Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Transkript

1 Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece ini gördük. Bu z d u dört tip denklemden irini s ln (, ) noktlr n n düzlemde ns l ve ne tür ir C e risi (koni i) oluflturdu unu görece iz. Dejenere fi klr. Birinci ve ikinci tip denklemler dejenere olrk nitelendirilirler, çünkü unlr n tn mld e riler nokt ve do rulrdn oluflurlr, e ri sözcü ünün hkk n eterince vermeen ir durum sözkonusu... Birinci Tip Denklemler. lk olrk = 0 denklemlerine kl m: E er > 0 ise sdece = = 0 uluruz, ni koni in sdece (0, 0) nokts vrd r: C = {(0, 0)}. E er = 0 ise = 0 do rusu elde edilir: C = {(0, ) : R}. E er < 0 ise, d = > 0 tn m n prk 0 = = 2 d 2 = ( + d)( d) denklemini elde ederiz. Demek ki u durumd konik, + d = 0 ve d = 0 do rulr n n ileflimidir: C = {(± d, ) : R}. kinci Tip Denklemler. fiimdi 2 = ƒ denklemile tn mlnn koniklere kl m. Bu denklemin ƒ < 0 ise s f r, ƒ = 0 ise ir ve ƒ > 0 ise iki çözümü vrd r. Am ir de de iflkeni vr; denklemde elirmedi inden, e herhngi ir koflul koflulmm flt r ve herhngi ir de eri lilir. Demek ki u durumd: E er ƒ < 0 ise koni in hiç nokts oktur, ni, C = dir. Prol, Elips ve Hiperol Ceirsel Tn mlr ve Geometrik Çizimler 23 E er ƒ = 0 ise konik = 0 do rusudur: C = {(0, ) : R}. E er ƒ > 0 ise, konik = ƒ ve = ƒ do rulr n n irleflimidir: C = {(± ƒ, ) : R}. lginç fi klr. Üçüncü ve dördüncü denklemlerin verdi i konikler çok dh ilginçtirler. Bunlr üzerine dh uzun düflünece iz. Prol. Dördüncü tip oln = 2 denkleminin verdi i koni e ve u koni in döndürülerine ve ötelemelerine prol d verilir. Prolün ns l ir fle oldu unu nlm çl fll m. = 2 denkleminin verdi i prole C erine P dielim. Birkç gözlemle flll m: i in ir fonksionu olrk göreiliriz, çünkü her R, ir ve ir tek de eri verir. Dol s l her = u dike do rusu P prolünü tek ir noktd keser: (u, u 2 ) nokts nd. E er = 0 ise, = 0 do rusunu elde ederiz. Bundn öle 0 olsun. E er < 0 ise, eksenine göre düzlemin simetrisini lrk, ni = eksen de iflikli ini prk, > 0 vrs m nd uluniliriz. (0, 0) P. = 2 ve > 0 oldu undn, prolün noktlr n n koordintlr hiç negtif olmzlr, ni prol hiç ekseninin lt n inmez. E er (, ) P ise, (, ) P. Dol s l e ri eksenine göre simetriktir ve 0 durumun odklnmm z eterlidir. sonsuz gitti inde de sonsuz gider. 0 ise, rtt nd de rtr, ni 0 1 < 2 ise 1 2 < 2 2 dir. u ( u, u 2 ) P u 2 e ri, eksenine göre simetriktir (0,0) P (u, u 2 ) P u le irlikte e ri rtrk sonsuz gidior. e ri nin ulundu u ölge; ekseninin üstünde.

