AN ALTERNATIVE RANK CORRELATION COEFFICIENT WİTH GRAPHICAL APPROXIMATION GRAFİKSEL YAKLAŞIMLA ALTERNATİF BİR SIRA KORELASYON KATSAYISI

Transkript

1 G.Ü. Fen Blmler Dergs 8(): (005) ISSN G.U. Journal of Scence 8(): (005) AN ALTERNATIVE RANK CORRELATION COEFFICIENT WİTH GRAPHICAL APPROXIMATION (Rew) Yapra Arzu ÖZDEMİR Meltem EKİZ G.Ü.Fen Edebyat Faültes İstatst Bölümü 0500 Beşeler,Anara e-mal: ABSTRACT In ths study, a ran correlaton coeffcent () proposed by Blest(000), whch does not requre normalty assumpton n hypothess testng of correlaton coeffcent for nteral lel or rato scaled measured arables, s ntroduced. Ths ran correlaton coeffcent, whch s examned based on graphcal presentaton ther comments, has a structure, whch consders the nterchanges n the early ranng of the data. When the sample sze s f ths ntroduced ran correlaton coeffcent s consdered t has showed that t s more adantageous compared to other ran correlaton coeffcents snce t gs dfferent results en f for small changes n ranng. Furthermore, the crtcal alues of correlaton coeffcent are obtaned for dfferent sgnfcance lels these alues are presented n a table. Key Words: Rans, Kendall s τ ran correlaton coeffcent, Spearman s ρ ran correlaton coeffcent. GRAFİKSEL YAKLAŞIMLA ALTERNATİF BİR SIRA KORELASYON KATSAYISI (Derleme) ÖZET Bu çalışmada, değşenn eşt aralılı yada oranlama düzeynde ölçüldüğü durumda, orelasyon atsayısına lşn hpotez testlernde normal dağılım arsayımına htyaç duymayan Blest(000) n önerdğ sıra orelasyon atsayısı() tanıtılmıştır. Bu atsayı, grafsel gösterme bu grafğn yorumlanmasına dayalı olup, sıralamalarda l yer değşllern önemseyen br yapıya sahptr. Tanıtılan sıra orelasyon atsayısı, örne çapı 5 en ncelenmş mecut sıra orelasyon atsayıları le arşılaştırılara, sıralamalarda üçü yer değşllernde ble farlı sonuçlar rmes sebebyle, daha aantajlı olduğu gösterlmştr. Ayrıca farlı anlamlılı düzeyler çn atsayısına lşn rt değerler bulunara tablo halnde rlmştr. Anahtar Kelmeler: Sıra Sayıları, Kendall ın τ sıra orelasyon atsayısı, Spearman ın ρ sıra orelasyon atsayısı. GİRİŞ Eşt aralılı yada oranlama düzeynde ölçülen değşen arasında lşnn, hpotez testnde normal dağılım arsayımına htyaç duyulmayan sıra orelasyon atsayıları Kendall ın Tau ( τ ) Spearman ın Ro (ρ ) dur(). Blndğ üzere, bu sıra orelasyon atsayılarının elde edlmesnde temel sıralama üzernedr. Korelasyon atsayısının genelleştrlmş bçm ; Γ =. INTRODUCTION The ran correlaton coeffcents whch don t requre normal dstrbuton n hypothess testng for correlaton of two arables that are measured nteral lel or rato scale are Kendall s Tau ( τ ) Spearman s Rho (ρ ) (). It s nown that, the bass of obtanng these ran correlaton coeffcents are on orderng. If the generalzed form of the correlaton coeffcent wrtng as, cjdj, j cj dj, j, j [.]

