ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Y. Müh. Ales KUYUMCUOĞLU Anabilim Dalı: Meatroni Mühendisliği Programı: Meatroni Mühendisliği HAZİRAN 008

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Y. Müh. Ales KUYUMCUOĞLU Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 05 Mayıs 008 Tezin Savunulduğu Tarih: 3 Haziran 008 Tez Danışmanı: Prof. Dr. Kenan Y. ŞANLITÜRK Diğer Jüri Üyeleri: Prof. Dr. Temel BELEK (İTÜ) Yrd. Doc. Dr. Erdinç ALTUĞ (İTÜ) HAZİRAN 008

3 ÖNSÖZ Bu yüse lisans tez çalışmasını yöneten değerli hocam Prof. Dr. Kenan Y. ŞANLITÜRK e verdiği tavsiyeler, yaptığı olumlu eleştiriler ve sabrı için teşeür ederim. Bu çalışmanın yapılması için olana sağlayan ve desteğini esirgemeyen Arçeli A.Ş ARGE Titreşim ve Austi Tenolojileri Ailesi lideri Sn. Metin GÜL, tez çalışmasında yazılan programda büyü yardımları olan Sn. Ergin ARSLAN, çalışmanın her aşamasında desteğini esirgemeyen ve yanımda olan Sn. Ahmet Ali USLU ve Sn. İsa VAROL, deneysel ölçümlerde yardımları bulunan Sn. Kenan ATAÇ başta olma üzere tüm bölüm çalışanlarına teşeürlerimi sunarım. Ayrıca İTÜ Titreşim Austi laboratuarı araştırma görevlilerinden Sn. Hasan KÖRÜK e yazılımların ullanılması esnasında verdiği desteten ötürü teşeür ederim. Tüm öğrenim hayatım boyunca elde ettiğim başarılarımı borçlu olduğum, her zaman yanımda olan, maddi ve manevi destelerini esirgemeyen sevgili AİLEME teşeürlerimi borç bilirim. Haziran 008 Ales KUYUMCUOĞLU ii

4 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ii İÇİNDEKİLER iii KISALTMALAR vi TABLO LİSTESİ vii ŞEKİL LİSTESİ viii SEMBOL LİSTESİ xii ÖZET xiv SUMMARY xv. GİRİŞ. Çalışma Şartlarında Modal Analiz. Literatür Araştırması 3.. Zaman Alanı Yöntemleri 5... Doğal Tahri Yöntemi 5... Oto-Regresyon Hareetli Ortalama Yöntemi (ORHOY) (Auto- Regression Moving Average)...3 Olasılı Tabanlı Metot (OTM) (Stochastic Realization Based)...4 Olasılı Alt Uzay Belirleme Teniği (OAUBT) (Stochastic System Identification).. Freans Alanı Yöntemleri 5... Freans Alanında Ayrılaştırma (FAA) Yöntemi (Frequency Domain Decomposition) 5... En Küçü Kareler Yöntemi Karmaşı Freans Metodu (Least Square Complex Frequency) 5.3 Çalışma Şartlarında Modal Analizin Avantaj ve Dezavantajları 6.4 Kapsam 7. FREKANS ALANINDA AYRIKLAŞTIRMA YÖNTEMİ 9. Giriş 9. Sinyal İşleme ve Ayrılaştırma 0 iii

5 .3 Güç ve Çapraz Spetrumların Elde Edilmesi.4 Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemi Teorisi 4.4. Teil Değerlere Ayrıştırma 6.5 Doğal Freans ve Mod Şelinin Hesap Edilmesi 8.6 Geliştirilmiş Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemiyle Sönümün Hesap Edilmesi 3.7 ÇŞMA İle İlgili Sayısal İşlemler 3.8 Freans Alanında Ayrılaştırma Yönteminin Aış Şeması SAYISAL UYGULAMALAR Sayısal Model Sayısal Hesaplamalarda Kullanılan Bilgisayar Yazılımları Kütle-Yay Sistemi Üzerinde Sayısal Uygulamalar Kütle-Yay Sistemi Sayısal Modeli Farlı Sönümlü Yapılara Çalışma Şartlarında Modal Analiz Uygulamaları Sönümsüz Model Orantılı Yapısal Sönümlü Model Orantılı Visoz Sönümlü Model Genel Visoz Sönümlü Model Farlı Tahri Kuvvetleri Altında ÇŞMA Uygulamaları Düz Plaa Üzerindei Sayısal Uygulamalar Gelenesel Modal Analiz (Sayısal) Çalışma Şartlarında Modal Analiz (Sayısal) Sayısal Verilere Gürültü Elenmesi Durumunda Metodun Geçerliliği 7 4. DENEYSEL UYGULAMALAR Deney Düzeneği ve Ölçümler Düz Kiriş Üzerinde Yapılan Deneysel Çalışmalar Modal Çeiç İle Yapılan Ölçüm ve Analizler Sarsıcı ile Yapılan Çalışmalar Rasgele Tahri Terar Edilen Rasgele Kuvvet Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemi ile Düz Kirişin Modal Parametrelerinin Belirlenmesi 93 iv

6 4.3 Düz Plaa Üzerinde Yapılan Deneysel Çalışmalar Çamaşır Mainesi Paneli Üzerinde Yapılan Deneysel Çalışmalar 0 5. GENEL DEĞERLENDİRME VE GELECEKTE YAPILABİLECEK ÇALIŞMALAR 4 5. Genel Değerlendirme 4 5. Gelecete Yapılabilece Çalışmalar 6 KAYNAKLAR 8 EKLER ÖZGEÇMİŞ 6 v

7 KISALTMALAR ÇŞMA GMA DTF SEM TDA MGK FAA DTY ORHOY OTM OAUBT EB KDA AEB MO ÇGÇÇ GSY ÇSY : Çalışma Şartlarında Modal Analiz : Gelenesel Modal Analiz : Darbe Tepi Fonsiyonu : Sonlu Elemanlar Modeli : Teil Değerlerine Ayrıştırma : Modal Güvence Kriteri : Freans Alanında Ayrılaştırma (Frequency Domain Decomposition) : Doğal Tahri Yöntemi (Natural Excitation Technique) : Oto- Regresyon Hareetli Ortalama Yöntemi (Auto-Regression Moving Average) : Olasılı Tabanlı Metot (Stochastic Realization Based) : Olasılı Alt Uzay Belirleme Teniği (Stochastic Subspace Identification) : Esas Bileşenler : Kanoni Değişen Analiz : Ağırlılandırılmamış Esas Bileşenler : Masimum Olasılı : Ço Giriş Ço Çıış : Güç Spetral Yoğunlu : Çapraz Spetral Yoğunlu vi

8 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo.: Pencere Fonsiyonlarının Freans Alanındai Karateristileri... 3 Tablo 3.: Sönümsüz Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Tablo 3.: Orantılı Yapısal Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Tablo 3.3: Orantılı Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Tablo 3.4: Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Tablo 3.5: Genel Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Tablo 3.6: Genel Yüse Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması... 6 Tablo 3.7: Rasgele Beyaz Tahri Sonucu Elde Edilen ÇŞMA ile GMA Karşılaştırılması Tablo 3.8: Düz Plaa Sönüm Oranları Karşılaştırılması... 7 Tablo 4.: İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Tablo 4.: Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Tablo 4.3: Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Tablo 4.4: Terar Edilen Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması... 9 Tablo 4.5: Terar Edilen Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması... 9 Tablo 4.6: Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemiyle Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Oranlarının Karşılaştırılması Tablo 4.7: Düz Plaa Doğal Freansların Karşılaştırılması Tablo 4.8: Çamaşır Mainası Yan Paneli Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Tablo 4.9: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması... 0 vii

9 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şeil. : Sistem Belirleme Şemati Gösterimi... Şeil. : Birleşi Dış Etilere Dayanan Model... 9 Şeil. : Cevaplar Arasındai Çapraz Spetral Yoğunlu Matrisi Elemanları... Şeil.3 : Prati ve İdeal Filtre... 3 Şeil.4 : Her bir freansta güç spetrum yoğunlu matrislerinin... 9 Şeil.5 : Teil değerlere ayrıştırma sonucu elde edilen grafi Şeil.6 : Mod Etrafındai Yarım Bant Genişliği... 3 Şeil.7 : Sayısal Çalışma Şartlarında Modal Analiz Yönteminin Şemati Gösterimi Şeil.8 : Deneysel Çalışma Şartlarında Modal Analiz Yönteminin Şemati Gösterimi Şeil 3. : Kütle-Yay Sistemi Şeil 3. : Sönümsüz Kütle-Yay Sisteminin ADAMS Modeli Şeil 3.3 : Süpürücü Sinüs Şeil 3.4 : Sönümsüz Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.5 : Sönümsüz Modelin Teil Değerlerine Ayrıştırma Grafiği Şeil 3.6 : Orantılı Yapısal Sönümlü Model Şeil 3.7 : Orantılı Yapısal Sönümlü Sistemden.Kütleden Alınan Freansa Bağlı Genli Grafiği Şeil 3.8 : Sönümlü Kütle-Yay Sistemi... 5 Şeil 3.9 : Sönümlü Kütle-Yay Sisteminin ADAMS Modeli... 5 Şeil 3.0: Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi... 5 Şeil 3.: Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Faz Eğrisi Şeil 3.: Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Teil Değerlere Ayrıştırma Grafiği. 53 Şeil 3.3: Çalışma Şartlarında Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Şeil 3.4: Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.5: Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Faz Eğrisi Şeil 3.6: Çalışma Şartlarında Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Şeil 3.7: Genel Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.8: Genel Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Faz Eğrisi Şeil 3.9: Genel Visoz Sönümlü Modelin Teil Değerlere Ayrıştırma Grafiği Şeil 3.0: Genel Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Şeil 3.: Genel Yüse Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi 60 Şeil 3.: Genel Yüse Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi... 6 Şeil 3.3: Tahriin 3.Kütleden Uygulanması Sonucu Genel Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi... 6 viii

10 Şeil 3.4: Tahriin 3.Kütleden Uygulanması Sonucu Genel Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi... 6 Şeil 3.5:. Kütleden Alınan Cevaplar Şeil 3.6:. Kütleden Alınan Cevaplar Şeil 3.7: 3. Kütleden Alınan Cevaplar Şeil 3.8: Rasgele Beyaz Tahri Uygulaması Sonucu Elde Edilen Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.9: Rasgele Beyaz Tahri Uygulaması Sonucu Elde Edilen Freansa Bağlı Faz Eğrisi Şeil 3.30: Rasgele Beyaz Tahri Sonucu Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Şeil 3.3: Düz Plaa Sayısal Modeli Şeil 3.3: Düz Plaa Üzerinden Alınan Freansa Bağlı Genli Grafiği Şeil 3.33: Düz Plaa Teil Değerler Grafiği Şeil 3.34: Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları,. Mod Şeil 3.35: Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları,. Mod Şeil 3.36: Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları, 3. Mod Şeil 3.37: Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları, 4. Mod Şeil 3.38: %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Plaa Üzerinden Alınan İvme... 7 Şeil 3.39: %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Teil Değerler Grafiği... 7 Şeil 3.40: %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Mod Şeilleri... 7 Şeil 3.4: %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Plaa Üzerinden Alınan İvme Şeil 3.4: %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Şeil 3.43: %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Mod Şeilleri Şeil 4. : Bruel-Kjaer 035 Sinyal Analizörü Şeil 4. : Bruel-Kjaer PULSE Analizörü ve yazılımı Şeil 4.3 : Düz Kiriş Şeil 4.4 : Misinalar ile Asılan Düz Kiriş Şeil 4.5 : Düz Kirişe 5 Notasından Uygulanılan Darbe Kuvveti Gösterimi Şeil 4.6 : B&K PULSE Analizörü Şeil 4.7 : Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan Freans Tepi Fonsiyonu. 79 Şeil 4.8 : Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan Zamana Bağlı İvme Grafiği80 Şeil 4.9 : Düz Kiriş. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.0: Düz Kiriş. Modun Karşılaştırılması... 8 Şeil 4.: Düz Kiriş 3. Modun Karşılaştırılması... 8 Şeil 4.: Düz Kiriş 4. Modun Karşılaştırılması... 8 Şeil 4.3: Düz Kiriş İçin MGK Şeil 4.4: İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen 3. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.5: İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen MGK 85 Şeil 4.6: Sarsıcı ile Tahri Edilen Düz Kiriş Şeil 4.7: Sarsıcı ile Tahri Sonucu Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan FTF Şeil 4.8: Sarsıcı ile Tahri Sonucu Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan Zamana Bağlı İvme Grafiği Şeil 4.9: Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.0: Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen MGK Şeil 4.: Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen 5. Modun Karşılaştırılması ix

11 Şeil 4.: Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen MGK Şeil 4.3: Terar Edilen Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen 4. Modun Karşılaştırılması... 9 Şeil 4.4: Terar Edilen Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen MGK... 9 Şeil 4.5: Terar Edilen Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen. Modun Karşılaştırılması... 9 Şeil 4.6: Terar Edilen Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen MGK... 9 Şeil 4.7: Düz Kiriş Teil Değerler Grafiği Şeil 4.8:. ve 9. Notalar Arasındai Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.9:. ve 9. Notalar Arasındai Çapraz Spetrum Faz Bilgisi Şeil 4.30: Çalışma Şartlarında (FAA) ve Gelenesel Olara Elde Edilen 4. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.3: Çalışma Şartlarında (FAA) ve Gelenesel Olara Elde Edilen 6. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.3: Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemi Sonucu Elde Edilen MGK Şeil 4.33: Modal Çeiç ile Tahri Edilen Düz Plaa Şeil 4.34: Sarsıcı ile Tahri Edilen Düz Plaa Şeil 4.35: Düz Plaa Üzerinden Alınan FTF Şeil 4.36: Düz Plaa Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.37: Düz Plaa Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Faz Bilgisi Şeil 4.38: Düz Plaa Teil Değerler Grafiği Şeil 4.39: Düz Plaa. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.40: Düz Plaa. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.4: Düz Plaa 6. Mod Karşılaştırılması... 0 Şeil 4.4: Düz Plaa MGK... 0 Şeil 4.43: Çamaşır Mainası Gövdesi... 0 Şeil 4.44: Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan FTF Şeil 4.45: Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.46: Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Faz Bilgisi Şeil 4.47: Çamaşır Mainası Yan Paneli Çeiç ile Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Şeil 4.48: Çamaşır Mainası Yan Paneli. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.49: Çamaşır Mainası Yan Paneli 4. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.50: Çamaşır Mainası Yan Paneli 6. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.5: Çamaşır Mainası Yan Paneli 8. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.5: Çamaşır Mainası Yan Paneli MGK Şeil 4.53: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.54: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Faz Bilgisi Şeil 4.55: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Şeil 4.56: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli. Mod Karşılaştırılması... 0 Şeil 4.57: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli 4. Mod Karşılaştırılması... 0 x

12 Şeil 4.58: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli 7. Mod Karşılaştırılması... Şeil 4.59: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli 9. Mod Karşılaştırılması... Şeil 4.60: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli 0. Mod Karşılaştırılması... Şeil 4.6: Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli MGK... xi

13 SEMBOL LİSTESİ [ ( ω) ] { X ( ω) } : Titreşim Ölçümü Vetörü f () t : Zamana Bağlı Kuvvet x () t : Zamana Bağlı İvme Ölçümü [ K ] : Direngenli Matrisi [ M ] : Kütle Matrisi [ C ] : Sönüm Matrisi [ D ] : Yapısal Sönüm Matrisi [ K ] * : Komples Direngenli Matrisi H : Freans Tepi Fonsiyonu Matrisi m r r c r [ ψ ] { ψ } [] φ {} φ φ ri {} q : Modal Kütle : Modal Direngenli : Modal Sönüm : Özvetör Matrisi : Özvetör : Normalize Özvetör Matrisi : Normalize Özvetör : i notasındai r. mod : Modal Koordinat Vetörü q (t) : Süreli Zamanda Yerdeğiştirme Vetörü z (t) : Ölçülen Yerdeğiştirmeleri ve Hızları İçeren t Zamanındai Durum Vetörü w (t) : Proses Gürültüsü v (t) : Ölçüm Gürültüsü [A] : Sistem Matrisi Δ f : Freans Çözünürlüğü T : Periyot G xx (ω) : Giriş Güç Spetrum Matrisi G yy (ω) : Çıış Güç Spetrum Matrisi :. Modun Modal Katılım Vetörü γ d δ : Saler Sabit : Logaritmi Azalma A H : A Matrisinin Hermitian Bölümü [] I : Birim Matris g r (t) : Te Serbestli Dereceli Sistemin Darbe Tepi Fonsiyonu λ : Özdeğer xii

14 η : Sönüm Kayıp Fatörü ς : Sönüm Oranı ω : Doğal Freans d w r : Sönümlü Doğal Freans Θ r : Faz Açısı R ij (T ) : Çapraz Korelasyon Fonsiyonu Δ t : Örneleme Zamanı G yy ( jω) : Güç ve Çapraz Spetrum Matrisi [ U ] [ Σ ] : Sol Ortogonal Matris : Teil Değerler Matrisi [ V ] : Sağ Ortogonal Matris s : Teil Değer m : İvmeölçer Sayısı i : Ölçüm sayısı [] T : Matrisin Transpozu [] : Matrisin Tersi [] H : Matrisin Komples Eşleniğinin Transpozu [] + : Kare Olmayan Matrisin Genelleştirilmiş Tersi xiii

15 ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ ÖZET Çalışma şartlarında modal analiz, yapılar üzerinde sadece titreşim ölçümü yapara yapıların modal özellilerini belirlemeyi amaçlamatadır. Bu yöntem öncelile inşaat mühendisliği yapılarında (binalar, öprüler, deniz üstündei yapılar v.b) modal parametreleri (doğal freans, sönüm, mod şeilleri) bulmada ullanılmaya başlanmıştır. Faat son zamanlarda bu yöntem meani yapılarda da uygulama alanı bulmuştur. Bu metodun en önemli avantajı yapıya herhangi bir uvvet uygulanmasına gere duymamasıdır. Bu nedenle bu yöntemin uygulanması sırasında herhangi bir uvvet sinyalinin ölçülmesine gere yotur. Modal parametreleri bulma sadece cevap (ivme) verilerine dayanmatadır, dolayısıyla test düzeneğinin urulma zamanı olduça ısalmatadır. Çalışma şartlarındai modal analiz için ullanılan yöntemlerden birisi Freans Alanında Ayrılaştırma (FAA) yöntemidir. Bu tezde sistemin sadece çalışma şartları altındai titreşimleri ullanılara sisteme ait modal parametrelerin belirlenmesine yöneli bir çalışma yapılmıştır. Bu yöntem, sistemden elde edilen titreşim verileri (ivme) arasındai öznel ve çapraz spetrumlarının bulunmasını geretirmetedir. Freans Alanında Ayrılaştırma yönteminin uygulanabilirliği sayısal analizler ve ardından da deneysel çalışmalar ile sınanmıştır. Bu metodun uygulanabilirliğinin en önemli varsayımı sistemin Beyaz Tahri (White Noise) ile yülendiği varsayımıdır. Sayısal analizlerden ve deneysel çalışmalardan elde edilen sonuçlar, çalışma ortamında modal analiz yönteminin abul ettiği varsayımların geçerli olduğu ortamların yaratılması durumunda uygulanabilir olduğunu göstermetedir. Anca, bazı yapılarda, özellile dönel mainelerde (çamaşır mainesi gibi), bu varsayımlar tam olara sağlanamamata, bu da sisteme ait modal parametrelerin belirlenmesini zorlaştırmatadır. xiv

16 OPERATIONAL MODAL ANALYSİS SUMMARY Operational Modal Analysis also nown as Output Only Modal Analysis has in the recent years been used for extracting modal parameters (eigenfrequency, mode shape and damping) of civil engineering structures (buildings, bridges, off-shore platforms, etc.) and is now becoming popular for mechanical structures. The advantage of the method is that no artificial excitation needs to be applied to the structure or force signals to be measured. All the parameter estimation is based upon the response signals, thereby minimizing the wor of preparation for the test. One of the techniques that is used for Operational Modal Analysis is Frequency Domain Decomposition which is a non-parametric technique. This thesis addresses identifying modal parameters of the system, which is based on utilizing the vibrations of the system under operating conditions. This procedure requires auto and cross spectrums between measured response data. The applicability of the Frequency Domain Decomposition technique is examined using both numerical simulations and experimental studies. An important assumption of this method applicability is that the input to the structure is stationary white noise. The results of the numerical simulations and experimental studies show that method applicability. But some structures especially rotating machineries (washing machine) can add some unwanted harmonics to our system. So this will complicate to find modal parameters of our system. xv

