ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez

NKR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK MTEMTİK NBİLİM DLI NKR 2005 He haı salıdı

ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez beş bölümde oluşmatadı. İl bölüm giiş ısmıa ayılmıştı. İici bölümde bi eel sayı dizisi içi istatistisel yaısalı avamı ve bu avama ilişi özelile veilmişti. Üçücü bölümde bi sayı dizisi içi istatistisel limit otalaı, istatistisel değme otalaı avamlaı, aalaıdai ilişi ve bazı souçla veilmişti. Dödücü bölümde iici ve üçücü bölümdei avamla -istatistisel yaısalı, -istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıa geişletilee icelemişti. So bölümde ise bi sayı dizisi içi istatistisel üst ve alt limit avamlaı ve bulaı -istatistisel bezelei veilmişti. 2005, 50 sayfa NHTR KELİMELER:Yoğulu, istatistisel yaısalı, istatistisel limit ve değme otalaı, -istatistisel yaısalı, - istatistisel limit ve değme otalaı, lacuay dizisi, lacuay istatistisel yaısalı, lacuay istatistisel limit ve değme otalaı, istatistisel üst ve alt limit, -istatistisel üst ve alt limit. i

BSTRCT Maste Thesis STTISTICL LIMIT POINTS Filiz KOCBIYIK aa Uivesity Gaduate School of Natuel pplied Scieces Depatmet of Mathematics Supeviso: Pof. D. Ciha Oha This thesis cosists of five chaptes. The fist chapte addesses the itoductio pat. I chapte two, we study the idea of statistical covegece fo a eal umbe sequece ad peset some popeties of it. The i chapte thee, we eamie the cocepts of statistical limit ad statistical cluste poits fo a eal umbe sequece ad give the elatioship betwee them. I chapte fou, we coside -statistical aalogs of the esults give i chapte two ad thee. I the fial sectio, we study the cocepts of statistical limit supeio ad limit ifeio as well as -statistical aalogs of these esults. 2005, 50 pages Key Wods: Desity, statistical covegece, satistical limit ad cluste poits, -statistical covegece, -satistical limit ad cluste poits, lacuay sequece, lacuay statistical covegece, lacuay satistical limit ad cluste poits, statistical limit supeio ad limit ifeio, -statistical limit supeio ad limit ifeio. ii

TEŞEKKÜR Baa bu tez oumu vee ve yüse lisas eğitimim boyuca ilgisii hiç esi etmeye hocam, Sayı Pof. D. Ciha Oha (aa Üivesitesi Fe Faültesi) a, he aımda ilgi ve desteleiyle yaımda ola eşim ve aileme e içte saygılaımla teşeüleimi suaım. Filiz KOCBIYIK aa, Temmuz 2005 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET...i BSTRCT...ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR...iii SİMGELER DİZİNİ...v. GİRİŞ... 2. İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK...2 2. Matis Döüşümlei...2 2.2 İstatistisel Yaısalı...4 3. İSTTİSTİKSEL LİMİT VE DEĞME NOKTLRI... İstatistisel Limit ve Değme Notalaı... 4. -İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK...7 4.. -İstatistisel Yaısalı...7 4.2. -İstatistisel Limit ve Değme Notalaı...8 4.3. Lacuay İstatistisel Yaısalı...27 5. İSTTİSTİKSEL ÜST VE LT LİMİT...39 5. İstatistisel Üst ve lt limit...39 5.2 -İstatistisel Üst ve lt limit...48 6. SONUÇ 5 KYNKLR...52 ÖZGEÇMİŞ...54 iv

SİMGELER DİZİNİ [K : K ümesii tümleyei K := () : N R δ δ δ h.h. χ K C L Γ Λ : K ümesii elema sayısı a döüşüm dizisi = : Doğal sayıla ümesi : Reel sayıla ümesi : Yoğulu fosiyou : -yoğulu fosiyou : Üst asimptoti yoğulu fosiyou : Heme he içi : K ümesii aateisti fosiyou : Cesào matisi : = ( ) dizisii alışılmış limit otalaı ümesi : = ( ) dizisii istatistisel değme otalaı ümesi : = ( ) dizisii istatistisel limit otalaı ümesi Γ : = ( ) dizisii -istatistisel değme otalaı ümesi ( ) Λ ( ) : = ( ) dizisii -istatistisel limit otalaı ümesi ( ) Γ : = ( ) dizisii lacuay istatistisel değme otalaı θ ümesi Λ : = ( ) dizisii lacuay istatistisel limit otalaı θ ( ) ümesi v

. GİRİŞ İstatistisel yaısalı avamı il olaa 949 yılıda Steihaus taafıda Poloya da yapıla bi ofeasta taıtılmış ve 95 yılıda Fast taafıda geliştiilmişti. slıda bu taım Zygmud taafıda da ele alımış ve heme heme yaısalı olaa adladıılmıştı. Daha soa 993 yılıda Fidy taafıda istatistisel limit otalaı avamı veilmiş ve 997 yılıda Fidy ve Oha taafıda istatistisel üst limit ve istatistisel alt limit avamlaı taıtılmıştı. yıca 993 yılıda Fidy ve Oha taafıda veile lacuay istatistisel yaısalı avamı, 2002 yılıda Demici taafıda lacuay istatistisel limit otalaı avamlaı ile bütüleştiilmişti. Daha soa Demici taafıda istatistisel yaısalı avamı, -istatistisel yaısalı avamıa geişletilmişti. Bu yüse lisas çalışmasıda bi sayı dizisi içi, istatistisel yaısalı avamı ve bazı souçla veileceti. Daha soa bi sayı dizisi içi istatistisel limit otalaı ve istatistisel değme otalaı taımlaaca, aalaıdai ilişi ve bazı özelile veileceti. yıca bu avamla - istatistisel yaısalı, -istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıa geişletileceti. -istatistisel yaısalığı özel bi hali ola lacuay istatistisel yaısalı avamı, bu avamı istatistisel yaısalı ile ilişisi ve lacuay istatistisel limit ve değme otalaı avamlaı veileceti. So olaa bi eel sayı dizisi içi istatistisel üst ve alt limit avamlaı ile bu avamlaı -istatistisel geişletilmesi iceleeceti.

2. İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK Bu bölümde istatistisel yaısalı avamıda bahsedeceğiz. İl olaa buu içi geeli bazı taım ve otasyolaı veelim. 2.. Matis Döüşümlei = (a ) sosuz bi matis ve := ( ) bi dizi olsu. Eğe () := = a seisi he doğal sayısı içi yaısa ise bu duumda (( ) ) = dizisie dizisii matisi ile elde edile döüşüm dizisi dei (Wilasy 984, Maddo 970, Boss 2000). X ve Y eel ya da omples teimli dizilede oluşa ii dizi uzayı ve = (a ) sosuz bi matis olsu. Eğe he X içi döüşüm dizisi mevcut ve Y ise, = (a ) matisi X uzayıda Y uzayı içie bi matis döüşümü taımla dei ve X de Y içie taımlı tüm matislei sııfı (X,Y) ile gösteili. Eğe, X de Y içie bi matis döüşümü ise (X,Y) şelide yazılı. Bu çalışma boyuca, simgelei sıasıyla doğal sayıla, eel sayıla cümleleii, l ve c ile de sıasıyla tüm sıılı dizile uzayıı ve tüm yaısa dizile uzayıı gösteeceğiz. yıca = ( ) dizisi eel sayı dizisi olaa alıacatı faat istatistisel yaısalı ile ilgili bazı souçla omples teimli dizile içide geçelidi. (X, Y; p) ile toplam ya da limiti ouya matislei sııfı gösteileceti. Öeği (c, c; p) olması, L L olması olduğuda( ) demeti. Bu tü matislee egüle matis adı veili. (c, c; p) olması içi gee ve yete şatlaı Silvema-Toeplitz Teoemi vemetedi. Şimdi ileii bölümlede ullaacağımız bu teoemi ispatsız olaa veeceğiz. Teoem 2... (Silvema-Toeplitz) (c, c; p) olması içi gee ve yete şat, i. = sup = a < 2

ii. lima = 0, (he içi) iii. lim a = = olmasıdı (Wilasy 984, Boss 2000). Taım 2... Eğe > içi a = 0 ise, = (a ) matisie üçgesel ve üçgesel olduğuda he içi a 0 ise, matisie omal matis veya üçge matis dei (Cooe 950). yıca egatif olmaya bi matisi deyimi, tüm teimlei, egatif olmaması alamıda ullaılacatı. Taım 2..2. 0 0 bi dizisi olsu ve p > olma üzee { } P = 0 ağılılı otalama döüşümü (Riesz döüşümü) p, egatif olmaya eel sayılaı = p taımlayalım. Bi ( ) dizisii (R,p ), t : = p P = 0 ile taımlaı (Wilasy 984, Boss 2000). şağıdai teoem (R,p ) metoduu egüle olmasıı aateize ede. Teoem 2..2. P (R,p ) i egüle olması içi gee ve yete şat lim = olmasıdı (Wilasy 984, Boss 2000). Taım 2..3. Bi p > 0 pozitif eel sayısı içi, p wp = : lim L = 0 = dizi uzayıı taımlayalım. Eğe w p ise dizisi L sayısıa uvvetli p- Cesào toplaabilidi dei. 3

