Nedir Bu "Modern" Matematik? Zafer ERCAN 1

Transkript

1 Nedir Bu "Modern" Matematik? Zafer ERCAN 1 Yirminci yüzyılın ortalarında okullarda okutulan matematik ile şu anda okutulan matematiğin birbirlerinden çok farklı olduğu sıklıkla gündeme getirilir. Bu konudaki farklılığın anahtar kelimesi küme" dir. Küme ise bir oyunun oyuncularının genel adıdır. Bu oyuncular yemez, içmez ve gezmezler. Onları evrenin hiçbir yerinde göremezsiniz. O nedenle onları tarif etmek çok güçtür. Onlar sadece ve sadece zihin" içerisindedirler. Bu oyuncular hangi oyunun oyuncularıdır?" sorusunun yanıtı ise matematiktir. Oyuncuları zihinlerde olan matematik oyununun ne olduğunu anlatmanın kendine has sorunları olabilecektir. Ama zihni olan herkes kendine özgü bir biçimde bu oyunu bir şekilde anlayabileceği varsayılmalıdır. Bu anlama farklılıklar içerebilecektir ki, bu da zihinlerin farklı olması nedeniyle son derece doğaldır. Bu oyun birçok şeye benzetilebilir ya da önem atfedilebilir; matematik dildir, sanattır, bilimlerin anasıdır gibi. Ama şuydu, buydu, oydu diyerek süslemeler yapma yerine oyun demek çok daha sade bir tanımlamadır. Matematik bir oyun olarak tanımlanabilir. Bu oyunun kuralları esnek olabilir. Modern matematik" ise tümüyle kurallaşmış (aksiyomatikleşmiş) matematiktir. Matematiğin aksiyomatikleştirilmesinin kabul edilebilir gerekçelerinden biri, çelişkilerden" kurtulmaktır. Bu yönlü ilk çelişki, 1901 yında Bertrand Russell tarafından ortaya konan Russel Paradoksu (Russel s Paradox)" olarak bilinen paradoksdur. Russel, paradoksu Grundgesetze der Arithmetik" adlı kitabın ikinci cildini hazırlamakta olan Freg e yazdığı mektupla ulaştırdığı ana kadar, Freg aritmetiği sarsılmaz biçimde bu eserinde inşa ettiğini sanıyordu, ama yanılmıştı 23. Son yüzyılda matematiği sarsacak bir çelişki henüz ortaya çıkmamıştır. Bu durum çıkmayacak analmını taşımasa da, olası çıkabilecek çelişkileri bertaraf edecek kurallar geliştirebilmeyi matematikçiler öğremiş durumdalar. Genel olarak halk modern matematikle ilgilenmez, çok az bir topluluk ilgilenir. Okuyucu kitlesi dikkate alınarak bu yazıda kullanılacak anlatım dili tam formal bir dil olmayacaktır, ama ona yakın olacaktır. Anlatım dilinde doğallık yakalama amacıyla yakalanan ilk fırsatlarda doğal sayılar, örneğin bir (1), iki (2), üç (3) tanımlanmaya çalışılacaktır. 1 Matematik Ne Üzerine İnşa Edilir? Matematik üç temel kavram üzerine inşa edilir. i. Önermeler Mantığı. ii. Alfabe. iii. Küme. iv. Eleman. v. Matematiksel Tümce. 1 Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü 14280, Bolu 2 Bu arada matematiğin aksiyomatikleştirilmesi bazı matematikci ve filozoflar tarafından eleştirilmiştir. Bunların bazıları, Bunlardan bazıları Kronecker, Poincare, Wittgenstein dir. Wtitgenstein Küme teoeri yanlış yol" demiştir. 3 Russel Paradoksu ve benzeri paradoksla ilgili Türkçe yazılmış bir kaynak [3], s

2 Bu yazıda önermeler mantığı konusuna değinmeyeceğiz. Bu konuda [3] yeterli bir kaynaktır. Okurun bu konuda bazı önbilgilerinin olduğunu varsayacağız. Örneğin okurun önermeler matığında her önermenin bir değer aldığını ve bu değerin sadece ve sadece doğru ya da yanlış olarak adlandırılan değer olması gerektiğini varsayacağız. Okurun mantıksal indirgemeler yöneteminin ne olduğunu ve nasıl kullanıldığını bildiğini de varsayıyoruz. 2 Köyü Küme Yapma Denemesi Bir köylüye bildiğin bir köy var mı?" diye sorsanız alacağınız yanıt kendi şivesiyle muhtemelen hee ya, mesale bizim köy" biçiminde olacaktır. Peki, sizin kendiniz bir köy müdür?" diye sormak kimsenin aklına gelmeyecektir, ve gelse de densiz bir soru, hatta ayıp" olabilecektir. Ama ilerleyen zamanda ve oluşacak samimiyetle bu kez köylü, size o zaman siz de bir köy müsünüz?" sorusunu sorabilme kıvamı oluşabilecektir. Bir kıvam oluştuktan sonra kim durdurabilir ki bizleri... Bir köy kendi kendinin vatandaşı olabilir mi?" sorusu da ancak köyün delisine" sorulabilir. Bedeli deli" ilan edilmek olsa da devam edelim ve aşağıdaki soruları soralım: i. İki tane köyün her birinden sadece ve sadece bir kişi seçerek ve köylüleri sadece ve sadece bu seçilmişlerden oluşan yeni bir köy oluşturulabilir mi? ii. Yüz tane köyün her birinden sadece ve sadece bir kişi seçerek ve köylüleri sadece ve sadece bu seçilmişlerden oluşan yeni bir köy oluşturulabilir mi? iii. I bir bölgenin köylerinin isim listesi olsun. Bu listeye ait bir isim i ise i I yazalım. x isimli kişi i köyünde yaşıyor olmasını da x i olarak gösterelim. Bu köylerin herbirinden sadece ve sadece bir kişi seçerek ve seçilen bu kişilerden oluşan yeni bir köy oluşturulabilir mi? Bu sorular bir köylüye sorulduğunda büyük bir olasılıkla birinci soruya verilen yanıt olmaz kardeş, çünkü bu durumda oluşacak köy sadece iki kişiden oluşur ki, iki kişilik de köy olmaz." İkinci soruya verilecek yanıt kardeş olur olmasına da seçilecek kişilerin hepsi bebek ya da çoçuklardan oluşursa olmaz. Ya da seçilen kişilerin her biri erkek ya da herbiri kadın olursa da olmaz, bunlara dikkat etmek lazım." olur. Üçüncü soruyu sıradan bir köylüye sormak saygısızlık olur, ne öyle isimler listesi I olsun, i I ya da x i simgeleri?" 4 Ama birinci ve ikinci soruyu takip edilerek köyün en delisine aşağıdaki sorulabilir: iv. Yüz tane köyün herbirinin en delisi (var ve tek bir tane olsun) seçilerek yeni bir köy oluşturulabilir mi? 5 Yukarıdaki soruları sorma ve yanıtı alma süreçleri içerisinde olası oluşturulan yeni köyün insanları daha önce seçilip geldikleri köyünde vatandaşı olmaya devam edecekleri, yani çifte vatandaşlık konusu kımıldamaya başlayacaktır. Biz insanları kültürlerinden koparıp asimile etme amacımız olmadığından çifte vatanlaş olmalarını engellemeyeceğiz. Bu tür sorular bir sorular sorulmaya başlayınca sorulara doğru yanıt verebilmek için yeni sorular sorulmaya başlanacaktır: Köy ne demek? köyün vatandaşı olmak ne demek? Yeni köy ne demek? Köyün en delisinin olması ne demek? 6 Bu sorular asimile etme tuzağıda olabilir. 4 bu aşamada simgelerin gereksizliğinin farkındayız! 5 Bu sorunun kes-kopyala biçimi Yüz tane tane köyün herbirinin en akılısı (var ve tek bir tane olsun) seçilerek yeni bir köy oluşturulabilir mi?" biçiminde olacaktır! 6 Bu soruların kafanızı şeyetmesi değil, kafanın, sorularla sevişmesi olarak değerlendirilmesini öneririm. 2