17 . GİRİŞ. Çalışma Şartlarında Modal Analiz Gelenesel Modal Analiz tenileri tahri uvveti veya uvvetlerinin ontrol edilebildiği ve ölçülebildiği durumlarda uygulanabilmetedir. Faat tahri uvveti ontrol edilemiyorsa bu metotlar uygulanabilirliğini aybetmetedir. Bazı durumlarda yapıların darbe çeiçleri veya sarsıcılarla titreşime soulması ya mümün olmamatadır ya da bunu gerçeleştirme olduça zordur. Bu durumlar genellile öprüler, binalar, barajlar gibi yapılarda görülmetedir. Bazı durumlarda ise oluşan uvvetler sensörlerle ölçülemeyece adar büyü olmatadır. Lineer sistemlerden ölçülen cevaplar aşağıdai üç bölümün ombinasyonu şelindedir.. İstenen tahri uvvetine ait cevaplar.. Çevresel gürültü gibi çevreden gelen istenmeyen tahri uvvetlerine ait cevaplar. 3. Ölçüm gürültüsü olara da bilinen ölçümden aynalanan belirsizliler. Gelenesel Modal Analizde ölçülen cevaplar tahri uvvetine bağlıdır. Dolayısıyla diğer etileri minimize etme için tahri uvveti olduça güçlü olmalıdır. Bu yapılara güçlü tahri uygulama için yeterli tahri araçları mevcuttur faat bunları ullanma olay değildir ve zaman alıcıdır. Sonuç olara tahri uygulamaya gere almadan sistemlerin gerçe çalışma şartları altındai dinami özellilerinin belirlenebilmesini hedefleyen çalışma şartlarındai modal analiz yöntemleri bu süreci daha olay ve daha eonomi hale getirmeyi amaçlamatadır ve uygulama için cazip gözümetedir. Yapılar gerçe çalışma şartlarında dışarıdan gelen çevresel etilerle veya endi çalışmasından dolayı oluşan uvvetlerle tahri edilirler. Örneğin uleler esen rüzgâr ve aynı zamanda içinde yürüyen insanlarla []; öprüler, rüzgâr ve üzerinden geçen araçlar ve yayalar gibi farlı rasgele tahrilerle [], barajlar aralarındai su ile endi endine tahri

18 olmatadır [3]. Meani sistemler örneğin otomobiller, trenler ve uçalar motordan, yoldan ve rüzgârlardan aynalanan gürültülerle tahri olmatadırlar. Çalışma şartlarında modal analizin bir diğer avantajı da sistemlerin gerçe çalışma şartları altındai dinami özellilerinin belirlenebilmesidir. Sistemlerin herhangi bir tahri elemanıyla tahri edilip, durdurulup daha sonra terar tahri edilmesine gere almayacatır. Bu teniğin sınırlaması ise istenmeyen tahrilerin yapıdai tüm modları düzgün bir şeilde tahri edebilmesidir. Bunu diate alara bu istenmeyen tahrilerin arateristilerini analiz etme uygun olacatır. İstenmeyen tahriler sistemimizde gürültülere neden olurlar ve ölçümlere endi uvvetleri nedeniyle az veya ço eti yaparlar. Doğadai birço değişi olaylar bu gürültülere sebep olmatadır. Gürültü sinyalleri hiçbir urala uymayan rasgele proses örneğidir. Bu açılamalar ço bilinen rasgele sinyal olan beyaz tahri tanımlamasına yalaşmatadır. Çalışma şartlarındai modal analiz tenilerinin bir varsayımı, sistemlerin bu beyaz tahri ile yülendiğidir. Beyaz tahri sinyali yapıdai tüm freansları tahri edebilmete ve olduça düz bir spetruma sahiptir. Dolayısıyla beyaz tahri sinyalinin güç spetrumu uygun bir tahri olara herhangi bir sistemde ullanılabilir. Çalışma Şartlarında Modal Analiz (ÇŞMA) genel anlamda baılaca olursa sisteme etiyen uvvetleri ölçmeden sistem parametrelerinin belirlenmesini hedefler. Bu sistem parametreleri, sisteme ait doğal freanslar, sönüm ve mod şeilleridir. Girdi olara da yapı üzerinden ölçülen titreşimler ullanılmatadır. Özetle, Şeil. de gösterildiği gibi yapının çalışma anında üzerinden ölçülen bu titreşimler ullanılara sistemin dinami özellileri belirlenmeye çalışılmatadır. Kuvvet F Sistem H j ( w) Ölçülen Cevap X j Doğal Freans Sönüm Mod Şeilleri Şeil.: Sistem Belirleme Şemati Gösterimi

19 . Literatür Araştırması Geçen 0 yıl içerisinde sistem özellilerini belirleme için araştırmacılar tarafından farlı ÇŞMA yöntemleri geliştirilmiştir ve birço farlı duruma uygulanmıştır. 995 de G.H.James [4] sistemlerin çalışma şartlarında fizisel parametrelerini bulma için Doğal Tahri tenilerini ullanmıştır. Aynı zamanda L. Hermans ve H. Van Der Auweraer [5] yine çalışma şartlarında yapıdai modal parametreleri belirleme için bazı metotlar üzerine çalışmışlardır. R.Brincer [6] Freans Alanında Ayrılaştırma Teniğini ve daha sonra Geliştirilmiş Freans Alanında Ayrılaştırma Teniğini [7] ortaya oymuştur. Aynı zamanda literatürde ÇŞMA için farlı zaman alanı yöntemleri [8] geliştirilmiştir. Örneğin Olasılı Alt Uzay Yöntemi gibi [9]. ÇŞMA yöntemleri birço araştırmacı tarafından birço farlı yapılar için sistemi belirleme amacıyla ullanılmıştır. Örneğin rüzgâr türbinleri [0], binalar [], araba gövdesi [], [3], [4] ve gemiler [5]. Önerilen bütün ÇŞMA tenileri arasında Freans Alanında Ayrılaştırma (FAA) ve Olasılı Alt Uzay Yöntemi en ço bilinen ve ullanılan yöntemlerdir. FAA, ölçülen cevapların işlenmesinde Komples Mod Belirleme Fonsiyonları metodunu [6] ullanır ve sonra basit Tepe Seçme metoduyla yapının doğal freanslarını ve mod şeillerini belirler. Dolayısıyla bu metot ullanım olaylığı açısından avantajlı gözümetedir ve daha az armaşı hesaplamalar içermetedir. Diğer taraftan Olasılı Alt Uzay yöntemi ölçümlerdei zaman verisini ullanır ve yapılardai modları zaman alanında belirler. Bu yöntem 3 ana ategoriye ayrılır. Bunlar, Principal Component (PC), Unweighted Principal Components (UPC) ve Canonical Variate Analysis (CVA) olara adlandırılmıştır. Bu yöntemler FAA yöntemine göre daha armaşı ve zaman alan bir yöntemdir. Bu yöntemle ilgili daha detaylı bilgiler [8], [9], [0], [], [7] referanslarında mevcuttur. Literatürde çalışma şartlarında modal analiz ile ilgili birço çalışma bulunmatadır. Aşağıda literatüre ön plana çıan çalışmaların ısa bir özeti verilmiştir. 995 yılında George H. James [4], çalışma anındai bir rüzgâr türbinine Doğal Tahri Yöntemini uygulayara modal test yapmıştır. İl olara 990 yılından itibaren olan gelişmeleri ve sonuçları derleyip Doğal Tahri Yöntemine genel bir baış yapara teorisinden bahsetmiştir, daha sonra doğal tahri yöntemiyle ilgili yeni bir türetme elde edere bunu analiti olara elde edilmiş bir veri ile doğrulamıştır. Buna 3

20 e olara gelenesel modal analizden elde edilen çalışmaz durumdai rüzgâr türbini sonuçlarını çalışır durumdai sonuçlar ile arşılaştırmıştır. Doğal Tahri Yöntemini, dönüş devrinin bir fonsiyonu olara modal parametreleri hesaplamada ullanmıştır. R. Brincer ve P. Andersen, 000 yılında yaptıları çalışmada [6] sisteme eti eden tahri uvvetlerini bilmeden modal parametreleri belirlemeye dayanan ve freans alanında bir teni olan Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemini açılamıştır. Kullanışlı olan bu teni, gelenesel modal analizde modal parametreleri belirlemeye dayanan basit tepe seçme teniğiyle ilişilidir. Bu tenile birbirine yaın modların, cevaplar yüse derecede gürültü içerse bile yüse bir doğrulula belirlenebileceğini göstermiştir. R. Brincer ve P. Andersen yine 000 yılında yaptıları çalışmada [4] motordan gelen doğal tahri sonucu araba gövdesinin modal analizini yapmışlardır. Burada parametri olmayan Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemiyle, parametri bir teni olan ve zaman alanındai ham veriyi ullanan Olasılı Alt Uzay tabanlı metodu ullanmışlardır. Her ii teniğin sonuçlarının geçerliliği arşılaştırılmıştır. Burada motorun devrinin değişmesiyle araba gövdesi doğal bir tahrie maruz bıraılmıştır ve bu tahri ölçülmemiştir ve şasi üzerinden de titreşim verileri alınmıştır. Maria Ana Baptista [], 005 yılında çevresel etilerle titreşimlerin ölçülmesini ule ve baraj gibi farlı yapılara uygulamıştır. Bu yapıların doğal freansları, mod şeilleri ve sönüm oranları hem Freans Alanında Ayrılaştırma hem de Olasılı Alt- Uzay yöntemiyle bulunması amaçlanmatadır. Her bir yapının sonlu elemanlar modeli geliştirilmiştir ve deneysel sonuçlarla bu güncellenmiştir. Deneysel ve sayısal olara elde edilen bu sonuçlar daha sonra arşılaştırılmıştır. Sonuç olara yapıların çevresel etilerle tahri edilmesi sonucu elde edilen modal parametreler doğru bir şeilde tahmin edilmiştir ve sonlu elemanlar modeliyle aralarında iyi bir orelasyon sağlanmıştır. Her bir yapı için elde edilen bu modal parametreler ilerde yapısal hataların ontrol edilebilmesinde ullanılabilmetedir. 007 yılındai bir çalışmada [8] ise M. Teimouri çamaşır mainesinin çalışması esnasındai modal parametreleri bulma yönünde çalışmıştır. Sonuçları arşılaştırma ve geçerliliğini ontrol etme için birço tahri testleri uygulanmıştır. Bunların ilinde çamaşır mainesini çalışmaz durumda ien metal çeiçle gövdesinden rasgele 4

21 darbelerle tahri etmiştir ve bu tahrileri ölçmemiştir. Bunun yapılmasındai asıl amaç ÇŞMA metodlarının doğruluğunu arşılaştırma ve bu testle geçerliliğini ontrol etmetir. İinci ÇŞMA testinde çamaşır mainası gerçe çalışma oşullarında sıma adımında çalıştırılmıştır. Geliştirilmiş Freans Alanında Ayrılaştırma (GFAA) ve Olasılı Alt Uzay tabanlı metotlarının her iiside çamaşır mainasının modlarını belirleme için ullanılmıştır. Her ii metotla da 0-55 Hz arasındai gövde modlarının doğal freansları, sönüm oranları ve mod şeilleriyle birlite belirlenmiştir. Çalışma şartlarındai modal analiz cevapları gelenesel modal analizle (çeiç testi) arşılaştırılmıştır. Olasılı Alt Uzay tabanlı metod, stabilizasyon diyagramının ullanılmasının avantajını sağlamıştır, i bu yapıdai gerçe modların ayrılmasını sağlamada önemli bir araç olmuştur. Faat ullanım olaylığı ve düşü hesaplama maliyetiyle GFAA yönteminin de hayli önemli olduğu vurgulanmıştır. Sonuçlar harici bir tahri olmadan yapının çalışma şartlarında modal analiz ile belirlenebileceğinin elverişliliğini anıtlamıştır. Çalışmadan çıan bir diğer sonuç ise yapısal modların freanslarının sistemin dönen parçalarının dönüş freansına (çalışma freansı) yaın olmaması durumunda rahatlıla belirlenebileceğidir. Literatürde Çalışma Şartlarında Modal Analiz için geliştirilen yöntemler ii grupta toplanmıştır. Bunlar Zamana bağlı ve Freansa bağlı yöntemlerdir... Zaman Alanı Yöntemleri... Doğal Tahri Yöntemi 990 ların başında, doğal tahrile ve sadece cevap ölçümleriyle modal parametreleri belirleme için Doğal Tahri Yöntemi (DTY) (Natural Excitation Technique) önerilmiştir [9]. DTY doğal bir tahriğe maruz alan yapıdai cevaba orelasyon fonsiyonunun uygulanmasını öne sürmetedir. DTY öznel ve çapraz orelasyon fonsiyonlarının azalan sinüsoidlerin toplamı şelinde ifade edilebileceğini gösterir. Her bir sinüsoid, sönümlü doğal freansa, sönüm oranına ve mod şeli atsayısına sahiptir i bu herhangi bir ilgili yapısal modla ilişilidir. Sonuç olara orelasyon fonsiyonu modal parametreleri belirleme için Darbe Tepi Fonsiyonu (DTF) olara ullanılır. Bu yüzden, gelenesel deneysel modal analiz için geliştirilen çogiriş/ço-çıışlı zaman alanı modal belirleme yöntemleri çalışma şartlarında modal analiz için uyarlanabilir. 5

22 Gelenesel deneysel modal analizde ullanılan üç önemli zaman alanı ço-giriş/çoçıış algoritması ÇŞMA için de ullanılmatadır: 98 de geliştirilen Çolu Referans Karmaşı Esponansiyel, (Polyreference Complex Exponential) [0] te-giriş/ço-çıış En Küçü Kareler Yöntemi Karmaşı Esponansiyel in (Least Squares Complex Exponential) [] çogiriş/ço-çıış (ÇGÇÇ) uzantısı olara. Özsistem Gerçeleştirme Algoritması (Eigensystem Realization Algorithm) lineer sistem analizlerindei sistem belirleme teorisinden uyarlanmıştır ve modal parametreleri bulmada 984 de uygulanmıştır []. 985 de gerçeleştirilen Ibrahim Zaman Alanı nın (Ibrahim Time Domain) [3] ÇGÇÇ versiyonu olan Geliştirilmiş Ibrahim Zaman Alanı (Extended Ibrahim Time Domain)[4]. Darbe Tepi Fonsiyonu (DTF) verisine bulaşan parazitin etisini azaltma için 987 de Zaman Tepi Fonsiyonu verisinin orelasyonunu ullanan ve Çolu Referans Karmaşı Esponansiyelin gelişmişi olan Geliştirilmiş Çolu Referans Teniği (Improved Polyreference Technique) önerilmiştir [5]. Bunu 988 de Özsistem Gerçeleştirme Algoritması nın veri orelasyon teniği olan Özsistem Gerçeleştirme Algoritması-Veri Korelasyon (Eigensystem Realization Algorithm Data Correlation) [6] taip etmiştir. Belirtildiği gibi doğal tahri türü modal parametreleri belirleme yöntemleri Gelenesel Modal Analizden (GMA) uyarlanmıştır. Anca, ÇŞMA de modal parametreleri belirleme için ullanılan verilerin olasılısal proses olan rasgele cevaplar olduğu abul edilir. Çolu Referans Karmaşı Esponansiyel, Geliştirilmiş Ibrahim Zaman Alanı, Özsistem Gerçeleştirme Algoritması v.b. gibi temel gelenesel modal parametreleri belirleme algoritmaları Gelenesel Modal Analiz için geliştirilmesine rağmen ÇŞMA için de ullanılabilir. Anca teoride ve bazı formülasyonlarda farlılılar meydana gelmetedir. Çolu Referans Karmaşı Esponansiyel ve Geliştirilmiş Ibrahim Zaman Alanı yöntemleri Darbe Tepi Fonsiyonundan modal parametreleri belirlemeye dayanır. ÇŞMA de modal parametreleri belirleme için ullanılan temel formülasyon, DTF matrisinin yerine orelasyon matrisinin modal ayrılaştırılmasıdır. 6

23 Yuarıda belirtildiği gibi Doğal Tahri Yöntemi nin temeli, sisteme beyaz-gürültü şelinde bir tahri uygulandığında cevap sinyalleri arasındai öznel ve çapraz orelasyon fonsiyonlarının darbe-tepi fonsiyonu olara ullanılabilmelerine dayanır. Bu özelli, düşü sönümlü ve doğal freansların yeterince ayrı olduğu lineer sistemler için geçerlidir. Yöntemin daha iyi anlaşılabilmesi için lineer bir sistemin modal özellilerinin nasıl elde edilebileceği ile ilgili bazı formülasyonların verilmesi yararlı olacatır. Ço serbestli dereceli sönümsüz lineer bir sistem ele alındığında hareet denlemi aşağıdai şeilde yazılabilir. [ M ]{ x& ( t) } + [ K ]{ x( t) } = { f ( t) & } (.) Burada [ M ] ve [ K ] matrisleri sırasıyla ütle ve direngenli matrisleri, { f } ve { x } vetörleri ise uvvet ve yer değiştirme vetörleridir. { ( t) } = 0 f abul edilere serbest titreşim çözümü yapılabilir. Bu durumda aşağıdai gibi bir çözümün varlığı abul edilebilir. iωt { x() t } = { X } e (.) Değişenler yerine onduğunda (.) denlemi ([ ] i t K ω [ M] ){ X} e ω { 0} = (.3) [ M ] [ K ]{ X } λ{ X } halini alır. = ; λ = ω Denlem (.3) de verilen standart özdeğer problemi çözümünden doğal freanslar ve mod şeilleri bulunabilir [7]. Burada verilmesi gereen önemli bir özelli de ortogonalite özellileridir. T T [ Φ ][ M ][ Φ] = [ m], [ ][ K ][ Φ] = [ ] Φ (.4) Denlem (.4) de verildiği gibi sistemin [ Φ ] özvetörleri ütle ve direngenli matrislerine göre ortogonalliği sağlar [7]. 7

24 Ço serbestli dereceli visoz sönümlü bir sistem ele alındığında ise hareet denlemi aşağıdai şeilde yazılabilir. [ ]{&&( x t) } + [ C] { x& ( t) } + [ K ]{ x( t) } = { f } M (.5) C] Burada [ matrisi sönüm matrisidir. Dinami eşitliğin sonucu, [ Φ ] nin ombinasyonu şelinde denlem (.6) dai şeilde yazılabilir. N { x( t) } = { φ } q = [ Φ]{ q( t) } r= r r (.6) İfadede, { q }, modal oordinatların vetörü ve [ ] apsayan ve aşağıdai özdeğer problemini sağlayan bir matristir. ([ K] [ M ]){ φ } = 0 r r Φ de sistemin N tane özvetörünü ω (.7) Denlem (.5) dei dinami eşitli artı denlem (.8) dei şeilde yazılabilir. [ ][ Φ ]{ q&&( t) } + [ C][ Φ]{ q& ( t) } + [ K ][ Φ]{ q( t) } = { f } M (.8) Denlem (.8) i elde ederiz. [ Φ] T mod şeli matrisiyle çarparsa, denlem (.9) dai ifadeyi T T T T [ Φ ][ M ][ Φ]{ q&( t) } + [ Φ ][ C][ Φ]{ q& ( t) } + [ Φ ][ K ][ Φ]{ q( t) } = [ Φ ]{ f } & (.9) Sistemin [ Φ] öz modları ütle ve direngenli matrislerine göre ortogonalliği sağlar. T T [ Φ ][ M ][ Φ] = [ m] ve [ ][ K][ Φ] = [ ] Φ (.0) Denlem (.0) dai ifadede [ m ] ve [ ] sırasıyla modal ütle ve direngenli matrisleridir ve öşegendirler. Belirtilmelidir i Denlem (.7) e göre modal ütle ve direngenli matrisleri arasında r / m r = ωr ilişisi vardır. Sistemin doğal freanslarının birbirinden yeterince ayrı olduğu ve düşü sönüm oranlarına sahip olduğu varsayımıyla, sistemin gerçe modlarının, sönümlü sistemin 8

25 modlarıyla aynı olduğu sonucuna varılabilir, buradan hareetle sönüm matrisini öşegenleştirme için ullanılabilir. Ayrıca [ ] [ Φ] öz modları, [C] C matrisinin [ K ] ve [M ] ] matrisleri ile orantılı olduğu durumlarda da sönümsüz modlar [ C matrisine göre ortogonaldir. T [ ][ C][ Φ] = [ c] Φ (.) Burada [ c] modal sönüm matrisidir. Sonuç olara sistemin ayrılaştırılmış dinami denlemleri aşağıdai şeilde elde edilmiş olur [8]. T [ m] { q& ( t) } + [] c { q& ( t) } + [ ] { q( t } = [ Φ] { f } & (.) NxN Nx NxN Nx NxN ) Nx Nx Denlem (.), r inci mod için denlem (.3) dai şeilde yazılabilir. Y { φ } { f ( )} m q& ( t) + c q& ( t) + q ( t) = t (.3) r r r r r r r Bu ifadede { φ r }, r inci mod şeli vetörüdür. Denlem (.3) u, r inci modal ütle olan m r ye bölünürse denlem (.4) elde edilir. Y q& r ( t) + ς rω q& r r ( t) + ωr qr ( t) = { φr } { f ( t) } (.4) m r İfadede ς r ve ω r sırasıyla r inci modun sönüm oranı ve doğal freansıdır. Denlem (.4) ün çözümü aşağıdai gibi verilebilir. r t { } T { } r f ( τ ) q ( t) = φ g ( t τ ) dτ (.5) r Burada (t) g r te serbestli dereceli sistemin darbe tepi fonsiyonudur. ς rωrt d g r ( t) = e sin( ωr t) (.6) d m ω r r ω d r ( ς ) = ω, sönümlü doğal freanstır. r r 9

