S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar
|
|
- Hazan Yücel
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz s rlnbilirler, s rln yorlr d... Bu yz d s rlmn n mtemtiksel nlm n ve bir sürü örnek görece iz. Mtemtiksel tn m dh sonry sklyrk örneklerle bfllyl m. Örnek. lk örne imiz do l sy lr kümesi olsun. En küçük do l sy 0 d r, sonr M gelir, sonr, vs. Herhngi iki do l sy y 9 büyüklüklerine göre krfl lflt rbiliriz. Örne in 3 <. Ayr c < 8. Doly s yl 3 < 8 8 vs. Do l sy lr, herkesin bildi i üzere 7 0 < < < 3 < 4 < <... 6 diye s rlnm fllrd r. Bu s rlmn n en küçük elemn vrd r (o d 0 d r). Am en bü- 4 yük elemn yoktur, her do l sy dn dh büyük do l sy vrd r çünkü. Bu s rlmn n bir bflk özelli i de her elemn n 3 hemen bir büyü ünün olms, in bir büyü ü 6 d r örne in. Ayr c, bu s rlmd, 0 0 d fl nd her elemn n bir öncesi de vrd r. Do l sy lr n bu s rlms n do l s rlm d n verece iz ve bu s rlmy (N, <) olrk gösterece iz. Do l sy lr n do l s rlms n sold resmettik. Küçük elemnlr fl y, büyük elemnlr yukr y yzd k. Görsel olrk hep böyle ypc z, küçükleri fl y, büyükleri yukr y yzc z. ABCÇDEFG HI JKLMNOÖPRSfiTUÜVYZ Bir lfbe sdece hrflerden oluflmz. Bir lfbede hrfler yr c s ry dizilmifllerdir. Türkçenin 9 hrfi 9! de iflik biçimde s ry dizilebilir, yni Türkçenin hrflerinden 9! de iflik lfbe oluflturulbilir. Örnek. kinci örne imizde do l sy lrd l fl k oldu umuz s rlmy ters çevirelim: Bu sefer en küçük sy (yni 0) bu yeni s rlmy göre en büyük elemn olck. Sy lr bir s nvd yp ln ynl fl sy s olrk yorumlrsk böyle bir s - rlmn n neden gerekli olbilece ini nlr z. Bu kez 0 pun ln (yni 0 ynl fl ypn) en iyisidir, ondn dh iyisi yoktur. pun ln d fen de ildir m 0 pun kdr iyi de ildir. Bu s rlmy p iflretiyle gösterelim:... p p 4 p 3 p p p 0. Bu yeni s rlmn n en büyük elemn vr, 0 0. Am en küçük elemn yok, her elemn n hemen bir küçü ü vr, örne in in bir küçü ü bu s rlmy göre 6. Ayr c 0 d - fl nd her sy n n hemen bir büyü ü vr. 3 Bu s rlmy göre in hemen bir büyü ü 4 4 tür. Yndki flekilde bu yeni s rlmy resmettik. En büyük elemn en tepede 6 gösterdik, elemnlr küçüldükçe fl lnd lr. Afl do ru istedi imiz kdr gidebiliriz. 8 7 Do l sy lr n do l s rlms yl M kr flms n diye bu yeni s rlmy p simgesiyle gösterdik. Do l sy lr üstündeki bu yeni s rlmy gelecekte (N, p) olrk gönderme ypc z. Örnek 3. Üçüncü örne imizi gönül ifllerinden seçelim, dh heyecnl oluyor. Diyelim Gül ün befl tlibi vr: Ayhn, Burk, Cn, Do n ve Erdem. Gül, bu befl tlipten birini seçmek için deliknl lr s nvdn geçiriyor. En öncelikli k sts zekâ oldu undn önce C D E tliplerine strnç oynt yor. Ayhn herkese B yeniliyor, Burk hem Cn hem de Do n A yeniliyor. Zmn klmd ndn bflk d mç yp lm yor. Bu flmd Gül ün s rlms n flöyle gösterebiliriz: A < B < C, A < B < D ve A < E. Burd A Ayhn, B Burk vs temsil ediyor elbette. S rlmy yukrd fleklettik. En düflük pun ln Ayhn en lt s ry yerlefltirdik. 9
2 Mtemtik Dünys, 00 K fl Bu flmd Gül Erdem le Burk rs nd bir k yslm ypm yor henüz m bu k yslymm yukrdkinin bir s rlm y d yr s rlm olms n engel olmyck. (Mtemtiksel tn m birz sonr...) Gül, Erdem le Cn ve Do n d k yslym - yor. Am Cn ve Do n Burk tercih ediyor. Örnek 4. Dördüncü örne imizde bir kümenin ltkümelerini küçükten büyü e s rlyc z. E bir küme olsun (Evren in E si.) E nin ltkümeleri kümesine diyelim. Örne in E = {0,, } olbilir. O zmn in flu 8 elemn vrd r: {0}, {}, {}, {0, }, {, }, {0, } {0,, } = E. E er A, B ise, yni A ve B, E nin ltkümeleriyse, A, B den küçüktür iliflkisini A B olrk tn mlyl m. Yni A, B nin özltkümesiyse (A B ve A B ise), o zmn A n n B den küçük oldu- unu söyleyelim. Bu, birzdn tn mlyc m z nlmd bir s rlmd r. Bu s rlmd, üçüncü s rlmdki gibi krfl - lflt r lmyn elemnlr vrd r. Örne in in {0} ve {} elemnlr (yni E nin {0} ve {} ltkümeleri) krfl lflt r lmzlr; birbirlerine eflit olmd klr gibi ne biri di erinin ne de beriki öbürünün özltkümesidir. {0} {0,, } = E {0, } {0, } {, } {} {} Bu s rlmy E = {0,, } durumund fl dn yukr do ru yndki gibi resmedebiliriz. Gelecekte bu s rlmy ( (E), ) s rl çifti olrk gönderme ypc z. Burd, (E), E nin ltkümeler kümesi, yni nlm n geliyor. Örnek. Gene do l sy lr ele ll m. E er x, y yi (do l sy lrd) bölüyors, yni xz = y eflitli ini s lyn bir z do l sy s vrs, m x y ise, x, y den (flu nd tn mlmk üzere oldu umuz s rlmy göre) küçük olsun. Yni bölen sy lr küçük, bölünen sy lr büyük... 