Matematik. Dünyas ndan. Sevgili Matematikseverler,

Transkript

1 Mtemtik Sevgili Mtemtikseverler, ünys ndn kdemik y l gene bfll yor. Herkese yeni kdemik y ld bflr lr dilerim. Yüzbinlerce genç büyük umutlrl üniversiteye ilk d m n tck. Yeni bir ortm, yeni bir çevre, yeni rkdfllr, yeni yüzler, yeni iliflkiler... Yeniden do mk, bmbflk bir insn olrk dünyy gelmek gibi bir fley... u d heyecn vermezse ne verir? yi bilirim bu heyecn. Hyller kbr kbr kudururlr, nerdeyse beyne s my p tflrlr. Her fleyden önce ile, okul, çevre gibi bilumum bsk lr klmyck. Nihyet özgürlük! Özgürlük gibisi vr m! Yfls n özgürlük! Yt diyen yok, klk diyen yok. Sç bfl b y skl kr fln yok. Üniform yok. unu giy bunu giyme diyen yok. Eve dönüfl stine kr fln yok. Nerdeydin diye hesp sorn yok. Çl fl diyen, ödevini yp diyen, okul git diyen yok. rkdfllr, iliflkilere kr fln yok... Yfls n özgürlük! 18 y ll k esret nihyet son bulck! *** m dikkt! Özgürlü ü td nc deliye dönen, ne oldu unu nlmdn tüm hylleri suy düflen çok genç gördüm. Özgürlü ü kullnms n bilmek gerekir. Özgürlük yn nd kulln m k lvuzuyl birlikte gelmez. Çmfl r mkins m bu? *** ir iki y içinde o ilk heyecn geçer ço u zmn. Yeni yflm l fl l r. Yeni yflm d eskisi kdr s k c d r! O ilk heyecn ns l diri tutml? Teorem. lk heyecn diri tutmn n tek yolu vrd r: sürekli çl flmk. Kn t: nsn de iflmeyen her fleye zmnl l fl r ve o fleyden s k l r, b kr, htt bunl p kç p kurtulmy çl fl r. (Örnek: evli çiftlerin büyük ço unlu u.) emek ki ilk heyecn diri tutmk için sürekli de iflim gerekir. fl mekân ve bflklr n de ifltirmek elimizde olmd ndn, de iflimi kendi içimizde gerçeklefltirmeliyiz, yni entelekt imizi beslemeli, sürekli yeni soru ve sorunlrl u rflml ve yeni kvrmlrl hfl r neflir olml y z y ll k uygrl yok syrk nlml yeni soru sorulmyc ndn ve durduk yerde hop diye yeni kvrm yrt lmyc ndn, entelekt nck d flrdn, yni çl flrk beslenebilir. u teoremin ço unlukl teorik düzeyde kld ve uygulnmd bilinir. izden söylemesi. Elimizden bflk bir fley gelmez. Sözün k ss, d flrdn beslenmeyen içten çürür. md@mth.bilgi.edu.tr 1

2 çindekiler SH : Türk Mtemtik erne i (TM, Sbnc Ü. nklr d. No: 2, Krköy stnbul) d n rof. r. Tosun Terzio lu Üç yl k opüler Mtemtik ergisi dres: stnbul ilgi Üniversitesi, olpdere, eyo lu - stnbul SORUMLU YZI filer M.: rof. r. li Nesin Mtemtik ünys, Türk Mtemtik erne i trf ndn, stnbul ilgi Üniversitesi nin deste iyle üç yd bir yy mlnmktd r. Milli E itim knl Tlim Terbiye Kurulu flknl n n 20 Hzirn 1991 gün ve 660 YK. s. K.I.fib. Müd sy l krr yl okullr tvsiye edilmifltir! YYIN KURULU: hmet o n, fifk lpy, Hluk Orl, Mustf Y c, Özlem eyrsln, Selçuk emir, Semih oroy, Tyfun kgül, E. Mehmet K rl ONEL K: Y ll k 15 YTL. En z 10 kiflilik (tek dresli) gruplr için bone bfl n y ll k 10 YTL. TM üyelerine 12 YTL. Yurtd fl bonelik 32 YTL. Y ll k bone ücretinin Türk Mtemtik erne- i nin Mtemtik ünys ergisi d n çt rd no lu ost Çeki hesb n y d Türkiye fl nks rmkkp fiubesi (fiube kodu 1042) no lu Mtemtik ünys ergisi hesb n yt r lrk, dekontunun bir örne- inin yz flm dresine gönderilmesi yeterlidir. olr Hesb : Türkiye fl nks, Glt fiubesi, Euro Hesb : Türkiye fl nks, Glt fiubesi, ve öncesi sy lr m z için: rof. r. Hüly fienkon Sbnc Üniversitesi Krköy letiflim Merkezi nklr d. No: Krköy stnbul tmd@sbnciuniv.edu hsenkon@iku.edu.tr (0212) / 1506 (0212) / 3020 KR KTÜRLER: Tyfun kgül TSRIM: Kdir bbs / Mrton izgievi SIM: Kd köy Mtb, Fikirtepe Mnd r d. Tepe Sk. No: 10 Kd köy - stnbul t m:.fi. ISSN: X letiflim dresimiz Mtemtik ünys stnbul ilgi Üniversitesi Kurtulufl eresi d olpdere / STNUL Tel : (0212) Fks : (0212) E-ost : md@mth.bilgi.edu.tr Web : Kpk Resmi: ul Klee 1 Mtemtik ünys ndn li Nesin 3 K s K s... fifk lpy 5 Okurlrdn 7 s nd Mtemtik msr Yzokulu Kpk Konusu: Konikler 13 Kpk Konumuz Konikler 14 Konikler, En o l Hlleriyle Hwn tson 19 kinci ereceden E rilerin ebirsel nlizi li Özgür Kiflisel ve li Nesin 23 rbol, Elips ve Hiperbol, ebirsel Tn mlr ve Geometrik Çizimler 29 Koniklerin Geometrik Tn m 34 Koniklerin Simetrileri, Odk Noktlr ve o rultmnlr li Nesin ve Engin Yrd mc 40 ir Noktn n ir Çembere Gücü 45 Elipsin o rultmn Çemberleri, Te etleri, oncelet Teoremleri ve i er fieyleri Selçuk emir ve ndrei Rtiu Mtemtik Trihi 54 escrtes ile Fermt Robert Lnglnds 62 Stephen Smle etül Tnby ebir 64 Krmfl k Sy lr Oy Oyr Geometri - Topoloji 74 üzgün n-gen Çizmek Mustf Y c 78 Hilbert Mesfesi, hit rf Mtemtik Günleri IV, 2005 ndrei Rtiu Sy lr Kurm 83 Ç krm ve Kre lm lt nd Kpl Sy Kümeleri, hit rf Mtemtik Günleri I, Q[ d] nin Ç krm ve Kre lm lt nd Kpl ltkümeleri Serht o n E itim Köflesi 85 Mthemtikum, okunmtik ir Mtemtik fienli i li Nesin roblemler ve Yr flmlr 89 roblemler ve Çözümleri Refil lizde 94 o ufl Üniversitesi Mtemtik Kulübü 2005 ireysel Yr flms Soru ve Yn tlr 100 o ufl Üniversitesi Mtemtik Kulübü 2005 Fen Liseleri Yr flms Sorulr Çeflitli 102 Eurek! - Zekâ Sorulr sl Nesin 104 brkdbr sl Nesin 105 Oyun Köflesi sl Nesin 106 eyincik, ilenizin Mtemtik Köflesi sl Nesin 108 Yy n ünys nn Okur 110 enim iflim bofl çuvl dik tutmk... Selhttin umn 112 F st k Ezmesi iref. H. Ökkefl 2

3 K s K s... fifk lpy* / sfk@metu.edu.tr Mtemtik ünys, 2005 Yz stnbul ilgi Üniversitesi Mtemtik ölümü nün sekizinci geleneksel yzokulu bu y l msr d ve bütün Türkiye ye ç k olrk yp ld. Ö rencilerden ücret l nmd okul 45 gün sürdü ve Türk Mtemtik erne i ve ilgi ve Sbnc üniversiteleri trf ndn mdden desteklendi. Toplm 50 doly nd lisns ve lisnsüstü ö rencisinin kt ld yzokulund Ü ö retim üyeleri d fl nd OTÜ den Mhmut Kuzucuo lu d 15 gün kdr Gruplr Teorisi dersi verdi. (kz. syf ) III. Mnt k, Mtemtik ve Felsefe Ulusl Sempozyumu Eylül de, zmir Foç d ve stnbul Kültür Üniversitesi trf ndn düzenlendi Fizik Y l d gözönünde bulundurulrk Sonsuzluk ve Görelilik bfll yl düzenlenen sempozyum, fizikçilerin de kt l m yl oldukç zengin bir kdemisyen kitlesini bir ry getirdi. Ünlü mtemtikçi, Fields mdlys shibi Stephen Smle Türkiye deydi. Stephen Smle, o- ziçi Üniversitesi nde klbl k bir topluluk önünde Lerning Theory bfll kl bilgisyrlr n kendi kendilerini e itmesi üzerine bir konuflm verdi. Stephen Smle in Ü de konuflm verdi i günün 75 inci do umgününe rstlms nedeniyle konuflmdn sonr do umgünü psts ikrm edilmifltir. etül Tnby n Stephen Smle ç l fl konuflms n syf te bulbilirsiniz. vrup Mtemtikçiler erne i (M), vrup irli i Konseyi ne yzd rpord, vrup dki bz mtemtiksel rflt rm merkezlerinin desteklenmesi gerekti ini dile getirdi. u merkezlerin deki benzerlerinden (örne in rinceton- dki leri rflt rmlr Merkezi, erkeley deki MSRI) dh fl olmd klr n vurgulyn M dh fzl desteklenmesi gereken flu 9 merkezi özellikle belirtti: Frns d Hutes Etudes Scientifiques, mbridge te Isc Newton Enstitüsü, onn ve Leipzig te Mx-lnck Mtemtik enstitüleri, Viyn d Erwin Schrödinger Enstitüsü, * OTÜ Mtemtik ölümü ö retim üyesi. 3 jursholm de (lmny) Mittg-Leffler Enstitüsü, rselon d entre de Recerc Mtemtic ve Zürih te Forschungsinstitut für Mthemtik. nck, M tüm rflt rm proje önerilerinin yln zc bu mükemmeliyet merkezlerine de il, yr flmyl herkese ç k olms gerekti ini de belirtti. vrup n n gelece i ç s ndn, o u vrup ülkelerindeki mtemtik ilgisinin korunup desteklenmesini ve bu ülkelerde y llrd r süren yüksek mtemtik gelene inin devm n n s lnms n istedi. Sonlu bsit gruplr n s n flnd r lms n, Fisher le birlikte Sevimli nvr (Friendly Gint) dl bsit grubu bulrk önemli ktk s oln Robert Griess, stnbul ilgi Üniversitesi nin dvetlisi olrk stnbul d 10 gün kdr kld. Sevimli nvr grubu, hiçbir sonsuz ileye girmeyen kzi (spordic) 26 grubun en büyü üdür. Foto rft ob Griess i ve eflini bir konuflmdn sonr Glt Köprüsü lt nd dinlenirken görüyorsunuz. Merkezi sril de bulunn Wolf Vkf 2005 ödüllerini verdi. lmny do umlu r. Ricrdo Wolf, Fidel stro nun sril büyükelçisiydi den bu yn 5 kez verilen ödüller zirt, kimy, mtemtik, t p ve fizik dllr nd ve her y l dönüflümlü olrk bu befl dldn dördüne veriliyor. Wolf ödülleri mimri, müzik, resim ve heykel ln-

4 lr nd d veriliyor. ugüne kdr 21 ülkeden 224 bilim insn ve sntç bu ödülü lm flt r. sril devlet bflkn trf ndn sril prlmentosund verilecek ödülleri kznn mtemtikçiler Yle Üniversitesi nden Gregory. Mrgulis, Mrylnd Üniversitesi nden Sergei. Novi- Gregory. Mrgulis kov dur. Novikov ödülü cebirsel ve difernsiyel topolojideki temel ve öncü rflt rmlr ve mtemtiksel fizikteki çl flmlr nedeniyle verilmifltir. Mrgulis e ise ödülü cebirdeki temel ktk lr, özellikle de semi-simple Lie Gruplr ndki örgü kurm n ve bunlr n ergotik kurm ndki flfl rt - c uygulmlr nedeniyle verilmifltir. h önce 1995 ve 1997 de yp ln eyin Konferns yeniden do uyor. h çok popüler bilim td nd olck oln konferns bilgisyrc lr, nöroloji uzmnlr, felsefeciler ve fizikçiler kt lck. o ziçi Üniversitesi nde ve rl k 2005 trihleri rs nd gerçekleflecek konferns n dresi Ünlü mtemtikçi ve eylemci Serge Lng 12 Eylül 2005 günü rm zdn yr ld. Gelecek sy m zd Serge Lng dn, ilginç kiflili inden ve mtemtik trihindeki öneminden sözedece iz. OTÜ Uygulml Mtemtik Enstitüsü trf ndn eylül ve ekim ylr nd Serge Lng düzenlenen optimizsyon seminerleriyle ilgili bilgileri dresinde bulbilirsiniz. Seminerler st 15,40-17,30 rs. irinci Ulusl Kriptoloji Sempozyumu, Ks m 2005 trihleri rs nd OTÜ de yp - lck. Sempozyumu, OTÜ nün Uygulml Mtemtik Enstitüsü - Kriptoloji ölümü düzenliyor. nternet dresi Mtemtik E itimi Kongresi. Yedinci Uluslrrs Fen ilimleri ve Mtemtik E itimi Kongresi 7-9 Eylül 2006 trihleri rs nd Gzi Üniversitesi, Gzi E itim Fkültesi nde yp lck. Ödüller ergide birçok soruyl krfl lflcks n z. u sorulr ç k ç k sorulmm fl y d iyi ifde edilmemifl olbilirler. Yn tlr n z, bulduklr n z, yzr belliyse yzr n dresine, yoks dergi dresine yolly n. Sordu umuz bz sorulr n yn tlr n biz de bilmeyebiliriz! Yn tld n z y d yn tlymd n z kl n - z gelen sorulr n z d bize yolly n. En güzel yn tlr (sorulr d!) ödül olrk kitp verece iz. Ödüllerimizin z lr Tyfun kgül, ilimum, Nsrettin Hoc n n Torunlr Serisi, Kriktürcüler erne i Yy nlr, hrles rwin, rwin Kurm (Seçme Yz - lr-elefltiriler), n Yy nc l k, My s vid lther, i oflkusu, Tübitk Yy nlr. Simon Singh, Fermt n n Son Teoremi, n Yy nc l k, Ekim Jeremy ernstein, Einstein, Nr Yy nlr, ustos Hns Grssmnn, Fizik ve Ötesi, Evrim Yy - nevi, ennis Ssh, unu nck r. Ecco Çözer, TÜ TK Yy nlr, Ödül Kznnlr Eurek: Önder Küçük, Ç nr Yüncüler eyincik: Osmn rfl n, li Klkn, Slih Krtl, Nury olt Refil lizde nin problemlerini çözenlerden: smil Y lmz (T, nkr), Zekeriy Güney (Mu l Ü.), hmet Hmdi Fzl o lu ( zmir Ö. Ymnlr L.), ilgin npolt (H.F.Z. ndolu L., Çerkezköy, Tekird ), Ekrem Emre (umlup nr Ü., Küthy), Furkn Erden ( zmir Ö. Ymnlr L.), Mustf önmez (Turgutlu Hlil Kle Fen L.) ve Yflr önmez (Turgutlu L.), Semih Yvuz ( zmir Özel Ymnlr L.), Tu b Uzluer ( zmir Ö. Ymnlr L.) 4

5 Okurlrdn lhn Tekebfl tn Mtemtik ünys dergisine sy s yl bone oldum. ergiyi elime ld m, l fl o l fl... Elimden b rkmd m! h önce neden bone olmd m diye de kendime k zd m durdum. Gerçi Hüly Hn m (fienkon) her f rstt dergiden bhsetti, bone olmm gerekti ini belirtti m f rst olmd bir türlü. K smet..:-) Neyse lf uztmdn söylemek istedi imi söyleyeyim; iyi ki bu dergi vr (m fl :-))), elinize s l k. Teflekkürler. M. s l biz teflekkür ederiz. nn r m s n z, 70 milyonluk ülkede sdece det st ld son sy. :-( fl r Türkçe! ngilizce mtemtik bölümü bitirmifl biri olrk, yz lr n z okurken s k s k tk l yorum. fl r Türkçe olms ndn doly... Güzel oln, her fleyi tn ml yosunuz ve k ld soru klmyck flekilde yz y okuyorum... m yn yz y dh h zl okum flns m vrken vkit kybediyorum hissi uyn yor bende. Örne in isomorphism (eflyp - sl); bunun Türkçesini görünce düflünmüfltüm ilk bflt... Yni k scs terimlerin ngilizce krfl l klr verilirse, okur vkit kzn r gibime geliyor, en z ndn bilmiyors d ngilizce bifley ö renmifl olur... Çl flmn z hyrn m... yi çl flmlr. M. z kulln ln, pek bilinmeyen y d ff - n z s nrk uydurdu umuz bir Türkçe terim oldu und, terimin yn n y d lt n ngilizcesini yz yoruz. m dh fzls n ypmy birz utn r z do rusu. cool89 dn zmir ttürk Lisesi nde ö renciyim. en ve bbm derginin her sy s n tkip ediyoruz. Küçüklü ümden beri mtemti e ilgim vrd r m hz rl k s n f yüzünden bir y l tüm sy sl derslere r verdim. Sizce mtemtik çl fl rken nelere dikkt etmeliyim? M. nlmy çl fl. ir de bbn dikkt et, çok kr flms n... Erdem Eser Ekinci den 2005 hr, Y l 14 Sy 1 Mtemtik ünys isimli yy n n z n okerin Mtemti i bfll kl mklesinde kullnd n z ondl k ve binlik y rc Türk il Kurumu biçemine yk r d r. Üniversitenize ybnc dilde e itiminin neden similsyon ypt n z türkçe yy n n z d yns mktd r. Hepimizin ihtiyc oln bir konu üzerinde çl flt n z ht rltmk isterim. Yni flimdilik size muhtc z m böyle bir ht ffedilmemeli!!! nck sizinle yn konu üzerinde yy n ypnlr olmd kç bu htlr n z zorl göz yummk zorund kl yoruz. Noktlm iflretlerinin bile tklit edilmesi ö renciler üzerinde etki yrtckt r. vrup güdümlü özgüvene ship gençler yrtmy neden oluyorsunuz!!! Üstelik çok z sy d bilime ilgi duyn vr. h d dikktli olun!!! M. Ynkee lerin kurl n TK nin kurl snrk similsyon krfl ç kmn z nck büyük bir tlihsizlik olrk nitelendirilebilir. Ynl fl bilgilenmiflsiniz. Kynk htiyc en memleketimizin unutulmufl bir ilçesinin unutulmufl bir okulund mtemti i sevdirmek u run kendini prlyn bir ö retmenim. Okuld kurc m z mtemtik kulübü ve pnosu için fliddetle kynklr ihtiyc m z vr.. Ebu Hmz (vivcompner@mynet.com) brhim fientürk ten Hyt m n en zor krr yd belki de. S nvdn çok seçece im mesle i düflünmeye bfllm flt m. Çevremden gelen bsk lr bir yndn, ufkl mdn beri hylini kurdu um meslek di er yndn... Her fley krmfl kt m olsun, krmfl kl n sonund mutluluk vrd r, çünkü krmfl k bir duruml krfl - lfl nc olylr dh genifl bir pencereden bk l yor. u d insn göremedi i de erleri görmesine yrd mc oluyor. Sonund mnt m kendi krr m 5

6 vermemi söyledi ve çevreden gelen mühendislik yzm bsk lr n bir kenr b rk p mtemti i tercih ettim. Sonuç olrk Ege Mtemtik i kznd m. M. rvo! flr lr dileriz. ölünebilme Üzerine Onluk tbnd yz lm fl bir sy n n bir sl bölünüp bölünmeyece ini nlyn bir yöntem buldum. Yz p yollsm yy mlr m s n z? M. Hy r, yy mlmy z. Sy lr n belli bir tbnd yz l mlr yl ilgili sonuçlr genelde ilginç ve derin bulmuyoruz. Veysel den slm hocm d m veysel 18 yfl ndy m keplerin teoremlerinin ylr önce ynl fl olduklr n sptld m bunu de erlendirmek için bn lütfen yrd mc olun cevb n z bekliyorum teflekkürler M. Veleykümselm. u tür mesjlr ns l yn tlyc m z pek bilemiyoruz... Kepler in teoremlerinin ynl fll (y d do rulu u) ns l kn tln r, onu d bilemiyoruz. o d hiçbir fley söylendi i gibi de ildir ki zten... Vn Ercifl ten urd bir ilkö retim okulund mtemtik ö retmeniyim. erginize burd ulflmk çok güzel. Gördü üm gibi ld m. fiimdiden di er sy y bekliyorum. lginç sorulr n z cevplmk okulumd bir e lence kyn oldu. Teflekkürler. Tüm çl - flnlr kuck dolusu sevgiler... M. Ne kdr s ck bir mesj... S olun, günümüzü gün ettiniz. Keflke M nin bir versiyonunu d çocuklr için ç krck zmn m z ols... Gökhn Özkoçk tn Kstmonu Fen Lisesi birinci s n f ö rencisiyim. Mtemtik konusund lisns e itimi görmek ve ilerde bir mtemtik rflt rmc s olmk istiyorum. u mçlr ulflmk için lise e itimim sürecinde ns l bir okum ve rflt rm süreci tvsiye edersiniz? n önerece iniz kynklr nelerdir? M. Her fleyden önce M yi ve özellikle kpk konulr n çok dikktli ve ms bfl nd okuml s n. TM nin yy nlr vr, dilleri birz eski belki m çok de erli yy nlr. opüler mtemtik kitplr yy mln yor rt k bol bol ve bu kitplrd kimileyin s k mtemtik oluyor. Ve en önemli kynk sensin! üflün, y lmdn düflün! Zeki Soner den Mtemtikte fen de ilsiniz de toplumsl konulr hiç mi hiç e ilmiyorsunuz. Memleket, vtndfl donl denize girebilir mi giremez mi diye çlkln yor, siz ise tn mm fl, kn tm fl, yn tm fl tutturmufl gidiyorsunuz. irz d memleket meselelerine e ilin! M. Memleket bu meseleyi bizsiz de hlledebilir diye düflünmüfltük... Vtndfl denize donlu y d donsuz girebilir, hiç önemli de ildir, yeter ki Mtemtik ünys okusun. iri önerir mönerir, yeri gelmiflken söyleyelim: Sokklrd t rnk kontrolü yp lms n d krfl y z. ir nneden erginizi 12 yfl nd oln o lum önerebilir miyim? Onun mtemtikle br fl k olms ve korkmms için türlü yollr r yorum. M. Önerebilirsiniz elbet. erginin ortd bulunms n n bir zrr olmz. O dergi senin yfl n göre de il deyip ysklrsn z etkisi dh d müthifl olur. eyincik ve benzer köfleler iflte tm bu yfllr için. m tecrübeme göre bu konud ne kdr u rfl verilirse o kdr ters tepiyor. Ve gene tecrübeme göre, çocukluklr nd çok okuynlr büyüdüklerinde mtemtikte iyi oluyorlr, özellikle edebiyt, ve iyi edebiyt çok etkili oluyor. Çocu unuzu edebiyt yönlendirin mtemtikçi olsun! Televizyonun çkt rmdn k s tlnms n d öneririm, örne in televizyonu slondn ulfl lms güç bir yere l n, örne in buzdolb n koybilirsiniz. ir Goldbch ç dn Sn r m 5 y ld r u rfl p d kn tlymd m Goldbch sn s n bu sefer kn tld m. Size yolluyorum. nceleyip beni do ru y d ynl fl oldu u konusund bilgilendirmenizi ric ediyorum. M. Kn t n z sdece iki syf oldu undn ynl flt r. 6

7 Genç Mucitler rojesi Vtn, 23 ustos 2005 ülent Eczc bfl n n Türkiye E itim Vkf (TEGV) ile birlikte hz rld Genç Mucitler projesinin pilot uygulms Gzintep te yp ld. Küçükken hepimizin okuldn so ums n neden oln fen ve mtemtik dersleri, bu proje syesinde çocuklr n en büyük e lencesi ve mutlulu u olck. Geride b rkt m üç çeyrek s rd en büyük zb mtemtik-fizik derslerimde çekmiflimdir. O zp yüzünden lise son s n ft kendi krneme s f rlr dizip okulu terk etmifltim. m beni o kdr mutsuz eden hocm n öbür dünyd bile yks n b rkmyc m yemin ederek... ülent Eczc bfl u mtemtik fobimi durup dururken dilime dolmm n nedeni ülent Eczc bfl n n Türkiye E itim Vkf (TEGV) ile birlikte hz rld Genç Mucitler projesi... Müthifl bir heyecnl okuyup dinledi im bu hrikulde, 3 y l yy ln projeye Eczc bfl 500 bin dolr y rm fl. rojenin mc ilk ve ort e itim ç ndki çocuklr n fen ve mtemtik ln ndki yeteneklerini ölçerek onlr bu iki konuyu sevdirmek ve ö retmek. ülent Eczc bfl 38 ülkede yp ln rflt rmn n sonuçlr ndn sonr hrekete geçmifl: Yp ln fen ve mtemtik rflt rmlr n göre Türkiye 31. ve 33. s rlrd gözüküyor. E er s l kl, mutlu ve refh düzeyi yüksek bir ülkede yflmk istiyorsk hepimiz sorumluluk lmk zorundy z diyor. ilot uygulmy Gzintep üyükflehir elediyesi E itim rk nd düzenleyen TEGV 8-16 yfl rs ndki çocuklr 16 hftl k dönemlerde e itim verecek. Genç mucitler ilim Kurulu üyelerinden r. Sinn Olkun bendenizin mtemtik-fizik nefretimi ö renince flte bizim iflimiz ezberi yok eden, verilere dyl ve muhkeme ypbilen, bilgi üreten ve problem çözmenin zevkine vrn nesiller yetifltirmek diyor. Ve srrl beni, bu yfltn sonr bile mtemtik e b ml ypc n dir sözler veriyor. m ben flks n bile thmmül edemeyece- im bu teklifi tbii ki reddediyorum. Gzintepliler Neredeydi? [...] Özellikle ort ve düflük sosyl ekonomik düzeydeki çocuklr hedefleyen gönüllü e itimcilerin ve ülent Eczc bfl gibi dkiks de erli oln bir ifldm n n flerefine verilen kflm yeme ine elediye flkn d fl nd hiçbir Gzintepli kt lmd. öyle konulr pek s ck bkmd klr söylenen ntepliler in duvrlrdki ilânlr okuyup okumd klr n d merk ediyoruz. Örne in birinde ynen flunlr yz l yd : eygmber Efendimizin en güzel trflr n en iyi yz d nltn ilkokul ö rencisine ödül verilecektir... Eczc bfl n n Genç Mucitler projesini izlerken duydu um inn lmz mutluluk ve heyecn, bu st rlr dehfletle okuyunc umutsuzlu dönüfltü... uydu um trifsiz üzüntümü ntep in nefis bklvs n n td, birkç dkikl n d ols unutmm s ld... kkl mc y rüksel Stndrt Geliyor umhuriyet, 5 Mrt 2005 NKR () - Küçük bir miktr sermye ile kendi iflini ypmn n en koly yolu olrk görülen bkkl dükkân çmk, rt k ulfl lms zor bir hyl... Zir belirlenen kkllr n vrup irli i ne () Uyum Stndrd n göre meslek ods n ky tl, s l k, e itim, kiflilik, sermye ve ticri beceri ç s ndn gerekli özelliklere ship, en z 3 y l klf olrk çl flm fl kifliler sertifik lmk flrt yl bk- 7

8 Rdikl, 23 Temmuz NKR - TÜ TK, bu y l ilk kez uygulmy koyc progrml, ÖSS de ilk 5 bine giren ve bz temel bilimleri tercih eden ö rencilere burs vermeye bfllyck. u y l ilk kez, bz progrmlr özendirmek mc yl koyduklr burs progrm n n ekim y ndn itibren uygulnmy bfllnc n ç klyn TÜ TK flknvekili rof. r. Nüket Yetifl, bunun için gerekli hz rl klr n yp ld n söyledi. Yetifl, bursun, bu y l n ÖSS sonuçlr n göre, ö renim görece i bölümün gerektirdi i pun türünde ilk 5 bin ö renci rs n giren ve üniversitelerin fizik, kimy, biyoloji, moleküler biyoloji ve genetik, mtemtik, sosyoloji, ekonomi, psikoloji, felsefe ve trih bölümlerinden birine ky t ypt rn ö rencilere verilece ini belirtti. Yetifl, bursun ö retim y llr boyunc yl k 250 YTL olrk krfl l ks z verilece ini ifde etti. TÜ TK yönetimi, ÖSS de pun türlerine göre ilk 5 bin içinde yer ln ö rencilerin listesini Ö renci Seçme ve Yerlefltirme Merkezi nden (ÖSYM) lck. h sonr bu ö rencilere birer yz yl, belirlenen bölümlerden birini tercih etmesi hlinde burs verilece ini bildirecek. kll k ypbilecek. yr c yp lck s nvdn en z 50 lmk d iflin cbs... kkllr ve yiler Federsyonu ndn yp ln ç klmy göre ye uyum çerçevesinde, bkkl ç rklr en z ilkö retim okulu mezunu ve 19 yfl ndn gün lmm fl olck ve ç rkl k sözleflmesi imzly p ifle bfllyck. kkl klfs en z 3 y l süreli ç rkl k dönemini bflr yl tmmlm fl olck. Stndrt çerçevesinde bkkllr n, ifl hijyeni, müflteri iletiflim becerisi, tüketici, dvrn fl bilgisi, st fl yöntemleri, ticri mtemtik, temel mtemtik, flrküteri, tezgâhtrl k, bilgisyr okur yzrl -, iflletmecilik bilgisine ship olms gerekecek. Öte yndn bkkllr, Türkçe, mtemtik, muhsebe, ekonomi, ticret bilgisi, toplm klite yönetimi, koopertifçilik, ifl güvenli i, meslek derslerini lck ve Türkçeyi do ru kulln p bflklr yl rht iletiflim kurbilecek. Elektronik hesp mkinesi, fks, fotokopi mkinesi kullnbilecek bkkllr, kiflisel özellikleri ç s ndn s l kl olck ve insn ve müflteri dvrn fllr hkk nd seminer ile e itim lck. [...] M. ir de s nvdn 50 lmk zorunlulu u getirmezler mi! c ms zl n bu kdr d z görülmüfltür... TÜ TK tn Krfl l ks z urs Mtemtikte flr Genetik Sbh, 8 ustos 2005 ngiltere de lt bin ikiz üzerinde yp ln rflt rmy göre mtemtikte bflr l olmn n s rr genlerde skl. oflun ers ld rmy n! Çocuklr n n s nvlrd dh bflr l olms için özel mtemtik dersleri ld rn ileler boflun pr ödüyormufl! Çünkü ngiltere deki sikiytri Enstitüsü bilim dmlr, mtemtikte bflr l olmn n s rr n n genlerde skl oldu unu orty ç krd. lt bin ikizi inceleyen bilim dmlr, yn N y ship tek yumurt ikizlerinin sonuçlr yl N lr n n yüzde 50 si benzer oln yr yumurt ikizlerinin sonuçlr n krfl lflt rd. Genetik yr cl k rflt rmy ypn grubun lideri Yuli Kovs, Ypt m z rflt rm bize mirs kln genlerle mtemtik bflr s rs nd önemli bir b oldu unu gösteriyor. Çünkü tek yumurt ikizlerinin zekâlr, büyüdükçe yn ornd rt yor. Oys yr yumurt ikizleri böyle de il ç klms n ypt. Kovs, bu genetik yr - cl n ö retmen trf ndn frk edilerek yeni bir metot kulln lms gerekti ini söyledi. M. Mtemtikte genler önemlidir elbet, özellikle düzgün olnlr... kz. syf

9 ört Mtemtik Zekâs Kumr ennetini itirdi Sbh, 17 Temmuz 2005 li ö rencilerden olufln blckjck tk m bir servet elde etti. Oly n befl khrmn ndn dördü mtemtik dhisi ö renci... deki Msschusetts Institute of Technology de (MIT) ö renim gören ndy loch, lex Lewi, rin Ehy ve trick Eno dn olufln efsnevi MIT lckjck Tk m. eflinci khrmns, kmpüste iskmbil oynyrk e lenen dört genci ykld nd ellerindeki inn lmz potnsiyeli keflfeden mtemtik profesörü Mickey Ros. ir vuç genci mevcut kumr sistemini lt üst edecek flekilde yetifltiren MIT profesörü, Ls Vegs tki her gzinoyu tek tek zrr sokck kdr bflr l bir tk m yrtn coch olrk d biliniyor. Ö rencilerinden ndy loch profesörün onlrl uzun stler çl flt n, sonr d kendilerini kn tlmlr için s nv dönemleri hricinde neredeyse her hft sonu bir gezi düzenledi ini söylüyor. ki elde 100 bin dolr kzn ln yöntemi nlfl l ncy kdr milyonlrc dolr cebe indiren tk m n en önemli gezileri kumr cenneti Ls Vegs yp lm fl. Her biri yr bir serüven oln bu gezileri ve lckjck sistemini lt üst etmenin s rlr - n tk m n en ünlü üyesi ve kurucusu ndy loch Yeni ktüel e nltt. fiüphelenen Olmd loch un nltt öykünün gerçekleflti i y l meric West Hvyollr n n 69 sefer sy - l oston-vegs uç n n klkt peron geldi inde etrftki üniversite ö rencilerinden frks z görünüyordu. Tbii iç çmfl r n s k flt rd yüz dolrl k bnknotlr ve s rt çnts ndki binlerce dolr de erindeki gzino fiflleri hriç. Neyse ki lndki görevli, not ortlms hiçbir zmn n n lt n düflmeyen MIT ö rencisinden flüphelenmedi. önüflte yine krfl lflt klr nd genç ö renci heyecndn titreyecekti. m bu kez bu heyecn n nedeni çnts ndki 900 bin dolr olckt. u olup bitenler kendi bfl ndn geçen olylr ols d o s rd bunu yflyn kiflinin d ndy loch de il, ul Grey mifl. oston s n rlr içindeyken MIT in mühendislik ö rencisi ndy loch, Ls Vegs tyken ise en ünlü pop strlrdn bile flnl kumrbz ul Grey! Kumrhneler onlr n mtemtik dhisi oldu unu nly ncy kdr milyonlrc dolr kznm fllr. lckjck ten s k l p poker oynmy bfllyn kdr servetini gizli bir hespt muhfz etmifl loch. okerde de lckjck te oldu u gibi ustlfln kdr bu serveti birz küçülttü ünü üzülerek söylüyor. loch yst k lt nd sklnmyck kdr pr kznmn n püf nokts n nlt rken hiç çekinmiyor. Üç Kiflilik Ekip Gerekiyor Ülkemizde 21 d yl bilinen oyun lt edilebilir olm özelli iyle büyük ilgi topluyor: Ç kn kâ tlr symk ve geriye klnlr hesplmk için do ufltn mtemtik zekâs n ship de ilseniz efsne tk m n gelifltirdi i bilgisyr progrm n kullnbilirsiniz. u progrm internetten ulfl p iflin mtemti ini nld ktn sonr ypmn z gereken içinde Gözcü, Goril ve üyük Oyuncu olck üç kiflilik bir tk m oluflturmk. Gözcü nün görevi oyun mss nd oturup minimum bhisle oyun kt lrk ç kn kâ tlr symk. Kâ tlr tk m rkdfl için pozitif bir nlm ifde ediyors, Gözcü bu durumu önceden krrlflt r ln bir sinylle Goril e vey üyük Oyuncu y belli eder. Goril tk m n en rht oyuncusudur. Tek görevi durm sinyli gelene kdr bhsi rt rmkt r. üyük Oyuncu ise tk md en önemli görevi üstlenen kiflidir. Kâ t symn n yn s r oyunun gidiflt n d krr veren beyin dir o. Mutlk kznç oln bir elle krfl krfl y ols bile dikkt çekece ini nlrs bhsi rt rmybilir. Çünkü s l mç yklnmdn kznmkt r. Hile ypmk gibi gözükse de kâ t symk ysd fl de il. m kumrhne yöneticilerinin kâ t syd nlfl ln oyunculr kovm hkk vr. flte bu yüzden tk mlr çok dikktli olml. Tk m oyunculr n seçerken bz püf noktlr n çok dikkt edilmeli. Örne in üyük Oyuncu, genç, ptl ve zengin izlenimi yrtml. M. Tsvip ediyoruz nlm n gelmesin m e er mç pr kznmks kumr oynmk yerine oyntmk dh emin bir yöntem gibi gelir bize. 9

10 Kpk Konusu: Konikler Mtemtikçiler ço u zmn birçoklr n n gereksiz gördü ü ifllerle u rfl rlr ve yüzy llr sonr bu gereksiz sn ln ifllerin sl nd çok gerekli oldu u nlfl l r. Mtemtikçiler bu gereksiz ifllere sdece güzelliklerinden doly ilgi duyrlr. Nedeni pek bilinmez m mtemtikçilere güzel görünen bir zmn sonr insno lun ve k z n hep gerekli, yrrl, htt vzgeçilmez olmufltur. Güzellikle yrrl l k rs nd tm dile getiremedi imiz bir b olml... Eski Yunnl lr n toplu olrk konik diye dlnd rd klr elips, prbol ve hiperbol e rileri iflte bu birçoklr trf ndn gereksiz görülen m dh sonr insnl çok yrrl oln çl flmlrdnd r. Konikler ilk olrk Efltun un bir ö rencisi oln erge li pollonyus trf ndn Milttn önce üçüncü yüzy ld dikkte l n p incelenmifllerdir. erge, bilindi i gibi ntly yk nlr ndd r. Yni pollonyus bu co rfyn n pollonyus insn d r. Konikler, En o l Hlleriyle Konikler Hwn tson* Çember Elips Hiperbol rbol 17 nci yüzy l de in pollonyus un çl flmlr n n pek bir uygulms bulunmm flt r. O güne dek sdece mtemtikte bulunn konikler, o günden sonr birden fizikte de belirmeye bfllm fllrd r. u yüzy ld Kepler gezegenlerin günefl etrf nd bir elips e risini izleyerek döndüklerini keflfetmifltir. (Eski Yunnl lr gezegenlerin bir çember çizdi ini düflünürlerdi, do l olrk...) Gene yn yüzy ld Glile hvy ve ileri do ru t ln gülle, tfl, ok, top mermisi gibi bir rl n e er hvn n direnci dikkte l nmzs hvd bir prbol çizece ini göstermifltir. pollonyus, tbn bir çember oln bir dik koniyi yndki sütundki ilk resimdeki gibi düzlemlerle kesifltirmifl ve düzlemin e imine göre de iflen bir flekil elde edece ini görüp ortd hiçbir neden yokken bu flekilleri inceleyip bu konud insnl n ilk eserini yzm flt r: Konikler. Lnglnds n yz s nd (syf 54-61), konikler konusun trihsel olrk de- iniliyor; özellikle son bölümde pollonyus un ktk lr ndn sözediliyor. * u yz için Jill ritton un dresindeki yz dn yrrln lm flt r 14 Çembere, dh do rusu çemberimsi flekillere do d ve günlük yflmd pek s k rstlr z. Günefl, doluny, bz çiçeklerin göbekleri, tekerlekler... unlr tekrrlmy gerek görmüyoruz.