26 Denlem (.5) ve (.6) yi ullanara { x (t)} tepi vetörü, modal cevapların toplamı olara ifade edilebilir. N T { x t) } = { }{ φ } { f ( τ )} ( φ g ( t τ ) dτ (.7) r r r= t r Denlem (.7), oordinatındai bir (t) f uvvetinden dolayı oluşan i oordinatındai bir (t) x i cevabı için aşağıdai şeilde yazılabilir. x i N ( t) = φ φ f ( τ ) g ( t τ ) dτ (.8) ri r r= t r girişi ve i çıışı arasındai darbe tepi fonsiyonu olan f ( τ ) fonsiyonunun τ=0 zamanında birim fonsiyon olduğu varsayımıyla elde edilmiştir. Bu durumda notasındai bir darbeden aynalanan i notasındai cevap, modal darbe tepilerinin toplamı olara yazılabilir [8]. x φ φ N ri r r rt d i ( t) = e ς ω sin( ω d r r= mrωr t) (.9) R ij (T ), notasındai beyaz gürültü girişi sonucu oluşan i ve j notalarındai x i ve cevaplarının çapraz orelasyon fonsiyonları olsun. (T ) nin x ve x j R x j nin bir faz farıyla çarpımı olması gereir. [ x ( t T ) x ( )] ( T ) = E t (.0) ij i + j R ij i R φ A N ri rj r rt d ij ( T ) = e ς ω sin( ω d r r= mrωr T + Θ ) r (.) Sonuç olara denlem (.) de görüldüğü gibi çapraz orelasyon fonsiyonlarının aslında, orijinal sistemin darbe tepi fonsiyonlarına benzer olara azalan sinüsoidlerin lineer ombinasyonları olduğu görülür. Buna göre, çapraz orelasyon fonsiyonları darbe tepi fonsiyonları gibi işlem görebilir ve zaman tanım bölgesi modal parametreleri ortaya çıarma tenileri uygulanabilir [8]. 0

27 Burada φ ri i notasının r inci modu, mr modal ütle, ς r ve ω r sönüm oranı ve sönümsüz doğal freans, Θ r ise faz açısıdır. Bu son sonuç göstermetedir i, bir T zaman aralığında i dei referans sinyaliyle j dei tepi sinyali arasındai (T ) R ij çapraz orelasyon fonsiyonu, N tane azalan sinüsoidin toplamı olara yazılabilir. Her azalan sinüsoid, yapınınω doğal freansıyla ve ζ r sönüm oranıyla araterize edilir [7]. r... Oto-Regresyon Hareetli Ortalama Yöntemi (ORHOY) (Auto- Regression Moving Average) Önemli gelenesel sistem belirleme tenilerinden biri Hata Tahmini metodudur (HTM) [9]. Bu metoda dayanan birço algoritma geliştirilmiştir. Bu algoritmalar modeldei parametreleri, hataları minimize edere bulmayı amaçlamatadır. HTM yönteminin bir uzantısı olan ORHOY yöntemi çalışma şartlarındai modal parametreleri belirleme için ullanılabilir. ÇŞMA metotlarından biri olan HTM- ORHOY 990 ların ortalarında önerilmiş ve uygulanmıştır [30]. HTM-ORHOY tip ÇŞMA yöntemlerinin ii önemli dezavantajı vardır: () Fazla hesaplamaya ihtiyaç duyar, () büyü boyutlu yapılarda uygulaması zordur....3 Olasılı Tabanlı Metot (OTM) (Stochastic Realization Based) Sistem belirleme metodları 960 lı yıllarda geliştirilmeye başlanmıştır. 970 lerde geliştirilen Olasılısal Sistem Gerçeleştirme (Stochastic System Realization) [3], Ayrı Zaman Olasılı Durum-Uzay denlemine dayanmatadır ve 980 lerin ortalarında modal parametreleri belirlemede uygulanmaya başlanmıştır [3]. Olasılısal Sistem Gerçeleştirmenin en önemli özelliği, deterministi sistem gerçeleştirmedei DTF matrisinin yerine ovaryans matrisinin sistem ayrılaştırılmasıdır. Kovaryans ii değişenin beraber değişimlerini inceleyen bir istatistitir. İi değişenin de merezi eğilimlerinden birbirlerine bağlı olara sapmalarını gösterir. x ve y vetörlerinin ovaryans matrisi aşağıdai şeilde ifade edilir. Cov( x, y) = E( xy) E( x) E( y) Burada E belenen değeri temsil etmetedir.

28 Sistemin özdeğerleri gelenesel modal analiz için DTF matrisinin, ÇŞMA için ovaryans matrisinin Teil Değerlerine Ayrıştırılması (TDA) yolu ile hesaplanır. Olasılı Tabanlı Metotlar aynı zamanda Kovaryans-Olasılı Alt Uzay Belirleme Metodları olara da bilinir. Olasılı Tabanlı Metot veya Kovaryans-Olasılı Alt Uzay Belirleme yöntemlerinin üç önemli uygulama metodu vardır: () Esas Bileşenler (EB) metodu, () Kanoni Değişen Analiz (KDA) metodu ve (3) Ağırlılandırılmamış Esas Bileşenler (AEB) metodu. EB metodunda, Teil Değerlerine Ayrıştırma için Henel Kovaryans matrisinden dire olara yararlanılır [33]. Olasılı Tabanlı Metotta ÇŞMA işlem adımları aşağıdai dört maddeyle özetlenebilir: ) Ölçülen cevaptan ovaryans matrisinin hesap edilmesi; ) Ağırlılandırılmış Henel ovaryans matrisinin teil değerlerine ayrıştırılması; 3) En üçü areler yöntemiyle ayrı-zaman olasılı sistem matrislerinin hesabı; 4) Sistem matrislerinden modal parametrelerin hesaplanması. Bu onuda daha fazla bilgi için [3], [3], [33] ve [34] referanslarına başvurulabilir....4 Olasılı Alt Uzay Belirleme Teniği (OAUBT) (Stochastic System Identification) 990 larda sistem ve ontrol mühendisliğinde yeni bir Alt uzay Tabanlı Durum Uzay (Subspace-Based State-Space) sistem belirleme yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntem dire olara ölçülen veriden, armaşı dinami sistem için, nümeri olara güvenilir ve etin durum uzay modelini verir [35]. Bunu Olasılı Alt uzay Sistem Belirleme teniği taip etmiştir i bu rasgele bir tahrie maruz alan bir sistem için sadece cevap ölçümlerini ullanır [36]. Ço serbestli dereceli ayrı meani sistemin dinami davranışı aşağıdai denlemle açılanır. [ M ]{ x& ( t) } + [ C]{ x& ( t) } + [ K ]{ x( t) } = { f ( t) } & (.)

29 Burada [ M ], [C ] ve [ K ] matrisleri, ütle, sönüm ve direngenli matrisleridir. q(t) ise süreli zamanda yerdeğiştirme vetörüdür. f (t) ise tahri uvvetidir. Denlem (.) de zaman t sürelidir, faat ölçümler ayrı zaman örnelerinde elde edilebilir. f (t) tahri uvvetlerinden ayrı olara bazı bilinmeyen tahri aynaları olabilir ve ölçüm gürültüleri her zaman gerçe verilerde mevcuttur. Model indirgeme, örneleme ve gürültüyü modelleme uygulandığında (.) denlemi ayrı-zaman olasılı durum-uzay modeline dönüştürülebilir. x( t) z( t) = x& ( t) (.3a) { z &( t) } = [ A]{ z( t) } + { w } t (.3b) { x ( t) } = [ C]{ z( t) } + { v( t) } (.3c) Burada x (t), t zamanındai cevap vetörü (ölçümler), z(t), ölçülen yer değiştirmeleri ve hızları içeren t zamanındai durum vetörü, w(t) proses gürültüsü (genellile değişililer ve modelleme hatalarından ve bir de yapıdai bilinmeyen tahrilerden aynalanmatadır), A] v(t) ölçüm gürültüsü (genellile sensörden aynalanan hatalar), [ sistem matrisi (sistemin dinamiğini özdeğerleriyle araterize eder), [C] ise çıış matrisidir [7], [37]. Alt uzay belirleme metotlarını ullanara olasılı durum uzay modeli belirlenmetedir. Daha sonra modal parametreler [ A ] ve [C] matrislerinden elde edilmetedir. edilmetedir. [ A] [ ] = [ ψ ][ ][ ψ ] matrisinin özdeğer ayrılaştırılmasıyla denlem (.4) elde A (.4) Burada [ ψ ] özvetör matrisi, [ ] ise öşegen matris olan özdeğer matrisidir. Özdeğerler ( ω i ) ve sönüm oranları ( ς i ) denlem (.5) den bulunmatadır. λ * i, λi ς iωi ± j ς i ωi = (.5) 3

30 Δ t : Örneleme zamanı Mod şeilleri ise denlem (.6) dan bulunmatadır. [] φ [ C][ ψ ] = (.6) Gürültü modlarının ve harmonilerinin yapısal modlardan ayrılabilmesi için bir stabilizasyon diyagramı ullanılır. Bu stabilizasyon diyagramında yapısal modun belirlenebilmesi için her bir model derecesinde aynı freans bulunmalıdır. Asi tadirde yapısal bir moddan söz edilemez. Aynı zamanda her bir doğal freansta birbirine yaın sönüm oranları bulunmalı ve yapı yüse sönümlü olmadığı tadirde sönüm oranı %0 yi aşmamalıdır. Gelenesel modal analizde modal parametrelerin, matrisin te bir satır veya sütunundan elde edilmesine dayanmatadır. Eğer terarlanan ölerle ilgili problemle arşı arşıya gelindiğinde ii veya daha fazla satır veya sütunun ölçülmesi geremetedir. Bu, örneğin ço-giriş ço-çıış tenilerinin ullanılmasıyla yapılabilir. Bu da çolu sarsıcıların ullanılmasını geretirir. Çalışma şartlarındai modal analizde çapraz spetrum matrisi ullanılmatadır. Bu matrisin derecesi, ölçülen serbestli derecesi sayısına eşittir. Çapraz spetrum matrisi yapı üzerine adet referans ivmeölçer yerleştirip diğer ivmeölçerlerin yapı üzerinde gezdirilmesi sonucu oluşmatadır. Yapı üzerinde N adet ölçüm notası varsa N x N ölçeli bir matris oluşmatadır. OAUBT nin avantajları; () İl adım olara ovaryansın bulunmasına gere olmadan dire olara olasılısal cevap verisini ullanır; () Sadece beyaz tahrilerde (white noise) değil aynı zamanda diğer tahrilerde de ullanılır; (3) HTM-ORHOY yöntemine göre hesaplama yoğunluğu azalmıştır. OAUBT, modal parametreleri belirleme için dire olara olasılısal cevap verisini ullanır, dolayısıyla Veriye Bağlı OAUBT olara da bilinir. Bu yöntemle ilgili daha detaylı bilgiler [7], [34], [35], [36], [37] ve [38] referanslarında mevcuttur. 4

31 .. Freans Alanı Yöntemleri... Freans Alanında Ayrılaştırma (FAA) Yöntemi (Frequency Domain Decomposition) Freans alanındai ÇŞMA metotları, giriş ve çıış Güç Spetrum Yoğunluğu (GSY) ilişisi formülasyonuna dayanır [39] ve çapraz spetrum matrisinin Teil Değerlerine Ayrıştırılması yoluyla gereli sonuçlara ulaşır. Teil değerler utup bilgilerini (freans ve sönüm) ve teil vetörler ise mod şeilleri bilgisini içerir. 000 yılında önerilen Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemi sadece modal freansları ve mod şeillerini buluren [6], daha sonra yayınlanan FAA (Geliştirilmiş FAA) sadece modal freansları ve mod şeillerini değil aynı zamanda sönüm oranını da belirleyebilmetedir [40]. Son zamanlarda çıan FAA ise Freans-Uzay Alanında Ayrılaştırmadır [4]. Bu tezde FAA yönteminin avantaj ve dezavantajlarının ortaya onulması ve pratite uygulanabilirliğinin apsamlı olara incelenmesi hedeflenmiştir. Bu yöntemin seçilmesindei ana neden diğer yöntemlere göre daha az hesaplamaya ihtiyaç duyması ve prati olara uygulanabilirliğinin daha olay olmasıdır. FAA yöntemiyle ilgili daha detaylı bilgiler bölüm de verilmiştir.... En Küçü Kareler Yöntemi Karmaşı Freans Metodu (Least Square Complex Frequency) Gelenesel sistem belirlemede, gürültülü ölçümleri engelleme için Masimum Olasılı (MO) (Maximum Lielihood) metodu geliştirilmiştir [4]. Masimum Olasılı Freans Alanı (MOFA) (Maximum Lielihood Frequency Domain) metodunun modal parametreleri belirleme için FTF ölçümlerinde ullanılması 990 ların sonlarında ortaya çımıştır [43]. En Küçü Kareler Yöntemi Karmaşı Freans metodu, terarlanan MOFA metodunun başlangıç değerlerini bulma için önerilmiştir [43]. Bu başlangıç değerleri daha az hesaplamayla doğru modal parametreleri bulmayı sağlamatadır. Faat En Küçü Kareler Yöntemi Karmaşı Freans alanı metodunun önemli dezavantajı birbirlerine yaın olan utupların te bir utup gibi görünmesidir. Daha sonra Çolu-Referans En Küçü Kareler Yöntemi Karmaşı Freans metodu geliştirilmiştir (Polyreference Least Square Complex Frequency) [44]. Bu metotla yuarıda bahsedilen dezavantaj ortadan aldırılmıştır. 5

32 .3 Çalışma Şartlarında Modal Analizin Avantaj ve Dezavantajları 990 ların başında çalışma şartlarında modal analiz inşaat mühendisliği uygulamalarında (deniz platformları, binalar, uleler, öprüler v.b.) önemli bir gelişme göstermiştir. Çevresel, doğal-tahri veya sadece cevap verilerine dayanan modal analiz olara da adı geçen çalışma şartlarında modal analiz, modal parametreleri belirleme için çalışma oşullarında çevresel veya doğal tahri uygulanması sonucu sadece cevapları almaya dayanır. ÇŞMA ayrıca maina mühendisliği uygulamalarında da ullanılmaya başlanmıştır (arabalar, uçalar, dönen maineler, vb.). Ucuz ve hızlı olması, herhangi bir tahri elemanına dolayısıyla da uvvet sensörüne ihtiyaç duymaması en önemli avantajlarındandır. Herhangi bir sınır şartı sınırlaması yotur. Tahrii zor veya ölçülmesi uygun olmayan yapılara uygulanabilmetedir. Gerçe yüleme altındai modal arateristiler geniş band rasgele tahri dolayısıyla lineerize edilir. Sonuç olara buradai algoritma çogiriş/ço-çıış tipinde olacatır ve ço yaın olan veya terarlanan modlar ço olay bir şeilde belirlenecetir ve bu yüzden armaşı yapılara olduça uygundur. ÇŞMA sadece dinami tasarım uygulamalarında değil, yapısal ontrol, titreşim tabanlı hataları görüntüleme ve yapılardai hasarları bulmada da ullanılır. Bunun yanında yöntemin dezavantajları da mevcuttur. İl öncelile çoğu mühendisler için yeni bir tenitir. Yapıya ait bazı ön bilgilere ihtiyaç vardır. Çalışma şartlarında modal analizin en önemli şartlarından biri ise bir referans ivmeölçere (sensör) ihtiyaç duyulmasıdır. Bu referans ivmeölçer yapı üzerinde herhangi bir yere onmamalıdır. Herhangi bir mod şelinde yapı üzerinde hareetsiz alan notalar nodal nota olara adlandırılır. Dolayısıyla referans ivmeölçer de bu nodal notaların üzerinde olmamalıdır. Tam asine tüm mod şeillerinde yapı üzerinde en fazla deplasman gördüğümüz yerlere referans ivmeölçer oyulmalıdır. Çalışma Şartlarında Modal Analiz yöntemleri yüse veri apasitesine ve hesaplamasına ihtiyaç duyar. ÇŞMA tabanlı modal analizin en önemli dezavantajı ise yapıya ait ölçelendirilmemiş mod şeillerinin elde edilmesidir. Bunun nedeni ise yapıya uygulanan uvvetin ölçülmemesinden dolayı yapıda oluşan gerçe titreşim genlilerinin hesap edilememesidir. Bu problemin çözümüyle ilgili literatürde bazı öneriler verilmiştir [45]. 6

33 .4 Kapsam Bu tez apsamında, bir yapının çalışma şartlarında dinami özellilerinin belirlenmesine yöneli olara bir literatür araştırması yapılmış, daha önce bu alanda yapılan araştırmalar incelenere bu metotların pratite uygulanabilirliği incelenmiştir. İncelenen metotlar arasından Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemi seçilmiş ve bu metot üzerine çalışmalar yapılmıştır. Bu alanda öncelile MATLAB programında bir yazılım geliştirilmiştir. Yazılımın ve metodun doğrulanması amacı ile sonucu bilinen uygulamalar üzerinde çalışılmış daha sonra deneysel uygulamalarla metodun ve geliştirilen programın sınanması ve doğrulanması peiştirilmiştir. En sonunda ise çalışır durumdai çamaşır mainasına uygulanara pratite uygulanabilirliği sınanmıştır. Bu metoda göre il önce yapının üzerinde bir tane referans sensör olma aydıyla yapı üzerinden titreşim ölçümleri alınmış, daha sonra bu ölçümlerin çapraz spetrumları alınmış ve Teil Değerlerine ayrılara yapıya ait modal parametreler belirlenmeye çalışılmıştır. Gereli işlemlerin yapılması için MATLAB yazılımından yararlanılmış ve bu işlemler için bir program yazılmıştır. Sayısal uygulamalarda ise sonlu elemanlar programı olara I-DEAS ve dinami simülasyon programı olara da ADAMS yazılımları ullanılmıştır. Tezin il bölümünde literatür araştırması ve amaçlara yer verilmiş, ÇŞMA yöntemleri sınıflandırılmış ve gelişimlerinden bahsedilmiş ve literatür araştırmasının sonuçları değerlendirilmiştir. İinci bölümde, bu tez çalışmasında uygulanma üzere seçilen Freans Alanında Ayrılaştırma yönteminin adımları ve teorisi üzerinde durulmuştur. Üçüncü bölümde, çalışma şartlarında modal analiz yönteminin sayısal uygulamalarına yer verilmiştir. Sayısal modele il başta gelenesel modal analiz uygulanara (uvvetler ölçülere) yapının modal parametreleri belirlenmiştir. Daha sonra bilinmediği abul edilen bir uvvet uygulanara yapıdan titreşimler alınmıştır. Bu amaçla il başta üç serbestli dereceli bir ütle yay sistemi ele alınmış ve sonuçları gelenesel modelle arşılaştırılmıştır. Yöntemin hangi oşullarda geçerli hangi oşullarda geçersiz olduğu açılanmıştır. Daha sonra bu yöntem düz bir plaaya uygulanara yöntemin geçerliliği sağlanmıştır. Dördüncü bölümde ise deneysel uygulamalarla metodun ve geliştirilen programın sınanması ve doğrulanması yapılmıştır. Kiriş ve düz bir plaaya uvvet uygulayara 7

34 ve bu uvveti ölçere gelenesel modal analiz uygulanmış ve modal parametreler belirlenmiştir. Daha sonra bu uvvet ölçülmeden çalışma şartlarında modal analiz uygulanara gelenesel modelle arşılaştırılmıştır. En sonunda ise çamaşır mainesinden çalışma anında üzerinden titreşimler alınmış ve dinami özellileri belirlenere gelenesel modelle arşılaştırılmıştır ve pratite uygulanabilirliği sınanmıştır. Beşinci ve son bölümde, tezin genel değerlendirmesi yapılmış ve gelecete yapılabilece çalışmalar belirtilmiştir. 8

35 . FREKANS ALANINDA AYRIKLAŞTIRMA YÖNTEMİ. Giriş Bu tezde detaylı olara araştırılan ve ullanılan çalışma şartlarında modal analiz yöntemi Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemidir. Freans Alanında Ayrılaştırma (FAA) teniği, Temel Freans Alanı (Basic Frequency Domain) veya Tepe Seçme (Pea Picing) teniğinin bir uzantısıdır. Bu yöntemle modlar, girişin Beyaz Tahri ve yapının az sönümlü olması farz edilere spetral yoğunlu matrislerinin hesaplanmasıyla belirlenmetedir. Sadece cevapları ullanara analiz yapabilme aşağıdai nedenlerden dolayı daha armaşıtır. Tahri (giriş) bilinmemetedir. Ölçülen cevap sılıla gürültülüdür. Bilinmeyen uvvetlerin, Beyaz tahri ile yülenen sanal bir sistem tarafından üretildiği varsayılır. Şeil. de görüldüğü gibi beyaz tahriin yapısal sistemi dire olara tahri ettiği varsayılmaz, faat toplam sistem gerçe yapısal sistemi ve sanal uvvet sistemini içerir. Şeil.: Birleşi Dış Etilere Dayanan Model Sonuç olara bu yalaşımla sadece yapısal sistem belirlenmez, aynı zamanda sanal uvvet sistemine ait bazı modlar da belirlenir. Dolayısıyla bu yöntemin uygulanmasında taip edilen yol bütün modları belirleme ve sonra yapısal modları, 9

36 gürültü ve tahri modlarından ayırmatır. Bu tür testlerde yapılardan alınan cevaplar genelde ço üçü ve gürültülüdür. Tipi bir modal test lineer, zamandan bağımsız meani bir sistem için giriş ve çıışı ölçmeye dayanır. Tahri, geçici (Modal çeiç testi), rasgele veya sinüsoidal (sarsıcı testi) olabilir. Çalışma şartlarında modal analiz teniği ise ODS (Operational Deflection Shape) ölçüm prosedürleri ile aynıdır i bir ivmeölçer referans olara ullanılır ve diğer ivmeölçerlerden ilgilenilen notalardan ölçüm alınır. Tüm modları tanımlayabilme için tahri geniş bant olmalıdır. Çalışma şartlarındai modal analizin becerisi, gerçe yapısal davranışı gürültüden ve diğer ölçülen aynalardan ayırt edebilmetir [38].. Sinyal İşleme ve Ayrılaştırma Analizin il adımı olara, tüm modal bilgileri içeren spetral yoğunlu matrislerini elde etme için ham zaman verisine ayrı Fourier transformu uygulanır. Tahriin geniş bant ve süreli bir spetrum olmasından dolayı spetral yoğunlu matrislerine bama gereir. Bu teni spetral gürültüleri ve diğer etileri minimize eder. Tüm ölçümler için spetral yoğunlu matrisleri hesaplanır. Bu matrisler, bir adet ivmeölçer sabit olma şartıyla (referans) diğer ivmeölçerlerin yapı üzerinde gezdirilmesi sonucu oluşur. Burada hesaplanan referans ivmeölçeri ile gezici ivmeölçerler ve aynı zamanda gezici ivmeölçerlerin endi aralarındai spetral yoğunlu fonsiyonlarıdır. Matrislerin boyutları m x m olacatır (m: ivmeölçer sayısı). Matrislerin öşegen üzerindei elemanları cevapların güç spetral yoğunluları, öşegen dışındai elemanlar ise cevaplar arasındai çapraz spetral yoğunlularıdır (Şeil.). Bütün bu matrisler Hermitian (öşegen etrafındai elemanlar simetri ve birbirlerinin omples eşleniği) matristir. Her bir matris her bir ölçümde Denlem. dei gibi güç ve çapraz spetrum yoğunluları şelinde ifade edilir. 0

37 [ G ( jw) ] yy i PSD( jw) CSD( jw). =... CSDm ( jw) CSD PSD CSD... m ( jw) ( jw) ( jw) CSD m ( jw) CSD m jw ( )... PSDmm ( jw) i (.) PSD( jw) : Güç Spetral Yoğunlu CSD( jw) : Çapraz Spetral Yoğunlu i : Ölçüm Sayısı m: İvmeölçer Sayısı Matrislerin Hermitian ( CSD pq * qp ( jw) = CSD ( jw), p q, *: Komples Eşleni) olmasından dolayı PSD pp ( jw) gerçel değerler, ölçüm ve referans notası arasındai faz bilgisini taşıyan ( jw) CSD qp ise omples değerler alır. Şeil.: Cevaplar Arasındai Çapraz Spetral Yoğunlu Matrisi Elemanları Spetral matrisler Teil Değerlerine Ayrıştırma yöntemiyle, Öznel Spetral Yoğunlu Fonsiyonlarına (Auto Spectral Density Functions) ayrıştırılır. Her biri te serbestli dereceli bir sistemi ifade eder. Bu sonuçlar, tahriin beyaz tahri, yapının az sönümlü ve yaın modların mod şeillerinin geometri olara ortogonal olduğu durumlarda tam doğru sonuç verir. Eğer bu varsayımlar gerçe sistem ile uyuşmuyorsa yalaşı sonuçlar bulunabilir [38].

