POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

Transkript

1 POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz. Örneğin; x f(x) = x 4 fonksiyonunun tanım kümesi R-{4} tür. Örnekteki gibi; Fonksiyonların hepsi tüm gerçek sayılar için tanımlı değildir. x değişkenlerinin kuvveti doğal sayı olan fonksiyonlara polinom denir. Polinomlar, x değişkeninin kuvveti doğal sayı olduğundan tüm gerçek sayılar için tanımlı özel bir fonksiyondur ve, a 0, a, a,..., a n R ve n N olmak üzere, P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 biçiminde gösterilir. a n, a n,..., a,a 0 gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir. a n x n, a n x n,..., a x, a 0 ifadeleri ise polinomun terimleridir. Polinomlar genellikle P(x), Q(x), R(x) gibi ifadelerle adlandırılır. Konu Kavrama Çalışması Fonksiyon Katsayýlarý Terimleri x deðiþkeninin kuvvetleri Polinom olup olmadýðý P(x)=x +x+,, x, x, x 0,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. Q(x)=x x +4,, 4 x, x, 4,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. R(x)=x +5x, 5, x, 5x,,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. K(x)= x +x+,, x, x,,, 0 ÎN, ÎN, 0ÎN polinomdur. T(x)= x 4 +x, x 4, x 4, 4ÎN, ÎN polinomdur. S(x)=5x + x 5, 5x, x, ÎN, ÏN polinom deðil. U(x)=x x +,, x, x,,, 0 ÎN, ÏN, 0ÎN polinom deðil. V(x)=x x + x Z(x)= x +7 M(x)= x + N(x)=,,, 7, x, x, x x, 7 x,,,, 0, 0 0 ÎN, ÎN, ÏN polinom deðil. ÏN, 0ÎN polinom deðil. ÎN, 0ÎN ancak ÏR olduðundan polinom deðil. 0ÎN polinomdur. B(x)= ÎN polinomdur. P(x)= x x Q(x)= x +x +x,,, x, x x x,, x,,, ÎN, ÎN polinomdur. ÎN, ÎN, ÎN polinomdur. 4

2 soru soru 5 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? A) P(x)=x+ B) P(x)= C) P(x)= 4 D) P(x)=x 4 E) P(x)= x A) P(x) = x B) P(x) = x + x x x C) P(x) = x + x D) P(x) = + E) P(x) = x + x + x + 4 soru soru 6 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? A) P(x)=ñx B) P(x)=òx+ C) P(x)=ñx+ñ D) P(x)=ñ ñ E) P(x)= 7 5 A) Q(x) = x x + B) Q(x) = x + x x C) Q(x) = x + x D) Q(x) = + x + E) Q(x) = x + x soru soru 7 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? x x A) Q(x) = x B) Q(x) = x C) Q(x) = x + + D) Q(x) = x + x x E) Q(x) = x + soru 4 soru 8 Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinom değildir? A) R(x) = x + x + B) R(x) = (x + x + ) x + x + C) R(x) = x + x + D) R(x) = x + x + E) R(x) = 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? x + x + x A) R(x) = B) R(x) = C) R(x) = x x D) R(x) = (x + ) E) R(x) = x + x Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi polinomdur? A) K(x) = x + x + B) K(x) = + + x x x E B C 4 A 5 D 6 A 7 B 8 C 4 x x C) K(x) = + D) K(x) = x + x x E) K(x) = x +

3 P(x)=5x n +x +7 ifadesi polinom olduğuna göre, n doğal sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır, bulunuz. ( n) N olmalıdır. Bundan dolayı, n 0 ve n olduğundan n sayısı,, ve 0 değerlerini alabilir. En büyük değeri tür. Cevap: P(x)=x 4 n +x n + ifadesi polinom olduğuna göre, n doğal sayısının alabileceği değerleri bulunuz. x 4 n ifadesinde 4 n 0 ve n doğal sayı olmalı x n ifadesinde n 0 ve n doğal sayı olmalı 4 n ve n olduğuna göre, n 4 ve,,, 4 değerleri n nin alabileceği değerlerdir. Cevap: {,,,4} 5 n P(x) = x + x 5 5 n x ifadesinde 5 n doğal sayı olmalıdır. ifadesi polinom olduğuna göre, n doğal sayısının alabileceği değerleri bulunuz. n, 5 i bölen,, 5, 5 değerlerini alabilir. Cevap: {,,5,5} 5 P( x) = (a )x + x + (b ) x + 4 ifadesi polinom olduğuna göre, a+b toplamını bulunuz. 5 x ifadesinde 5 N ve x = x ifadesinde N olduğuna göre, bu ifadelerin poli- nomda yer almaması gerekir. Bu nedenle a =0 ve b =0 olmalıdır. O halde a= ve b= a+b=+=4 olur. Cevap: 4 6

4 soru soru 5 P(x)=x 4 n +x ifadesi polinom olduğuna göre, n sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6 n P(x) = x + x + ifadesi polinom olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) soru soru 6 P(x)=x 4 +x n +x+4 ifadesi polinom olduğuna göre, n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 7 P(x)=x 0 n +x n + ifadesi polinom olduğuna göre, n nin alabileceği değerler kaç tanedir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 soru 4 soru 8 P(x)=x 7 n +5x n+ ifadesi polinom olduğuna göre, n nin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) 7, B) 7,0 C) 7, D) 6,0 E) 6, 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI D B E 4 A 5 B 6 E 7 C 8 C 0 n 8 n P(x) = x + x ifadesi polinom olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 0 B) 6 C) 0 D) 6 E) 5 5 P(x) = (a ) x + x + (b + )x ifadesi polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) 5 B) C) D) E) P(x) = x + (a )x + (a )x + (b 4)x ifadesi polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5 P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 şeklindeki polinomlarda en büyük dereceli x değişkeninin derecesi polinomun derecesi, en büyük dereceli x değişkeninin katsayısı başkatsayı ve a 0 polinomun sabit terimidir. Sabit terim P(x) polinomunda x=0 yazılarakta bulunabilir. P(x) polinomunun derecesi der[p(x)] ile gösterilir. a n,a n,...a,a 0 katsayılarının toplamına polinomun katsayılar toplamı denir ve P(x) polinomunda x= yazılarak katsayılar toplamı bulunabilir. Polinom Derecesi der[p(x)] Baþkatsayýsý Katsayýlar toplamý Sabit terim P(x)=x +x+ ++=4 P(x)=x x + +=4 P(x)=x 5 = P(x)=x+4x =8 P(x)= P(x)=0 Belirsiz P(x)=x +x +7x polinomunun derecesini, başkatsayısını, katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz. P(x)=x +x +7x polinomunun terimleri, x, x, 7x, tür. Derecesi en büyük x değişkeni x olduğundan P(x) polinomunun derecesi tür ve der[p(x)]= biçiminde gösterilir. En büyük dereceli x değişkeni olan x ün katsayısı olduğundan başkatsayısı dir. Katsayılar toplamı x= için, P()=.() =++7 =7 dir. Sabit terim, P(x)=x +x +7x ten tür. veya x=0 için P(0)= = olarakta hesaplanabilir. P(x)=x 4x+ polinomunda sabit terim x, derece y, başkatsayısı z olduğuna göre, x+y+z toplamını bulunuz. P(x)= x 4x+ Derece: y= Baþkatsayýsý: z= Sabit terim: x= x+y+z=++=8 Cevap: 8 P(x) = x x + x + 4 polinomunda sabit terim, başkatsayısının kaç katıdır, bulunuz. P(x)= x x +x+ 4 Baþkatsayýsý: Sabit terim: 4 4 = 4 = 8 Cevap: 8 8