2.2. İstatistisel Yaısalı İstatistisel yaısalı avamıı vemede öce ilişi bazı temel avamlaı hatılatalım. K, doğal sayıla cümlesii bi altcümlesi olma üzee, K :={ K: } cümlesii elema sayısı K ile gösteilsi. Taım 2.2.. Bi K altcümlesi içi lim K limiti mevcut ise, bu limit değeie K ümesii yoğuluğu ( veya doğal yoğuluğu ) dei ve δ (K) ile gösteili (Nive ve Zucema 980). Öeğiδ ( )=,δ { 2 : }=0,δ {2: }=δ {2+: }= 2, δ {: asal sayı}=0 olduğu yoğulu taımıda olaylıla elde edilebili. Doğal sayılaı he bi solu altcümlesi de sıfı yoğululudu. yıca bi B ümesi yoğuluğa sahip ise, bu duumda δ( \B)=-δ (B) ve B olacatı (Nive ve Zucema 980, Feedma ve Sembe 0 δ ( ) 98). K içi eğe δ (K)=0 ise K cümlesi sıfı yoğululudu dei. K altcümlesii yoğuluğu mevcut ve pozitif ya da K cümlesii yoğuluğu mevcut değilse K sıfı yoğuluğa sahip değildi dei ve δ (K) 0 ile gösteili. Eğe δ { : P() geçeli değil}= 0 ise bu duumda P() heme he içi geçelidi dei ve buu h.h. yazaa ısaltacağız. Şimdi istatistisel yaısalı taımıı hatılatalım. Taım 2.2.2. := ( ) eel ya da omples teimli bi dizi olsu. Eğe he ε > 0 içi δ {: -L ε } =0 4

olaca şeilde bi L sayısı vasa bu duumda dizisi L sayısıa istatistisel yaısatı dei ve st lim = L ile gösteili (Fast 95 ve Steihaus 95). İstatistisel yaısalı avamıı bi öe üzeide göelim. Öe 2.2.. : = ( ) dizisii geel teimi, = m = 0, m 2 2 şelide taımlası. Bu duumda istatistisel yaısalı taımıda st lim = 0 buluu. Faat buadai = ( ) dizisi lasi alamda yaısa değildi.bu dizii istatistisel yaısa olduğuu Fidy i 985 yılıda vediği bi aateizasyoda da göebiliiz: =( ) dizisii bi L sayısıa istatistisel olaa yaısaması içi gee ve yete şat δ { : } = ve lim = L olaca şeilde bi ( ) idis dizisii mevcut olmasıdı. Lemma 2.2. Bu duumda, st lim = a, st limy = b ve c bi eel sayı olsu. i. st ( ) lim + y = a + b ii. st lim( ) olu (Salat 980). c = ca İspat : i. st lim = a ve st limy = b olsu. O halde he ε > 0 içi, 5 δ { : a ε } = 0 ve { y b ε } 2 ( ) ( ) δ : = 0. 2 + y a + b a + y b eşitsizliğide,

{ : ( + y ) ( a + b) } { : a ε } U{ : y b ε } içemesi ve buada da ε 2 2 { : ( + y ) ( a + b) } { : a ε } + { : y b ε } δ ε δ δ 2 2 = 0 elde edili.o halde st ( ) lim + y = a + b buluu. ii. c = 0 ise duum açıtı.şimdi c 0 olsu. olduğuda, buluu. Böylece, c ca ε ise a ε c { : c ca ε} { : a ε } { c ca } { a ε } δ : ε δ : = 0 c olduğuda, δ { c ca ε} : = 0 elde edili. Bu da ispatı tamamla. Taım 2.2.3. He ε > 0 içi { : N ε} yoğuluğa sahip olaca şeilde bi N ( N ( ε )) istatistisel Cauchy dizisidi dei (Fidy 985). cümlesi sıfı = sayısı vasa, bi İstatistisel yaısa ve istatistisel Cauchy dizilei aasıdai ilişiyi vee bi teoemi ispatsız olaa veiyouz. Teoem 2.2.. şağıdai öemele deti: i. = ( ) istatistisel yaısatı. ii. = ( ) istatistisel Cauchy dizisidi. iii. = ( ) dizisi içi { y } δ : = 0 olaca şeilde bi yaısa y = ( y ) dizisi vadı (Fidy 985). c 6

Teoem 2.2.. de aşağıdai soucu elde edeiz. Souç 2.2.. Bi = ( ) dizisi L ye istatistisel yaısa ise bu duumda dizisi L değeie lasi alamda yaısa bi y altdizisie sahipti (Fidy 985). İstatistisel yaısalığa de bi ifadeyi veme içi C = (c ) Cesào matisii geel teimii taımlayalım: Bu matis, c = 0, > ile veili. Bu duumda, K( ε) : { : L ε} ümesii aateisti fosiyouu gösteme üzee = ve χ ( ), K( ε ) st lim = L ε > 0, lim { : L ε} = 0. olduğu açıtı. ε > 0,lim χk ( ε )( ) = 0. = ε > 0,lim( χ ) = 0. C K ( ε ) Lemma 2.2.2. Sosuz çolutai içi, t 0 olaca şeilde bi t sayı dizisi va ise h.h. içi = 0 ve vadı (Fidy 985). = K ε t = olaca şeilde bi dizisi m ( ) = İspat: He içi, m() > 2 ve t m() 0 olma üzee { } tamsayılaı ata bi dizisi olsu. şimdi bi = ( ) dizisii pozitif 7

, = m ( ) t = m( ) 0, m ( ) ile taımlayalım. İl olaa, h.h. içi = 0 yai K : { : 0} δ ( K ) = 0 olduğu açıtı.yıca, m( ) m( ) m( ) = = = tm( ) = = olma üzee t = t = t. = = olup bu da ispatı tamamla. Teoem 2.2.2. Hiçbi matis toplaabilme metodu, istatistisel yaısalı metoduu içeemez (Fidy 985). İspat: Bi matis istatistisel yaısalığı içeiyosa Lemma 2.2.2. de satı solu olmalıdı. satı solu bi matis ve a (), () 0 olsu. Buda soa > () içi, olaca şeilde ( ) a ve a (), = 0 (), () 0 () > seçelim. Şimdi ise satı ve sütuu ata 2 dizileii seçelim öyle i he m içi, ( m) m ve he > ( m) olduça a ( ), = 0 geçelesi. Bi = ( ) dizisii = a (), (),..., m > olduça a ( ), ( ) 0 m m 8

m = m a ( m) ( m), ( i) ( i) a( m), ( m) i= ve diğe duumda, 0 Bu duumda, ( ) ( ), ( m) = elde edili. = a m ii m i= i= = a = taımlayalım. ( m), ( i) ( i) 9,..., m a( m), ( i) ( i) a( m), ( m) ( m). i= = + a = + m m ( m), ( m) a( m), ( i) ( i) m a( m), ( i) ( i) i a = ( m), ( m) i= m Sıısız bi dizi yaısa olmadığıda, - toplaamaz. Şimdi de dizisii istatistisel yaısa olduğuu gösteelim: 2 ( m) > m olduğuda K { : 0} halde ( K ) 0. = olmalıdı. O δ = olup h.h. içi = 0 yai st lim = 0 olu. Bu duumda satı solu matisi, istatistisel yaısalığı içeemez. Bu da ispatı tamamla. Bu ısımda so olaa istatistisel yaısalı ve p-cesào toplaabilili aasıdai ilişiyi aşağıdai teoemle veebiliiz. Teoem 2.2.3. p ve 0 < p < olsu. i. Bi dizi L sayısıa uvvetli p-cesào toplaabili ise L sayısıa istatistisel yaısatı.

ii. Sıılı bi dizi L sayısıa istatistisel yaısa ise L sayısıa uvvetli p-cesào toplaabilidi (Coo 988). 0

