POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması"

Transkript

1 POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz. Örneğin; x f(x) = x 4 fonksiyonunun tanım kümesi R-{4} tür. Örnekteki gibi; Fonksiyonların hepsi tüm gerçek sayılar için tanımlı değildir. x değişkenlerinin kuvveti doğal sayı olan fonksiyonlara polinom denir. Polinomlar, x değişkeninin kuvveti doğal sayı olduğundan tüm gerçek sayılar için tanımlı özel bir fonksiyondur ve, a 0, a, a,..., a n R ve n N olmak üzere, P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 biçiminde gösterilir. a n, a n,..., a,a 0 gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir. a n x n, a n x n,..., a x, a 0 ifadeleri ise polinomun terimleridir. Polinomlar genellikle P(x), Q(x), R(x) gibi ifadelerle adlandırılır. Konu Kavrama Çalışması Fonksiyon Katsayýlarý Terimleri x deðiþkeninin kuvvetleri Polinom olup olmadýðý P(x)=x +x+,, x, x, x 0,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. Q(x)=x x +4,, 4 x, x, 4,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. R(x)=x +5x, 5, x, 5x,,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. K(x)= x +x+,, x, x,,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. T(x)= x 4 +x, x 4, x 4, 4ÎN, ÎN polinomdur. S(x)=5x + x 5, 5x, x, ÎN, ÏN polinom deðil. U(x)=x x +,, x, x,,, 0 ÎN, ÏN, 0ÎN polinom deðil. V(x)=x x + x Z(x)= x +7 M(x)= x + N(x)=,,, 7, x, x, x x, 7 x,,,, 0, 0 0 ÎN, ÎN, ÏN polinom deðil. ÏN, 0ÎN polinom deðil. ÎN, 0ÎN ancak ÏR olduðundan polinom deðil. 0ÎN polinomdur. B(x)= ÎN polinomdur. P(x)= x x Q(x)= x +x +x,,, x, x x x,, x,,, ÎN, ÎN polinomdur. ÎN, ÎN, ÎN polinomdur. 4

2 soru soru 5 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? A) P(x)=x+ B) P(x)= C) P(x)= 4 D) P(x)=x 4 E) P(x)= x A) P(x) = x B) P(x) = x + x x x C) P(x) = x + x D) P(x) = + E) P(x) = x + x + x + 4 soru soru 6 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? A) P(x)=ñx B) P(x)=òx+ C) P(x)=ñx+ñ D) P(x)=ñ ñ E) P(x)= 7 5 A) Q(x) = x x + B) Q(x) = x + x x C) Q(x) = x + x D) Q(x) = + x + E) Q(x) = x + x soru soru 7 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? x x A) Q(x) = x B) Q(x) = x C) Q(x) = x + + D) Q(x) = x + x x E) Q(x) = x + soru 4 soru 8 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? A) R(x) = x + x + B) R(x) = (x + x + ) x + x + C) R(x) = x + x + D) R(x) = x + x + E) R(x) = 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? x + x + x A) R(x) = B) R(x) = C) R(x) = x x D) R(x) = (x + ) E) R(x) = x + x Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? A) K(x) = x + x + B) K(x) = + + x x x E B C 4 A 5 D 6 A 7 B 8 C 4 x x C) K(x) = + D) K(x) = x + x x E) K(x) = x +

3 P(x)=5x n +x +7 ifadesi polinom olduğuna göre, n doğal sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır, bulunuz. ( n) N olmalıdır. Bundan dolayı, n 0 ve n olduğundan n sayısı,, ve 0 değerlerini alabilir. En büyük değeri tür. Cevap: P(x)=x 4 n +x n + ifadesi polinom olduğuna göre, n doğal sayısının alabileceği değerleri bulunuz. x 4 n ifadesinde 4 n 0 ve n doğal sayı olmalı x n ifadesinde n 0 ve n doğal sayı olmalı 4 n ve n olduğuna göre, n 4 ve,,, 4 değerleri n nin alabileceği değerlerdir. Cevap: {,,,4} 5 n P(x) = x + x 5 5 n x ifadesinde 5 n doğal sayı olmalıdır. ifadesi polinom olduğuna göre, n doğal sayısının alabileceği değerleri bulunuz. n, 5 i bölen,, 5, 5 değerlerini alabilir. Cevap: {,,5,5} 5 P( x) = (a )x + x + (b ) x + 4 ifadesi polinom olduğuna göre, a+b toplamını bulunuz. 5 x ifadesinde 5 N ve x = x ifadesinde N olduğuna göre, bu ifadelerin poli- nomda yer almaması gerekir. Bu nedenle a =0 ve b =0 olmalıdır. O halde a= ve b= a+b=+=4 olur. Cevap: 4 6

4 soru soru 5 P(x)=x 4 n +x ifadesi polinom olduğuna göre, n sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6 n P(x) = x + x + ifadesi polinom olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) soru soru 6 P(x)=x 4 +x n +x+4 ifadesi polinom olduğuna göre, n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 7 P(x)=x 0 n +x n + ifadesi polinom olduğuna göre, n nin alabileceği değerler kaç tanedir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 soru 4 soru 8 P(x)=x 7 n +5x n+ ifadesi polinom olduğuna göre, n nin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) 7, B) 7,0 C) 7, D) 6,0 E) 6, 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI D B E 4 A 5 B 6 E 7 C 8 C 0 n 8 n P(x) = x + x ifadesi polinom olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 0 B) 6 C) 0 D) 6 E) 5 5 P(x) = (a ) x + x + (b + )x ifadesi polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) 5 B) C) D) E) P(x) = x + (a )x + (a )x + (b 4)x ifadesi polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5 P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 şeklindeki polinomlarda en büyük dereceli x değişkeninin derecesi polinomun derecesi, en büyük dereceli x değişkeninin katsayısı başkatsayı ve a 0 polinomun sabit terimidir. Sabit terim P(x) polinomunda x=0 yazılarakta bulunabilir. P(x) polinomunun derecesi der[p(x)] ile gösterilir. a n,a n,...a,a 0 katsayılarının toplamına polinomun katsayılar toplamı denir ve P(x) polinomunda x= yazılarak katsayılar toplamı bulunabilir. Polinom Derecesi der[p(x)] Baþkatsayýsý Katsayýlar toplamý Sabit terim P(x)=x +x+ ++=4 P(x)=x x + +=4 P(x)=x 5 = P(x)=x+4x =8 P(x)= P(x)=0 Belirsiz P(x)=x +x +7x polinomunun derecesini, başkatsayısını, katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz. P(x)=x +x +7x polinomunun terimleri, x, x, 7x, tür. Derecesi en büyük x değişkeni x olduğundan P(x) polinomunun derecesi tür ve der[p(x)]= biçiminde gösterilir. En büyük dereceli x değişkeni olan x ün katsayısı olduğundan başkatsayısı dir. Katsayılar toplamı x= için, P()=.() =++7 =7 dir. Sabit terim, P(x)=x +x +7x ten tür. veya x=0 için P(0)= = olarakta hesaplanabilir. P(x)=x 4x+ polinomunda sabit terim x, derece y, başkatsayısı z olduğuna göre, x+y+z toplamını bulunuz. P(x)= x 4x+ Derece: y= Baþkatsayýsý: z= Sabit terim: x= x+y+z=++=8 Cevap: 8 P(x) = x x + x + 4 polinomunda sabit terim, başkatsayısının kaç katıdır, bulunuz. P(x)= x x +x+ 4 Baþkatsayýsý: Sabit terim: 4 4 = 4 = 8 Cevap: 8 8

