Münevver TURANLI 1, Seda BAĞDATLI 2

Transkript

1 Öner.C.9.S.35. Oca SEMİPARAMETRİK REGRESYON Münevver TURANLI, Seda BAĞDATLI İstanbul Tcaret Ünverstes, İstatst Bölümü, Profesör Dr. İstanbul Tcaret Ünverstes, İstatst Bölümü, Araştırma Görevls SEMIPARAMETRIC REGRESSION Abstract: Classcal (parametrc) re gresson technques are based on the assumpton that the ndependent varable s correlated lnearly wth the dependent varables and the pattern of ths relaton s nown. When such assumpton cannot be verfed, parameter estmatons fal to be relable. In cases where the way of correlaton s not nown or t does not comply wth the nown parametrc mathematcal patterns, nonparametrc regresson technques are to be appled. One shortcomng concernng ths procedure emerges partcularly n the nterpretaton process due to problems brought about by multdmensonal aspect of the exstence of more than one ndependent varable. Whenever confronted wth a case that ncludes more than one ndependent varable, some of the ndependent varables correlate lnearly wth the dependent varable; at other tmes some of the ndependent varables mght correlate nonlnearly. In order to establsh a modelng for such relatons, semparametrc regresson models, comprsng the aggregate of parametrc and nonparametrc regresson functon, are utlzed. İn ths study semparametrc regresson defntons, estmaton (bacfttng algorthm), confdence bands, calculatng standard errors and hypothess testng are explaned. Keywords: Addtve Models, Semparametrc Regresson, Bacfttng Algorthm. I. GİRİŞ Parametr olmayan regresyon modeller le x (bağımsız değşen) ve y (bağımlı) değşenler arasında doğrusal olmayan lş ncelemetedr anca, genellle bağımlı değşen br ço bağımsız değşenden eş zamanlı olara etlenmetedr. Bu durumda çolu regresyon analzne htyaç duyulmatadır. Parametr olmayan regresyon modellernde brden fazla değşenn yer aldığı durum eştl () de gösterldğ gbdr. Eştl () de sayıda bağımsız değşen yer almatadır. y f ( x, x,..., x ) () Parametr olmayan çolu regresyon modellernn tahmn, ço boyutluluğun yarattığı sııntı (curse of dmensonalty) nedenyle zorlaşmatadır []. Bu sorunun çözümü çn toplamsal modeller ullanılablmetedr. SEMİPARAMETRİK REGRESYON Özet: Klas (parametr) regresyon tenler, bağımlı değşenn bağımsız değşenlerle doğrusal br lş çersnde olduğunu ve lşnn şelnn blnyor olduğunu varsayar. Bu varsayımların sağlanamaması durumunda se parametre tahmnler güvenlr olmamatadır. İlşnn şelnn blnmedğ ya da blnen parametr matamatsel alıplara uymadığı durumlarda parametr olmayan regresyon tenler ullanılmatadır. Anca bu tenler brden fazla bağımsız değşen olma durumunda ço boyutluluğun yarattığı sııntı nedenyle özellle yorumlama aşamasında zorlulara neden olmatadır. Brden fazla bağımsız değşen söz onusu olduğunda, bağımsız değşenlern bazıları bağımlı değşenle doğrusal lş çersnde bulunablren, bazıları doğrusal olmayan lş çersnde bulunablrler. Bu tür lşlern modelleneblmes çn, parametr ve parametr olmayan regresyon fonsyonlarının toplamsal olara brleşmnden oluşan semparametr regresyon modellernden yararlanılmatadır. Bu çalışmada semparametr regresyon modellernn tanımı, tahmn (bacfttng algortması), güven bantları, standart hataların hesaplanması ve hpotez testler açılanmıştır. Anahtar Kelmeler: Toplamsal Modeller, Semparametr Regresyon, Bacfttng Algortması. Toplamsal modeller eştl () de gösterldğ gb fade edlmetedr. y f ( x ) f ( x ) () Eştl ( ) de gösterldğ gb toplamsal modellerde düzeltme [ f ( x ),, f ( x ) ] her br bağımsız değşen çn ayrı ayrı yapılmatadır. Bu şelde fade edlen parametr olmayan modeller toplamsallı varsayımına sahp olduğundan toplamsal modeller olara fade edlmetedrler []. Toplamsallı varsayımı araştırmacıya yorumlama aşamasında ço büyü olaylılar sağlamatadır. Toplamsal modellerde bağımlı değşen bazı açılayıcı değşenlerle doğrusal, faat dğer bazı açılayıcı değşenlerle doğrusal olmayan lş çersnde bulunablmetedr. Bu sorunun çözümü çn se semparametr regresyon modeller ullanılmatadır

2 Oca II. SEMİPARAMETRİK REGRESYON MODELLERİ Semparametr regresyon modeller standart regresyon tenlern genelleştren ve her br değşenn etsnn açı br şelde yorumlanmasını sağlayan toplamsal modellern özel br durumudur []. Bu durumda, semparametr regresyon modeller toplamsal modellere parametr bleşen elenere oluşturulan modellerdr. Semparametr regresyon modeller ço boyutluluğun yarattığı sııntı nedenyle parametr olmayan modellere terch edlmetedr. Semparametr regresyon model, y f( x)... f ( x ) x... x bçmnde fade edlr. (3) modelnde tane değşenn y bağımlı değşen üzernde doğrusal olmayan ets bulunmatadır ve modeln parametr olmayan bölümünü oluşturmatadır. Dğer değşenlern se, y bağımlı değşen üzernde doğrusal ets bulunmatadır ve modeln parametr bölümünü oluşturmatadır. Modeln parametr bölümünde ula değşenler gb esl değşenlere yer verleblmetedr. Aşağıda görülen (4 ) model ncelendğnde (3) y f ( x ) f ( x x x (4) ) x3 değşen ula değşen, x, x, x4 değşenler se sürel değşenlerdr. Böyle br semparametr regresyon modelnde br ço etleşm modele dahl edleblr. Örneğn, x ve x değşenler arasında doğrusal olmayan lş tahmn edleblr. Bu durumda, çolu parametr olmayan regresyon modellernde olduğu gb üç boyutlu br graf elde edlecetr. Araştırmanın onusuna ve çerğne bağlı olara x 3 ve x 4 değşenler arasında lşler de nceleneblr. Ayrıca modeln parametr ve parametr olmayan bölümünde değşenlern brbrleryle etleşm de analz edleblmetedr. Semparametr regresyon modelnn parametr ısmı doğrusal lşy, modeln parametr olmayan ısmı se doğrusal olmayan lşy fade etmetedr. Bu nedenle semparametr regresyon modellerne yarı doğrusal modeller adı da verlmetedr [3]. Br model urma aşamasında l olara değşenler belrlenmetedr. Değşenler belrlendten sonra se modeln fonsyonel şelnn veya matematsel yapısının belrlenmes geremetedr. Matematsel alıp oluşturen öncell olara yapılması gereen graflern ncelenmesdr. Bağımlı değşen le herbr bağımsız değşenn ayrı ayrı çzlece grafler ncelenere, bağımlı değşen le bağımsız değşenler arasında lşnn yapısı haında fr sahb olunablr. Matematsel alıp le lgl tereddütler söz onusu olduğunda, farlı şellern denenmes en uygun sonucu elde etme çn yararlı olacatır. Herbr değşenn lşsne te te baıldıtan sonra bağımsız değşenlern br veya br açı çn parametr olmayan, dğerler çn parametr