2 30 G.U. J. Sc., 8(): (005)/ Yapra Arzu ÖZDEMİR Meltem EKİZ olara yazıldığında c j d j nn tanımlamalarına bağlı olara bu statst farlı orelasyon atsayılarına dönüşür()., j {,,..., n} olma üzere, X değşen baımından gözlenen değerlere atanan sıra sayıları p, Y değşen baımından gözlenen değerlere atanan sıra sayıları se q olsun. Hem X hem de Y değşen baımından aynı sıra değerl gözlemlern olmadığı arsayımı altında, yan orta sıra sayısı atanması söz onusu değlen; cj = - dj = - ths statstc changes to dfferent correlaton coeffcents whch depends on the defntons of c j d j (). Tang, j {,,..., n}, let p be the assgned ran scores for obserd alues of arable X q be assgned ran scores for obserd alues of arable Y. Assumng that both X Y arables don t ha ted obseratons, n other words there s no common ran scores for any two obseratons, the equaton [.] gs Kendall s τ ran correlaton coeffcent when c j d j are defned as, p p j p p j q q j q qj olara tanımlanırsa [.] eştszlğ Kendall ın τ sıra orelasyon atsayısını rr. Burada ayrıca cj = cj, c = 0, dj = dj d = 0 özelllern taşır. Spearman ın ρ sıra orelasyon atsayısına se, cj = pj p Where c j d j ha the followng propertes, cj = cj, c = 0, dj = dj d = 0. The ran correlaton coeffcent of Spearman s ρ can be obtaned when dj = qj q en ulaşılır(). Bu durumda, [.] eştszlğnde Γ statstğ, g = p q olma üzere, (). In ths case, Γ statstc n equaton [.], when g = p q, can be wrtten as follows (); g ρ = [. ] 3 n n şelnde fade edlr(). Buz paten aya gb bazı spor dallarında, l üç sıralamaya rlen önem son sıralamalara göre ço daha fazladır. Bu nedenle, l sıralamalarda yer değşllern daha y yansıtan yen br sıra orelasyon atsayısına htyaç duyulablr. Bu çalışmada Blest(000) tarafından gelştrlmş olup, grafsel gösterme de açı olan, mecut sıra orelasyon atsayılarına alternatf br sıra orelasyon atsayısı tanıtılmıştır. Tanıtılan sıra orelasyon atsayısının temel özellğ se, sıralamalarda l yer değşllerne daha fazla önem rmesdr. Bu özell tüm n durumları çn geçerldr(3). Tanıtılan orelasyon atsayısının yapısını daha ayrıntılı br bçmde görme amacıyla, maul sayıda mümün sıralamaya man tanıdığından sadece n = 5 durumu ele alınmıştır. n = 5 çn, gözlemlern mümün sıralamalarında yer değşllernn ncelenmes sonucunda, sıra orelasyon atsayısının, sıralamalarda üçü yer değşllernde ble farlı sonuçlar rdğ bu nedenle sıralamalarda yer değşllern ρ τ ya göre daha y yansıttığı gösterlmştr. In some sport acttes as ce satng sng the gn mportance of the frst three place ranng s much more than the last place ranng. For ths reason, a ran correlaton coeffcent that more reflects the nterchanges n the frst places ranng may be requred. In ths wor, the ran correlaton coeffcent whch s an alternat to exstng ran correlaton coeffcents also sutable to graphcal presentaton s ntroduced, deloped by Blest(000). The basc property of the presented ran correlaton coeffcent s gng more mportance to the frst places of orderng. Ths property s ald n all stuatons for n (3). To see the structure of presented ran correlaton coeffcent n more detal, only the stuaton of n=5 s consdered because the reasonable number of stuatons arse to deal wth. In the result of nstgaton for the nterchanges n possble orderngs of the obseratons for the case n=5, t has been obserd that ran correlaton coeffcent gs dfferent results en though n small nterchanges n the orderngs occurs for ths reason t reflects the nterchanges n the orderngs much better than ρ τ.