6 soru soru 5 P(x)=x 5x+8 polinomu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? P(x)=4x 6 +x 6x+5 polinomunun derecesi kaçtır? Derecesi Başkatsayısı Sabit terimi A) 8 B) 8 C) 8 D) 8 E) 8 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 P(x)=x 5x+4 polinomunun en büyük katsayısı kaçtır? P(x)=x 7 +4x +5x+ polinomunun derecesi başkatsayısından kaç fazladır? A) 0 B) C) 4 D) 5 E) soru soru 7 P(x)=x 4 +5x 7 polinomunun başkatsayısı ile sabit teriminin toplamı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 4 D) 4 E) soru 4 soru 8 P(x)=x x+4 polinomunun sabit terimi, başkatsayısının kaç katıdır? 5 A) B) C) D) E)4 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 4 B) C) D) E) 0 P(x)=x 5 +4x 5x+ polinomunun sabit terimi a, derecesi b, başkatsayısı c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a>b>c B) b>a>c C) b>c>a D) c>b>a E) c>a>b x + 4x 5 P(x) = 7 polinomunun derecesi, başkatsayısının kaç katıdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A C D 4 B 5 D 6 A 7 B 8 E

7 P(x)=x n+ +x 5 n +7 polinomunun derecesi en çok kaç olabilir, bulunuz. (n N) 5 n 0 ise 5 n n 5 n + 0 ise n n= için P(x)=x + +x 5 ( ) +7 =x 0 +x 6 +7 =x =x 6 +9 der[p(x)]=6 Cevap: 6 6 n n P(x) = x + x + polinomunun derecesini bulunuz. (n N) 6 n doğal sayı olabilmesi için n in alabileceği değerler,,, 6 n doğal sayı olabilmesi yukarıdaki,, ve 6 değerlerinden ve 6 değerini alabilir. 6 n= için P(x) = x + x + =x +x+ ve der[p(x)]= 6 6 n=6 için P(x) = x6 + x + =x+x + ve der[p(x)]= Cevap: n n P(x) = 5x + 4x 7 polinomunun derecesi en çok kaç olabilir, bulunuz. (n N) doğal sayı olabilmesi için n in alabileceği değerler,,, n 6 ve n ün doğal sayı olabilmesi için yukarıdaki,,, 6, değerlerinden, 6, değerlerini alabilir. n= için P(x) = 5x + 4x 7 =5x 4 +4x 7 ve der[p(x)]=4 6 n=6 için P(x) = 5x 6 + 4x 7 =5x +4x 7 =9x 7 ve der[p(x)]= n= için P(x) = 5x + 4x 7 =5x+4x 4 7 ve der[p(x)]=4 Cevap: 4 0

8 soru soru 5 P(x)=x 6 n +x n +x polinomunun derecesi en çok kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5 n n 5 P(x) = x + x x polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 Q(x)=7x 7 n +x n +6 polinomunun derecesi en çok kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 8 n x P(x) = x n 6 polinomunun derecesi kaçtır? A) B) 4 C) 5 D)6 E) 8 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI n n+ R(x) = x + 4x + polinomunun derecesi en az kaçtır? 6 n n 4 Q(x) = x + 5x 6 polinomunun derecesi en çok kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 4 soru 8 n n 4 P(x) = x + x + polinomunun derecesi en çok kaçtır? 0 n n 4 R(x) = x + x polinomunun derecesi kaçtır? A) 8 B) 7 C) 5 D) 5 E) 4 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 D E B 4 A 5 C 6 A 7 E 8 D

9 Polinomlar birer fonksiyon olduğundan, fonksiyonlardaki işlemler polinomlar içinde geçerlidir. P(x)=x +x olduğuna göre, P(), P() ve P(0) değerlerini bulunuz. P(x)=x +x ve x= için P()= + =+ = x= için P()= + =4+ =5 x=0 için P(0)=0 +0 = Cevap: P()=, P()=5 ve P(0)= P(x)=ax +x 7 P()= olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. P(x)=ax +x 7 ve x= için P()=a. +. 7= 4a+6 7= 4a = 4a= ve a= Cevap: P(x )=x x+ olduğuna göre, P(0)+P() toplamı kaçtır, bulunuz. P(x )=x x+ ifadesinde P(0) bulmak için x =0 ve x= yazılmalıdır. x= için P( )= += += P(x )=x x+ ifadesinde P() bulmak için x = ve x= yazılmalıdır. x= için P( )= +=8 + P()=8 P(0)+P()=+8=0 Cevap: 0 P(x )=x +ax+ P()=9 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. P(x ) ifadesinde P() ü bulmak için, x = x=4 x= yazılmalıdır. x= için P(. )= +a.+=9 P()=4+a+=9 a=4 ve a= Cevap:

10 soru soru 5 P(x)=x x+ olduğuna göre, P() kaçtır? P(x+)=x olduğuna göre, P() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 0 C) D) E) soru soru 6 P(x)=5x x 6 olduğuna göre, P( ) kaçtır? P(6 x)=x x+5 olduğuna göre, P() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 7 P(x)=x kx+5 P()= olduğuna göre, k kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(5x)=ax P(0)= olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 4 soru 8 Q(x)=mx +x Q()=5 olduğuna göre, m kaçtır? P(x )=x +x+k P(7)= olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) D) 4 E) 5 C B E 4 B 5 D 6 E 7 A 8 B

11 P(x)=x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunu bulunuz. P(x)=x+ polinomunda x yerine x+ yazıldığında, P(x+)=(x+)+ =x+6+ =x+8 Cevap: x+8 P(x)=x +x+ olduğuna göre, P(x ) polinomunu bulunuz. P(x)=x +x+ polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) +(x )+ =x x++x + =x + Cevap: x + P(x )=5x+ olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x )=5x+ polinomunda x yerine (x ) nin tersi olan x+ yazıldığında, P(x )=5x+ x+ x+ P(x+ )=5(x+)+ P(x)=5x+0+ =5x+ Cevap: 5x+ P(x+)=x x+ olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x+)=x x+ polinomunda x yerine (x+) ün tersi olan x yazıldığında, P(x+)=x x+ x x x P(x +)=(x ) (x )+ P(x)=x 6x+9 x+9+ =x 9x+9 Cevap: x 9x+9 4

12 soru soru 5 P(x)=x 6 olduğuna göre, P(x+) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +x olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x 4 D) x 5 E) x 6 A) 8x +x B) 8x +4x C) x +4x D) x +x E) 8x soru soru 6 P(x)=x 5 olduğuna göre, P(x+) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8 B) x 6 C) x 5 D) x 4 E) x P(x+)=x 4 olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8 B) x 7 C)x 6 D) x 5 E) x soru soru 7 P(x)=x +4 olduğuna göre, P(x ) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x )=x +x+ olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x x+5 B) x x+ C) x x+ D) x + E) x + A) x +7x+ B) x +7x+ C) x x+ D) x x+ E) x + soru 4 soru 8 P(x)=x +x+5 olduğuna göre, P(x ) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x +4x+8 B) x +x+6 C) x +x+4 D) x +4 E) x +6 P(x+)=x x+5 olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x 6x+ B) x x+0 C) x 8x+0 D) x +0 E) x 4x+ C E A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 5

13 P(x)=x +x+ olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x +x+ polinomunun der[p(x)]= dir. P(x) polinomunda x yerine (x ) yazıldığında, P(x )=(x ) +(x )+ =x x++x + P(x )=x +x ve der[p(x )]= Cevap: P(x)=x +x olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x +x olduğuna göre der[p(x)]= dir. P(x) polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) +x ve P(x )=x 4 +x ise der[p(x )]=4 tür. Cevap: 4 P(x)=x + olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x + olduğuna göre der[p(x)]= dir. P(x) polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) + ve P(x )=x 6 + ise der[p(x )]=6 dır. Cevap: 6 P(x)=x +7 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x +7 olduğuna göre der[p(x)]= tür. P(x) polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) +7 ve P(x )=x 9 +7 ise der[p(x )]=9 dur. Cevap: 9 6

