NİLPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR Semigroups Geerated By Nilpotet Trasformatio 1 Esra ÖNDER Matemati Aabilim Dalı Goca AYIK Matemati Aabilim Dalı ÖZET Bu çalışmada PT i ilpotetleri tarafıda doğurula PT i alt yarıgrubu araştırara yapıla çalışmaları bir araya topladı. Buu içi ii durumu göz öüde buluduralım: te veya çift. Eğer çift ise L olması içi gere ve yeter oşul ı sıfırda farlı gap a sahip olmasıdır. Eğer te, PT ise L olması içi gere ve yeter oşul gap 0 veya im 2 veya imajıdai elema sayısı 1 ola bir çift döüşüm olmasıdır. Aahtar Kelimeler: Kısmi döüşüm yarıgrubu, ilpotet döüşüm. ABSTRACT I this study, we ivestigate ad collect the study about subsemigroup of PT which is geerated by the ilpotets of PT. For this purpose we cosider two cases is eve or odd. If is eve the if ad oly if has o-zero gap. If is odd PT the L if ad oly if has o zero gap ad either im 2 or is a eve trasformatio with im 1 Key Words: Partial trasformatio semigroup, ilpotet trasformatio Giriş Döüşümler yarıgrubu ile ilgili çalışmalar so elli yılda olduça artmıştır. Bu zamaa adar yapıla çalışmalarda hem solu hem de sosuz bir üme üzeridei döüşümler yarıgrubu çeşitli çalışmalarda göz öüde buludurulmuştur. Solu bir üme üzeridei ısmi döüşümler yarıgrubuu ve elemalarıı özellileri so yıllarda olduça çalışıla bir oudur. Özellile ısmi döüşümler yarıgrubuu ilpotet elemaları ve bu elemaları sayısı haıda öemli çalışmalar bulumatadır.bu çalışmalara öre olara, [Ayı,Ayı,Howie,Ülü,2005], [Feraedes, 2002], [Gomes, Howie, 1987], [Howie, 1966], [Howie, 1995], [Howie, McFadde,1990], [Evseev A.E.,Podra N.E, 1970] * Yüse Lisas Tezi-MSc. Thesis L - 59 -
, [Evseev A.e.,Podra N.E, 1972], [Garba,G.U, 1994], [Sulliva R.P.,1975], [Sulliva R.P.,1975] maaleleri verebiliriz. Bu çalışmada ise geel amaç, solu bir üme üzeridei ısmi döüşüler yarıgruplarıda ilpotet elemalar ve ilpotet elemalar tarafıda doğurula alt yarıgruplar haıdai çalışmalar iceleere derleere bu ouda çalışa isaları yararlaabileceği bir aya oluşturmatır. Burada bahsedile termioloji Howie tarafıda 1995 yazıla Fudametals of semigroup theory adlı itapta alımıştır ve burada özellile Sulliva tarafıda yapıla çalışmalar derlemiştir.nilpotet döüşümler tarafıda tar doğurula alt yarıgruplar haıdai çalışmalarda ullaıla taımlar aşağıda verilmiştir. S, bir grupoid olsu. Eğer x, y, z S içi x, y, z x, y u, z ise S, iilisie bir yarıgrup deir. S, bir yarıgrup ise x, y, z S içi x, y yerie xy. veya xy ve; x, y, z x, yu, z yerie de x. y. z x. y. z veya x yz xy z yazılır. Bu durumda S, yerie S, veya S yazılır. S bir yarıgrup olsu. O zama x S içi yerie x1x 2 x yazılır. S bir yarıgrup olsu. Eğer s S içi z s z ise z S ye bir sol sıfır elema, s z z ise z S ye bir sağ sıfır elema deir. z S hem sağ sıfır elema hem de sol sıfır elema ise z ye sıfır elema deir. m S bir sıfır elemaa sahip bir yarıgrup olsu. s S elemaı içi s 0 m 1 ve s 0 olaca şeilde m pozitif tamsayısı varsa s S elemaıa ilpotet elema, m pozitif tamsayısıa s elemaıı idesi (veya ilpotetli derecesi) deir. - 60 - xxx Ayrıca x1, x2,, x S içi,, ta e x x x x x x x 1 2 i i1 i2 1 x yerie x yazılır.
