T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAZI KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER YÖNTEMLERLE KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜMİT SARP BALIKESİR, HAZİRAN - 14

2 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAZI KİSMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER YÖNTEMLERLE KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜMİT SARP BALIKESİR, HAZİRAN - 14

3 Ü ı ı ı ııı ü İ İ İ ıı ı İ öışüşüıı ö ı çö ü ü İĞ ö Ş Ş ı ç ış ı ı ıı ı ı ı ış ş ğı ıı ğ ç ğ ı ü ıı ü ı ı Ü ü ş ç İ İ Ş ç ıııı ı ü ç İ ü ü ı ş Ü ö ı ıı ı ıı ş ı ü Ö Ü

4 Bu tez çalışması Balıesir Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tarafından 14/155 nolu proje ile destelenmiştir.

5 ÖZET BAZI KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER YÖNTEMLERLE KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜMİT SARP BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. SEBAHATTİN İKİKARDEŞ) BALIKESİR, HAZİRAN - 14 Bu tezde, bazı yüse mertebeden ısmi türevli diferansiyel denlemlerin Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi ile çözümü araştırılmış ve diğer sayısal yöntemler ile bulunan sonuçlar arşılaştırılmıştır. Bu tez beş bölümden oluşmatadır. Birinci bölümde; yöntemin ortaya çıış süreci ve genel bir literatür özetine yer verilmiştir. İinci bölümde; diferansiyel denlemlerim tanımı verilmiştir. Üçüncü bölümde; Diferansiyel Dönüşüm Yöntemlerinin tanımı ve özellilerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde; bazı ısmi türevli lineer olmayan diferansiyel denlemler Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi yardımıyla çözülmüş, elde edilen sonuçlar diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlarla arşılaştırılmıştır. Beşinci bölümde; tezde elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Diferansiyel dönüşüm yöntemi, diferansiyel denlem, seri çözüm. i

6 ABSTRACT SOLVING OF SOME PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BY DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD AND COMPARISON WITH OTHER METHODS MSC THESIS ÜMİT SARP BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS (SUPERVISOR: ASSOC. PROF. DR. SEBAHATTİN İKİKARDEŞ ) BALIKESİR, JUNE 14 In this thesis, the numerical solutions of some high order partial differential equations have been analyzed by differential transform method and compared with other numerical methods. This thesis consist of five chapters. In the first chapter which is the introduction and result of literature is introduced. In the second chapter, the definition of differential equation are given. In the third chapter, the definition of Differential Transformation Method and properties are given. In the fourth chapter, some partial nonlinear differential equation are solved by using Differential Transform Method and this secition are compared with other solutions. In the fifth chapter, the result of obtained in this thesis are summarized. KEYWORDS: Differential transform method, differential equation, serial solution. ii

7 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... I ABSTRACT... II İÇİNDEKİLER... III ŞEKİL LİSTESİ... IV TABLO LİSTESİ... V SEMBOL LİSTESİ... VI KISALTMALAR LİSTESİ... VII ÖNSÖZ... VIII 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR YÖNTEMLER Diğer Yöntemler Varyasyonel İterasyon Yöntemi (VIM) Adomian Ayrışım Yöntemi (ADM) Homotopy Pertürbasyon Yöntemi (HPM) Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (DTM) Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi İi Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Üç Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi n - Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi BULGULAR VE KARŞILAŞTIRMALAR K(,) Equation Çözümü ve Karşılaştırılması Caudrey-Dodd-Gibbon Equation Çözümü ve Karşılaştırmaları Sawada-Kotera Equation Çözümü ve Karşılaştırmaları Lineer Olmayan Kısmi Türevli Diferansiyel Denlem Çözümü ve Karşılaştırılması Kısmi türevli Inviscid-Burger Denleminin Çözümü ve Karşılaştırılması SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR iii

8 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şeil 4.1: K(,) d. için DTM =,,1 ve h=,,1 adımda çözümü... 1 Şeil 4.: Farshad, 13 K(,) d. çözümünün Taylor-(1,1) seri açılımı... 1 Şeil 4.3: DTM ile CDG denleminin ux (,) = x dei seri çözümü... 5 Şeil 4.4: DTM ile CDG denleminin ux (,) = tanh ( x) dei seri çözümü 7 Şeil 4.5: VIM ile CDG denleminin ux (,) = tanh ( x) dei seri çözümü.. 8 Şeil 4.6: DTM ile SK denleminin ux (,) 3 3 = x dei seri çözümü Şeil 4.7: SK denlemi için DTM =,, ve h=,, adımda çözümü Şeil 4.8: Biazar in SK d. çözümünün Taylor-(,) seri açılımı Şeil 4.9: (4.18) denlemi için DTM =,, ve h=,, adımda çözümü Şeil 4.1: Yanovsy,5 çözümünün Taylor-(,) seri açılımı Şeil 4.11: (4.18) denlemi için DTM =,,6 ve h=,,6 adımda çözümü Şeil 4.1: Yanovsy,5 çözümünün Taylor-(6,6) seri açılımı Şeil 4.13: Inviscid-Burger d. DTM =,,1 ve h=,,1 adımda çözümü Şeil 4.14: Zwillinger, 1997 çözümünün Taylor-(1,1) seri açılımı iv

9 TABLO LİSTESİ Sayfa Table 3.1: Bir değişen için DTM dönüşüm fonsiyonları Table 3.: İi değişen için DTM dönüşüm fonsiyonları Table 3.3: Üç değişen için DTM dönüşüm fonsiyonları v

10 SEMBOL LİSTESİ D F x wx ( ) : Türev operatörü : F fonsiyonunun x e göre ısmi türevi : nabla diferansiyel operatörü : laplace diferansiyel operatörü : Reel Sayılar Kümesi : Bir değişenli diferansiyel denlem W( ) : wx in ( ) diferansiyel dönüşüm fonsiyonu wxy (, ) : İi değişenli diferansiyel denlem Wh (, ) : wxy (, ) in diferansiyel dönüşüm fonsiyonu wxyt (,,) : Üç değişenli diferansiyel denlem W( hm,, ) : wxyt (,,) in diferansiyel dönüşüm fonsiyonu vi

11 KISALTMALAR LİSTESİ DTM : Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (Differential Transform Method) VIM : Varyasyonel İterasyon Yöntemi (Variational Iteration Method) HPM : Homotopy Pertürbasyon Yöntemi (Homotopy Perturbation Method) HAM : Homotopy Analiz Yöntemi (Homotopy Analysis Method) CDG : Caudrey-Dodd-Gibbon Denlemi SK : Sawada-Kotera Denlemi KdV : Korteweg-de Vries Denlemi vii

12 ÖNSÖZ Bu çalışmada sadece aademi bilgi ve biriimleriyle değil ayrıca daha birço alanda her zaman desteğini yanımda hissettiğim danışman hocam Doç. Dr. Sebahattin İKKARDEŞ e ve tezin hazırlı aşamasında ve daha birço onuda yardımlarını benden esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Fırat EVİRGEN e en içten dilelerimle teşeür ederim. Ayrıca yardımlarından dolayı Merve ÇOLPAN a ço teşeür ederim. Beni yetiştiren, destelerini hep yanımda hissettiğim aileme de teşeürlerimi sunarım. viii