11 Elipse de günlük yflmd s k s k rstln r. En bsitinden, düzlemi bk fl do rumuz dik olmyn bir çember bize elips olrk görünür. Örne in silindir biçimindeki bir brd n tepesi, brd belli bir ç yl bk l rs elips fleklinde görülür. ir çemberin bir düzleme izdüflümü bir elipstir. E ik tutulmufl ve yr s n kdr su dolu bir brdkt, suyun yüzeyi (sdece yndn görünümü de- il, kendi de) bir elipstir. Tüm bunlr, bir silindir, tbn n prlel olmyn bir düzlemle kesildi- inde elde edilen kesit elipstir nlm n gelir. E ik kesilmifl slm dilimleri örne in elipstirler. h önce de de indi imiz gibi, gezegenler Yukrd görünen bin silindir biçimindedir. inn n tepesi biny dik olmyn bir düzlemle kesildi inden, çt bir elipstir. Foto rf yr c belli bir ç yl çekildi inden, zten elips oln çt bize dh bir elips görünmektedir. Foto rf n solundki f skiyeden f flk rn sulr d prboller hlinde düflüyorlr. güneflin etrf nd eliptik bir yol izleyerek dönerler. Günefl de yr c bu yolun odk noktlr ndn birindedir. (Odk nokts - n n tn m için bkz. syf 29 ve 34. u yz d sözü edilen kvrm ve olgulr ilerki syflrd ç kl kvuflcklrd r.) nck bu eliptik yollr nerdeyse birer çemberdir. Mrs üny Venüs Merkür ünyn n yörüngesi K fl mevsimdönümü (21 rl k) km hr nokts (20 Mrt) Sonbhr nokts - Güz l m (22 Eylül) km Yz mevsimdönümü (21 Hzirn) y ve uydulr n düny etrf ndki yollr d elips biçimindedir. ir tomd, elektronlr, çekirde in etrf nd hemen hemen eliptik bir yol izleyerek dönerler. ir elipste dlr n odk nokts denilen çok özel iki nokt vrd r. Elips biçiminde bir bilrdo mss düflünün. Topu odk noktlr ndn birine koyup stkyl rstgele vurun. Topu hngi yöne do ru vurursn z vurun, top msn n kenr - n (bnt) çrpr çrpmz hemen öbür odk nokts - n do ru yönlenecektir! Ve elbette öbür odk nokts ndn geçtikten sonr bnt çrpr çrpmz tekrr gene birinci odk nokts ndn geçecektir! E er msn n geri tepme kpsitesi yüksekse bu böyle uzun bir süre devm eder. Elipslerin bu özelli i t pt, böbrek tfllr n k rmd kulln l r. Hst, prçlnck tfl odk noktlr ndn birinde olck flekilde su dolu elip- β α α F F γ γ β tik bir küvete yt r l r. Elipsin di er odk nokts ndn yy ln yüksek enerji dlglr elipsin yüzeyine çrprk di er odk nokts n, yni böbrek tfl n yo unlfl r ve böylece tfl tuz buz olur! Elipslerin bu özelli i hberleflmede, csuslukt y d ispiyonculukt d kulln lbilir. Tvn elips biçiminde oln bir mekând, bir odk nokts n 15

12 yerleflmifl birinin her f s lt s di er odk nokts ndn duyulbilir! Örne in Londr dki ziz ul ktedrlinin bu özelli i vrd r. nin milletvekillerinin ve bilumum idrecinin toplnd pitol bins n n Sttury Hll ünün (Heykeller Slonu) tvn d eliptiktir. unu frkeden (dh sonr bflkn olckt r) milletvekili John Quincy dms mss n odk Sttury Hll, U.S. pitol building noktlrdn birine yerlefltirerek, di er odk nokts n yk n olnlr n konuflmlr n dinlemifl ve bundn politik olrk yrrlnm fl! fl dki foto rftki bk fllr ndn kurnzl nlfl l yor. John Quincy dms ( ) nin lt nc cumhurbflkn ( ). bs d bflknl k ypm fl ilk bflkn. yr c, pçlr büzülmemifl pntolon giyen ilk bflkn... vrup n n merik k ts ndn elini y n çekmesi gerekti ini svunn Monroe doktrininin yrt c lr ndnd r. Köleli e krfl durufluyl bilinir. Çember çizmek kolyd r. Yere bir çivi çkrs n, çiviye bir ip b lrs n, ipin di er ucun bir klem b lrs n ve ipi gergin tutrk klemi çivinin etrf nd döndürürsün. E er bunu bir çivi yerine yndki flekildeki gibi iki çiviyle yprsk, bir elips elde ederiz. Çivilerin bulundu u yer, elipsin odk noktlr olrk bilinen noktlrd r. Elipsin bir prçs ekseni etrf nd çevrilirse merikn futbol topu elde edilir. Elips yerine çemberi çevirirseniz bildi imiz Türk topunu elde edersiniz. fiutlnm fl bir futbol topu hvd hemen hemen bir prbol çizer, Teoride sürtünme olms ve Gerçekte yeryüzünün çekim gücü yüksekli e göre de iflmese tm bir prbol çizecek. ir f skiyeden f flk rn su prbol çizerek yere süzülür. Su dolu bir bidonun yn yüzeyine bir delik çrsn z suyun prbol bir yol izleyerek kt n görürsünüz. eli i birz yukr y çrsn z prbol de iflir. öylece suyun derinli iyle uyguld bs nç rs nd bir iliflki oldu- u orty ç kr. Htt birz fizik bilen biri birz hespl herhlde bs nc su yüksekli inin bir fonksiyonu olrk elde edebilir. Yukrdki deney bz h nz r düflünceleri kl getirebilir. E er elinizin lt nd bir bidon yoks, bz lr n z, minimum let edevtl bflk deneylere bflvurbilir. Yere düflen bir z pz p giderek küçülen prboller çizer. E er cebinizde z pz p yoks ve ill bir prbol görmek istiyorsn z, size en yk n yunusu sudn f rlrken gözlemleyin. Yunus hvd bir prbol çizecektir. 16

13 Elipste iki tne oln odk nokts prbolde bire düfler (elipsin odk noktlr ndn biri prbolde sonsuz tfl n r.) rbolik bir bilrdo mss nd, odk nokts n koyuln bir top stkyl herhngi bir istikmete do ru vurulurs, prbole çrpn top F prbolün simetri eksenine prlel gider. u özellik, rblr n frlr nd kulln l r: ir prbolü simetri ekseni etrf ndn döndürerek bir yüzey elde edelim. u yüzeyi yns t c bir mddeyle kplyl m. Odk nokts n yerlefltirilmifl bir mpul, prbolik yüzeye çrprk dümdüz ileri gidecek ve gecemizi yd nltckt r. E er mpul odk nokts n n birz üstüne yerlefltirilirse, fl n yo unlu u zl r ve krfl dn gelen rbn n sürücüsü fl ktn rhts z olmz. unun tersi de yp lbilir. Günefl fl nlr tek bir nokty odklflt r lrk yo un bir s y d fl k elde edilebilir. Günefl enerjisiyle bu yöntemle su s t - lbilir. fl dki yg tt, tepeden gelen günefl fl nlr bir ynyl s yns t c bir prbole do ru yönlendirilir. (ynlr, elektronik bir düzenekle sürekli günefle bkck flekilde hreket ederler, ki günefl fl nlr ynlr dik gelip yo unluk kybetmesinler.) rbole çrpn günefl fl nlr odk nokts n yönelirler. Odk nokts ndn geçen su borusu bu syede s n r. vustrly d günefl enerjisiyle elektrik elde edilen bir sntrl y l önce yflm fl mtemtikçi pollonyus syesinde! yn düzenek flekildeki ve foto rflrdki gibi nten niyetine de kulln lbilir. Zten odk nokts n n ltincesi focus tur ve ock nlm n gelir. ugün focus, odk y d odklnmk nlm n d kulln l yor. u yöntemle uzydn gelen çeflitli sinyller tek bir nokty yo unlflt r lbilir. ki prbolik rbol, nten görevini görürken Günefl enerjisini prbolle odklyn bir bflk düzenek yn kullnrk olmyn bir nesneyi vrm fl gibi gösterebilirsiniz, dh do rusu, oln bir nesneyi bflk bir yerdeymifl gibi gösterebilirsiniz, yni efle dost oturm slonunuzd serp gördürebilirsiniz... (...miflsiniz... iz denemedik...) 17

14 nin Missouri eyletindeki ynd görülen Gtewy Kemeri prbole çok benzer m prbol de ildir. u e rinin ne oldu unu ç klyl m. ir zincir l n ve iki ucundn s p kendi Gtewy rch (Kemeri) hline b rk n. Zincir srkr do l olrk. Zincirin srkms yl elde edilen e ri prbole çok benzer; o kdr ki Glile bu e riyi prbol snm flt r. Hiperbole gelelim... Hiperbol, elips ve prbol kdr do d ve günlük yflmd s k görülen bir e ri de ildir. m gene de slonumuzd görme flns m z vr: Konik bir bjurun duvrd b rkt gölge bir hiperboldür. lt gen bir kurflunklemi klemt rfll çrsn z d hiperbolleri görürsünüz. Çok h zl giden bir uç n rd nd b - rkt ses dlglr hvd bir koni biçiminde yy l rlr ve, yeryüzünün bir düzlem oldu unu vrsyrsk, yn nd yere çrpn ses dlglr n n oluflturdu u noktlr kümesi bir hiperbolün bir prçs d r. Zircir e risi Konikler sdece ve sdece estetik olduklr için günlük yflm n çeflitli lnlr nd, örne in fl dki gibi mimride kulln lbilirler. ir koni in belli rl klrl te etlerini çizersek göze son derece hofl gelen bir biçim elde ederiz: rbol e risi Srkn zincirin oluflturdu u e riye zincir e risi diyelim. ( ngilizcesi ctenry.) Köprü kurmk için iki yky gerilen hlt, bfllng çt, yni üstüne henüz hiçbir rl k binmemiflken, sdece kendi rl n mruz kld nd bir zincir e risi oluflturur. h sonr, köprü kuruldu und, hlt prbole dönüflür, çünkü köprünün rl rt k hlt n üstüne binmifl ve hlt n rl n yok sy lbilecek bir düzeye Zircir e risi düflürmüfltür. Özetlemek gerekirse, kendi rl n b rk ln zincir bir zincir e risi çizer ve bu zincir e risi bir prbol de ildir; m zincirin her nokts n büyük bir rl k b lnd nd zincir zincir e risi olmktn ç k p prbole dönüflür y ld r incelenen konikleri bir dergiye s d rmk imkâns zd r elbette, bu dergi M de ols! 18

15 Kpk Konusu: Konikler Geçen yz d, bir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleyerek, 0, c ve ƒ sbitleri için, x 2 + cy 2 = 0, x 2 = ƒ, x 2 + cy 2 = 1, y d y = x 2 biçiminde yz lbilece ini gördük. u yz d bu dört tip denklemden birini s lyn (x, y) noktlr n n düzlemde ns l ve ne tür bir e risi (koni i) oluflturdu unu görece iz. ejenere fi klr. irinci ve ikinci tip denklemler dejenere olrk nitelendirilirler, çünkü bunlr n tn mld e riler nokt ve do rulrdn oluflurlr, e ri sözcü ünün hkk n yeterince vermeyen bir durum sözkonusu... irinci Tip enklemler. lk olrk x 2 + by 2 = 0 denklemlerine bkl m: E er b > 0 ise sdece x = y = 0 buluruz, yni koni in sdece (0, 0) nokts vrd r: = {(0, 0)}. E er b = 0 ise x = 0 do rusu elde edilir: = {(0, y) : y R}. E er b < 0 ise, d = b > 0 tn m n yprk 0 = x 2 + by 2 = x 2 dy 2 = (x + y d)(x y d) denklemini elde ederiz. emek ki bu durumd konik, x + y d = 0 ve x y d = 0 do rulr n n bileflimidir: = {(±y d, y) : y R}. kinci Tip enklemler. fiimdi x 2 = ƒ denklemiyle tn mlnn koniklere bkl m. u denklemin ƒ < 0 ise s f r, ƒ = 0 ise bir ve ƒ > 0 ise iki çözümü vrd r. m bir de y de iflkeni vr; y denklemde belirmedi inden, y ye herhngi bir koflul koflulmm flt r ve y herhngi bir de eri lbilir. emek ki bu durumd: E er ƒ < 0 ise koni in hiç nokts yoktur, yni, = dir. rbol, Elips ve Hiperbol ebirsel Tn mlr ve Geometrik Çizimler 23 E er ƒ = 0 ise konik x = 0 do rusudur: = {(0, y) : y R}. E er ƒ > 0 ise, konik x = ƒ ve x = ƒ do rulr n n birleflimidir: = {(± ƒ, y) : y R}. lginç fi klr. Üçüncü ve dördüncü denklemlerin verdi i konikler çok dh ilginçtirler. unlr üzerine dh uzun düflünece iz. rbol. ördüncü tip oln y = x 2 denkleminin verdi i koni e ve bu koni in döndürülerine ve ötelemelerine prbol d verilir. rbolün ns l bir fley oldu unu nlmy çl fll m. y = x 2 denkleminin verdi i prbole yerine diyelim. irkç gözlemle bfllyl m: y yi x in bir fonksiyonu olrk görebiliriz, çünkü her x R, bir ve bir tek y de eri verir. oly s yl her x = u dikey do rusu prbolünü tek bir noktd keser: (u, u 2 ) nokts nd. E er = 0 ise, y = 0 do rusunu elde ederiz. undn böyle 0 olsun. E er < 0 ise, x eksenine göre düzlemin simetrisini lrk, yni y = y eksen de iflikli ini yprk, > 0 vrsy m nd bulunbiliriz. (0, 0). y = x 2 ve > 0 oldu undn, prbolün noktlr n n y koordintlr hiç negtif olmzlr, yni prbol hiç x ekseninin lt n inmez. E er (x, y) ise, ( x, y). oly s yl e ri y eksenine göre simetriktir ve x 0 durumun odklnmm z yeterlidir. x sonsuz gitti inde y de sonsuz gider. x 0 ise, x rtt nd y de rtr, yni 0 x 1 < x 2 ise x 1 2 < x2 2 dir. u ( u, u 2 ) y u 2 e ri, y eksenine göre simetriktir (0,0) (u, u 2 ) u x le birlikte e ri rtrk sonsuz gidiyor. e ri nin bulundu u bölge; x ekseninin üstünde. x

16 Yukrdki flekilde ufk tefek gözlemlerimizi resmettik. u bilgilerden prbolün tm ns l oldu- u nlfl lmz elbette, sdece bir fikir verir. Örne- in, prbol fl dki iki flekilden biri gibi olbilir. fl do ru içbükey hep yukr do ru yukr do ru içbükey içbükey rbolün ols flekilleri (u, u 2 ) u Q y = x 2 (v, v 2 ) (w, w 2 ) x w v fiimdi fonksiyonun grfi ini büyük ölçüde belirleyen flu özelli i gösterece iz: Her, için, nin ile rs nd kln y = x 2 k sm kiriflinin lt ndd r, yni grfik yndki flekildeki gibi yukr do ru içbükeydir. Kn t: (u, u 2 ) ve (v, v 2 ) olsun. (u, v) rl ndn herhngi bir w ll m, yni u < w < v olsun. fiimdi w nin üstünde bulunn grfi in nokts yl, kiriflin Q nokts n krfl lflt rl m. Önce bu iki noktn n koordintlr n bull m. nin koordintlr n n (w, w 2 ) oldu u belli. Q nün birinci koordint d w elbette. Q, do rusunun üstünde oldu u için, Q nün ikinci koordint n bulmk için do rusunun denklemini bulml y z. ull m: y = x 2 y = x 2 x ekseni e riye (0,0) nokts nd te et. (0, 0) nokts nd e riye soldn ve s dn olmk üzere iki de iflik te et vr. 2 2 v u 2 2 y = ( x u) + u = ( v + u)( x u) + u. v u emek ki do rusunun denklemi flöyle: y = (v + u)(x u) + u 2. oly s yl Q nokts n n yüksekli i (yni ikinci koordint ) (v + u)(w u) + u 2 dir. u yükseklikle nin yüksekli i oln w 2 sy - lr n krfl lflt rl m. Q nünkisinin dh büyük oldu unu kn tlmk zor de il: (v + u)(w u) + u 2 > w 2 (v + u)(w u) > w 2 u 2 = (w u)(w + u) v + u > w + u v > w. öylece prbolün yukr do ru içbükey oldu unu kn tlm fl olduk ve neye benzedi i büyük ölçüde orty ç kt ; syfn n bfl ndki birinci flekildeki gibi olml. m prbolün fleklinden dh tm emin olmy z. Yukrdki flekil birz fzl yumuflk. elki de prbolün en umulmd k bir yerinde bir sivrili- i vrd r. fl dki s dki grfikte (0, 0) nokts nd bir sivrilik vr, o noktd grfi in iki de iflik te eti vr. (Te etin mtemtiksel tn m n dh sonr görece iz, flimdilik sezgisel tk ll m.) rbol de, bl gibi, böyle durduk yerde sivrili i oln bir e ri olbilir. rbolün O(0, 0) civr ndki dvrn fl n dh iyi nlyl m. rbolün (0, 0) nokts n n civr ndki dvrn fl n ö renmek için bu noktdn geçen ve dikey olmyn herhngi bir y = mx do rusu ll m (m, do runun e imidir) ve bu do ruyu prbolle, yni y = x 2 fonksiyonunun grfi iyle kesifltirelim. Kesiflim noktlr ndn biri (0, 0) nokts d r elbet. kl m ikinci bir kesiflim nokts vr m? Ols ikinci kesiflim nokts n (u, v) dersek, o zmn u 0 olml ve mu = v = u 2 eflitlikleri s lnml. u 0 oldu undn, bu eflitliklerden m = u ve u = m/ elde ederiz. emek ki, e er m 0 ise, yni do ru yty de ilse, y = mx do rusu prbolü (0, 0) ve (m/, m 2 /) olmk üzere iki de iflik noktd keser. y = x 2 oly s yl prbolün y = mx (0, 0) nokts n n civr ndki dvrn fl yukrdki (m/, m/ 2 ) ikinci flekildeki gibi de- il, birinci flekildeki gibi olml d r, yni prbol O nokts n x eksenine nerdeyse prlel olck biçimde (te et) yklflml d r. Yukrd sordu umuz yn soruyu prbolün herhngi bir (u, u 2 ) nokts için sorl m. u noktdn geçen ve dikey olmyn bir do ru prbolü : y = x 2 (u, u 2 ) y = m(x u) + u 2 kç noktdn keser? rbolün (u, u 2 ) nokts ndn geçen ve dikey olmyn bir do runun denklemi, belli bir m sy s için, y = m(x u) + u 2 fleklindedir. Ols ikinci kesiflim nokts n n birinci koordint n v dersek, v, v 2 = m(v u) + u 2 eflitli ini s lml d r. urdn, 24

17 m(v u) = v 2 u 2 = (v u)(v + u) ve rd ndn, m = v + u ç kr. emek ki v u eflitsizli i için, m 2u eflitsizli i geçerli olml. Sonuç: E imi 2u ve (yni dikey) oln iki do ru d fl nd prbolün (u, u 2 ) nokts ndn geçen her do ru prbolü iki noktd keser. rbolün (u, u 2 ) nokts ndn geçen ve e imi 2u oln do ru d prbole (u, u 2 ) nokts nd te et oln do rudur. Yukrd ypt klr m z, türev kullnrk çok dh koly ve mtemtiksel bir biçimde yp lbilir m lise e itiminde rt k türev olmd ndn ne yz k ki bu kvrm kullnm yoruz. Sonuç olrk, y = x 2 denklemiyle verilen prbolün 1 grfi i yndki flekildeki gibidir. y = x de ifltikçe prbolün flekli 2 prbolü de de iflir., 0 yklflt kç prbol yyvnlfl r ve, 0 çok yk nsd nd prbol x eksenine çok yk nsr. Öte yndn 1 büyüdükçe prbol dikleflerek y ekseninin pozitif k sm n yklfl r. e iflik lr için y = x 2 prbolleri yndki flekilde gösterilmifltir. Yukrdki prbollerin x eksenine göre simetrilerini l p belli bir vektör kdr öteler ve belli bir θ ç s yl döndürürsek, düzlemdeki tüm prbolleri elde ederiz. u prbollerden birkç yndki flekilde görünmektedir. Soru. o rusl olmyn herhngi üç de iflik noktdn bir ve bir tek çemberin geçti i bilinir. Herhngi üçü do rusl olmyn her dört (y d befl) noktdn bir prbol geçer mi? 25 Mtemtik ünys, 2005 Yz Üçüncü Tip enklemler. Gelelim x 2 + by 2 = 1 türünden denklemlere. ve b ktsy lr n n en z ndn biri pozitif de ilse denklemin tn mld e ri boflkümedir. undn böyle iki ktsy dn birinin pozitif oldu unu vrsyl m. u vrsy m göre, e er 0 ise b > 0 olmk zorundd r ve bu durumd x = y do rusun göre düzlemin simetri ini l rsk x ekseni y ve y ekseni de x ekseni olur ve ile b nin rolleri de iflir. oly s yl n n pozitif oldu unu vrsybiliriz. E er b = 0 ise, e ri iki do rudn oluflur. undn böyle b nin 0 olmd n vrsyl m. nlizimizi b > 0 y d b < 0 koflullr n göre ikiye y rc z. irinci tür e riye elips, ikinci türe hiperbol denir. rt k, yerine 1/ 2, b yerine 1/b 2 yzrk, elipsin denklemini x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 olrk, hiperbolün denklemini de x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 olrk yzbilece imizi vrsybiliriz. yr c ve b nin de pozitif olduklr n vrsybiliriz. Elips. u bölümde > 0 ve b > 0 için, x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilen E e rilerini ele lc z. u tür e rilere ve bunlr n döndürü ve ötelemelerine elips denir. Önce elipslerin birkç koly özelli inden bfllyl m. E er = b ise, denklem x 2 + y 2 = 2 biçimine bürünür ve bu denklemin verdi i elips (0, 0) merkezli ve yr çpl çemberdir. oly s yl ve b birbirlerine yk n sy lrs elipsin çembere benzeyece i thmininde bulunbiliriz. E er (x, y) E ise, ( x, y) E, (x, y) E, ( x, y) E. oly s yl E e risi x ve y eksenlerine göre simetriktir. x 2, en büyük de erini y 2 = 0, yni y = 0 oldu- und l r. emek ki x 2 2 olml d r. oly s yl x. enzer eflitsizlikler y koordint için de geçerlidir elbet: b y b. emek ki elips [, ] [ b, b] dikdörtgeninin içine s k flm flt r. O nokts ndn geçen her fl n n elipsi tek bir noktd kesti ini kn tlmy okur l flt rm olrk b rk yoruz. E er x ve y pozitifse, ikisinden biri rtt nd di eri bu rt fl telfi edip x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 eflitli ini s lybilmek için zlmk zorundd r. x ve y simetri eksenlerinden doly, elipsin dvrn fl n di- er durumlrd d (örne in x pozitif, y negtifken de) biliyoruz. u bulgulrdn elipsin ns l bir e ri oldu u fl yukr ç kr. Elipsi çizmemize rmk kld. irkç ols e riyi bir sonrki syfd çizdik. E er düzlemin (x, y) nokts x 2 / 2 + y 2 /b 2 < 1 elipsin d fl eflitsizli ini s l yors, bu noktn n elipsin içinde oldu unu söyleyelim. E er x 2 / 2 + y 2 /b 2 elipsin içi > 1 ise nokt-

18 n n elipsin d fl nd oldu unu söyleyelim. öylece elipsin içi ve d fl tn mlnm fl oldu. Elipsin içinde l nn bir noktyl elipsin d - fl nd l nn bir nokty birlefltiren do ru prçs elipsi tek bir noktd keser. unun d kn t kolyd r. E er iki nokt elipsin içindeyse, bu noktlr birlefltiren do ru prçs d elipsin içindedir, yni, e er x 2 0 / 2 + y 2 0 /b 2 < 1 ve x 2 1 / 2 + y 2 1 /b 2 < 1 eflitsizlikleri s ln yors, o zmn her λ [0, 1] sy s için, (λx 0 + (1 λ)x 1 ) 2 / 2 + (λy 0 + (1 λ)y 1 ) 2 /b 2 < 1 eflitsizli i s ln r. unun kn t bsit bir hesptn ç kr ve okur b rk lm flt r. öylece, elipsin sl nd yukrdki birinci flekildeki gibi oldu u, yni d flbükey oldu u ç kr, lttki di er iki e ri yukrd kn tld m z özelli i s lmzlr. Elipsi çizmemize bir engel dh kld. Elips e risi fl dki iki flekilden biri gibi olbilir. Hngisi? y y x 2 / 2 + y 2 /c 2 = 1 Elipsinin Ols Eskizleri y b x > 0 ve y > 0 ise, x büyüdükçe y küçülür. x b b b x Elips bu gri dörtgenin içinde Elips x ve y eksenlerine göre simetriktir. fiimdiye kdrki bulgulr m z göre elips yukrdki gibi olbilece i gibi fl dki flekillerdeki gibi de olbilir. b y b y b x x x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 elipsi yukrdki d flbükey flekillerden biri gibi olbilir. S dkinde sivri noktlr vrd r. Elipste böyle sivri noktlr olbilir mi? fiimdi, elipsin herhngi bir nokts ndn geçen herhngi bir do runun elipsi kç noktd kesti ini bull m. Yukrdki flekildeki gibi sivri noktlr olmms için biri (te et oln ) d fl nd, bunlr n her birinin elipsi iki de iflik noktd kesmesi gerekir. b b b x Elipsin üstünde l nn noktn n koordintlr (u, v) olsun. u ile v rs nd u 2 / 2 + v 2 /b 2 = 1 iliflkisi vrd r elbette. u noktdn geçen bir do runun denklemi y x = u dur (e er do ru dikeyse) y d, y = m(x u) + v dir. Önce x = u do rusuyl x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 elipsini kesifltirelim. Kesiflim noktlr ndn biri (u, v) ise, (u, v) de di eridir elbette. oly s yl v 0 ise kesiflim en z iki noktd r. (sl nd tm iki noktd r.) E er v = 0 ise o zmn u = ± olml. u nun y b (u, v) ( u, v) b x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 elipsiyle dikey do rulr n kesiflimi (x, y) y b b x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 elipsiyle dikey olmyn do rulr n kesiflimi bu de erini x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemine koyrsk y = 0 elde ederiz. emek ki v = 0 durumund kesiflim nokts bir tne: (u, 0). fiimdi x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilen elipsle, bu elipsi bir (u, v) nokts nd kesen y = m(x u) + v do rusunu kesifltirelim. Kesiflim noktlr ndn biri (u, v). Ols ikinci bir kesiflim nokts n (x, y) diyelim. x u eflitsizli inin frk n vr p hesp ypl m. 1= x 2 / 2 + y 2 /b 2, = x 2 / 2 + (m(x u) + v) 2 /b 2 = x 2 / 2 + m 2 (x u) 2 /b 2 + v 2 /b 2 +2mv(x u)/b 2 = x 2 / 2 + m 2 (x u) 2 /b u 2 / 2 + 2mv(x u)/b 2 = 1 + (x 2 u 2 )/ 2 + m 2 (x u) 2 /b 2 + 2mv(x u)/b 2. Önce 1 leri sonr d x u lr sdelefltirerek, (x + u)/ 2 + m 2 (x u)/b 2 +2mv/b 2 = 0 elde ederiz. urdn kolyl kl, (1/ 2 + m 2 /b 2 )x = u/ 2 + m 2 u/b 2 2mv/b 2 elde ederiz. E er (1/ 2 + m 2 /b 2 )u u/ 2 + m 2 u/b 2 2mv/b 2 (u, v) x y = m(x u) + v x y = b2 u 2 (x u) + v v 26

19 ise, x u koflulundn doly, iki de iflik kesiflim nokts bulunur. E er (1/ 2 + m 2 /b 2 )u = u/ 2 + m 2 u/b 2 2mv/b 2 ise, yni m = ub 2 /v 2 ise tek bir kesiflim nokts vrd r; bu d (u, v) nokts ndn elipse te et geçen do runun e imidir. emek ki elipsin herhngi bir nokts ndn elipsi sdece bir noktd y kesen tek bir do ru b vrd r (ve bu do ru d x o noktdn geçen te- ettir.) öylece elipsin büyük b x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 elipsi ölçüde yndki gi- bi bir e ri oldu unu kn tlm fl olduk. Hiperbol. u bölümde > 0 ve b > 0 için, x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilen H e rilerini ele lc z. u tür e rilere ve bunlr n döndürü, simetri ve ötelemelerine hiperbol denir. Önce H nin koly kn tlnn birkç özelli inden bfllyl m. E er (x, y) H ise, ( x, y) H, (x, y) H, ( x, y) H. oly s yl H e risi x ve y eksenlerine göre simetriktir. Her y R için, (x, y) nokts n n hiperbolün üstünde oldu u iki tne x vrd r: x = ± y 2 + b 2. b Öte yndn, her x R için, (x, y) nokts n n hiperbolün üstünde oldu u bir y yoktur; böyle bir y nin olms için x 2 2, yni y x y d x eflitsizli i s lnml d r. ir bflk deyiflle (, ) R bnt nd hiperbolün bir nokts yoktur. m e er x (, ) ise, b y = ± x 2 2 olrk l rsk, (x, y) H olur. E er x ve y pozitifse, bu iki sy dn biri rtt nd, di eri de, bu rt fl telfi edip x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 eflitli ini s lybilmek için rtmk zorundd r. Htt x sonsuz do ru gitti inde y de sonsuz gitmelidir. simptot. E er x 0 ise, hiperbolün denkleminden y 2 /x 2 = b 2 / 2 b 2 /x 2 y bx/ y y = bx/ x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 hiperbolünün x > 0 ve y > 0 bölgesi büyük x ç kr. oly s yl e er x çok çok büyükse, o zmn, b 2 /x 2 terimi çok çok küçük olur ve y 2 /x 2 fl- yukr b 2 / 2 sy s n eflit olur, yni y/x ±b/ olur. emek ki y yi de pozitif l rsk, y/x b/ olur. fiimdi flu sv orty t yorum: x çok büyüdü- ünde, pozitif bir y için (x, y) H ise, o zmn y bx/, yni hiperbolle y = bx/ do rusu birbirlerine çok yk n olurlr. Sv m kn tl yorum. (x, y) prbolün üstünde bir nokt olsun. x, çok çok büyük olsun. y de pozitif olsun. bx/ ile y rs ndki frk n çok çok küçük oldu unu kn tlyc z: bx bx b y x 2 2 b x x 2 2 = = 2 2 b x x 2 2 x+ x = 2 2 x+ x 2 b = x+ x Yukrdki hesptn d görüldü ü gibi bx/ ile y rs ndki frk pozitif (yni bx/ > y, yni y = bx/ do rusu hiperbolün üstünde) m çok küçük, o kdr ki x sonsuz gitti inde bu frk 0 gidiyor. u bulgulrdn hiperbolün ns l bir e ri oldu- u fl yukr ç kr, bu sütunun en tepesinde çizilmifl e ri gibidir. m henüz bundn tm emin olmy z. O flekil birz fzl yumuflk. elki de hiperbolün en umulmd k bir yerinde (bir sonrki syfdki flekildeki gibi) bir sivrili i vrd r... ynen elipste ypt m z gibi do rulrl hiperbolün kesiflim noktlr n bulbiliriz. Elipste yp - ln çok benzer bir hesp, e er v 0 ise, hiperbolün (u, v) nokts ndn geçen ub 2 /v 2 e imli do ru d fl nd (ki bu do ru hiperbole (u, v) nokts nd te et do rudur) ve ±b/ e imli simptotlr p- x 27

20 y y Te et do ru: y = b 2 (x u)/ 2 + v y = bx/ Herhngi bir do ru y = m(x u) + v y = b(x u)/ + v (u, v) y = b(x u)/ + v x y = bx/ x2/2 y2/b2 = 1 hiperbolü, örne in, bu flekilde oldu u gibi (, 0) nokts nd köfleli olbilir mi? rlel oln iki do ru d fl nd (bkz. yn sütunun tepesindeki flekil), hiperbolü (u, v) nokts nd kesen her do runun hiperbolü bir bflk noktd d kesti ini kn tlybiliriz, kn tlyc z d. E er v = 0 ise, ifdesini okur b rkt m z benzer bir önerme do rudur. öylece hiperbolün köfleli olmyc, yumuflk olms gerekti i kn tlnm fl olck. Kn t, dh do rusu hesplr giriflelim. Hiperbolün üstünde herhngi bir (u, v) nokts ll m. emek ki u 2 / 2 v 2 /b 2 = 1 eflitli i s ln r. u noktdn geçen herhngi bir do ru ll m. E er do ru dikeyse ve (u, v) (±, 0) ise, o zmn do runun hiperbolü iki noktd kesti i kolyl kl kn tln r. E er do ru dikeyse ve (u, v) = (±, 0) ise o zmn do runun hiperbolü sdece (u, v) = (±, 0) nokts nd kesti ini kn tlmk d kolyd r. o runun dikey oldu u durumun dh fzl irdelenmesini okur b rk p, biz en genel durumu irdeleyelim: o ru dikey olms n. O zmn do runun denklemi, m için, y = m(x u) + v dir. emek ki, di er kesiflimi bulmk için, y = m(x u) + v x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 denklem sistemini çözmeliyiz. u rd u ile v rs ndki u 2 / 2 v 2 /b 2 = 1 iliflkisini de unutmyl m. x u eflitsizli ini vrsybiliriz, çünkü (u, v) den de iflik bir çözüm r yoruz. kinci denklemdeki y yi birinci denklemi kullnrk yokedebiliriz. rd ndn, v 2 /b 2 yerine u 2 /b 2 1 yzl m. Orty ç - kn denklemde önce 1 leri sonr d x u lr tl m. Geriye, Üç do ru d fl nd, v 0 için x2/2 y2/b2 = 1 hiperbolünün (u, v) nokts ndn geçen her do ru hiperbolü iki de iflik noktd keser. Hiperbolü sdece (u, v) nokts nd kesen do rulrdn ikisi simptotlr prlel oln do rulrd r. Üçüncüsü ise hiperbole te et oln do rudur. 2 x+ u m ( x u) 2mv = b b denklemi kl r. E er x in ktsy s 0 de ilse, yni m ±b/ ise, bu denklemin tek bir çözümü vrd r ve böylece do runun hiperbolü kesti i di er nokt bulunur. m dikkt! u di er nokt gene (u, v) nokts olbilir; koly bir hesp bunun nck m = ub 2 /v 2 için do ru olbilece ini gösterir. u durumd, do ru, hiperbole (u, v) nokts nd te ettir. E er x in ktsy s 0 ise, yni m = ±b/ ise, yni do ru simptotlr prlelse çözüm yoktur. (Neden? ikktli olmk gerekiyor: 0x = 0 denkleminin çok çözümü vrd r!) x2/2 y2/b2 = 1 hiperbolü ikkt edilirse hem prbolde, hem elipste hem de hiperbolde, te et diye dlnd rd m z do ru, e riyi iki kez yn noktd kesiyor. u yz dki hesplr ypn dikktli okur ne demek istedi imizi nlyckt r. öylece tüm konikleri çizmifl olduk. y y = bx/ x 28

21 Kpk Konusu: Konikler Koniklerin Simetrileri, Odk Noktlr ve o rultmnlr li Nesin* / nesin@bilgi.edu.tr Engin Yrd mc ** / enginyrdimci@yhoo.co.uk ir önceki yz d, düzlemde, do rultmn denilen bir l do rusun ve odk nokts denilen bir F l nokts n oln uzkl klr n n orn n n sbit d(l, ) oldu u noktlr kümesinin bir konik oldu unu gördük. u d(f, ) yz d hemen hemen F her koni in bir do rultmn ve bir odk nokts n n oldu unu gösterece iz. Önce çok genel bir fley ypl m. ir F nokts ve bir l do rusu verilmifl olsun. ir de yr c bir e sbiti verilmifl olsun. { : d(, F) = e d(, l)} koni ini l ele ll m. F R nokts ndn geçen ve l do rusun dik oln do ru, Q kolyc görülece- F i üzere, koni in bir simetri eksenidir. R Q l Yz m zd bu olguyu tm üç kez kullnc z. Önce elipsi irdeleyelim. EL S Önsv. 0 < b < olmk üzere x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilmifl bir elipsin en uzun kirifli merkezden geçen yty kirifltir ve bunun d uzunlu u 2 d r. Kn t: F ve F elipsin odk noktlr olsun. Syf 33 teki Teorem 2 de, elipsin herhngi bir M nokts için d(m, F) + d(m, F ) = 2 eflitli ini görmüfltük. fiimdi elipsin üstünde M ve N noktlr l rsk, üçgen eflitsizli inden, d(m, N) d(m, F) + d(f, N) * stnbul ilgi Üniversitesi Mtemtik ölümü ö retim üyesi. ** OTÜ Mtemtik ölümü ö rencisi. 34 ve d(m, N) d(m, F ) + d(f, N) eflitsizliklerini elde ederiz. unlr ltlt toply p ikiye bölersek, d(m, N) 2 eflitsizli ini elde ederiz. emek ki bir kiriflin uzunlu u en fzl 2 olbiliyormufl. Merkezden geçen yty kiriflin uzunlu- unun 2 oldu u briz. Elipsin bu en uzun kirifline sl kirifl denir. Sonuç. E er bise, x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilmifl bir elipsin simetri do rulr sdece x ve y eksenleridir ve sdece (0, 0) nokts simetri nokts d r. Kn t: Önerme x ve y ye göre simetrik oldu- undn > b eflitsizli ini vrsybiliriz. Yukrd kn tld m z üzere x ekseni üstündeki kirifl, elipsin biricik en uzun kiriflidir. oly s yl elipsi elipse götüren düzlemin mesfe koruyn dönüflümleri bu uzun kiriflin yerini de ifltiremez. undn d istenen sonuç ç kr. Teorem. E er > b ise, x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilmifl bir elipsin sdece iki tne odk nokts ve do rultmn çifti vrd r. e sbit orn bu iki çift için de yn d r. unlr, ε = ±1 için, 2 2 F ε b, 0 odk nokts ve ε 2 x = 2 2 b denklemiyle verilmifl l do rultmn çiftidir. Sbit orn, her iki çift için de 2 2 b e = < 1 dir. Yni elips, { R 2 : d(, F) = e d(, l)} kümesidir. Kn t: Önce, elipsin bir F odk nokts ve bir l do rultmn (ve bir e orn ) oldu unu vrsy p