Taım 1: Boşta farlı herhagi bir üme olma üzere ya üzeridei bir bağıtı deir. üzeridei tüm bağıtıları ümesii B ile gösterelim., B içi x, y : z, x, z, z, y Şelide taımlaa bileşe işlemi ile bağıtılar yarıgrubu deir ve B B B olma üzere ümesie u taım ümesi, ümesie u değer ümesi deir. Taım 2: i bir alt ümesi B bir yarıgrup olur. Bu yarıgruba tüm ile gösterilir. :,, dom x y x y :,, im y x x y B olsu Her x içi x 1 oşuluu sağlaya döüşümüe ısmi döüşüm deir. Tüm ısmı döüşümleri ümesi bileşe işlemi ile bir yarıgrup olup tüm ısmi döüşümler yarıgrubu deir ve solu ümesi içi tüm ısmi döüşümler yarıgrubu edilece olursa 1,2,..., dir. ise PT PT ile gösterilir. 1,2,..., 1 PT ile gösterilir. Diat - 61 -
Taım 3: PT içi im sayısıa ı osalığı (defect) dom sayısıa ı açılığı (gap) deir ve def im gap dom şelide yazılır. T PT ise T apalı olup her Diat edilirse olup her Z içi 0 0 T bulumaz. dir. Yai PT T PT i ilpotet elemaları Z içi T ve T de ilpotet elema ümesie aittir. Böylece PT ilpotet ise PT T olup ı osalığı ve açılığı sıfırda farlı yai dır. def im 0 gap dom 0 Taım 4: L ile i alt yarıgrubu gösterelim. Öcelile PT i tüm ilpotet elemaları tarafıda doğurula, solu ve çift sayı ise gap 0 PT olaca şeildei her PT i ilpotet elemaları bir çarpımı olara yazılabildiği yai bu elemaları L ye ait olduğuu gösterilmiştir. Buu gösterme içi bazı estra taımlamalara daha ihtiyacımız vardır.burada Sulliva tarafıda ilpotet doğuraylı yarıgruplar haıda bulua souçlar derlemiştir.. Taım 5: 1, 2,, 1 a a a hepsi farlı olma üzere dom a a a 1, 2,, ve a1 a2 a a a a 2 3 1-62 -
ise ya zicir dom a1, a2,, a ve, 1 2 a, a,, a hepsi farlı olma üzere ise ya a1 a2 a a2 a3 a1 devir deir ve zicir ve devir sırasıyla a a a ve a a a 1, 2,, 1-63 -,,, 1 2 şelide yazılır. Geelliği aybetmesizi bu otasyoları sırasıyla biçimide yazacağız. im dır. Taım 6: I ile 1,2,, 1 ve 1,2,, zicir ve devir i her iiside de diat edilirse üzeridei tüm birebir ısmi döüşümleri ümesii gösterelim. I olsu. Eğer aşağıdai üç tipte veya aşağıdai üç tiptei döüşümleri herhagi bir ayrı birleşimi ise ya bir çift döüşüm deir. 1. dom bir çift permütasyodur. 2., imajıdai elema sayısı çift ola bir zicirdir. 3., te permütasyo ile imajıda te sayıda elema bulua ziciri ayrı bir birleşimidir. Bu taımı amacı I dei boşta farlı idempotetleri çift permütasyo olara diate alacağıı vurgulamatır.. Lemma 1: im r 1 I bir çift permütasyo ise, olma üzere imajıdai elema sayısı r ola çift sayıda ziciri çarpımı olara yazılabilir. İspat: Yuarıdai souçta dolayı yalızca ı e az ii ayrı te deviri içerdiği durumu iceleme yeterli olacatır. pqz,, r 2 p, s 2q olma üzere abul edelim i
ii te devirii içeriyor olsu. a, a,, a ve b, b,, b 1 2 r 1 2 a1, a2,, ar a1, a2, a3 a1, a4, a5 a1, ar 1, ar a1, ar b, b,, b b, b b, b, b b, b, b b, b, b 1 2 s 1 2 1 3 4 1 5 6 1 s1 s olup çift devirler ve ii tae traspozisyo (yai 2 traspozisyo bir çift permütasyo olur.) ı çarpaları arasıda yer alır. Heriside 2 tae ziciri çarpımı olara yazılabiliyordur. Lemma 2: im r çift sayı olma üzere I bir zicir ise, imajıdai elema sayısı r ola tam ii ziciri çarpımı olara yazılabilir. İspat: im r 2 zicirii alalım., 2 olma üzere I 1,2,, rr, 1 1 2 3 r1 rˆ r, r 1, r 2,,3, 2,1, r 1 r 1 1 2 r 2 r 1 r 1 1ˆ 2 r 2 r 1 1,3,5,, r 1, r 1, 2, 4,, r 2, r 2 3 4 r r1 olara alıırsa elde edilir. Souç 1: im r 1 ola I bir çift döüşüm ise her birii imajıdai elema sayısı r ile ayı ola çift sayıda zicirleri çarpımı olara yazabiliriz. s - 64 -
