YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA
ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından bilinmektedir. Biz de yeni sınav sistemine ve yeni müfredata uygun, güncel, farklı bir eserin hazırlanması gerektiğini düşündük. Bu sebeple kitabımızda benzer soruları tekrar edip soruları ezberletmek yerine farklı soru tiplerine yer vererek matematik ufkunuzun genişlemesini hedefledik. Hedefinize ulaşabilmeniz için de kitabımızı altı bölüme ayırdık. Çözümlü sorular ile sadece kolay soruların çözümünü değil yeni sınav sistemine uygun farklı tarzdaki birçok sorunun da çözümünü öğreneceksiniz. Şimdi sıra sizde ile öğrendiklerinizi pekiştirecek; Alıştırmalar bölümüyle görmediğiniz soru modeli kalmayacaktır. Kolay, Orta, Zor ile kendinize olan güveninizin kademeli olarak arttığını göreceksiniz. Sınav Merkezi Nasıl Sorar kısmıyla sınav stresinizi en aza indirip; Genel tekrar testleri ile artık bu iş tamamdır diyeceksiniz. Kitabı bitirdiğinizde YGS ve LYS'de sayılarla ilgili tüm soruları çözebilecek duruma geleceğinizi ümit ediyoruz. Unutmayın ki başarıya ancak sabır göstererek ve gayret ederek ulaşabilirsiniz. KOMİSYON "Hayat Matematikle Güzel"
İÇİNDEKİLER Temel Kavramlar...1 Tek - Çift Tam Sayılar ve Negatif - Pozitif Tam Sayılar... 1 Ardışık Sayılar... 19 Basamak Kavramı... 7 Asal Sayılar ve Faktöriyel Kavramı... 36 Bölme... 48 Bölünebilme... 5 Asal Çarpanlarına Ayırma... 66 OBEB - OKEK... 73 Öklid Algoritması... 86 Rasyonel ve Ondalıklı Sayılar... 88 Genel Tekrar 10 Test... 101
RAKAM Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar: (0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ÖRNEK 1 x ve y birer rakam olmak üzere 3x = 4y olduğuna göre x kaç farklı değer alabilir? 3x = 4y x = 0 için y = 0 x = 4 için y = 3 x = 8 için y = 6 O hâlde x üç farklı değer alabilir. ÖRNEK a ve b birbirinden farklı birer rakam olmak üzere a + b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerler toplamını bulunuz. En büyük (a + b) = 9 + 8 = 17 En küçük (a + b) = 0 + 1 = 1 O hâlde değerler toplamı; 17 + 1 = 18 bulunur. ÖRNEK 3 a, b, c sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere a + 5b 3c ifadesinin alabileceği en büyük değer (Bu tip sorularda katsayısı büyük olan bilinmeyenlerden çözüme başlanır) En büyük değer için a = 8 b = 9 c = 1 seçilirse :8 + 5:9 3:1 = 58 elde edilir. SAYI Rakamların belirli kurallara göre bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye sayı denir. 5, 0, 5 1, 3, 1 11, 10 7, r, e vb. ifadeleri birer sayıdır. SAYMA SAYILARI Sayma sayılar kümesi N + ile gösterilir. N + = $ 134,,,,... Sayma sayılar kümesinin en küçük elemanı 1 dir. Sayma sayılar kümesinin en büyük elemanı yoktur. Temel kavramlar sorularında cevabı hemen bulamayabilirsiniz. Bir kaç denemede doğru cevaba ulaşabilirsiniz. ÖRNEK 4 x ve y sayma sayılar olmak üzere x y = 7 olduğuna göre x in en küçük değeri x in en küçük değeri alması için y de en küçük değeri almalıdır. y = 1 için x 1 = 7 x = 8 ÖRNEK 5 x, y, z birbirinden farklı sayma sayılar olmak üzere 3x + y + 4z = 91 olduğuna göre z nin en büyük değerini bulunuz. z nin en büyük değeri alması için x ve y nin en küçük değerleri alması gerekir. x = 1 ve y = için 3:1 + : + 4:z = 91 4z = 84 z = 1 bulunur. ÖRNEK 6 x ve y sayma sayılarıdır. x 11 = y olduğuna göre x:y çarpımının sonucu x 11 = y x y = 11 (x y):(x + y) = 11 11 asal sayı olduğu için, x y = 1 x + y = 11 Taraf tarafa toplarsak x = 1 x = 6 ve y = 5 bulunur. O hâlde x:y = 6:5 = 30 DOĞAL SAYILAR N = {0, 1,, 3,..., n,...