22 bunlr bulmy çl fll m. u birz zmn lck. h sonr buldu umuz bu F, l ve e nin istediklerimiz oldu unu kn tlyc z. Her fleyden önce F odk nokts l do rultmn n n üstünde olmz, çünkü ksi tkdirde d(, F) = e d(, l) koflulu bir do ruyu verirdi ve elipsimizin bir do ru olmd mlum. F den l do rultmn n bir dik çekelim., bu dikle do rultmn n kesiflim nokts olsun. Kolyc görülece i üzere, F elipsin bir simetri do rusudur b O F l x eflitli ini buluruz. (x, y) nokts elipsin üstünde oldu undn x 2 yerine 2 (1 y 2 /b 2 ) koybiliriz. oly s yl her y [ b, b] sy s için, 2 (1 y 2 /b 2 ) + (y ƒ) 2 = e 2 (c y) 2 eflitli i geçerlidir. emek ki 2 (1 Y 2 /b 2 ) + (Y ƒ) 2 e 2 (c Y) 2 polinomunun sonsuz sy d kökü vrd r, yni s f r polinomudur. oly s yl Y 2 nin ktsy s 0 eflittir, yni, e 2 = 2 /b < 0, bir çeliflki. Söz verdi- imiz gibi F nin x ekseni oldu unu kn tld k. fiimdi F ve nin koordintlr (ƒ, 0) ve (c, 0) olsunlr. Hâlâ dh vrsy msl oln orn d e diyelim. ƒ yi, c yi ve e yi bulc z. b O y (x, y) F(ƒ, 0) l x (c, 0) (bkz. yukrdki flekil: E er nokts elipsin üstündeyse, nin F ye göre simetrisi oln nokts d yn orn b nt s n s ld ndn elipsin üstündedir.) ir önceki sonuçtn doly, F do rusu y x y d y eksenidir, yni ve F noktlr n n ikisi birden y x y d y ekseni üzerindedir. F nin x ekseni oldu unu kn tlyc z. ir çeliflki elde etmek mc yl, bir gflet n nd F do rusunun y ekseni oldu unu vrsyl m. O (0, c) F(0, ƒ) b O y c y (x, y) zmn l do rultmn x eksenine prleldir. ve F nin koordintlr s rs yl (0, c) ve (0, ƒ) olsun. fiimdi, elips üstünde seçilmifl her (x, y) nokts için, 2 2 x + ( y ƒ) df (, ) = = e c y d (, l) eflitli i geçerlidir. Her iki trf n d kresini l p pydlr eflitlersek, elipsin üstündeki her (x, y) nokts için, x 2 + (y ƒ) 2 = e 2 (c y) 2 l x Gflet n Gerekirse y eksenine göre her fleyin simetrisini lrk c nin negtif olmd n vrsybiliriz. (Yukrdki flekle ldnmml, dh ne F nin elipsin içinde oldu unu ve ne de ƒ < < c eflitsizliklerini biliyoruz.) Elips üstünde seçilmifl her (x, y) nokts için, 2 2 x + ( y ƒ) df (, ) = = e c y d (, l) eflitli i geçerlidir. Her iki trf n d kresini l p pydlr eflitlersek, elipsin üstündeki her (x, y) nokts için, (x ƒ) 2 + y 2 = e 2 (c x) 2 eflitli ini buluruz. (x, y) nokts elipsin üstünde oldu undn y 2 yerine b 2 (1 x 2 / 2 ) koybiliriz. oly s yl her x [, ] sy s için, (x ƒ) 2 + b 2 (1 x 2 / 2 ) = e 2 (c x) 2 eflitli i geçerlidir. emek ki (X ƒ) 2 + b 2 (1 X 2 / 2 ) e 2 (c X) 2 polinomunun sonsuz sy d kökü vrd r, yni s f r polinomudur; demek ki üç ktsy s d 0 olml d r: 1 b 2 / 2 e 2 = 0 2ƒ + 2ce 2 = 0 ƒ 2 + b 2 e 2 c 2 = 0. u üç denklemden ƒ yi, c yi ve e yi bulc z. irincisinden hemen e yi bulbiliriz: e 2 = 1 b 2 / 2. undn ve ikincisinden yrrlnrk ƒ yi c cinsinden yzbiliriz: ƒ = ce 2 = c(1 b 2 / 2 ). 35

23 u son iki sonuçtn ve üçüncü denklemden c yi bulbiliriz: 0= ƒ 2 + b 2 e 2 c 2 = c 2 (1 b 2 / 2 ) 2 + b 2 (1 b 2 / 2 )c 2 = c 2 ( b 2 / 2 + b 4 / 4 ) + b 2. Gerekli sdelefltirmeyi yp p c 2 yi tecrit edersek, 2 c = > 2 2 b buluruz. fiimdi, c nin bu de erini birz önce buldu- umuz ƒ = c(1 b 2 / 2 ) eflitli ine yerlefltirirsek, 2 2 ƒ= b < buluruz. e yi zten yukrd bulmufltuk: y b 2 2 odk nokts ƒ = 2 b 2 F (x, y) x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilen elipste, F / Q = e = 1 b 2 / 2. b e = < 1. emek ki, e er vrs, F(0, ƒ) odk nokts n, l (x = c) do rultmn n ve e orn n bulduk. fiimdi bu buldu umuz F nokts n n gerçekten odk nokts, l do rusunun gerçekten do rultmn oldu unu ve e nin gerçekten sbit orn oldu unu kn tlml y z. Kn tlyl m. (x, y), elipsin üstünde herhngi bir nokt olsun. kl m d(, F)/d(, l) = e eflitli i geçerli mi? Tüm sy lr pozitif oldu undn, elips üstündeki her nokts n n d(, F) 2 = e 2 d(, l) 2 eflitli ini, yni x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 eflitli ini s lyn her (x, y) sy çiftinin d((x, y), (ƒ, 0)) 2 = e 2 (c x) 2 eflitli ini s ld n kn tlmk yeterli. u d, verilen c, ƒ ve e sy lr yl oldukç zhmetsiz biçimde yp lbilir. uldu umuz bu odk nokts ve do rultmn n bir de y eksenine göre simetrileri vrd r elbet. Kn t m z bitmifltir. ROL rbollerin denkleminin bir > 0 sbiti için, y = x 2 biçiminde yz lbilece ini gördük. Tbii denklemin bu hle gelmesi için prbolü döndürmek, ötelemek ve bir eksene göre simetrisini lmk gerekebilir; bunlr ypt m z vrsyl m. do rultmn c = 2 2 b 2 x 36 Teorem. y ekseni y = x 2 denklemiyle verilen prbolün tek simetri eksenidir. Kn t: Önce dikey simetri eksenlerine bkl m. l, prbolün dikey bir simetri ekseni olsun. O zmn l do rusunun denklemi, bir b için, x = b biçimindedir. b nin 0 oldu unu kn tlyc z. (x, y), y = x 2 y (x, y) (2b x y) prbolün üstünde herhngi bir noktn n koordintlr olsun. u noktn n l do rusun göre simetri i, kolyc görülece i üzere, (2b x, y) nokts - d r. emek ki bu nokt d prbolün üstünde. fiimdi hem y = x 2 hem de y = (2b x) 2 denklemi geçerli olml d r. emek ki, x 2 = y = (2b x) 2 ve sdelefltirerek, b 2 = bx olml. m bu eflitlik her x için s lnml. oly s yl b = 0 olml. öylece, dikey do rulr n rs nd sdece x = 0 denklemiyle verilen y ekseninin prbolün simetri ekseni oldu unu kn tld k. elli bir do ruy prlel oln do rulr kümesine bir prlellik s n f d n verelim. Örne in dikey do rulr kümesi bir prlellik s n f d r; x ekseniyle 45 derecelik ç ypn do rulr kümesi bir bflk prlellik s n f d r. ir prlellik s n f bir e im trf ndn belirlenir; dh ç k bir ifdeyle, e er bir prlellik s n f dikey do rulrdn oluflmuyors, o zmn bir m sy s (e imi) için, prlellik s n f ndki her do ru y = mx + b biçiminde yz l r ve y = mx + b biçiminde yz ln her do ru bu prlellik s n f ndd r. fiimdi, y = x 2 prbolü ç s ndn, dikey do rulr prlellik s n f n n di er prlellik s n flr n göre bir yr cl oldu unu kn tlyc z. Her dikey do ru prbolü sde- y = x 2 ce bir noktd keser, bunu biliyoruz. kl m bflk bir prlellik s n f bu özelli i s l yor mu? izce s lm yor! Herhngi bir m e imini sbitleyip, e imi m oln prlellik s n f n, yni belli bir b sy s için denklemi y = mx + b fleklinde yz ln do rulr ve bu do rulr n prbolle kesiflim noktlr n bkl m. (Yndki sütundki flekle bk n.) Ols bir kesiflim nokts n n x ve y koordintlr bir yndn y = mx + l b x

24 b denklemini bir yndn d y = x 2 denklemini s lr. emek ki birinci koordint x, x 2 = mx + b denklemini s lml. u son denklemin y 0 y 1 y d 2 çözümü vrd r: E er b > m 2 /4 ise iki çözüm vrd r, e er b = m 2 /4 ise bir çözüm vrd r, e er b < m 2 /4 ise hiç çözüm yoktur. Her x çözümü için bir y (= mx + b) bulunbilece inden prbolle y = mx + b do rusunun kesiflim nokts sy s, x 2 = mx + b denkleminin çözüm sy s kdrd r. öylece dikey do rulr prlellik s n f n n di er do rulr göre bir yr cl oldu unu göstermifl olduk. b = m 2 /4 y = x 2 y = mx + b do rulr (b de iflirken) y = x 2 prbolünü 0 (b < m 2 /4 ise), 1 (b = m 2 /4 ise) y d 2 (b > m 2 /4 ise) noktd keserler. u, bize simetri ekseni hkk nd bilgi verir. ikey do rulr prbol için yr cl kl bir prlellik s n f oldu undn, simetri ekseni dikey do rulr koruml, yni dikey bir do runun simetri eksenine göre simetrisi gene bir dikey do ru olml. emek ki simetri do rusu dikey y d yty olml. ikeyse y ekseni oldu unu ilk prgrft gördük. Yty olmyc n görmek koly: Yty bir simetri ekseni ols, prbolün ikinci koordint negtif oln bir nokts olurdu ki, olmd n biliyoruz. fiimdi de bir prbolün bir ve bir tek odk nokts ve do rultmn oldu unu ve orn n 1 oldu unu kn tlyl m. unu y = x 2 denklemiyle verilen prbol için kn tlmk yeterli elbette. Teorem. ir prbolün bir ve bir tne odk nokts ve do rultmn vrd r ve orn 1 dir, yni bir ve bir tne F nokts (odk nokts ) ve l do rusu (do rultmn) için, prbol, { : F = d(, l)} kümesidir. E er prbol y = x 2 denklemiyle verilmiflse, odk nokts F(0, 1/4) ve do rultmn y = 1/4 do rusudur. Kn t: y = x 2 denklemiyle verilen prbole odklnmk yeterli. Önce, prbolün bir F odk nokts ve bir l do rultmn n n oldu unu vrsy p 37 Mtemtik ünys, 2005 Yz F yi ve l yi bull m. Orn hkk nd herhngi bir vrsy md bulunmyc z. F den l ye l dik y = x do rusunu inelim. rbolün noktlr F 2 l l F = e d(, l) eflitli ini s lyn noktlr oldu- undn, l do rusu prbolün bir simetri eksenidir. ir önceki önsv göre l do rusu y eksenidir. emek ki l do rusu ytyd r ve F nokts y ekseninin üstündedir. F(0, ƒ) olsun ve l do rusu d y = b denklemiyle verilmifl olsun. mc m z y y = x ƒ yi ve b yi bulmk. h sonr (x, y) 2 F(0, ƒ) buldu umuz bu x F nin ve l nin gerçekten odk nokts ve do rultmn d b oldu unu kn tlyc z. l do rusu prbolü kesemeyece inden (neden?) b < 0 olml. (0, 0) nokts prbolün üstünde oldu undn, = (0, 0) l rsk, ƒ = F = e d(, l) = e b = eb eflitli ini buluruz. emek ki ƒ yi ve e yi bulmk yeterli; o zmn b de belirleniyor. (x, y) prbolün herhngi bir nokts olsun. O zmn, 2 2 x + ( y ƒ ) = df (, ) = edd (, ) = ey ( b) eflitli i s ln r. Her iki trf n d kresini ll m. x 2 + (y ƒ) 2 = e 2 (y b) 2 bulunur. m y = x 2 denklemi s lnmk zorund. emek ki her x R için, x 2 + (x 2 ƒ) 2 = e 2 (x 2 b) 2 eflitli i s lnml. unu bir polinom gibi görürsek, X 2 + (X 2 ƒ) 2 e 2 (X 2 b) 2 polinomunun 0 polinomu oldu unu, yni ktsy - lr n n 0 oldu unu görürüz. emek ki, 2 = e ƒ = 2e 2 b ƒ 2 = e 2 b 2 eflitlikleri s lnml. (Sonuncusunu zten biliyorduk, ƒ = eb eflitli ini dh önce bulmufltuk.) irincisinden e = 1 ç kr (e pozitif olml ). e nin bu de erini ikinci ve üçüncü denkleme yerlefltirirsek, 1 = 2(ƒ b) ve ƒ = ±b buluruz. irinci denklemden doly ƒ = b olmz. emek ki ƒ = b. unu birinci denkleme yerlefltirirsek, 4ƒ = 1 ve ƒ = 1/4 buluruz. urdn d b

25 ç kr: b = ƒ = 1/4. öylece ols odk nokts n, do rulty ve orn bulduk: S rs yl F(0, 1/4) nokts, y = 1/4 do rusu ve e = 1 orn. fiimdi bunlr n gerçekten odk nokts, do rulty ve orn oldu unu kn tlml y z. Okur dikkt ederse, bunu yukrd ypt - m z görecektir; göremiyors hesplr bir def dh ypms nd yrr vrd r. H EROL Son olrk, bflk konik klmd ndn, hiperbolü ele lc z. Önsv. () y = ±bx/ do rulr x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 hiperbolünün simptotlr d r ve bu hiperbolün bflk simptotu yoktur. (b) x ve y eksenleri x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 hiperbolünün simetri eksenleridir ve bu hiperbolün bflk simetri ekseni yoktur. Kn t: () Syf de, y = ±bx/ do rulr - n n x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 hiperbolünün simptotlr olduklr n kn tlm flt k. yn kn t hiperbolün bflk simptotu olmd n d kn tlr. (b) x ve y eksenlerinin simetri eksenleri oldu u briz. Hiperbolün bir simetrisi simptotlr simptotlr göndermek zorund oldu undn, birinci k s mdn, e er simptotlr birbirine dik de ilse, x ve y eksenlerinden bflk simetri ekseni olmd nlfl l r. E er simptotlr birbirine dikse, yni = b ise, simptotlr n kendileri de (y = x ve y = - x do rulr ) potnsiyel simetri eksenleri olrk krfl m z ç krlr. u iki do runun do urdu u simetriler x ve y eksenlerini de ifl tokufl etti inden, bunlr n simetri eksenleri olmyc n nlmk zor de il. Teorem. ir hiperbolün iki tne odk nokts ve do rultmn çifti vrd r ve her ikisi için de orn yn ve 1 den büyüktür. E er hiperbol > b sy lr için x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilmiflse bu çiftlerden biri 2 2 F + b, 0 nokts (odk nokts ) ve d : x= b do rusudur (do rultmn). i er çift bunlr n y eksenine göre simetri idir. Orn, 2 + b e = d r. ir bflk deyiflle, x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 denklemini s lyn (x, y) noktlr kümesi, { : F = e d(, l)} kümesidir. Kn t: x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 denklemiyle verilen hiperbole odklnmk yeterli. h önce elips ve prbol için iki kez ypt m z gibi, önce hiperbolün bir F odk nokts ve bir l do rultmn n n oldu unu vrsy p F yi ve l yi bulc z. Orn hkk nd herhngi bir vrsy md bulunmyc z (nck dh önce yp lnlrdn, e er elips ve prbolün hiperbol olmd n biliyorsk, orn n 1 den büyük olms gerekti i nlfl l r.) h sonr bu bulunn odk nokts ve do rultmn dylr n n gerçekten odk nokts ve do rultmn oldu unu kn tlyc z. h önce iki kez gördü ümüz gibi F den geçen ve d ye dik oln do ru, koni in, yni hiperbolün bir simetri eksenidir. Yukrdki önsv göre bu simetri ekseni y x y d y eksenidir, yni F y x y d y eksenindedir ve d y dikeydir y d yty. m d yty ols hiperbolü keser ve o zmn d hiperbolün sdece bir nokts olur... emek ki d dikey ve F nokts x ekseni üzerinde. F nokts n n koordintlr (ƒ, 0) olsun. d do rusu d x = c denklemiyle verilmifl olsun. Gerekirse y eksenine göre simetri ini lrk c 0 eflitsizli- ini vrsybiliriz. y d 2 2 O c F(ƒ, 0) (x, y) fiimdi hiperbol üzerinde herhngi bir (x, y) nokts ll m. x 38

26 2 2 ( x ƒ ) + y = df (, ) = edd (, ) = e x c denklemini elde ederiz. u eflitli in her iki trf n n d kresini l rsk, (x ƒ) 2 + y 2 = e 2 (x c) 2 eflitli ini elde ederiz. yr c, y 2 yerine b 2 (x 2 / 2 1) yzrsk, (x ƒ) 2 + b 2 (x 2 / 2 1) = e 2 (x c) 2 denklemini elde ederiz. u denklemin sonsuz tne çözümü oldu u için, (X ƒ) 2 + b 2 (X 2 / 2 1) e 2 (X c) 2 polinomu 0 polinomudur, yni üç ktsy s d 0 d r: 1 + b 2 / 2 e 2 = 0 2ƒ + 2ce 2 = 0 ƒ 2 b 2 e 2 c 2 = 0. irinci denklemden e bulunur: b e =. kinci denklemden ƒ = ce 2 = c(1 + b 2 / 2 ) = c( 2 + b 2 )/ 2 buluruz. e nin ve ƒ nin bu de erlerini üçüncü denkleme tfl yrk, c 2 (1 + b 2 / 2 ) 2 b 2 (1 + b 2 / 2 )c 2 = 0 buluruz. unu sdelefltirip c yi tecrit edersek, (z bifley hesp ypmk gerekiyor) c = b bulunur. undn ve dh önce buldu umuz ƒ = c( 2 + b 2 )/ 2 eflitli inden ƒ ç kr: 2 2 ƒ= + b. emek ki odk nokts, do rultmn ve orn vrs, bunlr yukrd buldu umuz gibi olml. fiimdi de yukrd bulduklr m z n gerçekten hiperbolün odk nokts, do rultmn ve orn oldu unu kn tlyl m. 2 Hiperbolün üstünde herhngi bir (x, y) nokts ll m. emek ki x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 eflitli i s ln yor. fiimdi (x, y) nin F nokts n ve d do rusun oln uzunluklr n hesplyl m. kl m bunlr n orn yukrd buldu umuz e mi? fl dki, x + b + y df (, ) dd (, ) = 2 x b x x + b + b 1 2 = 2 x b orn n n 2 + b 2 e = oldu unu kn tlmk istiyoruz. Her iki trf n d kresini l rsk, koly bir hespl eflitli in gerçekleflti i görülür. u d kn t m z tmmlr. Son olrk, x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 hiperbolünün dh dikktli bir resmini çizelim. y = bx/ F d y = bx/ y d : x = b O b b 2 F x 2 / 2 y 2 /b 2 = 1 x b 2 Çember Gene çember Y bu ne? Çember Elips Y bu ne? r b c b r b c b Verilen bir nokts n uzkl n n kresi sbit (r 2 ) oln noktlr () kümesi bir çemberdir. Verilen ve noktlr n uzkl klr n n krelerinin ( 2 ve b 2 ) toplm sbit (r 2 ) oln noktlr () kümesi de bir çemberdir. Verilen, ve noktlr n uzkl klr n n ( 2, b 2 ve c 2 ) toplm sbit (r 2 ) oln noktlr () kümesi nedir? Verilen bir nokts - n uzkl sbit (r) oln noktlr () kümesi bir çemberdir. Verilen ve noktlr n uzkl klr n n ( ve b) toplm sbit (r) oln noktlr () kümesi bir elipstir. Verilen, ve noktlr n uzkl klr n n (, b ve c) toplm sbit (r) oln noktlr () kümesi nedir? d vr m d r? öyle bir e rinin sivri bir nokts olbilir mi? 39

27 Kpk Konusu: Konikler Elipsin o rultmn Çemberleri, Te etleri, oncelet Teoremleri ve i er fieyleri Selçuk emir* / sdemir@bilgi.edu.tr - ndrei Rtiu* / rtiu@bilgi.edu.tr u yz d elips için birçok ilginç teorem kn tlyc z. unlr n en ünlüsü oncelet teoremleri d n tfl yn teoremlerdir. Hiperbol ve prbol için de oncelet teoremlerinin benzerleri vrd r. unlr bir sonrki yz d kn tlnck; bu yz d özellikle sdece elipse odklnc z. Kn tlr m z cebirsel de il, geometrik olck. Sentetik geometri d yl bilinen milt öncesinden klm yöntemi kullnc z. oly s yl elipsin cebirsel de il, geometrik tn - 2 m n ye leyece iz: u yz d, elips, verilen iki F ve F nokts - F F n oln uzkl klr n n toplm sbit oln noktlr n geometrik 2 yeri nlm n kulln lck. u sbit sy y 2 olrk yzc z. 2 sy s n elipsin sl uzunlu u d verilir. o rultmn Çemberi. üzlemde sbit bir çemberi ve bir F nokts ll m. F den geçen ve ye te- et sonsuz tne çember vrd r. Tüm bu çemberlerin F merkezleri ns l bir küme olufltururlr? E er nokt çemberin içindeyse yn t fl d. Teorem 1. üzlemde sbit bir çemberi ve bu çemberin içinde sbit bir F nokts verilmifl olsun. ye te et oln ve F den geçen çemberlerin merkezleri bir elips oluflturur. u O elipsin bir od F nokts, F di eri de nin merkezidir. yr c bu elipsin sl uzunlu u nin yr çp kdrd r. * stnbul ilgi Üniversitesi Mtemtik ölümü ö retim üyeleri. Kn t: nin merkezi F ve yr çp 2 olsun., çemberin içinde herhngi bir nokt olsun. merkezli ve F den geçen bir çember ele ll m. (kz. yndki flekil.) u iki çember nck içten te et olbileceklerinden, te et olbilmeleri için gerek F F ve yeter koflul, merkezler rs ndki uzkl n yr çplr n frk n eflit olms d r, yni F = 2 F, 2 y d F F + F = 2 2 kofluludur. emek ki rd m z geometrik yer, F ve F odk noktl ve sl uzunlu u 2 oln elipsmifl. yr c, F ve F noktlr ve 2 > FF gelifligüzel l nbilece inden, her elips bu flekilde elde edilir. Teoremde verilen çembere, geometrik yer olrk bulunn elipsin do rultmn çemberi d verilir. h ç k 2 Q bir deyiflle, bir elipsin odklr ndn birine F F merkezlenmifl ve yr - 2 çp elipsin 2 sl uzunlu u oln çemberlere elipsin do rultmn çemberleri denir. emek ki her elipsin iki do rultmn çemberi vrd r; her ikisinin de yr çp 2 d r ve her biri bir odk nokts nd merkezlenmifltir. Elips verildi inde do rultmn çemberini geometrik yer olrk elde etmek kolyd r: Elipsin odk noktlr F ve F olsun., elips üstünde her- 45

28 Teorem 1 de verilen nokt çemberin d fl ndys ne elde ederiz? O zmn, verilen çembere te et oln iki türlü çember vrd r: Verilen çemberi içerenler ve içermeyenler. çermeyenler fl d s dki resimdeki gibi geometrik bir yer olufltururlr. çerenlerse soldki gibi. irinci geometrik yer bir hiperbolün bir koludur, ikincisiyse di er kolu (yndki flekildeki gibi.) u dediklerimizin kn t ynen Teorem 1 in kn t gibidir ve okur b rk lm flt r. Teorem. Verilen bir çembere te et oln ve bu çember d fl nd verilmifl bir noktdn geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri bir hiperboldür. Her hiperbol de bu flekilde elde edilir. hngi bir nokt olsun. F do ru prçs n den itibren elipsin d fl n do ru F kdr uztl m ve bu nokty Q diyelim. O zmn, F Q = F + Q = F + F = 2. öylece elde edilen Q noktlr n n kümesi F merkezli ve 2 yr çpl çemberdir, yni F t Q merkezli do rultmn çemberidir. merkezli F F ve F odk nokts ndn geçen çember elbette büyük çembere (içten) te ettir. rbolde Ne Oluyor? Hiperbol ve elipslerin bu biçimde elde edilip de prbollerin bu flekilde elde edilmedikleri tuhf gelebilir... m prboller de bir nlmd bu flekilde elde edilirler: Çember yerine do ru ll m (bir do ru, bir nlmd, yr çp sonsuz oln bir çemberdir.) Verilmifl bir noktdn geçen ve verilmifl bir do ruy te et oln çemberlerin merkezi bir prbol oluflturur. unun kn t oldukç kolyd r. Çemberlere te et oln do ruyu do rultmn, çemberlerin ortk nokts n odk nokts olrk düflünürsek, orn 1 oln bir konik, yni bir prbol elde edece imiz flikârd r. Teorem. Verilen bir do ruy te et oln ve bu do ru d fl nd verilmifl bir noktdn geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri bir prboldür. Verilen do ru prbolün do rultmn ve verilen nokt prbolün odk nokts d r. Her prbol de bu flekilde elde edilir. l flt rm. Verilen bir prbole ve bu prbolün do rultmn n te et oln çemberlerin merkezinin geometrik yerini bulun. yn flekil üzerinde düflünmeye devm edelim. QF ikizkenr bir üçgen oldu undn, den QF ye inilen dik, QF nin ortdikmesidir. unun tersi de do rudur: Q, do rultmn çemberi üstünde herhngi bir nokt olsun. QF nin t ortdikmesiyle QF do rusunun kesiflimi elipsin üstündedir. Nitekim t ortdikmesinin her nokts - n n Q ye ve F ye uzkl klr eflittir. oly s yl e er t ile QF do rusunun kesiflim nokts n dersek, F = Q ve F + F = F + Q = F Q = 2. oly s yl nokts elipsin üstündedir. nokts n n t ortdikmesine göre önemli bir özelli i de flu: F nokts ndn F nokts n t ye de- erek giden en k s yol nokts ndn geçer, yni F ve F do ru prçlr ndn olufln F F yolu- 46

29 Q dur. Nitekim e er, ortdikme üstünde herhngi bir noktys, F F o zmn, F + F = F + Q > F Q = 2 eflitsizli i geçerlidir. undn çok ilginç bir fley ç kr: Ortdikme elipse tek bir noktd de er... Nitekim, birz önce kn tld m z gibi, ortdikme üstünde oln her nokts için, F + F > 2. E er elipsin bir te etini, elipsi tek bir noktd kesen bir do ru olrk tn mlrsk, o zmn yukrdki t ortdikmesinin elipse nokts nd te et oldu unu görürüz. Her ne kdr elipse tek noktd de en do ru gerçekten elipsin te etiyse de, te et in tn m böyle de ildir. Örne in, prbole tek noktd de- en her do ru prbolün te eti de ildir. Te et Kvrm. kinci yz m zd, tek bir do ru d fl nd, bir elipsin belli bir nokts ndn geçen her do runun elipsi iki de iflik noktd kesti ini kn tlm flt k (syf 26). yr c elipsi tek noktd kesen ve den geçen bu yegâne do runun elipse de te et oln do ru oldu unu d f s ldm flt k. rk n kn tlmy, böyle bir sv iddi edebilmek için bile te et in ne demek oldu unu bilmeliyiz. Terimleri tn mlnmm fl bir önermeyi kn tlmk bir hyli zor olml... Te et kvrm n tn mlyl m... Herhngi bir e ri ll m. (izim ilgilendi imiz durumd e ri bir elips.) E rinin üstünde sbit bir nokts ll m. E rinin üstünde yr c bir de oynk bir M nokts ll m. M do ru prçs n, yni kiriflini çekelim. fiimdi oynk M nokts sbit nokts n çok çok çok yklflt kç, m e rinin üstünde klrk nokts n çok çok çok yklflt kç M do ru prçs n n ld hllere bkl m. Yukrdki resim zihin çbilir. M nokts nokts n çok çok çok yklfl rken, M kirifl do rulr bir t do rusun çok çok çok yklflbilir, o kdr ki, M nokts nerdeyse nokts oldu und, M do rusu d nerdeyse t do rusu olbilir. Her zmn böyle bir t do rusu olmybilir, m oldu und bu t do rusun e rinin de te eti d verilir. u tn m n nlml olbilmesi için çok çok çok yklflmn n (ki bun mtemtikte yk nsmk denir) tn mlnms gerekir. m bunu ypmyc z. Hem konuyu çok d tm fl oluruz, hem de fl d ypt klr m z o kdr do l olck ki, bu tn m meselesini çmsyd k hemen hemen kimse böyle bir sorunun frk n vrmyckt... Sonuç olrk te etler kirifllerin limitidir. unu kl m zd tutup devm edelim. Önce elipsin kirifllerini inceleyelim. Kiriflleri inceledikten sonr kirifllerin limitte ne hle geldiklerine bkc z. Kirifller. Odk noktlr F ve F oln bir E elipsi ll m. Elipsin üstünde herhngi iki ve M nokts ll m. u bölümde M kirifli üzerine önemli bir geometrik bilgi edinece iz ve böylece M nokts elipsin üstünde kyrk ye yk nsd nd, yni M kirifli den geçen te ete dönüfltü ünde, bu te- etin geometrik özelli ini bulmufl olc z. fl dki flekilden izleyelim. Elipsin F merkezli do rultmn çemberini çizelim. o rultmn çemberi üzerinde ye tekbül eden nokty diyelim; yni, ile F do rusunun kesiflim nokts olsun. o rultmn çemberinin tn m ndn doly, merkezli ve F yr çpl çemberi çemberine nokts ndn te ettir. Ns l nokts ndn hreketle nokts n ve çemberini bul- I M t E M M F F M M nokts e rinin üstünde klrk nokts n çok çok çok yklflt nd, M kirifl do rulr bir t do rusun çok çok çok yklfl yors, o zmn t do rusun te et do ru denir (e riye de te et do ru.) 47

30 muflsk, M nokts ndn hreketle M nokts n ve M çemberini bull m. ve M noktlr ndn do rultmn çemberine oln te etleri çizelim ve bu te etleri bir I nokts nd kesifltirelim. nokts ndn geçen te et do ru çemberine de te- ettir, çünkü ve çemberleri nokts ndn birbirine te ettir. yn flekilde M nokts ndn geçen te et do ru M çemberine de te ettir. oly - s yl I nin, M ve çemberlerine göre gücü (bkz. syf 40-44) eflittir: π(i, ) = I 2 = π(i, ) = IM 2 = π(i, M ). yr c, π(f, ) = 0 = π(f, M ), çünkü F ve F M. emek ki I ve F noktlr ve M çemberlerinin eflgüç do rusunun üstünde. m syf 42 deki Teorem 2 de eflgüç do rusunun çemberlerin merkezlerini birlefltiren do ruy dik oldu unu görmüfltük. emek ki IF M. fl dki resimde, yrd mc çemberleri trk, buldu umuzu özetledik. Veriler: E, F ve F odk noktl elips. E. = F ve F do rusl. MM = MF ve FMM do rusl. M nokts ndn geçen ve FMM do rusun dik oln do ru, nokts ndn geçen ve F do rusun dik oln do ruyu I nokts nd keser. Sonuç: IF do rusu M kirifline diktir. M I F F E M Te et. fiimdi M nokts n E elipsinin üstünde kyd rrk nokts n çok çok çok yklflt rl m, yni M kiriflini den geçen te ete yk nstl m. Yn sütunun tepesindeki flekilden tkip edin. (u bir yr flkd r!) M nokts elips üzerinde kyrk nokts n yk nsd nd, M çemberi çemberine yk nsr. M çemberi çemberine yk nsd nd, M nokts nokts n yk nsr. yr c I nokts d ( çemberine nokts ndn geçen te et üstünde klrk) nokts n yk nsr. M nokts elips üzerinde kyrk nokts n yk nsd nd, I nokts nokts n yk nsr m F odk nokts n bifleycikler olmz, o oldu u yerde durur, çünkü elipsi yerinden oyntm yoruz. emek ki M nokts elips üzerinde kyrk nokts n yk nsd nd, IF do rusu F do rusun dönüflür ve yol boyunc IF M iliflkisi korunur. emek ki, e er t, M do rusunun limitini, yni elipse nokts ndn geçen te eti simgelerse, limitte F t iliflkisini elde ederiz. Müthifl bir teorem kn tld k (yukrdki flekilden tkip edebilirsiniz): Teorem 2., odk noktlr F ve F oln elips üstünde bir nokt olsun. Q, F merkezli do rultmn çemberi üstünde ye tekbül eden nokt olsun. O zmn, QF do ru prçs n n ort dikmesi elipse de te ettir. unun tersi de do rudur: E er bir t do rusu elipse te etse ve Q, F nokts n n t ye göre simetri- i ise, o zmn Q nokts F merkezli do rultmn çemberi üstündedir ve t elipse t FQ nokts nd te ettir. öylece bir elipse te etler kolyc çizilir. F merkezli do rultmn çemberinin bir nokts di er odk nokts F ile birlefltirilir ve F do ru prçs n n ort dikmesi l n r. E E F F F F Girifl yz m zd (syf 15) eliptik bir bilrdo mss nd odk noktlr ndn birinde bulunn ve herhngi bir yöne do ru t ln topun, msn n kenr n çrpt ktn sonr (elbette top flso vermemek kofluluyl) di er odk nokts ndn geçece ini söylemifltik. fl dki teorem bunu mtemtiksel olrk kn tl yor. Q I M M t 48

31 Teorem 3 (Elipsin Optik Özelli i)., odk noktlr F ve F oln E elipsinin üstünde herhngi bir nokt ve t bu noktdn geçen herhngi bir do ru olsun. α ve β fl dki flekildeki ç lr olsun. O zmn t nin elipse te et olms için gerek ve yeter koflul α = β eflitli idir. β F F Kn t: Önce t nin elipse nokts nd te et oldu unu vrsyl m. Q, F merkezli do rultmn çemberi üstünde ye tekbül eden nokt olsun. t nin QF do ru prçs - n n ortdikmesi oldu unu biliyoruz. oly s y- t Q α β l, β = m(q) = α. F F fiimdi α = β eflitli ini vrsyl m. F yi F merkezli do rultmn çemberine kdr uztl m. Kesiflim nokts n Q diyelim. (kz. yndki flekil.) Elbette m(f ) = α = m(q). yr c Q = F oldu undn, t do rusu QF do ru prçs n n ort dikmesidir, demek ki elipse te ettir. oncelet teoremlerinin kn t n geçmeden önce çok güçlü oln Teorem 2 nin birkç ilginç sonucunu dh orty ç krl m. Sonuç 4. F odk nokts n n elipsin te etlerine göre simetrilerinin geometrik yeri F merkezli do rultmn çemberidir. α u kolyd. (m gene de flfl rt c yd...) F Sonuç 5. Odk noktlr n n elipsin te- etlerinin üstüne oln izdüflümlerinin geometrik yeri, merkezi F elipsin merkezi oln ve yr çp oln çemberdir. Kn t: F merkezli do rultmn çemberini çizelim. t, elipse herhngi bir te et olsun., F odk nokts n n t nin üstüne oln izdüflümü olsun. F do ru prçs n do rultmn çemberini bir Q nokts nd kesecek flekilde F den ye do ru uztl m. F = Q eflitli ini biliyoruz. fiimdi F odk nokts yl Q nokts n birlefltirelim. F Q = 2 eflitli ini de biliyoruz. fiimdi QFF üçgenine bkl m. den QF do rusun çekilen prlel do ru, FF do ru prçs n tm ortdn böler, yni elipsin merkezi oln O nokts nd keser. yr c benzer üçgenlerden doly O = eflitli i do rudur. 2 Q F t F F Yukrdki sonuç her iki odk nokts için de geçerlidir elbette. Merkezi elipsin merkezi, yr çp oln çembere elipsin sl çemberi d verilir. Sonuç 6. Odk noktlr n n elipsin te etlerinin üstüne oln izdüflümlerinin uzunluklr n n t çrp m 2 c 2 sy s n eflittir. Yni yndki flekilde, F O F F F = 2 c 2 eflitli i geçerlidir. c 49

32 Kn t: O merkezli yr çpl çemberini çizelim. t, elipse herhngi bir te et olsun. ve, s rs yl F ve F odk noktlr n n t üzerine oln izdüflümleri olsun. ve t noktlr n n çemberi üstünde olduklr n bir önceki sonuç- F F tn biliyoruz. F O do rusunu çemberini Q nokts n- Q d kesecek kdr uztl m. Q üçgeni dik üçgendir. oly s yl Q do rusu O dn geçmek zorundd r. undn d kolyl kl F O ve FQO üçgenlerinin eflit olduklr ç kr. emek ki F F = F FQ = π(f, ) (= F nin çemberine göre gücünün mutlk de eri, bkz. syf 40). fiimdi π(f, ) sy s n hesplyl m: π(f, ) = OF 2 O 2 = c 2 2. Sonucumuz kn tlnm flt r. Sonuç 11. ki kenr d elipse te et oln dik ç lr n köflelerinin geometrik yeri merkezi elipsin merkezi oln ve yr çp ( 2 + b 2 ) 1/2 oln çemberdir. (urdki ve b, elipsin en uzun ve en k s kirifl uzunluklr n n yr s d r.) Kn t: ik ç TT olsun. T ve T te etleri elipse T ve T noktlr nd de sinler. Odk noktlr n n bu te etlere göre izdüflümleri yukrdki flekildeki gibi,,, olsunlr. u izdüflümlerin sl çember üstünde olduklr n biliyoruz (Sonuç 5). Öte yndn, = F ve = F. emek b Sonuç 7. ir çember ve bu çember içinde sbit bir F nokts verilmifl olsun. nokts çember üstünde dolfl rken do rulr n n F ort dikmeleri sbit bir elipse te ettirler, dh mtemtiksel deyiflle, ortdikmelerin zrf bir elipstir. unun kn t briz olml rt k. u sonuçtn esinlenerek ve Sonuç 6 y gözönünde bulundurrk flunu kn tlybiliriz: yn trf nd bulunn sbit iki nokty oln uzkl klr n n çrp m sbit oln de iflken bir do runun zrf, odklr bu sbit noktlr oln bir elipstir. (Tümce Nzmi lker ve Nâz m Terzio lu nun Konikler dl kitb ndn l nm flt r.) ir sonrki sonucu okumdn önce yn sütundki ilk flekli dikktlice inceleyin; sonucumuz o fleklin s rr n ç klmktd r. 50 T F c O ki, sonuç 6 dn doly, = F F = 2 c 2 = b 2 (Son eflitlik neden?) m en soldki sy nin sl çembere göre oln gücü, doly s yl O 2 2 sy s n eflit. emek ki, O 2 2 = b 2 ve O 2 = 2 + b 2. fiimdi verilen bir elipse verilen bir do rultud ns l bir te et çizilece ini görelim. Elips, F ve F odk noktlr ve 2 sl uzunlu uyl verilmifl olsun. Elips e risinin tümü de il de sdece odk noktlr ve sl uzunlu u vr... u nokt önemli. Verilen bir elipse verilen bir do rultuy prlel bir te et çizmek. o rultu d do rusuyl verilmifl olsun. F merkezli d do rultmn çemberini d çizelim. d do - rusun F den geçen d G dik do ruyu çizelim. u dik do ru do rultmn çemberini F F G T F

33 (yukrdki flekildeki gibi) G ve G noktlr nd kessin. FG ve FG do ru prçlr n n d ve d ortdikmeleri elipse te et ve d ye prlel do rulr olmk zorundd rlr. Te etlerin elipse de im noktlr n d belirleyebiliriz. unun için F G ve F G do rulr n çizip d ve d ortdikmeleriyle kesifltirmek yeterli. u noktlr M ve M diyelim. G M F ve d G F G üçgenleri ikizkenr olduklr ndn M F d ve F G do rulr birbirlerine prleldir. enzer d M G F nedenden M F ve F G F do rulr d birbirlerine M prleldir. emek ki M F M F bir prlelkenrd r. emek ki M M G do rusu elipsin O merkezinden geçer. undn d flu sonuç ç kr: O Sonuç 7. ki prlel te etin bir elipse de im noktlr elipsin merkezine göre simetriktir. Verilen bir elipse verilen bir noktdn geçen bir te et çizmek. Elips üstünde bir nokt verilmiflse bu noktdn elipse ns l te et çizece imizi biliyoruz. unu ynd bir kez dh gösterdik. Y nokt elips üstünde de ilse, o zmn ns l çizece iz te- eti? Her fleyden önce noktn n elipsin d fl nd verilmifl olml elbet. Elipsin d - fl nd verilmifl nokty diyelim. t Q ir n için probleme çö- zülmüfl gözüyle bkl m. F F den geçen t te eti (ki bu iki te etten biridir) elipse T nokts nd de sin. F nin t ye göre simetri i oln Q nokts F merkezli do rultmn çemberi üzerindedir. nokts n n Q ve F noktlr n oln uzkl klr eflit olc ndn, Q nokts merkezli ve F yr çpl çember üzerinde olmk zorundd r. öylece Q nokts n buluruz. Gerisi oldukç koly. QF do ru prçs n n Q t ort dikmesi den geçen te ettir. T u kdr ilginç sonuç yeter. fiimdi meflhur oncelet F F teoremlerine gelelim. Elips çin oncelet Teoremleri. M ven, elips üzerinde iki nokt, de bu noktlrdki te etlerin kesiflim nokts olsun. F ve F elipsin odklr n simgelesin. u durumd 1. m(mf) = m(nf ). 2. m(mf) = m(fn). Kn t: 1. F merkezli do rultmn çemberine F diyelim. FN, F yi K de kessin. FM de F yi L de kessin. N te etinin KF do ru prçs n n, M te- etinin de LF do ru prçs n n ortdikmeleri olduklr n biliyoruz. oly s yl L = F = K. merkezli ve F yr çpl çemberini çizelim. u çember F yi K ve L noktlr nd keser. F L M F F M do rusu ve F çemberlerinin merkezlerinden geçen do ru oldu undn, bu çemberlerin KL ortk kirifline diktir. yr c N ve KF do rulr d birbirlerine dikler. emek ki F KL ve NF ç lr n n kenrlr dik ve doly s yl ölçüleri yn. Öte yndn çemberi K ve L noktlr ndn geçti inden, F L ç s n n ölçüsü (ç lr stin ters yönünde gider) F KL ç s n n ölçüsünün yr s d r. m M do rusu F L ç s n n ç orty d r. emek ki F M ç s yl FN ç s n n ölçüleri yn d r. undn istenen eflitlik ç kr. 2. F do rusu, KL do ru prçs n n ortdikmesidir, doly s yl MFN ç s n n ç orty d r. N N F F K F 51