13 1. GİRİŞ Kısmi diferansiyel denlemler mühendisli ve fizi biliminin hemen hemen her dalında bir problemin ilerlemesi ya da çözülmesi için ortaya çıar. Bu denlemlerin çözümü için harcanan bilgisayar zamanı, herhangi başa bir problem sınıfını çözme için harcanan zamandan ço daha fazladır. Kısmi diferansiyel denlemler, birço problem için analiti olara çözülemez. Bu nedenle, nümeri yöntemler yalaşı sonuçların hesaplanmasında ço önemlidir. Sonuç olara nümeri yöntemler, matematisel problemlerin çözümü için uygun ve en yaın çözüm veren teniler geliştirmetedir. Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (Differential Transform Method, DTM) bu bağlamda ortaya çımış yöntemlerden bir tanesidir. Diğer nümeri yöntemlerin asine daha basit hesaplanabilir işlemler geretirdiği için Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi uygulanabilirli açısından ço daha verimli bir yöntem olara abul edilmetedir. Bilgisayar programlama dillerine uygulanabilirliği yüse olduğu için matematisel işlemler içeren bir ço bilgisayar programı da bu yönteme yer vermiştir. Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, çeşitli başlangıç şartları ullanılara gerçe çözümün Taylor serisine açılımındai atsayılara ulaşmamızı sağlayan bir yöntemdir ve cebirsel denlemler yardımıyla çözüme ulaşılmatadır. Diferansiyel Dönüşüm Yöntemini il olara Zhou (Zhou, 1986) maalesinde tanımlamıştır. Bu maalede eletiri devreleri üzerine lineer ve lineer olmayan başlangıç sınır değer problemleri incelenmiştir. Zhou nun diferansiyel dönüşüm tanımın ardından, Chen ve aradaşları (Chen & Ho, 1996) maalelerinde Zhou nun ullandığı yapıya benzer bir yapı tanımlamış ve öz değer problemlerinin çözümünde Diferansiyel Dönüşüm Yöntemini ullanmıştır. Chen ve Zhou nun bu çalışmlarıyla birlite DTM nin bilinen yapısı ortaya çımaya başlamıştır. Chen ve aradaşları (Chen & Ho, 1999) maalelerinde lineer olmayan bir diferansiyel delem çözümü için bu yöntemden yararlanmış ve böylece DTM, diferansiyel delemlerin çözümü için ullanılmaya başlanmıştır. Jang ve aradaşları (Jang, et al., 1997) maalelerinde lineer olmayan sönümlü bir sistem tepisinin analizinde DTM yi ullanmış ve çözümü Runge-Kutta yöntemi ile arşılaştırmıştır. Jang ın bu çalışması ile birlite 1

14 DTM nin sistem çözümleri için de ullanılabileceği sonucu ortaya çımış, ayrıca il ez başa bir yöntemle arşılaştırıldığı için elde edilen sonuçların verimliliği haında fiir yürütülmesine olana sağlamıştır. İlerleyen çalışmalarla birlite Chen ve aradaşları (Chen & Ho, 1999) maalesinde ismi türevli diferansiyel delemlerin çözümü için ii boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini geliştirmiştir ve böylece ısmi diferansiyel denlemlerin çözümü için de DTM ullanılmaya başlanmıştır. Jang ve aradaşları (Jang, et al., ) maalelerinde başlangıç-değer promleminin çözümü için Diferansiyel Dönüşüm Yöntemini ulanmışlardır. Daha sonra Chen ve aradaşları (Chen & Liu, 1998) maalelerinde ii değişene bağlı ısmi diferansiyel denlem çözümleri için farlı denlemlerin dönüşmlerini listeleyere DTM de ullanılan döşümlere atı sağlamışlardır. Hassan ve aradaşları (Hassan & I., ) maalelerinde, Chen nin il maalelerindei gibi özdeğer problemleri çözümünde DTM ullanmışlardır. Ayrıca aynı yıl yayımlanan bir başa maalede (Hassan & I., ) Chen ve Jang ın ispatladılarından farlı fonsiyonlar için yeni dönüşüm fonsiyonları tanımlamışlardır. Ayaz (Ayaz, 3) maalesinde ii boyutlu ısmi diferansiyel denlemlerin çözümünde DTM yi ullanmış ve ii boyutlu ısmi difransiyel denlemler için yeni dönüşüm fonsiyonları tanımlamıştır. Ayaz (Ayaz, 4) maalesinde daha önce DTM uygulanmış sistem yapılarından farlı sistem çözümleri için DTM yi ulanmıştır. Ayaz ve Oturanç (Ayaz & Oturanç, 4) maalelerinde lineer olmayan Burger Diferansiyel Denlemini DTM ile çözmüşlerdir. Ayaz (Ayaz, 4) maalesinde daha öncei maalelerindei dönüşüm fonsiyonlarına e olara yeni dönüşüm yapıları ispatlamıştır. Arıoğlu ve Özol (Arioglu & Ozol, 5) maalelerinde integral içeren lineer ve lineer olmayan diferansiyel denlemler için DTM yi ullanmış ve bu sayede içerisinde integral yapıları da olan yeni dönüşüm fonsiyonları tanımlamışlardır. Kurnaz ve aradaşları (Kurnaz, et al., 5) maalelerinde n boyutlu DTM yi tanımlamışlardır ve bu maale ile birlite n. mertebeden bir diferansiyel denleminde DTM ile çözülebileceği sonucu ortaya çımıştır. Kurnaz ve Oturanç (Kurnaz & Oturanç, 5) maalelerinde adi diferansiyel denlemler içeren sistem çözümleri için DTM ullanmışlardır. Bildi ve aradaşları (Bildi, et al., 6) maalesinde bazı ısmi diferansiyel denlemlerin çözümünü hem DTM ile hem de Adomian Ayrışım Yöntemiyle çözmüş ve sonuçlarını arşılaştırmıştır. Arıoğlu ve Özol (Arioglu & Ozol, 6) maalelerinde diferansiyel far denlemleri için Difeansiyel Dönüşüm yapısını

15 tanımlamış, sonuçları Taylor Polinomları yalaşımıyla arşılaştırmşılardır. Momani ve aradaşları (Momani, et al., 7) maalelerinde esirli diferansiyel denlemlerin çözümü için DTM yi ullanmışlardır. Kesin ve aradaşları (Kesin, et al., 7) maalelerinde genelleştirilmiş pantograph denlemlerini DTM ile çözmüştür. (Karaoç & Bereetoğlu, 9) gecimeli diferansiyel denlemler için DTM yapısına uygun yeni dönüşümler tanımlamış, lineer ve lineer olmayan bazı gecimeli diferansiyel denlemleri DTM ile çözülmüştür. Kesin ve aradaşları (Kesin & Oturanç, 9) maalelerinde indigenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemini tanımlamışlar ve ii değişenli diferansiyel denlemleri bir değişenli diferansiyel denlemlere indirgeyere çözüme ulaşmışlardır. Tüm bu çalışmalar göstermetedir i DTM; sistem, diferansiyel denlem, far denlemleri, gecimeli diferansiyel denlemler ve daha birço denlem yapısı için çözüm olanağı sağlamatadır. Literatürde DTM ile ilgili birço maale ve tez bulunabilir. Son olara DTM Adomians Decomposition Method, Homotopy Perturbation Method, Homotopy Analysis Method, Variational Iteration Method v.b. yöntemlerle hibrit edilebilen ve ço daha iyi sonuçlara ulaşabilmeze olana sağlayan bir yöntemdir. Bu çalışmada, çözümü yalaşı yollarla hesaplanmış bazı ismi türevli diferansiyel denlemlerin, DTM ile çözümü araştırılmıştır. Mühendisli ve fizi alanlarında ullanımı yaygın olan varlı araştırmasına ihtiyaç duymacağımız bu denlemler aşağıdai gibidir; 1-Caudrey-Dodd-Gibbon Equation -Sawada-Kotera Equation 3- Korteweg-de Vries Equation 4- Inviscid-Burger Equation Bu tez beş bölümden oluşmatadır. Birinci bölümde; yöntemin ortaya çıış süreci ve genel bir literatür özetine yer verilmiştir. İinci bölümde; diferansiyel denlemlerim tanımı verilmiştir. 3

16 Üçüncü bölümde; Diferansiyel Dönüşüm Yöntemlerinin tanımı ve özellilerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde; bazı ısmi türevli lineer olmayan diferansiyel denlemler Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi yardımıyla çözülmüş, elde edilen sonuçlar diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlarla arşılaştırılmıştır. Beşinci bölümde; tezde elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. 4

17 . TEMEL KAVRAMLAR.1 Tanım Bir bilinmeyen fonsiyonu ve türevlerini içeren bir denleme, diferansiyel denlem denir..1 Örne Aşağıdai denlemler, y bilinmeyen fonsiyonunu içeren diferansiyel denlemlerdir. dy 8x 5 dx = + (.1) d y dy x xy dx = dx + (.) 5 (cos ) 1. Tanım Eğer bilinmeyen fonsiyon sadece bir bağımsız değişene bağlı ise bu diferansiyel denleme adi diferansiyel denlem denir. Fxyy y = ( n) (,,,,..., y ) şelinde gösterilir.. Örne Aşağıdai denlemler adi diferansiyel denlemlerdir. şelinde gösterilir. dy cos x dx = (.3) y + y = e x (.4).3 Tanım Eğer bilinmeyen fonsiyon ii veya daha fazla bağımsız değişene bağlı ise bu diferansiyel denlemlere ısmi diferansiyel denlemler denir. Kısmı diferansiyel denlemlerin birço çeşidi ve sınıflaması vardır. Biz bu çalışmada ii değişene bağlı diferansiyel denlemler ile işlemler yapacağımızdan dolayı iinci mertebeden ısmî diferansiyel denlemlerin tanımıyla devam edelim. 5

