MATEMATİK ANABİLİM DALI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÜKSEK LİSANS TEZİ Ümit CİĞER TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 20

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER Ümit CİĞER ÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez / /. Tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri taraından oybirliği /oyçokluğu ile kabul edilmiştir Doç. Dr. Fikret KUUCU Doç. Dr. Ali ÖZKURT rd. Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT DANIŞMAN ÜE ÜE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Pro. Dr. İlhami EĞİNGİL Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve otoğraların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ ÜKSEK LİSANS TEZİ TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER Ümit CİĞER ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Doç. Dr. Fikret KUUCU ıl : 20, Saya: 49 Jüri : Doç. Dr. Fikret KUUCU Doç. Dr. Ali ÖZKURT rd. Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT Bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve bir topolojik uzayın iki genişlemesi ne zaman denk olur konuları daima araştırmaya değerdir. Bir topolojik uzayda bir Ι ideali, Ι nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan bir iltre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. Birçok topoloji problemi araştırmalarda kullanılmıştır ve hala kullanılmaktadır. Bu çalışmanın amaı, idealler kullanılarak bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve iki genişlemenin denk olması durumu ineleneektir. Anahtar Kelimeler: Topoloji, genişleme ve idealler. I

4 ABSTRACT MS THESIS TOPOLOGICAL ETENSİONS AND İDEALS Ümit CİĞER ÇUKUROVA UNIVERSIT INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor :Asso. Pro. Dr. Fikret KUUCU ear: 20, Pages: 49 Jury :Asso. Pro. Dr. Fikret KUUCU :Asso. Pro. Dr. Ali ÖZKURT :Asst. Pro. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT It is always worth researhing the topis whih are the relationships between the extensions o a topologial spae and the time when two extensions o a topologial spae are equal. An Ι ideal in a topologial spae is a ilter that is made up o the omplementary omponents o Ι. A topologial spae with its ideal on it is alled an topologial spae. A great deal o topology problems have been and are stil used or researh. The aim o this researh is to investigate the relationships between the extensions o a topologial spae and the state o two extensions being equal by using ideals. Key Words: Topology, extensions and ideals. II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın her aşamasında hiçbir zaman yardımlarını ve anlayışını eksik etmeyen, akademik başarısı ve kişiliğiyle örnek alınaak çok değerli danışmanım Doç. Dr. Fikret KUUCU ya en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım. Ayrıa bu çalışmanın oluşmasında katkısı bulunan değerli arkadaşım Caner COŞKUNTUNCEL e ve Araştırma Görevlisi Ayşe ÇALAK a teşekkür ederim. İhtiyaç duyduğum her an yardımlarını ve anlayışını hiçbir şekilde eksik etmeyen değerli hoam Doç. Dr. Ali ÖZKURT a teşekkür ederim. Maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan haklarını hiçbir zaman ödeyemeyeeğim çok değerli babam Hüseyin CİĞER, annem Menekşe CİĞER ve kız arkadaşım Asuman ALAPRAK a çok teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SAFA ÖZ I ABSTRACT II TEŞEKKÜR III İÇİNDEKİLER IV. GİRİŞ TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Temel Bilgiler Kompakt Genişlemeler Tek Nokta Kompaktlamaları BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Kuvvet Sistemleri İdeal Genişlemeler KANAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 V

8 .GİRİŞ Ümit CİĞER. GİRİŞ Bir uzayının bir genişlemesi i yoğun bir alt uzay olarak içeren bir uzaydır. Kompaktlamalar, reelkompaktlamalar, H-kapalı genişlemeler gibi çeşitleri bulunan genişlemeler genel topolojinin temel çalışma alanlarından biridir. Bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve bir topolojik uzayın iki genişlemesi ne zaman denk olur konuları daima araştırmaya değerdir. Bir topolojik uzayda bir I ideali, I nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan ailenin iltre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. Birçok topoloji problemi araştırmalarda kullanılmıştır ve kullanılmaktadır. Bu çalışmanın amaı, idealler kullanarak bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve iki genişlemenin denk olması durumu ineleneektir. Ayrıa ideal genişlemeleri üzerinde durulaaktır. Bunun için 2. Bölümde bir topolojik uzayın genişlemeleri, genişlemelerinin kümesi, bu küme üzerindeki sıralama ve bu sıralamanın özelliklerinden bahsedilmiştir. 3. Bölümde ise bir genişlemenin kuvveti, ideal genişlemeler ve özellikleri, idealleri kullanarak bazı koşullarda iki genişlemenin eşdeğer olmasını veren teoremlerle ele alınmıştır.

9 .GİRİŞ Ümit CİĞER 2

10 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Bu bölümde amaımız bir uzayının genişlemelerini, özel genişlemelerini ve özelliklerini tanıtmaktır. Bir uzayını yoğun bir alt uzay olarak içeren bir uzayına in bir genişlemesi denir. Genişlemelerin çalışılmasının sebebi, ile ilgili olan bir problemi, in genişlemesi olan bir uzayına aktararak problemi çözülebilir veya çözümü daha kolay hale getirebilmektir. Böyle uzayına den daha güzel uzay denir. Bu yüzden genişleme teorisinin önemli amaçlarından biri sabit bir uzayının güzel genişlemelerini inşa etmektir. Bunlardan bazıları bir Tyhono uzayının bütün kompakt genişlemeleri, bir sıır boyutlu uzayın sıır boyutlu genişlemeleridir. Örneğin; = [ 0,] ve ( 0,), in bir genişlemesi olur. = i R den gelen alt uzay topolojileriyle düşünürsek Diğer bir örnek; sonsuz bir küme ve (, τ ts ) uzayını düşünelim., nin herhangi bir sonsuz alt kümesi ve, den gelen alt uzay topolojisine sahip ise, in bir genişlemesidir. edileektir. Bu bölümde bütün uzaylar aksi belirtilmedikçe Τ2 - uzay( Hausdor ) kabul 2. Temel Bilgiler Bu bölümde bir uzayının iki genişlemesinin denk olması tanımlanaak ve bu denkliğe bağlı olarak uzayının genişlemelerinin ailesinin bir küme olduğu gösterileektir. Tanım 2... ve 2 bir küme ise F(, ) = { : : bir onksiyon} 2 2 dır. ve 2 uzaylarının genişlemeleri sırasıyla, 2 Eğer, ve F(, ) olsun. 2 3

11 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER F (, ) F 2 ve F = olaak şekildeki F ye onksiyonunun bir genişlemesi denir. dir. ve 2 bir küme ise C(, ) = { : : sürekli bir onksiyon} 2 2 Tanım Eğer, in bir genişlemesi ise in bir kalanı denir. uzayına ( nin alt uzayı olarak) Lemma ve 2 uzaylarının genişlemeleri sırasıyla ve 2 uzayları ve (, ) olsun.. O zaman onksiyonunun en azla bir tek F C(, ) C 2 genişlemesi vardır. İspat: onksiyonun FG, C(, ) 2 2 gibi iki genişlemesi olsun. O zaman F = G = dir. y olsun. l = olduğundan en az bir ( ) λ λ Λ ağı vardır öyle ki y olur. sürekli olduğundan ( λ ) ( y) olur. F ve G sürekli olduğundan : F 2 ( ) F ( y ) : G G y 2 λ olur. O halde, λ ( ) olduğundan her λ Λ için F( ) G( ) ve 2, 2 λ λ ve F = G = olur. Buradan, λ λ ve = ve F( ) = G( ) G( y) F G F y λ Τ -uzay olduğundan limit tek olup F( y) G( y) için F( y) G( y) tektir. λ λ λ = dir. Dolayısıyla her y = olup F = G dir. Sonuç olarak nin sürekli genişlemesi varsa Lemma 2..4., uzayının bir genişlemesi olsun. O zaman 2 2 dir. p İspat: Her p için O = { U I : U, de açık ve p U} olsun. O zaman p O, üzerinde bir açık iltredir. Eğer pq, V ve p q ise de en az bir U, V açık 4