14 soru soru 5 P(x)=x +x+6 olduğuna göre, P(x+) polinomunun derecesi kaçtır? P(x)=5x +4 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 P(x)=x 7x +x olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? P(x)=x +x+0 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x olduğuna göre, P(x 4 ) polinomunun derecesi kaçtır? der[p(x)]=4 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 soru 4 soru 8 P(x)=x x olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? der[p(x)]=5 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 5 B C D 4 B 5 E 6 C 7 A 8 E 7

15 P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 polinomunda a 0 hariç diğer katsayılar sıfır ise P(x) polinomuna sabit polinom denir. Örneğin; P(x)=, Q(x)=, R(x)=000 gibi. 7 P(x)= 5 olduğuna göre, P() ve P kaçtır, bulunuz. 7 P(x)= olduğundan, 5 P()= ve P = tür. 7 Cevap: 5 P() = ve P = 7 P(x) sabit polinom ve P()=5 olduğuna göre, P()+P(000) kaçtır, bulunuz. P(x) sabit polinom ve P()=5 olduğundan, P()=5 ve P(000)=5 tir. P()+P(000)=5+5=0 Cevap: 0 P(x)=(a )x +(b )x+a+b polinomu sabit polinom olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır, bulunuz. P(x) sabit polinom olduğuna göre, x li terimler olmamalıdır. Bunun için x değişkenlerinin katsayılarını sıfıra eşitleriz. P(x) = (a )x + (b )x + a + b 0 0 a = 0 ise a = a b= = b = 0 ise b = Cevap: P(x)=ax +x 4x+bx+ polinomu sabit polinom olduğuna göre, b a farkı kaçtır, bulunuz. P(x) = ax + x 4x + bx + polinomu, P(x) = (a + )x + ( 4 + b)x + biçiminde düzenlenirse, a + = 0 ise a = b a = 4 ( ) = b = 0 ise b = 4 Cevap: 7 8

16 soru soru 5 P(x)=6 olduğuna göre, P(6) kaçtır? P(x)=(a )x+a+ polinomu sabit polinom olduğuna göre, P() kaçtır? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 6 A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 P(x)= 4 olduğuna göre, P() kaçtır? P(x)=(a 6)x +(b+)x+a b polinomu sabit polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x) sabit polinom ve P( 5)= olduğuna göre, P(0)+P(6) toplamı kaçtır? P(x)=ax+4x+a+ polinomu sabit polinom olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 6 B) 4 C) D) E) 4 soru 4 soru 8 P(x) sabit polinom ve P(47)= olduğuna göre, P()+P()+...+P(40) toplamı kaçtır? P(x)=ax +x +bx 4x +a+b polinomu sabit polinom olduğuna göre, P()+P()+P(5)+... P(9)+P() toplamı kaçtır? A) 60 B) 80 C) 40 D) 80 E) 60 A) B) 6 C) D) 6 E) A E C 4 D 5 E 6 A 7 B 8 C 9

17 P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 polinomunda a n, a n,...a,a 0 katsayılarının tümü sıfır ise P(x) sıfır polinomudur ve P(x)=0 biçiminde gösterilir. P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, P()+P(5) toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) sıfır polinomu ise P(x)=0 ve P()=0, P(5)=0 dır. P()+P(5)=0+0=0 Cevap: 0 P(x)=(a )x+a+b ve P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır, bulunuz. P(x) = (a )x + a + b sıfır polinomu ise 0 a =0 ve a= a+b=0 +b=0 b= a.b=.( )= 4 0 Cevap: 4 P(x)=(a )x +(b )x+(c ) polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a+b+c toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) = (a )x + (b )x + (c ) a =0 ve a= b =0 ve b= c =0 ve c= a+b+c=++=6 Cevap: 6 P(x)=x a +b polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır, bulunuz. x a ifadesinde a =0 ve a= a P(x) = x + b = x + b b+=0 ve b= a+b=+( )= 0 Cevap: 0

18 soru soru 5 P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, P(4) P() farkı kaçtır? P(x)=(a )x+(b ) polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, P().P()...P(00) çarpımı kaçtır? P(x)=(a+)x+b a sıfır polinomu olduğuna göre, a.b toplamı kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 0 A) B) 9 C) 0 D) 6 E) 9 soru soru 7 P(x)=a 8 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=(a )x +(b )x+c+5 sıfır polinomu olduğuna göre, a kaçtır? polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 A) 6 B) 5 C) 4 D) E) soru 4 soru 8 P(x)=(m 9)x sıfır polinomu olduğuna göre, m nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 9 B) C) 0 D) 6 E) 9 P(x)=x a 4 +b polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 C E B 4 A 5 D 6 E 7 B 8 C

19 Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkartılır. Konu Kavrama Çalışması P(x) ve Q(x) P(x)+Q(x) P(x) Q(x) P(x)=x+ Q(x)=x+4 + x+ x+4 5x+5 x++x+4 =(+)x++4 =5x+5 x+ x+4 x x+ (x+4) =x+ x 4 =( )x+ 4 =x P(x)=x +x+ Q(x)=x+5 x +x+ + x+5 x +5x+6 x +x++x+5 =x +(+)x++5 =x +5x+6 x +x+ x+5 x +x 4 x +x+ (x+5) =x +x+ x 5 =x +( )x+ 5 =x +x 4 P(x)=x x+5 Q(x)=x +x+ + x x+5 x +x+ x x+5+x +x+ =(+)x +( +)x+5+ x x+5 x +x+ 4x +x+6 =4x +x+6 x 4x+4 P(x)=4x +6 4x x +6+x +x+ 4x + +6 Q(x)=x +x+ + x +x+ =(4+)x +x+6+ x +x+ 6x +x+7 =6x +x+7 x x+5 P(x)=x+4 Q(x)=x x x+4 + x x x+4+x x =x +( )x+4 x+4 x x x + =x +0x+ x +x+7 =x + P(x)=5 5 5+x 6 5 Q(x)=x 6 + x 6 x =x +5 6 =x x 6 x + x x+5 (x +x+) =x x+5 x x =( )x +( )x+5 =x 4x+4 4x +6 (x +x+) =4x +6 x x =(4 )x x+6 =x x+5 x+4 (x x ) =x+4 x +x+ = x +(+)x+7 = x +x+7 5 (x 6) =5 x +6 = x +5+6 = x + P(x)=x +x +x+6 x +x +x+6 Q(x)=x +x x+4 + x +x x+4 4x +5x x+0 x +x +x+6+x +x x+4 =(+)x +(+)x +( )x+6+4 =4x +5x x+0 x +x +x+6 x +x x+4 x +x +x+ x +x +x+6 (x +x x+4) =x +x +x+6 x x +x 4 =( )x +( )x +(+)x+6 4 =x +x +x+ P(x)=x x+ x + x+ x x++x + x + x+ Q(x)=x + + x + + =x +x x++ x + + x +x x+4 =x +x x+4 x x x P(x)=x + x + x ++x +x + x + Q(x)=x +x + + x +x + =x +(+)x ++ x +x + x +x + =x +x + x P(x)= + x Q(x)= x + x + = x x + x + x x x+ (x +) =x x+ x =x x x+ =x x x x + (x +x +) =x + x x = x +x x + = x ( x ) = +x =x P(x)=x+ x+ x++x x Q(x)=x x + x x =x +x x+ x x =x x x+ x x x +x+6 x+ (x x ) =x+ x +x+ = x +x+6