} kümesinin elemanlarından her birine doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir. En küçük doğal sayı 0 (sıfır) dır. 1. Toplamları sabit olan iki sayının aralarındaki fark azaldıkça bu iki sayının çarpımının değeri artar.. Toplamları sabit olan iki sayının aralarındaki fark arttıkça bu iki sayının çarpımının değeri azalır. 3. Çarpımları sabit olan iki sayının aralarındaki fark arttıkça bu iki sayının toplamının değeri artar. 4. Çarpımları sabit olan iki sayının aralarındaki fark azaldıkça bu iki sayının toplamının değeri artar. ÖRNEK 7 x ve y doğal sayıdır. x + y = 13 olduğuna göre x:y çarpımının alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz. TEMEL KAVRAMLAR 1
1. a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, a + b + c toplamı en az A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 5. a ve b doğal sayı a:b = 9 olduğuna göre a + b toplamı kaç farklı değer alabilir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 10 9. x ve y doğal sayı 30 x = y eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 3. x, y ve z birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, x + 4y + z toplamı en çok A) 63 B) 6 C) 59 D) 55 E) 43 6. a ve b pozitif tam sayı 3a + b = 15 olduğuna göre a kaç farklı değer alabilir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 15 10. a, b ve c doğal sayı a:b = 7 b:c = 5 olduğuna göre a + b + c toplamı A) 35 B) 0 C) 17 D) 13 E) 7 3. x, y ve z rakamlar olmak üzere 600:x + 40:y + 3:z = 3815 olduğuna göre, x:y:z çarpımı A) 150 B) 144 C) 10 7. x ve y pozitif tam sayı (x + ):(y 4) = 11 olduğuna göre, x + y toplamı A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 7 11. x ve y doğal sayı, z tam sayı olmak üzere x:y = 10 x + z = 6 olduğuna göre, z nin alacağı değerler toplamı D) 60 E) 84 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. x ve y doğal sayı x:y = 1 8. a, b ve c doğal sayı 1. x ve y doğal sayı olduğuna göre, x + y toplamı en çok A) 10 B) 15 C) 17 3a c = b olduğuna göre, a + b + c toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? x + 3y = 60 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır? D) E) 110 A) 14 B) C) 30 D) 33 E) 44 A) 14 B) 13 C) 1 D) 11 E) 10 4 1. D. C 3. A 4. D 5. B 6. B 7. A 8. E 9. A 10. D 11. E 1. D