38 .3 Güç ve Çapraz Spetrumların Elde Edilmesi Güç ve Çapraz spetrumların elde edilebilmesi için il etapta zaman sinyali ölçülür. Daha sonra bu zaman verisine Fourier Transformu uygulanara zaman sinyallerinin freans alanındai spetrumları elde edilir. Bu freans alanındai spetrumlar ullanılara güç ve çapraz spetrumlar hesaplanır. Matematisel olara Güç Spetrumu, sinyalin endisi ile omples eşleniğinin çarpılması ile elde edilir. Güç spetral yoğunluğu ise (.) denleminde gösterildiği gibi sinyalin endisi ile omples eşleniğinin çarpımının freans çözünürlüğüne bölünmesi sonucu hesap edilir. GSY * X X X = ( S xx ) = = (.) Δf Δf X * : X nın omples eşleniği Δf = (Hz) (freans çözünürlüğü) (.3) T T: Periyot (sn) Çapraz Spetrum Yoğunluğu (ÇSY) ise ii farlı sinyal ullanılara elde edilebilir (Cross Spectrum Density). Bu da aynı şeilde (.4) denleminde gösterildiği gibi il sinyalin omples eşleniğinin iinci sinyalin endisine çarpımının freans çözünürlüğüne bölünmesi ile hesap edilir. ÇSY * X f Y f = ( S xy ) f = (.4) Δf X * f : X f in omples eşleniği Sinyalde sadece istenilen freans bölgesini inceleme diğer bölgeleri ortadan aldırma için filtreler ullanılmatadır. Pratitei filtrelerle ideal filtreler birço yönden birbirlerinden ayrılırlar. Bunlardan biri de Şeil.3 den de anlaşılacağı gibi etin filtre bant genişliği etisidir [46]. Bu etiyi ortadan aldırma ve ideal filtreye

39 yalaşma için seçtiğimiz pencere fonsiyonuna bağlı olara freans çözünürlüğü Tablo. de gösterilen bir ölçeleme fatörüyle çarpılır. Şeil.3: Prati ve İdeal Filtre [46] Tablo.: Pencere Fonsiyonlarının Freans Alanındai Karateristileri [46] Tablo (.) den de anlaşılabileceği gibi örneğin Hanning pencere fonsiyonunda bu ölçeleme fatörü.5 dir. Dolayısıyla bu pencere fonsiyonu ullanıldığında Güç ve Çapraz Spetrumları denlem (.5) ve (.6) dai son hallerini alır. GSY = ( S xx ) = X * X.5Δf X =.5Δf (.5) ÇSY = ( S xy ) f = X * f Y.5Δf f (.6) 3

40 Çalışma Şartlarında Modal Analizde uvvetin bilinmemesinden dolayı mod şeilleri normalize edilememetedir. Dolayısıyla da Güç ve Çapraz spetrumların freans çözünürlüğüne bölünmesinin elde edilen mod şeilleri üzerinde önemi yotur..4 Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemi Teorisi Freans Alanında Ayrılaştırma teniği modal parametreleri dire olara sinyal işleme hesaplamalarından belirler. Bu teni, titreşim modlarını, her bir spetral yoğunlu matrislerine Teil Değerlerine Ayrıştırma yöntemini uygulayara hesaplar. Bu ayrıştırma her bir teil değerde sistemin te serbestli dereceli olara belirlenmesini uygun ılar. Giriş x(t) ve cevap y(t) arasındai ilişi denlem (.7) dei şeilde yazılabilir [39] * T [ G ( )] [ H ( ω) ] [ G ( ω) ] [ H ( ω) ] yy ω = (.7) mxm Burada [ (ω)] xx mxr xx rxr mxr G giriş güç spetrum matrisi i bu durağan sıfır ortalama beyaz tahri girişi durumunda sabittir ve bu sabit C ile ifade edilecetir. r ise giriş sayısını belirtmetedir. [ (ω)] G cevap güç spetrumu matrisidir. m ise cevap sayısını yy belirtmetedir. [ H ( ω) ] Freans Tepi Fonsiyonu (FTF) matrisidir. * ve T üstsimgeleri omples eşleni ve transpozu ifade eder. Denlem (.7) de görüldüğü gibi [ G (ω)] yy, giriş sabiti C ye ço duyarlıdır. Bundan sonrai denlemler ve te serbestli dereceli sistem belirlemesi, sadece girişin sabit bir değer olara varsayılmasıyla geçerli olacatır. Denlem (.8) de gösterildiği gibi FTF matrisi lasi modal analizde olduğu gibi utup ve artılar şelinde ifade edilebilir. [ H ( )] [ R ] [ R ] m * + = jω λ jω ω = * λ (.8) λ = σ + jω (.9) d Burada; m toplam mod sayısı, λ inci modun utbu, σ modal sönüm, ω d inci modun sönümlü doğal freansıdır ve denlem (.0) dai şeilde ifade edilebilir. 4

41 ω d = ω ς (.0) 0 σ ς = (.) ωo Denlem (.) de ise ς inci mod için sönüm oranı ve ω o inci mod için sönümsüz doğal freanstır. T [ R ] ψ γ = (.) Denlem (.) de ψ inci modun mod şeli, γ ise inci modun modal atılım vetörüdür. Giriş beyaz tahri olara düşünülürse, Güç Spetral Yoğunlu matrisi sabit bir matris olara ele alınır ( G xx ( jw) = C ) ve denlem (.7) şu hali alır: G yy m m * * R R Rs Rs ( ω ) = + C + * * = s= jω λ jω λ jω λs jω λ (.3) s Burada üstsimge H omples eşleniğin transpozunu ifade etmetedir. Denlem (.7) dei[ G yy ] ifadesini ullanara ve bazı matematisel işlemlerle cevap Güç Spetrum Matrisi Denlem (.4) dei gibi yazılabilir [6]. H G yy m ( ω) = = * [ A ] [ A ] [ B ] [ B ] + jω λ + jω λ * + jω λ * jω λ * (.4) [ ] Burada, A [ ] G matrisinin inci artı matrisidir. Bu matris Hermitian bir yy matristir ve denlem (.5) dei şeilde ifade edilir. [ A ] = [ R ] C H [ R ] [ R ] m T s s + * s= λ λ λs λ s (.5) inci mod için artığın atısı denlem (.6) ile ifade edilir: [ A ] [ R ] C[ R ] H = (.6) σ 5

42 Burada σ, λ = σ + jω utbunun gerçel ısmının esi işaretlisidir. Hafif sönümlü bir model düşünüldüğünde, modal atı matrisi, mod şeli vetörüyle orantılı olur ve denlem (.7) dei ifade elde edilir. T T T T [ A ] = [ R ] C[ R ] =ψ γ Cγ ψ = d ψ ψ lim (.7) damping light d salar bir sabittir. Belirli bir freansta (ω ), genellile veya mod belirli bir şeilde atıda bulunur. Bu modlar Sub (ω) ile belirtilir. Sonuç olara, hafif sönümlü yapılar için Cevap Spetral Yoğunlu matrisi denlem (.8) dei son hali ile ifade edilir [6]. [ G yy ( )] = T * * H d ψ ψ d ψ ψ ω + (.8) * jω λ jω λ Sub( w) Bu son haldei matris formu, Teil Değerlerine Ayrıştırma teniği ullanılara teil değerlere ve teil vetörlere ayrıştırılır. Bu ayrıştırma, problemin te serbestli dereceli modelini belirleme için yapılır..4. Teil Değerlere Ayrıştırma Freans Alanında Ayrılaştırma teniği Güç Spetrum Yoğunlu matrislerine uygulanmatadır. Bu nedenle il adım Güç Spetrum Yoğunlu matrislerinin belirlenmesidir. Daha sonra her bir ayrı freansta belirlenen ( ω = ω ) bu Güç Spetrum Yoğunluları [ (ω)] G teil değerlerine ayrıştırılır. Teil Değerlerine yy Ayrıştırma (TDA), istirarsız matrislerin ve problemlerin incelenmesinde de olduça etili bir sayısal araçtır. TDA Metodu ullanılara bir matrisin teil değerleri bulunabilmete ve yine bu metot ile bir matrisin tersi alınabilmetedir. m n omples bir matris olan [ A ] matrisinin teil değerlerine ayrıştırılması denlem (.9) ile ifade edilir. H [ A] = [ U] [ ] [ V] (.9) mxn mxm mxn nxn Burada [ ] A matrisi omples olduğundan [ ] U ve [ ] V matrisleri unitary matristir ( UU * = U * U = ). A matrisinin reel olduğu durumda ise [ U ] ve [ V ] matrislerinde I n i 6

43 ortogonallı söz onusudur. [ U ] matrisinin olonları sol teil vetörler, [ V ] matrisinin olonları ise sağ teil vetörlerdir, [ ] ise teil değerleri içeren öşegen (diagonal) matristir. Bu matris N adet teil değer içerir. Teil değerlerin sayısı matrisin ranının belirlenmesi açısından büyü önem taşımatadır. A matrisinin ] ranı [ matrisindei sıfır olmayan teil değerlerin sayısı adardır [38]. [ U ] [ u u... ] = (.0) u m [ V ] = [ v v... v ] n (.) [ ] = diag( S,..., S ) r = min(m,n) r (.) [ ] Denlem (.) dei matrisi içerisindei S elemanlarına teil değerler denir ve bunların teil vetörleri ise denlem (.0) ve (.) dei matrislerindedir. r [ ] [ ] U ve [ V ] Adı geçen teil değer ve vetörlerin bulunması için matrisin reel ve boyutunun m>n olduğu varsayılırsa [ A A] T T matrisi (n>m halinde [ AA ] alınacatır) nxn boyutunda are, simetri ve pozitif belirlidir. [ A A] T Matrisinin özdeğerleri için λ = S, λ = S, L, λn = S n olara yazılabilir. Aralarındai ilişi pozitif belirliliten dolayı S S L S r > 0 ve Sr+ = Sr+ = L = Sn = 0 şelindedir. Burada T r=ran( AA, bulunan teil değerler ise [ A A] T matrisinin özdeğerleridir ve bunlara arşılı gelen özvetörler ) v, v, L, vn olara bulunabilir. Bu teil vetörler, [ V ] matrisinin olonlarını sağ teil vetörler olara oluştururlar. V = v,, L vr, = ( L ) V,, vr+ v sıfırdan farlı v,, r + L v n ( ) olara yazılabilir. Buradai v den v e adar olan vetörler n λ,, L λr özdeğerlerine arşılı gelmetedir. Diğer grupta alan sıfır özdeğerlere arşılı gelen vetörlerdir. Sıfırdan farlı r sol teil vetörler ise denlem (.3) dei ifade ile elde edilir [47]. Herhangi bir matrisin teil değerlerine ayrıştırılması işlemi E A da verilmiştir. ui 7

44 u i = Avi, i =, LLr (.3) s i Teil Değerlerine Ayrıştırmanın bir başa avantajı ise are olmayan matrislerin de terslerinin alınabilmesini sağlamasıdır. TDA Metoduna öre göre herhangi bir [ A ] matrisinin tersi denlem (.4) de verilmiştir [48]. + + [ A ] [ ] [ ] [ ] T M N V M M M N U N N = (.4) + M N Bu denlemde verilen [ ] ifadesinin açılaması ise aşağıda verilmetedir. + [ ] ( s, s, s,..., s,0,0,...0) M N = diag (.5) 3 r Bu arada, ilgilenilen matris omples olduğundan denlemdei transpoze işlemi yerine omples eşleni transpoze işlemi yapma gereecetir..5 Doğal Freans ve Mod Şelinin Hesap Edilmesi Şeil (.4) de gösterildiği gibi Teil Değerlerine Ayrıştırma, Bölüm. de açılandığı gibi oluşturulan her bir matrise her bir freansta uygulanır. Matrisler Hermitian ve öz değerleri sıfıra eşit veya büyü olduğundan (positive semi-definite matrix) teil değerlere ayrıştırma sonucu Güç Spetrum Matrisi denlem (.6) dei şeilde ifade edilebilir [38]. [ G jw) ] = [ U ][ ][ U ] H yy ( (.6) H [ U ] [ U ] = [ Ι] Denlem (.7) da gösterilen [ ] teil değerler matrisinden doğal freanslar, (.8) da gösterilen ve unitary matris olan [ U ] teil vetörler matrisinden ise mod şeilleri elde edilir ve her bir sütunu { u } vetörü şelinde yazılabilir. 8

45 [ ] = = ),..., ( 3 r r mxn S S S S S S diag (.7) [ ] [ ] } {.. } { } { } { 3 r u u u u U = (.8) Şeil.4: Her bir freansta güç spetrum yoğunlu matrislerinin teil değerlerine ayrıştırılması prosedürü [38] Denlem (.7) dei S değişeni teil değerleri göstermetedir. Bu sayılar il teil değerden itibaren üçülere devam ederler ve belli bir notadan sonra en baştai teil değere göre ihmal edilebilece adar üçü bir değere ulaşırlar. Belirli bir toleranstan sonrai teil değerler ihmal edilir ve geri alan teil değerlerin sayısı da matrisin etin ranını belirlemetedir. Teil değerlere ayrıştırma işlemiyle mod şeillerini elde etme esnasında ilgili inci mod yaınındai tepede bir mod veya olası yaın bir başa mod basın olabilir. Eğer sadece inci mod basınsa denlem (.8) de sadece bir terim olacatır. Sonuç olara bu durumda Denem (.9) dai gibi il teil vetör mod şelini verecetir [6]. u i 9

46 [ φ ] = ui (.9) Teil matristei sıfır olmayan öşegen elemanlar her bir spetral yoğunlu matrisinin ranını verir. Teil vetörler mod şeillerinin belirlenmesini sağlar, teil değerler ise te serbestli dereceli sistemin spetral yoğunlularıdır. Şeil.5 dei grafi herhangi bir ölçüme ait spetral yoğunlu matrisinin teil değerlerine ayrıştırılması sonucunu göstermetedir. Grafite x eseni freansı, y eseni ise güç spetral yoğunluğu göstermetedir. Her bir spetral yoğunlu matrisinden ivmeölçer sayısı adar teil değer ve teil vetör elde edilir. Bulunan teil değerler matrisindei il teil değer en büyü ve sonra gelenler azalara devam edecetir. Şeil.5: Teil değerlere ayrıştırma sonucu elde edilen grafi [38] Genliği en yüse olan eğri il teil değer ve geri alan 3 eğri ise diğer teil değerleri göstermetedir. Alınan ölçüm notalarının çoluğuna göre daha fazla teil değerler olabilir. Bu tenile far edilemeyen yaın modlar belirlenebilir. Eğer belirli bir freansta sadece bir mod basınsa, bu durumda sadece bir teil değer o freansta basın olacatır. Birbirine yaın veya terarlanan modlarda, ne adar birbirine yaın veya terarlanan mod varsa o adar basın teil değer olacatır. Teil değerlere ayrıştırma yöntemiyle elde edilen her bir te serbestli dereceli sistem, doğal freansların ve mod şeillerinin (ölçelendirilmemiş) her bir tepede belirlenmesini sağlar. Matematisel türetmeden elde edilen artılar giriş uvvetine 30

47 göre ölçelendirilmemiştir ve dolayısıyla ölçelendirilmiş mod şeilleri vetörleri elde edilemez [38]..6 Geliştirilmiş Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemiyle Sönümün Hesap Edilmesi Her bir modun sönüm bilgisi ve doğal freansları orelasyon fonsiyonlarının belirlenmesine dayanan Geliştirilmiş Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemi ullanılara bulunabilir. Geliştirilmiş FAA teniği, öznel ve çapraz orelasyon fonsiyonlarını hesaplayara belirli bir moddai doğal freansı ve sönümü bulmaya dayanır. Önceden hesaplanan öznel ve çapraz spetrumlara Ters Ayrı Fourier Transformu uygulanara, zaman bölgesine dönülere rezonans tepesi etrafında te serbestli dereceli güç spetrum yoğunlu fonsiyonu belirlenir. Sönüm, ilgili te serbestli dereceli normalize edilmiş öznel orelasyon fonsiyonunun logaritmi azalma mitarından elde edilir [40]. inci modda sönümün elde edilebilmesi için serbest azalan zaman alanı fonsiyonu (te serbestli dereceli sistemin orelasyon fonsiyonu) ullanılır. Logaritmi azalma δ denlem (.30) ile ifade edilir [40]. r0 δ = ln( ) (.30) r Burada r orelasyon fonsiyonunun başlangıç değeri, r ise. tepedir. inci mod 0 için sönüm oranı ise denlem (.3) ile ifade edilir. δ ς = (.3) δ + 4π inci mod için sönümsüz doğal freans ise denlem (.3) de verilmiştir. ω = ω d ( d ς ω :sönümlü doğal freans) (.3) Bu yöntemden ayrı olara sönümü bulmanın daha basit ve hızlı olan bir diğer yolu ise yarım bant genişliği yöntemini uygulamatır. Bu yönteme göre yapı üzerinden 3

48 alınan titreşim verilerine (freansa bağlı genli eğrileri) her bir mod etrafında bu yarım güç bant genişliği yöntemi uygulanır. Şeil.6: Mod Etrafındai Yarım Bant Genişliği Bu yöntemle sönüm oranı, denlem (.33) de verildiği gibi doğal freans tepesinden 3db aşağıda eğriyi esen notaların farları alınara doğal freansın atına bölünere bulunur. ζ c ω ω = (.33) * ω n.7 ÇŞMA İle İlgili Sayısal İşlemler Bölüm.5 de bahsedildiği gibi elde edilen matrislerin Hermitian ve pozitif yarı belirli olmasından dolayı teil değerlere ayrıştırma sonucu Güç Spetrum Matrisinin denlem (.6) dei şeilde ifade edilebileceği söylenmişti. Bu yüzden burada biraz daha detaylandırılması gereen bir onu da Pozitif Belirli Matrisler (Positive Definite Matrix) ve bu matrislerin özellileridir. Tamamı sıfır olmayan herhangi bir {x} vetörü için ({} x 0), nxn omples bir matris olan A matrisinin pozitif belirli * * olabilmesi için; { x} [ A]{} x > 0 şartını sağlıyor olması geremetedir. Burada x, x vetörünün omples eşleniğinin transpozunu ifade etmetedir. A matrisi reel ise; {}[ x T A]{} x > 0 halini alır. Burada x T, x vetörünün transpozudur. Eğer * {}[ x A]{} x 0 şartı sağlanıyorsa A matrisi pozitif yarı belirlidir (positive semi definite matrix). Pozitif belirli bir matrisin determinantı da her zaman pozitiftir [49]. 3