0, kendisi d fl nd hiçbir sy y bölmedi inden (çünkü z ne olurs olsun 0z = 0 y), 0 dn büyük sy yoktur. Öte yndn her sy 0 böldü ünden (çünkü x0 = 0) her sy 0 dn küçüktür. Doly s yl do l s rlmn n en küçük elemn oln 0 bu s rlmn n en büyük elemn d r. her sy y böldü ünden, bu s rlmn n en küçük elemn d r. Asl sy lr den bir büyük elemnlrd r elbette. Ayr c le bir sl sy rs nd (bu s rlmy göre) bir bflk elemn yoktur. Bu s rlmy göre, bir p sl ndn bir büyük elemnlr p ve bir q sl için pq biçiminde yz - ln elemnlrd r. flte bu s rlmn n küçük bir prçs n n bir resmi: Bölen sy lr fl y, bölünen sy lr yukr yzd k, yr c bu iki sy y bir do ruyl birlefltirdik. Anck flekil kr flms n diye, örne in, ile 36 rs n bir do ru çizmedik (bu yöntemle çizilen flekle bzen Hsse diygrm denir.) den 36 y giden en z bir yükselen yol oldu undn nin (bu s rlmy göre) 36 dn küçük oldu u flekle bk nc nlfl l yor. Bu son s rlm çok ilgimi çeker benim. Tn - m son derece bsit m kendisi de bir o kdr krmfl k. Yukrdki flemy bir de 7 yi eklerseniz bu s rlmn n ne kdr krmfl k bir s rlm oldu- unu dh iyi nlrs n z, htt sdece dördüncü kt tmmlmy çl fl n... Bir sy y sllr y rrk sy n n den yüksekli ini de hesplybiliriz. Örne in, 60 = 3 oldu undn, 60 n yüksekli i + + = 4 tür, yni den bfllyrk tm dört d md 60 ulflbiliriz, örne in bu yollrdn biridir. Gelecekte bu s rlmy (N, ) olrk gönderme ypc z. Örnek 6. Sonlu Kümeler Üzerine S rlm. Her ne kdr mtemtiksel de eri olms d, pedgojik önemi oldu undn z sy d elemn oln kümeler üzerine s rlmlr bull m. E er boflkümeyse y d in tek bir elemn 0
3 Mtemtik Dünys, 00 K fl vrs, te k yslybilece imiz iki de iflik elemn olmyc ndn bu durumlrd ypck bir fley yok, bu kümeler üzerine sdece tek bir s rlm vrd r: bofls rlm denilen ve hiçbir elemn n hiçbir elemnl k yslnmd tek bir s rlm. E er in iki elemn vrs, diyelim = {, b} ise, o zmn üzerine fl d görülen üç de iflik s rlm vrd r. Bunlrdn son ikisi birbirlerine çok benzerler, birbirlerinden gerçekten frkl olduklr n söylemek zor... lerde, eflyp sll tn mld m zd, son iki s rlmn n eflyp sl olduklr n söyleyece iz. fiimdi in üç elemn oldu unu vrsyl m. O zmn, üzerine 9 tne de iflik m sdece tne gerçekten de iflik yni eflyp sl olmyn s - rlm vrd r. bofls rlm, bunlrdn tne vr b ve b k yslnmz, bofls rlm bunlrdn 6 tne vr Elemn sy s dörde ç krs s rlm sy s çok rtr. Bunlr n sy s n bulmy okur b rk yoruz. Sonlu s rlm örneklerini symzsk, yukrd befl s rlm örne i verdik. lk ikisi ve sonuncusund do l sy lr üç de iflik biçimde s rld k: (N, <), (N, ), (N, ). Birincisinde do l s rlmy ld k. kincisinde do l s rlmy ters çevirdik. Sonuncusund ise s rlmy bölünebilirlikle tn mld k. Görüldü ü gibi yn küme de iflik biçimlerde s rlnbiliyor. Son dört örnekte de görülebilece i gibi ill iki frkl elmndn birinin di erinden küçük olms gerekmiyor. Bu durum ilk iki örnekte zuhur etmiyor; bu s rlmlrd birbirinden frkl herhngi iki elemn krfl lflt rbiliyoruz. Mtemtiksel Tn m. Art k s rlmy mtemtiksel olrk tn mlm zmn geldi, yoks bu yz bitmeyecek. Üstünde bir s rlm tn mlyc m z kümeye diyelim. in elemnlr n bir biçimde s rlmk istiyoruz. ll birinci, ikinci diye b < b bunlrdn d 6 tne vr b b < bunlrdn 3 tne vr bunlrdn 3 tne vr de il, çünkü te birinci y d ikinci olmybilir. S rlm dedi imiz fley, in bz elemnlr - n n in bz elemnlr ndn dh küçük (y d dh büyük) olduklr n buyurmkt r. Öylesine bir buyruk de il m... Bu buyru un flu iki özelli i s lms gerekir: S. Hiçbir elemn kendinden küçük olmz. S. E er x, y den küçükse ve y de z den küçükse, o zmn x, z den küçük olml d r. Bu iki özelli i s lyn ikili bir iliflkiye s rlm denir. kili iliflki dedi imiz iki elemn rs nd bir iliflki dir; yni in iki elemn n krfl lflt r yoruz. E er x, y den küçüktür ifdesini x < y olrk k slt rsk, o zmn yukrdki S ve S koflullr flu biçimde yz l rlr: S. Hiçbir x için x < x. S. Her x, y, z için, e er x < y ve y < z ise, x < z dir. Dikkt ederseniz herhngi iki elemn n krfl - lflt r lbilece ini söylemiyor s rlm koflullr, yni x in y den küçük olmd, y nin de x ten küçük olmd x y elemnlr olbilir. Bu yüzden bu koflullr s lyn bir s rlmy kimi zmn yr -s rlm dendi i de olur. Herhngi iki elemn n krfl lflt r lbildi i bir s rlmy, yni S ve S d fl nd, S. Her x, y için, y x < y y y < x y d x = y koflulunu s lyn bir s rlmy tms rlm denir. Yz n n bfl nd verdi imiz ilk iki örnek birer tms rlmd r, son üç örnek ise tms rlm olmyn yr -s rlmlrd r çünkü son üç örnekte krfl - lflt r lmyn (ve eflit olmyn) elemnlr vrd r. Tm s rlmlr dh sonrki yz lrd dh yr nt l olrk konu edece iz. Bir s rlmd < yerine kimi zmn (dördüncü örnekte oldu u gibi),,, Þ gibi bflk imgelerin kulln ld d olur. Örne in do l sy lr tersten s rld m z ikinci örne imizde do l s - rlm yl kr flms n diye < yerine imgesini kullnm flt k. Gene do l sy lr s rld m z beflinci örne imizde s rlm bölünebilirli e göre tn mlnd ndn, < yerine imgesini kullnmk yerinde bir krrd. S özelli ine ship bir ikili iliflkiye ntirefleksif y d yns myn iliflki denir. S özelli ine ship bir ikili iliflkiye ise trnzitif y d geçiflli iliflki denir.