lş uygun se semparametr regresyon model en uygun model olara terch edlecetr [4]. Semparametr regresyon modellernde parametr ısım, doğrusal olableceğ gb dönüşüm yöntemler (Logartm, aresel dönüştürme vs), uygulanara doğrusallaştırılablnen yapıda da olablr. Semparametr modeln parametr ısmının belrlenmesnde farlı modeller tahmn edleblr. Tahmn edlen bu modellerden artı areler toplamını mnmum yapan model semparametr modeln parametr ısmı olara tahmn edleblr. Değşenler arasında lşy en y şelde açılayaca model çeştl denemeler sonucunda da bulunablr. Özellle değşenler arasında şel tam belrlenemeyen lşler varsa farlı matematsel alıplar veya farlı değşenler çn parametr olmayan lşler apsayan modellern denenmes ve en uygun olanının seçlmes gereecetr [4]. II.. Semparametr Regresyon Modellernn Tahmn: Bacfttng Algortması Toplamsal modellern ve semparametr regresyon modellernn tahmnnde terarlı (teratve) algortmalara htyaç duyulmatadır. Bu modellern tahmn çn gelştrlen brço algortma bulunmatadır ve bu algortmalar brço değş blgsayar programında yer almatadır. Özellle, R programı brço algortmayı destelemetedr. Bu algortmalardan en ço ullanılanlar Newton- Raphson algortması, bacfttng algortmasıdır. Bacfttng algortması Haste ve Tbshran tarafından 990 yılında tanıtılmıştır. Bu algortma parametr olmayan ve parametr bleşenler tahmn edeblen en olay yöntem olara blnmetedr. Model tahmn etme aşamasında, x değşenler brbrlerne d seler modeln parametr ısmı değşenl modeller sers olara sıradan en üçü areler yöntemn ullanara tahmn edleblr. Parametr olmayan bleşenlern tahmnnde se lowess ya da splaynlar ullanılablr. Bağımsız değşenler arasında orelasyon bulunmaması durumuna genellle rastlanmamatadır. Bu durumda toplamsal modeller ya da semparametr modeller tahmn ederen bağımsız değşenler arasında lşy date alaca yöntemlere htyaç duyulmatadır. Bacfttng algortması parametr ve parametr olmayan bleşenler tahmn ederen bağımsız değşenler arasında orelasyonu date alma üzere tasarlanmıştır. 08

3 Münevver TURANLI - Seda BAĞDATLI Bacfttng algortması ısm regresyon fonsyonları frn önermetedr. Eştl (5 ) de bağımsız değşenl toplamsal br model görülmetedr. y f x ) f ( ) (5) ( x Bu modelde f nn gerçe fonsyonel formunun blndğ anca f n blnmedğ varsayılsın. Bu durumda f n tahmn çn (5 ) model ısm regresyon fonsyonu olara eştl (6) da gb yenden düzenlenmeldr. y f x ) f ( ) (6) ( x (6) eştlğnde x e arşı y f ( x ) nn düzgünleştrlmes f ( x ) n tahmnn elde etmey sağlamatadır. Bu nedenle, br ısm regresyon fonsyonunu blme dğer sm regresyon fonsyonunu tahmn etmeye olana sağlamatadır. Gerçe durumda, hçbr regresyon fonsyonunu blme mümün olmamatadır. Anca f lerden herhang br çn br başlangıç değer belrlenrse, toplamsal modellern tahmn çn sm regresyon fonsyonları terarlı yöntemler le çözümlenr. Model (7 ) tahmn edlme stensn: y f ( x )... f ( x ) (7) (7) eştlğnde S, sütunları f tahmnlernden oluşan br matrs fade etmetedr. X se, olonları x değşenlernden oluşan model matrsn fade etmetedr. Toplamsal modellern tahmn çn bacfttng algortması aşağıda adımlardan oluşmatadır [].. Adım: y ve S X (,..., m) başlangıç değerler olara seçlr.. Adım: Her x değşen çn sm artılar hesaplanır. x değşen çn tahmn edlen sm artılar eştl (8) de görüldüğü gbdr. eˆ y S (8) p 3. Adım: x değşen cvarında e p düzgünleştrlr. Bu aşama çn parametr olmayan regresyon model seçlmeldr (splaynların özelllernden dolayı brço blgsayar yazılımı bacfttng algortmasının üçüncü aşaması çn splaynları ullanmatadır). 