6 soru soru 5 P(x)=x 5x+8 polinomu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? P(x)=4x 6 +x 6x+5 polinomunun derecesi kaçtır? Derecesi Başkatsayısı Sabit terimi A) 8 B) 8 C) 8 D) 8 E) 8 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 P(x)=x 5x+4 polinomunun en büyük katsayısı kaçtır? P(x)=x 7 +4x +5x+ polinomunun derecesi başkatsayısından kaç fazladır? A) 0 B) C) 4 D) 5 E) soru soru 7 P(x)=x 4 +5x 7 polinomunun başkatsayısı ile sabit teriminin toplamı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 4 D) 4 E) soru 4 soru 8 P(x)=x x+4 polinomunun sabit terimi, başkatsayısının kaç katıdır? 5 A) B) C) D) E)4 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 4 B) C) D) E) 0 P(x)=x 5 +4x 5x+ polinomunun sabit terimi a, derecesi b, başkatsayısı c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a>b>c B) b>a>c C) b>c>a D) c>b>a E) c>a>b x + 4x 5 P(x) = 7 polinomunun derecesi, başkatsayısının kaç katıdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A C D 4 B 5 D 6 A 7 B 8 E

7 P(x)=x n+ +x 5 n +7 polinomunun derecesi en çok kaç olabilir, bulunuz. (n N) 5 n 0 ise 5 n n 5 n + 0 ise n n= için P(x)=x + +x 5 ( ) +7 =x 0 +x 6 +7 =x =x 6 +9 der[p(x)]=6 Cevap: 6 6 n n P(x) = x + x + polinomunun derecesini bulunuz. (n N) 6 n doğal sayı olabilmesi için n in alabileceği değerler,,, 6 n doğal sayı olabilmesi yukarıdaki,, ve 6 değerlerinden ve 6 değerini alabilir. 6 n= için P(x) = x + x + =x +x+ ve der[p(x)]= 6 6 n=6 için P(x) = x6 + x + =x+x + ve der[p(x)]= Cevap: n n P(x) = 5x + 4x 7 polinomunun derecesi en çok kaç olabilir, bulunuz. (n N) doğal sayı olabilmesi için n in alabileceği değerler,,, n 6 ve n ün doğal sayı olabilmesi için yukarıdaki,,, 6, değerlerinden, 6, değerlerini alabilir. n= için P(x) = 5x + 4x 7 =5x 4 +4x 7 ve der[p(x)]=4 6 n=6 için P(x) = 5x 6 + 4x 7 =5x +4x 7 =9x 7 ve der[p(x)]= n= için P(x) = 5x + 4x 7 =5x+4x 4 7 ve der[p(x)]=4 Cevap: 4 0

8 soru soru 5 P(x)=x 6 n +x n +x polinomunun derecesi en çok kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5 n n 5 P(x) = x + x x polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 Q(x)=7x 7 n +x n +6 polinomunun derecesi en çok kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 8 n x P(x) = x n 6 polinomunun derecesi kaçtır? A) B) 4 C) 5 D)6 E) 8 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI n n+ R(x) = x + 4x + polinomunun derecesi en az kaçtır? 6 n n 4 Q(x) = x + 5x 6 polinomunun derecesi en çok kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 4 soru 8 n n 4 P(x) = x + x + polinomunun derecesi en çok kaçtır? 0 n n 4 R(x) = x + x polinomunun derecesi kaçtır? A) 8 B) 7 C) 5 D) 5 E) 4 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 D E B 4 A 5 C 6 A 7 E 8 D

9 Polinomlar birer fonksiyon olduğundan, fonksiyonlardaki işlemler polinomlar içinde geçerlidir. P(x)=x +x olduğuna göre, P(), P() ve P(0) değerlerini bulunuz. P(x)=x +x ve x= için P()= + =+ = x= için P()= + =4+ =5 x=0 için P(0)=0 +0 = Cevap: P()=, P()=5 ve P(0)= P(x)=ax +x 7 P()= olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. P(x)=ax +x 7 ve x= için P()=a. +. 7= 4a+6 7= 4a = 4a= ve a= Cevap: P(x )=x x+ olduğuna göre, P(0)+P() toplamı kaçtır, bulunuz. P(x )=x x+ ifadesinde P(0) bulmak için x =0 ve x= yazılmalıdır. x= için P( )= += += P(x )=x x+ ifadesinde P() bulmak için x = ve x= yazılmalıdır. x= için P( )= +=8 + P()=8 P(0)+P()=+8=0 Cevap: 0 P(x )=x +ax+ P()=9 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. P(x ) ifadesinde P() ü bulmak için, x = x=4 x= yazılmalıdır. x= için P(. )= +a.+=9 P()=4+a+=9 a=4 ve a= Cevap:

10 soru soru 5 P(x)=x x+ olduğuna göre, P() kaçtır? P(x+)=x olduğuna göre, P() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 0 C) D) E) soru soru 6 P(x)=5x x 6 olduğuna göre, P( ) kaçtır? P(6 x)=x x+5 olduğuna göre, P() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 7 P(x)=x kx+5 P()= olduğuna göre, k kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(5x)=ax P(0)= olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 4 soru 8 Q(x)=mx +x Q()=5 olduğuna göre, m kaçtır? P(x )=x +x+k P(7)= olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) D) 4 E) 5 C B E 4 B 5 D 6 E 7 A 8 B

11 P(x)=x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunu bulunuz. P(x)=x+ polinomunda x yerine x+ yazıldığında, P(x+)=(x+)+ =x+6+ =x+8 Cevap: x+8 P(x)=x +x+ olduğuna göre, P(x ) polinomunu bulunuz. P(x)=x +x+ polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) +(x )+ =x x++x + =x + Cevap: x + P(x )=5x+ olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x )=5x+ polinomunda x yerine (x ) nin tersi olan x+ yazıldığında, P(x )=5x+ x+ x+ P(x+ )=5(x+)+ P(x)=5x+0+ =5x+ Cevap: 5x+ P(x+)=x x+ olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x+)=x x+ polinomunda x yerine (x+) ün tersi olan x yazıldığında, P(x+)=x x+ x x x P(x +)=(x ) (x )+ P(x)=x 6x+9 x+9+ =x 9x+9 Cevap: x 9x+9 4

12 soru soru 5 P(x)=x 6 olduğuna göre, P(x+) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +x olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x 4 D) x 5 E) x 6 A) 8x +x B) 8x +4x C) x +4x D) x +x E) 8x soru soru 6 P(x)=x 5 olduğuna göre, P(x+) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8 B) x 6 C) x 5 D) x 4 E) x P(x+)=x 4 olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8 B) x 7 C)x 6 D) x 5 E) x soru soru 7 P(x)=x +4 olduğuna göre, P(x ) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x )=x +x+ olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x x+5 B) x x+ C) x x+ D) x + E) x + A) x +7x+ B) x +7x+ C) x x+ D) x x+ E) x + soru 4 soru 8 P(x)=x +x+5 olduğuna göre, P(x ) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x +4x+8 B) x +x+6 C) x +x+4 D) x +4 E) x +6 P(x+)=x x+5 olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x 6x+ B) x x+0 C) x 8x+0 D) x +0 E) x 4x+ C E A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 5

13 P(x)=x +x+ olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x +x+ polinomunun der[p(x)]= dir. P(x) polinomunda x yerine (x ) yazıldığında, P(x )=(x ) +(x )+ =x x++x + P(x )=x +x ve der[p(x )]= Cevap: P(x)=x +x olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x +x olduğuna göre der[p(x)]= dir. P(x) polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) +x ve P(x )=x 4 +x ise der[p(x )]=4 tür. Cevap: 4 P(x)=x + olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x + olduğuna göre der[p(x)]= dir. P(x) polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) + ve P(x )=x 6 + ise der[p(x )]=6 dır. Cevap: 6 P(x)=x +7 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)=x +7 olduğuna göre der[p(x)]= tür. P(x) polinomunda x yerine x yazıldığında, P(x )=(x ) +7 ve P(x )=x 9 +7 ise der[p(x )]=9 dur. Cevap: 9 6