12 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER kümeleri vardır öyle ki p U, q V ve U I V = olur. Buradan, ( U I) I( V I ) = ise O zaman U I p O ve V I q O olduğundan p p p O dönüşümü birebir olur. ani, P P p Φ: P( P ), Φ ( p) =O 2 onksiyonu birebir olur. O halde P P = dir. p O O olduğundan, 2 q O olur. Tanım ve 2 uzayları bir uzayının iki genişlemesi olsun. Eğer, her x için h: 2 h( x) olaak şekilde bir h homeomorizması varsa ve 2 denktir denir ve = 2 yazılır. = x Tanım bir uzay ise in denk genişlemeleri arasında ark gözetilmez. Bunu, olarak gösterirsek Z, in bir genişlemesi ise E ( ) = { :, ' in bir genişlemesi} Z olaak şekilde bir E vardır. ani, E denklik sınılarının temsililerinden oluşan bir ailedir. Sonuç Bir uzayı için E bir kümedir. Eğer ( α ) α Λ kartezyen çarpımı boş olmayan kümelerin herhangi bir ailesi ise bu ailenin şeklinde tanımlanır. α Λ α = x: Λ α : x( α) α, α Λ α Λ U α yerine çoğu kez α α Λ Tanım bir uzay, { : } (, ) i yazılır. i Ι uzaylarının bir kümesi ve her i Ι için F i C i olsun. F = UF i olsun. Her i Ι ve her F i için = i( veya i Ι, ile homeomorik ) olsun. = çarpım uzayı olsun. O zaman, F 5

13 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ( ) e : =, x için e F x = x F F F şeklinde tanımlanan, yani her F için π o ef = şeklinde olan, onksiyona değerlendirme onksiyonu (F ye göre) denir. ef : = Fi ] π Tanım F, Tanım 2..8 deki gibi olsun. Eğer her A, de kapalı küme ve p A için, = p l A l A i olaak şekilde bir i Ι ve kümelerini noktalardan ayırır denir. F i (yani bir F ) mevut ise F ye in kapalı Teorem 2... (Gömme Teoremi), { : } gibi olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır: i. e C(, ) F dir, i i Ι, i F, F, ve e F Tanım 2..8 deki ii. Eğer F, in kapalı kümelerini noktalardan ayırıyorsa e F bir gömmedir. İspat: i. F için π :, S, çarpım topolojisinin bilinen alt bazı olmak üzere ve U α, F F de açık ise π U α S τçarp olduğundan π süreklidir. O zaman her F için π o ef sürekli olur. U α için π U α S olsun. ( π ) α = π o e α ef U U F 6

14 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olup π ef = e F o sürekli olduğundan, ( o e ) ( U ) π α F α ( π ( U α )) kümesi de açık olur. O zaman ef C(, ) ii. e : e F F, de açık olaağından olur. onksiyonun birebir ve açık olduğunu göstermek yeterlidir. Çünkü (i) den e F süreklidir. x0, x ve x0 x olsun. O zaman = { }, de kapalı ve x A { x} A x kapalı kümelerden noktaları ayırdığından ( x0) l { ( x) } = ise F 0 olaak şekilde bir F vardır. O zaman ( x ) ( x ) dir. Buradan ( 0) ( ( 0) ) ( ( ) ) F ( ) F F 0 ef x = x x e x olduğundan e birebirdir. F V kümesi de açık ve x0 olur. Hipotezden ( x ) l ( V) 0 V olsun. O zaman V, de kapalı ve x ( V) olaak şekilde bir F vardır. Biz, I π ef x0 ef l V ef V...() olduğunu gösterebilirsek ef ( V ), ef de açık olur. Açık olarak, π ( ef ( x0) ) = ( x0) l ( V) F 0 ( ) olduğundan e ( x ) π l ( V) dir. Eğer x ve π ( ) ise, ( x ) = π o e ( x ) l ( V) e x l V F F olur. Dolayısıyla ( x ) l ( V) olsun. O zaman ( x ) ( V) Buradan x V olup x olur. Sonuç olarak () denklemi sağlanır. V olur. O zaman l ( V) Şimdi E üzerinde bir sıralama bağıntısı tanımlayalım. 0 olur. π e ( V) F Tanım bir uzay ve, Z E olsun. Eğer, : Z, x = x, x için olaak şekilde sürekli bir onksiyonu varsa Z( veya Z ) yazılır ve ye 7

15 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Z den projekti olarak daha büyüktür denir. E üzerindeki bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. (, ) Lemma Bir uzayı için (, ) İspat: İlk öne E bir tam üst yarı latistir. E in kısmi sıralanmış olduğunu gösterelim. bağıntısının yansıma ve geçişme özelliklerini sağladığı kolaya görülür. Biz ters simetri özelliğini gösterelim. Bunun için, zaman : Z, g: Z Z ve her için E, Z ve Z olsun. O x x = g x = x olaak şekilde sürekli ve g onksiyonları vardır. Buradan o g: sürekli ve g o =Ι =Ι olur. Lemma 2..3 den dolayı g =Ι o olur. Benzer şekilde go =Ι Z olur. Dolayısıyla dir. g = ve bir homeomorizm olur. O zaman Z Son olarak S E ise SupS= VS nin mevut olduğunu gösterelim. S E için π S = çarpım uzayı olmak üzere e: S π S yi her S için ( π o e)( x) = x olaak şekilde tanımlayalım. Gömme Teoreminden dolayı e bir gömmedir. Çünkü S için :, ( x) x =Ι Ι = için F = { Ι : S} ailesi kapalı kümelerden noktaları ayırır. Dolayısıyla x ile e( x ) i özdeşleştirebiliriz ve = e olur. O zaman Z = l e alırsak Z πs E olur. S için π : πs izdüşüm onksiyonu olmak üzere = π Z olsun. O zaman : Z sürekli ve her x için π x = e x = x olur. Böylee her S için Z olur. W E ve her S için W olsun. Z W olduğunu gösterirsek Z=SupS olur. S için W olduğundan her x g x = x için olaak şekilde sürekli bir g : W onksiyonu vardır. Şimdi hw : onksiyonunu için g ( w) π h( w) w W ve S = ile tanımlayalım. π S 8

16 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER h W π S g ] π Her S için π o h= g sürekli olduğundan h süreklidir. Ayrıa her S için olur. Bu nedenle h ( π oh)( x) = g ( x) = π o e( x) = eve h( x) = e( x) olur. O zaman, hw = hl l e x = Z W olduğundan Z W olur. O zaman Z=SupS= VS dir. Dolayısıyla E (, ) bir tam üst yarı latistir. π S Tanım Bir uzayı için Q E olsun. Eğer bir E her Z Q için Z oluyorsa ye Q da bir projekti maksimum denir. Bu tanımdan hemen belirtelim ki, Q ve VQ ve Q olduğundan V Q olup VQ olur. Böylee eğer Q bir projekti maksimuma sahip ise tektir ve VQ ya eşittir. Aşağıdaki sonuç E in projekti maksimumunu belirler. Lemma Her uzayı için V E = dir. İspat: E( ) ve E ise :, olur. O zaman, E in projekti maksimumudur. Ι Ι x = x sürekli olduğundan Tanım P, homeomorizmler altında kapalı olan uzayların bir ailesi olsun. ani P ve, ye homeomorik ise P dir. Böyle ailelere replete denir. Biz genelde böyle aileleri topolojik özellikler için göstereeğiz. P ve, P özelliğine sahiptir. iadeleri birbirinin yerine kullanılabileektir. Konunun başında aksi belirtilmedikçe bütün uzaylar Hausdor olaak demiştik. O zaman, 9

17 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER örneğin P bağlantılılık olsun dediğimizde bunun anlamı P bağlantılı Hausdor uzayların ailesi olur. Bundan böyle, eğer P bir topolojik özellik hipotezi ise P yi sağlayan ve birden azla nokta içeren bir uzayın mevut olduğunu kabul edeeğiz. { } Tanım Bir uzayı için P = E ( ) : P olsun. genişlemelerinin kümesi denir. Eğer, her A P için π A= P oluyorsa P ye çarpımsaldır denir. Eğer, oluyorsa P ailesine kalıtsal kapalı denir. A P, in P- P ve A, de kapalı küme ve A P Lemma bir uzay ve P de kalıtsal kapalı ve çarpımsal olan topolojik özellik olsun. Eğer P ise P, E in bir tam üst yarı latisidir. Böyle bir projekti maksimuma sahiptir. İspat: S P olsun. Lemma 2..3 den Z VS, zaman her S için Z olduğundan Z P Lemma 2..3 nin ispatından e: çarpımsal olduğundan S P olur. e. Böylee Z P P, = E de mevuttur. O olduğunu göstermek yeterlidir. π S olmak üzere Z = l e idi. P π dir. P kalıtsal kapalı olduğundan l [ ] P dir. π S π S Şimdi üzerindeki sürekli bir onksiyonun ne zaman E in bir elemanı üzerinde sürekli genişlemeye sahip olaağını araştırmaya başlayalım. Bu araştırma bu konunun temellerinden birini teşkil eder. Tanım (, τ ) bir topolojik uzay olsun. in kapalı her A alt kümesi ve x A için x U, A V ve U I V = olaak şekilde de U ve V açık kümeleri varsa (, τ ) ya regüler uzay denir. 0