18 .4 Tanım A, B, C, H ve u, x ve y bağımsız değişenlerinin herhangi bir fonsiyonu olma üzere uxy nin (, ) ısmi türevlerini içeren aşağıdai denlemine u u u A + B + C + f( xyu,,, u/ x, u/ y) = Hxy (, ) x xx y (.5) iinci mertebe ısmî diferansiyel denlem denir. İinci mertebeden ii değişene bağlı ısmî diferansiyel denlemler paraboli, elipti ve hiperboli olma üzere üç ategoride incelenir..5 Tanım Genel olara potansiyel adı verilen bir büyülüğün bölge içindei değişimini temsil eden denlemlere Elipti Denlemler denir..6 Tanım Potansiyelin bir başlangıç durumundan itibaren eriştiği daimi durum değerleri gösteren denlemlere Paraboli Denlemler denir. Bu yüzden bu denlemlerin bağımsız değişenlerinden biri t-zaman değişenidir..7 Tanım Dalgaların nasıl yayıldığını ifade etme için ullanılan denlemleri ifade eden yapılara da Hiperboli Denlemler denir. Paraboli denlemler gibi Hiperboli Denlemler de bağımsız değişenlerinden biri t-zaman değişenidir. Diferansiyel denlemin, hangi sınıfta yer alan bir denlem olduğunu bulma için (.5) denlem ullanılara aşağıdai sınama yapılabilir; 4 B AC < elipti 4 B AC = paraboli 4 B AC > hiperboli (.5) denleminde sınır oşulu; u cinsiden verilmiş ise bu diferansiyel denleme Dirichlet tipi, u nun türevleri cinsiden verilmiş ise Neuman tipi, bu iisi cinsiden verilmiş ise Karışı tipte diferansiyel denlem denir. 6

19 3. YÖNTEMLER Diferansiyel delemleri çözme için birço nümeri ve analiti yöntem ullanılmatadır. Bu bölümde ii ana başlıta sı ullanılan diğer yöntemler ve Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi açılanmıştır. 3.1 Diğer Yöntemler Bu bölümde 4. Bölüm de yer alan Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi ile çözülmüş diferansiyel denlemlerin arşılaştırıldığı yöntemlere ısaca yer verilmiştir Varyasyonel İterasyon Yöntemi (VIM) Tanım Varyasyonel İterasyon Yöntemi (Variational Iteration Method, VIM) uygulanmasında aşağıdai temel denlem ele alınır; Lu + Nu = g( x) (3.1) Burada yer alan L lineer operatör, N lineer olmayan operatör ve gx ( ) homojen olmayan terimlerdir. (3.1) denleminden yararlanılara aşağıdai denlem elde edilir. x u + ( x) = u ( x) + λ{ Lu ( ξ) + Nu ( ξ) g( ξ)} dξ (3.) n 1 n n n Burada yer alan λ hesaplanabilir genel Lagrange çarpanıdır, x λ { Lu ( ξ n ) + Nu n( ξ ) g( ξ )} d ξ integrali düzeltme olara adlandırılır ve u n nın sınırlanmış bir varyasyonu olara abul edilir. Başlangıç oşulu u olara seçilere başlanır ve diğer adımlar bulunara işlem devam eder. Elde edilen toplandığında seri çözüm ortaya çımış olur. Bu yönteme Varyasyonel İterasyon Yöntemi denir, (He, 1997). un ler 7

20 3.1. Adomian Ayrışım Yöntemi (ADM) Tanım Adomian Ayrışım Yöntemi (Adomian Decomposition Method, ADM) uygulanmasında aşağıdai temel denlem ele alınır. F hem lineer hem de lineer olmayan terimleri içeren adi diferansiyel operatör olma üzere; Fu( x) = g( x) (3.3) denemi ele alınsın. (3.3) denlemi lineer olan ve olmayan terimlerine ayrıştırılırsa, Lu + Nu = g (3.4) şelinde yazılır. Burada yer alan L verilen diferansiyel denlemin en yüse mertebeden türevi, N lineer olmayan terim ve R lineer operatörün alan ısmı olara ifade edilir. L lineer ve terslenebilir bir operatördür. Bu durumda; Lu = g Ru Nu (3.5) (3.5) eşitliğinin her ii tarafına 1 L operatörü sol taraftan uygulanırsa, = (3.6) L Lu L g L Ru L Nu eşitliği elde edilir. L operatörünün iinci mertebeden ve tersi mevcut olan lineer bir operatör olduğu abul edilsin. Bu durumda (3.6) eşitliği; 1 1 u u() tu() L Ru L Nu = + (3.7) elde edilir. (3.7) denleminde Nu lineer olmayan terimleri, Nu = A (3.8) n= olara gösterilir. Burada yer alan A n pollinomları özel polinomlardır ve Adomian Polinomları olara adlandırılır. Bu polinomlar ile ilgili bilgileri daha detaylı bir şeilde Adomian ın (Adomian, 199) maalesinde inceleme mümündür. (3.7) eşitliğindei u ayrıştırılmış bir seri çözüm fonsiyonudur. Bu seri çözüm fonsiyonun birinci terimi olan u, verilen başlangıç değeridir. Bu değer denlemin sağ taraf fonsiyonunun integrali alınma üzere, n 1 u a bt L g şelinde bulunur. 8 = + (3.9)

21 olursa; Ayrıştırılmış seri çözüm fonsiyonu serinin yaınsa olduğu düşünülece 1 1 un = u L R un L An n= n= n= (3.1) şelinde elde edilir. (3.1) eşitliğinden yararlanılara, u = L Ru L A = 1 1 u L Ru L A u L Ru L A n 1 1 n+ 1 = n n, (3.11) seri çözüm elde edilir. Bu yönteme Adomian Ayrışım Yöntemi denir, (Adomian, 199) Homotopy Pertürbasyon Yöntemi (HPM) Tanım Pertürbasyon teorisi ve topolojinin temel avramlarında biri olan homotopi avaramını birleştirere, diferansiyel delemlerin seri çözümünü araştıran bir yöntemdir. Homotopi Pertürbasyon Yönteminin incelediği denlem yapıları Ω bir bölge olma üzere; A u( r) f ( r) =, r Ω u (3.1) B u, =, r Γ n şelindedir. (3.1) esitliginde A lineer ve lineer olmayan operatör; B sınır bilinen analiti bir fonsiyondur. A operatörü; Γ ; Ω bölgesinin sınırı ve f ( r ) operatörü L, lineer, N lineer olmayan operatörler şelinde A= L+ N olara parçalanır. p [,1] ve ( ) u f r, (3.1) denleminin sınır oşullarını sağlayan başlangıç değeri homotopisi; ve v olma üzere Hvr ( ( ; p); p ) = H: Rx[,1] R (3.13) Hv ( ; p) = (1 p) Lvr ( ; p) Lu( r) + p Avr ( ; p) f( r) = olara tanımlanır. (3.13) denleminde, { [ ] [ ]} { [ ] } 9

22 p= Lvr ( ;) Lu( r) = [ ] [ ] p= 1 Avr ( ; p) f( r) = [ ] (3.14) (3.15) olara bulunur. Burada aranan çözüm p = 1 için sağlanmatadır. Bu durumda p parematresi dan 1 e doğru değiştiçe u ( r ) da, ur ( ) ye doğru değişmetedir. p paremetresi [,1 ] aralığında pertürbasyon açılımı uygulanırsa, i v( r; p) p v ( r; p) p v ( r; p) p v ( r; p) p v ( r; p) (3.16) n 1 = = i= biçimide yazılır. (3.15) denlemini p = 1 çözümü yalaşı bir seri çözümü verir, bu durumda ur ( ) nin çözümü; u( r) = lim v( r; p) = lim p v ( r; p) + p v ( r; p) + p v ( r; p) + (3.17) p 1 p 1 1 ( 1 ) olara bulunur. Bu yönteme Homotopi Pertürbasyon Yöntemi denir, (He, 1999). i 3. Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (DTM) Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (Differential Transform Method, DTM); özdeğer problemleri, lineer ve lineer olmayan diferansiyel denlemler ve sistem çözümleri için ullanılabilmetedir. DTM, bir boyutlu, ii boyutlu, üç boyutlu ve n boyutlu olma üzere dört farlı grupta incelenir. Bu çalışmada ii boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, ısmi türevli lineer olmayan yüse mertebeden diferansiyel denlemlerin çözümünde ullanılmıştır. DTM ullanılıren; Taylor serisi, Taylor serisinin ısmi toplamlar dizisi, diferansiyel operatör ve diferansiyel operatör özellilerinden yararlanılmıştır Tanım Türev operatörünün fonsiyon hali olara tanımlanan yapıya Diferansiyel operatörü denir ve şelinde gösterilir. 1 d D D x dx = = (3.18)

