) + ( + d)i ve z z ( + i) (c + di) ( c) + ( d)i dir. Krmşık syılrd, gerçek kısımlr kedi rlrıd ve sl kısımlr d kedi rlrıd toplır vey çıkrılır.

22 sl ekse sl ekse d z z + z z d z c O c gerçek ekse O c z gerçek ekse z d z z z + i, z c + di ve z + z ( + c) + ( + d)i olmk üzere O, z, z ve (z + z ) ir prlelkerı köşeleridir. z + i, z c + di, z c di ve z z ( c) + ( d)i olmk üzere O, z, z ve (z z ) ir prlelkerı köşeleridir. sl ekse + d d B C A D O E c + c gerçek ekse Yukrıdki şekilde olduğu gii, z + i ve z c + di krmşık syılrıı sırsı ile A(, ) ve B(c, d) oktlırı ile eşleyelim. [OA] ve [OB] doğru prçlrı üzerie kurul prlelker AOBC olsu. DEB ve ADC dik üçgeleride, % % & & OB AC ve m] OBEg m] ACDgolduğud, OEB, ADC & & OEB, ADC & BE CD d ve olur. Bu durumd C oktsıı koorditlrı, ( + c, + d) olur. O hâlde, C( + c, + d) oktsı krşılık gele syı z ile z i toplmı ol, z + z ( + c) + ( + d)i krmşık syısıdır. OE AO c dir. Örek z + i ve z + i krmşık syılrı veriliyor. z + z ve z z işlemlerii yprk krmşık düzlemde gösterelim. sl ekse z + z z + z ( + i) + ( + i) z ( + ) + ( + )i z + i z z ( + i) ( + i) O gerçek ekse ( ) + ( )i z + i z z

23 Aşğıdki tlod ulu oşluklrı uygu şekilde dolduruuz. Yukrıd doldurduğuuz tloy göre z ve z krmşık syılrı içi z + z yie ir krmşık syı mıdır? EKİNLİK z z z z + z z + z z + (z + z ) (z + z ) + z z + z + ( z ) i + i i i i i + i i + i i i + i c + di e + fi lodki z + z ile z + z sütulrıı krşılştırıız. izce krmşık syılr kümeside toplm işlemii değişme özelliği vr mıdır? lodki z + (z + z ) ile (z + z ) + z sütulrıı krşılştırıız. izce krmşık syılr kümeside toplm işlemii irleşme özelliği vr mıdır? lodki z + ile z sütuuu krşılştırıız. izce krmşık syılr kümeside toplm işlemii irim (etkisiz) elemı edir? lodki z + ( z ) sütuuu dikkte lıırs sizce krmşık syılr kümeside toplm işlemie göre her elemı tersi vr mıdır? Örek z + i, z i, z + i krmşık syılrı veriliyor. ) z +z ve z +z, z z ve z z ifdelerii hesplyrk souçlrıı krşılştırlım: z +z + i + i i z +z i + + i i z z ( + i) ( i) + i + i + i z z ( + i) ( + i) i + i i ) z +(z +z ) ve (z +z )+ z ifdelerii hesplyrk souçlrıı krşılştırlım: z +(z + z ) + i + ( i + ( ) + i) + i + ( + i) + i (z + z ) + z ( + i + i) + ( ) + i ( i) + ( ) + i + i Bulu souçlrd z + (z + z ) (z + z ) + z olduğu görülür.. özellik Krmşık syılr kümesi toplm işlemie göre kplıdır. Yi, z, z C içi z + z C dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d olmk üzere z + i ve z c + di iki krmşık syı olsu. z + z ( + i) + (c + di) ( + c) + ( + d)i olur.,, c, d içi ( + c) ve ( + d) olduğud ( + c) + ( + d)i C dir. O hâlde, z + z C dir.