49 Bu ifadeler ineti enerjinin tanımından ileri gelmetedir mv. Ço serbestli dereceli bir ütle-yay sistemi ele alınırsa denlem (.34) da gösterildiği gibi ineti enerjisi her zaman sıfırdan büyütür. {} v T [ M ]{} v > 0 (.34) Aynı şeilde potansiyel enerji ele alınaca olursa denlem (.35) de gösterildiği gibi yine sıfırdan büyü olacatır. {}[ x T K]{} x 0 (.35) Denlem (.36) dei gibi eğer ütlelerdei yer değiştirmeler birbirine eşit olursa {}[ x T K]{} x olabilir. {} x = x x 3 sıfıra eşit olur. Dolayısıyla direngenli matrisi pozitif yarı belirli matris x x x = x3 = { } [ K ]{ x} = 0 x T (.36) Herhangi bir omples A matrisin pozitif belirli olması için gereli ve yeter oşul Denlem (.37) de verildiği gibi matrisin Hermitian bölümünün H H ( A A ) A = + (.37) pozitif belirli olmasıdır. Burada, A matrisinin omples eşleniğinin transpozunu ifade eder. Reel bir matrisin ise denlem (.38) de verildiği gibi simetri bölümünün pozitif belirli olması gereir [49]. H A S T ( A A ) A = + (.38) Hermitian veya simetri bir matrisin pozitif belirli olması için özdeğerlerinin pozitif olması gereir. Komples Hermitian bir matrisin özdeğerleri her zaman reeldir. Genel bir omples matrisin pozitif belirli olması için ise Hermitian bölümünün 33

50 özdeğerlerinin pozitif olması gereir. E B de bununla ilgili sayısal bir örne verilmiştir. [A] ve [B] matrisleri pozitif belirli ise [A]+[B] matrisi de pozitif belirlidir. Pozitif belirli bir matrisin tersi de her zaman pozitif belirlidir. Hermitian bir [A] matrisinin pozitif belirli olması için gereli (faat yeterli değil) oşullar [49]: ) Bütün i ler için a > 0 olmalı. ( a : Matrisin öşegen üzerindei elemanları) ) a + a > R[ a ] j ii jj ij ii i ( R [ ] reel ısmı) 3) En büyü eleman öşegen üzerinde olmalıdır. 4) det( A) > 0 a ij ii : Matrisin öşegen dışındai elemanlarının.8 Freans Alanında Ayrılaştırma Yönteminin Aış Şeması Tezde uygulanan Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemi sayısal ve deneysel çalışmalar olma üzere ii ana başlıta incelenmiştir. Sayısal çalışmalarda I-DEAS ve ADAMS programları ullanılmıştır. Yapı I-DEAS programı ullanılara modellenmiş daha sonra ADAMS programına atarılmıştır. Burada istediğimiz düğüm notası üzerinden tahri uygulanabilece ve her bir düğüm notası üzerinden tepi ölçülebilece şeilde titreşim analizi yapılmıştır. Burada uygulanılan tahrii ölçmeden sadece freansa bağlı titreşim genlileri elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen bu veriler MATLAB ortamına atarılmıştır. MATLAB de yazılan bir program aracılığı ile her bir düğüm notası üzerinden her bir freansta alınan titreşim genlilerinin birbirleriyle çapraz spetrumları hesaplanara spetral yoğunlu matrisleri elde edilmiş ve teil değerlerine ayrıştırılara teil değerler grafiği çizilmiştir. Hesaplanan bu teil değerler ve teil vetörlerden doğal freans, sönüm ve mod şeilleri matrisleri elde edilmiştir. Elde edilen bu matrisler ICATS programına atılara mod şeillerini görselleştirilmesi sağlanmıştır. Daha sonra I- DEAS ortamında serbest sınır oşullarında gelenesel modal analiz uygulanılara elde edilen modeldei doğal freanslar, sönüm ve mod şeilleri ile arşılaştırılmıştır. Sayısal duruma ait Freans Alanında Ayrılaştırma yönteminin şemati gösterimi Şeil.7 de gösterilmiştir. 34

51 (ADAMS) (ADAMS) (Matlab) (Matlab) (ICATS) (ICATS) Şeil.7: Sayısal Çalışma Şartlarında Modal Analiz Yönteminin Şemati Gösterimi Deneysel çalışmalarda ise yapı üzerine uvvet uygulanmış (bilinmediği abul edilere) veya yapı çalışır durumda ien adet referans ivmeölçer (sabit) olma şartıyla diğer ivmeölçerler gezdirilere yapı üzerindei notaların aralarındai çapraz spetrumları sinyal analizöründe ölçülmüştür. Elde edilen bu veriler Matlab 35

52 programında outulara spetral yoğunlu matrisleri elde edilmiş ve teil değerlerine ayrıştırılmıştır. Hesaplanan teil değerler ve teil vetörlerden de doğal freans, sönüm ve mod şeilleri matrisleri elde edilmiştir. Yine bu matrisler ICATS programına atılara mod şeillerinin görselleştirilmesi sağlanmıştır. Yapıya uygulanan Gelenesel Modal Analiz (uvvet ölçülere) sonucu elde edilen doğal freans, sönüm ve mod şeilleriyle arşılaştırılmıştır. Deneysel duruma ait Freans Alanında Ayrılaştırma yönteminin şemati gösterimi Şeil.8 de gösterilmiştir. Şeil.8: Deneysel Çalışma Şartlarında Modal Analiz Yönteminin Şemati Gösterimi 36

53 3. SAYISAL UYGULAMALAR Bu bölümde Freans Alanında Ayrılaştırma yönteminin yanıtı önceden bilinen durumlara uygulanması ve bu yalaşımın uygulanabilirliğinin sınırlarının belirlenmesi hedeflenmiştir. Bu bağlamda sayısal modeller üzerinde deneme uygulamalar yapılmış ve sonuçlar açılanmıştır. Yapı üzerinden ölçülen titreşimler ve yapılan dinami analizler sayısal ortamda gerçeleştirilmiştir. Sayısal modeller il olara I-DEAS da oluşturulmuş ve daha sonra ADAMS a atarılara titreşimler hesaplanmıştır. Alınan bu titreşim verileri (yapıya uygulanan uvvetler hariç) MATLAB de yazılan bir programda analiz edilere yapının çalışma şartlarındai modal parametreleri belirlenmiştir. Aynı zamanda sayısal modellere gelenesel modal analiz uygulanara (uvvet ölçülere) yapının modal parametreleri de belirlenmiş ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerle arşılaştırılmıştır. 3. Sayısal Model Sayısal model ısaca bir yapının bilgisayar ortamında hazırlanmış modeli olara tanımlanabilir. Bir sayısal model abul edilen varsayımlar çerçevesinde gerçe yapının davranışını temsil edere onun haında fiir vericidir. Sayısal modellerin oluşturulması için sıça ullanılan yöntem Sonlu Elemanlar Metodudur. Sonlu elemanlar teorisine göre armaşı bir yapı basit ve sonlu sayıda elemanın birleşiminden oluşmuş abul edilir. Bu abul, sayısal modelin gerçe yapı gibi süreli değil de ayrı bir sistem olması demetir. Yapının ayrı elemanlardan oluşuyor olması nedeniyle ilgilenilen sistem ütle ([ M ]), direngenli ([ K ]) ve sönüm ([ C] ) matrislerinden oluşmatadır. Sonlu elemanların yapının geometri şeline uygun olara bir araya getirilmiş, aynı zamanda malzeme özellilerini ve sınır oşullarını da apsayan durumuna Sonlu Elemanlar Modeli (SEM) denir [50]. Gerçete bir yapının sonsuz sayıda serbestli derecesi bulunmatadır. Faat sayısal modelde bu sayı sonlu elemanların sayısı ile orantılı olara sınırlandırılmıştır. Yapının her bir düğüm notasında, üç adet öteleme yönüne ait ve üç adet dönmeye 37

54 ait toplam altı serbestli derecesi vardır. Anca, ullanılan eleman türüne göre her bir düğüm notasındai serbestli dereceleri değişebilir. Dolayısıyla bu ve düğüm sayısı yapının gerçe yapı ile benzeşimini etileyen bir fatördür. Sonuç olara düğüm notalarının tanımlanması adar, bu notaların tanımlanma biçimi de modelin vereceği sonuçlar üzerinde etilidir [50]. Bir yapının sayısal modeli Uzaysal Model, Modal Model ve Tepi Modeli gibi değişi şeillerde ifade edilebilir. Sonlu elemanlar modeli ullanılara yapının direngenli, ütle ve sönüm matrisleri elde edilebilmetedir. Bu matrisler yapının Uzaysal Modelini oluştururlar. Sönümsüz Model: Ço serbestli dereceli sönümsüz lineer bir sistem ele alındığında hareet denlemi aşağıdai şeilde yazılabilir. [ M ]{ x& ( t) } + [ K ]{ x( t) } = { f ( t) & } (3.) Burada [ M ] ve [ K ] matrisleri sırasıyla ütle ve direngenli matrisleri, { f } ve { x } vetörleri ise uvvet ve yer değiştirme vetörleridir. { ( t) } = 0 f abul edilere serbest titreşim çözümü yapılabilir. Bu durumda aşağıdai gibi bir çözümün varlığı abul edilebilir. iωt { x() t } = { X } e (3.) Değişenler yerine onduğunda (3.) denlemi ([ ] i t K ω [ M] ){ X} e ω = { 0} ; { X } { ψ } (3.3a) [ M ] [ K ]{ X } λ{ X } = ; λ = ω (3.3b) halini alır. Denlem (3.3) de verilen standart özdeğer problemi çözümünden doğal freanslar ve mod şeilleri bulunabilir [7]. Burada verilmesi gereen önemli bir özelli de denlem (3.4) de verilen ortogonalite özellileridir. 38

55 T T [ ψ ][ M ][ ψ ] = [ m ], [ ψ ][ ][ ψ ] = [ ] r K (3.4) r Burada m ve r r sırasıyla modal ütle ve modal direngenli matrisleridir. Denlem (3.4) de verildiği gibi sistemin [ ψ ] özvetörleri ütle ve direngenli matrislerine göre ortogonalliği sağlar [7]. r inci moda ait ütle normalizasyonu yapılmış mod şeli { φ } r ise aşağıdai şeilde ifade edilmetedir. { } { ψ } φ r = r (3.5) m r Çalışma Şartlarında Modal Analizde mod şeillerine yuarıda gösterildiği şeilde bir normalizasyon yapabilme mümün değildir. Bu nedenle ÇŞMA uygulamalarında çoğu zaman birim normalizasyon ullanılmatadır. Bu da özvetör matrisi içerisindei elemanların matrisin en büyü elemanına bölünere elde edilmetedir. Bu normalizasyonun ullanılmasındai amaç mod şeillerinin, uvvetin bilinmemesinden dolayı ölçelendirilememesidir. Kütle normalizasyonu yapılmış özvetörlere ait özelliler (3.6) ve (3.7) denlemleri ile verilebilir. Burada I birim matrisi, ω r ise r inci doğal freansı göstermetedir. T [][ M ][] φ = [ I ] φ (3.6) T [][ ][] φ [ ] φ K = ω r (3.7) Orantılı Visoz Sönümlü Model: Ço serbestli dereceli visoz sönümlü bir sistem ele alındığında ise hareet denlemi aşağıdai şeilde yazılabilir. [ M ]{} && x + [ C]{} x& + [ K ]{} x = 0 (3.8) C] Burada [ matrisi sönüm matrisidir. 39

56 Orantılı visoz sönümlü model denlem (3.9) de görüldüğü gibi sönüm matrisinin ütle veya direngenli matrisiyle orantılı olduğu modeldir [7]. [ C] β [ K ] + γ [ M ] = (3.9) Denlem (3.0) de verilen özdeğer problemi çözümünden doğal freanslar elde edilir. det [ K ] [ M ] + iω[ C] = 0 ω (3.0) Orantılı visoz sönümlü sistemlerin mod şeilleri sönümsüz sistemin mod şeillerine den olmatadır [7]. [ o ] [ ψ ] sönümsüz ψ (3.) sönümlü Aşağıda gösterilen ortogonalite özellilerini ullanara denlem (3.3) den sönüm oranları bulunulabilir. T [ o ] [ M ][ ψ o ] = [ mr ψ ] (3.a) T [ ] [ K ][ ψ ] = [ ] ψ (3.b) o o T [ ] [ C][ ψ ] [ c ] = β[ ] o o r r r [ m ] ψ = + γ (3.c) r r inci doğal freansa ait visoz sönüm oranı denlem (3.3) de ifade edilmetedir. ς r = c r r m r (3.3) ÇŞMA uygulamalarında sönüm mitarı visoz ( ς ) veya sönüm ayıp fatörü ( η ) olara verilebilmetedir. Birinin bilinmesi durumunda bir diğeri denlem (3.4) den olayca hesap edilebilir. ς = η / (3.4) 40

57 Genel Visoz Sönümlü Model: Genel olara visoz sönümlü ço serbestli dereceli sistemin hareet denlemi denlem (3.8) de verilmişti. Bu diferansiyel denleminin çözümünün aşağıdai formda olacağı abul edilir. iωt {} x { X } e = (3.5) ( ) [ H ( ω) ] = [ K] ω [ M ] + iω[ C] (3.6) Faat bu form prati yapıların nümeri uygulamaları için pe uygun değildir. Dolayısıyla denlem (3.7) de gösterilen, mertebesi N olan ( N = Serbestli Derecesi) ve yer değiştirmeleri {} u [7]. { x } ve hızları { x& } içeren yeni bir oordinat vetörü tanımlanırsa hareet denlemi denlem (3.8) de gösterildiği gibi yazılabilir {} u x = x & ( Nx) (3.7) [ : M ] {} u + [ K : 0]{} u { 0} & (3.8) C Nx N Nx = Nx Bu formda N adet denlem ve N adet bilinmeyen vardır. Dolayısıyla denlem (3.9) da görüldüğü gibi her ii tarafı birbirine eşit olan bir denlem daha elenir. [ : 0]{} u + [ 0 : M ]{} u = {} 0 M & (3.9) Bu denlemler birleştirilirse denlem sayısı denlem (3.0) de gösterildiği gibi N e yüselmiş olacatır. C M M K 0 {} {} = {} 0 0 u& + 0 u (3.0) M Nx N Nx N Denlem (3.0) aşağıdai şeilde basitleştirilebilir. [ A ]{} u& + [ B]{} u = {} 0 4

58 Bu denlemler denlem (3.) de görülen standart öz değer formundadır. Harmoni hareeti {} u = { U} e st şelinde varsayılırsa sisteme ait N adet öz değer ve öz vetör elde edilir. s r (öz değerler) ve st ( s [ A] + [ B] ){ θ } e = { 0} ; r=,n iω r ( s [ A] + [ B] ){ } = { 0} r r { θ } r (öz vetörler) genel denlemi sağlarlar [7]. s = (3.a) r θ (3.b) Bu standart öz değer probleminin çözülmesi sonucunda sisteme ait doğal freanslar, mod şeilleri ve sönüm oranları bulunabilir. Sonuç olara denlem (3.3) ve (3.0) ullanılara yapının dinami davranışı, yapının titreşim biçimleri, doğal freans ve sönüm oranları ile tanımlanmış olmatadır. Bu model tipi modal model olara adlandırılmatadır. Özdeğerler doğal freansların arelerini, özvetörler ise mod şeli matrisinin her bir sütununu göstermetedir [7]. 3. Sayısal Hesaplamalarda Kullanılan Bilgisayar Yazılımları Sayısal model ile ilgili çalışmalarda, sonlu elemanlar programı olara I-DEAS [5] ve dinami analiz programı olara da ADAMS [5] ullanılmıştır. ADAMS dan alınan verileri ullanara Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemini uygulama için ise MATLAB [53] programından yararlanılmıştır. I-DEAS, bir bilgisayar desteli çizim ve mühendisli (CAD / CAE) programıdır. Bu program ullanılara tanımlanan geometriye gereli yapısal özelliler atanara sonlu elemanlar modeli oluşturulabilmetedir. I-DEAS ullanılara, yapılar üzerinde stati analizler, titreşim analizleri ve daha değişi analiz tipleri uygulanabilmetedir. ADAMS, meani sistemlerin simülasyonlarını yapmaya yarayan bir yazılımdır. Bu yazılım yardımıyla urulan modeller üzerinde stati ve dinami analizler yapılabilmetedir. ADAMS-Standart modülü sadece rijit yani esnemez parçalarla çalışabilme olanağı sunmatadır. Gerçete ise yapının elasti özellilerinden aynalanan titreşim modları bulunmatadır. I-DEAS ta oluşturulan yapıyı elasti olara ADAMS ortamına atarabilme için ADAMS-Flex adlı yardımcı bir modül ullanılır. Bu modül ço cisimli esne sistemleri modelleyebilmete ve zaman alanında integrasyon yapabilmetedir. ADAMS ortamında yapının herhangi bir 4

59 notasına bir uvvet uygulanara istenen notalardan tepiler ölçülebilmete ve freansa bağlı olara bu tepilerin genlileri görülebilmetedir. MATLAB, teni bir programlama dilidir. Bu programla algoritma geliştirme, sayısal hesaplamalar ve veri analizleri yapılabilmetedir. MATLAB ullanılara teni problemler çözülebilir, ayrıca değişi amaçlara yöneli algoritmalar oluşturulabilir. Bu tez boyunca MATLAB yazılımı, yapı üzerinden tepiler ölçüldüten sonra ilgili sayısal işlemlerin yapılması için ullanmıştır. MATLAB de yazılan bir ÇŞMA programı sayesinde, elde edilen yapısal titreşim sonuçlarını ullanara yapıya ait bilinmeyen modal parametreler (doğal freans, mod şeilleri, sönüm) belirlenmiştir. 3.3 Kütle-Yay Sistemi Üzerinde Sayısal Uygulamalar 3.3. Kütle-Yay Sistemi Sayısal Modeli Çalışma Şartlarında Modal Analiz yöntemi ile yapılan il sayısal çalışma, yanıtları önceden hesaplanan ve bilinen 3 serbestli dereceli bir ütle-yay sistemi üzerinde gerçeleştirilmiştir. Bu çalışmada il olara gelenesel modal analiz yöntemini ullanara özdeğer problemi çözümünden yapıya ait doğal freanslar, mod şeilleri ve sönüm oranları belirlenmiştir. Daha sonra ADAMS programında bu 3 serbestli dereceli ütle-yay sistemi modellenmiş ve herhangi bir ütlesinden uvvet uygulanmıştır. Uygulanan bu uvvet ölçülmeden yapı üzerindei 3 ütleden de titreşimler ayıt edilmiştir. Alınan bu veriler MATLAB programına atarılara Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemiyle doğal freanslar, mod şeilleri ve sönüm oranları belirlenmiş ve önceden bilinen değerlerle arşılaştırılmıştır. Sisteme uygulanılan uvvetin yeri ve genliğinin belli olması ve aynı zamanda ütle, direngenli ve sönüm matrislerinin de bilinmesinden dolayı her bir freansta her bir ütlede oluşaca titreşimler olaylıla bulunabilir. 3 serbestli dereceli ütle-yay sistemi sayısal modeli Şeil 3. de görülmetedir. Bu modelde seçilen ütle ve yayların direngenli değerleri aşağıdai gibidir. Hareet denlemlerini yazaren yer değiştirmeler ( x, x, x3 ) arasındai ilişi x > x > x3 olara varsayılmıştır. 43

60 m N m N m N / 00 / 900 / = = = g m g m g m = = = Şeil 3. Kütle-Yay Sistemi Sistemin basit 3 serbestli dereceli bir sistem olmasından dolayı oluşan titreşimler ADAMS programı yerine (3.) de verilen denlemle de olayca bulunabilir. { } [ ]{ } F H X = (3.a) [ ] [ ] [ ] ( ) + = 3 3 F F F C i M K x x x ω ω (3.b) 3.3. Farlı Sönümlü Yapılara Çalışma Şartlarında Modal Analiz Uygulamaları Bu bölümde 3 serbestli dereceli ütle-yay sisteminin farlı sönüm çeşitleri ve mitarları altındai titreşimleri ölçülere çalışma şartlarındai modal parametreleri belirlenmiş ve gelenesel modelle arşılaştırılmıştır Sönümsüz Model 3 serbestli dereceli sönümsüz sistemin hareet denlemi denlem (3.3) de gösterildiği gibi matris formunda yazılabilir. = x x x x x x m m m && && && (3.3) 44

61 Gelenesel modal analiz sonucunda elde edilen sönümsüz sistemin doğal freansları ve birim normalizasyonlu mod şeilleri aşağıdai gibidir. Mod şeli matrisindei ([ φ ]) sütunlar mod u, satırlar ise mod şelinin hangi serbestli derecesine arşılı geldiğini ifade etmetedir. Örneğin matrisin. satırı, 3. sütunundai değer 3. modda. ütlenin diğer ütlelere göre yaptığı yer değiştirme mitarını göstermetedir [7]. ω =.47Hz ω = 5.4Hz ω = 7.70Hz 3 [] φ = Çalışma şartlarında sönümsüz ütle-yay sisteminin ADAMS modeli Şeil 3. de gösterilmetedir. Bu programın ADAMS Titreşim modülü ullanılara yapıdai 3. ütleye x eseni yönünde (yatay yön) uvvet uygulanmış ve her bir ütleden x eseni yönündei ivmeleri (sadece cevap bilgisi) alınmıştır. Şeil 3. Sönümsüz Kütle-Yay Sisteminin ADAMS Modeli Kuvvet Şeil 3.3 de bir örneği gösterilen Süpürücü Sinüs (sine sweep) olara girilmiştir. Bu uvvet incelenilen tüm freanslarda yapıya süreli ve artan freansta sinüs sinyali uygulamatadır. Kuvvetin genliği, fazı ise 0 alınmıştır. Yapıdai ütlelerin ve yayların direngenlilerinin değerleri Bölüm 3.3. de verildiği gibi girilmiştir. Birinci yayın ucu ise yere sabit olara bağlanmıştır. Analizler 0-0 Hz arasında yapılmıştır. 45