18 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Lemma Bir uzayı için E, Z bir regüler uzay ve C(, Z) olsun. Aşağıdakiler denktir: i. F = olaak şekilde bir F C(, Z) vardır, y ii. Her y için O = { W I : W kümesi de açık ve y W} olsun. Her { } y için F = A Z : Bir U O y için ( U) A iltresi yakınsaktır. İspat: y i) ii) F mevut ve y kümesi Z de açık ve F( y) U açık kümesi vardır ve ve olur. Dolayısıyla F( y) olduğundan F: olsun. F F( y) y olduğunu göstereeğiz. W W olsun. O zaman F sürekli olduğundan de en az bir y U U W olur. Dolayısıyla, ve U I FU I W U I O Fy U olur. ii) i) Her y için F y, Z de bir noktaya yakınsasın. Z Hausdor uzay F y bir tek noktaya yakınsadığından buna F( y ) diyelim. O zaman Z bir onksiyon olur. Eğer x sürekli olduğundan ( U) vardır. V, de açık bir küme ve W F x F olur. Böylee F ( x) F( y) x,w kümesi Z de açık ve y x W ise W olaak şekilde de bir U açık kümesi ve x U x V olsun. U = V I olduğundan olur. Buradan x = olur. F nin sürekli olduğunu göstermek için y için ( x) F( x) y U O ve =, yani, W kümesi Z de açık ve W olsun. Z regüler olduğundan F( y) V lzv W olaak şekilde Z de bir V açık kümesi vardır. F F( y) y olduğundan y U ve U I V olaak şekilde de bir U açık kümesi vardır. ( Fy F( y) ise ( F( y) ) Fy olduğundan V Fy ) U. p U, T kümesi Z de açık ve F( p) Τ olsun. O zaman ve p R açık kümesi vardır. R zaman, R U RI T olaak şekilde de bir I olduğundan RI T olur. O

19 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ( I ) ( I ) ( I ) R V R U V olur. Böylee T I U olur. Bu bize F( p) l V W ve F( U) W olduğunu gösterir. Bu nedenle F süreklidir. Lemma 2..2 de Z nin regüler olması hipotezi kaldırılırsa doğru değildir. Z Teorem ( Taimanov Teoremi ) bir uzay, E, Z kompakt bir uzay ve (, ) C Z olsun. O zaman F = olaak şekilde sürekli bir F: Z onksiyonunun, yani nin ye sürekli bir F genişlemesinin olması için gerek ve yeter koşul Z deki ayrık kapalı her B ve C kümeleri için l ( B) I l ( C) olmasıdır. İspat: " " F = olaak şekilde sürekli bir F: zaman F ( B) = Z onksiyonu bulunsun. O kümesi de kapalı ve ( B) F ( B) ve benzer şekilde l ( C) F ( C) l B F B olduğundan, I I ( I ) olduğundan olur. BI C = l B l C F B F C = F B C = olur. Sonuç olarak l ( B) l ( C) I = olur. " " Z deki kapalı ayrık her B ve C kümeleri için l B I l C = olsun. Lemma 2..2 den, y { : O y için } F = A Z Bir U U A kümesinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir. Z kompakt olduğundan I y U O Z l U = K olur. K { p} = şeklindedir. Aksi halde pq, K ve p qolsaydı Z kompakt ve Τ 2 olduğundan p W, q V ve lzw I lzv= olaak şekilde Z de W, V açık kümeleri vardır. Dolayısıyla hipotezden, I l l W l l V Z Z = 2

20 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olur. Her y U O için W I U olduğundan her y U O I olur. Böylee y l ( W) olur. Benzer şekilde y l ( V) U W dir. Buradan, I l ( l W) I l ( l V) y l W l V Z Z çelişkisi elde edilir. Böylee bir p Z için K = { p} şeklindedir. W kümesi Z de açık ve p W olsun. O zaman K W, Z W olduğundan F y de öyle bir sonlu S ailesi vardır öyle ki, = için kompakt ve Z W ( Z l F) U F S Z W Z l F Z IS Z U F Fy Z olur. O zaman IS F ve IS W olur. Buradan, y W F ise F P olur. Dolayısıyla Lemma 2..2 den istenilen elde edilir. y y Lemma Bir uzayı için E ve Z regüler uzay olsun. g F(, Z) her y için g U { y} sürekli ise g süreklidir. y İspat: = { W I : W kümesi de açık ve y W} ve O olsun. Hemen belirtelim ki y O = { W I : W kümesi U{ y } de açık ve y W} dir. g { y} olduğundan Lemma 2..2 den y { : U O y için ( g )( U) A } F = A Z Bir g y olur. ine Lemma 2..2 in diğer yönünden dolayı g süreklidir. U sürekli 2.2. Kompakt Genişlemeler Bu bölümde kompakt genişlemeleri tartışaağız. Burada, eğer verilen bir uzayın kompaktlamalarının ailesi boş kümeden arklı ise bu ailenin bir projekti maksimuma sahip olduğunu göstereeğiz ve bu projekti maksimumu inşa edeeğiz. 3

21 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER { } Bir uzayı için K = E( ) : K olsun. ani K ( ) kompakt genişlemelerinin kümesidir., in Tanım Bir uzayının kompakt bir genişlemesine in bir kompaktlaması denir. K, kompakt uzayların bir sınıı olsun. O zaman K çarpımsaldır ve kalıtsal kapalı olduğundan replete dir. Lemma 2..9 dan aşağıdaki sonuu yazabiliriz. Lemma Bir uzayı için K ( ) ise ( ) projekti maksimuma sahiptir. K bir tam üst yarı latistir ve bir Tanım Bir uzayı için K ( ) ise ( ) ile gösterilir, yani V K in projekti maksimumu β β = K ve β e in Stone-Ceh kompaktlaması denir. Tanım bir topolojik uzay olsun. den R ye bütün sürekli onksiyonları C() ile den R ye bütün sürekli, sınırlı onksiyonların kümesini de C göstereeğiz. A, in alt kümesi olsun. Eğer C( A) ile nın e sürekli bir genişlemesi var ise A ya de C-gömülmüştür denir. Benzer şekilde her C ( A) nın e sürekli bir genişlemesi var ise A ya de C -gömülmüştür denir. Tanım bir topolojik uzay olsun. in kapalı her K alt kümesi ve x K için g( x ) = 0 ve g( K ) = olaak şekilde : [ 0,] bulunabiliyorsa e tam regüler uzay denir. g sürekli onksiyonu bir topolojik uzay olsun. Kolaya görüleeği gibi, in kapalı her K alt kümesi ve x K için ( x) l ( K) olaak şekilde bir : R sürekli onksiyonu var ise tam regülerdir. bir topolojik uzay olsun. Eğer Hausdor ve tam regüler ise e Tyhono uzay denir. 4

22 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Tanım (, τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer de her A, B kapalı kümeleri ve AI B= için de A U, B V ve U I V = olaak şekilde U, V açık kümeleri varsa (, τ ) ya normal uzay denir. bir uzay ve K ( ) olsun. K ise kompakt ve Τ2 -uzay olduğundan, Normal ve Τ2 -uzay olur. Dolayısıyla de Tyhono uzay olur. Tersine Tyhono uzay ise (, ) C = F, in kapalı kümelerinden noktaları ayırır. O zaman F için Ι = a, b ve Z = Ι olmak üzere Teorem 2.. F den dolayı = l e K olur. Böylee, ( ) Z yeter koşul in Tyhono olmasıdır. F Şimdi ve Tyhono uzaylar ve C(, ) şekilde bir F C( β, β) nin bulunduğunu gösterelim. K olması için gerek ve ise F = olaak Lemma ve Tyhono uzaylar ve C(, ) şekilde bir tek F C( β, β) sürekli genişlemesi vardır. ise F = olaak İspat: [ 0, ] kapalı ve sınırlı aralığını den gelen alt uzay topolojisiyle düşünelim C ve C =C(,0, [ ]) olsun. [ 0,] [ 0,] = onksiyonunu x için e( x) ( x) C F olmak üzere e: [ 0,] =, yani C için e( x)( ) = ( x) olsun., Tyhono uzay olduğundan Teorem 2.. den dolayı e bir gömmedir. Kompakt uzayların çarpımı kompakt olduğundan [ 0,] C kompakttır. x ile e( x ) i özdeşleştirerek ile e( ) i özdeşleştirebiliriz ve le in bir kompaktlamasıdır. Benzer bir şekilde =C(,0, [ ]) inşa edebiliriz. İlk olarak G olduğunu göstereeğiz. O zaman = olsun. O zaman, D i kullanarak yi = olaak şekilde bir G C(, ) nin mevut olduğu gibi ile e yi özdeşleştirebiliriz. β olduğunu gösterebiliriz. Daha öne C 5