24 . özellik Krmşık syılr kümeside toplm işlemii değişme özelliği vrdır. Yi, z, z C içi z + z z + z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d olmk üzere z + i ve z c + di iki krmşık syı olsu. O hâlde, z + z ( + i) + (c + di) ( + c) + ( + d)i (c + ) + (d + )i (c + di) + ( + i) z + z elde edilir. (Gerçek syılr kümeside toplm işlemii değişme özelilği vrdır.). özellik Krmşık syılr kümeside toplm işlemii irleşme özelliği vrdır. Yi, z, z, z C içi z + (z + z ) (z + z ) + z tür. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d, e, f içi z + i, z c + di ve z e + fi üç krmşık syı olsu. O hâlde, z + (z + z ) ( + i) + [(c + di) + (e + fi)] ( + i) + [(c + e) + (d + f)i] [ + (c + e)] + [ + (d + f)]i [( + c) + e] + [( + d) + f]i (Gerçek syılr kümeside toplm [( + c) + ( + d)i] + (e + fi) işlemii irleşme özelliği vrdır.) [( + i) + (c + di)] + (e + fi) (z + z ) + z elde edilir.. özellik Krmşık syılr kümeside toplm işlemii irim (etkisiz) elemı ( + i) dir. Yi, z C içi z + + z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:, içi z + i ir krmşık syı olsu. O hâlde, z + ( + i) + ( + i) ( + ) + ( + )i + i z olur. + z ( + i) + ( + i) ( + ) + ( + )i + i z olur. (Gerçek syılr kümeside toplm işlemii etkisiz elemı dır.). özellik Krmşık syılr kümeside toplm işlemie göre her elemı tersi vrdır. Herhgi ir z krmşık syısıı toplm işlemie göre z dir. Yi, z C içi z + ( z) ( z) + z dır. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:, içi z + i ve z i krmşık syılrı içi, z + ( z) ( + i) + ( i) [ + ( )] + [ + ( )]i + i olur. ( z) + z ( i) + ( + i) [( ) + ] + [( ) + ]i + i olur. ( syısıı toplm işlemie göre tersi ve syısıı toplm işlemie göre tersi dir.)

25 Krmşık yılrd Çrpm ve Bölme İşlemleri P() + ve Q() + poliomlrı içi P() Q() işlemii ypıız. z + i ve z + i krmşık syılrı içi z z işlemii ypıız. Poliomlrı çrpımı ile krmşık syılrd çrpm işlemi rsıdki ezerlikleri trtışıız. y ifdeside pydyı kökte kurtrıız. + Köklü ifdelerde pydyı kökte kurtrmk içi uyguldığıız yötemi çıklyıız. z + i ve z + i krmşık syılrı içi elde etmeye çlışıız. EKİNLİK işlemii yprk + i içimide ir souç z z işlemii ypmk içi köklü ifdelerde pydyı kökte kurtrmk mcıyl uyguldığıız yötemi kullilir misiiz? rtışıız. z z Örek Aşğıdki çrpm işlemlerii iceleyelim. ) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) + i + i + i i + 9i + i + i + i + ( ) + i ) ( i) ( + i) + i i i i + 8i i 8i + i 8 ( ) + i c) i ( i) i i i i i i ( ) + i z + i ve z c + di krmşık syılrı içi, z z ( + i) (c + di) c + di + ci + di (i ) (c d) + (d + c)i dir. Örek Aşğıd verile işlemleri yplım. ) ( + i) ) ( i) c) ( + i) 7 ç) ( + i) ) ( + i) + i + i + i i dir. ) ( i) [( i)] ( i) ( i) ( i + i ) ( i ) ( i) 8i dir. c) ( + i) 7 ( + i) ( + i) ( + i) < ] + ig F ( + i) (i) 8 ( + i) 8 i 8 ( + i) 8 \ 8 ( + i) + i dir. ç) ( + i) + i + (i) + (i) + i + i + 8i i 8 + i + ( ) + 8 ( i) + i 8i i dir.

26 Örek z + i eşitliğii sğly z krmşık syısıı ullım. z + i olsu; u durumd z i olur. z + i z ( + i) + i ( i) + + i i i + + i i + ] + g+ i + i + ve + olur. O hâlde, z + i + i uluur. Örek Aşğıd verile krmşık syılrı eşleikleri ile çrplım. ) z i ) z + i c) z ç) z i z ) z z ( i) ( + i) (i) 9 i 9 +, ) z z ( + i) ( i) (i) 9i + 9, c) z z ( ) ( ), ç) z z ( i) (i) 9i 9 uluur. Uyrı z + i krmşık syısıı eşleiği ile çrprsk z z ( + i) ( i) (i) + elde edilir. Örek Aşğıdki ölme işlemlerii yplım. i i ) ) c) ç) + i i + i i i i ) i, + i $ ] g + i i ] g] g + + i i i ] ig] + ig + iii i ) i, i i i + ] g] + g c) i ] ig] ig $ $ i+ ] ig 9 i i 7 i 7 i + i + i i + ] g] g + + i ] + ig] ig ii i ç) i uluur. i i i + ] g] g, z + i ve z c + di (z ) krmşık syılrı içi, i z z + c + di Krmşık syılrd ölme işlemi ypılırke py ile pyd, pydı eşleiği ile çrpılır; öylece pyd gerçek syıy döüştürülerek ölüm stdrt içime getirilmiş olur. dir. Örek i + i işlemii soucuu ullım. i i i i i i + i i i + g + + i ] + ] + ig ] ig uluur.