2 Mtemtik Düns, 2005 Yz Yukrdki flekilde ufk tefek gözlemlerimizi resmettik. Bu ilgilerden prolün tm ns l oldu- u nlfl lmz elette, sdece ir fikir verir. Örne- in, prol fl dki iki flekilden iri gii olilir. fl do ru içüke hep ukr do ru ukr do ru içüke içüke Prolün ols flekilleri A(u, u 2 ) u Q = 2 B(v, v 2 ) P(w, w 2 ) w v fiimdi fonksionun grfi ini üük ölçüde elirleen flu özelli i gösterece iz: Her A, B P için, P nin A ile B rs nd kln = 2 k sm AB kiriflinin lt ndd r, B ni grfik ndki flekildeki A gii ukr do ru içükedir. Kn t: A(u, u 2 ) P ve B(v, v 2 ) P olsun. (u, v) rl ndn herhngi ir w ll m, ni u < w < v olsun. fiimdi w nin üstünde ulunn grfi in P nokts l, kiriflin Q nokts n krfl lflt rl m. Önce u iki noktn n koordintlr n ull m. P nin koordintlr n n (w, w 2 ) oldu u elli. Q nün irinci koordint d w elette. Q, AB do rusunun üstünde oldu u için, Q nün ikinci koordint n ulmk için AB do rusunun denklemini ulml z. Bull m: = 2 = 2 ekseni e rie (0,0) nokts nd te et. (0, 0) nokts nd e rie soldn ve s dn olmk üzere iki de iflik te et vr. 2 2 v u 2 2 = ( u) + u = ( v + u)( u) + u. v u Demek ki AB do rusunun denklemi flöle: = (v + u)( u) + u 2. Dol s l Q nokts n n üksekli i (ni ikinci koordint ) (v + u)(w u) + u 2 dir. Bu ükseklikle P nin üksekli i oln w 2 s - lr n krfl lflt rl m. Q nünkisinin dh üük oldu unu kn tlmk zor de il: (v + u)(w u) + u 2 > w 2 (v + u)(w u) > w 2 u 2 = (w u)(w + u) v + u > w + u v > w. Bölece prolün ukr do ru içüke oldu unu kn tlm fl olduk ve nee enzedi i üük ölçüde ort ç kt ; sfn n fl ndki irinci flekildeki gii olml. Am prolün fleklinden dh tm emin olm z. Yukrdki flekil irz fzl umuflk. Belki de prolün en umulmd k ir erinde ir sivrili- i vrd r. Afl dki s dki grfikte (0, 0) nokts nd ir sivrilik vr, o noktd grfi in iki de iflik te eti vr. (Te etin mtemtiksel tn m n dh sonr görece iz, flimdilik sezgisel tk ll m.) Prol de, l gii, öle durduk erde sivrili i oln ir e ri olilir. Prolün O(0, 0) civr ndki dvrn fl n dh ii nll m. Prolün (0, 0) nokts n n civr ndki dvrn fl n ö renmek için u noktdn geçen ve dike olmn herhngi ir = m do rusu ll m (m, do runun e imidir) ve u do ruu prolle, ni = 2 fonksionunun grfi ile kesifltirelim. Kesiflim noktlr ndn iri (0, 0) nokts d r elet. Bkl m ikinci ir kesiflim nokts vr m? Ols ikinci kesiflim nokts n (u, v) dersek, o zmn u 0 olml ve mu = v = u 2 eflitlikleri s lnml. u 0 oldu undn, u eflitliklerden m = u ve u = m/ elde ederiz. Demek ki, e er m 0 ise, ni do ru t de ilse, = m do rusu prolü (0, 0) ve (m/, m 2 /) olmk üzere iki de iflik noktd keser. = 2 Dol s l prolün = m (0, 0) nokts n n civr ndki dvrn fl ukrdki (m/, m/ 2 ) ikinci flekildeki gii de- il, irinci flekildeki gii olml d r, ni prol O nokts n eksenine nerdese prlel olck içimde (te et) klflml d r. Yukrd sordu umuz n soruu prolün herhngi ir (u, u 2 ) nokts için sorl m. Bu noktdn geçen ve dike olmn ir do ru prolü P : = 2 (u, u 2 ) = m( u) + u 2 kç noktdn keser? Prolün (u, u 2 ) nokts ndn geçen ve dike olmn ir do runun denklemi, elli ir m s s için, = m( u) + u 2 fleklindedir. Ols ikinci kesiflim nokts n n irinci koordint n v dersek, v, v 2 = m(v u) + u 2 eflitli ini s lml d r. Burdn, 24