4. Adım: S de x değşen, x nn düzgünleştrlmş tahmnler le değştrlr. 5. Adım: den ya adar olan her x değşen çn -4 adımları terarlanır. 6. Adım: Eştl (9) da görülen model de artı areler toplamı hesaplanır. RSS y S n 7. Adım: Artı areler toplamında değşm belrl br tolerans sevyesnde se model yaınsar ve algortma durur. Eğer değlse, bu şlem artı areler toplamında değşm belrl br tolerans sevyesne gelene adar devam eder. Bacfttng algortması durduğunda S nn her sütünü x değşennn parametr olmayan tahmnn çerr. Bu tahmnler x değşenler arasında lşy date alır. Dolayısıyla, üç x değşenne sahp br toplamsal model tahmn edldğnde ˆf n grafğ, x ve x3 değşenlernn ets sabt tutulduğunda x n y üzernde ets olara yorumlanablr. Bacfttng algortmasının br ço varyasyonu bulunmatadır. Bu varyasyonlardan en ço ullanılanlardan br se başlangıç değer olara sıradan en üçü areler tahmnclern ullanmatır. Sıradan en üçü areler tahmnclern başlangıç değer olara ullanan bacfttng algortması aşağıda adımlardan oluşmatadır.. Adım: Her br değşenn end ortalamasından çıartılmasıyla oluşan doğrusal regresyon model (0 ) eştlğnde görüldüğü gb oluşturulur ve tahmn edlr. (9) y y ( x x)... ( x x ) (0) (0) eştlğ ısaca ( ) eştlğnde olduğu gb gösterleblr. x () y x...,..., Modellerde parametreler terarlı bacfttng algortması çn başlangıç değer olara görev yapar.. Adım: x çn ısm artılar () eştlğnden tahmn edlr. 09

4 Oca eˆ px y x... x () Kısm artıların tahmn y le değşenler arasında doğrusal bağlılığı ortadan aldırır. Anca en üçü areler artılarında (,..., m çn ) y le x arasında doğrusal ya da doğrusal olmayan lş orunur. 3. Adım: Br sonra adımda f n tahmnn elde etme çn ısm artılar ( e ˆ px ) x e arşı düzgünleştrlr. Bu aşamada ullanılan düzgünleştrcnn ets büyü ölçüde bulunmamatadır. oluşturulur. 4. Adım: e px y f ˆx nn tahmn çn eştl (3 ) fˆ f x x... x x (3) 5. Adım: nn tahmn çn (3) eştlğnde ˆx ısm artılar x değşenne arşı düzgünleştrlr. 6. Adım: f ˆx nn yen tahmn, x3 çn hesaplanaca olan yen ısm artıların hesabında ullanılır. Her br f çn başlangıç tahmnler yapılır ve süreç terarlanır. 7. Adım: Bu terarlı süreç, tahmn edlen ısm regresyon fonsyonlarının artı areler toplamında değşmn bell br tolerans sevyesne ulaşmasına adar terarlanır. Bu süreç tamamlandığında, x değşenlernn değşen üzernde ısm etler tahmn edlmş olur. Bacfttng algortması semparametr regresyon modeller çn aynı adımları çermetedr. Öncelle, modelde her br bağımsız değşen çn ısm artılar oluşturulur. Eğer seçlen değşenn doğrusal olmayan uyumu söz onusu se bu değşen çn ısm artılar, aynı bağımsız değşene arşı düzeltleblrler. Eğer seçlen değşenn doğrusal uyumu söz onusu se düzgünleştrme yöntem yerne sıradan en üçü areler yöntem ullanılır. Bacfttng algortması, algortmada yapılablen değşllerden dolayı brço regresyon modelnn tahmnnde