27 Örek z + i (z )i eşitliğii sğly z krmşık syısıı ullım. i z + i (z )i z + i iz i z iz i i z ( i) i z i ] ig z uluur. i EKİNLİK Aşğıdki tlod ulu oşluklrı uygu şekilde dolduruuz. z z z z z z z z (z z ) (z z ) z z z z $ + i i i + i i i i + i i i + i c + di e + fi Yukrıd doldurduğuuz tloy göre z ve z krmşık syılrı içi z z yie ir krmşık syı mıdır? lod z z ile z z sütulrıı krşılştırıız. izce krmşık syılr kümeside çrpm işlemii değişme özelliği vr mıdır? lod z (z z ) ile (z z ) z sütulrıı krşılştırıız. izce krmşık syılr kümeside çrpm işlemii irleşme özelliği vr mıdır? lodki z ile z sütulrıı krşılştırıız. izce krmşık syılr kümeside çrpm işlemii irim elemı edir? lodki z z $ sütuu dikkte lıırs sizce krmşık syılr kümeside çrpm işlemie göre her elemı tersi vr mıdır? lod. stırı işlemlerii dikktlice iceleyiiz. izce krmşık syılrd çrpm işlemii yut elemı e olilir? lod. stırı so sütuud orty çık durumu yorumlyıız. Örek z i, z i ve z i ise şğıdki işlemleri souçlrıı ullım. ) z z, z z ) z (z z ), (z z ) z ) z z (i) (i) i ve z z (i) (i) i uluur. ) z (z z ) i (i i) i (i ) i ( ) i ve (z z ) z (i i) i (i ) i ( ) i i uluur. Örek z i ve z + i krmşık syılrı içi, z. z ( i). ( + ) 8 + i i i 8 i. ( ) i dir. i ir krmşık syı olduğud z, z syılrıı çrpımı yie ir krmşık syıdır.

28 . özellik Krmşık syılr kümesi çrpm işlemie göre kplıdır. Yi, z, z C içi z z C dır. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olsu. Bu göre, z z ( + i) (c + di) (c d) + (d + c)i olur.,, c, d içi (c d) ve (d + c) olduğud (c d) + (d + c)i C dir. O hâlde, z z C elde edilir.. özellik Krmşık syılr kümeside çrpm işlemii değişme özelliği vrdır. Yi, z, z C içi z z z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olsu. O hâlde, z z ( + i) (c + di) (c d) + (d + c)i (c d) + (d + c)i (Gerçek syılr kümeside çrpm işlemii değişme (c + di) ( + i) özelliği vrdır.) z z elde edilir.. özellik Krmşık syılr kümeside çrpm işlemii irleşme özelliği vrdır. Yi, z, z, z C içi z (z z ) (z z ) z tür. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d, e, f içi z + i, z c + di ve z e + fi üç krmşık syı olsu. Bu göre, z (z z ) ( + i) [(c + di) (e + fi)] ( + i) [(ce df) + (cf + de)i] [(ce df) (cf + de)] + [(cf + de) + (ce df)]i [(c d)e (d + c)f] + [(d + c)e + (c d)f]i (Gerçek syılr kümeside çrpm işlemii irleşme özelliği vrdır.) [(c d) + (d + c)i] (e + fi) [( + i) (c + di)] (e + fi) (z z ) z elde edilir.. özellik Krmşık syılr kümeside çrpm işlemii irim (etkisiz) elemı dir. Yi, z C içi z z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:, içi z + i ir krmşık syı olsu. O hâlde, z ( + i) ( + i) ( ) + ( + )i + i (Gerçek syılr kümeside çrpm işlemii z olur. irim elemı dir.) z ( + i) ( + i) ( ) + ( + )i + i (Gerçek syılr kümeside çrpm işlemii z olur. elemı dir.) 7