14 soru soru 5 P(x)=x +x+6 olduğuna göre, P(x+) polinomunun derecesi kaçtır? P(x)=5x +4 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 P(x)=x 7x +x olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? P(x)=x +x+0 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x olduğuna göre, P(x 4 ) polinomunun derecesi kaçtır? der[p(x)]=4 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 soru 4 soru 8 P(x)=x x olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? der[p(x)]=5 olduğuna göre, P(x ) polinomunun derecesi kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 5 B C D 4 B 5 E 6 C 7 A 8 E 7

15 P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 polinomunda a 0 hariç diğer katsayılar sıfır ise P(x) polinomuna sabit polinom denir. Örneğin; P(x)=, Q(x)=, R(x)=000 gibi. 7 P(x)= 5 olduğuna göre, P() ve P kaçtır, bulunuz. 7 P(x)= olduğundan, 5 P()= ve P = tür. 7 Cevap: 5 P() = ve P = 7 P(x) sabit polinom ve P()=5 olduğuna göre, P()+P(000) kaçtır, bulunuz. P(x) sabit polinom ve P()=5 olduğundan, P()=5 ve P(000)=5 tir. P()+P(000)=5+5=0 Cevap: 0 P(x)=(a )x +(b )x+a+b polinomu sabit polinom olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır, bulunuz. P(x) sabit polinom olduğuna göre, x li terimler olmamalıdır. Bunun için x değişkenlerinin katsayılarını sıfıra eşitleriz. P(x) = (a )x + (b )x + a + b 0 0 a = 0 ise a = a b= = b = 0 ise b = Cevap: P(x)=ax +x 4x+bx+ polinomu sabit polinom olduğuna göre, b a farkı kaçtır, bulunuz. P(x) = ax + x 4x + bx + polinomu, P(x) = (a + )x + ( 4 + b)x + biçiminde düzenlenirse, a + = 0 ise a = b a = 4 ( ) = b = 0 ise b = 4 Cevap: 7 8

16 soru soru 5 P(x)=6 olduğuna göre, P(6) kaçtır? P(x)=(a )x+a+ polinomu sabit polinom olduğuna göre, P() kaçtır? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 6 A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 P(x)= 4 olduğuna göre, P() kaçtır? P(x)=(a 6)x +(b+)x+a b polinomu sabit polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x) sabit polinom ve P( 5)= olduğuna göre, P(0)+P(6) toplamı kaçtır? P(x)=ax+4x+a+ polinomu sabit polinom olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 6 B) 4 C) D) E) 4 soru 4 soru 8 P(x) sabit polinom ve P(47)= olduğuna göre, P()+P()+...+P(40) toplamı kaçtır? P(x)=ax +x +bx 4x +a+b polinomu sabit polinom olduğuna göre, P()+P()+P(5)+... P(9)+P() toplamı kaçtır? A) 60 B) 80 C) 40 D) 80 E) 60 A) B) 6 C) D) 6 E) A E C 4 D 5 E 6 A 7 B 8 C 9

17 P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 polinomunda a n, a n,...a,a 0 katsayılarının tümü sıfır ise P(x) sıfır polinomudur ve P(x)=0 biçiminde gösterilir. P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, P()+P(5) toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) sıfır polinomu ise P(x)=0 ve P()=0, P(5)=0 dır. P()+P(5)=0+0=0 Cevap: 0 P(x)=(a )x+a+b ve P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır, bulunuz. P(x) = (a )x + a + b sıfır polinomu ise 0 a =0 ve a= a+b=0 +b=0 b= a.b=.( )= 4 0 Cevap: 4 P(x)=(a )x +(b )x+(c ) polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a+b+c toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) = (a )x + (b )x + (c ) a =0 ve a= b =0 ve b= c =0 ve c= a+b+c=++=6 Cevap: 6 P(x)=x a +b polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır, bulunuz. x a ifadesinde a =0 ve a= a P(x) = x + b = x + b b+=0 ve b= a+b=+( )= 0 Cevap: 0

18 soru soru 5 P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, P(4) P() farkı kaçtır? P(x)=(a )x+(b ) polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 P(x) sıfır polinomu olduğuna göre, P().P()...P(00) çarpımı kaçtır? P(x)=(a+)x+b a sıfır polinomu olduğuna göre, a.b toplamı kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 0 A) B) 9 C) 0 D) 6 E) 9 soru soru 7 P(x)=a 8 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=(a )x +(b )x+c+5 sıfır polinomu olduğuna göre, a kaçtır? polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 A) 6 B) 5 C) 4 D) E) soru 4 soru 8 P(x)=(m 9)x sıfır polinomu olduğuna göre, m nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 9 B) C) 0 D) 6 E) 9 P(x)=x a 4 +b polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 C E B 4 A 5 D 6 E 7 B 8 C

19 Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkartılır. Konu Kavrama Çalışması P(x) ve Q(x) P(x)+Q(x) P(x) Q(x) P(x)=x+ Q(x)=x+4 + x+ x+4 5x+5 x++x+4 =(+)x++4 =5x+5 x+ x+4 x x+ (x+4) =x+ x 4 =( )x+ 4 =x P(x)=x +x+ Q(x)=x+5 x +x+ + x+5 x +5x+6 x +x++x+5 =x +(+)x++5 =x +5x+6 x +x+ x+5 x +x 4 x +x+ (x+5) =x +x+ x 5 =x +( )x+ 5 =x +x 4 P(x)=x x+5 Q(x)=x +x+ + x x+5 x +x+ x x+5+x +x+ =(+)x +( +)x+5+ x x+5 x +x+ 4x +x+6 =4x +x+6 x 4x+4 P(x)=4x +6 4x x +6+x +x+ 4x + +6 Q(x)=x +x+ + x +x+ =(4+)x +x+6+ x +x+ 6x +x+7 =6x +x+7 x x+5 P(x)=x+4 Q(x)=x x x+4 + x x x+4+x x =x +( )x+4 x+4 x x x + =x +0x+ x +x+7 =x + P(x)=5 5 5+x 6 5 Q(x)=x 6 + x 6 x =x +5 6 =x x 6 x + x x+5 (x +x+) =x x+5 x x =( )x +( )x+5 =x 4x+4 4x +6 (x +x+) =4x +6 x x =(4 )x x+6 =x x+5 x+4 (x x ) =x+4 x +x+ = x +(+)x+7 = x +x+7 5 (x 6) =5 x +6 = x +5+6 = x + P(x)=x +x +x+6 x +x +x+6 Q(x)=x +x x+4 + x +x x+4 4x +5x x+0 x +x +x+6+x +x x+4 =(+)x +(+)x +( )x+6+4 =4x +5x x+0 x +x +x+6 x +x x+4 x +x +x+ x +x +x+6 (x +x x+4) =x +x +x+6 x x +x 4 =( )x +( )x +(+)x+6 4 =x +x +x+ P(x)=x x+ x + x+ x x++x + x + x+ Q(x)=x + + x + + =x +x x++ x + + x +x x+4 =x +x x+4 x x x P(x)=x + x + x ++x +x + x + Q(x)=x +x + + x +x + =x +(+)x ++ x +x + x +x + =x +x + x P(x)= + x Q(x)= x + x + = x x + x + x x x+ (x +) =x x+ x =x x x+ =x x x x + (x +x +) =x + x x = x +x x + = x ( x ) = +x =x P(x)=x+ x+ x++x x Q(x)=x x + x x =x +x x+ x x =x x x+ x x x +x+6 x+ (x x ) =x+ x +x+ = x +x+6

