STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI Erdoğan ŞEN, Okta MUKHTAROV, Kaml ORUÇOĞLU Namık Kemal Ünverstes, Fen Edebat Fakültes, Matematk Bölümü, 5900, Tekrdağ Gazosmanpaşa Ünverstes, Fen Fakültes, Matematk Bölümü, 6050, Tokat, İTÜ Fen-Edebat Fakültes Matematk Müendslğ Bölümü, 4469, Maslak, İstanbul Abstract In ts work we nvestgate te resolvent operator and completeness of egenfunctons of a Sturm- Louvlle problem wt dscontnutes at two ponts. Te problem contans an egenparameter n te one of boundar condtons. For operator-teoretc formulaton of te consdered problem we defne an equvalent nner product n te Hlbert space L [,] and sutable self-adjont lneer operator n t. Kewords: Sturm-Louvlle problem, egenvalue, egenfuncton, rezolvent operator, transmsson condtons. Özet Bu calışmada k noktada süreksz olan ve sınır koşullarının brnde özdeğer parametres çeren Sturm-Louvlle problemnn rezolvent operatörünü ve özfonksonlarının tamlığını nceledk. İncelenen problemn operatör-kuramsal azılımı çn L[-,] Hlbert uzaında en eşdeğer ç çarpım ve ugun kendne eşlenk lneer operatör tanımlandı. Anatar Kelmeler: Sturm-Louvlle problem, özdeğer, özfonkson, rezolvent operatör, geçş koşulları. GİRİŞ Mutarov ve dğerler [7] de sınır şartlarının brnde özdeğer parametres bulunan ve tek noktada süreksz olan Sturm-Louvlle problemnn özdeğerlern ncelemştr. Bz de bu çalışmada [-,] aralığının ve gb k ç noktasında süreksz olan, katsaıları sonlu ( ( ) ) ( ) ( ) { } λ [ ) ( ) ( ] l u : = p u q u = u,,,, () r dferansel denklemnden, u ( ) = 0, () ( λα β ) u ( ) ( λα β ) u ( ) ' = 0 ()
E. Şen, O. S. Muktarov, K. Oruçoğlu sınır koşullarından ve =, = sürekszlk noktalarındak u( 0) = δ u( 0), (4) u ( 0) = δ u ( 0), (5) u( 0) = δ u( 0), (6) u ( 0) = δ u ( 0), (7) 4 4 geçş koşullarından oluşan sınır-değer problem ncelend. Burada λ kompleks parametredr; α, β ( =,), j, δ j ( j =,,,4) reel saılardır ve β β 0, j δ j 0 ( j =,,,4) doğal koşullarını sağlıorlar; r ( ), p( ), p ( ), ( ) q se [-, ), (, ) ve (,] aralıklarının er brnde sürekl olan =, = noktalarında sonlu sol ve sağ lmt değerler mevcut olan reel değerl fonksonlardır. Arıca er [-, ) (, ) (, ] çn r( ) > 0, p( ) > 0 olduğunu kabul edeceğz. Bu problemn [6] anlamında kendne eşlenk olması çn, := α β -α β >0 şartının da sağlandığını kabul edeceğz. Walter n [6] makalesnde olduğu gb, eğer ()-(7) sınır-değer problem erang br Hlbert uzaında kendne eşlenk br operatör çn özdeğer problemne ndrgeneblrse, o alde bu probleme kendne eşlenk problem deceğz. () (7) problemnn bazı özel aller [, 6, 7, 0, ] ncelenmştr. Matematksel