3 An Alternat Ran Correlaton Coeffcent / Grafsel Yalaşımla Alternatf br Sıra Korelasyon Katsayısı 305.SIRALANMIŞ VERİ İÇİN GRAFİKSEL GÖSTERİM VE S İSTATİSTİĞİ Brnc bölümde tanıtılan Kendall ın τ Spearman ın ρ sıra orelasyon atsayılarının hesaplanmasında temel fr, brmlern gözlem değerlernn üçüten büyüğe sıralığı (doğal sıralama) durumdan sapmalarının belrlenmesdr. Bu sapmaları görme çn S statstğnn ullanılmasına dayanan grafsel br yalaşımdan faydalanılablr. S statstğnn hesaplanmasında, öncell olara hem X hem de Y değşenler baımından gözlenen örne brmlerne ayrı ayrı sıra sayıları atanır. Daha sonra X değşenne atanan sıra sayıları doğal sıralamada olaca şelde düzenlenr bunlara arşılı gelen Y de sıra sayıları ullanılır. Böylece p ( =,..., n) le gösterlen X n sıra sayıları artı le fade edleblr. Y çn atanan sıra sayıları q olsun. Bu sıralama çn sıra sayılarının ümülatf değerler bulunur. X n doğal sırasına bağlı alma üzere, her brm çn sırasıyla, Y gözlem brmne arşılı gelen ümülatf sıra sayısı değernden, X gözlem brmnn ümülatf sıra sayısı değer çıartılır. n örneğe çıan brmlern toplam sayısını gösterme üzere,. gözlem brm çn ümülatf sıra sayılarının far statstğ,. GRAPHICAL PRESENTATION AND STATISTIC S FOR RANKED DATA The basc dea of calculate Kendall s τ Spearman s ρ ran correlaton coeffcents whch s presented n the frst secton s to determne the deatons of the obserd alues of unts from the state that they are raned from smallest to largest. For see ths deatons, a graphcal presentaton whch s based on the use of S statstc can be benefted. For the calculaton of the statstc S, frst the ran scores are assgned for obseraton unts separately for arable X Y. Then the barate obseratons ordered by the assgned ran scores of arable X are arranged n natural order the nterrelated ran scores of Y are used. Thus the ran scores of X s p ( =,..., n) could be renamed by. Let q be the scores of Y. The cumulat ran alues for ths orderng are found. Dependng on the natural order of X, respectly for ery unt, dffer the cumulat ran score alue of obserd unt Y, from the cumulat ran score alue of obserd unt X. The summaton of the unts n the sample are presented as n so the statstc of ran dfferences of cumulat ran scores for -th unt s defned as, = q = ( q ),,..., = n [.] bçmnde tanımlanır. [.] eştlğnde, q ; Y değşen baımından. brmn ümülatf sıra sayısı değer se doğal sıralama durumunda X değşen baımından. brmn ümülatf sıra sayısı değerdr. Far statstlernn toplamı, In equaton [.], = alue of -th unt of arable Y q s the cumulat ran score s the cumulat ran score alue of the -th unt of naturally ordered arable X. The summaton of dfference statstcs gs the statstc, statstğn rr. Bu statst örneğe çıan brmlern, doğal sıralamadan olan farlılığını gösteren br ölçüdür. Örneğe çıan brmler, doğal sıralamada olma özellğne sahpse, yan tüm ler çn q= se S statstğ alableceğ mnmum değer alır S mn = 0 olur. Dolayısıyla, bu statstğn alableceğ masmum değer, n n S = = ( q ) = = [.] Ths statstc s a measure whch denotes the dfference n the obseraton unts from the natural order. Ths statstc s a measure whch denotes the dfference n the sample unts from the natural order. When the unts n the sample are n the natural order n other words f q=, for all, then S taes the mnmum alue, S = mn 0. From ths, the maxmum alue of ths statstc