20 soru soru 5 P(x)=x+6 Q(x)=x+ olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? P(x)= x +4x Q(x)= x x 7 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x+7 B) 5x+5 C) 5x+4 D) 5x+ E) 5x+ A) x +x 6 B) x +x 8 C) x x 8 D) x x 7 E) x +x 9 soru soru 6 P(x)=6x Q(x)=x 4 olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x 5x+ Q(x)=x +x olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x B) 4x+ C) 4x+ D) 4x+ E) 4x+4 A) x +6x 4 B) x 6x+4 C) x 4x+4 D) x 4x E) x 6x 4 soru soru 7 P(x)=x +x+7 Q(x)=5x 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +4x+ Q(x)=x +x +5 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) x +8x+4 B) x +8x C) x +8x 7 D) x 8x E) x 8x+4 A) x +x +4x+8 B) x +4x +8 C) x +x +5 D) x +x +4x E) x +x +4x+8 soru 4 soru 8 P(x)=x +x+6 Q(x)=x x olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +4x 5x+ Q(x)=x +x 4 olduğuna göre, P(x) Q(x) farkı aşağıdakilerden hangisidir? A) x+4 B) x+5 C) x+7 D) x +x+5 E) x +x+7 A) x 4x +8x+5 B) x 4x 8x+5 C) x +4x 8x 5 D) x +4x 8x+5 E) x +4x +8x+5 A D B 4 C 5 B 6 B 7 E 8 D

21 Bir polinomu bir reel sayı ile çarptığımızda, polinomun tüm terimleri bu reel sayı ile çarpılır. c R ve P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 olmak üzere, c.p(x)=c.a n x n +c.a n x n +...+c.a x+c.a 0 dır. P(x)=x 5x+ olduğuna göre, 4.P(x) çarpımını bulunuz. 4.P(x)=4.x 4.5x+4. =x 0x+8 Cevap: x 0x+8 P(x)= x +7x 6 olduğuna göre,.p(x) çarpımını bulunuz..p(x)=( ). x +( ).7x ( ).6 =x x+8 Cevap: x x+8 P(x)=x + Q(x)=x x olduğuna göre,.p(x) 4.Q(x) ifadesinin eşitini bulunuz..p(x) 4.Q(x)=(x +) 4.(x x ) =x +9 4x +x+4 =( 4)x +x+9+4 = x +x+ Cevap: x +x+ P(x)=x +x Q(x)=x +x+ olduğuna göre,.p(x)+.q(x) ifadesinin eşitini bulunuz. P(x)=x +x ise P(x)=(x) +(x) x x x P(x)=4x +6x.P(x)+.Q(x)=(4x +6x )+.(x +x+) =x +8x +x +x+ =(+)x +(8+)x + =4x +0x Cevap: 4x +0x 4

22 soru soru 5 P(x)=x 5x 4 olduğuna göre, 4.P(x) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4x 0x+6 B) 4x 0x 6 C) 4x +0x 6 D) 4x 0x 6 E) 4x 0x+6 P(x)=x +x Q(x)=x x+ olduğuna göre, P(x)+Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x 7x 4 B) 7x 7x+4 C) 7x +7x 4 D) 7x +7x+4 E) 7x x+4 soru soru 6 P(x)=x 6x+0 olduğuna göre,.p(x) eşittir? ifadesi aşağıdakilerden hangisine P(x)=x 4x+ Q(x)=x +x+ olduğuna göre, 4P(x) Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 6x+0 B) x 6x+5 C) x x+5 D) x +x 5 E) x x 5 soru soru 7 P(x)=x +5x olduğuna göre, P(x) ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 9x 5x+ B) 9x +5x C) 9x +5x+ D) 9x +5x+ E) 9x +5x+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) x 8x B) x +8x C) 6x x+ D) 6x +x E) x 8x+ P(x)=x +x+ Q(x)=x olduğuna göre, P(x)+Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x +0x+0 B) x +0x 0 C) x +0x+ D) x +0x E) x +0x soru 4 soru 8 P(x) = x + x x + olduğuna göre, 8P(x) ifadesinin başkatsayısı ile sabit terim toplamı kaçtır? P(x)=x 5x+ Q(x)=x +x olduğuna göre, P(x) 4Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) A) x+ B) x+4 C) x 4 D) x+6 E) x 6 B C A 4 E 5 C 6 A 7 C 8 D 5

23 P(x) polinomunun derecesi m, Q(x) polinomunun derecesi n olsun, der[p(x)]=m ve der[q(x)]=n Polinomların derecelerinin eşit olmaması durumunda, bu iki polinomun toplamının veya farkının derecesi polinomlardan derecesi büyük olanınkine eşittir. m>n ise der[p(x)±q(x)]=m Polinomların derecelerinin eşit olması durumunda, bu iki polinomun toplamının veya farkının derecesi polinomların derecesine eşit veya daha küçüktür. m=n ise der[p(x)±q(x)] m dir. P(x)=x +x +x+ Q(x)=x +7x olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır, bulunuz. P(x)+Q(x)=x +x +x++x +7x =x +6x +8x der[p(x)+q(x)]= veya der[p(x)]=>der[q(x)]= olduğundan der[p(x)+q(x)]= tür. Cevap: P(x)=x +x Q(x)=x x+ olduğuna göre, P(x) Q(x) farkının derecesi kaçtır, bulunuz. P(x) Q(x)=x +x (x x+) =x +x x +x =x +x der[p(x) Q(x)]= Cevap: P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[p(x)]=4 ve der[q(x)]= olduğuna göre, der[p(x)+q(x)] kaçtır, bulunuz. der[p(x)]=4>der[q(x)]= olduğundan der[p(x)+q(x)]=4 Cevap: 4 P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[p(x)]=5, der[q(x)]=k ve der[p(x) Q(x)]=6 olduğuna göre, der[q(x)] kaçtır, bulunuz. m>n ise der[p(x)±q(x)]=m olduğundan, der[ P(x) Q(x)] = 6 ve der[q(x)] = 6 der[p(x)] = 5 Cevap: 6 6

24 soru soru 5 P(x)=x +x+ Q(x)=5x +x olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? P(x)=x 5 x+7 Q(x)=x 5 +x +x olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 6 P(x)=x + Q(x)=x +x 7 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? der[p(x)]= der[q(x)]= olmak üzere, der[p(x)+q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 6 B) 5 C) 4 D) E) soru soru 7 P(x)=x 4 +x +6 Q(x)=x +6 olduğuna göre, P(x) Q(x) farkının derecesi kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI der[p(x)]=5 der[q(x)]=6 olduğuna göre, der[q(x) P(x)] kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) soru 4 soru 8 P(x)=x 7x+ Q(x)= x +5x+4 olduğuna göre, P(x)+Q(x) toplamının derecesi kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 der[p(x)]=m der[q(x)]=4 der[p(x) Q(x)]=7 olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 B B D 4 A 5 E 6 D 7 B 8 D 7

25 x.x+x.x =x +x =x Cevap: x.x+x.x =x 4 +x 4 =5x 4 Cevap: 5 Polinomlar Polinomlarda çarpma işleminde, çarpılan polinom terimlerinin herbiri birbirleriyle çarpılıp sonuçlar toplanır. Konu Kavrama Çalışması (x+).(x+) (x+).(x+) 6x +4x+x+ 6x +7x+ (x ).(x+7) (x ).(x+7) x +7x x 7 x +5x 7 (4x+).(x ) (4x+).(x ) x 8x+9x 6 x +x 6 (x+).(x +x+) (x+).(x +x+) x +x +x+x +x+ x +5x +5x+ (x+4).(x +x ) (x+4).(x +x ) x +9x x+4x +x 4 x +x +9x 4 (x +4).(x+5) (x +4).(x+5) x +5x +4x+0 x +5x +4x+0 (x +x+).(x +x) (x +x+).(x +x) x 4 +x +x +x +x +x x 4 +x +x +x P(x)=x +x+5 Q(x)=x olduğuna göre, P(x).Q(x)+P(x) polinomunun eşitini bulunuz. P(x).Q(x)=(x +x+5).(x ) =6x 5 4x +9x 6x+5x 0 =6x 5 +5x +5x 6x 0 5 P(x).Q(x) + P(x) = 6x + 5x + 5x 6x 0 + x + x + 5 P(x).Q(x) P( x) =6x 5 +7x +5x x 5 Cevap: 6x 5 +7x +5x x 5 (x +x+).(x +x ) çarpımının sonucunda x lü terimin katsayısı kaçtır, bulunuz. x lü terimin katsayısını bulmak için çarpma işleminin tamamını yapmaya gerek yoktur. Sadece çarpımları x yapan terimleri çarpmak yeterlidir. (x +x+).(x +x ) (x +x 4x+5).(x +x ) çarpımının sonucunda x 4 lü terimin katsayısı kaçtır, bulunuz. Sadece çarpımları x 4 yapan terimleri çarpalım. (x +x 4x+5).(x +x ) 8