3. İSTTİSTİKSEL LİMİT VE DEĞME NOKTLRI Bu bölümde bi sayı dizisii istatistisel limit ve değme otalaı ile aalaıdai ilişiyi veeceğiz. 3.. İstatistisel Limit ve Değme Notalaı İstatistisel yaısalıta sıfı yoğuluğa sahip cümlele öemli bi ol oya, bu edele bulaa ilişi bazı öemli temioloji ve otasyolaı veelim. =( ) dizisii değe cümlesi { : } ile gösteili. { ( j) } j =, =( ) dizisii bi altdizisi ve K:={(j): j } ise { (j) } yeie {} K yazılı. δ (K) = 0 ise {} K dizisie =( ) dizisii ice bi altdizisi dei. Eğe ( K ) 0 δ ise {} K dizisie ice olmaya bi altdizi dei. Bi dizisii bi L sayısıa yaısaya bi altdizisi vasa L sayısı dizisii alışılmış limit otasıdı, bu yüzde bi altdizii teimleii yoğuluğuu göz öüe alaa istatistisel limit otasıı ve istatistisel değme otasıı Fidy (993) şöyle taımlamıştı: Taım 3... Bi = ( ) dizisii bi λ sayısıa yaısaya ice olmaya bi altdizisi vasa, λ sayısıa dizisii bi istatistisel limit otası dei. Taım 3..2. He ε > 0 içi { : -γ < ε } cümlesi sıfı yoğuluğa sahip değilse, γ sayısıa dizisii bi istatistisel değme otası dei. Öe 2.2. dei =( ) dizisi içi L ={0,} ve Λ = Γ ={0}. Hehagi bi dizisi içi Λ L ve Γ L olduğu açıtı. Λ ile L ço falı olabili, öeği aşağıda veilmişti: Λ = olduğuda L = olaca şeilde bi dizisi Öe 3... { } = ( ) dizisi = değe cümlesi bütü asyoel sayıla ola bi dizi ve

= = = 2 ; ( ) 2 ;, 2,3,... şelide taımlası. K:= { = 2 : } olma üzee δ (K) = 0 olduğuda : cümlesi de yoğu Λ =. Faat { } olduğuda L = buluu. Λ ile Γ aasıdai içeme bağıtısı aşağıdai öeme ile veilmetedi. Öeme 3... Hehagi bi sayı dizisi içi (Fidy 993). Λ Γ L geçelidi İspat: λ Λ olsu. Bu duumda, lim ( j ) = λ ve limsup { ( j) : j } = d > 0 j ( j) j olaca şeilde doğal sayılaı bi { } = lim ( j ) λ j solu bi cümledi. dizisi = olduğuda, he ε > 0 içi { j : ( j) λ ε} { : λ < ε} { ( j) : j } olduğuda, sosuz çolutai le içi vadı. cümlesi \ {solu üme} d { : λ < ε} { ( j) : j } O() 2 buluu. O halde δ { : -γ < ε } 0 olup λ Γ elde edili. Sıadai öeme ile Γ cümlesii, L gibi daima apalı bi ota cümlesi olduğuu gösteelim. 2

Öeme 3..2. Hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi dizisii istatistisel değme otalaıı Γ cümlesi apalı bi ota cümlesidi (Fidy 993). İspat: p, sayısı içi Γ cümlesii bi yığılma otası olsu. Bu duumda ε > 0 Γ cümlesii ( p-ε, p+ε ) aalığıda p γ olaca şeilde e az bi γ otası vadı. O halde (γ -ε,γ +ε ) ( p-ε, p+ε ) olaca şeilde ε > 0 sayısı seçilebili. γ γ -ε, γ +ε )} 0 olacatı. olduğuda, Γ olduğuda δ {: ( { : ( γ ε, γ + ε )} : ( p ε, p + ε ) { } { : (, + )} : ( p, p + ) { } δ γ ε γ ε δ ε ε { } elde edili.dolayısıyla, δ ( p ε p ε ) buluu. :, + 0 olup p Γ Veile bi dizisi içi, ou istatistisel yaısa olması ya da olmamasıı ice altdizileii değeii değişmesi ile değişmediğii Teoem 2.2. de gödü. Şimdi ise buu istatistisel limit ve değme otalaı içi de doğu olduğuu gösteelim. Teoem 3... = ( ) ve y = (y ) dizilei içi = y, h.h. olsu.bu Λ = Λ ve Γ = Γ y olmalıdı (Fidy 993). duumda y δ : = 0 ve λ Λ olsu. Bu duumda dizisii λ İspat: { y } değeie yaısaya ice olmaya bi {} K altdizisi vadı ve δ { : K ve = y } 0 olmalıdı. Buu içi y dizisii λ değeie yaısaya ve ice olmaya bi { y } K λ Λy ve Λ Λ y buluu. ve y i Λy Λ olacağıda Λ = Λ y elde edili. altdizisi vadı. O halde olleii değiştiise 3

Şimdi de δ { : y} = 0 ve γ Γ K : = { : = y} ve he 0 δ : γ < ε 0 olduğuda δ { K y γ ε} { } elde edili. { K : y γ < ε} { : y γ < ε} δ { : y γ < ε} 0 olup y olsu. ε > içi : < 0. Bu duumda γ Γ ve Γ Γ y elde edili. ve y i olleii değiştiise Γy Γ ve dolayısıyla Γy Γ buluu. Şimdi de istatistisel değme otalaı ve alışılmış limit otalaı aasıda uvvetli bi ilişi ua bi teoemi ispatsız olaa veeceğiz. Teoem 3..2. Bi = ( ) dizisi içi, h.h. içi = y ve L y = Γ olaca şeilde bi y dizisi vadı; üsteli y dizisii değe cümlesi, dizisii değe cümlesii bi altcümlesidi (Fidy 993). Reel sayıla sistemii tamlığıa de iyi bilie biaç teoem vadı. lışılmış limitle yeie istatistisel limitlei alaa bu teoemlei istatistisel bezeleii veeceğiz. Öeği Teoem 2.2.. de bi sayı dizisii istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şatı bi istatistisel Cauchy dizisi olduğuu ispat etmişti. de e üçü üst sıı asiyomuu bi istatistisel bezei Mooto Dizi Teoemidi: Mooto bi = ( ), eel sayı dizisii yaısa olması içi gee ve yete şat sıılı olmasıdı. şağıdai souç Mooto Dizi Teoemii istatistisel bi bezeidi. Öeme 3..3. = ( ) bi sayı dizisi ve {} M, i bi mooto altdizisi olma üzee, ( M ) = ve, M de sıılı ise, istatistisel yaısatı (Fidy 993). δ İspat: {} M, bi sayı dizisii mooto altdizisi olma üzee, δ ( M ) = ve, M de sıılı olsu. {} M = y alalım. ( M ) δ = olduğuda h.h. içi = y olu., M de sıılı olduğuda, y sıılı bi dizidi. {} M, M de mooto olduğuda, y mootodu. Bu duumda Mooto Yaısalı 4

Teoemide y yaısatı. O halde, h.h. içi = y ve y yaısa olduğuda Teoem 2.2.. de, istatistisel yaısatı. Reel sayıla içi bi başa tamlı soucu Bolzao-Weiestass Teoemidi: Sıılı bi dizisi içi L olu. Sıılı dizile içi 5 Λ = olabileceğide Bolzao-Weiestass Teoemii istatistisel bezeii aca istatistisel değme otalaı içi uygulayabiliiz. Teoem 3..3. Bi = ( ) sayı dizisi, sıılı ve ice olmaya bi altdiziye sahipse, bu duumda bi istatistisel değme otasıa sahipti (Fidy 993). İspat: Sıılı ve ice olmaya bi altdiziye sahip bi dizi olsu. Teoem 3..2. de L y δ : y = 0 olaca şeilde = Γ ve { } bi y dizisi vadı. Bu duumda y sıılı ve ice olmaya bi {y} K altdizisie sahipti.bolzao-weiestass Teoemide L y ve böylece elde edili. Teoem 3..2. ve Teoem 3..3. de aşağıdai soucu elde edeiz Γ Souç 3... = ( ) sıılı bi sayı dizisi ise bu duumda bi istatistisel değme otasıa sahipti (Fidy 993). Bi soai souç Heie-Boel Ötü Teoemii bi istatistisel bezeidi. = ( ) sıılı bi sayı dizisi olma üzee, X : { : } = U L cümlesi ompattı. Heie-Boel Ötü teoemii dizisel bezeie göe {J } açı cümlelei bi olesiyou X ümesii ötüyosa, {J } i X ümesii öte solu bi altolesiyou vadı. Bu soucu istatistisel bezeide L ile { } Γ ye değiştiebili ve X : = : U Γ ümesi, dizisii istatistisel apaış ümesidi. X ümesii apalı bi üme olma zoululuğu yotu. Geçete de X apalı bi üme olsaydı { : } X = U L = X oludu. Bu duumda L = Γ olmasıı geetiidi.