3 Yoksa Matematik oyunu asimile etme amaçlımı dır? Bu oyunun böyle bir amacı olmasa bile asimilasyon sonucu çıkabilir mi? Köyler sadece insanların değildir ki. Köy, köyde yaşayan herkesin köyüdür; insanların, köpeklerin, sivrisineklerin, orada yaşayan kiraz ağacının v.s. Ayrıca, köyün köpekleri üzerinde de bir sürü canlı yaşar (örneğin bit, pire v.s), köpek de üzerinde yaşayan canlıların, beğen ya da beğenme, bir nevi köyüdür. O halde köy, köylerden oluşur" demek biraz tuhaf olsa da gerçeklere uygundur. Ayrıca bir şeyin köy olabilmesi için, o şeyin bir köyde yaşıyor olması gerekir gibi durumlar oluşmaktadır. Adı a olan bir köyün bir köylüsünün adı b olsun. c de, b nin bir köylüsü olmak üzere, c nin, a nın bir köylüsü olması gerekmediğini söyleyelim. Yukarıda verilen anlatımlardan şunları söyleyebiliriz. i. En az bir köy vardır. ii. Köy, köylülerden oluşur. iii. Her köylü bir köydür. iii. Hiçbir köy kendisinin köylüsü olamaz. iv. Her köy bir adla işretlendirilebilir. Bir köyün adı a ve b, bu köyün bir köylüsü ise b a yazalım. a, b nin bir köylüsü değilse b a yazalım. Bu durumda a a olacak biçimde a adlı bir köy yoktur 7. Yapılan gözlemler sonucunda yukarıdaki listeleme yapılmış olsa da, liste sizlere eminim ki tuhaf geliyordur. Bu tuhaflık isim değişikliğiyle bir nebzede olsa giderilebilir. Örneğin, bu listede köy yerine küme, köylü yerine eleman yazarak elde edeceğimiz aşağıdaki liste saçma sapan gelmeyeceği gibi, bu listelemeyi yapanlar bilim adamı" olarak görülebilecektir. i. En az bir küme vardır. ii. Küme, elemanlardan oluşur. iii. Her eleman bir kümedir. iii. Hiçbir küme kendisinin elemanı olamaz. iv. Her küme bir simgeyle gösterilebilir. Dikkat edilirse bu listedediler yukarıda sorulan i iv sorularına hiç değinmiyor. Ama unutmuş değiliz. Unutacak olursam lütfen hatırlatın. Son listelemeyle köylülükten biraz daha uzaklaştık. Daha da uzaklaşmalıyız. 3 Köyü Küme Yapmayı Denedik Ama Küme Var mı? Yarıçapı bir birim olan çember var mıdır?" sorusuna karşılık verilen yanıt vardır" olsun. Bu yanıta karşılık var olduğunu kanıtla?" denildiğinde nasıl kanıt verilebilir? Bilgisayarda bir merkezli bir çemberi çizdirip İşte kanıt, bak bu çember", kanıt olabilir mi?" Olamaz. Çünkü evrende çember yoktur. Bahsedilen çember benim, senin zihninin içerisindedir 8! 7 Umarım burada atmadım, yoksa olabilir mi? Neyse bu durumu fazla uzatmayayım. 8 Tanrı heryerde değildir, o senin zihninin içersinde" olması gibi. 3