20 soru soru 5 P(x)=x+6 Q(x)=x+ olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? P(x)= x +4x Q(x)= x x 7 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x+7 B) 5x+5 C) 5x+4 D) 5x+ E) 5x+ A) x +x 6 B) x +x 8 C) x x 8 D) x x 7 E) x +x 9 soru soru 6 P(x)=6x Q(x)=x 4 olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x 5x+ Q(x)=x +x olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x B) 4x+ C) 4x+ D) 4x+ E) 4x+4 A) x +6x 4 B) x 6x+4 C) x 4x+4 D) x 4x E) x 6x 4 soru soru 7 P(x)=x +x+7 Q(x)=5x 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +4x+ Q(x)=x +x +5 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) x +8x+4 B) x +8x C) x +8x 7 D) x 8x E) x 8x+4 A) x +x +4x+8 B) x +4x +8 C) x +x +5 D) x +x +4x E) x +x +4x+8 soru 4 soru 8 P(x)=x +x+6 Q(x)=x x olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +4x 5x+ Q(x)=x +x 4 olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? A) x+4 B) x+5 C) x+7 D) x +x+5 E) x +x+7 A) x 4x +8x+5 B) x 4x 8x+5 C) x +4x 8x 5 D) x +4x 8x+5 E) x +4x +8x+5 A D B 4 C 5 B 6 B 7 E 8 D

21 Bir polinomu bir reel sayı ile çarptığımızda, polinomun tüm terimleri bu reel sayı ile çarpılır. c R ve P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 olmak üzere, c.p(x)=c.a n x n +c.a n x n +...+c.a x+c.a 0 dır. P(x)=x 5x+ olduğuna göre, 4.P(x) çarpımını bulunuz. 4.P(x)=4.x 4.5x+4. =x 0x+8 Cevap: x 0x+8 P(x)= x +7x 6 olduğuna göre,.p(x) çarpımını bulunuz..p(x)=( ). x +( ).7x ( ).6 =x x+8 Cevap: x x+8 P(x)=x + Q(x)=x x olduğuna göre,.p(x) 4.Q(x) ifadesinin eşitini bulunuz..p(x) 4.Q(x)=(x +) 4.(x x ) =x +9 4x +x+4 =( 4)x +x+9+4 = x +x+ Cevap: x +x+ P(x)=x +x Q(x)=x +x+ olduğuna göre,.p(x)+.q(x) ifadesinin eşitini bulunuz. P(x)=x +x ise P(x)=(x) +(x) x x x P(x)=4x +6x.P(x)+.Q(x)=(4x +6x )+.(x +x+) =x +8x +x +x+ =(+)x +(8+)x + =4x +0x Cevap: 4x +0x 4

22 soru soru 5 P(x)=x 5x 4 olduğuna göre, 4.P(x) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4x 0x+6 B) 4x 0x 6 C) 4x +0x 6 D) 4x 0x 6 E) 4x 0x+6 P(x)=x +x Q(x)=x x+ olduğuna göre, P(x)+Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x 7x 4 B) 7x 7x+4 C) 7x +7x 4 D) 7x +7x+4 E) 7x x+4 soru soru 6 P(x)=x 6x+0 olduğuna göre,.p(x) eşittir? ifadesi aşağıdakilerden hangisine P(x)=x 4x+ Q(x)=x +x+ olduğuna göre, 4P(x) Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 6x+0 B) x 6x+5 C) x x+5 D) x +x 5 E) x x 5 soru soru 7 P(x)=x +5x olduğuna göre, P(x) ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 9x 5x+ B) 9x +5x C) 9x +5x+ D) 9x +5x+ E) 9x +5x+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) x 8x B) x +8x C) 6x x+ D) 6x +x E) x 8x+ P(x)=x +x+ Q(x)=x olduğuna göre, P(x)+Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x +0x+0 B) x +0x 0 C) x +0x+ D) x +0x E) x +0x soru 4 soru 8 P(x) = x + x x + olduğuna göre, 8P(x) ifadesinin başkatsayısı ile sabit terim toplamı kaçtır? P(x)=x 5x+ Q(x)=x +x olduğuna göre, P(x) 4Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) A) x+ B) x+4 C) x 4 D) x+6 E) x 6 B C A 4 E 5 C 6 A 7 C 8 D 5

23 P(x) polinomunun derecesi m, Q(x) polinomunun derecesi n olsun, der[p(x)]=m ve der[q(x)]=n Polinomların derecelerinin eşit olmaması durumunda, bu iki polinomun toplamının veya farkının derecesi polinomlardan derecesi büyük olanınkine eşittir. m>n ise der[p(x)±q(x)]=m Polinomların derecelerinin eşit olması durumunda, bu iki polinomun toplamının veya farkının derecesi polinomların derecesine eşit veya daha küçüktür. m=n ise der[p(x)±q(x)] m dir. P(x)=x +x +x+ Q(x)=x +7x olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)+Q(x)=x +x +x++x +7x =x +6x +8x der[p(x)+q(x)]= veya der[p(x)]=>der[q(x)]= olduğundan der[p(x)+q(x)]= tür. Cevap: P(x)=x +x Q(x)=x x+ olduğuna göre, P(x) Q(x) farkının derecesi kaçtır, bulunuz. P(x) Q(x)=x +x (x x+) =x +x x +x =x +x der[p(x) Q(x)]= Cevap: P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[p(x)]=4 ve der[q(x)]= olduğuna göre, der[p(x)+q(x)] kaçtır, bulunuz. der[p(x)]=4>der[q(x)]= olduğundan der[p(x)+q(x)]=4 Cevap: 4 P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[p(x)]=5, der[q(x)]=k ve der[p(x) Q(x)]=6 olduğuna göre, der[q(x)] kaçtır, bulunuz. m>n ise der[p(x)±q(x)]=m olduğundan, der[ P(x) Q(x)] = 6 ve der[q(x)] = 6 der[p(x)] = 5 Cevap: 6 6

24 soru soru 5 P(x)=x +x+ Q(x)=5x +x olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? P(x)=x 5 x+7 Q(x)=x 5 +x +x olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 P(x)=x + Q(x)=x +x 7 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? der[p(x)]= der[q(x)]= olmak üzere, der[p(x)+q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 6 B) 5 C) 4 D) E) soru soru 7 P(x)=x 4 +x +6 Q(x)=x +6 olduğuna göre, P(x) Q(x) farkının derecesi kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI der[p(x)]=5 der[q(x)]=6 olduğuna göre, der[q(x) P(x)] kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) soru 4 soru 8 P(x)=x 7x+ Q(x)= x +5x+4 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 der[p(x)]=m der[q(x)]=4 der[p(x) Q(x)]=7 olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 B B D 4 A 5 E 6 D 7 B 8 D 7

25 x.x+x.x =x +x =x Cevap: x.x+x.x =x 4 +x 4 =5x 4 Cevap: 5 Polinomlar Polinomlarda çarpma işleminde, çarpılan polinom terimlerinin herbiri birbirleriyle çarpılıp sonuçlar toplanır. Konu Kavrama Çalışması (x+).(x+) (x+).(x+) 6x +4x+x+ 6x +7x+ (x ).(x+7) (x ).(x+7) x +7x x 7 x +5x 7 (4x+).(x ) (4x+).(x ) x 8x+9x 6 x +x 6 (x+).(x +x+) (x+).(x +x+) x +x +x+x +x+ x +5x +5x+ (x+4).(x +x ) (x+4).(x +x ) x +9x x+4x +x 4 x +x +9x 4 (x +4).(x+5) (x +4).(x+5) x +5x +4x+0 x +5x +4x+0 (x +x+).(x +x) (x +x+).(x +x) x 4 +x +x +x +x +x x 4 +x +x +x P(x)=x +x+5 Q(x)=x olduğuna göre, P(x).Q(x)+P(x) polinomunun eşitini bulunuz. P(x).Q(x)=(x +x+5).(x ) =6x 5 4x +9x 6x+5x 0 =6x 5 +5x +5x 6x 0 5 P(x).Q(x) + P(x) = 6x + 5x + 5x 6x 0 + x + x + 5 P(x).Q(x) P( x) =6x 5 +7x +5x x 5 Cevap: 6x 5 +7x +5x x 5 (x +x+).(x +x ) çarpımının sonucunda x lü terimin katsayısı kaçtır, bulunuz. x lü terimin katsayısını bulmak için çarpma işleminin tamamını yapmaya gerek yoktur. Sadece çarpımları x yapan terimleri çarpmak yeterlidir. (x +x+).(x +x ) (x +x 4x+5).(x +x ) çarpımının sonucunda x 4 lü terimin katsayısı kaçtır, bulunuz. Sadece çarpımları x 4 yapan terimleri çarpalım. (x +x 4x+5).(x +x ) 8