fzğn bazı problemlernde zaman değşkenne göre kısm türev sadece dferansel denklemde değl anı zamanda sınır koşularında da ortaa çıkmaktadır. Böle problemlere ugun olan spektral problemlerde özdeğer parametres sadece dferansel denklemde değl anı zamanda sınır koşullarında da bulunmaktadır [4, ]. (4)-(7) bçmndek geçş koşullarında se farklı fzksel ve mekank özellkler bulunan csmler arasındak ısı ve madde letm vea başka geçş süreçlernde ortaa çıkmaktadır [5, 6, 9-, 5]. SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN UYGUN HILBERT UZAYINDA ÖZDEĞER PROBLEMİ OLARAK İFADESİ Eğer, ( u)( ) : β u ( ) β u '( ) = ( u)'() : = αu() αu '() göstermlernden ararlanırsak, kola br şeklde u, v C [,] çn, [ u() v '() u '() v()] = ( u) ( v)' ( u)' v() (9) olduğunu göstereblrz. Şmd k bleşenl T : T ( ) =, T L T T ( ) [,], ; G : G ( ) =, G L G G ( ) [,], ; elemanlarının L [,] lneer uzaında k T,G L [,] elemanlarının ç çarpımını, (8) p() < T, G > : = T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d T G formülü le tanımlaalım. O alde H : = ( L [,], <, > ) ç çarpım uzaının br Hlbert uzaı olacağı açıktır. Bu uzada tanım bölges
D(K)={ T H T, T ' fonksonlarının er br [-, ), (, ) ve (,] aralıklarının er brnde mutlak sürekldr; T ( ± 0), T '( ± 0) T ( ± 0), T '( ± 0) sonlu lmt değerler mevcuttur. T ( ) = 0, T ( 0) = δt ( 0), T '( 0) = δt '( 0), T ( 0) = δt ( 0), 4T '( 0) = δ4t '( 0) ve T = ( T ) } (0) olan K : p operatörünü, H H p, r, p T ( ) lt : = K ( T ) ( T ) eştlğ le tanımlaalım. O alde ()-(7) sınır-değer problem, KU =λu u( ) U : = D( K) ( u)' operatör-denklem bçmnde azılablr. Bölece ()-(7) sınır-değer problemn br Hlbert uzaında tanımlı olan br lneer operatör çn özdeğer problemne ndrgemş olduk.. Lemma. Eğer δδ p( 0) = p( 0) ve δδ 4 p( 0) = 4 p( 0) şartları sağlanıorsa K operatörü smetrktr. İspat. T, G D ( K ) ugularsak, erang k eleman olmak üzere -blnen Lagrange formülünü [8] p() < KT, G > : = ( lt )( ) G ( ) r( ) d (( T ) )( G ) ' = T ( ) l G ( ) r( ) d ( ) ( l ) ( l ) T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d p( 0) W ( T, G ; 0) p( ) W ( T, G ; ) p( 0) W ( T, G; 0) p( 0) W ( T, G; 0) p() W ( T, G;) p() p( 0) W ( T, G ; 0) ( T ) ( G ) p() T, G ( G ) ( T ) W ( T, G ; 0) p( 0) = ] [ [ p W T G p ( 0) (, ; 0) ( 0) W ( T, G; 0) p( 0) W ( T, G; 0) T G T G T ( ) G ( ) r( ) d T ( ) G ( ) r( ) d ] p() [( ) ( ) ( ) ( ) ] = ( l ) ( l ) T ( ) ( l G )( ) r ( ) d ) T ( G ) p( ) W ( T, G ; ) p( 0) W ( T, G ; 0) p( 0) W ( T, G ; 0) p( 0) W ( T, G ; 0) p( 0) W ( T, G; 0) p() W ( T, G;) ( T ) ( G ) ( T ) ( G ) eştlğn buluruz. Burada; p() ( ) ( ) () () ()