4 Peki küyün adın küme olarak değiştirdiğimzde küme var olmuş olacak mı? Olabilir ama ben kümeyi fiziksel bir obje olarak ele almak istemiyorum. Zihnimde olsun istiyorum. O halde zihnimde de bir küme yaratayım ve onunla oyunlar kuralım. Sık sık büyüklerimizden duyarız: Bizim zamanımızin matematiği çok farklıydı. Şimdi kümeler falan var." Evet, doğrudur. Yüzyıl öncesinin matematiği ile şimdiki matematik farklıdır. Bu farklılık, matematiğin objelerinin zihinde oluşmasıdır. 4 Matematiksel Tümce Alfabesi değişkenler, eleman olma ( ) ve mantığın alfabesi olan topluluğa Matematikçenin alfabesi denir. Değişkenler x, y, z ve benzeri sembollerle gösterileceği gibi, i ler sonlu tane " simgenin yanyana dizilmis durumu olmak üzere v i ler ile gösterilebilir. Yani, v i ler v,v,...,v... lardan birini gösterebilir 9. Yani matematikçenin alfabesi {, v,, =,,,,,,, } ile gösterilebilir Dikkat edilirse matematikçinin alfabesi mantığın alfabesine değişkenler, eleman olma, eşitlik harfinin eklenmesiyle oluşuyor. Matematiksel tümce belli bir kurala göre alfabeden kelimelerinin yanyana yazılmış sonlu bir dizisidir. Aşağıdaki iki tümceye Atomik Matematiksel Tümce denir. i. (eşitlik tümcesi) x ve y iki değişkense x = y bir matematiksel tümcedir. ii. (eleman olma tümcesi ) x ve y iki değişkense x y bir matematiksel tümcedir. Her atomik matematiksel tümce matematiksel tümcedir. Birinci atomik tümce x eşittir y" diye, ikinci atomik tümce x, y nin elemanıdır" diye okunur. O halde elimiz (hem de iki tane) matematiksek tümceler var. Ayrıca, iii. ϕ bir matematiksel tümceyse ϕ matematiksel tümcedir. iv. Φ ve ϕ iki matematiksel tümceyse (Φ) (ϕ), (Φ) (ϕ), (Φ) (ϕ) ve (Φ) (ϕ) ifadelerinin herbiri matematiksel tümcelerdir. v. ϕ bir matematiksel tümce ve x bir değişken ise x(ϕ) matematiksel tümcedir. Kısalık açısından tümce denildiğinde matematiksel tümce anlaşılacaktır. Okur tümcelerin kurulumu esnasında alfabede olmayan (imla işaretler, (, ) gibi) sembollerin kullanıdığının farkındadır. Bundan amaç belirli gruplamalar yaparak tümcenin daha iyi analşılması içindir. Örneğin a, b, c ler matematiksel tümceler olmak üzere (a b) c tümcesini a b c olarak yazmak okuma karmaşası yaratacaktır. x ve y iki değişken olmak üzere (x = y) tümcesi x y ile gösterilir. Benzer biçimde (x y) tümcesi x y ile gösterilir. 9 Burada geçen üç nokta..." nın anlamını okur anlamış olmalı. 10 Bu yazıda geçen sembollerin ilk olarak kimler tarafından kullanıldığına ilişkin bilgiye adresinden ulaşılabilir. 11 Burada {,,,,,, } mantııgın alfabe listesi olup, bu listenin bazı harfleri diğer bazı harflerin kısaltılmışıdır. Öneğin p ve q lar denk önermeler olmak üzere (p q) yerine ( p) ( q), ve ( p) q yerine p q yazılır. Alfabeyi bazı kolaylıklar açıından kısaltılmış formatıyla vermmedik. 4

5 Alıştırma 4.1. ϕ bir tümce ve x bir değişken ise ( x(ϕ)) nin bir matematiksek tümce olduğunu gösterin. Bu tümce x(ϕ)) ile gösterilir. Alıştırma 4.2. Her tümceyi mantıktaki anlamda bir önerme olarak ele alındığında, Φ ve ϕ tümceleri için aşağıdaki denkliklerin (doğruluk değerlerinin) doğruluğunu gösterin. i. ϕ ϕ. ii. Φ ϕ ( Φ) ( ϕ). iii. Φ ϕ ( Φ) (ϕ). iv. Φ ϕ (Φ ϕ) (ϕ Φ). 5 Matematiksel Sistem Belli tümcelerin topluluğuna matematiksel sistem denir. Bir matemaiksel sistem tek bir tümceden oluşbileceği gibi sonsuz çoklukta tümceden de oluşur. Bir matematiksel sistemi oluşturan tümcelerin herbirine aksiyom (belit) denir. Örneğin x ve y iki değişken olmak üzere i. x = y tümcesi tek başına bir matematiksel sistemdir. ii. x y tümcesi de tek başına bir matematiksel sistem oluşturur. iii. x = x tümcesi de bir matematiksel sistem oluşturur. iv. x = y ve x y tümceler topluluğu iki tümceli bir matematiksek sistemdir. Bir tümce sonlu adımda sistemin aksiyomlarından mantıksal indirgemelerden elde ediliyorsa o tümceye sistem tarafından üretilen tümce denir. Bir matematiksel sistemden bir tümcenin hem kendisi hem de değili elde ediliyorsa o sisteme tutarsız sistem denir. Hem değilini hem de kendisi olan bir tümceyi üretmeyen sisteme tutarlı sistem denir. Örneğin yukarıda (i) örneğindeki sistem tutarlı fakat (iv) sistemi tutarsızdır. Çelişkili olduğu kanıtlanan sistem ilgi alanımız olmayacak. Ancak bir sistemin tutarlı olduğun bilinmesinin imkansız olduğu sözkonusu olabilir. Her tümceyi bir mantıksal önerme olarak göreceğiz. Mantıkta her önermenin doğru ya da yanlış olarak nitelenin bir değeri var olduğundan, tümceninde bir doğru ya da yanlış değeri olacaktır, bir farkla tümce değerini bir sistem içerisinde yer alacaktır. Tümceler farklı sistemlerde farklı değerler alabilir. Bir sistemi var yapan her aksiyom o sistemde doğru kabul edilecektir. Yani sistemin aksiyomları o sistem içersinde doğrudur. Bir sistemde bir tümce için aşağıdakilerden en az biri söylenebilir. i. Kanıtlanabilirdir. Yani doğru ve doğruluğu sonsuz adımda mantıksal indirgelemelerle gösterilebilir. Bu tür tümcelere teorem denir 12. ii. Doğru fakat doğruluğu kanıtlanamaz olabilir. iii. Karar verilemez. Yani sistem içerisinde ne kendisinin ne de değilinin doğruluğu kanıtlanamaz. 12 Theorem kavramıyla geniş bilgi [3] de bulunabilir. 5