3 m(v u) = v 2 u 2 = (v u)(v + u) ve rd ndn, m = v + u ç kr. Demek ki v u eflitsizli i için, m 2u eflitsizli i geçerli olml. Sonuç: E imi 2u ve (ni dike) oln iki do ru d fl nd prolün (u, u 2 ) nokts ndn geçen her do ru prolü iki noktd keser. Prolün (u, u 2 ) nokts ndn geçen ve e imi 2u oln do ru d prole (u, u 2 ) nokts nd te et oln do rudur. Yukrd pt klr m z, türev kullnrk çok dh kol ve mtemtiksel ir içimde p lilir m lise e itiminde rt k türev olmd ndn ne z k ki u kvrm kullnm oruz. Sonuç olrk, = 2 denklemile verilen prolün 1 grfi i ndki flekildeki giidir. = de ifltikçe prolün flekli 2 prolü de de iflir., 0 klflt kç prol vnlfl r ve, 0 çok k nsd nd prol eksenine çok k nsr. Öte ndn 1 üüdükçe prol dikleflerek ekseninin pozitif k sm n klfl r. De iflik lr için = 2 prolleri ndki flekilde gösterilmifltir. Yukrdki prollerin eksenine göre simetrilerini l p elli ir vektör kdr öteler ve elli ir θ ç s l döndürürsek, düzlemdeki tüm prolleri elde ederiz. Bu prollerden irkç ndki flekilde görünmektedir. Soru. Do rusl olmn herhngi üç de iflik noktdn ir ve ir tek çemerin geçti i ilinir. Herhngi üçü do rusl olmn her dört ( d efl) noktdn ir prol geçer mi? 25 Mtemtik Düns, 2005 Yz Üçüncü Tip Denklemler. Gelelim = 1 türünden denklemlere. ve kts lr n n en z ndn iri pozitif de ilse denklemin tn mld e ri oflkümedir. Bundn öle iki kts dn irinin pozitif oldu unu vrsl m. Bu vrs m göre, e er 0 ise > 0 olmk zorundd r ve u durumd = do rusun göre düzlemin simetri ini l rsk ekseni ve ekseni de ekseni olur ve ile nin rolleri de iflir. Dol s l n n pozitif oldu unu vrsiliriz. E er = 0 ise, e ri iki do rudn oluflur. Bundn öle nin 0 olmd n vrsl m. Anlizimizi > 0 d < 0 koflullr n göre ikie rc z. Birinci tür e rie elips, ikinci türe hiperol denir. Art k, erine 1/ 2, erine 1/ 2 zrk, elipsin denklemini 2 / / 2 = 1 olrk, hiperolün denklemini de 2 / 2 2 / 2 = 1 olrk zilece imizi vrsiliriz. Ar c ve nin de pozitif olduklr n vrsiliriz. Elips. Bu ölümde > 0 ve > 0 için, 2 / / 2 = 1 denklemile verilen E e rilerini ele lc z. Bu tür e rilere ve unlr n döndürü ve ötelemelerine elips denir. Önce elipslerin irkç kol özelli inden flll m. E er = ise, denklem = 2 içimine ürünür ve u denklemin verdi i elips (0, 0) merkezli ve r çpl çemerdir. Dol s l ve irirlerine k n s lrs elipsin çemere enzeece i thmininde uluniliriz. E er (, ) E ise, (, ) E, (, ) E, (, ) E. Dol s l E e risi ve eksenlerine göre simetriktir. 