4 Mtemtik Dünys, 00 K fl Dh Mtemtiksel Bir Deyiflle... S rlmn n s l mtemtiksel tn m flöyledir. bir küme olsun. A, S. Her x için (x, x) A, S. Her x, y, z için, e er (x, y) Ave (y, z) A ise o zmn (x, z) A dir özelliklerini s lyn bir ltküme olsun. O zmn A y üzerine bir s rlm denir ve bu s - rlm (, A) olrk yz l r. üzerine bir ikili iliflki sdece in bir ltkümesidir. Demek ki bir s rlm S ve S özelliklerini s lyn bir ikili iliflkidir. E er (, A) bir s rlmys, s k s k (x, y) A yerine x < y gibi sezgilerimize dh fzl hitp eden ve dh fzl nlm im eden bir yz l m kulln l r. O zmn s rlm (, A) yerine (, <) olrk yz l r. Bu tn mdn d nlfl lc üzere, e er A = ise S ve S özellikleri do ru olur ve böylece hiçbir elemn n hiçbir elemnl krfl lflt r lmd - bofls rlm d verilen (, ) s rlms n elde ederiz. Bofls rlmy krrs z s rlm d n d verebiliriz. Zten tek bir elemn oln bir küme üzerine sdece bofls rlm olbilir. Hytt bofls rlmdn dh ilginç s rlmlr vrd r. Bir kümesi üzerine bir tms rlm, A n n en büyük oldu u (, A) s rlms d r. E er bir s rlmd x < y ise, y nin (bu s rlm için) x ten dh büyük oldu unu söyleriz. Bir s rlmd hem x, y den hem de y, x ten küçük olmz, çünkü o zmn S de z = x lrk, x < x buluruz ki bu d S le çeliflir. E er < diye dlnd r ln bir s rlm verilmiflse, elemnlr rs nd eflitli i de içeren ve genellikle imiyle simgelenen ikili bir iliflki flöyle tn mln r: x y x < y y d x = y. () ikili iliflkisi flu özellikler s lr: T. Her x için x x. T. Her x, y, z için, e er x y ve y z ise, x z dir. T3. Her x, y için, e er x yvey xise, x = y eflitli i do rudur. T ve T nin do ruluklr çok briz. T3 ü kn tlyl m. x y ve y x olsun. E er x y ise, iliflkisinin tn m n göre x < y ve y < x. Bundn ve S den x < x ç kr, ki bu d S le çeliflir. E er bir kümesi üzerine yukrdki T, T, T3 özelliklerini s lyn bir ikili iliflkisi verilmiflse ve < ikili iliflkisini, x < y x y ve x y () olrk tn mlrsk, o zmn < iliflkisi S ve S özelliklerini s lr, doly s yl bir s rlm olur. Bunun kn t çok bsittir ve okur b rk lm flt r. Kolyc görülece i üzere S ve S özelli ini s lyn bir s rlmyl, T, T ve T3 özelli ini s lyn ikili iliflkiler rs nd bir eflleme vrd r. Birinden di eri ç klnn yöntemlerle elde edilir. Ve ç klnn yöntemler iki kez uygulnd nd bfllnn ikili iliflki bulunur. Yni S ve S özelliklerini s lyn bir < s rlms ndn bfllrsk ve bu s rlmy önce (), sonr d () yöntemini uygulrsk bflld - m z < s rlms n buluruz. Ayr c e er T, T ve T3 özelliklerini s lyn bir iliflkisinden bfllrsk ve bu iliflkiye önce (), sonr d () yöntemini uygulrsk bflld m z iliflkisini buluruz. Demek ki S ve S özelliklerini s lyn bir s - rlmyl T, T ve T3 özelliklerini s lyn bir ikili iliflki rs nd pek bir frk yoktur. Bu yüzden bundn böyle T, T, T3 özelliklerini s lyn bir ikili iliflkiye de s rlm diyece iz. E er s rlmy <,,,, Þ gibi bir simgeyle tn mlrsk s rlmn n S ve S özelliklerini s ld n, e er, ë, ù, ±, º, ß gibi bir simgeyle tn mlrsk T, T, T3 özelliklerini s ld n vrsyc z. T, T, T3 özelliklerini s lyn bir s rlms n n bir tms rlm olms için, T. Her x, y için, y x y y d y x özelli inin s lnms gerekir elbette. T, T, T3 özelliklerini s lyn bir s rlms nd e er x y ise, x, y den küçükeflittir y d y, x ten büyükeflittir diyece iz. E er bir s rlm verilmiflse, >,, ô, ö, õ, ú,, gibi nlm briz oln ve l fl k oldu umuz simgeleri hiç çekinmeden kullnc z. Örne in: x > y y < x x y y x x ú y x y do ru de ilse x y x y do ru de ilse Dikkt! E er (, <) bir tms rlm de ilse, x ô y ill x y nlm n gelmeyebilir, çünkü x ve y krfl lflt r lmz d olbilirler. Dört syfy fln bir örnek ve tn m fsl ndn sonr yz n n kln k sm nd s rlmlr n bz özelliklerini ve bz s rlm örnekleri gösterece iz.
5 Mtemtik Dünys, 00 K fl Eskilerden Yeni S rlmlr Türetmek Bir S rlmy Ters Çevirmek. kinci örne imiz oln (N, p) s rlms nd birinci örne imiz oln (N, <) s rlms n ters çevirmifltik, birinci örnekte büyük oln elemnlr ikinci örnekte küçük olmufllrd. Genel olrk, herhngi bir s rlmy c S rlnm fl bir kümesinin tepesine bir elemn eklemek ters çevirerek yeni bir s rlm elde edebiliriz: E er <, kümesi üzerine bir s rlmys, x y iliflkisini y < x olrk tn mlyl m; o zmn de üzerine bir s rlmd r. Bu iki s rlm rs nd kydde er bir frk yoktur. S rl Bir Kümenin Bir Altkümesini S rlmk. S rl bir kümesinin bir Y ltkümesi verilmiflse, in s rlms n Y ye k s tlyrk Y yi de s rlybiliriz, yni Y kümesi üstkümesinin s rlms yl s rln r. in s rlms n sdece Y nin elemnlr - c Bir s rlm ve onun ters çevrilmifl hli en çok kulln m ln buln y en tepeye koymkt r, yni y en büyük elemn ypmkt r. {} kümesinin bu s rlms nd, in eski düzeni ynen korunur, bir de yr c n n in tüm elemnlr ndn