26 soru soru 5 (x 5).(4x+) çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x 5 B) 8x 8x+5 C) 8x 8x 5 D) 4x 8x 5 E) 4x 8x+5 P(x)=x + Q(x)=x x olduğuna göre, P(x).Q(x) Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 +x +6 B) x 4 x +x +6 C) x 4 x x 6 D) x 4 x x +6x E) x 4 x +x x 6 soru soru 6 (x )(x+)+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 9x B) 9x C) 9x 6x P(x)=x+ Q(x)=x 4x+ olduğuna göre, P(x) P(x).Q(x) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? D) 9x 6x E) 9x 6x+ soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) x +0x +x 4 B) x +0x +x+4 C) x 0x +x 4 D) x +0x x 4 E) x +0x x+4 (x 5x+)(x ) çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x x +x C) x x D) x x x E) x x +x (x +x x)(4x 5x+) çarpımı yapıldığında oluşan polinomdaki x 4 lü terimin katsayısı kaç olur? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) soru 4 soru 8 (x )(x +x+)+6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 +6x +4x 9x B) x 4 +6x x 9x C) x 4 +6x +x D) x 4 +6x +x 9x (x 4 +x 4x 5x 7)(x +x +5x ) çarpımı yapıldığında oluşan polinomdaki x 5 lü terimin katsayısı kaç olur? A) B) C) D) 4 E) 5 E) x 4 +6x x 9x C A B 4 D 5 E 6 A 7 C 8 C 9

27 P(x) polinomunun derecesi m, Q(x) polinomunun derecesi n olsun, der[p(x)]=m ve der[q(x)]=n P(x) ve Q(x) polinomlarının çarpımının derecesi, polinomların dereceleri toplamına eşittir. der[p(x).q(x)]=der[p(x)]+der[q(x)]=m+n P(x)=x +7 Q(x)=x +x+ olduğuna göre, P(x).Q(x) çarpımının derecesi kaçtır, bulunuz. P(x).Q(x)=(x +7).(x +x+) =x 5 +x 4 +x +7x +x+7 der[p(x).q(x)]=5 veya der[p(x)]= ve der[q(x)]= der[p(x).q(x)]=+=5 Cevap: 5 P(x)=x +6 Q(x)=x olduğuna göre, der[.p(x).q(x)] kaçtır, bulunuz. P(x).Q(x)=(x +6).(x ) =x 4 x +6x 6=x 4 +4x 6.P(x).Q(x)=6x 4 +x 8 der[.p(x).q(x)]=4 Cevap: 4 der[p(x).q(x)]=7 der[q(x)]=4 olduğuna göre, der[p(x)] kaçtır, bulunuz. der[p(x)]=m olsun der[p(x).q(x)]=der[p(x)]+der[q(x)] 7=m+4 =m der[p(x)]= Cevap: der[p(x)]=m, der[q(x)]=n ve m>n olmak üzere, der[p(x)+q(x)]=4 der[p(x).q(x)]=6 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. m>n ve der[p(x)+q(x)]=4 olduğundan m=4 tür. der[p(x).q(x)]=m+n=6 4+n=6 n= Cevap: 0

28 soru soru 5 P(x)=x 7 Q(x)=x +x+ olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? der[p(x)]=4 der[q(x)]= olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 P(x)=5x +6x+ Q(x)=x 6x olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? der[p(x)]= der[p(x).q(x)]=6 olduğuna göre, der[q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 soru soru 7 P(x)=4x +x x+ Q(x)=x +x olduğuna göre, der[p(x).q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI der[p(x)]>der[q(x)] olmak üzere, der[p(x)+q(x)]= der[p(x).q(x)]=5 olduğuna göre, der[q(x)] kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 soru 8 P(x)=x +6x+4 Q(x)=x x olduğuna göre, der[.p(x).q(x)] kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 der[p(x)]<der[q(x)] olmak üzere, der[.p(x)+.q(x)]=6 der[p(x).q(x)]=9 olduğuna göre, der[p(x)] kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A D E 4 B 5 E 6 A 7 A 8 C

29 Polinom Eşitliği İki polinom birbirine eşit ise aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir. P(x)=a n x n +a n x n +...+a x+a 0 ve Q(x)=b n x n +b n x n +...+b x+b 0 olsun, P(x)=Q(x) (a n =b n, a n =b n,..., a =b, a 0 =b 0 ) dır. P(x)=x +x Q(x)=ax +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a b c kaçtır, bulunuz. P(x)=Q(x) o halde x +x =ax +bx+c ve a=, b=, c= olmalıdır. a b c= ( )= += Cevap: P(x)=(a )x +bx +x+ Q(x)=x +cx+d polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c+d kaçtır, bulunuz. P(x)=Q(x) ise (a )x +bx +x+=x +cx+d ve a =0, b=, c= ve d= olmalıdır. (a =0 çünkü Q(x) polinomunda x lü terim yok.) a=, b=, c=, d= ise a+b+c+d=+++=6 Cevap: 6 P(x)=ax +x+ Q(x)=x +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c kaçtır, bulunuz. Q(x)=x +bx+c ise Q(x)=.(x) +b.(x)+c Q(x)=x +bx+c P(x)=Q(x) ise ax +x+=x +bx+c ve a=, b= ve c= olmalıdır. a=, b= ve c= ise a+b+c=++=6 Cevap: 6 P(x+)=x+ Q(x)=ax +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a.b.c kaçtır, bulunuz. P(x+)=x+ ifadesinde x yerine x+ in tersi x yazılırsa P(x +)=(x )+ P(x)=x olur. P(x)=Q(x) ise x =ax +bx+c ve a=0, b=, c= olmalıdır. a.b.c=0..( )=0 Cevap: 0

30 soru soru 5 P(x)=x x+ Q(x)=ax +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c kaçtır? A) B) C) 0 D) E) P(x)=4x+ Q(x)=ax+b polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b kaçtır? A) 4 B) 7 C) 0 D) E) 6 soru soru 6 P(x)=ax +4x 5 Q(x)=x +bx+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a.b+c kaçtır? P(x)=ax+5 Q(x)=bx +8x+c polinomları veriliyor. P(9x)=Q(x) olduğuna göre, a+b+c kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) 5 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 7 B) 9 C) D) E) 5 P(x)=ax +(b )x+ Q(x)=x+c polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b c kaçtır? P(x )=x+a Q(x)=bx+ polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a+b kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) B) 0 C) D) E) soru 4 soru 8 P(x)=(a+)x +x +(b )x 5 Q(x)=(c+)x +4x+d polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, P() kaçtır? P(x+)=4x+a Q(x )=bx+5 polinomları veriliyor. P(x)=Q(x) olduğuna göre, a b kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) 9 B) 7 C) D) 8 E) 5 C A B 4 E 5 D 6 B 7 A 8 B