ullanılmatadır. y II.. Semparametr Regresyon Modellernde Çıarım: Güven Bantları ve Standart Hataların Hesaplanması Semparametr regresyon modellernde çıarım, doğrusal modellerde çıarım le parametr olmayan modellerde çıarımın brleşmnden oluşmatadır. Modelde doğrusal olmayan değşenler çn güven bantları hesaplanır. Modelde doğrusal bleşenler çn se güven aralılarını oluşturma ve hpotez testlern uygulama çn standart hatalar hesaplanır. Parametr olmayan değşen çn oluşturulaca olan güven bantları ve standart hataların hesaplanması çn varyans-ovaryans matrsnn tahmnne htyaç duyulmatadır. Semparametr regresyon modellernde varyans-ovaryans matrsnn tahmn parametr olmayan regresyon modellernde tahmn le ço benzer anca daha armaşıtır. Semparametr modellerde parametr ısımda bulunan nn las doğrusal regresyon varsayımlarını sağlaması geremetedr. Bu durumda semparametr regresyon modellernn hata termnn ( ) las doğrusal regresyonun tüm varsayımlarına sahp olması gerer [5]. Bu varsayımların gerçeleşmes tutarlı tahmnlern elde edlmesn sağlayacatır. Lteratürde, varsayımların geçerllğn nceleme çn bazı testler bulunmatadır. Anca, semparametr regresyon modellernde varsayımlar çoğunlula artı grafler yardımıyla ncelenmetedr. Semparametr regresyon modelnde S matrs düzgünleştrme matrs olara fade edlmetedr. Bu matrs doğrusal regresyon modelnde, şapa matrs olara fade edlen H matrsne benzemetedr. Semparametr regresyon modellernde f n tahmn (4) eştlğnde gb fade edlmetedr. fˆ Sy (4) S matrs elde edldten sonra, standart hatalar ˆ S S varyans-ovaryans matrsn ullanara en üçü areler yöntemnde gb tahmn edlr. Toplamsal modeller eştl (5 ) de gb fade edlmetedr []. I S S S S I S S S S S I f f f S S S y y y (5) 0

5 Münevver TURANLI - Seda BAĞDATLI Eştl (5 ) de I matrs ( n n) boyutlu brm matrs ve S,, S se her br X değşen çn düzeltme matrs olara fade edlmetedr. Teor olara (5) eştlğ QR analz gb terarlı olmayan (nonteratve) yöntemlerle çözüleblmetedr. Anca, bu denlem sstem terarlı olmayan yöntemlerle çözülme çn ço büyü olduğundan bacfttng algortmasının ullanımını zorunlu ılmatadır []. Toplamsal ve semparametr regresyon modellernde güven bantlarının oluşturulması çn varyans-ovaryans matrsnn elde edlmes geremetedr. Bu durumda, (5 ) de denlem sstem eştl (6) da gb fade edleblr. Sˆ f Qy ˆ (6) (6) eştlğ yenden düzenlendğnde (7 ) eştlğ elde edlmetedr. fˆ Sˆ Qy ˆ (7) (7) eştlğ yenden düzenlendğnde se (8 ) eştlğne ulaşılmatadır. fˆ Ry (8) (8) eştlğnde R Sˆ Q olara fade edlmetedr. Eğer gözlemler bağımsız ve aynı dağılıma sahpler se (9) eştlğ oluşturulablmetedr. V ( fˆ) RR (9) (9) eştlğnde (0) eştlğ le yer değştrr ve V ( fˆ ) değerne ulaşılır. e ˆ (0) dfres Artıların serbestl dereces ( dfres ) () le elde edlmetedr. df res se eştl n tr( R RR) () Güven bantları, RR matrsnn öşegen elemanlarının areöler le nn çarpımından elde edlr [6]. Semparametr modellerde R matrsnn öşegen elemanları tahmnlernn varyansını fade etmetedr. R matrsn tahmn etme çn terarlı yöntemlere htyaç duyulmatadır. Bacfttng algortması R matrsn tahmn etme çn ullanılablmetedr. Varyans-ovaryans matrsnn bu yolla tahmn fˆ da yanlılığı düzeltememetedr []. Bu durumda