Teoem 3..4. = ( ) sıılı bi dizi ise, dizisii ice bi {} K altdizisi K U Γ ompattı (Fidy 993). vadı öyle i { : \ } İspat: Teoem 3..2. de L y = Γ olaca şeilde sıılı bi y dizisi seçebiliiz, { y : } { : } ve K = { y } olma üzee δ ( K ) = 0. Bu duumda, { : \ } U Γ = { : } K y U L y : : elde edili ve y sıılı bi dizi olduğuda Heie-Boel Teoemie göe yuaıdai eşitliği sağ taafı ompattı. Bu da ispatı tamamla. 6

4. - İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK Bu ısımda - istatistisel yaısalı, -istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıı taıtacağız. - İstatistisel Yaısalı Feedma ve Sembe 98 yılıda istatistisel yaısalı taımıda Cesào matisi yeie egatif olmaya egüle bi = (a ) sosuz matisii alaa istatistisel yaısalığı geelleştimişledi. Şimdi de C Cesào matisi yeie matisi alaa aşağıdai daha geel taımı veebiliiz. Taım 4... = (a ) egatif olmaya egüle bi matis olsu. Eğe he ε > 0 içi, K : = K ε = : L ε olma üzee ( χk ε ) ( ) { } lim : = lim a χ ( ) = 0 ( ) K ( ε ) = ise bu duumda = ( ) dizisi L sayısıa - istatistisel yaısatı dei ve st lim = L ile gösteili (Feedma ve Sembe 98, Coo 989, Kol 993, Mille 995). Taım 4..2. E olma üzee, lim ( χe ) : = lim a χe ( ) = δ ile limiti mevcutsa E ümesi, - yoğuluğa sahipti dei ve ( ) gösteili. O halde st ( ( )) 0 E lim = L olması içi gee ve yete şat he ε > 0 içi δ ε = olmasıdı. K 7

Bi dizii -istatistisel yaısa olmasıı şöyle aateize edebiliiz: = ( ) dizisii bi L sayısıa -istatistisel olaa yaısaması içi gee ve = L olaca şeilde bi ( ) δ : = ve lim yete şat { } idis dizisii mevcut olmasıdı (Kol 993, Mille 995). -İstatistisel Limit ve Değme Notalaı K içi eğe ( ) 0 K δ = ise K cümlesi sıfı yoğululudu dei. K cümlesii -yoğuluğu mevcut ve pozitif ya da K cümlesii - yoğuluğu mevcut değil ise K sıfı yoğuluğa sahip değildi dei ve δ { : P() geçeli değil}=0 ise ( ) 0 δ K ile gösteili. Eğe bu duumda P() -heme he içi geçelidi dei ve buu -h.h. yazaa ısaltacağız. Bi := ( ) dizisi içi K = {(j): j } olma üzee, {} K, i bi δ ise {} K dizisie = ( ) dizisii -ice olmaya altdizisi ve ( ) 0 K bi altdizisi dei. Taım 4.2.. K altcümlesi δ ( K ) 0 içi ve lim{ } λ = ise λ sayısıa dizisii bi -istatistisel limit otası dei (Coo ve Klie 996). Taım 4.2.. He 0 : < 0 ε > içi δ { γ ε} ise, γ sayısıa dizisii bi -istatistisel değme otası dei (Coo ve Klie 996). İici bölümde vediğimiz yoğulu avamıı, -yoğulu avamı ile değiştiise tüm souçla buada da geçelidi. Bu souçla Coo ve Klie (996), Demici (2002) de buluabili. Öeme 4.2.. Hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi Λ ( ) Γ ( ) geçelei. 8

İspat: λ Λ ( ) olsu. Bu duumda, lim j λ } olma üzee lim sup a = d > 0 { } j sayılaı bi ( j) ( ) = ve K:= {(j): j j olaca şeilde doğal K dizisi vadı. lim = j j λ ε > 0 içi, { j : ( j) λ ε} cümlesi solu bi cümledi. { : λ < ε} { ( j) : j } olduğuda, sosuz çoluta içi, ( ) = olduğuda, he \ {solu üme} d { : λ < ε} { ( j) : j } O( ) 2 : < 0 olu. O halde, δ { λ ε} edili. λ Γ elde olup ( ) Öeme 4.2.2. Hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi dizisii - Γ cümlesi apalı bi ota istatistisel değme otalaıı ( ) cümlesidi. İspat: p, Γ ( ) cümlesii bi yığılma otası olsu. Bu duumda ε > 0 sayısı içi Γ ( ) cümlesii ( p ε, p + ε ) aalığıda p γ olaca şeilde e az bi γ otası vadı. O halde, ( γ ε, γ ε ) ( p ε, p ε ) γ Γ ( ) olduğuda, + + olaca şeilde ε > 0 sayısı seçilebili. olacatı. olduğuda, δ {: ( γ -ε, γ +ε )} 0 { : ( γ ε, γ + ε )} : ( p ε, p + ε ) { } 9

{ : (, + )} : ( p, p + ) { } δ γ ε γ ε δ ε ε { } elde edili.dolayısıyla, δ ( p ε p ε ) p Γ ( ) buluu. :, + 0 olup Teoem 4.2.. = ( ) ve y = (y ) dizilei içi = y, -h.h. olsu.bu duumda Λ ( ) = Λ ( y) ve ( ) ( y) Γ = Γ olmalıdı. İspat: δ { : y } = 0 ve λ Λ ( ) olsu. Bu duumda dizisii λ değeie yaısaya -ice olmaya bi {} K altdizisi vadı ve δ { : K ve = y} 0 olmalıdı. Buu içi y dizisii λ değeie yaısaya ve -ice olmaya bi { y } K λ Λ ( y) ve ( ) ( y) değiştiise Λ ( y) Λ ( ) olup ( ) ( y) altdizisi vadı. O halde Λ Λ buluu. ve y dizileii olleii Λ = Λ elde edili. Şimdi de δ { : y} = 0 ve ( ) K : = { : = y} ve he 0 olduğuda δ { K : y γ ε} 0 olduğuda γ Γ olsu. : < 0 ε > içi δ { γ ε} < elde edili. Bu duumda { K : y γ < ε} { : γ < ε} { K : y < } δ { : y γ < ε} δ γ ε geçelei. O halde δ { : y γ < ε} 0 olup γ Γ ( y) ve Γ ( ) Γ ( y) buluu. ve y dizileii olleii değiştiise Γ ( y) Γ ( ) olup Γ ( ) = Γ ( y) elde edeiz. 20

şağıdai souçlaı ispatsız olaa veeceğiz. Teoem 4.2.2. Bi = ( ) dizisi içi, -h.h. içi = y ve L y = Γ ( ) 2 olaca şeilde bi y dizisi vadı; üsteli y dizisii değe cümlesi, dizisii değe cümlesii bi altcümlesidi. Teoem 4.2.3. Bi = ( ) sayı dizisi, sıılı ve ice olmaya bi altdiziye sahipse, bu duumda bi -istatistisel değme otasıa sahipti. Souç 4.2.. = ( ) sıılı bi sayı dizisi ise bu duumda bi -istatistisel değme otasıa sahipti. Şimdi de C Cesào matisii satılaıı bi cümlesi çıaılma üzee taımlaa C λ metodu içi bi dizii istatistisel değme otalaıda söz edeceğiz. E, doğal sayılaı solu bi altcümlesi ve E, pozitif tamsayılaı esi ata { } bi dizisidi: E λ ( ) =. Bu duumda; = δ ( E) : = lim λ ( ) limiti mevcut olma üzee taımlamatadı. Faat i tüm altcümlelei δ mevcut olmadığıda, içi ( E) δ = ( E) : lim sup { : E} şelide taımlaa üst asimptoti yoğuluğu ullaacağız. δ fosiyouu bazı özelileii veelim: i eyfi E ve F altcümlelei içi, E δ E i. ( E) δ mevcut ise δ ( ) = ( ) ii. δ ( E) 0 olması içi gee ve yete şat δ ( E) > 0 iii. E F ise δ ( E) δ ( F )

geçelei. = ( ) eel ya da omples sayılaı bi dizisi ve =,2,3,... olma üzee, dizisii C λ -döüşümüü ( C ) λ ( ) λ( ) : = λ = şelide taımlayalım. He λ içi C λ ı egüle olduğuu Silvema- Toeplitz şatlaıda olayca göebiliiz. He ε > 0 içi, δ K ε = lim C χ ( ( )) ( K ( ) ) Cλ λ ε ( ) γ Γ olacağı açıtı. C λ Özel bi hal alaa ( ) çaıştığıı göebiliiz. = lim : < 0 ise, λ ( ) { } γ ε λ = alısa, C λ matisi ile C Cesào matisii Şimdi ise C λ metodu içi Γ ( ) ile Γ ( ) ve ( C ) ( Cµ ) C λ C µ Γ aasıdai ilişilei iceleyelim (Demici 2002). { } { } Teoem 4.2.4. F = λ ( ) ve E µ ( ) altcümlelei olsu. E\ F solu ve ise bu duumda, he K içi, ( ) ( ) λ lim = d 0 µ Γ ile =, i sosuz λ 22

olu. δ ( ) 0 ise δ ( ) 0 C K λ İspat: E\ F solu ise bu duumda ( ) C K µ { : } µ N F olaca şeilde bi µ λ N sayısı vadı. N içi j() alalım öyle i ( ) j( ) duumda ( j ( )) ata ve içi ( ) δ ( ) 0 ise bu duumda; C K λ δ Cλ ( K ) { i λ ( ) : i K} λ ( ) = lim sup > 0 olmalıdı. yıca ( ) dizisi pozitif bi değee yaısadığıda olduğuda, ( ) ( ) j lim sup y = lim lim supy ( ) ( ) { i λ ( ) i K} ( ) : j = olsu. Bu j olu.eğe { i λ ( ) : i K} λ, λ λ λ δ Cµ ( K ) elde edili. Bu duumda ( ) 0 E F ( E = \ ) ( F U F \ ) ( Cλ) ( C ) λ ( ) elde edeiz: ( ) j { i µ ( ) : i K} µ ( ) = lim sup > 0 δ olu. Bu da ispatı tamamla. C K µ E, ( Cµ ) ( C ) µ ( ) = ve = olduğuda, Teoem 4.2.4. de aşağıdai teoemi 23