23 n. mertebeden diferansiyel operatör; şelinde tanımlanır. (Branson, 9) Diferansiyel operatörün bazı temel özellileri; d n ( n) n x Dx n dx = = (3.19) 1) Dy( x) = y ( x) ) ( ) = ( ( )) = ( ) = ( ) D y x D Dy x Dy x y x 3) n ( n) Dyx ( ) = y ( x) 4) = i + j + x y z nabla diferansiyel operatörü 5) x y z = =. = + + Laplace diferansiyel operatörü 6) α eyfi sabit d ( ux ( ) ± αvx ( )) = d ( ux ( )) ± α d ( vx ( )) dx dx dx 3.. Tanım f( x ), α yı bir iç nota olara abul eden ve açı bir aralıta her mertebeden türevi olan bir fonsiyon olsun. Bu durumda ( α ) ( ) f f( x) = ( x α) =! (3.) ( n) f ( α) f ( α) n = f( α) + f ( α)( x α) + ( x α) ( x α) +...! n! 1) serisine f( x ) in x = α notasındai Taylor Serisi denir. (George & Thomas, 3..3 Tanım f( x ) fonsiyonunun, x = notasındai Taylor Serisi açılımına f( x ) fonsiyonunun Maclaurin Serisi denir ve 11

24 = ( ) ( ) f f( x) = ( x)! ( n) f () f () n = f() + f ()( x) + ( x) ( x) +...! n! (3.1) şelinde gösterilir. (George & Thomas, 1) 3..4 Tanım f( xy, ) ve f( xy, ) 'nin ( n + 1) inci mertebeye adar ısmi türevleri, merezi ( ab, ) de olan bir R açı yuvarda süreli olsunlar. Bu durumda, R de, 1 f ( a + h, b + ) = f ( a, b) + ( hf x + f y ) ( a, b) + ( h f xx + hf xy + f yy ) ( a, b) +! 1 ( 3 3 h fxxx 3 h fxxy 3 h fxyy f yyy ) ( a, b) ! 1 n 1 ( h + ) f + ( h + ) f n! x y ( n+ 1)! x y n+ 1 ( a, b) ( a+ ch, b+ c ) (3.) serisine f( xy in, ) ( ab, ) notasındai Taylor Serisi denir. (George & Thomas, 1) 3..5 Tanım f( x ) fonsiyonunun, x = notasındai Taylor serisi açılımının ısmi toplamlar dizisi; = ( α ) n ( ) f fn ( x) = ( x α) (3.3)! şelinde tanımlanır. fn ( x ) e f( x ) in α civarında n. dereceden Taylor Polinomu denir. (George & Thomas, 1) Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Bir boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemi, bir değişen içerdiği için adi diferansiyel denlemlerin ve adi diferansiyel denlem sistemlerinin çözümü için ullanılabilir. olma üzere; Tanım wx ( ) fonsiyonunun diferansiyel dönüşüm fonsiyonu W( ) 1

25 1 d W ( ) = wx ( )! dx = x (3.4) şelinde tanımlanır. W( ) fnsiyonuna wx in ( ) dönüşüm fonsiyonu denir, (Chen & Ho, 1996) Tanım W( )'nın diferansiyel ters dönüşümü; wx ( ) = Wx ( ) (3.5) şelinde tanımlanır, (Chen & Ho, 1996) Tanım (3.5) eşitliğinde (3.4) eşitliği yerine yazılara = 1 d wx ( ) = wx ( ) x! dx (3.6) = x= eşitliği elde edilir. (3.6) denlemine Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi denir, (Chen & Ho, 1996). edilmiştir. (3.6) de yer alan eşitli Taylor Serisini genişlemesinden yola çıılara elde (3.4) ve (3.5) eşitlilerinden işlemlerinden yararlanılara Tablo 3.1 dönüşüm fonsiyonlarını elde edilir. 13

26 Fonsiyon Dönüşüm Fonsiyonu r = ( ) ( ) wx ( ) = yx ( ) + zx ( ) W ( ) = Y ( ) ± Z ( ) Chen & Ho, 1996 wx ( ) = λyx ( ) W ( ) = λy ( ) Chen & Ho, 1996 ( ) wx ( ) = yxzx ( ) ( ) W ( ) = YrZ ( ) ( r) Chen & Ho, 1996 dy( x) wx ( ) = dx W ( ) = ( + 1) Y ( + 1) ( Chen & Ho, 1996) m 1, = m wx ( ) = x W ( ) = δ ( m) =, m ( Chen & Ho, 1996) λx λ wx ( ) = e W ( ) =! ( Hassan & I., ) wx ( ) = sin( ωx+ α) ω π W ( ) = sin( + α)! ( Hassan & I., ) wx ( ) = cos( ωx+ α) ω π W( ) = cos( + α)! ( Hassan & I., ) x U ( 1) w( x) = u( x) dx W ( ) =, 1 x Arioglu & Ozol, 6 m d y( x) w( x) = m dx W( ) = ( + 1)( + )...( + m) U( + m) ( Chen & Ho, 1996) d w( x) = u( x) v( x) W( ) = ( )( 1) ( ) ( ) r+ r+ U r V r+ dx r = ( Chen & Ho, 1996) d d wx ( ) = ux ( ) vx ( ) W ( ) = ( r+ 1)( r+ 1) Ur ( + 1) V( r+ 1) dx dx ( Chen & Ho, 1996) ( ) r = r ( ) wx ( ) = uxvxsx ( ) ( ) ( ) W ( ) = UrVtS ( ) ( ) ( r t) Chen & Ho, 1996 r= t= ( ) = r d ( ) ( ) sx ( ) ( ) = ( ) + dx r= t= ( ) ( ) ( + ) Chen & Ho, 1996 wx uxvx W r t UrVtS r t ( ) λx λ (ln ω) wx ( ) = ω W ( ) =! Chen & Ho, 19 λx+ b λ b wx ( ) = e W( ) = e! Chen & Ho, 1996 w( x) = sh( λ x) λ, te ise W ( ) =!, çift ise Chen & Ho, 1996 w( x) = ch( λ x), te ise W ( ) = λ, çift ise! Chen & Ho, f( x) 1 wx ( ) = W( ) = F( ) H( mg ) ( m) gx ( ) G() m= Chen & Ho, 1996 wx ( ) = G(), = b gx ( ) W ( ) = ( b+ 1) m GmW ( ) ( m ), 1 m= G() Chen & Ho, 1996 ( 96) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) Table 3.1: Bir değişen için DTM dönüşüm fonsiyonları 14

27 3.. İi Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi İi boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemi, xydeğienler, olma üzere ii değişen içerdiği için ii değiene bağlı ısmi türevli diferansiyel denlemlerin ve denlem sistemlerinin çözümü için ullanılabilir Tanım wxy (, ) fonsiyonunun ii değişene bağlı diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Wh (, ) olma üzere; + h 1 Wh (, ) = wxy (, ) h h!! x y x= y= (3.7) şelinde tanımlanır. Wh (, ) fonsiyonuna wxy (, ) in dönüşüm fonsiyonu denir, (Zhou, 1986) Tanım Wh'nın (, ) diferansiyel ters dönüşümü; wx (, y) = W( hx, ) y h (3.8) = h= şelinde tanımlanır, (Zhou, 1986) Tanım (3.8) eşitliğinde (3.7) eşitliği yerine yazılara aşağıdai + h 1 h wxy (, ) = wxy (, ) x y h = h= h!! x y (3.9) eşitliği elde edilir. (3.9) denlemine ii değişenli Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi denir, (Zhou, 1986). (3.7) ve (3.8) eşitlilerinden yararlanılara Tablo 3. dei dönüşüm fonsiyonlarını elde edilir. x= y= 15