26 soru soru 5 (x 5).(4x+) çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x 5 B) 8x 8x+5 C) 8x 8x 5 D) 4x 8x 5 E) 4x 8x+5 P(x)=x + Q(x)=x x olduğuna göre, P(x).Q(x) Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 +x +6 B) x 4 x +x +6 C) x 4 x x 6 D) x 4 x x +6x E) x 4 x +x x 6 soru soru 6 (x )(x+)+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 9x B) 9x C) 9x 6x P(x)=x+ Q(x)=x 4x+ olduğuna göre, P(x) P(x).Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? D) 9x 6x E) 9x 6x+ soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) x +0x +x 4 B) x +0x +x+4 C) x 0x +x 4 D) x +0x x 4 E) x +0x x+4 (x 5x+)(x ) çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x x +x C) x x D) x x x E) x x +x (x +x x)(4x 5x+) çarpımı yapıldığında oluşan polinomdaki x 4 lü terimin katsayısı kaç olur? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) soru 4 soru 8 (x )(x +x+)+6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 +6x +4x 9x B) x 4 +6x x 9x C) x 4 +6x +x D) x 4 +6x +x 9x (x 4 +x 4x 5x 7)(x +x +5x ) çarpımı yapıldığında oluşan polinomdaki x 5 lü terimin katsayısı kaç olur? A) B) C) D) 4 E) 5 E) x 4 +6x x 9x C A B 4 D 5 E 6 A 7 C 8 C 9

27 P(x) polinomunun derecesi m, Q(x) polinomunun derecesi n olsun, der[p(x)]=m ve der[q(x)]=n P(x) ve Q(x) polinomlarının çarpımının derecesi, polinomların dereceleri toplamına eşittir. der[p(x).q(x)]=der[p(x)]+der[q(x)]=m+n P(x)=x +7 Q(x)=x +x+ olduğuna göre, P(x).Q(x) çarpımının derecesi kaçtır, bulunuz. P(x).Q(x)=(x +7).(x +x+) =x 5 +x 4 +x +7x +x+7 der[p(x).q(x)]=5 veya der[p(x)]= ve der[q(x)]= der[p(x).q(x)]=+=5 Cevap: 5 P(x)=x +6 Q(x)=x olduğuna göre, der[.p(x).q(x)] kaçtır, bulunuz. P(x).Q(x)=(x +6).(x ) =x 4 x +6x 6=x 4 +4x 6.P(x).Q(x)=6x 4 +x 8 der[.p(x).q(x)]=4 Cevap: 4 der[p(x).q(x)]=7 der[q(x)]=4 olduğuna göre, der[p(x)] kaçtır, bulunuz. der[p(x)]=m olsun der[p(x).q(x)]=der[p(x)]+der[q(x)] 7=m+4 =m der[p(x)]= Cevap: der[p(x)]=m, der[q(x)]=n ve m>n olmak üzere, der[p(x)+q(x)]=4 der[p(x).q(x)]=6 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. m>n ve der[p(x)+q(x)]=4 olduğundan m=4 tür. der[p(x).q(x)]=m+n=6 4+n=6 n= Cevap: 0

28 soru soru 5 P(x)=x 7 Q(x)=x +x+ olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? der[p(x)]=4 der[q(x)]= olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 P(x)=5x +6x+ Q(x)=x 6x olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? der[p(x)]= der[p(x).q(x)]=6 olduğuna göre, der[q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 soru soru 7 P(x)=4x +x x+ Q(x)=x +x olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI der[p(x)]>der[q(x)] olmak üzere, der[p(x)+q(x)]= der[p(x).q(x)]=5 olduğuna göre, der[q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 soru 8 P(x)=x +6x+4 Q(x)=x x olduğuna göre, der[.p(x).q(x)] kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 der[p(x)]<der[q(x)] olmak üzere, der[.p(x)+.q(x)]=6 der[p(x).q(x)]=9 olduğuna göre, der[p(x)] kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A D E 4 B 5 E 6 A 7 A 8 C

29 Polinom Eşitliği İki polinom birbirine eşit ise aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir. P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 ve Q(x)=b n x n +b n x n +...+b x+b 0 olsun, P(x)=Q(x) (a n =b n, a n =b n,..., a =b, a 0 =b 0 ) dır. P(x)=x +x Q(x)=ax +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a b c kaçtır, bulunuz. P(x)=Q(x) o halde x +x =ax +bx+c ve a=, b=, c= olmalıdır. a b c= ( )= += Cevap: P(x)=(a )x +bx +x+ Q(x)=x +cx+d polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c+d kaçtır, bulunuz. P(x)=Q(x) ise (a )x +bx +x+=x +cx+d ve a =0, b=, c= ve d= olmalıdır. (a =0 çünkü Q(x) polinomunda x lü terim yok.) a=, b=, c=, d= ise a+b+c+d=+++=6 Cevap: 6 P(x)=ax +x+ Q(x)=x +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c kaçtır, bulunuz. Q(x)=x +bx+c ise Q(x)=.(x) +b.(x)+c Q(x)=x +bx+c P(x)=Q(x) ise ax +x+=x +bx+c ve a=, b= ve c= olmalıdır. a=, b= ve c= ise a+b+c=++=6 Cevap: 6 P(x+)=x+ Q(x)=ax +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a.b.c kaçtır, bulunuz. P(x+)=x+ ifadesinde x yerine x+ in tersi x yazılırsa P(x +)=(x )+ P(x)=x olur. P(x)=Q(x) ise x =ax +bx+c ve a=0, b=, c= olmalıdır. a.b.c=0..( )=0 Cevap: 0

30 soru soru 5 P(x)=x x+ Q(x)=ax +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c kaçtır? A) B) C) 0 D) E) P(x)=4x+ Q(x)=ax+b polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b kaçtır? A) 4 B) 7 C) 0 D) E) 6 soru soru 6 P(x)=ax +4x 5 Q(x)=x +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a.b+c kaçtır? P(x)=ax+5 Q(x)=bx +8x+c polinomları veriliyor. P(9x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) 5 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 7 B) 9 C) D) E) 5 P(x)=ax +(b )x+ Q(x)=x+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b c kaçtır? P(x )=x+a Q(x)=bx+ polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) B) 0 C) D) E) soru 4 soru 8 P(x)=(a+)x +x +(b )x 5 Q(x)=(c+)x +4x+d polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, P() kaçtır? P(x+)=4x+a Q(x )=bx+5 polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a b kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) 9 B) 7 C) D) 8 E) 5 C A B 4 E 5 D 6 B 7 A 8 B