2, en üük de erini 2 = 0, ni = 0 oldu- und l r. Demek ki 2 2 olml d r. Dol s l. Benzer eflitsizlikler koordint için de geçerlidir elet:. Demek ki elips [, ] [, ] dikdörtgeninin içine s k flm flt r. O nokts ndn geçen her fl n n elipsi tek ir noktd kesti ini kn tlm okur l flt rm olrk rk oruz. E er ve pozitifse, ikisinden iri rtt nd di eri u rt fl telfi edip 2 / / 2 = 1 eflitli ini s lilmek için zlmk zorundd r. ve simetri eksenlerinden dol, elipsin dvrn fl n di- er durumlrd d (örne in pozitif, negtifken de) ilioruz. Bu ulgulrdn elipsin ns l ir e ri oldu u fl ukr ç kr. Elipsi çizmemize rmk kld. Birkç ols e rii ir sonrki sfd çizdik. E er düzlemin A(, ) nokts 2 / / 2 < 1 elipsin d fl eflitsizli ini s l ors, u noktn n elipsin içinde oldu unu söleelim. E er 2 / / 2 elipsin içi > 1 ise nokt-

4 Mtemtik Düns, 2005 Yz n n elipsin d fl nd oldu unu söleelim. Bölece elipsin içi ve d fl tn mlnm fl oldu. Elipsin içinde l nn ir noktl elipsin d - fl nd l nn ir nokt irlefltiren do ru prçs elipsi tek ir noktd keser. Bunun d kn t kold r. E er iki nokt elipsin içindese, u noktlr irlefltiren do ru prçs d elipsin içindedir, ni, e er 2 0 / / 2 < 1 ve 2 1 / / 2 < 1 eflitsizlikleri s ln ors, o zmn her λ [0, 1] s s için, (λ 0 + (1 λ) 1 ) 2 / 2 + (λ 0 + (1 λ) 1 ) 2 / 2 < 1 eflitsizli i s ln r. Bunun kn t sit ir hesptn ç kr ve okur rk lm flt r. Bölece, elipsin sl nd ukrdki irinci flekildeki gii oldu u, ni d flüke oldu u ç kr, lttki di er iki e ri ukrd kn tld m z özelli i s lmzlr. Elipsi çizmemize ir engel dh kld. Elips e risi fl dki iki flekilden iri gii olilir. Hngisi? 2 / /c 2 = 1 Elipsinin Ols Eskizleri > 0 ve > 0 ise, üüdükçe küçülür. Elips u gri dörtgenin içinde Elips ve eksenlerine göre simetriktir. fiimdie kdrki ulgulr m z göre elips ukrdki gii olilece i gii fl dki flekillerdeki gii de olilir. 2 / / 2 = 1 elipsi ukrdki d flüke flekillerden iri gii olilir. S dkinde sivri noktlr vrd r. Elipste öle sivri noktlr olilir mi? fiimdi, elipsin herhngi ir nokts ndn geçen herhngi ir do runun elipsi kç noktd kesti ini ull m. Yukrdki flekildeki gii sivri noktlr olmms için iri (te et oln ) d fl nd, unlr n her irinin elipsi iki de iflik noktd kesmesi gerekir. Elipsin üstünde l nn noktn n koordintlr (u, v) olsun. u ile v rs nd u 2 / 2 + v 2 / 2 = 1 iliflkisi vrd r elette. Bu noktdn geçen ir do runun denklemi = u dur (e er do ru dikese) d, = m( u) + v dir. Önce = u do rusul 2 / / 2 = 1 elipsini kesifltirelim. Kesiflim noktlr ndn iri (u, v) ise, (u, v) de di eridir elette. Dol s l v 0 ise kesiflim en z iki noktd r. (Asl nd tm iki noktd r.) E er v = 0 ise o zmn u = ± olml. u nun (u, v) ( u, v) 2 / / 2 = 1 elipsile dike do rulr n kesiflimi (, ) 2 / / 2 = 1 elipsile dike olmn do rulr n kesiflimi u de erini 2 / / 2 = 1 denklemine korsk = 0 elde ederiz. Demek ki v = 0 durumund kesiflim nokts ir tne: (u, 0). fiimdi 