28 Fonsiyon Dönüşüm Fonsiyonu wxy (, ) = uxy (, ) ± vxy (, ) Wh (, ) = Uh (, ) ± Vh (, ) wxy (, ) = αuxy (, ) Wh (, ) = αuh (, ) ( Zhou, 1986) ( Zhou, 1986) uxy (, ) wxy (, ) = x Wh (, ) = ( + 1) U ( + 1, h) Zhou, 1986 uxy (, ) wxy (, ) = y Wh (, ) = ( h+ 1) U (, h + 1) Zhou, 1986 w(x,y)=u(x,y)v(x, y) h W (, h) = U(, r h sv ) ( r, s) r= i= 1 r= s= ( ) ( ) ( Ayaz, 3) ( Ayaz, 3) m n 1, = mh, = n w( x, y) = x y W(, h) = δ( m, h n) = δ( m) δ( h n) =, asi halde h u( x, y) v( x, y) w( x, y) = W(, h) = ( r+ 1)( r+ 1) U( r+ 1, h s) V( r+ 1, s) Ayaz, 3 x x ( ) h u( x, y) v( x, y) w( x, y) = W(, h) = ( s+ 1)( h s+ 1) U( r, h s+ 1) V( r, s+ 1) y y r= s= h u( x, y) v( x, y) w( x, y) = W(, h) = ( r+ 1)( h s+ 1) U( r+ 1, s) V( r, h s+ 1) x y r= s= w(x,y) =u(x,y)v(x,y)z(x,y ) W(, h) = U( r, h s pv ) (, t sz ) ( r t, p) ( r+ s) r= t= s= p= h vxy (, ) w( x, y) = u( x, y) W(, h) = ( r )( r 1) U( r, h s) V( r, s) x wxy (, ) = uxy (, ) r x y s r h h s r= s= ( Ayaz, 3) ( Ayaz, 3) ( Ayaz, 3) ( Ayaz, 3) ( ) Wh (, ) = ( + 1)( + )...( + r)( h+ 1)( h+ )...( h+ su ) ( + r, h + s) Ayaz, 3 h m at a wxy (, ) = x e Wh (, ) = δ ( m) h! h y x 1 ( 1) wxy (, ) = e Wh (, ) = h!! w(x,y)=x W(, h) = δ ( 1) Ayaz, 3 ( Ayaz, 3) ( Ayaz, 3) ( ) Table 3.: İi değişen için DTM dönüşüm fonsiyonları 3..3 Üç Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Üç boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemi, xytdeğişenler,, olma üzere üç değişen içerdiği için üç değiene bağlı ısmi türevli diferansiyel denlemlerin ve denlem sistemlerinin çözümü için ullanılabilir Tanım wxyt (,,) fonsiyonunun ii değişene bağlı diferansiyel dönüşüm fonsiyonu W( hm,, ) olma üzere; 16

29 + h+ m 1 W(, hm, ) = wxyt (,,) h m hm!!! x y y x=, y=, t= (3.3) şelinde tanımlanır. W( hm,, ) fonsiyonuna wxyt (,,) in dönüşüm fonsiyonu denir, (Ayaz, 4) Tanım W( hm,, )'nın diferansiyel ters dönüşümü; wx (, yt,) = W(, hmx, ) yt h m (3.31) = h= m= şelinde tanımlanır, (Ayaz, 4) Tanım İi boyutlu DTM de olduğu gibi (3.31) eşitliğinde (3.3) eşitliği yerine yazılara + h+ m 1 h m wxyt (,,) = wxyt (,,) x yt hm!!! x y y (3.3) h m = h= m= x=, y=, t= eşitliği elde edilir. (3.3) denlemine ii değişenli Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi denir, (Ayaz, 4). (3.3) ve (3.31) eşitlilerinden yararlanılara Tablo 3.3 dei dönüşüm fonsiyonlarını elde edilir. Fonsiyon Dönüşüm Fonsiyonu wxyt (,,) = uxyt (,,) ± vxyt (,,) Whm (,, ) = Uhm (,, ) ± Vhm (,, ) wxyt (,,) = αuxyt (,,) Whm (,, ) = αuhm (,, ) ( Ayaz, 4) ( Ayaz, 4) uxyt (,,) wxyt (,,) = x Wh (,, m) = ( + 1) U( + 1, hm, ) Ayaz, 4 uxyt (,,) wxy (,,) t = y Whm (,, ) = ( h+ 1) U(, h+ 1, m) Ayaz, 4 ( ) ( ) uxyt (,,) wxyt (,,) = Whm (,, ) = ( m+ 1) U( hm,, + 1) ( Ayaz, 4) t ( r+ s+ p) uxyt (,,) ( + r)!( h+ s)!( m+ p)! wxyt (,,) = Whm (,, ) = U ( + rh, + sm, + p) ( Ayaz, 4) r s t x y y!!! = ( Ayaz, 4) wxyt (,,) uxytvxyt (,,)(,,) Urh (, s, m pv ) ( rsp,, ) h m r = s= p= h m uxyt (,,) vxyt (,,) w( x, y, t) = ( r+ 1)( h s+ 1) U( r+ 1, s, p) V( r, h s+ 1, m p) 4 x y r = s= p= ( Ayaz, ) Table 3.3: Üç değişen için DTM dönüşüm fonsiyonları 17

30 3..4 n - Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi n - boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemi, n tane değişene bağlı olara, ii ve üç boyutlu DTM gibi genellenebilir, bu sayade yüse mertbeden n değişenli ısmi türevli denlemlerin ve sistemlerin çözümü için ullanılabilir Tanım wx ( 1, x, x3,..., x n ) fonsiyonunun n değişene bağlı diferansiyel dönüşüm fonsiyonu W( 1,, 3,..., n ) olma üzere; n 1 W (,,,..., ) = wx (, x, x,..., x) x 1 3 n n n 1!! 3!... n! x1 x x3... xn = 1,,..., n (3.33) şelinde tanımlanır. W( 1,, 3,..., n ) fonsiyonuna wx ( 1, x, x3,..., x n ) in dönüşüm fonsiyonu denir, (Kurnaz, et al., 5) Tanım W( hm,, )'nın diferansiyel ters dönüşümü; n 1 3 n 1 3 n 1= = n = n wx (, x, x,..., x)... W (,,,..., ) x x x... x = (3.34) şelinde tanımlanır, (Kurnaz, et al., 5) Tanım İi ve üç boyutlu DTM de olduğu gibi (3.34) eşitliğinde (3.33) eşitliği yerine yazılara aşağıdai 1 wx (,..., x)... wx (,..., x) x... x x n 1 n 1 n = n n n 1 = 1!...! 1... n = n x xn = 1,..., n (3.35) eşitliği elde edilir, (Kurnaz, et al., 5). 18

31 4. BULGULAR VE KARŞILAŞTIRMALAR Bu bölümde, daha önce farlı yöntemlerle çözülmüş ya da nümeri iterasyonlar dışında çözümlenmemiş ısmi türevli diferansiyel denlemlerin, DTM ile belirli adımlarda çözümleri araştırılmış ve elde edilen sonuçlar diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlarla arşılaştırılmıştır. 4.1 K(,) Equation Çözümü ve Karşılaştırılması Tanım Üçüncü mertebeden u + u + u = (4.1) t ( ) x ( ) xxx ısmı türevli diferansiyel denleminine K(,) diferansiyel denlemi denir. (4,1) denlemi; uantum meaniği, dalga hesapları, lazer optiği, plazma fiziği ve daha birço mühendisli ve fizi alanlarında önemli rol oynadığını bilinen bir denlemdir. (Farshad, et al., 13) iteratif bir yöntem ullanara çeşitli başlangıç şartlarıyla sonuçlar elde etmişlerdir. Bu çalışmada bir başlangıç şartıyla çözüm araştırılmış ardından (Farshad, et al., 13) çözümü ile DTM ile bulunan çözümler arşılaştırılmıştır Örne u + u + u = t ( ) x ( ) xxx başlangıç oşulu, u( x,) = x (4.) Üstlü ifadeleri açtığımızda lineer olmayan u + uu + 6u u + 6uu = denleminin, ux (,) 19 t x x xx xxx = x başlangıç şartını ullanara Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi ile çözümü; uxt (,) nin diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Uh (, ) olma üzere Tablo 3. dei dönüşümlerden yardımıyla;