E. Şen, O. S. Muktarov, K. Oruçoğlu W ( T, G ; ) : = T ( ) G '( ) T ( ) ' G ( ) (4) le T, G fonksonlarının Wronksken gösterlmştr. T () ve G ( ) fonksonları () sınır koşulunu sağladıkları çn, W ( T, G; ) =0 (5) eştlğ sağlanır. T, G fonksonlarının (4)-(7) geçş koşularını sağladığını ve lemmanın koşulunu dkkate alırsak, p( 0) W ( T, G; 0) = p( 0) T ( 0) G ( 0) T ( 0) G ( 0) 4 δ δ 4 δ δ 4 = p( 0) T ( 0) G ( 0) T ( 0) G ( 0) δδ 4 4 4 δ δ = 4 T ( 0) G ( 0) p( 0) W ( T, G; 0) (6) 4 ve benzer şeklde p( 0) W ( T, G ; 0) = p( 0) W ( T, G ; 0) (7) elde ederz. O alde (5), (6) ve (7) eştszlklern () de erne azarak ve (9) eştlğn de göz önüne alarak, arzu edlen < KT, G > = T, KG eştlğn, an K operatörünün smetrk olduğunu elde ederz.. Sonuç. ()-(7) sınır-değer problemnn bütün özdeğerler reeldr. Not: p( ), q( ) ve r( ) reel değerl fonksonlar, ()-(7) koşullarının katsaıları reel saılar ve bütün özdeğerler reel olduğu çn ()-(7) problemnn bütün özfonksonlarını reel değerl fonksonlar olarak kabul edeblrz.. Sonuç. λ ve λ ()-(7) problemnn erang k farklı özdeğer, u ( ) ve u ( ) bunlara karşılık gelen özfonksonlar se p() u( ) u( ) r( ) d = ( u) ( u) (8) eştlğ sağlanır. K OPERATÖRÜNÜN REZOLVENTİ Bu kesmde özdeğer olmaan er λ saısının K operatörünün regüler değer olduğunu göstereceğz ve arıca, R ( λ, K ) : = ( K λi ) rezolvent operatörünü nceleeceğz. Burada I brm matrstr. T H kef elemanı çn ( λ ) K I U = T (9) operatör denklemn onunla eşdeğer, omojen olmaan r( ) { } ( p( ) U ) ' q( ) U λu = T ( ), [, ) (, ) (,] (0)
U ( ) = 0 () ( β () β '() ) λ ( α () α '() ) U U U U = T () U ( 0) δ U ( 0) = 0 () U ( 0) δ U ( 0) = 0 (4) U ( 0) δ U ( 0) = 0 (5) U ( 0) δ U ( 0) = 0 (6) 4 4 sınır-değer problem seklnde azalım. Öncelkle aşağıdak lemmaı verelm.. Lemma. Herang [, ] d d aralığında tanımlı ve reel değerl r( ) 0, p( ) 0 ve q( ) fonksonları verlsn. Eğer r( ) ve q( ) fonksonları bu aralıkta sürekl, p( ) se sürekl dferanselleneblr se, o alde er tam f ( λ) ve g( λ ) fonksonları çn r( ) { ( p( ) u ')' q( ) u} λu, [ d, d ] = (7) dferansel denklemnn u( d ) = f ( λ), u '( d ) = g( λ) ( = vea ) (8) başlangıç koşullarını sağlaan u(, λ ) çözümü mevcuttur ve bu çözüm fonksonu er [ d, d ] değer çn λ değşkennn tam fonksonudur. Bu lemma Ttcmars ın [4] ktabındak Teorem.5 n spatındak öntemle benzer şeklde spat edlr. Şmd bu lemmadan fadalanarak () dferansel denklemnn ϕ(, λ ) ve χ(, λ ) gb k tane çözümünü tanımlaacağız. [, ] aralığında () dferansel denklemnn u( ) = 0, u '( ) = başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü ϕ (, λ ) le gösterelm. ϕ (, λ ) fonksonu tanımlandıktan sonra [, ] aralığında () dferansel denklemnn u( ) = ϕ ( 0, λ), u '( ) = ϕ '( 0, λ) (9) δ δ başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü tanımlaablrz. Bu çözümü ϕ (, ) λ le gösterelm. Benzer şeklde [,] aralığında () dferansel denklemnn 4 δ δ 4 u( ) = ϕ ( 0, λ), u '( ) = ϕ '( 0, λ) (0) başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü ϕ (, λ ) le gösterelm. Yne benzer şeklde, [,] aralığında () dferansel denklemnn u() = α λ β, u '() = α λ β () başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü χ (, ) λ le göstererek, bu çözümü tanımladıktan sonra [, ] aralığında () dferansel denklemnn 4 4 u( ) = δ δ χ ( 0, λ), u '( ) = χ '( 0, λ) ()
E. Şen, O. S. Muktarov, K. Oruçoğlu başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü χ (, λ ) le göstererek, bu çözümü tanımladıktan sonra [, ] aralığında () dferansel denklemnn u( ) = δ δ χ ( 0, λ), u '( ) = χ '( 0, λ) () başlangıç koşullarını sağlaan çözümünü χ (, ) λ le gösterelm.. Lemma gereğ ϕ (, λ), χ (, λ ) ( =,, ) fonksonları λ nın tam fonksonlarıdır. Bu fonksonların tanımları gereğ χ(, λ), [, ], χ(, λ) = χ(, λ), [, ], χ(, λ), [,] eştlkler le tanımlı ϕ ve χ fonksonları [, ) (, ) (,] de () denklemn ve (4)- (7) geçş koşullarını sağlaacaklardır. Arıca ϕ(, λ ) çözümü () sınır koşulunu, χ(, λ ) se () sınır koşulunu sağlaacaktır. Aşağıdak; : = W ( ϕ, χ ; ) (=,) λ (, λ), [, ), (, λ) : = Wλ ( ϕ, χ; ) = (, λ), (, ), (, λ), (,] göstermlernden fadalanacağız.. Lemma. Özdeğer olmaan er λ ve er [, ) (, ) (,] çn (, λ) 0 dr.. Sonuç. Özdeğer olmaan er λ çn ϕ (, λ), χ (, λ ) fonksonları [, ] aralığında, ϕ (, λ ), χ (, λ ) fonksonları [, ] aralığında, ϕ (, λ ), χ (, λ ) fonksonları se [ ] aralığında lneer bağımsızdırlar.,. Sonuç gereğ özdeğer olmaan er λ çn () dferansel denklemnn genel çözümünü Cϕ (, λ) Dχ (, λ), [, ), u(, λ) = Cϕ (, λ) Dχ (, λ), (, ), Cϕ (, λ) D χ(, λ), (,] bçmnde fade edeblrz. Burada C, D ( =,,) kef sabtlerdr. O alde sabtn varasonu öntemn [8] ugulaarak (0) omojen olmaan denklemnn genel çözümünü [, ) çn ϕ(, λ) χ(, λ) = (, λ) (, λ) (4) U (, λ) χ (, λ) T ( ) d ϕ (, λ) T ( ) d C ϕ (, λ) D χ (, λ) bçmnde, (, ) çn
ϕ(, λ) χ(, λ) = (, λ) (, λ) (5) U (, λ) χ (, λ) T ( ) d ϕ (, λ) T ( ) d C ϕ (, λ) D χ (, λ) bçmnde, (,] çn se ϕ (, λ) χ (, λ) U (, λ) χ (, λ) T ( ) d ϕ (, λ) T ( ) d C ϕ (, λ) D χ (, λ) = (, λ) (, λ) (6) bçmnde fade edeblrz. (0) dferansel denklemnn (4)-(6) eştlkler le verlmş genel çözümünü ()-(6) koşularında erne azarsak C, D sabtlern bulablrz. (4) fadesn () sınır koşulunda erne azarsak D χ(, λ) = 0 eştlğn elde ederz. λ özdeğer olmadığı çn χ(, λ) 0 dır. Dolaısıla D = 0 olur. (6) fadesn () sınır koşulunda erne T azarsak, C = (, ) λ buluruz. D ve C çn bulduğumuz değerler de göz önüne alarak (4)- (6) fadelern ()-(6) geçş koşularında azarsak; C, C, D, D değerlern bulmak çn aşağıdak lneer denklem sstemn elde ederz: ϕ (, λ) C δ χ (, λ) D = χ (, λ) ϕ(, λ) χ(, λ) T d T d C (, λ) (, λ) ( ) δ ϕ (, λ) ( ) δ ϕ (, λ), ϕ '(, λ) C δ χ '(, λ) D = χ '(, λ) ϕ(, λ) χ(, λ) T d T d C (, λ) (, λ) ( ) δ ϕ '(, λ) ( ) δ ϕ '(, λ), ϕ (, λ) C δ χ (, λ) D = χ (, λ) ϕ(, λ) χ(, λ) δtϕ (, λ) T d T d D (, λ) (, λ) (, λ) ( ) δ ϕ (, λ) ( ) χ (, λ), ϕ '(, λ) C δ χ '(, λ) D = χ '(, λ) 4 4 4 ϕ(, λ) χ(, λ) δ4tϕ '(, λ) T d 4 T d 4D (, λ) (, λ) (, λ) ( ) δ ϕ '(, λ) ( ) χ '(, λ). Bu sstemn determnantı δδ δ δ 4(, λ) (, λ) 0 olduğu çn br tek çözümü bulunur. ϕ (, λ), χ (, λ ) fonksonlarının tanımlarından ararlanarak sonuncu denklem sstemnden χ(, λ) χ(, λ) T = C T ( ) d T ( ) d, (, λ) (, λ) (, λ) C χ (, λ) ( ), (, λ) (, λ) T = T d D ϕ(, λ) = (, λ) T ( ) d, D ϕ(, λ) = (, λ) T ( ) d elde edlr. C, D sabtler çn bulduğumuz değerler (4)-(6) fadelernde erne azarsak ve gerekl düzenlemeler aparsak, (0)-(6) problemnn çözümü çn tüm, ) (, ) (,] aralığında [
E. Şen, O. S. Muktarov, K. Oruçoğlu ϕ(, λ) χ(, λ) Tϕ (, λ) U = χ(, λ) T ( ) d ϕ(, λ) T ( ) d (, λ) (, λ) (, λ) formülünü elde ederz... Teorem. Özdeğer olmaan er λ saısı (0), () eştlkler le tanımlı olan K operatörünün regüler değerdr. Arıca R( λ, K) : H H rezolvent operatörü kompakt operatördür. İspat. χ(, λ) ϕ(, λ) ;, (, λ), ( =, ), G (, ; λ) = ϕ(, λ) χ(, λ) ; (, λ), ( =, ) göstermnden ararlanarak sonuncu formülü U (, λ ) = T G (, ; λ) T ( ) d ϕ(, λ) (, λ) bçmnde fade edeblrz. Buradan R ( λ, K ) rezolvent operatörü çn T G (, ; λ) T ( ) d ϕ(, λ) (, λ) R( λ, K) T = formülü elde edlr. T ( G (, ; λ) ) T ( ) d ( ϕ(, λ) ) (, λ) B λ : L[,] L [,], Bλ : H H ve Sλ : H H operatörlern T B T : λ = G (, ; λ ) T ( ) d, BλT ϕ(, λ) (, λ) BλT : =, SλT : = ( B T λ ) T ( ϕ(, λ) ) (, λ) eştlkler le tanımlarsak, R( λ, K) rezolvent operatörünü R( λ, K) = B λ S λ bçmnde fade edeblrz. B λ operatörü L [,] Hlbert uzaında kompakt olduğu çn, B λ operatörü H Hlbert uzaında kompakttır [8]. S λ operatörünün H Hlbert uzaında kompakt olduğu açıktır. Dolaısıla özdeğer olmaan er λ çn R( λ, K) operatörü de H uzaında kompakttır. ÖZFONKSİYONLAR SİSTEMİNİN SERİSİNE AÇILIM 4. Teorem. (0), () eştlkler le tanımlı K operatörü H Hlbert uzaında kendne eşlenktr. Sonuç olarak,. Teorem, 4. Teorem ve blnen Hlbert-Scmdt Teorem [] gereğ aşağıdak teorem elde edlr [].
4. Teorem. H Hlbert uzaında (0), () eştlkler le tanımlı K operatörünün saılablr saıda reel özdeğer mevcuttur, er özdeğern cebrsel katı sonludur, özdeğerler dzs alttan sınırlıdır ve sonlu ığılma noktası oktur. Her özdeğer cebrsel katı saıda azılmak kadı le, özdeğerler dzsn λ λ... bçmnde sıralaarak, ugun normlandırılmış özelementler ( ϕ n ),, φn ( ) ϕn : =, n H =, =,,... p r ( φn) bçmnde gösterlmek üzere, er T H elemanı çn H Hlbert uzaında T elemanına akınsak olacaktır; cnϕn, cn = T, ϕn H p, r Fourer sers, n= T, ϕn H ϕ p, r, n. (7) n= T = 4. Sonuç. Her f L [,] fonksonu L ([,], r ) Hlbert uzaında ()-(7) sınır-değer problemnn { φ n}, n =,,... özfonksonlar sstemnn f ( ) = f ( ) φn( ) r( ) dφ n( ) n= sersne açılır. f ( ) İspat. İspat çn (7) formülünde T H elemanını özel olarak T = almak eterldr. 0 (Burada L ([,], r ) ve L [,] Hlbert uzalarının lneer uzalar olarak anı olduğuna dkkat etmek gerekr.) 4. Sonuç. Her f L [,] fonksonu çn, [ ] ( φ ) n =, (8) n= p() ( φ ) n φ n( ) = 0 (9) n= eştlkler sağlanır. İspat. (7) formülünü T ( ) T, ϕ φ ( ) n H p, r, n n= 0 = T T, ϕn H ( φ ) p, r, n n= 0 bçmnde azalım. Bu formülde özel olarak 0 T = ederz. alırsak, p() ( ) ( ) 0 φ n φn n 0 = = p() [( ) φ n ] n= 0 (40) eştlğn, an (8) ve (9) eştlklern elde
E. Şen, O. S. Muktarov, K. Oruçoğlu 4. Sonuç. Her f L [,] çn f ( ) φn( ) d( φn) = 0 eştlğ sağlanır. n= 0 f ( ) İspat. İspat çn (40) formülünü T = elemanı çn azmak eterldr. 0 Kanaklar [] Fulton, C.T., Two-pont Boundar Value Problems Wt Egenvalue Parameter Contaned n te Boundar Condtons, Proc. Ro. Soc. Ednburg 77A, pp. 9-08, 977. [] Glazman, J. M., Drect Metods of Qualtatve Spectral Analss, Jerusalem, Israel, Program for Scentfc Translatons, 965. [] Lang, S., Real Anlass, Addson-Wesle, Readng, Mass, 98. [4] Langer, R.E., A problem n Dffuson or n te Flow of Heat For A Sold n Contact Wt A Flud, Japan. Tooku Mat. J. 5, pp. 60-75, 9. [5] Lkov A.V., Mkalov Y.A., Te Teor of Heat and Mass Transfer, Qosenergazdat, 96. [6] Kadakal, M. and Muktarov, O. S. Sturm-Louvlle Problems wt Dscontnutes n Two Ponts, Computers and Matematcs wt applcatons, Volume 54, Issues, pp. 67 79, 007. [7] Mutarov, O., Kadakal, M. ve Mutarov, F., Sınır Şartlarının Brnde Özdeğer Parametres Bulunduran Süreksz Sturm-Louvlle Problemnn Özfonksonları, Pamukkale Ünverstes Müendslk Blmler Dergs 8(), pp. 9-6, 00. [8] Namark, M. N., Lnear Dfferental Operators, Ungar, New York, USA, 967. [9] Rasulov, M.L., Metods of Contour Integraton, Nort-Holland Pub.Comp., Amsterdam, 967. [0] O. S. Muktarov, M. Kadakal and F. S. Mutarov, On Dscontnuous Sturm-Louvlle Problems wt transmsson condtons, J. Mat. Koto Unv., 44(4), pp. 779-798, 004. [] M. Kandemr, O. S. Muktarov, Y. Y. Yakubov, Irregular boundar value problems wt dscontnuous coeffcents and te egenvalue parameter, Medterr, J. Mat., 6, pp. 7-8, 009. [] Talor, A. E., Introducton to Functonal Analss, Jon-Wle, 958. [] Tkonov, A. N. and Samersk, A. A., Equatons of Matematcal Pscs, Oford and New York, Pergamon, USA, 96. [4] Ttcmars, E. C., Egenfunctons Epanson Assocated Wt Second Order Dfferental Equatons I, Oford Unv. Press, London, 96. [5] Tteu, I. and Yakubov, Y., Completeness of Root Functons For Termal Condton n a Strp wt Pecewse Contnuous Coeffcents, Mat. Mod. Met. Appl. Sc., 7(7), pp. 05-050, 997. [6] Walter, J., Regular Egenvalue Problems Wt Egenvalue Parameter n te Boundar Condtons, Verlag. Mat. Z., pp. 0-, 97.