34 oncelet Teoremleri nde M yi sbit tutup N yi yvfl yvfl iki te et prlel olck flekilde elipsin üstünde kyd r rsk (y d yi te etlerin birinin üstünde sonsuz do ru kyd r rsk), nokts sonsuz kçr. O zmn birinci eflitlik 0 = 0 olur m ikinci eflitlik ilginç bir bflk eflitli e bürünür: Sonuç 8 (rlel te etler için oncelet Teoremi) E er bir elipse iki prlel te et çizilirse, o zmn fl dki flekilde α = β dir. m(tfm) = m(mft ) ve m(t FM ) = m(m FT ). oly s yl m(mfm ) = m(tft )/2. M M M F α β F N u sonucun geometrik (yni sentetik) kn t n bulmy okur b rk yoruz. oncelet Teoremleri nin birkç ilginç uygulms n dh görelim. Sonuç 9. ir elipsin sbit iki te etinin de iflken bir te et üzerinde y rd do ru prçs her odktn sbit bir ç lt nd görülür. h do rusu, bir fl dki flekilde, m(mfm ) = m(tft )/2. T M M Yukrdki iki sbit te eti birbirine prlel ve de im noktlr sl eksenin ve uçlr olck biçimde l rsk ne olur? O zmn, bir sonrki flekilde de gösterildi i gibi, m(mfm ) = m(tft )/2 = 180 /2 = 90 elde ederiz. emek ki MFM bir diküçgen ve doly s yl M, M ve F noktlr MM çpl çember üstündeler. F odk nokts için do ru oln di er odk nokts için de do rudur elbette: F odk nokts d MM çpl çember üstündedir. öylece bir sonrki sonucu kn tlm fl olduk. Sonuç 10. Çp, elipsin bir te etinin sl ekseninin uçlr ndki te etleri rs nd kln prç oln çember elipsin odklr ndn geçer. T F M M Kn t: Sbir te etler elipsi T ve T noktlr nd kessinler. Sbir te etleri s rs yl M ve M noktlr nd kesen bir te et ll m. u te etin elipse T F F T F M T T de im nokts T olsun. oncelet Teoremi ne göre (y d e er te etler prlelse Sonuç 8 e göre), M T Son olrk çok essl bir sonuç kn tlyl m. Eliptik bir bilrdo mss ll m. u bilrdo mss n n içine bilrdo mss yl yn odk noktlr n ship bir elips çizelim. fiimdi topu küçük elipse te et bir yörüngede gidecek flekilde (bir sonrki syfdki flekildeki gibi) f rltl m. Top msn n bnt n çrpt ktn sonr hngi yörüngeyi izler? 52

35 El cevp: Top bnt çrpt ktn sonr gene yn elipse te et olrk yolun devm eder. Ve bu böyle sonsuz kdr sürer. u olguyu kn tlyl m: Sonuç 11. yn odk noktlr oln iki elips ll m. sl uzunlu u dh küçük oln küçük, di- erine büyük elips diyelim. Küçük elipsin bir te eti büyük elipsi nokts nd kessin. nokts ndn küçük elipse di er te eti çekelim. O zmn fl - dki flekildeki α ve β ç lr birbirine eflittir. α? F F F F β E er Sonuç 11 de küçük elipsi, F ve F odkl elipsin dejenere bir durumu oln FF do ru prçs olrk l rsk ( = c y d b = 0 durumu), o zmn elipsin optik özelli i ni yni Teorem 3 ü buluruz. Yni Sonuç 11, Teorem 3 ün genellefltirilmifl bir hlidir. oly s yl bir elipsin içindeki bir top, elipsin odk noktlr rs ndn geçmeyecek flekilde t - l rs, topun yörüngesi yn odk noktlr ship bir bflk elipsin te etlerinden oluflur. Sonuçlr m z n hepsi ve çok dh fzls. Nzmi lker ve Nâz m Terzio lu nun Lise Fen Kollr için yzd klr 1960 bs ml (üçüncü bs m) Konikler dl çok güzel kitpt vrd r. emek o zmnlr liselerde böyle konulr d okutuluyormufl ve ülkenin en iyi mtemtikçileri liselilere hitp eden kitplr yz yorlrm fl. Orty ç kn ürün hemen kendini frkettiriyor. u kitb n bir n önce dizgi htlr ndn r nd r l p günümüz Türkçesine uyrlnrk piysy sunulms gerekir diye düflünüyoruz. Jen-Victor oncelet ( ) F F Kn t: fl dki flekilden tkip edelim. oncelet Teoremi ni ve Q te etlerine ve elipslerin optik özelli ini (Teorem 3) F ve F fl nlr n X α β F F uygulyl m. oncelet Teoremi nden doly m(f) = m(f Q). Elipslerin optik özelli inden doly m(xf) = m(f Y). ki eflitli in rs ndki frk l rsk α = β buluruz. Y Q Frns z mtemtikçi, meknikçi ve mühendis. Npoleon un ordusuyl Rusy seferindeyken öldü sn lrk geride b rk lm fl, Rusy y esir düflmüfl ve y llr n esret lt nd geçirmifltir. m bu d kendisine bulufllr n yzm zmn vermifltir. E rilerin rojektif Özellikleri dl yp t n yzrk, Joseph Gergonne dn b ms z olrk keflfetti i projektif geometri dl n tn tm flt r. 53

36 escrtes ile Fermt * leri rflt rm Merkezi, rinceton, NJ,. OTÜ mtemtik ö rencilerine Ks m 2004 te yp lm fl bir konuflmdn uyrlnm flt r. Robert Lnglnds n büstü, heykelt rfl hrlotte Lnglnds n eseridir. escrtes ( ) ve Fermt ( ) 54 Robert Lnglnds * / rpl@is.edu Y ld z Üniversitesi nde mtemtik ö rencilerine verdi im Öklid ve escrtes konulu genel dersler, sürdürmek istedi im tsr m n ilk iki bölümüdür. mc m k sc nlty m. u derslerimde, mtemti in birçok temel kvrm rs nd, eski Yunn mtemtikçilerinin keflfetti i ve o zmndn bugüne önemini hiç yitirmemifl iki temel kvrm incelemek istiyorum: irrsyonel sy lr (m özellikle irrsyonel cebirsel sy lr) ve e rilik. Henüz bitirmedi im bu dersler dizisinde, bu iki kvrm n yüzy llr boyunc geçirdikleri geliflmeleri izlemeye çl flc m. Konuyu sdece trihsel y d bilimsel ç dn yorumlmkl yetinmeyece im. mc m, mtemti in gelifliminde önemli oln yz lr ç dfl mklelermifl gibi sunrk dinleyiciyi geçmifl yüzy llr n mtemtik yz lr n okumy teflvik etmek; eminim eskileri de yenilere duyuln hyrnl kl okuyckt r. ugüne dek ço unlukl Öklid ve escrtes hkk nd konufltum. Gelecekte, yln z mtemti e de il, fizi e ve felsefeye de ktk lr oln Guss ve Riemnn hkk nd konuflmy tsrl yorum. Ktk lr rs nd belki de en bilineni oln e rilik kvrm geometri ve fizikte çok önemlidir. E rili i orty ç krmk için koordintlr ihtiyç do du. ilindi i gibi, koordintlr escrtes orty ç krm flt. Tbii escrtes n koordintlr ns l ve hngi çerçevede orty koyup kullnd n herkes bilmeyebilir. escrtes mtemtik hkk nd z yzd. En bilinen yz s Frns zc kleme ld (o zmnlr evrensel bilim dili Ltinceydi) L géométrie dir. u yz y okudu umuzd, escrtes n koordintlr - n n bugün hem bsit hem de ileri geometride kullnd m z ve e rili in tn m n uygun oln koordintlrdn ne derece uzk oldu unu görürüz. escrtes n mç ve yöntemlerinin mtemti i ns l etkiledi ini nltmk istemiyorum. mc m dh s n rl. escrtes n, birzdn ç klyc m z ppus roblemi ni koordintlr metoduyl ns l çözdü ünü yr nt lrl göstermek istiyorum. ppus ün dördüncü yüzy ld sordu u bu soru onyedinci yüzy ld birçok mtemtikçiyi u rflt rm flt r. Yln z escrtes de il, Fermt d, htt belki o kuflktn bflklr d bu problemi çözmüfltür. Kn tlr de iflik olms n krfl n, hem escrtes hem Fermt, pollonyus un gelifltirdi i konikler kurm n uygulm fllrd r. Fermt, pollonyus un keflfetti i koniklerin niteliklerini kullnrk ve gereksiz sözden sk nrk kn t n do rudn ve dolys z olrk sunmufltur. Öte yndn, yönteminin de eri konusund okurlr n yr c ikn etmek isteyen escrtes, Fermt n n tersine, yönteminin bz yönlerini uzun uzd - y nltm flt r; gene de pollonyus un kurm yl ilgili önemli bz yr nt lr girmekten kç nm flt r. Rönesns dönemi, sntt, bilimde ve dilde ve sl nd her ç dn, vrup n n sonrki yflm n, doly s yl hepimizi çok etkilemifltir. escrtes l Fermt n n ppus roblemi hkk nd yzd klr - n okuyup iyi nlyrk, her ikisinin de pollonyus tn ne derece etkilenmifl oldu unu görüp bilim insnlr n n Rönesns ns l yfld n snki kendimiz yflm flçs n hissedebiliriz. Fermt eski Yunncy escrtes tn dh hâkim oldu undn ve kendini dh çok mtemti e dd ndn pollonyus un yz lr n sn r m dh iyi biliyordu. ppus roblemi ni nltt ktn sonr, önce Fermt n n rd ndn escrtes n çözümünü ç klyc m. Konuflmm pollonyus un konikler kurm ndn k sc sözederek bitirece im.

37 ppus roblemi. ppus roblemi nin di er d üç ve dört do ru problemidir. ört do ru problemini ele ll m önce. fl dki flekilden tkip edin. ört l 1, l 2, l 3, l 4 do rusuyl dört θ 1, θ 2, θ 3, θ 4 ç s verilmifl olsun. (Elbette ne escrtes ne de ppus benzer simgeler kullnm fllrd r.), herhngi bir nokt olsun. Verilmifl bu her dört Fermt dört do ru problemini de il üç do ru problemini çözmüfltür. u problemde üç do ru ile üç ç verilmifltir. Fermt n n kullnd simgeleri kullnrk problemi ve çözümünü nltl m. E l 3 1 l 1 l 4 θ 1 θ 4 4 θ 1 θ 3 O 3 θ 3 2 l 2 θ 2 do ru için, den geçen ve l i do rusuyl θ i ç s nd kesiflen bir do ru çizelim. Tbii her i = 1, 2, 3, 4 için θ i 90 ise bu do rulrdn ikifler tne vrd r, özel bir seçim ypmm z gerek yok, ikisinden biri kbulümüzdür. ört yeni do ru dh elde ettik. unlr, flekilde de görüldü ü gibi, 1, 2, 3 ve 4 diyelim. h bitmedi. yr c bir de verilmifl bir α sy s olsun ve son bir koflul dh kofll m. Verilmifl do rulrdn ikifler ikifler seçerek iki grup belirleyelim, örne in bir ynd l 1 ile l 2 do rulr, öte ynd l 3 ile l 4 do rulr. Son koflul 1 2 = α 3 4 (1) denklemiyle ifde edilir, yni 1 ile 2 uzunluklr n n çrp m yl 3 ile 4 uzunluklr n n çrp m rs ndki orn α sy s n eflit olml. Elbette her nokts (1) koflulunu s lmz, m bz lr s lybilir. flte ppus roblemi, bu koflulu s lyn noktlr n n oluflturdu u geometrik yerin ne oldu unu sorr. ört do ru problemi olrk n ln bu problem eski Yunnl lr trf ndn incelenmifl, belki de çözülmüfltü. 17 nci yüzy ld, Hollndl dilci Jkobus Golius, ppus ün yz lr nd buldu u problemi escrtes, Fermt y ve bflklr n sordu. Fermt, çözümüyle escrtes tn dh ust oldu unu göstermifl olbilir, m escrtes n çözümü de mtemtikte yepyeni bir ç r çm flt r. Fermt n n Çözümü. Fermt n n çözümüyle bfllyl m, onunkisi bz bk mlrdn escrtes nkinden dh kesin. θ M 2 I Yukrdki flekilde M, M ve problemde verilmifl oln l 1, l 2 ve l 3 do rulr d r. yr c bir de θ 1, θ 2 ve θ 3 ç lr verilmifl olsun. O, düzlemde herhngi bir nokt olsun. E, I, noktlr s rs yl M, M, do rulr üstünde olsun, öyle ki OE, OI ve O do rulr n n bu do rulrl ypt klr ç lr s rs yl θ 1, θ 2 ve θ 3 olsun. yr c, OE O/OI 2 = α (2) denklemini s lms n istedi imiz bir de α sy s verilmifl olsun. roblemde sdece O nokts keyfi seçiliyor. u O nokts verildi inde OE, OI ile O do rulr n verilen θ 1, θ 2 ve θ 3 ç lr oluflck biçimde çizebiliriz. Fkt ikinci denklemden doly O nokts büsbütün keyfi olmz. flte ppus, yukrdki (2) koflulunu s lyn O noktlr n n belirledi i geometrik yerin ne oldu unu sorr. Fermt bu geometrik yerin bir konik oldu unu kn tlm flt r. Kn t n nltmy devm edelim. m önce üç do ru probleminin dört do ru probleminin özel bir hli oldu un dikktinizi çekerim; nitekim dört do ru probleminde l 3 = l 4 ve θ 3 = θ 4 l rsk, üç do ru problemini elde ederiz. Q, M rl n n ort nokts olsun. ve Q noktlr n bir do ruyl birlefltirelim. FO do rusu bir sonrki flekildeki gibi O dn geçsin ve M ye prlel olsun. ON do rusu ise, O nokts ndn geçip M do rusun prlel olsun. OEF, O ve OIN üçgenlerinin 9 ç s d problemin verileri trf ndn belirlenmifltir. nl- F E O X M I N Q 55

38 ty m. ir def, OEF, O ve OIN ç lr θ lr trf ndn verilmifltir. yr c, F do rusu M do rusun prlel oldu undn EFO ve O ç - lr l 1, l 2 ve l 3 do rulr trf ndn belirlenir. yr c ON ç s M ç s n eflittir ve bu son ç d l 1 ve l 2 do rulr trf ndn belirlenir. OEF ve O üçgenlerinin ç lr bilindi inden OF/OE ve O/O ornlr d bilinir. yr c EO O/OI 2 orn verilmifltir. O zmn, OF O / OI 2 orn EO O/OI 2 O/O OF/OE çrp m n eflit oldu undn, OF O/OI 2 orn d bilinir. OIN üçgeninin ç lr bilindi inden, OI 2 /ON 2 orn d bilinir, doly s yl, OF O/ON 2 = FO O/OI 2 OI2 /ON 2 orn d bilinir. FM uzunlu u ON uzunlu un eflit oldu undn OF O/FM 2 de bilinir. u sy y β diyelim. fiimdi Q do rusu üzerinde öyle bir U nokts seçelim ki, e er (fl dki flekildeki gibi) UR do rusu M do rusun prlelse, UR 2 /RM 2 = β = OF O/FM 2 (3) olsun. (E er OF = O olbilseydi, O nokts U nokts olurdu.) R F E O U M I N Q E R U F O X M I N Q Fermt kn t flöyle bitirir: rnn geometrik yer, çp Q oln, U, M ve noktlr ndn geçen ve M ve noktlr nd te etleri M ve do rulr oln koniktir. Fermt n n okurlr n n tersine dinleyicilerim koniklerin çp n n ne oldu unu bilmeyebilirler. unu dh sonr U nltc m. M Q Okuld ö renilenin tersine, bir konik sl nd konik kesit e risidir; doly s yl flekildeki koni i üç boyutt düflünmemiz gerekiyor. u konuy d dh sonr de inece iz. Fermt, okurunun pollonyus u iyi bildi ini vrsyd ndn, nlt m bizimkinden dh k sd r. Fermt, O nokts n n bulundu u trft de il de, e rinin di er trf nd bulunn, yukrd betimlenen konikle F do rusunun kesiflti i bir nokts l r. nlfl ln pollonyus un kurm n iyi bilen biri için, bu kesiflimin tm iki nokt içerdi i ç kt r. Öyle bile ols bu noktlrdn birinin O oldu u kn tlnml. Kn tlyl m: Kesiflim noktlr ndn biri, di eri O olsun. O = O eflitli ini kn tlyl m. pollonyus un kullnd çp kvrm n henüz nltmd k, m gene de kullnc z: Q do rusu koni in çp oldu undn ve Q nokts M rl - n n ort nokts oldu undn, F = O. oly s yl = O F. unlr kl m zd tutl m. Kurm n n çok ileri sonuçlr n içeren pollonyus un üçüncü kitb n n lt nc önermesine göre, F O F/FM 2 = UR 2 /RM 2. u ve (3) syesinde F O F/FM 2 = OF O/FM 2, yni F O F = OF O. fiimdi, F = O O F = O OF. Y nokts F do rusunun üstünde oynk bir noktys, YF Y = F ikinci dereceden bir denklemdir, doly s yl iki çözümü vrd r. iri elbette dir. i eri ise, yukrdki eflitliklerden doly hem O hem de O dür. u nedenle O = O. Konuflmn n sonund, escrtes n kn t n d verdikten sonr pollonyus un gelifltirdi i kurm dönece iz ve koni in çp n tn mlyc z. escrtes n Çözümü. escrtes üç do ru problemini de il dört do ru problemini çözmüfltü. O d Fermt gibi pollonyus un kurm n dynd rm flt kn t n. Fkt escrtes pollonyus un yz lr n Fermt kdr iyi bilmiyordu gibi geliyor bn. 56

39 T S R l 4 l 1 E G θ 1 θ 4 H F θ 3 l 3 l 2 θ 2 Kn t nltmk için escrtes n mklesinde bulunn ve birz de ifltirerek yukr y ld m z flekli kullnc z. u flekildeki hrflendirmeyle (1) denklemi = α F H (1) denklemine eflde erdir. L géométrie dl mkle escrtes n ünlü felsefi eseri iscours de l méthode un (Metot Üzerinde Konuflm) bir ekidir. Eserinde de belirtti- i üzere, escrtes, ppus ün problemini çözmek için felsefi eserinde nltt yöntemi mtemti e uyguld n iddi eder. escrtes n bu iddis birz brt l ols d, hem felsefi eseri hem de ekini okumn z tvsiye ederim. escrtes, n uzunluklr olrk ile uzunluklr n seçer. uzunlu unu x olrk ve uzunlu unu d y olrk gösterir. x ile y uzunluklr n n dh bilinmeyen e ride bulunn nokts n n ç dfl nlmd koordintlr oldu un dikktinizi çekerim. (l 1 do rusu, nokts ve θ 1 ç s bilindi inden, x ve y uzunluklr bilinirse, önce sonr d nokts bulunbilir.) Elbette bu koordintlr l fl k oldu umuz dik koordint sistemine uymuyorlr, m gene de nokts n belirlediklerinden koordintt rlr. escrtes, (1) formülünde beliren,, F ve H uzunluklr n x, y ve bilinen uzunluklr cinsinden yzr teker teker. zten y olrk verilmifltir, escrtes izleyerek di erlerini bull m. l 2, l 3, l 4 do rulr l 1 do rusunu, E ve G noktlr nd keserler. u do rulr, flekilde gösterildi i gibi do rusunu d s rs yl R, S ve T noktlr nd kessinler. R ile R ç lr veriler trf ndn belirlenmifl (yni de iflmez) olduklr ndn, hem R üçgeninin ç lr hem de ile R rs ndki orn belirlenmifltir. u orn z:b olsun. Ne z ne de b niceli inin belirlenmifl oldu un dikktinizi çekerim, yln z ile R rs ndki orn oln z/b sy s belirlenmifltir. escrtes böylece R = bx/z denklemini ve burdn d R = y + bx/z denklemini elde eder. escrtes pozitif sy lr tercih etti inden, nin ile R rs nd bulundu u durumd son denklemi kulln r, fkt escrtes için fzldn iki incelenecek durum dh vrd r. R nokts ile nokts - n n rs ndys R = y bx/z denklemini elde eder. Öte yndn nokts ile R nokts n n rs ndys, R = y + bx/z denklemini kulln r. nlt ln yöntemi uygulmy devm edelim. R ç s verilmifl oldu undn ve R ç s bilinen R ç s n eflit oldu undn, R üçgeninin ç lr ve doly s yl R ile kenrlr rs ndki orn bilinmektedir. u orn z:c olsun. fiu hlde R kenr y + bx/z sy s n eflit oldu undn, = R /R = cy/z + bcx/z 2. z nin sdece her uzunlu u bir sy y dönüfltüren birim oldu unu vurgulyl m. yr c,, ve EF do rulr verilmifl oldu- undn, E rl n n uzunlu u d verilmifltir. escrtes bu uzunlu u k hrfiyle gösteriyor. O zmn E = k + x 57

40 olur. m dedi im gibi, escrtes pozitif sy lr tercih etti inden, yln zc flekildeki gibi nokts - n n E rl nd oldu u durumun de il, her durumun üstünde yr yr duruyor. Örne in nokts E rs nd bulunurs, E uzunlu u k x sy s n eflit olur vey E nokts rs nd bulunurs uzunluk k + x olur. en yln z flekilde gösterilen durumu inceleyece im. escrtes, devm ederek, ES üçgeninin ç lr n n verilmifl oldu unu dikkte l p, E ile S rs ndki orn n belirlenmifl oldu unu kydediyor. u orn z:d olsun. fiu hlde S = E S/E = (dk + dx)/z ve durum flekildeki gibiyse S = + S = (zy + dk + dx)/z. urum flekildeki gibi de ilse, formül benzerdir fkt bz rt iflretlerinin yerine eksi iflretler konms gerekir. escrtes FS üçgeninin her ç s n n bilindi ini dikkte l yor. oly s yl F ile S uzunlu u rs ndki orn biliniyor. u orn e:z olsun. emek ki, F = S F/S = (ezy + edk + edx)/zz. escrtes G uzunlu unu l hrfiyle gösteriyor. Ondn sonr, GT üçgeninin her ç s bilindi- inden, T ile G uzunluklr n n orn olrk not edilen ƒ:z de belirlenmifl oluyor. oly s yl, T = G T/G = (ƒl ƒx)/z, T = + T = (zy + ƒl ƒx)/z. Nihyet escrtes TH üçgenini kullnrk H ile T uzunlu u rs ndki orn n belirlenmifl oldu unu görüp bu orn g:z olrk kydediyor ve son olrk H = T H/T = (gzy + gƒl gƒx)/zz denklemini elde ediyor. öylece,,, F ile H uzunluklr bulunmufl oldu: czy + bcx = y, =, 2 z () 4 ezy + dek + dex gzy + ƒgl ƒgx F =, H =. 2 2 z z Y ld z dki derslerimde bu denklemleri incelemeden önce, escrtes n kydetme dedi i süreci tekrr ç dfl ç dn gözden geçirmifltik. escrtes n mtemtik yz lr n n hepsinin bugünkü gözle incelenmesinin çok önemli olms n krfl n, bu konuflmd escrtes n fikirlerinin dh derin nlm n nltmy u rflm yoruz. escrtes n kn t ns l bitirdi ini nltmdn önce, bizim ns l bitirece imizi nltl m. α = αeg lrk, (1) ve (4) denklemlerinden y cy bcx zy dk dx zy x + z z = ƒl ƒ α () z z denklemini elde ederiz. u, iki bilinmeyenli ve ikinci dereceden bir denklem oldu undn, bu denklemin bir konik tn mld n biliyoruz. nck escrtes n o zmn d mevcut oln bilgilerin hngilerini kulln p, buldu u denklemin tn mld htt n bir konik oldu unu ns l isptld n nlmk istiyoruz. u mçl escrtes n nlt s n incelemeye devm edelim. escrtes (1) denklemini de il, F = H (6) denklemini inceler. Yni escrtes α sbitini 1 l r ve yr c ile F do rulr n de ifl tokufl eder. (4) ve (6) y kullnrk ve birz hesp yprk, 2 2 (- dekz + cƒ glz) y + (-dez x -cƒ gzx + bcgzx) y bcƒglx -bcƒgx y = 3 2 ez cgz eflitli ine vr r z. escrtes denklemi bizim gibi yzm yor ve pydd negtif sy lr kullnm yor. oly s yl ez sy s cg sy s ndn dh büyük de ilse, + ile yer de ifltirirler. Tbii ez ile cg sy s birbirine eflit olbilir, m bunu gözden kç r yor. Hiç olmzs böylece bu durumu incelememifl oluyor... Her sy n n pozitif olms nd srr etti inden, escrtes n dört frkl durumu incelemesi lz md r. u dört durum ve bz istisni durumlr ld rm yoruz. enklemi bsitlefltirmek mc yl, 2 cƒglz dekz = 2m, 3 2 ez cgz 2 dez + cƒgz bcgz 2n = 3 2 ez cgz z tn mlr n yprsk yukrdki denklem 2 2 2n y my z xy bcƒglx bcƒgx = ez cgz olrk yz l r. erecesi 2 oln bu denklemi escrtes d biz de hemen çözebiliriz: y m nx mnx nnx bcfglx bcfgx = + m + +. z z z ez cgz Formülü dh d k sltmk için, escrtes o ve p tn mlr n flöyle yp yor: 2mn bcƒgl o = +, z 3 2 ez cgz p nn bcƒg =. m z ez cgz 58

41 Tbii escrtes burd hiç frketmeden, m nin s - f r olmd n sn yor ve böylece, y = m nx z + 2 m + ox p m x 2 () 7 bsit çözümüne ulfl yor. fiimdi escrtes tn ld m fl dki flekle bkl m. (Mklesinin görebildi im her bsk s nd, flekilde ILK ç s hep dik ç gibi duruyor. fieklin tm do ru olmms pollonyus syesinde o kdr önemli de il nck nlfl lms zor ve kimse pek bir fley nlmz gibi geliyor bn.) E fiekilde ILM ile L do rulr önemlidir. (7) de y sy s n eflit oln rl verilmifltir. do rusund bulunn L nokts n escrtes L = 2 p m + ox m x 2, ( 8) yni L = m nx/z olck flekilde seçmifltir. escrtes bu sy n n negtif olbilece ini frketmiyor; en z ndn bu oln dikktimizi çekmiyor. O kdr d önemli de il. nck ILK ç s dik de ilse bile, (8) in bir konik tn mld çözümün nfikirlerinden biridir. pollonyus, genel kurm n n çerçevesinde bunu MÖ ikinci yüzy ld kn tlm flt. Glib pollonyus, rflimet in yn s r üyük skender sonrs mtemtikçilerinin en önemlilerinden biridir. pollonyus un yzd klr n henüz okumd m. nck ngiliz trihçisi Thoms Heth in yzd pollonyus of erg dl güzel kitpt pollonyus un konikler üzerine yzd sekiz ciltten bugün mevcut oln yedisinde bulunn hemen hemen tüm önermeler yorumln p ç klnm flt r. u derin ve krmfl k kurm bugün nltmm mümkün de- ildir. Size sdece pollonyus un koniklere dir bz kvrmlr ns l tn mld n ve Fermt yl escrtes n uyguld önermelerinden en bsitlerini ns l kn tld n k sc nkletmek isterim. T S N I R L K M G H prbol elips hiperbol Önce, konikçilerin öncülerinin kullnd konik tn m n nlty m. u tn m pollonyus un kullnd tn mdn de ifliktir. fl dki flekilde üç koni ile üç konik gösteriliyor. Koniler dik konilerdir, yni flöyle infl edilmifllerdir: ir çemberin merkezinden geçen ve çemberin düzlemine dik oln bir do ru çizilsin. Koninin zirvesi bu do runun herhngi bir nokts olbilir. Koni, seçilen zir- 90 lik koni dr ç l koni genifl ç l koni veyle çemberin noktlr n birlefltiren fl nlrdn oluflur. u fl nlr yp c fl nlr y d k sc yp c diyebiliriz. pollonyus öncesi konikçilerin kbul ettikleri tn m göre herhngi bir yp c y dik oln bir düzlemle koniyi kesifltirirsek bir konik elde ederiz. fiekilde, birzdn yr nt lr yl ç klyc m z üç de iflik fl k gösteriliyor. Zirveden ve çemberin merkezinden geçen herhngi bir düzlem ll m. Yukrdki flekilde bu düzlem syfn n düzlemidir. Çizilmifl düzlemin koniyle kesiflimi iki yp c dn ibrettir. fiekilde de gösterildi i gibi bu iki yp c rs ndki ç dik, dr y d genifl olbilir; bu ç y göre elde edilen koni e s rs yl prbol, elips vey hiperbol denir. Yukrdki tn m ç dfl tn m kdr genel de- ildir, zir, bugün kullnd m z nlmd, koniyi hngi düzlemle kesifltirirsek kesifltirelim gene bir konik elde ederiz. pollonyus d bugün kullnd - m z tn m kullnm flt. Önce pollonyus un bir koniden ne nld n nltl m, koni e dh sonr geçece iz. rk syfd yn koni üç kez çizilmifltir. Zirvesi, tbn ise çemberidir. Tbn n merkezi oln O nokts yl zirveden geçen do ru koninin eksenidir. Öncüleriyle pollonyus un tn mlr rs ndki frk, pollonyus un tn m nd, koninin ekseninin, koniyi tn mlyn çemberi içeren düzleme dik olmms d r. u dh genel tn md konuyu oldukç bsitlefltiren bir frk dh vrd r. Koniyi infl ederken, zirveden geçen yp c y tbn çemberine de ecek flekilde döndürerek bir yüzey çizeriz. pollonyus öncesinde l fl lgelmifl nlmd bir koni ele l nd ndn, yp c o zmnlr do runun yr s, yni sdece bir fl nd. m pollonyus göre koni, zirvenin her iki yönüne do ru uzyn bir çifte koni oldu undn, yp c tm bir do rudur. Koninin tbn gene bir çemberdir. u çemberi içeren 59

42 Mtemtik ünys, 2005 Yz o E p O O O o p düzleme prlel oln ve koninin zirvesinden geçmeyen her düzlem koniyi gene bir çemberde keser ve bu çemberlerin her biri koninin bir tbn d r. Gelelim koni e... pollonyus un kullnd konik tn m yl önceki tn m rs nd en önemli frk koniyi kesen düzlemin durumudur. Öncülerinin tn m nd koniyi kesen düzlem bir yp c y diktir, oys pollonyus un tn m nd düzlemin durumu keyfidir. Koni çifte koni oldu undn bir düzlemle kesiflimi bofl olmz. üzlem koninin zirvesini içermezse, kesiflim pollonyus un nlm nd bir koniktir. Kesen düzlem tbn içeren düzleme prlel de ilse, iki düzlemin kesiflimi bir do rudur. ki düzlem birbirine prlelse, tbn de ifltirerek iki düzlemin yn olduklr n vrsybiliriz ve bu durumd d iki düzlemin kesiflimi gene bir do ru içerir. fl dki dört flekilde tbn çember E çemberidir. Koni i belirleyen düzlem E düzlemidir. Tbn içeren düzlemle e riyi belirleyen E düzleminin kesiflimi ME do rusudur (iki düzlem yn ys, bu do ru, düzlemin herhngi bir do rusu olbilir.), çemberin ME do rusun dik oln çp olsun. Ekledi imiz düzlemi yi içeren Q V Q V Q M E Q = M E E M E Q Q V V Q p E Q E o M ve koninin zirvesinden geçen düzlemdir. düzleminin ME do rusun dik olmk zorund olmd n dikktinizi çekerim. u temel nesneleri belirledikten sonr, koni e dir bz temel kvrmlr tn mlybiliriz. lk olrk, e rinin ekseni M do rusudur. pollonyus, bun e rinin ekseni de il e rinin çp diyor. yr c, flekilde ME do rusun prlel oln QQ rl V nokts yl ikiye bölünür. u nedenle M do rusun konik kesit e risinin çp denilir. m burd dikktli olmk lz m: ir konik birçok de- iflik koni trf ndn belirlenebilece inden, yn koni in birçok de iflik çp vrd r. QQ, e rinin bir kiriflidir. pollonyus QV rl n ordint ve V rl n psis diyerek, her koni in noktlr - n n birzdn fl d gösterece imiz ikinci dereceden bir denklemi s ld n kn tlr, yni pollonyus sl nd bir bk m escrtes n cebirsel yönteminin shibidir. iz psis ve ordint escrtes gibi x ve y iflretleriyle ifde ederiz. fiekillerde de gördü ümüz gibi, e ri elips, prbol y d hiperbol olbilir. pollonyus, birinci kitb nd escrtes n kullnd temel teoremleri, di er kitplr nd Fermt n n kullnd dh derin ve zor oln teoremleri de içeren onlrc önerme isptlr. en yln z escrtes n kullnd en bsit teoremleri nltc m. sptlr vermeyece im. Sdece teoremlerin önermelerini vererek escrtes n pollonyus ne kdr borçlu, ondn ne kdr etkilenmifl oldu unu nltbilirsem mc m ulflm fl olc m. fl dki flekildeki E çemberinin ME kirifline dik oln çp n içeren düzleminin koniyle kesiflimi ve do rulr d r. Özel bir durum olrk, koniyi bu iki do rudn birine (diyelim ye) prlel oln bir düzlemle kesifltirelim. öylece elde edilen koni- in çp M do rusudur ve bu özel durumd ye prleldir. E rinin çp yl koninin kesiflti i nokts, koniyle konik trf ndn tmmen belirlenmifltir. L do ru prçs, koni i tn mlyn E düzleminde ve M ye dik olsun, yr c L = 2 eflitli i s lns n. urdn, pollonyus un önemli bir önermesine göre, koni in her Q nokts n n, EMVQL düzlemi H V E Q M L K 60

43 L R QV 2 = L V (9) denklemini s ld ç kr. pollonyus denklemi bizden dh geometrik bir biçimde ifde etmiflti. Oys siz, escrtes gibi, bu denklemin y 2 = αx biçiminde oldu unu görüp bir prbol denklemi oldu unu hemen nlrs n z. u denklem, escrtes n elde etti i (8) denkleminin özel bir durumudur. Hem pollonyus un hem escrtes n yz lr nd kirifllerin genellikle çp dik olmd n dikktinizi çekerim. rbolü hllettik. fiimdi ilkin hiperbol için, sonr d elips için pollonyus un isptld denklemleri vereyim. Koniyi kesen düzlem bu syfdki flekillerdeki gibi koninin bir yp c s n prlel de ilse, çifte koniyle kesiflimi y bir y d iki prçdn ibrettir; birinci durumd kesiflime elips denir, ikinci durumd ise Q hiperbol. H K E er kesiflim hiperbolse, V hiperbolün M çp, düzleminde bulunn do rusunu nokts nd M F E kessin. Koniyi tn mlyn E düzleminde bulunup M çp n dik oln ve nokts ndn geçen L do ru prçs n n uzunlu u için L : = F F : F 2 denklemi do ru olsun. u denklem L uzunlu unu, doly s yl L yi belirliyor. VR do rusu L ye prlel olsun ve L ile VR do rulr R de kesiflsinler. pollonyus un bir bflk önemli önermesine göre, QV 2 = V VR. (10) L uzunlu unun yerine α ve uzunlu unun yerine β yzrsk, bu denklemin yerine y 2 = x(α + αx/β) = αx + αx 2 /β (10 ) denklemini elde ederiz. u denklem de escrtes n denkleminin özel bir durumudur. Son flekli kullnrk elipsi de inceleyelim. Tbii elipse dir sv d hiperbole dir sv benzerdir. Konik elips ise e riyi tn mlyn düzlemle do rusunun kesiflti i nokts nokts ndn bflly p nokts ndn geçen fl nd bulunur. O zmn koniyi tn mlyn çemberi de ifltirerek, tbn, nokts yl rs nd bulunck biçimde seçebiliriz. do rusu tbn içeren düzlemle M nokts nd kesiflsin. dn geçen ve M ye prlel do ru yi F nokts nd kessin. L rl gene L V H K Q R M do rusun diktir, koni i tn mlyn düzlemde bulunur ve uzunlu u L : = F F : F 2 denklemiyle belirlenir. ile L birlefltirilsin. L do rusun prlel olup L do rusuyl R nokts nd kesiflen VR do rusu çizilsin. fiu hlde, pollonyus un üçüncü s l önermesi olrk, QV 2 = V VR (11) denklemini elde ederiz. E ri elips ise, VR uzunlu u L uzunlu undn dh küçüktür. (11) syesinde, kenr QV ordint oln krenin ln, kenrlr L prmetresiyle V psisi oln dikdörtgenin ln ndn dh küçüktür. Frk, kenr V ordint n eflit oln bir krenin ln n ornt l olrk ifde edilebilir. y = QV, x = V, α = L ve = β ise, hiperbol için elde etti imiz (10 ) denklemine benzer oln y 2 = αx αx 2 /β (11 ) denklemi do rudur. u denklem de escrtes n denkleminin özel bir durumudur. ildi imiz gibi, escrtes n denklemiyle bflly p kreye tmmlyrk, biz sl nd tm olrk pollonyus un yz s nd bulunn (9 ), (10 ) ve (11 ) denklemlerini elde ederiz. pollonyus hem her koni in bu denklemlerden biri trf ndn belirlendi ini, hem de, birz dh zor olrk, bu denklemlerden hepsinin bir konik belirledi ini kn tlm flt. escrtes pollonyus ne kdr borçlu oldu unu itirf etmez. ugün, pollonyus un birinci kitb n n rd ndn gelen bilinen lt kitb nd gelifltirdi i çok dh zor kurm dokunmd k. Özellikle Fermt n n kullnd teoremleri nltmd k. E er Rönesns mtemtikçilerinin eski Yunnl mtemtikçilere ne kdr yk n oldu unu birz dh iyi nlm flsk, konuflmm n bflr l oldu unu düflünebilirim. E M F 61

44 Stephen Smle etül Tnby* / tnby@boun.edu.tr Stephen Smle in 15 Temmuz 2005 te o ziçi Üniversitesi nde verece i konferns öncesi etül Tnby n ç l fl konuflms n n Türkçe çevirisidir. ir stin içine hem Steve Smle den bir konuflm, hem de onun hkk nd bir konuflm s d rmk mümkün de il. ugün bizzt kendisinden bir konuflm dinlemek flerefine nil oldu umuz için, sunumu mümkün oldu unc k s ypmk istiyorum, m pek koly olmyck. tlyc m her fley herhngi bir mtemtikçinin tüm kriyerini kplyn önemli bir sonuç vey geliflme olbilir. o ziçi Üniversitesi her zmn Türkiye nin her yerinden, her koflulundn en iyi ö renciyi lmkl gurur duyn bir kurumdur. Ö rencilerimizin, Smle in ilk 9 y ll k e itimini üniversite mezunu olmyn tek bir ö retmenle ve tek s n fl bir okuld ypt n bilmelerini isterim. Konuflmdn sonr gidilen yemekte nefleli nlr yflnd. flte bu nlrdn biri. S d etül Tnby. Foto Y lmz ky ld z. Steve Smle bir mtemtikçi, ve herhngi bir mtemtikçi de de il. unun d fl nd, bir gezgin, politik kiflilik, tekne merkl s, foto rfç ve inn lmz bir minerl koleksiyonunun shibi. Kriyerinin ço unu geçirdi i erkeley de Smle bir efsneydi. Genç ö renciler olrk, mtemti- e ktk lr n n önemini lg lymsk bile, onun ellili y llrd Kore svfl n direnmifl olms n, e itiminin tümünü ypt Michign Üniversitesi ndeyken kurdu u r flç lterntiflertoplulu u nu, Vietnm Svfl s rs nd üstlendi i önemli muhlif rolünü dinler, hyrnl k duyrd k. Tm siysi hreketlerini sindirirken, bir de duyrd k ki, o erkeley limn ndn iki mtemtikçi rkdfl yl güney denizlerine do ru yol lm fl bile... Efsne diyerek brtm yorum, 2000 de keflfettikleri bir gezegene Rus ilimler kdemisi SM- LE ismini tkt. u efsne-gezegen hkk nd son derece dünyevi bir bilgi de vermek istiyorum. * o ziçi Üniversitesi Mtemtik ölümü ö retim üyesi. 62 Smle in kristl koleksiyonundn iki prç u girifli hz rlmk için çok çeflitli imkânlr vrd : Google dki sy s otuzbini fln mddeye bkmk, internetten 18 dolr Smle hkk nd bir mkle ns l yz l r? isimli mkleyi smrlmk, dinmik sistemlere t lms nd Smle in büyük rolü oln meslektfl m lp Eden in yrd m n lmk y d dh riskli bir yol seçerek Smle hkk nd yzd klr bir kitp boyutun ulfln meslektfl m Y lmz ky ld z sormk... Sonund kyn- m, Smle in, rof. lbers ve onstnce Reid ile ypt ve More Mthemticl eople isimli kitpt yy nlnn söyleflisi oldu. Smle kl n z gelebilecek her önemli rflt rm enstitüsüne gitti, bütün önemli üniversitelerde çl flt y d onlr ziyret etti. ld ödüller ve fhri doktorlr sy lmyck kdr çok m difernsiyel topolojiye oln ktk lr sebebiyle ld Veblen rize ile 1966 d ld Fields mdlys n symdn edemeyece im. Smle önce kimyy ilgi duyuyor, üniversiteye fizikte bfll yor. irkç y l önce, yine o ziçi Üni- 20 inci yüzy l n en büyük mtemtikçilerinden oln Stephen Smle in toplu yp tlr 2000 y l nd dört cilt olrk Ntionl University of Singpore trf ndn yy mlnm flt r. Smle, difernsiyel topoloji, dinmik sistemler, vrysyon hesplr, kompütsyon kurm, meknik ve mtemtiksel ekonomi konulr nd bugün temel ddedilen çl flmlr ypm flt r.