62 Şeil 3.3 Süpürücü Sinüs Her bir ütleden alınan freansa bağlı genli eğrileri Şeil (3.4) de gösterildiği gibidir. Şeil 3.4 Sönümsüz Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Elde edilen bu veriler MATLAB programına atarılara her bir ütlenin genlilerinin birbirleriyle olan çapraz spetrumları hesaplanmış ve Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemi adımları izlenere Şeil 3.5 de görülen Teil Değerler Grafiği elde edilmiştir. Bu adımın ardından sistemin mod şeilleri hesaplanmıştır. 46

63 Şeil 3.5 Sönümsüz Modelin Teil Değerlerine Ayrıştırma Grafiği Teil Değerlere Ayrıştırma yoluyla elde edilen doğal freanslar ve birim normalizasyon uygulanmış mod şeilleri aşağıdai gibidir. ω =.47Hz ω = 5.4Hz ω = 7.69Hz 3 [ ψ ] = Tablo 3. de gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen doğal freansların ve sırasıyla her bir ütlenin mod şeillerinin arşılaştırılması verilmetedir. Tabloda verilen sayısal değerlerden de anlaşıldığı gibi her ii yalaşımla elde edilen sonuçlar birbiri ile aynı abul edilebilece seviyede uyumludur. Anca, GMA ve ÇŞMA den elde edilen sonuçlar arasında ço üçü de olsa bazı sayısal farların olduğu da görülmetedir. 47

64 Tablo 3. Sönümsüz Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Orantılı Yapısal Sönümlü Model Bu bölümde Şeil 3.6 da görüldüğü gibi tüm yaylara orantılı yapısal bir sönüm elenmiştir. Dolayısıyla yaylar ve direngenli matrisi armaşı (omples) sayılarla ifade edilmiştir. Yapısal sönüm fatörü (η ) her bir yay için 0.0 seçilmiştir i bu durumda her bir yay aşağıdai denlemle ifade edilmetedir. Diğer parametreler ise öncei modelle aynıdır. * = + id = ( + iη) (3.4) Şeil 3.6 Orantılı Yapısal Sönümlü Model Yapısal sönüm matrisi [ D] ise aşağıdai şeli alır [ D ] = 9 0 [ N / m] 48

65 Dolayısıyla omples direngenli matrisi: * [ K ] = [ K ] + iη [ K] i = 900 9i i i 00 i 0 00 i 00 + i Matlab programında denlem (3.5) de gösterilen özdeğer problemi çözümünden doğal freanslar, mod şeilleri ve sönüm oranları hesaplanmıştır. i t ( K ω [ M] ){ X} e ω = { 0} (3.5) ADAMS programında yayların direngenlileri omples girilemediğinden dolayı sistemin çalışma şartları altındai ivmeleri daha önceden de bahsedildiği gibi her bir freansta aşağıdai denlem yardımıyla Matlab programında hesaplanmıştır. { } [ H ]{ F} X = (3.6a) x x x 3 = F ω F (3.6b) F3 ([ K ] [ M ]). ütleden genliği olan bir uvvet uygulanırsa F =, diğer uvvetler ise sıfır olacatır. Elde edilen ivmeleri ullanara çalışma şartlarında doğal freanslar, mod şeilleri ve sönüm oranları bulunabilir. Sönüm oranları Şeil 3.7 de gösterilen. ütleden alınan freansa bağlı genli eğrisine yarım güç bant genişliği yöntemini uygulayara bulunmuştur. Tablo 3. da ise gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametreler arşılaştırılmıştır. 49

66 Şeil 3.7 Orantılı Yapısal Sönümlü Sistemden.Kütleden Alınan Freansa Bağlı Genli Grafiği Tablo 3. Orantılı Yapısal Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Sonuç olara Tablo 3. da görüldüğü gibi gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametreler birbiriyle aynı abul edilebilece durumdadır. Çalışma şartlarında elde edilen mod şeillerinin sanal ısmı ihmal edilebilece adar üçütür. 50

67 Orantılı Visoz Sönümlü Model Bu bölümde sisteme orantılı visoz sönüm elenere gelenesel ve çalışma şartlarında modal analiz uygulanara modal parametreler elde edilmiş ve sonuçlar arşılaştırılmıştır. Şeil 3.8 de sönümlü ütle-yay sistemi görülmetedir. Bu sistemde 000 = 0. β ve = 0 γ seçilere sönüm matrisinin direngenli matrisiyle orantılı olması sağlanmıştır. Bu bağlamda elde edilen sönüm mitarları aşağıda verilmetedir. Kütle ve yayların direngenli değerleri ise sönümsüz sistemle aynıdır. m Ns c m Ns c m Ns c / 0. / 0.8 / = = = Şeil 3.8 Sönümlü Kütle-Yay Sistemi 3 serbestli dereceli orantılı visoz sönümlü sistemin hareet denlemi denlem (3.7) de gösterildiği gibi matris formunda yazılabilir. = x x x x x x c c c c c c c c c x x x m m m & & & && && && (3.7) Denlem (3.0) de verilen özdeğer problemi çözümünden doğal freanslar aşağıda gösterildiği gibi elde edilir. ihz ihz ihz = = = ω ω ω 5

68 Sistem orantılı visoz sönümlü olduğundan sönümsüz sistemin mod şeilleri orantılı visoz sönümlü sistemin mod şeillerine den olacatır. Gelenesel modal analiz sonucunda orantılı visoz sönümlü sistemin sönüm oranları her bir mod için aşağıdai gibidir. ς = ς = ς = Çalışma şartlarında sönümlü ütle-yay sisteminin ADAMS modeli Şeil 3.9 de gösterilmetedir.. ütleye x eseni yönünde süpürücü sinüs uvveti uygulanmış ve her bir ütleden x eseni yönündei ivmeleri (sadece cevap bilgisi) alınmıştır. Şeil 3.9 Sönümlü Kütle-Yay Sisteminin ADAMS Modeli Her bir ütleden alınan freansa bağlı genli ve faz eğrileri Şeil (3.0) ve (3.) da gösterildiği gibidir. Şeil 3.0 Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi 5

69 Şeil 3. Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Faz Eğrisi Alınan bu genli ve faz bilgileri reel ve sanal ısımlara ayrılmıştır. Bu sistemde yapıda sönümün de olmasından dolayı alınan cevapların sanal ısmı da mevcuttur. Daha sonra her bir ütlenin birbirleriyle olan çapraz spetrumları hesaplatılara. Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemiyle Matlab programında Şeil 3. de görülen Teil Değerler grafiği ve il teil değerdei her bir tepeden doğal freanslar elde edilmiştir.. ve 3. teil değerlerin genlileri il teil değere göre ço düşü olduğundan o freansta yalnızca bir mod vardır Genli (mm/s ) Freans (Hz) Şeil 3. Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Teil Değerlere Ayrıştırma Grafiği Elde edilen doğal freanslar ve birim normalizasyon uygulanmış mod şeilleri aşağıdai gibidir. 53

70 ω =.48Hz ω = 5.44Hz ω = 7.703Hz 3 [ ψ ] = e 4 + 4e i 4 i e e 3 i i e e i 3 i Birim normalizasyon uygulanmış mod şeli matrisinde sanal ısım da mevcuttur faat ço üçü değerdedir. Mod şeli matrisini daha iyi anlayabilme için reel ve sanal esende gösterme daha uygun olacatır. Şeil 3.3 de elde edilen mod şeilleri reel ve sanal esende gösterilmetedir. Şeildei numaralar mod sayısını, numaraların alt indisleri ise o moddai ütleyi temsil etmetedir. Örneğin vetörü 3. moddai. ütlenin yaptığı yerdeğiştirmeyi ifade etmetedir. Şeilden de anlaşılacağı gibi tüm mod şeilleri ile ilgili faz açıları olması geretiği şeilde, sönümsüz sistemde olduğu gibi 0 veya 80 derecedir. Dolayısıyla sonuçlar gelenesel modal analiz sonuçlarıyla aynıdır Sanal Esen Reel Esen Şeil 3.3 Çalışma Şartlarında Orantılı Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Sönüm ise sistemden aldığımız cevaplardan birine yarım güç bant genişliği yöntemi uygulanara elde edilmiştir. Sonuçlar aşağıdai gibi bulunmuştur ve gelenesel olara elde edilen sönüm oranları ile uyumlu olduğu görülmüştür. 54

71 ς = ς = ς = Özetle Tablo 3.3 de gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerin arşılaştırılması verilmetedir. Tablodan da görüldüğü gibi her ii modal analizden elde edilen sonuçlar birbiriyle uyumludur. Tablo 3.3 Orantılı Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Çalışmanın bundan sonrai bölümünde arşılaştırma yapabilme amacıyla yine orantılı sönüm ullanılmala birlite sönüm oranları arttırılara aynı denemeler terarlanmıştır. β = seçilmesi durumunda sönüm atsayıları aşağıdai gibidir. c = 0.8 Ns/ m c c 3 = 0.9 Ns/ m =. Ns/ m Bu durumda çalışma şartlarında her bir ütleden alınan freansa bağlı genli ve faz eğrileri Şeil (3.4) ve (3.5) de gösterildiği gibidir. 55

72 Şeil 3.4 Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.5 Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Faz Eğrisi Tablo 3.4 de orantılı yüse visoz sönümlü modelin gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerinin arşılaştırılması verilmetedir. Şeil 3.6 da ise çalışma şartlarında elde edilen mod şeilleri reel ve sanal esende gösterilmetedir. Şeil 3.6 da yeşil renle gösterilen 3. modda ütleler arasında yalaşı 0 dereceli bir faz farı meydana gelmiştir. Bunun bir nedeni herhangi bir doğal freans etrafındai titreşim verilerinin diğer doğal freanslardai mod şeillerinin de etisinin olması ve bir diğer nedeni ise şeil 3.4 de görüldüğü gibi, sönümün yüse olmasından dolayı 3. moddai 3. ütlenin genliğinin diğer ütlelere oranla daha düşü almasıdır. Çalışma şartlarında modal analizin geçerliliğinin yapının düşü sönümlü olması varsayımına dayanması da hatırda tutulmalıdır. 56

73 Tablo 3.4 Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Şeil 3.6 Çalışma Şartlarında Orantılı Yüse Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Genel Visoz Sönümlü Model Bu bölümde sisteme genel visoz sönüm elenere gelenesel ve çalışma şartlarında modal analiz uygulanara modal parametreleri arşılaştırılmıştır. Genel visoz sönümlü model sönüm matrisinin ütle veya direngenli matrisiyle orantılı olmadığı modeldir. Bu bağlamda seçilen sönüm mitarları aşağıda verilmetedir. Kütle ve yayların değerleri ise sönümsüz sistemle aynıdır. 57

74 c c c 3 = 0.Ns / m = 0.35Ns / m = 0.5Ns / m Gene visoz sönümlü modelin çalışma şartlarında modal analiz sayısal uygulaması için Şeil 3.9 da görülen. ütleye yine x eseni yönünde uvvet uygulanmış ve her bir ütleden x eseni yönündei ivmeleri hesaplanmıştır. Bu durumda her bir ütleden alınan freansa bağlı genli ve faz grafileri Şeil (3.7) ve (3.8) de gösterildiği gibidir. Şeil 3.7 Genel Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.8 Genel Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Faz Eğrisi Yine her bir ütlenin birbirleriyle olan çapraz spetrumları hesaplatılara Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemiyle Matlab programında Şeil 3.9 de görülen Teil Değerler grafiği elde edilmiştir. 58

75 Genli (mm/s ) Freans (Hz) Şeil 3.9 Genel Visoz Sönümlü Modelin Teil Değerlere Ayrıştırma Grafiği Tablo 3.5 de genel visoz sönümlü modelin gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerinin arşılaştırılması verilmiştir. Tablodan da görüldüğü gibi her ii modal analizden elde edilen sonuçlar birbiriyle uyumludur. Şeil 3.0 de ise çalışma şartlarında elde edilen mod şeilleri reel ve sanal esende gösterilmetedir. Şeilden de görüldüğü gibi tüm modların faz açıları aynıdır. Tablo 3.5 Genel Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması 59

76 Sanal Esen Reel Esen Şeil 3.0 Genel Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Yine bu bölümde arşılaştırma yapabilme amacıyla sönüm oranları arttırılara aynı denemeler terarlanmıştır. Bu durumdai sönüm atsayıları aşağıdai gibidir. c c c 3 = 0.8Ns / m = Ns / m =.4Ns / m Yüse sönümlü durumda ve çalışma şartlarında her bir ütleden alınan freansa bağlı genli grafileri Şeil (3.) de gösterilmetedir. Şeil 3. Genel Yüse Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Tablo 3.6 da genel yüse visoz sönümlü modelin gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerinin arşılaştırılması görülmetedir. Şeil 3. de ise 60

77 çalışma şartlarında elde edilen mod şeilleri reel ve sanal esende gösterilmetedir. Sönüm oranının artmasıyla 3. modda ütleler arasında yalaşı 0 dereceli bir faz farı meydana gelmiştir. Tablo 3.6 Genel Yüse Visoz Sönümlü Sistemin Gelenesel ve Çalışma Şartlarında Karşılaştırılması Şeil 3. Genel Yüse Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi Bu aşamaya adar uvvet. ütleden uygulanara ÇŞMA simülasyonları yapılmış ve farlı sönüm oranları altındai modal parametreler belirlenmiştir. Çalışmanın bundan sonrai aşamasında ise ütle-yay sisteminin diğer ütlelerine uvvet uygulanara yapının tepileri ölçülmüştür. Elde edilen modal parametreler ise gelenesel modelle arşılaştırılmıştır. Buradai amaç yapıya uygulanan uvvetlerin 6

78 yapının neresinden uygulandığının ÇŞMA sonuçlarını ne şeilde etilediğini ortaya oymatır. Genel visoz sönümlü modele çalışma şartlarında 3. ütleye x eseni yönünde uvvet uygulanmış ve her bir ütleden x eseni yönündei ivmeleri alınmıştır. Bu durumda her bir ütleden alınan freansa bağlı genli eğrileri Şeil 3.3 de gösterilmiştir. Şeil 3.3 Tahriin 3.Kütleden Uygulanması Sonucu Genel Visoz Sönümlü Modelin Freansa Bağlı Genli Eğrisi Bu durumda çalışma şartlarında elde edilen mod şeilleri reel ve sanal esende şeil 3.4 de gösterilmetedir. Şeil 3.4 Tahriin 3.Kütleden Uygulanması Sonucu Genel Visoz Sönümlü Modelin Mod Şeillerinin Karmaşı Düzlemde Gösterimi 6

79 Tahriin 3. ütleden uygulanması sonucu 3. modda 3. ütle ile diğer ütleler arasında yalaşı 30 dereceli bir faz farı meydana gelmiştir. Oysa öncei çalışmalarda tahriin. ütleden uygulanması ile böyle bir durum söz onusu değildi. Bunun nedeni şeil 3.3 de görüldüğü gibi 3. ütleden uygulanan tahriin 3.modda yapıyı yeterince uyaramaması ve dolayısıyla 3. modda 3. ütlenin genlilerinin diğer ütlelere göre düşü almasıdır. Şeil dei grafiler tahriin her 3 ütleden uygulanması sonucu sırasıyla.,. ve 3. ütlelerden alınan cevapları göstermetedir. Şeil 3.5. Kütleden Alınan Cevaplar Şeil 3.6. Kütleden Alınan Cevaplar 63

80 Şeil Kütleden Alınan Cevaplar Eğrilerden de görüldüğü gibi tahriin 3. ütleden uygulanması sonucu alınan cevapların 3. moddai genlileri, tahriin diğer ütlelere uygulanmasına göre düşü almatadır. Bunun sonucunda anlaşılmatadır i en uygun tahriler. ve. ütlelerden uygulanan tahrilerdir Farlı Tahri Kuvvetleri Altında ÇŞMA Uygulamaları Öncei bölümlerde sisteme tüm freanslarda genliği, fazı ise 0 olan süpürücü sinüs uvveti uygulanara çalışma şartlarında modal analiz simülasyonları gerçeleştirilmişti. Bu bölümde ise sisteme çalışma şartlarında modal analiz uygulamasının bir varsayımı olan rasgele beyaz tahri uygulanmıştır. Bu uvvetin özelliği tüm freanslarda eşit genlite bir tahri uygulamasıdır. Öncei uygulamada da tüm freanslarda eşit genlili sinüs uvveti uygulanmıştı. Rasgele beyaz tahriin farı fazının rasgele olmasıdır. Orantılı visoz sönümlü modelde. ütleye rasgele beyaz tahri uygulanara her bir ütleden şeil 3.8 ve 3.9 da görüldüğü gibi ivmelerin genlileri ve fazları alınmıştır. 64

81 Şeil 3.8 Rasgele Beyaz Tahri Uygulaması Sonucu Elde Edilen Freansa Bağlı Genli Eğrisi Şeil 3.9 Rasgele Beyaz Tahri Uygulaması Sonucu Elde Edilen Freansa Bağlı Faz Eğrisi Bu durumda çalışma şartlarında elde edilen Teil Değerler Grafiği şeil 3.30 da gösterilmiştir. Şeil 3.30 Rasgele Beyaz Tahri Sonucu Elde Edilen Teil Değerler Grafiği 65

82 Bu durumda gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerin arşılaştırılması tablo 3.7 de gösterilmiştir. Tablodan da görüldüğü gibi her ii modal analiz sonucu elde edilen doğal freans, mod şeilleri ve sönüm bir birleriyle uyumludur. Sonuç olara çalışma şartlarında modal analizin rasgele beyaz tahri varsayımının geçerliliği burada da görülmetedir. Tablo 3.7 Rasgele Beyaz Tahri Sonucu Elde Edilen ÇŞMA ile GMA Karşılaştırılması 3.4 Düz Plaa Üzerindei Sayısal Uygulamalar Çalışma şartlarında modal analiz yöntemi ile yapılan iinci sayısal çalışma düz levha üzerinde gerçeleştirilmiştir. Üzerinde çalışılan düz levha 450 mm x 00 mm boyutlarındadır ve 3 mm alınlığa sahiptir. Malzemesi ise çelitir. Bu plaanın önce sonlu elemanlar modeli urulara doğal freansları ve mod şeilleri elde edilmiştir. Daha sonra plaa üzerine uvvet uygulanmış faat bu uvvet ölçülmeden plaa üzerinden ivme verileri alınmıştır. Çalışma şartlarında modal analiz yöntemi uygulanara modal parametreleri belirlenmiş ve gelenesel modal analiz (sayısal) sonuçları ile arşılaştırılmıştır Gelenesel Modal Analiz (Sayısal) Düz plaanın geometrisi il olara I-DEAS ta tanımlanmış ve abu tipi elemanlar ullanılara sonlu elemanlara bölünmüştür. Sonlu elemanlar modelimin oluşturulması ile yapının ütle ([ M ]), sönüm ([ C ]) ve direngenli ([ K ])matrisleri elde edilmetedir. Sonlu elemanlar modeli oluşturuldutan sonra titreşim analizi yapılara özdeğer problemi çözülmüş ve I-DEAS ta yapının doğal freansları ve 66

83 mod şeilleri elde edilmiştir. Bu gelenesel modelle elde edilen modal parametreler bölümün sonunda çalışma şartlarında elde edilen modal parametrelerle arşılaştırılmıştır Çalışma Şartlarında Modal Analiz (Sayısal) Düz plaa, ADAMS-Flex modülü aracılığı ile ADAMS programına atarılmıştır. Bu plaaya Şeil 3.3 de gösterilen notadan genliği, fazı ise 0 olan süpürücü sinüs uvveti uygulanmış ve bu uvvet ölçülmeden yapı üzerinden 50 notadan ivme verileri alınmıştır. Burada amaçlanan yapının herhangi bir çalışma şartında o notadan süreli olara bir uvvet uygulandığını temsil etmetir. Şeil 3.3 de ise yapı üzerindei herhangi bir notadan alınan freansa bağlı ivme grafiği görülmetedir. Şeil 3.3 Düz Plaa Sayısal Modeli Şeil 3.3 Düz Plaa Üzerinden Alınan Freansa Bağlı Genli Grafiği 67

84 Bu düz plaa 400 Hz e adar incelenmiştir. Tüm ivmeler aynı anda alındığından yapı üzerine herhangi bir referans notası onulmasının bir anlamı yotur. Yapı üzerinden alınan ivmeler sonucu 50 x 50 boyutunda te bir güç ve çapraz spetrum matrisi elde edilecetir. Bu matrisin teil değerlerine ayrıştırılması sonucu yapının doğal freansları elde edilmiştir. Şeil 3.33 de teil değerler grafiği gözümetedir. Yapı üzerinden 50 notadan aynı anda ivme ölçülmesinden dolayı grafite 50 adet eğri gözümetedir. Genliği en yüse olan eğriden doğal freanslar elde edilmiştir. Diğer eğrilerin genlileri ço düşü aldığından il teil değerden elde edilen doğal freanslar dışında yapının başa bir doğal freansı olmadığı anlaşılmatadır. Şeil 3.33 de görüldüğü gibi düz plaanın 400 Hz e adar 4 adet doğal freansı olduğu anlaşılmatadır. Çalışma şartlarında elde edilen mod şeilleri ICATS programında görselleştirilmiştir [54]. Şeil 3.33 Düz Plaa Teil Değerler Grafiği Şeil de düz plaa üzerinden gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen doğal freanslar ve o freanslardai mod şeillerinin arşılaştırılması verilmetedir. 68