dh büyük olc buyrulur. Yni her x, y {} için, x < y nck ve nck x, y ve (, <) de x < y ise y d x ve y = ise. elemn yukrdki gibi in tepesine eklendi- inde yerine yzmk nerdeyse bir gelenek hlini lm flt r. y in tepesi yerine bflk bir yerine de ekleyebiliriz. Örne in in içinde flu özellikleri s lyn U ve V kümeleri oldu unu vrsyl m: U V = ve U nun her elemn V nin her elemn ndn Y Y V V {} Bir s rlm ve bir ltkümesi n k s tlmk yeterlidir bunun için. Bu durumd Y nin s rlms n n in s rlms ndn mirs kld y d in s rlms n n kl nt s oldu u söylenir. Örne in Z nin do l s rlms hem Q nün hem de R nin do l s rlms n n kl nt s d r. N nin do l s rlms d hem Z nin hem Q nün hem de R nin do l s rlms n n kl nt s d r. Y nin bu s rlms n in lts rlms denir. Yeni Bir Elemn Eklemek. E er bir (, <) s rlms verilmiflse ve, te olmyn bir elemns, {} kümesini in s rlms n bozmyck flekilde çeflitli biçimlerde s rlybiliriz. En koly ve U y U ile V rs n koymk küçük. fiimdi y U ile V rs n koyl m, yni y U nun her elemn ndn büyük ve V nin her elemn ndn küçük ypl m. {} kümesi üstünde yeni bir s rlm elde ederiz. Asl nd y en son koymk bunun özel bir hlidir: E er yukrdki infld U = ve V = l rsk, y en tepeye koymufl oluruz. U 3
6 Mtemtik Dünys, 00 K fl Bunun bir bflk vrysyonu flöyledir: x ve V = {y : x < y} ve U = {y : y x} olsun. fiimdi n n V n n elemnlr ndn küçük ve U nun elemnlr ndn büyük oldu unu buyurl m. Böylece y x ten hemen sonr koymufl oluruz. Bunun resmi de fl d. V V V {} U U x U U ve V s rlmlr U + V N s rlms n fl dn yukr y de il, soldn s- yzd k. Zten ilerde de elemnlr küçükten büyü e yzrken soldn s yzc z y x ten hemen sonr koymk ki S rlmy Toplmk. (U, <) ve (V, <) iki s rlm olsun. U ile V nin yr k olduklr n, yni kesiflimlerinin bofl oldu unu vrsyl m. fiimdi, U ve V de vroln s rlm d fl nd yeni herhngi bir s rlm eklemeden U V kümesini s rl bir küme olrk lg lybiliriz. (U øv, <) olrk simgeleyece imiz bu s rlmd U nun elemnlr yl V nin elemnlr birbirleriyle k yslnmzlr. E er U ve V kümeleri yr k de illerse ve ill U ve V ile yukrdki infly ypmk istersek, önce bu iki kümeyi bir biçimde yr klflt rmk gerekir. Bunun stndrt yolu U yerine U {0}, V yerine V {} yzmkt r. Ayr c U ve V nin s rlmlr n bozmdn U {0} ve V {} kümelerine tfl n r. E er bu çok meflkktli geliyors, V nin elemnlr n (U nunkilere de il!) v yerine v d n verilir. Yndki flekilde U = V = N durumund bunun resmini ynd ypt k N ø N U V birleflimini (kümeler hâlâ yr k) flöyle de s rlybiliriz. U ve V nin vroln s rlms n kbullenip yr c U nun her elemn n V nin her elemn ndn küçük ddedebiliriz. U V kümesi üzerindeki bu s rlmy U + V olrk gösterilir. Resmi yn sütund. N + N s rlms önemlidir. Afl d bu s rlmy gösterdik, nck yerden kznmk için N + 4 Fonksiyonl S rlm. (Y, <) bir s rlm, bir küme ve ƒ : Y herhngi bir fonksiyon olsun. üzerine flu < ikili iliflkisini tn mlyl m: x, x için, x < x ƒ(x ) < ƒ(x ) olsun. Bu, kolyc kn tlnbilece i üzere üzerine bir s rlm tn mlr. Dikkt: Tn m x x ƒ(x ) ƒ(x ) olrk ypsyd k, e er ƒ birebir de ilse, bu tn m bir s rlm tn mlmz; çünkü x x, için ƒ(x ) = ƒ(x ) olurs, o zmn, x x ve x x olur m x = x olmz. Örnek: E bir küme olsun., E nin sonlu ltkümeleri kümesi olsun. x, x için, x < x x < x iliflkisi ( x, x ltkümesinin elemn sy s d r) üzerine bir s rlm tn mlr. Bu s rlm (, ) s rlms ndn dh ince bir s rlmd r çünkü e er x x ise x < x dir. E er E = {,, 3} ise her iki s rlmn n resmi fl d. {0, } {0, } {, } {0} {0,, } = E {} N ø N {} {0, } {0, } {, } {0} {0,, } = E {} {}
7 Mtemtik Dünys, 00 K fl Z N Örnek: = Z olsun. x, x Z için, x x x < x iliflkisi ( x, x sy s n n mutlk de eridir) Z üzerine bir s rlm tn mlr. Resmi fl d oln ve büyüklü ün mutlk de ere göre ölçüldü ü bu s rlmy göre, örne in, 3, den dh büyüktür, yni 3 tür. Am bu s rlmd, mutlk de erleri yn oln sy lr krfl lflt r lmz. Alfbetik S rlm. En çok kulln ln ve en yrrl s rlmlrdn biridir. (, <) ve (Y, <) birer s - rlm olsun. Y krtezyen çrp m üzerine flu s rlmy koyl m: x, x, y, y Y için, (x, y ) < (x, y ) nck ve nck x < x y d x = x ve y < y ise. Bunun S ve S koflullr n s lyn bir s rlm oldu unun kn t n okur b rk yoruz. (Mutlk yp lml!) Birkç örnek vermekte yrr vr. Bu s rlmy göre (, 0) > (4, 00) > (4, ) > (4, 0) > (3, 000) > (, ) > (, 0) > (, ) > (0, 600) > (0, ) > (0, 0). Bu s rlmd bir (x, y) çiftinin yerini sptmk için önce x e bk l r. x ne kdr küçükse (x, y) de o kdr küçüktür. E er birinci koordintlr eflitse, o zmn ikinci koordintlr bk l r. Örnek olrk N N nin lfbetik s rlms n bkl m. (0, 0) bu s rlmn n en küçük elemn - d r. Bu elemndn bir sonr gelen elemn (0, ) d r. Sonr (0, ), (0, 3) vs gelir. Tüm (0, n) ler bittikten