32 ( h+ 1 ) U( h, + 1) h + + 1, + 1, r= s= ( r ) U( r h s) U( r s) h , +, r= s= ( r )( r )( r ) u( r h s) u( r s) h , + 3, r= s= ( r )( r )( r ) u( r h s) u( r s) (4.3) şelinde yazılabilir. ux (,) = xbaşlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; x= + x = U (,) x = U (, ) = U (1, ) = 1 1 = 1, bu durumda U (,) = asi halde U ( n,) = U (1,1) adımının değerini bulma için (4.3) denleminde = 1, h = alınırsa; ( 1,1) + 4 (,) (,) + ( 1,) U u U U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U( ) ( ) + 7U 1, U 3, + 4 U, + 144, U 4, = (4.4) (4.4) denleminde U (,) değerleri sırasıyla yerine yazılırsa; U (1,1) + = (4.5) değeri bulunur. Benzer işlemler =,...,6 ve h =,...,6 için terarlandığında ( ) ( ) U( ) ( ) U( ) ( ) U( ) ( ) + ( ) U( ) + ( ) U( ) + ( ) U( ) U( ) U( ) U( ) U( ) U( ) U( ) ( 1,1) + 4U(,) (,) + ( ( 1,) ) + 7U( 1,) ( 3,) U ( ) U U U,1 + U, 1, + 1U 1,, + 36U, 3, = U, U,1 1, U, 1,1 1U 1,1, + 1 1,,1 + 36,1 3, + 36, 3,1 = U U U U ( ) ( ) ( ) + 4, + 144, 4, =

33 şelinde devam eder, Uh (, ) değerleri, Maple yardımıyla yerine yazılırsa istenen seri çözüm; 1 1 uxt (,) U(,) txt = h= h ( ) uxt (,) = x t + t t t t + t + Bulduğumuz sonucu (4.) diferansiyel denleminin Farshad ın (Farshad, et al., 13) maalesindei çözümünün seri açılımıyla arşılaştıralım; Farshad ın (Farshad, et al., 13) maalesindei çözümü; x uxt (,) = 1 + t Farshad ın (Farshad, et al., 13) maalesindei çözümünün Taylor Seri açılımı; ( t ) ux (, t) = x t + t t + t 3t biçimindedir. Aşağıda DTM =,,1 ve h=,,1 ve (Farshad, et al., 13) ın çözümünün Taylor-(1,1) seri açılımı şartları altında grafiği verilmiştir. Şeil 4.1: K(,) d. için DTM =,,1 ve h=,,1 adımda çözümü Şeil 4.: Farshad, 13 K(,) d. çözümünün Taylor-(1,1) seri açılımı Buradan anlaşılacağı üzere birinci mertebeden lineer olmayan (4.) diferansiyel denlemin DTM ile çözümünden elde edilen sonuçlar, (Farshad, et al., 13) nin çözüm ile aynıdır. 1

34 4. Caudrey-Dodd-Gibbon Equation Çözümü ve Karşılaştırmaları 4..1 Tanım αβγ,, ve ω eyfi değişenler olma üzere, u + ωu + αuu + βu u + γu u = (4.6) t xxxxx xxx x xx x ısmı türevli diferansiyel denlemine, beşinci mertebe Korteweg de Vries (KdV) ısmı türevli diferansiyel denlemi denir. 4.. Tanım (4.6) dai eyfi değişenler α = 3, β = 3, γ = 18 ve ω = 1 olara seçilirse aşağıdai denlem elde edilir. u + u + uu + u u + u u = (4.7) t xxxxx 3 xxx 3 x xx 18 x (4.7) denlemine Caudrey-Dodd-Gibbon diferansiyel denlemi denir, (Caudrey, et al., 1976). Caudrey-Dodd-Gibbon diferansiyel denlemi, lazer optiği ve plazma fiziği alanlarında önemli rol oynadığını bilinen bir diferansiyel denlemdir. Jin (Jin, 1) maalesinde Variational Iteration Method (VIM) yöntemini ullanara çeşitli başlangıç şartlarıyla CDG diferansiyel denlemini çözmüştür. Daha sonra Safari (Safari, 11) maalesinde bu diferansiyel denlemi Variational Iteration Method (VIM) ve Adomians Decomposition Method (ADM) ile birlite çözere ii yöntemin sonuçlarını arşılaştırmıştır. Bu çalışmamızda il olara farlı bir başlangıç şartıyla CDG diferansiyel denleminin DTM ile çözümü araştırılmış ardından Jin ve Safari nin ullandığı başlangıç şartları ullanılara DTM ile çözülmüş ve bu çözüm Jin ve Safari nin çözümleri ile arşılaştırılmıştır Örne (4.7) denlemine ux (, ) = x başlangıç şartı ullanılara Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi uygulansın. uxt (,) nin diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Uh (, ) olma üzere Tablo 3. dei dönüşümlerden yardımıyla aşağıdai dönüşüm fonsiyonları yazılabilir.

35 u, ( h+ 1) Uh (, + 1) t ( + 5)! uxxxxx, U ( + 5, h)! h 3 uu, 3 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) xxx r= s= h 3 u u, 3 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) x xx r= s= 18 r h h s x, 18 ( 1) (, ) (, ) ( r= t= s= p= uu r t+ Urh s putsu r t+ 1, p) Sonuç olara (4.7) de verilen denleme ait diferansiyel dönüşüm fonsiyonu; ( + 5)! ( h+ 1) Uh (, + 1) + U ( + 5, h) +! h 3 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) + r= s= h 3 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) + r= s= r h h s 18 ( r t+ 1) Urh (, s putsu ) (, ) ( r t+ 1, p) = r= t= s= p= (4.8) şelinde yazılır. ux (,) = xbaşlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; x= + x = U (,) x = U (, ) = U (1, ) = 1 1 = 1, bu durumda U (,) = asi halde U ( n,) = U (1,1) adımının değerini bulma için (4.8) denleminde = 1, h = alınırsa; U(1,1) + 7 U(6, ) U(4, ) + 36 U(1, ) U(3, ) + 1 U (, ) 36 U (, ) U(, ) 36 U(, ) U (1, ) + + = 3

36 U (1,1) = olara bulunur. Aynı işlemi, =,...,6 ve h =,...,6 için uygulanırsa Maple yardımıyla elde edilen sonuçlar; 6 6 uxt (,) U(,) txt uxt (, ) = h= h ( 1,) + (,) + ( 3,) 3 + ( 4,) 4 + ( 5,) 5 + ( 6, ) 6 (,1) (,3) 3 ( 4, 4) 4 4 ( 4,3) 4 3 ( 6,3) ( 4, ) ( 3, 6) (,1) (,3) ( 3,) 3 + ( 4,6) ( 3,4) ( 6,) (,5) x t + U( 3,3) x ( 4,5) ( 6,5) (, ) ( 5,4) (,5) ( 3,5) ( 6,4) ( 1,) ( 5,1) 5 + ( 3,1) 3 + ( 1,1) + ( 5,5) (,6) + ( 5,6) ( 5,) ( 4,1) ( 6,6) ( 1,6) ( 1,5 ) ( 5,3) (, 4) (,6) (, ) (, 4) t 4 + U ( 1,3) xt 3 + U ( 1, 4) xt 4 + U ( 6,1) x 6 t + U (, ) U x U x U x U x U x U x + U t+ U xt + U xt + U xt U xt + U xt + U xt + U xt+ U t + U xt U xt U xt U xt U t + U x t + U x t + U t U x t + U t + U x t + U x t + U xt + U x t U x t U xt U x t U t U xt + U xt + U xt+ U xt + U xt U xt + U xt + U xt + U xt + U xt + U u( x, t) 54t t x 97. xt 5 3 = xt 18xt xt xt xt 916xt xt xt xt +... olara bulunur. 4

37 Şeil 4.3: DTM ile CDG denleminin ux (,) = x dei seri çözümü Örne (4.7) denlemine ux (,) = tanh ( x) başlangıç şartı 3 ullanılara Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi uygulansın. Bu durumda (4.7) denlemine ait diferansiyel dönüşüm fonsiyonu, denlem değişmediği için 4..1Örne tei fonsiyon ile aynı olacatır. ( + 5)! ( h+ 1) Uh (, + 1) + U ( + 5, h) +! h 3 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) + r= s= h 3 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) + r= s= r h h s 18 ( r t+ 1) Urh (, s putsu ) (, ) ( r t+ 1, p) = r= t= s= p= (4.9) (4.8) denlemi (4.9) denlemi aynıdır. ux = başlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; 3 (,) tanh ( x) x U x tanh ( ) = (,) (4.1) = denlemi elde edilir, (4.1) denleminin sol tarafı Taylor Serisine açıldığında, 5