31 P(x)+P(x+)=4x+4 olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x) ile P(x+) i topladığımızda 4x+4 ü elde ettiğimize göre, P(x)=ax+b olmalıdır. P(x+)=a(x+)+b=ax+a+b P(x)+P(x+)=ax+b+ax+a+b=4x+4 ax+a+b=4x+4 (polinom eşitliğinden) a=4 ve a+b=4 a= ve b= O halde P(x)=ax+b=x+ Cevap: x+ P(x+)+P(x )=x +6 olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. P(x)=ax +bx+c olmalıdır. P(x+)=a(x+) +b(x+)+c=a(x +x+)+b(x+)+c =ax +ax+a+bx+b+c P(x )=a(x ) +b(x )+c=a(x x+)+b(x )+c =ax ax+a+bx b+c P(x+)+P(x )=ax +a+bx+c=x +6 ax +bx+a+c=x +6 (polinom eşitliğinden) a= ve b=0 ve a+c=6 a= b=0 c= O halde P(x)=ax +bx+c=x + Cevap: x + x + 5 A B = + (x + )(x + ) x + x + olduğuna göre, A.B kaçtır, bulunuz. x + 5 A B = + (paydaları eşitleyelim) (x + )(x + ) x + x + () (x+ ) (x+ ) x+5=ax+a+bx+b x+5=(a+b)x+a+b (polinom eşitliğinden) A + B = Denklem sistemini çözersek A + B = 5 A= ve B= A.B=.( )= bulunur. Cevap: 4

32 soru soru 5 P(x)+P(x )=8x olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x + A B = + (x + )(x + ) x + x + olduğuna göre, A B farkı kaçtır? A) 4x B) 4x C) 4x D) 4x E) 4x+ A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x)+P(x+)=4x+4 olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x A B = + (x )(x + ) x x + olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? A) x+ B) x+ C) x+5 D) 4x+ E) 4x+ A) B) C) D) 4 E) 6 soru soru 7 P(x+)+P(x )=6x 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A B = + x(x + ) x x + olduğuna göre, A+B toplamı kaçtır? A) x B) x C) x D) x+ E) x+ A) 5 B) 4 C) D) E) soru 4 soru 8 P(x)+P(x )=x x+ olduğuna göre, P(x) polinomunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 A B = + (x + )(x + 4) x + x + 4 olduğuna göre, A B farkı kaçtır? A) x B) x C) x D) x + E) x x+ A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) E A B 4 C 5 A 6 B 7 E 8 C 5

33 Katsayılar Toplamı Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için polinomda x yerine yazılır. O halde, P(x) in katsayılar toplamı P() P(x+) nin katsayılar toplamı P(+)=P() P(x ) in katsayılar toplamı P(. )=P() olur. P(x)=(x +4x ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun katsayılar toplamı P() dir. P(x)=(x +4x ) ise P()=(+4 ) = =9 olur. Cevap: 9 P(x)=x 4x+7 polinomu veriliyor. Buna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x+) polinomunun katsayılar toplamı P(+)=P(4) dür. P(x)=x 4x+7 ise P(4)= =7 olur. Cevap: 7 P(x+)=x x+5 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x+) polinomunun katsayılar toplamı P(+)=P() tür. P(x+)=x x+5 ise P() ü bulmak için x yerine yazmalıyız. x= ise P(+)=.+5 P()=4 olur. Cevap: 4 P(x+)=x x+ polinomu veriliyor. P(x+4) polinomunun katsayılar toplamı P(+4)=P(5) dir. P(x+)=x x+ ise P(5) i bulmak için x yerine yazmalıyız. Buna göre, P(x+4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. x= ise P(.+)= + P(5)=9 olur. Cevap: 9 6

34 soru soru 5 P(x+) polinomunun katsayılar toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) P( ) B) P(0) C) P() D) P() E) P(5) P(x )=(x +4x ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 6 D) 49 E) 64 soru soru 6 P(x)=(x +x+) 4 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P(x+)=(x 4x+5) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 56 A) 8 B) C) 0 D) E) 8 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=(x ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 8 B) C) 0 D) E) 8 P(x)=x 4 x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 5 B) 0 C) 5 D) E) 0 soru 4 soru 8 P(x)=x x+6 olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P(x )=x x olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 0 E) A) 55 B) 56 C) 57 D) 58 E) 59 E D B 4 C 5 C 6 E 7 A 8 A 7

35 Sabit Terim Bir polinomun sabit terimini bulmak için polinomda x yerine 0 yazılır. O halde, P(x) in sabit terimi P(0) P(x+) nin sabit terimi P(0+)=P() P(x ) nin sabit terimi P(.0 )=P( ) olur. P(x)=(x +x ) polinomunun sabit terimi kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır. P(x)=(x +x ) ve P(0)=(0 +.0 ) =( ) =9 Cevap: 9 P(x)=x 7x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun sabit terimi P(0+)=P() dir. P(x)=x 7x+ ve P()= 7.+=8 4+= 4 olur. Cevap: 4 P(x+)=x 4x+ P(x+) polinomunun sabit terimi P(0+)=P() tür. olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır, bulunuz. P(x+)=x 4x+ ise P() ü bulmak için x yerine yazmalıyız. x= ise P(+)= 4.+ P()=4 8+= olur. Cevap: P(x )=x +4 olduğuna göre, P(x+) polinomunun katsayılar toplamı ile P(x+) polinomunun sabit teriminin toplamı kaçtır, bulunuz. P(x+) polinomunun sabit terimi P(.0+)=P() ve P(x+) polinomunun katsayılar toplamı P(+)=P() tür. P(x )=x +4 x= ise P( )= +4 P()=8+4= x=4 ise P(4 )=4 +4 P()=64+4=68 P()+P()=+68=80 olur. Cevap: 80 8

36 soru soru 5 P(x)=(x x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(x )=x 4x olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) B) C) 4 D) 9 E) 6 A) B) 0 C) D) 4 E) 6 soru soru 6 P(x)=(x+) +(4x ) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(x )=x +6 olduğuna göre, P(x+5) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 7 B) 0 C) D) 6 E) 9 soru soru 7 P(x)=x 4 5x +6x+5 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x+)=x +x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı ile P(x+4) polinomunun sabit terimi toplamı kaçtır? A) 7 B) 5 C) D) E) 9 soru 4 soru 8 P(x)=x x+ olduğuna göre, P(x+) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) P(x+)=x +5x olduğuna göre, P(x+4) polinomunun katsayılar toplamı, P(x+) ün sabit teriminin kaç katıdır? 5 7 A) B) C) D) E)4 D B C 4 A 5 E 6 C 7 D 8 C 9

37 P(x)=x + Q(x)=x +x olduğuna göre, (x+)p(x)+q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. (x+).p(x)+q(x) polinomunun katsayılar toplamı için ifadede x yerine yazılırsa, (+).P()+Q()=P()+Q() olur. P()= += ve Q()= +. = olduğuna göre, P()+Q()=.+=4+=6 olur. Cevap: 6 P(x) + x = 4 Q( x ) eşitliği veriliyor. Q(x) in sabit terimi olduğuna göre, P(x) in katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. Q(x) in sabit terimi ise Q(0)= olur. Verilen eşitlikte x yerine yazarak Q(0)= bilgisini kullanabiliriz. P() + P() + x = ise = 4 ve = 4 Q( ) Q(0) Q(0)= olduğuna göre, P() + = 4 P()+= P()=0 O halde P(x) in katsayılar toplamı P()=0 dur. Cevap: 0 P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı P() + P( ) P() P( ) formülleriyle bulunur. P(x)=(x +x+) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x)=(x +x+) polinomunda P() ve P( ) i bulalım. P()=( ++) =4 =64 ve P( )=(( ) +( )+) = =8 Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı, P() + P( ) = = = 6 olur. Cevap: 6 P(x)=(x +x ) 5 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır, bulunuz. P(x)=(x +x ) 5 polinomunda P() ve P( ) i bulalım. P()=( + ) 5 = 5 = ve P( )=(( ) ) 5 =( ) 5 = Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı, P() P( ) ( ) = = = olur. Cevap: 40