sonr (!) ilk gelen elemn (, 0) d r. Bunun rd ndn (, ), (, ), (, 3) vs gelir. (, n) türünden elemnlr bittikten sonr (, 0) elemn gelir ve s rlm böylecene sürer gider N N zgrs n n elemnlr s ve yukr gittikçe büyürler. kinci sütunun tüm elemnlr birinci sütunun tüm elemnlr n dh büyüktür. Üçüncü sütunun tüm elemnlr ikinci sütunu tüm elemnlr ndn dh büyüktür. N N örne inde her elemndn hemen sonr gelen bir elemn vrd r: (n, m) elemn ndn hemen sonr (n, m + ) elemn gelir. Ayr c (n, 0) türünden elemnlr d fl nd her elemn n hemen bir öncesi vrd r: E er m 0 ise, (n, m) den hemen önce gelen elemn (n, m ) elemn d r. Al flt rmlr. Y. E er ve Y yndki x b gibiyse x Y lfbetik s rlms n bulun. y z c Afl dki l flt rmlr mtemtiksel ifde edilmemiflseler de okur s rlmlr kvrmy çl flrk ne sorulmk istendi ini nlybilir.. herhngi s rl bir küme olsun. {0, } kümesini 0 < olrk s rlyl m. {0, } lfbetik s rlms yl + s rlms n n bir nlmd yn s rlm olduklr n gösterin. 3. {0, } kümesini yukrdki gibi, N yi de do- l s rlyl m. N {0, } s rlms yl N s rlms rs nd pek frk olmd n gösterin. 4. {0, } kümesini yukrdki gibi, {, b} kümesi de bofls rlns n. {0, } {, b} lfbetik s rlms yl {, b} {0, } s rlms n n yr s rlmlr olduklr n gösterin. S rlmlr n Özel Elemnlr En Küçük ve En Büyük Elemnlr. Bir s rlmd en küçük y d en büyük elemn olbilece- ini de olmybilece ini de gördük. N nin do l s - rlms n n en küçük elemn vrd r m en büyük elemn yoktur. Bunun ters yüz edilmifli oln (N, p) s rlms n n en büyük elemn vrd r (0 d r) m en küçük elemn yoktur. Z nin do l s rlms n n ne en küçük ne de en büyük elemn
8 Mtemtik Dünys, 00 K fl vrd r. Öte yndn ( (E), ) s rlms n n hem en küçük () hem de en büyük (E) elemn vrd r., E nin sonlu ltkümeleri kümesi olsun. i iliflkisine göre s rlyl m, yni (, ) s rlms n bkl m. E er E sonsuz bir kümeyse, bu s rlmn n en büyük elemn yoktur, çünkü herhngi bir sonlu A kümesine E den A d olmyn bir elemn eklersek, A dn dh büyük bir küme elde etmifl oluruz. (Z, ) s rlms nd 0 en büyük elemnd r m (Z \ {0}, ) s rlms n n en büyük elemn yoktur. Mtemtiksel tn m flöyle: Bir (, <) s rlms n n en büyük elemn her x için x özelli ini s lyn bir elemn d r. En küçük elemn benzer biçimde tn mln r. E er A ise A n n en büyük elemn her x A için x özelli ini s lyn bir A elemn d r. Burd n n A d olms önemlidir. Örne in = R (do- l s rlmyl) ve A = (0, ) rl ise, A n n en büyük elemn yoktur. Am A = (0, ] ise, A n n en büyük elemn vrd r. A n n en küçük elemn benzer biçimde tn mln r. A n n en büyük elemn (e er vrs) bir tnedir, çünkü ve b, A n n en büyük elemnlr ys hem b hem de b eflitsizlikleri geçerli oldu- undn = b olur. Mksimum ve Minimum Elemnlr. A n n mksimum elemnlr her x A için x ö özelli- ini s lyn A elemnlr d r. Burd, n n A d olms gerekti ine dikktinizi çekerim. En büyük elemn, e er vrs, tek mksimum elemnd r. Am fl dki flekildeki örnekte de görülece i üzere mksimum elemnlrdn birkç tne olbilir. Bir tms rlmd en büyük elemnl mximum elemn rs nd frk yoktur ve bu durumd en büyük elemn mx A olrk gösterilir. A n n minimum elemnlr benzer flekilde tn mln rlr. Sonlu bir s rl kümede mutlk minimum ve mksimum elemnlr olmk zorundd r. ƒ b mksimum elemnlr:, b, c, d, e, ƒ c d e en büyük elemn: 6 (Z \ {}, ) s rlms n n en küçük elemn yoktur. Am bu s rlmd sl sy lrdn dh küçük elemn olmd ndn, sl sy lr bu s rlmn n minimum elemnlr d r. Al flt rmlr. ve Y s rlmlr n n en büyük elemnlr vrs, x Y lfbetik s rlms n n d en büyük elemn oldu unu gösterin.. x Y lfbetik s rlms n n en büyük elemn vrs, ve Y s rlmlr n n d en büyük elemnlr oldu unu gösterin. Hemen Sonrki ve Hemen Önceki Elemnlr. (, <) bir s rlm ve x olsun. Verdi imiz tüm örneklerde, belki son elemn d fl nd, her elemndn hemen sonr gelen en z bir elemn vrd. Örne in bölünmeyle tn mlnm fl beflinci örne imizde, hem 4, hem 6, hem 0, den hemen sonr gelen elemnlr. Am (Q, <) y d (R, <) s rlmlr nd hiçbir elemndn hemen sonr gelen bir elemn yoktur, çünkü her < b için, örne in, < ( + b)/ < b eflitsizlikleri s ln r. ( (E), ) s rlms nd E d fl nd her elemndn hemen sonr gelen bir elemn vrd r. b c d > dn hemen sonr gelen elemnlr: b, c, d E er x ise, (x, ) kümesini (x, ) = {y : x < y} olrk tn mlyl m. (Burd,, yepyeni bir simgedir; te diye bir elemn n olmd n vrsy - yoruz.) O zmn x ten hemen sonr gelen elemnlr (x, ) kümesinin en küçük elemnlr d r. Yni bir y elemn e er x < y eflitsizli ini s l yors ve hiçbir z için x < z < y eflitsizlikleri s lnm yors, o zmn y, x ten hemen sonr gelen elemnlrdn biridir. E er x ten hemen sonr gelen elemn bir tneyse, bu elemn x + olrk yz l r. x ten hemen önce gelen elemnlr benzer biçimde tn mln rlr.