23 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER O zaman : x e [ 0,] onksiyonu ile özdeşleştirebiliriz. : e [ 0,] ( x ) e ( x) onksiyonunu : e e, ] g D C yi g D için ( g) g o g [ 0,] D C = ( ) e x e x = o olarak tanımlayalım. :0, [ ] C [ 0, ] D yi h [ 0,] C için h = ho olarak tanımlayalım. C [ 0,] = [ 0, ] = h: C [ 0, ]: C için h( ) [ 0,] C U C ın sürekli olduğunu göstermek için g D, π go ın sürekli olduğunu göstereeğiz. Burada π :0, [ ] D [ 0,] g. izdüşüm onksiyonudur. h [ 0, ] g C olsun. O zaman, olur. ( πg ) πg o o h = h = h g = h g ( ) ( o ) π g = h g = h g = o h C [ 0,] [ 0,] D g π g [ 0,] Böylee π g o sürekli ve bu nedenle = πgo süreklidir. 6

24 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Şimdi de e e olduğunu gösterelim. x ve g D olsun. O zaman, ( ) ( ) e x g = e x o g = e x g = e x go = go x ( ) ( ) ise ( ) = g x = e x g e x = e x e olur. Böylee sürekli olduğundan dolayı ( ) = le x l e x le = olur. G = olsun. O zaman G: sürekli ve G = olur. Şimdi = β alalım. O zaman kompakt olduğundan = olur. i: onksiyonu; ani i( x) şekilde sürekli bir : ( β ) β içerme = x olsun. O zaman elde ettiğimiz sonuçtan G = i olaak G = β onksiyonu vardır. Böylee x için G( x) = i( x) = x olur. O zaman β dir. V β = K olduğundan β dir. Bu nedenle β olur. Böylee bu Teoremin içinde elde ettiğimiz sonuçtan : sürekli ise F = olaak şekilde sürekli bir F: β β onksiyonu vardır. Lemma 2..3 den dolayı F tektir. Tanım Eğer ve Tyhono uzaylar ve C(, ) ise F = olaak şekilde nin bir tek F: β β sürekli genişlemesi vardır. Bu genişlemeye nin Stone genişlemesi denir ve β ile gösterilir. Sonuç bir Tyhono uzay olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır: i. Eğer K kompakt bir uzay ve C(, K) F: β K genişlemesine sahiptir, ii., β e genişlemesi vardır. İspat: i. K kompakt ve C(, K) olaak şekilde bir β C( β, βk) C - gömülmüştür. ani her C β K = K olup β = F alınırsa ispat biter. ise sürekli bir tek in bir F C ( β ) ise Lemma den nin β = genişlemesi vardır. K kompakt olduğundan 7

25 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ii. C ( K) ve K l ( x) = olsun. O zaman K kapalı ve sınırlı olduğundan kompakt ve C( xk, ) olur. (i) den dolayı nin bir F C ( β ) genişlemesi vardır. Tanım ve herhangi iki uzay ve : ye bir onksiyon olsun. Eğer her y için { y}, de kompakt ise ye kompakt onksiyon denir. Eğer kapalı ve kompakt onksiyon ise ye peret onksiyon denir. Şimdi iki Tyhono uzay arasındaki örten, sürekli peret onksiyonların kullanışlı bir karakterizasyonunu vereeğiz. Lemma : bir peret onksiyon olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur: i. Eğer A kümesi de kapalı ise A perettir, ii. Eğer ise : B B B B onksiyonu perettir. İspat: i. A kümesi de kapalı olsun. C kümesi A da kapalı ise C kümesi de de kapalıdır. Buradan ( A)( C) = ( C) kümesi veya A da kapalı olur. Dolayısıyla A kapalıdır. y ise A ({ y} ) A ({ y} ) I ({ }) { y} A y = I ve de kapalı ve kompakt olduğundan A { y} I kompakt olur. O zaman A bir kompakt onksiyon olur. Dolayısıyla A peret onksiyon olur. = ii. C kümesi de kapalı, olduğundan ( C) B CI B C I B ve kapalı I B kümesi B de kapalı olur. Böylee, ( B) : ( B) B bir kapalı onksiyondur. Eğer b B ise, kompakttır. O zaman ( B) peret onksiyon olur. ( ) {} = ({}) B b b bir kompakt onksiyon ve böylee ( B) 8

26 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Teorem ve iki uzay olsun. Eğer C(, ), S in yoğun bir alt kümesi ve S: S ( S) onksiyonu peret ise ( S) ( S) dir. İspat: Kabul edelim ki hipotezler altında ( S) ( S) olsun. O zaman ( x) ( S) olaak şekilde bir x S vardır. T S { x} ({ }) kompakt onksiyon olduğundan = U olsun. S bir x I S = K kompakt ve böylee T de kapalıdır., Hausdor olduğundan K U ve x ltu olaak şekilde T de bir U açık kümesi vardır. S, in yoğun bir alt kümesi olduğundan U olur. Böylee, ( T ( )) ( ) = ( ) x l S U l S U S U S l U l S U = T olur. O zaman K U çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla ( S) ( S) olmalıdır. T T Teorem ve Tyhono uzaylar olsun ve : bir sürekli, örten onksiyon olsun. O zaman aşağıdakiler denktir: i. peret onksiyondur, ii. α, δ K K ve eğer F = olaak şekilde bir ( α, δ ) mevut ise F = dir. ani ( α ) F C iii. β = dir. ani F = δ dir, β β = β dir. İspat: i) ii) : peret onksiyon olsun. kümesi α de yoğun, F = peret ve örten olduğundan Teorem den dolayı ( α ) δ δ... F = olur. Buradan F elde edilir. Daima F = olur. O zaman F = olup F dolayı ( α ) F = δ dir. ii) iii) F = β alınırsa ispat biter. δ δ δ olduğundan l F = l = dir. dan 9

27 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER iii) i) ( β ) ve y = olsun. O zaman ( β ) ({ }) olduğundan ({ }) β y = ({ y} ) olur. Böylee ({ y} ) y kompakttır. A, in kapalı bir alt kümesi olsun. O zaman A= H I olaak şekilde β de bir H kompakt kümesi vardır. Dolayısıyla, ( A) = ( AI ) olur. Fakat dir. Hipotezden dolayı ( β ) ( β )( H) = ( H I) I( β )( H I ) H β olur. Bu nedenle, ( I ) = I ( β ) H H olur. O zaman ( A ) kümesi de kapalı ve peret onksiyon olur. Bu Teoremi nin örten olmadığı durumlar için aşağıdaki şekilde genelleştirebiliriz. Sonuç ve iki Tyhono uzay olsun. C(, ) ve de kapalı olsun. Aşağıdakiler denktir: i. peret onksiyondur, ii. α δ kümesi K, K ve F = olaak şekilde bir ( α, δ ) mevut ise ve ( α ) F C İspat: iii. β = ve F = F δ dir, β α δ dir. i) ii) Lemma 2.2. (ii) de β = alınırsa : bir peret sürekli ve örten onksiyon olur. Ayrıa açık olarak l, (, δ ) kompaktlaması ve F C α l δ in bir dir. Böylee Teorem den dolayı, ( δ ) F l α dir. ( ), de kapalı olduğundan l F olur. = olur. O zaman Teorem den dolayı, ( α ) δ δ = F = l δ I ve bu nedenle 20