1 2 r Eğer her bir 1, 2,, r ler ilpotet ve im 1 olma üzere ise 1, 2,, r I ve i 1,2,, r içi im 1 olup böylece herbir i zicir ve eğer te sayı ise im i çifttir. Lemma 3: im 1 olma üzere I olsu. ı çift döüşüm olması içi gere ve yeter oşul ı çift sayıda geişletilmiş 1-zicirleri çarpımı olara yazılabiliyor olmasıdır. Teorem 1: te ve PT olsu. L olması içi gere ve yeter oşul gap 0 ve ya im 2 veya imajıdai elema sayısı 1 ola bir çift döüşüm olmasıdır. İspat:Baıız: SULLIVAN R.P. (1987). Semigroups geerated by ilpotet trasformatio Öre: 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 1 5 4 7 8 9 1, 2,34,56,7,8,9 olara alıırsa imajıdai elema sayısı 9 1 ola bir çift döüşüm olup ilpotet döüşümleri çarpımı olara yazılabilir. Faat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 1 5 4 6 8 9 1, 2,34,5 (6) 7,8,9 olara alıırsa imajıdai elema sayısı 91ve bir çift döüşüm olmayıp, ilpotet döüşümleri çarpımı olara yazılamaz. i Kayalar AYIK, G., AYIK, H., HOWIE, J.M. ad ÜNLÜ, Y., 2005a. The Structure of Elemets i Fiite Full Trasformatio Semigroups. Bull. Aust. Math. Soc., 71: 69 74. - 65 -
AYIK, G., AYIK, H., HOWIE, J.M. ad ÜNLÜ, Y.,2005b. Ra Properties of the Semigroup of Sigular Trasformatios o a Fiite Set. Commuicatios i Algebra, 36: 2581 2587. EVSEEV A.E. ad PODRAN N.E. (1970). Semigroups of trasformatios geerated by idempotets with give projectio characteristics, Izv. Vyssh. Ucheb. Zaved. Math. 12 (103) 30-36. EVSEEV A.E. ad PODRAN N.E. (1972). Semigroups of trasformatios geerated by idempotets with give defect, Izv. Vyssh. Ucheb. Zaved. Math. 2 (117) 44-50. FERNANDES, V. H., (2002). Presetatios for some mooids of partial trasformatios o a fiite chai:a survey, Semigroups,Algorithms, Automata ad Laguages- Coimbra 2001, World Sci. Publ, 368-378. GARBA, G.U., 1994a. O the Nilpotet Ra of Partial Trasformatio Semigroups. Portugal.Math., 51(2):163-172. GARBA, G.U.,,1994b. O The Idempotet Ras of Certai Semigroups of Orderpreservig Trasformatios. Portugal.Math., 51(2):185 204. GOMES,G. M. S., AND HOWIE, J. M., (1987). O the ra of certai fiite semigroups of trasformatios, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 101 395-403. HOWIE, J.M., (1966). The subsemigroup geerated by the idempotets of a full trasformatio Semigroup, J. Lodo Math. Soc. 41, 707-716. HOWIE, J.M., (1995). Fudametals of semigroup theory. Lodo Mathematical Society Moographs. New Series, 12. Oxford Sciece Publicatios. The Claredo Press, Oxford Uiversity Press, New Yor, 351s. HOWIE, J.M., MCFADDEN, R.B., (1990). Idempotet ra i fiite full trasformatio semigroups, Proc. Royal Soc. Ediburgh A 114, 161-167. SULLIVAN R.P. (1975). Automorphisms of trasformatio semigroups, J. Austral. Math. Soc. Ser. 20, 77-84. SULLIVAN R.P. (1987). Semigroups geerated by ilpotet trasformatio, Joural of Algebra, 110, 324-343. - 66 -