29 . özellik Krmşık syılr kümeside çrpm işlemie göre sıfırd frklı her elemı tersi vrdır. ıfırd frklı herhgi ir z krmşık syısıı çrpm işlemie göre tersi dir. Yi, z,, içi z z $ z z $ z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,,, içi z + i ir krmşık syı olsu. Bu göre, ] ig ] + ig] ig z $ z ] + ig $ ] + ig $ + i + ] g + + ^ + h $ + + z z i i + i $ $ ^ + h ] g ] g] g i + i $ ] + g ] g + + ] ig ] ig ( + syısıı çrpm işlemie göre tersi vrdır.) + + ^ + h $ + + ( + syısıı çrpm işlemie göre tersi vrdır.) +. özellik. Krmşık syılr kümeside çrpm işlemii toplm işlemi üzerie sold dğılm özelliği vrdır. Yi, z, z, z içi z (z + z ) z z + z z tür.. Krmşık syılr kümeside çrpm işlemii toplm işlemi üzerie sğd dğılm özelliği vrdır. Yi, z, z, z içi (z + z ) z z z + z z tür. Bu özellikteki ifdeleri şğıdki gii kıtlyiliriz:.,, c, d, e, f içi z + i, z c + di ve z e + fi üç krmşık syı olsu. Bu göre, z (z + z ) ( + i) [(c + di) + (e + fi)] ( + i) [(c + e) + (d + f)i] [(c + e) (d + f)] + [(d + f) + (c + e)]i (c + e d f) + (d + f + c + e)i [(c d) + (d + c)i] + [(e f) + (f + e)i] ( + i) (c + di) + ( + i) (e + fi) z z + z z olur. (Gerçek syılr kümeside çrpm işlemii toplm işlemi üzerie sold dğılm özelliği vrdır.).,, c, d, e, f içi z + i, z c + di ve z e + fi üç krmşık syı olsu. Bu göre, (z + z ) z [( + i) + (c + di)] (e + fi) [( + c) + ( + d)i] (e + fi) [( + c)e ( + d)f] + [( + c) f + ( + d) e]i (e + ce f df) + (f + cf + e + de)i [(e f) + (f + e)i] + [(ce df) + (cf + de)i] ( + i) (e + fi) + (c + di) (e + fi) z z + z z tür. (Gerçek syılr kümeside çrpm işlemii toplm işlemi üzerie sğd dğılm özelliği vrdır.) 8

30 Örek + i z i krmşık syısıı çrpm işlemie göre tersii gerçek kısmıı ullım. z krmşık syısıı çrpm işlemie göre tersi z z dir. + i z i z i i i i i i i z ] g] g i ] + ig] ig 9+ 8 i olur. O hâlde, e(z ) tür. Krmşık yıı Eşleiği ile İlgili Özellikler EKİNLİK Aşğıd verile tlolrdki oşluklrı uygu şekilde dolduruuz. z z z+ z z + z z z z z z z i i i i + i i + i z z z$ z z $ z i + i z z z l z i i z z + i + i + i i z z Yukrıdki tlolrd ile, ile, ile ve z z z+ z z+ z z z z z z$ z z$ z l ile değerlerii krşılştırıız ve souçlrı yorumlyıız. Örek z + i ve z i ise şğıdki ifdeleri değerlerii ullım. ) z + z, z + z ) z z, z z c) z $ z, z $ z ç) z z c m z, z ) ) c) z + z ] + i+ ig ] + ig, i z + z ] + ig+ ] ig ] ig+ ] ig i, z z ] + ig i@ ] ig + i, z z ] + ig ] ig i] ig + i, z $ z ] + ig$ i@ ] i g i, z $ z ] + ig$ ] ig ] ig$ ] ig i, z i i i z i i i ç) z + ], uluur. i z + g c m l l + + i i Örek z i syısı içi ] zg ifdesii ullım. z i z + i dir. z w olsu. w i olduğud, w ] zg idir. 9

31 . özellik z C içi ] zg z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:, içi z + i z i ] zg i + i z olur. Dolyısıyl ] zg z dir.. özellik z, z C içi z+ z z+ z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olmk üzere, z + z ] + ig+ ] c+ dig ] + cg+ ] + dgi ] + cg ] + dgi ] ig+ ] c dig z+ z olur. Dolsıyl z+ z z+ z dir.. özellik z, z C içi z z zz dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olmk üzere, z z Dolyısıyl ] + ig ] c+ dig ] cg+ ] dgi ] cg] dgi ] ig] c dig z z olur. z z zz dir.. özellik z, z C içi z $ z z $ z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olmk üzere, z$ z ] + ig$ ] c + dig ] c dg+ ] d + cgi ] c dg] d + cgi ] ig$] c dig z $ z olur. Dolyısıyl z $ z z $ z dir.. özellik z, z, z C içi z z l z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz: c ve d,,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olmk üzere, z z + i ] + ig] cdig l c d c d l ; i c di c d E + + c + + d + c c d m + c + d c d ] ig] c+ dig ] ig] c+ dig i c + d c + d c + d ] c dig] c + dig i c di z z olur. Dolyısıyl z z l z z dir.