31 P(x)+P(x+)=4x+4 olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x) ile P(x+) i topladığımızda 4x+4 ü elde ettiğimize göre, P(x)=ax+b olmalıdır. P(x+)=a(x+)+b=ax+a+b P(x)+P(x+)=ax+b+ax+a+b=4x+4 ax+a+b=4x+4 (polinom eşitliğinden) a=4 ve a+b=4 a= ve b= O halde P(x)=ax+b=x+ Cevap: x+ P(x+)+P(x )=x +6 olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x)=ax +bx+c olmalıdır. P(x+)=a(x+) +b(x+)+c=a(x +x+)+b(x+)+c =ax +ax+a+bx+b+c P(x )=a(x ) +b(x )+c=a(x x+)+b(x )+c =ax ax+a+bx b+c P(x+)+P(x )=ax +a+bx+c=x +6 ax +bx+a+c=x +6 (polinom eşitliğinden) a= ve b=0 ve a+c=6 a= b=0 c= O halde P(x)=ax +bx+c=x + Cevap: x + x + 5 A B = + (x + )(x + ) x + x + olduğuna göre, A.B kaçtır, bulunuz. x + 5 A B = + (paydaları eşitleyelim) (x + )(x + ) x + x + () (x+ ) (x+ ) x+5=ax+a+bx+b x+5=(a+b)x+a+b (polinom eşitliğinden) A + B = Denklem sistemini çözersek A + B = 5 A= ve B= A.B=.( )= bulunur. Cevap: 4

32 soru soru 5 P(x)+P(x )=8x olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x + A B = + (x + )(x + ) x + x + olduğuna göre, A B farkı kaçtır? A) 4x B) 4x C) 4x D) 4x E) 4x+ A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x)+P(x+)=4x+4 olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x A B = + (x )(x + ) x x + olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? A) x+ B) x+ C) x+5 D) 4x+ E) 4x+ A) B) C) D) 4 E) 6 soru soru 7 P(x+)+P(x )=6x 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A B = + x(x + ) x x + olduğuna göre, A+B toplamı kaçtır? A) x B) x C) x D) x+ E) x+ A) 5 B) 4 C) D) E) soru 4 soru 8 P(x)+P(x )=x x+ olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 A B = + (x + )(x + 4) x + x + 4 olduğuna göre, A B farkı kaçtır? A) x B) x C) x D) x + E) x x+ A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) E A B 4 C 5 A 6 B 7 E 8 C 5

33 Katsayılar Toplamı Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için polinomda x yerine yazılır. O halde, P(x) in katsayılar toplamı P() P(x+) nin katsayılar toplamı P(+)=P() P(x ) in katsayılar toplamı P(. )=P() olur. P(x)=(x +4x ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun katsayılar toplamı P() dir. P(x)=(x +4x ) ise P()=(+4 ) = =9 olur. Cevap: 9 P(x)=x 4x+7 polinomu veriliyor. Buna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x+) polinomunun katsayılar toplamı P(+)=P(4) dür. P(x)=x 4x+7 ise P(4)= =7 olur. Cevap: 7 P(x+)=x x+5 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x+) polinomunun katsayılar toplamı P(+)=P() tür. P(x+)=x x+5 ise P() ü bulmak için x yerine yazmalıyız. x= ise P(+)=.+5 P()=4 olur. Cevap: 4 P(x+)=x x+ polinomu veriliyor. P(x+4) polinomunun katsayılar toplamı P(+4)=P(5) dir. P(x+)=x x+ ise P(5) i bulmak için x yerine yazmalıyız. Buna göre, P(x+4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. x= ise P(.+)= + P(5)=9 olur. Cevap: 9 6

34 soru soru 5 P(x+) polinomunun katsayılar toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) P( ) B) P(0) C) P() D) P() E) P(5) P(x )=(x +4x ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 6 D) 49 E) 64 soru soru 6 P(x)=(x +x+) 4 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P(x+)=(x 4x+5) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 56 A) 8 B) C) 0 D) E) 8 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=(x ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 8 B) C) 0 D) E) 8 P(x)=x 4 x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 5 B) 0 C) 5 D) E) 0 soru 4 soru 8 P(x)=x x+6 olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P(x )=x x olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 0 E) A) 55 B) 56 C) 57 D) 58 E) 59 E D B 4 C 5 C 6 E 7 A 8 A 7

35 Sabit Terim Bir polinomun sabit terimini bulmak için polinomda x yerine 0 yazılır. O halde, P(x) in sabit terimi P(0) P(x+) nin sabit terimi P(0+)=P() P(x ) nin sabit terimi P(.0 )=P( ) olur. P(x)=(x +x ) polinomunun sabit terimi kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır. P(x)=(x +x ) ve P(0)=(0 +.0 ) =( ) =9 Cevap: 9 P(x)=x 7x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun sabit terimi P(0+)=P() dir. P(x)=x 7x+ ve P()= 7.+=8 4+= 4 olur. Cevap: 4 P(x+)=x 4x+ P(x+) polinomunun sabit terimi P(0+)=P() tür. olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır, bulunuz. P(x+)=x 4x+ ise P() ü bulmak için x yerine yazmalıyız. x= ise P(+)= 4.+ P()=4 8+= olur. Cevap: P(x )=x +4 olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı ile P(x+) polinomunun sabit teriminin toplamı kaçtır, bulunuz. P(x+) polinomunun sabit terimi P(.0+)=P() ve P(x+) polinomunun katsayılar toplamı P(+)=P() tür. P(x )=x +4 x= ise P( )= +4 P()=8+4= x=4 ise P(4 )=4 +4 P()=64+4=68 P()+P()=+68=80 olur. Cevap: 80 8

36 soru soru 5 P(x)=(x x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(x )=x 4x olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) B) C) 4 D) 9 E) 6 A) B) 0 C) D) 4 E) 6 soru soru 6 P(x)=(x+) +(4x ) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(x )=x +6 olduğuna göre, P(x+5) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 7 B) 0 C) D) 6 E) 9 soru soru 7 P(x)=x 4 5x +6x+5 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x+)=x +x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı ile P(x+4) polinomunun sabit terimi toplamı kaçtır? A) 7 B) 5 C) D) E) 9 soru 4 soru 8 P(x)=x x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) P(x+)=x +5x olduğuna göre, P(x+4) polinomunun katsayılar toplamı, P(x+) ün sabit teriminin kaç katıdır? 5 7 A) B) C) D) E)4 D B C 4 A 5 E 6 C 7 D 8 C 9

37 P(x)=x + Q(x)=x +x olduğuna göre, (x+)p(x)+q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. (x+).p(x)+q(x) polinomunun katsayılar toplamı için ifadede x yerine yazılırsa, (+).P()+Q()=P()+Q() olur. P()= += ve Q()= +. = olduğuna göre, P()+Q()=.+=4+=6 olur. Cevap: 6 P(x) + x = 4 Q( x ) eşitliği veriliyor. Q(x) in sabit terimi olduğuna göre, P(x) in katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. Q(x) in sabit terimi ise Q(0)= olur. Verilen eşitlikte x yerine yazarak Q(0)= bilgisini kullanabiliriz. P() + P() + x = ise = 4 ve = 4 Q( ) Q(0) Q(0)= olduğuna göre, P() + = 4 P()+= P()=0 O halde P(x) in katsayılar toplamı P()=0 dur. Cevap: 0 P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı P() + P( ) P() P( ) formülleriyle bulunur. P(x)=(x +x+) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x)=(x +x+) polinomunda P() ve P( ) i bulalım. P()=( ++) =4 =64 ve P( )=(( ) +( )+) = =8 Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı, P() + P( ) = = = 6 olur. Cevap: 6 P(x)=(x +x ) 5 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x)=(x +x ) 5 polinomunda P() ve P( ) i bulalım. P()=( + ) 5 = 5 = ve P( )=(( ) ) 5 =( ) 5 = Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı, P() P( ) ( ) = = = olur. Cevap: 40