Teoem 4.2.5. F = { λ ( ) } ve E { µ ( ) } olsu. Bu duumda i. E\ F solu ve ii. E F solu ve iii. E\ F solu ve iv. E F solu ve geçelei. İspat: i.. E\ F solu ve =, i sosuz altcümlelei ( ) = d ise ΓC ( ) Γ C ( ) λ µ ( ) λ ( ) = d ise Γ C ( ) = Γ C ( ) λ µ µ ( ) ( ) = d ise Γ( Cµ ) Γ ( Cλ) ( ) λ ( ) d Γ C = Γ µ ( ) λ lim 0 µ lim 0 λ lim 0 µ lim 0 ( ) ( ) = ise ( ) ( C ) µ λ λ lim = d 0 olsu.bu duumda; µ ( ) λ ( ) Cµ ( ) γ Γ ( ) { } { } γ Γ ε > 0, δ λ : γ < ε 0 elde edili. Cλ C ii. E F solu ve olu. ε > 0, δ λ : γ < ε 0 C µ λ ( ) d µ ( ) \ ) ( lim = 0 olsu. E F solu (E (E \ ) F U F \ ) F solu ve (F \ ) E solu E solu ΓC ( ) ΓC ( ) ve ( ) ( ) λ µ C C µ λ Γ ( ) = Γ ( ) Cλ Cµ Γ Γ. 24

C C Teoem 4.2.5. de öce söz ettiğimiz gibi ( µ ) ( ) µ ( ) ( Cλ) ( C ) λ ( ) = ve = olduğuda (iii) ve (iv) ifadeleii ispatı açıtı. Teoem 4.2.5. de ( ) aşağıdaii alayabiliiz. Teoem 4.2.6. E { µ ( ) } duumda, i. ii. λ = aldığımızda (ii) ve (iii) ifadeleide =, i sosuz bi altcümlesi olsu. Bu ( ) = d ise Γ( ) Γ C ( ) µ ( ) ( ) d Γ Cµ Γ ( ) λ lim 0 µ λ lim 0 µ = ise ( ) ( C) geçelidi. Şimdi de -istatistisel yaısalı alamıda bazı içeme bağıtılaıı veeceğiz (Demici 2002). Taım 4.2.3. ve B matislei içi st stb ise istatistisel yaısalı alamıda, B de daha uvvetlidi dei. st I st içi st lim = st lim ise ve B Taım 4.2.4. B B matislei, istatistisel yaısalı alamıda tutalı matisledi dei. Eğe istatistisel yaısalı alamıda, B de daha uvvetli ise yazılı. st B ve dei ve st B st B ile gösteili. st B ise istatistisel yaısalı alamıda ve B eşitti = (a ) ve B = (b ) egatif olmaya egüle matisle olma üzee aşağıdai teoemlei veeceğiz (Demici 2002). 25

Teoem 4.2.7. () = lim sup a b = 0 ise bu duumda he K içi ( K ) 0 şat δ B ( K ) = 0 olmasıdı. İspat: (Geelili:) ( K ) 0 olduğuda, () de; elde edili. Böylece buluu. δ = olması içi gee ve yete. K δ = olsu. Bu duumda lim a = 0 ( χ ) ( χ ) B = a b K K K K K ( a b ) = K = a b a b ( χ ) ( Bχ ) lim sup = 0 δ B K ( K ) = lim b = 0 K (Yetelili:) Simetide elde edili. Teoem 4.2.7. de aşağıdai soucu elde edebiliiz. Teoem 4.2.8. ve B matislei () oşuluu sağlası. Bu duumda; i. st = stb Γ = Γ ii. ( ) ( ) B K 26

geçelei. İspat: st i. ve B, () oşuluu sağlası ve bi eel sayı dizisi içi lim = L olsu. Bu duumda, olup, () de elde edili. O halde δ δ B { L ε} : = 0 { L ε} : = 0 stb lim = L olup st stb st st st st elde edili. Simetide yaalaaa B olduğuda = B buluu. ii. γ Γ ( ) olsu. Bu duumda he ε > 0 içi, { } δ : γ < ε 0 olu. () de ε > 0 içi, δ : γ < ε 0 B { } olup γ Γ B ( ) elde edili. O halde ( ) B ( ) şeilde Γ ( ) Γ ( ) olup ( ) ( ) B ispatı tamamla. Lacuay İstatistisel Yaısalı Γ Γ olu. Beze Γ = Γ elde edili i, bu da Bu bölümde lacuay istatistisel yaısalı ve istatistisel yaısalı ile ilişisii iceleyeceğiz. Daha soa da lacuay istatistisel limit otalaıda söz edeceğiz. θ = { } pozitif tamsayılaı ata bi dizisi olsu. 0 = 0 olma üzee : = ise θ = { } dizisie bi lacuay dizi içi h dei (Feedma et al. 978). B 27

Bu bölümde θ = { } lacuay dizisi ile oluştuula aalıla ( ] I :, = ile ve q : = ile gösteileceti. Kuvvetli Cesào toplaabile dizile uzayı ola { w : = σ : = : bazı L le içi, lim L 0 = = uzayı ile istatistisel yaısa dizile uzayı aasıda doğal bi ilişi olduğu gibi σ ve N θ dizi uzayı aasıda da uvvetli bi ilişi vadı. Buada { N : : θ = bazı L le içi, ile taımlaı (Feedma et al. 978). lim L = 0 h I Taım 4.3.. θ bi lacuay dizi olma üzee bi = ( ) sayı dizisi ve heε > 0 içi, lim { I : L ε} = 0 (2) h ise, L değeie lacuay istatistisel yaısatı dei (Fidy ve Oha L S θ veya st lim = L ile gösteili. yıca 993). ( ) ve olsu. θ = { bazı L le içi, st lim = L} S : : θ : = { : bazı L le içi, stθ lim = L} S C Cesào matisii ullaaa istatistisel yaısalıta de bi gösteimii vediğimiz gibi, beze şeilde lacuay istatistisel yaısalı içide C θ matisii ullaabiliiz; buada 28

ile veili. O halde ; I C [, ] : h θ = 0 ; I st lim = θ L ε 0 yazılı. lim : = 0 h >, { I L ε} lim χk ( ) = 0. h = ( C χ ) lim = 0. K lim I IK = 0 h Şimdi ise lacuay istatistisel yaısalı ve istatistisel yaısalı aasıdai ilişiyi vee teoemlei ispatsız olaa veeceğiz. Bu teoemle Fidy ve Oha (993) te buluabili: Teoem 4.3.. { } θ θ = bi lacuay dizisi olsu. Bu duumda, dizilei cümlesi olma üzee; ii. geçelidi. i. (a) ( ) ise ( ) L N θ L S θ (b) N θ, S θ ı öz altcümlesidi. ve l ve ( ) ise ( ) iii. S Il = N θ L S θ θ Il Lemma 4.3.. Hehagi bi θ lacuay dizisi içi st θ L N θ l sıılı st lim = L ise lim = L olması içi gee ve yete şat limifq > 29

olmasıdı. lim ifq = ise bu duumda S θ -toplaamaya, faat S- toplaabile sıılı bi dizi vadı. Lemma 4.3.2. Hehagi bi θ lacuay dizisi içi st lim = θ L ise st lim = L olması içi gee ve yete şat limsupq < olmasıdı. limsupq = ise bu duumda S-toplaamaya, faat S θ - toplaabile sıılı bi dizi vadı. Teoem 4.3.2. θ bi lacuay dizi olsu. Bu duumda S =S θ olması içi gee ve yete şat olmasıdı. Bu duumda; olu. < lim ifq < limsupq < st lim = L ise st lim = θ L Öeme 4.3.. Bi = ( ) eel sayı dizisi solu üst limit değeie veya solu alt limit değeie C θ -toplaısa bu duumda, bu değe lacuay istatistisel yaısa. Teoem 4.3.3. SI S θ ise st θ lim = st lim θ = { } ve θ = { } dizilei içi { } { } olu. ise θ, θ lacuay dizisii bi lacuay icelmesidi dei. şağıdai teoemde S θ ves θ aasıdai içemeyi göeceğiz. Teoem 4.3.4. θ, θ lacuay dizisii bi lacuay icelmesi ve stθ lim = L ise bu duumda st lim = θ L olu. 30