1. x 4.y 6.z 3 > 0 x 5.y 8.z 1 < 0 x 10.y 7.z 4 > 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +, +, + B),, C), +, + D), +, E) +, +, 5. x, y ve z sıfırdan farklı tam sayılardır. Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi sıfır olabilir? I. (x y) 4 + (y z) 6 II. (x + y + z) (y + z) III. (y 3x) + (4z y) 3 IV. z 3 y 4 + x 8 1 A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 9. x.y.z < 0 x.y 3 > 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +,, B),, C) +,, + D), +, E) +, +, 6. a, b, c ve d çift sayılardır. 10. x pozitif tam sayı olmak üzere. x tam sayıdır. 7x + 1 tek olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır? A) 5x + 1 B) 13x + 11 C) 3x 1 D) x + 4 E) x 3 5 3. x, y ve z tam sayıları için x < 0 < y < z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif tam sayıdır? A) (x y):(y + z) B) zx y C) (x y) 6 D) z (x + y ) E) xyz Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır? A) B) C) D) E) a-b-c- d a+ b+ c- d a- b c- d + 4 a+ b c+ d ab. + cd. 7. a ve b tam sayılardır. 3a b = 48 eşitliği veriliyor. Buna göre, I. a tekse b çifttir. II. b tekse a tektir. III. a çiftse b çifttir. yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız II D) II ve III E) Yalnız II x 3 17.(x + 3)! ifadesi tek tam sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift tam sayıdır? A) x! B) x 5 C) 5x + 7 D) x + x 10 E) x 10 x 9 + x 8 11. a, b ve c tam sayıdır. ba - cb = 3c + 9 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a çift ise b tek B) b tek ise c tek C) a + b + c çift D) a ve b tek ise c tek E) b tek ise a:c çift 1. a doğal sayıdır. 4. I. 30 5 30 II. 39:45:51 III. 1 + + 3 +... + 50 IV. 1 + + 3 + 4 + 5 yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi çift sayıdır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 8. a tam sayıdır. a 7 + 5a 7 sayısı çift olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek tam sayıdır? A) a 6 a 4 + 10 B) a 3 4a C) a 7 + 10a 3 4 D) (a 4) 5 E) (a + 1) (a 3) a 10 3a 9 çift olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir? A) a + 1 B) 3a 4 C) 5a + a D) 6a a 3 + 1 a + 1 E) 16 1. C. D 3. E 4. A 5. D 6. E 7. D 8. C 9. E 10. C 11. D 1. C
1. (5x + 6) ile (3x + 1) ardışık çift tam sayı olduğuna göre x in alabileceği değerler toplamı A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 1. K = 1 3 + 3 + 3 3 +... + (n 1) 3 toplamında her terimin 1 artırılmasıyla elde edilen toplam her terimin 1 azaltılmasıyla elde edilen toplamdan 340 fazladır. Buna göre, n A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 1. 13 ten n ye kadar olan doğal sayıların toplamı, 7 den (n 3) e kadar olan doğal sayıların toplamına eşittir. Buna göre, n A) 30 B) C) 1 D) 0 E) 19. Bir kitabın sayfalarının numaralandırılmasında 18 tane 5 rakamı kullanılmıştır. Buna göre, bu kitap en çok kaç sayfa olabilir? A) 175 B) 179 C) 79 D) 84 E) 74 3. Ardışık 4 doğal sayının toplamı 10 olduğuna göre, en büyük sayı A) 4 B) 7 C) 5 D) 8 E) 9. I. Ardışık iki doğal sayının toplamı her zaman çifttir. II. 5 in katı olan ardışık iki tek doğal sayının toplamı her zaman çifttir. III. Ardışık üç sayının toplamı her zaman çifttir. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) II, III 3. Ardışık 9 tane çift doğal sayıdan en büyüğü (4k 8), en küçüğü k dır. Buna göre, bu 9 sayının toplamı A) 10 B) 144 C) 15 D) 168 E) 10. n pozitif tam sayıdır. 