28 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ii) iii) F = β alınırsa açıktır. iii) i) Teorem 2.2. in iii) i) l β ile belirtelim ki : nin ispatındaki yöntemi ile ve β nin yerlerini değiştirerek kullanırsak ispat biter. ( Burada hemen onksiyonunun kapalı olduğunu gösterebilmek için ( ) in de kapalı olması hipotezine ihtiyaç vardır. ) Tanım (, τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer de kapalı ve ayrık her A, B alt kümeleri için G ve H açık alt kümeleri A GB, H ve GI H = koşulu sağlanaak şekilde bulunabiliyorsa bu topolojik uzaya bir Τ 4 -uzayı denir. Lemma (Urysohn Lemması) (, τ ) nun bir Τ 4 -uzayı olması için gerek ve yeter koşul (, τ ) da kapalı ve ayrık herhangi iki A ve B alt kümeleri için ( A ) = 0 ve ( B ) = koşullarını sağlayan bir : [ 0,] sürekli onksiyonu vardır. Bu kısmı Teorem de verilen Taimanov Teoreminin önemli ve özel bir durumunu vererek bitirelim. Teorem , i. δ α dir, α δ K olsun. Aşağıdakiler denktir: { } ii. Z ( 0 ) : C(, ) = in sıır kümelerinin ailesi olmak üzere Z, Z2 Z ve lδzi lδz2 = ise lαzi lα Z2 = olur, iii. A ve B, δ in ayrık kapalı alt kümeleri ise l AI Il BI olur. α α = İspat: i) ii) δ α ise i: δ inlusion onksiyonu gömme olup α e sürekli bir genişlemesi vardır. O zaman Teorem den dolayı, I l i l Z l i l Z α δ α δ 2 = 2

29 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olur. Açık olarak daima i ( l Z ) Z ( i,2) δ j j (A kümesi de kapalı ise lδ A A δ = = olduğundan ispat biter. dir. O zaman i l A = A olur. ) ii) iii) Hipotez sağlansın. A ve B, δ in ayrık kapalı iki alt kümesi olsun. δ Normal olduğundan Urysohn Lemmasından dolayı A H, B K ve I olaak şekilde H, K Z( δ ) H K = A H, B K α vardır. O zaman I I I I ve l ( H ) l ( K ) Buradan l ( H ) l ( K ) α α = l AI Il BI olur. α α = I I I olur. δ δ = I I I elde edilir. Dolayısıyla iii) i) Hipotez sağlansın. i: Hipotezden dolayı A ve B, δ içerme gömme onksiyonu olsun. δ in ayrık kapalı alt kümeleri ise, I ( I ) I ( I ) l i A l i B = l A l B = α α α α olur. Teorem den dolayı δ α olur Tek Nokta Kompaktlamaları Bu bölümde eğer, bir yerel kompakt uzay ise K ( ), ( ) K in bir minimuma sahip olduğunu ve K ( ) in bir tam latis olduğunu göstereeğiz. Ayrıa in varsa tek nokta kompaktlamasını inşa edeeğiz. Tanım Bir uzayı için tek elemandan meydana geleek şekilde bir K varsa, ye in tek nokta kompaktlaması denir. Öne tek nokta kompaktlamasının nasıl inşa edildiğini gösterelim. (, ) τ bir topolojik uzay ve bu uzaya ait olmayan bir w noktası, yani w alalım. { w} = U olsun ve P( ) i. τ ya ait her küme, ii. τ ailesi aşağıdaki kümelerden oluşsun. kümesinin w noktasını içeren alt kümelerinden kompakt olanlar. ani, a göre tümleyeni 22

30 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olsun. { W : W I kümesi de açık ve w W ise W W kompakt} τ = = Teorem P( ) doğrudur: i. İspat: i. τ ailesi ii.(, ) τ ailesi yukarıdaki gibi tanımlansın. O zaman aşağıdakiler üzerinde bir topolojidir. τ uzayı, (, ) iii. (, ) τ uzayı kompakttır. iv. kompakt değilse τ ın τ uzayının alt uzayıdır. içinde yoğundur. üzerinde bir topoloji olduğunu gösterelim. T) τ τ olduğundan τ dır. w ve = kompakt olduğundan τ dır. UV, ise V T) 2 UV, τ ise τ ise U V τ I olduğunu gösterelim. τ τ ve τ bir topoloji olduğundan UV, τ ve w U olur ki w U I V olur. τ olur. U IV = U U V = U U V ve V τ ve U τ τ U = U kompakt ve V, de kapalı olduğundan ( U I V), de kapalı olur. O zaman U I V τ, Dolayısıyla U V τ I olur. Benzer şekilde U τ ve V τ τ ise U V τ I olur. UV, τ τ, yani w U ve w V olsun. O zaman w U I V ve U, V kompakttır. Dolayısıyla, ( U) U( V) = ( U IV) = ( U I V) kompakttır. Sonuç olarak 3 U V τ I dır. Ui : i Ι τ için U Ui τ olduğunu gösterelim. Her T) Her { } i Ι i Ι için w U, yani i U i dır. En az bir 0 i Ι U Ι ise U τ τ i i Ι için w U i ise 0 23

31 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER w U U dir. Bu durumda i Ι i kompakt olduğunu göstermeliyiz. { } J i w U U Ui τ olduğunu göstermek için i Ι = Ι: i olsun. O zaman j J ise w U j olup kompakttır. K =Ι J olsun. O zaman k K ise w Uk olur. U U nin i Ι U j = U j = = = i Ι i Ι i Ι j J k K j J U i U i U k UU j I( k) II ( j) U U U U U U dir. Burada ( ) I Uk kapalı ve ( U j ) k K j J U i I ( j) olduğundan U U i Ι j J U Ui τ olur. i Ι ii. (, ) τ uzayının (, ) için, τ = τ { : = U U τ } I kompakttır. O zaman U U kompakttır. Sonuç olarak i Ι i τ uzayının alt uzayı olduğunu gösterelim. Bunun I olduğunu gösterelim. { } U τ ve w U ise τ olduğundan U I = U I { w} = U w ve ( { }) U w = U = U = U { } U w = U I τ ve τ τ = τ olur. iii. (, ) { G : i } i I olur. τ dur. τ ın özelliğinden τ ın kompakt olduğunu gösterelim. g = Ι olsun. O zaman = U G ise i Ι i w U τ, kompakt olduğundan τ dır. Sonuç olarak ın herhangi bir açık örtüsü olduğundan en az bir 0 i i Ι vardır öyle ki i olur. O zaman 0 w G τ Gi G 0 i K 0 = = kümesi de kapalı ve kompakttır. O halde I da en az sonlu bir J kümesi vardır öyle ki K K K G G = U = U i = 0 U i JU 0 { i } i K U G olur. j J j elde edilir ki bu uzayının kompakt olduğunu gösterir. iv. l = olduğunu gösterelim. 24

32 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Eğer, Dolayısıyla, da kapalı olsaydı Her ne kadar kompakt olduğundan de kompakt olurdu. da kapalı değil ve U { w} = olduğundan zaman Hausdor uzayı değildir. ani l = olur. uzayı bütün koşulları sağlar gibi gözüküyor olsa da olmayabilir. Bunun için bir ek koşula ihtiyaç vardır. her, bu haliyle in bir kompaktlaması Tanım bir topolojik uzay ve her x noktası kompakt bir komşuluğa sahip ise uzayına yerel kompakt uzay denir. Örnek ( τ ) yerel kompakttır. Çünkü x ise K [ x ε, x ε], stan d bir kompakt komşuluğudur. = +, in Teorem Her yerel kompakt Hausdor uzayı Τ3 uzayıdır. ( Τ 3 =Τ 2 + Regüler) dir. İspat: (, τ ) yerel kompakt Hausdor uzayı olsun. in regüler olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için in kapalı komşuluklarından oluşan bir komşuluk bazına sahip olduğunu göstermek yeterlidir. yerel kompakt olduğundan x K olaak şekilde x in kompakt komşuluğu vardır., Τ 2 ve K kompakt ise K kümesi de kapalıdır. Ayrıa ( K, τ K ) kompakt ve Τ 2 olup aynı zamanda 3 x in deki bir komşuluğu olsun. O zaman U I K Τ uzaydır. x U,, x in K deki bir komşuluğu olur. Dolayısıyla ( K, τ K ), Τ3 - uzay olduğundan x F U I K olaak şekilde x in K da τ K kapalı bir F komşuluğu vardır. O zaman F, de de x in bir kapalı komşuluğu ve F U olur. Gerçekten F, x in K deki bir komşuluğu ise F = V I K olaak şekilde x in de bir V komşuluğu vardır. de F kapalı kümesi K kapalı kümesinin alt kümesi olduğundan F, de kapalı olur. F = V I K ve V, K x in de komşulukları olduğundan F, x in de bir komşuluğu ve x F U I K U ve F, x in de bir kapalı komşuluğu olur. 25