bayesgl güven bantları gb alternatf yöntemler ullanılablmetedr. Ayrıca br ço blgsayar programı ve özellle R programı, toplamsal ve semparametr regresyon modeller çn yanlılıtan arındırılmış varyans-ovaryans matrslern (bas adusted varance-covarance matrces) hesaplamatadır. II.3. Semparametr Regresyon Modellernde Hpotez Testler Semparametr regresyon modellernde hpotez testler herhang br armaşılı çermemetedr. Modelde parametr bleşenlern statstsel açıdan anlamlı olup olmadığı araştırılma stendğnde, R matrsnden tahmnlernn standart hataları hesaplanır ve blnen t testler uygulanır. t testler çn hpotezler se: H H 0 a : 0 : 0 şelnde fade edlr. Semparametr regresyon modellernde, parametr olmayan bleşen çn hpotez testler amaçla uygulanmatadır. Hpotez testnn brnc amacı, x bağımsız değşenn y bağımlı değşen üzernde etsnn statstsel olara anlamlı olup olmadığını ortaya çıartmatır. Hpotez testnn nc amacı se, ncelenen değşenn parametr olmayan bleşen olara modelde yer almasının parametr bleşen olara modelde yer almasından üstün olup olmadığını belrlemetr. Kısaca amaç, model uyumunun hang durumda en y olduğunu belrlemetr. Her hpotez testnde de ısm F test ve olablrl oran test ullanılablmetedr. Her hpotez testn nceleme çn eştl () de görülen değşenl br toplamsal model oluşturulmuştur. x y f x ) f ( ) () ( x değşennn statstsel olara anlamlı olup olmadığını test etme çn, eştl (), eştl (3) e arşı test edlmeldr. y f x ) (3) (

6 Oca f değşenn doğrusal olup olmadığını test etme çn se eştl ( ), eştl (4 ) e arşı test edlmeldr. y f ( x x (4) ) F testnn temel artı areler toplamından oluşmatadır. Herhang br toplamsal ya da semparametr regresyon modelnn artı areler toplamı eştl (5) de görüldüğü gb hesaplanmatadır. n RSS ( y yˆ) (5) RSS0 ısıtlı modeln artı areler toplamı, RSS se toplamsal veya semparametr regresyon modelnn artı areler toplamı se F test statstğ eştl (6) da gb hesaplanır. F RSS0 RSS / tr( R) (6) RSS / df res Bu test statstğ F dağılımına yaınsamatadır. Tahmn çn bacffttng algortması ullanma yerne, yenden ağırlılandırılmış en üçü areler ya da ısıtlı masmum olablrl yöntemlern ullanan blgsayar programları olablrl oran ya da sapma far (dffence of devance) testlern ullanmatadırlar[]. Toplamsal ya da semparametr regresyon modeller çn olablrl oran test eştl (7 ) yardımıyla uygulanmatadır. LR ( Logolabl rl 0 Logolabl rl ) (7) Eştl (7 ) de Logolabl rl0 değer ısıtlı modeln logartm olablrl değern, Logolablrl değer se ısıtsız model olan toplamsal ya da semparametr regresyon modelnn logartm olablrl değern fade etmetedr. Dat edlrse bu test statstğ modeln sapmaları arasında far date alınara hesaplanır. H 0 hpotez altında test stastğ yalaşı dağılımı göstermetedr. Bu dağılım çn serbestl dereces se, modeln parametre sayıları arasında far olara hesaplanmatadır. Semparametr regresyon modellernde parametr olmayan bleşenn tahmnnn otomat düzeltme tenler le yapılması durumunda test statstğnn dağılımının yalaşı dağılımı gösterdğ düşünülmetedr. Anca bu yaınlaşmanın ne adar olduğu örnelem büyülüğünden cdd derecede etlenmetedr [7]. Hpotez testlernde H 0 hpotezn güvenle reddeblme çn tahmn edlen p olasılılarının