6 Yukarıda belirtilen (i) nin ne demek olduğu açık. İkincisi için bir ülkenin yargı sisteminde bir cinayeti işleyen kişinin cinayeti işlemiş olduğunun kanıtlanabilmesi için en az bir şahitin olması gerektiğini varsayalım. Ülkenin bir adasında a kişisi b kişisini öldürmüş fakat hiçkimse (a dışında) bu olayı görmediğini varsayalım. Bu sisteme göre a kişisinin katil olduğu doğrudur fakat kanıtlanamaz. (iii) için ise: a değişkeni verilsin. Aksiyomu a = a olan bir sistemde b ve c değişkenleri için b = c ve b c tümcelerinin doğrulukları kanıtlanamaz. Dolayısıyla bu sistemde b = c tümcesi hakkında karar verilemez Özellik Nedir? Genel olarak matematik kitaplarında bir kümenin belirli özellikleri sağlayan elemanlarca belirlendiği yazar. Ama burada geçen özellik" kelimesinin tanımı pek verilmez. Burada özelliğin tarifini vereceğiz. Bir tümcede harfinin hemen sağında (kapsamında) yer almayan değişkene serbest değişken ve diğer değişkenlere sınırlandırılmış değişken denir. Örneğin ϕ bir tümce olmak üzere x(ϕ) tümcesinde x sınırlandılmış değişkendir. Buna karşın a ve x değişkenleri için ϕ yerine x a alınırsa, yani x(x a) tümcesinde a sebest değişkendir. Bir tümcede serbest değişken olmayabilir, örneğin x y(x y) tümcesinde serbest değişken yoktur. Benzer birçimde x y tümcesinde sınırlandırılmış değişken yoktur. En az bir serbest değişken bulunduran tümceye özellik 14 denir. ϕ, tümcesinde a bir serbest değişken ise, ϕ de a yerine, tümcede b ile gösterilen değişken yoksa, b yazarak elde edilen tümceyi ϕ(b) ile göstereceğiz. Örneğïn, x(x = a) tümcesini ϕ ile gösterelim. ϕ(b), x(x = b) tümcesini gösterecektir. Alıştırma 6.1. Bir tümcede kapsamına girmeyen en az bir değişken bulunduran tümcenin özellik olduğunu gösterin. Bundan sonra verilen tümcelerde yer alan değişkenlere eleman denir. Her eleman bir küme olacaktır. 7 Hadi Küme Yapalım Bizimde Bir Kümemiz Olsun Kentlerde yüksek yüksek katlı binalar dikiliyor, çok uzun köprüler, saraylar, yollar yapılıyor. Bizler de öyle bir küme yapabiliriz ki hem boş hem de herşeyi doldurabilecek yetenekte. Sıfır sayısını kullanan çok ama ne olduğunu bilen azdır. Bu paradoksal bir durum değildir, aynı çoçuk doğuracak annenin çoçuğun cinsiyetinin ne olduğunu bilemeyeceği gibi. Aşağıdaki girişimlerden sonra sıfırın ne olduğunu söyleyebiliriz. Elbette sıfır farklı biçimlerde de tanımlanabilir. Bunun için elimizde bari en az bir küme olsun. Başımıza bela olmaması için bu kümenin hiç elemanı olmasın. Merak etmeyin daha sonra bu kümelerle içleri dolu dolu kümeler yaratacağız. Boşküme Aksiyomu. Hiç elemanı olmayan bir küme vardır. Yani öyle bir x kümesi vardır ki, verilen her a kümesi için a x olur. Bu tümce 13 Fatih Sultan Mehmet zamanında patetes olsaydı patetes yemeyi severdi" ifadesi karar verilemez bir durumdur. Bugün Fermat teoremi olarak bilinen Fermat Teoremini Fermat kanıtladığını yazmıştı. Fermat ın kanıtladım" tümcesi karar verilemez bir durumdur. 14 Daha geniş bilgi [1] de bulunabilir. 6

7 x a(a x) olarak yazılır 15. Aksiyomda geçen vardır" derken zihnimizde inşa etmiş olduğumuz, fiziksel olarak anlamsız olan bir şeydir. Alıştırma 7.1. Aksiyomu sadece boşküme aksiyomu olan sistemde elemanı olan kümeyi ifade eden tümce, yani x y(x y) tümcesi hakkında karar verilemeyeceğini gösterin. Birbirlerinden farklı" farklı kümelerin varlığını anlamak için eştlik tanımına ihtiyacımız olacak. Önce altküme tanımını verelim. Tanım 7.2. x ve y iki küme olsun. x nin her elemanı aynı zamanda y nin elemanı oluyorsa x, y nin altkümesi denir ve bu durum x y ile gösterilir. Hiç elemanı olmayan bir kümenin her kümenin altkümesi olur. Her x kümesi için x x olduğu da açıktır. Eşitlik Aksiyomu. Elemanları aynı olan iki küme eştir. x ve y kümelerinin eşit olması x = y ile gösterilir. Bu aksiyom olarak yazılır. x y[ z(z x z y) x = y] x ve y kümeleri için x = y olması için gerekli ve yeterli koşulun, x y ve y x olması gerektiği kolaylıkla gösterilebilir. Ayrıca x = y olduğunda y = x olduğu da açıktır. x = y nin değili ( x = y) x y ile gösterilir. Aşağıdaki teorem 16 kolaylıkla kanıtlanabilir Teorem 7.3. Hiç elemanı olmayan iki küme birbirine eşittir. Teorem 7.4. Her x kümesi için x = x olduğunu gösterin. İki küme arasında tanımlanan eşitlik kavramı kullanılarak boşkümeyi tanımlayabiliriz. Tanım 7.5. Hiç elemanı olmayan kümeye boşküme denir. Boşküme ile gösterilir. Tanım 7.6. Küme kuramındaki boşkümeye sayı dilinde sıfır denir ve 0 ile gösterilir 17. Alıştırma 7.7. Boşküme aksiyomu ve eşitlik aksiyomu kullanılarak boşkümeye eşit olmayan bir kümenin varlığı kanıtlanabilir mi? Alıştırma 7.8. Boşküme aksiyomu ve eşitlik aksiyomu kullanılarak her kümenin boşkümeye eşit olduğu, yani x(x = ) tümcesi hakkında karar verilebilinir mi? kanıtlanabilir mi? 15 x ve y iki küme olmak üzere x y ve x y terimlerinin birer önerme olduğuna dikkat edelim. 16 Kanıtlanabilir matematiksel tümcelere teorem denir. Burada geçen kanıt" teoremin sonlu tane önermeler zinciriyle değerinin doğru olduğunun gösterilmesidir. Detaylı bilgi için [3] ye bakın. 17 Sıfırın tarihi ile ilgili geniş bilgiye [2] dan ulaşılabilir. 7