4 ile (n + ) arasındaki tek tam sayıların toplamı a, 7 ile (n 1) arasındaki çift tam sayıların toplamı b dir. a b = 39 olduğuna göre, n A) 9 B) 10 C) 11 D) 13 E) 1 3. a ve b sırasıyla ardışık çift doğal sayılardır. a (a b) < - b olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı A) 4 B) 6 C) 1 D) 18 E) 8 4. x ve y ardışık tek doğal sayıdır. x y = 40 olduğuna göre, x.y çarpımı A) 44 B) 80 C) D) 11 E) 99 4. x, y ve z sırasıyla ardışık çift sayma sayılarıdır. 6 6 6 e + o x. e + o. e + o= 10 y + 1 z + olduğuna göre, x + y + z toplamı A) 114 B) 10 C) 14 D) 140 E) 196 4. h, 3g 3, 4h + g + sayıları sırasıyla ardışık tek tam sayıdır. Buna göre g h farkı A) 6 B) 7 C) 4 D) 5 E) 3 1. C. D 3. B 4. E 1. B. B 3. B 4. A 1. C. D 3. C 4. D 5
1. Üç basamaklı xyz ve iki basamaklı xy sayılarının toplamı 457 olduğuna göre x + y + z toplamı A) 8 B) 13 C) 9 D) 10 E) 11 5. Onlar basamağı x olan iki basamaklı tüm doğal sayıların toplamı 645 olduğuna göre x A) 9 B) 4 C) 6 D) 5 E) 7 9. (15) 3 :(640) çarpımının sonucu kaç basamaklı bir doğal sayıdır? A) 11 B) 10 C) 1 D) 19 E) 13. Üç basamaklı bir pozitif tam sayının soluna 4 yazılıp dört basamaklı x sayısı, aynı sayının sağına 1 yazılıp dört basamaklı y sayısı elde ediliyor. x y = 1794 6. x0z y0y 305 xy yz A olduğuna göre A 10. Birbirinden farklı üç basamaklı üç çift doğal sayının toplamı kaç farklı değer alabilir? A) 1341 B) 134 C) 148 D) 1451 E) 145 olduğuna göre üç basamaklı bu sayının rakamları toplamı A) 53 B) 48 C) 45 D) 5 E) 35 A) 16 B) 11 C) 7 D) 5 E) 1 3. XYZ 4... + 7 6.... Yukarıdaki verilenlere göre çarpma işleminin sonucu 7. A ve B üç basamaklı doğal sayı omak üzere A B = 70 olacak şekilde kaç farklı A sayısı vardır? 11. x, y ve z rakam olmak üzere y = 4x 1 x + y + z = 17 şartlarını sağlayan üç basamaklı xyz sayısının rakamları çarpımı A) 1484 B) 348 C) 331 D) 1976 A) 59 B) 830 C) 475 D) 476 E) 689 A) 7 B) 84 C) 145 D) 11 E) 14 E) 448 4. Üç basamaklı bir XYZ sayısı için XYZ = X 3 +Y 3 + Z 3 oluyorsa bu sayıya Armstrong sayı denir. Örneğin; 370 = 3 3 + 7 3 + 0 3 olduğu için 370 bir Armstrong sayıdır. 40A sayısının bir Armstrong sayısı olması için A kaç olmalıdır? A) 8 B) 4 C) 3 D) 5 E) 7 8. x, y ve z rakam olmak üzere xgygz olacak şekilde üç basamaklı kaç tane xyz çift sayısı yazılabilir? A) 36 B) 54 C) 46 D) 78 E) 8 1. A = (:10 3 + 10 + 1) olduğuna göre A nin rakamları toplamı A) 18 B) 19 C) 17 D) 16 E) 15 1. A. B 3. C 4. E 5. C 6. E 7. B 8. E 9. C 10. B 11. D 1. D 35
.durum: 54x4 sayısının rakamları farklı olmadığı için bu durumu incelemeyeceğiz. 3. durum: 54x8 sayısının rakamları toplamı 9 un katı olmalıdır. 5 + 4 + x + + 8 = 9 un katı 19 + x = 9 un katı x = 8 olur. Verilen sayının rakamları birbirinden farklı olması gerektiği için x = 8 olamaz. O hâlde x yalnızca 7 olabilir. x + y = 7 + 0 = 7 ÖRNEK 18 x86y sayısının 45 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre kaç farklı (x, y) ikilisi vardır? 