mümün olduğunca üçü olması geremetedr. Anca, tahmn edlen p olasılığı hpotezn zorlula H 0 reddedeblece sevyede se bu durumda otomat düzeltme tenler yerne dğer düzeltme tenlernn (manual smoothng) ullanılması daha esn sonuçlara ulaşılmasına olana sağlayacatır. Yenden örneleme tenlernden olan bootstrap yöntem de (parametr dağılım varsayımı geretrmeyen bootstrap yöntem) bu tür br problemn çözümüne olana sağlamatadır []. III. SONUÇ Regresyon modelnde brden fazla bağımsız değşen söz onusu olduğunda, bağımsız değşenlern bazıları bağımlı değşenle doğrusal lş çersnde bulunuren, bazıları doğrusal olmayan lş çersnde bulunablr. Bu tür lşlern modelleneblmes çn, parametr ve parametr olmayan regresyon fonsyonlarının toplamsal olara brleşmnden oluşan semparametr regresyon modellernden yararlanılmatadır. Bu çalışmada semparametr regresyon modellernn bacfttng algortması le tahmn güven bantları, standart hataların hesaplanması ve hpotez testler teor olara anlatılmıştır. YARARLANILAN KAYNAKLAR [] Haste, T. & Tbshran, RJ. (999). Generalzed Addtve Models. London: Chapman & Hall. [] Aydın, D. (005). Semparametr Regresyon Modellemede Splayn Düzeltme Yalaşımı İle Tahmn ve Çıarsamalar. Yayınlanmamış Dotora Tez, Anadolu Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Esşehr. [3] Lee, K.C. (990). Avodng Msspecfcatons and Improvng Effcency n Hedonc and, Consumpton Models: Applcatons of Semparametrc Method. PhD. Thess London School of Economcs and Poltcal Scences, London. [4] Çağlayan, E. (00). Yarı Parametr Regresyon Modeller le Yaşam Boyu Sürel Gelr Hpoteznn Türye Uygulaması. Yayınlanmamış Dotora Tez, Marmara Ünverstes, Sosyal Blmler Ensttüsü, İstanbul. [5] Fox, J. (000). Multple and Generalzed Nonparametrc Regresson. Thousand Oas: A Sage Unversty Paper. [6] Keele, L. (008). Semparametrc Regresson For The Socal Scences. Chchester: John Wley & Sons. [7] Hardle, W.; Müller, M.; Sperlch, S. & Werwatz, A. (004). Nonparametrc and Semparametr Models. Berln: Sprnger.

7 Münevver TURANLI - Seda BAĞDATLI Münevver TURANLI (mturanl@tcu.edu.tr) Seda BAĞDATLI (sbagdatl@tcu.edu.tr) She has graduated from IITBA n 970. Has completed her graduate and PhD. studes n 97 and 975 respectvely n the same department. Mrs. Turanlı has been a Professor snce 987. She has wored as a charwomen n Marmara Unversty Statstcs Branch between and n Marmara Unversty IITB Econometrcs Branch between Mrs Turanlı who has wored as the Dean of Scence and Lterature Faculty of İstanbul Commerce Unversty between , contnues her academc career as The Dean of Commercal Scences Faculty. Mrs. Turanlı who has many publcatons, has been marred and has two chldren. She has entered Scence and Lterature Department of İstanbul Commerce Unversty n 004 after graduatng from İste Acıbadem Hgh Scholl. She has graduated from ths department n 008 and has started her graduate studes n the Statstcs Department of İstanbul Commerce Unversty and has fınıshed 00. She has started PhD. n Marmara Unversty Department of Statstcs. She has been worng as a research assstant n İstanbul Commerce Unversty Faculty of scence and Lterature Statstcs Department. 3