9 Mtemtik Dünys, 00 K fl Her elemndn hemen sonr gelen bir elemn olmybilir. Örne in (Q, <) s rlms nd, 0 dn (y d herhngi bir bflk elemndn) hemen sonr gelen elemn yoktur. E er bir s rlmd her < b için, < c < b eflitsizliklerini s lyn bir c elemn vrs o zmn bu s rlmy yo un s rlm denir. Q ve R nin do l s rlmlr yo un s rlmlrd r m N ve Z nin do l s rlmlr yo un s rlmlr de illerdir. ( (E), ) s rlms d yo un bir s rlm de ildir, örne in, e er E ise, ile {} rs nd bir bflk elemn yoktur. Yo un s rlmlrd hiçbir zmn bir elemndn hemen sonrki y d bir elemndn hemen önceki elemnlr olmz. Am yo un bir s rlmd en küçük y d en büyük elemnlr olbilir; örne- in [0, ] kpl rl (do l s rlmyl) böyle bir s rlmd r. Üsts n r ve Alts n r. (, <) bir s rlm olsun. A n n bir ltkümesi olsun. A n n tüm elemnlr ndn büyükeflit oln in bir elemn n A n n üsts n r d verilir. Demek ki b nin A n n bir üsts n r olbilmesi için her A için b eflitsizli i s lnml d r. Alts n r benzer biçimde tn mln r. Birkç örnek verelim. = R (do l s rlmyl) olsun. ve den büyük her gerçel sy hem [0, ] hem de (0, ) rl klr n n üsts n r d r. Am R de, örne in, Z nin üsts n r yoktur. (Z, ) s rlms nd, e er A sonlu bir kümeyse, A dki sy lr n en küçük ortk çrp m n bölünen her sy A n n bir üsts n r d r; en küçük ortk çrp m d en küçük üsts n rd r. Bu s rlmd sonsuz kümelerin üsts n r 0 d r. Anck (Z \ {0}, ) s rlms nd, sonsuz ltkümelerin üsts n r yoktur. fiimdi örnek olrk ( (E), ) s rlms n ele ll m. A, B E olsun, yni A, B (E) olsun. O zmn {A, B}, (E) nin bir ltkümesidir. E nin, hem A y hem de B yi (ltküme olrk) içeren bir ltkümesi, yni E nin A B yi içeren bir ltkümesi {A, B} nin bir üsts n r d r. A B de {A, B} ltkümesinin bir üsts n r d r ve üsts n rlr n en küçü üdür. (E) E A B A B {A, B} A B yi içeren ltkümeler ( (E), ) s rlms nd (E) nin her ltkümesinin bir üsts n r vrd r. E bunlrdn biridir elbette. (Bir s rlmn n en büyük elemn her ltkümenin üsts n r d r elbette!) E er A, (E) nin bir ltkümesiyse, yni E nin bz ltkümelerinden olufln bir kümeyse, o zmn E nin A A A ltkümesi ve bu ltkümenin her üstkümesi A n n bir üsts n r d r ve üstelik A n n üsts n rlr n n en küçü üdür. (E) A B E A A A A A A A kümesini ltküme olrk içeren E nin B ltkümeleri, yni A n n üsts n rlr En Küçük Üsts n r. (, <) bir s rlm olsun. A, in bir ltkümesi olsun. A, A n n üsts n rlr kümesini temsil etsin: A = {x : her A için x}. A A A ve A n n üsts n rlr kümesi A E er x in için, [x, ) kümesini [x, ) = {y : x y} olrk tn mlrsk, A = A [, ) olur. A kümesinin en küçük elemn n (e er vrs) A n n en küçük üsts n r d verilir. Demek ki A n n en küçük üsts n r, her fleyden önce A n n bir üsts n r d r ve yr c A n n tüm üsts n rlr ndn küçükeflittir. A n n en küçük üsts n r, e er vrs, bir tnedir, çünkü hem hem de b, A n n en küçük üsts - n rlr ys, o zmn hem b hem de b olur, yni = b olur. A n n en küçük üsts n r sup A olrk gösterilir. En büyük lts n r benzer biçimde tn mln r ve inf A olrk gösterilir. A nin en büyük elemn vrs o zmn bu elemn A n n en küçük üsts n r d r. Ayr c e er A n n en küçük üsts n r vrs ve A dys, o zmn bu 7
10 Mtemtik Dünys, 00 K fl elemn A n n en büyük elemn olmk zorundd r. (N, <) ve (Z, <) s rlmlr nd, üsts n r oln ve bofl olmyn her ltkümenin en küçük üsts n r vrd r, nck yn fley (Q, <) s rlms için do ru de ildir. Örne in, A = {x Q : x < } Q ise A n n üsts n rlr vrd r (örne in ) m en küçük üsts n r yoktur, çünkü kesirli bir sy de ildir. Öte yndn, A = {x Q : x < } Q kümesinin Q deki en küçük üsts n r tir. (R, <) s rlms nd üsts n r oln ve bofl olmyn her ltkümenin bir en küçük üsts n r vrd r. Bu çok önemli olguyu kn tlmk için MD okurlr flu nd yeterli bilgiye ship de iller, çünkü MD de henüz gerçel sy lr kümesini tn mlnmd. Birkç sy sonr tn mlnd nd bu olguyu d kn tlyc z. (Z, ) s rlms nd, e er A sonlu bir kümeyse, A dki sy lr n en küçük ortk çrp m n (ekok) bölünen her sy A n n bir üsts n r d r ve en küçük ortk çrp m bu sonlu kümenin en küçük üsts n r - d r. 0 her ltkümenin üsts n r d r. Sonsuz kümelerin üsts n r 0 d r. Öte yndn (Z \ {0}, ) s rlms nd sonsuz kümelerin en küçük üsts n r yoktur çünkü bu s rlmd sonsuz kümelerin üsts n rlr yoktur. S rlmlr n Eflyp Fonksiyonlr (, <) ve (Y, ) iki s rlm olsun. E er ten Y ye giden bir ƒ fonksiyonu her x, x için, x < x ƒ(x ) ƒ(x ) () koflulunu s l yors, yni s rlmy syg duyuyors, o zmn ƒ ye eflyp fonksiyonu d verilir. Bu fonksiyonlr rtn fonksiyonlr d denir. Bir eflyp göndermesi birebir olmk zorund de ildir. Örne in = {, b} bofls rlmyl s rlnm fls ve Y = {c} ise, ten Y ye giden sbit c fonksiyonu yukrdki koflulu s lr m birebir de ildir elbet. Afl d birebir olmyn bir bflk eflyp fonksiyonu örne i vr. Bu örnekte ƒ() = x < y = ƒ(b) = ƒ(c). ƒ b c y Yukrdki örneklerden de görülece i üzere, bir ƒ eflyp fonksiyonu, her x, x için, Y x 8 x x ƒ(x ) ß ƒ(x ) () koflulunu s lmybilir. Öte yndn () koflulunu s lyn bir ƒ fonksiyonu, ki bunlr zlmyn fonksiyonlr diyebiliriz, birebir olml d r. Nitekim, e er ƒ(x ) = ƒ(x ) ise, hem ƒ(x ) ƒ(x ) hem de ƒ(x ) ƒ(x ) oldu- undn, hem x x hem de x x koflullr s ln r; doly s yl x = x olmk zorundd r. Doly s yl e er ƒ fonksiyonu () koflulunu s l yors () koflulunu d s lr. Bu flmd fikir de ifltirip bir eflyp fonksiyonundn () yerine dh güçlü oln () koflulunu s lms n isteyebiliriz. fiöyle de ypbiliriz: () koflulunu s lynlr <-eflyp fonksiyonu, () koflulunu s lynlr -eflyp fonksiyonu diyebiliriz. Herhngi biri sözkonusu oldu und d k sc eflyp fonksiyonu diyece iz. Örne in:. ki eflyp fonksiyonunun bileflkesi bir eflyp fonksiyonudur. b. Özdefllik fonksiyonu Id, ten e giden bir eflyp fonksiyonudur. c. E er ƒ bir eflyp efllemesiyse (yni birebir ve örtense), o zmn ƒ de bir eflyp fonksiyonudur. Bunlr n koly kn t n okur b rk yoruz. E er bir tms rlmys, ten Y ye giden bir <-eflyp fonksiyonu birebir olmk zorundd r. Nitekim ƒ(x ) = ƒ(x ) olsun. E er x < x ise ƒ(x ) < ƒ(x ) olur ve bu bir çeliflkidir. E er x < x ise benzer flekilde bir çeliflki elde edilir. Demek ki x = x. Ayr c birebir bir <-eflyp fonksiyonu bir -eflyp fonksiyonu olmk zorundd r. Bunun kn t - n okur b rk yoruz. Demek ki bu durumd iki kvrm rs nd bir yr m yok. Doly s yl bir tms rlm oldu und iki kvrm örtüflür. Eflyp efllemeleri bir s rlmy ynen kendisine benzeyen bir s rlmy götürler, yni e er ƒ : Y bir eflyp efllemesiyse, in s rlms yl Y nin s rlms, elemnlr n n dlr d fl nd yn d r. Bu iki s rlmn n elemnlr n n dlr n silersek rd bir frk göremeyiz. Arlr nd eflyp efllemesi oln s rlmlr eflyp sl s rlmlr diyece iz. Örne in, ) E er in bir en küçük elemn vrs ve bu elemn ise, Y nin de en küçük elemn vrd r ve bu elemn ƒ() d r. b) E er x in bir sonrki elemn vrs o zmn ƒ(x + ) = ƒ(x) + eflitli i s ln r. c) Her x için ƒ(x, ) = (ƒ(x), ) eflitli i s ln r.