32 Örek Aşğıdki z ve z syılrı içi,, ve z z z+ z z z z$ z l işlemlerii yplım. z + i, z i z + i z i z z z + i dir. Bu göre, z + z z + z ] ig + ] + ig ] + g + ] + g i i z z z z ] ig ] + ig ] g + ] g i i z $ z z $ z ] ig $ ] + ig $ ] + ] g$ + i 8i z i z z i ] ig] ig $ ] g$ ] g@ + ] g$ + $ ]g@ l i + i + ] ig 7i 7 i Krmşık yıı Modülü ile İlgili Özellikler EKİNLİK Aşğıd verile tlolrdki oşluklrı uygu şekilde dolduruuz. z z z$ z z z z z z z z z + i i i i z z z z z + i i + i + i z z z z + i i i + i z z Yukrıdki tlolrd z$ z ile z ; z ile z, z, z ; z z ile z z ; z z ile değerlerii krşılştırıız ve souçlrıı yorumlyıız. z z Örek elirtelim: z i krmşık syısı içi z. z ve değerlerii ullım ve rlrıdki ilişkiyi z z. z ( i). ( + i) (i) 9 i 9. ( ) 9 +, z _ + ] g i ^ 9 + h ^ h tir. O hâlde, z. z z dir.. özellik z C içi z$ z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:, içi z + i krmşık syı olmk üzere, z i olur.

33 Bu göre, z z i i $ ] + g$ ] g ] ig $ i ] g + ^ + h z olur. Dolyısıyl z$ z z dir. 7. özellik z C içi z z z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:, içi z + i krmşık syı olmk üzere, z i, z i ve z + i olur. Bu göre, z + i + z i + ] g + z i ] g + ] g + z + i ] g + +, _ `& z z z z olur. 8. özellik z, z C içi z $ z z $ z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz:,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olmk üzere, z $ z ] + ig$ ] c + dig ] c dg+ ] d + cgi Dolyısıyl ] c dg + ] d + cg ] cg ] cg] dg+ ] dg + ] dg + ] dg] cg+ ] cg ] cg + ] dg + ] dg + ] cg ^c + d h+ ^c + d h ^ + h $ ^c + d h + $ c + d z $ z olur. z $ z z $ z dir. 9. özellik z, z, z C içi z z z z dir. Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz: c ve d,,, c, d içi z + i ve z c + di iki krmşık syı olmk üzere, z z + i c + di ] + ig] cdig c + d c + d c d + i c + d c + d c + d c m c + d c d + c m c + d ^c+ dh+ ^c+ dh c + d ^ h ] cg + ] cg] dg+ ] dg + ] cg ] cg] dg+ ] dg ^ c + d h ^+ h^c+ dh c + d ^ h c + + d + c+ d z z olur. Dolyısıyl z z z z dir.

34 . özellik z C ve N içi z z dir (z ve ). Bu özelliği şğıdki gii kıtlyiliriz: z C içi z z$ z z $ z z z z $ z z $ z z $ z z h z z $ z z $ z z $ z z z z $ z z $ z z $ z z olur. Dolyısıyl N içi z z elde edilir. Örek ] 7ig ] + ig z ] + ig ] 7ig ] + ig z ] + ig z z ise z değerii ullım. ] 7ig ] + ig ] + ig 7i + i + i 7 + ] g $ ] g + z + $ z z uluur. Örek ] + ig z ] + ig ise z ve z değerii ullım. ] + ig z ] + ig Örek z + i ise z değerii ullım. z z +i _ ] g + i ^ h dir. Örek z z z z z dir. ] + ig ] + ig + i _ z z z ] + ig ] + ig + i _ + z olduğu göre z i değerii ullım. z z + z z + z ( z + ) ( z ) ^ ^ ] g + i ] g + i 8 h h uluur.

35 z + vey z z vey z olur. Bir krmşık syıı mutlk değeri egtif olmycğı içi z tür. Örek z + i z eşitliğii sğly z krmşık syısıı ullım. z + i z + olur. z + i z + + i + i i + i ( ) tir. ve olduğu göre z i uluur. + ] g + ve dir. Krmşık yılrd İkici Derecede Bir Bilimeyeli Deklem ü EKİNLİK + deklemii diskrimitıı (Δ) iceleyiiz ve köklerii uluuz deklemii diskrimitıı (Δ) iceleyiiz ve köklerii uluuz. + + deklemii diskrimitıı (Δ) iceleyiiz ve köklerii uluuz. Üçücü deklem ile diğer iki deklem rsıdki frk edir? Üçücü deklemi kökleri içi e söyleyeilirsiiz? Üçücü deklemi kökleri rsıdki ilişki edir? Örek + deklemii çözüm kümesii ullım. + deklemi içi,, c olduğud, Δ c ( ) uluur. Δ < olduğud + deklemii gerçek syı kökü yoktur. O hâlde, u deklemi krmşık syı köklerii rştırlım. i i + ] g i, $ i i ] g i uluur. Öyleyse Ç { + i, i) olur. $ Deklemi krmşık syı köklerii irirlerii eşleiği olduğu dikkt ediiz. Uyrı İkici derecede ir ilimeyeli gerçek kt syılı ir deklemi kökleride iri + i ise diğer kök i dir (, ).