2 / / 2 = 1 denklemile verilen elipsle, u elipsi ir (u, v) nokts nd kesen = m( u) + v do rusunu kesifltirelim. Kesiflim noktlr ndn iri (u, v). Ols ikinci ir kesiflim nokts n (, ) dielim. u eflitsizli inin frk n vr p hesp pl m. 1= 2 / / 2, = 2 / 2 + (m( u) + v) 2 / 2 = 2 / 2 + m 2 ( u) 2 / 2 + v 2 / 2 +2mv( u)/ 2 = 2 / 2 + m 2 ( u) 2 / u 2 / 2 + 2mv( u)/ 2 = 1 + ( 2 u 2 )/ 2 + m 2 ( u) 2 / 2 + 2mv( u)/ 2. Önce 1 leri sonr d u lr sdelefltirerek, ( + u)/ 2 + m 2 ( u)/ 2 +2mv/ 2 = 0 elde ederiz. Burdn koll kl, (1/ 2 + m 2 / 2 ) = u/ 2 + m 2 u/ 2 2mv/ 2 elde ederiz. E er (1/ 2 + m 2 / 2 )u u/ 2 + m 2 u/ 2 2mv/ 2 (u, v) = m( u) + v = 2 u 2 ( u) + v v 26

5 Mtemtik Düns, 2005 Yz ise, u koflulundn dol, iki de iflik kesiflim nokts ulunur. E er (1/ 2 + m 2 / 2 )u = u/ 2 + m 2 u/ 2 2mv/ 2 ise, ni m = u 2 /v 2 ise tek ir kesiflim nokts vrd r; u d (u, v) nokts ndn elipse te et geçen do runun e imidir. Demek ki elipsin herhngi ir nokts ndn elipsi sdece ir noktd kesen tek ir do ru vrd r (ve u do ru d o noktdn geçen te- ettir.) Bölece elipsin üük 2 / / 2 = 1 elipsi ölçüde ndki gi- i ir e ri oldu unu kn tlm fl olduk. Hiperol. Bu ölümde > 0 ve > 0 için, 2 / 2 2 / 2 = 1 denklemile verilen H e rilerini ele lc z. Bu tür e rilere ve unlr n döndürü, simetri ve ötelemelerine hiperol denir. Önce H nin kol kn tlnn irkç özelli inden flll m. E er (, ) H ise, (, ) H, (, ) H, (, ) H. Dol s l H e risi ve eksenlerine göre simetriktir. Her R için, (, ) nokts n n hiperolün üstünde oldu u iki tne vrd r: = ± Öte ndn, her R için, (, ) nokts n n hiperolün üstünde oldu u ir oktur; öle ir nin olms için 2 2, ni d eflitsizli i s lnml d r. Bir flk deiflle (, ) R nt nd hiperolün ir nokts oktur. Am e er (, ) ise, = ± 2 2 olrk l rsk, (, ) H olur. E er ve pozitifse, u iki s dn iri rtt nd, di eri de, u rt fl telfi edip 2 / 2 2 / 2 = 1 eflitli ini s lilmek için rtmk zorundd r. Htt sonsuz do ru gitti inde de sonsuz gitmelidir. Asimptot. E er 0 ise, hiperolün denkleminden 2 / 2 = 2 / 2 2 / 2 / = / 2 / 2 2 / 2 = 1 hiperolünün > 0 ve > 0 ölgesi üük ç kr. Dol s l e er çok çok üükse, o zmn, 2 / 2 terimi çok çok küçük olur ve 2 / 2 fl- ukr 2 / 2 s s n eflit olur, ni / ±/ olur. Demek ki i de pozitif l rsk, / / olur. fiimdi flu sv ort t orum: çok üüdü- ünde, pozitif ir için (, ) H ise, o zmn /, ni hiperolle = / do rusu irirlerine çok k n olurlr. Sv m kn tl orum. (, ) prolün üstünde ir nokt olsun., çok çok üük olsun. de pozitif olsun. / ile rs ndki frk n çok çok küçük oldu unu kn tlc z: = = = = Yukrdki hesptn d görüldü ü gii / ile rs ndki frk pozitif (ni / >, ni = / do rusu hiperolün üstünde) m çok küçük, o kdr ki sonsuz gitti inde u frk 0 gidior. Bu ulgulrdn hiperolün ns l ir e ri oldu- u fl ukr ç kr, u sütunun en tepesinde çizilmifl e ri giidir. Am henüz undn tm emin olm z. O flekil irz fzl umuflk. Belki de hiperolün en umulmd k ir erinde (ir sonrki sfdki flekildeki gii) ir sivrili i vrd r... Anen elipste pt m z gii do rulrl hiperolün kesiflim noktlr n uliliriz. Elipste p - ln çok enzer ir hesp, e er v 0 ise, hiperolün (u, v) nokts ndn geçen u 2 /v 2 e imli do ru d fl nd (ki u do ru hiperole (u, v) nokts nd te et do rudur) ve ±/ e imli simptotlr p- 27