33 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Teorem Bir yerel kompakt Hausdo uzayının her noktasında kompakt komşuluklarından oluşan bir komşuluk bazı vardır. İspat: (, ) τ yerel kompakt Hausdor uzayı, x, U, x in bir komşuluğu ve K da x in bir kompakt komşuluğu olsun. Teorem den x V U olaak şekilde x in kapalı bir V komşuluğu vardır., Τ2 - uzay ve K kompakt olduğundan K kümesi de kapalı olur. O zaman V kapalı ve K kompakt olduğundan V kompakt bir komşuluğu ve x V I K U olur. I K, x in bir kapalı komşuluğu, V I K, K da I K kompakt olur. Sonuç olarak V I K, x in Teorem erel kompakt bir Hausdor uzayında her açık küme, her kapalı küme, herhangi açık bir küme ile herhangi bir kapalı kümenin kesişimi de yerel kompakttır. Karşıt olarak bir Hausdor uzayının her yerel kompakt alt kümesi, bir açık küme ile kapalı kümenin kesişimidir. İspat: (, τ ) yerel kompakt bir Hausdor uzayı olsun. Sadee A kümesi de açık ise ( A, τ A ) nın yerel kompakt olduğunu gösterelim. x A ise Teorem dan x K A olaak şekilde x in kompakt bir K komşuluğu vardır. O zaman K, A içinde kompakt olup, A açık olduğundan x in A içinde kompakt bir komşuluğu olur. Sonuç olarak A yerel kompakttır. Diğer durumlar benzer şekilde yapılır. Teorem (, τ ) bir yerel kompakt Hausdor uzay ve A, in bir alt uzayı olsun. A nın yerel kompakt olması için gerek ve yeter koşul A kümesinin A da açık olmasıdır. İspat: " " A yerel kompakt ve a A olsun. a G A olaak şekilde A da bir G açık kümesi bulmalıyız. A yerel kompakt olduğundan K kümesi A da kompakt ve a K olaak şekilde a nın bir K komşuluğu vardır. O zaman a U lau K A olaak şekilde A da bir U açık kümesi vardır. Böylee U = V I A olaak şekilde 26

34 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER de bir V açık kümesi vardır. A da AI V kümesi açıktır ve a AI V dir. Dolayısıyla AI V A olduğunu göstermek yeterli olaaktır. AIV AI V dır. ( Çünkü x AI V ise x A ve x V dir. de U kümesi açık ve x U ise x A olduğundan AI U olur. V, de açık küme ve x V ise U I V x ( U I V), x A olduğundan,, de açık ve ise AI U IV = AIV IU x AI V dir. ) Böylee AI V A olduğunu göstermek yeterlidir. AIV IA= U I A= lau dur. lau, kompakt olduğundan kapalıdır. O zaman AIV I A kapalıdır. AIV AIV I A olduğundan AIV AIV I A A dır. Dolayısıyla AI V, A da açık ve a ( AI V) ise A, A da açık bir küme olur. " " A, A da açık bir küme olsun. O zaman A= AI U olaak şekilde de açık bir U kümesi vardır. yerel kompakt ve A, de kapalı ve U kümesi de açık olduğundan Teorem den A ve U yerel kompakt ve yine aynı Teorem den dolayı AI U = A yerel kompakttır. Şimdi bir uzayının tek nokta kompaktlaması olan olması için gerek ve yeter koşulu verebiliriz. ın Hausdor uzay Teorem Bir (, ) τ uzayının (, ) τ tek nokta kompaktlamasının Hausdor uzayı olması için gerek ve yeter koşul in yerel kompakt Hausdor uzayı olmasıdır. İspat: " " yerel kompakt Hausdor uzayı ise kompakt uzayınında Hausdor uzay olduğunu göstereeğiz. Bunun için e ait x noktaları ile w noktasının ayrık komşuluklarının varlığını göstermek yeterlidir. yerel kompakt Hausdor uzay olduğundan her x in de K gibi kompakt bir komşuluğu vardır. O zaman K kümesi de kapalıdır. olduğundan τ ın tanımından K, x in K IU = K I K = olduğundan w K = U ve U = K kompakt da da bir komşuluğu olup bir Hausdor uzayıdır. 27

35 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER " " Hausdor uzayı ise in yerel kompakt Hausdor uzay olduğunu göstereeğiz., ın alt uzayı olduğundan Hausdor uzayıdır. kompakt olduğundan aynı zamanda yerel kompakttır. τ τ olduğundan, olup Teorem den veya Teorem den yerel kompakttır. da açık Teorem i. Bir uzayının tek nokta kompaktlaması varsa o zaman yerel kompakt, akat kompakt değildir. ii. Eğer uzayı yerel kompakt, akat kompakt değilse her Z Z olaak şekilde in bir tek nokta kompaktlaması vardır. İspat: i. K K için, in tek nokta kompaktlaması ise Teorem dan in yerel kompakt olduğunu biliyoruz. kompakt olsaydı kapalı olurdu. O zaman l = = ise = olurdu. Dolayısıyla kompakt değildir. ii. w için = U { w} olsun. üzerindeki τ topolojisi Teorem deki gibi tanımlanırsa Teorem dan, in tek nokta kompaktlaması olur. Z K olsun. : Z onksiyonu, x, x ise = w, x Z ise olarak tanımlayalım. yerel kompakt olduğundan, Z de açık bir kümedir. O zaman, de açık bir küme ve z Z =Ι olduğundan, her x de süreklidir. için W, de açık küme ve ( z) W olsun. O zaman z = w W olduğundan -W kompakttır. O zaman Z ( W) = T, Z de açık küme ve z Z T olur. Sonuç olarak ( T) W dir. Böylee sürekli ve Z olur. Sonuç Her yerel kompakt uzay Tyhono uzaydır. İspat: yerel kompakt ise in tek nokta kompaktlaması K dir. O zaman Tyhono uzaydır. mevuttur. ani, 28

36 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ( A, ) bir üst yarı tam latis ve Λ A = olsun. B A ve C { A: Her b B için b} = olsun. 0 C olup C ve VC = d vardır. Λ B= d olduğunu gösterelim. b B için C b olduğundan d = VC b dir. Dolayısıyla d d B dir. e B olsun. O zaman e C ise e VC = d dir. Dolayısıyla =Λ B ve A nın tam latis olduğunu gösterir. Teorem Kompakt olamayan bir uzayı için aşağıdakiler denktir: İspat: i. K ( ) bir tam latisdir, ii. yerel kompakttır, iii. in tek nokta kompaktlaması vardır, iv., bazı kompaktlamalarında açıktır. ii) iii) Teorem dan açıktır. ii) iii) iv) Teorem dan ve Teorem dan açıktır. ii) i) yerel kompakt olsun. Teorem i) şıkkından in bir tek nokta kompaktlaması vardır ve her Z min K için Z dir. ani = K = K dir. Bir minimum elemanlı bir üst yarı latis olduğundan K ( ) tam latistir. i) iii) ( ) olmadığından K tam latis olsun. O zaman Z = K vardır. kompakt Z ve Z dir. ani, Z dir. Z olduğunu gösterelim. p, q Z ve r Z onksiyonu z pq, { } { } için {, } ise ( z) = z ve üzerinde taraından doğrulan τ bölüm topolojisini, alalım. ani = Z pq U r olsun. : Z p = q = r olarak tanımlansın. { :, Z de açık} τ = S S τ, yi sürekli yapan en küçük topolojisidir. O zaman { pq, } kompakt olduğundan nin Hausdor uzay ve Z { pq, } nin bir homeomorizm olduğu kolaya gösterilebilir. Ayrıa { pq, } I = olduğundan, nin alt 29