36 Örek deklemii çözüm kümesii ullım. Δ 8 < olduğud deklemi gerçek syı kökü yoktur. Öyleyse deklemi krmşık syı köklerii rştırlım. i ", " " " i uluur. O hâlde, Ç { + i, i} dir. Örek Kökleride iri i ol gerçek ktsyılı ikici derecede ir ilimeyeli deklemi ullım. İkici derecede ir ilimeyeli gerçek ktsyılı ir deklemi kökleri krmşık syı ise u kökler iririi eşleiğidir. Bu göre köklerde iri i ise diğer kök + i dir. Bu göre, i ve + i + i + + i Ç ( i) ( + i) i + uluur. İkici derecede ir ilimeyeli ir deklemi kökleri ve olsu. Bu durumd + ve Ç ise deklem + Ç dır. + Ç + elde edilir. Örek + ( i) + i deklemii köklerii ullım. + ( i) + i deklemide, i ve c i dir. Bu göre, Δ c ( i) ( i) i + i + i i + i 7 dir. O hâlde, kökler ( i) 7 i 7i 7 i ^ + h ve $ ( i) 7 i 7i 7 i + + ^ h uluur. $ İki Krmşık yı Arsıdki Uzklık ve Krmşık yı ile Çemer İlişkisi EKİNLİK z + i ve z + i krmşık syılrıı krmşık düzlemde göstererek u iki krmşık syı rsıdki uzklığı göstere doğru prçsıı çiziiz. z ve z krmşık syılrı rsıdki uzklığı elirte doğru prçsıı hipoteüsüü teşkil ettiği dik üçgei oluşturmy çlışıız. Bu dik üçge yrdımıyl z ve z krmşık syılrı krşılık gele oktlr rsıdki uzklığı uluuz.

37 Örek z + i ve z + i krmşık syılrı rsıdki uzklığı ullım. z ile z rsıdki uzklık olsu. Oluş dik üçgede pisgor ğıtısı uygulrsk; + uluur. y z z O Krmşık düzlemde z ve z krmşık syılrı krşılık gele oktlrı irleştire doğru prçsıı uzuluğu, u iki krmşık syı rsıdki uzklık deir ve z z içimide gösterilir. Ydki şekilde olduğu gii, z + y i z + y i krmşık syılrıı krmşık düzlemdeki görütüleri rsıdki uzklık r olsu. r z z ( + y i) ( + y i) ( ) + (y y )i r ] g + ^y y h dir. y z y y (y y ) r ( ) z O Uyrı r z z ] g + ^ y y h ] g + ^y y h z z Örek z z + i eşitliğii sğly z krmşık syılrıı geometrik yerii deklemii ullım ve u syılrı krmşık düzlemde gösterelim. y z + yi olsu. y z z + i + yi + yi + i ( ) + yi + (y + )i ] g + y + ^y+ h + + y + y + y + O y y elde edilir. y doğrusu üzerideki oktlr, z z + i z z + i deklemii sğly z krmşık syılrıı krmşık düzlemdeki görütüleridir.

38 Örek z + i > z + i eşitsizliğii sğly z krmşık syılrıı krmşık düzlemdeki görütüsüü ullım. z + yi olsu. z + i > z + i + yi + i > + yi + i ( + ) + i(y ) > ( ) + i(y + ) ] + g + ^yh > y y+ > ] g + ^y+ h + + y + y+ > y > y elde edilir. y y z + i > z + i eşitsizliğii çözüm kümesi y doğrusuu lt trfıd yer l ölgedir. O EKİNLİK z + yi olmk üzere z + i krmşık syısıı lıız. z z koşuluu sğly z + yi krmşık syılrıı geometrik yer deklemii uluuz. izce u deklem hgi geometrik şekle it olilir? z + yi ve z + y i olmk üzere r! + ike z z r koşuluu sğly z + yi krmşık syılrıı geometrik yerii elirleye deklem ir çemer elirtir mi? rtışıız. Örek z eşitliği, orijide uzklığı irim ol krmşık syılrı düzlemdeki görütülerii oluşturur. y z + yi olsu. z + yi + y O + y olur. + y deklemi merkezi (, ) ve yrıçpı irim ol ir çemer elirtir. 7