can be found by, ( ) n n n n Sma = = n+ = = = ( ) [.3] le bulunur. Burada ; X n sıralaması doğal sıralamanın ters en,. brme at sıra sayılarının ümülatf farlarını gösterr. S statstğnden yararlanara örne brmlernn doğal sıralamadan sapmaları grafsel olara görüleblr. Bunun çn sıra sayılarının ümülatf farlarını gösteren Here s the cumulat dfference of ran scores for -th unt whle X s n nrse natural order. By utlzng from the S statstc, the deatons of the sample unts from natural order can be dentfy graphcally. For ths, the

4 30 G.U. J. Sc., 8(): (005)/ Yapra Arzu ÖZDEMİR Meltem EKİZ lar, doğal sıralamanın ters olması durumunda alableceğ masmum arşılaştırılır. ( )lar le grafsel olara n = 5 çn grafsel arşılaştırma yapıldığında,. X n 3 5 doğal sıralamasına arşın Y de örne brmlernn sıralaması, 3 5 olur. Bu durumda, S S ma statstlernn hesaplanmasında, Tablo de oluşturulan değerler ullanılmıştır. Böylece [.] eştlğnden S= [.3] eştlğnden de S ma =0 değerler hesaplanır. cumulat dfferences of ran scores are compared graphcally wth ts maxmum ( ), when t s n nrse natural order. Mang a graphcal comparson for n=5 accordng to the natural order of ran scores of X; 3 5, let the obserd ran scores of Y be 3 5. In ths state the alues n Table are used for calculate the statstcs S S ma. Thus from equaton [.] S= from equaton [.3] S ma =0 alues are calculated. Table. An example for n=5. Tablo. n = 5 çn br örne q q = ( q ) ( n+ ) ( n + ) = [( n + ) ] = Tablo den yararlanara, ümülatf From usng the Table the graphcal presentaton of farlarının ya göre grafsel gösterm Şel de cumulat dfference rlmştr. wth respect to s gn n Fgure Fgure. alues for the sample sze n=5 Şel. n = 5 çaplı örne çn S Sma statstlerne dayalı [-,] aralığında değer alan γ sıra orelasyon atsayısı değerler (=,,...,5) γ Based on statstcs S Sma tang alues n the range of [-,] the correlaton coeffcent γ s defned as, S S = = V nn ( ) ma [.] olara tanımlanır(3). Burada S statstğ, (3). Here the statstc S can be ntroduced as,

5 An Alternat Ran Correlaton Coeffcent / Grafsel Yalaşımla Alternatf br Sıra Korelasyon Katsayısı 307 bçmnde tanımlanablr. Bu sonucun [.] de yerne yazılmasıyla Spearman ın ρ sıra orelasyon atsayısı elde edlr. [.5] eştlğ aynı zama, le gösterleblr(3). n n S = q = n+ q = d ( - ) ( - )( - ) [.5] = = From wrtng ths result n [.] Spearman s ρ correlaton coeffcent s obtaned. The equaton [.5] can also be shown as, n( n+ ) ( n+ ) ( ) q [.] S = n+ 3. SIRA KORELASYON KATSAYISI Tablo de rlen n = 5 çaplı örne çn, ların ye göre çzlen grafğ Şel de rlmştr. Bu grafte ortaya çıan I II III IV V alanları doğal sıralamadan sapmaları fade etmetedr.ayrıca bu grafsel göstermde de görüldüğü gb V alanı I alanından daha büyütür.yan, Y nn sıralamasında son sıralarda meydana gelen doğal sıralamadan sapmalar, l sıralarda meydana gelen doğal sıralamadan sapmalara göre daha büyü alanları fade eder. 3. RANK CORRELATION COEFFICIENT For the gn example n Table, wth sample sze n=5 the lned graph of wth respect to s gn. The areas I, II, III, IV V whch occur n ths graph expresses the deatons from the natural orderng. Furthermore as be shown n the graphcal representaton the area V s much bgger than area I. In other words, n the orderng of Y the deatons of the natural orderng occur n tal end of the ranng, expresses much bgger areas wth respect to