38 x x x !! = 3! 4! 5! 6! x x x x U (,) x = (4.11) eşitliği elde edilir. Aynı dereceli x li terimlerin atsayılarını özdeşleştirdiğimizde, x + x - x + = U(,) + U( 1,) x+ U(,) x U x U x U x U x + ( 3,) + ( 4,) + ( 5,) + ( 6,) (4.1) seri açılımdai diğer terimleri için ullanılaca başlangıç değerleri Maple yardımıyla hesaplandığında, U (,) = 3 U ( 1, ) = U (,) = 1 U ( 3, ) = U ( 4,) = 3 U ( 5,) = 17 U ( 6,) = - 45 U ( 7,) = 6 U ( 8,) = 315 U ( 9,) = 138 U ( 1,) = U ( 11, ) = 1844 U ( 1,) = olara bulunur. U (1,1) adımının değerini bulma için (4.9) denleminde = 1, h = alınırsa; U(1,1) + 7 U(6, ) U(4, ) + 36 U(1, ) U(3, ) + 1 U (, ) + 36 U (, ) U(, ) + 36 U(, ) U (1, ) = 6

39 U (1,1) = olara bulunur. Aynı işlemi, =,...,5 ve h =,...,5 için uygulanırsa Maple yardımıyla elde edilen sonuçlar 4..1 Örne tei sonuçlara benzer bir şeilde; 5 5 uxt (,) U(,) txt h = h= u(, ) x t + + t / xt xt x xt xt xt x t t + xt xt x xt xt xt xt xt olara bulunur Şeil 4.4: DTM ile CDG denleminin ux (,) = tanh ( x) dei seri 3 çözümü 7

40 Bulduğumuz sonucu CDG diferansiyel denleminin Jin in (Jin, 1) maalesindei VIM ile çözümünün seri açılımıyla arşılaştıralım; Jin in (Jin, 1) maalesindei çözümü; biçimindedir u(,) x t ( tanh ( x) ) + ( ) t ( sech ( t) ) tanh ( x) (4.13) 3 Bu çözümün seri açılımı; ( ) ( ) u( x, t) 1/ 1/ 3 15 x tx / 3x / xt + + x t + (4.14) çözümlerin benzer olduları görülür. Şeil 4.5: VIM ile CDG denleminin ux çözümü = dei seri 3 (,) tanh ( x) 4.3 Sawada-Kotera Equation Çözümü ve Karşılaştırmaları Tanım (4.6) dei eyfi değişenler α = 15, β = 15, γ = 45 ve ω = 1 olara seçilirse aşağıdai denlemi elde edilir. 8

41 t xxxxx 15 xxx 15 x xx 45 x u + u + uu + u u + u u = (4.15) Bu diferansiyel denleme Sawada-Kotera Denlemi diferansiyel denlemi denir, (Sawada & Kotera, 1974). Caudrey-Dodd-Gibbon Denlemi gibi Sawada-Kotera Denlemi de KdV denleminin bir versiyonu olup, lazer optiği ve plazma fiziği alanlarında önemli rol oynadığı bilinen bir denlemdir. Bu diferansiyel denlem (Biazar, et al., 9) ve (Ghasemia, et al., 11) maalelerinde Homotopy perturbation method (HPM) yöntemini ullanara çeşitli başlangıç şartlarıyla çözülmüştür. Bu çalışmamızda il olara farlı bir başlangıç şartıyla SK diferansiyel denleminin DTM ile çözümü araştırılmış ardından denlem (Biazar, et al., 9) ve (Ghasemia, et al., 11) maalelerinde verilen başlangıç şartlarıyla DTM yöntemi ullanılara çözülmüş ve bu çözüm Biazar ve Ghasemia çözümleri ile arşılaştırılmıştır Örne (4.15) denlemine (4.8) denlemine benzer şeilde ux (, ) başlangıç şartı ullanılara Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi uygulayalım. Bu durumda elde edilece denlem atsayılar hariç 4..1 Örne tei gibi olacatır. uxt (,) nin diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Uh (, ) olma üzere Tablo 3. dei dönüşümlerden yardımıyla aşağıdai dönüşüm fonsiyonları elde edilir. = x u, ( h+ 1) Uh (, + 1) t ( + 5)! uxxxxx, U ( + 5, h)! h 15 uu, 15 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) xxx r= s= h 15 u u, 15 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) x xx r= s= r h h s 45 uux, 45 ( r t+ 1) Urh (, s putsu ) (, ) ( r t+ 1 r= t= s= p=, p) 9

42 Sonuç olara (4.15) de verilen denleme ait diferansiyel dönüşüm fonsiyonu; ( + 5)! ( h+ 1) Uh (, + 1) + U ( + 5, h) +! h 15 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) + r= s= h 15 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) + r= s= r h h s 45 ( r t+ 1) Urh (, s putsu ) (, ) ( r t+ 1, p) = r= t= s= p= (4.16) şelinde yazılır. ux (,) = xbaşlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; x= + x = U (,) x = U (, ) = U (1, ) = 1 1 = 1, bu durumda U (,) = asi halde U ( n,) = U (1,1) adımının değerini bulma için (4.16) denleminde = 1, h = alınırsa; ( 1,1) 9U (,) (, ) 9 (, ) U (1,) 18. ( 1, ) ( 3, ) U (,) + U( ) U ( ) + U( ) = U + U + U + U U , 4, 7 6, U (1,1) = olara bulunur. Aynı işlemi, =,...,6 ve h =,...,6 için uygulanırsa Maple yardımıyla elde edilen sonuçlar; 6 6 uxt (,) U(,) txt h = h= 3

43 u( x, t) 675.t t x 3375.xt 5 3 = xt 45.xt xt + 45.xt xt xt xt xt xt + olara bulunur. Şeil 4.6: DTM ile SK denleminin ux (,) = x dei seri çözümü 4.3. Örne Bu örnete (4.15) denlemine u( x,) = c sec h ( cx), c, başlangıç şartı ullanılara Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi uygulansın. uxt (,) nin diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Uh (, ) olma üzere Tablo 3. dei dönüşümlerden yardımıyla aşağıdai dönüşüm fonsiyonları yazılabilir. u, ( h+ 1) Uh (, + 1) t ( + 5)! uxxxxx, U ( + 5, h)! h 15 uu, 15 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) xxx r= s= h 15 u u, 15 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) x xx r= s= r h h s 45 uux, 45 ( r t+ 1) Urh (, s putsu ) (, ) ( r t+ 1 r= t= s= p=, p) 31

44 Sonuç olara (4.15) de verilen denleme ait diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Örne ile aynıdır; ( + 5)! ( h+ 1) Uh (, + 1) + U ( + 5, h) +! h 15 ( r + 3)( r + )( r + 1) U( r, h s) U( r + 3, s) + r= s= h 15 ( r + 1)( r + )( r + 1) U( r + 1, h s) U( r +, s) + r= s= r h h s 45 ( r t+ 1) Urh (, s putsu ) (, ) ( r t+ 1, p) = r= t= s= p= (4.17) şelinde yazılır. u( x,) = c sec h ( cx), c = 1; başlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; x + x + x + x + x + = U x (,) = U (, ) = U (1, ) = U (, ) = U (3, ) = U (4, ) = 9 4 U (5,) = 3 U (6, ) = 34 U (7,) = 45 U (1,1) adımının değerini bulma için (4.17) denleminde = 1, h = alınırsa; ( 1,1) 9U (,) (, ) 9 (, ) U (1,) 18. ( 1, ) ( 3, ) U (,) + U( ) U ( ) + U( ) = U + U + U + U u , 4, 7 6, U (1,1) = 7 olara bulunur. 3

45 Aynı işlemi, =,..., ve h =,..., için uygulanırsa Maple yardımıyla elde edilen sonuçlar; uxt (,) U(,) txt h = h= u x t t t x xt xt x t x t (, ) = olara bulunur. Bulduğumuz sonucu SK diferansiyel denleminin Biazar in (Biazar, et al., 9) maalesindei HPM ile çözümünün seri açılımıyla arşılaştıralım; Biazar in (Biazar, et al., 9) maalesindei çözümü; ( ) ( sech ( x) ) ( x) ( sech ( x) ) t ( sech ( x) ) ( ( x) ) 4 uxt (, ) = + 64tanh + 51 cosh 3 t +... biçimindedir. Bu çözümün seri açılımı; 56 u( x, t) x 64xt 51t 4 / 3x tx 48x t = çözümlerin benzer olduları görülür.... Şeil 4.7: SK denlemi için DTM =,, ve h=,, adımda çözümü Şeil 4.8: Biazar in SK d. çözümünün Taylor-(,) seri açılımı 33