45 versitesi nde tn tm mutlulu unu duydu um Roul ott tn ld bir topoloji dersi mtemti e yönelmesine sebep oluyor ve bu hocyl Regulr urves on Riemnin Mnifolds isimli doktor tezini yz yor (1957). u tezde Whitney in düzlemdeki e riler için Y lmz ky ld z ve Mrs. lr vis Smle buldu u sonuçlr n-boyutlu çokktl lr (mnifoldlr) genellefltiriyor. Kesmeden, koprmdn, k v rmdn bir kürenin içini d fl n ç krmn n mümkün oldu unu göstererek (Smle rdoksu) mtemtik dünys - n srs yor. Stephen Smle doktors n 1957 de ve Michign Üniversite sinden lm flt r. ugüne dek 44 doktor ö rencisi yetifltirmifltir. Yetifltirdi i ö rencilerle birlikte Stephen Smle soyundn gelen mtemtikçi sy s 381 dir. ugün ise dünyn n en önemli rflt rm merkezlerinden biri. Smle in stnbul dn geçifli de umr m bizim kurmy çl flt m z merkez üstünde yn etkiyi ypr! 1961 de, topolojist meslektfllr n ihnet ederek dinmik sistemler üzerine çl flmy bfllr, 1963 te de sonsuz boyutlu çokktl lr n vrysyon hesplr n geçer de küresel nlizin uygulmlr üzerine çl fl r de nümerik nlize bir Smle rdoksu S 2, 1 yr çpl kürenin yüzeyi olsun. t ye göre sürekli de iflen ve türevi birebir oln öyle ƒ t : S 2 R 3 sürekli fonksiyonlr vrd r ki, her x S 2, için, ƒ 0 (x) = x ve ƒ 1 (x) = x de, ontygrin in yp sl olrk dengeli vektör lnlr (structurlly stble vector fields) üzerine çl flmlr n ö reniyor ve bu konudki problemleri çözmek için topolojik metodlr kulln yor. irkç sene sonr, Rio dki IM enstitüsündeyken, Levinson dn gelen bir mektubun rd ndn, kotik olylr (chotic phenomen) üzerine çl flmy bfll yor ve bsit fonksiyonlr n d kotik dinmikleri olbilece ini, t nl fonksiyonunu (horseshoe mp) sunrk kn tl yor. unu izleyen iki y içinde, hâlâ Rio pljlr nd, Morse teorisini kullnrk, oincré vrsy - m n dörtten büyük boyutlr için çözüm getiriyor ve yn fikirler syesinde topolojinin çok önemli ç k problemlerini çözüyor (Fields Mdlys, 1966). Smle ilk IM y gitti inde, ors henüz küçük bir enstitüydü. Smle in o ziçi konuflms n n ilk nlr Smle in konuflms ndn ilginç bir n: Ynl fll kl silinmeyen ispirtolu klem konuldu u frkediliyor. Kolonyl mendillerle ve yrd mc lrl durum düzeltilmeye çl fl - yor. Smle bir r bulmç hline gelen thty ld rmdn konuflms n sürdürüyor. topolojist gözüyle bkr. lgoritmlr n sistemtik bir etüdünü yprk Leonore lum ile birlikte kompütsyonel mtemtik in temelleri tr. yn y l kos kurm nd çl fl r. Son zmnlrd ö renme kurm (lerning theory) üzerine çl fl yor. ucker, oggio ve Zhou yl çl flmlr yy mlnd. Temmuz 2000 de Smle, 70 inci yflgününü Honk-Kong un ity Üniversitesi nde flerefine düzenlenen uluslrrs bir kompütsyonel mtemtik konferns nd kutld. ugün, 15 Temmuz 2005 te 75 inci do umgünün kutlu olsun Steve! deme onuru ve mutlulu u bizlerin... 63

46 Geometri Köflesi üzgün n-gen Çizmek Mustf Y c ygcimustf@yhoo.com Eflkenr üçgen ve kre düzgün n-genlerdir. üzgün beflgen, lt gen, yedigen ve I.Girifl. genel olrk düzgün n-genler de vrd r. unlr, her kenr yn uzunlukt oln ve köfle ç lr birbirine eflit oln n-genlerdir. üzgün 3-gen üzgün 4-gen üzgün 5-gen üzgün 6-gen Öklid, bundn t 2300 y l önce düzgün bir n- geni n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 ve n = 15 için çizmeyi biliyordu. Yni cetvel ve pergelle çizmeyi biliyordu demek istiyoruz. etvel de çentiksiz (yni sntimetresiz, iflretsiz) olml yd. Yoks çentikli cetvelle çizmek koly. Eline pergeli geçiren ve cn s k ln hemen hemen herkesin ypt ilk fley düzgün lt gen çizmektir: Önce kâ d n orts n bir çember çizilir (n çember), sonr merkezi n çemberin üstünde oln yn yr çpl bir çember dh çizilir, sonr bu çemberle n çemberin kesiflti i iki noktdn biri merkez l nrk bir çember dh çizilir ve böylece devm edilerek n çemberin etrf n toplm 6 çember çizilir; lt nc çemberin birinci çemberin merkezinden geçmesi dudklrd belli belirsiz bir tebessümün yy lms n neden olbilir. u lt çemberin n çemberi kesti i noktlr düzgün bir lt genin köfleleridir... üzgün lt gen çizdikten sonr düzgün 3-gen (yni eflkenr üçgen) de çeflitli biçimlerde çizilebilir, örne in s üst köfledeki gibi. Öklid, e er bir düzgün n-gen çizebilirse, ç lr n ç ortylr n lrk düzgün 2n-gen çizebilece ini de biliyordu. Sözgelimi, bir kreden hreketle düzgün bir sekizgen çizilebilir (bkz. yndki flekil.) Y d bir düzgün lt genden hreketle düzgün 12-gen, 24-gen vb çizilebilir. üzgün 3-gen ve 6-gen çizmeyi gördük. üzgün dörtgen, yni kre çizmek de kolyd r. Mtemtik cmis, Öklid den sonrki 2000 y l boyunc sdece n = 2 k, 2 k 3, 2 k 5, 2 k 3 5 için düzgün n-genlerin çizilebilece ini ve di erlerinin mümkün olmd n snd. Mümkünse bile çizen ç kmm flt. T ki, rl Friedrich Guss 1796 d, dh henüz 19 yfl ndyken, düzgün bir 17-geni sdece cetvel ve pergel kullnrk çizmeyi bflrn dek! Guss bu buluflundn o kdr memnundu ki, mezr n düzgün bir 17-gen çizilmesini vsiyet etmifltir. u yz m zd Guss un buldu u bu yöntemi, günümüz modern cebirinin diline çevirerek sunc z ve düzgün 5-gen ve 17-gen çizece iz, dh do rusu bunlr n çizilebilece ini gösterece iz. rl Friedrich Guss II. üzgün n-gen Çizmek. üzgün n-genin merkezini köfleleriyle birlefltiren do rulr birbirleriyle 360 /n lik ç lr yprlr. oly s yl, düzgün n- genin yr çp n birim uzkl k olrk kbul edersek, o zmn bir çp n komflu çp n üstüne oln izdüflümü bir sonrki syfdki flekilde gösterildi i gibi cos 360 /n dir. emek ki, düzgün bir n-geni pergel ve cetvelle çizebilirsek, o zmn cos 360 /n 74

47 360 /n cos 360 /n uzunlu unu d pergel ve cetvelle elde edebiliriz. unun tersi de do rudur: E er birim uzunluktn hreketle pergel ve cetvelle cos 360 /n uzunlu- unu çizebilirsek, o zmn hipotenüsü 1 ve di er /n cos 360 /n sin 360 /n kenrlr ndn biri cos 360 /n oln dik üçgeni pergel ve cetvelle infl edebiliriz. fiimdi fl dki flekildeki çemberi çizerek, düzgün n-genin önemli bir prçs n (gri üçgen) infl etmifl oluruz. Gri /n 1 bildi imiz (, b) nokts yerine z ζ = cos θ + i sin θ = + bi krmfl k sy s yzmk θ yeterli. öylece, 1 birim çember üzerindeki bir ζ nokts, pozitif reel eksenle pozitif yönde θ lik ç yp yors, ζ = cos θ + i sin θ yzr z. unun yn s r e Moivre Formülü nden (bkz. syf 73), her n N için, ζ n = (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ eflitli ini de biliyoruz. oly s yl, örne in, ζ 5 = cos 5θ + i sin 5θ olur. E er burd θ = 360 o /5 = 72 o l rsk, o zmn 5θ = 360 o olur ve ζ 5 = cos 5θ + i sin 5θ = cos i sin 360 = 1 eflitli ini elde ederiz. emek ki ζ 5 = 1 ve ζ krmfl k sy s x 5 = 1 denkleminin bir köküdür. undn, 1, ζ, ζ 2, ζ 3, ζ 4 sy lr n n d x 5 = 1 denkleminin kökü oldu u ç - kr, örne in, (ζ 2 ) 5 = (ζ 5 ) 2 = 1 2 = 1. eflinci dereceden oldu undn, x 5 = 1 denkleminin 1, ζ, ζ 2, ζ 3, ζ 4 sy lr ndn bflk d kökü olmz (n-inci dereceden bir polinomun bir bölüm hlks nd en fzl n tne kökü olbilir. (M-2004-II, syf 29, Sonuç 4.) üçgeni çember çevresince tekrrlrsk, n d md pergel ve cetvelle düzgün n-geni elde etmifl oluruz. emek ki düzgün n-geni çizebilmek için tek sorun, birim uzunluktn hreketle cos 360 /n (y d sin 360 /n) uzunlu unu elde etmektir. unu ypt - m zd düzgün n-geni de pergel ve cetvelle çizebiliriz. öylece, geometrik bir problem, birz dh cebirsel td oln bir problem hline geldi. III. üzgün 5-gen Çizmek. ir önceki prgrftki düflünceyi n = 5 e uygulyl m. 360/5 = 72 oldu undn, cos 72 yi bulup pergel ve cetvelle bu uzunlukt bir do ru prçs çizmeliyiz. unun için krmfl k sy lrdn yrrlnc z. Syf teki Krmfl k Sy lr yz s nd, reel krtezyen düzlemin noktlr n n ns l krmfl k sy lrl ifde edilece ini gördük. unun için, Görüldü ü üzere, x 5 = 1 denkleminin kökleri çevrel çemberi birim çember oln bir düzgün beflgenin köfleleri olckt r. emek ki ζ ζ = cos 72 + i sin 72 ζ krmfl k sy s n 2 (y d cos 72 yi) θ θ = 72 ζ 5 = 1 θ pergel ve cetvelle θ θ çizebilirsek, Öklid ζ 3 gibi biz de düzgün ζ 5-gen çizebilece iz. 4 ζ krmfl k sy s x 5 = 1 denkleminin bir köküdür m yn ζ yn zmnd dördüncü dereceden gerçel bir polinomun d köküdür: 0 = ζ 5 1 = (ζ 1)(ζ 4 + ζ 3 + ζ 2 + ζ + 1); m ζ 1; doly s yl, ζ 4 + ζ 3 + ζ 2 + ζ + 1 = 0. (1) emek ki, ζ, sdece x 5 1 = 0 polinomunun de il, yr c x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 polinomunun d bir köküdür. unu kl m zd tutl m, bir iki prgrf son- 75

48 r kullnc z. ir önceki syfdki son flekilden ζ + ζ 4 sy s - n n gerçel bir sy oldu u nlfl l yor, çünkü ζ ve ζ 4 sy lr x eksenine göre simetrikler ve krmfl k k - s mlr birbirini götürürler. fiekle güvenmeyip bunu cebirsel olrk kn tlybiliriz (θ = 72 ve 4θ = 5θ θ= 360 θeflitliklerini n msy n): ζ 4 = cos 4θ + i sin 4θ = cos ( θ) + i sin ( θ) = cos θ i sin θ. oly s yl, ζ + ζ 4 = 2cos θ = 2cos 72. yn eflitli i fl dki gri lnd d birz dh bilgiç sy lbilecek bir biçimde kn tld k. emek ki, ζ + ζ 4 sy s n hesplybilirsek, o zmn 2cos 72 yi, doly s yl cos 72 de hesplm fl olc z. (Hespld ktn sonr d e er mümkünse infl etmek gerekecek.) fiimdi mc m z ζ + ζ 4 sy s n hesplmk. u sy y diyelim: = ζ + ζ 4. fiimdi n n kresini hesplyl m: 2 = (ζ + ζ 4 ) 2 = ζ 2 + 2ζ 5 + ζ 8 = ζ ζ 3, çünkü ζ 5 = 1. emek ki, 2 + = ζ + ζ 4 + ζ ζ 3 = (1 + ζ + ζ 2 + ζ 3 + ζ 4 ) + 1 = 1 Syf 68 deki gri krede, e er bir α krmfl k sy s bir gerçel polinomun köküyse, eflleni i oln α krmfl k sy s n n d yn polinomun kökü oldu unu görmüfltük. emek ki x 5 = 1 denkleminin kökleri oln 1, ζ, ζ 2, ζ 3, ζ 4 krmfl k sy lr n n efllenikleri gene kendi rlr ndd r. 1 in eflleni i elbette gene 1. m ζ n n eflleni i geri klnlrdn hngisi? ir krmfl k sy yl eflleni inin x eksenine göre simetrik olduklr n görmüfltük. (Yni biri + bi ise di eri bi dir. kz. syf 67.) oly s yl bir önceki syfdki flekilden, ζ = ζ 4 bulunur. unun gibi, ζ 2 = ζ 3. ζ sy s n bir de flekilden b ms z bull m: ζζ = N(ζ) = 1; demek ki ζ = ζ 1 = ζ 4. irim çember üzerindeki bir krmfl k sy n n eflleni inin o krmfl k sy n n tersi oldu unu kn tld k. (kz. syf 70, l flt rm 2.) oly s yl ζ + ζ 4 ve ζ 2 + ζ 3 sy lr gerçel sy lr olml. (ir krmfl k sy yl eflleni inin toplm her zmn bir gerçel sy d r.) (son eflitlikte (1) i kullnd k) ve = 0. urdn y bulbiliriz, ikinci dereceden bir denklemi çözmek zor de ildir: = 1± 5. 2 m = ζ + ζ 4 = 2cos 72 > 0. öylece y, yni 2cos 72 yi hesplm fl olduk: fiimdi bu sy y (dh do rusu bu sy yl ifde edilen uzunlu u) cetvel ve pergelle çizmek kl yor. 5 uzunlu unu çizebilmek yeterli. 5, dik ç n n kenrlr n n 1 ve 2 oldu u dik üçgenin hipotenüsüdür, doly s yl cetvel ve pergelle çizilir. IV. üzgün 17-gen. fiimdi dikktimizi düzgün 17-gene çevirelim. üzgün beflgende kullnd m z yöntemin çok benzerini kullnc z. ζ = cos(360 /17) + i sin(360 /17) olsun. ir önceki bölümde oldu u gibi ζ y köklerle ifde edece iz. ζ y bulduktn sonr d ζ n n çizilebilirli ini trt flc z. Elbette ζ 17 = 1 ve ζ birim çember üstündedir. h önce oldu u gibi (bkz. (1) formülünün kn t ) ζ 16 + ζ ζ 2 + ζ + 1 = 0 eflitli i geçerlidir. 16 nc dereceden bir denklemi çözmek koly olmd ndn mümkünse denklemin derecesini zltml y z. m polinomun ktsy lr n n Q de y d Z de olms nd srr edersek bu mümkün de ildir 1 5 cos 72 = +. 4 Soru: Yukrd buldu umuz cos 72 sonucunu sdece ve sdece düzlem geometrisi kullnrk bulbilir misiniz? ζ 8 ζ 9 ζ 7 (bkz. yn syfn n sonundki gri ln, yn kn t burd d geçerlidir. O kn tt sdece 5 in sll kulln l yor, yn kn t 5 yerine 17 ye de uyrlnbilir.) nck denklemin ktsy lr n tmsy lr d fl ndn lmy rz olrk denklemin derecesini küçültebiliriz. Zten pergel ve cetvelle çizimde çemberlerin ve do rulr n kesiflimleri l nd ndn, çizimin her ζ 6 ζ 10 ζ 11 ζ 5 ζ 4 ζ 3 ζ 2 ζ15 ζ 12 ζ 13 ζ14 ζ 1 ζ 16 76

49 ζ, elbette derecesi 2 oln ( x ζ)( x ζ ) = x ( ζ + ζ ) x+ ζ 2 2 = x xcos + = x x+ 1 2 gerçel polinomunun köküdür. m ζ y s f rlyn her ƒ Q[x], p(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 polinomunun çrp m d r. unu kn tlyl m. Önce p(x) in indirgenemez oldu unu gösterelim. p(x) = (x 5 1)/(x 1) oldu undn, y = x 1 yzrk, p(y) = ((y+1) 5 1)/y = y 4 + 5y y y + 5 buluruz. Eisenstein kriterine göre (M-2004-II, syf 42 ve 50), p(y) polinomu Q üzerine indirgenemezdir. oly s yl p(x) de Q üzerine indirgenemezdir (neden?) E er ƒ, p nin bir çrp m de ilse, o zmn ƒg + ph = 1 eflitli ini s lyn g, h Q[x] vrd r (ezout, M-2004-II, syf 42.) u eflitli i ζ y uygulrsk 0 = 1 çeliflkisine vr r z. d m nd nck ikinci dereceden denklemler çözebiliriz. iz de öyle ypc z. Yukrdki 16 nc dereceden denklemi ikinci dereceden denklemler çöze çöze yvfl yvfl çözece iz. irim çember üzerinde olduklr ndn, her ζ n sy s n n eflleni i o sy n n tersidir, yni ζ n = ζ n = ζ 17 n. undn böyle, ζ n yerine ζ n yzl m. Yukrdki formülden, ζ + ζ 2 + ζ 3 + ζ 4 + ζ 5 + ζ 6 + ζ 7 + ζ 8 + ζ 8 + ζ 7 + ζ 6 + ζ 5 + ζ 4 + ζ 3 + ζ 2 + ζ 1 = 1 ç kr. u eflitli i bir kenr not edelim. = ζ + ζ 1 b = ζ 3 + ζ 5 + ζ 3 + ζ 5 c = ζ + ζ 4 + ζ 1 + ζ 4 d = ζ + ζ 2 + ζ 4 + ζ 8 + ζ 1 + ζ 2 + ζ 4 + ζ 8 olsun. S ryl d yi, c yi, b yi ve y bulc z. Her seferinde ikinci dereceden denklem çözdü ümüze okur dikkt etmelidir (bflk flns m z yok!) u sy - lr n gerçel sy olduklr n d yr c dikktinizi çekerim, sonuçt her birinde bz krmfl k sy lr ve bunlr n eflleniklerini topluyoruz. yr c b d fl nd bunlr n her biri pozitif bir gerçel sy d r, çünkü toplnn sy lr n her biri y ekseninin s nd yer lmktd r, yni gerçel k s mlr pozitiftir. Önce d yi bull m. d = ζ 3 + ζ 5 + ζ 6 + ζ 7 + ζ 3 + ζ 5 + ζ 6 + ζ 7 olsun. Hemen d + d = 1 eflitli ini buluruz. dd çrp m n d bulbilirsek, d yi bulbiliriz. Üflenmeden d ile d sy lr n çrpl m. Sonuç 4 ç kr. Köklerinin toplm ve çrp m bilinen ikinci dereceden denklemleri yzms n biliyoruz. O hlde d 2 + d 4 = 0 olml. u denklemi çözersek d = ( 1 ± 17)/2 buluruz. m d > 0. emek ki d = ( )/2. yn flekilde, d = ( 1 17)/2. d ve d sy lr n n mutlk de erlerinin pergel ve cetvelle çizilebilir uzunluklr olduklr n dikktinizi çekerim. u önemli. Her d md çizilebilir sy lr bulc z. fiimdi s r c yi bulmy geldi. c = ζ 2 + ζ 8 + ζ 2 + ζ 8 olsun. emek ki c + c = d ve d yi biliyoruz. E er cc çrp m n d bulbilirsek, c yi bulmufl olc z. cc = 1 ç k yor. O hlde c 2 dc 1 = 0 ve bunu ikinci dereceden bir denklem olrk ddederek ve c > 0 eflitsizli ini kullnrk, 2 d+ d + 4 c = 2 buluruz. d pergel ve cetvelle infl edilebilir oldu- undn, c de pergel ve cetvelle infl edilebilir. S r b ye geldi. b = ζ 6 + ζ 7 + ζ 6 + ζ 7 olsun. b + b = c eflitli i koly. bb = 1 eflitli i de hesp yp nc ç k yor. O hlde b, x 2 c x 1 = 0 denklemin köklerinden biridir. öylece, c (cetvel ve pergelle) infl edilebilir oldu undn, ynen yukrdki gibi, b nin mutlk de erinin de infl edilebilir bir uzunluk oldu u nlfl l r. Son olrk y bulc z. = ζ 4 + ζ 4 olsun. emek ki + = c ve c, infl edildi ini bildi imiz bir sy. Koly bir hespl, = ζ 3 + ζ 5 + ζ 3 + ζ 5 = b buluruz ve b de infl edilebilir. emek ki, x 2 bx + c = 0 denkleminin pozitif köküdür. urdn d nlfl l - yor ki,, infls mümkün bir sy d r, bundn doly düzgün 17 gen de çizilebilir. Kynkç Robin Hrtshorne, ompnion to Euclid, MS, erkeley enter for ure nd pplied Mthemtics,

50 Hilbert Mesfesi hit rf Mtemtik Günleri IV kinci Gün Sorulr, 16 Nisn 2005 ndrei Rtiu* / rtiu@bilgi.edu.tr R 2 Öklid düzleminde yn l do rusu vey yn Ω çemberi üzerindeki oln dört frkl,,, nokts ll m. Ω,,, noktlr n n çprz orn, (, ) (,,, ) (, ) : (, ) d d = d d (, ) olrk tn mln r. u tn md d(, Q), ile Q noktlr rs ndki Öklid uzkl n simgelemektedir, yni = (, b) ve Q = (c, d) ise, 1. (,,, ) = (,,, ) = (,,, ) 1 = (,,, ) 1 eflitliklerini kn tly n. Yn t: u çok koly, her ve Q nokts için d(, Q) = d(q, ) eflitli inden kynkln r. 2. l 1, l 2, l 3, l 4 do rulr do rusunu 1, 2, 3, 4 noktlr nd ve b do rusunu 1, 2, 3, 4 noktlr nd kessinler. b l 1 1 b l l l 3 2 l ) l 1, l 2, l 3, l 4 do rulr prlelse ( 1, 2, 3, 4 ) = ( 1, 2, 3, 4 ) eflitli ini gösterin. Çözüm: u durumd, benzer üçgenlerden doly, = = = eflitlikleri vrd r; undn d ( 1, 2, 3, 4 ) = ( 1, 2, 3, 4 ) eflitli i ç kr. 2 2 dq (, ) = ( c) + ( b d) l 4 2 l 3 l l 2 2b) l 1, l 2, l 3, l 4 do rulr tek bir noktd kesifliyorlrs ( 1, 2, 3, 4 ) = ( 1, 2, 3, 4 ) eflitli ini gösterin. Çözüm: i nokts n n l j do rusun uzkl n d( i, l j ) ile gösterelim. u durumd benzerlikten 1 3 d ( 1, l3) 1 4 d ( 1, l4) = ve = 2 3 d ( 2, l3) 2 4 d ( 2, l4) eflitlikleri ç kr. l i ve l j do rulr rs ndki ç y λ ij ile gösterirsek, yukrdki eflitliklerden, d ( 1, l3) (,,, ) (, ) : d ( 1, l4) = d2 l3 d ( 2, l4) sinλ13 : sin λ14 =. sinλ23 sinλ24 ç kr. yn eflitlik ( 1, 2, 3, 4 ) için de geçerli oldu undn, ( 1, 2, 3, 4 ) = ( 1, 2, 3, 4 ) eflitli i do rudur. 3. ir Ω çemberi üzerinde, Ω bir çp oluflturmk üzere,,, ve noktlr l nm fl olsun. n n üzerindeki izdüflümü ve ninki ise olsun. (,,, ) 2 = (,,, ) eflitli ini gösterin. Çözüm: bir çp oluflturdu u için flu eflitlikleri biliyoruz: 2 = 2 = 2 = 2 = urdn kolyl kl (,,, ) 2 = (,,, ) sonucunu ç krbiliriz. 4. ir Ω çemberi üzerinde,,, noktlr l nm fl olsun. t ve t do rulr (bu s ryl) ve noktlr ndn geçen iki te et olsun. (ir sonrki syfdki flekle bk n.) u te etler nokts nd kesiflsinler., ve do rulr n n, ise ve do ru prçlr n n kesiflim noktlr olsun. (,,, ) 2 = (,,, ) eflitli ini gösterin. * stnbul ilgi Üniversitesi Mtemtik ölümü. 78

51 Ω Çözüm: E er çemberin çevresi r ise, kolyc, = 2r sin() bulunur. oly s yl, 2 = 2r sin() = 4rln() = 2r sin(). enzer biçimde, 2 = 2r sin() 2 = 2r sin() 2 = 2r sin() eflitlikleri geçerlidir. u eflitlikleri göz önünde bulundurrk hesplyl m: (,,, ) = : = : sin( ) sin( ) : sin( ) = sin( ) sin( ) sin( ) : sin( = ) = (,,, ). sin( ) U R 2 olsun. E er U sonlu yr çpl bir direnin içindeyse U y s n rl denir. E er her l do rusu için, l U ç k (yni s n r noktlr n içermeyen) bir do ru prçs ys (Not: oflküme de ç k S n rl ve d flbükey lnlr l l bir do ru prçs - l d r) U y d flbükey ln denir. S n rl m d flbükey olmyn lnlr undn böyle U, R 2 nin s n rl bir d flbükey ln n simgeleyecek. Her l do rusu için l U do ru prçlr n n s n r noktlr n n kümesi S(U) olsun. S(U) kümesine U ln n n s n - r d verilir. U t t s n r S(U), U iki de iflik nokt olsun. S(U) = {, } olsun. (urd, ve noktlr ndn geçen do rudur.) yr c bu noktlr n flekilde görüldü ü gibi,,, s rs yl s rlnd klr n vrsyl m. fiimdi U ρ U (, ) sy s n, ρ U (, ) = ln(,,, ) olrk tn mlyl m. (Not: ln fonksiyonunun yni logritmn n tn m n ve tüm özelliklerini bilmeniz gerekmiyor. Logritm fonksiyonu hkk nd bilmeniz gereken özellikler fl d özet olrk verilmifltir.) yr c her U için ρ U (, ) = 0 olsun. irzdn ρ U fonksiyonunun U nun iki nokts rs nd bir çeflit mesfe ölçtü ünü kn tlyc z. Logritm ln (y d log) sdece pozitif sy lr için tn mlnm fl bir fonksiyondur. ln 1 = 0. Her pozitif x, y için, ln xy = ln x + ln y. ln rtn bir fonksiyondur, yni 0 < x < y için ln x < ln y eflitsizli i geçerlidir. 5. fl dki önermeleri kn tly n. 5. Her, U için ρ U (, ) 0 d r. 5b. ρ U (, ), nck ve nck = olurs 0 olbilir. 5c. Her, Uiçin, ρ U (, ) = ρ U (, ). 5d. E er nokts ve noktlr n n rs ndys, ρ U (, ) = ρ U (, ) + ρ U (, ). Çözüm: (, b). E er ve, U d iki frkl nokt ise d(, ) > d(, ) ve d(, ) > d(, ) d r. oly s yl d (, ) (,,, ) (, ) : d (, ) = > 1 d d (, ) ve ρ U (, ) > 0 olur. yr c tn m gere i ρ U (, ) = 0. c) irinci sorudn doly, ρ U (, )= ln(,,, ) = ln(,,, ) = ρ U (, ). d) nokts n n ve noktlr rs nd oldu unu göz önünde bulundurrk do rudn hesplyl m: ρ U (, ) + ρ U (, ) = ln(,,, ) + ln(,,, ) U = ln((,,, ) (,,, )) s n r noktlr 79

52 d (, ) d d d =ln d (, ) : (, ) (, ) d (, ) d (, ) : (, ) d (, ) d (, ) d ln d (, ) : (, ) = = ln(,,, ) = ρ (, ). d (, U ) U 6. U ve V iki s n rl d flbükey ln olsun. E er U V ise, her, U için, ρ V (, ) ρ U (, ) eflitsizli ini gösterin. Çözüm: S(U) = {, } ve S(V) = {, } yukrdki flekildeki gibi olsun. ln rtn bir fonksiyon oldu undn, (,,, ) (,,, ) eflitsizli ini göstermemiz yeterli. E er δ = d(, ) 0 ve δ = d(, ) 0 ise, d (, ) (,,, ) (, ) : d (, ) d (, ) d (, ) = = d d (, ) d (, ) d (, ) d (, ) + d (, ) d(, ) + d (, ) = d (, ) + d (, ) d (, ) + d (, ) d (, ) + δ d (, ) + δ = d (, ) + δ d (, ) + δ eflitlikleri ve d(, ) > d(, ) ve d(, ) > d(, ) eflitsizliklerinden doly, e er b ve δ 0 ise, + δ b + δ b eflitsizli ini kn tlmk yeterlidir. m bu son eflitsizli in do ru oldu unu kn tlmk çok koly. U V noktlr kümesine V diyelim. ve do rulr n n kesiflim nokts n diyelim., ve do rulr yl do rusunun kesiflim noktlr n s rs yl, ve diyelim. u durumd, 2b den doly, ρ U (, )= ln(,,, ) = ln(,,, ) = ρ V (, ) ve ρ U (, )= ln(,,, ) = ln(,,, ) = ρ V (, ) eflitlikleri s ln r. oly s yl, 5d ve 6 dn doly, ρ U (, ) + ρ U (, )= ρ V (, ) + ρ V (, ) = ρ V (, ) ρ U (, ). Hilbert Mesfesi X bir küme olsun. d : X X R, flu özellikleri s lyn bir fonksiyon olsun: Her x, y, z X için, ) d(x, y) 0, b) d(x, y), nck ve nck x = y ise 0 d r, c) d(x, y) = d(y, x), d) d(x, y) d(x, z) + d(z, y). O zmn d ye X üzerine mesfe d verilir. E er U R 2, s n rl ve d flbükey bir lns, yukrdki sorulrdn, ρ U fonksiyonun U üzerine bir mesfe oldu u ç kr. u mesfeye Hilbert mesfesi d verilir. 7. U, s n rl bir d flbükey ln ve,, U olsun. ρ U (, ) ρ U (, ) + ρ U (, ) eflitsizli ini kn tly n. Kn t: Önce s n r noktlr m z belirleyelim: S(U) = {, }, S(U) = {, }, S(U) = {, } U yndki flekildeki gibi olsun. ve do ru- lr rs nd kln U nun [ ki o ru rs ndki Mesfe.] l 1 ve l 2, s - n rl bir d flbükey ln oln U yl kesiflen, prlel olmyn m U S(U) kümesinde kesiflmeyen iki do ru olsun. l 1 ve l 2 do rulr n n kesiflim nokts - n diyelim. t 1 ve t 2, nokts ndn geçen ve S(U) kümesini kesen m U yu kesmeyen iki frkl do ru olsun (örne in t 1 ve t 2 te et olbilirler U y) Q 1 t 1 S(U) ve Q 2 t 2 S(U) olsun. Q 1 Q 2 do rusu l 1 ve l 2 do rulr n s rs yl 1 ve 2 nokt-

53 lr nd kessin. Her 1 l 1 Uve 2 l 2 U için ρ U ( 1, 2 ) ρ U ( 1, 2 ) eflitsizli ini kn tly n. Kn t: fl dki flekilden kn t izleyin. 1 l 1 ve 2 l 2, U nun iki nokts olsun. yr c 1, Q 1 l t 1 2 l l t 2 l 2 2, 1, 2 fl dki flekildeki gibi olsun. V, t 1 ve t 2 do rulr trf ndn s n rlnn ve U yu ve 1, 2 noktlr n içeren herhngi bir s n rl ve d flbükey ln olsun. 6 ve 2b den doly ρ U ( 1, 2 ) ρ V ( 1, 2 ) = ρ V ( 1, 2 ) = ρ U ( 1, 2 ) dir. 1 Q 2 9. U, l 1, l 2, 1 ve 2 yukrdki gibi olsun. ρ U ( 1, 2 ) sy s n l 1 ve l 2 do rulr n n (ρ U y göre) mesfesi d verilir. 9. l 1 ve l 2 do rulr n n 1 ve 2 noktlr ndn bflk noktlr d yn ρ U ( 1, 2 ) mesfesini verebilirler. öyle bir örnek verin. 9b. E er U bir direyse, l 1 ve l 2 nin 1 ve 2 noktlr ndn bflk noktlr n n ρ U ( 1, 2 ) mesfesini veremeyece ini kn tly n, yni her 1 l 1, 2 l 2 için, e er 1 1 y d 2 2 ise ρ U ( 1, 2 ) < ρ U ( 1, 2 ) eflitsizli ini kn tly n. Çözüm. 9. ve do rulr n n de kesiflti i bir dörtgeni ll m. U bu dörtgenin içi olsun. l 1 ve l 2, den geçen ve U yu kesen iki do ru olsun. 1, 1 l 1 U ve 2, 2 l 2 U olsun. 1 2 ve 1 2 do rulr, ve do rulr n yukrdki flekildeki gibi 1, 1, 2, 2 noktlr nd kessin. 2b ye göre, ρ U ( 1, 2 )= ln( 1, 2, 2, 1 ) = ln( 1, 2, 2, 1 ) = ρ U ( 1, 2 ). 9b. Γ, U diresinin s n r, yni çemberi olsun., l 1 l 2 t 1 t 2 nokts olsun. 1 2 do rusu t 1 ve t 2 te etlerini 1 ve 2 noktlr nd, Γ çemberini de 1 ve 2 noktlr nd kessin. 1 1 Q 1 1 l t 1 l 1 Γ 1 Q 1 t t 2 t l 2 Q 2 2 l 2 2 Q E er ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ise o zmn y 1 1 y d 2 2. Çprz orn n tn m ndn ( 1, 2, 2, 1 ) < ( 1, 2, 2, 1 ) ç kr ve bundn ve 2b den, ρ U ( 1, 2 )= ln( 1, 2, 2, 1 ) > ln( 1, 2, 2, 1 ) = ln( 1, 2, Q 2, Q 1 ) = ρ U ( 1, 2 ) ç kr. 10. Γ bir çember olsun. U, Γ çemberiyle s n rlnn direnin içi olsun. ve Q, Γ n n d fl nd kln lndn seçilmifl iki nokt olsun. l 1 ve l 2 do rulr den, m 1 ve m 2 do rulr d Q den geçen ve U dn noktlr içeren dört do ru olsun. l do rusu m 1 ile m 2 rs ndki ρ U mesfesini (bkz. problem 8 ve 9b) veren iki nokty içeren do ru olsun. yn flekilde, m do rusu l 1 ile l 2 rs ndki ρ U mesfesini veren iki nokty içeren do ru olsun. E er l do rusu, nokts ndn geçiyors, m do rusunun Q nokts ndn geçmesi gerekti ini kn tly n. 81