early ranngs I II III IV V Σ Fgure. Cumulat dfferences of Şel. değerlerne göre wth respect to ümülatf farları değerlerne göre ümülatf farları çzldğnde, oluşan alanların büyülüğü doğal sıralamadan olan sapmaların ne denl öneml olduğunu gösterr. Örneğn; n = 5 en Y nn yalnızca l sırası yer değştğnde oluşan 3 5 sıralamasına lşn ümülatf farların grafğ çzldğnde, alan büyülüğü.5 olara hesaplanıren, son sırası yer değştğnde oluşan 3 5 sıralamasına lşn alan.5 olur. Bu alanlar hesaplanıren blnen üçgen alanı hesaplama If the cumulat dfferences of wth respect to s gong to lne, the bgness of the occurred areas represents how much mportant the deaton from natural orderng s. For example when n = 5, the sze of the area s.5 when the frst two ran scores of Y s nterchanged relat to natural order namely 3 5 t s.5 when the last two ran scores of Y s nterchanged namely 3 5. For the calculaton of the areas, the

6 308 G.U. J. Sc., 8(): (005)/ Yapra Arzu ÖZDEMİR Meltem EKİZ formüllernden yararlanılır. Örneten de görüldüğü gb l sıralarda meydana gelen yer değşlğ, son sıralarda meydana gelen yer değşlğne göre daha üçü br alana sahptr. Faat bazı spor dallarında ( Buz paten, jmnast, dalma.b.) fnal sıralaması br dz farlı ategorlere göre sıralamaya dayanır.anca farlı ategorlerde l üç sıralama, fnal sıralamasını belrleyeblece özellğe sahp olduğundan, l sıralamalarda yer değşller daha öneml olacatır. n nn büyü değerler çn puanlamalar yapılıren, l sıralamaların daha özenl belrlenmes mümünen, daha sonra sıralamalara rlen önemn onsantrasyon dat eslğnden dolayı azaldığı görüleblr (). Bu durumda, l sıralamalarda yer değşllern daha ço önemseyen yen br sıra orelasyon atsayısına htyaç duyulablr. Tanıtılan sıra orelasyon atsayısı se, doğal sıralamanın ümülatf yerne, doğal sıralamanın tersnn ümülatf ( n+ ) ullanılara ümülatf farlarının grafsel olara ncelenmesne dayanır. Böylece oluşaca alanlar l sıralamaya önem ren alternatf br sıra orelasyon atsayısının oluşumuna zn rr. Bu durum nc bölümde rlen 3 5 örneğnden görüleblr(şel3). nown trangle area calculaton formulzatons are used. As t can be seen n the example the nterchanges occur n the early ranngs has much more a smaller area than n the last ranng. Hower n some sport acttes (ce satng, gymnastc, dng, e.g.) the fnal ranng s based on a set of dfferent categores of ranng. Especally, because of the frst three ranng n dfferent categores has a property that t can be determne the fnal ranng, nterchanges n the frst ranng s much more mportant. Mang scores for larger alues of n, whle t s possble to perform the frst ranng more carefully, the gn mportance to the rans afterwards s reduced because of defcency of concentratons attenton(). In ths case, a new ran correlaton coeffcent whch gs much more mportance to nterchanges n the early ranng may be requred. The ntroduced correlaton coeffcent, whch uses the cumulat of nrse natural order ( n+ ), nstead of the cumulat of natural order, s based on graphcal nstgaton of cumulat dfferences of. From ths the appearng areas gs a permsson to form an alternat ran correlaton coeffcent whch gs mportance to the early ranng. Ths case can be seen from the example 3 5 gn n the second secton (Fgure 3) I II III IV V Σ(n+-) Fgure 3. cumulat dfference wth respect to Şel 3. ( n+ ) değerlerne göre Herhang br n değer çn, ( n+ ). ümülatf farları ( n+ ) ye ümülatf far statstlerne göre oluşan grafğn toplam alanı; For any alue of n, the summaton of the graph areas whch occurs for the cumulat dfference statstcs, wth respect to ( n+ ) can be found wth,