37 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER uzayıdır., Z de yoğun, sürekli ve = olduğundan, de yoğun olur. Z kompakt olduğundan = ( Z) kompakttır. O zaman, in bir kompaktlaması ve Z olur. Fakat Z =ΛK olduğundan daima Z dir. O zaman g: Z, g =Ι olaak şekilde bir g onksiyonu vardır. Dolayısıyla go : Z Z onksiyonu sürekli ve go =Ι olduğundan go =ΙZ olur. O zaman, p= go p = go q = q dolayısıyla p= q olduğundan Z olur. Dolayısıyla Z = dir. Sonuç olarak in tek nokta kompaktlaması vardır. Teorem Kompakt olmayan, yerel kompakt uzayının tek nokta kompaktlaması denktir. İspat: Z, in tek nokta kompaktlaması ve K = olsun. Teorem den mevut olup : Z, =Ι olaak şekilde sürekli bir onksiyonu vardır. ve Z kompakt ve sürekli olduğundan ve peret olur. Teorem den ( Z ) dir., Z de ve de yoğun ve ( Z ) = olduğundan = olur. Dolayısıyla = olur. Buradan onksiyonu birebir, örten, sürekli ve kapalı olur. Böylee bir homeomorizmadır. Sonuç olarak Z olur. ani = Z dir. 30

38 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Bu bölümde idealler yoluyla bazı genişleme problemleri için çalışaağız. Topolojik uzayların genişlemelerinin kuvvet sistemlerini tanıtaağız. Bir Tyhono uzayın denk iki kompaktlamasının kuvvet sistemlerinin de eşit olduğunu göstereeğiz. Amaımız bir Τ0 -uzayının bir genişlemesini ideal genişlemesi yoluyla tanımlayaağız. Her bir genişlemenin uygun bir ideal genişlemesine denk olduğunu göstereeğiz. 3.. Kuvvet Sistemleri Tanım 3... P ( ), in kuvvet kümesi olmak üzere, (). : P P, A A onksiyonu, i. = dir, ii. Her A P için A A dir, iii. Her AB, P için A B = A B U U dir, iv. A P ise ( A ) = A dir. özelliklerini sağlıyorsa bu onksiyona Kuratowski kapanış operatörü denir. { P: } P τ = U A U = U ailesi, (.) Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen topolojidir. Tanım I, bir kümesinin alt kümelerinin boştan arklı bir ailesi olsun. I ailesi, i. A Ι ve B A ise B Ι, ii. A Ι ve B Ι ise AU B Ι dir. koşullarını sağlıyorsa, bu aileye üzerinde bir ideal denir. Tanıma göre I bir ideal ise Ι olduğu açıktır. 3

39 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER Tanım (, ) τ bir topolojik uzay ve x ise, ( x) { A : x la A} Ι = = kümesi üzerinde bir idealdir. Bu ideale üzerindeki bir serbest ideal denir. Şimdi ( x) Ι in bir ideal olduğunu gösterelim. i. B ( x) ( x) A Ι dir. Ι ve A B olsun. O zaman, x l B ise x l A dir. Böylee ii. AB ( x), Ι olsun. O zaman, x l A ve x l B ise U ( U ) dır. Dolayısıyla A B Ι ( x) x l A l B= l A B U olur. Tanım (, τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer her xy, ( x y) ( x G y G) ( x G y G) için olaak şekilde bir G τ bulunabiliyorsa bu uzaya bir Τ0 - uzayı veya Kolmogro uzayı denir. Lemma Bir (, τ ) uzayının Τ0 - uzayı olması için gerek ve yeter koşul her xy, ve x y için ( x) ( y) Ι Ι olmasıdır. İspat: " ", Τ0 - uzayı xy, ve x y olsun. O zaman, Τ0 - uzayı olduğundan ( x G y G) ya da ( x G y G) olaak şekilde de bir G açık kümesi vardır. Dolayısıyla x l { y} ya da y l { x} dir. y l { y} kabul edelim. O zaman { y} Ι ( x) olur. Aynı zamanda y l { y} { y} Ι ( y) olur. Sonuç olarak ( x) ( y) " " Her xy, ve x y ( y) Ι Ι olur. olduğunu olduğundan için Ι ( x) Ι ( y) dir. O zaman A ( x) Ι ve A Ι olaak şekilde bir A olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla x l A 32

40 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER ve y l A dır. Böylee x l A ve y l A olur. l A açık olduğundan, Τ0 - uzayı olur. Tanım Bir (, τ ) uzayındaki bir I ideali, eğer A Ι olduğunda koşulunu sağlıyorsa I ya bir - ideali denir. l A Ι Sonuç Her serbest ideal bir - idealdir. İspat: I, (, τ ) da bir serbest ideal olsun. O zaman bir x için = ( x) ise x l A olup x l ( la) = la olur. Böylee l A Ι dır. ( A Ι ise x l A= A ise x A= A olduğundan A Ι dır. ) Ι Ι dir. A Ι Tanım 3..8., in bir genişlemesi olsun. y için, { } (, ) = { : } = : Ι S y A y l A A A y şeklinde tanımlanan kümeye y nin kuvveti denir. O zaman (, ) l A l A S y, üzerinde bir - idealdir. Çünkü A ise I = olduğundan la l la = la olur. O zaman y l A ise l A S( y, ) olur. l Aolup l ( l A) l Aolur. Dolayısıyla ise y l ( l A) olur. ani, A S( y, ) nin kuvvet sistemlerinin kümesini ˆ { S( y, ) : y } = ile göstereeğiz. { α } ve ise (, ) { : } : α = K y α S y α = A y l A = A A Ι y α Lemma 3..9., in bir genişlemesi olsun. O zaman her x için ( x) S x, =Ι dir. İspat: S( x, ) = { A : x l A} = { A : x l AI } { A x l A} ( x) = =Ι : olur. Dolayısıyla S( x) ( x), =Ι dir. 33

41 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER Teorem Bir topolojik uzayın iki denk genişlemesinin kuvvet sistemleri özdeştir. İspat:, 2 bir uzayının iki denk genişlemesi ise = 2 olduğunu göstermeliyiz. Burada, dir. ve 2 = { S( y, ) : y } ve 2 = { S( y2, 2) : y2 2}, in iki denk genişlemesi ise :, x = x olaak şekilde bir 2 homeomorizma vardır. O zaman = 2 olduğunu göstermek için y için S y, = S y, olduğunu göstermek yeterlidir. homeomorizma ve 2 A olduğundan olur. Sonuç olarak = olur., 2 2 A S y y l A y l A = l A 2 ( ( ), 2) A S y Teorem 3... Bir Tyhono uzayının herhangi bir noktalarının kuvvetleri de arklıdır. α kompaktlamasının arklı İspat: y, y2 α ve y y2 olsun. α, Τ2 - uzay olduğundan 2 α de y Gy, H ve GI H = olaak şekilde G ve H açık kümeleri vardır. O zaman y l G ve y l H ise y l ( G ) 2 α α I dir. A= GI alırsak, α de 2 α yoğun olduğundan A ve y2 lα A Ayrıa, olur. Dolayısıyla A S ( y α ) α de yoğun olduğundan y lαa lαg Sonuç olarak S( y, α) S( y, α) 2 olur. dir. = olup A S ( y α ), olur., Not Teorem 3.. den bir Hausdor uzayının bir Hausdor genişlemesinin arklı noktalarının kuvvet sistemlerinin de arklı olaağı sonuu elde edilir. 34

42 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER Lemma α K olsun. Eğer x ve komşuluklarının bir bazı ise o zaman, kümesi α { α } = l N : N B B α de x in komşuluklarının bazıdır. İspat: N B, de x in B olsun. lα N, α de x in bir komşuluğu olduğunu göstermeliyiz. U, x U N ile in açık bir kümesi ve V, α de V I = U ile açık bir küme olsun., α de yoğun olduğundan, ( I ) x V l V = l V = l U l N α α α α dir. Böylee lα N, α de x in bir komşuluğudur. α de x in her komşuluğu yukarıdaki şekilde bir komşuluğu içerir ve böylee ispat tamamlanmış olur. Teorem Bir (, τ ) topolojik uzayının tam regüler olması için gerek ve yeter { } koşul B = {} 0 / : sürekli ailesinin τ için bir baz olmasıdır. İspat: " " (, τ ) tam regüler olsun. x G τ olsun. O zaman G, de kapalı ve x ( G) dir. Dolayısıyla öyle bir : [ 0,] sürekli ve 0 ( G) = onksiyonu vardır. g( x) ( x) sürekli bir onksiyondur. Ayrıa g( x ) =, g( G) 0 { : 0} x =, = alalım. O zaman g onksiyonu = sağlanır. Eğer g kümesi Sg = x g x = ile gösterilirse x Sg G olduğu kolaya görülür. Çünkü = 0 g x ve g( G) 0 S g açıktır. O halde x Sg g ({ 0} ) B dır. " " B, τ için bir baz, A, de kapalı ve x0 = dır. Ayrıa reel değerli ve sürekli her g için yani { 0} x g G olup A olsun. O zaman A, de açık ve x0 A olur. B, baz olduğundan en az bir : sürekli onksiyonu vardır öyle ki x { } A olur. { } 0 0 olduğundan { 0} açıktır. Şu halde 0 0 0, de kapalı sürekli x dır. Her x için 35