54 l 1 m 2 l 2 m 1 Γ m Q l Çözüm: den Γ y çizilen iki te et do rusu, Γ n n üstündeki ve noktlr ndn geçsin. Q dn Γ y çizilen iki te et do rusu ise Γ n n üstündeki ve noktlr ndn geçsin. Vrsy mdn, 8 inci sorudn ve 9b den doly do rusunun l do rusun eflit oldu unu, yni nokts ndn geçti ini biliyoruz. ve do rulr n n kesiflim nokts n E diyelim. u durumd 1 inci ve 4 üncü soruyu kullnrk (,,, ) 2 = (,,, ) 2 = (E, E,, ) = 1 eflitli ini buluruz. m Γ l 1 m 2 l 2 m 1 l E Q fiimdi Q ile nin kesiflim nokts n ve Q ile nin kesiflim nokts n ise diyelim. u durumd yine 4 üncü soruyu kullnrk 1 = (,,, ) 2 = (,,, ) bulunur ki bu = demektir. unun sonucu olrk Q nokts n n üzerinde olms gerekti i orty ç kr. 11. Yukr dki problemleri çözerken buldu- unuz frkl çprz orn formüllerini listeleyiniz. Çözüm Önerisi. 1, 2, 3, 4 düzlemin bir do rusunun dört nokts olsun. u do ru üstünde olmyn herhngi bir nokts için, 1, 2, 3, 4 do rulr n ele ll m. 2b yi çözerken, e er λ ij = m( i j ) ise d ( 1, 3) d ( 2, 3) ( 1, 2, 3, 4) = = d ( 1, 4) d ( 2, 4) sinλ13 : sin λ23 =. sinλ14 sinλ24 eflitliklerini görmüfltük. yr c, kolyc görülece i üzere, ln( i j ) = j j sin λ ij oldu undn, (,, ( ), 1 3 ) ( ) : ( 2 3) = ln ln ln ( ). 1 4 ln 2 4 hit rf Mtemtik Günleri 2005 flr S rlms LK 10 1 Mehmet Murt Sevim stnbul ttürk Fen L Kerim Keskin TEV nnç Türkefl Ö. L./Gebze 74 3 Öykü Çobno lu zmir Ö. Ftih Fen L Hlenur Kzçeflme Ö. fiehzde Mehmet L./Mnis 65 5 Türkü Çobno lu zmir Ö. Ftih Fen L üflr cr stnbul ttürk Fen L eniz Yörüko lu stnbul ttürk Fen L Ezgi Kntrc Robert Kolej 53 9 Yunus fiflmz TEV nnç Türkefl Ö. L./Gebze Hsn Hüseyin Eruslu Ö. fiehzde Mehmet L./Mnis fiükrü urç Ery lmz zmir Ö. Ftih Fen L Onur Tidin zmir Ö. Ftih Fen L. 45 ER firili YRIfiMILR (lfbetik S ryl) Rmzn kd stnbul ttürk Fen L. Tnsel lt nel Ö. Sevgi Çiçe i nfen Fen L. urk rkn Sk p Sbnc ndolu L. Tyln yken Ö. Üsküdr merikn L. Ftih lc Ö. Gökkufl L. Emre emirky Gltsry L. li Efe Ö. Sevgi Çiçe i nfen Fen L. bdüsselm Genç stnbul ttürk Fen L. lys Gölcüklü Ö. Ks mo lu Fen L. urk Kürfld Günhn Ö. fiehzde Mehmet L./Mnis Hüseyin thn nn Ö. Gökkufl L. Mhmut Ky Ö. Sevgi Çiçe i nfen Fen L. Gmze Kedero lu Ö. Sevgi Çiçe i nfen Fen L. erk n K rçuvl Ö. Üsküdr merikn L. Yunus Emre Memmi Ö. Gökkufl L. Mustf Thir Ock Ö. Sevgi Çiçe i nfen Fen L. n Ozn O uz Gltsry L. Merve Özen fiehit Mehmet Gönenç L./nd rm orn Sruhn Gltsry L. ilver Velio lu TEV nnç Türkefl Ö. L./Gebze 82

55 hit rf Mtemtik Günleri I Ç krm ve Kre lm lt nd Kpl Sy Kümeleri Tn mlr: Q[ 2] = { + b 2 :, b Q} olrk, Z[ 2] = { + b 2 :, b Z} olrk tn mlnm flt r. *, gerçel sy lrd tn mlnm fl (toplm, ç krm, çrpm gibi) ikili bir ifllem olsun. bir gerçel sy lr kümesiyse ve her, b için, * b ise, o zmn, * lt nd kpl denir. E er her için, 2 ise kre lm lt nd kpl denir. E er n n her 0 sy s için, 1 de dys, kümesine tersini lm lt nd kpl denir. fl dki teoremi (kn tlmdn) kullnmy ihtiyc n z olbilir: Teorem. E er n N, o, 1,..., n Z ve π + 2 π n π n = 0 ise, o zmn 0 = 1 = 2 =... = n = 0 d r. 1. Ç krm lt nd kpl oln bir reel sy lr kümesinin toplm lt nd d kpl oldu unu gösterin. Kn t: Sonuç, x + y = x ((x x) y) eflitli inden ç kr. 2. Ç krm ve kre lm lt nd kpl oln ve her ö esinin yr s n d içeren bir gerçel sy lr kümesinin çrpm lt nd d kpl oldu unu gösterin. ( x+ y) 2 x 2 y 2 Kn t : xy = eflitli inden ve 2 bir önceki sorudn hemen ç kr. 3. Ç krm ve kre lm lt nd kpl oln ve 1/2 yi de içeren bir gerçel sy lr kümesinin çrpm lt nd d kpl oldu unu gösterin. Kn t: 1/2 kümede oldu undn, kresi 1/4 de kümede. yr c fl dki eflitli e dikktinizi çekeriz: x/2 = (x + 1/4) 2 x 2 (1/4) 2. emek ki küme ikiye bölme lt nd kpl. fiimdi ikinci sorudn istedi imiz ç kr. 4. Ç krm ve kre lm lt nd kpl oln m çrpm lt nd kpl olmyn bir gerçel sy kümesi bulun. Yn tlrdn biri: = { 1 π + 2 π π π n π n : n N \ {0}, i Z} olsun. n n ç krm ve kre lm lt nd kpl oldu unu görmek oldukç koly. m π, π 2 ve ππ 2 = π 3. (π 3 sy s n n d olmd bflt verilen teoremden ç kr.) 5. Ç krm ve tersini lm lt nd kpl oln ve 1/2 yi içeren bir gerçel sy lr kümesinin çrpm lt nd d kpl oldu unu gösterin. Kn t: Önce 1/2 + 1/2 = 1 in kümede oldu un dikktinizi çekeriz. fiimdi ((y (1 + y 1 ) 1 ) 1 y 1 ) 1 = y 2 eflitli ini ve üçüncü soruyu kulln n. 6. Ç krm ve kre lm lt nd kpl oln bir kesirli sy kümesinin çrpm lt nd d kpl oldu unu gösterin. Yn t:, ç krm ve kre lm lt nd kpl oln bir kesirli sy lr kümesi olsun. u, v olsun., b, c, d Z için u = /b ve v = c/d olsun. Ve e, d ve bc sy lr n n en büyük ortk böleni olsun. fiimdi u = /b = (e/bd)(d/e) (e/bd)z ve v = c/d = (e/bd)(bc/e) (e/bd)z. emek ki uv (e 2 /b 2 d 2 )Z. oly s yl uv sy s n n d oldu unu kn tlmk için, e 2 /b 2 d 2 sy s n n d oldu unu kn tlml y z. unun için de e/bd sy s n n d oldu unu göstermek yeterli. e = ebob(d, bc) oldu undn, öyle x ve y tmsy lr vrd r ki dx + bcy = e. emek ki e/bd = (dx + bcy)/bd = (/b)x + (c/d)y = ux + vy ve bu son sy d dd r. emek ki e/bd de d. 7. Q[ 2] (y d Z[ 2]) kümesinin bir ltkümesi ç krm ve kre lm lt nd kpl ys çrpm lt nd d kpl m d r? Yn t: u sorunun yn t n yr flmdn önce biz de bilmiyorduk. Yr flmdn sonr yn t n Z[ 2] için olumlu oldu unu lise düzeyini fln bir soyut cebir bilgisi kullnrk kn tld k. ilkent Üniversitesi Mtemtik ölümü üçüncü s n f ö rencisi Serht o n Q[ 2] için yn t n olumlu oldu unu lise düzeyinde bir kn tl gösterdi. öylece soru Z[ 2] için de lise düzeyinde yn tlnm fl oldu. undn sonrki yz d Serht o n n kn t n bulcks n z. 83

56 Q[ d] nin Ç krm ve Kre lm lt nd Kpl ltkümeleri Serht o n* / kelker@gmil.com u yz d fl dki teoremi kn tlyc z: Teorem. Q[ d] kümesinin bir ltkümesi ç krm ve kre lm lt nd kpl ys çrpm lt nd d kpl d r. Önce koly bir önsv: Önsv. E er R, ç krm ve kre lt nd kpl ys, o zmn her α, β için, α + β ve 2αβ. oly s yl her n Z için nα. Kn t: 0 = α α oldu undn, β = 0 β. oly s yl α + β = α ( β). undn d 2αβ = (α + β) 2 α 2 β 2 ç kr. E er n > 0 ise, nα = α α oldu undn, nα. urdn, her n Z için, nα ç kr. Teoremin Kn t. E er d bir tmkreyse o zmn Q[ d] = Q dir ve bu durumd kn t bir önceki yz d verildi. undn böyle d nin bir tmkre olmd n vrsyl m. Q[ d] ç krm ve kre lm lt nd kpl bir küme olsun. α, β olsun. αβ n n d d oldu unu kn tlyc z. Önsv dn doly α 2, β 2, 2αβ. Kn t m z iki d mdn oluflck: lki bu iki sy dn birinin kesirli oldu u, di eriyse ikisinin de kesirli olmd durum. irinci fi k. E er α y d β Kesirliyse. α n n kesirli oldu unu vrsybiliriz. irbirine sl p ve q tmsy lr için α = p/q yzl m. E er q Tekse. p bir tmsy oldu undn, pβ. m pβ = qαβ. emek ki qαβ. fiimdi, q tek oldu undn, qαβ dn yeterince 2αβ ç krrk αβ n n d oldu unu görürüz. E er q Çiftse. O zmn p bir tek sy d r ve bir r tmsy s için q = 2r yzbiliriz. α oldu undn, α 2 ve Önsv dn doly 2α 2 β, ve doly s yl r(2α 2 β). m r(2α 2 β) = 2rα 2 β = 2rα(αβ) = pαβ. emek ki pαβ. urd p tek * ilkent Üniversitesi Mtemtik ölümü 3. s n f ö rencisi. sy oldu undn, pαβ dn yeterinde 2αβ ç krrk αβ elde ederiz. kinci fi k: E er α ve β Kesirli e ilse. u durumd bir önsv dh ihtiyc m z vr: Önsv. E er α, β Q[ d] kesirli de illerse, o zmn rlr nd sl oln öyle x ve y tmsy lr vrd r ki, αx + βy Q. Kn t: α = u 1 + u d ve β = v 1 + v d olsun. urd, u, u 1, v, v 1 Q. irbirine sl oln ve ux + vy = 0 eflitli ini s lyn x ve y tmsy lr n bulmk istiyoruz. u 1, u 2, v 1, v 2 tmsy lr için, u = u 1 /u 2 ve v = v 1 /v 2 yzl m. yr c u 1 le u 2 nin ve v 1 le v 2 nin birbirlerine sl olduklr n vrsyl m. ebob(u 1, v 1 ) = w 1 ve ebob(u 2, v 2 ) = w 2 olsun. u 1 = w 1 r 1, v 1 = w 1 s 1, u 2 = w 2 r 2, v 2 = w 2 s 2 olsun. urd, r i le s i birbirlerine sld r. yr c, u 1 le u 2 ve v 1 le v 2 birbirlerine sl olduklr ndn r 1 le r 2 ve s 1 le s 2 birbirlerine sld r. fiimdi x = r 2 s 1 ve y = r 1 s 2 olsun. Söylediklerimizden x le y nin birbirlerine sl olduklr ç kr. fiimdi, u1 ux vy u x v1 v y wr 11 wr x ws 11 + = + = + ws y wr 11 wr rs ws wrs wrs = + rs = = ( 12) 0. ws 22 w2 w2 öylece önsv m z kn tlnm fl oldu. Önsvdki gibi x ve y sy lr ll m. O zmn αx + βy Q. irbirlerine sl olduklr ndn x y d y sy lr ndn biri tek olml. Genelli i bozmdn x in tek oldu unu vrsybiliriz. Elbette αx + βy Q. lk fl ktn doly, (αx + βy)β. m β 2 ve β 2 y. oly s yl xαβ = (αx + βy)β β 2 y. m x tek sy oldu- undn, xαβ dn yeterince d oln 2αβ y ç krrk αβ elde ederiz. Teoremimiz kn tlnm flt r. 84

57 E itim Köflesi okunmtik ir Mtemtik fienli i Mthemtikum li Nesin* / nesin@bilgi.edu.tr Yolunuz Frnkfurt düflerse yk nlrdki Mthemtikum gitmeyi ihml etmeyin. Mtemtikçi olsn z d olmsn z d çok sevecek, çok e lenecek, çok flfl rck ve çok ö reneceksiniz. Mtemti i bulundu u o so uk yerden l p e lenceli bir biçimde çoluk çocu ve hlk sunmufl. Her gün yüzlerce çocuk ve yetiflkin kimileyin gülerek kimileyin hyretle krfl s nd en somut biçimde bulunn mtemtikle u rfl yor. isgor Teoremi nin Fiziksel Kn t : 2 + b 2 = c 2 c b b b c b c b Mthemtikum u rof. eutelspcher kendi inisiytifiyle kurmufl ve flu nd kurumu yönetiyor. iny belediye vermifl. (Ne belediyeler vr dünyd!) ört befl ktl kocmn ve çok güzel bir yp. Mthemticum un td n yns tn birkç shne sunmk istiyorum. Mtemtikum un kurucusu rof. eutelspcher ile (ort boylu oln benim!) isgor teoremini kn tlyn çok hofl bir düzenek vr.. Ypms d koly, her s n ft böyle bir fley yp lml. Foto rf n fl d, grfik çizimini de yndki sütund bulcks n z. c c c c c b b b b b b b b c b b b c c 85

58 ltonik isimler Mtemtikum d infl edilebilen lton ve rflimet cisimleri pirmit küp octhedron dodechedron icoshedron Yüzeyleri birbirine efl düzgün çokgenlerden olufln ve her köflesinde yn sy d çokgenin kesiflti i üç boyutlu geometrik cisimlere ltonik cisimler denir. Örne in, küp bunlr n en bilinenidir. Üçgen tbnl pirmit de bir pltonik cisimdir. Toplm sdece befl tne pltonik cisim oldu u 2300 y l öncesinden biliniyordu; bunlr n resmini yukrd bulcks n z. (kz. M-2004-III, syf 111.) ltonik cisimlerin yn s r, pltonik olmyn, m pltonik cisimleri ç r flt rn cisimler de vrd r, örne in rflimet cisimleri. opüler bir mtemtik sergisinde bu son derece estetik nesneleri sergilememek olmzd. ltonik cisimler her yfl hitp ederler ltonik cisimlerin ç l m fl dd r. unlr krton çizip gerekti i gibi ktly p yp flt r rsn z yk fl kl pltonik cisimleri elde edersiniz. Müzede bz oyunlr sdece oyun olduklr ve bir ölçüde zekâ ç c olduklr için ordlr. Örne in yukrdki dört prçdn bir T ypmk gerekiyordu. Uzyd görmeyi gerektiren bir oyun. unun mtemtik oldu unu söyleyemeyiz m mtemtiksel zekây gelifltirdi i kesin. Yndki oyun, yukrdki türden m çok dh flfl rt c ve belli ki çok dh mtemtiksel. u iki cisimden bir pirmit ypcks n z. Hiç koly de il. Htt imkâns z gibi gözüküyor ilk bk flt ve by u rflt r yor. ki cismin bu kdr u rflt rms utnç verici! Tngrm sdece mtemtik müzelerinde de il, her evde, her s n ft ve htt her kmusl lnd bulunml. fl dki oyunu ypmd m, yeterince zmn m yoktu! Yedi tne düzgün lt gen vr. lt genlerin herbiri de iflik renklere boynm fl lt eflkenr üçgene yr lm fl. lt genleri komflulr renkdfl olck biçimde ve flekildeki gibi yerlefltireceksiniz... M renkli yy mlnmd için lt genlerin renklerini st yönüne do ru yzl m:

59 u oyun d çok zevkli, benim çok hoflum gitti. Küre pketlemesiyle ilgili olml. Toplm 20 küreden olufln lt tne blok küre vr. (loklrdn dördü üç küreden, ikisi dört küreden olufluyor.) u 6 bloktn (üçgen tbnl ) bir pirmit ypcks n z. Yp l yor! Üstelik yp ln pirmit de, toplr n yuvrlnm özelli ine krfl n kendi bfl n ykt durbiliyor. Çok flfl rt c. Mtemtik krfl s nd tüm insnlr eflittir. Irk, cinsiyet y d yfl frketmez! Resimde görüldü ü gibi! mpüller bfllng çt ns l olurlrs olsunlr, hepsini birden ykmk mümkün mü? Resimdeki lete do umgününüzü sy yl gün-y-y l olrk giriyorsunuz, size π sy s n n onluk tbnd ç l m nd o sy y buluyor. Mtrk bifley! öfleme (tiling) kurm d müzede yerini bulmufl ve özellikle bilmeceseverler trf ndn by ilgi görüyor. Zten müzede ilgi görmeyen köfle yok. Çoluk çocuk, genç yfll bir oyun köflesinden di erine kofluflturuyorlr. Yndki resimde, enrose döflemesinde bl k resmini ryn genç bir merkl y görüyorsunuz. elli ki bu müzede görülen mtemtik okullrd okutulndn frkl ve çok dh e lenceli. Gençlerin yüz ifdeleri gerçekten göz yflrt c. Mtemtik yprk bu kdr çok e lenen bu kdr çok insn bir rd hiç görmedim. nck bz yfl guruplr n n surtlr zmnl (çocuklr bir ç rp d çözümü bulup d yln z kl nc) s lbilir. Glib çocuklr birz dh eflit! u oyunu d ypmd m. ire fleklinde dizilmifl yedi tne mpul vr. Yedi mpulun birer dü mesi vr. Her dü meye bs ld nd, o dü menin s- ndki ve solundki mpuller durum de ifltiriyorlr, yni yn yorlrs sönüyorlr, sönmüfllerse yn yorlr. mç tüm mpulleri ykmk... cb π sy s n n bir çembere spirl fleklinde yz lms n bilimsel bir nlm veremedim. 87

60 Silindir biçiminde bir brdkt renkli bir s v vr. rdk dönen bir düzene in üstüne yerlefltirilmifl. rd döndürünce (herhlde merkezkç kuvvetiyle) siv resimde görülen flekli l yor. fieklin bir prbol oldu u söylendi. Yni brd n yn s n rlr olmsym fl prbol olckm fl, bu hliyle ols ols prbole benzemek isteyen bir flekil olbilir. Minimum yüzeyler her zmn ve herkesi e lendirir. Kenrlrdn oluflmufl ve mümkünse simetrisi bol oln herhngi kpl bir cismi sbun köpü üne bt r n. Sbun zr n n ld güzel yüzeye bkmy doymycks n z. u yüzeylerin geliflmifl bir de kurm vrd r. Mtemtikum kurm pek önem vermemifl. h çok mtemti in d fl güzelli ini ve flfl rt c l - n önpln ç kr lm fl. ç klmlr, kn tlr yok denecek denli z. u, belli ki özellikle yp lm fl. Önemli oln mtemti e dokunbilmek. un özel bir önem verilmifl. m kimileyin bu bir mtemtikçiyi üzebiliyor. Her köflenin yn nd birz dh uzunc bir ç kl- Estetik flfl rt c sdelikte olbilir. flte örne i. o rulrdn oluflmufl e ri bir yüzey! y c metin ols d, biz de (Selhttin umn n tbiriyle) sebeplenebilsek! Müzede, dört prçy yr lm fl bir üçgenin prçlr tekrr birlefltirerek bir kre ypm oyunu vrd. Ypt m... Ypt m m kre tm oturmd, hfif bir e rilik vr. Sinek küçüktür m mide bulnd r r... O gece bunun teorisini bulmy çl flt m. o l olrk (!) bir eflkenr üçgen ld m. u eflkenr üçgeni öyle dört prçy y rml yd m ki bu dört prçy tekrr birlefltirerek bir kre elde etmeliyim... Çok denedim. ulmd m. Sonr müzedeki üçgenin eflkenr olmd n nld m! kizkenrm fl! Ns l bir ikizkenr üçgen oldu u d hiçbir yerde yzm yor. urum böyle olunc bu oyunun bir mtemtikçi ç s ndn pek bir de eri klm yor. Mtemtikum tek elefltirim bu. unun d fl nd mükemmel bir tsr m. Emek verenlerin ellerine ve beyinlerine s l k. Mtemtiksel Hmm Mthemtikum un en ilgi çeken köflesi. pin çekilmesiyle yükselen hlkyl yer rs nd sbundn bir zr olufluyor. Gere inden fzl gerilen zr, inceldi i yerden ptl yor. 88

61 roblemler ve Çözümleri Refil lizde* u, bir y l sürecek bir yr flmd r. Grup hlinde, okul olrk y d bireysel olrk kt lbilirsiniz. ergimize l flt rm problemlerinin çözümlerini de il, yln zc yr flm problemlerinin çözümlerini yolly n z. yr c lütfen flu noktlr dikkt ediniz: Her sorunun çözümünü yr bir kâ d okunkl ve nlfl l r bir biçimde yz n z. Kâ d n s üst köflesine d n z, soyd n z, dresinizi, ö renciyseniz okulunuzu ve s n f n z yz n z. Çözümleri, zmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Mtemtik ölümü, Gülbhçe Köyü, Url zmir dresine trihine kdr d m gönderiniz. * zmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü ö retim üyesi. LIfiTIRM ROLEMLER 321. x 4 2y 2 = 1 denklemini s lyn tüm (x, y) tmsy çiftlerini bulunuz d flbükey dörtgeninde ve kenrlr n n ort noktlr s rs yl E ve F dir. E, F ve EF do rulr dörtgeni, lnlr dört rd fl k pozitif tmsy y eflit oln dört üçgene böler. üçgeninin ln en fzl kç olbilir? 323. Strnç thts n n bir hnesinde beyz, bflk bir hnesinde de siyh bir dm bulunur. Her d md dmlrdn biri komflu hnelerden (ortk kenr bulunn hnelere komflu hneler denir) birine götürülebilir. mlrdn ikisi de yn nd yn hnede bulunmz. u d mlrl dmlr n bütün yerleflme durumlr, her biri birer kez olmk üzere elde edilebilir mi? 324. (x) = x 4 + x 3 + bx 2 + cx + d ve Q(x) = x 2 + px + q polinomlr, uzunlu u 2 den büyük oln bir I rl n n içerisinde negtif, d flr s nd d pozitif de erler l yor. (x 0 ) < Q(x 0 ) olck flekilde bir x 0 gerçel sy s n n bulundu unu kn tly n z Temel thty 5 bsmkl bir pozitif tmsy s yz yor ve bir n pozitif tmsy s n söylüyor. dris ve ursun s ryl fl dki flekilde yeni sy lr oluflturuyorlr. dris son yz ln sy y bu sy n n rkmlr ndn birini ekleyerek, ursun d son yz ln sy dn bu sy n n rkmlr ndn birini ç krrk yeni sy elde ediyor. n hmleden sonr thtdki n sy dn en z 2005 i birbirine eflitse dris ve ursun, Temel e 2005 er YTL ödüyor, tht üzerinde 2005 yn sy bulunmzs Temel, dris ve ursun 2005 er YTL ödüyor. Herkes en iyi flekilde oynrs kim kzn r? YRIfiM ROLEMLER Y321. p sl sy s, n ve m negtif olmyn tmsy lr olmk üzere p 2 = 2 n 3 m + 1 eflitli ini s lr. p en fzl kç olbilir? Y322. ir d flbükey dörtgenin krfl kenrlr - n n uznt lr K ve L noktlr nd kesifliyorlr. örtgenin köflegenlerinin O kesiflim nokts ndn geçen ve KL ye prlel oln do runun dörtgenin içerisinde kln prçs n n ort nokts n n O oldu- unu kn tly n z. Y323. irinde 51, ikincisinde 49 ve üçüncüsünde 5 bilye bulunn üç küme verilmifltir. Her hmlede birkç kümedeki bilyeler bir kümeye birlefltirilebilir vey çift sy d bilye bulunn bir küme eflit sy d bilye içeren iki kümeye bölünebilir. u ifllemlerle her birinde birer bilye bulunn 105 küme elde edilebilir mi? Y324. (x) = x 3 + x 2 + bx + c polinomunun üç gerçel kökü bulunur; Q(x) = x 2 + 2x olmk üzere (Q(x)) polinomunun gerçel kökleri yok. (2005) > 1 oldu unu kn tly n z. Y325. rd fl k olmyn iki ve b pozitif tmsy lr s rs yl b 2 1 ve 2 1 sy lr n bölerse, ve b sy lr n yk n sy lr diyelim (örne in 3 ve 8 yk n sy lrd r). Her n 4 tmsy s için [n, 8n 17] rl nd yk n sy çiftinin bulundu unu kn tly n z. 89

62 ESK SORULR ÇÖZÜMLER (Güz 2004, y l 13, sy 4) LIfiTIRM ROLEMLER 311. x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 denkleminin tüm tmsy köklerini bulunuz. Çözüm. enklemi (x + y) 2 = (xy) 2 + xy flekline getirelim. xy > 0 ise, (xy) 2 < (xy) 2 + xy < (xy + 1) 2 oldu undn (xy) 2 + xy bir tmkreye eflit olmz. xy < 1 ise (xy + 1) 2 < (xy) 2 + xy < (xy) 2 oldu undn (xy) 2 + xy bir tmkreye eflit olmz. xy = 1 ise, (x, y) = (1, 1) vey (x, y) = ( 1, 1) olml d r. unlr n ikisi de denklemi s lr. xy = 0 ise x = y = 0 olck kresinin içinde, m(m) = m(m) = 23 olck flekilde bir M nokts l nm flt r. m(m) kç derecedir? Çözüm. m()? = 45 oldu undn 23 m(m) = = 22 ve M üçgeninden M m(m) = 135 elde edilir = 360 oldu undn, M nokts, merkezi nokts nd, y- r çp oln çemberin üzerindedir. O hlde m(m) = 2 m(m) = 2 22 = 44 dir irbirinden frkl 1, 2, 3, 4, 5 pozitif tmsy lr n n tüm mümkün ikililerinin pozitif i j frklr l nm flt r. u on tne frk n birbirinden de iflik oldu u biliniyors, i sy lr ndn en büyü ü en z kç olbilir? Çözüm. Genelli i bozmdn sy lr n 1 < 2 < 3 < 4 < 5 fleklinde s rlnm fl oldu unu vrsybiliriz. On tne frk birbirinden frkl oldu undn bunlrdn en büyü ü 5 1 en z 10 dur, doly - s yl 5 11 dir. 5 = 11 ise, frklr n tm olrk 1, 2,..., 10 sy lr n eflit olms gerekir. O hlde 55 = = ( 5 4 ) + ( 5 3 ) + ( 5 2 ) + ( 5 1 ) + ( 4 3 ) + ( 4 2 ) + ( 4 1 ) + ( 3 2 ) + ( 3 1 ) + ( 2 1 ) = eflitli inde sol trf tek, s trf çift oldu undn çeliflki elde edilir. Öte yndn sy lr 1, 3, 8, 11, 12 olrk l n rs, tüm frklr birbirinden frkl olck. olys yl sy lrdn en büyü ü en z 12 olur R >0, pozitif gerçel sy lr kümesi olsun. Her x, y R >0 için y 2 ƒ(x) = ƒ(x/y) eflitli ini s lyn tüm ƒ: R >0 R >0 fonksiyonlr n bulunuz. Çözüm. x = 1 ve z = 1/y l nd nd ƒ(1)/z 2 = ƒ(z) elde edilir. O hlde ƒ(1) i ile gösterirsek ƒ(x) = /x 2 fleklindedir. Öte yndn her R >0 için ƒ(x) = /x 2 fonksiyonu sorudki eflitli i s lr boyutlu bir tblonun her hücresine s f rdn frkl bir rkm yz lm flt r. St rlrd olufln 100 bsmkl 100 sy n n her biri ve herhngi 99 sütund olufln 100 bsmkl sy n n her biri 11 e bölünürse, yüzüncü sütund olufln sy n n d 11 e bölündü ünü kn tly n z. Çözüm. ir sy n n 11 e bölünmesi için gerek ve yeterli koflul bu sy n n tek bsmklr n n toplm ile çift bsmklr toplm n n modulo 11 denk olms d r. Tbloyu strnç thts fleklinde siyh ve beyz boyyl m. St rlrdki sy lr n her biri 11 e bölündü ünden her st rd siyh hücrelerdeki rkmlr n toplm beyz hücrelerdeki rkmlr n toplm n modulo 11 denktir. oly s yl tblodki tüm siyh hücrelerdeki rkmlr n toplm d tüm beyz hücrelerdeki rkmlr n toplm - n modulo 11 denktir. 99 sütund olufln sy lr 11 e bölündü ünden bu sütunlrdki siyh hücrelerdeki rkmlr n toplm beyz hücrelerdeki rkmlr n toplm n modulo 11 denktir. O hlde geriye kln (yni yüzüncü sütundki) siyh hücrelerdeki rkmlr n toplm beyz hücrelerdeki rkmlr n toplm n modulo 11 denktir, yni yüzüncü sütundki sy d 11 e bölünür. YRIfiM ROLEMLER Y311. Soldn s ve s dn sol okundu und yn oln pozitif tm sy y plindrom denir. Kresi de plindrom oln en büyük dört bsmkl plindrom sy y bulunuz. Çözüm. ört bsmkl bir plindrom = bb = b fleklindedir. 2 = b b 2 = b (b 2 + 2b) ( b 2 ) (b 2 +2b) b + 2 eflitli inden doly, 2 sy s n n son rkm 2 nin son rkm ile yn d r. > 4 ise 2 sekiz bsmkl bir sy d r ve c, 2 sy s n n onlr bsm olmk üzere, nin ilk rkm c, c+1, c+2 olbilir. = 4 için 2 = 16 d r ve 1 6; 1+1 6; ol-

63 du undn bu durumd plindrom olmz. enzer flekilde 2 = 25, 36, 49, 64, 81 durumlr nd d 2 plindrom olmz. = 3 ve b 2 ise, 2 yine sekiz bsmkl d r, son bsm 9 ve ilk bsm 1 oldu undn plindrom olmz. i er durumlrd 2 yedi bsmkl d r. 2 tek rkml oldu undn 2 nin plindrom olms için 2b; 2b+b 2 ; b 2 sy lr ndn her biri 10 dn küçük olml - d r. = 3 ise her b için b 2 = b 2 > 10 dur. = 2 ise, b 2 < 10 eflitsizli i sdece b = 0 durumund s ln r. öylece koflullr s lyn en büyük sy 2002 dir. = 1 ise, b 2 < 10 eflitsizli i sdece b = 0 ve b = 1 durumlr nd s ln r. oly s yl koflullr s lyn iki sy dh bulunur: 1111 ve Çözenler: Osmn rfl n (Gzi Ü., Türkçe E itimi.), Hnifi t lgn (Öz. eyz L., K.Mrfl), M.Süheyb yz (Öz. Ymnlr L.), Hkk ulm (Skry kyz mm Htip L.), Çetin mc (nk. Ü., Mt..), Melike Hzl n ( zm. Fen L.), ilgin npolt (H.F.Z. nd. L., Çerkezköy, Tekird ), hmet eyhn ( st. ttürk Fen L.), Ysin Çkr (Turgutlu Hlil Kle Fen L.), Mustf önmez (Turgutlu Hlil Kle Fen L.) ve Yflr önmez (Turgutlu L.), Ekrem Emre (umlup nr Ü., Küthy), Furkn Erden ( zm. Öz. Ymnlr L.), hmet Hmdi Fzl o lu ( zm. Öz. Ymnlr L.), U urcn Gümüfl ( zm. Öz. Sentez.), yhn Gündüz (ervifl fl L., Osmniye), Emre Ersegün Güny (Öz. Ymnlr Ifl k lkö r. O.), Zekeriy Güney (Mu l Ü.), Y. Mehmet Güngören (Mkin Mühendisi, urs), Onur Hurflito lu (S. emirel Fen L., K.Mrfl), Levent Mustf Koço lu (S. emirel Fen L., K.Mrfl), Tufn Özdin ( zm. Yük. Tekn. Enst.), Nejdet rn (nd. Ü.), Egemen fienel (S. emirel Fen L., K. Mrfl), Tu b Uzluer ( zm. Öz. Ymnlr L.), Engin Yrd mc (OTÜ, Mt..), Semih Yvuz ( zm. Öz. Ymnlr L.), smil Y lmz (T, nk.). Y312. eflkenr üçgeninin içinde, O : O : O = 3:4:5 olmk üzere bir O nokts l nm flt r. O ç s kç derecedir? Çözüm. O üçgenini nokts etrf nd 60 O döndürelim. nokts 1 60 nokts n geçecek; O O 60 nokts n n geçti i nokty 60 O 1 ile gösterelim. 91 Mtemtik ünys, 2005 Yz O 1 = O ve m(o 1 O) = 60 oldu undn O 1 O eflkenr üçgendir. O 1 = O = 5, O 1 O = O = 4 ve O = 3 oldu undn O 1 O dik üçgendir. O hlde m(o) = m(oo 1 ) + m(oo 1 ) = = 150 dir. Çözenler: Sut kbulut ( zm. Öz. Ymnlr L.), U ur kgün (S. emirel Fen L., K.Mrfl), Osmn rfl n (Gzi Ü., Türkçe E itimi.), M.Süheyb yz (Öz. Ymnlr L.), Tu b ydemir (Ylov), Melike Hzl n ( zm. Fen L.), ilgin npolt (H.F.Z. nd. L., Çerkezköy, Tekird ), hmet eyhn ( st. ttürk Fen L.), Ysin Çkr (Turgutlu Hlil Kle Fen L.), vut li Çl k ( zm. Öz. Ymnlr L.), lper Çy (Kyseri Uzmn.), Mustf Ç ry (ksry nd. Ö rt. L.), Serkn lr ( TÜ, Mt. Müh..), Mustf önmez (Turgutlu Hlil Kle Fen L.) ve Yflr önmez (Turgutlu L.), Selin uruk (hçelievler, zm.), Ekrem Emre (umlup nr Ü., Küthy), Furkn Erden ( zm. Öz. Ymnlr L.), hmet Hmdi Fzl o lu ( zm. Öz. Ymnlr L.), eniz Hsn Güço lu ( zm. Yük. Tekn. Enst.), Tümy Gülerhoco lu (Öz. nl Ertekin L.), U urcn Gümüfl ( zm. Öz. Sentez.), yhn Gündüz (ervifl fl L., Osmniye), Nurdn ksu Güner (flbhçe Ferit nl L., st.), Emre Ersegün Güny (Öz. Ymnlr Ifl k lkö r. O.), Zekeriy Güney (Mu l Ü.), Y. Mehmet Güngören (Mkin Mühendisi, urs), Emre Gürbüz (S. emirel Fen L., K.Mrfl), Onur Hurflito lu (S. emirel Fen L., K.Mrfl), nr Hüseyin (Tyfur yr L., Eskiflehir), Fruk Krsln (Çorum Ensr.), Yusuf K z ly (esni mm Htip L., d ymn), Levent Mustf Koço lu (S. emirel Fen L., K. Mrfl), Yvuz Mrnc (l kesir Ü., Ort Ö r. Mt. Ö retmenli i öl.), Kdir Mersin (. Ü. Mt..), Osmn Öcl ( zm. Öz. Ymnlr L.), Tufn Özdin ( zm. Yük. Tekn. Enst.), Nejdet rn (nd. Ü.), urk S lm ( zm. Öz. Ymnlr L.), Tu b Uzluer ( zm. Öz. Ymnlr L.), Engin Yrd mc (OTÜ, Mt..), Semih Yvuz ( zm. Öz. Ymnlr L.), Zfer Y ld r m ( zm. Fen L.), smil Y lmz (T, nk.). Y demir prdn en z biri shtedir. Tüm gerçek prlr yn rl kt ve tüm shte prlr d yn rl kt m shte prlr gerçek prlrdn dh hfiftirler. Çift kefeli terzi kullnrk 51 trt d shte prlr n sy s ns l bulunur? Çözüm. Önce her kefeye birer pr koyup trtr z. ki durum olbilir.