7 An Alternat Ran Correlaton Coeffcent / Grafsel Yalaşımla Alternatf br Sıra Korelasyon Katsayısı 309 n nn ( + ) ( n+ ) W = ( n+ ) q [3.] le bulunur. Y değşen doğal sıralamada olduğunda, W alableceğ en üçü değer almış olur. Yan W mn =0 dır. Doğal sıralamanın ters durumunda se, W nn alableceğ en büyü değer When arable Y s n natural order W taes as mnmum alue as t can be tae. In other words W mn =0. If n the state of nrse natural order the bggest alue whch W wll be tae s obtaned from, Wma nn ( + ) ( n ) = [3.] den elde edlr. Tablo de r ullanılara, Şel 3 çn W= 37 W ma = 0 olur. Y değşennn herhang br sıralamasının doğal sıralamadan olan sapmasını, W W ma alanlarına dayalı olara belrleme mümündür. Bu alanları ullanara sıra orelasyon atsayısı, For Fgure 3, usng the sample gn n Table W=37 W max =0 s obtaned. The deaton of any orderng of arable Y from the natural orderng wll be expressed from the areas W W ma. After usng ths areas the ran correlaton coeffcent s calculated from, W W = = W max nn ( + ) ( n ) [3.3] le hesaplanır. Bu atsayının Spearman ın ρ Kendall ın τ sıra orelasyon atsayılarına göre daha güçlü ayırt edc özellğe sahp olduğu görülmüştür(3). Yan Y değşen çn oluşan mümün dzlşlerde, ρ τ da terar eden değerlern sıra orelasyon atsayısından daha fazla olduğu gözlenmştr. n=5 en Y değşen baımından oluşturulablece tüm mümün 0 farlı sıralama çn ρ, τ sıra orelasyon atsayılarının değerler E de rlmştr. Ayrıca n n üçü değerler çn bu atsayı değerlernden faydalanılara ν ρ yada ν τ arasında çarpım orelasyon atsayılarının hesaplanması mümünen, n n y aştığı durumlarda mümün sıralamaların sayısı ço fazla olacağından dolayı hesaplama zorluğu ortaya çıar. Spearman ın ρ tanıtılan sıra orelasyon atsayısı arasında çarpım moment orelasyon atsayısını hesaplama çn [.] [3.] formüllernden yararlanılablr. Anca sabt termler önemsz olacağından ρ atsayısı çn sırasıyla, It has seen that, ths ran correlaton coeffcent ha more dstngushable property compared to Spearman s ρ Kendall s τ ran correlaton coeffcents (3). In other words, t s obserd that n the possble orderngs for arable Y, there are more repeatable alues for ρ τ than the ran correlaton coeffcent. In Appendx, ρ, τ correlaton coeffcents are gn for ery 0 possble order to be formed by arable of Y when n=5. Moreor, whle for small alues of n, ρ or τ product moment correlaton coeffcents can be calculated usng coeffcent alues easly, hower because of the possble orderngs much more n the case of n greater than, there s a calculaton problem appear. To calculate moment product correlaton coeffcent between Spearman s ρ Blest s, equaton [.] equaton [3.] can be used. Snce the constant terms are tral, usng n u = ( n+ ) q [3.] n w = ( n+ ) q [3.5] termlern ullanma yeterl olacatır. Böylece terms are enough for ρ coeffcents respectly.hence, r ρ= r uw = Euw ( ) EuEw ( ) ( ) ( Eu ( ) Eu ( ) )( Ew ( ) Ew ( ) ) [3.] olma üzere, [3.] eştlğ s rewrtten as rρ = ( n + ) 5 (n+ )(8n+ )