43 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER g x ( x) ( x ) = maks 0,min 0 olarak tanımlanırsa g her x için 0 g( x) koşulunu sağlayan sürekli bir onksiyondur ve ayrıa g( x 0) = 0 ve g( A ) = sağlanır. Sonuç olarak (, ) regülerdir. Teorem 3..0 un tersini aşağıdaki şekilde yazabiliriz. τ tam Teorem Bir Tyhono uzayı özdeş kuvvet sistemlerine sahip iki kompaktlaması α ve γ ise bu iki kompaktlama denktir. İspat: Hipotezden den y α için öyle bir tek z γ O zaman : α γ, Dolayısıyla, { S y, α : y α} { S( z, γ) : z γ} = dir. Teorem 3.. vardır öyle ki S( y, α) S( z, γ) = dir. y = z olsun. onksiyonu birebir ve örten olur. ( α ) = ( γ ) S y, S y,... i dir. x için S( x, α) = S ( x) = x, γ dir. ani ( x) ( x) Ι =Ι dir. (Lemma 3..9 dan S( x α ) =Ι ( x) =Ι ( x), S( x ) ( x) ( x) Böylee ( α ), α ( γ ) α γ, γ γ =Ι =Ι dir.) S x, = S x = x, ve olup ispat için onksiyonunun homeomorizma olduğunu göstermek yeterlidir. y l A y l A olur. ani A için, γ i den dolayı A için, = =... l A l A l A ii α γ γ olur.{ lαa: A } ve { lγa: A } ( ve için α γ ) kompakt kümeler ailesi kapalı bazdır. onksiyonu bir homeomorizmadır. ii den ve den dolayı bu iki aile birebir eşlenebileeğinden 36

44 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER 3.2. İdeal Genişlemeler Tanım 3.2.., bir uzayının genişlemesi olsun. Eğer, nin arklı noktaları arklı kuvvetlere sahip ve { l A: A } kapalı kümeleri için bir baz oluyorsa ye, in bir ideal genişlemesi denir. ailesi nin Not i. Eğer bir uzayı bir ideal genişlemesine sahip ise, Τ0 - uzayı olmak zorundadır. Çünkü, x x ( x ) ( x ) (, ) S( x, ) S x 2, için Ι =Ι ise Lemma 3..9 dan dolayı 2 2 = olurdu. Dolayısıyla i) den dolayı x = x2 ve Lemma 3..5 den dolayı, Τ0 - uzaydır. ii. Bir Τ0 - uzayının herhangi bir ideal genişlemesi de Τ0 - uzayıdır. Gerçekten, y, y2 için ( y ) ( y ) Ι =Ι ise, 2 { } (, ) = { : } = : Ι S y A y l A A A y { A : A ( y2) } { A : y2 la} S( y2, ) = Ι = = olup Tanım 3.2. i) koşulundan dolayı y = y2 olup Lemma 3..5 den, Τ0 - uzayıdır. Teorem , bir Τ0 - uzayının bir ideal genişlemesi olsun. O zaman, in bütün serbest idealleri taraından içerilen üzerindeki - ideallerinin uygun bir alt ailesinden elde edilen bir İspat: { S( y, ) : y } genişlemesine denktir. = = olsun. O zaman bir kümesi olduğu açıktır. İlk öne tanımlamaya çalışalım. ın üzerindeki - ideallerinin üzerinde bir Kuratowski kapanış operatörü Φ:, x için Φ ( x) =Ι ( x) olarak tanımlayalım., Τ0 - uzay olduğundan Lemma 3..5 den Φ onksiyonu birebirdir. A için 37

45 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER { = Ι : Ι } ve = { A : A } A A B olsun. İlk öne B nin üzerindeki bir topolojinin kapalı kümeleri için bir baz olduğunu gösterelim. A, B B olsun. ( AUB) = { Ι : AU B Ι } = { Ι : A Ι veya B Ι} { : } { : } = Ι A Ι U Ι B Ι = A U B ise A U B B dir. B nın üzerinde doğurduğu bu topoloji ile ilişkilendirilen veya bu topolojiyi veren Kuratowski kapanış operatörü d olsun. O zaman her ( α) = I { : α ve } d A A A α için, olur. ani d ( α ), B nın doğurduğu topolojiye göre α nın kapanışı olur. Öne d ve Φ: arasındaki bazı ilişkileri açıklayalım. i. Her A için Φ ( l A) = A Φ x l A A Ι x =Φ x A I Φ olur. ( A) ii. Her A için ( A) A I dir. Gerçekten, Φ olup i) den dolayı ( A) ( l A) A Φ Φ dir. iii. Her A için d Φ ( A) = A dir. ii) den dolayı bir B için Φ B olsun. O zaman, x A ise Φ x B ise Ι x B ise B Ι x ise x l B dir. Böylee A l B dir. Buradan hemen aşağıdakileri not edebiliriz. a) A B ise A B dir. Gerçekten, Ι A ise A Ι ise B Ι ise Ι B dir. b) Her B için l B B l B l B B B = dir. Gerçekten, Ι Ι Ι Ι olur ve Ι bir - ideal olduğundan dolayı l B B = dir. Şimdi A l B ise A ( l B) = B ise A d Φ ( A) ve d nin tanımından dolayı da d Φ( A) A dir. Dolayısıyla A d ( A) den daima Φ l A = d Φ A Φ I ve ( x) ve { : } Φ = A dir. Ayrıa = Φ dır. i) ve iii) = dır. Çünkü, = Ι Ι dır. Şimdi için (, ) y S y, 38

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology SAÜ. Fen Bil. Der. 17. Cilt, 3. Sayı, s. 371-379, 2013 SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar İsmail Osmanoğlu, Deniz Tokat * Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi,

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}

A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S} Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS

ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS Asal Yak n Halkalar Üzerine C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi ISSN 135-1385 C.B.U. Journal of Siene 2.2 (26) 135 139 2.2 (26) 135 139 ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE Ak n Osman ATAGÜN* Eriyes Üniversitesi, Yozgat

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Metin KOÇ

DOKTORA TEZİ. Metin KOÇ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Metin KOÇ SONLU SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2010 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

İ İ İĞİ ü ü üü Ü İ Ö İ İ İ Ğİ ş Ğ ü üü ü ş ş ş ü üü ş ü İ ç ü ç Ğ Ü Ğ ü» Ğ Ğİ İ ü Ü ü Ş ç ç ç ş Ş ç İ ü ü ü Ş ş ü«ü üü ü ü ü ş ç ş Ş ş Ş ü ç ç Ğİ İ Ü ş ç ü Ş ş ç ü ç ş ç Ş Ç ç ş ç ş ş ş Ş ş ş İ ş Ş ş ç

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

! " # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. (

!  # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. ( !"#$ %& '()*' ' +,-. / 0 100$ 2 (.-3( 34.( ,-. '45 45 6#5 6+ 6"#0" '7086 $ $ 89 44" :#! ;{0, 1, 2, 3,..., 9}, L * olarak tanımlı olsun ve sadece 2 ye veya 3 e bölünebilen ve önünde 0 olmayan pozitif sayılara

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

) 2, ω 2 = k ve ε m m

) 2, ω 2 = k ve ε m m Harmonik Salınıcı (HO) Harmonik salınıcı bir m kütlesine etki eden bir geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle ortaya çıkar ki bu kuvvet başlangıç noktasından itibaren yerdeğiştirme ile orantılıdır. Bu problemin

Detaylı

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR ÖZEL EGE LİSESİ TAM DEĞER VE ARDIŞIK TOPLAMLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 01 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.... GİRİŞ..YÖNTEM. ÖN BİLGİLER.. 5.ARDIŞIK TOPLAMLARIN

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim.

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 1 2 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 3 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36 dır. 4 sayısını en yakın onda birliğe kadar

Detaylı