8 8 En Az Bir Elamanlı Küme Var mıdır? Boşküme Aksiyomu gereği bir kümemiz var. Ama bu kümenin hiç elemanı yok. En az bir elemanlı bir kümenin var olup olmadığı belli değil. Gerçektende boşküme ve eşitlik aksiyomlarından oluşan bir sistemde en az bir elemanlı bir kümenin var olduğunu söyleyen x y(x y) tümce hakkında karar verilemez. Gerçekten tümcede geçen x, boşkümenin hiç elemanı olmadığından, boşküme olamaz. Boşkümeden farklı bir kümenin var olduğu da yukarıda verilen iki aksiyomdan elde edilemez. Buradan en az bir elemanı olan bir kümenin varlığı için yeni bir aksiyoma gereksinimi ortaya çıkar. İki Elemanlı Küme Aksiyomu. x ve y iki küme olasun. Elemanları sadece ve sadece x ve y olan bir küme vardır. Yani x y z[ a(a z (a = x) (a = y). Yukarıdaki tümcede verilen x ve y ye karşık gelen z tektir ve {x, y} ile gösterilir. {x, y} = {y, x} olduğu açıtır. x = y olma durumunda {x, y} yerine sadece {x} yazılır. x = y = olduğunda { } bir kümedir ve { } olur. Böylece şu teoremi kanıtlamış olduk. Teorem 8.1. Aksiyomları yukarıda verilen üç aksiyom olan sistemde { } bir kümedir. Bu kümenin sadece ve sadece bir elemanı vardır. Sayı dilinde boşkümenin sıfır olduğu ve 0 ile gösterildiği dikkate alarak { } = {0} olur. Şimde 1 i tanımlayabiliriz. Tanım 8.2. {0} kümesine 1 denir. Yani 1 = {0} olur. Teorem Kanıt. 0 = 1 olduğunu varsayalım. 0 1 olduğundan 0 0 olur ki bu çelişkidir. Alıştırma 8.4. Aksiyomları yukarıda verilen üş aksiyom olan sistemde tümcesine karar verilebilir mi? x(x x) Alıştırma 8.5. Sadece ve sadece bir elemanı olan 1 den farklı bir küme örneği yazın. Teorem 8.6. z = {x, y} ve x y olacak biçimde x, y, z kümeleri vardır. Kanıt. x = 0, y = 1 olarak istenilen elde edilir. Tanım 8.7. {0, 1} kümesine 2 denir. Yani 2 = {0, 1}. 0 2 ve 1 2 olduğu açık. Elemanları sadece ve sadece 0, 1 ve 2 olan bir küme var mıdır? 8

9 9 Elemanları 0, 1 ve 2 Olan Küme Tanımlayabilimek İçin Ne Yapabiliriz? Şu ana karar üç aksiyom tanımladık. Bu tanımlama sonucun da binlerce yıl kullanılan 0, 1 ve 2 yi tanımlayabilidik. Peki, bu üç aksiyomun gücü yine yıllardır kullanılan 3 ü tanımlamaya yeter mi? Sezgisel olarak 3, elemanları 0, 1 ve 2 olan küme olacaktır. Yani sorun elemanları 0, 1 ve 2 olan bir küme var mıdır? Tanımlayacağımız yeni bir aksiyomla sorunun yanıtı evet olabilecektir 18. x, y iki küme olsun. Verilen her a kümesi için (a x) (a y) matematik tümcesi bir özellik" tir. Bu özelliği p x,y (a) (bir karışıklık yaratmama durumunda p(a)) ile gösterelim. elemanları sadece ve sadece p(a) özelliğini sağlayan bir z kümesi tanımlayabiliriz ve bu küme {a : p(a)} ile gösterilir. Yani tanımlayacağımız yeni bir aksiyom sonucu elemanları verilen x ve y kümelerine karşılık elemanları sadece ve sadece x nin ya da y nin elemanları oluşan bir z kümesi tanımlayabileceğiz. Bu durum formal dilde olarak yazılır. x y z[ a(a z (a x) (a y)] Bileşim Aksiyomu x bit küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x nin elemanlarının elemanların oluşan bir küme vardır. Formal dilde yazılır. x y[ a(a y z(z x) (a z)] Verilen x kümesini yukarıda verilen aksiyom anlamında var olan küme birtanedir. Bu kümeye x nin bileşimi denir ve x ile gösterilir. Her a için tümcesini p(a) ile gösterelim. x kümesi ile de gösterilir. Alıştırma 9.1. = olduğunu gösterin. y[(y x) (a y)] {a : p(a)} Alıştırma 9.2. x ve y iki küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x ya da y nin elemanalrı olan bir kümenin olduğunu gösterin. Ayrıca bu kümenin {x, y} olduğunu gösterin. Genelde {x, y} yerine x y yazılır. x y = y x olduğunu gösterin. Alıştırma 9.3. Verilen her x kümesi için x = x = x olduğunu gösterin. Alıştırma = 0 {0} ve 2 = 1 {1} olduğunu gösterin. Şimdi 3 ü tanımlayabiliriz. Tanım {2} kümesine üç denir ve 3 ile gösterilir. 18 Bilmiyorum. 9