8 30 G.U. J. Sc., 8(): (005)/ Yapra Arzu ÖZDEMİR Meltem EKİZ şelnde elde edlr. Burada, Where ( ) n n n+ E(u)=E ( n+ ) q = ( ) ( 9 9 8) n n n+ n + n+ E(u )=E ( n+ ) = n n( n ) ( n ) ( n+ ) q = [3.7] + + E(w)=E ( ) ( )( ) 3 n n n+ n+ n + n + n+ E(w )=E 0 ( n ) q + = [3.8] dır(3). Ayrıca, olma üzere, 3 ( + ) ( ) n n n n n n E(uw)=E ( n+ ) q ( n+ ) q = (3). Moreor when ( n + ) r τρ = n ( n+ 5) r τ r τρ r ρ olara fade edldğnden, τ atsayısı arasında çarpım moment orelasyon atsayısı r τ çn yalaşı br çözüm, an approxmate soluton of product moment correlaton coeffcent r τν between Kendall s τ Blest s s obtaned as follow, r τ 5( n + ) ( + )( + )( + ) n n n 5 8n şelnde bulunur. n=() olma üzere, r ρ, r ρ r τ orelasyon atsayılarına lşn değerler Tablo de rlmştr. For n=(), product moment correlaton coeffcents r ρτ, r ρ r τ are gn n Table. Table: The product moment correlaton coeffcent alues among ran correlaton coeffcents. Tablo: Sıra orelasyon atsayıları arasında çarpım moment orelasyon değerler n r ρτ r ρ r τ Tablo den de görüldüğü gb, üç sıra orelasyon atsayısı arasında çarpım moment orelasyon atsayıları e yaın değerler almıştır. Bu yüzden de, genel anlamda değerlendrldğnde, atsayılar arasında güçlü br lş olduğu söyleneblr. Ayrıca r ρν değerlernn n arttıça azaldığı gözlenmştr. As t can be seen n Table, the alues of three product moment correlaton coeffcents are closed to one. For ths reason, n general, t can be sad that there s a strong correlaton between these coeffcents. Furthermore, t s obserd that r ρ ncreases as n decreases.

9 An Alternat Ran Correlaton Coeffcent / Grafsel Yalaşımla Alternatf br Sıra Korelasyon Katsayısı 3. İSTATİSTİĞİNİN DAĞILIM ÖZELLİKLERİ Üçüncü bölümde [3.7] eştlğnde belenen değer fades ullanılara [3.3] eştlğnde tanımlanan atsayısının belenen değer. DISTRIBUTION PROPERTIES OF STATISTIC Usng equaton [3.7] gn n the thrd secton, expected alue of the statstc n equaton [3.3] can be obtaned as, nn ( + ) ( n ) E() = = 0 nn ( + ) ( n ) [.] olara elde edlr. [3.7] [3.8] eştllernn When substtutng equaton [3.7] equaton [3.8] n the followng formulaton of arance, Var(w)=E(w )-[E(w)] aryans formülünde yerne yazılmasıyla, sıra orelasyon atsayısı çn aryans fades then the arance of ran correlaton coeffcent s obtaned as, 57(n+ )(8n+ ) Var() = 80( n+ ) ( n ) [.3] olacatır.n=5 çn, E de rlen nn örneleme dağılımı ullanılara oluşturulan olasılı dağılımı ncelendğnde, bu statstğn 0 ortalama etrafında smetr dağıldığı gözlenmştr. Yan, statstğnn hesaplanmasında yer alan q sıra sayıları yerne n+-q değerlernn ullanılması le oluşan değerler arasında, =- lşs ardır. Buna göre tüm n değerler çn statstğ smetr dağılıma sahp olacatır. Ayrıca n örne çapının den büyü değerler çn statstğ normal dağılıma yalaşır(3). Böylece statstğnn belenen değer 0 aryansı da 57(n + )(8n + ) olma üzere hpotez testlernde, 80( n + ) ( n ) Instgatng the probablty dstrbuton whch s obtaned from usng samplng dstrbuton of the example gn n Appendx, for n=5, t s seen that ths statstc has a symmetrc dstrbuton around zero mean. In other words there s a = - relatonshp between whch s occurred from the calculaton of statstc usng n+-q nstead of q. Thus, statstc has a symmetrc dstrbuton for all alue of n. In addton, statstc approxmates to normal dstrbuton for the sample sze n greater than. Snce has zero mean 57(n )(8n ) arance, the followng test statstc used ( n + ) ( n ) n hypothess testng z = 0 57(n+ )(8n+ ) 80( n+ ) ( n ) N(0,) test statstğnden yararlanılır. statstğne