39 z + yi, z + y i ve r + olsu. z z r + yi ^ + y ih r ] g + ^y y hi r ] g + ^y y h r ] g + ^y y h r... () elde edilir. Aşğıdki şekilde de görüleceği gii () deklemi merkezi M(, y ), yrıçpı r ol ir çemer deklemidir. y y z + y i r z + yi O Örek z i eşitliğii sğly z krmşık syılrıı krmşık düzlemdeki görütülerii ullım. y z i z ( + i) deklemi z + i krmşık syısı irim uzklıktki z krmşık syılrıı ifde etmektedir. z ( + i) deklemii krmşık düzlemdeki görütüsü ise ydki şekilde görüldüğü gii merkezi z + i ve yrıçpı irim ol ir çemerdir. O z M + i r Uyrı z + yi, z + y i ve r + olmk üzere, ) z z o r eşitliği, merkezi (, y ) ve yrıçpı r irim ol ir çemer elirtir. ) z z o < r eşitsizliği, merkezi (, y ) ve yrıçpı r irim ol çemeri iç ölgesii elirtir. ) z z o r eşitsizliği, merkezi (, y ) ve yrıçpı r irim ol ir çemer ile u çemeri iç ölgesii elirtir. ) z z o > r eşitsizliği, merkezi (, y ) ve yrıçpı r irim ol çemeri dış ölgesii elirtir. ) z z o r eşitsizliği, merkezi ( o, y o ) ve yrıçpı r irim ol çemer ile u çemeri dış ölgesii elirtir. 8

40 Örek z + i eşitsizliğii çözüm kümesii krmşık düzlemde gösterelim. y z + i z ( i) tür. O hâlde, z ( i) eşitsizliğii çözüm kümesi merkezi (, ) ve yrıçpı irim ol çemer ve u çemeri iç ölgesidir. O z r Örek < z + i < eşitsizliğii çözüm kümesii ullım. y < z + i < < z ( i) < dir. Bu durumd, < z ( i) < eşitsizliğii çözüm kümesi ydki şekilde görüldüğü gii merkezi (, ), yrıçplrı irim ve irim ol çemerleri rsıd kl ölgedir. O z (, ) Örek z i eşitliğii sğly z + yi krmşık syılrıı modülü e küçük ve e üyük ollrıı modüllerii ullım. z i z ( + i) dir. Bu durumd z ( + i) eşitliğii sğly z + yi krmşık syılrı merkezi z (, ) ve yrıçpı irim ol çemer üzeridedir. Orijide ve çemeri merkezide geçe doğruu çemeri kestiği oktlr krşılık gele krmşık syılr z ve z olsu. Şekilde görüldüğü gii çemer üzeride ulu krmşık syılrd modülü e küçük ol z, e üyük ol ise z dir. O hâlde, z z + i, + z z + +i uluur. y z irim O (, ) z irim z 9

41 Ölçme Değerledirme Çlışmlrı ) Aşğıd verile deklemlerde gerçek syılr kümeside çözümü ollrı işretleyiiz. ) ) 7 c) + ç) + + d) + + e) + 7 ) Aşğıd verile üslü ifdeleri sdeleştiriiz ( Z). ) i 7 ) i 8 c) i ç) i d) i 7 e) i f) i g) i + h) i ı) i 8+ i) i 7 j) i 8 9 ) Aşğıd verile poliomlr içi P(i) değerlerii ulrk A sütuudki syılr ile eşleştiriiz. ) P() ) P() c) P() 99 + ç) P() ( i) + (i ) 7 i i i ) Aşğıd verile toplm işlemlerii ypıız. ) i + i + i i ) i + i i + i... + i 9 i 9 + i 9 ) Aşğıd verile eşitliklere göre (, y) ikililerii uluuz. ) + + yi i ) + + yi c) + + yi + i ç) + i y + yi + i d) + i i + yi e) i + y yi i ) z i ve z + i krmşık syılrı içi şğıdki işlemleri souçlrıı ulrk elde ettiğiiz syılrı krmşık düzlemde gösteriiz. ) z + z ) z z c) z z ç) d) e) z z z z f) z (z ) g) z z h) z z z + z