38 soru soru 5 P(x)=x +x Q(x)=x +4 olduğuna göre, x.p(x)+q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P( x + ) + x = x + Q(x) + eşitliği veriliyor. P(x+) ün katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, Q(x+) ün sabit terimi kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x)=(x +) Q(x)=x +x+ olduğuna göre, (x+)p(x) Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 P(x+)+x.Q(x )=x +x eşitliği veriliyor. Q(x) in katsayılar toplamı 4 olduğuna göre, P(7 x) in sabit terimi kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru soru 7 P(x+)=x + Q(x)=x olduğuna göre, P(x )+Q(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=(x x+) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 7 C) D) 5 E) 4 soru 4 soru 8 P(x) + = x + Q(x) eşitliği veriliyor. Q(x) in katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, P(x) in katsayılar toplamı kaçtır? P(x)=(x +x+) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır? A) 7 B) 0 C) D) 6 E) 9 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 C B D 4 A 5 E 6 A 7 B 8 C 4

39 da Bölme İşlemi Polinomlar P(x) Q(x) bölme işleminde, P(x)=Bölünen polinom B(x) Q(x)=Bölen polinom K(x) B(x)=Bölüm polinomu K(x)=Kalan polinomdur. Bölme işleminin özelliğinden der[p(x)] der[q(x)] olmak üzere, P(x)=Q(x).B(x)+K(x) der[q(x)]>der[k(x)] olmalıdır. Polinomlarda bölme işlemi doğal sayılardaki bölme işlemine benzerdir. Bölünen polinamlardaki en büyük dereceli terim dikkate alınarak işlemi başlanır. Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar bölme işlemi devam eder. x+ x?? Yukarıdaki bölme işlemini yapınız..adým x+ x.adým.adým x+ x x+ x (x ) x 4 Bölüm Kalan x +x x?? Yukarıdaki bölme işlemini yapınız..adým x +x x x 4.adým x +x x x x x+ x.adým.adým x +x x x +x x x.(x ) x x x x x 5.adým x +x x x x x+ x x 6.adým x +x x x x x+ x Bölüm x Kalan P(x)=x 4x+ polinomunun, Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. x 4x+ x+ x +x 5x+ x 5 Bölüm 5x 5 6 Kalan Cevap: x 5 P(x)=x +x+4 polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden edilen bölümü ve kalanı bulunuz. elde x +x+4 x+ x +6x 4x+4 x 4 Bölüm 4x 8 Kalan Cevap: Bölüm:x 4, Kalan: 4

40 soru soru 5 P(x)=x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +5x+6 polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x)=8x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde e- dilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 0 C) D) E) 4 A) x+4 B) x+ C) x+ D) x+ E) x soru soru 7 P(x)=x +4x+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) x+ B) x+ C) x D) x E) x A) x B) x C) x D) x 4 E) x 5 soru 4 soru 8 P(x)=x 6x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +x+4 polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E) A) x B) x C) x D) x 4 E) x 5 B C A 4 B 5 D 6 E 7 B 8 E 4

41 P(x)=x +x+ polinomunun Q(x)=x+ ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. x +x+ x+ x +x x x+4 x +x+ x x 4x+ 4x+4 Cevap: x x+4 P(x)=x +x +4 polinomunun Q(x)=x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. x +x +4 x + x +x x+ x x+4 x + x+ Cevap: x+ P(x)=x 4 x +x+ polinomunun Q(x)=x ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. x 4 x +x+ x x 4 x x x+ x +x +x+ x +x x + x Cevap: x x+ P(x)=x 5 x polinomunun Q(x)=x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. x 5 x x x 5 x x x +x x + x Cevap: x 44

42 soru soru 5 P(x)=x +x +5 polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) x +5x+0 B) x +5x+7 C) x 5x 0 D) x 5x 7 E) x 5x 5 A) x x B) x x+ C) x +x D) x +x E) x +x+ soru soru 6 P(x)=x 4 +x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +x +x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x+ C) x+ D) x+ E) x+4 A) 5 B) 7 C) 9 D) E) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +4x + polinomunun Q(x)=x + polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x 4 +x +x+ polinomunun Q(x)=x + polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x+7 B) x+ C) x D) x E) x 7 A) x+6 B) x+ C) x D) x+ E) x+6 soru 4 soru 8 P(x)=x x +5x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x 5 +x + polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x+4 B) 6x+ C) 6x D) 6x 4 E) 6x 6 A) x B) x C) x + D) x + E) x + A A E 4 D 5 C 6 B 7 A 8 E 45

43 Horner Metodu Polinomlarda bölüm ve kalanı bulmada kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem bölen polinomun ax+b şeklinde veya ax b şeklindeki ifadelerin çarpımı halinde iken uygulanabilir. Bunu P(x)=ax +bx +cx+d polinomunun Q(x)=x k ile bölümünden bölüm ve kalanı bulmada aşağıdaki tabloda uygulayarak öğrenmeye çalışalım. k Böleni sýfýr yapan deðer a a Bölünenin katsayýlarý b c d a.k k(ak+b) k.[k.(ak+b)+c] ak+b k(ak+b)+c Bölümün katsayýlarýný bulmak için a ile bölünür. k.[k.(ak+b)+c]+d Kalan Adım : Bölünen polinomun katsayılarını x in azalan kuvvetlerine göre yaz. Adım : Böleni sıfır yapan değeri bul. x k=0 ise x=k gibi Adım : Polinomun başkatsayısı a yı tablodaki gibi aşağı yaz. Adım 4: Bölenin kökü k ile a yı çarpım b ye ekle. Sonra bunu oluşan her sayıya uygulayarak tabloyu tamamla. Adım 5: Bölüm polinomunu bulmak için kalan hariç diğer katsayılar a ile bölünür. P(x)=x 6x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Bölünen polinomun katsayıları, 6, x+=0 ve x= böleni sıfır yapan değer. 6 ( ). ( ).( ).+( 6)=. +=9 Bölüm: x Kalan: 9 Kalan P(x)=x +4x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Bölünen polinomun katsayıları,0,4, (x li terim olmadığı için katsayısını 0 olarak aldık.) x =0 ve x= böleni sıfır yapan değer =.+4=8.8+=9 Bölüm:.x +.x+8 Kalan: 9 Kalan 5 4 a b a a b Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, a+b toplamı kaçtır, bulunuz. a=5.+4=4 b=5.a+=5.4+=7 a+b=4+7=87 Cevap: 87 46

44 soru P(x)=x 5x +4x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tablolardan hangisi ile bulunabilir? soru 4 P(x)=x +x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 C) D) E) soru 5 0 soru a b c P(x)=x +4x polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tablolardan hangisi ile bulunabilir? A) B) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, a+b+c toplamı kaçtır? A) 60 B) 66 C) 70 D) 75 E) 80 C) D) E) soru 6 4 soru a b c P(x)=x 7x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, a b+c kaçtır? A) x 6 B) x 5 C) x 4 D) x E) x A) B) C) 4 D) 5 E) 6 C A B 4 D 5 E 6 C 47

45 P(x)=x 6x+ polinomunun Q(x)=x ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Bölünenin katsayıları,, 6, Böleni sıfır yapan değer x =0 ve x= 6..( 4).+( 6)= 4.( 4)+= Burada bölüm: x 4 ve kalan şeklinde duruyor. Ama bölme işlemi yaparsak, x 6x+ x x x x 4x+ 4x+4 Bölümün x olduğunu görebilirsiniz. Bunun nedeni x =(x ) ifadesindeki sayısı x 4 (x ) = = x olduğunu görürüz. P(x)=4x 5x +x+ polinomunun x+4 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Sonuç: Bölüm polinomu ax+b şeklinde olduğunda, horner metodu ile bulduğumuz bölümün katsayılarını a sayısına bölerek cevabı buluyoruz. Bölünen polinomun katsayıları: 4, 5,, Böleni sıfır yapan değer: x+4=0 ve x= 4 5 ( ).4 ( ).( ) ( ).8 4 ( ).4+( 5)= ( ).( )+=8 ( ).8+= 55 4x Bölüm: x+8 Kalan: 55 x+4 ün baþkatsayýsý x+4 P(x)=x +x +4x polinomunun (x )(x ) ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Uyarı (x )(x ) ile bölme işleminde, önce x sonra x ile bölme işlemi yapsanızda kalan değişmez. Şimdi önce P(x); x sonra oluşan bölümü x ile bölerek işleme başlayalım. 4 Kalanı; ikinci kalan 7 sayısını ilk bölen ile çarpıp ilk kalan ile toplayarak buluyoruz. 7 6 Kalan=(x ).7+6=7x Bölen:x Bölenin katsayýlarý 48