lşn hpotez testlernn gerçeleştrlmes amacıyla, farlı α anlamlılı düzeylernde n=,5,, çn rt değerler, Blest n w ye lşn rt değerlernden yararlanılara hesaplanmıştır(3). Hesaplanan bu değerler Tablo 3 de rlmştr. For the realzaton of hypothess testng about the statstc, the crtcal alues are calculated by usng the crtcal alues of Blest s w for dfferent α sgnfcance lels when n=,5,, (3). These calculated alues are gn n Table 3. Table 3. The crtcal alues satsfyng Pr( )=α Tablo 3. Pr( )=α yı sağlayan rt değerler n α Sgnfcance Lels α Anlamlılı Düzeyler

10 3 G.U. J. Sc., 8(): (005)/ Yapra Arzu ÖZDEMİR Meltem EKİZ 5. SONUÇ İ değşen arası lşnn belrlenmesnde, test şlemler çn normal dağılım arsayımına htyaç duymayan sıra orelasyon atsayıları Kendall ın τ Spearman ın ρ sudur. Örneğe çıan brmlern sıralanmasına dayalı bu statstler, sıralamada üçü yer değşllern y yansıtmazlar. Anca bazı spor dallarında l üç sıralamanın, fnal sıralamasını etleyeblece özellğe sahp olması nedenyle, sıralamalarda yer değşllern daha ço önemseyen alternatf br sıra orelasyon atsayısına htyaç duyulablr. Bu atsayı, doğal sıranın tersnn ümülatf olan ( n+ ) y temel alara, ümülatf farlarının grafsel olara ncelenmesne dayanır. Bu çalışmada, n=5 en tüm mümün sıralamalar üzernden τ, ρ sıra orelasyon atsayıları hesaplanara tanıtılan statstğnn, sıralamalarda üçü yer değşllernde ble daha az terar eden sonuçlar rdğ gözlenmştr (E ). Bu durum n en oluşturulaca tüm mümün sıralamalar çn de geçerldr. Ayrıca bu statstğn 0 ortalama etrafında smetr dağıldığı görülmüş n=,5,, çn farlı anlamlılı düzeylerne arşılı gelen rt değerler elde edlmştr. 5. CONCLUSION The correlaton coeffcents whch don t requre normalty assumpton for determnng the correlaton between two arables are Kendall s τ Spearman s ρ. These statstcs based on orderng the sample alues does not reflect the nterchanges n the orderngs well. Snce n some of the sport acttes frst three places ha an mportance n the fnal ranng, an alternat ran correlaton coeffcent whch gs more emphasze to nterchanges n the ranng can be requred. Ths coeffcent s based on the graphcal nstgaton of cumulat dfferences on the bass of cumulat for nrse natural order ( n+ ). In ths study, for the all possble ran score orderngs, τ, ρ alues are calculated t s obserd that statstc gs less repeatable results than τ ρ for the nterchanges of orderngs (appendx ). Ths stuaton s also ald for consttutng of all possble orderngs when n. Moreor t s seen that ths statstc has a symmetrc dstrbuton around zero mean crtcal alues are obtaned correspondng to dfferent α sgnfcance lels for n=, 5,,. KAYNAKLAR/ REFERENCES. Conor, W.J., Practcal Nonparametrc Statstcs, John Wley & Sons, 50-3, (980).. Kendall, M.G., Gbbons, J.D., Ran Correlaton Methods, 5th edn.london: Edward Arnold, 5-7, (990). 3. Blest, D. Ran Correlaton-An Alternat Measure,Austral. New Zeal J.Statst.,():0-, (000).. Mller, G.A. The Magcal Number Sen, Plus or Mnuse Two: Some Lmts on Our Capacty for Processng İnformaton,The Psychologcal Rew,3:8-97, (95). Reced/ Gelş Tarh: 3.03.,00 Accepted/Kabul Tarh:

11 An Alternat Ran Correlaton Coeffcent / Grafsel Yalaşımla Alternatf br Sıra Korelasyon Katsayısı 33 EK : n=5 çn sıra orelasyon atsayıları APPENDIX I: Ran correlaton coeffcents for n=5. Ran Scores/ Sıra Sayıları τ ρ ν Ran Scores/ Sıra Sayıları τ ρ ν