38 soru soru 5 P(x)=x +x Q(x)=x +4 olduğuna göre, x.p(x)+q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? P( x + ) + x = x + Q(x) + eşitliği veriliyor. P(x+) ün katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, Q(x+) ün sabit terimi kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x)=(x +) Q(x)=x +x+ olduğuna göre, (x+)p(x) Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 P(x+)+x.Q(x )=x +x eşitliği veriliyor. Q(x) in katsayılar toplamı 4 olduğuna göre, P(7 x) in sabit terimi kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru soru 7 P(x+)=x + Q(x)=x olduğuna göre, P(x )+Q(x+) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=(x x+) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 7 C) D) 5 E) 4 soru 4 soru 8 P(x) + = x + Q(x) eşitliği veriliyor. Q(x) in katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, P(x) in katsayılar toplamı kaçtır? P(x)=(x +x+) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır? A) 7 B) 0 C) D) 6 E) 9 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 C B D 4 A 5 E 6 A 7 B 8 C 4

39 da Bölme İşlemi Polinomlar P(x) Q(x) bölme işleminde, P(x)=Bölünen polinom B(x) Q(x)=Bölen polinom K(x) B(x)=Bölüm polinomu K(x)=Kalan polinomdur. Bölme işleminin özelliğinden der[p(x)] der[q(x)] olmak üzere, P(x)=Q(x).B(x)+K(x) der[q(x)]>der[k(x)] olmalıdır. Polinomlarda bölme işlemi doğal sayılardaki bölme işlemine benzerdir. Bölünen polinamlardaki en büyük dereceli terim dikkate alınarak işlemi başlanır. Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar bölme işlemi devam eder. x+ x?? Yukarıdaki bölme işlemini yapınız..adým x+ x.adým.adým x+ x x+ x (x ) x 4 Bölüm Kalan x +x x?? Yukarıdaki bölme işlemini yapınız..adým x +x x x 4.adým x +x x x x x+ x.adým.adým x +x x x +x x x.(x ) x x x x x 5.adým x +x x x x x+ x x 6.adým x +x x x x x+ x Bölüm x Kalan P(x)=x 4x+ polinomunun, Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. x 4x+ x+ x +x 5x+ x 5 Bölüm 5x 5 6 Kalan Cevap: x 5 P(x)=x +x+4 polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden edilen bölümü ve kalanı bulunuz. elde x +x+4 x+ x +6x 4x+4 x 4 Bölüm 4x 8 Kalan Cevap: Bölüm:x 4, Kalan: 4

40 soru soru 5 P(x)=x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +5x+6 polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x)=8x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde e- dilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 0 C) D) E) 4 A) x+4 B) x+ C) x+ D) x+ E) x soru soru 7 P(x)=x +4x+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) x+ B) x+ C) x D) x E) x A) x B) x C) x D) x 4 E) x 5 soru 4 soru 8 P(x)=x 6x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +x+4 polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E) A) x B) x C) x D) x 4 E) x 5 B C A 4 B 5 D 6 E 7 B 8 E 4

41 P(x)=x +x+ polinomunun Q(x)=x+ ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. x +x+ x+ x +x x x+4 x +x+ x x 4x+ 4x+4 Cevap: x x+4 P(x)=x +x +4 polinomunun Q(x)=x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. x +x +4 x + x +x x+ x x+4 x + x+ Cevap: x+ P(x)=x 4 x +x+ polinomunun Q(x)=x ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. x 4 x +x+ x x 4 x x x+ x +x +x+ x +x x + x Cevap: x x+ P(x)=x 5 x polinomunun Q(x)=x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. x 5 x x x 5 x x x +x x + x Cevap: x 44

42 soru soru 5 P(x)=x +x +5 polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) x +5x+0 B) x +5x+7 C) x 5x 0 D) x 5x 7 E) x 5x 5 A) x x B) x x+ C) x +x D) x +x E) x +x+ soru soru 6 P(x)=x 4 +x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x +x +x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x+ C) x+ D) x+ E) x+4 A) 5 B) 7 C) 9 D) E) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +4x + polinomunun Q(x)=x + polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x 4 +x +x+ polinomunun Q(x)=x + polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x+7 B) x+ C) x D) x E) x 7 A) x+6 B) x+ C) x D) x+ E) x+6 soru 4 soru 8 P(x)=x x +5x polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? P(x)=x 5 +x + polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x+4 B) 6x+ C) 6x D) 6x 4 E) 6x 6 A) x B) x C) x + D) x + E) x + A A E 4 D 5 C 6 B 7 A 8 E 45

43 Horner Metodu Polinomlarda bölüm ve kalanı bulmada kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem bölen polinomun ax+b şeklinde veya ax b şeklindeki ifadelerin çarpımı halinde iken uygulanabilir. Bunu P(x)=ax +bx +cx+d polinomunun Q(x)=x k ile bölümünden bölüm ve kalanı bulmada aşağıdaki tabloda uygulayarak öğrenmeye çalışalım. k Böleni sýfýr yapan deðer a a Bölünenin katsayýlarý b c d a.k k(ak+b) k.[k.(ak+b)+c] ak+b k(ak+b)+c Bölümün katsayýlarýný bulmak için a ile bölünür. k.[k.(ak+b)+c]+d Kalan Adım : Bölünen polinomun katsayılarını x in azalan kuvvetlerine göre yaz. Adım : Böleni sıfır yapan değeri bul. x k=0 ise x=k gibi Adım : Polinomun başkatsayısı a yı tablodaki gibi aşağı yaz. Adım 4: Bölenin kökü k ile a yı çarpım b ye ekle. Sonra bunu oluşan her sayıya uygulayarak tabloyu tamamla. Adım 5: Bölüm polinomunu bulmak için kalan hariç diğer katsayılar a ile bölünür. P(x)=x 6x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Bölünen polinomun katsayıları, 6, x+=0 ve x= böleni sıfır yapan değer. 6 ( ). ( ).( ).+( 6)=. +=9 Bölüm: x Kalan: 9 Kalan P(x)=x +4x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Bölünen polinomun katsayıları,0,4, (x li terim olmadığı için katsayısını 0 olarak aldık.) x =0 ve x= böleni sıfır yapan değer =.+4=8.8+=9 Bölüm:.x +.x+8 Kalan: 9 Kalan 5 4 a b a a b Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, a+b toplamı kaçtır, bulunuz. a=5.+4=4 b=5.a+=5.4+=7 a+b=4+7=87 Cevap: 87 46

44 soru P(x)=x 5x +4x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tablolardan hangisi ile bulunabilir? soru 4 P(x)=x +x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 C) D) E) soru 5 0 soru a b c P(x)=x +4x polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tablolardan hangisi ile bulunabilir? A) B) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, a+b+c toplamı kaçtır? A) 60 B) 66 C) 70 D) 75 E) 80 C) D) E) soru 6 4 soru a b c P(x)=x 7x+ polinomunun Q(x)=x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, a b+c kaçtır? A) x 6 B) x 5 C) x 4 D) x E) x A) B) C) 4 D) 5 E) 6 C A B 4 D 5 E 6 C 47