45 1 1 Böl Böl 5 9 Kalan = 1 Kalan = 3 Verilen sayının 45 ile bölümünden kalanın 1 olması için; Verilen sayının 5 ile bölümünden kalanın 1. Durum: x + 8 + 6 + 6 = 9k + 3 x + 0 = 9k + 3 1 O hâlde (1, 6) ve (6, 1) olacak şekilde tane ikili vardır. ÖRNEK 19 ab5 sayısının 44 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre a nın alabileceği değerler toplamı 44 7 7 Böl Böl 4 11 Kalan = 3 Kalan = 7 Verilen sayının 44 ile bölümünden kalanın 7 olması için; Verilen sayının 4 ile bölümünden kalanın 3 Verilen sayının 11 ile bölümünden kalanın 7 olması gerekmektedir. 4 ile bölümünden kalan 3 ise olmalıdır. a15, a35, a55, a75, a95 3. Durum: 7 (a + 5) = 11k + 7 a = 11k + 7 6 4. Durum: 7 (a + 7) = 11k + 7 a = 11k + 7 4 5. Durum: 7 (a + 9) = 11k + 7 a = 11k + 7 O hâlde a = 8, 6, 4, değerlerini alır. Toplam = 0 ÖRNEK 0 3x785 sayısının 60 ile bölümünden kalan 10 dur. Buna göre x876 sayısının 60 ile bölümünden kalan 3x785 sayısının 60 ile bölümünden kalan 10 ise 3x785 = 60.k + 10 şeklinde yazılabilir. x876 sayısının 60 ile bölümünden kalan y olsun. x876 = 60.n + y şeklinde yazılabilir. BÖLME- BÖLÜNEBİLME KURALLARI Verilen sayının 9 ile bölümünden kalanın 3 olması gerekmektedir. 5 ile bölümünden kalan 1 ise x861 ve x866 olmalıdır. 9 ile bölümünden kalan 3 ise 1. Durum: x + 8 + 6 + 1 = 9k + 3 x +15 = 9k + 3 6 11 ile bölümünden kalan 7 ise 1. Durum: 7 (a + 1) = 11k + 7 6 a = 11k + 7 eşitliğini sağlayan a değeri yoktur.. Durum: 7 (a + 3) = 11k + 7 4 a = 11k + 7 8 3x785 = 60.k + 10 - x876 = 60.n + y 9909 = 60(k n) + 10 y 9909 sayısının 60 ile bölümünden kalan 9 dur. O halde 10 y = 9 y = 1 Yani x876 sayısının 60 ile bölümünden kalan 1 dir. 55
1. a ve b doğal sayıdır. a + 3b = 7 olduğuna göre a + b toplamı A) 3 B) C) 4 D) 5 E) 6 5. (x + 3) ile (5y + 1) aralarında asaldır. I. x = iken y = 5 olabilir. II. x = 11 iken y = 1 olabilir. III. y = 3 iken x = 44 olabilir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, II, III 1 9. Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 3 ile tam bölünebilir? I. 4736 II. 956071 III. 13334444 IV. 86868686 V. 13187141318714 A) 1 B) 4 C) D) 3 E) 5. x, y ve z doğal sayıdır. x + y = 5 y z = -4 olduğuna göre x.y.z çarpımı en az A) 60 B) 50 C) 45 D) 0 E) 0 3. 4! +.4! + 3.4! +... + x.4! toplamının sondan 6 basamağı sıfır olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 45 B) 40 C) 48 D) 55 E) 50 6. h, m ve g rakamdır. m = 3g şartına uyan üç basamaklı kaç tane hmg sayısı yazılabilir? A) 18 B) 4 C) 7 D) 3 E) 36 7. ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba 55 = ab - ba 18 olduğuna göre a + b toplamı A) 10 B) 15 C) 1 D) 9 E) 5 11. y = a.b.c z = a 3.b 4.c 10. a, b ve c birbirinden farklı asal sayıdır. x = a.b.c 3 OKEK( xyz,, ) olduğuna göre aşağıdakilerden OBEB( xyz,, ) hangisidir? A) a.b.c B) a.b.c 3 C) a.b.c D) a.b.c D) a 3.b.b 5 - x kesrini tanımsız yapan x değeri için kesrinin değeri kaç- x + 1 7 + x - x tır? A) 1 B) 3 D) 1 - C) E) - 3 3-4. A ve B doğal sayıdır. A+3 B- - 10 olduğuna göre A + B toplamı en az A) 7 B) 9 C) 3 D) 40 E) 34 8. Ardışık 10 tam sayının toplamı 05 olduğuna göre 7. sayı A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 30 1. 48, 1, + 4, 006, işleminin sonucu A) B),4 C) 35 D) 1,6 E) 3, 1. A. E 3. E 4. E 5. D 6. E 7. A 8. A 9. C 10. C 11. C 1. A 101