85 Şeil 3.34 Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları,. Mod Şeil 3.35 Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları,. Mod 69

86 Şeil 3.36 Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları, 3. Mod Şeil 3.37 Düz Plaa İçin Gelenesel ve ÇŞMA Sonuçları, 4. Mod Düz plaaya ADAMS programında % oranında sönüm elenmiştir. Yapı üzerinden herhangi bir notadan alınan ivme bilgisinden yarım güç bant genişliği yöntemiyle bu önceden elenmiş % sönüm bilgisi elde edilmeye çalışılmıştır. Tablo 3.8 de ise her bir doğal freansta elde edilen sönüm oranları arşılaştırılmıştır. 70

87 Tablo 3.8 Düz Plaa Sönüm Oranları Karşılaştırılması Sonuç olara düz plaa sayısal modeline hem gelenesel hem de çalışma şartlarında modal analiz uygulanara doğal freansları, mod şeilleri ve sönüm oranları elde edilmiştir. Görüldüğü gibi uvveti ölçmeden elde edilen modal parametreler gelenesel modal analiz sonuçları ile uyumludur Sayısal Verilere Gürültü Elenmesi Durumunda Metodun Geçerliliği Bu bölümde çalışma şartlarında düz plaadan elde edilen ivmelere çeşitli oranlarda gürültü elenere metodun veri alitesine duyarlılığı ve bu durumlarda geçerliliği araştırılmıştır. İl olara elde edilen ivme verilerine %0 oranında gürültü elenmiştir. Bunun sonucunda plaa üzerinden elde edilen freansa bağlı genli grafiği Şeil 3.38 de gösterilmiştir. Teil Değerler Grafiği ise Şeil 3.39 da görüldüğü gibidir. Şeil 3.38 %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Plaa Üzerinden Alınan İvme 7

88 Şeil 3.39 %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Grafilerden de görüldüğü gibi 3. modun genliği diğerlerine göre düşü almatadır. Elde edilen mod şeilleri ise Şeil 3.40 da verilmiştir. Şeil 3.40 %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Mod Şeilleri Sonuç olara %0 gürültü elenmesi durumunda 3. modun genliğinin düşmesine rağmen elde edilen doğal freanslar ve mod şeilleri gürültü elenmeden elde edilen sonuçlarla olduça uyumludur. Gürültü biraz daha arttırılıp %0 oranında elenirse plaa üzerinden alınan ivme ve elde edilen teil değerler Şeil 3.4 ve 3.4 de gösterilmiştir. 7

89 Şeil 3.4 %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Plaa Üzerinden Alınan İvme Şeil 3.4 %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Teil değerler grafiğinden görüldüğü gibi %0 gürültü elenmesi durumunda 3. modda bir tepe belirleme olduça zordur. Yanıtın bilinmemesi durumunda bu modu belirleme mümün gözümemetedir. Dolayısıyla 3. mod belirlenememiştir. Elde edilen diğer modların mod şeilleri Şeil 3.43 de gösterildiği gibi gürültü elenmeden elde edilen mod şeilleri ile uyumludur. 73

90 Şeil 3.43 %0 Gürültü Elenmesi Durumunda Elde Edilen Mod Şeilleri 74

91 4. DENEYSEL UYGULAMALAR 4. Deney Düzeneği ve Ölçümler Çalışma Şartlarında Modal Analiz yönteminin sayısal modeller üzerinde geçerliliğinin sınanmasından sonra bu bölümde de deneysel çalışmalarla yöntemin pratite uygulanabilirliği üzerinde durulmuştur. Gerçe yapılar üzerinde çalışılmıştır. Yapıda oluşan titreşimler, seçilen yapılar üzerinden deneysel olara ölçülmüş ve bunlar ullanılara yapının modal parametreleri belirlenmeye çalışılmıştır. Çalışma Şartlarında Modal Analiz yönteminin deneysel uygulamaları düz bir iriş, düz bir plaa ve çalışır durumdai çamaşır mainesi gövdesinin yan paneli üzerinde gerçeleştirilmiştir. Yapılar üzerinde il başta FTF ölçümleri yapılara Gelenesel Modal Analiz uygulanmış ve yapıların modal parametreleri belirlenmiştir. Daha sonra bu yapılar üzerinden titreşim ivmeleri ölçülere Çalışma Şartlarında Modal Analiz yöntemi uygulanmış ve modal parametreler belirlenmiştir. Daha sonra çalışma şartlarında modal analiz sonuçlarının doğruluğu ve güvenilirliğini belirleme için Gelenesel Modal Analiz ve ÇŞMA yalaşımları ile elde edilen modal parametreler arşılaştırılmıştır. Yapıların FTF leri sarsıcı veya modal çeiç ullanılara ölçülmüştür. Çalışma Şartlarında ise yapıya yine sarsıcı veya modal çeiç ullanılara tahri uygulanmış faat bu tahri uvveti ölçülmeden yapı üzerinden sadece titreşim ivmeleri alınmıştır. Ayrıca çamaşır mainesi çalışır durumda ien de titreşimler ölçülmüş ve ÇŞMA gerçeleştirilmiştir. Deneysel çalışmalarda ölçüm yapılıren, Gelenesel Modal Analiz uygulamalarında genelde Şeil 4. de gösterilen Bruel-Kjaer 035 Sinyal Analizörü ve Çalışma Şartlarında titreşimlerin ölçülmesi için ise Şeil 4. de gösterilen Bruel-Kjaer PULSE Analizörü ve yazılımı ullanılmıştır. Analizörlerin sınırlı sayıda analları olduğundan tüm notalardan ölçüm alabilme için ivmeölçerlerin yapı üzerinde gezdirilere ölçümlerin terarlanması geremetedir. 75

92 Şeil 4. Bruel-Kjaer 035 Sinyal Analizörü Şeil 4. Bruel-Kjaer PULSE Analizörü ve yazılımı İvmeölçerlerle yapılan titreşim ölçümlerinin Fourier Dönüşümleri ve Çapraz Spetrumların hesaplanması analizör tarafından gerçeleştirilmiştir. Alınan titreşim ölçümlerinin zamana bağlı veri olara aydedilmesi ve daha sonra Matlab programında Fourier Dönüşümünün gerçeleştirilmesi de mümündür. Bir öncei bölümde sunulan çalışmalar esnasında iinci seçene ullanılmıştır. Anca, analizör ullanılması durumunda veri alitesi açısından çapraz spetrumların bilgisayara atarılması tercih edilmiştir. 4. Düz Kiriş Üzerinde Yapılan Deneysel Çalışmalar Deneysel bölümdei çalışmaların ili Şeil 4.3 de gösterilen düz iriş üzerinde gerçeleştirilmiştir. Bu çalışmalarda il olara düz iriş modal çeiç ile tahri edilmiş ve FTF ler analiz edilere yapının modal parametreleri belirlenmiştir. Daha sonra bu yapı yine modal çeiç ile tahri edilere bu ez zamana bağlı titreşimleri (ivmeleri) ölçülere ICATS programında Zaman Alanında Çalışma Şartlarında Modal Analiz modülünde modal parametreler belirlenmiş ve gelenesel olara elde 76

93 edilen sonuçlarla arşılaştırılmıştır. ICATS programı.bölümde bahsedilen zaman alanı yöntemlerinden Doğal Tahri Yönteminin bir uzantısı olan En Küçü Kareler Yöntemi Komples Esponansiyel metodunu ullanmatadır [8]. Bu programın ullanılan versiyonunda metot haında yeterli bilgi verilmemiştir ve referans ivmeölçer bilgisine gere duymadığı anlaşılmatadır. Bu durum, çalışma şartlarında modal analiz uygulanıren yapıdai tüm oordinatlarda titreşimlerin aynı anda ölçülmesini geremetedir. Aşağıda açılanan bu çalışmadai amaç farlı yöntem ve programlarla Çalışma Şartlarında Modal Analizin pratite uygulanabilirliğinin gösterilmesidir. Şeil 4.3 Düz Kiriş Bir diğer çalışmada ise yapı bu ez sarsıcı ile tahri edilere ve yine zamana bağlı titreşimleri (ivmeleri) ölçülere ICATS programında Zaman Alanında Çalışma Şartlarında Modal Analiz modülünde modal parametreler belirlenmiş ve gelenesel olara elde edilen sonuçlarla arşılaştırılmıştır. En sonunda yapının modal parametreleri FAA yöntemi ile edilmiş ve gelenesel modelle arşılaştırılmıştır. 4.. Modal Çeiç İle Yapılan Ölçüm ve Analizler Çalışmanın bu bölümünde yapı üzerine modal çeiç ile darbe uvveti uygulanmış ve bu tahri uvveti ölçülmeden zamana bağlı olara elde edilen ivmeler ullanılara yapının modal parametreleri belirlenmiştir. Sonuçta FTF yardımıyla önceden bilinen modal parametreler, Çalışma Şartlarında Modal Analiz uygulanara elde edilen modal parametrelerle arşılaştırılmış ve sonuçlar yorumlanmıştır. İl olara yapı üzerinde adet ölçüm notası belirlenmiştir. Yapı Şeil 4.4 de gösterildiği gibi misinalar yardımıyla asılmış ve modal çeiç ile Şeil 4.5 de görüldüğü gibi 5 notasından darbe uvveti uygulanmıştır. Yapı üzerine onulan 77

94 adet ivmeölçerle aynı anda tüm notalardan Şeil 4.6 da gösterilen B&K PULSE Analizörü yardımıyla hem FTF ler hem de zamana bağlı ivmeler ölçülmüştür. Tüm notalardan aynı anda ölçüm alınmasından dolayı referans ivmeölçere gere yotur. Düz iriş bu çalışmada 00Hz e adar incelenmiştir. Şeil 4.4 Misinalar ile Asılan Düz Kiriş Şeil 4.5 Düz Kirişe 5 Notasından Uygulanılan Darbe Kuvveti Gösterimi 78

95 Şeil 4.6 B&K PULSE Analizörü İl olara Şeil 4.7 de düz iriş üzerine 5 notasından uygulanılan darbe uvveti sonucu 5 notasından ölçülen FTF görülmetedir. 00 Hz e adar toplam 800 adet veri notası ullanılmıştır. Dolayısıyla freans çözünürlüğü 0.5 Hz dir. Kuvvete ve ivmeye herhangi bir pencereleme fonsiyonu uygulanmasına gere almamıştır. Bunun nedeni, zamana bağlı olara ölçülen ivme genlilerinin ölçüm periyodu sonunda sıfıra yalaşmasıdır. Yapı üzerinden ölçülen spetrumların 3 defa ortalaması alınara FTF belirlenmiştir. Düz irişin incelenilen 00 Hz e adar 4 adet modu mevcuttur. FTF de görülen il tepe fizisel bir mod olmayıp yapının misinalar yardımı ile asılması sonucu görülen ası freansıdır. Şeil 4.7 Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan Freans Tepi Fonsiyonu 5 notasından uygulanılan darbe uvveti sonucu yine 5 notasından ölçülen zamana bağlı ivme grafiği Şeil 4.8 de gösterilmetedir. Periyot 4 sn dir ve 048 adet veri notası alınmıştır. 79

96 Şeil 4.8 Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan Zamana Bağlı İvme Grafiği Sonuç olara ölçülen FTF ICATS programına atarılara gelenesel modal analiz sonucu doğal freanslar, mod şeilleri ve sönüm ayıp fatörü elde edilmiştir. Zaman verileri ise yine ICATS programında Zaman Alanında ÇŞMA modülü yardımıyla modal parametreler belirlenmiş ve gelenesel yöntemle elde edilen sonuçlarla arşılaştırılmıştır. Şeil arasında ise çalışma şartlarında ve gelenesel modal analiz sonucu elde edilen modal parametrelerin görsel olara arşılaştırılması verilmetedir. Şeil 4.9 Düz Kiriş. Modun Karşılaştırılması 80

97 Şeil 4.0 Düz Kiriş. Modun Karşılaştırılması Şeil 4. Düz Kiriş 3. Modun Karşılaştırılması 8

98 Şeil 4. Düz Kiriş 4. Modun Karşılaştırılması Şeillerden de görüldüğü gibi modal çeiç ullanara tahri uygulanıp bir taraftan FTF ler ullanılara (gelenesel modal analiz) elde edilen modal parametreler ile çalışma şartlarında (sadece titreşimler ölçülere) elde edilen modal parametreler birbirleriyle uyumludur. Mod şeillerinin grafisel olara arşılaştırılmasına alternatif olara, modların bazı basit istatistisel özellileri de matematisel olara hesaplanabilir. Bunun için ullanılan en yaygın matematisel araç Modal Güvence Kriteri dir (MGK) (Modal Assurance Criteria). Aşağıda verilen formül, ii ayrı veya aynı gruba ait olan ii mod şelinin arşılaştırılması olara açılanabilir. Çalışma şartlarında ölçülen mod şeli {Φ x } vetörü ile gelenesel olara belirlenen mod şeli ise {Φ p } vetörü ile temsil edilsin. Modal Güvence Kriteri, diğer bir adıyla Mod Şeli Korelasyon Katsayısı (Mod Shape Correlation Coefficient), düz çizgi orelasyonundan notaların ne adar saptığının bir ölçüsüdür. n * * * MGK( p, x) = ( φ ) ( φ ) /( ( φ ) ( φ ) ).( ( φ ) ( φ ) ) (4.) j= x j p j n j= x j x j n j= p j p j Burada, n parametresi mod sayısını, notasındai değeri, göstermetedir [7]. φ x verilen mod için çalışma şartlarında j φ p ise gelenesel olara elde edilen j notasındai değeri 8

99 Formülden de anlaşıldığı üzere, mod şeli verisi omples olmasına rağmen MGK salerdir. MGK değeri, gelenesel ve çalışma şartlarında deneysel olara elde edilen modelin uyumuna bağlı olara en fazla olabilir. e yaın değerler uyumun ço iyi olduğunu, den uza değerler ise uyumun az olduğunu gösterir. Bu değerler uyumlu bir mod şeli için 0.9 u aşaren, uyumsuz mod şeilleri için 0.05 in altına düşebilir. MGK değerinin den farlı olmasının nedenleri özetle aşağıdailerden biri veya daha fazlası olabilir: Yapının doğrusal olmayan davranışları Ölçümlerdei gürültü Ölçülmüş verilerin yetersiz modal analizi. Mod şeillerinin matematisel olara arşılaştırılması, il 4 mod şeli için Modal Güvence Kriteri ullanılara gerçeleştirilmiştir. Bu arşılaştırma sonucu elde edilen MGK değerleri tabloda verilmiştir ve MGK nın ii boyutlu grafile gösterimi Şeil 4.3 de verilmiştir. Grafite yatay esen çalışma şartlarında elde edilen modların numarasını, düşey esen ise gelenesel olara elde edilen modların numarasını göstermetedir. Soldai grafi doğal freansların arşılaştırılması, sağdai grafi ise mod şeillerinin MGK ile arşılaştırılmasıdır. Şeilden de görüldüğü gibi çeiç ile düz iriş üzerinde aynı anda tüm notalardan ivme alınması durumunda elde edilen mod şeilleri ile FTF ler ölçülere gelenesel olara elde edilen mod şeilleri tam bir uyum içindedir. Anca, unutulmaması gereen şey ÇŞMA den elde edilen mod şeillerinin ütleye göre normalizasyonu mümün değildir. Şeil 4.3 Düz Kiriş İçin MGK 83

100 Bir diğer uygulama ise önceinden farlı olara düz iriş üzerinden adet ivmeölçerden aynı anda ivme alınması yerine 3 ivmeölçerin yapı üzerinde gezdirilmesi sonucu zamana bağlı ivmelerin hesaplanara çalışma şartlarında yapının modal parametrelerinin belirlenmesidir. Bu uygulamanın amacı ço daha büyü yapılarda daha ço notadan ölçüm alınması geretiğinde tüm notalardan aynı anda ölçüm alınamayacağından (ivmeölçer ve analizör analı yetersizliğinden) ivmeölçerlerin yapı üzerinde gezdirilmesi ihtiyacının doğmasıdır. Bu çalışmanın sonucunda çalışma şartlarında ve gelenesel olara elde edilen doğal freanslar ve sönüm ayıp fatörlerinin arşılaştırılması Tablo 4. de, 3. modun mod şelinin arşılaştırılması ise Şeil 4.4 de verilmiştir. Modal Güvence Kriteri ile tüm mod şeillerinin arşılaştırılması ise Şeil 4.5 de gösterilmiştir. Tablo 4. İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4.4 İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen 3. Modun Karşılaştırılması 84

101 Şeil 4.5 İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen MGK Önceden de bahsedildiği gibi ICATS programının ullanılan bu versiyonunda referans ivmeölçer bilgisi istenmemetedir. Dolayısıyla yapı üzerindei tüm notalardan aynı anda ölçüm alınması ihtiyacı doğmatadır. Faat yapılan bu çalışmada referans ivmeölçer onmadan yapı üzerinden ivmeölçerlerin gezdirilmesi sonucu cevaplar alınmıştır. Faat elde edilen mod şeilleri hala % 90 ın üzerinde bir uyumlulula elde edilmiştir. Bunun nedeni yapının modal çeiç ile tahri edilmesi sonucu her ölçümde yapının aynı anda tetilenmesidir. Dolayısıyla modal çeiç aslında bir referans sağlamatadır. Tablo 4. den de görüldüğü gibi doğal freanslar ve sönüm ayıp fatörleri ise öncei çalışmaya oranla bir mitar sapma göstermiştir. Doğal freansların bir mitar farlı bulunmasının nedeni ivmeölçerlerin yapı üzerinde gezdirilmesi sonucu yarattığı ütle etisidir. Oysa bir öncei çalışmada tüm ivmeölçerler aynı anda yapı üzerinde bulunduğundan her ii modelden elde edilen doğal freanslar aynı bulunmuştur. Tablo 4. de görüldüğü gibi sönüm ayıp fatörlerinin gelenesel ve çalışma şartlarında bir mitar farlı bulunmasının nedeni gelenesel olara elde edilen modelde tüm ivmeölçerlerin aynı anda yapı üzerinde bulunmasından dolayı abloların yarattığı yüse sönümdür. Oysa çalışma şartlarında elde edilen modelde ivmeölçerler yapı üzerinde gezdirilmiştir. Dolayısıyla abloların yarattığı sönüm etisi çalışma şartlarında görülmemetedir. 85

102 4.. Sarsıcı ile Yapılan Çalışmalar 4... Rasgele Tahri Çalışmanın bu bölümünde modal çeiç ile yapılan çalışmalardan farlı olara yapı üzerine sarsıcı ile rasgele tahri uvveti uygulanmış ve zamana bağlı olara elde edilen ivmeler ölçülere yapının modal parametreleri belirlenmiş ve yapı üzerinden FTF ler ölçülere elde edilen gelenesel modal parametrelerle arşılaştırılmıştır. İl olara yapı üzerine sarsıcı ile Şeil 4.6 da görüldüğü gibi 5 notasından rasgele tahri uvveti uygulanmış ve yapı üzerine onulan adet ivmeölçerle aynı anda tüm notalardan hem FTF ler hem de zamana bağlı ivmeler ölçülmüştür. Tüm notalardan aynı anda ölçüm alınmasından dolayı referans ivmeölçere gere yotur. Düz iriş bu çalışmada 400Hz e adar incelenmiştir. Şeil 4.6 Sarsıcı ile Tahri Edilen Düz Kiriş Şeil 4.7 de düz iriş üzerine 5 notasından uygulanılan rasgele tahri uvveti sonucu 5 notasından ölçülen FTF görülmetedir. 400 Hz e adar toplam 800 adet veri notası ullanılmıştır. Dolayısıyla freans çözünürlüğü 0.5 Hz dir. Kuvvete ve ivmeye Hanning pencereleme fonsiyonu uygulanmıştır. Yapı üzerinden FTF ölçülmesi sırasında 00 adet ortalama alınmıştır. Düz irişin incelenilen 400 Hz e adar 6 adet modu mevcuttur. 86

103 Şeil 4.7 Sarsıcı ile Tahri Sonucu Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan FTF 5 notasından uygulanılan rasgele tahri uvveti sonucu yine 5 notasından ölçülen zamana bağlı ivme grafiği ise Şeil 4.8 de gösterilmetedir. Periyot sn dir ve 048 adet veri notası alınmıştır. Şeil 4.8 Sarsıcı ile Tahri Sonucu Düz Kiriş Üzerinden 5 notasından Alınan Zamana Bağlı İvme Grafiği Bu çalışmanın sonucunda çalışma şartlarında ve gelenesel olara elde edilen doğal freanslar ve sönüm ayıp fatörlerinin arşılaştırılması Tablo 4. de,. modun mod şelinin görsel olara arşılaştırılması ise Şeil 4.9 da verilmiştir. Modal Güvence Kriteri ile tüm mod şeillerinin arşılaştırılması ise Şeil 4.0 de gösterilmiştir. 87