42 7) Aşğıd verile ifdeleri + i içimide yzıız. ) ( i) ) ( + i) c) ( + i) ( i) ç) ( + i) + ( i) d) i + i i e) + i i i + i f) i + g) ( + i) + ( i) + i i + h) ] + ig + ] ig 8) Aşğıd verile deklemleri sğly z krmşık syılrıı uluuz. ) z + i z+i ) ( i) z z + i i c) ( + i) (z i) + i ç) z + i i z + i i 9) z ise İm(z )? + i ) Aşğıd verile deklemleri çözüm kümelerii uluuz. ) ) + c) ( + i) + i ç) + ) Kökleride iri i ol gerçek kt syılı ikici derecede ir ilimeyeli deklemi uluuz. ) z ( i) ( + i) ise z i değerii uluuz. z ) z ise ifdesii modülüü uluuz. z $ z ) Aşğıd verile z krmşık syılrı içi z değerlerii uluuz. ] + ig $ ] ig ) z ) ] + ig $ ] ig c) z ç) 7 i ] ig$ ] ig z ^ 7 + ih $ ]ig i 8i z $ + $ ] 9 ig ] + ig $ ] ig ) z ve z ise i lileceği değerleri uluuz. ] + ig ) Aşğıd verile eşitlikleri sğly z krmşık syılrıı uluuz. ) z + i z + ) i z + z 7) Krmşık düzlemde köşeleri z + i, z i, z + i, z i ol krmşık syılrı krşılık gele dörtgei çevresii uluuz.

43 8) Krmşık düzlemde şğıdki eşitlik vey eşitsizlikleri sğly z syılrıı geometrik yerii uluuz. ) z + i ) z + i c) < z i ç) z i z + d) z i > z + e) 9 z z z + 9) {z z C ve kümesii krmşık düzlemdeki görütüsüü uluuz. z ) Aşğıdki ğıtılrı sğly z krmşık syılrıı krmşık düzlemde gösteriiz. ) İm(z) ) e(z) < y ) Yd verile krmşık düzlemdeki oylı ölgeye krşılık gele krmşık syılr kümesii tımlyıız. O y ) Ydki şekilde verile oylı ölgeye krşılık gele krmşık syılr kümesii tımlyıız. O ) z ise z + 7 i i e üyük değeri kçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) ) Ydki şekilde OCBA ir prlelkerdır. A + i, B + i ise C oktsı krşılık gele syı şğıdkilerde hgisidir? 7 A) + i B) + i C) + i D) + i E) ] + ig O y A + i C B + i

44 KAMAŞIK AYILAIN KUUPAL BİÇİMİ Hvl uçklr seyir içi krtezye koordit sistemide frklı ir koordit sistemi kullırlr. Bu sistemde geellikle yö olrk dldırıl ışıı dikeydir ve çılr sti tersi yöde değil, st yöüde devm eder. Yö, myetik kuzeye dek gelirke 9, 8 ve 7 yöleri ise sırsıyl myetik doğu, güey ve tıy dek gelir. Öreği, doğuy doğru deiz mili kdr yol lck ir uçk, yö 9 üzeride irim ktedecek demektir. Uçklrı seyir içi kulldıklrı koordit sistemii göz öüde uluduruuz. Bu göre trigoometri ilgileriizi temel lrk krtezye koordit sistemideki ir oktyı, çı ve uzklık değişkeleriyle sıl ifde edeileceğiizi trtışıız. Kutupsl Koordit istemi ve Krmşık yılrı Kutupsl Biçimi z EKİNLİK + i krmşık syısıı krmşık düzlemde gösteriiz. z krmşık syısıı modülüü ( z ) ulrk krmşık düzlemde işretleyiiz. eksei ile z krmşık syısıı modülüü oluştur doğru prçsı rsıd kl pozitif yölü çıı (θ) ölçüsüü uluuz (z krmşık syısı krşılık gele oktd ekseie idireceğiiz ir dikme ile oluşturcğıız dik üçgede yrrlilirsiiz.). ( z,θ) ikilisii yzıız. ( z, θ) ikilisi, z + i krmşık syısıı krmşık düzlemdeki görütüsüü ifde etmek içi yeterli midir? rtışıız. Üst smklrdki uygulmlrı dikkte lrk şğıdki tlod oş ırkıl yerleri dolduruuz. Krmşık yıı tdrt Biçimi Krmşık yıı Modülü (r) Krmşık yıı Düzlemde Gösterimi Krmşık yıı Ess Argümeti (θ) Krmşık yıı Kutupsl Biçimi y y z + i r z r + O z O θ z z r.(cosθ + i. siθ) z r. cisθ y y z + i z z O z O z z.(cos + i.si ) cis z + i z i