64 irinci urum: ir kefe r geldi. u durumd hfif trftki pr shtedir. Geriye kln 98 pry ikifler ikifler l p her ikiliyi terzinin sol gözüne, ilk ld m z ikiliye de s gözüne koyrk trtr z. S trf r gelirse, sol trftki prlr n ikisi de shtedir; s trf hfifse sol trftki prlr gerçektir; terzi eflit gelirse, sol trft tm bir tne shte pr vrd r. öylece birinci durumd 49 trt dh yprk hfif prlr n sy s n ö renebiliriz. kinci urum: Terzi eflit geldi. u durumd trtt m z prlr n (bunlr ve ile gösterelim) ikisi de yn zmnd y gerçektir y d shtedir. irinci durumd oldu u gibi yine geriye kln 98 pry ikifler ikifler y r p bu ikilileri s ryl (, ) ikilisi ile trtl m. u ifllemi, n-inci d md bir (, ) ikilisi ile trt ld nd eflitsizlik elde edilene kdr sürdürelim. (, ) ikilisi dh hfifse,, ve bu n kdr trt lm fl oln tüm prlr gerçektir. fiimdi ile yi k yslyl m. unlr eflitse ikisi de shtedir; eflit de ilse hfif oln shte, di eri gerçektir. Her iki durumd bunlrdn shte oln birini ve gerçek oldu unu bildi imiz y l p bir ikili olufltururuz ve birinci durumd gibi geriye kln 98 2n pr rs nd kç tnesinin shte oldu unu 49 n d m buluruz. (, ) ikilisinin (, ) ikilisinden dh r oldu u durumd d, ve o n kdr trt lm fl bütün prlr shtedir. Yine de ve yi k yslyrk hem bunlr n ikisinin de mi gerçek y birinin mi gerçek oldu unu ö reniriz, hem de bunlrdn gerçek oln birini l p ile bir ikili oluflturrk birinci durumdki gibi geriye kln 98 2n pr rs nd kç tnesinin shte oldu unu 49 n d md buluruz. öylece iki durumd d 50 trt dh yprk shte pr sy s n buluruz. Çözenler: Çetin mc (nk. Ü., Mt..), ilgin npolt (H.F.Z. nd. L., Çerkezköy, Tekird ), Mustf önmez (Turgutlu Hlil Kle Fen L.) ve Yflr önmez (Turgutlu L.), Ekrem Emre (umlup nr Ü., Küthy), Furkn Erden ( zm. Öz. Ymnlr L.), Zekeriy Güney (Mu l Ü.), Tu b Uzluer ( zm. Öz. Ymnlr L.), Engin Yrd mc (OTÜ, Mt..), smil Y lmz (T, nk.). Y314., b, c >0 gerçel sy lr + b + c 1/ + 1/b + 1/c eflitsizli ini s lr. 3 + b 3 + c 3 + b + c eflitisizli ini kn tly n z. Çözüm. ritmetik ve Geometrik ortlmlr rs ndki eflitsizli i kullnrk 3 + b 3 + c 3 + 1/ + 1/b + 1/c = ( 3 + 1/) + (b 3 + 1/b)+ (c 3 +1/c) 2 + 2b + 2c ( + b + c) + (1/ + 1/b + 1/c) eflitsizli- ini, burdn d 3 + b 3 + c 3 + b + c eflitisizli- ini elde ederiz. Çözenler: Sut kbulut ( zm. Öz. Ymnlr L.), M. Süheyb yz (Öz. Ymnlr L.), Melike Hzl n ( zm. Fen L.), ilgin npolt (H.F.Z. nd. L., Çerkezköy, Tekird ), hmet eyhn ( st. ttürk Fen L.), Ysin Çkr (Turgutlu Hlil Kle Fen L.), vut li Çl k ( zm. Öz. Ymnlr L.), lper Çy (Kyseri Uzmn.), Mustf önmez (Turgutlu Hlil Kle Fen L.) ve Yflr önmez (Turgutlu L.), Ekrem Emre (umlup nr Ü., Küthy), Furkn Erden ( zm. Öz. Ymnlr L.), hmet Hmdi Fzl - o lu ( zm. Öz. Ymnlr L.), Zekeriy Güney (Mu l Ü.), nr Hüseyin (Tyfur yr L., Eskiflehir), Osmn Öcl ( zm. Öz. Ymnlr L.), urk S lm ( zm. Öz. Ymnlr L.), fifk lim St c ( Ü, Mt..), Tu b Uzluer ( zm. Öz. Ymnlr L.), Semih Yvuz ( zm. Öz. Ymnlr L.), Zfer Y ld - r m ( zm. Fen L.), smil Y lmz (T, nk.). Y315. ir ülkenin milli kynn, milli dmt ve milli gelininin seçilmesi için düzenlenen bir televizyon progrm n n kynn dy (o lnlr n nlr ), n dmt dy, n de gelin dy kt ld. ir süre sonr her kynn dy be enmedikleri gelin dy ndn olufln, her gelin dy d be endikleri b dmt dy ndn olufln birer liste ç klrlr. ir dmt dy nck nnesinin listesinde bulunmyn bir gelin dy n n listesinde bulunuyors bu gelin dy yl evlenebilir. b sy s n n en z hngi de erinde gelin dylr n n tercihleri ve kynn dylr n n ysklr ne olurs olsun, en z bir dmt dy evlenebilir? Çözüm. b 1 ise en z bir dmt dy n n evlenebilece ini kn tlyl m. ir G gelin dy bir dmt dy n n nnesinin listesinde bulunmuyors, bir (, G) çifti oluflturl m ve bu çiftler kümesine X diyelim. yn flekilde bir dmt dy bir G gelin dy n n listesinde bulunuyors bir (, G ) çifti oluflturl m ve bu çiftlerin kümesine de Y diyelim. X kümesinde n(n ), Y kümesinde de nb tne çift bulunur. n(n ) + nb = n 2 + n(b ) toplm tüm mümkün çiftlerin sy s oln n 2 den büyük oldu undn X ile Y nin kesiflimi boflküme 92

65 de ildir. u kesiflimden l nn herhngi (, G) çiftindeki dmt dy G gelin dy ile evlenebilir. Öte yndn b ise, kynn ve gelin dylr n n listeleri fl dki flekilde oluflturulurs, evlenebilecek bir dmt dy bulunmz. mt dylr 1, 2,..., n, gelin dylr d G 1, G 2,..., G n olsun. Her j, i = 1, 2,..., n için, K i nin listesi G i, G i +1,..., G i 1 gelin dylr ndn; G j nin listesi de i+1, i+2,..., i+b (her iki listede indekslerdeki toplm modulo n l nm flt r) dmt dylr ndn oluflsun. u durumd bir G j gelin dy bir i dmt dy n be enmiflse s {1, 2,..., b} olmk üzere i j s (mod n) dir. 1 s b ve j i s (mod n) oldu undn G j gelin dy K i kynn dy n n listesindedir. oly s yl i, G j ile evlenemez. öylece b n n, en z bir dmt dy n n evlenmesini grntileyen en küçük de eri 1 dir. Çözenler: Çetin mc (nk. Ü., Mt..), hmet Hmdi Fzl o lu ( zm. Öz. Ymnlr L.), Zekeriy Güney (Mu l Ü.), Semih Yvuz ( zm. Öz. Ymnlr L.), smil Y lmz (T, nk.). üzeltme izgiden kynklnn bir ht sonucu, geçen sy d çözümünü verdi imiz Y308 sorusunun flekli ynl fl ç km flt r. Soruyu, yn t ve do ru flekli bir kez dh yy mly p okurlr m zdn özür diliyoruz. Y308. irkç voleybol tk m rlr nd bir turnuv ypt. Herhngi iki ve tk mlr l nd nd, e er, yi yenmiflse, y yenilmifl ve yi yenmifl bir tk m bulunur. Turnuvy en z kç tk m kt lm flt r? Çözüm: En z bir glibiyeti ve en z bir m lubiyeti oln bir tk m n n bulundu u ç kt r., yi yenmiflse, y yenilmifl ve yi yenmifl oln bir tk m bulunur. O hlde y yenilmifl ve yi yenmifl oln bir tk m bulunur., yi yenmifl, ise ye yenilmifltir, doly s yl dir. öylece n n yenmifl oldu u en z 3 tk m bulunur. enzer flekilde y yenmifl oln en z 3 tk m bulundu- u kn tln r. O hlde turnuvy en z 7 tk m kt lm flt r. Koflullr s lyn 7 tk m örne i yukrdki flekilde verilmifltir (X Y, X in Y yi yendi ini göstermektedir.) Ynl fl Nerde? bir kre olsun. Yndki flekilden tkip edelim. den uzunlu und bir E do ru prçs çekelim. ve E do ru prçlr n n ortdikmeleri F nokts nd kesiflsin. dik ç s n n E ç s n eflit oldu unu kn tlyc z! F ve EF üçgenlerine bkl m. Elbette = = E. F nokts E nin ortdikmesinin üstünde bulundu undn F = EF. F nokts yr c nin ortdikmesinin üstünde bulundu undn, nin de ortdikmesinin üstünde bulunur. oly s yl F = F. emek ki F ve EF üçgenlerinin üç kenr d birbirine eflit, yni bu iki üçgen birbirine eflitler. oly s yl F ve EF ç lr eflitler. m F ikizkenr üçgen oldu undn, F ç - s yl F ç lr eflitler. emek ki dik ç s E ç s n eflittir! Nerde ynl fl ypt k? F u soru lice Hriklr iyr nd n n yzr mtemtikçi ve mnt kç Lewis rroll n en sevdi i sorulrdn biriymifl. E 93

66 o ufl Üniversitesi Mtemtik Kulübü Mtemtik ireysel Yr flms 2005 Soru ve Yn tlr 1. Mliyeti üzerinden yüzde 25 kârl st ln bir ml n st fl fiyt ndn yüzde onluk bir indirim yp l rs yüzde kç kâr edilmifl olur? Çözüm: u ml n mliyetinin 100 YTL oldu unu düflünelim, yüzde 25 kârl bu ml 125 YTL ye st lckt r. u fiyt üzerinden yüzde 10 indirim yp ld nd, ml 12,5 YTL indirimle ,5 = 112,5 YTL ye st lckt r. öylece % 12,5 kr edilmifl olur. 2. Hngi x 0 tmsy lr için 2 x x+ 4 x + 1 kesrinin de eri bir tmsy olur? Çözüm: enklemden, 2 x x+ 4 6 = x 2 + x + 1 x + 1 elde edilir. u durumd rnn pozitif tmsy de- erleri x = 0, x = 1, x = 2 ve x = 5 olur. 3. ir odn n boyutlr 8, 15 ve 17 birim olrk veriliyor. Odn n birbirine en uzk iki nokts rs ndki uzkl k kç birimdir? Çözüm: isgor Teoremi ni iki kez uygulrsk, Çözüm: Verilenlerden, bir Q(X) polinomu için, (x) = (x 1)Q(x) ve 4 = (1 2) = ( 1) = 2Q(1) bulunur. öylece Q( 1) = 2 elde edilir. O hlde bir R(X) polinomu için, Q(x) = (x + 1)R(x) + 2 fleklinde yz lbilir. urdn d (x) = (x 1)Q(x) = (x 1)[(x + 1)R(x) + 2] = (x 2 1)R(x) + 2(x 1) ç kr. Kln 2(x 1) dir. 7. Tersten okunuflu kendisine eflit oln 101, 2332, gibi sy lr plindrom denir. okuz bsmkl kç plindrom vrd r? Çözüm: stenilen özelliklere ship 9 rkml sy ilk 5 rkm trf ndn belirlenir. lk rkm için 9 seçenek, ilk rkmdn sonr gelen 4 rkm n her biri için 10 seçenek vrd r. öylece = tne 9 bsmkl plindrom sy vrd r. 8. Rkmlr n n çrp m 5 e bölünebilen kç tne üç bsmkl sy vrd r? Çözüm: Üç bsmkl 900 sy vrd r. unlrdn = 512 tnesinde s f r y d befl rkm bulunmz. emek ki istenilen sy = 388. ( ) + ( ) + ( ) = Hngi k gerçel sy lr için = = 17 2 k 13 ve k+ 62 buluruz. sy lr tmsy olur? Çözüm: ve b pozitif tmsy lr olmk üzere 4. sin 7620 de eri nedir? Çözüm: sin 7620 = sin( ) = sin 60 = 3/2. 5. Hcmi yüzölçümüne (sy c) eflit oln kürenin yr çp nedir? Çözüm: Hcim 4πr 3 /3 ve yüzölçümü 4πr 2 oldu undn, 4πr 3 /3 = 4πr 2 ve burdn d r = 3 bulunur. 6. (x) polinomu x 1 e bölünebilmekte ve (x 2) polinomunun ktsy lr toplm 4 olrk verilmektedir. (x) polinomunun x 2 1 ile bölümünden kln ne olur? 94 k 13 = ve k+ 62 = b olsun. urdn k = = b 2 62 ç kr. öylece b 2 2 = 75 olc ndn, (b )(b + ) = 75 eflitli inde 75 sy s n çrpnlr n y rrk 1 75, 3 25 ve 5 15 yr fl mlr ndn için 37, 11, 5 ve k için 1382, 134 ve 38 bulunur. 10. log 2n 216 = log n (27 2) ise n 5 nedir? Çözüm: log 2n (216) = log n (27 2) = eflitliklerinden 216 = (2n) ve 27 2 = n bulunur. u iki eflitlik kulln lrk d 2 = 216/(27 2) = 2 5/2 elde edilir. ulunn = 5/2 de eri yerine konuldu und 27 2 = n 5/2, burdn d n 5 = bulunur.

67 11. 6xy + 4x 3y = 35 denklemini s lyn tüm x, y tmsy lr n bulunuz. Çözüm: enklem 6xy + 4x = y fleklinde yz ld nd, eflitli in sol trf çift sy olc ndn y tek sy olml d r. y = 2n + 1 ll m, o hlde 6x(2n + 1) + 4x = n, burdn d 3n x = = + 6n n+ 5 bulunur. öylece x in tmsy olms n s lyn n de erleri n = 1 ve n = 1 olur. n = 1 için x = 2 ve y = 3 bulunur; n = 1 için ise x = 16 ve y = 1 bulunur b + c = 24, 2 + b 2 + c 2 = 210 ve bc = 440 eflitliklerini s lyn, b, c tmsy lr n kök kbul eden üçüncü dereceden polinom nedir? Çözüm: b + bc + c simetrik terimini de erini bilinen simetrik terimler cinsinden yz p hesplyl m: b + bc + c = (( + b + c) 2 ( 2 + b 2 + c 2 ))/2 = 183., b, c sy lr x 3 24x x 440 polinomunun kökleridir. 13. fl dki sistemde x + 2y z = 5 3x + 2y + z = 11 (x + 2y) 2 z 2 = 15 x in de eri nedir? Çözüm: Üçüncü eflitli i çrpnlr n y rl m: (x + 2y z)(x + 2y + z) = 15 buluruz. yr c bir de birinci eflitli i kullnd - m zd x + 2y + z = 3 buluruz. u ve ikinci eflitlik x = 4 verir. 14. x ve y sy lr n n x 2 + y 2 = 7 ve x 3 + y 3 = 10 eflitliklerini s ld bilindi ine göre, x + y toplm n n lbilece i en büyük de eri nedir? Çözüm: (x + y) 3 terimini olbildi ince de erleri bilinen x 2 + y 2 ve x 3 + y 3 terimleri cinsinden yzl m: (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x + y) = (x + y)[(x+y) 2 x 2 y 2 ]/2 = (x + y)[(x+y) 2 7]/2. E er u = x + y dersek, yukrdki eflitlik bize u 3 21u + 20 = 0 denklemini verir. u denklemin kökleri de 5, 1, 4 olrk bulunur. emek ki u = x + y nin lbilece i en büyük de er 4 tür befl bsmkl sy s 56 y bölündü ünde kln 4 ise + kçt r? Çözüm: Verilenden, 627 = (mod 56) bulunur. m (mod 56) ve (mod 56) oldu undn (mod 56), yni bir k tmsy s için 32 + = 56k + 6 ç kr. urdn, 6 (mod 8) ve = 6 ç kr. emek ki 32 = 56k, 4 = 7k, = 7 bulunur. oly s yl + = = cos 2 x 3cos 2x + cos 3x = 3 eflitli inin [0, π] rl ndki çözümünü bulunuz. Çözüm: Yr mç formülü kulln lrk cos 2x = 2cos 2 x 1 de erini yerine yzd m zd cos 3x = 0 eflitli i elde edilir. urdn d x = (2k + 1)π/6 bulunur. [0, π] rl nd çözüm istendi inden, çözüm kümesi {π/2, π/6, 5π/6} olur. 17., b pozitif tmsy lr 2 2 = 3b 3 eflitli ini s l yors en küçük + b de eri nedir? Çözüm: En küçük çözüm = 2 x 3 y ve b = 2 u 3 v fleklinde yz lbilmeli. u de erler eflitlikte yerine konuldu und 2 2x + 1 3u = 2 3v + 1 2y elde edilir; burdn d 3u = 2x + 1 ve 2y = 3v + 1 eflitlikleri bulunur. rnn toplm n en küçük de eri de x = 1, y = 2, u = 1, v = 1 için bulunur ve toplm + b = = 24 olur kiflilik bir gurupt, herkes, kendi d fl ndki 5 kiflinin yfllr n toplrs bu toplmlr n oluflturdu u küme {78, 79, 80, 81, 82} oluyor. u gurupt yn yflt oln iki kiflinin yfllr kçt r? Çözüm: Guruptki kiflilerin yfllr n 1, 2, 3, 4, 5, 6 diyelim. 6 di erlerinden birine eflit olsun. E er = ve = diyecek olursk 1 = 78, 2 = 79, 3 = 80, 4 = 81, 5 = 82, 6 = eflitliklerinden 6 ( ) = 5 =

68 ç kr. emek ki, 5 e bölünür. {78, 79, 80, 81, 82} oldu undn = 80 ve doly s yl = 480/5 = 96 ve 6 = = 16 olur. 19. x 1 ve x 2 sy lr x 2 + bx = 0 denkleminin kökleridir. Kökleri x 1 + b vex 2 + b oln ikinci dereceden denklem nedir? Çözüm: x 1 + x 2 = b/ ve x 1 x 2 = 1 oldu undn (x 1 + b)(x 2 + b) = 2 x 1 x 2 + b(x 1 + x 2 ) + b 2 = 2 ve (x 1 + b) + (x 2 + b) = ( b/) + 2b = b olur. öylece rnn ikinci dereden denklem x 2 bx 2 = 0 bulunur. 20. Üç pozitif tmsy n n çrp mlr toplmlr n n 6 kt d r ve bu çrp m N sy s n eflittir. u sy lrdn biri di er ikisinin toplm n eflitse bütün ols N de erlerinin toplm nedir? Çözüm: Sy lr x, y, x + y olsun. O hlde xy(x + y) = N = 12(x + y) olml d r. öylece xy = 12 bulunur, burdn d rnn üçlüler (x, y, x + y) = (1, 12, 13), (2, 6, 8) y d (3, 4, 7) olur. oly s yl N = xyz = 156, 96 y d 84 ve toplm olrk = 336 bulunur. 21. (7, 12, 10), Q(8, 8, 1) ve R(11, 3, 9) noktlr bir kübün köfleleriyse, bu kübün yüzel ln nedir? Çözüm: Noktlr rs ndki uzunluklr bk ld nd Q = QR = R = 98 bulunur. E er kübün bir kenr n n uzunlu u ise, kübün köfleleri bir eflkenr üçgen oluflturc ndn 2 = 98, burdn = 7, böylece de yüzey ln 6 2 = 294 olur. 22. (1 1/2 2 )(1 1/3 2 )... (1 1/n 2 ) = 51/101 ise n kçt r? Çözüm: Soldki toplm hesplyl m. Sdelefltirmelerle, L ( 1) n n ( n 2)(. n) ( n 1).( n+ 1) = L ( n 1) n n + 1 = 2n bulunur. urdn d n = 101 ç kr < < b < c < d tmsy lr için, b, c ritmetik dizi ve b, c, d geometrik dizi oluflturuyor. d = 30 oldu un göre + b + c + d yi bulun. Çözüm: Verilenlerden sy lr, = b r, c = b + r ve bd = c 2 oldu undn (b + r) 2 = b(30 + b r) eflitli i s ln r. öylece r 2 = 3b(10 r) bulunur. Son eflitlikte hem r nin hem de b nin 3 ün kt oldu u görülür. Tek çözüm olrk r = 9, b = 27 ç kr. Yn t: = 129 dur. 24. x ve y sy tbn olmk üzere ( ) + ( ) = x y oldu un göre, bu eflitli i s lyn (x, y) pozitif tmsy ikilileri nelerdir? Çözüm: Sy tbn n n tn m ndn doly (1331) x = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + 1) 3 ve (14641) y = y 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 1 = (y + 1) 4 oldu undn ( ) + ( ) = = x 1 y 1 16 x y yni x + y = 14 eflitli ini elde ederiz. x > 3 ve y > 6 olms gerekti inden, rnn ikililer (4, 10), (5, 9), (6, 8), (7, 7) olrk bulunur bsmkl x = L L tne 999 tne sy s için x kç bsmkl d r? Çözüm: Yzms koly olsun diye 1000 = n tn m n yp p hesplyl m: x = 6 + 5( n 1 ) + (10 n + 10 n n 1 ) = 1 + 5( n 1 ) + 10 n ( n 1 )(10 n +10 n n 1 ) = 1 + 5(10 n 1)/ n (10 n 1)/9 = (10 n + 2) 2 /9. urdn d x = (10 n + 2)/3 elde edilir. böylece x sy s n n n = 1000 bsmkl oldu u görülür L L yz l fl nd 2005 tne 7 kulln lm flt r. un göre ifllemin sonucunun birler bsm kçt r? Çözüm: 7 nin güçlerini modülo 10 hesplyl m: 96

69 7 2 = 49 1 (mod 10), (7 2 ) 3 7 = (mod 10), (7 7 ) 7 = (7) 7 = (mod 10). O hlde verilen ifdede ki 7 sy s tekse, ifllemin sonucunun birler bsm 7, çiftse 7 olur. fdede 2005 tne 7 oldu undn sonuç 7 dir x 10x 14 = 2 x 10x+ 1 eflitli ini s lyn tüm x gerçel sy lr n n toplm kçt r? Çözüm: = x 2 10x + 1 diyelim. u durumd 15 = 2. urdn d = 0 bulunur. Son denklemin kökleri oln = 25 ve = 9 de erleri = x 2 10x + 1 denkleminde yerine konuldu und x 2 10x 24 = 0 ve x 2 10x 8 = 0 elde edilir. Kolyc görülece i üzere, birinci denklemden elde edilen kökler sorud verilen denklemi s lrlr. (Sol trf 10 eflittir örne in.) kinciden gelen kökler için ise x 2 10x = 8 olc ndn, verilen denklemde yerine konuldu und 8 14 = 2 9 bulunc ndn bunlr l nmyckt r. stenilen toplm birincinin kökler toplm oln 10 dur. 28) 4(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 çok de iflkenli polinomunu birinci dereceden çrpnlr y r n z. Çözüm: o rudn hesp ypl m: 4(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) (x 4 + y 4 + z 4 ) = 2x 2 (y 2 + z 2 ) + 2y 2 z 2 x 4 y 4 z 4 = 2y 2 z 2 (x 2 (y 2 + z 2 )) 2 + (y 2 + z 2 ) 2 y 4 z 4 = 4y 2 z 2 (x 2 (y 2 + z 2 )) 2 = (2yz x 2 + y 2 + z 2 ) (2yz + x 2 y 2 z 2 ) = ((y + z) 2 x 2 )(x 2 (y z) 2 ) = (y + z x)(y + z + x)(x y + z)(x + y z). 29) bir ymuk, ( ÚÚ ), köflegenlerin kesiflti i nokt E, () = 25 br 2 ve (E) (E) = 5 br 2 ise (E) kç birim kredir? x x/p = E / E = q/x, bundn d bilinen x 2 = pq ve () = ( p + q) 2 sonuçlr ç kr. emek ki q + p = 25 = 5 ve q p = ( q) 2 ( p) 2 = 5 den q = 3 ve p = 2 ve x = pq bulunur. 30. fl dki flekilde bir eflkenr üçgen, m() = 150, = 2 3 br., = 2 br. u verilere göre kç birimdir? Çözüm: fl dki flekilde gösterildi i gibi m(n) =? 60 ve N = 2 olck biçimde nin nin bulundu u trft de il de di- er trf nd bir p E q N nokts bull m. N ikizkenr oldu undn ve m(n) = 60 oldu undn, N sl nd eflkenr bir üçgendir. oly s yl m(n) = 60. undn d m(n) = m(n) m() = 60 m() = m() m() = m() ç kr. u ç y x diyelim. fiekilde görüldü ü gibi K..K teoremi uyr nc N? ve N üçgenleri efl üçgenler dir. O zmn x m(n) = 150 x ve N = 2 3 tür. O hlde m(n) = 90 olur ve isgor b nt s ndn = 4 br bulunur. x E Çözüm: p, q ve x fl dki resimde gösterilen lnlr olsun. () = () oldu undn (E) = (E) = x olur. yr c, E ve E üçgenlerinin den yükseklikleri yn oldu undn, fl dki flekilde üçgeninde [E] ç - orty, m() = 40, m(e) = 20. u verilere göre m(e) = α kç derecedir? E α 20 40

70 Çözüm: üçgeninde [E] ç orty ve m(e) = m(e) = x dersek, m(ef) = 20 + x, m(e) = 20 x ve m() = 20 + x olur. Sonuç olrk [], nin d fl ç orty, [E] ise iç ç - 20 x E α orty d r. unlr E nokts nd kesifltiklerinden, [E], nin d fl ç orty olur. un göre α = ( )/2 = 70 bulunur. 32. fl dki flekilde = 6 cm, = 8 cm, =, [N] ç orty, [N] [], [NF] []. u verilere göre F = x kç cm dir? Çözüm: fl dki flekildeki gibi [NE] [] olsun..k. efllik teoreminden doly EN FN oldu undn, E = F = x ve EN = FN dir. yr c [N] ort dikme oldu undn N = N dir. isgor teoremi uyr nc p = E = F bulunur. urdn d x = 6 + p ç kr ve x + p = 8 eflitli inden F = x = 7 bulunur. E p 6 6 N F 20 + x N 8 8 x x x x F F 20 + x kresinde [], E, m() = m(e) = α, = x, E = y. u verilere göre E nin x ve y cinsinden de eri nedir? x α α E y Çözüm: θ = m(e) olsun. E üçgenini nokts etrf nd pozitif E y x yönde 2α + θ yni 90 döndürürsek α+θ E nin gidece i E nokts için m(e ) = x+y E θ α x+y α y m(e ) = α + θ olur ve θ bundn d x + y = E = E = E ç kr. 34. fl dki flekilde bir ymuk, ÚÚ, m() = 48, m() = 138 o, = 2 = 4, E = E, F = F. E er E ile F s rs yl [] ve [] nin ort noktlr ys F E EF F pr- 138 lelkenr n n kenrlr n n krelerinin toplm E F 48 kçt r? 2 E 2 Çözüm: ve do rulr n uzt p O d kesifltirelim. m() = 42 oldu undn, m(o) = 90 olur. = /2 oldu undn ve O ort noktlr olckt r. yr c OFE do rusld r ve F = F oldu undn, OF = F 138, OE = 2 ç kr. [] nin E ve [] nin F ort noktlr içinse EF FE 48 2 E 2 bir prlel kenr olup köflegen uzunluklr e = E F = (2 + 4)/2 = 3, ƒ = EF = oldu undn, kenrlr n n krelerinin toplm EF 2 + F F 2 + FE 2 + E E 2 = 2( EF 2 + F F 2 ) = e 2 + f 2 = 10 2 bulunur. 35. fl dki flekilde merkezli z yr çpl çember do rusun ve O merkezli [] çpl çembere te- ettir. = x, = y ise x, y ve z rs ndki b nt y yz n z. O Çözüm 35: O yi uztl m ve çemberi trf nd kesti i nokty T diyelim. yr c = x,

71 O y x = y ve = z olsun. emek ki O = (x + y)/2, O = (x y)/2. Te et çemberlerde O,, T do rusl oldu undn, O = (x + y)/2 z, O = (x + y)/2 y = (x y)/2 olckt r. Tüm bunlrdn ve O 2 = 2 + O 2 b nt s ndn, ((x + y)/2 z) 2 = z 2 + (x y) 2 /4 elde edilir. emek ki z(x + y) = xy ve 1/z = 1/x + 1/y. 36. Üç bsmkl ve 5 e klns z bölünen tüm pozitif tek tmsy lr n toplm n bulunuz. Çözüm: rnn sy lr, () iki bsmkl olmk üzere (5) biçimindedir. () lerin toplm /2 9 10/2 = ve 5 lerin toplm 90 5 = 450 oldu undn sonuç = dir. 37. x, y, z gerçel sy lr olmk üzere 2x 2 + 5y z 2 2xy 4yz 6zx + 3 ifdesinin lbilece i en küçük de er nedir? Çözüm: Verilen ifde (x y) 2 + (x 3z) 2 + (2y z) fleklinde yz lbilir. ütün x, y, z de erleri için (x y) 2 + (x 3z) 2 + (2y z) oldu undn istenilen en küçük de er, x = y = z = 0 için, 3 olrk bulunur. z T 40. fl dki flekilde, eflkenr üçgen, K = x 2 1 br., K = 2x br., K = x br. u verilere göre m(k) kç derecedir? 2x K N 60 2x α β α x x K Çözüm: (x 2 1) 2 + (2x) 2 = (x 2 + 1) 2 eflitli ini kullnc z. α = m(k) ve β = m(k) diyecek olursk α + β = 60 olur. köflesinden N = 2x ve m(n) = α olck flekilde [N] çizelim. u durumd NK eflkenr üçgen olur ve NK = 2x br olur. eflkenr üçgen oldu un göre K..K teoreminden K ve N üçgenleri efl üçgenlerdir. O hlde N = K = x dir. (x 2 1) 2 + (2x) 2 = (x 2 + 1) 2 eflitli inden doly NK üçgeninde isgor b- nt s geçerlidir, yni NK diküçgendir ve m(kn) = 90 dir. oly s yl m(k) = = 150 dir. x 2 1 x 2 +1 x 2 1 x /18 kesri ondl k sym düzeninde (x) 6 yz ld nd x ne olur? Çözüm: 49/18 = 98/36 = ( )/6 2 = 2 + 4/6 + 2/6 2 oldu undn, 49/18 = (2,42) 6 bulunur. 39. Kenrlr 13, 2 5, 2 13 ve 3 5 birim oln bir kirifller dörtgeninin çevrel çemberinin yr çp kç birimdir? Çözüm: 1 R = 4 ( b + cd) ( c + bd) ( d + bc) ( s ) ( s b) ( s c) ( s d) formülünden R = 65/2 bulunur. 99

72 o ufl Üniversitesi Mtemtik Kulübü Fen Liseleri Yr flms 2005 Sorulr sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? 2. (x + 1)p(x + 1) (x + 2)p(x) = 0 b nt s n s lyn bir p(x) polinomu için p(2) = 6 ise bu polinomun sbit terimi kçt r? 3. k ve n pozitif tmsy lr olmk üzere, n 3 + 2n 2 = (2k + 1) 2 eflitli ini s lyn en küçük k de- eri nedir? 4. fl dki denklem sisteminin tüm gerçel (x, y, z) çözümlerini bulunuz x (yz) 1/2 = 42 y (zx) 1/2 = 6 z (xy) 1/2 = fl dki denklemin çözüm kümesini bulunuz. x+ 2x 1 + x 2x 1 = , 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, dizisinin kç terimini toplrsk 396 elde ederiz? 7. x 3 y 3 = z denklemini s lyn (x, y, z) sl sy üçlüleri nelerdir? 8. ir kitb n syflr n numrlmk için toplm 2004 rkm kulln lm flt r. Kitp kç syfd r? den küçük ve 1080 le rlr nd sl oln kç pozitif tmsy vrd r? 10. α, 3x 2 + x 2 = 0 polinomunun bir kökü ise 4/α 2 + 9α 2 kçt r? 13. bc üç bsmkl sy s n n, b ve c rkmlr n n b + c = 286 eflitli ini s ld bilindi ine göre, bc sy s kçt r? 14. ( 4,11) ve (16, 1) noktlr ndn geçen do runun koordintlr pozitif tmsy lr oln bütün noktlr n bulunuz. 15. ve b do l sy lr n n ortk bölenlerinin en büyü ü (, b) = 9 ve ortk ktlr n n en küçü ü [, b] = 270 oldu un göre, bu iki sy n n toplmlr n n en küçük de eri nedir? ve 9 tbn n göre yz l fllr (bc) 7 = (cb) 9 eflitli ini s lyn bir sy veriliyor. (bc) 7 sy s n bulun. 17., b, c birbirinden frkl gerçel sy lrd r. 2 + b = 3c ve b 3 = 3c 3 oldu un göre, + b + c kçt r? 18. (bc) üç bsmkl bir do l sy olmk üzere (bc) = 11( 2 + c 2 ) flrt n s lyn (bc) sy lr nelerdir? 19. x 5 + x 4 x 3 x 2 2x 2 polinomunun kç gerçel kökü vrd r? 20. ir pozitif n tmsy s için n 2 sy s n n onlr bsm 7 ise birler bsm kçt r? 21. üçgeninde [E] ç orty, m() = 40, m(e) = 20. u verilere göre m(e) kçt r? ! + 1 < p < 13! + 13 koflulunu s lyn kç p sl sy s vrd r? E sy s n n pozitif bölenlerinin kç 8 e bölünebilir m 9 bölünemez? α

73 2 E 2 F kre, [E] [E] ve E = 4 cm ise E üçgeninin ln kçt r? 24. cos36 =? 22. eflkenr üçgen, m() = 90, E = EF = F = 2 cm ise dörtgeninin ln kç cm 2 dir? 25. x 2 + y 2 = 1 çemberi, merkezden geçen bir do ruyu de ve y = 1 do rusunu nokts nd kessin. u do ru üzerinde ve ON = olck biçimde l nn N noktlr n n geometrik yerinin denklemi nedir? E y 1 y = 1 O N x 4 Yedek Sorulr 1., b, c pozitif tmsy lr rtn bir geometrik dizi olufltursun. b bir tmkre ve log 6 + log 6 b + log 6 c = 6 ise + b + c kçt r? tne pozitif tmsy böleni oln en küçük pozitif tmsy kçt r? 3. bir üçgen, [], m() = 30, m() = 15 ve 30? =. u verilere göre m() kçt r? 4. bir tmsy olmk üzere, yr tlr 1, ve 2 birim, yüzey ln 54 birim kre oln bir dikdörtgenler prizms n n hcmi kçt r? 5. ikizkenr üçgen, =, m() = 100, m(m) = 30, m(m) = 20. u verilere göre x kçt r? M Trih, Gençleri ekliyor! Trih, okullrd ö retilen bsmkl p bilgilerden ibret de ildir! Trih, yflnd, bitti den ibret de ildir! Trih, bir bilimdir. Trih, bugündür. Trih, mtemtiktir, fiziktir, biyolojidir, co rfyd r. Trih, insn n bugünü ve yr n nlmk için geçmifle bkms demektir. Türkiye de trihin ç dfl bir bilim olrk görülmesini s lmk için 15 y ld r çl fln bir vk f vr: Trih Vkf. Vk f, 15. kurulufl y ldönümünü kutlyc 2006 y l nd, köklü bir yp de iflikli ine hz rln yor. Vk f, br fl, krfl l kl nly fl ve ç dfl bir trih bilinci için yürüttü ü çl flmlr dh d genifl kitlelere yymy, belli bfll tüm üniversite ve liselerimizle iliflki kurmy yöneliyor. Çünkü Trih Vkf, gençlerin ktk lr n güveniyor. Gönüllü çl flmk isteyen, hftd en z iki yr m gününü bu tür bir çl flmy y rbilecek oln gençler, proje gelifltirme, proje yönetimi, fon gelifltirme iletiflim ve gönüllü kznm lnlr bflt olmk üzere, vkf n tüm çl flm lnlr nd, düzenli ve sürekli destek vermeye dvet ediliyor. Gelin, tn fll m; dh uygr, dh demokrtik, dh br flç bir Türkiye için birlikte çl fll m. 4. Gönüllüler Toplnt m z 12 Ks m umrtesi günü st rs nd rphne de. Kt l n, gönüllü olbilecek dostlr n z hber verin! Trih Vkf n gönüllü ktk d bulunmk için, lütfen dresini ziyret edin, ibiber@trihvkfi.org.tr e-post dresine ( Yeni Gönüllü k sltms n kullnrk) y d numrl telefon bflvurun. u toplnt y gelemeyecek, nck dh sonrki çl flmlr kt lbilecekseniz, bu durumu belirterek ky t ypt r n; sizi dh sonrki buluflmlr m zdn hberdr etmemizi s ly n. Gençlere güveniyoruz! 101

74 Eurek! sl Nesin* Zekâ Sorulr Yn tlr n z gbrum@hotmil.com dresine yolly n. o ru yn tlr ödüllerimiz vr. SORULR M-2005-II.1. Gene mi Top Sorusu! çi görünmeyen bir torbn n içinde bir topunuz vr. Top siyh y d beyz olbilir m rengini bilmiyorsunuz. Torbn n içine beyz bir top t p iyice kr flt rd ktn sonr toplrdn rstgele birini seçiyorsunuz. eyz ç k - yor. Torbd kln topun beyz olm ols l kçt r? M-2005-II.2. dn nifl urumlr. rkdfl m Sem d lr ç kmy çok seviyor. h geçen gün sbh dokuzd klk p güle oyny her zmnki ptiks n izleyerek tepeye ç km fl. Gece ord ytm fl. Ertesi sbh gene st dokuzd yn ptikdn fl inmeye bfllm fl. yn stte yn yerden geçmifl olbilir mi? * stnbul ilgi Üniversitesi, Mtemtik ölümü ö rencisi. M-2005-II.3. kl Isltmyn Teyzeler. n teyzeden her biri, di erlerinin bilmedi i bir dedikodu biliyor. Tbii durmy p telefon sr l yorlr ki teyze telefond konufltu u zmn, ikisi de bildikleri bütün dedikodulr birbirlerine ktr rlr. oly s yl telefonl konufln iki teyzeden her biri ikisinin bildi i bütün dedikodulr bilir. ütün teyzelerin bütün dedikodulrdn hberdr olms için en z kç telefonlflm ypmlr gerekir? M-2005-II.4. Norml iri Yok Mu urd? ir dy düflüyorsunuz. u dd do ruculr ve ylnc lr vr. Ylnc lr hep yln söyler, do ruculr hep do ru söyler. yr c ddki insnlr n hepsi herfleyi biliyor, yni herhngi bir önermenin do ru olup olmd - n her zmn biliyorlr. Üçüncü bir tür insn dh vr dd: filozoflr. Filozoflr sdece do ru olup olmd n bilmedikleri cümleler kurbiliyorlr. ir filozof ne kdr chil olurs olsun kesinlikle kendisinin filozof oldu unu biliyor... ir filozof sizi filozof oldu un iki cümlede ikn edebilir mi? O iki cümle nedir? M-2005-II.5. Sürünün öylesi Görülmemifl! Çobn Memo bir gün dört koyununu otlt rken her koyunun di- erlerine mesfesinin eflit oldu unu frketmifl. Memo nun koyunlr ns l duruyorlrm fl? GEÇEN SYININ YNITLRI M-2005-I.1. Krrs z Âfl k. Mehmet in iki k z rkdfl vr. iri stnbul d, di eri nkr d oturuyor. Mehmet Eskiflehir de yfl yor ve k z rkdfllr n görmeye trenle gidiyor. Eskiflehir de durn trenler bt y y d do uy 102

75 giderler. t y gidiyorlrs stnbul, do uy gidiyorlrs nkr y giderler. ki trf d giden eflit sy d tren vr. Mehmet iki k z rkdfl n d eflit derecede seviyor. kisinin rs nd seçim ypmk on zor geldi inden gr her vr fl nd hngi yöne giderse gitsin ilk gelen trene binmeye krr veriyor. u yöntemi bir y boyunc uyguld ktn sonr, bir bk - yor ki nkr dki k z stnbul dkinden 11 kt dh fzl ziyret etmifl. Mehmet in gr rstgele stlerde geldi ini vrsyrsk, stnbul dki zvll k z onu neden bu kdr z görüyor? Yn t: nkr trenleri st bfl klk yor. stnbul trenleri ise her sti 5 geçe klk yor. yn sy d tren klk yor m Mehmet rstgele stlerde geldi i için ols l klr de ifliyor. Mehmet nck st bfl yl st bfl n befl geçe gr gelirse stnbul trenine binebiliyor, yni sdece 5/60 = 1/12 ols l kl stnbul dki k z rkdfl n görmeye gidiyor. Oys bflk herhngi bir ste trene gelirse nkr trenine biniyor. oly s yl nkr dki k z rkdfl n gitme ols l 11/12, di erinkinden 11 kt fzl! M-2005-I.2. olinom ilmece. yfle kl ndn ktsy lr do l oln herhngi bir polinomu tutr. r fl yfle ye bir tmsy s söyler ve yfle r fl () de erini söyler. Sonr r fl bir b tmsy s dh söyler. yfle gene (b) de erini söyler. u verilerden yol ç krk r fl polinomu bilir. r fl n strtejisi nedir? Yn t: r fl önce 1 der. Yni = 1 dir. yfle, r fl (1) de erini söyler. r fl, yfle ye (1) + 1 sy s n verir. Yni b = (1) + 1 dir. sl nd b, (1) den büyük herhngi bir sy olbilir. r fl, (b) yi duydu und, (b) sy s n b tbn nd yzrk (X) polinomunu bulur. ç klms flöyle: iyelim, (X) = p 0 + p 1 X + p 2 X p n X n. r fl = 1 de erini verdi inde, (1) i, yni ktsy lr n toplm n duyr. emek ki her ktsy en fzl (1) dir. E er b, (1) den büyük herhngi bir sy ys, o zmn, (b) = p 0 + p 1 b + p 2 b p n b n dir. Her p i < b oldu undn, yukrdki yz l m (b) nin b tbn ndki ç l m d r. E er hesp ypmk size zor geliyors, b yi 10 k gibi büyük bir sy seçerseniz, (b) yi kolyl kl b tbn nd yzbilirsiniz. M-2005-I.3. K s Yol. Lterly d dört büyük flehir vr. u flehirlere,, ve diyelim. u flehirler kenrlr on kilometre oln bir krenin köflelerini olufltururlr. fiehirlerrs ulfl m kolylflt rmk için, Lterlyn Ulfl m Kurumu bu dört flehri de birbirine b lyn yollr ypmy krr verir. m hzinede z pr oldu u için, bu yolun olbildi ince k s olms n krr verilir (gene de bu yollr herhngi bir flehri herhngi bir bflk flehre b lml.) Mühendisler fl dki üç pln yrt rlr: irincisi 40 km lik yol kulln yor, ikincisi 30, üçüncüsü de fl yukr 28.3 km lik yol kulln - yordu. nck plnlr n Mliye kn n gösterdiklerinde, kn onlr svurgnl kl suçld ve iki dkikd dh d z mliyetli bir yol gösterdi. kn n çözümünün ne oldu unu görebiliyor musunuz? Yn t: Yndki yol ,3 metredir. h k ss olup olmd n bilmiyoruz