104 Tablo 4. Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4.9 Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.0 Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen MGK Sonuç olara görülmetedir i sarsıcı ile rasgele tahri sonucu tüm notalardan aynı anda cevapların alınmasıyla gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen doğal freanslar ve mod şeilleri birbirleriyle uyumludur, anca. ve 5. mod şeilleri çalışma şartlarında elde edilememetedir. Bunun nedeni ölçümlerden aynalanan gürültü ve hatalar olabilir. Örneğin elde edilen FTF u 00 adet ortalama alınara elde 88

105 edilmesine arşın zaman verisinde ortalama alınamadığından sadece ölçüm alınara elde edilmiştir. Ortalama alınmış spetrum ullanılsaydı bu problem olmayacatı. Elde edilen diğer mod şeilleri ise %90 ın üzerinde bir uyumlulula elde edilmiştir. Çalışmanın bundan sonrai ısmı ise bir öncei bölümde olduğu gibi adet ivmeölçerden aynı anda ivme alınması yerine 3 ivmeölçerin yapı üzerinde gezdirilmesi sonucu zamana bağlı ivmelerin analizlerde ullanılması ile çalışma şartlarında yapının modal parametrelerinin belirlenmesidir. Bu çalışmanın sonucunda çalışma şartlarında ve gelenesel olara elde edilen modal parametrelerin arşılaştırılması aşağıda verilmetedir. Tablo 4.3 Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4. Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen 5. Modun Karşılaştırılması 89

106 Şeil 4. Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen MGK Referans ivmeölçer bilgisi ICATS programında ullanılamadığından yapı üzerindei tüm notalardan aynı anda ölçüm alınması geretiği daha önceden belirtilmişti. Faat yine yapılan bu çalışmada referans ivmeölçer onmadan yapı üzerinden ivmeölçerlerin gezdirilmesi sonucu cevaplar alınmıştır. Yapının modal çeiç ile tahri edildiği durumda her ölçümde yapının aynı anda tetilenmesinden dolayı sonuçlar başarılı çımataydı. Faat yapının sarsıcı ile süreli tahri edilmesi, dolayısıyla yapı üzerine her defasında rasgele bir sinyal gelmesinden dolayı ölçülen notalar arasında görülen mod şeillerinde olması gereenden farlı şeilde faz farları meydana gelmetedir. Sonuç olara yuarıda da görüldüğü gibi elde edilen sonuçlar uyumlu çımamatadır. Bütün notalardan aynı anda ölçüm yapılmadığı durumlarda referans bilgisi ullanılmadan ÇŞMA yapabilme mümün değildir Terar Edilen Rasgele Kuvvet Öncei bölümden farlı olara bu bölümde 5 notasından sarsıcı ile yapı üzerine terar eden rasgele tahri uvveti uygulanmış ve bunun sonucunda yapı üzerindei adet ivmeölçerden aynı anda cevaplar ve FTF ler ölçülmüştür. Bu tahri türü rasgele tahriten farlı olara her bir ölçüm sırasında periyodi olara terarlanmasıdır. Diğer tüm özelliler bir öncei bölüm ile aynıdır. Sonuç olara elde edilen modal parametrelerin arşılaştırılması aşağıda verilmetedir. 90

107 Tablo 4.4 Terar Edilen Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4.3 Terar Edilen Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen 4. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.4 Terar Edilen Rasgele Tahri Sonucu Elde Edilen MGK Yuarıdai sonuçlardan da görüldüğü gibi sarsıcı ile terar edilen rasgele tahri sonucu tüm notalardan aynı anda cevapların alınmasıyla elde edilen doğal freanslar ve mod şeilleri birbirleriyle uyumludur, anca ölçümlerden aynalanan 9

108 gürültü ve hatalardan dolayı. mod şeli çalışma şartlarında elde edilememetedir. Ortalama alınmış spetrumların ullanılması durumunda. mod bulunabilirdi. Yapı üzerine terar edilen rasgele tahri uvveti uygulanması ve ivmeölçerlerin yapı üzerinde gezdirilmesi sonucu elde edilen sonuçlar ise aşağıda görüldüğü gibi önceden bahsedilen nedenlerden dolayı yine uyumlu çımamatadır. Tablo 4.5 Terar Edilen Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4.5 Terar Edilen Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.6 Terar Edilen Rasgele Tahri ve İvmeölçerlerin Yapı Üzerinde Gezdirilmesi Sonucu Elde Edilen MGK 9

109 4..3 Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemi ile Düz Kirişin Modal Parametrelerinin Belirlenmesi Bu bölümde öncei bölümlerden farlı olara ICATS programında Zaman Alanında Çalışma Şartlarında Modal Analiz uygulanması yerine tezde ullanılan Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemiyle Matlab programında geliştirilen yazılım ullanılara modal parametreler belirlenmeye çalışılmıştır. Düz iriş üzerine sarsıcı ile rasgele beyaz tahri uvveti uygulanmış ve bu tahri uvveti ölçülmeden tüm notalardan aynı anda ivmeler ölçülmüştür. Alınan bu ivme verilerinin analizör yardımıyla freansa bağlı spetrumları hesaplanmıştır. Daha sonra tüm notaların öznel ve çapraz spetrumları bulunara x boyutunda te bir matris elde edilmiştir. Bu matrisin teil değerlerine ayrıştırılmasıyla doğal freanslar ve mod şeilleri elde edilmiştir. Şeil 4.7 de düz irişe ait teil değerler grafiği gözümetedir. Düz iriş üzerindei notadan aynı anda ivme ölçülmesinden dolayı grafite adet eğri gözümetedir. Genliği en yüse olan eğriden doğal freanslar elde edilmiştir. Diğer eğrilerin genlileri ço düşü aldığından il teil değerden elde edilen doğal freanslar dışında yapının başa bir doğal freansı (aynı freansta birden fazla doğal freansı) olmadığı anlaşılmatadır. Şeil 4.8 ve 4.9 da ise yapı üzerindei. ve 9. notalar arasındai çapraz spetrumun genli ve faz eğrileri görülmetedir. Düz iriş bu çalışmada yine 400 Hz e adar incelenmiş ve elde edilen öznel ve çapraz spetrumların 00 adet ortalaması alınmıştır. Tüm notalardan aynı anda ölçüm alınmasından dolayı referans ivmeölçer ullanılmamıştır. Şeil 4.7 Düz Kiriş Teil Değerler Grafiği 93

110 Şeil 4.8. ve 9. Notalar Arasındai Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.9. ve 9. Notalar Arasındai Çapraz Spetrum Faz Bilgisi Sonuç olara Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemiyle elde edilen bu modal parametreler önceden FTF ler hesaplanara gelenesel modelle elde edilen modal parametrelerle aşağıda arşılaştırılmıştır. Tablo 4.6 Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemiyle Elde Edilen Doğal Freansların ve Sönüm Oranlarının Karşılaştırılması 94

111 Şeil 4.30 Çalışma Şartlarında (FAA) ve Gelenesel Olara Elde Edilen 4. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.3 Çalışma Şartlarında (FAA) ve Gelenesel Olara Elde Edilen 6. Modun Karşılaştırılması Şeil 4.3 Freans Alanında Ayrılaştırma Yöntemi Sonucu Elde Edilen MGK Elde edilen sonuçlardan da görüldüğü gibi çalışma şartlarında Freans Alanında Ayrılaştırma yöntemini ullanara Matlab programında elde edilen modal parametreler, gelenesel olara elde edilen modal parametrelerle uyumlu 95

112 çımatadır. Sönüm oranlarında meydana gelen üçü farlılılar ölçümlerdei hatalardan (verilerin alitesi) meydana gelmiştir. Bu da yöntemin pratite uygulanabilirliğini göstermetedir. 4.3 Düz Plaa Üzerinde Yapılan Deneysel Çalışmalar Deneysel çalışmaların iinci adımı düz plaa üzerinde gerçeleştirilmiştir. Yapının boyutları 450 mm x 00 mm x 3 mm dir. Malzemesi ise çelitir. Düz plaa il olara Şeil 4.33 de gösterildiği gibi modal çeiç ile tahri edilmiş ve FTF leri hesaplanara gelenesel olara yapının modal parametreleri belirlenmiştir. Daha sonra plaa üzerine bu ez Şeil 4.34 de gösterildiği gibi sarsıcı ile rasgele beyaz tahri uvveti uygulanmış faat bu uvvet değeri ölçülmeden yapı üzerinden freansa bağlı olara ivmeler ölçülere çalışma şartlarında modal parametreleri belirlenmiş ve gelenesel olara elde edilen modelle arşılaştırılmıştır. Şeil 4.33 Modal Çeiç ile Tahri Edilen Düz Plaa 96

113 Şeil 4.34 Sarsıcı ile Tahri Edilen Düz Plaa Düz plaa üzerinde 50 adet ölçüm notası belirlenmiş ve misinalar yardımıyla asılmıştır. Modal çeiç ile Şeil 4.33 de görüldüğü gibi darbe uvveti uygulanmış ve 3 ivmeölçer yapı üzerinde gezdirilere her bir notadan Şeil 4. de gösterilen B&K 035 sinyal analizörü yardımıyla FTF hesaplanmıştır. Şeil 4.35 de yapı üzerindei bir notadan alınan FTF görülmetedir. Sonuç olara yapı üzerinden ölçülen FTF ler yardımıyla gelenesel olara modal parametreler elde edilmiştir. Şeil 4.35 Düz Plaa Üzerinden Alınan FTF Daha sonra yapı üzerine Şeil 4.34 de görüldüğü gibi sarsıcı ile rasgele beyaz tahri uvveti uygulanmış ve bu uvvet değeri ölçülmeden yapı üzerinden 3 adet gezici ivmeölçer vasıtasıyla 50 ölçüm notasından Şeil 4. de gösterilen B&K Pulse analizörü yardımıyla freansa bağlı ivme spetrumları alınmıştır. adet ivmeölçer 97

114 ise yapı üzerine referans olara onulmuş ve her ölçüm sırasında bu onumdan da ölçümler alınmıştır. Her bir ölçümde bu 4 adet ivmeölçerin (3 gezici, referans) bir birleriyle olan öznel ve çapraz spetrumları hesaplanara 4x4 boyutunda güç (öznel spetrum) ve çapraz spetrum matrisleri elde edilmiştir. Şeil 4.36 ve 4.37 de yapı üzerindei ii notadan alınan çapraz spetrumların genli ve faz bilgisi görülmetedir. Bu matrislerin her bir ölçümde teil değerlerine ayrıştırılması ve ortalamalarının alınmasıyla Şeil 4.38 de görülen teil değerler grafiği elde edilmiştir. Elde edilen bu grafitei her bir tepe yapının çalışma şartlarındai doğal freanslarını vermetedir. Bulunan bu doğal freanslarda güç ve çapraz spetrum matrislerinin teil değerlerine ayrıştırılmasıyla da mod şeilleri elde edilmiştir. Şeil 4.36 Düz Plaa Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.37 Düz Plaa Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Faz Bilgisi 98

115 Şeil 4.38 Düz Plaa Teil Değerler Grafiği Düz plaa bu çalışmada 800Hz e adar incelenmiş ve 600 adet veri notası ullanılmıştır. Ölçülen FTF lerde modal çeiç ullanıldığından 3 adet ortalama, öznel ve çapraz spetrumların elde edilmesinde sarsıcı ullanıldığından 00 adet ortalama alınmıştır. İncelenilen 800 Hz e adar yapının 9 adet modu bulunmuştur. Gelenesel ve çalışma şartlarında elde edilen düz plaanın doğal freansları ve mod şeilleri aşağıda arşılaştırılmıştır..,. ve 6. modlar görsel olara Şeil de, diğer tüm modlar ise Modal Güvence Kriteri ile matematisel olara Şeil 4.4 de arşılaştırılmıştır. Düz plaanın malzemesi çeli olduğundan sönüm yo denece adar azdır. Bu yüzden sönüm oranlarının arşılaştırılması pe uygun değildir. Tablo 4.7 Düz Plaa Doğal Freansların Karşılaştırılması 99

116 Şeil 4.39 Düz Plaa. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.40 Düz Plaa. Mod Karşılaştırılması 00

117 Şeil 4.4 Düz Plaa 6. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.4 Düz Plaa MGK Sonuç olara görülmetedir i düz plaada uvvet bilinere elde edilen mod şeilleri ile uvvet bilinmeden elde edilen mod şeilleri 3 mod hariç bir birleriyle uyumludur. Bu üç modun uyumlu çımamasının en büyü nedeni ivmeölçerlerin yapı üzerinde yarattığı ütle etisinden dolayı doğal freansların bir mitar aymasıdır. 0

118 4.4 Çamaşır Mainesi Paneli Üzerinde Yapılan Deneysel Çalışmalar Deneysel çalışmaların üçüncü adımı çamaşır mainası gövdesinin yan paneli üzerinde gerçeleştirilmiştir. Çamaşır mainası gövdesi il olara Şeil 4.43 de gösterildiği gibi modal çeiç ile tahri edilmiş ve FTF leri hesaplanara gelenesel olara yan panelin modal parametreleri belirlenmiştir. Daha sonra yapı üzerine yine modal çeiç ile darbe uvveti uygulanmış faat bu uvvet değeri ölçülmeden yapı üzerinden freansa bağlı olara ivmeler ölçülere çalışma şartlarında modal parametreleri belirlenmiş ve gelenesel olara elde edilen modelle arşılaştırılmıştır. Daha sonra çamaşır mainası bu ez sıma adımında yalaşı 690 rpm de çalıştırılara panel üzerindei titreşimleri ivmeölçerler yardımıyla ölçülmüş ve Freans Alanında Ayrılaştırma (FAA) yöntemiyle yan panelin gerçe çalışma oşullarında modal parametreleri belirlenere gelenesel olara elde edilen modelle arşılaştırılmıştır. Şeil 4.43 Çamaşır Mainası Gövdesi Panel üzerinde 66 adet ölçüm notası belirlenmiş ve yapı yerde dururen modal çeiç ile 56 notasından darbe uvveti uygulanmış ve 3 ivmeölçer yapı üzerinde gezdirilere her bir notadan B&K Pulse analizörü ve yazılımı yardımıyla FTF ler hesaplanmıştır. Şeil 4.44 da yapı üzerindei bir notadan alınan FTF görülmetedir. 0

119 Şeil 4.44 Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan FTF Yapı üzerinden FTF ler alınıren aynı zamanda uygulanılan uvvet değeri ölçülmeden yine bu 3 adet gezici ivmeölçer vasıtasıyla 66 ölçüm notasından freansa bağlı ivme spetrumları da alınmıştır. adet ivmeölçer ise 6 notasında referans olara onulmuştur. Her bir ölçümde bu 4 adet ivmeölçerin (3 gezici, referans) bir birleriyle olan öznel ve çapraz spetrumları hesaplanara 4x4 boyutunda güç ve çapraz spetrum matrisleri elde edilmiştir. Şeil 4.45 ve 4.46 de yapı üzerindei ii notadan alınan çapraz spetrumun genli ve faz bilgisi görülmetedir. Bu matrislerin her bir ölçümde teil değerlerine ayrıştırılması ve ortalamalarının alınmasıyla Şeil 4.47 de görülen teil değerler grafiği elde edilmiştir. Elde edilen bu grafitei her bir tepe yapının doğal freanslarını vermetedir. Bulunan bu doğal freanslarda güç ve çapraz spetrum matrislerinin teil değerlerine ayrıştırılmasıyla da mod şeilleri elde edilmiştir. Şeil 4.45 Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Genli Bilgisi 03

120 Şeil 4.46 Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Faz Bilgisi Şeil 4.47 Çamaşır Mainası Yan Paneli Çeiç ile Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Çamaşır mainası yan paneli 00Hz e adar incelenmiş ve 400 adet veri notası ullanılmıştır. Ölçülen FTF, öznel ve çapraz spetrumlarda modal çeiç ullanıldığından 3 adet ortalama alınmıştır. İncelenilen 00 Hz e adar yapının yalaşı 5 adet modu bulunmuştur. Sonuç olara yapı üzerinden ölçülen FTF ler yardımıyla gelenesel olara modal parametreler elde edilmiş ve uygulanılan uvvet ölçülmeden sadece ölçülen cevaplar yardımıyla FAA yöntemini ullanara elde edilen modal parametrelerle aşağıda arşılaştırılmıştır. Bazı modlar görsel olara, diğer tüm modlar ise Modal Güvence Kriteri ile matematisel olara arşılaştırılmıştır. 04

121 Tablo 4.8 Çamaşır Mainası Yan Paneli Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4.48: Çamaşır Mainası Yan Paneli. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.49 Çamaşır Mainası Yan Paneli 4. Mod Karşılaştırılması 05

122 Şeil 4.50 Çamaşır Mainası Yan Paneli 6. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.5 Çamaşır Mainası Yan Paneli 8. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.5 Çamaşır Mainası Yan Paneli MGK 06

123 Sonuç olara görülmetedir i çamaşır mainası yan panelinde uvvet bilinere ve bilinmeden elde edilen her ii modelin modal parametreleri bir birleriyle uyumludur. Bu da FAA yönteminin armaşı yapılarda da uygulanabilirliğini göstermetedir. Bazı modlarda meydana gelen üçü farlılılar ihmal edilebilece düzeydedir. Bu üçü farlılıların temel nedenleri olara yapının modal çeiç ile aynı darbe uvvetinde uyarılamaması, alınan 3 ortalamanın yetersiz olması gibi deneysel ölçüm hataları ve mod şeillerinin çalışma şartlarında ölçelendirilememesi verilebilir. Ayrıca gelenesel olara elde edilen modelde, yapının çeiçle uyarılması sonucu elde edilen ivme verilerine esponansiyel pencereleme fonsiyonu uygulanmıştır. Bu da yapıya sayısal bir sönüm elenmesine neden olmuştur. Bu nedenle gelenesel olara elde edilen sönüm ayıp fatörleri çalışma şartlarında elde edilen sönüm ayıp fatörlerinden bir mitar yüse çımıştır. Çalışmanın bundan sonrai bölümünde gerçe çalışma şartları altında FAA yönteminin pratite uygulanabilirliğinin gösterilmesi amacı ile çamaşır mainesi sıma adımında çalıştırılmış ve üzerinden titreşimler ölçülere modal parametreleri belirlenmeye çalışılmıştır. Çamaşır mainesi sıma adımında 690 rpm de çalıştırılara panel üzerindei 66 adet ölçüm notasından 3 adet gezici ve adet referans ivmeölçer ullanılara B&K Pulse analizörü yardımıyla freansa bağlı ivme spetrumları alınmıştır. Referans ivmeölçer yine 6 notasına onulmuştur. Her bir ölçümde yine bu 4 adet ivmeölçerin (3 gezici, referans) bir birleriyle olan öznel ve çapraz spetrumları hesaplanara 4x4 boyutunda güç ve çapraz spetrum matrisleri elde edilmiştir. Şeil 4.53 ve 4.54 de çalışır durumdai çamaşır mainası üzerindei ii notadan alınan çapraz spetrumun genli ve faz bilgisi görülmetedir. Bu matrislerin her bir ölçümde teil değerlerine ayrıştırılması ve ortalamalarının alınmasıyla Şeil 4.55 de görülen teil değerler grafiği elde edilmiştir. Elde edilen bu grafitei her bir tepe yapının doğal freanslarını vermetedir. Bulunan bu doğal freanslarda güç ve çapraz spetrum matrislerinin teil değerlerine ayrıştırılmasıyla da mod şeilleri elde edilmiştir. 07

124 Şeil 4.53 Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Genli Bilgisi Şeil 4.54 Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Alınan Çapraz Spetrum Faz Bilgisi 08

125 Şeil 4.55 Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Üzerinden Elde Edilen Teil Değerler Grafiği Çamaşır mainası yan paneli bu çalışmada yine 00Hz e adar incelenmiş ve 400 adet veri notası ullanılmıştır. Ölçülen öznel ve çapraz spetrumlarda 00 adet ortalama alınmıştır. Böylelile ölçüm gürültüleri en aza indirilmiş olacatır. Bu çalışmada diğerlerinden farlı olara çamaşır mainası 690 rpm de çalıştırıldığından i bu.5 Hz e den gelmetedir ölçülen ivme spetrumlarında dönüş freansı olan.5 Hz ve atlarında sivri tepeler gözüecetir. Bu durum Çalışma Şartlarında Modal Analizin önemli dezavantajlarından biridir, çünü bu dönüş freansı ve atlarında mod sanılan tepeleri (sanal mod) yapının gerçe fizisel modlarından ayırma geremetedir. Eğer dönüş freansının herhangi bir atı yapının gerçe fizisel bir moduna den gelirse bu freansta modal parametreleri belirleme ço güç olacatır. Sonuç olara Şeil 4.55 de görülen dönüş freansı ve atlarının bilinmesinden dolayı bu tepeleri yapının gerçe fizisel modlarından ayırara modal parametreler belirlenmiş ve gelenesel olara (uvvet bilinere) elde edilen modelle aşağıda arşılaştırılmıştır. Ayrıca dönüş freansı ve atlarındai tepelerin diğer fizisel modlardai tepelere oranla biraz daha sivri olması modları belirlemede az da olsa bir fiir vermiştir. 09

126 Tablo 4.9 Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli Doğal Freansların ve Sönüm Kayıp Fatörlerinin Karşılaştırılması Şeil 4.56 Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli. Mod Karşılaştırılması Şeil 4.57 Çalışır Durumdai Çamaşır Mainası Yan Paneli 4. Mod Karşılaştırılması 0