11 Mtemtik Dünys, 00 K fl d) E er A ise ve sup A vrs, sup ƒ(a) d vrd r ve ƒ(sup A) y eflittir. E er = Y ise eflyp efllemesi yerine özyp efllemesi denir. Bsit bir örnek olrk fl dki s rlmn n özyp eflleflmelerini bull m ve elemnlr n sbit tutrk m, 6 ve 7 elemnlr n, 3 ve 4 elemnlr n,, 6 ve 7 elemnlr n, 3, 4 elemnlr n kendi rlr nd diledi imiz gibi de ifltirerek 3!! 3!! = 44 tne eflyp eflleflmesi elde ederiz. Ayr c s dki ve soldki prçlr thmin edilebilece i biçimde (n yi n elemn n ve n elemn n n ye yollyrk, bu eflleflmeye τ diyelim) de ifl tokufl edebiliriz. Böylece toplm 44 = 88 tne eflyp eflleflmesi elde ederiz. Bflk d eflyp eflleflmesi yoktur. Bunu kn tlyl m. ϕ, böyle bir eflyp eflleflmesi olsun. O zmn ϕ, in minimum elemnlr n yni ve elemnlr n gene in minimum elemnlr n gönderir. E er ϕ() = ise, ϕ I τ de bir eflyp eflleflmesidir m bu kez bu yeni eflleflme ve elemnlr n sbitler. Gerekirse ϕ yerine ϕ I τ eflleflmesini lrk ϕ nin ve elemnlr n sbitledi- ini vrsybiliriz. Bu koflullr s lyn bir ϕ nin yukrdki 44 eflleflmeden biri olc mlum. E er (, <) ve (Y, <) s rlmlr rs nd bir eflyp efllemesi vrs, o zmn (, <) (Y, <) y d (e er s rlmlr biliniyors y d çok brizse) k - sc Y yz l r. fiimdi birkç s rlmn n eflyp eflleflmelerini bull m. Teorem. (N, <) s rlms n n bir tek özyp eflleflmesi vrd r: Id N özdefllik fonksiyonu. Kn t. ƒ bir eflyp eflleflmesi olsun. ƒ, en küçük elemn oln 0 gene 0 göndermelidir. Tümevr ml ƒ nin n yi n ye gitti ini vrsyrsk, ƒ(n + ) = ƒ(n) + = n + ve böylece ƒ nin her elemn sbitledi i kn tln r. Yni ƒ = Id N dir. Teorem. (Z, <) s rlms n n özyp eflleflmeleri belli bir n Z için ƒ n (x) = x + n eflitli ini s lyn ƒ n fonksiyonlr d r. Kn t: Her ƒ n fonksiyonunun rtn bir eflleflme (yni özyp eflleflmesi) oldu u belli. fiimdi ƒ : Z Z rtn bir eflleflme olsun. ƒ(0) = n olsun. x üzerine tümevr ml, her x N için ƒ(x) = x + n eflitli i flöyle kn tln r: ƒ(x + ) = ƒ(x + ) = ƒ(x) + = (x + n) + = (x + n) + = (x + ) + n. Benzer flekilde (x + yerine x kullnrk) her x Z \ N için ƒ(x) = x + n eflitli i kolyl kl kn tln r. (Q, <) s rlms n n özyp eflleflmelerini belirlemek pek koly de ildir. (Anlyn: Olbilecek en yüksek sy d, yni ` tne vrd r.) Teorem 3. ( (E), ) s rlms n n özyp eflleflmeleri E nin belli bir ƒ eflleflmesi için, her A E için ϕ(a) = {ƒ() : A} kurl yl tn mlnm fl bir ϕ fonksiyonu trf ndn verilir. Kn t: MD-003-II, syf 4- te (yr c bkz. MD-003-III, syf 7) kn tld m z bu teoremi okur l flt rm olrk kn tlybilir. Teorem 4. P, N nin sl sy lr kümesi olsun. (N, ) s rlms n n özyp eflleflmeleri P nin belli bir ƒ eflleflmesi için 0 e er n = 0 ise ϕ( n) = e er n = ise k ( p )... ( pr) k r n p k... p k r ƒ ƒ e er = r ise ( pi sl) fonksiyonu trf ndn verilir. Kn t: Yukrdki teoremin kn t gibidir ve okur b rk lm flt r. Uzun bir yz d ols umr z okur bu yz d sözü edilen kvrmlr kvrm flt r. 9
Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] =
DetaylıLimit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c
DetaylıKesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi
Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod
DetaylıFonksiyonlara Genel Girifl
Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: Fonksiyonlr Fonksiyonlr Genel Girifl. Tn m. Fonksiyon kvrm n n mtemti in en önemli kvrmlr nn iri olu unu söylemek fonksiyon kvrm n üyük hks zl k olur. Fonksiyon, mtemti
DetaylıHiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri)
Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye
Detaylı1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,
DetaylıParabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler
Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece
DetaylıSinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k.
58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n geçmiflte bir seri olrk tn mlm flt k. Tn mlr n mstl m: 2i1 3 5 i x x x sin x ( 1) x i0 ( 2 i 1)! 3! 5! 2i 2 4 i x x x cos x ( 1)
Detaylıege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16
Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un
DetaylıÖ rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.
4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik
DetaylıA A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.
TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm
DetaylıKomisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5
Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.
Detaylı1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.
.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine
DetaylıTEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,
TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,
Detaylı1. Her fiey S ralanamaz
Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B
DetaylıUzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme
MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr
DetaylıBÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.
MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir
DetaylıFONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle
DetaylıGeçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
DetaylıSüreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Mtemtik Düns, 2008-III Mtemti in en önemli ve en temel konulr ndn birine geldik: Süreklilik. Her zmnki gibi öne kvrm n sezgisel nlm n ç kll m. Bz fonksionlr n grfi inde kopukluk oktur, bz lr nd ise tm
DetaylıDERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar
DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle
DetaylıBu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
DetaylıJOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim
JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler
Detaylıçindekiler I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar kinci K s m: Ordinal Say lar Üçüncü K s m: Seçim Aksiyomu ve Zorn Önsav
çindekiler Önsöz...i I. Dönem Birinci K s m: S ralamalar Hafta 1-2-3: 1. Her fiey S ralanamaz...3 2. S ralama...11 Hafta 4: 3. Say labilir Yo un S ralamalar...43 Hafta 5: 4. yis ralamalar Hissetmek...59
DetaylıOKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI
OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR
DetaylıYükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri
Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu
DetaylıSistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı
Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji
DetaylıOkurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir
Detaylı12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI
12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri
DetaylıPLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)
PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıBu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
DetaylıBİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI
BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn
DetaylıSAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
DetaylıVeri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4
Test / 0 soru soru Bir zr t ld nd üste gelen sy n n tek oldu u ilindi ine göre, sy n n sl sy olm Bir çift zr t ld nd üste gelen sy lr n toplm n n 0 oldu u ilindi ine göre, zrlrdn irinin olm soru soru Bir
DetaylıTopolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
DetaylıSORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise
GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy
Detaylıİstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıBahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.
Tnıtım Bhçe Mh. Soğuksu Cd. No:73 MERSİN www.srtnitim.com info@srtnitim.com Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.532 592 60 05 çık hvdki prestijiniz 1 Tnıtım ,Büfe Durk Rket 118 x 178 cm Gintbord
Detaylı4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
Detaylıyis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
DetaylıKümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
DetaylıBir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
DetaylıYrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu
PERSONEL SEÇĐMĐNĐN ANALĐTĐK HĐYERARŞĐ PROSESĐ YÖNTEMĐYLE GERÇEKLEŞTĐRĐLMESĐ ÖZET Orhn ADIGÜZEL Glolleşmenin neden olduğu ilgi ve teknolojideki gelişmeler, işletmeleri ve kurumlrı dh kliteli insn kynğın
DetaylıArd fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
Detaylı256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
DetaylıASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM
YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir
DetaylıYan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
DetaylıKontak İbreli Termometreler
E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü
DetaylıLKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU
LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.
DetaylıTÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:4, Syı:2, 2014,57-69/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:4, No:2,2014,57-69 TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ ÖZET Emine
Detaylı5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere,
1. ve b pozitif tmsy lrd r. + b = 13 oldu un göre, + 3b toplm n n en büyük de eri kçt r? 5. ve b pozitif tmsy lrd r. Yndki bölme iflleminde, n n lbilece i en büyük de er kçt r? b 8 b 8 ) 4 ) 8 ) 34 ) 37
DetaylıSonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
DetaylıDENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.
DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli
DetaylıÖnsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
DetaylıRASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
DetaylıGerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıYILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
DetaylıGeometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c
temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli
DetaylıBÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ
BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin
DetaylıSAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :
SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d
DetaylıBu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
Detaylıb göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
DetaylıBu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
DetaylıÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
DetaylıİDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI
Gzi Üniv Müh Mim Fk Der J Fc Eng Arch Gzi Univ Cilt 20, No 1, 95-106, 2005 Vol 20, No 1, 95-106, 2005 İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Ergün ERASLAN
DetaylıKULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX
TR KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX 2 www.electrolux.com 1x 1x 2x 3x Ø 10 3x Ø 6x70 6x Ø 2,9x9,5 13x Ø 3,5x6,5 1x 1x Type 14 1x 3 4 www.electrolux.com SX BACK R1 FRONT RX R1 ( ) SX BACK Y FRONT RX 3 x Ø 10mm
DetaylıBu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
DetaylıYeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
Detaylı14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
DetaylıHemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
DetaylıKARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI
KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut
DetaylıANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ. Adil HUSEYNOV ANKARA 2010
ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ Adil HUSEYNOV MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA 200 Her hkkı sklıdır ÖZET Doktor Tezi
DetaylıMatemati in Emekleme Ça Üzerine
Mtemti in Emekleme Ç Üzerine E flitlik, enzerlik, yk nl k, uzkl k gii her s l kl insn n günlük yflm nd kullnd kvrmlr yn zmnd mtemti in önemli kvrmlr d r d. Günümüzün mtemti i unlr enzer do l kvrmlr üzerine
DetaylıMil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim
Mil li i tim kn l T lim ve Ter bi ye u ru lu fl kn l n n 0..009 t rih ve s y l k r r ile k bul edi len ve 00-0 Ö re tim Y l n dn iti b ren uy gu ln ck oln prog r m gö re h z r ln m flt r. Genel Müdür Temel
DetaylıXherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
Detaylıc
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
DetaylıPROSES FMEA FORMUNUN KULLANIMI
BİR PROE FMEA GELİŞTİRMEK (Q 9000 - üçüncü bsk) Proses sorumlusu mühendis, Proses FMEA hzrlklrnd kendisine yrdmc olbilecek tüm dokümnlr ship olmldr. Proses FMEA, bir prosesin ne olms ve ne olmms konusundki
DetaylıÇELİK YAPILAR DERS NOTLARI
ÇELİK YAILAR DERS NOTLARI Skry Üniversitesi Mühendislik Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü 1- Çeliğin Trihçesi Ülkemizle trihsel ilişkisi Demir : Düşük ornd krbon(c) içerir, yumuşk, ergime noktsı:1500 0
DetaylıANAHTARLAMALI DC/DC ÇEVİRİCİLER
NHTRM C/C ÇEİRİCİER EN BSİT C/C ÇEİRİCİ (Bu konu erste tht zılrk nltılmıştır.) ÇTC (BUCK) (Bu konu erste tht zılrk nltılığı n bur lnız eres e formüller erlmştr.) Enüktns kımı süreklse:,, T ( ) 8C π ( )
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
DetaylıSORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.
GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde
DetaylıLYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.
Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,
DetaylıLYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ
LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n
DetaylıOlas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
DetaylıBÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI
BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI 6.1. SĐSTEM... 6/ 6.. YÜKLER... 6/4 6..1. Düşey Yükler...
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
DetaylıSevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
DetaylıMatematik. Dünyas ndan. Sevgili Matematikseverler,
Mtemtik Sevgili Mtemtikseverler, ünys ndn kdemik y l gene bfll yor. Herkese yeni kdemik y ld bflr lr dilerim. Yüzbinlerce genç büyük umutlrl üniversiteye ilk d m n tck. Yeni bir ortm, yeni bir çevre, yeni
DetaylıTEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
DetaylıBu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran
51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n
Detaylı11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi
11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem
DetaylıÇ NDEK LER. Güç Kontaktörleri. Güç Kontaktörleri
Güç Kontktörleri Ç NDEK LER FC0M FC0M FCD FCD FCD FCD FC0D FCD FC0D FCD Kompnzsyon Kontktörleri FCDK FCDK FCD FC0D FC0D FC0D FC0D FC00D FCD FC0D FCDK Güç Kontktörleri Özellikler Kullnım Sınıflrın Göre
Detaylı