45 P(x)=x 6x+ polinomunun Q(x)=x ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Bölünenin katsayıları,, 6, Böleni sıfır yapan değer x =0 ve x= 6..( 4).+( 6)= 4.( 4)+= Burada bölüm: x 4 ve kalan şeklinde duruyor. Ama bölme işlemi yaparsak, x 6x+ x x x x 4x+ 4x+4 Bölümün x olduğunu görebilirsiniz. Bunun nedeni x =(x ) ifadesindeki sayısı x 4 (x ) = = x olduğunu görürüz. P(x)=4x 5x +x+ polinomunun x+4 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Sonuç: Bölüm polinomu ax+b şeklinde olduğunda, horner metodu ile bulduğumuz bölümün katsayılarını a sayısına bölerek cevabı buluyoruz. Bölünen polinomun katsayıları: 4, 5,, Böleni sıfır yapan değer: x+4=0 ve x= 4 5 ( ).4 ( ).( ) ( ).8 4 ( ).4+( 5)= ( ).( )+=8 ( ).8+= 55 4x Bölüm: x+8 Kalan: 55 x+4 ün baþkatsayýsý x+4 P(x)=x +x +4x polinomunun (x )(x ) ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı horner metodu ile bulunuz. Uyarı (x )(x ) ile bölme işleminde, önce x sonra x ile bölme işlemi yapsanızda kalan değişmez. Şimdi önce P(x); x sonra oluşan bölümü x ile bölerek işleme başlayalım. 4 Kalanı; ikinci kalan 7 sayısını ilk bölen ile çarpıp ilk kalan ile toplayarak buluyoruz. 7 6 Kalan=(x ).7+6=7x Bölen:x Bölenin katsayýlarý 48

46 soru P(x)=x +4x polinomunun Q(x)=x+ ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tabloların hangisi ile bulunabilir? soru P(x)=8x 4x+ polinomunun Q(x)=4x 4 polinomuna bölümünden elde e- dilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 4 A) x B) x C) x+ D) 8x 4 E) 8x+4 C) 4 D) soru 4 P(x)=6x 4x +x+ polinomunun Q(x)=x+ polinomuna bölümünden elde E) 4 edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 0 D) 8 E) 6 soru P(x)=4x x+ polinomunun Q(x)=x 4 ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki tabloların hangisi ile bulunabilir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru Yukarıda verilen tablo horner metodu ile doldurulmuştur. Buna göre, kalan polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) A) x+ B) x+ C) x+4 D) x E) x 4 C) D) soru 6 E) P(x)=x +4x+ polinomunun (x+)(x ) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x+ B) 5 C) x+5 D) 5x+5 E)5x+5 A C C 4 C 5 C 6 E 49

47 Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma: P(x) Q(x) B(x) K(x) Bölme işleminde P(x)=Q(x).B(x)+K(x) dir. P(x) polinomunun Q(x) polinomu ile bölümünden elde edilen kalanı, bölme işlemini yaparak bulabileceğimiz gibi, Q(x)=0 denklemini sağlayan x değerini P(x) polinomunda yazarakta bulabiliriz. P(x) polinomunun Q(x)=ax+b biçimindeki polinoma bölümünden elde edilen kalanı bulma işlemi; P(x) ax+b B(x) K ise P(x)=(ax+b).B(x)+K dır. (Bölen ax+b ifadesi. dereceden bir polinom olduğundan kalan sabit bir sayı olmalıdır.) b ax+b=0 ve x = değeri P(x) polinomunda yerine yazılırsa, a b b b b P a. b B K ve P K a = + + = a a a 0 dır. P(x)=x + polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. x =0 ise x= x= için P()= +=8+=0 Cevap: 0 Konu Kavrama Çalışması Bölünen Polinom Bölen Polinom. adým. adým. adým P(x)=x +x x x =0 ise x= P()= + P()= P(x)=x +x+4 x x =0 ise x= P()= +.+4 P()=4 P(x)=x 4 x+ x+=0 ise x= P( )=.( ) 4 P( )= P(x)=(x +6) x x=0 P(0)=(0 +6) P(0)=6 P(x)=x x+4 x x =0 ise x= P()= +4 P()=0 P(x)=x + P(x)=x +x+ x x+ x =0 ise x= x+=0 ise x= P = + P = P = 8 P = 7 9 P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 4, (x ) ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, P()+P() toplamı kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanı bulmak için x =0 ve x= değeri P(x) polinomunda yerine yazılır. Bundan dolayı, x= için P()=4 Benzer şekilde, x =0 ve x= için P()=5 P()+P()=4+5=9 Cevap: 9 50

48 soru soru 5 P(x) polinomunun x 4 ile bölümünden kalan aşağıdaki ifadelerden hangisi ile bulunabilir? P(x)=x +4x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) P(5) B) P(4) C) P() D) P() E) P() A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 P(x) polinomunun 5x ile bölümünden kalan aşağıdaki ifadelerden hangisi ile bulunabilir? P(x)=x +5x+7 polinomunun x+ ile bölümünden kalan kaçtır? 5 A)P() B)P(5) C)P D)P E)P 5 5 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P(x)=x +4 polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? P(x)=(x +) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) C) D) 8 E) 7 soru 4 soru 8 P(x)=x x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? P(x)=(x x+) polinomunun x 4 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 0 B) C) 4 D) 9 E) 6 B C E 4 A 5 D 6 E 7 D 8 E 5

49 P(x+)=x +5x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. x =0 ise x= x= için P(+)= +5.+ P()=+5+=8 Cevap: P()=8 Konu Kavrama Çalışması Bölünen Polinom Bölen Polinom. adým. adým. adým P(x+)=x + x x =0 ise x= x= için P(+)= + P()=4 P(x )=x +x+ x x =0 ise x= x= için P( )= +.+ P()= P(x)=x +5 x+ x+=0 ise x= x= için P(.( ))=( ) +5 P( )=6 P(x+)=x x x =0 ise x= x= için P(+)= P()=0 P(x )=x +x+4 x+ x+=0 ise x= x= için P( )=( ) +( )+4 P( 4)=6 P(5x)=x +7 x x =0 ise x= x= için P(5.)= +7 P(5)=4 P( x)=x +x+6 x x=0 x=0 için P( 0)= P()=6 P(x+)=x +ax+ polinomunun x ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. x =0 ise x= x= için P(+)= +a.+=9 a+5=9 a=4 a= Cevap: P(x )=x +5x+ olduğuna göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan, x =0 ise x= ve x= için P() dir. P() yi elde edebilmek için P(x ) polinomunda x= yazarız, P( )= +5.+=5 Cevap: 5 5

50 soru soru 5 P(x ) polinomunun x ile bölümünden kalanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? P(x+)=kx +6 polinomunun x ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, k kaçtır? A) P() B) P() C) P(4) D) P(5) E) P(6) A) B) C) D) 0 E) soru soru 6 P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? P()=4 olduğuna göre, P(x+) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) P( ) B) P( ) C) P( ) D) P(0) E) P() A) B) C) D) 4 E) 5 soru soru 7 P(x )=x +7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P( )= polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 olduğuna göre, P(x+4) polinomunun x+5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 soru 8 P(x+)=x +x+ polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 P(x )=x +4x 6 olduğuna göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A E C 4 B 5 E 6 D 7 B 8 D 5

51 P(x)=x +x+6 olmak üzere, P(x+) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x+) in x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P(+)=P() ü bulmak gerekir. P(x) polinomunda, x= için P()= ++6=8 Cevap: 8 P(x)=x +x olmak üzere, P(x ) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x ) in x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P( )=P(0) ı bulmak gerekir. P(x) polinomunda, x=0 için P(0)=0 +.0 Cevap: P(x+)=x +6x olmak üzere, P(x+) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x+) nin x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P(+)=P() ü bulmak gerekir. P(x+) polinomunda, P() ü bulmak için x= yazılır. x= için P(+)= +6. =4+ =4 Cevap: 4 P(x )=x +4x+7 olmak üzere, P(x ) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır, bulunuz. P(x ) in x ile bölümünden kalanı bulmak için, x =0 ise x= ve x= için P( )=P() yi bulmak gerekir. P(x ) polinomunda, P() yi bulmak için x=4 yazılır. x=4 için P(4 )= =9 Cevap: 9 54