10 Yani 3, elemanaları 0, 1 ve 2 olan kümedir. Bu küme {0, 1, 2} ile gösterilebilir. Alıştırma , 1 3 ve 2 3 olduğunu gösterin. Alıştırma 9.7. Elemanları 0, 1, 2 ve 3 den oluşan bir kümenin varlığını gösterin. Bu kümeye dört denir ve 4 ile gösterilir. Okur, yukarıdaki yaklaşımı kullanarak 5, 6, 7 yi tanımlayabilir. Hatta i tanımladığında i de tanımlayabilir. Ama 23 ün tanımından hareket ederek 22 i tanımlamak mevcut yöntemlerle kolay olmayabilir. 10 Altküme Aksiyomu Örneğin x[ a(a x a = b)] tümcesinde x, kapsamında, a, kapsamında olup b, ya da kapsamında değildir ve dolayısıyla bu tümce bir özelliktir. tümcesi de bir özelliktir. x[ a(a x (a = b) (a = c))] Altküme Aksiyomu x bir küme ve p = p(y) bir matematik tümce olsun. Elemanları sadece ve sadece (a x) p(a) tümcesini sağlayan a lar olan küme vardır. Bu küme ile gösterilir. Çoğu zamanda yazılır. {a : (a x) p(a)} {a x : p(a)} p = p(a) tümcesi verilsin. p = p(b) özelliğindeki b kümelerinin topluluğunu ile gösterelim. {b : p(b)} Alıştırma Her x elemanı için x = x tümcesini p(x) ile gösterelim. {x : p(x)} nin bir küme olmadığını gösterin. Yani, tümcesinin değerinin yanlış oldğını gösterin. x a[(a x) (a = a)] Alıştırma Her x elemanı için x x tümcesini p(x) ile gösterelim. {x : p(x)} nin bir küme olduğunu gösterin. Alıştırma x kümesi verilsin. Her a kümesi için a x tümcesi p(a) ile gösterelim. olduğunu gösterin. A = {a : p(a)} Alıştırma x bir küme olamak üzere a x ve b x verilsin. Her y elemanı için (y = a) (y = b) tümcesini p(y) olmak üzere 10

11 olduğunu gösterin. {a, b} = {y : (y x) p(y)} = {y : p(y)} 11 Kümelerin Arakesiti ve Farkı x ve y iki küme olsun. Her a kümesi için (a x) (a y) olmak üzere {a x y : p(a)} bir kümedir. Bu kümeye x ve y nin arakesiti denir ve x y ile gösterilir. Okur x y = {a x : a y} = {a y : a x} olduğunu kolaylıkla gösterebilir. Ayrıca okur aşağıdaki teoremin kanıtı altküme aksiyomundan hemen kanıtlayabilir. Teorem x boş olmayan bir küme olsun. Elemanları sadece ve sedace x nin elemanlarının elemanı olan bir küme vardır. Yani her t kümesi için matematik tümcesi p(t) österilirse, bir kümedir. Bu küme x ile gösterilir. y[(y x) (t y)] {t : p(t)} x kümesine x nin arakesiti denir 19. nin tanımlanmadığına dikkat edilmelidir. Alıştırma x ve y iki küme olmak üzere {x} = x olduğunu gösterin. Alıştırma Boşkümenin arakesiti tanımlanabilir mi? Buna karşın her x kümesi için olduğunu gösterin. Alıştırma x ve y iki küme olsun. olduğunu gösterin. Alıştırma x ve y iki küme olsun. bir kümedir. Bu kümeye x fark y denir. ve olduğunu gösterin. x = x y = {x, y} = y x {t : (t x) (t y)} x x = x = (x (x y)) (x y) 19 Bileşim için ve arakesit için sembolleri ilk olarak Giuseppe Peano tarafından 1988 tarihli Calcolo geometrico secondo l Ausdehnungslehre di H. Grassmann" adlı çalışmada kullanılmıştır. 11

12 12 Kuvvet Küme Aksiyomu ve Kartezyen Çarpım X ve Y kümelerinin kartezyen çarpımının elemanları x X ve y Y olmak üzere (x, y) ikililerinden oluşan küme olduğu ve X Y ile gösterildiğini hemen hemen de bilmeyen yoktur. Böyle bir kümenin ne olduğunu tanımlayabilmek için öncelikle (x, y) ikililerini tanımlamalıyız. Sonrasında elemanları bu ikililer toplululuğunun gerçekten bir küme olduğunu göstermenin yollarına bakmalıyız. Bunun için bir aksiyoma ihtiyacımız olacak. Kuvvet Küme Aksiyomu. x bir küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x nin altkümeleri olan bir küme vardır. Yani her a kümesi için a x matematik tümcesi p(a) ile gösterilmek üzere {y : p(y)} bir kümedir. Bu kümeye x nin kuvvet kümesi denir. Alıştırma ( ) = 1 olduğunu gösterin. (1), (2), (3) kümelerininin elemanlarını yazınız. x ve y iki küme olsun. {{x}, {x, y}} kümesini (a, b) ile gösterelim. İki kümenin kartezyen çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır. Teorem x ve y iki küme olsun. Elemanları a x ve b y için p((a, b)), (a x) (b y) tümesini göstersin. {(a, b) : p((a, b))} bir kümedir. Kanıt. Her a x ve b y için (a, b) ( (x y)) ve p((a, b)) nin bir özellik olmasından altküme aksiyomu gereği istenilen kanıt elde edilir. Tanım x ve y iki küme olsun. Yukarıdaki teoremde geçen kümeye x ve y nin kartezyen çarpımı denir ve x y ile gösterilir. Bu aksiyom olmadan tam sayılar tanımlanamaz. Gerçekten de w, doğal sayılar olmak üzere (henüz tanımlanmadığını biliyoruz!), tamsayıların tanımlanması w w den geçer. Alıştırma x ve y iki küme olsun. (a, b), (c, d) x y olmak üzere (a, b) = (c, d) olması için gerekli ve yeterli koşulun a = c ve b = d olduğunu gösterin. Alıştırma x bir küme ve a x verisin. {{a}} = (a, a) olduğunu gösterin. Alıştırma x ve y iki küme olsun. x y kümesinin boşküme olması için gerekli ve yeterli koşulun x = ya da y = olduğunu gösterin. 13 Yerleştirme Aksiyomu. Kümeyi bir an için fiziksel nesnelerin bir topluluğu olarak görelim. Kümemizin elemanları defter, kalem, armut, ve muzdan oluşun. Bunların bir ayna içerisindeki görüntüleri küme olur mu? Devam edelim: I = {0, 1, 2} nin bir küme olduğunu biliyoruz. Her i I için x i bir küme olsun, yani x 0, x 1 ve x 2 birer küme olsunlar. Elemanları sadece ve sadece x 1, x 2 ve x 3 olan bir küme var mıdır? Yukarıda verilen aksiyomlar kullanılarak börle bir kümenin ne varlığını ne de yokluğunu söyleyebiliriz. Yani kararsızlık durumu. Bu gözlem bizi aşağıdaki aksiyoma yönlendirir. 12

13 Yerleştirme Aksiyomu. x bir küme ve her a x için f(a) bir küme olsun. Elemanları a x olmak üzere sadece ve sadece f(a) lar olan bir küme vardır. Yani bir kümedir. Örnek x bir küme olmak üzere {f(a) : a x} {{a} : a x} bir kümedir. Bunun bir küme olduğu kuvvet küme aksiyomu kullanılarak gösterilebildiği gibi Axiom schema of replacement kullanılarak da gösterilebilir. Alıştırma x bir küme olmak üzere topluluğunun bir küme olduğunu gösterin. { (a) : a x} 14 Tümevarımsal Küme Aksiyomu Matematiktiğin temeli olan doğal sayılar kümesi yukarıda verilen aksiyomlar kullanılarak yapılabilir mi? 0, 1, 2 tanımlandı ama 278 tanımlanabilir mi? Diyelimki tanımlandı, 279 tanımlanabilir mi? Bu soruların ardı arkası kesilmeyebilir. Bu tür soruları tek tek tanımlamak yerine toptan tanımlayabileceğiz, bir anlamda sonsuz işi bir çırpıda yapabileceğiz, aksiyomların canı sağ olsun. Tanım Bir x kümesi için s(x) = x {x} olarak tanımlanır. Tanım Boşküme elemanı olan ve x, elemanı olduğunda s(x) de elemanı olan kümeye tümevarımsal küme denir. Temel soru yukarıda verilen aksiyomlar kullanılarak bir tümevarımsal kümenin varlığı yada yokluğu gösterilebilir mi? Karar verilemez bir durum sözkonusudur. Tümevarımsal Küme Aksiyomu. En az bir tümevarımsal küme vardır. Yani x[( x) [ a(a x s(a) x)]]. Şu ana kadar verilen aksiyomlara tümevarımsal küme aksiyomu eklenmeden sistem doğal sayıları tanımlayamaz. Bu noktada bu aksiyom önemini ortaya koymaktadır. Alıştırma İki tümevarımsal kümenin arakesit ve bileşimlerinin tümevarımsal küme olduklarını gösteriniz. Alıştırma x ve y elemanları tümevarımsal olan kümeler olsunlar. olduğunu gösterin. x = y Tümevarımsal küme aksiyomu olmadan sonsuz bir kümenin dolduğu kanıtlanamaz. Bu, aksiyomun önemini ortaya koyuyor. Ayrıca doğal sayılar kümesini tanımlayabiliriz. Tanım x bir tümevarımsal küme y = {a : tümevarımsal küme ve a x} 13

14 olmak üzere y kümesine doğal sayılar kümesi denir ve w (ya da N) ile gösterilir. Okur, w nin x den bağımsız olduğunun farkında olmalı. 15 Temellendirme Beliti olduğunu biliyoruz. Peki boş olmayan her x kümesi için x x olabilir mi? En azından yukarıda verilen aksiyomların oluşturduğu sistemde bu gösterilemez. Bu durumun olması yani kendi kendinin elemanı olması doğaya aykırı" duruyor. Bunun bir aksiyom olarak tanımlanarak diğer aksiyomlara eklenmesi sorunlu olmayacaktır. Temellendirme Aksiyomu. Verilen her kümenin en az bir elemanıyla arakesiti boşkümedir. Yani, x y[(y x) (y x = )]. Temellendirme aksiyomu sonucu olarak verilen x kümesi için x x olur. Bunu göstermek için x x olduğunu varsayalım. {x} in küme olduğunu biliyoruz. O halde bu kümenin en az bir elemanıyla arakesitinin boşküme olması gerekir. Diğer taraftan bu kümenin tekbir elemanı vardır o da x dir. Dolayısıyla x {x} = olmalıdır. Buradanda x x elde edilir. Alıştırma x ve y kümeleri verilsin. x y ya da y x olduğunu gösterin. Bir sistemin minumum düzeyde doğal sayıları tanımlaması beklenir. Temellendirme beliti olmadan da doğal sayılar aritmetiğinin tanımlanabileceğini göyleyelim. 16 Russel Pardoksu Aritmetik, sayılar ve üzerinde tanımlanan toplama ve çarmpa işlemlerini konu alan matematiğin bir dalıdır. Başlangıç noktası doğal sayılar ve onun üzerinde tanımlı toplama ve çarpma işlemleridir. Aritmetiğin sarsılmaz bir temel üzerine inşa edilmesi konusunda sistemli ilk çalışmalardan biri Freg in Aritmetiğin Temelleri I (1893)" ve Aritmetiğin Temelleri II (1903)" isimli eserleridir. Ancak 1902 de Russel, Freg e 16 Haziran 1902 tarihli bir mektupla kitabın birinci cildinde aritmetiğin sağlam temele dayanmadığını, bugün Russel Paradoksu olarak bilinen paradoksla açıklıyordu. Bu paradoks Freg tarafından da kabul ediliyor ve Freg, eserinin ikinci cildinde pardoksla ilgili şunu yazıyordu: Bir biliminsanı için, yapıtıbiter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç birşey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bey Bertnand Russel den aldığım bir mektup beni bu druma soktu". Russel paradoksu tamı tamına aşağıdaki gibidir. Russel Paradoksu: Freg, eserinin birinci cildinde herşeyi bir küme olarak görebiliyor, ve kümenin bir altkümesini de bu bakış açısıyla tanımlayabiliyordu. Dolayısıyla bütün kümelerin kümesi de bir küme olacaktır. Bu kümeyi V ile gösterelim. R de kendi kendini içemeyen kümeler olsun, yani, R = {x : x x} olsun. R bu kümenin elemanıysa, yani R R ise, tanım gereği R R olacaktır. R, R nin bir elemanı değilse, yani R R ise tanım deği R R olacaktır. Bu bir çelişkidir. Freg in eserinin birinci cildi böyle bir çelişkiyi ürettiğinden, eserin tanımladığı aritmetiğin temeli 14