46 4.4 Lineer Olmayan Kısmi Türevli Diferansiyel Denlem Çözümü ve Karşılaştırılması Örne İinci mertebeden lineer olmayan ısmi diferansiyel denlem ve başlangıç şartı; 1 x ux ut =, ux (,) = x (4.18) olara verilsin. uxt (,) nin diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Uh (, ) ve olma üzere Tablo 3. dei dönüşümler yardımıyla; 1 h r= s= ( r( r 1) 1) u( r 1, h s) u( r 1, s) ( h+ 1) u( h, + 1) = δ ( mh, n) (4.19) dönüşüm fonsiyonu yazılabilir. ux (,) = xbaşlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; x= + x = U (,) x = U (, ) = U (1, ) = 1 1 = 1, bu durumda U (,) = asi halde U ( n,) = olara bulunur. Benzer biçimde δ ( mh, n) fonsiyonun terimleri m =, n = için; olara bulunur. 1, =, h = δ(,) = δ( ) δ() =, asi halde (4.19) denleminde =,...,6 ve h =,...,6 değerleri sırasıyla yerine yazılırsa; 34

47 1 1 3 U U U U U U ( U( 1, )) = U(,1) δ (,) 1 ( 1, ) (, ) = ( 1,1) δ ( 1, ) ( 1,1) ( 1, ) = (, ) 1 / δ (,1) U( 1,1) U(, ) + U( 1, ) U(,1) = U( 1, ) δ ( 1,1) 1 U 1,1 U 3, U 1, U 3,1 U,1 U, U,, U U U U U U U ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) δ ( ) ( 1, ) (, ) + ( 1,1) (,1) + ( 1, ) (, ) = 3 ( 1,3) δ ( 1,) şelinde devam eder, U (, ) ve δ ( mh, n) değerleri Maple yardımıyla yerine yazılırsa istenen seri çözüm; 6 6 uxt (,) U(,) txt = h= h uxt (,) = x + t + x t + xt + t + x t + xt + t + x t + xt Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi ile (4.18) diferansiyel denleminin çözüm, Yanovsy nin (Yanovsy, 5) çalışmasındai çözüm ile arşılaştırıldığında; biçimindedir. Yanovsy nin çözümü, 1 1 uxt (, ) = xcos( t) + sin ( t) cos( t) + Yanovsy nin çözümünün Taylor Seri açılımı; ( x+ sin ( t) ) sin ( t) cos( t) u(,) x t = x + t + x t + xt + t + x t + xt + t + x t + xt + t

48 Şeil 4.9: (4.18) denlemi için DTM =,, ve h=,, adımda çözümü Şeil 4.1: Yanovsy,5 çözümünün Taylor-(,) seri açılımı Şeil 4.11: (4.18) denlemi için DTM =,,6 ve h=,,6 adımda çözümü Şeil 4.1: Yanovsy,5 çözümünün Taylor-(6,6) seri açılımı (Şeil 4.9) ile (Şeil 4.1) den yola çıara (Şeil 4.11) ile (Şeil 4.1) incelendiğinde, adım sayısı artıça seri çözümüm ideal değerine ulaştığı gözlenmetedir. 4.5 Kısmi türevli Inviscid-Burger Denleminin Çözümü ve Karşılaştırılması Tanım İi değişenli ısmı türevli Inviscid-Burger Denlemi α eyfi sabit olma üzere, u t + αuu = (4.) x olara tanımlanır. 36

49 4.5.1 Örne İinci mertebeden lineer olmayan (4.) denleminin bir formu u t uu = (4.1) x denleminin, x ux (,) = başlangıç şartını ullanara Diferansiyel Dönüşüm 5 Yöntemi ile çözümü; uxt (,) nin diferansiyel dönüşüm fonsiyonu Uh (, ) olma üzere Tablo 3. dei dönüşümlerden yardımıyla; h r= s= (4.) ( h+ 1 ) U(, h+ 1) = ( r + 1 ) U( r, h s) U( r + 1, s) dönüşüm fonsiyonu yazılabilir. x ux (,) = başlangıç oşuluna 3... Tanım uygulanırsa; 5 x x = = U (,) x 5 5 = U (, ) = U (, ) = U (, ) = 1 Un (,) = bu durumda 1 U (,) = 5 =, asi halde olara bulunur. (4.) denleminde =,...,1 ve h =,...,1 değerleri sırasıyla yerine yazılırsa; 37

50 (,1) = (,) ( 1, ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( 1,1) = (,) (,) + ( ( 1,) ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ( )) (,1) = 3 (,) ( 3,) + 3 ( 1,) (,) (, ) = 3U(,1) U( 3, ) + 3U(, ) U( 3,1) + 3U( 1,1) U(, ) + 3U( 1, ) U(,1) U U U U, U,1 U 1, U, U 1,1 3U,3 U, U 1, U,1 U 1,1 U, U 1, U U U U U 1, U,1 U, U, U,1 U 1,1 U 1, 3U 1,3 U, U, U,1 U,1 U, U, U 1, U 1, U 1,1 U U U U U U şelinde devam eder, U (,) değerleri Maple yardımıyla yerine yazılırsa istenen seri çözüm; 1 1 uxt (,) U(, t) xt uxt (, ) olara bulunur. = h= h /5 1/ tx + tx + tx = x + tx + t x + t x + t x + t x + Bulduğumuz sonucu Inviscid-Burger diferansiyel denleminin Zwillinger in (Zwillinger, 1997) çalışmasındai çözümünün seri açılımıyla arşılaştıralım; 1 (.4) tx (.5) 5 tx ux (, t) = (. 4) t biçimindedir. Zwillinger in çözümünün Taylor Seri açılımı; u(,) x t = 1/5x + tx + 1/5t x + t x + t x + t x tx + t x + t x olduğu görülür. Buradan anlaşılacağı üzere birinci mertebeden lineer olmayan (4.1) diferansiyel denlemin DTM ile çözümünden elde edilen sonuçlar, Zwillinger in çözüm ile aynıdır. Aşağıda ii çözümün DTM =1 1 ve h=1 1 ve Zwillinger, 1997 çözümünün Taylor-(1,1) seri açılımı şartları altında grafiği verilmiştir. 38

51 Şeil 4.13: Inviscid-Burger denlemi için DTM =,,1 ve h=,,1 adımda çözümü Şeil 4.14: Zwillinger, 1997 çözümünün Taylor-(1,1) seri açılımı 39

52 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Diferansiyel denlemler; günlü hayatta geniş bir ullanım alanı olan neredeyse tüm bilim dallarında büyü bir öneme sahip denlem çeşitleridir. Yüse mertebelerden ve lineer olmayan yapılardan oluşan diferansiyel denlemlerin gerçe çözümüne ulaşma her zaman mümün olamayabilir. Özellile gerçe çözümü bilinmeyen faat bilim için gerçe çözümü olduça önemli olan diferansiyel denlemleri DTM ullanara hesaplama mümündür. Bu çalışmada ii ve daha yüse mertebelerden ii değişene bağlı lineer olmayan ve yarı-lineer diferansiyel denlemlerin farlı başlangıç şartları altında çözümü araştırılmış elde edilen çözümler farlı yöntemlerle hesaplanmış sonuçlarla arşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlardan da anlaşılacağı üzere DTM ile yapılan çözümlerde hata payı birço iteratif yönteme göre daha azdır. Ayrıca DTM, türev yapılarını basit cebirsel ifadeler yardımıyla incelediği için diğer birço yalaşı hesap yapan yönteme göre daha olay ullanılabilir bir yapıya sahiptir. Basit denlemlerin bilgisayar programları yardımıyla hesaplanması ço daha olay olacağından DTM yi diferansiyel denlemlerin hesaplamalarında ullanma zamandan ve maliyetten tasarruf sağlamatadır. Örne 4.1.1, Örne 4..1, Örne 4.., Örne 4.3.1, Örne 4.3., Örne 4.4.1, Örne 4.5.1, de elde edilen sonuçlar birer seri açılımdır ve bu çalışmanın 4. Bölümünde DTM ile elde edilen sonuçlar aynı örnelerin diğer yöntemlerle elde edilmiş sonuçları ile arşılaştırılmıştır. Karşlılaştırmadan da anlaşılacağı üzere DTM, diferansiyel denlem çözümleri için ullanışlı bir yöntemdir. DTM ullanılara bu çalışmada ve çalışmada yer alan aynaların dışında daha birço ısmi türevli diferansiyel denlemin çözümü yapılabilir ve var olan çözümlerle arşılaştırılabilir. Diğer yöntemlerin (VIM, HPM, HAM, ) olumlu yanlarını alara DTM nin olay ullanılabilir yapısını birleştirme daha hassas çözümler yapma için bir başlangıç notası olabilir. Bu sayede başlangıç şartı olmadan, DTM ullanılara hata payı en aza indirilmiş çözümlere ulaşma mümün olabilir. 4