Yuaıda vediğimiz souçla doğultusuda aşağıdai souçlaı elde edeiz. İl olaa Teoem 4.3.. de S Il = N Il olduğuda aşağıdai souç açıtı. Öeme 4.3.2. L, tüm lacuay dizileii cümlesi ve cümlesi olma üzee di (Demici 2002). θ ve 2 l ( { : lim I I Sθ θ L ve q = }) = l I I{ Nθ : θ L ve limq = } ( ) 3 θ θ l sıılı dizilei θ lacuay dizilei olma üzee θu θ2 ve θi θ2 lacuay olma zouda değildi. Öeği { 2 } θ θ θ = ve 2 { 2 } θ = + dizilei lacuay oldulaı halde U 2 ve I 2 dizilei lacuay değildi. θ Şimdi de lacuay istatistisel limit ve değme otalaıı taımlayalım. - istatistisel limit ve değme otalaıda θ = C ve = C θ olduğu zama beze şeilde C ( ), ( ), ( ) ( ) C C ve C θ θ ( ), ( ), ( ) ve ( ) θ Λ Γ Λ Γ yeie Λ Γ Λ Γ yazabiliiz. Bu souçla Demici (2002) de buluabili. θ Lemma 4.3.3. θ = { } bi lacuay dizisi olsu. Bu duumda, i. lim ifq > ise Λθ ( ) Λ ( ) ii. q < ise Λ ( ) Λ ( ) geçelidi. limsup İspat: i. Kabul edelim i lim ifq > olsu. Bu duumda yeteice büyü le içi q θ + δ olaca şeilde bi δ > 0 vadı. Bu duumda

olup, olduğuda, elde edili. h = = = q q h + δ δ +δ λ Λ θ ( ) olsu. Bu duumda δθ ( K ) 0 ve lim ( j ) { } şeilde bi K ( j) I ( ], = cümlesi vadı. = olma üzee, yeteice büyü le içi, = λ olaca { ( j) : j } { ( j) I : j } δ ( j) I : j + δ h δ olduğuda, elde edili. ( K ) 0 θ lim { ( j) I : j } 0 h olu. Bu duumda yuaıdai eşitsizlite; lim { ( j) : j } 0 j { } elde edili. Bi dizii altdizisii limiti sıfıda falı ise dizii limiti de, (mevcut olması duumuda), sıfıda falı olacağıda; 32

lim : 0 edili. { ( j) j } yai δ ( K ) 0 olup ( ) ii. limsupq < olsu. Bu duumda he içi H > sayısı vadı. He içi, şeilde e azıda elde edili. h = = q H λ Λ ( ) olsu. Bu duumda bi K : { ( j) : j } vadı öyle i δ ( K ) 0 ve taımlayalım. lim j λ j ( ) =. = N N : = { I : K} = K I I ve t : = h < olma üzee, λ Λ elde q H olaca cümlesi olduğuda; < ve < { : K} { : K} = + 2 + + { N N... N } = + 2 2 + + { th th... th } 33

= + h i= ht i i H t + i= h i= ht i i t i= i i h ( ) ( 3) elde edili. Kabul edelim i içi t 0 olsu. Bu duumda, t dizisii ağılılı otalama döüşümü egüle olduğuda, i= h i= i ht i i 0 olacatı. (H-) sale ve t 0 olduğuda (3) ifadesii sağ taafıı içi limiti sıfı olu. O halde,sol taafı da limiti sıfı olu i bu δ K olması ile çelişi. O halde, olup ( ) 0 limt 0 limt = lim { I : K} 0 h yai δ ( K ) 0 elde edili. Böylece ( ) θ ispatı tamamla. Lemma 4.3.3. de aşağıdai teoemi heme elde edebiliiz. 34 λ Λ elde edeiz. Bu da Teoem 4.3.5. θ = { } bi lacuay dizi olsu. Bu duumda, geçelei. θ ( ) ( ) < lim ifq lim supq < ise Λ = Λ θ

İspat: He zama lim ifq oşullaıı bu ifadede yeleştiise, ispat elde edili. lim supq olduğuda lemma 4.3.3. ü Lemma 4.3.4. θ = { } bi lacuay dizisi olsu. Bu duumda, i. lim ifq > ise Γθ ( ) Γ ( ) ii. q < ise Γ( ) Γ ( ) limsup iii. lim ifq lim supq < ise ( ) ( ) sağlaı. < Γ = Γ θ İspat: i. lim if gibi h O halde q > ve ( ) δ elde edebiliiz. + δ θ θ γ Γ olsu. Lemma 4.3.3. de olduğu { : γ < ε} { I : γ < ε} h = { I : γ < ε} h δ { I : γ < ε} + δ h olup, so ifadei sağ taafıı limiti sıfıda falı olacağıda sol taafı limiti de sıfıda falı olacatı. Böylece γ Γ ( ) elde edili. ii. limsup olduğu gibi he içi vadı. He içi, q < ve ( ) γ Γ olsu. Yie Lemma 4.3.3. de q H olaca şeilde e azıda H > sayısı 35

olup, şelide taımlasa h = q H N N : = { I : γ < ε} ve t : = h < olma üzee, { : γ < ε} { : γ < ε} = N + N2 +... + N { } = + +... + { th th th } 2 2 h ht i i t i= hi i= = + ht i i ( H ) t + i= h elde edili. Lemma 4.3.3. de uyguladığımız yötem ile buada limt 0 elde edeiz. Bu duumda ( ) iii. (i) ve (ii) de elde edili. θ i= i γ Γ olu. Bu da ispatı tamamla. Şimdi θ = { }, θ ı bi lacuay icelmesi olma üzee ( ) ile ( ) ve ( ) ile ( ) Γ Γ Λ Λ aasıdai içemelei ele θ θ θ θ alacağız. 36

Teoem 4.3.6. θ, θ ı bi lacuay icelmesi ise bu duumda ( ) ( ) ve ( ) ( ) Γ Γ Λ Λ içemelei geçelidi. θ θ θ θ İspat: İl öce belitelim i θ, θ ı bi lacuay icelmesi olma üzee v θ ı he I aalığı θ ü { } ( ) otalaıı içei öyle i, i, i= di. yıca, < < < <... < =,,2,3, v ( ) ( { } { } I i, : = i,, i, ve olduğuda, he içi v( ). Yie { } I i, aalılaıı dizisi { Ij } θ ( ) γ Γ olsu. Bu duumda, j = olsu. lim { I : γ < ε} 0 (4) h olacatı. Yuaıdai otasyolaı ullaaa ve { j ε} E : = I : γ < olma üzee, h h h ( 5 ) { I : γ < ε} = hj { Ij : γ < ε } Ij I j = hj C h Ij I elde edili. Şimdi abul edelim i ( C θ χ ) ( ) θ χe j lim 0 j olsu. (5) ifadesi C θ χ E i ağılılı otalamasıı egüle bi döüşümü olduğuda, içi (5) ifadesii limiti sıfı olu, bu ise (4) ifadesi ile çelişi. Bu E j 37

duumda abulümüz yalıştı. O halde ( C θ χ ) γ Γ θ ( ) olu. Beze şeilde ( ) ( ) Λ Λ olduğu göülü. θ θ lim 0 j = olu. Yai E j 38

5. İSTTİSTİKSEL ÜST VE LT LİMİT Bi = ( ) sayı dizisi içi vediğimiz istatistisel yaısalı, istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıda soa, bu bölümde istatistisel üst ve alt limit avamlaı ile bu avamla aasıdai doğal ilişilei veeceğiz. Daha soa da bu avamlaı -istatistisel üst ve alt limit avamlaıa geişletee beze souçlaı iceleyeceğiz. 5.. İstatistisel Üst ve lt limit İstatistisel üst ve alt limit avamlaıı vemede öce bi otasyo veelim: = ( ) bi eel sayı dizisi olma üzee, olsu. { δ { b} } δ { a} B : = b : : > 0 { } : = a : : < 0 Taım 5... = ( ) sayı dizisii istatistisel üst ve alt limiti sıasıyla ve sup B, B st lim sup : =, B = if, st lim if : = +, = şelide taımlaı (Fidy ve Oha 997). Taım 5..2. = ( ) sayı dizisi içi { B} δ : > = 0 olaca şeilde bi B sayısı vasa, istatistisel sıılıdı dei (Fidy ve Oha 997). Bu avamlaı bi öe üzeide göelim: Öe 5... ve m bie doğal sayı olma üzee = ( ) sayı dizisi 39