46 soru P(x)=x +4x polinomunun Q(x)=x+ ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tabloların hangisi ile bulunabilir? soru P(x)=8x 4x+ polinomunun Q(x)=4x 4 polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 4 A) x B) x C) x+ D) 8x 4 E) 8x+4 C) 4 D) soru 4 P(x)=6x 4x +x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde E) 4 edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 0 D) 8 E) 6 soru P(x)=4x x+ polinomunun Q(x)=x 4 ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tabloların hangisi ile bulunabilir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, kalan polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) A) x+ B) x+ C) x+4 D) x E) x 4 C) D) soru 6 E) P(x)=x +4x+ polinomunun (x+)(x ) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x+ B) 5 C) x+5 D) 5x+5 E)5x+5 A C C 4 C 5 C 6 E 49

47 Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma: P(x) Q(x) B(x) K(x) Bölme işleminde P(x)=Q(x).B(x)+K(x) dir. P(x) polinomunun Q(x) polinomu ile bölümünden elde edilen kalanı, bölme işlemini yaparak bulabileceğimiz gibi, Q(x)=0 denklemini sağlayan x değerini P(x) polinomunda yazarakta bulabiliriz. P(x) polinomunun Q(x)=ax+b biçimindeki polinoma bölümünden elde edilen kalanı bulma işlemi; P(x) ax+b B(x) K ise P(x)=(ax+b).B(x)+K dır. (Bölen ax+b ifadesi. dereceden bir polinom olduğundan kalan sabit bir sayı olmalıdır.) b ax+b=0 ve x = değeri P(x) polinomunda yerine yazılırsa, a b b b b P a. b B K ve P K a = + + = a a a 0 dır. P(x)=x + polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. x =0 ise x= x= için P()= +=8+=0 Cevap: 0 Konu Kavrama Çalışması Bölünen Polinom Bölen Polinom. adým. adým. adým P(x)=x +x x x =0 ise x= P()= + P()= P(x)=x +x+4 x x =0 ise x= P()= +.+4 P()=4 P(x)=x 4 x+ x+=0 ise x= P( )=.( ) 4 P( )= P(x)=(x +6) x x=0 P(0)=(0 +6) P(0)=6 P(x)=x x+4 x x =0 ise x= P()= +4 P()=0 P(x)=x + P(x)=x +x+ x x+ x =0 ise x= x+=0 ise x= P = + P = P = 8 P = 7 9 P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 4, (x ) ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, P()+P() toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanı bulmak için x =0 ve x= değeri P(x) polinomunda yerine yazılır. Bundan dolayı, x= için P()=4 Benzer şekilde, x =0 ve x= için P()=5 P()+P()=4+5=9 Cevap: 9 50

48 soru soru 5 P(x) polinomunun x 4 ile bölümünden kalan aşağıdaki ifadelerden hangisi ile bulunabilir? P(x)=x +4x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) P(5) B) P(4) C) P() D) P() E) P() A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 P(x) polinomunun 5x ile bölümünden kalan aşağıdaki ifadelerden hangisi ile bulunabilir? P(x)=x +5x+7 polinomunun x+ ile bölümünden kalan kaçtır? 5 A)P() B)P(5) C)P D)P E)P 5 5 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +4 polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? P(x)=(x +) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) C) D) 8 E) 7 soru 4 soru 8 P(x)=x x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? P(x)=(x x+) polinomunun x 4 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 0 B) C) 4 D) 9 E) 6 B C E 4 A 5 D 6 E 7 D 8 E 5

49 P(x+)=x +5x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. x =0 ise x= x= için P(+)= +5.+ P()=+5+=8 Cevap: P()=8 Konu Kavrama Çalışması Bölünen Polinom Bölen Polinom. adým. adým. adým P(x+)=x + x x =0 ise x= x= için P(+)= + P()=4 P(x )=x +x+ x x =0 ise x= x= için P( )= +.+ P()= P(x)=x +5 x+ x+=0 ise x= x= için P(.( ))=( ) +5 P( )=6 P(x+)=x x x =0 ise x= x= için P(+)= P()=0 P(x )=x +x+4 x+ x+=0 ise x= x= için P( )=( ) +( )+4 P( 4)=6 P(5x)=x +7 x x =0 ise x= x= için P(5.)= +7 P(5)=4 P( x)=x +x+6 x x=0 x=0 için P( 0)= P()=6 P(x+)=x +ax+ polinomunun x ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. x =0 ise x= x= için P(+)= +a.+=9 a+5=9 a=4 a= Cevap: P(x )=x +5x+ olduğuna göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan, x =0 ise x= ve x= için P() dir. P() yi elde edebilmek için P(x ) polinomunda x= yazarız, P( )= +5.+=5 Cevap: 5 5

50 soru soru 5 P(x ) polinomunun x ile bölümünden kalanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? P(x+)=kx +6 polinomunun x ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, k kaçtır? A) P() B) P() C) P(4) D) P(5) E) P(6) A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? P()=4 olduğuna göre, P(x+) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) P( ) B) P( ) C) P( ) D) P(0) E) P() A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 7 P(x )=x +7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P( )= polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 olduğuna göre, P(x+4) polinomunun x+5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 soru 8 P(x+)=x +x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 P(x )=x +4x 6 olduğuna göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A E C 4 B 5 E 6 D 7 B 8 D 5

51 P(x)=x +x+6 olmak üzere, P(x+) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x+) in x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P(+)=P() ü bulmak gerekir. P(x) polinomunda, x= için P()= ++6=8 Cevap: 8 P(x)=x +x olmak üzere, P(x ) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x ) in x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P( )=P(0) ı bulmak gerekir. P(x) polinomunda, x=0 için P(0)=0 +.0 Cevap: P(x+)=x +6x olmak üzere, P(x+) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x+) nin x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P(+)=P() ü bulmak gerekir. P(x+) polinomunda, P() ü bulmak için x= yazılır. x= için P(+)= +6. =4+ =4 Cevap: 4 P(x )=x +4x+7 olmak üzere, P(x ) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x ) in x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P( )=P() yi bulmak gerekir. P(x ) polinomunda, P() yi bulmak için x=4 yazılır. x=4 için P(4 )= =9 Cevap: 9 54

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. Yandaki tablonun kutucuklarýna terimler yazýlmýþtýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? x x 4 x 3x 6x 5. P(x). Q(x) çarpým polinomunun derecesi 5 tir.

Detaylı

Polinomlar II. Dereceden Denklemler

Polinomlar II. Dereceden Denklemler Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - II Ödev Kitapçığı 1 (MF-TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Adý Soyadý :... BÝREY DERSHANELERÝ MATEMATÝK-II ÖDEV KÝTAPÇIÐI

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. x +6x+5=0 5. x +5x+m=0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, m nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? A) {1,5} B) {,3} C) { 5, 1} D) { 5,1} E) {,3} A)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K

T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K Copyright 2017 Timur Karaçay-Haydar Eş-İbrahim İbrahimoğlu BU KITAP BAŞKENT ÜNIVERSITESINDE

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: POLİNOMLAR n doğal sayı ve katsayılar gerçek sayıyı göstermek üzere, P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +... + a 1 x

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1. SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0 MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı