BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan nesnelere kümenin elemanları denir. 1.1. Kümeler ile İlgili Bazı Tanımlar Tanım 1.1.1. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Tanım 1.1.2. A ve B gibi iki kümenin eşit olabilmesi için gerek ve yeter koşul bu kümelerin tam olarak aynı elemana sahip olmalarıdır. A ve B kümelerinin eşitliği A=B ile gösterilir. Tanım 1.1.3. Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Tanım 1.1.4. Üzerinde çalışılan kümelerin her birini alt küme kabul eden daha geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir Tanım 1.1.5. Bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ve P(.) ile gösterilir. 1.2. Kümeler Üzerinde İşlemler Tanım 1.2.1. A ve B kümelerinin kesişimi hem A hem de B kümesinin elemanlarının oluşturduğu kümedir. A B x : x A ve xb Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. 1
Tanım 1.2.2. A ve B kümelerinin birleşimi A ya da B kümesinden en az birine ait elemanların oluşturduğu kümedir. A B x : x A veya xb Tanım 1.2.3. Bir A kümesinin tümleyeni, A da bulunmayan E evrensel kümesindeki tüm elemanların kümesidir. A x : xe ve x A 1.3. Kümelerde İşlemler ile İlgili Özellikler Kümelerde işlemler ile ilgili aşağıdaki özellikler verilebilir. A A A AE E AE A AA E A A AA A AA A AB B A AB B A A( B C) ( A B) C A( B C) ( A B) C A( BC) ( A B) ( A C) A( BC) ( A B) ( A C) A B ise, AB B ve AB A A B ise, A ve B A B ise, A ve B ayrık kümlerdir. ( A ) A E E ( A B) A B ( A B) A B A B ise, B A E / A A A/ B A B ( A/ B) ( B / A) A B (Simetrik Fark) s( A B) s( A) s( B) s( A B) 2
s( A B) s( A/ B) s( B / A) s( A B) s( AB C) s( A) s( B) s( C) s( AB) s( AC) s( B C) s( AB C) 1.4. Örnek Uzaylar ve Olaylar Tanım 1.4.1. Bir deney yapıldığında bu deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesine örnek uzay, örnek uzaydaki her bir noktaya örnek nokta ve örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Örnek uzayın kendisi ve boş kümede birer olaydır. Örnek uzaya kesin olay; boş kümeye ise imkansız olay denir. Tanım 1.4.2. Örnek uzaydaki örnek noktalar sonlu sayıda ise, uzaya sonlu uzay; örnek noktalar sonsuz sayıda fakat örnek uzay ile doğal sayılar kümesi arasında birebir eşleştirme yapılabiliyorsa uzaya sayılabilir sonsuz uzay; örnek uzay bir reel sayı aralığına veya reel aralıkların birleşimine karşılık geliyorsa sonsuz örnek uzay denir. Örnek uzay sonlu veya sayılabilir sonsuz örnek nokta içeriyorsa uzaya kesikli; aksi halde sürekli örnek uzay denir. Örnek 1.4.1. Bir paranın iki kez atılması deneyinde örnek uzay S={YY, YT, TY, TT} dir. Bu küme sonludur ve örnek uzay kesiklidir. Bir paranın tura gelinceye kadar atılması deneyinde turaların sayısı ile ilgili örnek uzay S={1, 2, 3, } dir. Bu küme sayılabilir sonsuz kümedir ve örnek uzay kesiklidir. Sayı doğrusu üzerinde iki nokta işaretlenmesi deneyinde örnek uzay bir aralığa karşılık gelir ve örnek uzay süreklidir. Tanım 1.4.3. Gerçekleşmesi rastlantıya bağlı olan olaya rasgele olay denir. Örnek 1.4.2. Bir para atıldığında yazı gelmesi, bir zar atıldığında 4 gelmesi rasgele olaylara örnek olarak verilebilir. Tanım 1.4.4. S örnek uzayında A ve B olayları verilsin. Bu durumda, A veya B olayı: A veya B den en az birinin gerçekleşmesi olayıdır. A B ile ifade edilir. A ve B olayı: A ve B 3
olaylarının her ikisinin de aynı anda gerçekleşmesi olayıdır. A B ile ifade edilir. Bütünleyen A olayı: A olayının gerçekleşmemesi olayıdır. A ile ifade edilir. Ayrık olaylar: A ve B olaylarının aynı anda gerçekleşmemesi durumudur. A B olduğunda A ve B ayrık olaylardır. BÖLÜM 2 SAYMA TEKNİKLERİ, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON ve BİNOM AÇILIMI 2.1. Sayma Teknikleri Tanım 2.1.1. (Toplama Kuralı) Ayrık iki işlem A ve B den biri n farklı şekilde diğeri ise m farklı şekilde yapılıyorsa, bu iki işlemden biri veya diğeri n+m farklı şekilde yapılır. Tanım 2.1.2. (Çarpma Kuralı) İki işlem A ve B den, A n farklı şekilde, sonra B m farklı şekilde yapılıyorsa, A ve B birlikte n.m farklı şekilde yapılır. Örnek 2.1.1. 5 gömleği, 6 kravatı olan bir kişi bunlardan 1 gömlek veya 1 kravatı kaç farklı şekilde seçebilir? 5+6=11 farklı şekilde seçilir. 1 gömlek ve 1 kravatı kaç farklı şekilde seçebilir? 5.4=20 değişik şekilde seçilir. Tanım 2.1.3. (Faktöriyel) 1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir. 0!=1 1!=1 4
2!=2.1 3!=3.2.1 n!=n.(n-1) 1 dir. 2.2. Permütasyon Tanım 2.2.1. Nesneler kümesinin bir kısmının veya tümünün belli bir sıralamasına veya düzenlenmesine permütasyon denir. n farklı nesnenin permütasyonlarının sayısı P( n, n) n! dir ve n farklı nesnenin içinden bir defada alınan r elemanın bir sıralaması ya da permütasyonlarının sayısı n! P( n, r) n( n 1)( n 2)...( n r 1) ( n r)! dir. Örneğin A, B, C, D harflerinin oluşturduğu bir küme için ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA Dörtlü permütasyonlar: P (4,4) 4! 24 CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA Üçlü permütasyonlar: ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB 4! P (4,3) 24 1! İkili permütasyonlar: AB AC AD BA BC BD 4! P (4, 2) 12 CA CB CD DA DB DC 2! 5
Örnek 2.2.1. 7 farklı kitap raftaki 3 boş yere kaç farklı şekilde sıralanır? 7! P(7,3) 7.6.5.4 840 3! Tanım 2.2.2. (Tekrarlı Permütasyon) n tane elemanın n 1 tanesi birbirinin aynı, n 2 tanesi birbirinin aynı,, n r tanesi birbirinin aynı olsun. n1 n2... nr n olmak üzere bu n tane elemanın permütasyonlarının sayısı n! P( n; n1, n2,..., nr ) n!. n!... n! 1 2 r dir. Örnek 2.2.2. AKBABA kelimesinin harfleriyle anlamlı veya anlamsız kaç tane 6 harfli kelime oluşturulabilir? A harfi verilen kelime içerisinde üç tane ve B harfi verilen kelime içerisinde 2 tane olduğundan 6! P(6; 3, 2) 60 3!.2! Tanım 2.2.3. (Dairsel Permütasyon) n tane elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı (n-1)! dir. Örnek 2.2.3. 5 kişi yuvarlak masa etrafına oturacaktır. Kaç farklı şekilde otururlar? (5 1)! 4! 24 İçlerinden belli iki tanesi yan yana olacaksa kaç farklı şekilde otururlar? (41)!2! 3!2! 12 6
Tanım 2.2.4. (Sıralı Örnekler) n elemanlı bir kümeden r eleman seçerek oluşan örnekler için iki durum söz konusudur: Kümeden alınan elemanlar tekrar kümeye konarak seçim işlemine devam ediliyorsa bu tür örneklerin sayısı n. n... n n r r dir. Kümeden alınan elemanlar tekrar kümeye konmadan seçim işlemine devam ediliyorsa bu bu tür örneklerin sayısı n! P( n, r) n( n 1)( n 2)...( n r 1) ( n r)! olur. Örnek 2.2.4. 52 kartlık bir desteden 2 kart biri diğerinden sonra olacak şekilde seçilecektir. Bu kartların yerine tekrar koyarak ve koymayarak kaç farklı seçimi olur? Tekrar yerine koyarak 2 52.52 52 Tekrar yerine koymadan P(52, 2) 52.51 Örnek 2.2.5. {0, 1, 2, 3, 4, 5} rakamları kullanılarak üç basamaklı sayılar yazılacaktır. Kaç sayı yazılır? 5.6.6=180 Rakamları tekrarsız kaç sayı yazılır? 5.5.4=100 Rakamları tekrarsız kaç çift sayı yazılır? 5.4.1 + 4.4.2=52 Rakamları tekrarsız kaç tek sayı yazılır? 100-52=48 7
2.3. Kombinasyon Tanım 2.3.1. Bir defada r tanesi alınan n farklı nesnenin bir kombinasyonu, düzenleme sırasına bakılmaksızın n nesneden r tanesinin seçilmesidir. Yani n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı n n! C( n, r) r r!.( n r)! şeklinde gösterilir. r nesnenin her bir kombinasyonu r! yolla düzenlenir. Bu nedenle P( n, r) C( n, r) r! olur. Örnek 2.3.1. A,B,C,D şeklinde verilen 4 elemanın 3 lü kombinasyonlarını ele alalım. 4! C(4,3) 4 tür. Bunlar ABC ABD ACD BCD olarak ifade edilebilir. Aşağıda ise her 1!.3! bir kombinasyonun 3!=6 farklı permütasyonu verilmiştir. ABC : ABD : ACD : BCD : ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA BCD BDC CBD CDB DBC DBC P(4,3) C(4,3)3! 24 Örnek 2.3.2. 25 kişilik bir topluluktan 3 kişilik yönetim kurulu kaç değişik şekilde oluşturulur? 25! C(25,3) 2300 22!.3! 8
Örnek 2.3.3. Bir öğrenci 6 kalem, 5 silgi ve 8 defter arasından 3 kalem, 2 silgi ve 4 defter alacaktır. Bu öğrenci kaç farklı seçim yapabilir? 6 5 8.. 20.10.70 14000 3 2 4 Örnek 2.3.4. 4 evli çift arasından 3 kişi seçilecektir. 8 Seçim kaç şeklide yapılır? 56 3 Seçilen kişiler arasında 2 bayan 1 erkek olacaksa seçim kaç şekilde yapılır? 46 Seçilen kişiler arasında 1 çift bulunacaksa seçim kaç şekilde yapılır? 24 11 4 4 24 21 Teorem 2.3.1. a) C( n, r 1) C( n, r) C( n 1, r) b) C( n, r) C( n, n r) Örnek 2.3.5. C(8,5) C(8,3) Örnek 2.3.6. 10! C(8,5) C(8,6) C(9,7) C(9,6) C(9,7) C(10,7) 240 3!.7! 2.4 Binom Açılımı Teorem 2.3.1. n doğal sayı olmak üzere, binom katsayılarıdır. n n n n r r ( a b) a. bbinom açılımıdır. r0r n r n n n Sonuç 2.3.1.... 2 0 1 n n 9
Özellikler (i) (ii) (iii) (iv) (v) (x+y) n açılımında n+1 tane terim vardır. (x+y) n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir. (x+y) n ifadesinin katsayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak bulunur. (x+y) n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır. (x+y) n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan (r+1). terim n x r nr. y r ile hesaplanır. Örnek 2.4.1. ( x y ) 3 4 6 açımlında Baştan 3. terim: 6 ( ).( ) 15 2 x y x y 3 62 4 2 12 8 15 x ifadesini bulunduran terimin katsayısı: 6 ( x ).( y ) 6 x y 1 3 61 4 1 15 4 olduğundan 6 dır. Katsayılar toplamı: x 1 ve y 1 için 6 2 64 10