şelide taımlası. 2 ; = m ve = 2 m ve : = 2 ; m ve = 2 m ve = + 2 2 ; = = 2 + 2 0 ; 2 Belitelim i dizisi sıılı bi dizi değildi faat istatistisel sıılıdı. Çüü bu dizi sadece çift tamae idisli teimle içi sıısız ve bu idis cümlesii yoğuluğu sıfıdı. Klasi alamda ise altta sıfı ile sıılı faat üstte sıısızdı. Bu duumda B (,) ve ( 0, ) = =. O halde st lim sup = supb = ve st lim if = if = 0. yıca bu dizi istatistisel yaısa değildi. Çüü idisleii cümlesii yoğuluğu sıfıda falı ola ve sıasıyla sıfı ve bie yaısaya ii ayı altdizi va. yıca { 0,} Γ = olduğuu belitelim. Bu öete göülüyo i dizisii istatistisel değme otalaı ümesii e üçü elemaı st-limif ve e büyü elemaı st-limsup olmatadı. Bu düşüce aşağıdai teoemi öemetedi. Teoem 5... β : = st lim sup solu ise he ε > 0 içi { } 0 ve { } δ : > β ε δ : > β + ε = 0 (6) ε > içi (6) geçeleise β : = st lim sup olu (Fidy ve Oha 997). geçelei. Kaşıt olaa he 0 İspat: Taım 5... de β solu olduğua göe, { δ { b} } B : = b : : > 0 olma üzee β = supb. Bu b B içi b β ve he ε > 0 içi, b > β ε olaca duumda he şeilde bi b B vadı. 40

olduğuda { : > b} { : > β ε} { : > b} { : > } δ δ β ε elde edili.bu eşitsizlite sol taaf sıfıda falı olduğuda sağ taafta sıfıda falıdı. b β ise he ε > 0 içi b + ε β + ε olduğuda, { : > b + ε} { : > β + ε} olu. yıca β = supb ve b B olduğuda he ε > 0 içi b + ε B elde edili. Bu duumda, { : > b + } { : > + } δ ε δ β ε eşitsizliğide sol taaf sıfıa eşit olduğuda sağ taafta sıfıa eşitti. Kaşıt olaa (6) geçelesi. δ { β ε} β ε B ve dolayısıyla Çüü he 0 : > 0 olduğuda B. Bu duumda supb β ε > içi β ε B ve he b B içi b β Teoem 5..2. α : = st lim if solu ise he ε > 0 içi { } 0 ve { } = olu. geçelei. δ : < α + ε δ : < α ε = 0 (7) ε > içi (7) geçeleise α : = st lim if olu (Fidy ve Oha 997). geçelei. Kaşıt olaa he 0 İspat 5..2. Taım 5... deα solu olduğuda { δ { a} } : = a : : < 0 içi α = if diyelim. Bu 4

duumda he şeilde bi olduğuda a içi a α ve he ε > 0 içi, a < α + ε olaca a vadı. yıca : < a : < α + ε { } { } { : < a} { : > + } δ δ α ε elde edili.bu eşitsizlite sol taaf sıfıda falı olduğuda sağ taafta sıfıda falıdı. a α ise he ε > 0 içi a ε α ε olduğuda, { : < a ε} { : < α ε} buluu. yıca α = if ve a olduğuda he ε > 0 içi a ε elde edili. Bu duumda, { : < a } { : < } δ ε δ α ε eşitsizliğide sol taaf sıfıa eşit olduğuda sağ taafta sıfıa eşitti. Kaşıt olaa (7) geçelesi. δ { α ε} α ε + olup :. Bu duumda if a içi a α ve he 0 vadı. < + 0 olduğu içi = α olu. Çüü he ε > içi a < α + ε olaca şeilde a Teoem 5... ve 5..2. ile taım 3..2. de bi dizisii e üçü ve e büyü istatistisel değme otası sıasıyla st-limif ve st-limsup olduğu alamı çıaılabili. şağıdai teoem bu fii uvvetledimetedi. Teoem 5..3. Hehagi bi = ( ) dizisi içi, geçelei (Fidy ve Oha 997). st-limif st-limsup 42

İspat: I.Duum: st lim sup = olsu. Bu B = olmasıı δ : > = 0. O halde he geetii. Dolayısıyla he b içi, { b} b içi, { : b} 0 δ { : < a} 0 olu ve st limif δ =. O halde he a içi, = elde edili. II.Duum: st lim sup = olsu. Bu duum açıtı. III.Duum: st lim sup = β < ve st lim if = α olsu. ε > 0 içi β + ε ve bu duumda α β + ε olduğuu gösteelim. Teoem 5... de β = supb olduğuda δ { : > β + ε } = 0. 2 Bu duumda δ { : β + ε } = olu ve bu da 2 δ { : < β + ε} = olmasıı geetii. Buada β + ε ve taımda α = if dolayısıyla α β + ε elde edili. ε eyfi olduğuda α β geçelei. Teoem 5..3. ve taımda, hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi lim if st lim if st lim sup lim sup (8) olduğu açıtı. Sıılı he dizii istatistisel alamda da, lasi alamda da alt ve üst limit değelei vadı. Sıılı bi dizi istatistisel limit otalaıa sahip olmayabili faat istatistisel limit otalaıı e büyüğüü bu sıılı dizi içi istatistisel üst limit olduğuu söyleyemeyiz. Buu içi aşağıdai öeği iceleyelim. Öe 5..2. 2 2 3 u : = 0,,0,,,0,,,,0,,,,,0,... 2 3 3 4 4 4 43

: = 0 ve : = u olsu. Bu duumda = 0,0,0,,0,0,0,,0,,... olup dizisi [ 0, ] aalığıda değe 2 ve taımlayalım i 2 2 aldığıda sıılıdı. Dolayısıyla limsup, limif, st-limsup ve st-limif değelei mevcuttu. Hatta [ 0,] γ olaca şeildei bi γ sayısı içi { } δ : γ < ε ε > 0 olduğuda Γ = [ 0,] ve st-limsup = olu. Faat Λ = { 0} 44 olu. Bu duumda dizisi içi e büyü ve te istatistisel limit otası sıfı ama stlimsup de falıdı. yıca belitelim i bi dizi istatistisel sıılı ise bu duumda bu dizi içi st-limsup ile st-limif değelei soludu ve Teoem 5... ve 5..2. dei (6) ve (7) özellilei geçelei. Bi = ( ) dizisi istatistisel sıılı olsu. Bu duumda { H} { H} δ : > = 0 olaca şeilde bi H > 0 vadı. O halde δ : = 0. a olsu. Bu duumda δ { : < a} 0 olacağıda a ( H, ) yai ( H, ) olacatı. O halde st-limif soludu. yıca, hehagi bi = ( ) dizisi sıılı olsu. Bu duumda he içi H olaca şeilde bi H > 0 sayısı vadı. Yai; δ { : H} =, { H} δ : > = 0 olu. Bu duumda göüyouz i sıılı ise istatistisel sıılıdı. Faat buu tesii doğu olmadığıı aşağıdai öe ile göelim: Öe 5..3. = ( ) dizisi ; = m : = 0 ; m 2 2

şelide taımlası. Göülüyo i dizisi istatistisel sıılı olduğu halde lasi alamda sıılı değildi. Teoem 5..4. İstatistisel sıılı dizisii istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şat st-limif = st-limsup olmasıdı (Fidy ve Oha 997). İspat: α : = st lim if ve β : = st lim sup olsu. Öce st-lim ε > olsu. Bu duumda δ { L ε} { : > L + ε} = 0 olu. İddia ediyouz i L = L ve 0 δ buu gösteelim: Kabul edelim i bi 0 : = 0 yai β olmalıdı.şimdi β > L olsu. Bu duumda β ε > L + ε olaca şeilde ε > bulumalıdı. Böylece : > L + ε : > β ε elde edeiz. O halde { } { } { : > L + } { : > } δ ε δ β ε buluu. Bu so eşitsizlite sol taaf, dolayısıyla sağ taafta sıfıa eşitti. Bu duumda bi çelişi oluşu, o halde abulümüz yalıştı. Yai β L geçelemelidi. yıcı dizisi istatistisel yaısa olduğuda δ { L ε} : < = 0 elde edeiz i beze şeilde bu da L α dolayısıyla β α geetii. Bu soucu Teoem 5..3. ile bileştiise β α da geeliliği ispatla. Yetelili:Kabul edelim i α β Teoem 5... ve 5..2. i (6) ve (7) özelileide olmasıı = elde edili. Bu = ve L : = α olsu. ε > 0 olma üzee δ { : > L + ε } = 0 ve { L ε } 2 δ : < = 0 2 45