15 sağlam olamazdı. Ortaya çıkan bu durum matematiğin çelişkisiz bir şekilde tanımlanabilmesi daha çok çaba sarfedilmesi gerektiği ortaya koymuştur. Bu serüven sonunda nur topu gibi bir sistem doğmuştur Zermole Fraenkel Sistemi Şu ana kadar tanımladığımız aksiyomlar şunlar: boşküme aksiyomu, eşitlik aksiyomu, iki elemanlı küme aksiyomu, bileşim aksiyomu, altküme aksiyomu, kuvvek küme aksiyomu, yerleştirme aksiyomu, tümevarımsal küme aksiyomu ve temellendirme aksiyomu. Bu aksiyomlar toplululuğun oluşturduğu sisteme Zermole Fraenkel Sistemi (kısaca ZF ) denir. Kaynaklarda bu aksiyomların sıra listesi, sayısı çok standart olmasa da farklı biçimlerde verilen biçimlerinin hepsi birbirlerine denktir. Yerleştirme aksiyomu ve temellendirme aksiyomu dışındaki aksiyomların oluşturduğu sisteme Zermole Küme Sistemi denir. Bu iki aksiyom temel olarak Fraenkel (1922) ye ait olup, Skolem (1922) tarafından eklenmiştir. Yerleştirme aksiyomu bağız olarak 1920 ler de Mirimanov tarafından da verilmiştir. Çağımızda yapılan matemetiğin çok ve çok büyük kısmı ZF üzerine inşa edilmiş ve edilmeye devam edilmektedir. Doğal sayılar ve onun üzerinden yapılan aritmetiğin (toplama ve çarpma) bir yönüyle insanlık uygarlığın oluşmasını sağladığından, ZF nin aritmediği tanımlayabilmesi beklenir-zaten o yönlü inşa edilmiştir. Zaten matematiğin aksiyomatikleştirilmesinin motivasyon kaynağıda bu beklentidir. ZF sistemi doğal sayılar aritmediğini inşa edebilir. Kurt Gödel, doğal sayılar aritmediğini inşa edebilen bir sistemin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır. Yani kimse çıkıp ZF nin çelişkisiz olduğunu kanıtlamaya çalışmasin, boşa uğraşır. Bizden söylemesi! Peki buradan ZF nin çelişkisiz olduğu anlamı çıkar mı? Hayır çıkmaz. Bakarsını birileri Russel gibi, ZF de bir çelişki üretebilir. O zaman ne olur? Bir hal çaresine bakılır. Eksiklik Teoremi (Gödel, 1931) Doğal sayılar aritmediğini inşaedebilen sistemde: i. sistem tutarlıysa eksiktir, yani doğru fakat doğruluğu kanıtlanamayan en az bir tümce var. ii. sistemin çelişkisiz olduğu kendi içinde kanıtlanamaz. O halde şimde ne yapılabilir: ZF tutarlıysa..." varsayımıyla onun üzerine matematik inş edilebilir. Olaki yaptığım matematik temeli aksiyomlar gereği yanlış çıkarsa ama ben tutarlıysa demiştim" denebilir. Zermole Frankel sisteminde yer alan bazı aksiyomlar topluluğunun tutarlı olması yanında, bazı aksiyomların bir grup aksiyomlar topluluğundan bağısız olduğu gösterilebilir. Bununla ilgili iz [4] ve [5] üzerinden sürülebilir. Devam edecek... Kaynaklar [1] Matematik Dünyası, 2003 Kış Sayısı, s Russel paradoksunun ortaya çıkarttığı sonuçları bir başka paradoks olan Burali-Forti ilede elde edilebilir, ancak bildiğim kadarıyla bu paradoksun analşılması daha karmaşıktır. Russel paradoksu eş zamanlı olarak Zermole tarafından da verilmiştir. Bu paradoksda Russel in adının verlmesi, tahmin ediyorum ki Russel in Freg ile olan diyaloglarıdır. Russel paradoksu" başlıklı bir yazı Ali Nesin tarafından [1] de yayınlamınştır. Burada geçen bazı alıntılar oradan alınmıştır. 15

16 [2] R. Kaplan ın, The nothing that is: A natural History of zero, New York: Oxford University Press, [3] A. Nesin, Önermeler Mantığı, Nesin Matematik Köyü, [4] A. Abian, On the independence of set theoretical axioms, Amer. Math. Monthly 76, , [5] A. Abian and S. LaMACCHIA On the consistency and independence of some set theoretical axioms,notre Dame Journal of Formal Logic Volume XIX, Number 1, January 1978 NDJFAM,