6 Mtemtik Düns, 2005 Yz Te et do ru: = 2 ( u)/ 2 + v = / Herhngi ir do ru = m( u) + v = ( u)/ + v (u, v) = ( u)/ + v = / 2/2 2/2 = 1 hiperolü, örne in, u flekilde oldu u gii (, 0) nokts nd köfleli olilir mi? rlel oln iki do ru d fl nd (kz. n sütunun tepesindeki flekil), hiperolü (u, v) nokts nd kesen her do runun hiperolü ir flk noktd d kesti ini kn tliliriz, kn tlc z d. E er v = 0 ise, ifdesini okur rkt m z enzer ir önerme do rudur. Bölece hiperolün köfleli olmc, umuflk olms gerekti i kn tlnm fl olck. Kn t, dh do rusu hesplr giriflelim. Hiperolün üstünde herhngi ir (u, v) nokts ll m. Demek ki u 2 / 2 v 2 / 2 = 1 eflitli i s ln r. Bu noktdn geçen herhngi ir do ru ll m. E er do ru dikese ve (u, v) (±, 0) ise, o zmn do runun hiperolü iki noktd kesti i koll kl kn tln r. E er do ru dikese ve (u, v) = (±, 0) ise o zmn do runun hiperolü sdece (u, v) = (±, 0) nokts nd kesti ini kn tlmk d kold r. Do runun dike oldu u durumun dh fzl irdelenmesini okur rk p, iz en genel durumu irdeleelim: Do ru dike olms n. O zmn do runun denklemi, m için, = m( u) + v dir. Demek ki, di er kesiflimi ulmk için, = m( u) + v 2 / 2 2 / 2 = 1 denklem sistemini çözmeliiz. Bu rd u ile v rs ndki u 2 / 2 v 2 / 2 = 1 iliflkisini de unutml m. u eflitsizli ini vrsiliriz, çünkü (u, v) den de iflik ir çözüm r oruz. kinci denklemdeki i irinci denklemi kullnrk okedeiliriz. Ard ndn, v 2 / 2 erine u 2 / 2 1 zl m. Ort ç - kn denklemde önce 1 leri sonr d u lr tl m. Gerie, Üç do ru d fl nd, v 0 için 2/2 2/2 = 1 hiperolünün (u, v) nokts ndn geçen her do ru hiperolü iki de iflik noktd keser. Hiperolü sdece (u, v) nokts nd kesen do rulrdn ikisi simptotlr prlel oln do rulrd r. Üçüncüsü ise hiperole te et oln do rudur. 2 + u m ( u) 2mv = denklemi kl r. E er in kts s 0 de ilse, ni m ±/ ise, u denklemin tek ir çözümü vrd r ve ölece do runun hiperolü kesti i di er nokt ulunur. Am dikkt! Bu di er nokt gene (u, v) nokts olilir; kol ir hesp unun nck m = u 2 /v 2 için do ru olilece ini gösterir. Bu durumd, do ru, hiperole (u, v) nokts nd te ettir. E er in kts s 0 ise, ni m = ±/ ise, ni do ru simptotlr prlelse çözüm oktur. (Neden? Dikktli olmk gerekior: 0 = 0 denkleminin çok çözümü vrd r!) 2/2 2/2 = 1 hiperolü Dikkt edilirse hem prolde, hem elipste hem de hiperolde, te et die dlnd rd m z do ru, e rii iki kez n noktd kesior. Bu z dki hesplr pn dikktli okur ne demek istedi imizi nlckt r. Bölece tüm konikleri çizmifl olduk. = / 28