elde edili. Böylece δ { L ε} elde edili. Bu da ispatı tamamla. : = 0 buluu, yai st-lim = L Buc 953 yılıda C -toplaabile bi dizii, üst limitie istatistisel yaısa olduğuu göstedi. şağıdai teoem bu soucu bi istatistisel bezeidi. Teoem 5..5. = ( ) dizisi üstte sıılı ve β : = st limsup otasıa C -toplaabili ise bu duumda, β değeie istatistisel yaısatı (Fidy ve Oha 997). İspat: Teoem 5..4. de { } Teoem 5..2. de δ { α ε} δ : < µ 0 olaca şeilde µ β sayısı vadı. α = st lim if < β olacatı. O halde, 46 < sayısı vadı. Geçete de : < + 0 olup, e azıda µ : = α + ε : { : } { : > + } = 0 olu. K : = { : µ β + ε} ve K : = { : > β + ε} K = < µ olsu. β ı taımıda, he ε > 0 içi δ β ε taımlayalım ve çolutai le içi, β = < olsu. { K } 0 : sup olaca şeilde bi 0 ve K d > 0 d > sayısı vadı. yıca he içi, δ { : > β + ε} = 0 δ olduğuda, sosuz { : µ β ε } { : µ } I { : β ε} K = + = > + K = K I K K içi olup [ olduğuda, K K

geçelei. C = = + + ( ) ε > 0 eyfi olduğuda (9) ifadeside, lim if = K K K µ β + ε β < K + K + K K K K = µ + ( β + ε ) + β K K µ + ( β + ε ) + o( ) K K = µ β + β + ε + ε + o d β µ + β + ε εd + o ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( d ) o( ) = β β µ ε + (9) ( C) d ( ) β β µ < β elde edili. Bu duumda, β değeie C -toplaamaz. Çelişi. O halde st lim = β olmalıdı. ltta sıılılı içi de bezei bi souç elde edeiz. Souç 5... = ( ) dizisi altta sıılı ve α : = st limif otasıa C -toplaabili ise bu duumda, α değeie istatistisel yaısatı (Fidy ve Oha 997). İspat: Teoem 5..5. dei gibi ispat yapılabili. şağıdai öete göeceğiz i Teoem 5..5. de i üst sıı oşulu ihmal edilemez. Hatta bu şat istatistisel üst sıı zayıf şatı ile bile değiştiilemez.. 47

Öe 5..4. = ( ) dizisi şelide taımlası., tamae : = 0, te tamae değil, çift tamae değil Veile dizisi içi st-limif = 0 ve st-limsup = olduğu açıtı. O halde dizi istatistisel yaısa değildi. Faat { } { } { 2 m } δ : > = δ : = = δ : = = 0 olduğuda dizisi üstte istatistisel sıılıdı.yı zamada dizisi stlimsup = otasıa C -toplaabilmetedi: K 2 tamaelei cümlesii, K 0 ve K sıasıyla çift ve te tamae olmayalaı cümlesii göstesi.[t]:= mas{: t} olma üzee; C = + + ( ) 0 2 K K K = 0 + + i 2 i elde edili. ( ) = + o 5.2. -İstatistisel Üst ve lt limit Şimdi de istatistisel üst ve alt limit avamlaıı -istatistisel yaısalı alayışı içeiside ifadelediip vediğimiz souçlaı -istatistisel bezeleii ispatsız olaa veeceğiz. Bu souçla Demici (2000) de buluabili. = ( ) bi eel sayı dizisi ve egatif olmaya egüle matisi içi, 48

{ δ { b} } δ { a} B : = b : : > 0 { } : = a : : < 0 olma üzee aşağıdai taımı veelim. Taım 5.2.. = ( ) sayı dizisi, = (a ) egatif olmaya, egüle bi matis ise, i -istatistisel üst ve alt limiti sıasıyla şelide taımlaı. ve sup B, B st lim sup : =, B = if, st lim if : = +, = Taım 5.2.2. = ( ) sayı dizisi içi { B} bi B sayısı vasa, -istatistisel sıılıdı dei. δ : > = 0 olaca şeilde Teoem 5.2.. β : = st lim sup < olsu. Bu duumda he ε > 0 içi { } 0 ve { } δ : > β ε δ : > β + ε = 0 (0) geçelei. Kaşıt olaa he 0 β : = st lim sup olu. ε > içi (0) geçeleise Teoem 5.2.2. α : = st lim if < solu olsu. Bu duumda he ε > 0 içi δ : < α + ε 0 ve δ : < α ε = 0 () { } { } geçelei. Kaşıt olaa he 0 α : = st lim if olu. ε > içi () geçeleise 49

Teoem 5.2.3. Hehagi bi = ( ) dizisi içi, geçelei. st -limif st -limsup Teoem 5.2.4. -istatistisel sıılı bi dizisii -istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şat olmasıdı. st -limif = st -limsup Teoem 5.2.5. = ( ) sayı dizisi sıılı ve L : = st limsup sayısıa -toplaabili ise bu duumda, L değeie -istatistisel yaısatı. Souç 5.2.. = ( ) sayı dizisi sıılı ve L : = st limif sayısıa - toplaabili ise bu duumda, L değeie -istatistisel yaısatı. 50

6. SONUÇ Bu yüse lisas çalışmasıda bi sayı dizisi içi istatistisel yaısalı avamı taıtıldıta soa istatistisel limit otalaı ve istatistisel değme otalaı icelemiş ve bulaı alışılmış limit otalaı ile ilişilei ele alımıştı. Gösteildi i istatistisel limit otalaı ümesi, istatistisel değme otalaı ümesi taafıda içeilmete ve bu ümede alışılmış limit otalaı ümesi taafıda içeilmetedi. yıca istatistisel üst ve alt limit avamlaı ile bu avamlaı alışılmış üst ve alt limit avamlaı aasıdai ilişile otaya oulaa limif<st-limif<stlimsup<limsup bağıtısı elde edilmişti. Hatta istatistisel sıılı bi dizii istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şat st-limif = stlimsup olduğu gösteilmişti. So olaa da buu - istatistisel bezelei veilmişti. Böylece bu oulada aaştıma yapalaa bi temel aya hazılamıştı. 5

KYNKLR Boos, J. 2000. Classical ad Mode Methods i Summability. Ofod Sciece Publicatios. Coo, J. S. 988. The statistical ad stog p- Cesào covegece of sequeces. alysis, 8; 47-63. Coo, J. S. 989. O stog mati summability with espect to modulus ad statistical covegece. Caad. Math. Bull., 32;94-98. Coo, J. S. ad Klie, J. 996. O statistical limit poits ad cosistecy of statistical covegeces. J. Math. al. ppl., 97, 392-399. Cooe, R. G. 950. Ifiite matices ad sequece spaces. McMila. Demici, K. 2000. statistical coe of a sequece. Demostatio Math., 33; 343-353. Demici, K. 2002. O lacuay statistical limit poits. Demostatio Math., 35, 93-0. Demici, K. 2002.O - statistical cluste poits.glasi Math., 3, 293-30. Fast, H. 95. Su la covegece statistique. Colloq. Math., 2, 24-244. Feedma,. R., Sembe, J. J. ad Raphael, M. 978. Some Cesào type summability spaces. Poc. Lodo Math. Soc., 37; 508-520. Feedma,. R. ad Sembe, J. J.98. Desities ad summability. Pacific. Math., 95, 293-305. Fidy, J.. 985. O statistical covegece. alysis, 5, 30-33. Fidy, J.. 993. Statistical limit poits. Poc. me. Math. Soc., 8, 87-92. Fidy, J.. ad Oha, C. 990. Lacuay Statistical Summability. J. Math. al. ppl. 73, 497-504. Fidy, J.. ad Oha, C. 993. Lacuay statistical covegece. Pacific J. Math., 60; 43-5. Fidy, J.. ad Oha, C. 997. Statistical limit supeio ad limit ifeio. Poc. me. Math. Soc., 25; 3625-363. Hady, G. H. 949. Diveget Seies. Ofod Uiv. Pess, Lodo. Kol, E. 993. Mati summability of statistically coveget sequeces. alysis, 3; 77-83. Maddo, I. J. 970. Elemets of Fuctioal alysis. Cambidge Uivesity Pes. Mille, H. I. 995. measue theoetical subseqeuce chaacteizatio of statistical covegece. Tas. me. Math. Soc. 347, 8-89. Nive, I. ad Zucema, H. S. 980. Itoductio to the Theoy of Numbes. Joh Wiley & Sos, 4 th ed. New Yo. Steihaus, H. 95. Su la covegece odiaie et la covegece 52

asymtotique. Colloq. Math., 2, 73-74. Wilasy,. 984. Summability though Fuctioal alysis. Noth. Hollad. 53

ÖZGEÇMİŞ 980 Çaaale Gelibolu da doğdu. İl öğeimii Ezica ve İzmit te, ota öğeimii İzmit ve Çaaale de 998 yılıda tamamladı. yı yıl aa Üivesitesi Fe Faültesi Matemati Bölümüü azadı. Lisas öğeimii 2002 yılıda tamamladı. yı yıl aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim dalıda Yüse Lisas eğitimie başladı. 54