76 br kdbr sl Nesin* ermütsyonlr birçok kâ t oyunlr n n temelini oluflturur. u sy n n sihirbzl d bunlrdn biri. Önce her zmn oldu u gibi bir kurbn bulun. 1) s, iki ve üç kâ tlr n msy soldn s dizin. Hngi yüzün göründü ü önemli de il m kâ tlr n s rtlr görünse dh iyi olur. Kâ tlr n bu s rlms n ilk s rlm diyelim. 2) rkn z dönükken kurbn kâ tlrdn birini seçsin. Sonr, seçti i o kâ d çevirip bks n, tekrr yerine koysun ve di er iki kâ d n yerlerini de- ifltirsin. 3) En s dki kâ t en üste, en soldki de en lt gelecek biçimde üç kâ d elinizde toply n. 4) Kâ tlr kesip kesip (birer vey ikifler) lt lt koyun. unu rstgele yp yormufl gibi yp n, m bir yndn d lt geçirdi iniz kâ tlr içinizden sy n. 10, 13 vey 16 tne kâ d lt geçirmifl oldu unuzd durun. 5) Kâ tlr yeniden s rt size bkck biçimde msy dizin. En üstteki kâ t orty, ikincisi s, üçüncüsü de sol yerlefltirilecek. rt k kfn zd o rks dönük kâ tlr diye düflünün. Yni bir önceki s rlmn n tersiymifl gibi düflünün. un yeni s rlm diyelim. 6) fiimdi kurbndn hngi kâ d seçti ini thmin edip bu kâ d çevirmesini isteyin. iyelim ki kurbn yeni s rlmy göre i inci pozisyondki kâ d seçti. 7) E er kâ d n üstündeki de er i ise, kurbn do ru seçim ypt için tebrik edin. E er kâ d n üstündeki bflk bir j de eri ise, ne j ne de i pozisyonund oln kln kâ d çevirin ve Sn r m bunu çevirmek istemifltin... deyip kurbn n z teselli edin... Her iki durumd d fllycklrd r. Mesel 3 pozisyonund s çevirirlerse, siz de ne 1 ne de 3 e denk gelen kâ d, yni ikinci pozisyondki kâ d çeviriyorsunuz. u sihirbzl birçok kez tekrrlybilirsiniz. Htt bzen ne kdr çok tekrrlrsn z izleyiciler o kdr flfl r yor! u Sihirbzl n S rr Nedir? Oyunun 3, 4 ve 5 inci flmlr olms, sihirbzl n s rr besbelli olml. 3, 4 ve 5 inci d mlrd türlü li engiz oyunlr yl kâ tlr kr flt r rm fl gibi yp p tekrr ikinci d m n sonundki durum getiriyoruz. unu ns l ypt m z ç klyl m. Kurbn n hiçbir de ifliklik ypmd n düflünelim bir n. Kâ tlr soldn s do ru pozisyonundlr. Üçüncü d md kâ tlr elimize ld m zd kâ tlr üstten fl do ru biçiminde s rln yorlr. ördüncü d md üstten 10, 13 vey 16 kâ t lt koyuyoruz ve sl nd üstten tek bir kâ t lt koyuyoruz, ki bu d en üstteki kâ d en lt koymk demektir. emek ki kâ tlr flu nd pozisyonundlr. unlr msy koydu umuzd, kâ tlr n s rlmlr biçiminde olur. emek ki kâ tlr soldn s de il de s dn sol (yeni s rlmyl) okursk kâ t s rlms nd bir de ifliklik olmd n görürüz. u dönüflümleri dizilimi yerine bflk bir dizilime uygulrsk, yn dizilimi s dn sol buluruz. * stnbul ilgi Üniversitesi Mtemtik ölümü ö rencisi. 104

77 Oyun Köflesi sl Nesin* / gbrum@hotmil.com M-2005-II.1. Msn n orts nd n tne tvl pulundn bir kule vr. ki oyuncu, s ryl, msdki kulerden birini diledi i gibi ikiye bölüp iki kule yp yor. lk kez hmle ypmyn, yni önünde birer tvl pullu kuleler buln kybediyor. u oyunu hngi oyuncu ve ns l oynrs kzn r? (n = 1 ise, birinci oyuncu hmle ypmd ndn ikinci oyuncu kzn r; n = 2 ise birinci oyuncu ilk hmlesinde kzn r.) M-2005-II.2. Msn n orts nd tvl pullr ndn yp lm fl iki kule vr. Kulelerde n ve m tne tvl pulu vr. ki oyuncu, s ryl, msdki kulerden birini diledi i gibi ikiye bölüp iki kule yp yor. lk kez hmle ypmyn, yni önünde birer tvl pullu kuleler buln kzn yor. u oyunu hngi oyuncu ve ns l oynrs kzn r? M-2005-II.3. Msn n orts nd tvl pullr ndn oluflmufl k tne kule vr. u kuleler n 1, n 2,..., n k tne tvl pulundn oluflmufl. ki oyuncu, s - ryl, msdki kulerden birini diledi i gibi ikiye bölüp iki kule yp yor. lk kez hmle ypmyn, yni önünde birer tvl pullu kuleler buln kybediyor. u oyunu hngi oyuncu ve ns l oynrs kzn r? M-2005-II.4. Yukrdki oyunlr n negtiflerini kim kzn r? (Yni ilk hmle ypmyn n kznd oyunlr kim ns l oynyrk kzn r?) GEÇEN SYININ YNITLRI M-2005-I.1. Tek bfl n oynnn öyle bir zr tm oyunu bulun ki kznm ols l n z 1/5 olsun. Yn t: 1 gelirse tekrr tmk kofluluyl zr t n. 6 gelirse kendinizi kznm fl sy n, 2, 3, 4, 5 gelirse kybedin! * stnbul ilgi Üniversitesi Mtemtik ölümü ö rencisi. M-2005-II.6. eyzlr üç hmlede mt ederler. Ns l? b c d e f g h M-2005-I.5.bis. Geçen sy m zd dizgiden kynklnn bir ht sonucu digrm ynl fl verilmiflti. Özür dileyip 8 düzeltiyoruz. 7 Yndki pozisyond s r siyh- 6 5 lrdys, beyzlr siyhlr n d 4 yrd m yl iki 3 hmlede mt 2 ederler. S r beyzlrdys, 1 si- b c d e f g h yhlr beyzlr n d yrd m yl iki hmlede mt ederler. Ns l? M-2005-I.2. Tek bfl n oynnn öyle bir zr tm oyunu bulun ki kznm ols l n z 1/7 olsun. Yn t: ki zr t n. 1-1 gibi belli bir çiftin gelme ols l 1/36 d r. m 1-2 gibi çift olmyn bir zr n gelme ols l 1/18 dir. E er 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4 d fl nd bir zr gelirse zrlr tekrr t n. 1-2 gelirse kendinizi kznm fl sy n. 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3 y d 2-4 gelirse kybetmifl olun. M-2005-I.3. Üç kifliye flu oyun oynt l yor. Her biri rengini bilmedi i siyh y d beyz bir flpk giyiyor. fipklr n siyh y d beyz olm ols - l klr eflit. Herkes di erinin flpks n görüyor m kendi flpks n görmüyor. Üçü yn nd y ps geçiyorlr y d flpklr n n rengini thmin ediyorlr. E er üçünden hiçbiri yn lmzs ve en z biri do ru yn t verirse, o zmn herbirine büyük bir ödül verilecek. u üç kiflinin strtejisi ne olml d r? 105

78 Yn t: fipk d l m,, S, S, S, SS, SS, SS y d SSS olbilir. ( = eyz, S = Siyh). Her bir d l m n ols l eflit oldu undn, flpklr n n üçünün de yn renk olm ols l 2/8 = 1/4 tür. oly s yl flpklr n iki de iflik renkte olm ols l 3/4 tür. i erlerinde yn renk iki flpk gören kendi flpks n di er renk olrk thmin etsin, krfl s nd bir siyh bir beyz flpk gören thminden kç n p ps geçsin. u durumd 3/4 ols l kl oyun kzn l r. M-2005-I.4. n kifliye flu oyun oynt l yor. Her biri rengini bilmedi i siyh y d beyz bir flpk giyiyor. fipklr n siyh y d beyz olm ols l klr eflit. Herkes di erlerinin flpklr n görüyor m kendi flpks n görmüyor. u kifliler s ryl teker teker y ps geçiyorlr y d flpklr n n rengini thmin ediyorlr. E er en z biri do ru yn t verirse ve kimse yn lmzs, o zmn herbirine büyük bir ödül verilecek. Strtejileri ne olml d r? Yn t. n kifli s ry dizilsinler. lk thminde bulunck oln en sond olsun. kinci thmin edecek kifli onun önünde vs. Önünde hiç beyz flpk görmeyen beyz thmininde bulunsun. Herkesin flpks siyh de ilse, yni en z bir beyz flpk vrs oyun kzn l r. ilenizin Mtemtik Köflesi: eyincik Hz rlyn ve Sunn: sl Nesin / gbrum@hotmil.com M-2005-II.1. mm Yumurt! li'nin horozu hmet'in bhçesine yumurtld. kisi de "Yumurt benim!" diye tutturuyor. Sizce hngisi hkl? M-2005-II.2. mm Hikâye. rif ey le efli Mehpre Hn m yz s c nd Gülhne rk nd yürüyüfle ç krlr. O meflhur ceviz c n n lt nd bir bnk otururlr. rif ey uyuklm modun geçer. Mehpre Hn m d kocs n n k rk nc evlilik y ldönümünde hediye etti- i yelpzeyle yellenme modun geçer. rif ey, yz Foto: Günnur Siphi s c n n d etkisiyle kâbuslr görme modun geçer. Kâbusund bfl kesilerek idm edilecektir. Tm o s rd Mehpre Hn m n yelpzesi ynl fll kl rif ey in boynun de er ve rif ey boynunun kesildi- ini snrk korkuy kp l p klpten ölüm modun geçer. u hikâyede sçm oln nedir? M-2005-II.3. Krn m Zil Çl yor! en, nnem ve bbm mngl yp yoruz. Üç bifte imiz vr. Mngl m z yn nd sdece iki biftek s yor. Her yüzü onr dkik olmk üzere her biftek toplm 20 dkikd pifliyor. bm, lk iki bifte i koyr m, yirmi dkik sonr üçüncü bifte i koyr m, biftekler 40 dkik sonr hz r olur diyor. m ben çok ç m. Üç biftek dh çbuk piflebilir mi? M-2005-II.4. Kutup y s. Çok bilinen bir bilmece vrd r: Güneye do ru 10 kilometre yürüyorsunuz. Sonr dönüp bt y do ru bir 10 kilometre dh yürüyorsunuz. Üstüne de üflenmeyip kuzeye do ru 10 kilometre dh yürüyorsunuz. ir de bkm fls - n z ki bflld n z yere geri dönmüflsünüz. Ord bir y görüyorsunuz. y n n rengi nedir? u bilmecenin çözümünü biliyorsunuzdur: y n n rengi beyzd r çünkü kuzey kutbundn bflly p güneye, bt y ve kuzeye onr kilometre yürürseniz gene kuzey kutbun gelirsiniz. nck bu sorunun çok z bilinen bir yn t dh vr. yn özellikleri tfl yn di er nokt(lr) nerededir? M-2005-II.5. enim Koc Gözlü Efle im! enim koc gözlü güzel bir efle im vr. yhn, ern 106

79 Yn t: fipk d l m,, S, S, S, SS, SS, SS y d SSS olbilir. ( = eyz, S = Siyh). Her bir d l m n ols l eflit oldu undn, flpklr n n üçünün de yn renk olm ols l 2/8 = 1/4 tür. oly s yl flpklr n iki de iflik renkte olm ols l 3/4 tür. i erlerinde yn renk iki flpk gören kendi flpks n di er renk olrk thmin etsin, krfl s nd bir siyh bir beyz flpk gören thminden kç n p ps geçsin. u durumd 3/4 ols l kl oyun kzn l r. M-2005-I.4. n kifliye flu oyun oynt l yor. Her biri rengini bilmedi i siyh y d beyz bir flpk giyiyor. fipklr n siyh y d beyz olm ols l klr eflit. Herkes di erlerinin flpklr n görüyor m kendi flpks n görmüyor. u kifliler s ryl teker teker y ps geçiyorlr y d flpklr n n rengini thmin ediyorlr. E er en z biri do ru yn t verirse ve kimse yn lmzs, o zmn herbirine büyük bir ödül verilecek. Strtejileri ne olml d r? Yn t. n kifli s ry dizilsinler. lk thminde bulunck oln en sond olsun. kinci thmin edecek kifli onun önünde vs. Önünde hiç beyz flpk görmeyen beyz thmininde bulunsun. Herkesin flpks siyh de ilse, yni en z bir beyz flpk vrs oyun kzn l r. ilenizin Mtemtik Köflesi: eyincik Hz rlyn ve Sunn: sl Nesin / gbrum@hotmil.com M-2005-II.1. mm Yumurt! li'nin horozu hmet'in bhçesine yumurtld. kisi de "Yumurt benim!" diye tutturuyor. Sizce hngisi hkl? M-2005-II.2. mm Hikâye. rif ey le efli Mehpre Hn m yz s c nd Gülhne rk nd yürüyüfle ç krlr. O meflhur ceviz c n n lt nd bir bnk otururlr. rif ey uyuklm modun geçer. Mehpre Hn m d kocs n n k rk nc evlilik y ldönümünde hediye etti- i yelpzeyle yellenme modun geçer. rif ey, yz Foto: Günnur Siphi s c n n d etkisiyle kâbuslr görme modun geçer. Kâbusund bfl kesilerek idm edilecektir. Tm o s rd Mehpre Hn m n yelpzesi ynl fll kl rif ey in boynun de er ve rif ey boynunun kesildi- ini snrk korkuy kp l p klpten ölüm modun geçer. u hikâyede sçm oln nedir? M-2005-II.3. Krn m Zil Çl yor! en, nnem ve bbm mngl yp yoruz. Üç bifte imiz vr. Mngl m z yn nd sdece iki biftek s yor. Her yüzü onr dkik olmk üzere her biftek toplm 20 dkikd pifliyor. bm, lk iki bifte i koyr m, yirmi dkik sonr üçüncü bifte i koyr m, biftekler 40 dkik sonr hz r olur diyor. m ben çok ç m. Üç biftek dh çbuk piflebilir mi? M-2005-II.4. Kutup y s. Çok bilinen bir bilmece vrd r: Güneye do ru 10 kilometre yürüyorsunuz. Sonr dönüp bt y do ru bir 10 kilometre dh yürüyorsunuz. Üstüne de üflenmeyip kuzeye do ru 10 kilometre dh yürüyorsunuz. ir de bkm fls - n z ki bflld n z yere geri dönmüflsünüz. Ord bir y görüyorsunuz. y n n rengi nedir? u bilmecenin çözümünü biliyorsunuzdur: y n n rengi beyzd r çünkü kuzey kutbundn bflly p güneye, bt y ve kuzeye onr kilometre yürürseniz gene kuzey kutbun gelirsiniz. nck bu sorunun çok z bilinen bir yn t dh vr. yn özellikleri tfl yn di er nokt(lr) nerededir? M-2005-II.5. enim Koc Gözlü Efle im! enim koc gözlü güzel bir efle im vr. yhn, ern 106

80 ve em d nd üç rkdfl m, efle- imin rengini bilmeye çl fl yor. yhn, ence siyh olmz diyor. ern, Y khverengi y d gri olbilir nck diye krfl ç k - yor. em ise Kesinlikle khverengi olms lz m diye kestirip t yor. en de onlr En z biriniz hkl, m en z biriniz yn l yor diye cevp veriyorum. Güzel efle imin rengi nedir? GEÇEN SYININ YNITLRI M-2005-I.1. Yumurt Oly. dm n biri her biri 2 YTL den bir düzine yumurt st n l yor. dm n st n ld yumurt sy s n bulun. Yn t: dm bir düzine yumurt ld ys oniki tne yumurt st n lm flt r tbii ki! M-2005-I.2. o umgünü psts nd 9 mum vr. Üçü söndü. Kç mum kld? Yn t: okuz mumdn üçü sönerse bile o mumlr pstd durur! Yni gene dokuz tne mum kl r. M-2005-I.3. Teyzemin Kedileri Oly. Teyzemin bissürü kedisi vr. Kç kedisi oldu u soruldu und hep flu yn t verir: Kedilerimin sy s n n beflte dördü, rt bir kedinin beflte dördü kdr kedim vr. yfle teyzenin kç kedisi vr? Yn t: Teyzemin ship oldu u kedi sy s n x dersek e er, 4x/5 + 4/5 = x eflitli ini yzbiliriz. undn 1/5x = 4/5 ç kr. oly s yl teyzemin dört kedi oly vrd r. M-2005-I.4. Nerde Oturuyom? 11 evi oln bir sokkt oturuyorum. Sok n krfl s nd rmk vr. Irm bk p d s mdki ev sy s yl solumdki ev sy s n çrpt m zmn, sol komflumun yn ifllemi ypt nd elde etti i sy dn befl fzls n elde ediyorum. izim sokkt soldn kç nc evde oturuyorum? o ru Yn tlr hmet Ökkol: I, II, III, IV, V, VI. li Klkn: I, II. lper Çy: III, IV. till Snsr: I. II, III, V, VI. yd n olt: I, II, III, IV, VI. Erdo n fien: I, II, III, IV, V. Gmze flbir: I, II, III, V. inzr_85: I, II, III, IV, V. Medeni rsln: I, II, III, IV, VI. Mustf tkl : IV, V, VI. Mustf Öz: I, II, III, IV, VI. Nury olt: VI, Osmn rfl n: I, II. Özkn Gökdere: Yn t: Solumdki ev sy s n x, s mdki ev sy s n y diyelim. izim sokkt toplm onbir ev vrs, s mdki ve solumdkileri syrken kendi evimi symd m göre, x ve y nin toplm 10 dur. fiimdi, s mdki ev sy s yl solumdki ev sy s n n çrp m xy dir. Sol komflum yn ifllemi yprs (x 1)(y + 1) çrp m n elde eder. Elde etti im sonuç onunkinden befl fzl. oly s yl xy = (x 1)(y + 1) + 5 eflitli i geçerlidir. S dki çrp m ç p xy leri bsitlefltirirsek, y = x + 4 eflitli ini buluruz. m y nin de erini x + y = 10 denkleminin içine yerlefltirirsek x = 3 buluruz. Solumd üç ev vr, yni ben soldn dördüncü evde oturuyorum. M-2005-I.5. Ne iliim en! E er 6 erkek ö renci 6 hftd 6 defter dolduruyors ve 4 k z ö renci 4 hftd 4 defter dolduruyors, 12 k z ve 12 erkek ö rencisi oln bir s n f 12 hftd kç defter doldurur? Yn t: lt erkek 6 hftd 6 defter dolduruyors, 12 erkek yn sürede (yni 6 hftd) 12 defter doldurur. oly s yl 12 erkek 12 hftd bunun iki kt kdr, yni 24 defter doldurur. yn mnt kl, e er 4 k z 4 hftd 4 defter dolduruyors, 12 k z 4 hftd 12 defter doldurur. oly s yl 12 k z 12 hftd 36 defter doldurur. 12 k z ve 12 erkekten olufln bir s n f n doldurdu u defter sy s n bulmk için bu iki sy y toplmm z yeterli: 60 defter doldururlrm fl! Mflllh! M-2005-I.6. Kesmeden Yr m Tvuk. ir dm tvukçuy girer ve u tvuklr n yr s n ve bir de yr c yr m tvuk istiyorum der. kinci ve üçüncü müflteri de yn fleyi söylerler. Sonuçt tvukçud hiç tvuk klmz ve tvukçu müflterilerinin isteklerini tvuk kesmeden yerine getirir. fllng çt tvukçud kç tvuk vrd? Yn t: 7. yn fley üç yerine n müflteriyle tekrrlns ne olurdu? I, II, III, IV, V. sykucuk: I, II, III, IV, V. fienol Günefl: II, V. Yusuf ve Tceddin Yuce: I, II, III, IV, VI. Lütfen bu köfleye mtemtik e itimi lm fl olnlr yn t yollms nlr! nsf! üyükler de küçüklere yrd m etmesin! Yn tl birlikte kendiniz hkk nd bilgi de yollmn z ric ediyoruz. Son yn t trihi: 30 Ks m 2005 tir. 107

81 Yy n ünys nn Okur ki ki h ört Eder mi? Yzn: idier Nordon Çeviren:. eniz ltunbfl Güncel Yy nc l k, ç k ilim dizisi 14 ISN syf Kitb n rk kp ndki iddil tn t m yz - s ndn: idier Norton un [Nordon olml ] elinizdeki kitb, mtemti in dh ziyde tüketicisi oln biz s rdn ölümlülerin mtemtik ö renimini sorguluyor. unu kendi hkiktini bize trt flm götürmez gerçekler gibi sunn mtemtik dünys n n krnl k formüller, tuhf semboller ve uzun denklemler rd n gizlenen kpl dünys n n kp lr n sonun kdr çrk yp yor. Yzr, mtemtikçilerin so uk ve kendinden emin mskelerini düflürüp rks ndki endifleye, insn bkrk, mtemti e dir kesin bir innç gibi benimsedi imiz bütün fikirleri yerle bir ediyor. Kitb okudu umuzd, kendimize flu sorulr soruyoruz: ki iki dh dört eder mi? Etse ne olur etmese ne olur? yi ki bu tn t m yz s vr, yoks kitb n ne üzerine oldu unu nlymzd m. m bu tn t m yz s d kitb do ru tn tm - yor. Öte yndn kitb do ru tn tn bir tn t m yz s n n d mümkün oldu unu snm yorum. Kitp, mtemtik etrf nd birbirinden b ms z birçok konuy el t yor: Mtemtik ve dil, mtemtik ve gerçek, mtemtikçi bk fl ç s vs. Yzr hkk nd hiçbir bilgi yok kitpt. Mtemtikçi mi, düflünür mü, s rdn bir vtndfl m? cb yy nevinin editörü, yzr n kimli inin müflteri için önemli olmd n m düflünüyor? Hemen giriflten birkç st r sunl m (syf 9): Mtemtik sonsuz dllr oln bir bilimdir, doly - s yl mtemtikçilerin izleyece i yollr d sonsuzdur. u durumd d mtemti in tek bir görünümü oldu u sv geçersiz olmktd r. Sürekli yn yöne yol lrk gerçe e ulflmk yerine de iflik ptiklr spmk, yeni bir perspektif kzn p, flfl rt c yönlere gitmek gerekir. u st rlr nlm veremedim. ir def tn mlr verilmemifl: Mtemti in dllr ne demektir? Mtemti in görünümü ne demektir, ve nerden görünümü? Mtemti in tek bir görünümü oldu unu kim svlm flt r ki yzr krfl ç k yor? Mtemti in sonsuz tne yolu olms neden mtemti in tek bir görünümü olmd n gösterir? Örne in pljdki kumlr nerdeyse sonsuz tnedir m plj n belli bir mesfeden tek bir görünümü vrd r. Sonsuz oln bir fleyin tek bir görünümü olmz m? Neden sürekli yn yöne yol lrk gerçe e ulflmk yerine de iflik ptiklr spmk, yeni bir perspektif kzn p, flfl rt c yönlere gitmek gerekir? Kitpt, felsefenin, sosyolojinin ve trihin yöntemlerini kr flt rm fl yzr, öyle söylüyor, çünkü, l nt l yorum, kr fl m iyi bir metottur; çünkü sl en iyi yolun kendisi oldu unu söylemez. ir nlms z tümce dh! Her yöntem bir mc yöneliktir. Önce mç, sonr mc eriflmek için yöntem belirlenir. Yöntemin iyili i mc ne kdr ulfl ld n göre krr verilir. ir yöntem sl, sl en iyi yolun kendisi oldu unu söylemedi i idier Nordon için iyi bir yöntem olmz. yr c bir yöntem konuflmz ve böyle bir fley de söyleyemez. unu söylese söylese yöntemi uygulyn söyler ve hiçbir yöntem de kendi hkk nd böyle bir fley söyletmez! m nlm veremedi im bu prgrflr yzr m yoks çevirmene mi it bilmiyorum. Çünkü çevirmen teoriyle teorem rs ndki yr m kvrymyck kdr bilimden ve mtemtikten bihber. ki örnek vereyim. Örnek (syf 24): Mtemtikçi için bir kürenin çevresindeki çember bir do ru olrk kbul edilebilir. Çünkü bir küre üstünde iki noktdn sdece 108

82 bir çember geçer. Ve küre üstündeki iki nokt rs ndki en k s yol bir yyd r. Kürenin çevresi olmz, yüzeyi olur. Küre üstündeki iki noktdn sdece bir çember geçmez, sonsuz tne geçer; nck krfl t olmyn iki noktdn, merkezi kürenin merkezi oln sdece bir tek çember geçer. Küre üstündeki iki nokt rs ndki en k s yol herhngi bir yy de il, bu iki noktdn geçen en büyük çemberin bir yy d r. elli ki çevirmen kendisine uzun ve nlfl lmz gelen tümceyi bsitlefltirmeye çl flm fl. (u konuy M-2004-III syf de uzun uzun de inmifltik.) Örnek (syf 25): Krmfl k sy lr için verilen bir örnek vrd r. Kf kr flt r c oldu u kdr d ilginç bir örnektir bu. unlr negtif sy lrd r. u sy lr günümüz mtemtikçileri krmfl k sy lr diye dlnd rmktd rlr. Mtemtikçi idier Nordon un krmfl k sy lr n negtif sy olduklr n innd n snm yorum. Çevirmen glib ord uzun sy lbilecek ve nlmd bir prgrf k - sltm fl! Ne olck ki! o ru çevrilmifl, kötü çevrilmifl kimin umurund ki! enim umurumd! (Krmfl k sy lr konusun d bu sy d de indik, bkz. syf ) Sonuç olrk bu kitb herkese öneririz. Hiç olmzs insn düflünmeye itiyor, htt thrik ediyor. S f r, Tehlikeli ir üflüncenin Yflmöyküsü Yzn: hrles Seife Çevirenler: Nur Küçük ve Ysemin Çevik Evrim, ilim izisi: 26 ISN syf ilime ve mtemti e merkl bir gzeteciden s f r ve trihi hkk nd bir kitp. S f r bz düflünürler trf ndn insno lunun en önemli soyutlmlr ndn biri olrk kbul edilir; ne de ols yoklu un, hiçli- in niceli idir, oln de il, olmyn niteler. Kimi de bu sy y gizemli bulur. S f r kvrm n odklnn ve felseden trihe, mtemtikten fizi e uznn de- erli bir kitp. Mtemtikçi olsun olms n herkese önerilir. Mtemti in Trihi Yzn: Richrd Mnkiewicz, 2000 Çeviren: Gökçen Ezber Güncel Yy nc l k, ç k ilim izisi: 11, 2002 ISN syf d üstünde, mtemtik trihi üzerine. Kpsml sy lbilecek bir çl flm. Çeviri bu sefer pek fen de il m (sn r m) çeviride mtemtiksel ynl fllr belirmifl (syf 226): ntor 1895 y l nd tmmen yeni bir sy gelifltirme ifline koyuldu: trnsfinit krdineller. Sy lbilir sonsuzluklr `0 semboli ile gösterir. irinci sy lmz dizinin semboli `1 olrk verilir. h sonr, sonsuz trnsfinit sy lr gelir ve her biri bir önceki diziyle tmmln r. ntor yn zmnd, `1 dizisinin, reel sy lr eflde er oldu unu belirtmifltir. u, Sürem Hipotezi olrk dlnd r l r ve günümüzde hâlâ çözülememifltir. Reel yni gerçel sy lr n `1 e eflde er oldu unu ntor gösterememifltir elbet, gösteremezdi de. u sorunun günümüzde hâlâ çözülemedi i (ÖSS sorusu de il ki bu çözülsün! urd çözülmekten ziyde yn tlnmk sözkonusu olml ) de do ru de ildir. Soru yn tlnm flt r. h do rusu sorunun olumlu y d olumsuz yn tlnmyc 1960 lrd ul J. ohen trf ndn (Kurt Gödel in de ktk s yl) nlfl lm flt r. Yni bu soru kulln ln kümeler kurm n n ksiyomlr ndn b ms zd r. Yukrdki l nt dn nlfl lc üzere, mtemtik sözkonusu oldu und, çeviride mtemtikçilerin bile pek l fl k olmd klr bir dil kulln lm fl. ir bilene dn fl lms yrrl olurdu. Ünlü mtemtikçi ve popüler mtemtik yzr In Stewrt önsözünü flöyle bitirmifl: u kitb gençlik y llr md okumufl olmy çok isterdim. Fkt bflt d söyledi im gibi bu kitp herkes için yz ld. ir yetiflkin olmk, bu kitpt nlt lnlrdn etkilenmenizi engellemeyecek. irz gerçek bir kültür edinmenin zmn geldi. Evet! Gerçek kültür için iflini ciddiye ln yy - nevlerine ihtiyc m z vr. Kitp yy mlmk yetmez, yy mlnn kitb n okunup nlfl lms ve olbildi ince z ynl fl içermesi gerekir. 109

83 enim iflim bofl çuvl dik tutmk... Selhttin umn ütün ort ö renimini hvuz problemlerini türetenlere... beddu etmekle geçiren biri olrk bir gün bir Mtemtik ergisi ne yz yzc m kl m n ucundn geçmezdi... urumdn vzife ç krmk li Nesin in kl n gelmifl... Knklr ndn Mutlu Tönbekici ye elçilik görevi vermifl... O d tebligt n ypt... Önce gururum okflnm fl gibi geldi bn... Hiç tkmd ndn emin oldu um için ismini profesör unvn n kullnmdn yzd m li Nesin hrik ifller ypn bir insn... Uzktn tn fl r z... Hni insnlr rs nd ifle yrd söylenen syçs z, kblosuz bir elektrik l flverifli vrd r y! Tn d - mdn beri böyle bir fleyi ben de hissederim... *** yi bir insn oldu unu güdülerimle bilirim... Nitekim son entel dntel sld r s yn lmd m gösterdi... Ort zekâl lr cenneti oln yurdumun insn her s rd fl ve bflr l insn ypt gibi eninde sonund on d gelip bulflckt... Öyle oldu... R TUR YfiIM... li Nesin hem ypt iflleri göreyim hem de ns l bir dergiye yz yzc m bileyim fikrinden gidip ç krd Mtemtik ünys dergisinin birkç sy s n d göndermifl... Otuzüç sene meslekte her türden dergi görmüflüz... Her türlü temtik dergiyi ypm fl z... li Nesin in yolld klr elime geçince bir yfl m dh girmifl oldum... lk floku tltt ktn sonr nld m ki Çrfl dn gelin ld m, bely st n ld m... hllerindeyim... ergilerin ors n çevir, burs n çevir... enim fukr kl m n nlmy güç yetirece i bir tne konu yok... irkç trihi oly örnek olrk içine ln mesel vr... O d gelip bir mtemtik problemine dynd ndn kl m z yine dü üm oluyor... *** Hni k rk silhflor Yhudi, Roml lr dn kç p bir m ry s n yorlr... fllr ndki Flvius Josephus intihr öneriyor... un göre k rkbir kifli bir dire fleklinde dizilecekler... Her üç kifliden biri kendini öldürene kdr ölüm direnin etrf nd dönecek... Sonund kendini öyle yerlefltirmifl ki herkes ölmüfl, bir o kurtulmufl... u meseldeki Flvius Josephus ben oldum... h ikinci turd ftihy hk ettik... U fi EN fir Mtemtik ünys dergisini görene kdr kendimi bu ifle çok ytk n sn rd m... Htt bir r kendimin mtemtik dehs oldu un vehmetmifl, sonumun d flizofreni olc - n düflünüp pni e kp lm flt m... Ünlü flizofren mtemtikçi John Forbest Nsh n k l Oyunlr kitb n ht rlrs n z... Türkçe bsk s ç kr ç kmz l p bir solukt okumufltum... Kitb n bir yerinde rinceton Üniversitesi ne kbul edilen Nsh n krfl lflt bir mtemtik problemi vrd... fiimdi tm ht rlm yorum... Glib k rk kilometre uzkl ktki iki yr noktdn birer bisikletli krfl l kl yol ç k yor... Tekerlerinin çp flu... Yol flu... irinin bisikletine konn bir sinek iki teker birbirine de di inde hngi menzilde rd kl r? Ns l ypt m bilmiyorum... Kendimce bir hesp tutturdum ve cevp olrk bir rkm buldum... efl on syf sonr bkt m ki o soruyu Nsh d sormufllr, hiç düflünmeden benim buldu um cevb n yn s n vermifl... *** enim pnik olmm, kendi kendime Nsh bir dhiydi, sonu flizofreni oldu... u problemi çbuck çözmemden belli ki ben de bir dhiyim... enim sonum d flizofreni... vehimlerine düflmem bundnd r... Üç befl gün bunun melnkolisi ile gezindim... Sonund her sersem gibi oln biteni unutup neflemi yeniden ykld m... efl lt y sonr kitb yeniden çt m... O problemi bulup yeniden çözmeye çl flt m

84 enim ilk hesplmmdki bflr l sonuc bkrsn z durumum Kudretinden verdi bl... hnesi oldu r... fleklindeydi... Ne vr ki ikinci denemem fiysko oldu... Günlerce kf yormm r men sonuç her seferinde bflk ç k yordu... emek ki gerçek durum lhi tüfek, tt n tfl bk, tuttu un kufl bk... cümlesine uygundu... YETENEK SIFIR... Mtemtik bilimi ile u rflmn n insnlrd frk yrtt n bilenlerdenim... Nereden biliyorsun, diye sormy n... Köylünün gözlüklü dm bk p d u benden frkl diye düflünmesi ve onun miktr n kestiremedi i bilgisine syg duyms gibi birfley... Lisedeyken hyrn oldu um bir cebir geometri hocm z vrd... brhim ey... nck hem okuld hem de flehirdeki lkb ben idi... brhim n n dh d k slt lm fl... Müthifl bir dmd... Hiç görmedi i bir ö renciyi thty kld rd nd tebeflir tutuflundn hngi ilçeden geldi ini bilirdi... ir konu nltt nd kimsenin klemle oynms n bile izin vermezdi... ütün s n f elindekileri b rk p rks n yslt r, kendisine konsntre olmlr n s lrd... Ondn sonr meseleyi nlt rd... nlmd m, diyen ç krs bir dh... ize r gelen lise cebirini ve geometrisini bile ö renebiliyorduk... ki notu vrd... ört kl r, befl geçer... Yz l - y filn d itibr etmezdi... Her dönem sdece bir kez derse kld r r... Thtd verdi in cevptn bflk hline tvr n bkr, notunu düflerdi... *** Herkese d yl hitp ederdi... d n n bfl n y vey yn s ft n koydu mu ynd n... E er hmet e y hmet diye hitp etmiflse o çocuk bilirdi ki ikmle kl yor... Tek istisns ben oldum... eni bir gün thty kld rd ve bir geometri teoremi sordu... O dersi nltt nd okuldn k rm flt m... Ns l nltt n bilmiyordum... Lkin hiç bilmedi im ve flimdi ht rlmd m flekilde o teoremi çözdüm... edim y! Kf rd s rd Nsh ile rekbet edecek k v lc mlr çk yor... nck hemen eski hline geldi inden ifle yrm yor... ben hyret etti... O gün benim okuybilecek m sl dm olmyck bir potnsiyele ship oldu umu d ilân ettikten sonr kurl n bozdu... n hep y Selhttin diye hitp etti ve hiç s n ft b rkmd... EN Y SYGI ben n n üç çocu u vrd... Yüzbfl oln n elinden bir srhoflluk n nd kz ç kt ve cinyetten hpse düflüp üç çocu unu bbs n b rkt... Mühendis oln o lu ise intihr etti inde iki çocuk b rkm flt... Ö retmen mfl ndn bflk bir geliri olmyn ben üzerine kln befl torununu hem büyüttü hem de hepsini nkr, stnbul gibi pr yutn flehirlerde üniversite okuttu... Mfl d fl nd tek geliri flehir kulübünde oynd briçten kznd yd... Herkes ol nüstü mtemtik yetene ini bildi- inden onu efl olrk isterdi... Kurl bsitti... Küçük prlrl oynnn briçte kzn ln py edilirdi... Kybedilmesi hlinde zrr tek bfl n ben- n n ort krfl lrd... t ln on üç kâ d sl renklerine ve sy - sl de erlerine göre dizmedi i nlt l rd... Sebebi de di er oyunculr n elini görme ihtimli... ben elinde bir vuç fleker gibi tuttu u kâ - d n hkk n mükemmel veren bir kfy shipti ve üzerine kln befl çocu un hyt n bu kf kurtrm flt... *** Mtemtik bilmek frk yrt r... demem bundnd r... Yoks bu derginin seçkin okurlr ile yn kfy ship oldu um iddis ndn de il... iliyorum li Nesin dergiyi rd s rd bn gösterecek, ben de flöyle bir kr flt r p kenr b rkc m... eni itirf etti im kf yetmezli im... yüzünden hofl görece inize innrk bu itirf yp yorum... Sevindi im ise böyle yüksek profilli bir derginin çok sy d okuru olms, on tutkuyl b l bulunms... öyle k llr ship bir toplumun içinde yfld m z bilmek beni mutlu ediyor... T pk Süleymn ey in eni seçerseniz o z Köprüsü nden geçiflleri yr fiyt n indirece- im... demesi üzerine oyunu coflkuyl on veren, hiç deniz görmemifl d ymn köylüleri gibi

85 F st k Ezmesi Konik Yzr: iref. H. Ökkefl ilimde, bilimsel rflt rm önemlidir elbette, önemli olmz olur mu, m bu rflt rmlr n yz lms ve yy mlnms sl dh z önemli de ildir. Lkin ifl yzmy gelince, ifller srp srbilir. Mesel bir rkdfl m rflt rms n yp p her rflt rmc gibi mklesini yzmy koyulmuflken, ve htt yolu yr lm flken, o güne dek bilim cmis nd kulln lgelmifl tüm bilimsel simgeleri mklesinde tüketti inin frk n vr p kut simge k tl yflm flt r. Koridorlrd tuhf sesler ç krrk uzun süre dolflms n ve tüm di er çblr n krfl n sorunun çre bulmm fl ve mklesini o gün bu gün bitirememifltir. Çok kifliyle yp ln rflt rmlr n yz lms nd bmbflk sorunlr orty ç kbilir. Yy nd kimlerin ve kç kiflinin d görünecektir? Kim yzck, kim çizecektir? Ve en önemlisi, mklede kimlerin dlr ve bu dlr hngi s - ryl yer lckt r? Herhlde pntolon bedenine göre de il! Yfl bfl göre olbilir. Unvn y d ktk y göre de olbilir. Mtemtikçiler iflin koly n bulmufllr: Mtemtiksel mklelerde dlr lfbetik s ryl yer l r. m di er birçok bilim dl nd yzrlr n s rlnms önemli ve nlml d r. z konulrd, örne in strofizik vey t pt, rflt rmlr düny çp nd yüzlerce rflt rmc yl gerçeklefltirilebilir nck. NS n n bir rflt rms nd rol oynyn rflt rmc sy s n gözünüzde cnlnd rmy çl fl n... Y d TÜ TK n... u tür mkleler için isim klbl kç n lmzd r. rflt rmy bir rflt rm görevlisi yprs, do ld r ki, rflt rtm görevlisi oln dn flmn n d yy n ktr, ki kimi zmn dn flmn konuyu bilmez, htt ö rencisini bile tn mz! Ndir de ols dn flmn n yn nd hoc, müdür, bflkn ve (ne demekse) koordintörlerin de isimleri mklelerde belirebilir. u tür fuzuli isim enflsyonunu engellemek mc yl bz ciddi bilim dergileri 10 dn fzl ismin yer ld mkleleri kbul etmezler. Snki yzrlr shy ç k p futbol oynycklr! z mklelerde, örne in, rflt rm s rs nd ofise tesdüfen u rm fl hoclr n, lbortuvr kzr girmifl yöneticilerin, rzide rstgele dolfln müdürlerin vey gemi güvertesine öylesine ykbsm fl bflknlr n d dlr yer l r. Neyse ki, bu tip rflt rmc lr n isimleri genellikle son s rd olur. unlr niye yz yorsun bre dm, lf dolflt - r p nereye ulflmy çl fl yorsun bu bunlt c pst rm yz nd... diye vz vz m r ldnn ziz okurlr m duyr gibiyim. ç klyy m: Lf dönüp dolflt r p beni çok derinden etkileyen iki syfl k bir mkleye getirmek istiyorum. Mkle 1993 te, eski d Journl of Irreproducible Results (Tekrrlnmz Sonuçlr ergisi), yeni d nnls of Improbble Reserch (Mümkünts z rflt rmlr Vkyinmesi) oln hv-c v bilim dergisinde yy mlnd. d F st k Ezmesinin üny Rotsyonun Etkileri (The Effects of enut utter on the Rottion of the Erth). Merk eden okurlr m, Mrc brhms n The est of nnls of Improbble Reserch (Freemn 1978) dl kitb n n 79 ve 80 inci syfs n bkbilirler. u müthifl mklede, istisns z tümü doktorl yüzden fzl gerçek bilimcinin gerçek d yer lmktyd. Heyht! ki syfl k eser, yzr dlr n symzsk, tek st rdn oluflmktyd. sl nd her mkle e er st r yeterince uzuns tek st rdn oluflbilir m bu mkle mkul uzunlukt bir st r s yordu: fiu n dek gözlemledi imiz kdr yl, f st k ezmesinin dünyn n rotsyonun bir etkisi yoktur. Yüre ime su serpildi! 112